desarrollo de estrategias para la resolución de problemas ... · grado en educación primaria...
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Jesús Díaz Ortega
Luz Roncal Gómez
Facultad de Letras y de la Educación
Grado en Educación Primaria
2015-2016
Título
Director/es
Facultad
Titulación
Departamento
TRABAJO FIN DE GRADO
Curso Académico
Desarrollo de estrategias para la resolución deproblemas matemáticos
Autor/es
© El autor© Universidad de La Rioja, Servicio de Publicaciones,
publicaciones.unirioja.esE-mail: [email protected]
Desarrollo de estrategias para la resolución de problemas matemáticos, trabajofin de grado
de Jesús Díaz Ortega, dirigido por Luz Roncal Gómez (publicado por la Universidad de LaRioja), se difunde bajo una Licencia
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Trabajo fin de grado
Titulo
Desarrollo de estrategias para la resolución de problemas matemáticos
Autor
Jesús Díaz Ortega
Tutor
Luz Roncal Gómez
Facultad
Facultad de letras y educación
Titulación
Grado en Educación Primaria
Departamento
Matemáticas y computación
Curso académico
2015/2016
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Índice:
1. Introducción: ........................................................................................ 5
2. Objetivos ................................................................................................ 9
3. Justificación ........................................................................................ 11
4. Marco teórico. ..................................................................................... 13
4.1 Diferenciación de etapas a lo largo de la educación primaria desde el punto de
vista de Piaget ............................................................................................................. 13
4.2 La resolución de problemas desde el punto de vista de Pólya ......................... 14
4.3 Diferentes estrategias de resolución de problemas .......................................... 15
5. Desarrollo ............................................................................................ 19
5.1 Esquema ....................................................................................................... 20
5.2 Resolución de problemas. ............................................................................ 21
5.2.1 Problemas no rutinarios. ....................................................................... 21
5.2.2 Problemas rutinarios. ............................................................................ 30
6. Resolución de problemas y aprendizaje emocional ........................ 41
7. Conclusiones: ...................................................................................... 43
8. Bibliografía. ......................................................................................... 45
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Resumen:
En las matemáticas uno de los principales métodos es el heurístico que consiste
en la realización de problemas prácticos. A lo largo de la etapa evolutiva que recorre un
alumno desde la educación primaria hasta la finalización de su etapa estudiantil, este se
va a encontrar en numerosas situaciones en el que haya problemas, tanto matemáticos
como personales. En este trabajo se pretende explicar una metodología para resolver estos
problemas, para ello se ha estudiado a dos autores: Piaget y Pólya. Teniendo en cuenta
sus aportaciones, se ha realizado este trabajo. Además, al final de este documento se
ejemplifica la resolución de problemas matemáticos.
Palabras clave: problema, estrategia, resolución de problema, etapas de Piaget, fases de
Pólya.
Abstract:
One of the principal methods of mathematics is the heuristic one that consists of
the accomplishment of practical problems. Along the evolutionary stage that a pupil
crosses from the primary education up to the ending of his student stage, this one is going
to be in numerous situations in that beech problems, both mathematicians and personnels.
In this document I trie to explain a methodology to solve these problems, for it two authors
have been studied: Piaget and Pólya. Bearing his contributions in mind, this document
has been realized. In addition, at the end of this document there is exemplified the
resolution of mathematical problems.
Keywords: Problem, strategy, resolution of problems, Piaget’s stages, Pólya’s phases.
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1. Introducción:
No tendría sentido comenzar este trabajo sin antes concretar lo que es un
problema. A lo largo de la historia encontramos numerosas definiciones. Si buscamos en
el diccionario de la RAE nos encontramos con que un problema es: “Cuestión que se
plantea para hallar un dato desconocido a partir de otros datos conocidos, o para
determinar el método que hay que seguir para obtener un resultado dado.” En cambio,
en [JB] da un giro a esta anotación aceptando una definición mucho más amplia dicha por
Brandsford y Stein [B & S]: “Un problema es un obstáculo que separa la situación actual
de una meta deseada; resolver un problema consiste en pasar de una situación a la otra.”
En esta definición podemos observar por primera vez en que consiste la resolución de
problema.
Uno de los autores y matemáticos más importantes en este ámbito es George
Pólya, que explica la diferencia entre un ejercicio y un problema. Realizar un ejercicio
matemático es un procedimiento rutinario en la que no hay que pensar una estrategia,
consiste únicamente en seguir una mecánica aprendida. En cambio, en un problema entra
en juego diversos factores, en los que se incluye reflexionar, generar una estrategia a
seguir, realizar las operaciones o pasos correspondientes para llegar a una respuesta final.
La definición de Pólya acerca de los problemas matemáticos es la siguiente: “Tener un
problema significa buscar de forma consciente una acción apropiada para lograr un
objetivo claramente concebido pero no alcanzable de forma inmediata.” Una definición
de problema matemático que en mi opinión está correctamente enfocado del autor Krulik.
S en [K] “Un problema es una situación, cuantitativa o de otra clase, a la que se enfrenta
un individuo o un grupo, que requiere solución, y para la cual no se vislumbra un medio
o camino aparente y obvio que conduzca a la misma”. Dentro de esta definición podemos
destacar palabras claves como son individuo o grupo, camino aparente y solución. Para
acabar con las diferentes definiciones y después de reflexionar sobre estos autores. Para
mí, un problema matemático es una situación nueva y compleja en la que a través de un
análisis y una reflexión debemos establecer una estrategia para llegar a un resultado.
Como observación recordar que aunque en la mayoría de los casos se asocia las
matemáticas y en este caso, la resolución de problemas matemáticos con números y
operaciones; hay casos en el que no existen estas y muchos de estos problemas en los que
no hay números son muy complicados de resolver. Dentro del concepto de problema
matemático, distinguimos dos opciones: problema rutinario y problema no rutinario. En
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el problema rutinario el alumno es capaz de resolverlo aplicando directa y mecánicamente
una regla que el estudiante conoce previamente. Las ventajas de estos problemas es que
el alumno adquiere una cierta práctica de conceptos aprendidos recientemente, ya que se
está trabajando lo aprendido a través de problemas y situaciones cotidianas. En cambio,
un inconveniente es que estos problemas pueden llegar a ser repetitivos y que no haya un
desafío para el alumno lo que le traslada a la desmotivación y a la caída en la
mecanización de las operaciones. Por otro lado tenemos los problemas no rutinarios que
exigen cierto grado de creación y originalidad por parte del estudiante. Exige un esfuerzo
para su resolución pero también una satisfacción cuando se logra resolverlos. Estos
problemas se pueden trabajar en grupos para que haya una cooperación entre los propios
compañeros. Además estos problemas suponen para los alumnos un mayor aprendizaje
significativo. Como inconvenientes se incluye la frustración que puede producirse al no
resolver el problema.
Definido lo que es un problema matemático, se puede determinar en qué radica la
resolución de problemas. La resolución de problemas matemáticos es el acto y resultado
de resolver un problema. El concepto de resolución de problemas está vinculado al
procedimiento que permita solucionar una complicación. La resolución de problemas nos
va ayudar en numerosas situaciones, tanto en otras asignaturas como en momentos de
nuestra vida, ya que el método y las estrategias que vamos a emplear también son útiles
para problemas cotidianos.
En este trabajo se tratará la resolución de problemas desde el punto de vista de
George Pólya y teniendo en cuenta las etapas de Piaget. Este trabajo se concreta en el
método heurístico que consiste en el procedimiento práctico para resolver problemas.
También es conocido como “IDEAL”, formulado por Bransford y Stein [B & S], se
incluye cinco pasos: identificar y definir el problema, explorar las estrategias, avanzar en
las estrategias y lograr una solución para evaluar los efectos producidos por el problema.
Siguiendo el método heurístico en este trabajo vamos a desengranar seis estrategias
diferentes que nos sirve de ayuda para elaborar un plan en la resolución de problemas
matemáticos. Estas estrategias son las siguientes: ensayo – error, resolver un problema
más simple, hacer un dibujo – esquema – figura, buscar un patrón, trabajar hacia atrás e
imaginar un problema resuelto. Además de las diferentes estrategias, en este trabajo se
presentará un esquema con los pasos de Pólya que servirá para facilitar la resolución de
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problemas a los alumnos. Otro aspecto que se tratará es la motivación del alumno respecto
a la resolución de problemas y cómo se puede aumentar dicho aspecto.
Este documento está dirigido a todos los cursos, es más, las estrategias se pueden
emplear en etapas posteriores como la secundaria, ya que las estrategias son generales.
Durante el trabajo se concretará en que momentos es más adecuado emplear una estrategia
y frecuente el uso de ciertas estrategias, como también en que cursos es más útil emplear
la resolución de problemas.
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2. Objetivos
El objetivo principal de este trabajo es desarrollar las diferentes estrategias en la
resolución de problemas. En un primer lugar se explicarán brevemente en qué consisten
cada una de ellas, para luego desarrollarlas a través de ejemplos. Con estos ejemplos se
pretende ayudar a los docentes y a los discentes con la resolución de problemas. Otros
objetivos envueltos en este documento es la importancia de la motivación del alumno
cuando se enfrenta a la resolución de problemas. También tendremos en cuenta el método
heurístico y a su principal autor George Pólya.
Por otro lado, y teniendo en cuenta la actual ley de educación, los estándares de
aprendizaje que se pueden lograr a través de la resolución de problemas son los siguientes:
• Hacer que el estudiante piense productivamente.
• Desarrollar su razonamiento.
• Enseñarle a enfrentar situaciones nuevas.
• Darle la oportunidad de involucrarse con las aplicaciones de la matemática.
• Hacer que las clases de matemática sean más interesantes y desafiantes.
• Equiparlo con estrategias para resolver problemas.
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3. Justificación
Al comenzar a leer la actual ley, [Lomce], podemos observar que dentro del
artículo 4, correspondiente a los objetivos de la etapa, uno de estos muy relacionado con
la resolución de problemas: “Desarrollar las competencias matemáticas básicas e iniciarse
en la resolución de problemas que requieran la realización de operaciones elementales de
cálculo, conocimientos geométricos y estimaciones, así como ser capaces de aplicarlos a
las situaciones de su vida cotidiana.” Este trabaja trata de abordar de la mejor manera este
objetivo y de desarrollar diferentes estrategias como métodos de trabajo para que el
alumno pueda lograrlo lo más eficaz posible. La LOMCE, nos organiza la educación
primaria en seis cursos; en cada curso unos estándares de aprendizaje, unos contenidos y
unos criterios de evaluación. En la asignatura correspondiente a las matemáticas, desde
primero hasta sexto está incluida la resolución de problemas en todos sus bloques. Por
eso es tan importante saber las diferentes estrategias que podemos llevar a cabo para
resolver un problema. Diferenciamos hasta cinco bloques dentro de las matemáticas en la
educación primaria. El bloque I trata sobre procesos, métodos y actitudes en
matemáticas.; el bloque II trabaja los números donde están incluidas las operaciones. El
bloque III medidas; bloque IV la geometría y el bloque V estadística y probabilidad.
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4. Marco teórico.
Este trabajo se basa en las aportaciones de dos grandes autores como son Piaget y
Pólya. Del primero se desarrolla las diferentes etapas por las que avance el alumno hasta
llegar a la maduración. Esta maduración está vinculada con la resolución de problemas,
ya que de esta depende la capacidad de razonamiento del alumno. Por otra parte, también
este documento se basará en las cuatro fases propuestas por George Pólya. Teniendo en
cuenta estas, se desarrollará un esquema para la resolución de problemas dirigido a los
alumnos. Después de reflexionar sobre las contribuciones de estos autores, se
desarrollarán las seis estrategias seleccionadas para la resolución de problemas
matemáticos.
4.1 Diferenciación de etapas a lo largo de la educación primaria desde el punto de vista
de Piaget
La teoría de desarrollo cognitivo de Piaget sugiere que todo individuo atraviesa
cuatro estadios para alcanzar la madurez intelectual en [P1] [P2], estos estadios son:
estadio senso – motor, estadio preoperatorio, estadio de las operaciones concretas y
estadio de las operaciones formales. La importancia del proceso evolutivo del niño reside
en que el discente debe saber en qué etapa se encuentra el alumno para entender su
conducta y vinculando con la resolución de problemas saber la capacidad de
razonamiento mental que tiene el niño. En este trabajo se incluye los periodos que se ven
afectados en la Educación Primaria. La primera etapa que se ve influenciada es el periodo
pre operacional que incluye desde los 2 hasta los 7 años. Este periodo se subdivide en
dos, en el cual está incluido la etapa pre-lógica o intuitiva que recorre desde los 4 hasta
los 7 años. En esta etapa el alumno manifiesta el pensamiento pre - lógico, este
pensamiento reside en que por ejemplo puede comparar la capacidad de los objetos por
su tamaño. Una de las estrategias más útiles para estas edades es el ensayo – error ya que
el alumno va adquiriendo la capacidad de reflexión y análisis de la solución. Esta etapa
se concentra en los dos primeros cursos de Educación Primaria.
La siguiente etapa corresponde al periodo de operaciones concretas la cual influye
a niños de 7 a 12 años de edad. En esta etapa se encuentran la mayoría de los alumnos de
Educación Primaria por lo que se debe tener especialmente en cuenta. Durante esta etapa
el alumno es capaz de emplear la lógica y el razonamiento matemático para resolver
problemas, además de obtener información sobre experiencias que ha vivido previamente.
Es capaz de pensar hacia adelante y atrás, a esta capacidad de pensar hacia atrás Piaget la
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nombra como reversibilidad. Este pensamiento lógico puede llevar a los alumnos a
realizar deducciones como son; si 5 + 3= 8 entonces 8 – 5= 3. También involucrado con
las matemáticas y el pensamiento lógico durante esta etapa el alumno es capaz de
diferenciar que si un cuadrado A es más grande que un cuadrado B y más adelante un
cuadrado B es más grande que un cuadrado C, pueden deducir por lógica que le cuadrado
A es más grande que el cuadrado C sin necesidad de verlo ni realizar una comparativa
visual.
En último lugar nos encontramos con el periodo de las operaciones formales, esta
etapa se encuentra desde los 12 años hasta la madurez. En el colegio se puede encontrar
alumnos que hayan adquirido esta etapa ya que han tenido una maduración rápida.
Durante esta etapa el alumno es capaz de razonar lógicamente sobre cosas abstractas que
nunca había investigado de forma directa. El alumno está capacitado para realizar un
pensamiento racional e inductivo a través de un problema matemático.
4.2 La resolución de problemas desde el punto de vista de Pólya
George Pólya ha sido uno de los matemáticos más importantes en profundizar en este
concepto. Pólya nació en Hungría en 1887, obtuvo su doctorado en la Universidad de
Budapest abordando temas de probabilidad. En sus estudios, estuvo interesado en el
proceso del descubrimiento. Es el responsable del método más conocido para la
resolución de problemas, este método consiste en cuatro pasos:
1. Entender el problema.
2. Configurar un plan.
3. Ejecutar el plan.
4. Comprobar el resultado. .
La aportación de Pólya a esta tema en concreto, la resolución de problemas, es
muy amplia destacando su libro [GP]. Los pasos de Pólya nos ayudará a resolver los
problemas matemáticos. La primera fase o paso consiste en comprender el problema. Es
algo obvio, ya que si no entendemos que trata el problema o que nos pregunta difícilmente
vamos a poder resolverlo. Por lo que para resolver un problema lo principal es
comprenderlo. Para una mayor comprensión hay diferentes estrategias, pero en primer
lugar se debe explorar hasta entender las relaciones dadas en la información
proporcionada. Una de estas estrategias consiste en subrayar los datos relevantes del
problema, otra en buscar conceptos o palaras que no comprendamos. Hay que insistir en
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los alumnos de la importancia de este primer paso, y que lo conveniente es leer bien el
problema y reflexionar sobre lo que nos pregunta. Para facilitar a los alumnos esta fase
se les puede preguntar: “¿Qué información te da el problema? ¿Qué nos pide?”
El siguiente paso consiste en elaborar un plan relacionando los datos que nos
proporciona el problema con conocimientos previos que tenemos adquiridos. Hay
numerosos planes o estrategias para resolver el problema, a lo largo de este trabajo
concretaremos seis de ellas. Para finalizar esta fase debo seleccionar que operaciones voy
a realizar además de la secuencia de estas. El alumno debe ser capaz de resolver
cuestiones como “¿Recuerda algún problema parecido a este que pueda ayudarte a
resolverlo?” “¿Uso todas las condiciones?”
La tercera fase consiste en ejecutar el plan elaborado previamente. La mayoría de
los alumnos se centran en este paso siendo el de menor importancia, muchos niños al
enfrentarse a un problema nada más leer el enunciado del problema comienzan a realizar
operaciones sin haber pasado por los dos pasos previos. Es importante recalcar a los
alumnos que tan importante es comprender el problema y elaborar un plan como ejecutar
las operaciones.
Para acabar con el método de Pólya, el último paso es la verificación que consiste
en mirar hacia atrás y analizar la solución obtenida. Según Pólya, este paso no consiste
únicamente en comprobar que hemos realizado correctamente el problema sino también
a la posibilidad de usar otras estrategias diferentes de la seguida para llegar a la solución.
Algunas preguntas útiles para los alumnos son: “¿su respuesta tiene sentido?” “¿hay otro
modo de resolver el problema?”.
4.3 Diferentes estrategias de resolución de problemas
Para la resolución de problemas se tienen en cuenta numerosas estrategias, en este
trabajo, se han desarrollado las seis estrategias que para mi opinión son las más eficaces
para la etapa de Educación Primaria. Para el planteamiento de problemas y el uso de las
diferentes estrategias en la resolución de estos, se ha tenido en cuenta las etapas de
madurez de Piaget y las fases de Pólya. Teniendo en cuenta a estos dos autores, el trabajo
se centra en seis estrategias diferentes que ayuda a los alumnos para la elaboración de
planes a la hora de resolver un problema matemático. Estas estrategias se pueden aplicar
en numerosas situaciones siendo más útiles dependiendo del tipo del problema. Pero es
importante que los alumnos perciban que no hay una única estrategia, idea e infalible para
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la resolución de problemas, es más se pueden fusionar varias de ellas para obtener una
mayor ayuda. Estas estrategias son las siguientes:
Ensayo – error.
Esta estrategia consiste en la elección de operaciones al azar que nos lleve a un final.
Después se debe reflexionar y analizar este para comprobar si es el correcto o no. Las
condiciones del problema permiten comprobar que hemos llegado al objetivo. Los
primeros ensayos son completamente al azar pero realizados estos nos ayudamos para
escoger las siguientes operaciones. Este método es muy interesante ya que lleva al alumno
a equivocarse y a aprender a través de su error. Esto produce al discente un aprendizaje
significativo ya que le enseña que operaciones elegir dependiendo del problema. Esta
estrategia es útil en todo tipo de problemas, ya que aprender a través del error es de gran
ayuda para los alumnos.
Resolver un problema más simple.
Estrategia muy utilizada inconscientemente, ya que es muy útil en todos los contextos.
Consiste en resolver un problema con datos más sencillos. Esto conlleva al alumno a
realizar una serie de operaciones que a continuación podrá aplicar con los números más
complejos. Esta estrategia es eficaz en problemas que números grandes y complejos,
como de problemas en los que las operaciones a realizar no sean claras.
Realizar un dibujo – esquema – figura.
Esta estrategia facilita la comprensión de los problemas, ya que a través de una manera
visual se puede entender mejor un enunciado. Tenemos que tener en cuenta que la
realización del dibujo debe ser la adecuada. Como el refrán un buen dibujo o esquema
puede ser más útil que mil palabras por lo que siempre es de procesar la información y
datos que nos da un problema y plasmarlos en un dibujo adecuado.
Patrón.
Esta estrategia consiste en buscar palabras “claves” que indique las operaciones que se
deben realizar dependiendo del problema. A través del razonamiento inductivo podemos
llegar a una serie de generalizaciones como son que añadir es sinónimo a sumar, que si
repartimos en partes iguales equivale a dividir, etc.
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Trabajar hacia atrás.
Estrategia abstracta que se puede utilizar en los últimos cursos de Educación Primaria.
Consiste en resolver el problema empezando con los datos finales y realizando
operaciones que deshacen las originales. Muy útil para problemas en los que se utilicen
fracciones.
Imaginar el problema resuelto.
Esta estrategia es eficaz en problemas en lo que se encuentren construcciones
geométricas. Al trazar una figura aproximada a la que se desea, proporciona una visión
global del problema y ayuda a resolverlo. De las relaciones observadas en la figura se
obtiene el plan para hallar la solución del problema.
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5. Desarrollo
En este apartado se desarrollará el esquema que se les proporcionará a los alumnos
para que se apoyen en él cuando tengan que resolver problemas. Este esquema está basado
en las cuatro fases expuestas por George Pólya. En el segundo apartado, se desarrollaran
ampliamente diferentes resoluciones de problemas. Para su mejor comprensión, en cada
problema se especificará si esta obtenido del libro o no, además de si se trata de un
problema no rutinario. También se ejemplificará en un curso de Educación Primaria, por
lo que contaremos con un número de alumnos, unos estándares de aprendizaje y
evaluación.
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5.1 Esquema
Pasos a seguir para resolver problemas.
Leo el enunciado las veces
que haga falta hasta su
comprensión.
Busco en el diccionario
palabras que no conozca.
Si aún no lo he
comprendido, vuelvo a
leerlo detenidamente
oración a oración.
Tengo claro lo que me pide
el problema.
¿Qué me pide el problema?
Pregunto al maestro.
o PIENSO.
o Me tomo mi tiempo y
reflexiono sobre las
operaciones a realizar.
o Pienso en alguna estrategia:
ensayo – error, dibujo,
problema similar o más
simple, busco un patrón o
palabra clave, pienso en
resolverlo hacia atrás o me
lo imagino resuelto.
o Elaboro mi plan.
Ejecuto las operaciones
que sean necesarias para
resolver el problema.
Reflexiono sobre mi
solución y si tiene sentido.
Reviso las operaciones.
Escribe la solución del
problema.
1. Entender el problema. 2. Configurar un plan. 3. Ejecutar el plan. 4. Comprobar el resultado.
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5.2 Resolución de problemas.
5.2.1 Problemas no rutinarios.
Para comenzar la demostración de la resolución de problemas, se iniciará con la
resolución de dos problemas no rutinarios.
o Can you solve “Einstein’s Riddle?
Este primer problema no está obtenido del libro sino que se adquirió gracias a la
plataforma TEDx. El problema está dirigido a los alumnos del cuarto curso de Educación
Primaria, estos alumnos tienen entre 9 y 10 años y se encuentran en la etapa de
operaciones concretas de Piaget. La clase consta de 24 alumnos de los cuales 12 son
chicos y 12 son chicas. La metodología empleada para la resolución de este problema será
heurística como hemos comentado con anterioridad. Los alumnos estarán organizados en
parejas y cada pareja tendrá una hoja para resolver el problema, este se puede acompañar
del visionado de un vídeo que ayude al alumno en su resolución. Al tratarse de un
problema no rutinario con un alto grado de dificultad, los alumnos no tendrán un tiempo
limitado de tiempo, sino que dispondrán de los 50 minutos reales de la sesión. Se buscará
el trabajo cooperativo entre las parejas de clase intentando que se apoyen en el compañero
para superar obstáculos y barreras que el problema les proporcione. Los alumnos son los
responsables de su aprendizaje por lo que tendrán libertad de actuación, en los momentos
de bloqueo podrán recurrir al docente que únicamente guiará el aprendizaje de los
alumnos. El maestro podrá sugerir estrategias para ayudar al alumno a resolver el
problema. Las estrategias útiles para resolver este problema son: realización de un
esquema, ensayo – error y utilización de colores para resaltar los datos más importantes.
Por último, la evaluación que se realizará será a través de la observación, no se buscará
que el alumno haya logrado resolver el problema sino que se premiará el buen trabajo en
parejas, la disposición a aprender y el esfuerzo por resolver el problema.
Problema: Can you solve the Einstein’s Riddle?
Curso: 4 primaria.
Nº de alumnos: 24
Organización de la clase: Parejas.
Temporalización: Ilimitado. Sesión completa. (50’)
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Estándares de aprendizaje: Trabajar cooperativamente con el compañero
para resolver un problema no rutinario.
Mostrar una actitud receptiva para adquirir un
aprendizaje significativo.
Estrategias a utilizar: Ensayo – error, realización de un esquema.
Función del maestro: Guía en los momentos de bloqueo.
Material: Proyector, problema por cada pareja y borrador.
Evaluación: o Observación directa.
o Muestra una actitud positiva y trabaja
adecuadamente con su compañero.
A continuación se muestra el enunciado y la resolución del problema:
¿Quién robo el pez?
El gran problema de Albert Einstein. Un ladrón robó un pez del aquarium de la ciudad. La policía le siguió hasta su calle donde le perdió la pista. En la calle había cinco casas, cada una pintada de un color diferente. En cada casa vivía una persona de nacionalidad diferente, que bebía una bebida diferente. Además fumaba una marca de cigarrillos diferentes y tenía una mascota diferente.
Pistas:
1. El británico vive en la casa roja. 2. El sueco tiene perro como mascota. 3. El danés bebe té. 4. La casa verde está a la izquierda de la casa blanca. 5. El dueño de la casa verde bebe café. 6. El señor que fuma Pall Mall tiene pájaros como mascota. 7. El dueño de la casa amarilla fuma Dunhill. 8. El señor que vive en la casa del medio bebe leche. 9. El noruego vive en la primera casa (empezando de izquierda a derecha) 10. El señor que fuma Blends vive al lado del que tiene gatos. 11. El que tiene caballos vive al lado del que fuma Dunhill. 12. El que fuma Blue Master bebe cerveza. 13. El alemán fuma Prince. 14. El noruego vive al lado de la casa azul. 15. El que fuma Blends vive al lado del que bebe agua.
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Casa 1 Casa 2 Casa 3 Casa 4 Casa 5
Color de la
casa
Nacionalidad
Cigarrillos
Bebida
Mascota
Para resolver este problema se puede utilizar dos estrategias explicadas
anteriormente. En un primer lugar, a través de la estrategia de la realización de un
esquema se organiza toda la información obtenida a partir de colores. Cada dato tiene un
color, por lo que se puede observar de una manera visual toda la información.
Color de la casa Rojo
Nacionalidad Azul
Cigarrillos Naranja
Bebida Verde
Mascota Negrita
1. El británico vive en la casa roja. 2. El sueco tiene perro como mascota. 3. El danés bebe té. 4. La casa verde está a la izquierda de la casa blanca. 5. El dueño de la casa verde bebe café. 6. El señor que fuma Pall Mall tiene pájaros como mascota. 7. El dueño de la casa amarilla fuma Dunhill. 8. El señor que vive en la casa del medio bebe leche. 9. El noruego vive en la primera casa (empezando de izquierda a derecha) 10. El señor que fuma Blends vive al lado del que tiene gatos. 11. El que tiene caballos vive al lado del que fuma Dunhill. 12. El que fuma Blue Master bebe cerveza.
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13. El alemán fuma Prince. 14. El noruego vive al lado de la casa azul. 15. El que fuma Blends vive al lado del que bebe agua.
Gracias a este esquema por colores es más fácil tratar toda la información que el
problema proporciona. En segunda lugar, toca empezar a resolverlo. La estrategia que es
más útil es ensayo – error, además de poder acompañar la resolución a través de un dibujo.
Comenzamos resolviendo el problema con las pistas 8 y 9 que proporciona la
información de que el hombre de la casa central bebe leche y el noruego está en la
primera casa de la calle. Al lado del noruego debe estar la casa azul, información que
nos proporciona la pista 14. Con la pista 4 y 5 obtenemos la siguiente información, la casa
verde debe ser la casa cuarta, ya que por descarte no pueden ser las demás lo que nos
lleva a que la casa quinta debe ser blanca. Y además el señor de la casa verde bebe café.
La pista 1 te proporciona una nacionalidad y un color, solo hay dos casas sin color y en
una de ellas está el noruego, por lo que la casa tercera debe ser la roja. En la casa roja
vive el británico. Por descarte, la única casa no tiene aún color es la primera por lo que
esta es la casa amarilla. Además la pista 7 proporciona la información de que el señor de
esa casa fuma Dunhill. La pista 11 dice que el dueño del caballo está al lado, por lo que
se encuentra en la casa dos.
Llegados al ecuador del problema, puede ser conveniente tachar todas las pistas
que se han utilizado, además de un pequeño dibujo aclaratorio.
1. El británico vive en la casa roja. 2. El sueco tiene perro como mascota. 3. El danés bebe té. 4. La casa verde está a la izquierda de la casa blanca. 5. El dueño de la casa verde bebe café. 6. El señor que fuma Pall Mall tiene pájaros como mascota. 7. El dueño de la casa amarilla fuma Dunhill. 8. El señor que vive en la casa del medio bebe leche. 9. El noruego vive en la primera casa (empezando de izquierda a derecha) 10. El señor que fuma Blends vive al lado del que tiene gatos. 11. El que tiene caballos vive al lado del que fuma Dunhill. 12. El que fuma Blue Master bebe cerveza. 13. El alemán fuma Prince. 14. El noruego vive al lado de la casa azul. 15. El que fuma Blends vive al lado del que bebe agua.
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Para continuar con el problema se debe averiguar qué bebe el noruego de la
primera casa. Con las pistas 3 y 12 descartamos que bebe té o cerveza, por lo que le
noruego debe ser agua. La pista 15 proporciona la información de que el señor que fuma
Blends vive al lado del que bebe agua por lo debe estar en la segunda casa. El único lugar
sin cigarros y bebidas de la tabla es la casa cinco, por lo que a través de la pista 12 sabemos
que el señor de esa casa bebe cerveza y fuma Blue Master. La única casa sin bebida es
la segunda, por lo que descartando debe beber té. Además sabemos que el danés bebe té.
La cuarta casa, con la ayuda del dibujo, es la única sin asignación de nacionalidad y
cigarrillos, por lo que con la pista 13 sabemos que el alemán vive ahí fumando Prince.
Por exclusión, el británico de la casa tres fuma Pall Mall y que el sueco vive en la última
casa de la calle. Las pistas 6 y 12 nos proporcionan información sobre las mascotas, el
sueco tiene un perro y la persona que fuma Pall Mall tiene un pájaro. La pista 10 dice
que el dueño del gato vive al lado del danés fumador de Blend, por lo que se encuentra
en la primera casa. Ahora con un único hueco en la tabla sabemos que el alemán dueño
de la casa cuatro tiene el pez robado.
Al finalizar el problema se debe tener todas las pistas marcadas y la tabla
completada, además del dibujo que es de gran ayuda.
1. El británico vive en la casa roja. 2. El sueco tiene perro como mascota. 3. El danés bebe té. 4. La casa verde está a la izquierda de la casa blanca. 5. El dueño de la casa verde bebe café. 6. El señor que fuma Pall Mall tiene pájaros como mascota. 7. El dueño de la casa amarilla fuma Dunhill. 8. El señor que vive en la casa del medio bebe leche. 9. El noruego vive en la primera casa (empezando de izquierda a derecha) 10. El señor que fuma Blends vive al lado del que tiene gatos. 11. El que tiene caballos vive al lado del que fuma Dunhill.
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12. El que fuma Blue Master bebe cerveza. 13. El alemán fuma Prince. 14. El noruego vive al lado de la casa azul. 15. El que fuma Blends vive al lado del que bebe agua.
Casa 1 Casa 2 Casa 3 Casa 4 Casa 5
Color de la
casa Amarilla Azul Roja Verde Blanca
Nacionalidad Noruego Danés Británico Alemán Suizo
Cigarrillos Dunhill Blends Pall Mall Prince Blue Master
Bebida Agua Té Leche Café Cerveza
Mascota Gato Caballo Pájaro Perro
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1. La carga del camión.
Este problema de la asignatura de Razonamiento matemático del cuarto curso de
Educación Primaria. Como el problema anterior, los alumnos tienen una edad
comprendida entre los nueve y diez años encontrándose en la etapa de operaciones
concretas de Piaget. La clase consta de 24 alumnos de los cuales 12 son chicos y 12 son
chicas. Seguiremos empleando el método heurístico característico de Pólya para resolver
este problema. En este caso, los alumnos estarán situados individualmente y cada alumno
tendrá su problema y un borrador. Como se trata de un problema no rutinario se dejará al
alumno mayor tiempo para resolverlo. Dispondrán de 20 minutos de trabajo autónomo
para resolver el problema y en caso de que haya alumnos que no lo lograsen se prolongará
10 minutos más con el profesor ejerciendo de guía. En esta ocasión se les recomendará a
los alumnos utilizar la estrategia de ensayo – error pero cada alumno tiene total libertad
de actuar como considere oportuno por lo que pueden utilizar la estrategia que ellos crean
conveniente. En caso de bloqueos, se les recomendará al alumno que siga nuestro consejo
y utilice la estrategia dicha con anterioridad, hasta que no hayan pasado los veinte minutos
el profesor no intervendrá en el proceso de la resolución del problema. Ya pasado este
tiempo, el maestro será el guía para lograr que todos los alumnos obtengan una solución
del problema. Con los problemas no rutinarios, el principal método de evaluación es la
observación directa centrándose en las actitudes mostradas por los alumnos. En este caso,
también se premiará a los alumnos que se consigan resolver el problema ya que, en la
última parte de esta actividad el maestro hace de guía.
Problema: La carga del camión.
Curso: 4 primaria.
Nº de alumnos: 24
Organización de la clase: Individual.
Temporalización: 20 minutos trabajo autónomo. 10 minutos trabajo con el
profesor de guía. Tiempo total: 30 minutos.
Estándares de aprendizaje: Utilizar las estrategias para llegar a una solución del
problema.
Mostrar una actitud receptiva para adquirir un
aprendizaje significativo.
Estrategias a utilizar: Ensayo – error.
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Función del maestro: Observador durante la primera parte del problema, en la
segunda parte guía para hallar una solución del problema.
Material: Problema y borrador por alumno.
Evaluación: o Observación directa.
o Logra resolver el problema.
o Se esfuerza durante la resolución del problema.
El problema está acompañado de un dibujo y el enunciado es el siguiente:
Busca dos soluciones distintas para este problema. ¿Cuántos sacos de cada
tipo podrá transportar este camión?
Para resolver este problema, se pone en práctica la estrategia ensayo – error. Como
se ha comentado con anterioridad, los alumnos trabajarán individualmente. La
metodología de ensayo – error consisten en ir probando y realizando diferentes
operaciones que acerquen a la solución del problema. Por lo que, se deben hacer varios
ensayos, reflexionar sobre estos y finalmente llegar a una conclusión.
Datos del problema: cargar camión hasta llegar a 680 kg. Sacos de 50 kg, 25 kg y
10 kg. Se debe llenar el camión con al menos un saco de los diferentes pesos. Se debe
llegar a dos soluciones.
Estrategia a emplear: ensayo – error.
1º Ensayo:
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De 50 kg 12 sacos = 50 * 12 = 600 kg
De 25 kg 3 sacos = 25 * 3 = 75 kg
De 10 kg 1 saco = 10 * 1 = 10 kg
Total 600 kg + 75 kg + 10 kg = 685 kg Error
2º Ensayo:
De 50 kg 10 sacos = 50 * 10 = 500 kg
De 25 kg 7 sacos = 25 * 7 = 175 kg
De 10 kg 1 saco = 10 * 1 = 10 kg
Total 500 kg + 175 kg + 10 kg = 658 kg Error
Después de realizar estos dos ensayos, se puede observar que los sacos de 25 kg
deben ser un número par, ya que, si no el número total acaba en 5 y no es posible llegar a
los 680 kg que el problema requiere.
3º Ensayo:
De 50 kg 12 sacos = 50 * 12 = 600 kg
De 25 kg 2 sacos = 25 * 2 = 50 kg
De 10 kg 3 sacos = 10 * 3 = 30 kg
Total 600 kg + 50 kg + 30 kg = 680 kg Acierto
4º Ensayo:
De 50 kg 10 sacos = 50 * 10 = 500 kg
De 25 kg 2 sacos = 25 * 6 = 150 kg
De 10 kg 3 sacos = 10 * 3 = 30 kg
Total 500 kg + 150 kg + 30 kg = 680 kg Acierto
Al finalizar el problema, teniendo en cuenta la cuarta fase del método de Pólya,
mirar hacia atrás, se puede reflexionar llegando a la conclusión de que hay varias maneras
de llegar a la solución de un problema y en este caso obteniendo dos de varias soluciones
posibles.
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5.2.2 Problemas rutinarios.
A continuación se desarrollarán seis problemas rutinarios con sus explicaciones y
se recomendará la aplicación de diferentes estrategias.
1. Paquetes de arroz.
Este problema se halla en el libro de Matemáticas de tercero de primaria de la editorial
SM, más concretamente en el libro del segundo trimestre ubicado en el tema de “Practicar
la división”. La clase consta de 22 alumnos de los cuales 12 son chicos y 10 son chicas.
En esta sesión los alumnos se agruparan en parejas para resolver el problema, añadiremos
una dificultad al problema. En este tema se práctica la división por lo que una manera de
resolverlo es dividiendo pero se pedirá a los alumnos que lo resuelvan de dos maneras
diferentes por lo que también se deberá resolver realizando la operación opuesta a la
división, la multiplicación. Al tratarse de un problema rutinario que no presenta gran
dificultad se les proporcionará a las parejas 15 minutos. Cada alumno deberá escribir la
solución en su cuaderno, ya que es una actividad realizada en clase y el cuaderno se deberá
presentar al final del tema con todas actividades corregidas. Una resolución es directa
realizando la división y para resolverlo de otra manera, se les recomendará a los alumnos
la estrategia de ensayo – error. Como están organizados en parejas, en caso de dudas o
bloqueos los deberán resolverlo entre ellos mismos.
Problema: Paquetes de arroz.
Curso: 3º primaria.
Nº de alumnos: 22
Organización de la clase: Parejas.
Temporalización: 15 minutos.
Estándares de aprendizaje: Resolver problemas realizando operaciones con
números naturales.
Trabajar cooperativamente con mi compañero.
Estrategias a utilizar: Ensayo – error.
Función del maestro: Observar la relación entre las parejas, guiar en caso de
bloqueo y cuando transcurran los quince minutos
corregir el problema en la pizarra. La corrección la
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pueden realizar los propios alumnos así pueden aprender
a través de sus propios errores.
Material: Libro y cuaderno.
Evaluación: o Observación directa.
o Logra resolver el problema realizando las
operaciones correspondientes adecuadamente.
o Sabe trabajar en pareja.
El enunciado del problema es el siguiente y está acompañado por esta imagen:
¿Cuántos paquetes de arroz de 2 kg se pueden llenar con 642 kg de arroz?
La primera forma de resolverlo como se ha comentado con anterioridad es de
manera directa a través de una división.
642 / 2 = 321 Solución: Se pueden llenar 321 paquetes de 2 kg de arroz.
La segunda manera de encontrar la solución es algo más compleja y se ha
recomendado a los alumnos a emplear la estrategia de ensayo – error.
1º ensayo: 100 (paquetes) * 2 = 200 kg Error
2º ensayo: 350 (paquetes) * 2 = 700 kg Error
3º ensayo: 320 (paquetes) * 2 = 640 kg Error
4º ensayo: 321 (paquetes) * 2 = 642 kg Acierto
Solución: Se pueden llenar 321 paquetes de 2 kg de arroz.
2. Camino de Santiago.
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Este problema se encuentra en el libro de Matemáticas de tercero de primaria de la
editorial SM, más concretamente en el libro del primer trimestre ubicado en el tema 3;
“Multiplicar”. La clase consta de 22 alumnos de los cuales 12 son chicos y 10 son chicas.
En esta sesión los alumnos se organizarán de manera individual ya que se trata de un
problema de dificultad media que cada alumno puede resolver autónomamente. Se les
proporcionará hasta 15 minutos para que resuelvan el problema. Como característica, en
esta ocasión deberán ir marcando los pasos de Pólya en su resolución. Al tratarse de un
problema del libro, se deberá de realizar en el cuaderno y presentarlo al final de la unidad
con el resto de actividades. Se recomendará a los alumnos que utilicen la estrategia de
realizar un dibujo para ayudarles a comprender correctamente el enunciado como también
a diferenciar que operaciones se deben realizar. El maestro se encargará de guiar a los
alumnos que se queden bloqueados y no sepan cómo continuar. La ayuda del maestro será
la de recalcar la estrategia a utilizar llegando incluso a ayudarles a realizar el dibujo pero
siempre en todo momento es el alumno el que debe hallar la solución, ya que es el
responsable de su propio aprendizaje.
Problema: Camino de Santiago.
Curso: 3 primaria.
Nº de alumnos: 24
Organización de la clase: Individual.
Temporalización: 15 minutos.
Estándares de aprendizaje: Resolver problemas realizando más de una
operación con números naturales.
Progresa en la reflexión sobre el proceso
aplicado a la resolución de problemas
interpretando las soluciones del contexto.
Estrategias a utilizar: Realizar un dibujo.
Función del maestro: Observar y guiar a aquellos alumnos que se queden
rezagados o se bloqueen resolviendo el problema.
Material: Libro y cuaderno.
Evaluación: o Observación directa.
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o Logra resolver el problema.
o Reconoce los pasos de Pólya y se apoya en ellos
para encontrar una solución al problema.
Dos familias recorren un tramo de 425 km del Camino de Santiago. A la
primera familia le quedan por caminar 275 km y la segunda familia ya ha
caminado 340 km. ¿Qué distancia separa a las dos familias?
Para resolver este problema se ha pedido a los alumnos que sigan los cuatros pasos de
George Pólya.
Entender el problema: para lograr el primer paso y comprender adecuadamente
el problema, se resaltarán los datos más importantes y la cuestión del problema.
Datos: Camino de Santiago total 425 km. Dos familias lo recorren. Primera familia le
quedan por caminar 275 km. Segunda familia ha caminado 340 km. Cuestión a resolver;
separación entre ambas familias. La dificultad del problema radica en reconocer donde se
sitúan ambas familias para saber cuántos km las separan.
Configurar un plan: después de haber entendido el problema y su dificultad, es
tiempo para configurar una estrategia o plan. Se debe tener claro dónde se encuentran
las familias para llegar a una solución lógica del problema, por lo tanto, se recomienda
a los alumnos que se ayuden de la realización de un dibujo para llegar a la solución.
1º familia le quedan por caminar 275 km. Por lo tanto, 425 – 275 = 150 km. Ha recorrido
150 km y está situada en el punto A.
2º familia ha caminado 340 km. Está situada en el punto B.
Con la ayuda del dibujo se puede apreciar dónde se encuentran las familias y la distancia
que las separan. Para conocer cuántos kilómetros están separadas, se deberá realizar una
resta.
Inicio Fin. Santiago
Distancia total: 425 km
A (150 km) B (340 km)
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Ejecutar el plan: con la ayuda del dibujo se puede resolver el problema.
340 – 150 = 190 km.
Solución: 190 km separan a las dos familias.
Mirar hacia atrás: el último de los pasos de Pólya consiste en revisar la solución
mirando hacia atrás. Enseguida se puede comprobar que el resultado tiene sentido y más
con la ayuda del dibujo.
3. Churros con chocolate.
Este problema se halla en el libro de Matemáticas del primer trimestre, en el tema 3
“Multiplicar”. La clase consta de 20 alumnos distribuidos en 5 grupos de 4, de los cuales
11 son chicas y 9 son chicos. En esta sesión se pretenderá fomentar el trabajo en equipo
y el compañerismo, por lo que cada grupo resolverá el problema y después lo deberá de
exponer en la pizarra al resto de compañeros y profesor. En la sesión se resolverán varios
problemas por lo que deberán presentar la solución todos los grupos. Con el objetivo de
que los alumnos adquieran las cuatro fases de Pólya, se les pedirá a los alumnos que vayan
resolviendo el problema siguiendo estas pautas. Se les proporcionará un tiempo de 15
minutos para este problema ya que no presenta gran dificultad. Además de la exposición
oral, deberán presentarlo en el cuaderno con el resto de actividades del tema. Para la
resolución de este problema, se les recomendará a los alumnos que emplean la estrategia
de buscar un patrón. El maestro se encargará de resolver posibles dudas que aparezcan
durante la resolución de este, pero siempre en un primer lugar está el grupo y el resto de
compañeros para resolver dicha duda. Si después de consultar con todos los compañeros
del grupo prosigue la duda, sí que será el profesor él que la resuelva.
Problema: Churros con chocolate.
Curso: 3 primaria.
Nº de alumnos: 20
Organización de la clase: Grupos de 4.
Temporalización: 15 minutos.
Estándares de aprendizaje: Resolver problemas realizando más de una
operación con números naturales.
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Progresa en la reflexión sobre el proceso
aplicado a la resolución de problemas
interpretando las soluciones del contexto.
Estrategias a utilizar: Buscar un patrón.
Función del maestro: Resolver dudas o bloqueos de los grupos de alumnos.
Material: Libro y cuaderno.
Evaluación: o Observación directa.
o Logra resolver el problema.
o Reconoce los pasos de Pólya y se apoya en ellos
para encontrar una solución al problema.
En una churrería sirven 6 churros por ración. Si tiene 8 mesas y en cada
una hay 4 personas que toman churros, ¿cuántos churros consumen en total?
Para resolver este problema se ha pedido a los alumnos que sigan los cuatros pasos de
George Pólya.
Entender el problema: la estrategia que se ha recomendado a los alumnos
empieza desde la primera fase. Para entender correctamente el problema se leerá hasta
que tengamos claro la situación. En este caso la estrategia de realizar un dibujo o esquema
también puede resultar útil. Después de esto, se buscará patrones que proporcionen
información del problema. Se pueden observar palabras claves como 6 churros por ración
y 8 mesas y en cada una. Estas palabras indican que la operación que se debe realizar es
una multiplicación.
Configurar un plan: el segundo paso consiste en realizar una estrategia o plan.
Para terminar de aclarar el problema se extraerán los datos más importantes, ya que la
operación a realizar se tiene decidida.
Datos: 8 mesas. En cada mesa 4 personas toman churros. Por cada ración se sirven 6
churros. ¿Cuántos churros se sirven?
Ejecutar el plan: este paso consiste en realizar las operaciones que hemos ido
planeando.
8 * 4 * 6 = 192 Solución: Se han servido 192 churros.
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Mirar hacia atrás: el último paso consiste en reflexionar sobre la solución y
encontrar si tiene sentido. En un primer lugar, se puede entender que son muchos churros
e igual es incorrecto. Pero rápidamente, se aprecia que hay 32 personas comiendo churros
y si cada persona come 6 churros, el resultado obtenido es el correcto.
4. Cristina y su madre.
Este problema se ha obtenido del libro de Matemáticas, se encuentra en el tema 2 “Sumar
y restar”. En la clase se encuentran 25 alumnos, de los cuales 15 son chicas y 10 son
chicos. Se hallan distribuidos en filas 5 y columnas de 5 e individualmente. Trabajaran
de manera autónoma para resolver este problema y dispondrán de 10 minutos para lograr
la solución. Los alumnos deberán resolverlo en su cuaderno, cuando hayan transcurrido
los 10 minutos, los discentes expondrán su solución al resto de compañeros. Solo se
expondrá una vez la solución correcta, ya que muchos alumnos la encontrarán realizando
las mismas operaciones. Pero también se expondrá otras soluciones incorrecta, para que
los alumnos aprendan y reflexionan sobre sus errores. El papel de maestro será de mero
observador y dejará que los alumnos trabajen autónomamente. Se les recomendará a los
alumnos que antes de empezar a resolver este problema resuelvan otro similar con datos
más fáciles.
Problema: Cristina y su madre.
Curso: 3 primaria.
Nº de alumnos: 25.
Organización de la clase: Individual.
Temporalización: 10 minutos.
Estándares de aprendizaje: Calcula restas con números naturales.
Progresa en el análisis y comprensión del
enunciado de los problemas.
Estrategias a utilizar: Resolver problema más simple.
Función del maestro: Observador.
Material: Libro y cuaderno.
Evaluación: o Observación directa.
o Logra resolver el problema.
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A Cristina le faltan 54 cm para ser tan alta como su madre que mide 172. ¿Cuánto
mide Cristina?
Para encontrar la solución de este problema se empleará la estrategia de resolver un
problema más simple.
Datos: madre 172 cm. Cristina le faltan 54 cm.
Si la madre midiese 17 cm y a Cristina le faltarían 7 cm para ser como su madre, restando
17 – 7 = 10 cm mediría Cristina.
Por lo tanto 172 – 54 = 118 Solución: 118 cm mide Cristina.
5. El reloj.
Este problema está extraído del libro de Matemáticas del tema 8 “El dinero y el tiempo”.
Como en el problema anterior, la clase consta de 25 alumnos distribuidos uniformemente
en filas y columnas de 5. Se trabajará individualmente durante 10 minutos. Los alumnos
explicaran como han llegado a la solución, también lo expondrán aquellos alumnos que
no han llegado a la solución para aprender a través del error o para saber dónde se han
bloqueado. El papel de maestro será de mero observador y dejará que los alumnos trabajen
autónomamente. Se les recomendará a los alumnos que empleen la estrategia de
resolverlo hacia atrás.
Problema: El reloj.
Curso: 3 primaria.
Nº de alumnos: 25.
Organización de la clase: Individual.
Temporalización: 10 minutos.
Estándares de aprendizaje: Resuelve problemas sencillos de la vida diaria
utilizando las medidas temporales.
Estrategias a utilizar: Resolver hacia atrás.
Función del maestro: Observador.
Material: Libro y cuaderno.
Evaluación: o Observación directa.
o Logra resolver el problema.
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Marta ve las 19:30 en su reloj al salir del dentista. Si entró a las 5 de la tarde,
¿cuánto tiempo ha pasado en la consulta?
La dificultad del problema reside en diferencias las horas digitales y analógicas. El
alumno debe reconocer que las 5 de la tarde, en un reloj digital son las 17:00. Realizando
está transformación se puede continuar con el problema. Se empleará la estrategia de
resolver hacia atrás, por lo tanto son las 19:30 si el reloj se desplaza hacia atrás dos
horas son las 17:30. Aún no se llega a las 17:00, por lo que se debe moverse 30 minutos
más el tiempo.
Solución: ha transcurrido 2 horas y 30 minutos.
6. Los cubos
Este último problema también está obtenido del libro de Matemáticas del tercer curso de
la editorial SM, más concretamente se encuentra en el libro del tercer trimestre en el tema
12 “Cuerpos geométricos”. En la clase se encuentran 20 alumnos organizados en 5 grupos
de 4 personas. Para la realización de este problema, se les recomendará a los alumnos que
utilicen la estrategia de imaginar el problema resuelto, para ello se pueden apoyar en un
dibujo. Durante la realización del problema se pretenderá que los alumnos trabajen en
grupos cooperativamente, además de desarrollar su perspectiva espacial con cuerpos
geométricos. Los discentes dispondrán de 12 minutos para resolver el problema, cada
grupo deberá dar una solución y exponerla al resto de compañeros. El papel del maestro
será de observador, ya que los alumnos deben ser responsables de su proprio aprendizaje.
Al estar distribuidos en grupos, los bloqueos o dudas deberán resolverlos entre ellos.
Problema: Los cubos.
Curso: 3 primaria.
Nº de alumnos: 20.
Organización de la clase: Grupos de 4 alumnos.
Temporalización: 12 minutos.
Estándares de aprendizaje: Calcular el cubo de un número utilizando el
concepto de potencia.
Halla el cubo de un número a partir de su
representación gráfica.
Estrategias a utilizar: Imaginar problema resuelto.
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Función del maestro: Observador.
Material: Libro y cuaderno.
Evaluación: o Observación directa.
o Logra resolver el problema.
El equipo de Eneko ha hecho un cubo con 3 cubitos en cada arista. ¿Cuál de estas
figuras es? ¿Cuántos cubos ha utilizado el equipo de Eneko?
Al tener 3 cubitos en cada arista se trata del cubo A. Para saber de cuántos cubitos está
formado se debe elevar al cubo el número de cubitos que hay en cada arista.
Por lo tanto 33 = 3 * 3 * 3 = 27 Solución: el equipo de Eneko ha
utilizado 27 cubitos.
40
41
6. Resolución de problemas y aprendizaje emocional
Los alumnos y la gente en general se guían por sus sentimientos; esto sucede también en
las clases de matemáticas. Durante las sesiones de esta asignatura, los niños tienen
numerosas emociones, algunas positivas y otras negativas. Esto se puede apreciar en el
libro de Gilbert [G], es importante conocerlas para potenciar las positivas y transformar
las negativas en buenas sensaciones. Dentro de las emociones negativas se encuentran la
apatía, el aburrimiento, el desánimo, etc. estas sensaciones se transforman en positiva a
través de la motivación del alumno que se explicará a continuación. Por otro lado,
sensaciones negativas que se deben tener en cuenta son bloqueos de los alumnos, miedo
a superar los problemas y temor al fracaso. Estas sensaciones se deben de eliminar, para
ello hay que evitar críticas hacia los alumnos que las generen. El maestro se debe apoyar
en el refuerzo positivo y en las alabanzas cuando un discente logra superar un bloqueo.
Otro método importante, es el aprendizaje a través del error. Corregir a un alumno no es
sinónimo de criticar, si no que el alumno debe reflexionar y aprender de sus errores para
no volver a cometerlos. Por último, para impedir ese miedo al fracaso, se debe evitar
cualquier comparación entre alumnos, los compañeros deben servir de ayuda en
momentos de bloqueos. Esto con una comunicación amistosa del profesor debe servir
para eliminar estas sensaciones negativas de bloqueos y miedos.
En otro plano, se encuentran las sensaciones positivas que se focalizan en la motivación
del alumno. Esta sensación es primordial que la posean todos los alumnos, ya que gracias
a esta se producirá un aprendizaje significativo en el alumno. Un niño motivado puede
superar cualquier obstáculo que se le ponga, cualquier problema o ejercicio y si no es
capaz de superarlo aprenderá de su error. Hay diferentes maneras de motivar a los
alumnos:
1. Problemas no rutinarios: la realización de problemas que no son comunes para
ellos. Resolver estos problemas les supone realizar un esfuerzo extra, mantener la
concentración y en algunas ocasiones trabajar en equipo. La satisfacción personal y la
felicidad que les proporciona resolverlos es una manera de motivar a los alumnos. Estos
problemas suelen presentar un alto grado de dificultad, por lo que es interesante que se
asocien con refuerzos positivos. Es decir, después de resolver un problema no rutinario
premiar a los alumnos con una actividad que les guste o con una experiencia (visionado
de una canción, realización de un dibujo, etc.).
42
2. Organización del aula: una buena distribución de los alumnos puede causar en
estos una sensación positiva de motivación. Para ello, el trabajo en grupos o parejas puede
propiciar a los alumnos buenas emociones. El poder resolver dudas a sus compañeros o
trabajar cooperativamente para encontrar la solución a un problema.
3. Refuerzos positivos: tener una comunicación amistosa con el alumno, alabarlo
cuando supere un problema o bloqueo. Esto proporciona a los alumnos seguridad en sí
mismo.
4. Retar a los alumnos: no funciona en todos los alumnos, pero en aquellos que se
involucren en el reto supondrá un aprendizaje significativo y una gran motivación.
Algunos ejemplos de retos pueden ser: “realiza la división o multiplicación más larga
que puedas”, “¿cuántos segundos has vivido?”, “divide un folio por la mitad tantas
veces como puedas, ¿qué fracción representa cada porción?”, etc.
5. Transformar un problema: por último, se pueden transformar problemas para
que los alumnos se sientan más protagonistas y se involucren más en él. A continuación
se transformará un problema sencillo:
En un partido de baloncesto se anotaron 15 triples y 21 canastas de dos puntos.
¿Cuántos puntos anotó ese equipo?
Transformación:
En el partido que disputó este sábado el equipo del colegio “Corazonistas” se
anotaron varias canastas. Entre Carla e Irene anotaron 15 triples, el resto de compañeros
anotó 21 canastas de dos puntos. Además Carmen anotó 12 tiros libres. Si el otro equipo
anotó 93 puntos, ¿se consiguió ganar el partido?
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7. Conclusiones:
Durante la realización de este trabajo, he podido analizar y reflexionar sobre las diferentes
maneras de trabajar los problemas matemáticas en el aula. En primer lugar, me gustaría
destacar a George Pólya: en torno a sus aportaciones está enfocado este trabajo. Es
importante que los alumnos se acostumbren a seguir las cuatro fases que propone en su
libro [GP]. Si se logra que los niños adquieran estos buenos hábitos, a lo largo de su
formación les será más asequible resolver problemas. Para ello pueden apoyarse en el
esquema con los cuatro pasos de Pólya. Otro autor en el que me he apoyado para realizar
este trabajo ha sido Piaget. Se debe reconocer en el alumno las diferentes etapas que
propone Piaget para saber su nivel cognoscitivo y su capacidad mental para resolver
problemas más complejos. Teniendo en cuanto a estos dos autores y sabiendo que cada
alumno es único, se puede lograr un mayor aprendizaje a través de la resolución de
problemas.
Otro apartado fundamental en este trabajo es la explicación de las diferentes estrategias
para resolver problemas. Se debe tener claro, que cualquier estrategia puede ayudar al
alumno en un momento determinado. Pero hay destrezas que son más afines a emplearse
en determinados contenidos. Por ejemplo, si el alumno se halla en el bloque de los
números, las estrategias que mejor pueden adaptarse al problema son ensayo – error o
resolver un problema similar pero más sencillo. Si el alumno se encuentra en el bloque
de geometría, una estrategia muy eficaz es realizar dibujos o poder manipular las figuras.
Estas estrategias son de utilidad para resolver problemas, pero en un primer lugar es
conveniente realizar ejercicios para afianzar conceptos. Durante el trabajo, se ha
diferenciado entre problema y ejercicio. En mi opinión, la metodología heurística es la
más adecuada para trabajar en la asignatura de Matemáticas. Los ejercicios prácticas
conseguirán que el aprendizaje en los alumnos sea más significativo. Para eso, en primer
lugar, después de explicar nuevos contenidos o repasar conceptos conviene realizar
ejercicios de mecanización para que los alumnos adquieran estos contenidos. A
continuación, en mi opinión, lo ideal es trabajar estos conocimientos a través de la
resolución de problemas. Por último, las matemáticas manipulativas lograran un mayor
desarrollo en las habilidades matemáticas de los alumnos.
Para concluir me gustaría recalcar la importancia de las sensaciones de los alumnos. Es
importante que asocien la asignatura de matemáticas con emociones positivas, por eso en
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este trabajo se incluyen varios problemas no rutinarios que al resolverlos producen
sensaciones positivas como felicidad, orgullo o satisfacción en los alumnos. De esta
manera, se evitará los miedos o bloqueos que se pueden producir al intentar resolver
problemas matemáticos.
Por último, a nivel personal este trabajo me ha sido de gran ayuda ampliando mis
conocimientos matemáticos. He aprendido otro método de enseñar matemáticas a través
de la resolución de problemas, como también la importancia de las sensaciones y
emociones de los alumnos.
45
8. Bibliografía.
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pp. 11-20.
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[JF] Fernández, J.A. (2006). Algo sobre resolución de problemas matemáticos en
Educación Primaria. Sigma, 29, 29 - 42.
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Manual de orientación para elaboración, tutorización y evaluación del trabajo fin de
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[G] Gilbert, I. (2005). Motivación para aprender en el aula. Las siete claves de la
motivación escolar. Barcelona, Buenos Aires/ México. Paidós Educator.
[K] KRULIK S y RUDNICK K, 1980. Problem solving in school mathematics. National council of teachers of mathematics; Year Book. Reston: Virginia.
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México: Longman, S.A.
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[GP] Pólya, G. (1965). Cómo plantear y resolver problemas. Princeton: Trillas.