Desarrollo Clase 10

Cuenca, 16 de octubre de 2013

CUADRILÁTEROS

Definición: Cuadrilátero es un polígono de 4 lados

Elementos: 4 lados, 4 vértices, 4 ángulos internos y 2 diagonales.  Además, la suma de todos sus ángulos interiores es de 360º.

Los Cuadriláteros pueden ser cóncavos o convexos, dependiendo cuánto midan sus ángulos interiores.

Un cuadrilátero es convexo si todos sus ángulos interiores son menores a 180° (mira la figura de abajo). También puedes darte cuenta si es convexo, cuando al trazar una recta sobre él, la recta lo cortó a lo más en dos lados.

Un cuadrilátero es cóncavo, si uno de sus ángulos interiores mide más de 180°. También puedes darte cuenta si es cóncavo, cuando al trazar una recta sobre él, la recta lo corta en más de dos lados.

Clasificación de los Cuadriláteros de acuerdo al paralelismo de sus lados, podemos clasificar los cuadriláteros en:

Paralelogramos (romboide): tienen dos pares de lados paralelos. Trapecios: tienen un par de lados paralelos. Trapezoides: son los cuadriláteros que no tienen lados paralelos. Es el cuadrilátero más

general.

En los paralelogramos llamamos bases a cualquiera de dos lados paralelos, en el trapecio se denomina bases al par de lados paralelos.

Altura de un paralelogramo o trapecio es el segmento de perpendicular comprendida entre las bases.

Dentro de los trapecios se puede distinguir los subconjuntos de trapecios isósceles y trapecios rectángulos.

Propiedades de los paralelogramos (demostrar)

TEOREMAEn todo paralelogramo cada lado es igual a su opuesto.

Dato o hipótesis: - AB paralelo DC

- AD paralelo BC

Tesis a demostrar : - AB= DC

- AD = BC

Corolario : cada diagonal divide al paralelogramo en dos triángulos iguales.

TEOREMA

Los ángulos apuesto de un paralelogramo son iguales y los adyacentes a un mismo lado suplementarios.

Dato o hipótesis: - AB paralelo DC

- AD paralelo BC

Tesis a demostrar : - <A= <C; <B= <D

- <A+ <D= 180°

TEOREMA

Las diagonales de un paralelogramo se dividen mutuamente en partes iguales.

Dato o hipótesis: - ABCD paralelogramo

- AC y DB diagonales que se cortan en O

Tesis a demostrar: - AO = OC

- BO = OD

Aplicaciones: La recta que une los puntos medios de los lados no paralelos de un trapecio es

igual a la semisuma de las bases.

Determinar el valor de la diagonal de un cuadrado en función de su lado.

Perímetro y área de un cuadrilátero:

Perímetro: suma de las longitudes de sus cuatro lados.

Área: entendiendo por superficie, en una región limitada, como el conjunto de todos los puntos del plano encerrados por una figura geométrica plana. El área es la medida de tal superficie en función de una unidad de superficie. Por lo general la unidad de superficie es la correspondiente a un la de un cuadrado que tiene una unidad de longitud por lado.

Figuras equivalentes: se dice que dos figuras geométricas son equivalentes si tienen igual medida de superficie, es evidente que los figuras geométricas iguales son equivalentes, pero no dos figuras equivalentes serán siempre iguales.

Ejemplo de figuras equivalentes.

TEOREMA

El área de un rectángulo es igual al producto de la base por la altura.

Datos o hipótesis:

R rectángulo base b y altura a

Tesis a demostrar :

- area de R = a * b

TEOREMA

El área de un paralelogramo es igual al producto de la base por la altura.

Datos o hipótesis :

- AC paralelogramo de base b y altura a

Tesis a demostrar :

- área de AC = a * b

Corolario : dos paralelogramos son cuyas base y alturas son iguales son equivalentes.

TEOREMA

El área de un triángulo es igual al producto de la base por la altura, dividido en dos.

Datos o hipótesis:

ABC triángulo de base b y altura a

Tesis a demostrar :

- area de AC = ½ (a * b)

Corolario 1 : todos los triángulos cuyas base y alturas son iguales son equivalentes.

Corolario 2: El producto de los catetos de un triángulo rectángulo es igual al producto de la hipotenusa por la perpendicular bajada a ella del vértice del ángulo recto.

Triángulo rectángulo

 

Área del triángulo rectángulo =

TEOREMA

El área de un trapecio es igual a la mitad del producto de la altura por la suma de las bases.

Datos o hipótesis :

ABCD trapecio de bases b y b´

Tesis a demostrar :

- área de AC = ½ a *( b+ b´)

Corolario: El área de un trapecio es igual al producto de la altura por la recta que une los puntos medios de los lados no paralelos.

Area de un polígono cualquiera: El área de un polígono cualquiera puede calcularse fácilmente descomponiendo en figuras de área conocida

 

 

Área de (ABCD) =

  Área de (ABCD) =

Aplicaciones:

Demostrar que las bisectrices de dos ángulos opuestos en un cuadrilátero cualquiera forman un ángulo que es igual a la semisuma de los otros dos ángulos.

Encontrar el área de cuadrilátero ABCD

Los vértices A;B;C y D forman un cuadrado, sobre los lados DC y AD se construyen triángulos equiláteros AFD y DEC respectivamente, calcular el área del triángulo FDE.

En el grafico se tiene MN // AB , MN= 3cm., y AB= 5cm determinar la razón entre las áreas del cuadrilátero ABNM y el Triangulo ABC.

TAREA

Una zona boscosa tiene forma de trapecio, cuyas bases miden 128 m y 92 m. La anchura de la zona mide 40 m. Se construye un paseo de 4 m de ancho perpendicular a las dos bases. Calcula el área de la zona arbolada que queda.

Un jardín rectangular tiene por dimensiones 30 m y 20 m. El jardín está atravesado por dos caminos perpendiculares que forman una cruz. Uno tiene un ancho de 8 dm y el otro 7 dm. Calcula el área del jardín.

Dados los cuatro dados de un cuadrilátero y una de sus diagonales, calculara la otra diagonal: a= 5 cm., b=7cm., c=6cm., d=8cm., y la diagonal 8cm.

Demostrar que el área de un paralelogramo es igual al producto de dos lados no paralelos por el seno del ángulo comprendido.

Si SPQR es un cuadrado, y PQT es un triángulo equilátero, cuanto mide el ángulo STR.

ABCD  y  EFGD son cuadrados. Entonces  <x =

Calcula el área total del siguiente mosaico, donde el mismo está constituido por uno o más triángulos como el dado en la figura. Observe que debe calcular el área total y no solo la parte sombreada.

Sobre los bordes de una hexágono regular de 1 metro de lado se levantan rectángulos de b metros de alto, luego se unen los vértices próximos de los rectángulos con arcos trazados desde los vértices del hexágono como centros, determinar el área total sombreada

Sea ABC un triángulo rectángulo en B, BM mediana, BC = a, AC = 2a, CE // △BM, BE // AC. Calcular las siguientes áreas: A[BMCE], A[ AMB], A[ ABC].△ △