desarrollar un trabajo matemático completo y coherente según el...

El trabajo matemático : un tema crucialHacia el modelo de los ETM

Trabajo matemático completo y coherentePerspectivas

Desarrollar un trabajo matemático completo ycoherente según el modelo de los Espacios

de Trabajo Matemático

Alain Kuzniak

Laboratoire de Didactique André RevuzUniversité Paris Diderot

France

Alain Kuzniak Trabajo Matemático y Espacio de Trabajo Matemático



El trabajo matemático como tema crucial en didáctica de lasmatemáticas

Hacia el modelo de los Espacios de Trabajo Matemático : elmodelo de los ETM y su diagrama

Trabajo matemático completo y coherenteUna tarea en probabilidad¿Como asegurar la coherencia ? En busca de losparadigmas

Perspectivas




Desarrollo de la enseñanza de las matemáticas einvestigación en didáctica de las matemáticas

En un contexto específico y en movimiento

1. Una tensión entre un enfoque utilitario dominante y unavisión idealista

2. Utilizar nuevas herramientas tecnológicas que cambien losmétodos de descubrimiento y de prueba

3. Hacia una nueva “alfabetización matemática” revisitandolas relaciones con la Verdad y la Prueba entre losciudadanos




Origen y finalidad de nuestros investigaciones

Elaborar un marco teórico

1. Para estudiar la enseñanza y el aprendizaje de lasmatemáticas en la escolaridad obligatoria y también en laformación de los profesores inicialmente en geometría.

2. Permitir comparar la enseñanza de las matemáticas endiferentes instituciones o países.

3. Centrado en el “trabajo matemático” visto como central.




El trabajo matemático visto como un tema crucial deestudio

Qué son las matemáticas ? Ideas de FreudenthalWhat is mathematics ? Of course you know that mathematics isan activity because you are active mathematicians. It is anactivity of solving problems, of looking for problems, but it isalso an activity of organizing a subject matter. ESM 3 - 1971

La concepción recusiva de ThurstonLas matemáticas incluyen los números enteros y la geometríade las figuras y de los sólidosLas matemáticas son lo que los matemáticos estudianLos matemáticos son esos ser humanos que profundizan elentendimiento humano de las matemáticas.




Trabajo, actividad y enseñanza de las matemáticasTrabajo y actividad : Habermas 1968

I Por trabajo o actividad racional relacionada con un fin, oigoo una actividad instrumental, o una elección racional, obien una combinación de ambos.Esto incluye modos de acción basados en la elecciónracional de medios eficientes, es decir, formas de accióninstrumental y estratégica

I Habermas distinguía entre dos modos de acción, el trabajoy la interacción, que corresponden a intereses duraderosde la especie humana.La segunda se refiere a formas de acción comunicativa enlas que los actores coordinan sus comportamientos sobrela base de normas consensuales.




Actividad matemática y enseñanza de matemáticas

Freudenthal ESM 3 1971Una gran parte de la actividad matemática es la organización.Nos gusta ofrecer los resultados de nuestra actividadmatemática en una forma bien organizada donde ningún rasgotraiciona la actividad por la que fueron creados.Esta objetivación es un hábito de los matemáticos desde lostiempos más antiguos. Es una buena costumbre, y es unamala. El resultado de nuestra actividad en un sistema rígido,porque esto es objetivo, porque es racional, y porque eshermoso, y esto que enseñamos.




Contextos and fases del trabajo matemático

Work context : Reichenbach

1. En un contexto de descubrimiento : intuición,experimentación..

2. En un contexto de justificación : probar, demostrar3. En un contexto de comunicación : comprender, explicar,

presentar...

Fases del trabajo : Giaquinto

1. Hacer el descubrimiento2. Presentar los resultados3. Familiarizarse con los resultados




Espacio de Trabajo Matemático

Un espacio de trabajo matemático (ETM) es un espacioorganizado para favorecer el funcionamiento del trabajomatemático (en un contexto educativo).Basado sobre la articulación de dos niveles fundamentales :

I Un nivel epistemologico relativo a la organizaciónmatematica y a la manera de pensar la tarea

I Un nivel cognitivo relativo a la actividad de un individuo y asu manera de hacer la actividad




El nivel epistemologico

En el caso de la geometría

I Un conjunto de signos, objetos concretos y tangibles ;I un conjunto de artefactos como herramientas de dibujo o

software ;I un sistema teórico de referencia basado en definiciones y

propiedades.




El nivel cognitivo

I Un proceso de visualización relativo a la representacióndel espacio y al soporte material ;

I un proceso de construcción que depende de losinstrumentos utilizados y consfiguraciones geométricas enjuego ;

I un proceso discursivo que produce argumentaciones ypruebas.




Como organizar cada level ?Como articular los dos niveles ?




Varias genesesAmbos niveles, cognitivo y epistemológico, tienen que serarticulados con el fin de garantizar un trabajo geométrico.Este proceso supone algunas transformaciones que es posibleidentificar a través de tres fundamental génesis relacionadoscon nuestro diagrama :

I Una génesis instrumental que hace funcional les artefactos enel proceso constructivo que contribuye al trabajo matemático ;

I Una génesis semiótica basada particularmente en los registrosde representación semiótica, que proporciona un sentido a losobjetos del ETM y les confiere su estatus de objetosmatemáticos operatorios ;

I Una génesis discursiva de la prueba que utiliza las propiedadesen el referencial teórico para ponerlas al servicio delrazonamiento matemático y de una validación noexclusivamente icónica, gráfica o instrumentada.




Una visión general sobre el Espacio de TrabajoGeométrico




Del Espacio de Trabajo Geométrico al Espacio deTrabajo Matemático




Explorar y desarrollar el trabajo matemáticoCirculación entre los planos verticales del modelo [Sem-Dis],[Ins-Dis], [Sem-Ins.




Una tarea en probabilidad¿Como asegurar la coherencia ? En busca de los paradigmas

Trabajo matemático completo

El trabajo matemático es completo cuando existen :1. Una relación genuina entre los planos epistemológico y

cognitivo.Este aspecto significa que los estudiantes son capaces deseleccionar las herramientas útiles para hacer frente a unproblema y luego utilizarlos adecuadamente como instrumentospara resolver la tarea dada.

2. Una articulación de una rica diversidad entre los diferentesgenesis y planos verticales del modelo.Este aspecto significa que se tienen en cuenta variasdimensiones del trabajo relacionadas con herramientas,técnicas y propiedades. Este punto refleja cómo los diferentescontextos de trabajo están involucrados durante la actividad delos estudiantes. Alain Kuzniak Trabajo Matemático y Espacio de Trabajo Matemático




Una tarea en probabilidad

La longitud de un segmentoEn un segmento S, se toman dos puntos A y B al azar. Seconsidera el evento : La longitud del segmento [AB] esestrictamente superior a la mitad del segmento S.¿Cuál es la probabilidad de este evento ? (French CurriculumGrade 9, 2008, p.7)





Análisis a priori en dos etapas

1. Análisis del trabajo matemático con sus diferentesdimensiones y génesis

I Estudio de la circulación del trabajo validación dentro losplanes verticales [Sem-Ins], [Sem-Dis] y [Ins-Dis] delETMProba ;

I Dimensión (semiótica, instrumental, discursiva)privilegiada ;

I Cambio de dominio implicado en la tarea :I Rol respectivo de los profesores y estudiantes en la

perspectiva del trabajo matemático





Análisis a priori en dos etapas

2. Análisis de la coherencia matemática y de la validez enprobabilidad del razonamiento

I La experiencia al azarI El modelo real con sus hipotesisI Los diferentes tipos de modelos probabilísticos (analíticos

o numéricos)I Los tratamientos dans le modelosI El uso de un lenguaje específico





Análisis matemático de la implementación sugerido enel Curriculum

Fase 1. Exploración y descubrimiento del valor de laprobabilidad del evento D.

I Esta fase se divide en tres etapas. Comienza con laconstrucción de un modelo numérico que luego seimplementa en una computadora para calcular lafrecuencia de ocurrencias de D. La probabilidad de D esestimada usando la ley de grandes números. El resultadoestimado es 0.25.

I El trabajo matemático esperado es guiado por la génesisinstrumental con el uso de la hoja de cálculo, comenzandoen el plano [Sem-Ins] y terminando en el plano [Ins-Dis]





Fase 2. Validación teórica de la probabilidad estimadaI La validación se basa en una figura geométrica (un

cuadrado) que da el valor exacto 1/4

I Estudio algebraico de la expresión |x-y|>1/2 que da la areaI El trabajo matemático se encuentra principalmente en el

plano [Sem-Dis] para asegurar esta validación teóricabasada en el cuadrado geométrico como una herramientasemiótica y en técnicas algebraicas.





Un trabajo completo, pero ¿estan las tareaspropuestas ajustadas a los alumnos ?

Podemos concluir que el trabajo es posible y potencialmentecompleto a lo largo de la sesión.





Del ETM idonéo potencial al ETM idonéo real

I La cuestión es saber si el trabajo previsto no esdemasiado difícil para alumnos de Grado 9.

I De hecho, la situación necesita numerosos cambios dedominios (probabilidad, geometría, álgebra)

I Uso de varios modelos, generalmente desconocidos eneste nivel escolar

I Uso de herramientas tecnológicas complejas como hojasde cálculo o técnicas algebraicas no convencionales.

La factibilidad de la situación en una clase regular es realmenteproblemática y nos preguntamos cómo un maestro puede manejarloen las aulas de 9º grado.





L’actividad en una clase de Grado 9

Fase 1. Exploración de la experiencia aleatoria realEn esta primera fase, los veinte alumnos de la clase han hechoun segmento S, con herramientas, de una longitud de 6 cm.

Fase 2. Transformation of the random experiment andconstruction of an experimental solutionEl profesor propone a los alumnos de asimilar la selecciónaleatoria de dos puntos en un segmento a una tirada de dosdados. En esta fase, se trata de realizar la simulación delexperimento aleatorio inicial.





Fase 3. Validación teórica del valor estimado de laprobabilidad

I El profesor dio a los estudiantes una tabla (6 x 6) acompletar.

I Los estudiantes rodearon los 12 casos favorables ycalcularon la probabilidad de D usando la fórmula deLaplace.

I De acuerdo con sus cálculos, el maestro concluyó que laprobabilidad de que el evento D sea igual a 1/3 esrelativamente cercano al valor estimado.





Semejanza de triangulo en el aula Grade 10Construir un triangulo de tal manera que BAC = EDF andABC = DEF

I Que podemos decir sobre ACB y DFEI Con la regla, comparar los lados de los triangulos ; Que

pueden observar ?I Completar el texto : Podemons hacer la conjectura que si

dos triangulos tienen ... entonces sus lados son ...Alain Kuzniak Trabajo Matemático y Espacio de Trabajo Matemático




Semejanza de triangulo en el aula Grade 10

I Que podemos decir sobre ACB y DFEI Con la regla, comparar los lados de los triangulos ; Que

pueden observar ?I Completar el texto : Podemons hacer la conjectura que si

dos triangulos tienen ... entonces sus lados son ...





Semejanza de triangulo en el aulaCon un software

Construir un triangulo de tal manera que BAC = EDF andABC = DEF





El malentendido global o Cuando la mostración es lademostración

I Docente : Hemos demonstrado la propiedad ?I Alumnos : Si, lo hicimos una demostraciónI Docente : No, es demasiado impreciso





La ruptura entre dos enfoques de la geometríaPara el docente

I La construcción es simple y no va a causar problemasI Motivar a la entrada en Geometry II con un primer trabajo

en Geometría I : para motivar la prueba formalI Un dibujo visto como una figura genérica





Una ruptura con el ETG personal de los estudiantesPara ellos

I Para construir con herramientas es complejo y necesita unlargo tiempo

I Debido a la diversidad de los resultados, una grandiversidad de propiedades son elaboradas por los alumnos

I Una figura particular sin generalización supporte deltrabajo





Malentendido y contrato didácticoI El trabajo de construcción realizado por los estudiantes es

ignorado por el profesorI El sofware como fuente de la VerdadI La conjetura como base del acuerdo entre todos.I Prueba experimental y prueba basada sobre axiomas





Circulación and planificación

Circulación and planificación

I Sólo una tarea no permite describir y construir un ETMI La necesidad de articulación y de planificaciónI “Comics” como una herramienta de descripción





Trabajo matemático : completud y coherencia

1. El trabajo matemático puede ser considerado completopero al mismo tiempo es incorrecto al respecto al modeloanterior que no da el mismo resultado.Oposición discreta / continua. Resultados diferentes de unmodelo a otro.

2. Cuando hablamos de un trabajo matemático completo. ¿Aquién concierne ? El maestro, los alumnos, un alumno denivel medio y global al que el profesor se dirige curso.

3. ¿Cuál es la referencia para la coherencia ?





¿Como asegurar la coherencia ?

En busca de los paradigmasCon la noción de paradigmas, Kuhn ha ampliado la idea de unateoría para incluir a los miembros de una comunidad quecomparten una teoría común.Un paradigma es lo que comparten los miembros de unacomunidad científica, y una comunidad científica es compuestade individuos que comparten un paradigma.





La noción de paradigma según Kuhn

Dos facetas de la noción de paradigma

1. La palabra paradigma, en su aspecto global, designa elconjunto de las creencias, técnicas y valores quecomparte un grupo científico.Fija la manera correcta de plantear y de emprender laresolución de un problema.

2. En el segundo sentido, interesando en una perspectiva deenseñanza, Kuhn caracteriza los ejemplos significativos ycomunes que se entregan a los estudiantes para queaprendan a reconocer, a aislar y a distinguir las diferentesentidades constitutivas del paradigma global.





Las tres geometrías elementales

La Geometría I Geometría NaturalLa geometría sobre los objetos reales y confusióncon la realidad

La Geometría II G. axiomática naturalLa geometría como el esquema de la realidad

La Geometría III G. axiomática formalIndependencia de la geometría y de la realidad.





Paradigmas en otros dominios matemáticos

Algunas preguntas de investigación

I En un dominio matemático específico, identificar losparadigmas y / o subparadigmas.

I Cómo extender la noción de paradigma en otros dominioscomo Probabilidad y Análisis : Parzysz (Probabilidad) yMontoya y Vivier (Análisis).

I Extender el significado inicial de paradigmas incluyendointeracciones entre paradigmas

I En un contexto educativo, identificar tareas y actividadesrelacionadas que faciliten la construcción del trabajomatemático.





Trabajo matemático completo y coherente dentro unainstitución

El ETM de referencia, la reorganización esperadaLa vigilancia epistemologica relacionada con unparadigma particular

El ETM idonéo y la pregunta didacticaWhen the general paradigm is accepted and the referenceMWS is built, it remains to teach mathematics to students andfor that it’s necessary to organize a suitable MWS to convey thekind of geometry expected by the educational institution.the Didactic vigilance which articulates epistemological andcognitive vigilances depending on the teacher. Relationshipswith students (individual or global).




Más allá de la identificación : construcción de un MWSEl modelo de ETM y estudio de tareas, ETM4, 2014

I El modelo de los ETM, concebido como la circulación deespacios entre polos en los planos epistemológico ycognitivo, debería ser una herramienta del análisis (a prioritanto como a posteriori).Una herramienta de interpretación y descripción de tareas.

I El modelo debe permitir la implementación y la adaptaciónde las tareas ya construidas pero también debe favorecerla elaboración y “calibración” de nuevas situaciones, o desituaciones que aún deben ser experimentadas.

I Finalmente, también puede apoyar la observación y dartener en cuenta los experimentos ya realizados haciendoel examen más fácil, por ejemplo ayudando a ladescripción del progreso de los alumnos en su trabajomatemático, considerando a los alumnos aislados o engrupos.




Una necesaria articulación con otros marcos teóricosI Teniendo en cuenta el modelo MWSS como una estructura

adaptativa para desarrollar las actividades matemáticas,debemos pensar en las tareas y actividades que dansentido a los ETM.

I Las tareas y las actividades son ciertamente indicativasdel trabajo de los maestros y de los alumnos, pero tambiénson necesarias para asegurar el desarrollo de un trabajomatemático de los alumnos bien construido.

I El diálogo entre el marco ETM y otros marcos teóricos. Dehecho, insistimos en que el marco MWS no pretende seruna teoría holística, sino que debe funcionar como unaherramienta interactuando fuertemente con otrosapproximaciones.




Una breve bibliografía

I Special issue of ZDM-Mathematics Education onMathematical Working Spaces : Number 48-6 - 2016.

I Revista Latinoamericana de Investigación En MatemáticaEducativa, 17.4(I, II). 2014

I Boletim de Educação Matemática – BOLEMA, 30 (54).2016

I Annales de didactique et de sciences cognitives. 2011I ETM symposium proceedings (Cyprus, 2009 ; Paris, 2010 ;

Montréal ; 2012, Madrid ; 2014)




Los symposiums Espacio de Trabajo Matemático :ETM

Bienvenido en Valparaíso, ETM6Deciembre 2018

Responsables : Elizabeth Montoya (PUCV) y Laurent Vivier(Paris-Diderot)


desarrollar un trabajo matemático completo y coherente según el...

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