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Índice

AULA 5 Derivação implícita 3

AULA 6 Aplicações de derivadas 4

AULA 7 Aplicações de derivadas 6

AULA 8 Esboço de gráficos 9



AULA 5

Derivação implícita

A derivação implícita é a última ferramenta no cálculo de derivadas. Até agora trabalhamos sempre com funções onde y está definido como função explícita de x, ou seja, funções que podem ser escritas na forma y = f(x), como

𝑦 = √𝑥3 + 13

𝑜𝑢 𝑦 = 𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥), por exemplo.

Porém, podemos ter funções onde isso não acontece, funções que são definidas implicitamente por uma relação entre x e y,

como 𝑥2 + 𝑦2 = 25 por exemplo. Para derivar

funções assim, não precisamos isolar as variáveis, basta utilizar a deivação implícita. Vejamos como isso acontece com um exemplo.

Se 𝑥2 + 𝑦2 = 25, encontre 𝑑𝑦

𝑑𝑥⁄ .

Temos que encontrar a derivada de y em relação a variável x. Basta derivar os dois lados da igualdade, multiplicando cada derivada por uma fração, onde o numerador e o denominador são dados por:

𝑑(𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑓𝑜𝑖 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎)

𝑑(𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎çã𝑜)

Assim temos:

2𝑥𝑑𝑥

𝑑𝑥+ 2𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 0

2𝑥 + 2𝑦𝑑𝑦

𝑑𝑥= 0

Basta 𝑑𝑦 𝑑𝑥⁄ nessa equação, pois é

exatamente o que buscamos:

2𝑦𝑑𝑦

𝑑𝑥= −2𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

−2𝑥

2𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑥= −

𝑥

𝑦

EXERCÍCIO RESOLVIDO

Encontre 𝑑𝑦

𝑑𝑥⁄ por derivação implícita onde

𝑥2 + 𝑥𝑦 − 𝑦2 = 4

EXERCÍCIOS

1 a 5 - Encontre 𝑑𝑦

𝑑𝑥⁄ por derivação implícita

1) 𝑥3 + 𝑦3 = 1

2) 𝑥2𝑦2 + 𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑦) = 4

3)4 cos(𝑥) 𝑠𝑒𝑛(𝑦) = 1

4) 𝑒𝑥

𝑦⁄ = 𝑥 − 𝑦

5) 𝑒𝑦 cos(𝑥) = 1 + 𝑠𝑒𝑛(𝑥𝑦)

GABARITO

1) 𝑦′ = −𝑥2

𝑦2

2) 𝑦′ = −−2𝑥𝑦2 − 𝑠𝑒𝑛(𝑦)

2𝑥2𝑦 + 𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑦)

3) 𝑦′ = 𝑡𝑔(𝑥)𝑡𝑔(𝑦)

4) 𝑦′ =𝑦(𝑦 − 𝑒

𝑥𝑦⁄ )

𝑦2 − 𝑥𝑒𝑥

𝑦⁄

5) 𝑦′ =𝑒𝑦𝑠𝑒𝑛(x) + ycos(xy)

𝑒𝑦𝑐𝑜𝑠(x) − 𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥𝑦)

ANOTAÇÕES



AULA 6

Aplicações de derivadas Primeira derivada

A partir de agora, vamos aplicar o conceito de derivada na análise de funções.

Inicialmente, veremos como determinar quais os intervalos onde uma função é crescente e quais os intervalos onde ela é decrescente. Quem nos fornecerá essa informação é o sinal da primeira derivada da função.

𝑆𝑒 𝑓′(𝑥) {

> 0, 𝑓 é 𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

< 0, 𝑓 é 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒= 0, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜

Pontos críticos são pontos onde a derivada da função é zero (a reta tangente a função no ponto é totalmente horizontal, paralela ao eixo x) ou não existe. Nesses pontos, e somente neles, a derivada pode mudar de sinal. Entre dois pontos críticos, ou em intervalos que vão

de um ponto crítico até ±∞ a derivada não

muda de sinal, ou seja, a função mantém o comportamento.

Portanto, determinamos primeiro quais são os pontos críticos da função, igualando a primeira derivada a zero, em seguida indicamos os intervalos onde a função é crescente ou decrescente de acordo com o sinal da derivada. Exemplo:

Dada a função 𝑓(𝑥) = −𝑥3 + 6𝑥2 − 9𝑥 + 5, determine onde a função é crescente ou decrescente. Inicialmente derivamos a função:

𝑓′(𝑥) = −3𝑥2 + 12𝑥 − 9

Agora, fazendo 𝑓′(𝑥) = 0, temos:

−3𝑥2 + 12𝑥 − 9 = 0

As raízes da equação, que são os pontos críticos, são 1 e 3. Por fim, basta tomarmos um valor arbitrário em cada intervalo para observarmos o sinal da derivada nesse intervalo. Escolhendo 0 (um valor menor que 1), depois 2 (um valor entre 1 e 3) e 4 (um valor maior que 3), calculamos o valor da derivada nesses pontos e assim temos o comportanto da função em cada intervalo. As derivadas nesses pontos são dadas por:

𝑓′(0) = −3 ∙ 02 + 12 ∙ 0 − 9 = −9

𝑓′(2) = −3 ∙ 22 + 12 ∙ 2 − 9 = 3

𝑓′(4) = −3 ∙ 42 + 12 ∙ 4 − 9 = −9

Assim, como em zero a derivada é negativa, a função é decrescente de menos infinito até 1, entre 1 e 3 a função é crescente pois a derivada em 2 é positiva, e de 3 até mais infinito a função é decrescente, já que a derivada em 4 é negativa.

Máximos e mínimos relativos

Observe o gráfico a seguir:

Existem máximos e mínimos absolutos e máximos e mínimos relativos. Note que o ponto

mais alto da curva é o ponto em 𝑥1, esse ponto

é denominado de máximo absoluto, da mesma

maniera que o ponto mais baixo, em 𝑥2 é ponto

de mínimo absoluto. Porém os pontos em 𝑥3 e

𝑥5, considerando suas redondezas, também

são pontos de máximo, esses pontos são chamados de máximos relativos. Analogamente,

temos em 𝑥4 um ponto de mínimo relativo, pois

é o ponto mínimo de suas redondezas. Mas como encontrar um ponto de máximo ou

de mínimo em uma função? Simples, encontrando os pontos críticos, mas cuidado, pontos críticos são candidatos a serem pontos de máximos e mínimos. Pode acontecer de um ponto crítico não ser ponto nem de máximo nem de mínimo, casos onde a derivada não existe ou quando ela não muda de sinal no ponto crítico, aí temos um ponto de inflexão, o que veremos melhor mais a frente.

Encontrados os pontos críticos da função, basta observar o que acontece com a função quando passa pelos pontos críticos. Se ela vem crescente antes do ponto crítico e passa a ser



descrescente após o ponto crítico, esse ponto é um ponto de máximo relativo. Analogamente, se a função for decrescente antes do ponto crítico e crescente após o ponto crítico, temos um ponto de mínimo relativo. O máximo absoluto será o maior máximo relativo assim como o mínimo absoluto será o menor entre os mínimos relativos. Exemplo:

Encontre os pontos de máximo ou de mínimo

da função 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥 + 2.

O primeiro passo é encontrar os passos críticos:

𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 − 3

Fazendo 𝑓′(𝑥) = 0:

3𝑥2 − 3 = 0

3𝑥2 = 3

𝑥2 = 1

𝑥 = ±1

Escolhendo x = -2, x = 0 e x = 2 encontramos o sinal da derivada em cada intervalo.

𝑓′(−3) = 3(−2)2 − 3 = 9

𝑓′(0) = 3 ∙ 02 − 3 = −3

𝑓′(2) = 3 ∙ 22 − 3 = 9

O estudo do sinal dessa função é:

Como a função vem crescente até -1 e

passa a ser decrescente após -1, temos um ponto de máximo. Se x é -1, encontramos y na função:

𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥 + 2

𝑓(−1) = (−1)3 − 3(−1) + 2 = 5

O ponto (-1, 5) é um ponto de máximo. No outro ponto crítico, a função chega

decrescente e passa crescente em 1, logo, temos um ponto de mínimo, basta determinar a coordenada y:

𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥 + 2

𝑓(1) = 13 − 3 ∙ 1 + 2 = 0

O ponto (1, 0) é um ponto de mínimo.

EXERCÍCIOS

1 a 3 – Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da função.

1) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 6𝑥 + 7

2) 𝑓(𝑥) =𝑥3

3− 2𝑥2 + 3𝑥 + 2

3) 𝑓(𝑥) = −𝑥4 + 2𝑥2

4 - Ache p e q de modo que a função

𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 𝑝𝑥2 + 𝑞𝑥 + 3 tenha máximos

relativos em 𝑥 = 1 e 𝑥 = 3.

5 - Mostre que o vértice de uma função do 2º

grau do tipo 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 é o ponto

(−𝑏

2𝑎,−(𝑏2 − 4𝑎𝑐)

4𝑎).

GABARITO

1) 𝐶𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 > 3 𝐷𝑒𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 < 3 2) 𝐶𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 < 1 𝑜𝑢 𝑥 > 3 𝐷𝑒𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 1 < 𝑥 < 3 3) 𝐶𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 < −1 𝑜𝑢 0 < 𝑥 < 1 𝐷𝑒𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 − 1 < 𝑥 < 0 𝑜𝑢 𝑥 > 1 4) 𝑝 = −6 𝑒 𝑞 = 9 5) Basta encontrar o ponto crítico da função.

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ⟹ 𝑓′(𝑥) = 2𝑎𝑥 + 𝑏

𝑓′(𝑥) = 0 ⟹ 2𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 ⟹ 𝑥 =−𝑏

2𝑎

Agora calculamos o valor da função nesse ponto:

𝑓 (−𝑏

2𝑎) = 𝑎 (

−𝑏

2𝑎)

2

+ 𝑏 (−𝑏

2𝑎) + 𝑐

𝑓 (−𝑏

2𝑎) =

𝑏2

4𝑎−

𝑏2

2𝑎+ 𝑐

𝑓 (−𝑏

2𝑎) =

𝑏2 − 2𝑏2 + 4𝑎𝑐

4𝑎

𝑓 (−𝑏

2𝑎) =

−(𝑏2 − 4𝑎𝑐)

4𝑎



AULA 7

Aplicações de derivadas Derivada segunda

A segunda derivada de uma função, que é encontrada derivando-se duas vezes a função, nos determina sua concavidade.

Isso é muito útil pois conhecendo a concavidade em um ponto crítico sabemos se esse ponto é de máximo ou de mínimo sem precisar analisar se a função é crescente ou decrescente antes e depois do ponto crítico, como fizemos na aula passada.

A concavidade é dada pelo sinal da segunda derivada:

𝑆𝑒 𝑓′′(𝑥) {

> 0, 𝑓 é 𝑐ô𝑛𝑐𝑎𝑣𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑚𝑎 ∪

< 0, 𝑓 é 𝑐ô𝑛𝑐𝑎𝑣𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜 ∩= 0, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚 𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑙 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜

𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜

Para o ponto suspeito ser de fato um ponto de inflexão, o sinal da derivada segunda deve mudar quando passa por esse ponto, ou seja, a concavidade da função deve mudar no ponto. Problemas sobre máximos e mínimos

A teoria de máximos e mínimos permite resolver diversos problemas que envolvem otimização, ou seja, problemas onde precisamos encontrar valores máximos ou mínimos.

Para resolver estes problemas, devemos inicialmente intepretar a situação para converter o problema de otimização em um problema matemático, determinando a função a ser maximizada ou minimizada, aí basta encontrar os máximos ou mínimos. Exemplo 1:

Determine as dimensões de um retângulo de área 100 m2 de modo que seu perímetro seja mínimo.

Resolução:

Sejam 𝑥 e 𝑦 as dimensões do retângulo e 𝑃

seu perímetro. Dá área do retângulo, sabemos que:

𝑥𝑦 = 100

Podemos agora isolar uma das dimensões,

𝑦 por exemplo:

𝑦 =100

𝑥

O perímetro nos fornece a outra relação:

𝑃 = 2𝑥 + 2𝑦

Substituindo 𝑦, temos:

𝑃 = 2𝑥 + 2 ∙100

𝑥

𝑃 = 2𝑥 +200

𝑥

Essa é a função que dá o perímetro do retângulo em função da dimensão x, está modelado o problema. Basta encontrar o mínimo da função, pois queremos que o perímetro seja mínimo.

Determinando os pontos críticos da função:

𝑃′ = 2 −200

𝑥2

𝑃′ = 0

2 −200

𝑥2= 0

2 =200

𝑥2

2𝑥2 = 200

𝑥2 = 100

𝑥 ± 10

Logo, 𝑥 = 10 𝑚, pois não podemos ter

uma dimensão negativa. Basta calcular a segunda derivada da função nesse ponto, se for maior que zero, a função é côncava para cima e o ponto é de mínimo.

𝑃′′ =400

𝑥3

𝑃′′(10) =400

103= 0,04

Concluímos que nesse ponto a curva é côncava para cima, dessa maneira temos o ponto mínimo que buscamos na função.

Como 𝑥 = 10, encontramos y na relação

da área do retângulo:

𝑥𝑦 = 100

10𝑦 = 100

𝑦 = 10



As dimensões do retângulo são 10 m e 10 m, ou seja, o retângulo é um quadrado cujo

perímetro vale 2 ∙ 10 + 2 ∙ 10 = 40 𝑚.

Exemplo 2:

Um agricultor deseja construir um reservatório cilíndrico, fechado em cima, com capacidade de 6280 m3. Sabendo que o preço da chapa de aço é de R$ 50,00 por

metro quadrado e 𝜋 = 3,14, determine as

dimensões do raio da base a da altura do cilindro para que o custo na produção seja mínimo. Determine também qual é o custo mínimo.

Resolução:

O volume de um cilindro é dado por:

𝑉 = 𝜋𝑟2 ∙ ℎ

Onde 𝑟 é a medida do raio da base e ℎ é a

altura do cilindro. Logo, temos:

6280 = 3,14𝑟2 ∙ ℎ

ℎ =6280

3,14𝑟2

ℎ =2000

𝑟2

A outra relação é a área total do cilindro, dada por:

𝐴 = 2𝜋𝑟ℎ + 2𝜋𝑟2

Substituindo ℎ encontramos a função que

fornece a área total do cilindro em função da medida do seu raio:

𝐴 = 2 ∙ 3,14𝑟 ∙2000

𝑟2+ 2 ∙ 3,14𝑟2

𝐴 =12560

𝑟+ 6,28𝑟2

Basta encontrar o ponto mínimo dessa função, pois ela nos dá a medida da superfície total do cilindro, e queremos que essa superfície seja a menor possível para que o agricultor gaste o mínimo de material.

Então, buscamos os pontos críticos:

𝐴′ = −12560

𝑟2+ 12,56𝑟

𝐴′ = 0

0 = −12560

𝑟2+ 12,56𝑟

12560

𝑟2= 12,56𝑟

12,56𝑟3 = 12560

𝑟3 = 1000

𝑟 = 10 𝑚

Agora calculamos a segunda derivada nesse ponto:

𝐴′′ =25120

𝑟3+ 12,56

𝐴′′(10) =25120

1000+ 12,56

Observamos que 𝐴′′(10) > 0, assim, a

função nesse ponto é côncava para cima e o ponto é um ponto de mínimo, confirmando que encontramos o que buscamos.

O raio deve ser de 10 m para que a área total seja mínima. Se o raio deve ser 10 m, basta encontrar a altura com a relação do volume:

ℎ =2000

𝑟2

ℎ =2000

100= 20 𝑚

A primeira parte do problema está respondida, o raio da base do cilindro deve ser de 10 m e a altura de 20 m.

Para obter o custo mínimo, é só calcular quantos metros quadrados de chapa de aço é necessário para construir o cilindro em sua área total mínima (é o valor da função A quando r = 10) e multiplicar esse valor por 50.

𝐴 =12560

𝑟+ 6,28𝑟2

𝐴(10) =12560

10+ 6,28 ∙ 100

𝐴(10) = 1256 + 628

𝐴(10) = 1884 𝑚2

O custo mínimo será de

1884 ∙ 50 = 94200 reais.



EXERCÍCIOS

1 – Encontre dois números positivos cujo produto seja 100 e cuja soma seja mínima.

2 – Um modelo usado para a produção 𝑌 de

uma colheita agrícola como função do nível de

nitrogênio 𝑁 no solo (medido em unidades

apropriadas) é

𝑌 =𝑘𝑁

1 + 𝑁2

onde 𝑘 é uma constante positiva. Que nível de

nitrogênio dá a melhor produção ? 3 - Um fazendeiro tem 1200 m de cerca e quer cercar um campo retangular que está na margem de um rio reto. Ele não precisa de cerca ao longo do rio. Quais são as dimensões do campo que tem maior área ?

4 - Se 1200 m2 de material estiverem disponíveis para a construção de uma caixa com uma base quadrada e sem tampa, encontre o maior volume possível da caixa.

5 - A janela de uma casa tem a forma da figura abaixo: um retângulo sobreposto por um semicírculo. Sabendo que o perímetro da janela é de 714 cm, calcule as dimensões x e y que permitem a maior entrada de luz. Adote

𝜋 = 3,14.

GABARITO

1) 10 e 10 2) 01 3) 300 m e 600 m 4) 4000 cm3 5) x = y = 100 cm

ANOTAÇÕES



AULA 8

Esboço de gráficos Esboçar à mão o gráfico de uma função

qualquer não é tarefa simples, mas os limites e as derivadas nos ajudam muito com esse problema.

O roteiro a seguir, visa fornecer as informações necessárias para fazer um esboço que mostre os aspectos mais importantes da função.

Para fazer um bom gráfico, devemos ter os seguintes elementos:

Domínio da função;

Pontos de intersecções com os eixos;

Assíntotas horizontais e verticais;

Pontos críticos, intervalos onde a função é crescente ou decrescente e pontos de máximo ou mínimo;

Concavidade e pontos de inflexão.

Exemplo:

Esboçe a curva

𝑦 =𝑥4

4−

3𝑥2

2+ 2𝑥 + 5

Seguindo nosso roteiro: 1) O domínio da função é o conjunto dos

números reais, assim a curva é contínua. 2) Para encontrar os pontos de intersecção

com os eixos, calculamos o valor da função quando x é zero (é o valor onde a curva corta o

eixo y), na sequência fazemos 𝑦 = 0,

resolvendo a equação para obter x (os valores onde a curva corta o eixo x). Se x = 0:

𝑦 =04

4−

3 ∙ 02

2+ 2 ∙ 0 + 5

𝑦 = 5

Já temos o ponto (0, 5). Agora, se 𝑦 = 0:

0 =𝑥4

4−

3𝑥2

2+ 2𝑥 + 5

0 =𝑥4 − 6𝑥2 + 8𝑥 + 20

4

𝑥4 − 6𝑥2 + 8𝑥 + 20 = 0

É uma equação difícil de resolver, nesse caso podemos omitir esse passo sem encontrar as raízes da função, não é imprescindível.

3) Assíntotas horizontais e verticais. Lembre-se de nossas aulas sobre limites, assíntota

vertical de uma curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) é a reta

𝑥 = 𝑎, quando uma das seguintes condições

é satisfeita:

lim𝑥→𝑎− 𝑓(𝑥) = ∞

lim𝑥→𝑎+ 𝑓(𝑥) = ∞

lim𝑥→𝑎− 𝑓(𝑥) = −∞

lim𝑥→𝑎+ 𝑓(𝑥) = −∞

Já a assíntota horizontal de uma curva

𝑦 = 𝑓(𝑥), é a reta 𝑦 = 𝐿, onde

lim𝑥→±∞ 𝑓(𝑥) = 𝐿. Em nossa função aqui do exemplo, não

temos nenhuma assíntota. Em geral, as assíntotas são necessárias quando há restrições no domínio da função.

4) Intervalos onde a função é crescente ou decrescente.

Para isso, encontramos a primeira derivada da função, em seguida igualamos a derivada a zero para obter os pontos críticos.

𝑦 =𝑥4

4−

3𝑥2

2+ 2𝑥 + 5

𝑦′ = 𝑥3 − 3𝑥 + 2

Fazendo 𝑦′ = 0:

𝑥3 − 3𝑥 + 2 = 0

Lembrando que toda equação do 3º grau é

da forma 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 = 0, utilizamos as Relações de Girard para chegar nas raízes

𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 =−𝑏

𝑎= 0

𝑥1 ∙ 𝑥2 ∙ 𝑥3 =−𝑑

𝑎= −2

As raízes são −2, 1 e 1. Agora encontramos

o valor da função para cada raiz, obtendo os pontos críticos.

Se 𝑥 = −2:

𝑦 =(−2)4

4−

3(−2)2

2+ 2(−2) + 5

𝑦 = −1

Se 𝑥 = 1:

𝑦 =14

4−

3 ∙ 12

2+ 2 ∙ 1 + 5

𝑦 =23

4= 5,75

Os pontos críticos são (−2, −1) e (1, 5,75).



Os intervalos onde devemos analisar se a função é crescente ou decrescente são

𝑥 < −2, −2 < 𝑥 < 1 e 𝑥 > 1. Para isso,

observamos o sinal da primeira derivada para qualquer valor em cada intervalo, podemos

utilizar 𝑥 = −3, 𝑥 = 0 e 𝑥 = 2.

𝑦′(−3) = (−3)3 − 3(−3) + 2 = −16

𝑦′(0) = (0)3 − 3(0) + 2 = 2

𝑦′(2) = (2)3 − 3(2) + 2 = 4

Como 𝑦′(−3) < 0, 𝑦′(0) > 0 e

𝑦′(2) > 0, a função é decrescente para

𝑥 < −2, crescente para −2 < 𝑥 < 1 e

crescente para 𝑥 > 1. Concluímos ainda, que

em 𝑥 = −2 temos um ponto de mínimo da

função e em 𝑥 = 1, mesmo sendo ponto

crítico, não é ponto nem de máximo nem de mínimo da função, pois a derivada primeira não troca o sinal quando passa por ele. Veremos melhor esse ponto na sequência.

5) Concavidade e pontos de inflexão. Essas informações são dadas pela segunda derivada

da função. Como 𝑦′ = 𝑥3 − 3𝑥 + 2, temos

𝑦′′ = 3𝑥2 − 3. Os pontos de inflexão são

obtidos igualando a segunda derivada a zero.

3𝑥2 − 3 = 0

3𝑥2 = 3

𝑥2 = 1 ⟹ 𝑥 = ±1

Se 𝑥 = −1, a coordenada y será

𝑦 =(−1)4

4−

3 ∙ (−1)2

2+ 2(−1) + 5 = 1,75

Se 𝑥 = 1, já temos o ponto, é um dos

pontos críticos. Logo, os pontos de inflexão são

(−1, 1,75) e (1, 5,75). Analisamos agora o sinal da segunda

derivada antes e depois de cada ponto de

inflexão, ou seja, para 𝑥 < −1, −1 < 𝑥 < 1

e 𝑥 > 1. Podemos escolher 𝑥 = −2, 𝑥 = 0 e

𝑥 = 2. 𝑦′′(−2) = 3(−2)2 − 3 = 9

𝑦′′(0) = 3(0)2 − 3 = −3

𝑦′′(2) = 3(2)2 − 3 = 9

Como 𝑦′′(−2) > 0, 𝑦′′(0) < 0 e

𝑦′′(2) > 0, em 𝑥 = −1 temos um ponto de

inflexão onde a concavidade da curva muda de

cima para baixo nesse ponto, e em 𝑥 = 1 a

curva muda a concavidade de baixo para cima. Podemos agora fazer um esboço da curva.

Sabemos que ela vem decrescente de menos

infinito até −2 com concavidade para cima,

chega no ponto de mínimo (−2, −1) e passa a

ser crescente com convidade para cima até o

ponto de inflexão (−1, 1,75) onde continua

crescente mas a convidade passa a ser para baixo. Chega no ponto de intersecção com o

eixo y e vai até o ponto de inflexão (1, 5,75)

onde a concavidade da curva muda para cima. O esboço fica mais ou menos assim:



EXERCÍCIO RESOLVIDO

Faça um esboço do gráfico da função

𝑓(𝑥) =𝑥2 + 1

𝑥2 − 4

REFERÊNCIAS

GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática completa, vol. 3. 2a. ed. São Paulo, FTD. STEWART, James. Cálculo, vol.1. 7a. ed. São

Paulo, Cengage Learning.


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