derivadas parciales
DESCRIPTION
Derivadas Parciales PUCV, Calculo en Varias VariablesTRANSCRIPT
1
DERIVADAS PARCIALES
Definición
Sea funcion y0 À E © ïïïïïïïïïïî‘ ‘8
ÐB ß B ß ÞÞÞß B Ñqqqqp0ÐB ß B ß ÞÞÞß B Ñ" # 8 " # 8
+ œ Ð+ ß + ß ÞÞÞÞÞß + Ñß + − E ß + − E" # 8`
Diremos que es derivable parcialmente en respecto a la variable 0 + B4
con ,.... donde 4 − Ö" 8× ß B œ ÐB ß B ß ÞÞÞß B Ñ" # 8
ssi existelim
B Ä+
0Ð+ ß + ßÞÞß + ß B ß + ÞÞÞß + Ñ0Ð+ ß+ ßÞÞÞÞÞß+ ÑB +
4 4
" # 4" 4 4"ß 8 " # 8
4 4
y en tal caso , se dice que la derivada parcial de respecto a la variable0
en es , dondeB + Ð+Ñ4`0`B
4
`0`B B +B Ä+
0Ð+ ß + ßÞÞß + ß B ß + ÞÞÞß+ Ñ0Ð+ ß+ ßÞÞÞÞÞß+ Ñ
4 4 44 4
" # 4" 4 4"ß 8 " # 8Ð+Ñ œ lim
y en caso contrario, diremos que no es derivable parcialmente0
respecto a la variable en , es decir no existeB + Ð+Ñ4`0`B
4
Ejemplo Sea función0 À ïïïïïïïïïïî‘ ‘#
ÐBß CÑqqqqp$B C #C &BC ## $
Determine si existen : `0 `0`B `CÐ"ß "Ñ ß Ð"ß "Ñ
Solución
`0`B B" B"BÄ" BÄ"
0ÐBß " Ñ0Ð"ß"Ñ $B #&B#Ð)ÑÐ"ß "Ñ œ œlim lim#
œ œ œ ""lim limBÄ" BÄ"
$B &B)B" B"
ÐB"ÑÐ$B) Ñ#
luego : `0`B Ð"ß "Ñ œ ""
2
`0`C C " C"CÄ" CÄ"
0Ð"ß C Ñ0Ð"ß"Ñ $C#C &C#Ð)ÑÐ"ß "Ñ œ œlim lim$
œ œ œ #lim limCÄ" CÄ"
#C )C'C" C"
ÐC"ÑÐ#C #C' Ñ$ #
luego : `0`C Ð"ß "Ñ œ #
Ejemplo
Sea funcion0 À ïïïïïïïïïïî‘ ‘#
ÐBß CÑqqqqp$B C # #C & B " C B ## $ #¸ ¸ ¸ ¸
Determine si existen : `0 `0 `0 `0`B `C `B `CÐ "ß #Ñ ß Ð "ß #Ñ ß Ð "ß "Ñ ß Ð$ß "Ñ
Solución
`0`B B" B"BÄ" BÄ"
0ÐBß # Ñ0Ð"ß#Ñ "'"! B" B #Ð "&ÑÐ "ß #Ñ œ œlim lim
¸ ¸ #
por laterales ,se tiene queœ œlimBÄ"
"! B" B "
B"
¸ ¸ #
lim lim limBÄ" BÄ" BÄ"
"! B" B "
B" B" B""!ÐB"ÑB " B "!B""
# # #¸ ¸œ œ
œ œ ÐB ""Ñ œ "#lim limBÄ" BÄ"
ÐB"ÑÐB""ÑB"
lim lim limBÄ" BÄ" BÄ"
"! B" B "
B" B" B""!ÐB"ÑB " B "!B*
# # #¸ ¸œ œ
œ œ ÐB *Ñ œ )lim limBÄ" BÄ"
ÐB"ÑÐB*ÑB"
por lo tanto : no existe `0`B Ð "ß #Ñ
3
`0`C C # C#CÄ# CÄ#
0Ð"ß C Ñ0Ð"ß#Ñ $ C# #C "Ð "&ÑÐ "ß #Ñ œ œlim lim
¸ ¸ $
por laterales ,se tiene queœ œlimCÄ#
$ C# #C "'
C#
¸ ¸ $
lim lim limCÄ# CÄ# CÄ#
$ C# #C "'
C# C# C#$Ð C#Ñ#C "' $Ð C#Ñ#ÐC )Ñ
$ $ $¸ ¸œ œ
œ œ Ð $ #C %C )Ñ œ #"lim limCÄ# CÄ#
Ð C#ÑÐ$#C %C)ÑC #
#
#
lim lim limCÄ# CÄ# CÄ#
$ C# #C "'
C# C# C#$ÐC#Ñ#C "' $ÐC#Ñ#ÐC )Ñ
$ $ $¸ ¸œ œ
œ œ Ð$ #C %C )Ñ œ #(lim limCÄ# CÄ#
ÐC#ÑÐ$#C %C)ÑC #
#
#
por lo tanto : no existe `0`C Ð "ß #Ñ
`0`B B" B"BÄ" BÄ"
$B #& B" B #% %B %& B"Ð "ß "Ñ œ œlim lim
# # #¸ ¸ ¸ ¸
œ %ÐB "Ñ limBÄ"
B"
B"
¸ ¸
el cual por laterales ,se sabe que no existe por lo tanto : no existe `0`B Ð "ß "Ñ
`0`C C " C"CÄ" CÄ"
0Ð$ß C Ñ0Ð$ß"Ñ #( C# #C #!C*#Ð &'ÑÐ$ß "Ñ œ œlim lim
¸ ¸ $
œ œlim limCÄ" CÄ"
#(Ð C#Ñ#C #!C %*C" C"
#C (C&$ $
œ œ Ð#C #C &Ñlim limCÄ" CÄ"
ÐC"ÑÐ#C #C&ÑC "
##
œ "
luego : `0`C Ð$ß "Ñ œ "
4
Ejemplo
Sea función0 À ïïïïïïïïïïî‘ ‘#
ÐBß CÑqqqqp#BC B C # à B Ÿ C
BC $C &B $ à B C
ÚÛÜ
Determine si existen : `0 `0 `0`B `C `BÐ"ß "Ñ ß Ð"ß "Ñ à Ð"ß #Ñ
Solución
(por laterales) `0`B B" B"BÄ" BÄ"
0ÐBß"Ñ0Ð"ß"Ñ 0ÐBß"ÑÐ"ß "Ñ œ œlim lim
lim lim
BÄ" BÄ"
0ÐBß"ÑB" B"
B"
œ œ "
lim limBÄ" BÄ"
0ÐBß"ÑB" B"
'B '
œ œ '
por lo tanto : no existe `0`B Ð"ß "Ñ
(por laterales) `0`C C " B"CÄ" CÄ"
0Ð"ßCÑ0Ð"ß"Ñ 0Ð"ßCÑÐ"ß "Ñ œ œlim lim
lim lim
CÄ" CÄ"
0Ð"ßCÑC " C"
#C#
œ œ #
lim limCÄ" CÄ"
0Ð"ßCÑC " C"
$C$
œ œ $
por lo tanto : no existe `0`C Ð"ß "Ñ
`0`B B" B"BÄ" BÄ"
0ÐBß#Ñ0Ð"ß#Ñ $B$Ð"ß #Ñ œ œ œ $lim lim
por lo tanto : `0
`B Ð"ß #Ñ œ $
5
Ejemplo
Sea funcion0 À ïïïïïïïïïïî‘ ‘#
)ÐBß CÑqqqqp ÐB C " #C B $ #C &BC B #¸ ¸ # #
Determine si existen : `0 `0 `0 `0`B `C `B `CÐ "ß #Ñ ß Ð "ß #Ñ ß Ð"ß "Ñ ß Ð"ß "Ñ
Solución
) +1 6 10 `0`B B" B"BÄ" BÄ"
0ÐBß # Ñ0Ð"ß#Ñ ÐB" B B B Ð$ÑÐ "ß #Ñ œ œlim lim
¸ ¸ #
+œ œ B " ÐB *Ñ œ )lim limBÄ" BÄ"
ÐB" B ÐB"ÑÐB *Ñ
B"
) +1 ¸ ¸ ¸ ¸
luego : `0`B Ð "ß #Ñ œ )
) `0`C C # C#CÄ# CÄ#
0Ð"ß C Ñ0Ð"ß#Ñ Ð C# #C% #C &C"#Ð$ÑÐ "ß #Ñ œ œlim lim
¸ ¸ #
œ œ #C % Ð#C "Ñ œ $lim limCÄ# CÄ#
Ð C# #C% ÐC#ÑÐ#C"Ñ
C#
) ¸ ¸ ¸ ¸ luego : `0`C Ð "ß #Ñ œ $
`0`B B" B"BÄ" BÄ"
0ÐBß" Ñ0Ð "ß"Ñ B B" &BB 'Ð"ß "Ñ œ œlim lim
¸ ¸ #
œ œ Ð Ñlim limBÄ" BÄ"
B B" ÐB"ÑÐB'Ñ B B"
B" B" B"ÐB"ÑÐB'Ѹ ¸ ¸ ¸
no existeœ Ð ÐB 'ÑÑlimBÄ"
B B"
B"
¸ ¸
luego : no existe `0`B Ð"ß "Ñ
`0`C C " C"CÄ" CÄ"
0Ð"ß C Ñ0Ð"ß"Ñ C #C # #C &C"#Ð'ÑÐ"ß "Ñ œ œlim lim
¸ ¸ #
œ œlim limCÄ" CÄ"
C C #C &C( C C ÐC"ÑÐ#C(Ñ
C " C"
2 1 2 1 ¸ ¸ ¸ ¸#
no existeœ Ð#C (ÑlimCÄ"
C C
C"
2 1 ¸ ¸
luego : no existe `0`C Ð"ß "Ñ
6
Observación
Supongamos que : `0`B B+BÄ+
0ÐBß, Ñ0Ð +ß,ÑÐ+ß ,Ñ œ lim
sea se tiene que c.p. cuando 2 œ B + 2 Ä ! B Ä + con lo cual : `0
`B 22Ä!
0Ð+2ß, Ñ0Ð +ß,ÑÐ+ß ,Ñ œ lim
y se tiene que es posible con dicha notación , calcular
analogamente se tiene que : `0`B 22Ä!
0ÐB2ßC Ñ0ÐBßCÑÐBß CÑ œ lim
`0`C C ,CÄ,
0Ð+ß C Ñ0Ð +ß,ÑÐ+ß ,Ñ œ lim
sea se tiene que c.p. cuando 5 œ C , 5 Ä ! C Ä + con lo cual : `0
`C 22Ä!
0Ð+ ß ,5 Ñ0Ð +ß,ÑÐ+ß ,Ñ œ lim
y se tiene que es posible con dicha notación , calcular
`0`C 22Ä!
0ÐB ß C5 Ñ0ÐBßCÑÐBß CÑ œ lim
Ejemplo
Dada la función 0ÐBß CÑ œ #B / %BC B "# BC " ##
Determinar : ; `0 `0`B `CÐBß CÑ ÐBß CÑ
Solución
`0`B 22Ä!
0ÐB2ßC Ñ0ÐBßCÑÐBß CÑ œ lim
œ lim2Ä!
#ÐB2Ñ / %ÐB2ÑCÐB2Ñ "Ð#B / %BCB "Ñ2
# ÐB2ÑC " # # BC " ## #
œ Ð Ñlim2Ä!
#ÐB2Ñ / %ÐB2ÑCÐB2Ñ Ð#B / %BCB Ñ2 !
!# ÐB2ÑC " # # BC " ## #
por L`H se tiene :
7
œ lim2Ä!
%ÐB 2Ñ/ #ÐB 2Ñ C / %C #ÐB 2ÑÐB2ÑC " # # ÐB2ÑC "# #
œ %B/ #B C / %C #BBC " # # BC "# #
con lo cual : `0`BBC " # # BC "ÐBß CÑ œ %B/ #B C / %C #B
# #
analogamente :
`0`C 55Ä!
0ÐB ßC 5Ñ0ÐBßCÑÐBß CÑ œ lim
œ lim5Ä!
#B / %BÐC5ÑB "Ð#B / %BCB "Ñ5
# BÐC5Ñ " # # BC " ## #
œ Ð Ñlim5Ä!
#B / %B5 #B / !5 !
# BÐC5Ñ " # BC "# #
por L`H se tiene : œ %B ÐC 5Ñ/ %B œ %B C/ %Blim
5Ä!
$ BÐC5Ñ " $ BC "# #
con lo cual : `0`C$ BC "ÐBß CÑ œ %B C/ %B
#
Observación
En el ejemplo anterior : 0ÐBß CÑ œ #B / %BC B "# BC " ##
`0`B 22Ä!
0ÐB2ßC Ñ0ÐBßCÑ BC " # # BC "ÐBß CÑ œ œ %B/ #B C / %C #Blim# #
`0`C 55Ä!
0ÐB ßC 5Ñ0ÐBßCÑ $ BC "ÐBß CÑ œ œ %B C/ %Blim#
si en : `0`B 22Ä!
0ÐB2ßC Ñ0ÐBßCÑÐBß CÑ œ lim
consideramos que : se tiene que 1ÐB Ñ œ 0ÐB ß C Ñ 1ÐB 2 Ñ œ 0ÐB 2 ß C Ñ
con lo cual ` `0`B 2 22Ä! 2Ä!
0ÐB2ßC Ñ0ÐBßCÑ 1ÐB2 Ñ1ÐB ÑÐBß CÑ œ œ œ 1 ÐBÑlim lim
y como considera a como una funcion que depende1ÐB Ñ œ 0ÐB ß C Ñ 0 sólo de ,derivando respecto a se tiene :B B
8
`1 ÐBÑ œ %B/ #B C / %C #B œ ÐBß CÑBC " # # BC " `0`B
# #
analogamente :
si en : `0`C 55Ä!
0ÐB ßC5 Ñ0ÐBßCÑÐBß CÑ œ lim
consideramos que : se tiene que 1ÐC Ñ œ 0ÐB ß C Ñ 1ÐC 2 Ñ œ 0ÐB ß C 5Ñ
con lo cual `0`C 55Ä!
0ÐB ßC5 Ñ0ÐBßCÑÐBß CÑ œ œlim
lim5Ä!
1ÐC5 Ñ1ÐCÑ5 œ 1 ÐCÑ`
y como considera a como una funcion que depende1ÐC Ñ œ 0ÐB ß C Ñ 0 sólo de ,derivando respecto a se tiene :C C `1 ÐCÑ œ œ %B C/ %B œ ÐBß CÑ$ BC " `0
`C
#
Ejemplo
Sea 0ÐBß Cß DÑ œ Ð#BC "Ñ D $ $ # #BC'D "#
Determinar : `0 `0 `0
`B `C `DÐ"ß "ß "Ñ à Ð"ß "ß "Ñ à Ð"ß "ß "Ñ
Solución
`0 #C `0`B D " `B
$ $ # #ÐBß Cß DÑ œ 'C Ð#BC "Ñ D à Ð"ß "ß "Ñ œ &#
`0 `0`C D " `C
# $ # # #BÐBß Cß DÑ œ ")BC Ð#BC "Ñ D à Ð"ß "ß "Ñ œ "*#
`0 `0`D ÐD "Ñ `D
$ $ #DÐ#BC'ÑÐBß Cß DÑ œ #Ð#BC "Ñ D à Ð"ß "ß "Ñ œ !# #
9
Ejemplo
Sea 2ÐBß CÑ œ $B #C ß ÐBß CÑ Á Ð "ß "Ñ
& ß ÐBß CÑ œ Ð "ß "Ñ
ÚÝÛÝÜ
ÐB"Ñ ÐC"ÑÐB"Ñ ÐC"Ñ
#
# #
Determinar
`2 `2 `2 `2`B `C `B `CÐ "ß "Ñ Ð "ß "Ñ Ð!ß "Ñ Ð!ß "Ñ, , ,
Solución
`2`B B"BÄ "
2ÐBß"Ñ2Ð"ß"ÑÐ "ß "Ñ œ lim
œ œ œ $ œ $lim lim limBÄ " BÄ " BÄ "B" B"
$B#& $B$
por lo tanto : `2`B Ð "ß "Ñ œ $
`2`C C" C"CÄ" CÄ"
2Ð"ßCÑ2Ð"ß"Ñ Ð "ß "Ñ œ œlim lim $#C&
œ œ # œ #lim limCÄ" CÄ"
#C#C"
por lo tanto : `2`C Ð "ß "Ñ œ #
`2`B BBÄ!
2ÐBß"Ñ2Ð!ß"ÑÐ!ß "Ñ œ lim
œ œ œ $ œ $lim lim limBÄ! BÄ! BÄ!B B
$B## $B
por lo tanto : `2`B Ð!ß "Ñ œ $
`2`C C" C"CÄ" CÄ"
2Ð!ßCÑ2Ð!ß"ÑÐ!ß "Ñ œ œlim limC"
C #C# #C#
œ œlim limCÄ" CÄ"
#C 'C $C"ÐC"ÑCÐC#Ñ ÐC"ÑCÐC#Ñ
ÐC"ÑÐ#C %C"Ñ$ # #
œ œlimCÄ"
Ð#C %C"ÑCÐC#Ñ $
&#
por lo tanto : `2 &`C $Ð!ß "Ñ œ
10
Ejemplo
Sea 0ÐBß CÑ œ $CB #C B ß ÐBß CÑ Á Ð"ß "Ñ
% ß ÐBß CÑ œ Ð"ß "Ñ
ÚÝÛÝÜ
ÐB"ÑÐC"ÑÐB"Ñ ÐC"Ñ
# ## #
Determinar
`0 `0 `0 `0`B `C `B `CÐ"ß "Ñ Ð"ß "Ñ Ð"ß "Ñ Ð"ß "Ñ, , ,
Solución
`0`B B" B"BÄ" BÄ"
0ÐBß"Ñ0Ð"ß"ÑÐ"ß "Ñ œ œlim lim $B#B %#
œ œlim limBÄ" BÄ"
B B" B"
ÐB"ÑÐB#Ñ# $B#
œ ÐB #Ñ œ "limBÄ"
por lo tanto : `0`B Ð"ß "Ñ œ "
`0`C C" C"CÄ" CÄ"
0Ð"ßCÑ0Ð"ß "ÑÐ"ß "Ñ œ œlim lim $C #C "%#
œ œ Ð#C &Ñ œ (lim limCÄ" CÄ"
ÐC"ÑÐ#C&ÑC"
por lo tanto : `0`C Ð"ß "Ñ œ (
`0`B B" B"BÄ" BÄ"
0ÐBß"Ñ0Ð"ß"ÑÐ"ß "Ñ œ œlim limÐB"Ñ#
ÐB"Ñ %##$B#B $#"
œ œlimBÄ"
""#
#ÐB"Ñ %# ÐB %Ñ
por lo tanto : `0`B #""Ð"ß "Ñ œ
`0`C C" C"CÄ" CÄ"
0Ð"ßCÑ0Ð"ß "ÑÐ"ß "Ñ œ œlim lim $C#C "#
œ limCÄ" C"
Ð#C"ÑÐC"Ñ
por lo tanto : œ Ð#C "Ñ œ $ Ð"ß "Ñ œ $limCÄ"
`0`C
11
Ejemplo
Sea 1ÐBß CÑ œ #B C #B CB B $C¸ ¸ #
Determinar
`1 `1 `1 `1 `1 `1`B `C `B `C `B `CÐ!ß !Ñ Ð!ß !Ñ ß Ð"ß "Ñ Ð"ß "Ñ ß Ð"ß #Ñ Ð"ß #Ñ, , ,
Solución
1.- `1`B B BBÄ! BÄ!
1ÐBß!Ñ1Ð!ß!Ñ #B #B B!Ð!ß !Ñ œ œlim lim
¸ ¸
œ œ # #B " œ "lim limBÄ! BÄ!
#B #B B
B
¸ ¸ ¸ ¸ por lo tanto : `1`B Ð!ß !Ñ œ "
2.- `1 $C`C C CCÄ! CÄ!
1Ð!ßCÑ1Ð!ß !ÑÐ!ß !Ñ œ œ œ $lim lim
por lo tanto : `1`C Ð!ß !Ñ œ $
3.- `1`B B" B"BÄ" BÄ"
1ÐBß"Ñ1Ð"ß"Ñ #B "#B B B$*Ð"ß "Ñ œ œlim lim
¸ ¸ #
œ œlim limBÄ" BÄ"
#BÐ"#BÑB B$*B" B"
&B B'# #
œ œ Ð&B 'Ñ œ ""lim limBÄ" BÄ"
ÐB"ÑÐ&B'ÑB"
por lo tanto : `1`B Ð"ß "Ñ œ ""
4.- `1`C C" C"CÄ" CÄ"
1Ð"ßCÑ1Ð"ß "Ñ # C# C $CÐ"ß "Ñ œ œlim lim
¸ ¸ 1 9
œ œ œ ' œ 'lim lim limCÄ" CÄ" CÄ"
# ÐC#ÑC $CC" C"
'C' 1 9
por lo tanto : `1`C Ð"ß "Ñ œ '
12
5.- `1`B B"BÄ"
1ÐBß#Ñ1Ð"ß#ÑÐ"ß #Ñ œ lim
œ limBÄ"
#B ##B #B B'Ð*Ñ
B"
¸ ¸ #
œ limBÄ"
%B B" #B B$
B"
¸ ¸ #
por laterales:
lim limBÄ" BÄ"
%B B" #B B$
B" B"%BÐB" Ñ#B B$
# #¸ ¸ œ
œ œlim limBÄ" BÄ"
'B $B$B" B"
ÐB"ÑÐ'B$Ñ
#
œ Ð 'B $Ñ œ *limBÄ"
lim limBÄ" BÄ"
%B B" #B B$
B" B"%BÐB" Ñ#B B$
# #¸ ¸ œ
œ œlim limBÄ" BÄ"
#B &B$B" B"
ÐB"ÑÐ#B$Ñ
#
œ Ð#B $Ñ œ "limBÄ"
por lo tanto : no existe`1`B Ð"ß #Ñ
6.- `1`C C# C#CÄ# CÄ#
1Ð"ßCÑ1Ð"ß#Ñ # C# C"$CÐ*ÑÐ"ß #Ñ œ œlim lim
¸ ¸
por laterales:
lim limCÄ# CÄ#
# C# C"$CÐ*Ñ
C# C##ÐC# ÑC"$CÐ*Ñ
¸ ¸ œ
œ œ # œ #lim limCÄ# CÄ#
#C%C#
lim limCÄ# CÄ#
# C# C"$CÐ*Ñ
C# C##ÐC# ÑC"$CÐ*Ñ
¸ ¸ œ
œ œ ' œ 'lim limCÄ# CÄ#
'C"#C#
por lo tanto : no existe`1`C Ð"ß #Ñ
13
Ejemplo Sea 0ÐBß CÑ œ #B -9=ÐBC #Ñ $C # C=/8ÐBC #Ñ "# # # %
Determinar
`0 `0 `0 `0`B `C `B `CÐ#ß "Ñ Ð#ß "Ñ ß Ð#ß "Ñ Ð#ß "Ñ, ,
Solución
se tiene que : `0`B
# # # # % %œ %B-9=ÐBC #Ñ #B =/8ÐBC #ÑC #C-9=ÐBC #ÑC
`0`C# # % % $œ #B =/8ÐBC #Ñ#BC 'C #=/8ÐBC #Ñ #C-9=ÐBC #Ñ%BC
con lo cual:
1.- `0`B Ð#ß "Ñ œ )-9=Ð# #Ñ )=/8Ð# #Ñ #-9=Ð# #Ñ œ '
2.- `0`C Ð#ß "Ñ œ )=/8Ð# #Ñ% ' #=/8Ð# #Ñ #-9=Ð# #Ñ) œ "!
3.- `0`B Ð#ß "Ñ œ )-9=Ð# #Ñ )=/8Ð# #Ñ #-9=Ð# #Ñ œ "!
4.- `0`C Ð#ß "Ñ œ )=/8Ð!Ñ% ' #=/8Ð!Ñ #-9=Ð!ÑÐ )Ñ œ ##
Ejemplo Sea 2ÐBß CÑ œ B / #C # C/ BC# BC # # BC ## %
Determinar
`2 `2 `2 `2`B `C `B `CÐ#ß "Ñ Ð#ß "Ñ ß Ð#ß "Ñ Ð#ß "Ñ, ,
Solución
Se tiene que : `2`BBC # # # BC # & BC #œ #B/ B C / # C / C
# # %
`2`C$ BC # BC # % BC #œ #B C/ %C #/ )BC / B
# % %
con lo cual:
`2 `2 `2 `2`B `B `C `CÐ#ß "Ñ œ ( à Ð#ß "Ñ œ * à Ð#ß "Ñ œ % Ð#ß "Ñ œ %à
14
Ejemplo Sea 2ÐBß CÑ œ C 68ÐBC "Ñ #B # BC68ÐBC "Ñ "$ # # %
`2 `2 `2 `2`B `C `B `CÐ#ß "Ñ Ð#ß "Ñ ß Ð"ß !Ñ Ð"ß !Ñ, ,
Solución Se tiene que:
`2`B BC "C ÐC Ñ % #BC
BC "œ %B #C68ÐBC "Ñ $ #
#
&
%
`2`C BC "# # %#BC )B C
BC "œ $C 68ÐBC "Ñ #B68ÐBC "Ñ
% # %
# %
con lo cual .
; `2 " % `2`B $ $ `BÐ#ß "Ñ œ ) #68Ð$Ñ Ð"ß !Ñ œ %
; `2 % $# `2`C $ $ `CÐ#ß "Ñ œ $68Ð$Ñ %68Ð$Ñ Ð"ß !Ñ œ !
Notaciones
Otras notaciones para las derivadas parciales usadas en diferentes textos son las siguientes : `0
`B B " BÐ+Ñ œ 0 Ð+Ñ œ H 0Ð+Ñ œ H 0Ð+Ñ
Teorema
Sean funcion y 0 ß 1 À K © ïïïïïïïî + − K‘ ‘8
ÐB ß B ß ÞÞß B qqqp 0ÐB ß B ß ÞÞß B" # " #8Ñ 8Ñ
tal que ; existen y sea constante `0 `1`B `B3 3
Ð+Ñ Ð+Ñ −- ‘
se cumple que
1.- `Ð01Ñ`B `B `B
`0 `1
3 3 3Ð+Ñ œ Ð+Ñ Ð+Ñ
2.- `Ð 0Ñ`B `B
`0-
3 3Ð+Ñ œ Ð+Ñ-
3.- `Ð0†1Ñ`B `B `B
`0 `1
3 3 3Ð+Ñ œ Ð+Ñ † 1Ð+Ñ 0Ð+Ñ † Ð+Ñ
4.- , si `Ð Ñ
`B Ð1Ð+ÑÑ
Ð+ц1Ð+Ñ0Ð+ц Ð+Ñ01
3
`0 `1`B `B3 3
#Ð+Ñ œ 1Ð+Ñ Á !
15
Definición
Sea funcion 0 À K © ïïïïïïïî‘ ‘8
ÐB ß B ß ÞÞß B qqqp 0ÐB ß B ß ÞÞß B" # " #8Ñ 8Ñ
Llamaremos funcion derivada parcial de respecto a la variable0
a la funcion que denotaremos por B ß 3 − Ö"ß ÞÞß 8×ß3`0`B
3
donde
: existe función `0`B `B
`0ÐBÑ
3 3ÖB − K Î × ïïïïïïïî‘
B qqqqqqqqqp `0ÐBÑ`B3
Ejemplo
Dada la funcion 0 ïïïïïïïî: ‘ ‘#
ÐBß CÑ qqqp B /C "
#B"# C "#
# $BC/ se tiene que
`0`B C "
#B/ #B" #B"ÐBß CÑ œ $C/ 'BC/C "#
# , con lo cual
`0`B : ‘ ‘# ïïïïïïïî
ÐBß CÑ qqqp #B/C "
#B" #B"C "#
# $C/ 'BC/
`0`C ÐC "Ñ
#B C/ ÐC "Ñ#B C/ #B"ÐBß CÑ œ $B/# C " # # C "# #
# #
, con lo cualœ $B/#B C /ÐC "Ñ
#B"# $ C "#
# #
`0`C : ‘ ‘# ïïïïïïïî
ÐBß CÑ qqqp #B C /ÐC "Ñ
#B"# $ C "#
# # $B/
16
Ejemplo
Dada la funcion definida en : ‘# 1ÐBß CÑ œ CB #B %C $BC C "¸ ¸Determinar la funcion : `1`C
Solución Considerando que
1ÐBß CÑ œ CBÐ#B %CÑ $BC C " à B Ÿ #C
CBÐ#B %CÑ $BC C " à B #C
ÚÛÜ
œ #B C %BC $BC C " à B Ÿ #C
#CB %BC $BC C " à B #C
ÚÛÜ
# #
# #
casoI si B Á #C
`1`C
#
#
œ #B )BC $B " à B #C
# B )BC $B " à B #C
ÚÛÜ
casoII si B œ #C
por lateral`1`C C+CÄ+
1Ð#+ ßCÑ1Ð#+ß+ÑÐ#+ß +Ñ œ lim
limCÄ+
1Ð#+ ßCÑ1Ð#+ß+ÑC+
# #Ð#+ß+Ñ
œ Ð# B )BC $B "Ñ œ )+ '+ "¸
limCÄ+
1ÐB ßCÑ1ÐBß#ÑC#
# #Ð#+ß+Ñ
œ Ð #B )BC $B "Ñ œ )+ '+ "¸
luego ,se debe cumplir que : es decir : )+ '+ " œ )+ '+ " + œ !# #
luego con lo cual :`1`C Ð!ß !Ñ œ "
`1`C
#
#
œ
#B )BC $B " à B #C
" à ÐBß CÑ œ Ð!ß !Ñ
# B )BC $B " à B #C
ÚÝÝÝÝÛÝÝÝÝÜ
17
Ejemplo
Dada la funcion
2ÐBß CÑ œ #BC $B % ß ÐBß CÑ Á Ð "ß "Ñ
" ß ÐBß CÑ œ Ð "ß "Ñ
ÚÝÛÝÜ
ÐB"Ñ ÐC"ÑÐB"Ñ ÐC"Ñ
#
# #
Determinar - 1 , 2.- `2 `2`B `C
Solución
1.- caso I si ÐBß CÑ Á Ð "ß "Ñ
`2`B ÐBß CÑ œ
# ÐB"ÑÐC"ÑÒ ÐB"Ñ ÐC"Ñ ÓÐB"Ñ ÐC"Ñ#ÐB"ÑÒÐB"Ñ ÐC"Ñ Ó
# # #
# # # #C $
œ # ÐB"ÑÐC"ÑÒÐB"Ñ ÐC"Ñ Ó
$
# # # #C $
caso II si ÐBß CÑ œ Ð "ß "Ñ
`2`B Ð "ß "Ñ œ &œ œ œlim lim lim
BÄ" BÄ" BÄ"
2ÐBß"Ñ2Ð"ß"Ñ &ÐB"ÑB" B" B"
&B%"
por lo tanto :
`2`B ÐBß CÑ œ
#C $ ß ÐBß CÑ Á Ð "ß "Ñ
& ß ÐBß CÑ œ Ð "ß "Ñ
ÚÝÛÝÜ
# ÐB"ÑÐC"ÑÒÐB"Ñ ÐC"Ñ Ó
$
# # #
2.- caso I si ÐBß CÑ Á Ð "ß "Ñ
`2`C ÐBß CÑ œ
ÐB"Ñ ÒÐB"Ñ ÐC"Ñ ÓÐB"Ñ ÐC"Ñ#ÐC"ÑÒÐB"Ñ ÐC"Ñ Ó
# # # #
# # # #B
œ ÐB"Ñ ÐB"Ñ ÐC"ÑÒÐB"Ñ ÐC"Ñ Ó
% # #
# # # #B
caso II si ÐBß CÑ œ Ð "ß "Ñ
`2`C Ð "ß "Ñ œ #œ œ œlim lim lim
CÄ" CÄ" CÄ"
2Ð"ßCÑ2Ð"ß"Ñ #ÐC"ÑC" C" C"
#C""
por lo tanto :
`2`C ÐBß CÑ œ
#B ß ÐBß CÑ Á Ð "ß "Ñ
# ß ÐBß CÑ œ Ð "ß "Ñ
ÚÝÛÝÜ
ÐB"Ñ ÐB"Ñ ÐC"ÑÒÐB"Ñ ÐC"Ñ Ó
% # #
# # #
18
Ejemplo
Dada la funcion
0ÐBß CÑ œ CB C $B ß ÐBß CÑ Á Ð"ß "Ñ
" ß ÐBß CÑ œ Ð"ß "Ñ
ÚÝÛÝÜ
ÐB"ÑÐC"ÑÐB"Ñ ÐC"Ñ
# ## #
Determinar .- 1 , 2.- `0 `0`B `C
Solución
1.- caso I si ÐBß CÑ Á Ð"ß "Ñ
`0`B ÐBß CÑ œ
ÐC"Ñ Ò ÐB"Ñ ÐC"Ñ Ó ÐB"ÑÐC"Ñ#ÐB"ÑÒÐB"Ñ ÐC"Ñ Ó
# #
# # # C 'B
œ ÐC"Ñ ÐB"Ñ ÐC"ÑÒÐB"Ñ ÐC"Ñ Ó
$ #
# # # C 'B
caso II si ÐBß CÑ œ Ð"ß "Ñ
`0`B Ð"ß "Ñ œ œlim lim
BÄ" BÄ"
0ÐBß"Ñ0Ð"ß"ÑB" B"
B"$B "#
œ œlim limBÄ" BÄ"
$B B#B" B"
ÐB"ÑÐ$B#Ñ#
œ &
por lo tanto :
`0`B ÐBß CÑ œ
C 'B ß ÐBß CÑ Á Ð"ß "Ñ
& ß ÐBß CÑ œ Ð"ß "Ñ
ÚÝÛÝÜ
ÐC"Ñ ÐB"Ñ ÐC"ÑÒÐB"Ñ ÐC"Ñ Ó
$ #
# # #
2.- caso I si ÐBß CÑ Á Ð"ß "Ñ
`0`C ÐBß CÑ œ
ÐB"ÑÒÐB"Ñ ÐC"Ñ ÓÐB"ÑÐC"Ñ#ÐC"ÑÒÐB"Ñ ÐC"Ñ Ó
# #
# # # B #C
œ ÐB"Ñ ÐB"ÑÐC"ÑÒÐB"Ñ ÐC"Ñ Ó
$ #
# # # B #C
caso II si ÐBß CÑ œ Ð"ß "Ñ
`0`C Ð"ß "Ñ œ œlim lim
CÄ" CÄ"
0Ð"ßCÑ0Ð"ß"ÑC" C"
CC $"#
œ œlim limCÄ" CÄ"
C C#C" C"
ÐC"ÑÐC#Ñ#
œ $
por lo tanto :
`0`C ÐBß CÑ œ
B #C ß ÐBß CÑ Á Ð"ß "Ñ
$ ß ÐBß CÑ œ Ð"ß "Ñ
ÚÝÛÝÜ
ÐB"Ñ ÐB"ÑÐC"ÑÒÐB"Ñ ÐC"Ñ Ó
$ #
# # #
19
Ejemplo
Determinar dada la funcion 0ÐBß CÑ œ B C # #BC BC $¸ ¸ #
1.- , 2.- `0 `0`B `C
Solución
1.- `0`B
#ÐBß CÑ œ C # #C C¸ ¸
2.- en este caso el valor absoluto molesta por lo tanto,consideremos:
0ÐBß CÑ œ BÐC #Ñ #BC BC $ à C Ÿ #
BÐC #Ñ #BC BC $ à C #
ÚÛÜ
#
#
en donde :œ #B #BC $ à C Ÿ #
#BC #BC #B $ à C #
ÚÛÜ
#
#
caso I si C Á #
`0`C ÐBß CÑ œ %BC à C #
#B %BC à C #
ÚÛÜ
caso II si C œ #
por laterales`0`C 22Ä!
0ÐB ß#2Ñ0ÐBß#ÑÐBß #Ñ œ lim
lim2Ä!
0ÐB ß#2Ñ0ÐBß#Ñ2 ÐBß#Ñ
œ Ð %BCÑ œ )B¸
lim2Ä!
0ÐB ß#2Ñ0ÐBß#Ñ2 ÐBß#Ñ
œ Ð#B %BCÑ œ 'B¸
por lo tanto : existe ssi es decir : `0`C ÐBß #Ñ )B œ 'B B œ !
con lo cual :
`0`C ÐBß CÑ œ
%BC à C #! à ÐBß CÑ œ Ð!ß #Ñ
#B %BC à C #
ÚÛÜ
20
Ejemplo
Determinar, dada la funcion 1ÐBß CÑ œ ÐB CÑ C B C B C¸ ¸ #
1.- , 2.- `1 `1`B `C
Solución
En estos casos el valor absoluto molesta por lo tanto,consideremos:
1ÐBß CÑ œ ÐB CÑÐC BÑ C B C à C Ÿ B
ÐB CÑÐC BÑ C B C à C B
ÚÛÜ
#
#
œB C C B C à C Ÿ B
B C C B C à C B
ÚÛÜ
# # #
# # #
en donde :
caso I si C Á B
`1`B
#
#
ÐBß CÑ œ#B C à C B
#B C à C B
ÚÛÜ
`1`C ÐBß CÑ œ #C #BC " à C B
#C #BC " à C B
ÚÛÜ
caso II si C œ B
por laterales`1`B 22Ä!
1ÐB2 ßB Ñ1ÐBßBÑÐBß BÑ œ lim
lim2Ä!
1ÐB2 ßB Ñ1ÐBßBÑ2
# #ÐBßBÑ
œ Ð #B C Ñ œ #B B¸
lim2Ä!
1ÐB2 ßBÑ1ÐBßBÑ2
# #ÐBßBÑ
œ Ð #B C Ñ œ #B B¸
21
por lo tanto : existe ssi `1`B
# #ÐBß BÑ #B B œ #B B
ssi es decir : #B œ #B B œ !
con lo cual :
1.- `1`B
#
#
ÐBß CÑ œ#B C à C B! à ÐBß CÑ œ Ð!ß !Ñ
#B C à C B
ÚÛÜ
caso III si C œ B
por laterales`1`C 22Ä!
1ÐB ßB2 Ñ1ÐBßBÑÐBß BÑ œ lim
lim2Ä!
1ÐB ßB2 Ñ1ÐBßBÑ2 ÐBßBÑ
#
œ Ð #C #BC "Ñ œ #B # B "¸
lim2Ä!
1ÐB ßB2Ñ1ÐBßBÑ2 ÐBßBÑ
#
œ Ð#C #BC "Ñ œ #B # B "¸
por lo tanto : existe ssi `1`C
# #ÐBß BÑ #B # B " œ #B # B "
ssi es decir : #B œ #B B œ !
con lo cual :
`1`C ÐBß CÑ œ
#C #BC " à C B" à ÐBß CÑ œ Ð!ß !Ñ
#C #BC " à C B
ÚÛÜ
22
Ejemplo
Determinar, dada 2ÐBß CÑ œ à#C $BC " à B C Á !
BC C #B " à B C œ !
ÚÛÜ
#
1.- , 2.- `2 `2`B `C
Solución
1.- caso I si B C Á ! ÐBß CÑ œ $C`2`B
caso II si B C œ !
`2`B ÐBß BÑ œ lim
5Ä!
2ÐB5ßBÑ2ÐBßBÑ5
œ lim5Ä! 5
#B $ÐB5ÑB"ÐB B#B"Ñ# #
œ œlim5Ä!
$B5$B'B "5 #
#
! B œ ! ” B œ ssi
por lo tanto :
`2`B
" "# #
ÐBß CÑ œ
à
ÚÝÝÝÝÝÛÝÝÝÝÝÜ
$C B C Á !
! à ÐBß CÑ œ Ð!ß !Ñ
à ÐBß CÑ œ Ð ß Ñ$#
2.- caso I si B C Á ! ÐBß CÑ œ %C $B`2`C
caso II si B C œ !
`2`C ÐBß BÑ œ lim
5Ä!
2ÐB ßB5Ñ2ÐBßBÑ5
œ lim5Ä! 5
Ð#ÐB5Ñ $BÐB5Ñ"ÑÐB $B"Ñ# #
œ œ ==3 B $B œ !lim5Ä! 5
'B (B5#5 $B ## # (B '
==3 B œ ! ” B œ "#
por lo tanto :
`2`C ÐBß CÑ œ
%C à! à ÐBß CÑ œ Ð!ß !Ñ
à ÐBß CÑ œ Ð ß Ñ
ÚÛÜ
$B B C Á !
( " "# # #
23
Ejemplo
Determinar, dada 0ÐBß CÑ œ 68 ÐB C "Ñ =/8ÐC BÑ C$ # # #
, `0 `0`B `C
Solución `0
`B B C "'BC 68 ÐB C "Ñ # #œ C -9=ÐC BÑ
# # # #
# #
`0`C B C "
'CB 68 ÐB C "Ñ #œ #BC-9=ÐC BÑ "# # # #
# #
Ejemplo
Determinar, dada 1ÐBß CÑ œ CE<->1Ð#B $CÑ >1ÐBC Ñ#
, `1 `1`B `C
Solución
`1 #C`B "Ð#B$CÑ
# # #œ C =/- ÐBC Ñ#
`1 $C`C "Ð#B$CÑ
# #œ E<->1Ð#B $CÑ #BC=/- ÐBC Ñ#
Ejemplo
Determinar, dada0ÐBß CÑ œ C † B C " $B C# #% #È%
, `1 `1`B `C
Solución
`0 C B`B ÐB C "Ñ
œ 'B# $
% % # $È `0 C
`C% #
# ÐB C "Ñœ #C † B C " "È% $
% % # $È
24
Ejemplo
Determinar, dada ; , 1ÐBß CÑ œ B † C B C B C¸ ¸ # `1 `1`B `C
Solución
En estos casos el valor absoluto molesta por lo tanto,consideremos:
1ÐBß CÑ œ BÐC BÑ C BC à C Ÿ B
BÐC BÑ C BC à C B
ÚÛÜ
#
#
œB C à C Ÿ B
B C #B C à C B
ÚÛÜ
# #
# #
en donde :
caso I si C Á B
`1`B ÐBß CÑ œ
#B à C B
#B #C à C B
ÚÛÜ
`1`C ÐBß CÑ œ
#C à C B
#C #B à C B
ÚÛÜ
caso II si C œ B
por laterales`1`B 22Ä!
1ÐB2 ßB Ñ1ÐBßBÑÐBß BÑ œ lim
lim2Ä!
1ÐB2 ßB Ñ1ÐBßBÑ2 ÐBßBÑ
œ Ð #B #CÑ œ !¸
lim2Ä!
1ÐB2 ßBÑ1ÐBßBÑ2 ÐBßBÑ
œ Ð #B Ñ œ #B¸
por lo tanto : existe ssi es decir : `1`B ÐBß BÑ ! œ #B B œ !
25
con lo cual :
`1`B ÐBß CÑ œ
#B à C B! à ÐBß CÑ œ Ð!ß !Ñ
#B #C à C B
ÚÛÜ
caso III si C œ B
por laterales`1`C 22Ä!
1ÐB ßB2 Ñ1ÐBßBÑÐBß BÑ œ lim
lim2Ä!
1ÐB ßB2 Ñ1ÐBßBÑ2 ÐBßBÑ
œ Ð #CÑ œ #B¸
lim2Ä!
1ÐB ßB2Ñ1ÐBßBÑ2 ÐBßBÑ
œ Ð #C #BÑ œ !¸
por lo tanto : existe ssi es decir : `1`C ÐBß BÑ #B œ ! B œ !
con lo cual :
`1`C ÐBß CÑ œ
#C à C B! à ÐBß CÑ œ Ð!ß !Ñ
#C #B à C B
ÚÛÜ
26
Ejemplo Determinar, dada ; , 1ÐBß CÑ œ ÐB CÑ C C BC¸ ¸ # `1 `1
`B `C
Solución
i) `1`B ÐBß CÑ œ C C¸ ¸
ii) en este caso el valor absoluto molesta por lo tanto,consideremos:
1ÐBß CÑ œ œ ÐB CÑC C BC à C Ÿ !
ÐB CÑC C BC à C !
#C à C Ÿ !
#BC à C !
Ú ÚÛ ÛÜ Ü
#
#
#
en donde :
caso I si C Á !
`1`C ÐBß CÑ œ%C à C !
#B à C !
ÚÛÜ
caso II si C œ !
por laterales`1`C 22Ä!
1ÐB ß2Ñ1ÐBß!ÑÐBß !Ñ œ lim
lim2Ä!
1ÐB ß2Ñ1ÐBß!Ñ2 ÐBß!Ñ
œ Ð%CÑ œ !¸
lim2Ä!
1ÐB ß2Ñ1ÐBß!Ñ2 ÐBß!Ñ
œ Ð#B Ñ œ #B¸
por lo tanto : existe ssi es decir : `1`C ÐBß !Ñ ! œ #B B œ !
con lo cual : `0`C ÐBß CÑ œ%C à C !! à ÐBß CÑ œ Ð!ß !Ñ#B à C !
ÚÛÜ
27
Definición
Sea funcion 0 À K © ïïïïïïïî‘ ‘8
ÐB ß B ß ÞÞß B qqqp 0ÐB ß B ß ÞÞß B" # " #8Ñ 8Ñ
sea : existe `0`B `B
`0ÐBÑ
3 3ÖB − K Î × ïïïïïïïî‘
B qqqqqqqqqp `0ÐBÑ`B3
la funcion derivada parcial de respecto a la variable con 0 B ß 3 − Ö"ß ÞÞß 8×3
diremos que es derivable parcialmente respecto a la variable `0`B3
con en B ß 4 − Ö"ß ÞÞß 8× + œ Ð+ ß + ß ÞÞÞ+ Ñ4 " # 8
ssi existelimB Ä+
Ð+ ß + ßÞÞß + ß B ß + ÞÞÞß + Ñ Ð+Ñ
B +4 4
`0 `0`B `B3 3
" # 4" 4 4"ß 8
4 4
y en tal caso , se dice que la derivada parcial de respecto a la variable `0`B3
en es , dondeB + Ð+Ñ œ Ð+Ñ4`
`B `B `B` 0 ( )
`0`B3
4 4 3
#
` 0`B `B B +B Ä+
Ð+ ß + ßÞÞß + ß B ß + ÞÞÞß+ Ñ Ð+Ñ#
4 3 4 44 4
`0 `0`B `B3 3
" # 4" 4 4"ß 8Ð+Ñ œ lim
Observación
1.- si 3 œ 4 Ð+Ñ œ Ð+Ñ ` 0 ` 0`B `B `B
# #
3 3#3
2.- si es llamada derivada parcial mixta de segundo 3 Á 4 Ð+Ñ ` 0`B `B
#
4 3
orden respecto a las variables en B ß B +3 4
3.- no necesariamente ` 0 ` 0`B `B `B `B
# #
4 3 3 4Ð+Ñ œ Ð+Ñ
28
Ejemplo
Determinar, dada 0ÐBß CÑ œ #B / $BC C $# BC " $#
, `0 `0 ` 0`B `C `B`CÐ"ß "Ñ Ð"ß "Ñ ß Ð"ß "Ñ
#
Solución
`0 `0`B `B
BC " # # BC "ÐBß CÑ œ %B/ #B C / $C à Ð"ß "Ñ œ *# #
`0 `0`C `C
$ BC " #ÐBß CÑ œ %B C/ $B $C à Ð"ß "Ñ œ %#
` 0`B`C `B
`Ð Ñ # BC " % # BC "#`0`C # #
ÐBß CÑ œ ÐBß CÑ œ "#B C/ )B C / $
` 0`B`C
#
Ð"ß "Ñ œ (
Ejemplo
Determinar, dada 0ÐBß CÑ œ #B / $C/# C" B#
, `0 `0 ` 0`B `C `C`BÐ#ß "Ñ Ð#ß "Ñ ß Ð#ß "Ñ
#
Solución
`0 `0`B `B
C" B#ÐBß CÑ œ %B/ $C/ à Ð#ß "Ñ œ &
`0 `0`C `C
# C" B#ÐBß CÑ œ #B / $/ à Ð#ß "Ñ œ &
` 0 ` 0`C`B `C `C`B
`Ð Ñ C" B## #`0`BÐBß CÑ œ ÐBß CÑ œ %B/ $/ à Ð#ß "Ñ œ &
29
Ejemplo
Determinar, dada 1ÐBß CÑ œ $BC#BC%B C# #
, `1 `1 ` 1`B `C `BÐ "ß "Ñ Ð "ß "Ñ ß Ð "ß "Ñ
#
#
Solución
`1 #CB #C %B`B ÐB C Ñ ÐB C Ñ
#CÐB C Ñ Ð#BC%Ñ#BÐBß CÑ œ $C œ $C# #
# # # # # #
# $
`1`C ÐB C Ñ#B ÐB C Ñ Ð#BC%Ñ#CÐBß CÑ œ $B
# #
# # #
` 1`B `B
`Ð Ñ#
#
`1`BÐBß CÑ œ ÐBß CÑ
œ Ð%CB %ÑÐB C Ñ Ð#CB #C %BÑ#ÐB C Ñ#BÐB C Ñ
# # # # $ # #
# # %
œ Ð%CB %ÑÐB C ÑÐ#CB #C %BÑ%BÐB C Ñ
# # # $
# # $
con lo cual
, `1 `1 ` 1`B `C `BÐ "ß "Ñ œ # Ð "ß "Ñ œ & ß Ð "ß "Ñ œ #
#
#
30
Ejemplo
Dada la funcion 0ÐBß CÑ œBC B à C Ÿ B
B C à C B
ÚÛÜ #
Determinar la funcion y `0 `0`B `C Ð"ß "Ñ
Solución
Caso I si 1
C Á B œC à C B
#B à C B
`0`B
ÚÛÜ
Caso II si , sea C œ B T œ Ð+ß +Ñ
por laterales`0`B 22Ä!
0Ð+2ß+Ñ0Ð+ß+ÑÐ+ß +Ñ œ lim
lim lim lim2Ä! 2Ä! 2Ä!
0Ð+2ß+Ñ0Ð+ß+Ñ Ð+2Ñ +Ð+ +Ñ2 2 2
#+22
# # #
œ œ œ #+
lim2Ä!
0Ð+2ß+Ñ0Ð+ß+Ñ2 Ð+ß+Ñ
œ ÐC "Ñ œ + "¸
es decir con lo cual existe + " œ #+ Í + œ " Ð"ß "Ñ`0`B
es decir `0`B œ
C " à C B# à ÐBß CÑ œ Ð"ß "Ñ
#B à C B
ÚÛÜ
y por laterales `0`C 55Ä!
0Ð"ß"5Ñ0Ð"ß"ÑÐ"ß "Ñ œ lim
lim5Ä!
0Ð"ß"5Ñ0Ð"ß"Ñ5 Ð"ß"Ñ
œ ÐBÑ œ "¸
lim lim5Ä! 5Ä!
0Ð"ß"5Ñ0Ð"ß"Ñ5 5
""5#
œ œ "
con lo cual `0`C Ð"ß "Ñ œ "
31
Ejemplo
Dada la funcion 0ÐBß CÑ œ#BC B %C % à B C "
B 'C & $B à B C "
ÚÛÜ #
Determinar la funcion y `0 ` 0`B `C`B
#
Ð"ß !Ñ
Solución
1.- Caso I si B C Á "
`0`B œ
#C " à B C "
# B $ à B C "
ÚÛÜ
Caso II si , sea B C œ " T œ Ð+ß " +Ñ
por laterales `0`B 22Ä!
0Ð+2ß"+Ñ0Ð+ß"+ÑÐ+ß " +Ñ œ lim
lim lim2Ä! 2Ä!
0Ð+2ß"+Ñ0Ð+ß+Ñ #Ð+2ÑÐ"+ÑÐ+2Ñ%Ð"+Ñ%Ð+ *+""Ñ2 2
#
œ
œ œ œ " ß + œ "
89 /B3=>/ + Á "lim lim2Ä! 2Ä!
#2+2$+ '+$2 2
Ð"#+Ñ2$Ð+"Ñ
# #
si
, si
ÚÛÜ
lim2Ä!
0Ð+2ß"+Ñ0Ð+ß"+Ñ2 Ð+ß"+Ñ
œ Ð# B $Ñ œ #+ $¸
con lo cual es decirsi
, si
`0`B Ð+ß " +Ñ œ
" ß + œ "
89 /B3=>/ + Á "
ÚÛÜ
`0`B œ
#C " à B C " " à ÐBß CÑ œ Ð"ß !Ñ# B $ à B C "
ÚÛÜ
2.- por lateral ` 0`C`B 5 55Ä! 5Ä!
Ð"ß5Ñ Ð"ß!Ñ Ð"ß5Ñ"# `0 `0 `0`B `B `BÐ"ß !Ñ œ œlim lim
lim lim5Ä! 5Ä!
Ð"ß5Ñ"
5 5#5""
`0`B œ œ #
luego no existe lim lim5Ä! 5Ä!
Ð"ß5Ñ"
5 5 `C`B"" ` 0
`0`B
#
œ œ ! Ð"ß !Ñ
32
Ejemplo
Dada la funcion 0ÐBß CÑ œ %BC #B %C % à #B C "
%B 'C ' 'B à #B C "
ÚÛÜ #
1.- Determinar dominio de continuidad de 0
2.- Determinar la funcion y 0`0 `0`B `C #
"Ð ß Ñ
Solución
1.- CasoI si #B C Á "
es continua, ya que , esta formada por polinomios 0
Caso II si #B C œ "sea T œ Ð+ß #+ "Ñ
se tiene que 0Ð+ß #+ "Ñ œ )+ '+ )#
lim
lim
limÐ+ß#+"Ñ
Ð+ß#+"Ñ
Ð+ß#+"Ñ
#0ÐBß CÑ œ
%BC #B %C % à #B C "
%B 'C ' 'B à #B C "
ÚÝÝÛÝÝÜ
œ )+ '+ ) à #B C "
%+ ")+ "# à #B C "
ÚÛÜ
#
#
es decir , es continua cuando :
)+ '+ ) œ %+ ")+ "# Í $+ $+ " œ ! ´ J# # #
luego , no hay puntos de continuidad en la recta
con lo cual se tiene que es continua en0
W œ ÖÐBß CÑ − #B C Á "ב# 2.- Caso I si #B C Á "
33
`0`B œ
%C # à #B C "
) B ' à #B C "
ÚÛÜ
Caso II si , sea #B C œ " T œ Ð+ß #+ "Ñ
por laterales `0`B 22Ä!
0Ð+2ß#+"Ñ0Ð+ß#+"ÑÐ+ß #+ "Ñ œ lim
lim lim2Ä! 2Ä!
0Ð+2ß#+"Ñ0Ð+ß#+"Ñ %Ð+2Ñ 'Ð#+"Ñ''Ð+2ÑÐ + '+)Ñ2 2
# #
œ 8
œ lim2Ä!
%+ )+2%2 "#+'''+'2 + '+)2
# # #8
œ 89 /B3=>/lim2Ä!
+ "#+%Ð)+%2'Ñ22
#12
es decir no existe `0`B Ð+ß #+ "Ñ
con lo cual
`0`B œ
%C # à #B C "
) B ' à #B C "
ÚÛÜ
y 0 por laterales`0`C # 5
"
5Ä!
0Ð ß5Ñ0Ð ß ÑÐ ß Ñ œ lim
" "# # 0
lim5Ä!
0Ð ß5Ñ0Ð ß Ñ
5 Ð ß!Ñ
" "# #
"#
0œ %B # œ %¸
lim lim5Ä! 5Ä!
0Ð ß5Ñ0Ð ß Ñ
5 5"'5'$$
" "# # 0
œ
œ œ 89 /B3=>/lim5Ä!
'5"5
con lo cual `0`B #
"Ð ß !Ñ œ 89 /B3=>/
34
GUÍA DERIVADAS PARCIALES
I.- Determine por definición las derivadas parciales siguientes :
1.- Dada la funcion 0ÐBß CÑ œ #B C &B C %C &B #$ # #
a. `0 `0 `0 `0`B `C `B `BÐ"ß "Ñ à Ð"ß "Ñ à Ð "ß "Ñ à Ð "ß "Ñ
b. `0 `0`B `CÐBß CÑ à ÐBß CÑ
2.- Dada la funcion 0ÐBß CÑ œ &B C $BCBC %B #C "
# ##
# #
Determinar :
a. `0 `0 `0 `0`B `C `B `BÐ"ß #Ñ à Ð"ß #Ñ à Ð!ß #Ñ à Ð!ß #Ñ
b. `0 `0`B `CÐBß CÑ à ÐBß CÑ
3.- Dada la funciòn 0ÐBß CÑ œ 68Ð BC "Ñ $BC &B %C#
Determinar :
a. `0 `0 `0 `0`B `C `B `BÐ!ß !Ñ à Ð!ß !Ñ à Ð!ß "Ñ à Ð!ß "Ñ
b. `0 `0`B `CÐ+ß ,Ñ à Ð+ß ,Ñ
4.- Dada la funcion 0ÐBß CÑ œ $BC&B%C#BC
Determinar :
a. `0 `0 `0 `0`B `C `B `BÐ"ß "Ñ à Ð"ß "Ñ à Ð!ß "Ñ à Ð!ß "Ñ
b. `0 `0`B `CÐBß CÑ à ÐBß CÑ
35
5.- Dada la funcion 0ÐBß CÑ œ B/ $C$B C' ##
Determinar :
a. `0 `0 `0 `0`B `C `B `BÐ "ß #Ñ à Ð "ß #Ñ à Ð"ß #Ñ à Ð"ß #Ñ
b. `0 `0`B `CÐBß CÑ à ÐBß CÑ
6.- Dada la funcion 0ÐBß CÑ œ B=/8 Ð#BC #Ñ $CB#
Determinar :
a. `0 `0 `0 `0`B `C `B `CÐ"ß "Ñ à Ð"ß "Ñ à Ð "ß "Ñ à Ð "ß "Ñ
b. `0 `0`B `CÐBß CÑ à ÐBß CÑ
7.- Dada la funcion 1ÐBß CÑ œ #B " ÐC #Ñ $B %C¸ ¸ #
Determinar :
a. `1 `1 `1 `1`B # `C # `B `B
" "Ð ß #Ñ à Ð ß #Ñ à Ð"ß #Ñ à Ð"ß #Ñ
b. `1 `1 `1 `1`B # `C # `B `B
" "Ð ß "Ñ à Ð ß "Ñ à Ð!ß #Ñ à Ð!ß #Ñ
8.- Dada la funcion 1ÐBß CÑ œ B C ÐC "Ñ $B %C¸ ¸ #
Determinar :
a. `1 `1 `1 `1`B `C `B `BÐ"ß #Ñ à Ð"ß #Ñ à Ð"ß "Ñ à Ð"ß "Ñ
b. `1 `1 `1 `1`B `C `B `BÐ#ß "Ñ à Ð#ß "Ñ à Ð!ß #Ñ à Ð!ß #Ñ
9.- Dada la funcion 0ÐBß CÑ œ #B$C"
%B&C#
Determinar : a. `1 `1 `1 `1
`B `C `B `BÐ"ß "Ñ à Ð"ß "Ñ à Ð"ß "Ñ à Ð"ß "Ñ
36
10.- Dada la funcion
0ÐBß CÑ œ $B &C ( à ÐBß CÑ Á Ð!ß "Ñ
"# à ÐBß CÑ œ Ð!ß "Ñ
ÚÝÛÝÜ
BÐC"ÑB ÐC"Ñ
## #
Determinar :
a. `0 `0 `0 `0`B `C `B `BÐ!ß "Ñ à Ð!ß "Ñ à Ð"ß "Ñ à Ð"ß "Ñ
11.- Dada la funcion
0ÐBß CÑ œ #B %C $ à ÐBß CÑ Á Ð!ß "Ñ
( à ÐBß CÑ œ Ð!ß "Ñ
ÚÝÛÝÜ
B ÐC"ÑB #ÐC"Ñ
# ##
# #
Determinar :
a. `0 `0 `0 `0`B `C `B `BÐ!ß "Ñ à Ð!ß "Ñ à Ð "ß "Ñ à Ð "ß "Ñ
II.- Determine las funciones derivadas parciales de las siguientes funciones indicando dominio de la funcion y de sus derivadasß parciales :
1.- 0ÐBß CÑ œ 68Ð B C "Ñ # # #B"C "#
2.- 0ÐBß CÑ œ $BC&B$B $C "# #
3.- 0ÐBß CÑ œ #B %C 'B C #È$ # #
4.- 0ÐBß CÑ œ Ð#BC B $Ñ #B $C "# $ È#
5.- 0ÐBß CÑ œ ÐB "ÑC#
6.- 0ÐBß CÑ œ 68ÐB %B $CÑ#
37
7.- 0ÐBß CÑ œ B C & à ÐBß CÑ Á Ð!ß "Ñ
% à ÐBß CÑ œ Ð!ß "Ñ
ÚÝÛÝÜ
BCB
B #ÐC"Ñ# #
È # #
8.- 0ÐBß CÑ œ B/ $C#BC % $#
9.- 0ÐBß CÑ œ #B=/8Ð#BC )Ñ B C# # $
10.- 0ÐBß CÑ œ $B-9= Ð#BC %Ñ #BC# # $
11.- 0ÐBß CÑ œÐB CÑÐB #CÑ à B C !
ÐB CÑÐ#B $CÑ à B C !
ÚÛÜ
12.-
0ÐBß CÑ œÐB CÑÐB # Ñ à B C !
ÐB CÑÐ# CÑ à B C !
ÚÛÜ
13.- 1ÐBß CÑ œ Ð#B "Ñ C #¸ ¸
14.- 1ÐBß Cß DÑ œ #BC%B#CD ##
15.- 1ÐBß Cß DÑ œ B D#D B#C #
# #
#
16.- 1ÐBß Cß DÑ œ ÐB #D "Ñ ÐC B #B &CÑ# $ $
17.-
0ÐBß CÑ œÐ#B CÑÐB " Ñ à B "
ÐB CÑÐ" CÑ à B "
ÚÛÜ
III.- Dadas las funciones, determine las derivadas parciales que se indican:1.- 1ÐBß Cß DÑ œ #BCB$C
D "#
` 1 ` 1`C`B `C`D
# #
Ð!ß "ß "Ñ ß Ð!ß "ß "Ñ
38
2.- 1ÐBß Cß DÑ œ B / CDB à# CD $ ##
` 1 ` 1 ` 1`D`C `C`D `C`B
# # #
Ð"ß $ß "Ñ ß Ð"ß $ß "Ñ ß
3.- 1ÐBß Cß DÑ œ B D#D B#C #
# #
#
` 1 ` 1`C`B `C`D
# #
Ð!ß "ß "Ñ ß Ð!ß "ß "Ñ
4.- 1ÐBß CÑ œ Ð#B "Ñ C #¸ ¸
` 1 ` 1`C`B # `B`C
"# #
Ð ß # Ñ ß Ð "ß #Ñ
5.- 1ÐBß CÑ œ BÐC #Ñ C # $C %B ## #¸ ¸
` 1 ` 1`C `B
# #
# #Ð!ß # Ñ ß Ð !ß #Ñ
6.- ; 0ÐBß CÑ œ 68Ð#B C Ñ &/ ß# BC ` 0 ` 0`C`B `B`C
# #
7.- 0ÐBß CÑ œ =/8 Ð#B C Ñ $B/$ # BC
` 0 ` 0`C`B `B`C
# #
ß
8.- 0ÐBß CÑ œ 68 Ð#B C Ñ $C/# # B C$
` 0 ` 0`C`B `B`C
# #
ß
39
Interpretación Geométrica de la derivada parcial de una funcion en dos variables
Sea funcion y 0 À E © ïïïïïïïî Ð+ß ,Ñ − E‘ ‘#
ÐBß CÑ qqqqp 0ÐBß CÑ
tal que existe y `0`B Ð+ß ,Ñ 0Ð+ß ,Ñ œ -
Sea W œ ÖÐBß Cß DÑ − ÎD œ 0ÐBß CÑב$
como graficamente se tiene : `0`B B+BÄ+
0ÐBß,Ñ0Ð+ß,ÑÐ+ß ,Ñ œ ßlim
Si W œ ÖÐBß ,ß DÑ − ÎD œ 0ÐBß ,Ñ× œ W Cœ,
$‘ 1Cœ,
donde 1Cœ, œ ÖÐBß Cß DÑ − ÎC œ ,ב$
40
luego, como la pendiente de la recta tangente `D`B `B
`0Cœ,Ð+ß ,Ñ œ Ð+ß ,Ñ œ X
a la curva en , donde W X © ©Cœ, Cœ,1 1 1Cœ, Cœ, Cœ, Cœ,y W
con lo cual ya queX À œ œCœ,B+ D-" !
C,
Ð+ß,Ñ `D`B
X À D - œ Ð+ß ,ÑÐB +Ñ • C œ ,Cœ,`D`B
es decir es la recta que pasa por el punto y cuyo vectorX Ð+ß ,ß -ÑCœ,
director es el vector Ð"ß !ß Ð+ß ,ÑÑ `D`B
es decir es la pendiente de la recta `0`B Cœ, Cœ,Ð+ß ,Ñ X © 1
tangente a en el punto W Ð+ß ,ß -ÑCœ,
Analogamente, se tendra que , si existe, es la pendiente de `0`C Ð+ß ,Ñ
la recta tangente a en el punto X © W Ð+ß ,ß -ÑBœ+ Bœ+ Bœ+1
por lo tanto
X À D - œ Ð+ß ,ÑÐC +Ñ • B œ +Bœ+`D`C
À œ œB+ D-! "
C,
Ð+ß,Ñ `D`C
41
Ejemplo
Sea y 0ÐBß CÑ œ $B C #C B $B &BC ") T œ Ð "ß "ß ""Ñ# $
1.- Determinar la ecuacion de la recta tangente a la curva À
en el punto 1Cœ" K<+0Ð0Ñ T
2.- Determinar la ecuacion de la recta tangente a la curva À
en el punto 1Bœ" K<+0Ð0Ñ T
Solución
1.- Se tiene que luego `0 `0`B `B
$ÐBß CÑ œ 'BC #C $ &C Ð "ß "Ñ œ %
con lo cual X À D "" œ Ð "ß "ÑÐB "Ñ • C œ "1 `D`B
À D "" œ %ÐB "Ñ • C œ " es decir X À œ œ œ1
B" D""" ! %
C"-
# ÐBß CÑ œ $B 'C B &B Ð "ß "Ñ œ ).- Se tiene que luego `0 `0`C `C
# #
con lo cual X À D "" œ Ð "ß "ÑÐC "Ñ • B œ "`D`C1
À D "" œ )ÐC "Ñ • B œ " es decir X À œ œ œ
B" D""! " )
C"1 -
42
Ejemplo
Determinar la ecuacion de la recta tangente a la curva obtenida al cortar la superficie por el plano siW C œ " ß
W œ ÖÐBß Cß DÑ − ÎD œ $BC/ &C $B )ב$ BC# #
en el punto T œ Ð #ß "ß "$Ñ
Solución
luego `D `D`B `B
BC# # BC#ÐBß CÑ œ $C/ $BC / $ Ð #ß "Ñ œ '
con lo cual X À œ œ œB# D"$" ! '
C"1 -
Observación
Sea funcion y 0 À E © ïïïïïïïî Ð+ß ,Ñ − E‘ ‘#
ÐBß CÑ qqqqp 0ÐBß CÑ
tal que ; existen y `0 `0`B `CÐ+ß ,Ñ Ð+ß ,Ñ 0Ð+ß ,Ñ œ -
Sea W œ ÖÐBß Cß DÑ − ÎD œ 0ÐBß CÑב$
se tendra que , el plano formado por las rectas tangentes a las curvas W ß WBœ+ Cœ,
en el punto T œ Ð+ß ,ß -Ñ esta determinado porÀ
: 1
â ââ ââ ââ ââ ââ ââ â
B + C , D -
" ! Ð+ß ,Ñ
! " Ð+ß ,Ñ
œ !
`0`B`0`C
43
Ejemplo
Determinar la ecuacion del plano formado por las rectas tangentes a las curvas determinadas por la superficie , dondeW ß W WBœ" Cœ"
W œ ÖÐBß Cß DÑ − ÎD œ $B C #C B $B &BC ")ב$ # $
en el punto T œ Ð "ß "ß ""Ñ
Solución
como ; `0 `0`B `B
$ÐBß CÑ œ 'BC #C $ &C Ð "ß "Ñ œ %
`0 `0`C `C
# #ÐBß CÑ œ $B 'C B &B à Ð "ß "Ñ œ )
se tendra que
: 1
â ââ ââ ââ ââ ââ â
B " C " D """ ! %! " )
œ ! Í %B )C D œ #$
Observación
Sea funcion y 0 À E © ïïïïïïïî Ð+ß ,Ñ − E‘ ‘#
ÐBß CÑ qqqqp 0ÐBß CÑ
tal que ; existen y `0 `0`B `CÐ+ß ,Ñ Ð+ß ,Ñ 0Ð+ß ,Ñ œ -
Sea W œ ÖÐBß Cß DÑ − ÎD œ 0ÐBß CÑב$
se tendra que , la recta normal o perpendicular a en 1 T œ Ð+ß ,ß -Ñ esta determinado porÀ : R œ œ œB+ D-
Ð+ß,Ñ Ð+ß,Ñ
C," `0 `0
`B `C
-
Ejemplo
En el problema anterior, se tendra que
R œ œ œ : B+ D-% ) "
C,-
: B+ D-% ) "
C,œ œ œ -
44
Ejemplo Dada la funcion 0ÐBß CÑ œ &B C $BCBC %
B "# ##
#
Determinar :
.- " Ð"ß #Ñ` 0`C`B
#
2.- Determinar la ecuacion del plano formado por las rectas1
tangentes a las curvas determinadas por laW ß WBœ" Cœ#
superficie W À D œ 0ÐBß CÑen el punto T œ Ð"ß #ß #Ñ
3.- La ecuacion de la recta normal al plano en el punto 1 T œ Ð"ß #ß #Ñ
Solución
1.- `0 `0`B ÐB "Ñ `B
C ÐB "Ñ#BÐBC %Ñ # œ "!BC $C à Ð"ß #Ñ œ "!
# # #
# #
` 0 ` 0`C`B ÐB "Ñ `C`B
#CÐB "Ñ%B C# ## #
# #œ "!B 'C à Ð"ß #Ñ œ #
2.- `0 `0`C B " `C
#BCÐB "Ñ # œ &B $BC à Ð"ß #Ñ œ %
#
#
1 : D # œ "!ÐB "Ñ %ÐC #Ñ
3.- R À œ œ œB" D#"! % "
C#-
45
INTERPRETACIÓN ECONÓMICA DE LA DERIVADA PARCIAL
Supongamos que es la función producción respecto a lasD œ 0ÐBß CÑ cantidades de insumos ( .Bß CÑ
Se tiene que :
1. Es la función producción marginal de respecto a la variable `D`B 0 B
2. Es la función producción marginal de respecto a la variable `D`C 0 C
Donde , determinan la rapidez de cambio de la producción en `D `D`B `C
relación a e respectivamenteB C
Es decir , si en un cierto instante las cantidades de insumos son entonces se tiene que :ÐBß CÑ œ ÐB ß C Ñ œ T ß! !
, determinan la productividad marginal respecto a e `D `D`B `CÐT Ñ ÐT Ñ B C
en el instante , es decir :T
a) si 0 se tiene que ,al incrementar el insumo en una unidad a `D`B ÐT Ñ B
partir de dejando fijo en la productividad estima unB œ B C C! !
aumento aproximado de unidades `D`B ÐT Ñ
b) si 0 se tiene que ,al incrementar el insumo en una unidad a `D`B ÐT Ñ B
partir de dejando fijo en la productividad estima unaB œ B C C! !
disminución aproximada de unidades ÐT Ñ `D`B
Lo anterior es análogo para funciones de Costo, Ingreso,Utilidad ,...
Observación
Es claro que la interpretación más importante de la derivada parcial es la de rapidéz de cambio, manifestada en el punto anterior para el caso particular de la interpretación económica
46
Ejemplos
1. Sea la función producción para las cantidades eD œ &BC #B $C B C# #
de insumos. Determinar en el punto T œ Ð"!!ß *!Ñ
a) La productividad marginal respecto a B Solución con lo cual ( `D `D
`B `Bœ &C %B T Ñ œ &!
es decir À
"Þ B "Si se incrementa en ,la producción aumentara aproximadamente en unidades ,es decir&! DÐ"!"ß *!Ñ ¶ DÐ"!!ß *!Ñ &!
2. Si se disminuye en ,la producción disminuyeB " aproximadamente en unidades ,es decir&! DÐ**ß *!Ñ ¶ DÐ"!!ß *!Ñ &!
b) La productividad marginal respecto a C Solución con lo cual ( `D `D
`C `Bœ &B 'C T Ñ œ %!
es decir À
"Þ B "Si se incrementa en , la producción disminuye aproximadamente en unidades, es decir%! DÐ"!!ß *"Ñ ¶ DÐ"!!ß *!Ñ %!
2. Si se disminuye en , la producción aumentaB " aproximadamente en unidades, es decir%! DÐ"!!ß )*Ñ ¶ DÐ"!!ß *!Ñ %!
47
Ejemplo
Si se sabe que los costos de fabricación de una caja de lados rectangulares
es por de : la base US$ 3, la tapa US$ 2 y los laterales es de US$ 1.-7#
Determine .
1.- La rapidez de cambio del costo respecto a la dimensión de la altura de
la caja si sus medidas son : en la base 10 y 6 cm. , altura 9 cm.
2.- La rapidez de cambio del costo respecto a la dimensión del lado
menor de la base de la caja si sus medidas son : en la base 10 y 6 cm. ,
altura 9 cm.
Solución
G œ $BC #BC $BD #CD œ &BC #BD #CD
1.- `G `G`D `Dœ #B #C à Ð"!ß 'ß *Ñ œ $#
luego, se tiene que el costo esta aumentando con una rapidez de US$ 32
Es decir , si la altura se aumenta en y los otros lados se mantienen" -7Þß
constantes ,el costo aumenta en US$ 32 y si la altura se disminuye en "-7Þß
y los otros lados se mantienen constantes , el costo disminuye en US$ 32
2.- `G `G`C `Dœ &B #D à Ð"!ß 'ß *Ñ œ ')
luego, se tiene que el costo esta aumentando con una rapidez de US$ ')
Es decir , si el lado menor de la base se aumenta en y los otros lados" -7Þß
se mantienen constantes ,el costo aumenta en US$ 68 y si el lado menor de
la base se disminuye en y los otros lados se mantienen constantes , el"-7Þß
costo disminuye en US$ ')
48
Ejemplo
Una Compañia usa dos tipos de plasticos para producir juguetes.ß El costo de la producción al usar toneladas del plastico uno, toneladas B C del plastico dos esta dado por :
GÐBß C Ñ œ 'B %C Þ )!!!BC
Determine :
i. La rapidez de cambio del costo respecto a las toneladas del plastico
uno , si se están usando 25 toneladas de plastico uno,4 de plastico
dos
ii. La rapidez de cambio del costo respecto a las toneladas del plastico
dos , si se están usando 25 toneladas de plastico uno,4 de plastico
dos
Solución
i.- luego `G )!!! `G )!!! "%`B B C `B && %ÐBß C Ñ œ ' Ð#&ß % Ñ œ ' œ# %
por lo tanto la rapidez de cambio es de : "%&
es decir si aumentamos en dejando fijo a partir de (B " C #&ß %Ñ
se tendra que el costo aumentara aproximadamente en "%&
es decir : GÐ#'ß %Ñ ¸ GÐ#&ß %Ñ Ð#&ß % Ñ œ #%' `G "%`B &
ii.- luego `G )!!! `G`C BC `CÐBß C Ñ œ % Ð#&ß % Ñ œ "'#
por lo tanto la rapidez de cambio es de : "'
es decir si aumentamos en dejando fijo a partir de (B " C #&ß %Ñ
se tendra que el costo disminuira aproximadamente en "'
es decir : GÐ#&ß &Ñ ¸ GÐ#&ß %Ñ Ð#&ß % Ñ œ #%' "'`G`C
49
Ejemplo
Encuentre la funcion que determina el costo de todas las cajas cuyo
volumen sea de respecto a las dimensiones de la base:"'! Ò-7 Ó Bß Cß3
si se sabe que : el costo de la base y la tapa es de $ 90 el ,Ò-7 Ó#
el costo de dos caras paralelas es de $ el y el)! Ò-7 Ó#
costo de las otras dos caras paralelas es de $ el y'! Ò-7 Ó#
Determine :
i. si se sabe queLa rapidez de cambio del costo respecto a Blas dimensiones de la base de la caja son 8 y 4 Ò-7Ó
ii. si se sabe queLa rapidez de cambio del costo respecto a Clas dimensiones de la base de la caja son 8 y 4 Ò-7Ó
Solución
Se tiene que : GÐBß Cß DÑ œ ")!BC "'!BD "#!CD
y como : se tiene que es decir Z œ "'! BCD œ "'! D œ "'!BC
por lo tanto GÐBß CÑ œ ")!BC "'!B "#!C"'! "'!BC BC
œ ")!BC "'!†"'! "'!†"#!C B
œ ")!BC #&'!! "*#!!C B
i.- `G `G`B `BÐBß C Ñ œ Ð)ß % Ñ œ ")!C à ")! † % œ %#!"*#!! "*#!!
B )# #
es decir el costo aumenta con una rapidez de $ 420
ii.- `G `G`C `CÐBß C Ñ œ ÐBß C Ñ œ œ ")!B à ")! † ) "'!#&'!! #&'!!
C %# #
es decir el costo disminuye con una rapidez de $ 160
50
Ejemplo Si se desea construir una caja con tapa de volumen 216 de-7 ß$
modo que su forma sea la de un paralelepipedo.
1.- Encuentre la funcion que determina la superficie de dichas cajas respecto a las dimensiones de la base
2.- Considerando la funcion superficie obtenida. Si en cierto momento las dimensiones de la caja son : en la base 4 y 6 en la altura es de 9 -7ß -7Þ
Determine la rapidez de cambio de la superficie respecto a la dimension del lado menor de la base ¿ Que significa?Solución
1.- W œ #BC #BD #CD
pero Z œ #"' Í BCD œ #"' Í D œ #"'BC
con lo cual W œ #BC %$# %$#C B
W À ïïïïïî‘ ‘#
función superficie ÐBß CÑ qqqqp #BC %$# %$#
C B
2.- `W`B œ #C %$#
B#
`W`B Ð%ß 'Ñ œ "# %$#"' œ "# #( œ "&
es decir la superficie disminuye con una rapidez de 15 -7# es decir si si la magnitud de aumenta en una unidad ,de modoB que la magnitud de se mantiene fija ,C la superficie disminuye en 15 cm #
51
GUÍA APLICACIÓN DERIVADAS PARCIALES
I.- 1.- Dada la funciòn0 À qqqqqqqqqqqqp‘ ‘#
ÐBß CÑ qqp B C 'BC #BC &B $# $ # #
Determinar :
a. La ecuacion de la recta tangente a la curva en el puntoD œ 0ÐBß CÑ ,respecto a la variable T œ Ð"ß "ß ""Ñ B
b. La ecuacion de la recta tangente a la curva en el puntoD œ 0ÐBß CÑ ,respecto a la variable T œ Ð"ß "ß ""Ñ C
c. La ecuacion del plano formado por las rectas tangentes de los puntos a. b. en el punto T œ Ð"ß "ß ""Ñ
d. La ecuacion de la recta normal al plano obtenido en c. en el punto T œ Ð"ß "ß ""Ñ
2.- Dada la funciòn :
0ÐBß CÑ œ / ÐB #CÑ $BC &B #CB C" # $#
Determinar :
a. La ecuaciòn de la recta tangente a la curva en el puntoD œ 0ÐBß CÑ ,respecto a la variable T œ Ð"ß "ß &Ñ B
b. La ecuaciòn de la recta tangente a la curva en el puntoD œ 0ÐBß CÑ ,respecto a la variable T œ Ð"ß "ß &Ñ C
c. La ecuaciòn del plano formado por las rectas tangentes de los puntos a. b. en el punto T œ Ð"ß "ß &Ñ
d. La ecuaciòn de la recta normal al plano obtenido en c. en el punto T œ Ð"ß "ß &Ñ
52
3.- Dada la funciòn 0ÐBß CÑ œ &B C $BCBC %B #C "
# ##
# #
Determinar : a. `0 `0 `0 `0
`B `C `B `BÐ"ß #Ñ à Ð"ß #Ñ à Ð!ß #Ñ à Ð!ß #Ñ
b. `0 `0`B `CÐBß CÑ à ÐBß CÑ
c. La ecuaciòn de la recta tangente a la curva en el puntoD œ 0ÐBß CÑ ,respecto a la variable T œ Ð"ß #ß #Ñ B
d. La ecuaciòn de la recta tangente a la curva en el puntoD œ 0ÐBß CÑ ,respecto a la variable T œ Ð"ß #ß #Ñ C
e. La ecuaciòn del plano formado por las rectas tangentes de los puntos c. b. en el punto T œ Ð"ß #ß #Ñ
f. La ecuaciòn de la recta normal al plano obtenido en e. en el punto T œ Ð"ß #ß #Ñ
4.- Dada la funciòn 1ÐBß CÑ œ B C ÐC "Ñ $B %C¸ ¸ #
Determinar : a. `1 `1 `1 `1
`B `C `B `BÐ"ß #Ñ à Ð"ß #Ñ à Ð"ß "Ñ à Ð"ß "Ñ
b. `1 `1 `1 `1`B `C `B `BÐ#ß "Ñ à Ð#ß "Ñ à Ð!ß #Ñ à Ð!ß #Ñ
c. `1 `1`B `CÐBß CÑ à ÐBß CÑ
d. La ecuaciòn de la recta tangente a la curva en el puntoD œ 0ÐBß CÑ ,respecto a la variable T œ Ð"ß #ß 'Ñ B
e. La ecuaciòn de la recta tangente a la curva en el puntoD œ 0ÐBß CÑ ,respecto a la variable T œ Ð"ß #ß 'Ñ C
f. La ecuaciòn del plano formado por las rectas tangentes de los puntos d. e. en el punto T œ Ð"ß #ß 'Ñ
53
5.- Dada la funciòn
0ÐBß CÑ œ $B &C ( à ÐBß CÑ Á Ð!ß "Ñ
"# à ÐBß CÑ œ Ð!ß "Ñ
ÚÝÛÝÜ
BÐC"ÑB ÐC"Ñ
## #
Determinar :
a. `0 `0 `0 `0`B `C `B `BÐ!ß "Ñ à Ð!ß "Ñ à Ð"ß "Ñ à Ð"ß "Ñ
b. c. `0 `0 ` 0 ` 0`B `C `C`B `B`CÐBß CÑ à ÐBß CÑ Ð!ß "Ñ à Ð!ß "Ñ
# #
c. La ecuaciòn de la recta tangente a la curva en el puntoD œ 0ÐBß CÑ ,respecto a la variable T œ Ð!ß "ß "#Ñ B
d. La ecuaciòn de la recta tangente a la curva en el puntoD œ 0ÐBß CÑ ,respecto a la variable T œ Ð!ß "ß "#Ñ C
II.- 1.- Se tiene un paralelepípedo de lados .Bß CÞD Si estos miden : 20,40,80 cm. respectivamente Determine :
i) Con que rapidez varía el volumen respecto a B
ii) Con que rapidez varía el volumen respecto a C
iii) Con que rapidez varía el volumen respecto aD
2.- Dado un cilindro de radio y altura en cm.< 2
i) Determine con que rapidez varía el volumen del cilindrorespecto al radio en el instante en que r y œ & 2 œ $!
ii) Determine con que rapidez varía el volumen del cilindrorespecto a la altura en el instante en que r y œ & 2 œ $!
54
III.- 1. Sea 0ÐBß CÑ œ %BC B $C# #
Una funciòn de producciòn, donde es la cantidad de trabajo eB es la cantidad de capitalC
a). Determine la productividad marginal respecto del trabajo , en el instante en que la dotaciòn de insumos es de ($ † "! ß # † "! Ñ& $
b). Determine la productividad marginal respecto del capital , en el instante en que la dotaciòn de insumos es de ($ † "! ß # † "! Ñ& $
c). Explique el significado economico de los resultados obtenidos en a., b. ¿Cual es su recomendaciòn ?
2. Sea la funciòn Utilidad respecto al precio de ventaYÐBß CÑ e de dos artìculos en dolares.B C donde :
YÐBß CÑ œ Ð$#!! &!B #&CÑÐB %!Ñ Ð#&B #&CÑÐC &!Ñ
a. Determine la utilidad marginal respecto a ,en el instante en que los preciosB de venta son de US$ US$ respectivamente.)$ß *!
b. Determine la utilidad marginal respecto a en el instante en que los preciosC de venta son de US$ US$ respectivamente.)$ß *!
c. Explique el significado economico de los resultados obtenidos en a.,b.
55
3.- Sea MÐBß Cß DÑ œ 'BC "!#C #%B %CD "!%D C ((' $D# #
La función Ingreso, generada por la venta de tres tipos de articulos ,cuyos precios de venta son : Bß Cß D respectivamente. a. Determinar la funcion ingreso marginal respecto a B
b. Determinar la funcion ingreso marginal respecto a C
c. Determinar la funcion ingreso marginal respecto a D
d. Determinar el ingreso marginal respecto a si los precios deB venta son B œ $ ß C œ # ß D œ &
e. Determinar la funcion ingreso marginal respecto a si losCprecios de venta son B œ $ ß C œ # ß D œ &
f. Determinar la funcion ingreso marginal respecto a si losDprecios de venta son B œ $ ß C œ # ß D œ &
4.- La utilidad por acre de cierto cultivo de trigo esta determinada por: Y œ %& † P ) † W #! † J $ † P W # † J & † J † W# # #
en donde por acre es el costo por mano de obra , es el costo deP W la semilla y es el costo del fertilizante.J
a- ¿Cual es la utilidad si los costos por acre sonÀ ?P œ ) ß W œ % ß J œ $
b- ¿Cual es la utilidad marginal respecto a si los costos porP acre son ?P œ ) ß W œ % ß J œ $ c- ¿Cual es la utilidad marginal respecto a si los costos porW acre son ?P œ ) ß W œ % ß J œ $ d- ¿Cual es la utilidad marginal respecto a si los costos porJ acre son ?P œ ) ß W œ % ß J œ $
56
5.- Una Compañia usa Aluminio,Hierro y Magnesio para producir ß artículos de alta calidad.La cantidad de artículos que puede producir usando toneladas de Aluminio, toneladas de HierroB C y toneladas de Magnesio es D UÐBß Cß DÑ œ BCD Þ
El costo de la materia prima es de : Aluminio US$ 6 por tonelada;
Hierro US$ 4 por tonelada; y Magnesio US$ 8 por tonelada.Si se
desean manufacturar 1000 artículos.
Determine:
a- Cuál es el costo marginal respecto al número de toneladas de
Hierro si se estan usando 5 toneladas de Hierro,10
toneladas de Aluminio y 20 toneladas de Magnesio b. Cuál es el costo marginal respecto al número de toneladas de
Aluminio si se estan usando 5 toneladas de Hierro,10
toneladas de Aluminio y 20 toneladas de Magnesio
c. Cuál es el costo marginal respecto al número de toneladas de
Magnesio si se estan usando 5 toneladas de Hierro,10
toneladas de Aluminio y 20 toneladas de Magnesio