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Competencia
Aplica la derivada en problemas de la vida real
Contenidos DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
Evaluación
Sumativa y formativa
Docente: LUIS INFANTE Asignatura: MATEMATICA II Lapso Académico: 1-2020
Carrera: MECANICA GRUPO 1 Semestre: II Fecha de elaboración: MAYO 2020
DERIVADAS La guía tiene como propósito orientar al estudiante en la aplicación de la derivada
N° 01
Contenido
INTRODUCCIÓN .................................................................................................................................. 4
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO .................................................................................... 5
DEFINICIÓN (Función derivada) ......................................................................................................... 5
Derivadas laterales ......................................................................................................................... 7
Teorema (Coincidencia de las derivadas laterales) ....................................................................... 7
Ejercicios propuestos .................................................................................................................. 8
Derivación de funciones algebraicas.............................................................................................. 8
Fórmulas de Derivación: ................................................................................................................. 9
Funciones inversas ............................................................................................................................ 10
Derivada de una función de función ............................................................................................ 11
Derivadas de orden superior ........................................................................................................ 12
Problemas resueltos ................................................................................................................. 12
Regla de potencias para funciones .............................................................................................. 14
Regla de la cadena ........................................................................................................................ 15
Derivada de orden superior ......................................................................................................... 16
Ejercicios propuestos ................................................................................................................ 17
Derivación logarítmica ................................................................................................................. 18
Aplicaciones de la derivada .............................................................................................................. 20
La ecuación de la recta tangente ................................................................................................. 20
La ecuación de la recta normal .................................................................................................... 21
Proposición: .............................................................................................................................. 22
Definición de recta normal ........................................................................................................... 22
Curvas de tangente horizontal y curvas de tangente vertical ..................................................... 22
Derivación de funciones implícitas .............................................................................................. 23
Ejercicios propuestos ................................................................................................................ 26
2. 𝑦 = 𝑙𝑛𝑥 + 1𝑥 − 1 ; 𝑥 = −5 .............................................................................................. 26
3. 𝑦 = 𝑥 − 2𝑥 + 4 ; 𝑥 = −6 ..................................................................................................... 26
Extremos de funciones ................................................................................................................. 27
Definición: Extremos absolutos ................................................................................................... 27
Teorema del valor extremo .......................................................................................................... 29
Teorema de valor extremo ........................................................................................................... 29
Extremos de un punto frontera ................................................................................................... 29
Definición extremos absoluto .......................................................................................................... 30
Teorema del valor extremo .............................................................................................................. 30
Definición de extremos locales o extremos relativos ..................................................................... 30
Definición punto critico .............................................................................................................. 31
Teorema de Fermat .......................................................................................................................... 31
Estrategia para hallar los valores extremos en intervalos cerrados finitos ................................... 32
Ejercicios resueltos ........................................................................................................................... 32
INTRODUCCIÓN
La palabra calculus es una forma diminutiva de la palabra calx, que significa “piedra”. En civilizaciones antiguas,
piedras pequeñas o guijarros se usaban a menudo como medio de reconocimiento. En consecuencia, la palabra calculus
se refiere a cualquier método sistemático de computación. No obstante, durante los últimos siglos la connotación de la
palabra cálculo ha evolucionado para significar esa rama de las matemáticas relacionada con el cálculo y la aplicación de
entidades conocidas como derivadas e integrales. Así, el tema conocido como cálculo se ha dividido en dos áreas
amplias pero relacionadas: el cálculo diferencial y el cálculo integral.
Uno de los conceptos centrales que trata el cálculo diferencial es la razón de cambio de una cantidad respecto
de otra. Un caso particular de esta es el concepto de velocidad o rapidez instantánea. La generalización de esta última
tiene una gran variedad de interpretaciones en diversas disciplinas. La gran importancia que tiene el concepto de razón
de cambio instantánea en la aplicación de las matemáticas a las ciencias físicas y a las ciencias naturales, así como para
muchas otras disciplinas. La razón de cambio de una cantidad respecto de otra, está presente en muchos contextos. Por
otra parte, generalizaremos el concepto de razón de cambio instantánea a situaciones en las que el tiempo no es
necesariamente la variable independiente; en esos casos, será más propio hablar de razón de cambio en un punto dado
y no de razón de cambio en un instante. Sin embargo, y abusando un poco del lenguaje, hablaremos de razón de cambio
instantánea, aun cuando la variable independiente no sea el tiempo, y le daremos un nombre especial.
El concepto de derivada surgió en el siglo XVII con el problema de hallar la tangente a una función en uno de sus
puntos, y fue desarrollado por Newton y Leibnitz a partir de las ideas de Fermat.
En general, la Ciencia tuvo un gran impulso en su desarrollo por la necesidad de entender nuestro entorno. Los
problemas que propiciaron el concepto de derivada fueron:
- Determinar la ecuación de la recta tangente a una curva dada en un punto dado.
- Dada la ley del movimiento de una partícula a lo largo de a una recta, esto es. Si 𝑠 = 𝑓(𝑡) es la ecuación que da
la posición de la partícula sobre la recta en cada instante t, determinar la velocidad de la partícula en el instante t.
Al inicio, las definiciones no tenían precisión. En 1629, Pierre de Fermat hace un trabajo inicial sobre el primer
problema, encontrando una manera de construir tangentes a una parábola, y que contenía implícitamente la idea de
derivada. Más tarde, se ve que los dos problemas tenían algo en común y que la idea general para resolvemos llevaría a
la noción de la derivada de una función en un punto.
"La elegancia de un teorema es directamente proporcional al número de ideas que vemos e inversamente
proporcional al esfuerzo necesario para comprenderlas."
George Pólya, matemático húngaro
5
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
Sea 𝑓: ℝ → ℝ una función definida en el punto 𝑎 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) . Se dice que f es deriva en a si el siguiente limite
𝒇′(𝒂) = 𝐥𝐢𝐦𝒉→𝟎
[𝒇(𝒂 + 𝒉) − 𝒇(𝒂)
𝒉] (𝟏)
existe. Si la función f es derivable en a, 𝑓′(𝑎) se llama derivada de / en a. La notación 𝑓′(𝑎) se debe a Lagrange.
También se usan las notaciones:
𝐷𝑥𝑓(𝑎) 𝑑 𝑓(𝑥)
𝑑𝑥│𝑥=𝑎
𝑓̇(𝑎)
Y estas se deben a Cauchy, Leibniz y a Newton, respectivamente.
NOTA 1
La forma equivalente de (1) es:
𝒇′(𝒂) = 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂
[𝒇(𝒙) − 𝒇(𝒂)
𝒙 − 𝒂]
Ejemplo 1:
Halle la derivada de la función 𝑓(𝑥) = √𝑥 en 𝑥 = 4.
Por definición:
𝑓′(4) = lim𝑥→4
[𝑓(𝑥) − 𝑓(4)
𝑥 − 4] = lim
𝑥→4[√𝑥 − √4
𝑥 − 4] = lim
𝑥→4[(√𝑥 − 2
𝑥 − 4)(√𝑥 + 2
√𝑥 + 2)]
𝑓′(4) = lim𝑥→4
[(√𝑥)
2− 22
(𝑥 − 4)(√𝑥 + 2)] = lim
𝑥→4[
𝑥 − 4
(𝑥 − 4)(√𝑥 + 2)]
𝑓′(4) = lim𝑥→4
[1
√𝑥 + 2] =
1
√4 + 2=
1
2 + 2= 1
4
DEFINICIÓN (Función derivada)
Sea 𝑓: ℝ → ℝ una función. La función 𝑓′ esta dada por:
6
𝒇′(𝒙) = 𝐥𝐢𝐦𝒉→𝟎
[𝒇(𝒙 + 𝒉) − 𝒇(𝒙)
𝒉]
Si este límite existe, se denomina función derivada de 𝒇 o simplemente derivada de 𝒇.
El dominio de la función derivada de 𝑓 es:
𝐷𝑜𝑚(𝑓′) = {𝑥 ∈ 𝐷𝑓 ∶ 𝑓′(𝑥) 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑎}
Por otro lado, las notaciones más comunes para la derivada de 𝑦 = 𝑓(𝑥) son:
𝑓′(𝑥) ; 𝑑 𝑓(𝑥)
𝑑𝑥 ;
𝑑𝑦
𝑑𝑥 ; 𝑦′ ; 𝐷𝑥𝑓(𝑥) ; 𝑓̇(𝑥)
Al símbolo 𝑑 𝑓(𝑥)
𝑑𝑥 se lee: “derivada de 𝒇(𝒙) con respecto 𝒙”
Ejemplo 2.
(Derivada de la función constante) Demuestre que 𝑓(𝑥) = 𝑘 constante, es derivable y 𝑓′(𝑥) = 0 , ∀𝑥 ∈ ℝ.
En efecto:
𝑓′(𝑥) = limℎ→0
[𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ] = lim
ℎ→0[𝑘 − 𝑘
ℎ] = 𝑙𝑖𝑚
ℎ→0[0
ℎ] = lim
ℎ→0[0] = 0
Por lo tanto: 𝑓′(𝑥) = 0 , ∀𝑥 ∈ ℝ
Ejemplo 3:
Calcular, aplicando la definición en las dos formas, la derivada de la función 𝑓(𝑥) = 3𝑥2, en el punto 𝑥 = 2.
Solución:
𝑓′(2) = lim𝑥→2
[𝑓(𝑥) − 𝑓(2)
𝑥 − 2] = lim
𝑥→2[3𝑥2 − 3. 22
𝑥 − 2] = lim
𝑥→2[3 (𝑥2 − 22)
𝑥 − 2]
𝑓′(2) = 3 lim𝑥→2
[(𝑥 − 2)(𝑥 + 2)
𝑥 − 2] = 3 lim
𝑥→2[𝑥 + 2] = 3 (2 + 2) = 3 (4)
𝑓′(2) = 12
Por otro lado:
𝑓′(𝑥 = 2) = limℎ→0
[𝑓(2 + ℎ) − 𝑓(2)
ℎ] = lim
ℎ→2[3(2 + ℎ)2 − 3(2)2
ℎ]
𝑓′(𝑥 = 2) = 3 𝑙𝑖𝑚ℎ→2
[(2 + ℎ)2 − (2)2
ℎ] = 3 𝑙𝑖𝑚
ℎ→2[4 + 4ℎ + ℎ2 − 4
ℎ]
7
𝑓′(𝑥 = 2) = 3 𝑙𝑖𝑚ℎ→2
[4ℎ + ℎ2
ℎ] = 3 𝑙𝑖𝑚
ℎ→2[ℎ(4 + ℎ)
ℎ] = 3 𝑙𝑖𝑚
ℎ→2 (4 + ℎ)
𝑓′(𝑥 = 2) = 3 (4 + 0) = 3(4) = 12
Derivadas laterales
Si el límite que define la derivada lo tomamos solamente por la derecha o por la izquierda, obtenemos las
derivadas laterales.
Definición: Se llaman derivada por la derecha y derivada por la izquierda, respectivamente, a los siguientes
límites, si existen y son finitos:
𝑓′(𝑥0+) = lim
𝑥→𝑥0+[𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0
+)
𝑥 − 𝑥0+ ] = lim
ℎ→0+[𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0)
ℎ]
𝑓′(𝑥0−) = lim
𝑥→𝑥0−[𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0
−)
𝑥 − 𝑥0− ] = lim
ℎ→0−[𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0)
ℎ]
Para que se pueda definir la derivada por la derecha en el punto 𝑥0, la función tiene que estar definida, al
menos, en un intervalo del tipo [𝑥0 ; 𝑏), y para que exista la derivada por la izquierda, la función tiene que estar
definida, al menos, en un intervalo del tipo (𝑎 ; 𝑥0]. Para que la función sea derivable las dos derivadas laterales tienen
que coincidir.
Teorema (Coincidencia de las derivadas laterales)
Una función es derivable en un punto si y solo si las derivadas laterales coinciden en dicho punto.
Ejemplo:
Calcular las derivadas laterales de la función valor absoluto, en el origen de coordenadas.
Solución:
Sea la función 𝑓(𝑥) = |𝑥|. Evaluemos sus derivadas laterales:
𝑓′(0+) = lim𝑥→0+
[𝑓(𝑥) − 𝑓(0+)
𝑥 − 0+] = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0+[|𝑥| − |0+|
𝑥 − 0+]
𝑓′(0+) = lim𝑥→0+
[|𝑥|
𝑥] = lim
𝑥→0+[𝑥
𝑥] = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0+[1] = 1
Por otro lado
𝑓′(0+) = lim𝑥→0−
[𝑓(𝑥) − 𝑓(0−)
𝑥 − 0−] = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0+[|𝑥| − |0−|
𝑥 − 0−]
8
𝑓′(0−) = lim𝑥→0−
[|𝑥|
𝑥] = lim
𝑥→0+[−𝑥
𝑥] = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0+[−1] = −1
Luego la función valor absoluto no es derivable en el origen.
Ejercicios propuestos
Use la definición de derivada para encontrar la derivada de la función dada.
1. 𝑓(𝑥) = 5
2. 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 5
3. 𝑓(𝑥) = 5 − 3𝑥
4. 𝑓(𝑥) = 𝜋𝑥
5. 𝑓(𝑥) = 3𝑥2
6. 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 1
7. 𝑓(𝑥) = 5 + 2𝑥 − 𝑥2
8. 𝑓(𝑥) = 1
2 𝑥2 + 6𝑥 − 7
9. 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 3)2
10. 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 𝑥
11. 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 − 𝑥2
12. 𝑓(𝑥) = 3𝑥4
13. 𝑓(𝑥) = 2
𝑥+1
14. 𝑓(𝑥) = 𝑥+2
𝑥−1
15. 𝑓(𝑥) = 1
𝑥+
1
𝑥2
16. 𝑓(𝑥) = √3𝑥 + 2
Derivación de funciones algebraicas
UNA FUNCIÓN que tiene derivada en un punto 𝑥 = 𝑥0 se dice que es derivable en él. Una función es derivable
en un intervalo cuando lo es en todos los puntos del mismo.
Las funciones que aparecen en el cálculo elemental son, en general, derivables en su intervalo de definición,
pudiendo no serlo en algún punto aislado.
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Fórmulas de Derivación:
En las fórmulas siguientes u, v y w son funciones derivables de x, se asume que c y m son constantes.
1. 𝑑
𝑑𝑥(𝑐) = 0 (la derivada de una constante es cero)
2. 𝑑
𝑑𝑥(𝑥) = 1 ( la derivada de la función identidad es 1)
3. 𝑑
𝑑𝑥(𝑐𝑢) = 𝑐.
𝑑𝑢
𝑑𝑥 (la derivada de una constante por una función)
4. 𝑑
𝑑𝑥(𝑢 + 𝑣 − 𝑤 +⋯) =
𝑑𝑢
𝑑𝑥+𝑑𝑣
𝑑𝑥−𝑑𝑤
𝑑𝑥+⋯ (regla de la suma algebraica)
5. 𝑑
𝑑𝑥(𝑢𝑣) = 𝑢.
𝑑𝑣
𝑑𝑥+ 𝑣.
𝑑𝑢
𝑑𝑥 (regla del producto)
6. 𝑑
𝑑𝑥(𝑢
𝑐) =
1
𝑐 𝑑𝑢
𝑑𝑥 ; 𝑐 ≠ 0
7. 𝑑
𝑑𝑥(𝑐
𝑢) = 𝑐
𝑑
𝑑𝑥(1
𝑢) = −
𝑐
𝑢2 𝑑𝑢
𝑑𝑥
8. 𝑑
𝑑𝑥(𝑢
𝑣) =
𝑣.𝑑𝑢
𝑑𝑥 − 𝑢.
𝑑𝑣
𝑑𝑥
𝑣2 ; 𝑣 ≠ 0 (regla del cociente)
9. 𝑑
𝑑𝑥(𝑥𝑚) = 𝑚 𝑥𝑚−1
10. 𝑑
𝑑𝑥(𝑢𝑚) = 𝑚 𝑢𝑚−1
𝑑𝑢
𝑑𝑥
11. 𝑑
𝑑𝑥 (𝑒𝑢) = 𝑒𝑢 (
𝑑𝑢
𝑑𝑥)
12. 𝑑
𝑑𝑥 (𝑐𝑢) = (𝑙𝑛 𝑐) 𝑐𝑢 (
𝑑𝑢
𝑑𝑥) ; 𝑐 ∈ ℝ+
13. 𝑑
𝑑𝑥 (ln 𝑢) =
(𝑑𝑢
𝑑𝑥)
𝑢
14. 𝑑
𝑑𝑥(sin 𝑢) = cos 𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝑥
15. 𝑑
𝑑𝑥(cos𝑢) = − sin 𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝑥
16. 𝑑
𝑑𝑥(tan𝑢) = sec2 𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝑥
17. 𝑑
𝑑𝑥 (cot 𝑢) = − csc2 𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝑥
18. 𝑑
𝑑𝑥 (sec 𝑢) = sec 𝑢 tan 𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝑥
19. 𝑑
𝑑𝑥 (csc 𝑢) = − csc𝑢 cot 𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝑥
20. 𝑑
𝑑𝑥 (𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑢) =
(𝑑𝑢
𝑑𝑥)
√1+ 𝑢2
21. 𝑑
𝑑𝑥 (𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠 𝑢) = −
(𝑑𝑢
𝑑𝑥)
√1+ 𝑢2
22. 𝑑
𝑑𝑥 (𝑎𝑟𝑐 tan𝑢) =
(𝑑𝑢
𝑑𝑥)
1+ 𝑢2
23. 𝑑
𝑑𝑥 (𝑎𝑟𝑐 cot 𝑢) = −
(𝑑𝑢
𝑑𝑥)
1+ 𝑢2
24. 𝑑
𝑑𝑥 (𝑎𝑟𝑐 sec 𝑢) =
(𝑑𝑢
𝑑𝑥)
|𝑢|√1− 𝑢2
25. 𝑑
𝑑𝑥 (𝑎𝑟𝑐 csc𝑢) = −
(𝑑𝑢
𝑑𝑥)
|𝑢|√1− 𝑢2
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Funciones inversas
Sea la función 𝑦 = 𝑓(𝑥) derivable en el intervalo 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 y supongamos que 𝑑𝑦
𝑑𝑥 no cambia de signo
en dicho intervalo. Las figuras representadas en la Fig. 5-1a y 5-1b toman una sola vez cada uno de los valores
comprendidos entre 𝑓(𝑎) = 𝑐 y 𝑓(𝑏) = 𝑑. Por lo tanto, a cada valor de 𝑦 perteneciente a dicho intervalo le corresponde
un único valor de 𝑥, con lo cual 𝑥 es también una función de 𝑦, es decir 𝑥 = 𝑔(𝑦). Las funciones 𝑦 = 𝑓(𝑥) y 𝑥 = 𝑔(𝑦)
reciben el nombre de funciones inversas.
Ejemplo 1
a) 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 2 y 𝑥 = 𝑔(𝑦) = 1
3 (𝑦 − 2) son funciones inversas.
b) {𝑥 ≤ 2𝑦 ≥ −1
⟹ {𝑦 = 𝑥2 − 4𝑥 + 3
𝑥 = 2 − √𝑦 + 1; son funciones inversas.
{𝑥 ≤ 2𝑦 ≥ −1
⟹ {𝑦 = 𝑥2 − 4𝑥 + 3
𝑥 = 2 + √𝑦 + 1; son funciones inversas.
NOTA:
Para calcular 𝑑𝑦
𝑑𝑥⁄ en la función 𝑥 = 𝑔(𝑦)
i. Despejar 𝑦 si es posible y derivar con respecto a 𝑥
ii. Derivar 𝑥 = 𝑔(𝑦) con respeto a 𝑦
iii. Aplicar 𝑑𝑦
𝑑𝑥=
1
(𝑑𝑥𝑑𝑦)
Ejemplo 2
Calcular 𝑑𝑦
𝑑𝑥⁄ en la función 𝑥 = √𝑦 + 5
Solución:
𝒙 = √𝒚 + 𝟓 ⟹ 𝒙 − 𝟓 = √𝒚 ⟹ (𝒙 − 𝟓)𝟐 = (√𝒚)𝟐 ⟹ 𝒚 = (𝒙 + 𝟓)𝟐
11
𝑑𝑥
𝑑𝑦=𝑑
𝑑𝑦(𝑥) =
𝑑
𝑑𝑦(√𝑦 + 5) =
1
2𝑦−
12 =
1
2√𝑦
Luego:
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 2√𝑦 = 2(𝑥 − 5)
Derivada de una función de función
Si 𝑦 = 𝑓(𝑢) y 𝑢 = 𝑔(𝑥) resulta que 𝑦 = 𝑓[𝑔(𝑥)] es una función de 𝑥. En el caso de que 𝑦 sea una función
derivable de 𝑢 y 𝑢 lo sea con respecto a 𝑥, la función 𝑦 = 𝑓[𝑔(𝑥)] también será derivable con respecto a 𝑥. La derivada
𝑑𝑦𝑑𝑥⁄ se puede obtener por unos de los procedimientos siguientes.
a) Despejar a 𝑦 en función de 𝑥 y derivar
b) Derivar cada una de las funciones con respecto a la variable independiente y aplicar la fórmula de la
regla de la cadena 𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑑𝑦
𝑑𝑢 .𝑑𝑢
𝑑𝑥
Ejemplo 3:
Si 𝑦 = 2𝑢3 + 1 y 𝑢 = 5𝑥 − 1. Calcular 𝑑𝑦
𝑑𝑥⁄ .
Solución:
a) {𝑦 = 2𝑢3 + 1
𝑢 = 5𝑥 − 1 ⟹ 𝑦 = 2(5𝑥 − 1)3 + 1
Luego:
𝑑𝑦
𝑑𝑥=𝑑
𝑑𝑥[2(5𝑥 − 1)3 + 1] = 2.
𝑑
𝑑𝑥[(5𝑥 − 1)3]
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 2.3(5𝑥 − 1)2
𝑑
𝑑𝑥(5𝑥 − 1)
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 2.3.5(5𝑥 − 1)2
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 30(5𝑥 − 1)2
b)
{𝑦 = 2𝑢3 + 1
𝑢 = 5𝑥 − 1 ⟹ {
𝑑𝑦
𝑑𝑢= 6𝑢2
𝑑𝑢
𝑑𝑥= 5
12
Luego:
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑑𝑦
𝑑𝑢 𝑑𝑢
𝑑𝑥= 6𝑢2 . 5 = 30𝑢2 ∧ 𝑢 = 5𝑥 − 1
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 30(5𝑥 − 1)2
Derivadas de orden superior
La derivada de una función de 𝑥, 𝑦 = 𝑓(𝑥), recibe el nombre de primera derivada de la función. Si la primera
derivada es a su vez una función derivable, su derivada se denomina segunda derivada se representa por uno cualquiera
de los siguientes símbolos:
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2 𝑦′′ 𝑓′′(𝑥)
La derivada de esta segunda derivada, si existe es la derivada tercera de la función, y se representa por:
𝑑3𝑦
𝑑𝑥3 𝑦′′′ 𝑓′′′(𝑥)
Nota:
La derivada de un orden determinado en un punto solo puede existir cuando todas las funciones derivadas de
orden inferior son derivables en dicho punto.
Problemas resueltos
Derivar las siguientes funciones
1. 𝒚 = 𝟑 − 𝟐𝒙 + 𝟑𝒙𝟐 − 𝟓𝒙𝟒 − 𝟕𝒙𝟓
Solución:
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 0 − 2(1) + 3(2𝑥) − 5(4𝑥3) − 7(5𝑥4)
𝑑𝑦
𝑑𝑥= −2 + 6𝑥 − 20𝑥3 − 35𝑥4
2. 𝒚 = 𝟐𝒙𝟏
𝟐 + 𝟔𝒙𝟏
𝟑 − 𝟐𝒙𝟑
𝟐
Solución:
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 2(
1
2𝑥−
12) + 6 (
1
3𝑥−
23) − 2 (
3
2𝑥12) = 𝑥−
12 + 2𝑥−
23 − 3𝑥
12
13
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
1
√𝑥+
2
√𝑥23 − 3√𝑥
3. 𝒔 = (𝒕𝟐 − 𝟑)𝟒
Solución:
𝑑𝑠
𝑑𝑡= 4(𝑡2 − 3)3(2𝑡)
𝑑𝑠
𝑑𝑡= 2𝑡(𝑡2 − 3)3
4. 𝒛 = 𝟑
(𝒂𝟐− 𝒚𝟐)𝟐= 𝟑(𝒂𝟐 − 𝒚𝟐)
−𝟐
Solución:
𝑑𝑧
𝑑𝑦= 3(−2)(𝑎2 − 𝑦2)−3
𝑑
𝑑𝑦(𝑎2 − 𝑦2) = −6(𝑎2 − 𝑦2)−3(−2𝑦)
𝑑𝑧
𝑑𝑦=
12𝑦
(𝑎2 − 𝑦2)3
5. 𝒚 = (𝒙𝟐 − 𝟏)𝟑(𝟏 − 𝟐𝒙𝟑)
𝟐
Solución:
𝑑𝑦
𝑑𝑥= (1 − 2𝑥3)2.
𝑑
𝑑𝑥(𝑥2 − 1)3 + (𝑥2 − 1)3.
𝑑
𝑑𝑥(1 − 2𝑥3)2
𝑑𝑦
𝑑𝑥= (1 − 2𝑥3)2. 3(𝑥2 − 1)2. 2𝑥 + (𝑥2 − 1)3. 2(1 − 2𝑥3). (−6𝑥2)
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 6𝑥(1 − 2𝑥3)2(𝑥2 − 1)2 − 12𝑥2(𝑥2 − 1)3(1 − 2𝑥3)
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 6𝑥(1 − 2𝑥3)(𝑥2 − 1)2[(1 − 2𝑥3) − 2𝑥(𝑥2 − 1)]
6. 𝒚 = 𝟑−𝟐𝒙
𝟑+𝟐𝒙
Solución:
𝑦′ = (3 + 2𝑥)
𝑑𝑑𝑥(3 − 2𝑥) − (3 − 2𝑥)
𝑑𝑑𝑥(3 + 2𝑥)
(3 + 2𝑥)2
𝑦′ = (3 + 2𝑥)(−2) − (3 − 2𝑥)(2)
(3 + 2𝑥)2
14
𝑦′ = −2[(3 + 2𝑥) + (3 − 2𝑥)]
(3 + 2𝑥)2
𝑦′ = −2(6)
(3 + 2𝑥)2
𝑦′ = −12
(3 + 2𝑥)2
7. Hallar 𝒅𝒚
𝒅𝒙⁄ , en la función 𝒙 = 𝒚√𝟏 − 𝒚𝟐
Solución:
𝑑𝑥
𝑑𝑦= √1 − 𝑦2 .
𝑑𝑦
𝑑𝑦+ 𝑦.
𝑑
𝑑𝑦(√1 − 𝑦2)
𝑑𝑥
𝑑𝑦= √1 − 𝑦2 + 𝑦(
−2𝑦
2√1 − 𝑦2)
𝑑𝑥
𝑑𝑦= (√1 − 𝑦2)
2− 𝑦2
√1 − 𝑦2
𝑑𝑥
𝑑𝑦= 1 − 2𝑦2
√1 − 𝑦2
Luego:
𝑑𝑥
𝑑𝑦= 1 − 2𝑦2
√1 − 𝑦2 ⟹
𝑑𝑦
𝑑𝑥= √1 − 𝑦2
1 − 2𝑦2
Regla de potencias para funciones
Si 𝑛 es cualquier número real y 𝑢 = 𝑔(𝑥) es diferenciable en 𝑥, entonces
𝑑
𝑑𝑥[𝑔(𝑥)]𝑛 = 𝑛[𝑔(𝑥)]𝑛−1 𝑔′(𝑥)
o, en forma equivalente,
𝑑
𝑑𝑥𝑢𝑛 = 𝑛 𝑢𝑛−1
𝑑𝑢
𝑑𝑥
15
Regla de la cadena
Si la función 𝑓 es diferenciable en 𝑢 = 𝑔(𝑥) y la función 𝑔 es diferenciable en 𝑥, entonces la composición
𝑦 = (𝑓𝑜𝑔)(𝑥) = 𝑓[𝑔(𝑥)] es diferenciable en 𝑥
𝑑
𝑑𝑥 𝑓[𝑔(𝑥)] = 𝑓′[𝑔(𝑥)] 𝑔′(𝑢)
o, en forma equivalente,
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑑𝑦
𝑑𝑢 𝑑𝑢
𝑑𝑥
Aplicar la regla de la cadena a las siguientes funciones
1. 𝑦 = tan(6𝑥2 + 1)
Solución:
La función es tan 𝑢 , 𝑐𝑜𝑛 𝑢 = 6𝑥2 + 1 . Así:
2. 𝑦 = (3𝑥2 + 5)3 sin5𝑥 Solución:
𝑑𝑦
𝑑𝑥= (3𝑥2 + 5)3
𝑑
𝑑𝑥(sin5 𝑥) + sin5𝑥
𝑑
𝑑𝑥(3𝑥2 + 5)3
𝑑𝑦
𝑑𝑥= (3𝑥2 + 5)3 cos 5𝑥
𝑑
𝑑𝑥(5𝑥) + sin5𝑥 . 3(3𝑥2 + 5)2
𝑑
𝑑𝑥(3𝑥2 + 5)
𝑑𝑦
𝑑𝑥= (3𝑥2 + 5)3 5 cos 5𝑥 + sin 5𝑥 . 3(3𝑥2 + 5)2. 6𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥= (3𝑥2 + 5)2[5(3𝑥2 + 5) cos 5𝑥 + 18𝑥 sin5𝑥]
3. 𝑦 = cos4(2𝑥3 − 7𝑥2 + 1)
Solución:
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 4 cos3(2𝑥3 − 7𝑥2 + 1)
𝑑
𝑑𝑥[cos(2𝑥3 − 7𝑥2 + 1)]
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 4 cos3(2𝑥3 − 7𝑥2 + 1) [− sin(2𝑥3 − 7𝑥2 + 1)]
𝑑
𝑑𝑥(2𝑥3 − 7𝑥2 + 1)
𝑑𝑦
𝑑𝑥= −4 sin(2𝑥3 − 7𝑥2 + 1) cos3(2𝑥3 − 7𝑥2 + 1) (6𝑥2 − 14𝑥)
𝑑𝑦
𝑑𝑥= −4.2𝑥(3𝑥 − 7) 𝑠𝑖𝑛(2𝑥3 − 7𝑥2 + 1) 𝑐𝑜𝑠3(2𝑥3 − 7𝑥2 + 1)
16
𝑑𝑦
𝑑𝑥= −8𝑥(7 − 3𝑥) 𝑠𝑖𝑛(2𝑥3 − 7𝑥2 + 1) 𝑐𝑜𝑠3(2𝑥3 − 7𝑥2 + 1)
4. 𝑦 = sin(tan√3𝑥2 + 4)
Solución:
𝑑𝑦
𝑑𝑥= cos (tan√3𝑥2 + 4) .
𝑑
𝑑𝑥(𝑡𝑎𝑛√3𝑥2 + 4)
𝑑𝑦
𝑑𝑥= cos (tan√3𝑥2 + 4) sec2√3𝑥2 + 4 .
𝑑
𝑑𝑥(3𝑥2 + 4)
12
𝑑𝑦
𝑑𝑥= cos (tan√3𝑥2 + 4) sec2√3𝑥2 + 4 .
1
2 (3𝑥2 + 4)−
12 .𝑑
𝑑𝑥(3𝑥2 + 4)
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
1
2√3𝑥2 + 4 cos (tan√3𝑥2 + 4) sec2√3𝑥2 + 4 . (6𝑥)
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
3𝑥
√3𝑥2 + 4 cos (tan√3𝑥2 + 4) sec2√3𝑥2 + 4
NOTA:
i. Quizás el error más frecuente es olvidar efectuar la segunda parte de la regla de la cadena; a saber:
la derivada de la función interna. Ésta es la parte 𝑑𝑢
𝑑𝑥 en
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑑𝑦
𝑑𝑢 𝑑𝑢
𝑑𝑥
Por ejemplo, la derivada de 𝑦 = (1 − 𝑥)57 no es 𝑑𝑦
𝑑𝑥= 57(1 − 𝑥)56 puesto que es sólo la parte
𝑑𝑢
𝑑𝑥.
Podría ser útil usar de manera consistente el símbolo de operación 𝑑
𝑑𝑥:
𝑑
𝑑𝑥(1 − 𝑥)57 = 57(1 − 𝑥)56
𝑑
𝑑𝑥(1 − 𝑥) = 57(1 − 𝑥)56(−1)
ii. Un error menos común, pero tal vez más grave que el primero, consiste en diferenciar dentro la
función dada. En su examen, un estudiante escribió que la derivada de 𝑦 = cos(𝑥2 + 1) era 𝑑𝑦
𝑑𝑥= − sin2𝑥; es decir que la derivada del coseno es el negativo del seno y que la derivada de
(𝑥2 + 1) es 2𝑥. Ambas observaciones son correctas, pero la forma donde se escribieron juntas es
incorrecta. Tenga en cuenta que la derivada de la función interna es un múltiplo de la derivada de la
función externa. De nuevo, podría ser de ayuda usar el símbolo de operación 𝑑
𝑑𝑥. La derivada
correcta de es el producto de dos derivadas. 𝑑𝑦
𝑑𝑥= − sin(𝑥2 + 1)
𝑑
𝑑𝑥(𝑥2 + 1) = −2𝑥 sin(𝑥2 + 1)
Derivada de orden superior
A la derivada de una función se le llama derivada primera; a la derivada de la derivada primera, derivada
segunda; y así sucesivamente.
17
𝑦′′ = (𝑦′)′ = 𝑑
𝑑𝑥(𝑦′) =
𝑑
𝑑𝑥(𝑑𝑦
𝑑𝑥) =
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
Ejemplo 1: Hallar la derivada tercera de la función:
𝑓 (𝑥) = 𝑥 cos 𝑥
Solución:
𝑓′ (𝑥) = (1) cos𝑥 + 𝑥(− sin𝑥) = cos 𝑥 − 𝑥 sin 𝑥
𝑓′′ (𝑥) = − sin𝑥 − [(1) sin 𝑥 + 𝑥(cos 𝑥)] = −2 sin 𝑥 − 𝑥 cos 𝑥
𝑓′′′ (𝑥) = −2(cos 𝑥) − [(1) cos 𝑥 + 𝑥(− sin𝑥)] = −3 cos 𝑥 + 𝑥𝑠𝑖𝑛 𝑥
Ejemplo 2: Hallar las derivadas hasta de orden 4 de 𝑦 = 1
𝑥= 𝑥−1
Solución:
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑑
𝑑𝑥(𝑥−1) = (−1)𝑥−2 = −
1
𝑥2
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2=
𝑑
𝑑𝑥(𝑑𝑦
𝑑𝑥) =
𝑑
𝑑𝑥(−𝑥−2) = (−1)(−2)𝑥−3 =
2
𝑥3
𝑑3𝑦
𝑑𝑥3=
𝑑
𝑑𝑥 (
2𝑦
𝑑𝑥2) =
𝑑
𝑑𝑥 (2𝑥−3) = 2(−3)𝑥−4 = −
6
𝑥4
𝑑4𝑦
𝑑𝑥4=
𝑑
𝑑𝑥 (𝑑3𝑦
𝑑𝑥3) =
𝑑
𝑑𝑥(6𝑥−4) = 6(−4)𝑥−5 = −
24
𝑥5
Ejercicios propuestos
a. Encuentre 𝑑𝑦
𝑑𝑥
1. 𝑦 = (−4𝑥7)31
2. 𝑦 = (3𝑥2 − 𝑥)200
3. 𝑦 = (3
𝑥)13
4. 𝑦 = (𝑥 − 1
𝑥2)5
5. 𝑦 = 1
(3𝑥2−2𝑥−7)10
6. 𝑦 = 10
√3𝑥2−9𝑥+2
7. 𝑦 = (2𝑥 − 1)3(9 − 5𝑥)4
8. 𝑦 = 𝑥4(3𝑥2 − 1)5
9. 𝑦 = sin√3𝑥
10. 𝑦 = sec 𝑥2
11. 𝑦 = sec2 𝑥
12. 𝑦 = √1−𝑥2
1+𝑥2
13. 𝑦 = [𝑥 + (𝑥2 − 4)3]5
14. 𝑦 = 𝑥 (𝑥−1 + 𝑥−2 + 𝑥−3)−4
15. 𝑦 = sin(𝜋𝑥 + 1)
18
16. 𝑦 = −2 cos(5 − 3𝑥)
17. 𝑦 = sin5 3𝑥
18. 𝑦 = 4 cos2 √𝑥
b. En los problemas siguientes, encuentre la derivada indicada
i) 𝑓(𝑥) = sin 𝜋𝑥 ; 𝑓′′′(𝑥)
ii) 𝑦 = cos(2𝑥 + 1) ∶ 𝑑5𝑦
𝑑𝑥5
iii) 𝑦 = 𝑥 sin5𝑥 ; 𝑑3𝑦
𝑑𝑥3
iv) 𝑓(𝑥) = cos 𝑥2 ∶ 𝑓′′(𝑥)
c. La función 𝑅 = (𝑣02
𝑔⁄ ) sin 2𝜃 proporciona el rango de un proyectil disparado a un ángulo 𝜃 con respecto a la
horizontal con una velocidad inicial 𝑣0. Si 𝑣0 y 𝑔 son constantes, encuentre los valores de 𝜃 con los cuales 𝑑𝑅
𝑑𝜃⁄ = 0
d. El volumen de un globo esférico de radio 𝑟 es 𝑉 = 1
3 𝜋𝑟3 . El radio es una función del tiempo 𝒕 y aumenta a
razón constante de 5 pulg/min. ¿Cuál es la razón de cambio instantánea de 𝑉 con respecto a 𝑟?
e. Suponga que un globo esférico se infla a razón constante 𝑑𝑉 𝑑𝑡⁄ = 10 𝑝𝑢𝑙𝑔3
𝑚𝑖𝑛⁄ . ¿A qué ritmo aumenta su
radio cuando 𝑟 = 2 𝑝𝑢𝑙𝑔 ?
Derivación logarítmica
Dada una función 𝑦 = 𝑓 (𝑥), la derivación logarítmica consiste en tomar 𝐥𝐧 en los dos miembros de la
igualdad y derivar, después de simplificar. La derivación logarítmica se aplica:
1. Para derivar funciones exponenciales
2. Para simplificar la derivación de productos y cocientes.
3. Cuando una función tiene un aspecto complicado y está conformada por productos, cocientes, potencias o
radicales, el cálculo de su derivada se simplifica.
NOTA: La derivación logarítmica se puede aplicar incluso si la función toma valores negativos.
Ejemplo 1: Derivar 𝑦 = 𝑥tan𝑥
Solución: Tomando ln y derivando en ambos miembros resulta:
𝑦 = 𝑥tan𝑥 ⟹ ln 𝑦 = ln 𝑥tan𝑥 ⟹ 𝑙𝑛 𝑦 = tan 𝑥 ln 𝑥
19
⟹ 𝑑𝑦
𝑦= sec2 𝑥 ln 𝑥 + tan 𝑥 (
1
𝑥)
⟹ 𝑦′
𝑦=
ln 𝑥
cos2 𝑥+ tan 𝑥
𝑥
⟹ 𝑦′ = 𝑦 (𝑙𝑛 𝑥
𝑐𝑜𝑠2 𝑥+ 𝑡𝑎𝑛 𝑥
𝑥) ∧ 𝑦 = 𝑥𝑡𝑎𝑛𝑥
⟹ 𝑦′ = 𝑥𝑡𝑎𝑛𝑥 (𝑙𝑛 𝑥
𝑐𝑜𝑠2 𝑥+ 𝑡𝑎𝑛 𝑥
𝑥)
NOTA: La derivación logarítmica también se puede hacer aplicando la identidad logarítmica. 𝑦 = 𝑒ln𝑦
Así, en el ejemplo anterior tendríamos:
𝑦 = 𝑥tan𝑥 = 𝑒ln𝑥𝑡𝑎𝑛𝑥
= 𝑒tan𝑥 ln 𝑥
𝑦′ = 𝑒𝑙𝑛 𝑥𝑡𝑎𝑛𝑥
(𝑙𝑛 𝑥
𝑐𝑜𝑠2 𝑥+ 𝑡𝑎𝑛 𝑥
𝑥) = 𝑥𝑡𝑎𝑛𝑥 (
𝑙𝑛 𝑥
𝑐𝑜𝑠2 𝑥+ 𝑡𝑎𝑛 𝑥
𝑥)
Ejemplo 2: Derivar
𝑦 = 𝑥3 sin2 𝑥
(𝑥 + 1)(𝑥 − 2)3
Solución: Tomando ln en los dos miembros de la igualdad
ln 𝑦 = ln [𝑥3 𝑠𝑖𝑛2 𝑥
(𝑥 + 1)(𝑥 − 2)3]
Aplicando las propiedades de los logaritmos resulta,
ln 𝑦 = 3 ln 𝑥 + 2 ln sin𝑥 − ln(𝑥 − 1) + 3 ln(𝑥 − 2)
Derivando
𝑦′
𝑦= 3
𝑥+ 2 cos 𝑥
sin 𝑥−
1
𝑥 + 1−
3
𝑥 − 2
de donde, despejando 𝑦′ resulta:
𝑦′ = 𝑥3 sin2 𝑥
(𝑥 + 1)(𝑥 − 2)3 (3
𝑥+ 2 cot 𝑥 −
1
𝑥 + 1−
3
𝑥 − 2)
20
Aplicaciones de la derivada
La ecuación de la recta tangente
La pendiente de la recta tangente coincide con la derivada de la función, con lo cual:
Recta tangente
Tenemos que:
{
tan𝛼 = 𝑓′(𝑥0)
tan𝛼 = 𝑦 − 𝑓(𝑥𝑜)
𝑥 − 𝑥0
⟹ 𝑦 − 𝑓(𝑥𝑜)
𝑥 − 𝑥0= 𝑓′(𝑥0)
⟹ 𝑦 − 𝑓(𝑥0) = 𝑓′(𝑥0) (𝑥 − 𝑥0)
Luego, la ecuación de la recta tangente es:
𝑦 = 𝑓(𝑥0) + 𝑓′(𝑥0) (𝑥 − 𝑥0)
Ejemplo 1: Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva 𝑦 = √𝑥 en el punto 𝑥 = 1.
Solución:
Tenemos que:
𝑦 = 𝑓(𝑥) = √𝑥 ⟹ 𝑓′(𝑥) = 1
2√𝑥 ⟹ {
𝑓(1) = √1 = 1
𝑓′(1) = 1
2√1=1
2
21
Luego, la ecuación de la recta tangente es:
𝑦 = 𝑓(1) + 𝑓′(1) (𝑥 − 1) ⟹ 𝑦 = 1 + 1
2(𝑥 − 1) = 1 +
𝑥
2−1
2=𝑥
2−1
2
𝑦 = 𝑥 + 1
2
Ejemplo 2: Demostrar que la recta 𝑦 = −𝑥 es tangente a la curva dada por la ecuación:
𝑦 = 𝑥3 − 6𝑥2 + 8𝑥
Hallar el punto de tangencia.
Solución:
{𝑦 = −𝑥
𝑦 = 𝑥3 − 6𝑥2 + 8𝑥 ⟹ {
𝑦′ = −1
𝑦′ = 3𝑥2 − 12𝑥 + 8 ⟹ 3𝑥2 − 12𝑥 + 8 = −1
⟹ 3𝑥2 − 12𝑥 + 9 = 0 ⟹ 3(𝑥2 − 4𝑥 + 3) = 0 ⟹ 𝑥2 − 4𝑥 + 3 = 0
⟹ (𝑥 − 1)(𝑥 − 3) = 0 ⟹ {𝑥 − 1 = 0𝑥 − 3 = 0
⟹ {𝑥 = 1𝑥 = 3
⟹ {𝑦 = (1)3 − 6(1)2 + 8(1) = 1 − 6 + 8 = 3
𝑦 = (3)3 − 6(3)2 + 8(3) = 27 − 3 − 54 + 24 = −3
Comprobamos las posibles soluciones:
{𝑃(1; 3)
𝑄(3;−3) ⟹ {
𝑦 − 3 = (−1)(𝑥 − 1)
𝑦 − (−3) = (−1)(𝑥 − 3) ⟹ {
𝑦 − 3 = −𝑥 + 1𝑦 + 3 = −𝑥 + 3
⟹ {𝑦 = −𝑥 + 1 + 3𝑦 = −𝑥 + 3 − 3
⟹ {𝑦 = −𝑥 + 4 ; 𝑵𝑶
𝑦 = −𝑥
Las dos soluciones de la ecuación obedecen a que la curva tiene dos rectas tangentes con la misma pendiente
𝑦′ = −1, una en el punto 𝑃(1; 3)y otra en el punto 𝑄(3;−3).
La ecuación de la recta normal
Ejemplo 3: Hallar, gráficamente, un vector perpendicular al vector �⃗� = ⟨2; 3⟩ e indicar la relación que existe
entre sus componentes y sus pendientes.
Solución:
22
Tenemos que:
{�⃗� = ⟨2; 3⟩
𝑣𝑝⃗⃗⃗⃗⃗ = ⟨−3; 2⟩ ; las componentes se cambian de orden y
una de ellas de signos. Y para las pendientes:
{𝑚 =
3
2
𝑚1 = −2
3
⟹ 𝑚.𝑚1 = (3
2) (−
2
3) = −1
Es decir que:
𝑚.𝑚1 = −1 ⟹ 𝑚1 = −1
𝑚
Proposición:
Dos rectas perpendiculares tienen pendientes inversas y cambiadas de signos.
Definición de recta normal
Se llama recta normal a una curva, en un punto de la misma, a la perpendicular a la recta tangente en dicho
punto.
La pendiente de la recta tangente coincide con la derivada de la función, y la de la recta normal con su inversa
cambiada de signo, con lo cual resulta lo siguiente:
Ecuación de la recta tangente:
𝑦 − 𝑓(𝑥0) = 𝑓′(𝑥0) (𝑥 − 𝑥0)
Ecuación de la recta normal:
𝑦 − 𝑓(𝑥0) = −1
𝑓′(𝑥0) (𝑥 − 𝑥0)
Curvas de tangente horizontal y curvas de tangente vertical
Cuando la derivada se hace cero en un punto, entonces la tangente es una recta horizontal 𝑦 = 𝑦0, y la recta
normal es la recta vertical que pasa por el punto 𝑥 = 𝑥0.
Cuando la derivada se hace infinita en un punto, entonces la tangente es la recta vertical que pasa por el punto
𝑥 = 𝑥0, y la recta normal es la recta horizontal que pasa por el punto 𝑦 = 𝑦0.
Ejemplo 4: Hallar las rectas tangente y normal a la curva 𝑦 = √𝑥3
en el origen de coordenadas.
23
Solución:
𝑦 = √𝑥3
= 𝑥13 ⟹ 𝑦′ =
1
3𝑥−
23 =
1
3√𝑥23 ; 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒
𝑓′(0) = 1
3√023 =
1
0= +∞; 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑜 𝑐𝑢á𝑙:
Ecuación de la recta tangente: 𝑥 = 0.
Ecuación de la recta normal: 𝑦 = 0.
Función 𝒚 = √𝒙
𝟑
Derivación de funciones implícitas
Una función es una relación entre dos magnitudes. Cuando en la fórmula que las relaciona, una de las
magnitudes viene despejada en función de la otra, entonces se dice que la función viene definida de manera explícita.
𝑦 = 𝑓(𝑥)
Cuando ninguna de las dos magnitudes está despejada en función de la otra, sino que las magnitudes están
relacionadas mediante una ecuación, se dice que la función está definida de manera implícita.
𝐹(𝑥, 𝑦) = 0
Las funciones definidas de manera implícita se pueden derivar directamente, sin necesidad de despejar una de
las variables. Para ello basta con tener en cuenta que la variable 𝑦 es función de la 𝑥 y que, por tanto, cada vez que la
derivemos hay que multiplicarla por su derivada (se trata de derivar una función compuesta).
Pueden derivarse ecuaciones que no son funciones, pero que podrían descomponerse en varias funciones, sin
necesidad de descomponerlas, la derivada obtenida vale para todas las funciones.
Ejemplo 9: Derivar la ecuación
24
𝑥2 + 𝑦2 = 4
Solución:
Una manera de hacerlo sería descomponiéndola en dos funciones, es decir:
𝑥2 + 𝑦2 = 4 ⟹ 𝑦2 = 4 − 𝑥2 ⟹ 𝑦 = ±√4 − 𝑥2 ; 4 − 𝑥2 ≥ 0
⟹ {𝑦1 = √4 − 𝑥
2 ; −4 ≤ 𝑥 ≤ 4
𝑦2 = −√4− 𝑥2 ; −4 ≤ 𝑥 ≤ 4
⟹
{
𝑦′1 =
−2𝑥
2√4 − 𝑥2= −
𝑥
√4 − 𝑥2= −
𝑥
𝑦1
𝑦′2 = −−2𝑥
2√4 − 𝑥2= −
𝑥
(−√4 − 𝑥2)= −
𝑥
𝑦2
Sin embargo, no es necesario despejar la función, sino que podemos derivar directamente en la ecuación,
𝑥2 + 𝑦2 = 4 ⟹ 2𝑥 + 2𝑦𝑦′ = 0 ⟹ 2𝑦𝑦′ = −2𝑥 ⟹ 𝑦′ = 2𝑥
2𝑦
𝑦′ = 𝑥
𝑦
NOTA:
Hay que evitar derivar funciones que no existen. Por ejemplo la ecuación 𝑥2 + 𝑦2 = −4 no representa ningún
punto del plano y por tanto no tiene ningún significado analítico. No obstante, al ser una expresión algebraica podríamos
aplicarle las reglas de derivación y derivarla 2𝑥 + 2𝑦𝑦′ = 0, y podríamos pensar que 𝑦′ = 𝑥
𝑦 , sin embargo, estas
operaciones no tienen ningún sentido.
Ejemplo 10: Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a la circunferencia:
(𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 2)2 = 2
en los puntos en que 𝑥 = 3. Comprobar el resultado gráficamente.
Solución: Sea
𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 2)2 = 2
Derivamos de manera implícita
2(𝑥 − 2) + 2(𝑦 − 2)𝑦′ = 0 ⟹ 2[𝑥 − 2 + (𝑦 − 2)𝑦′] = 0
⟹ 𝑥 − 2 + (𝑦 − 2)𝑦′ = 0
⟹ (𝑦 − 2)𝑦′ = 2 − 𝑥
25
⟹ 𝑦′ = 2 − 𝑥
𝑦 − 2
hallamos los puntos correspondientes a 𝑥 = 3
𝑓(3, 𝑦) = (3 − 2)2 + (𝑦 − 2)2 = 2 ⟹ 1 + (𝑦 − 2)2 = 2
⟹ (𝑦 − 2)2 = 2 − 1
⟹ 𝑦− 2 = ±√1
⟹ 𝑦 = 2 ± 1
⟹ {𝑦1 = 2 + 1 = 3𝑦2 = 2 − 1 = 1
Para lo cual, 𝑥 = 3 tenemos dos puntos de la circunferencia 𝑃(3; 3) y 𝑄(3; 1).
Hallamos la tangente en cada uno de ellos.
{𝑃(3; 3)
𝑄(3; 1) ⟹ {
𝑦 − 3 = (2 − 3
3 − 2) (𝑥 − 3)
𝑦 − 1 = (2 − 3
1 − 2) (𝑥 − 3)
⟹ {𝑦 = 3 − 1(𝑥 − 3) = 3 + 𝑥 + 3
𝑦 = 1 + 1(𝑥 − 3) = 1 + 𝑥 − 3
⟹ {𝑦 = 3 − 1(𝑥 − 3) = 3 − 𝑥 + 3
𝑦 = 1 + 1(𝑥 − 3) = 1 + 𝑥 − 3
⟹ {𝑦 = −𝑥 + 6𝑦 = 𝑥 − 2
Tangentes a (𝒙 − 𝟐)𝟐 + (𝒚 − 𝟐)𝟐 = 𝟐
26
Ejercicios propuestos
a. Hallar la ecuación de la recta tangente y normal a la curva y en el punto dado.
1. 𝑦 = √𝑥2 − 3𝑥 + 2 ; 𝑥 = −1
Resp. {𝑇𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒: 𝑦 − √30 = −
2√30
15(𝑥 + 1)
𝑆𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒: 𝑦 − √30 = √30
4(𝑥 + 1)
2. 𝑦 = 𝑙𝑛 (𝑥+1
𝑥−1) ; 𝑥 = −5
Resp. {𝑇𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒: 𝑦 + 𝑙𝑛 2 = −
1
16(𝑥 + 5)
𝑆𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒: 𝑦 − 𝑙𝑛 2 = 16(𝑥 + 5)
3. 𝑦 = 𝑥−2
𝑥+4 ; 𝑥 = −6
Resp. {𝑇𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒: 𝑦 − 4 =
3
2(𝑥 + 6)
𝑆𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒: 𝑦 − 4 = −2
3(𝑥 + 6)
4. 𝑦 = 𝑥3 − 2𝑥2 − 5𝑥 + 2 ; 𝑥 = −2
Resp{𝑇𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒: 𝑦 = 15(𝑥 + 2)
𝑆𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒: 𝑦 = −1
15(𝑥 + 2)
.
5. 𝑦 = 𝑥2 + 3𝑥 + 9
4 ; 𝑥 = −
3
2
Resp. Resp{𝑇𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒: 𝑦 =
5
2
𝑆𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒: 𝑥 = −3
2
6. 𝑦 = 𝑥4 − 5𝑥2 + 4; 𝑥 = 2
Resp{𝑇𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒: 𝑦 = 12(𝑥 − 2)
𝑆𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒: 𝑦 = −1
12(𝑥 − 2)
b. Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes y normales a la curva y el punto dados (usar derivación de
funciones implícita)
7. (𝑥 − 3)2 + (𝑦 + 1)2 = 17 ; 𝑥 = −1
Resp.
𝑃(−1; 0) ⟹ {𝑇𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒: 𝑦 = 4(𝑥 + 1)
𝑆𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒: 𝑦 = −1
4(𝑥 + 1)
𝑄(−1;−2) ⟹ {𝑇𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒: 𝑦 + 2 = 4(𝑥 + 1)
𝑆𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒: 𝑦 + 2 = −1
4(𝑥 + 1)
8. (𝑥−3)2
9 +(𝑦+2)2
4= 1 ; 𝑥 = 3
Resp. 𝑃(3; 0) ⟹ {
𝑇𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒: 𝑦 = 0𝑆𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒: 𝑥 = 3
𝑄(3;−4) ⟹ {𝑇𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒: 𝑦 = −4𝑆𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒: 𝑥 = 3
9. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 16𝑥2 + 9𝑦2 − 32𝑥 + 18𝑦 = 119; 𝑥 = 0
27
Resp.
𝑃 (0;3+8√2
3) ⟹ {
𝑇𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒: 𝑦 −3+8√2
3=
8(4√2−3)
63𝑥
𝑆𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒: 𝑦 −3+8√2
3=
3(3+4√2)
8𝑥
𝑄 (0;3−8√2
3 ) ⟹ {
𝑇𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒: 𝑦 −3−8√2
3=
8(4√2−3)
63𝑥
𝑆𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒: 𝑦 −3−8√2
3=
3(3+4√2)
8𝑥
Extremos de funciones
Ahora abordaremos el problema de encontrar los valores máximo y mínimo de una función 𝑓 sobre un intervalo
𝐼. Veremos que al encontrar estos extremos de 𝑓 (en caso de haber alguno) en muchos casos es posible trazar
fácilmente su gráfica. Al encontrar los extremos de una función también es posible resolver ciertos tipos de problemas
de optimización. En esta guía establecemos algunas definiciones importantes y mostramos cómo puede encontrar los
valores máximo y mínimo de una función 𝑓 que es continua sobre un intervalo cerrado 𝐼.
Ejemplo 11:
En la gráfica de la función cuadrática 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 3𝑥 + 4 , se puede observar que en el punto 𝑉 (3
2; 7
4) que es el
vértice de la parábola que abre hacia arriba, en el rango de la función 𝑓 no hay un número menor a 7
4 . Decimos que el
extremo 𝑓 (3
2) =
7
4 es el mínimo absoluto de 𝒇.
Definición: Extremos absolutos
Un número 𝑓(𝑐1) es un máximo absoluto de una función 𝑓 si 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑐1) para toda 𝑥 en el dominio de 𝑓.
Un número 𝑓(𝑐1) es un mínimo absoluto de una función 𝑓 si 𝑓(𝑥) ≥ 𝑓(𝑐1) para toda 𝑥 en el dominio de 𝑓.
Los extremos absolutos también se denominan extremos globales. A partir de su experiencia al graficar
funciones debe serle fácil, en algunos casos, ver cuándo una función posee un máximo o un mínimo absoluto. En
general, una función cuadrática 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐; 𝑎 ≠ 𝑜 tiene un máximo absoluto o un mínimo absoluto. La
función 𝑓(𝑥) = 4 − 𝑥2 tiene el máximo absoluto 𝑓(0) = 4. Una función lineal 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, 𝑎 ≠ 0 no tiene extremos
absolutos. Las gráficas de las funciones conocidas 𝑦 =1
𝑥, 𝑦 = 𝑥3, 𝑦 = tan 𝑥, 𝑦 = 𝑒𝑥 y 𝑦 = ln 𝑥 muestran que éstas no
tienen extremos absolutos. Las funciones trigonométricas 𝑦 = sin 𝑥 y 𝑦 = cos 𝑥 tienen un máximo absoluto y un
mínimo absoluto.
28
Ejemplo 1:
Para 𝑓(𝑥) = sin 𝑥, 𝑓(𝜋 2⁄ ) = 1 es su máximo absoluto y 𝑓(3𝜋 2⁄ ) = −1 es su mínimo absoluto. Por
periodicidad, los valores máximo y mínimo también ocurren en:
{𝑓(𝑥) = 1 ; 𝑥 =
𝜋
2+ 2𝑛𝜋 = (
1
2+ 2) 𝑛𝜋 =
5
2𝑛𝜋, 𝑛 ∈ ℤ∗
𝑓(𝑥) = −1; 𝑥 = 3𝜋
2+ 2𝑛𝜋 = (
3
2+ 2)𝑛𝜋 =
7
2𝑛𝜋, 𝑛 ∈ ℤ∗
El intervalo sobre el que la función está definida es muy importante en la consideración de extremos.
Ejemplo 2:
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 definida sólo sobre el intervalo cerrado [1, 2], tiene el máximo absoluto 𝑓(2) = 4 y el mínimo
absoluto 𝑓(1) = 1. Su grafica es:
f definida sobre [1; 2] b) Por otra parte, si 𝑓(𝑥) = 𝑥2 está definida sobre el intervalo abierto (1; 2), entonces 𝑓 no tiene extremos
absolutos. En este caso, 𝑓(1) y 𝑓(2) no están definidos.
c) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 definida sobre [−1; 2] tiene el máximo absoluto 𝑓(2) = 4, pero ahora el mínimo absoluto es
𝑓(0) = 0. Su grafica es:
f definida sobre [−𝟏; 𝟐]
d) Por otra parte, si 𝑓(𝑥) = 𝑥2 está definida sobre el intervalo abierto (−1; 2), entonces 𝑓 tiene un máximo
absoluto en 𝑓(0) = 0, pero no un máximo absoluto.
NOTA:
Los incisos a) y c) del ejemplo 2 ilustran el siguiente resultado general.
29
Teorema del valor extremo
Una función 𝑓 continua sobre un intervalo cerrado [𝑎, 𝑏] siempre tiene un máximo absoluto y un mínimo
absoluto sobre el intervalo.
En otras palabras, cuando 𝑓 es continua sobre [a, b], hay números 𝑓(𝑐1) y 𝑓(𝑐2) tales que para toda 𝑥 en [a, b].
Los valores 𝑓(𝑐2) y 𝑓(𝑐1) son el máximo absoluto y el mínimo absoluto, respectivamente, sobre el intervalo cerrado
[𝑎, 𝑏]. Ver Figura:
La función f tiene un máximo absoluto y un mínimo absoluto
Teorema de valor extremo
Una función 𝑓 continua sobre un intervalo cerrado [𝑎, 𝑏] siempre tiene un máximo absoluto y un mínimo
absoluto sobre el intervalo.
En otras palabras, cuando f es continua sobre [𝑎, 𝑏], hay números 𝑓 (𝑐1) y 𝑓 (𝑐2) tales que 𝑓 (𝑐1) ≤ 𝑓 (𝑥) ≤
𝑓 (𝑐2) para toda 𝑥 en [𝑎, 𝑏]. Los valores 𝑓 (𝑐2) y 𝑓 (𝑐2) son el máximo absoluto y el mínimo absoluto, respectivamente,
sobre el intervalo cerrado[𝑎, 𝑏], como se observa en la figura.
La función f tiene un máximo y un mínimo absoluto
Extremos de un punto frontera
Cuando un extremo absoluto de una función ocurre en un punto frontera de un intervalo I, como en los incisos
a) y c) del ejemplo 2, decimos que se trata de un extremo de un punto frontera. Cuando I no es un intervalo cerrado; es
decir, cuando I es un intervalo como (a, b], (−∞, 𝑏] o [𝑎,∞) entonces aunque f sea continua no hay garantía de que
exista un extremo absoluto. Como se observa en la siguiente figura.
30
Función f continua en un intervalo que no tiene ningún extremo absoluto
Definición extremos absoluto
Sea c un punto del dominio de la función f. Diremos que:
a. f(c) es el valor máximo de f, el máximo absoluto de f o simplemente, el máximo de f. si
𝑓(𝑐) ≥ 𝑓(𝑥), ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓)
b. f(c) es el valor mínimo de f, el mínimo absoluto de f o, simplemente, el mínimo de f. si
𝑓(𝑐) ≤ 𝑓(𝑥), ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓)
c. f(c) es un valor extremo de f si f(c) es un máximo o un mínimo.
Teorema del valor extremo
Si f es una función continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces f tiene máximo y mínimo en [a. b]; es decir
existen dos puntos “c” y “d” en el intervalo [a, b] tales que f(c) es el valor máximo y f (d) es el valor mínimo de f.
Definición de extremos locales o extremos relativos
Sea c un punto del dominio de la función f. Diremos que:
a. 𝑓(𝑐) es un máximo local o un máximo relativo de f, si existe un intervalo abierto (𝑎, 𝑏) = 𝐼 que contiene a c y se cumple que:
f(c) ≥ f(x), ∀𝑥 ∈ 𝐼
b. 𝑓(𝑐) es un mínimo local o un mínimo relativo de f, si existe un intervalo abierto que
(𝑎, 𝑏) = 𝐼 contiene a c y se cumple que:
31
f(c) ≤ f(x), ∀𝑥 ∈ 𝐼
c. 𝑓(𝑐) es un extremo local o un extremo relativo de f es un máximo local o mínimo local.
Definición punto critico
Un número crítico de una función f es un número c en el dominio f tal que:𝑓′(𝑐) = 0 𝑜 𝑓′(𝑐) 𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒.
En este caso el punto (𝑐, 𝑓(𝑐)) es un punto crítico.
Teorema de Fermat
Si f tiene un extremo local en c, entonces c es un número crítico.
Nota:
La proposición reciproca al teorema de Fermat no es cierta.
Ejemplo 1:
Sea la función 𝑓(𝑥) = 𝑥3. Demostrar que 0 es un número crítico. Nótese que 𝑓(0) = 03 = 0 no es un extremo
local.
Solución:
𝑓(𝑥) = 𝑥3 ⟹ 𝑓′(𝑥) = 3𝑥2
Luego 0 es un numero critico de 𝑓, pero mirando el gráfico se ve que 𝑓 no tiene un extremo local.
Ejemplo 2:
Hallar los números críticos de la función 𝑓(𝑥) = 3√𝑥2 − 2𝑥3
SOLUCIÓN:
𝑓(𝑥) = 3√𝑥2 − 2𝑥3
⟹ 𝑓′(𝑥) = 3 (1
3) (𝑥2 − 2𝑥)−
23 (2𝑥 − 2) =
2
3 {
𝑥 − 1
[𝑥(𝑥 − 2)]23
}
Ahora,
32
𝑓′(𝑥) = 0 ⟹ 2
3 {
𝑥 − 1
[𝑥(𝑥 − 2)]23
} = 0 ⟹ x − 1 = 0 ⟹ x = 1
Nótese que: 𝑓′(𝑥) no está definida en 𝑥 = 0 ni en 𝑥 = 2. Luego los números críticos. Sin embargo, ni
𝑓(0) = 0 𝑛𝑖 𝑓(2) = 0 son extremos locales.
Estrategia para hallar los valores extremos en intervalos cerrados finitos
De los dos teoremas anteriores obtenemos la siguiente estrategia para hallar los valores extremos de una
función continua f en un intervalo cerrado la, b].
Paso 1. Hallar los puntos críticos de f en el intervalo [a, b].
Paso 2. Evaluar f en a, en b y en los puntos críticos.
El mayor de los valores del paso 2 es el máximo; y el menor, es el mínimo.
Ejercicios resueltos En los siguientes problemas determinar el máximo y el mínimo absoluto de la función en el intervalo cerrado
indicado.
1. 𝑓(𝑥) = 𝑥
1+𝑥 𝑒𝑛 [1,3]
Solución:
𝑓(𝑥) = 𝑥
1 + 𝑥 ⟹ 𝑓′(𝑥) =
(1)(1 + 𝑥) − 𝑥(1)
(1 + 𝑥)2=
1
(1 + 𝑥)2
Así:
𝑓′(𝑥) = 0 ⟹ 1
(1 + 𝑥)2= 0 ⟹ ∀𝑥 ∈ [1,3] ∶ (1 + 𝑥)2 ≥ 4
⟹ ∀𝑥 ∈ [1,3] ∶ 1
(1 + 𝑥)2 ≤
1
4
⟹ ∀𝑥 ∈ [1,3] ∶ 𝑓′(𝑥) > 0
Además,
𝑓′(𝑥) = 1
(1 + 𝑥)2 ⟹ 𝑓′(−1) =
1
(1 − 1)2= 1
0
En conclusión, la función tiene punto crítico en 𝑥 = −1 ∉ [1,3]
Evaluemos los extremos del intervalo
33
{𝒇(𝟏) =
𝟏
𝟏 + 𝟏=𝟏
𝟐:𝒎𝒊𝒏𝒊𝒎𝒐
𝒇(𝟑) = 𝟑
𝟏 + 𝟑=𝟑
𝟒:𝒎á𝒙𝒊𝒎𝒐
2. 𝑓(𝑥) =𝑥
1+𝑥2 𝑒𝑛 [−2,3]
Solución:
𝑓(𝑥) =𝑥
1 + 𝑥2 ⟹ 𝑓′(𝑥) =
(1)(1 + 𝑥2) − 𝑥(2𝑥)
(1 + 𝑥2)2= 1 + 𝑥2 − 2𝑥2
(1 + 𝑥2)2=
1 − 𝑥2
(1 + 𝑥2)2
Luego:
𝑓′(𝑥) = 0 ⟹ 1 − 𝑥2
(1 + 𝑥2)2= 0 ⟹ (1 − 𝑥)(1 + 𝑥) = 0
⟹ {1 − 𝑥 = 01 + 𝑥 = 0
⟹ {𝑥 = 1𝑥 = −1
Evaluemos estos puntos críticos y los extremos del intervalo dado en la función:
{
𝑥 = −2𝑥 = −1𝑥 = 1𝑥 = 3
⟹
{
𝑓(−2) =
−2
1 + (−2)2= −
2
5
𝑓(−1) =−1
1 + (−1)2= −
1
2
𝑓(1) =1
1 + 12=1
2
𝑓(3) =3
1 + 32=3
10
En resumen:
{𝒎𝒊𝒏𝒊𝒎𝒐: 𝒇(−𝟏) = −
𝟏
𝟐
𝒎á𝒙𝒊𝒎𝒐: 𝒇(𝟏) =𝟏
𝟐
3. 𝑓(𝑥) = tan 𝑥 − 𝑥 𝑒𝑛 [−𝜋
4,𝜋
4]
Solución:
𝑓(𝑥) = tan 𝑥 − 𝑥 ⟹ 𝑓′(𝑥) = sec2 𝑥 − 1 = 0 ⟹ tan2 𝑥 = 0
34
⟹ sin2 𝑥 = 0 ⟹ sin 𝑥 = 0 ⟹ 𝑥 = sin−1 0 ⟹ 𝑥 = 0 ∈ [−𝜋
4,𝜋
4]
Evaluemos este punto crítico y los extremos del intervalo dado en la función:
{
𝑥 = −
𝜋
4𝑥 = 0
𝑥 =𝜋
4
⟹
{
𝑓 (−
𝜋
4) = tan (−
𝜋
4) − (−
𝜋
4) = −1 +
𝜋
4=𝜋 − 4
4
𝑓(0) = tan0 − 0 = 0 − 0 = 0
𝑓 (𝜋
4) = tan
𝜋
4− 𝜋
4= 1 −
𝜋
4= 4 − 𝜋
4
En resumen:
{𝒎𝒊𝒏𝒊𝒎𝒐: 𝒇 (−
𝝅
𝟒) =
𝝅 − 𝟒
𝟒
𝒎á𝒙𝒊𝒎𝒐: 𝒇 (𝝅
𝟒) =
𝟒 − 𝝅
𝟒