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DERIVADAS

Ejercicio n 01El nmero de bacterias de un cultivo vara con el tiempo, expresado en minutos, segn la ecuacin N=500+50t-t2 para t [0,35]

Cul es la velocidad de crecimiento de la poblacin en el instante t=7 min?

Solucin Hallando la derivada de la funcin N(t), N(t) es la velocidad de crecimiento de la poblacin en cualquier instante t. Hallando N(7) podremos responder a la pregunta

N=500+50t-t2N=50-2tN(7)=50-2*7=50-14=36Velocidad de crecimiento en el instante t= 7 min = 36 bacterias por minuto.

Quiere decir que en el instante 7 min la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto (7, 801) es tan (a)=36

LA DIFERENCIALDefinicin: La diferencial de una funcin en un punto es el incremento de la ordenada de la tangente en ese punto.

DEFINICINSea una funcin y = f(x). Dado un punto de abscisa x, se le dota de un pequesimo incremento (aumento) h y se encuentra un punto x + h. Se traza la tangente a la curva en el punto de abscisa x, y desde x + h se levanta una paralela al eje de ordenadas hasta cortar a la curva y a la tangente.

Diferencial de una funcin en un punto:Se definediferencial de una funciny = f(x)en un puntox, y se simboliza pordydf(x), al productof'(x) h. Por tanto dy = df(x) = f'(x) hPropiedades de la diferencial:Primera propiedad: La diferencial de una funcin en un punto depende de dos variables: el puntoxelegido y el incrementohque se ha tomado.Segunda propiedad: Al serdy=f' (x)h= la diferencia de una funcin en un punto es el incremento(aumento) de la ordenada de la tangente al aumentar enhun punto de abscisax.Tercera propiedad: Si se considera la funciny = f(x) = x, df(x) = dx = f'(x) h =1 h = h.As,dx = hy

Cuarta propiedad: cuandohes infinitamente pequeo, el

cocientedyes prcticamente igual a

cuandohes muy pequeo, con la seguridad de que el error cometido ser mnimo.