DERIVADAS

Facultad de Ingeniera Matemtica II

DERIVADASI. INTRODUCCIN MOTIVACIN

Se abre aqu el estudio de uno de los conceptos fundamentales del clculo diferencial: la derivada de una funcin.

En este tema, adems de definir tal concepto, se mostrar su significado y se hallarn las derivadas de las funciones ms usuales. Es de capital importancia dominar la derivacin para despus poder abordar el trazado de curvas, as como para comprender la utilidad del clculo integral, que se estudiarn a continuacin.

La nocin de derivada es histricamente anterior al concepto de lmite aunque actualmente se estudie aqulla inmediatamente despus de ste, por razones que sern fcilmente comprensibles.

La derivada como aplicacin es utilizada en economa para calcular las variaciones que ciertas variables generan en otras y analizar mejor el proceso econmico. Asimismo, se utiliza tambin en la determinacin de resultados variados frente a cambios pequeos, casi imperceptibles de las variables relevantes.

II. CAPACIDAD A LOGRAR

Analiza las aplicaciones de la derivada en la solucin de modelos econmicos, fsicos, biolgicos y de la ingeniera.III. DESARROLLO TERICO PRCTICO

A. Definicin Derivada

Si en la definicin de razn de cambio se y si se toma incrementos de muy pequeos, entonces se tiene:

Lo cual se define como la derivada de la funcin respecto a .

Si estas interesado en hallar la derivada en un punto entonces, tendras

El proceso de clculo de la derivada de una funcin se llama derivacin. Una funcin se dice que es derivable en x si existe su derivada en x, y derivable en un intervalo abierto ( a, b) si lo es en todos los puntos del intervalo. Notaciones de la derivada de son:

Ejemplos:

Hallar las derivadas de las siguientes funciones:

a)

b)

c) .

D. Interpretacin Geomtrica

Q

P

Observemos que nuestro objetivo es que: , para esto, consideremos que:

La pendiente de la recta secante estar dado por: , pero para que , es decir, Q P es necesario que en la pendiente , . Tendremos entonces que la pendiente de la recta tangente sera:

Luego diremos que:

E. REGLAS BSICAS DE DERIVACIN

F. TABLA DE DERIVADAS DE ALGUNAS FUNCIONES.

IV. ACTIVIDADES. EJERCICIOS PROPUESTOSLuego de haber desarrollado los contenidos referentes a Derivada, te proponemos los siguientes ejercicios, te recomendamos sigas las instrucciones.a) Identifique las propiedades y/o reglas a aplicar.b) Utilice las reglas identificadas para calcular la derivada de las funciones dadas.EJERCICIOS I. Hallar las derivadas de las siguientes funciones.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

i)

EJERCICIOS II. Hallar la derivada de las siguientes funciones.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8) f(x) =

9)

10) f(x) =

11)

12) 13)

14)

15)

16)

17)

18)

19

20)

21)

22)

23) 24)

V. ACTIVIDADES DE EXTENSIN. PROBLEMAS DE APLICACINInstrucciones. Realice las siguientes actividades. Examina brevemente las funciones. Aplica derivada para hallar incremento, razn de cambio o comportamiento de una funcin.

Interpreta los resultados.

1. La funcin de costo para un producto es , donde x es el nmero de unidades producidas y C es el costo en miles de pesos. Encuentra e interpreta el costo marginal para x = 35.

2. La ganancia total (en decenas de dlares) por la venta de x libros es .

Encuentra e interpreta la ganancia promedio en cada uno de los siguientes niveles de venta.

a) x librosb) 3 libros

c) 8 librosd) 15 libros

Encuentra e interpreta la ganancia marginal en cada uno de los siguientes niveles de venta.

e) x librosf) 3 libros

g) 8 librosh) 15 libros

i) Cul es la diferencia entre ganancia promedio y ganancia marginal?

3. Se estima que dentro de t aos, la poblacin de cierta comunidad ser .

Evala e interpreta la razn de cambio de la poblacin a:

a) t aos b) un aoc) dos aos

4. Una empresa construye un complejo habitacional en una comunidad. Los planeadores estiman que la poblacin (en miles de habitantes) dentro de t aos estar dada por .

a) Calcula la razn de cambio de la poblacin respecto al tiempo.

b) Cul ser la poblacin a los 10 aos?

c) A qu razn estar aumentando la poblacin cuando t = 10?

5. Una funcin de costo total est dada por calcula el costo marginal cuando x = 10 unidades.6. La funcin de costo medio de un fabricante en dlares, est dada por , calcula el costo marginal cuando x = 45 ( redondea a dos decimales ).7. La ecuacin de la demanda para un producto est dada por . Encuentra la razn de cambio del precio p con respecto a la cantidad x, cuando x = 400 unidades.

8. Suponga que representa el porcentaje de autos fabricados por cierta compaa que continan sin defectos despus de x meses de uso.

a) Calcula el porcentaje de autos sin defectos despus de 1 mes, 10 meses y 100 meses.

b) Calcula e interpreta y .

REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS

LIBROS

STEWART James. CLCULO. Conceptos y Contextos. Tercera Edicin. Editorial: THOMSON. 2007. 10-63 pp. ISBN: 9706865438. GARCIA, GOMEZ y Larios. Introduccin al clculo diferencial. Primera Edicin. Editorial Instituto Politcnico Nacional. 2010. 30-43 pp. ISBN: 9789687001562. ORTEGA, Pedro, SERRA, Juan. Problemas de Clculo Diferencial. 1 a Ed. Editorial Pearson Educacin. 2008. ISBN. 9788483224595.Gua de Teora y Prctica

Matemtica

EMBED Equation.3

La derivada viene a ser la pendiente de la recta tangente a f en el punto a

a) derivada de una constante.

EMBED Equation.3

b) Regla de la Potencia.

EMBED Equation.3

c) regla de un mltiplo constante de una funcin

EMBED Equation.3

d) Regla de la suma.

EMBED Equation.3

e) Regla del producto.

EMBED Equation.3

f) Regla del cociente.

EMBED Equation.3

a) EMBED Equation.3 b) EMBED Equation.3

b) EMBED Equation.3 c) EMBED Equation.3 d) EMBED Equation.3 e) EMBED Equation.3

f) EMBED Equation.3 g) EMBED Equation.3

h) EMBED Equation.3 i) EMBED Equation.3

PAGE

_1099224556.unknown

_1267951513.unknown

_1304692926.unknown

_1304693704.unknown

_1311575897.unknown

_1311576018.unknown

_1311576564.unknown

_1311576632.unknown

_1311576712.unknown

_1311576072.unknown

_1311575937.unknown

_1311575720.unknown

_1311575812.unknown

_1311575774.unknown

_1304693777.unknown

_1304693378.unknown

_1304693400.unknown

_1304693340.unknown

_1267951868.unknown

_1283957353.unknown

_1304692084.unknown

_1283957395.unknown

_1283956658.unknown

_1267951915.unknown

_1267951741.unknown

_1267951797.unknown

_1267951606.unknown

_1267951658.unknown

_1099226082.unknown

_1152121315.unknown

_1166950285.unknown

_1231057293.unknown

_1267951479.unknown

_1231057324.unknown

_1166952823.unknown

_1166946888.unknown

_1099226727.unknown

_1124888254.unknown

_1124888663.unknown

_1124888978.unknown

_1110946888.unknown

_1124534877.unknown

_1110946805.unknown

_1099226164.unknown

_1099224866.unknown

_1099225298.unknown

_1099225377.unknown

_1099225566.unknown

_1099225722.unknown

_1099225752.unknown

_1099225634.unknown

_1099225404.unknown

_1099225339.unknown

_1099224979.unknown

_1099225101.unknown

_1099224927.unknown

_1099224781.unknown

_1099224817.unknown

_1099224679.unknown

_1099129231.unknown

_1099138363.unknown

_1099223565.unknown

_1099224443.unknown

_1099224487.unknown

_1099223875.unknown

_1099223985.unknown

_1099223679.unknown

_1099223299.unknown

_1099223503.unknown

_1099138385.unknown

_1099136650.unknown

_1099136701.unknown

_1099136793.unknown

_1099136479.unknown

_1099128943.unknown

_1099129168.unknown

_1099127019.unknown

_1099128846.unknown

_1099128894.unknown

_1099128689.unknown

_1097084027.unknown

_1099126358.unknown

_999003780.unknown