Presentacin elaborada por la profesora Ana M Zapatero a partir de los materiales utilizados en el centro (Editorial SM) Derivadas. Teoremas2 Bachillerato

Esquema

Tasa de variacin media en un intervaloPara una funcin f(x) se define la tasa de variacin media de f en un intervalo [a, b], contenido en el dominio f(x), mediante el cociente:La tasa de variacin media es una medida de la variacin que experimenta una funcin, en un intervalo, por unidad de variable independiente.Pendiente positivaPendiente negativa

Tasa de variacin media en un intervalo: ejemploLa evolucin en el tiempo del nmero de afiliados a la Seguridad Social en Espaa entre 1980 y 1999 ha seguido un modelo similar al que se refleja en la grfica, donde x representa el tiempo en aos, siendo x = 0 el ao 1980, y f(x) representa el nmero de afiliados expresado en millones. Que puede interpretarse de la siguiente manera: entre 1980 y 1999 el nmero de afiliados aument por trmino medio, en unas 124000 personas por ao.

Tasa de variacin instantnea

Derivada de una funcin en un puntoSi el lmite existe y es finito, la derivada de f(x) en x=p esDef: Se dice que f(x) es derivable en x=p si existe el siguiente lmite.

f '(p) = EC \o\al(\s\do15(ho);lim \f(f(p+h) f(p);h))

EQ \o\al(\s\do15(ho);lim \f(f(p+h) f(p);h))

Interpretacin geomtrica de la derivadaAl hacer que h 0, ocurrir que p + h tiende (se acerca) a p Q recorre la curva acercndose a PLa recta secante a la curva se convierte en la recta tangenteLa inclinacin de la recta secante tiende a la inclinacin de la recta tangente Si la funcin f tiene derivada en el punto p, la pendiente de la recta tangente a la grfica de la funcin f en este punto es la derivada de f en p .

Ecuacin de la recta tangenteaf(a)Entonces: Pendiente de la tangente: mt = f '(a)

Ecuacin de la recta tangente: t y f(a) = f '(a) (x a)Ecuacin de la recta que pasa por un punto A(a, b) y de pendiente m:y b = m (x a)

Ecuacin de la recta normalComo la tangente y la normal son perpendiculares sus pendientes son inversas y cambiadas de signo. Entonces:

Pendiente de la tangente: mt = f '(p) Ecuacin de la recta tangente: y f(p) = f '(p) (x a)

Pendiente de la normal: mn = 1/f '(p)Ecuacin de la normal:y f(p) = [1/f '(p)] (x a)

Ecuacin de una recta que pasa por un punto P(p, f(p)) y de pendiente m:y f(p) = m (x p)

Derivadas lateralesf '(a+) = tg > 0 f '(a) = tg < 0Por ser f '(a+) f '(a), f(x) no es derivable en el punto a.

TeoremaUna funcin derivable en un punto es continua en dicho punto.Demostracin: Queremos llegar al lmite de la funcin en el punto

Relacin continuidad y derivabilidad Hay funciones continuas en un punto que no son derivables en ese punto.y = |x| es continua en 0, pero no es derivable en dicho punto= tg= tg

f'(0) = EQ \o\al(\s\do17(h 0);lim \f(f(a + h) f(a);h)) = EQ \o\al(\s\do17(h 0);lim \f( h;h)) = 1

f'(0+) = EQ \o\al(\s\do17(h 0+);lim \f(f(a + h) f(a);h)) = EQ \o\al(\s\do17(h 0+);lim \f(h;h)) = 1

Funcin derivada Derivada de f(x) = x2 en el punto 2: Derivada de f(x) = x2 en el punto 3:Se dice que la funcin derivada (o simplemente la derivada) de y = x2 es f '(x) = 2x Se llama funcin derivada de una funcin f(x) a la funcin f '(x) que asocia a cada x del dominio de f(x) la derivada de f(x) en x, siempre que exista. Para obtener la derivada en x

f '(3) = EC \o\al(\s\do21(h0);lim \f(f(3 +h) f(3);h)) = EC \o\al(\s\do21(h0);lim \f((3 + h)2 32;h)) = EC \o\al(\s\do21(h0);lim \f(h (h + 6); h )) = 6

f '(x) = EC \o\al(\s\do21(h0);lim \f(f(x + h) f(x); h)) = EC \o\al(\s\do21(h0);lim \f((x + h)2 x2; h)) = EC \o\al(\s\do21(h0);lim \f(h (h + 2x); h)) = 2x

f '(2) = EC \o\al(\s\do21(h0);lim \f(f(2 +h) f(2);h)) = EC \o\al(\s\do21(h0);lim \f((2 + h)2 22;h)) = EC \o\al(\s\do21(h0);lim \f(h (h + 4); h )) = 4

Consecuencias de la definicin de derivadaLa funcin derivada no identifica totalmente a la funcin, pues funciones que se diferencian en una constante, tienen la misma funcin derivada.Ej. f(x)= g(x) + k siendo k constante f(x) = g(x) h(x)= g(x) + k siendo k una constante h(x) = g(x)Geomtricamente, indica que las funciones f(x) y h(x) se obtienen mediante una traslacin de vector paralelo al eje Y y mdulo k k. Por ello las tangentes a las tres funciones son paralelas.

Derivadas de operaciones con funcionesSean f y g dos funciones derivables en un punto x R y sea c un nmero real. (cf)'(x) = cf '(x)(f + g) '(x) = f '(x) + g'(x)(fg) '(x) = f '(x)g(x) + f(x)g'(x)

Demostracin de la regla de derivacin del cociente

Enunciado: La derivada de un cociente

Derivada de una funcin compuesta: regla de la cadenaSe define la composicin de una funcin f con otra funcin g, y se denota por gf a la nueva funcin dada por (gf) (x) = g(f(x)).La funcin h(x) = (2x 1)2 es la composicin de dos funciones: f(x) = 2x1 y g(t) = t2 Ejemplo:Regla de la cadena: si la funcin g es derivable en el punto f(a) y la funcin f es derivable en a, entonces la funcin gf es derivable en a y su derivada es:(gf)'(a) = g'(f(a)) . f '(a)Ejemplo:Como (gf)(x) = g(f(x)) = (2x 1)2 (gf)'(x) = g'(f(x)) . f '(x) = 2(2x 1) . (2x 1)' = 2(2x 1) . 2

Regla de la cadena: Demostracin

Derivada de la funcin inversaSe denomina funcin inversa de una funcin f a una nueva funcin, denotada por f1, cuyo dominio es el recorrido de f, tal que f1(f(x)) = x.

Para que esta funcin est bien definida es necesario que f cumpla: x1 x2 f(x1) f(x2)

Las grficas de f y f1 son simtricas respecto a la bisectriz del primer cuadrante.

Tabla de derivadas de las funciones elementales

Obtencin de la derivada de la funcin logaritmo neperiano

Demostracin de la derivada de la funcin seno

Usando la definicin de derivada:La derivada de sen (x) es Cos (x)

Obtencin de la derivada de la funcin arcoseno

Obtencin de la derivada de la funcin arco tangente

Diferencial de una funcinEl diferencial de una funcin en un punto x = a es el incremento de la tangente al pasar del punto x = a al punto x = a + hTangente a la curva en (a, f(a)): su pendiente es mt = f '(a) = tg at

Una aproximacin geomtrica al concepto de diferencialSupongamos un cuadrado de lado x, al que incrementamos el lado en una cierta cantidad h. Su superficie se incrementar en:

f = (x + h)2 x2 = 2xh + h2Si h es muy pequeo, h2 es mucho ms pequeo.

Entonces: 2xh = 2x dx es el diferencial de la funcin

f(x) = x2 y se ve que f 2x dx = f '(x) dx El error que se comete al aproximar el incremento por la diferencial es h2.

Mximos y mnimos relativosUna funcin f(x) tiene un mnimo (mximo) relativo en x = a si existe un intervalo abierto (a h, a + h), h > 0 , en el que f(x)> f(a) (f(x)

Derivada en un punto mximo o mnimo (Interpretacin geomtrica)Sea f(x) una funcin definida en el intervalo (a, b). Si la funcin alcanza un mximo o mnimo en un punto c (a, b) y es derivable en l, entonces f '(c) = 0Si la funcin es constanteentonces f '(c) = 0Si A es mximo, la tangenteen x = c es horizontal. Su pendiente es 0Si A es mnimo, la tangenteen x = c es horizontal. Su pendiente es 0f '(c) = 0

Teorema de Rolle. Interpretacin geomtricaSi una funcin y = f(x) cumple que: Es continua en el intervalo cerrado [a, b]. Es derivable en su interior (a, b). f(a) = f(b).

Entonces existe al menos un punto c (a, b) tal que f '(c) = 0.Geomtricamente este teorema expresa que una funcin que cumpla las hiptesis anteriores va a tener, al menos, un punto (c, f(c)) en el que la tangente es horizontal.

Teorema de Rolle: DemostracinDemostracin:f es continua en [a,b] => por Teor. de Weierstrass f tiene mximo absoluto M y mnimo absoluto m en [a,b]. x [a,b] m f(x) M. x1 [a,b] f(x1)=M. x2 [a,b] f(x2)=m.

Si m = M => x [a,b] f(x) = M (la funcin es constante) => f'(x) = 0

Sino, m < M => por lo menos uno de los puntos, x1 o x2, corresponde al interior del intervalo, a (a,b), por ejemplo m= f(x2) => (a,b) se comporta como un entorno de x2. Se cumple que x (a,b) f(x2) f(x) por lo que f presenta un mnimo relativo en x2. (1)

f es derivable por hiptesis. (2)De 1) y 2), por la condicin necesaria para la existencia de mnimos relativos f'(x2)=0 como queramos demostrar

Si una funcin y = f(x) cumple que: Es continua en el intervalo cerrado [a, b]. Es derivable en su interior (a, b), y f(a) = f(b).Entonces existe al menos un punto c (a, b) tal que f '(c) = 0.

Teorema del valor medio o de Lagrange. Interpretacin geomtricaSi una funcin y = f(x) cumple que: Es continua [a, b]. Es derivable (a, b).Entonces existe al menos un punto c (a, b) tal que: f(b) f(a) = (b a) f '(c). Es decir: f( c) =Geomtricamente: si una funcin que cumple las hiptesis anteriores va a a tener al menos un punto (c, f(c)) en el que la tangente es paralela a la secante que pasa por los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)).

Analticamente: si una funcin cumple las hiptesis anteriores, en algn punto c (a,b) la razn incremental o tasa de variacin media (f(b) f(a)) / (b a), es igual a la derivada en dicho punto.

Definamos una funcin auxiliar g(x) = f(x) + hx, h R.

g es continua en [a,b] por ser suma de funciones continuas. g es derivable en (a,b) por ser suma de funciones derivables. Queremos que g(a) sea igual a g(b) para aplicar el teorema de Rolle => f(a) + ha = f(b) + hb => f(a) - f(b) = hb ha = h(b - a)

=> por el teorema de Rolle, existe c (a,b) tal g'(c) = 0

Por definicin de g(x); g(x) = f (x) +h, g(c) =f (c) +h =0 luego f (c ) = h y por tanto:

Teorema del valor medio o de Lagrange: DemostracinSi una funcin y = f(x) cumple que: Es continua [a, b], y es derivable (a, b).Entonces existe al menos un punto c (a, b) tal que f(b) f(a) = (b a) f '(c).

Demostracin: Sea h(x) = f(x) + kg(x)1. h es continua en [a,b] por ser suma de funciones continuas en [a,b]. 2. h es derivable en (a,b) por ser suma de funciones derivables en (a,b). 3. Queremos que h(a)=h(b) para aplicar el teorema de Rolle. f(a)+kg(a)=f(b)+kg(b), k(g(a)-g(b))=f(b)-f(a)

De 1),2) y 3) por el teorema de Rolle c (a,b) tal que h'(c) = 0.h'(x)=f'(x)+kg'(x) h'(c)=f'(c)+kg'(c)=0 f'(c)/g'(c) = -k

Teorema de Cauchy o del valor medio generalizado

Consecuencias del teorema del valor medio (I)Si f(x) cumple las hiptesis del teorema de Lagrange en [a, b]:

f(a) = f(b) + (b a) . f '(c) con c (a, b).

Si b = a + h, entonces c = a + h con (0, 1).Si f(x) es continua en [a h, a + h] y derivable en su interior entonces:f(a + h) = f(a) + h f '(a + h) con (0, 1).Expresin del valor de una funcin en el entorno de x = a

Consecuencias del teorema del valor medio (II) Si una funcin f(x) tiene derivada nula en todos los puntos de un intervalo abierto, es constante en dicho intervalo.Caracterizacin de las funciones constantes f(x) es derivable en (a, b). f(x) tiene derivada nula en (a, b).En consecuencia: f(x) = k en (a, b).Aunque f(x) tiene derivada nula en los puntos de (a, b) en los que es derivable (en c no es derivable).

No es constante en (a, b).

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Consecuencias del teorema del valor medio (III)Si dos funciones f(x) y g(x) tienen igual derivada en todos los puntos de un intervalo abierto, entonces difieren en una constante en ese mismo intervalo. Relacin entre funciones con igual derivada En el intervalo (0, 2) las fi(x) son derivables y tienen igual derivada.Entonces se diferencian en una constante, lo que significa que cada una se obtiene de la otra trasladndola paralelamente al eje OY.

Regla de L'Hpital (I)Este teorema es vlido sustituyendo u por {a, a+, a, +, }.Una aproximacin geomtrica al teorema:

Regla de L'Hpital (II)Este teorema es vlido sustituyendo u por {a, a+, a, +, }

Regla de L'Hpital (III)Este procedimiento es vlido sustituyendo u por {a, a+, a, +, }Podemos convertir esa expresin en una 0/0 o en una /

Regla de L'Hpital (IV)Este procedimiento es vlido sustituyendo u por {a, a+, a, +, }

Salvando indeterminaciones del tipo 1(, (0, 00

Clculo de lmites indeterminados. Ejemplos (I)

1. EC \o\al(\s\do25(x0);lim \f(exx1;x(ex1)) ) =

EC \o\al(\s\do25(x0);lim \f(ex1;ex1 + xex)) =

EC \o\al(\s\do25(x0);lim \f(ex;2ex + xex) =)

EC \f(1;2)

2. EC \o\al(\s\do25(x0);lim [sen \f(x;2) . ctg x]) =

Indet 0.

EC \o\al(\s\do25(x0);lim \f(sen \f(x;2);tg x)) =

EC \o\al(\s\do25(x0);lim \f(\f(1;2) cos\f(x;2);1+tg2x)) =

EC \f(1;2)

3. EQ \o\al(\s\do25(x0);lim \b\bc\[ (\f(r;4x) \f(r;2x(erx + 1)))) =

r > 0

Indet

EC \o\al(\s\do25(x0);lim \f(rerx r;4xerx + 4x)) =

EC \o\al(\s\do25(x0);lim \f(r2erx;4erx + 4xrerx + 4)) =

EC \f(r2;8)

Clculo de lmites indeterminados. Ejemplos (II)A1A0

4.- EC \o\al(\s\do20(x1+);lim x\s\up12( \f(1;x-1))) =

Indet 1

L A = L EC \b\bc\[ (\o\al(\s\do20(x1+);lim (x\s\up12( \f(1;x1))))) =

EC \o\al(\s\do20(x1+);lim \b\bc\[ (L \b\bc\( (x\s\up12( \f(1;x1) )))) =

EC \o\al(\s\do15(x1+);lim \f(L x;x1)) =

EC \o\al(\s\do20(x1+);lim \f(1/x;1)) =

5.- EC \o\al(\s\do28(x0+);lim \b\bc\( (\f(1;sen x)) \s\up20 (x)) =

Indet 0

( L A = EC L \b\bc\[ (\o\al(\s\do28(x0+);lim \b\bc\( (\f(1;sen x)) \s\up20 (x))) =

EC \o\al(\s\do28(x0+);lim \b\bc\[ (L \b\bc\( (\f(1;sen x)) \s\up20 (x))) =

= EC \o\al(\s\do15(x0+);lim \f( L sen x; 1/x)) =

EC \o\al(\s\do28(x0+);lim \f(ctg x;1/x2)) =

EC \o\al(\s\do20(x0+);lim \f(x2;tg x)) =

EC \o\al(\s\do20(x0+);lim \f(2x;1 + tg2x)) =

Monotona: crecimiento y decrecimiento en un intervalof(x)f(x+h)Funcin creciente en [a, b]f(x) < f(x+h), (x, x+h) y h >0f(x)Funcin decreciente en [a, b]f(x) > f(x+h), (x, x+h) y h >0f(x+h)f (x) >0f (x) < 0

Derivadas y curvatura: concavidadLas pendientes de las tangentes aumentan f ' es creciente su derivada que es f debe ser f(x) > 0 funcin concavatg 1 < tg 2 f '(x1) < f '(x2)

Derivadas y curvatura: convexidadtg a1 > tg a2 f '(x1) > f '(x2)Las pendientes de las tangentes disminuyen f ' es decreciente su derivada que es f " debe ser negativa f (x) < 0 funcin cnvexa

Puntos de inflexinSon los puntos en los que la funcin cambia de curvatura