derivadas
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FÓRMULAS DE DERIVACIÓN1
De�nition 1 Si f es una función, entonces f 0 (léase "f prima"), la derivada de f; es una función con regla decorrespondencia
f 0 (x0) = limx0
f � f (x0)I � x0
que tiene como dominio el conjunto de todos los números del dominio de f para los que existe tal límite.
La derivada de una función f en x0 se denota por f 0 (x0) y
f 0 (x0) = limx!x0
f (x)� f (x0)x� x0
:
Sea
g (x) =f (x)� f (x0)
x� x0;
y comolimx0g = lim
0g � (x0 + I) = lim
h!0g (x0 + h) ;
se tiene
f 0 (x0) = lim0
f � (x0 + I)� f (x0)I
= limh!0
f (x0 + h)� f (x0)h
: (1)
L
00[x , f(x )]
0[ (x + h), f(x + h) ]
0
0f´(x )
1h
f(x + h) f(x )0 0
1f
00y = f(x + h) f(x )h
0x xx = x + h00
y
Interpretaci�on geom�etrica de la derivada.
Las fórmulas que se presentan a continuación no son válidas sin restricciones. Las restricciones sobre su validezpueden encontrarse en los teoremas correspondientes.
D [f + g] = Df +Dg; (2)
D [fg] = fDg + gDf ; (3)
D [cg] = cDg; (4)
Dgn = ngn�1; (5)
D
�f
g
�=gDf � fDg
g2; (6)
D [f � g] = [(Df) � g]Dg; (7)
D [f � (g � h)] = [Df � (g � h)] [(Dg) � h]Dh: (8)
1Cálculo Diferencial e Integral,Ing. Domingo Vite Martínez.
1
Derivada de la función constanteDc = 0: (9)
Derivada de la función identidadDI = 1: (10)
Derivada de la función potenciaDIn = nIn�1: (11)
Derivadas de las funciones trigonométricas
Dx senx = cosx; (12)
Dx cosx = � senx; (13)
Dx tanx = sec2 x; (14)
Dx cotx = � csc2 x; (15)
Dx secx = secx tanx; (16)
Dx cscx = � cscx cotx: (17)
Derivadas de las funciones trigonométricas inversas
Dx arcsenx =1p1� x2
; (18)
Dx arccosx = �1p1� x2
; (19)
Dx arctanx =1
1 + x2; (20)
Dx arccotx = �1
1 + x2; (21)
Dx arcsec =1
xpx2 � 1
; (22)
Dx arccscx = �1
xpx2 � 1
: (23)
Derivadas de las funciones exponenciales2
Dxax = ax log a; (24)
Dxex = ex: (25)
Derivadas de las funciones logarítmicas
Dx log x =1
x; (26)
Dx loga x =1
x log x: (27)
Derivadas de las funciones hiperbólicas
Dx senhx = coshx; (28)
Dx coshx = senhx; (29)
Dx tanhx = sech2 x; (30)
Dx cothx = � csch2 x; (31)
Dx sechx = � sechx tanhx; (32)
Dx cschx = � cschx cothx: (33)
2Donde log a denota el logaritmo natural de a:
2
Derivadas de las funciones hiperbólicas inversas3
Dx arcsenhx =1p1 + x2
; (34)
Dx arccoshx = �1px2 � 1
; (35)
Dx arctanhx =1
1� x2 ; (36)
Dx arccothx =1
1� x2 ; (37)
Dx arcsechx = �1
xp1� x2
; (38)
Dx arccschx = �1
jxjpx2 � 1
: (39)
Derivada de una función implícitaLa función de una variable de�nida por y = f (x) viene dada por la ecuación F (x; y) = 0:
y0 = �FxF 0y; (40)
y00 =2FxFyFxy � (Fy)2 � (Fx)2 Fyy
(Fy)3 : (41)
Derivadas de órden superior de las funciones más comunesFórmula de Leibniz
Dn (uv) = uDnv +n
1DuDn�1v +
n (n� 1)2
D2uDn�2v + � � � (42)
� � �+ n (n� 1) � � � (n�m+ 1)m!
DmuDn�mv + � � �+Dnuv
o como D0u = u; D0v = v
Dn (uv) =
nXk=0
�n
k
�DkuDn�kv: (43)
Dn [f + g] = Dnf +Dng; (44)
DnIm =
8<:m!
(m� n)!Im�n; cuando m � n;
0; cuando n > m:(45)
D2n sen = (�1)n sen; (46)
D2n cos = (�1)n cos; (47)
Dn senx = sen�x+
n�
2
�; (48)
Dn cosx = cos�x+
n�
2
�; (49)
Dn sen kx = kn sen�kx+
n�
2
�; (50)
Dn cos kx = kn cos�kx+
n�
2
�; (51)
Dn senhx =
�senhx; cuando n es par,coshx; cuando n es impar.
(52)
3Las fórmulas para Dx arctanhx y Dx arccothx no se contradicen una con otra, puesto que la primera se cumple solamentepara �1 < x < 1 y la segunda para x < �1 y x > 1: Los dos valores de la derivada Dx arccoshx expresados por los signos �;corresponden a las dos ramas diferentes de la curva de�nida por y = arccoshx = log
�x�
px2 � 1
�:
Ver Introducción al Cálculo y al Análisis Matemático, Vol. 1, páginas 250-255, Editorial Limusa, México, 1988.
3
Dn coshx =
�coshx; cuando n es par,senhx; cuando n es impar.
(53)
Dnekx = knekx; (54)
Dnax = (log a)nax; (55)
Dnakx = (k log a)nakx; (56)
Dn log x = (�1)n�1 (n� 1)! 1xn; (57)
Dn loga x = (�1)n�1 (n� 1)!
log a
1
xn: (58)
4