Derivadas Derivada de funciones algebraicas.

Derivada de una función:

La derivada de una función es el límite del cociente o razón entre el incremento de dicha función menos la función original y el incremento de la variable independiente cuando este tiende a cero.

𝑑

𝑑𝑥 f (x) = Lim

f x+∆x −f(x)

∆x

Reglas de la derivada.

La derivada de una constante es igual a cero.

𝑑

𝑑𝑥 (c)=0

La derivada de una variable con relación a ella misma es igual a 1.

𝑑

𝑑𝑥 (x)= 1

La derivada de una suma de funciones es igual a la suma de las derivadas de dichas funciones.

𝑑

𝑑𝑥 [f (x)+g(x)+h(x)]=

𝑑

𝑑𝑥 f (x)+

𝑑

𝑑𝑥 g (x)+

𝑑

𝑑𝑥 h(x)

La derivada de una constante por una función es igual a la constante por la derivada de dicha función.

𝑑

𝑑𝑥 c [f (x)]= c

𝑑

𝑑𝑥 f (x)

La derivada de un producto de funciones es igual a la primera función por la derivada de la segunda más la segunda función por la derivada de la primera.

𝑑

𝑑𝑥 [f (x).g(x)]= f (x)

𝑑

𝑑𝑥 g (x)+g (x)

𝑑

𝑑𝑥 f (x)

La derivada de la potencia de una función siendo el exponente constante es igual al producto del exponente por la función elevada al exponente disminuido en una unidad multiplicado esto por la derivada de la función.

𝑑

𝑑𝑥 [f (x)]n = n[f (x)n-1].

𝑑

𝑑𝑥 f (x)

Si f (x)= x entonces:

𝑑

𝑑𝑥 (x)n = n (x) n-1

La derivada de un cociente es igual al denominador por la derivada del numerador menos el numerador por la derivada del denominador entre el cuadrado del numerador.

𝑑

𝑑𝑥 f(x)

g(x) =

g x 𝑑

𝑑𝑥 f x)−f (x

𝑑

𝑑𝑥 g (x)

g x 2

La derivada del cociente de una función y una constante es igual a la derivada de la función entre la constante.

∆𝒙 → 𝟎

𝑑

𝑑𝑥 f(x)

c =

𝑑

𝑑𝑥 f (x)

c

Hallar la derivada de las siguientes funciones. y=4x4+5x3

Solución:

𝑑𝑦

𝑑𝑥 (4x4+5x3)=4(4x3)+3(5x2)

𝑑𝑦

𝑑𝑥 (4x4+5x3)=16x3 +15x2

y = 8x5+10x4 -15

Solución:

𝑑𝑦

𝑑𝑥 (8x5+10x4-15)=5(8x4)+4(10x3 -0)

𝑑𝑦

𝑑𝑥 (8x5+10x4-15)= 40x4+40x3

Si f (x)= 2x3+5x2 y g (x)= 3x4+6x, halle 𝑑

𝑑𝑥 [f (x). g(x)]

𝑑

𝑑𝑥 [f (x). g(x)]= (2x3+5x2)

𝑑𝑑𝑥

(3x4+6x)+ (3x4+6x) 𝑑

𝑑𝑥 (2x3+5x2)

𝑑

𝑑𝑥 [f (x). g(x)]= (2x3+5x2)(12x3+6)+ (3x4+6x)(6x2+10x)

𝑑

𝑑𝑥 [f (x). g(x)]= 24x6+12x3+60x5+30x2+ 18x6+30x5+36x3+60x2

𝑑

𝑑𝑥 [f (x). g (x)]= 42x6+90x5+48x3+90x2

Si f (x)= 8x4-3x2 y g (x)= 2x2+5x, halle 𝑑

𝑑𝑥 f(x)

g(x)

𝑑

𝑑𝑥

f(x)

g(x) =

2x2+5x 𝑑

𝑑𝑥 8x4−3x2)−(8x4−3x2

𝑑

𝑑𝑥 (2x2+5x)

(2x2+5x)2

𝑑

𝑑𝑥 f(x)

g(x) =

2x2+5x 32x3−6x)−(8x4−3x2 (4x+5)

(2x2+5x)2

𝑑

𝑑𝑥

f(x)

g(x) =

64x5−12x3+160x4−30x2−32x5−40x4+12x3+15x2

(2x2+5x)2

𝑑

𝑑𝑥

f(x)

g(x) =

32x5+120x4−15x2

(2x2+5x)2

Recuerda: Si una mente ágil quieres tener, desarrolla el buen hábito por los estudios.

Derivada de funciones trigonométricas.

1. 𝑑

𝑑𝑥 (Sen x)= cos x

Demostración: 𝑑

𝑑𝑥 (Sen x)= Lim

𝑠𝑒𝑛 𝑥+∆𝑥 −𝑠𝑒𝑛 𝑥

∆𝑥

𝑑

𝑑𝑥 (Sen x)= Lim

𝑠𝑒𝑛 𝑥 .𝑠𝑒𝑛 ∆𝑥+cos 𝑥 .𝑠𝑒𝑛 ∆𝑥−𝑠𝑒𝑛 𝑥

∆𝑥

𝑑

𝑑𝑥 (Sen x)= Lim

𝑐𝑜𝑠 𝑥 .𝑠𝑒𝑛 ∆𝑥−(𝑠𝑒𝑛 𝑥 )(1−cos ∆𝑥)

∆𝑥

𝑑

𝑑𝑥 (Sen x)=Lim cos x

𝑠𝑒𝑛 ∆𝑥

∆𝑥 − sen x

(1−cos ∆𝑥)

∆𝑥

𝑑

𝑑𝑥 (Sen x)= Cos x Lim

𝑠𝑒𝑛 ∆𝑥

∆𝑥 − sen x Lim

(1−cos ∆𝑥)

∆𝑥

𝑑

𝑑𝑥 (Sen x)= Cos x (1)- sen x (0)

𝑑

𝑑𝑥 (Sen x)= Cos x

Demostración:

2. 𝑑

𝑑𝑥 (Cos x) = -Sen x

𝑑

𝑑𝑥 (Cos x) = Lim

𝑐𝑜𝑠 𝑥+∆𝑥 −𝑐𝑜𝑠 𝑥

∆𝑥

𝑑

𝑑𝑥 (Cos x) = Lim

𝑐𝑜𝑠 𝑥 .𝑐𝑜𝑠 ∆𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥.𝑠𝑒𝑛 ∆𝑥−cos 𝑥

∆𝑥

𝑑

𝑑𝑥 (Cos x) = Lim

− cos 𝑥+𝑐𝑜𝑠 𝑥 .𝑐𝑜𝑠 ∆𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥.𝑠𝑒𝑛 ∆𝑥

∆𝑥

𝑑

𝑑𝑥 (Cos x) = − cos 𝑥 Lim

(1−𝑐𝑜𝑠 ∆𝑥)

∆𝑥 − sen x Lim

(𝑠𝑒𝑛 ∆𝑥)

∆𝑥

𝑑

𝑑𝑥 (Cos x) = − cos 𝑥 (0) − sen x (1)

𝑑

𝑑𝑥 (Cos x) = − sen x

∆𝑥 0

∆𝑥

0

∆𝑥 0

∆𝑥 0

∆𝑥 0

→

→

→

→

→

∆𝑥 → 0

Debemos tener en cuenta que:

Lim 𝑠𝑒𝑛 ∆𝑥

∆𝑥 =1 y

Lim (1−cos ∆𝑥)

∆𝑥 = 0

∆𝑥 → 0

∆𝑥 → 0

∆𝑥 →

0

∆𝑥 →

0

∆𝑥 →

0

∆𝑥 → 0

∆𝑥 → 0

3. 𝑑

𝑑𝑥 (Tan x)= Sec2 x

Demostración:

Tan x = 𝑠𝑒𝑛 𝑥

cos 𝑥

𝑑

𝑑𝑥 (Tan x)=

𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑑

𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 −𝑠𝑒𝑛 𝑥

𝑑

𝑑𝑥 (cos 𝑥)

(cos 𝑥)

𝑑

𝑑𝑥 (Tan x)=

𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 −𝑠𝑒𝑛 𝑥 (−sen 𝑥)

cos 2 𝑥

𝑑

𝑑𝑥 (Tan x)=

cos 2 𝑥+𝑠𝑒𝑛2 𝑥

cos 2 𝑥

𝑑

𝑑𝑥 (Tan x)=

1

cos 2 𝑥

𝑑

𝑑𝑥 (Tan x)= Sec2 x

4. 𝑑

𝑑𝑥 (Cot x)=

𝑐𝑜𝑠 𝑥

sen 𝑥

Demostración:

Cot x= 𝑐𝑜𝑠 𝑥

sen 𝑥

𝑑

𝑑𝑥 (Cot x)=

𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑

𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 −𝑐𝑜𝑠 𝑥

𝑑

𝑑𝑥 (sen 𝑥)

(sen 𝑥)

𝑑

𝑑𝑥 (Cot x)=

𝑠𝑒𝑛 𝑥 −𝑠𝑒𝑛 𝑥 −𝑐𝑜𝑠 𝑥 (cos 𝑥)

sen 2 𝑥

𝑑

𝑑𝑥 (Cot x)=

−sen 2 𝑥−cos 2 𝑥

sen 2 𝑥

𝑑

𝑑𝑥 (Cot x)=

−(1−cos 2 𝑥)−cos 2 𝑥

sen 2 𝑥

𝑑

𝑑𝑥 (Cot x)=

−1+cos 2 𝑥−cos 2 𝑥

sen 2 𝑥

𝑑

𝑑𝑥 (Cot x)=

−1

sen 2 𝑥

𝑑

𝑑𝑥 (Cot x)= −cosc2 x

2

2

5. 𝑑

𝑑𝑥 (sec x)= Sec x .Tan x

Demostración:

Sec x = tan x

sen x

𝑑

𝑑𝑥 (Sec x)=

𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑

𝑑𝑥 𝑇𝑎𝑛 𝑥 −𝑇𝑎𝑛 𝑥

𝑑

𝑑𝑥 (Sen 𝑥)

(sen x)2

𝑑

𝑑𝑥 (Sec x)=

Sen x Sec 2x −Tan x (𝐶𝑜𝑠 𝑥)

sen 2 𝑥

𝑑

𝑑𝑥 (Sec x)=

Sen x 1

𝐶𝑜𝑠2 𝑥 −Sen 𝑥

sen 2 𝑥

𝑑

𝑑𝑥 (Sec x)=

𝑆𝑒𝑛 𝑥

𝐶𝑜𝑠2 𝑥 −Sen 𝑥

sen 2 𝑥

𝑑

𝑑𝑥 (Sec x)=

𝑆𝑒𝑛 𝑥−𝐶𝑜𝑠2 𝑥(𝑆𝑒𝑛𝑥 )

𝐶𝑜𝑠2 𝑥

sen 2 𝑥

𝑑

𝑑𝑥 (Sec x)=

𝑆𝑒𝑛 𝑥 (1−𝐶𝑜𝑠2 𝑥)

𝐶𝑜𝑠2 𝑥

sen 2 𝑥

𝑑

𝑑𝑥 (Sec x)=

𝑆𝑒𝑛 𝑥 .𝑆𝑒𝑛 2 𝑥

𝐶𝑜𝑠2 𝑥

sen 2 𝑥

𝑑

𝑑𝑥 (Sec x)=

Sen 𝑥 .𝑆𝑒𝑛2𝑥

Cos 2 𝑥 ÷

Sen 2 x

1

𝑑

𝑑𝑥 (Sec x)=

Sen 𝑥 .𝑆𝑒𝑛2𝑥

Cos 2 𝑥 .𝑆𝑒𝑛2 𝑥

𝑑

𝑑𝑥 (Sec x)=

1

Cos 𝑥 .

Sen 𝑥

Cos 𝑥

𝑑

𝑑𝑥 (Sec x)= Sec x.Tan x

6. 𝑑

𝑑𝑥 (Cosc x)= −Cosc x . Cotg x

Demostración:

Cosc x= 𝐶𝑜𝑡 𝑥

Cos 𝑥

𝑑

𝑑𝑥 (Cosc x)=

𝐶𝑜𝑠 𝑥 𝑑

𝑑𝑥 𝐶𝑜𝑡 𝑥 −𝐶𝑜𝑡 𝑥

𝑑

𝑑𝑥 (Cos 𝑥)

(Cos x)2

𝑑

𝑑𝑥 (Cosc x)=

𝐶𝑜𝑠 𝑥 –𝐶𝑜𝑠𝑐2 𝑥 −𝐶𝑜𝑡 𝑥 (−𝑆𝑒𝑛 𝑥)

𝐶𝑜𝑠2𝑥

𝑑

𝑑𝑥 (Cosc x)=

−𝐶𝑜𝑠 𝑥 1

𝑆𝑒 𝑛2 𝑥 +

𝑐𝑜𝑠 𝑥

sen 𝑥 (𝑆𝑒𝑛 𝑥)

𝐶𝑜𝑠2𝑥

𝑑

𝑑𝑥 (Cosc x)=

−𝐶𝑜𝑠 𝑥

𝑆𝑒 𝑛2 𝑥 + 𝐶𝑜𝑠 𝑥

𝐶𝑜𝑠2𝑥

𝑑

𝑑𝑥 (Cosc x)=

−𝐶𝑜𝑠 𝑥+𝑆𝑒 𝑛2 𝑥 .𝐶𝑜𝑠 𝑥

𝑆𝑒 𝑛2 𝑥

𝐶𝑜𝑠2𝑥

𝑑

𝑑𝑥 (Cosc x)=

−𝐶𝑜𝑠 𝑥(1−𝑆𝑒𝑛2 𝑥)

𝑆𝑒 𝑛2 𝑥

𝐶𝑜𝑠2𝑥

𝑑

𝑑𝑥 (Cosc x)=

−𝐶𝑜𝑠 𝑥(𝐶𝑜𝑠2 𝑥)

𝑆𝑒 𝑛2 𝑥

𝐶𝑜𝑠2𝑥

𝑑

𝑑𝑥 (Cosc x)=

−𝐶𝑜𝑠 𝑥 .𝐶𝑜𝑠2 𝑥

𝑆𝑒𝑛2 𝑥 ÷

Cos 2 x

1

𝑑

𝑑𝑥 (Cosc x)=

−𝐶𝑜𝑠 𝑥 .𝐶𝑜𝑠2 𝑥

𝑆𝑒𝑛2 𝑥.𝐶𝑜𝑠2 𝑥

𝑑

𝑑𝑥 (Cosc x)=

−𝐶𝑜𝑠 𝑥

𝑆𝑒𝑛2 𝑥 =

1

𝑆𝑒𝑛 𝑥 .

−𝐶𝑜𝑠 𝑥

𝑆𝑒𝑛 𝑥

𝑑

𝑑𝑥 (Cosc x)= −Cosc x . Cotg x

Se sustituye Cosc x por 𝐶𝑜𝑡 𝑥

Cos 𝑥 y se aplica la regla

de la derivada de un

cociente, se buscan las

derivadas de la

cotangente y del coseno,

se efectúan los productos

correspondientes en el

numerador y luego se

reducen los términos

semejantes.