derivada direccional y vector gradiente
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Matemática 3 - WA: 2014-4
Derivada direccional y vector gradiente
En el mapa del clima de la figura 1, se muestra un mapa de curvas de nivel de la función
temperatura ( , )T x y para los estados de California y Nevada a las 3 pm de un día de
octubre. Las curvas de nivel unen localidades con la misma temperatura.
La derivada parcial xT en un lugar como Reno es la razón de cambio de la temperatura con
respecto a la distancia si viaja hacia el este desde Reno; yT es la razón de cambio de la
temperatura si viaja hacia el norte. Pero ¿Qué sucede si queremos saber la razón de cambio
de la temperatura cuando viaja al sureste? En esta sección se estudia un tipo de derivada,
que se denomina derivada direccional, que permite calcular la razón de cambio de una
función de dos o más variables en cualquier dirección.
La derivada direccional de en el punto x D y en la dirección de u
vector
unitario de nR denotada por ( )u
D f x se define por
0
( ) ( )( ) lim
hu
f x hu f xD f x
h
,
Siempre que exista.
A esta definición la podemos particularizar considerando a 2D R y deseamos encontrar
la razón de cambio de ( , )z f x y en 0 0( , )x y en la dirección de un vector unitario ( , )u a b .
Para hacer esto considere la superficie S cuya ecuación es ( , )z f x y , y 0 0 0( , )z f x y .
: nf D R R
Figura 1
Entonces el punto 0 0 0( , , )P x y z queda en S. El plano vertical que pasa por P en la dirección
de u corta a S en una curva C (véase figura 2). La pendiente de la recta tangente T a C en
el punto P es la razón de cambio de z en la dirección de u.
Luego, para este caso, la definición de derivada direccional de f en 0 0( , )x y en la dirección
de un vector unitario ( , )u a b es
0 0 0 00 0 0
( , ) ( , )( , ) lim u h
f x ha y hb f x yD f x y
h
Si existe este límite. Los teoremas dados a continuación nos ayudaran a evitar el uso del
límite.
Teorema Si : nf D es una función diferenciable, entonces la derivada direccional
se calcula por la fórmula:
1 1 2
1 2
( ,... ) ......n nu
n
f f fD f x x u u u
x x x
…………. (1)
Teorema Si ( , )z f x y es una función diferenciable de ,x y , y cos u = i jsen es un
vector unitario, entonces
Figura 2
( , ) cos
u
f fD f x y sen
x y
donde es el ángulo formado por el vector u
con el eje OX.
Ejemplo 1 Calcula, la derivada direccional de la función 2 2( , ) 3f x y x xy en el punto
(1,2)P en la dirección que va desde el origen hacia este punto.
Solución
2
( 1,2)
( 1,2)
2 3 14f
x yx
; ( 1,2)
(1,2)
6 12f
xyy
; además
2 2
(1,2) 1 2,
5 51 2
vu
v
.
Por lo tanto 1 2 38
(1,2) 14 125 5 5
uD f
.
Ejemplo 2 Hallar la derivada de la función 3 22f ( x, y ) x xy y en el punto 1 2P( , ) y en
la dirección que va desde este punto al punto 4 6N( , )
Solución
Sea (4,6) (1,2) (3,4) 5a PN N P a
. El vector unitario es 3 4
( , ),5 5
a
a
2
( 1,2)
( 1,2)
3 1f
x yx
; ( 1,2)
(1,2)
4 9f
x yy
. Por lo tanto
3 4 33(1,2) 1 9
5 5 5uD f
.
Ejemplo 3
Suponga que la temperatura (en grados Celsius) en el punto (x,y) cerca de un aeropuerto
está dado por
1
( , ) 7400 4 9 (0.03)180
f x y x y xy
(con las distancias x y y medidas en kilómetros). Suponga que su avión despega del
aeropuerto en la ubicación (200,200)P y se sigue al noreste en la dirección especificada por el
vector (3,4)v ¿Cuál es la tasa de cambio inicial de la temperatura que se observará?
Solución
Como v no es un vector unitario, primero debemos reemplazarlo como uno que sí lo sea y
que este en la misma dirección:
2 2
(3,4) 3 4( , )5 53 4
vu
v
.
Ahora utilizamos la formula (*) la cual produce
3 1 4 1
( , ) 4 (0.03) 9 (0.03) .5 180 5 180
uD f x y y x
Cuando se sustituye 200x y , se encuentra que
3 1 4 15 18( ) 0.1
5 180 5 180 180uD f P
Esta tasa instantánea de cambio -0.10C/Km significa que se observará en un inicio una disminución
de 0.10C en la temperatura por cada kilómetro que se viaje.
Ejemplo 4
Del ejemplo anterior haciendo
1
( , ) 7400 4 9 (0.03)180
w f x y x y xy ,
(Con la temperatura expresada en grados Celsius y la distancia en kilómetros) observamos que la
derivada direccional de la función temperatura es
0
( ) 0.1u
dw CD f P
ds km
En el punto (200,200)P en dirección del vector (3,4)u . Si un avión sale del aeropuerto en
P y vuela en dirección de u con velocidad 5v ds dt km/min, entonces, la ecuación (1)
proporciona 0 0
. 0.1 5 0.5 .min min
dw dw ds C km C
dt ds dt km
Así, se observa una tasa inicial de disminución de medio grado de temperatura por minuto.
Gradiente de una función
Si : nf D R R es una función diferenciable, entonces el gradiente de f es el vector
definido por
1 2
( ) , ,......,
n
f f ff x
x x x
Interpretación del vector gradiente
El vector gradiente f tiene una interpretación importante que involucra el máximo valor
posible de la derivada direccional de la función f derivable en un punto P dado. Si es el
ángulo entre ( )f P y el vector unitario u (como se muestra en la figura),
entonces la ecuación (1) da
( ) ( ). ( ) cos ( ) cosuD f P f P u f P u f P
porque 1u . El valor máximo posible de cos es 1, y esto se consigue cuando 0 . Es
decir, cuando u es el vector unitario particular ( ) ( )m f p f p , que apunta en
dirección del vector gradiente ( )f p la derivada direccional alcanza su máximo valor. En
este caso la fórmula anterior lleva a
max ( ) ( ) uD f P f p
El cual representa el valor máximo de la derivada direccional.
Resumen:
1. 1 1 2 1 2( ,... ) ( , ,...., )( , ...... )n n nu
D f x x f x x x u u u
f
u
2. El gradiente indica el sentido de crecimiento más rápido de una función en un punto
dado, mientras que el gradiente cambiado el signo señala la dirección de máxima
disminución.
3. La derivada direccional tiene su valor máximo en el sentido del gradiente y coincide
con su modulo es decir ( ) max ( )u
f x D f x
.
4. El valor mínimo de la derivada direccional es ( )
f x y ocurre cuando u y ( )
f x
tienen direcciones opuestas (cuando cos 1 ).
Ejemplo 5 Dada la función 2 2
f ( x,y ) x y
a) Calcula ( )
uD f x en el punto P (1,2) en el sentido del vector que forma un ángulo de 60º
con el sentido positivo del eje OX.
b) Calcula máx. ( )
uD f x
Solución
a) 1 3
(cos60 ,sin 60 ) ,2 2
u
; además
( 1,2)
( 1,2)
2 2f
xx
;
( 1,2)
( 1,2)
2 4f
yy
, luego
1 3
( ) 2,4 , 1 2 32 2
uD f x
.
b) (1,2) (2,4)f 2 2max ( ) ( ) 2 4 2 5
uD f x f x .
Ejemplo 6
Ahora suponga que la función de temperatura del ejemplo 4 (pag 24) se reemplaza con
1
( , , ) 7400 4 9 (0.03) 2180
w f x y z x y xy z
El término adicional -2z corresponde a una disminución de 20C en la temperatura por
kilometro de altitud z. Suponga que un halcón esta inmóvil en el aire, en el punto P (200,
200,5) y sobre el aeropuerto desciende en forma súbita a la velocidad de 3km/min en la
dirección especificada por el vector (3,4,-12). ¿Cuál es la tasa de cambio instantánea que
experimenta el ave?
Solución
El vector unitario en la dirección del vector (3, 4,-12) es
2 2 2
(3,4, 12) 3 4 12( , , )13 13 133 4 ( 12)
u
El vector gradiente de temperatura
1 1( ) [4 (0.03) ] [9 (0.03) ] 2
180 180f P y i x j k
Tiene el valor
10 15( ) 2
180 180f P i j k
En la posición inicial del halcón, (200,200,5)P . Por lo tanto, la tasa de cambio de la
temperatura para el ave respecto a la distancia es: 010 3 15 4 12
( ) ( ). ( )( ) ( )( ) ( 2)( ) 1.808 .180 13 180 13 13
u
dw CD f P f P u
ds km
Su velocidad es de 3 / minds
kmdt
, por lo que la tasa de cambio temporal de la temperatura
que experimenta el halcón es
0 0
. 1.808 5 5.424 .min min
dw dw ds C km C
dt ds dt km
Así, el ave se calienta inicialmente casi 5.5 grados por minuto conforme desciende hacia la
tierra.
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. En cada ejercicio calcular la derivada direccional de f en el punto P para el cual
es
un vector unitario en la dirección de PQ
.
a) ( , ) cosx yf x y e y e sen x (1,0)P , ( 3,2)Q .
b) 2 3( , ) .f x y x xy y (1,2) , (1,3)P Q .
c) 2( , ) 2 .xf x y e y xy (0,2) , ( 2,5)P Q .
2. Calcula en cada caso, el gradiente y el valor máximo de la derivada direccional de la función en
el punto que se indica:
a) 2 2
( , )y
f x yx y
en el punto (1,1) b) 2
( , )x
f x yx y
en el punto (2,1)
c) ( , , ) cosxf x y z ze y en el punto (0, 4
,1) d)
2 2( , )f x y x y en el punto (2,1)
3. Dada la función 2 2 2( , , ) ( 1) 2( 1) 3( 2) 6f x y z x y z , encontrar la derivada
direccional de la función en el punto (2,0,1) en la dirección del vector 2i j k
.
4. Calcular la derivada de la función 2 2z x y en el punto (1,1)M en la dirección del
vector que forma un ángulo de 060 con el sentido positivo del eje x .
5. Encuentre las direcciones en las cuales la derivada direccional de ( , ) xyf x y ye en el punto
(0,2) tiene el valor 1.
6. Encuentra la dirección y sentido en que cada una de las siguientes funciones disminuye lo más
rápidamente posible en el punto P indicado en cada caso, y encuentra la razón de decrecimiento
en esa dirección.
a) 2 2( , ) 20 ; ( 1, 3)f x y x y P b) ( , ) ; (2,3)
xyf x y e P
c) ( , ) cos(3 ); ( , )6 4
f x y x y P
d) ( , ) ; (3,1)x y
f x y Px y
7. En una montaña la elevación z por sobre el punto x, y en el plano XY horizontal al nivel del
mar es de 2 22000 2 4z x y pies. El eje positivo de las abscisas apunta al este y el eje
positivo de las ordenadas apunta al norte. Un alpinista se encuentra en el punto (20, 5,1100).
a) Si el alpinista utiliza una brújula para avanzar hacia el oeste, ¿subirá o bajara? ¿Con que
rapidez?
b) Si el alpinista utiliza una brújula para avanzar hacia el noreste, ¿subirá o bajara? ¿Con que
rapidez?
c) ¿Qué dirección ha de marcar la brújula para que el alpinista avance en el mismo nivel?
8. La temperatura en un punto x, y de una placa metálica en el plano XY es 2 2
( , )1
xyT x y
x y
grados Celsius.
a) Encuentra la razón de cambio de la temperatura en el punto (1,1) en la dirección y sentido
del vector (2,-1).
b) b) Una hormiga que esta en el punto (1,1) quiere caminar en la dirección y sentido en que la
temperatura disminuye más rápidamente. Encuentra un vector unitario en esta dirección y
sentido.
9. Investigación Un equipo de oceanógrafos está elaborando un mapa del fondo del océano para
ayudar a recuperar un barco hundido. Utilizando el sonido, desarrollan el modelo
2250 30 50 , 0 2 , 0 22
yD x sen x y
donde D es la profundidad en metros, y yx y son las distancias en kilómetros.
a) Utilizar un sistema computacional para representar gráficamente la superficie.
b) Como la gráfica del apartado a) da la profundidad, no es un mapa del fondo del océano.
¿Cómo podría modificarse el modelo para que se pudiera obtener una gráfica del fondo del
oceano?
c) ¿Cuál es la profundidad a la que se encuentra el barco si se localiza en las coordenadas
1 y 0.5x y ?
d) Determina la pendiente del fondo del océano en la dirección del eje x positivo a partir del
punto donde se encuentra el barco.
e) Determina la pendiente del fondo del océano en la dirección del eje y positivo en el punto
donde se encuentra el barco.
10. Temperatura La temperatura en el punto ( , )x y de una placa metálica se modela mediante
2( ) 2( , ) 400 , 0 , 0x yT x y e x y
a) Utilizar un sistema computacional para graficar la función de distribución de temperatura.
b) Hallar las direcciones, sobre la placa en el punto (3,5) , en las que no hay cambio en el
calor.
c) Hallar la dirección de mayor incremento de calor en el punto (3,5) .
11. En las cercanías de una boya, la profundidad de un lago en el punto de coordenadas ( , )x y es
2 3200 0.02 0.001z x y , donde , y x y z se miden en metros. Un pescador en un bote pequeño
parte del punto (80,60) y se dirige hacia la boya, la cual se ubica en el punto (0,0) . ¿El agua
bajo el bote se hace más somera o más profunda cuando el pescador parte? Explique.
12. La temperatura T en una bola de metal es inversamente proporcional a la distancia desde el
centro de la bola, el cual se considera como el origen. La temperatura en el punto (1,2,2) es
0120 .
a) Determine la razón de cambio de T en (1,2,2) en la dirección hacia el punto (2,1,3) .
b) Demuestre que en cualquier punto en la bola la dirección de incremento más grande de
temperatura está definido por un vector que señala hacia el origen.
13. La temperatura es T grados en cualquier punto ( , , )x y z en el espacio 3R y
2 2 2
60( , , )
3T x y z
x y z
, la distancia se mide en pulgadas.
a) Encontrar la rapidez de cambio de temperatura en el punto (3, 2,2) en la dirección
del vector 2 3 6 i j k .
b) Encontrar la dirección y la magnitud de la máxima rapidez de cambio de T en
(3, 2,2) .
14. La función ( , , )f x y z tiene en el punto (2, 3,5)P las derivadas direccionales 1
3en la
dirección al punto (0,1,9)A , 3
5 en la dirección al punto (5, 3,1)B y
1
4en la dirección al
punto (4, 2,7)C . Calcular la derivada direccional de f en la dirección al punto
(1,3,6)D .