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Derivacin

En economa se puede estudiar como varan estas magnitudes y cmo influyen

sobre unas las variaciones de otras. As, por ejemplo, la inflacin es una medida

de la variacin de los precios a lo largo del tiempo.

Introduciremos las herramientas matemticas bsicas para hallar la variacin de

una magnitud dada y estudiar la relacin entre las variaciones de unas magnitudes

y las de otras.

Incrementos

Si es una funcin , llamaremos funcin de incremento.

De este modo la funcin de incrementos de una funcin es otra funcin cuyas

variables son las de f ms la nueva variable , y nos permite calcular el

incremento que experimenta f cuando la variable se incrementa en la cantidad

.

En forma general Si es una funcin de varias variables

Que se llama funcin de incremento parcial con respecto a .

Derivadas

Sea una funcin, definimos la derivada de f respecto de la variable x

como

Vemos que la derivada es un lmite.

Las funciones de incrementos suelen ser complicadas. Pero, si estamos

dispuestos a renunciar a calcular el valor exacto de los incrementos de una

funcin y sustituirlo por una aproximacin razonable, podemos obtener una

frmula relativamente sencilla, cuando cumple si es muy pequeo

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Luego

Esta frmula contiene la interpretacin de las derivadas. Para enunciarla

matemticamente conviene introducir el vocabulario usual en economa:

Una unidad marginal de una magnitud es una unidad pequea en comparacin

con el valores que toma dicha magnitud. Un incremento marginal de una

magnitud es un incremento pequeo en comparacin con el valor que toma

dicha magnitud.

En la mayora de los ejemplos que vamos a considerar ser fundamental que las

unidades consideradas sean marginales. Por ejemplo, si la inversin de una

empresa en produccin es del orden de varios miles de euros, podremos tomar

como unidad monetaria (marginal) para estudiarla un centenar de euros, mientras

que si queremos estudiar el gasto mensual de cierta familia (por ejemplo, del

orden de 300 C), un centenar de euros no servir como unidad marginal, pero s

servir, en cambio, un euro.

En estos trminos, la interpretacin de la frmula anterior es:

La derivada de una funcin f respecto de una variable x en un punto representa el

incremento que experimenta f por cada unidad marginal que aumenta la variable x

alrededor del punto p (suponiendo que las dems variables no se alteran, caso

general).

En forma general Si es una funcin de varias variables

entonces:

Que se llama derivada parcial con respecto a .

De la misma forma anterior

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Reglas de derivacin

Sea y con sus respectivas derivadas y dnde:

Funcin Derivada Observacin .

( ) ( )

Al comparar la definicin de derivada parcial con la definicin de derivada de una

funcin de una variable se llega fcilmente a la siguiente conclusin:

La derivada parcial de una funcin respecto de una variable puede

calcularse con las mismas reglas de derivacin vlidas para funciones de una

variable sin ms que considerar como constantes a las dems variables de .

Aplicaciones de las derivadas

Magnitudes marginales En economa es frecuente referirse a la derivada de una

magnitud aadindole a esta el calificativo marginal. Por ejemplo, si es

una funcin de costos, donde e son las cantidades producidas de dos

artculos, la derivada

es el costo marginal respecto de , es decir, el incremento del costo que

ocasionara aumentar en una unidad la produccin del primer artculo.

Igualmente, si son beneficios de una empresa en un tiempo entonces el

beneficio marginal es

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que se interpreta como el beneficio que se obtiene al pasar una unidad marginal

de tiempo.

Si es la utilidad que obtiene un consumidor al adquirir cantidades e de

dos productos y , entonces la utilidad marginal respecto de y es la derivada

es decir, el incremento de la utilidad que obtendra el consumidor al gastar una

unidad monetaria ms en el producto , etc.

Es importante sealar que estas y todas las interpretaciones particulares del

adjetivo marginal en su uso en economa son casos particulares de la

interpretacin general de las derivadas (y/o derivadas parciales).

Por lo tanto Cuando se usan las derivadas en economa para calcular tasas de cambio de unas magnitudes respecto de otras, el procedimiento se llama anlisis marginal. Nota:

El trmino derivada se aplica por lo general cuando la funcin depende de una

sola variable y el trmino derivada parcial cuando la funcin depende de dos o

ms variables.

Principales formulas y trminos comerciales

Trminos bsicos

Interpretacin Formula bsica

Nmero de unidades producidas o vendidas. Funcin demanda. Es el precio por unidad.

Es la funcin ingreso. Es el ingreso producido al vender por unidades.

Es la funcin de costo. Es el costo de produccin de x unidades.

Es la funcin de costo medio por unidad.

Es la funcin beneficio por la venta de x unidades.

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En la siguiente tabla presentamos las derivadas de funciones vinculadas al cuadro anterior y su interpretacin.

Marginales Interpretacin

Es el ingreso marginal. Aproxima el ingreso al vender una unidad adicional

Es el costo marginal. Aproxima el costo de producir una unidad adicional.

Es el beneficio marginal. Aproxima el beneficio al vender una unidad adicional.

Algunos conceptos

Mximo-Mnimo Para que una funcin tenga un mximo o un mnimo la derivada

de dicha funcin debe ser nula en el punto a evaluar.

Si entonces es mximo o mnimo. En el mismo punto si

es mnimo y si es mximo.

Nota:

A se le llama la primera derivada y a se le llama la segunda derivada

(que es la derivada de la primera derivada), hallar el mximo o mnimo es ms

complicado al analizar una funcin de varias variables.

El signo de las derivadas Recordemos que un incremento puede representar un

aumento o una disminucin segn que su signo sea positivo o negativo. Como

consecuencia la derivada de una funcin respecto de una variable ser

positiva si un aumento de da lugar a un aumento de y ser negativa si, por el

contrario, un aumento de da lugar a una disminucin de .

Ejemplo, en condiciones normales, la derivada de la demanda de un producto

respecto de su precio ser negativa, pues un aumento del precio da lugar a una

disminucin de la demanda. Sin embargo, la derivada de la demanda respecto al

gasto en publicidad ser positiva, pues un aumento del gasto publicitario da lugar

a un aumento en la demanda.

Incrementos porcentuales Si una funcin depende (entre otras) de la variable

, la derivada

representa el incremento absoluto que produce en F un incremento de una unidad

en , aunque a menudo es ms til determinar el incremento relativo al valor de F,

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Para obtener un incremento porcentual basta observar que tomando el valor de F

como el 100%, la derivada anterior supone un porcentaje de

Algunos problemas resueltos

a) Demostrar que la derivada de es

de la definicin

Reemplazamos en cada trmino.

Por lo tanto

En general la derivada de es , existen tablas de

derivadas que nos facilitaran en las aplicaciones.

b) Un fabricante estima que, al producir x unidades de un bien de consumo, el

costo total ser de

(miles de soles).Usar el costo

marginal para estimar el costo de producir la novena unidad

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El costo de producir la novena unidad es la variacin del costo cuando aumenta de a , y se estima mediante el costo marginal:

As, el costo estimado (aproximado) de produccin de la novena unidad es de

soles, cuyo valor real es soles.

c) Un estudio de eficacia del turno de la maana en una fbrica indica que un

trabajador medio que llega a las 8:00 am. habr producido unidades al cabo de horas. A qu hora de la maana tiene el trabajador su tasa de rendimiento o de produccin mximo?

Considerar que La tasa de produccin del trabajador es la derivada de :

Como nos piden la tasa de produccin mxima tenemos que derivar

e igualar a cero.

Esto significa que pasan 3 horas a partir de la 8:00 am, entonces es a las 11 am que el trabajador tiene su tasa de rendimiento mximo.

Remplazando algunos valores

Bibliografa

1) LAURENCE D. HOFFMANN, GERALD L. BRADLEY, KENNETH H.

ROSEN Calculo aplicado para administracin, economa y ciencias sociales (pag.96-pag.147) editorial McGraw-Hill 8va edicin ,2006.

2) NORA GAVIRA DURN Calculo diferencial e integral con aplicaciones a la economa, demografa y seguros, apuntes.