Universidad tecnológica Antonio José de sucre

Escuela de informática Julio Aguirre CI 18862237

Derivación implícita

Derivación concepto Geométricamente, la derivada de una

función en un punto es el valor de la pendiente de la recta tangente en dicho punto. La pendiente está dada por la tangente del ángulo que forma la recta tangente a la curva (función) con el eje de las abscisas, en ese punto.

La derivada de una función mide el coeficiente de variación de dicha función. Es decir, provee una formulación matemática de la noción del coeficiente de cambio. El coeficiente de cambio indica lo rápido que crece (o decrece) una función en un punto (razón de cambio promedio) respecto del eje de un plano cartesiano de dos dimensiones. Por ejemplo si tomamos la velocidad de algo, su coeficiente es la aceleración, la cual mide cuánto cambia la velocidad en un tiempo dado.

DERIVACIÓN IMPLÍCITA Es posible derivar una función dada

implícitamente sin necesidad de expresarlo explícitamente. El método consiste en derivar los dos miembros de la relación. El procedimiento se conoce como derivación implícita.

Definición: se denomina función implícita cuando se da una relación entre x y y por medio de una ecuación no resuelta para y, entonces y se llama función implícita de x.

Por ejemplo: define a y como una función implícita

de x. Es claro que por medio de esta ecuación x se define igualmente como función implícita de y.

aplicación RAZONES DE CAMBIO

RELACIONADAS En la derivación implícita se derivó

una ecuación que involucra a x y a y tratada como una función de x. Sin embargo, en algunas aplicaciones donde x  y   están relacionadas por una ecuación ambas son funciones de una tercera variable t (que puede representar tiempo). Muchas veces las fórmulas de x y dey  como función de t no son conocidas. Cuando se deriva una función de este tipo con respecto a t, se está originando una relación entre las razones de cambio  

1.      De ser posible, traza un diagrama (dibujo) que ilustre la situación  que el problema plantea.

2.      Designar con símbolos todas cantidades dadas y las cantidades por determinar que varían con el tiempo.

3.      Analice el enunciado del problema y debe distinguir cuales razones de cambio se conocen y cuál es la razón de cambio que busca.

4.      Plantear una ecuación que relacione las variables cuyas razones de cambio están dadas o han de determinarse.

Aplicación de la derivada Estrategias para resolver

Derivación Implícita Funciones explícitas y funciones implícitasEn los cursos de cálculo la mayor parte de las funciones con que trabajamos están expresadas en forma explícita, como en la ecuacióndónde la variable y está escrita explícitamente como función de x. Sin embargo, muchas funciones, por el contrario, están implícitas en una ecuación. La función y = 1 / x, viene definida implícitamente por la ecuación: x y = 1.

Ejemplos

Estrategia para la Derivación Implícitas1. Derivar ambos lados de la ecuación respecto

de x

2. Agrupar todos los términos en que aparezca  en el lado izquierdo de la ecuación y pasar todos los demás a la derecha.

3. Sacar factor común  en la izquierda.

4. Despejar , dividiendo la ecuación por su factor acompañante en la parte izquierda

Características