UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL“FRANCISCO DE MIRANDA”

UNIDAD CURRICULAR: MATEMÁTICA IUNEFMUNEFM

DERIVACIÓN DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

Ing. Jocabed Pulido (Esp.)

Santa Ana de Coro, Noviembre de 2014

LA DERIVADA

Sea un intervalo, una función y . Se dice que f es diferenciable o derivable en “a” si

existe.

Este límite se denota como y se le denomina derivada de f en a

Ejemplo Nº1: Hallar la derivada de en

I If : a

ax

afxflim

ax

af

xxf 3a

133lim

xx

3x

REGLA DEL CÁLCULO DE LAS DERIVADAS RELACIONADAS CON LAS OPERACIONES

ARITMÉTICAS SOBRE FUNCIONES

El proceso de obtener la derivada de una función se conoce como derivación o diferenciación.

A continuación se muestran algunos teoremas que permiten calcular la derivadas de funciones de forma rápida sin tener que recurrir a la definición.

TEOREMA Nº1: Derivadas de Funciones Elementales Sea , entonces para toda se cumple que 1) Si , , (Función Constante), entonces

2) Si , (Función Identidad), entonces

3) Si , (Función Potencia), entonces

Ejemplo Nº 3:

:f x

cxf c 0 xf

xxf 1 xf

nxxf 1 nnxxf

0´2 xx ff 23 3´ xfxf xx

TEOREMA Nº1: Derivadas de Funciones Elementales 4) Si , (Función Seno), entonces

5) Si , (Función Coseno), entonces

6) Si ,(Función Exponencial), entonces

senxxf )( xxf cos)(

xxf cos senxxf

xexf xexf

TEOREMA Nº2: Propiedades de la Derivada Sean f y g funciones definidas en un intervalo y sea , entonces

1)

2) con

3)

4) Siempre que

ba, bax ,

xgxfxgf

xfkxkf . k

xgxfxgxfxgf ...

2

..xg

xgxfxgxfxgf

0xg

Ejemplo Nº4:

Encontrar la derivada de las funciones

1) 2)

R1) R2)

164 2 xxy xexy .3

68 xy xx exexy ..3 32

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN COMPUESTA:

Teorema: Regla de la Cadena Si diferenciable en “u” y es diferenciable en x, entonces la función compuesta f o g es derivable en x y se cumple que

La derivada de una función compuesta es el producto de la derivada de una función externa por la derivada de la función interna.

ufy xgu

)())(()()( xgxgfxgf

Ejemplo:

Encontrar la derivada de

32 5 xxf

5.53 222 xxxf

xxxf 2.5322

xx 252

VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE FUNCIONES Punto Crítico:

Un número crítico de una función f es un número c del dominio f tal que o no existe.

En este caso el número es un punto crítico

0 cf cf

cfc,

Ejemplo:

Sea la función . Demostrar que 0 es un número crítico de f

3xxf

003 2 fxxf

VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS GLOBALES La función f tiene un máximo absoluto en un intervalo si existe algún número c en dicho intervalo tal que

para toda x en el intervalo

El número es el valor máximo absoluto en el intervalo

xfcf

cf

VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS GLOBALES

La función f tiene un mínimo absoluto en un intervalo si existe algún número c en dicho intervalo tal que

para toda x en el intervalo

El número es el valor mínimo absoluto en el intervalo

xfcf

cf

EJEMPLO: La función definida para tiene dos puntos que producen un máximo absoluto en A y el único punto que produce un mínimo absoluto en A

2xxf

1x

1,1: Ax

0x

VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS LOCALES Máximo Local:

Una función f tiene un máximo local en un punto p si para toda x alrededor de dicho punto.

Mínimo Local:

Una función f tiene un mínimo local en un punto p si para toda x alrededor de dicho punto.

xfpf

xfpf

FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES

Sea f una función continua en un intervalo I y diferenciable en todo punto interior del intervalo

Si en todo punto interior de I, entonces f es creciente en I

Si en todo punto interior de I, entonces f es decreciente en I

0 xf

0 xf

Por Ejemplo la función es creciente en el intervalo

De acuerdo a lo indicado en la definición anterior para toda

xxf ,0

02

1

xxf ,0x

CONCAVIDAD

Sea f una función dos veces diferenciable en un intervalo abierto I

1. Si para todo punto x interior de I, entonces el gráfico de f es cóncavo hacia arriba en I

2. Si para todo punto x interior de I, entonces el

gráfico de f es cóncavo hacia abajo en I

0 xf

0 xf

PUNTOS DE INFLEXIÓN

Un punto sobre la gráfica de f es un punto de inflexión si f es continua en c y f cambia de concavidad en c.

cfc,

Ejemplo:

Hallar los puntos de inflexión del gráfico de la función

Si

Si

31

xxf

32

31

xxf

35

92

xxf

0 xf 0x

0 xf 0x

POR SU ATENCIÓN