Depto. Matemáticas – IES Elaios

Tema: Análisis de Funciones

4. PROPIEDADES LOCALES DE FUNCIONES DERIVABLES

Presentación elaborada por el profesor José Mª Sorando,ampliando y adaptando el texto de la Editorial SM

Crecimiento y decrecimiento de una función. Extremos relativos.

Sea y = f(x) una función continua cuya gráfica es la de la figura.

f es creciente en a, b, c.f es decreciente en e, g, h.f presenta máximos relativos en d, j.f presenta mínimos relativos en i, k.

Crecimiento y decrecimiento de una función. Extremos relativos.

Definiciones

Crecimiento y decrecimiento de una función. Extremos relativos.

Crecimiento y decrecimiento de una función. Extremos relativos.

Crecimiento y decrecimiento de una función. Extremos relativos.

Resultados o propiedades que utilizaremos:

Crecimiento y decrecimiento de una función. Extremos relativos.

Crecimiento y decrecimiento de una función. Extremos relativos.

X

Y

[a

]b

X

Y

[a

]bx

α

x

α

Crecimiento y decrecimiento de una función. Extremos relativos.

Reglas prácticas:

Sea f(x) derivable en (a , b)

Si f’(x) > 0 para todo x en (a , b), entonces f(x) es creciente en (a , b)

Si f’(x) < 0 para todo x en (a , b), entonces f(x) es decreciente en (a , b)

Si f’(x) = 0 para todo x en (a , b), entonces f(x) es constante en (a , b)

Crecimiento y decrecimiento de una función. Extremos relativos.

Reglas prácticas:

Sea f(x) derivable en (a , b)

Si f’(c) = 0 , entonces en x = c hay un punto crítico, que puede ser o no un extremo relativo (máximo o mínimo).

Por ejemplo: en la gráfica hay puntos críticos en b, d, e, i

pero de ellos sólo hay extremos relativos en d, i

Crecimiento y decrecimiento de una función. Extremos relativos.Reglas prácticas:

Sea f(x) derivable en (a , b). Una vez localizados los puntos críticos x = c donde f’(c) = 0, se estudian los posibles extremos relativos por uno de estos dos métodos.

- Criterio de la derivada primera: Si f’(x) cambia de signo en x = c, hay un extremo relativo si pasa de + a - , la función pasa de creciente a decreciente, hay

máximo (razonamiento análogo para mínimo)

- Criterio de la derivada segunda:

Si f”(c) > 0 , hay mínimo (porque entonces f’(x) es creciente en c, pasará de – a +; luego f(x) cambiará de decreciente a creciente)

Si f”(c) < 0 , hay máximo (razonamiento análogo)f '(c) = 0

f '(c) = 0

X

Y

[a

]b

Curvatura: concavidad hacia Y+

f " > 0 función cóncava hacia Y+

X

Y

[a

]b

x1 x2

tg α1 < tg α 2 f '(x1) < f '(x2)

Las pendientes de las tangentes aumentan, f ' es creciente

x1 x2

Cuando la curva está por encima de la tangente, se dice que es cóncava hacia Y+

X

Y

[a

]b

α1

α2

X

Y

[a

]bx1 x2

α1

α2

x1 x2

tg α1 > tg α2 f '(x1) > f '(x2)Las pendientes de las tangentes disminuyen, f ' es decreciente

f " < 0 función cóncava hacia Y-

Curvatura: concavidad hacia Y-

Cuando la curva está por debajo de la tangente, se dice que es cóncava hacia Y-

Puntos de inflexión

X

Y

P(a, f(a))

f" < 0

f" > 0

f"(a) = 0

Cuando la curva en un punto cambia de posición respecto a la tangente, es decir cambia el sentido de la concavidad, se dice que tiene un punto de inflexión en ese punto.

Si f”(a) = 0 y además f’’’ (a) ≠ 0 hay un punto de inflexión en x = a

en este caso, como f” decrece, f’’’ < 0