departamento de teorÍa de la seÑal y...

DEPARTAMENTO DE TEORÍA DE LA SEÑAL Y

COMUNICACIONES

ANÁLISIS Y SÍNTESIS DE CIRCUITOS

TEMA 1

Introducción. Definiciones básicas

ÍNDICE

1.-Introducción......................................................................................................................1

1.1.-Definición de filtro..................................................................................................................1

1.2.-Efectos del filtrado...................................................................................................................1

1.3.-Tipos de filtros. Pasivos y activos.........................................................................................3

2.-Filtros.................................................................................................................................52.1.-Caracterización de un filtro....................................................................................................5

2.1.1.-Función de transferencia. ...............................................................................................52.1.2.-Polos y ceros.....................................................................................................................62.1.3.-Respuesta en amplitud.....................................................................................................82.1.4.-Respuesta en fase..............................................................................................................82.1.5.-Retardo de grupo..............................................................................................................92.1.6.-Obtención aproximada de la respuesta en frecuencia. Polos y ceros......................92.1.7.-Distorsión........................................................................................................................11

2.2.-Tipos de filtros.......................................................................................................................132.2.1.-Especificaciones de amplitud.......................................................................................13

2.2.1.1.-Filtro paso bajo.....................................................................................................132.2.1.2.-Filtro paso alto......................................................................................................152.2.1.3.-Filtro paso banda..................................................................................................162.2.1.4.-Filtro banda eliminada o elimina-banda...........................................................17

2.2.2.-Especificaciones de fase o retardo. Filtros paso-todo.............................................19

3.-Escalado en frecuencia e impedancia.............................................................................213.1.-Escalado en frecuencia..........................................................................................................21

3.2.-Escalado en impedancia........................................................................................................24

3.3.-Escalado en impedancia y frecuencia.................................................................................25

4.-Transformaciones de frecuencia.....................................................................................26

4.1.-Transformación paso bajo-paso alto..................................................................................26

4.2.-Transformación paso bajo-paso banda..............................................................................304.2.1.-Propiedades o condiciones de diseño del circuito....................................................314.2.2.-Transformación de impedancias..................................................................................36

4.3.-Transformación paso bajo-banda eliminada.....................................................................374.3.1.-Propiedades o condiciones de diseño del circuito....................................................384.3.2.-Transformación de impedancias..................................................................................41

5.-Pasos en el proceso de diseño de filtros..........................................................................41

TEMA 1: Introducción. Definiciones básicas. 1

1.- Introducción.

En el análisis de circuitos, se ha tratado de encontrar la respuesta de una red conocida, a una determinada excitación. Una vez vistos los métodos de análisis de circuitos el siguiente paso consistirá en el diseño de redes, conocidas determinadas características de su comportamiento, siendo esta la finalidad del estudio de la síntesis de circuitos. Dada una relación entre magnitudes de entrada y salida, lo que se pretende es obtener un modelo de circuito o sistema tal que al aplicar una determinada señal a la entrada la salida sea la deseada, siempre dentro de un margen de tolerancias establecido.

Los datos de partida serán, principalmente, la excitación y respuesta de la red. Estos datos pueden venir definidos de diferentes formas, hablándose en cada caso de un tipo de síntesis. Si la excitación y la respuesta vienen dadas en función de la frecuencia compleja generalizada se hablará de síntesis en el dominio complejo o de Laplace y por último puede darse un planteamiento gráfico (método muy frecuente cuando se trabaja con filtros), en función de la pulsación (ω)y la atenuación (α) a distintas ω.

En esta asignatura nos centraremos en el diseño de unos circuitos muy importantes en varios campos tanto de la electrónica como del procesado de señal y de las comunicaciones, conocidos como filtros.

1.1.- Definición de filtro.

Un filtro es, en general, un dispositivo formado por componentes (resistencias, bobinas, condensadores, dispositivos activos,...) interconectados entre si para producir unos cambios específicos en la señal de entrada y obtener una señal de salida con las características deseadas.

Según sabemos, una señal x(t) periódica de periodo 2π/ω0 se puede representar por su desarrollo en serie de Fourier como:

x t =a0∑k=1

∞

ak cos k 0 tbk sen k 0 t =A0∑k=1

∞

Ak cos k 0 tk

donde ak, bk, Ak y φk serán reales. De la misma forma, si x(t) es una señal no periódica, se puede expresar como (integral de Fourier):

x t =1

2∫−∞

∞

X e j t d

El filtrado se considera, en general, como un proceso de cambio del espectro de la señal de entrada, es decir, una modificación de los valores Xk o de la función X(ω) para conseguir la señal de salida deseada. Más concretamente se puede entender como filtrado la eliminación de determinadas componentes frecuenciales de una señal (bandas atenuadas o eliminadas) dejando pasar las demás (bandas de paso).

1.2.- Efectos del filtrado.

Para comprobar el efecto que produce un circuito de filtrado sobre una determinada señal partamos de un circuito sencillo de ejemplo que podemos analizar fácilmente y que tiene elementos cuya impedancia depende de la frecuencia. Dicho circuito se muestra en la figura 1.

Departamento de Teoría de la Señal y Comunicaciones. Universidad de Alcalá


Figura 1: Circuito sencillo de filtrado.

Para mayor sencillez en el análisis supongamos que la tensión Vi está compuesta por un generador sinusoidal de pulsación ω. Nuestro objetivo es obtener la tensión de salida Vo conocida la tensión de entrada.

Del análisis de circuitos sabemos que la tensión de salida será:

V o=Vi

R1

j C

1

j C=V i

1

1 j R C

de donde podemos obtener su módulo y su fase:

∣V o∣=∣V i∣1

1 RC 2

V o=V i

−arctg RC

En estas expresiones se puede comprobar que la tensión de salida del circuito dependerá de la pulsación del generador utilizado y que si esta es pequeña dicha tensión será próxima a la del generador y si es grande será mucho más pequeña que la del generador.

Veamos el efecto producido en el caso de que la tensión Vi sea la suma de varios generadores de frecuencias distintas de la forma:

V i=a0∑k=1

∞

ak cos k t

Al ser el circuito un sistema lineal se podrá aplicar superposición para el análisis del mismo, obteniendo la salida para cada una de las tensiones y sumando los efectos al final. En el análisis para cada generador por separado se obtendrá primero la tensión Vo correspondiente a cada pulsación en el dominio fasorial y, posteriormente, se obtendrá la respuesta en el tiempo.

En la ecuación siguiente se hace un esquema del proceso en el que los ak representan los valores correspondientes a las amplitudes de cada generador.



V i=a0∑k =1

∞

ak cos k t

a0 a01

1 jR0C a0

a1 a11

1 jR1C

a1

1 R1 C 2cos 1t−arctg R1 C

a2 a21

1 jR2 C

a2

1 R2 C 2cos 2 t−arctg R2 C

⋯

V o=a0∑k=1

∞ ak

1 Rk C 2cos k t−arctg Rk C

Es importante ver que la tensión de salida final será la suma de las correspondientes a cada pulsación. Se puede comprobar que el efecto del filtro es modificar la amplitud y la fase de cada uno de los generadores. Si la pulsación de generador es grande la amplitud resultante es pequeña y el efecto de dicho generador no se apreciará a la salida. Eligiendo convenientemente el circuito se podría tener una amplitud casi nula para ciertas pulsaciones y casi la unidad para otras, ese es el fundamento del filtrado.

Si generalizamos lo visto en el ejemplo anterior llegamos a la conclusión de que si tenemos señales formadas por la suma de varias componentes de pulsaciones distintas y usamos dicha señal como entrada a un circuito de filtrado, a la salida tendremos algunas frecuencias “eliminadas” y otras que “pasarán”.

Si a la relación de tensiones entre la entrada y la salida la llamamos H(ω). En el ejemplo del circuito de la figura 1 esta función será simplemente:

H =V o

V i

=1

1 j RC

Y si tenemos una tensión de entrada:

ve t =V 0∑k =1

∞

V k cos k tk

entonces la salida será:

v st =V 0 H 0∑k =1

∞

V k∣H k ∣cos k tkH k

El objetivo del diseño de filtros será, por tanto, el obtener un circuito que tenga la H(ω) deseada.

1.3.- Tipos de filtros. Pasivos y activos.

El diseño de filtros ha evolucionado de gran manera desde sus comienzos. Los primeros filtros que se realizaron fueron los filtros RLC (pasivos). El excesivo coste y tamaño de las bobinas (en bajas frecuencias) hizo que se tratara de sustituir dichos elementos por otros



(dispositivos activos) dando lugar a los filtros activos, realizados en un principio por resistencias, condensadores y transistores, que más tarde fueron sustituidos por amplificadores operacionales.

En la actualidad se realizan, además, filtros de condensadores conmutados y filtros digitales que se implementan en circuitos integrados y que presentan muy buenas características.

Según se ve, se ha evolucionado por tanto hacia los filtros activos. Estos, además de las ventajas, con respecto a los pasivos RLC, de reducción de tamaño y peso, tienen otras como:

• La realización de circuitos aumenta ya que todos los pasos de fabricación pueden ser automatizados.

• El coste de los filtros activos, cuando se realizan grandes cantidades, es mucho menor que el de los pasivos.

• Se pueden mejorar las características porque se pueden realizar con componentes de gran calidad.

• Los efectos parásitos se reducen debido al menor tamaño.

• Los filtros activos analógicos y la circuitería digital se puede integrar en el mismo chip.

Además de estas ventajas de realización física, existen otras con relación a la teoría:

• El diseño y sintetización suele ser más sencillo en los filtros activos.

• Existen más circuitos disponibles para la realización de filtros activos que para filtros pasivos.

• Los filtros activos pueden proporcionar ganancias, los pasivos proporcionan pérdidas o atenuaciones nulas.

No todo son ventajas, también existen una serie de desventajas de los filtros activos respecto a los pasivos, como son:

• Los dispositivos activos tienen un ancho de banda limitado, lo que hace que se usen sólo hasta aplicaciones de audiofrecuencia.

• La sensibilidad de los filtros pasivos es menor que la de los activos.

• Los filtros activos necesitan alimentación exterior, mientras que los pasivos no.

• La amplitud de la señal con la que pueden trabajar los filtros activos es a menudo pequeña, menor, en general, que la de los pasivos debido a la limitación del margen dinámico introducido por la alimentación.

En general, las ventajas de los filtros activos superan las desventajas, sin embargo los pasivos siguen siendo ampliamente utilizados en determinadas aplicaciones (radiofrecuencia).



2.- Filtros.

Se entiende, en sentido amplio, por filtrado cualquier operación de tratamiento o manipulación realizada sobre una señal. En un sentido más estricto se entiende por filtrado a la operación de seleccionar unas determinadas componentes de una señal, dependiendo de su frecuencia, en detrimento de otras.

Un filtro es aquel dispositivo físico capaz de llevar a cabo este tipo de operaciones. En un filtro se distinguen dos tipos de bandas de trabajo:

a) Banda de paso. Comprende el margen de frecuencias en la cual la atenuación que sufre la señal es mínima, no pudiendo superar un determinado valor ( MAX ) denominado: atenuación máxima de la banda de paso.

b) Banda eliminada o de atenuación. Comprende el margen de frecuencias en el cual el circuito impide el paso de la señal. La señal debe sufrir una atenuación igual o superior a lo que se denomina como atenuación mínima de la banda eliminada ( MIN ).

Mediante el filtrado se consigue extraer de una señal su parte útil y eliminar todo lo que se ha añadido a la señal o que no nos es útil (ruidos, señalizaciones, pilotos, etc.).

2.1.- Caracterización de un filtro.

Un filtro es en esencia un dispositivo lineal capaz de modificar el contenido frecuencial X de la señal de entrada al mismo, x(t), obteniendo a su salida una señal de respuesta y(t)

cuya transformada es Y . Existen diferentes formas matemáticas de caracterizar un filtro, algunas de ellas se verán en los puntos siguientes.

2.1.1.- Función de transferencia.

Se define la función de red F(s) como la transformada de Laplace de la relación entre la respuesta de un circuito y la excitación de ésta, con condiciones iniciales nulas. La función de red puede tener dimensiones de: impedancia, admitancia o ser adimensional dependiendo de las variables utilizadas.

Cuando las variables implicadas pertenece una a la puerta de entrada X(s) y la otra a la puerta de salida Y(s), la función de red se denomina función de transferencia H(s).

H s=Y sX s

=am sm

⋯a1 sa0

bn sn⋯b1 sb0

=N sD s

La función de transferencia se expresará como el cociente de dos polinomios en s y para que sea realizable prácticamente debe cumplirse que el grado del numerador (m) debe ser menor o igual que el grado del denominador (n). Además, todos los coeficientes de los polinomios deben ser reales, nunca imaginarios.

Cuando las dos variables X(s) e Y(s) tienen dimensiones de tensión, se conoce como función de transferencia en tensión, es decir H s=V out s/V in s . Esta expresión se utiliza generalmente en el diseño de filtros. Sin embargo en otras situaciones se utiliza la función de transferencia en corriente, impedancias de transferencia o admitancias de transferencia.



2.1.2.- Polos y ceros.

El comportamiento y las características de la función de transferencia dependen de cómo son los polinomios del numerador y del denominador y, concretamente, de sus raíces. Para ver el significado de estas raíces y su influencia partiremos del siguiente ejemplo.

Dado el siguiente circuito, en el cual las condiciones iniciales se consideran no nulas, se conecta el generador en t=0 sg.

e t =R i t Ldit

dt

1C∫−∞

t

i t dt

de t dt

= L d 2 i t

dt + R

di t dt

+ 1C

i t

i t = iH t + i P t

Se obtiene iH(t):

LD2RD1C =0

D1,2=

−R± R2−4 LC

2 L=−

R2 L

± j 1LC

− R2 L

2

iH t = I 1 eD1 t

I 2 eD2 t

donde:

– I1 e I2 dependerán de las condiciones iniciales.

– La solución de la homogénea no depende para nada del valor de e(t), en consecuencia iH(t) representará el comportamiento propio del circuito.

– Las raíces de la ecuación característica D1 y D2, dependen únicamente de los elementos del circuito, por lo tanto, son valores propios de la red.

– Re(D1)≤ 0 y Re(D2)≤ 0 para que la corriente no aumente indefinidamente y el circuito sea estable.



Si se hace el estudio del mismo circuito sin condiciones iniciales se obtiene el siguiente resultado analizándolo en el dominio de Laplace:

E s =RLs1

Cs I s

RespExcit

=I sV s

=1

RLs1

Cs

=Cs

CL s2CRs1

=

sL

s2

RL

s1

LC

Cociente de dos polinomios en s con coeficientes reales positivos. Obteniendo las raíces del polinomio del denominador:

s1,2=

−RL

± RL

2

−4

LC2

=−R

2 L± R

2 L 2

−1

LC=−

R2 L

± j 1LC

− R2 L

2

I sV s

=

sL

s−s1 s−s2

Se observa que los valores de s1 y s2 coinciden con los valores de D1 y D2 respectivamente del estudio con condiciones no nulas del circuito siendo, por tanto, los valores que aparecen en las exponenciales.

Las raíces de los polinomios del numerador y del denominador tienen una gran importancia para definir el comportamiento del circuito. A partir de esas raíces se definen los siguientes valores:

● Los CEROS de la función son valores de s que hacen que la función sea cero, es decir, si F(sz) = 0 en sz se tendrá un cero de la función. Coinciden con las raíces del polinomio del numerador.

● Los POLOS son valores de s que hacen que la función tienda a infinito. Si F(sp) = ∞, sp

es un polo de la función. Coinciden con las raíces del polinomio del denominador.

A través de los polos y los ceros se podrá llegar a la relación Resp/Excit, ya que estos definen la función en todo menos en una constante K.

RespExcit.

=k s−sz 1

s−sz2⋯ s−s zm

s− sp1 s−s p2

⋯ s−s pn

El número de ceros debe ser igual al número de polos aunque algunos de ellos pueden estar situados en el infinito.

En el plano complejo los polos se representan mediante una "x" y los ceros se representan mediante un "0".



Re

Im

Para que la respuesta del sistema no tienda a infinito se ha visto que Re[s] ≤ 0 por ello los polos de la función deben estar situados en el semiplano izquierdo del plano s. Además los polos y ceros de una función de red serán reales o aparecerán como pares complejos conjugados. La respuesta libre (sin excitación) de un sistema vendrá regido por los polos de la función de red, por tanto para que el sistema sea estable no podrá tener polos en el semiplano derecho y todos los polos que se encuentren sobre el eje jω deben ser simples. Esto implica que en el polinomio del denominador todos los coeficientes deben ser positivos. Además, el número de polos en el diagrama nos dirá el orden de la función de transferencia del filtro.

A partir del diagrama de polos y ceros se puede obtener una forma aproximada de la respuesta en frecuencia del circuito, teniendo en cuenta que en las proximidades de los polos la función tendrá un máximo y en las de los ceros un mínimo. Esto se ampliará en el apartado 2.1.6.

2.1.3.- Respuesta en amplitud.

Una de las formas más comunes de especificar un filtro es mediante su respuesta en amplitud. Esta respuesta en amplitud es la que fijará las bandas de paso y atenuada y las atenuaciones de ambas bandas. Normalmente se especifica esta respuesta en amplitud y, a partir de ella, se obtiene la función de transferencia. La respuesta en amplitud no es más que el módulo de la particularización de la función de transferencia en el eje jω.

∣H ∣=∣H s∣s= j

A =∣H ∣ ⇒ ∣Y ∣=A∣X ∣

A partir de ella se define la función de atenuación del filtro como:

=20 log1

A dB =10 log [ 1

∣H ∣2 ]

2.1.4.- Respuesta en fase.

La respuesta en fase se corresponde con la fase de la función de transferencia particularizada en el eje jω. Esta fase se sumará a la de la entrada para dar la de la salida.

=arg H s∣s= j ⇒ argY =arg X



En cierto tipo de filtros (filtros paso-todo) no se especifica la respuesta en amplitud sino la respuesta en fase y, a partir de ella, se obtiene la función de transferencia total. Esta es, por tanto, otra manera de especificar un filtro.

2.1.5.- Retardo de grupo.

La fase Φ(ω), en radianes o en grados, puede ser especificada directamente o también mediante la función denominada retardo de grupo, que se define como:

=−d

d

El retardo de grupo τ(ω) expresa el retardo experimentado por el entorno de una componente de pulsación ω del espectro de la señal de entrada. La función de retardo de grupo es utilizada a menudo como especificación para el diseño de un filtro, especialmente cuando es importante el comportamiento en el dominio del tiempo, como en los sistemas de transmisión de datos.

2.1.6.- Obtención aproximada de la respuesta en frecuencia. Polos y ceros.

La respuesta en frecuencia del filtro (tanto en amplitud como en fase) será lo que determine el tipo del mismo y sus características. A partir del diagrama de polos y ceros se puede obtener de manera aproximada dicha respuesta. Para ver como se haría partiremos primero de la expresión de la función de transferencia donde aparecen explícitamente los ceros y los polos:

H s=k s−sz1

s−s z2⋯ s−szm

s−s p1s−s p2

⋯s−s pn

si particularizamos dicha función en s= j obtendremos la respuesta en frecuencia según la siguiente expresión:

H j =k j−s z1

j −sz2⋯ j−szm

j−s p1 j−s p 2

⋯ j−s pn

De aquí podemos extraer la respuesta en amplitud obteniendo el módulo de la respuesta en frecuencia. En la respuesta en amplitud se puede apreciar que cuando el valor de ω es “cercano” a un polo el valor del módulo aumentará produciéndose un máximo mientras que cuando sea “cercano” a un cero disminuirá para dar un mínimo.

∣H j ∣=∣k∣∣ j −sz 1∣∣ j−sz 1∣⋯∣ j−szm∣∣ j−s p1

∣∣ j−s p2∣⋯∣ j −s pn

∣

La respuesta en fase aparece en la siguiente expresión:

H =arg k ∑k =1

m

arg j−s zk−∑

k=1

n

arg j −s pk

donde se puede comprobar que la fase de los ceros respecto al eje jω se suma y la de los polos se resta.



Ejemplos:


Figura 2: Tres ejemplos de obtención aproximada de la respuesta en amplitud partiendo del diagrama de polos y ceros.


2.1.7.- Distorsión.

Cuando una señal atraviesa cualquier sistema, en nuestro caso cuando es filtrada mediante un determinado circuito, puede aparecer una modificación en la forma de la misma que se conoce como distorsión. Un sistema no distorsiona cuando la salida es una réplica de la señal de entrada. Entendiendo por réplica que puede haber un retardo y/o una amplificación o atenuación. Es decir que si llamamos x(t) a la entrada e y(t) a la salida, esta deberá ser:

y t =K⋅x t−

Si la señal de entrada está formada por la suma de varias componentes frecuenciales, para que no haya distorsión todas ellas deben sufrir la misma atenuación o amplificación y el mismo retardo. En el caso de los filtros, que es el caso que nos interesa, esto último sólo se aplicará a la banda de paso pues las frecuencias que estén en la banda atenuada serán eliminadas.

Suponemos una señal de entrada como suma de varias componentes frecuenciales:

x t =∑n=1

m

cos n t

Si queremos ver el efecto que se produce sobre la misma al atravesar un sistema con una función de respuesta en frecuencia H j , deberemos aplicar la linealidad del sistema y obtener la salida según la siguiente expresión:

y t=∑n=1

m

∣H jn∣cos nt−H n

Para evitar la distorsión, ∣H j ∣ debe ser constante para todas las pulsaciones. Si no lo fuera hablaríamos de distorsión de amplitud.

La fase también influye en la distorsión puesto que produce un retardo en cada una de las componentes. El retardo que sufre cada componente en el ejemplo anterior es:

n=H n

n

cos nt−n

Si queremos que no haya distorsión, n debe ser constante para todos los valores de n. Por tanto, la fase debe ser una función lineal con ω de la forma:

H =

siendo el retardo que sufren las componentes y, por tanto, la señal en su conjunto. Si ese retardo no fuera constante, hablaríamos de distorsión de fase.



Componentes que forman la señal Señal suma de las tres componentes

Componentes retardadas por igual Señal total retardada

Componentes retardadas de distinta forma Señal total distorsionada

En las imágenes anteriores se puede ver un ejemplo en el que las componentes pasan sin distorsión y con distorsión de fase al sufrir distintos retardos.



2.2.- Tipos de filtros.

Podemos realizar diferentes clasificaciones de los filtros en función de la respuesta en amplitud que presenten. Cada tipo se especificará a partir de unas especificaciones de diseño que consideremos como punto de partida. Así si las especificaciones son de ganancia o atenuación podemos clasificarlos en: Paso bajo, paso alto, paso banda, banda eliminada o eliminabanda.

Si las especificaciones de partida se refieren a la variación de la fase o retardo, sin variaciones de amplitud, los filtros se denominan redes paso todo o ecualizadores de fase.

2.2.1.- Especificaciones de amplitud.

Cuando las especificaciones de partida para el diseño del filtro son de amplitud o atenuación se pueden caracterizar en función de las componentes de frecuencia de la señal de entrada que no se eliminan al pasar por él.

Se define "ωp" a la pulsación de corte de la banda de paso y "ωa" a la pulsación de corte de la banda eliminada o atenuada.

Con respecto a esta caracterización hecha para los filtros, se distinguen los siguientes tipos básicos de filtros en función de se respuesta en amplitud:

a) Filtro paso bajo.

b) Filtro paso alto.

c) Filtro paso banda.

d) Filtro elimina banda.

2.2.1.1.- Filtro paso bajo.

Idealmente se define un filtro paso bajo como un filtro que deja pasar las pulsaciones o frecuencias por debajo de una dada. Su plantilla de atenuación es la mostrada en la figura, en la cual la atenuación que sufre la señal al pasar por la banda de paso [0 , ωp] es nula y la atenuación de la banda eliminada es infinita.

En un filtro paso bajo real se cumple que la atenuación de la banda de paso [ 0, ωp ], no es superior a una atenuación máxima ( max ) y la atenuación de la banda eliminada [ ωa, ∞), no es inferior a un valor de atenuación mínimo ( min ), además ωa > ωp.

La plantilla de atenuación en este tipo de filtros es la siguiente:



Figura 3: Plantilla de atenuación de un filtro paso bajo

Dependiendo del valor de "ωa-ωp" se tendrá un filtro más o menos selectivo en frecuencias, así, cuanto más pequeño sea este valor más selectivo en frecuencias será el filtro. A la atenuación máxima de la banda de paso otras veces se le llama sólo atenuación en la banda de paso ( p ) y a la atenuación mínima de la banda atenuada sólo atenuación en la banda atenuada ( a ).

Al igual que se definen especificaciones de atenuación se pueden definir también su equivalente en amplitud sin más que tener en cuenta la relación existente entre ambas:

=10 log 1

∣H j ∣2

Observando los valores de la figura 4 se pueden encontrar directamente los valores análogos de atenuación según las siguientes expresiones:


Figura 4: Plantilla de amplitud de un filtro paso bajo

p a

A0

A1

A2

∣H j ∣

min

max o rizado


p=max=20 log A0

A1

a=min=20 log A0

A2

Lo normal, cobre todo en filtrado pasivo, es que el valor de A0 sea la unidad, indicando que no hay ningún tipo de ganancia. Si hubiera ganancia (A0 > 1), la plantilla de atenuación podría presentar valores negativos.

2.2.1.2.- Filtro paso alto.

Un filtro paso alto ideal se ajusta a una plantilla tal como muestra la figura. En la plantilla se observa como la atenuación de la banda de paso, [ωp, +∞), es nula, mientras que la atenuación de la banda eliminada [0 , ωa] tiende a infinito.

Para el caso de un filtro paso alto . real, se cumple que la atenuación que sufre la señal en la banda eliminada [0 , ωa] es superior a min y la atenuación de la banda de paso, [ωp,+∞), va a ser inferior a max . Se cumple que ωp>ωa. Al igual que ocurre en los filtros paso bajo cuanto menor sea la diferencia entre ωp y ωa más selectivo en frecuencias será el filtro.

Figura 5: Plantilla de atenuación de un filtro paso alto

Las especificaciones para el diseño de este tipo de filtros son las mismas que hemos indicado para los filtros paso bajo. En la figura 6 se muestra la respuesta de amplitud de este tipo de filtros así como sus especificaciones.



En teoría la banda de paso de un filtro paso alto se extiende hasta la pulsación ω = ∞, pero en la práctica la banda de paso está limitada en los filtros activos debido al ancho de banda finito de los dispositivos activos y a las capacidades parásitas. Como resultado, en un filtro paso alto la ganancia decrece a partir de cierta frecuencia tal como se muestra en la figura anterior.

2.2.1.3.- Filtro paso banda.

El filtro ideal que responde a estas características es el mostrado en la siguiente figura, en el cual la banda eliminada está dividida en dos tramos {[0,ω-a] y [ω+a,∞)} con una atenuación infinita y una banda de paso [ω-p,ω+p] con una atenuación nula.

El filtro real responde a una plantilla como la mostrada en la siguiente figura, distinguiéndose dos bandas eliminadas {[0,ω-a] y [ω+a,∞)} con una atenuación superior a min y una banda de paso [ω-p,ω+p] con una atenuación inferior a max . También se cumple que ω−aω−pωpωa .


Figura 6: Plantilla de amplitud de un filtro paso alto

pa

A0

A1

A2

∣H j ∣

min

max o rizado


Figura 7: Plantilla de atenuación de un filtro paso banda

En general los filtros paso banda no serán simétricos y la atenuación en las bandas atenuadas superior e inferior serán diferentes, esto es minH≠minL , sin embargo, normalmente las especificaciones de este tipo de filtros sólo tienen un valor para la atenuación mínima de la banda atenuada. De la misma manera las bandas de transición superior e inferior no tienen por que ser iguales (en general, ωa /ω p≠ω−p /ω−a ). A continuación se representa la característica y especificaciones de amplitud de un filtro paso banda donde se ha supuesto una misma atenuación en las dos partes de la banda atenuada.

2.2.1.4.- Filtro banda eliminada o elimina-banda.

La plantilla ideal a la que responde un filtro elimina-banda es la mostrada en la figura, donde se observa que hay un margen de frecuencias comprendido entre ω-a y ω+a, en la que la señal queda totalmente atenuada, pasando el resto de la misma.


Figura 8: Plantilla de amplitud de un filtro paso banda

−p a

A0

A1

A2

∣H j ∣

min

max o rizado

−a p


La plantilla real sería la mostrada en la siguiente figura. Aunque las atenuaciones en cada banda de paso podrían ser distintas, lo normal es que ambas sean iguales y así se han representado en la figura 9.

Figura 9: Plantilla de atenuación de un filtro banda eliminada


Figura 10: Plantilla de amplitud de un filtro Banda eliminada

−p a

A0

A1

A2

∣H j ∣

min

max o rizado

−a p


Las especificaciones de amplitud un filtro eliminabanda, como se muestra en la figura 10, son similares a las de un filtro paso banda debiendo fijarse cuatro pulsaciones para definir las bandas de paso y eliminada. Al igual que ocurre en los filtros paso alto, la banda de paso superior está limitada en frecuencia al ancho de banda de los dispositivos activos y las capacidades parásitas. Por esta razón a partir de cierta frecuencia la amplitud decrece.

2.2.2.- Especificaciones de fase o retardo. Filtros paso-todo.

Puede demostrarse que en una función de transferencia la amplitud y la fase no son independientes; es decir, una vez que ha sido especificada la amplitud, obtendremos una fase resultante prefijada que puede no ser la deseada para la aplicación además de provocar distorsión. Esto afecta de forma mínima en aplicaciones de voz o audiofrecuencia porque el oído humano es muy insensible a los cambios de fase o retardo con la frecuencia. Sin embargo, en aplicaciones de transmisión de digital o vídeo los cambios de fase introducidos por un filtro pueden causar distorsiones intolerables en la forma de la señal digital o de vídeo en el dominio del tiempo. Por ello, a veces, es necesario definir filtros en los que lo importante sea la respuesta en fase y no la amplitud y que permitan corregir la distorsión. Es lo que se conoce con filtros paso-todo.

En una función paso todo HAP(s) las raíces del numerador NAP(s), situadas en el semiplano derecho, y las raíces del denominador DAP(s), situadas semiplano izquierdo, son simétricas respecto del eje jω.

En consecuencia deberá cumplirse que:

N AP s=±DAP −s

siendo el signo + para el caso de que el grado del polinomio sea par y el signo menos si es impar.

Por tanto una función paso todo tiene la forma:

H AP s =±DAP −s

DAP s

cumpliéndose que ∣H AP j=1∣ para todo ω, es decir, todas las señales independientemente de la frecuencia no sufren variación de amplitud. Por tanto podemos expresar la función paso todo como H AP j=±e

j AP j , donde:

AP j =−2arctgD I

DR

siendo DR=Re [ DAP j ] y D I =Im [ DAP j ] . Se puede observar que una red paso todo puede producir una variación de fase dada por la ecuación anterior o equivalentemente producir un retardo AP =−d AP/ d sin ningún efecto sobre la transmisión de amplitud.

Esta característica de las redes paso todo en general nos permite encontrar una eficiente función de transferencia H(s), apropiada para las especificaciones de amplitud, e implementar el filtro correspondiente. Si el resultado del retardo o fase es insatisfactorio, se puede simplemente encontrar una función paso todo adecuada HAP(s) que al multiplicarla por H(s)



haga que la fase total ΦT o el retardo total τT sea el deseado. Las dos redes se conectan en cascada, sumándose la fase o retardo de ambas.

T =AP

T =AP

La conexión en cascada de redes paso todo, naturalmente, solo incrementan la fase o retardo de H(s); esto normalmente no es un problema, porque para transmisiones sin distorsión, sólo la linealidad de ΦT, es decir, la constancia del retardo total τT, en el rango de frecuencias de interés es importante, no su tamaño. Dependiendo de si se trabaja con la fase o con el retardo, la red paso todo se conoce como ecualizador de fase o ecualizador de retardo; esto indica por tanto que cuando la compensación de retardo τAP(ω) se suma al retardo no aceptable τ(ω) del filtro o de otra parte del sistema de transmisión, la suma de ambos es aproximadamente constante (τT(ω) ≈ constante) en el rango de frecuencias de interés.



3.- Escalado en frecuencia e impedancia.

Cuando queremos montar un determinado circuito, debemos adaptar los valores del mismo a los componentes de los que disponemos (siempre que sea posible). Además, una vez diseñado un determinado filtro (los componentes han sido calculados), a veces, queremos cambiar sus pulsaciones de corte para hacerlas más grandes o más pequeñas.

Para realizar estas operaciones sin necesidad de tener que recalcular todos los componentes tenemos lo que se conoce como escalado o normalización.

Mediante la normalización va a ser posible diseñar filtros estándar, que al desnormalizar nos permitan obtener los filtros deseados. Además, a la hora de la síntesis de circuitos pueden aparecer valores de componentes poco manejables (grandes, con muchos decimales, etc.) que se van a poder evitar con la normalización.

La normalización o escalado se va a realizar respecto a dos magnitudes: frecuencia e impedancia.

3.1.- Escalado en frecuencia.

Veamos un ejemplo de cómo se usa la normalización sobre un circuito como el de la figura:

Figura 11: Circuito paso bajo con un condensador

Se quiere utilizar este circuito para obtener una función de transferencia paso bajo con una respuesta en amplitud como la de la figura 12. Se sabe que esa respuesta en amplitud se obtiene con la siguiente función de transferencia:

Ecuación 1Ecuación 1Ecuación 1Ecuación 1Ecuación 1 H s=1

s1

(1)

El primer paso para la síntesis del circuito sería obtener la función de transferencia del mismo para compararla con la que se quiere obtener y, de ahí, calcular los valores de los componentes. El análisis del circuito en Laplace nos da la función :



H s=V o

V i

=

1RC

s1

RC

Si comparamos ambas funciones llegamos a la siguiente ecuación:

1RC

=1 ; RC=1

de donde podemos obtener los valores de los componentes fijando el valor de uno de ellos. Si fijamos el valor de R = 1 Ω, obtenemos el valor del condensador C = 1 F.

Con los valores obtenidos el circuito tendría el comportamiento en amplitud de la figura 12. Pero, supongamos que se produce un cambio en las especificaciones y necesitamos un filtro con una respuesta en amplitud similar a la de la figura 12 pero con una pulsación ωc = 10 rad/s. Eso supone que se debe multiplicar el eje de frecuencias por 10. ¿Cómo influye ese cambio en los valores de los componentes?.

Para ver como influye llamemos ω' a la pulsación multiplicada y ω a la original y observemos que:

'=10

y, por tanto,

s '=10 s s=s'10


Figura 12: Respuesta en amplitud de un filtro paso bajo a sintetizar

∣H j∣

c=1

1

2

1


H s=1

s1 H s ' =

1s '10

1=

10s ' 10

y la impedancia del condensador cambiaría según:

1Cs

1

Cs '10

=1

C10

s '=

1C ' s '

C ' =C10

Podemos observar, por tanto, que el valor del condensador se dividiría por 10 para obtener la nueva respuesta en amplitud. Por supuesto, la resistencia permanecería inalterada puesto que no depende de la frecuencia. Por todo esto, si utilizamos una resistencia R = 1 Ω y un condensador de valor C = 1/10 F, obtendríamos una función con ωc = 10 rad/s. Llegamos a la conclusión de que multiplicar el eje de frecuencias por una constante (en este caso 10) hace que los condensadores previamente calculados se dividan por esa misma constante.

¿Qué ocurriría con las bobinas en un caso similar?. Para ver el efecto tomemos el circuito de la figura 13 y volvamos a sintetizar la función de la ecuación 1.

Figura 13: Circuito paso bajo con una bobina

Su análisis nos da una función de transferencia:

H s=V o

V i

=

RL

sRL

que comparada con la que queremos sintetizar da la ecuación siguiente:

RL=1 R=L

De ahí si fijamos el valor de la resistencia a R = 1 Ω se obtiene L = 1 H.

Una vez más, si quisiéramos obtener una función con la pulsación multiplicada por 10 veríamos que el efecto producido en la impedancia de la bobina sería:Departamento de Teoría de la Señal y Comunicaciones. Universidad de Alcalá


Ls Ls '10

=L

10s ' L '=

L10

Observamos que, al igual que con el condensador, el nuevo valor estará dividido por 10 respecto al calculado originalmente. Llegamos a la conclusión de que multiplicar el eje de frecuencias por una constante (en este caso 10) hace que las bobinas previamente calculadas se dividan por esa misma constante.

El resultado obtenido nos demuestra que una vez obtenidos los componentes de un filtro, si queremos variar sus características en frecuencia mediante un escalado (multiplicación por una constante) no hace falta replantear las ecuaciones de síntesis sino, simplemente recalcular los componentes según estas ecuaciones:

s sk

R R

C Ck

L Lk

donde a kω se le llama constante de normalización en frecuencia.

3.2.- Escalado en impedancia.

También se puede dar el caso de que una vez obtenidos los valores de los componentes del circuito a diseñar haya que cambiar algunos de ellos porque no se tengan en ese momento o porque haya que utilizar obligatoriamente unos dados.

En el ejemplo del circuito de la figura 11 se fijó el valor de la resistencia a R =1 Ω y después se obtuvo el del condensador siendo C = 1 F. Si queremos, por ejemplo, que la resistencia sea de R = 1000 Ω, habría que recalcular el condensador obteniéndose un valor de C = 1 mF, ya que se debe cumplir que:

RC=1 ; C=1R

En este caso el recalcular los componentes no supone mucho trabajo, pero en el caso de un circuito complejo con muchos componentes si que supondría un mayor trabajo. Sin embargo, hemos podido comprobar que si multiplicamos la R original por 1000 el condensador se divide por esa misma cantidad.

En el circuito de la figura 13 la ecuación que se satisfacía era:

RL=1 ; R=L

Si fijábamos R = 1 Ω, entones L = 1 H. En el caso de fijar R = 1000 Ω, entonces L = 1000 H. Vemos que el valor de la bobina se multiplica por la misma constante que multiplica a la resistencia.



Las conclusiones a las que se han llegado demuestran que multiplicar algunas impedancias por una constante altera el valor de las restantes impedancias si queremos que el circuito siga comportándose de la misma manera.

Si se define a k z como constante de normalización en amplitud se obtienen las siguientes relaciones:

R ---------- R' =R k z

L ---------- L '=L k z

C ---------- C '=Ck z

En la normalización en amplitud la impedancia se modifica en la misma proporción para cualquier valor de ω y, por tanto, si la función de transferencia es adimensional no se produce cambio en la misma.

3.3.- Escalado en impedancia y frecuencia.

Aplicando los dos escalados a la vez se obtendrán unos componentes normalizados de valor:

Rn = Rk z

; Ln = k

L

k z

; Cn = C k k z ; sn = s

k

Una de las funciones de la normalización es la de conseguir valores numéricos mas manejables, por lo tanto los estudios se harán sobre circuitos normalizados y una vez obtenidos los valores se procederá a la operación inversa, la desnormalización, con el fin de obtener los valores reales de los elementos. Los valores normalizados, con subíndice n, serán valores pequeños y manejables que nos permitirán realizar los cálculos más cómodamente y además diseñar filtros prototipo fácilmente reconvertibles en otros con valores reales.

La ecuaciones para la desnormalización se incluyen a continuación:

R=Rn k z ; L=Ln k z

k

; C=Cn

k

k z

; s=sn k

Consecuencias:

• Cuando se realice un diseño, se hará con valores normalizados, desnormalizando una vez finalizados los cálculos.

• La función de transferencia normalizada es la misma a la función de transferencia sin normalizar.

H n sn =H s

Esto es cierto si trabajamos con las variables normalizadas, tal y como se hace en la expresión anterior, es decir H n sn =H s sí será cierto, pero no H n s =H s .



4.- Transformaciones de frecuencia.

La teoría de la síntesis de filtros va encaminada, principalmente, a la realización de filtros paso bajo, que generalmente son los más sencillos de obtener y aproximar. A partir del diseño obtenido para un filtro paso bajo y mediante una serie de transformaciones en frecuencia se obtendrá cualquier otro tipo de filtro. En los siguientes puntos se presentan dichas transformaciones.

4.1.- Transformación paso bajo-paso alto.

Se parte de un filtro paso bajo cuya función de transferencia es H(s).

El primer paso a seguir es elegir una frecuencia arbitraria 0 , que va a ser condición de diseño, y a continuación realizar la transformación :

=0

2

só s=

02

Donde es la variable compleja del filtro a obtener.

Mediante esta transformación el eje jω del plano "s" se va a transformar en el eje jω' del pla-no .

Analizando diferentes puntos del eje jω se observa su transformación al eje jω'.

j =0

2

j' ⇒ '=−0

2

ω 0 0− ∞ -∞ ω p ωa −ω p −ωa

APLICANDO LA TRANSFORMACIÓN λ=ω02/s

ω’ -∞ ∞ 0− 0 −ω' p=−ω02 /ω p −ω'a=−ω0

2 /ωa ω' p=ω02/ω p ω' a=ω0

2/ωa

∣a∣∣ p∣ ⇒ ∣ p '∣∣a '∣

Por tanto la pulsación de corte de la banda de paso de un filtro paso bajo [ p ] se transforma en la pulsación de corte de la banda de paso del filtro paso alto [ p ' ] así como la pulsación de corte de la banda eliminada del filtro paso bajo [ a ] que se transforma en la pulsación de corte de la banda eliminada del filtro paso alto [ a ' ].

Así mismo se puede ver en la siguiente figura como la banda de paso del filtro paso bajo se transforma en la banda de paso del filtro paso alto y como la banda eliminada del filtro paso bajo se transforma en la banda eliminada del filtro paso alto.



'pω '

pω− 'aω

'aω−

aω pω pω− aω−

'ω

En toda transformación de filtros, debido a la transformación en el dominio de las frecuencias, todos los elementos dependientes de las mismas sufrirán una serie de cambios:

H s H o2

s Ri Ri

sLi L i

02

=

1C '

C ' =

1L i0

2

1C i s

1

C i

02

=

C i02

= L' L' = 1

C i02

Las resistencias y los transformadores del filtro paso bajo seguirán como tales al realizar la transformación, sin embargo las bobinas se transformarán en condensadores y los condensadores en bobinas, tomando los valores obtenidos anteriormente.

En resumen, para obtener el diseño de un filtro paso alto, se empieza por diseñar un filtro paso bajo y una vez obtenido el circuito, mediante la transformación correspondiente se obtiene el filtro paso alto en cuestión.

En el diseño de filtros activos RC, al aplicar esta transformación el filtro se convertiría en un filtro activo RL paso alto. Para conseguir restituir el filtro paso alto RC tendremos en cuenta que si se multiplican en una red lineal todas sus impedancias por un mismo factor α, la función de transferencia no varía (sólo en el caso de funciones de transferencia adimensionales que sean relaciones de tensiones o de corrientes). Haciendo α = 1/s conseguimos que bobinas se transformen en resistencias y resistencias en condensadores, es decir, dado un filtro activo paso bajo compuesto por resistencias Ri, condensadores Ci y amplificadores de tensión puede



transformarse en un filtro paso alto reemplazando cada resistencia Ri del filtro paso bajo por un condensador y cada condensador Ci por una resistencia. Las expresiones finales de la transformación serían:

Ri Ri Ri

s C '

=1Ri

1C i s

L's ; L

'=

1

C i 02

L's

1s=R

'; R

'=

1

C i 02

Ejemplo 1:

Encontrar la plantilla de un filtro paso bajo normalizado cuya transformación produzca la plantilla paso alto de la figura.

'aω '

pω ω'

a' = 105 rad/s ; p

' = 1,1⋅105 rad/s

Solución:

Para diseñar el filtro paso alto se hará a partir de un filtro paso bajo. Teniendo en cuenta que vamos a realizar el diseño con plantillas normalizadas a la pulsación pn=1 , para aplicar la transformación s=1/ debemos normalizar las frecuencias del filtro paso alto con respecto a ' p=1,1⋅105rad / s obteniendo por tanto:

' pn=1 rad/s ; 'an= 'a / ' p=105/1,1 105=0,909 rad/s

Aplicando por tanto la transformación se obtiene:

p=1 rad/s ; a=1 / ' an=1,1 rad/s

Otra forma de plantear el problema es aplicando la expresión: . s=02/ .

Como deseamos que p=1 , entonces aplicando la expresión anterior obtenemos ω0.

02=p ' p=1,1⋅105 rad/s 2 ⇒ a=0

2 / ' a=1,1 rad/s



Ejemplo 2:

Diseñar la plantilla del filtro paso bajo normalizado a partir del cual se diseñará un filtro paso alto con las siguientes características:

- Atenuación de 3 dB a 200Hz.

- Atenuación de 30 dB (como mínimo) a 50 Hz

Solución:

La plantilla del filtro paso alto será:

'af '

pf

Normalizando respecto a la frecuencia de corte de la banda de paso se obtiene la plantilla paso alto normalizada:

f ' an=f a

f n

=50200

=0, 25 Hz

f ' pn=f p

f n

=200200

=1 Hz

Aplicando la transformación paso bajo paso alto obtenemos para las pulsaciones de corte:

f an=1f ' an

=10, 25

=4 Hz

f pn=1f ' pn

=11=1 Hz



4.2.- Transformación paso bajo-paso banda.

La transformación que se utiliza para pasar un filtro paso bajo a uno paso banda es la siguiente:

s=

20

2

B

Mediante esta transformación el eje jω se transforma en el eje jω'.

= ' 2

−02

B '

' 2−B ' −02=0 ; '=

B

2± B

2 2

02

Analizando las pulsaciones mas significativas del filtro paso bajo se ve su transformación en las pulsaciones del filtro paso banda:

=0 ' =±0

=∞ { '=0−

' =∞

=−∞ { '=0

'=−∞

=p { 'p=B p

2 B p

2 2

02

− '−p=B p

2− B p

2 2

02

=−p { '−p=−B p

2 B p

2 2

02

− 'p=−B p

2− B p

2 2

02

=a { 'a=B a

2 B a

2 2

02

− '−a=B a

2− B a

2 2

02



=−a { '−a=−B a

2 B a

2 2

02

−a' =−

B a

2− B a

2 2

02

aω− aω

aω

pω− pω

a'+ω p'+ω p'−ω a'−ω a'−ω− p'−ω− p'+ω− a'+ω− 'ω

4.2.1.- Propiedades o condiciones de diseño del circuito.

1ª.- Para todo par de pulsaciones o frecuencias transformadas se cumple:

'x '−x=02

Concretamente, para las pulsaciones de corte del filtro se cumplirá:

' +p ' -p = 02

' +a ' -a = 02

Por lo que fijando tres de las cuatro pulsaciones se determinará la cuarta de ellas que cumpla esta condición.

2ª.- Para todo par de pulsaciones transformadas se cumple:

'x− '−x=Bx

Para las pulsaciones de corte del filtro se cumplirá:

'+p - ' -p = B p

'+a - ' -a = B a

Teniendo en cuenta que para el diseño de filtros paso bajo se utilizan plantillas normalizadas



(ωp = 1) consideraremos como condición de diseño:

02= 'p '−p

B= 'p− '−p

Ejemplo 1:

Obtener el filtro que responda a la siguiente plantilla de atenuación, partiendo de una especificación paso-bajo:

a'−ω p'−ω p'+ω a'+ω

'+p=1,2 Krad/s ; ' -p =0,6 Krad/s

'+a =1,6 Krad/s ; ' -a=0,2 Krad/s

Solución:

Teniendo en cuenta las condiciones de diseño indicadas, es decir:

02= 'p '−p=1,2⋅0,6=0, 72 krad /s

2

B= ' p− '− p=1,2−0,6=0,6⋅103

p=1 rad/s

Una vez calculada ω0 debemos hacer cumplir la condición de diseño para el par de frecuencias de corte de la banda atenuada, obteniendo dos posibles soluciones:

'+a ' -a = 02 ⇒ {1 .− '+a=1,6 krad /s ⇒ ''−a=

02

'a

=0, 721,6

=0,45 krad /s

2 .− ' -a=0,2 krad /s ⇒ ''a=0

2

'−a

=0, 720,2

=3,6 krad /s



La solución válida es la primera ya que cumple las condiciones del enunciado cosa que la segunda no. Por tanto:

ω'+a=1,6 krad / s

ω ''−a=0, 45 krad / s} ⇒ ωa=ω'

+a−ω ''-aB

=1,6−0,45

0,6=1,916 rad/s

Otra forma de resolver el problema puede ser la siguiente:

ω02=ωp

' ω−p' =1,2⋅0,6=0,72 krad /s

2

B=ω'p− ω'−p=1,2−0,6=0,6⋅103

ω p=1 rad/s

El siguiente paso es obtener el valor de ωa a partir de cada una de las dos pulsaciones de corte de la banda atenuada mediante aplicación de la expresión de la transformación:

a 1

=− '−a

2−0

2

B '−a

=−0,22

−0,720,6⋅0,2

=5,66 rad/s

a 2

= 'a

2−0

2

B 'a

=1,62−0,720,6⋅1,6

=1,916 rad/s

de las dos soluciones obtenidas elegiremos la más restrictiva:

obteniéndose la misma solución anterior.



Ejemplo 2:

Obtener la plantilla del filtro paso bajo a partir de la cual se diseñará el filtro paso banda que tiene las siguientes características.

1.- Filtro paso banda de frecuencia central 100 Hz.

2.- Atenuación de 3 dB en ± 15 Hz de la frecuencia central.

3.- Atenuación de 40 dB en ± 30 Hz de la frecuencia central.

Solución 1:

f 02= f 'p f '−p=85⋅115=9775 Hz

2

B= f 'p− f '−p=115−85=30f p=1 Hz

El siguiente paso es obtener el valor de fa a partir de cada una de las dos frecuencias de corte de la banda atenuada mediante aplicación de la expresión de la transformación:

f a1 =−

f '−a 2− f 0

2

Bf '−a

=−702−977530⋅70

=2,32 Hz

f a2 =

f 'a 2− f 0

2

Bf 'a

=1302−977530⋅130

=1,8269 Hz

de las dos soluciones obtenidas elegiremos la más restrictiva:

f

Solución 2:

Se obtienen primero las frecuencias simétricas de cada una de las pulsaciones de corte de la banda atenuada:



f ' +a f ' -a = f 02⇒ {1.− f'+a=130 Hz ⇒ f ''−a=

f 02

f 'a

=9775130

=75 ,2 Hz

2 .− f'-a=70 Hz ⇒ f ''a=f 0

2

f '−a

=977570

=139 ,64Hz

La solución válida es la segunda ya que cumple las condiciones del enunciado cosa que la segunda no. Por tanto:

f 'a=130 Hzf '−a=75,2 Hz}⇒ f a=

f 'a− f '

−a

B=

130−75,2530

=1,83 Hz



4.2.2.- Transformación de impedancias.

H s = f Ri , sLi , sC i , ni . .. .. . .. .. H 2 + 0

2

B ------------------------

Ri . .. . .. .. . . R i

sLi = L i 2 + 0

2

B = Li

B +

Li02

B1

= L ' + 1

C '

1C i s

= 1

C i 2 + 0

2

B =

1C i

B +

C i02

B

= 1

C i

B +

1B

C i02

=1

C ' 1

L '

Al realizar la transformación paso bajo-paso banda las resistencias y los transformadores no sufren variación sin embargo las bobinas se convierten en una bobina en serie con un con-densador, y los condensadores se convierten en una bobina en paralelo con un condensador, tomando los valores indicados anteriormente.

Li

Ci

L’

L’

C’

C’



4.3.- Transformación paso bajo-banda eliminada

Se aplica la siguiente transformación:

s= B

20

2

Realizando un estudio análogo al de los dos casos anteriores se obtiene:

s= j = j '

= ' B

02− ' 2 ⇒ 0

2− ' 2 = ' B ⇒ ' 2B

' −02=0

' =−B

2± B

2 2

02

=0 { ' =0

'=−∞

=0− { '=0−

'=∞

=∞ ' =±0

=−∞ '=±0

=p { '−p=−B

2p

B2p

2

02

− 'p=−B

2p

− B2 p

2

02

=−p { 'p=B

2p

B2 p

2

02

− '−p=B

2 p

− B2p

2

02



=a { '−a=−B

2a

B2a

2

02

− 'a=−B

2a

− B2a

2

02

=−a { 'a=B

2a

B2a

2

02

− '−a=B

2a

− B2a

2

02

aω− pω− pωaω

p'+ω− a'+ω− a'−ω− p' −ω− p'−ω a'−ω a'+ω p'+ω

4.3.1.- Propiedades o condiciones de diseño del circuito.

1ª.- Para todo par de pulsaciones o frecuencias transformadas se cumple:

'+x ' -x = 02

Para las pulsaciones de corte del filtro:

'+p ' -p = 02

'+a ' -a = 02

Fijando tres de las cuatro pulsaciones se determinará la cuarta de ellas que cumpla esta condición.

2ª.- Para todo par de pulsaciones transformadas se cumple:



'+x - ' -x = B x

En el caso de las pulsaciones de corte del filtro:

ω '+p - ω '

-p = B

ω p

ω'+a - ω'

-a = B

ωa

Teniendo en cuenta que para el diseño de filtros paso bajo se utilizan plantillas normalizadas (ωp = 1) consideraremos como condición de diseño:

02= ' p '−p

B= 'p− '− p

Ejemplo 1:

Diseñar la plantilla del filtro paso bajo normalizado a partir de la cual se diseñará un filtro banda eliminada con las siguientes especificaciones:

- Frecuencia central de 1000 Hz.

- Atenuación de 3 dB para ± 300 Hz alrededor de la frecuencia central.

- Atenuación de 40 dB para ± 200 Hz alrededor de la frecuencia central.

Solución:

La plantilla del filtro banda eliminada de partida será:

p'f − a'f − a'f + p'f +

Calculamos las constantes de la transformación, empezando por 02 y teniendo en cuenta

que al tratarse de un filtro banda eliminada no queremos modificar dicha banda eliminada:

02=a

'−a

'=2800⋅21200=2

2 960⋅103 (rad/s)2

La constante B no se puede calcular todavía por que no conocemos a . Sin embargo, sabemos que las pulsaciones de la banda de paso deben cumplir con la condición de diseño, si no las cumplen habrá que modificarlas para ello.Departamento de Teoría de la Señal y Comunicaciones. Universidad de Alcalá


Obtenemos las frecuencias simétricas de las pulsaciones de corte de la banda de paso:

'+p ' -p=02 ⇒ {1 .- ' -p=2700 rad/s ⇒ '' p=

02

'−p

=2

2960 103

2700=21371 ,4 rad/s

2 .- '+p=21300 rad/s ⇒ ''−p=0

2

'p

=2

2 960 103

21300=2738 ,4 rad/s

La condición más restrictiva es la segunda: ''-p=2738 , 4 rad/s ; '+p=21300 rad/s y por tanto el valor de B será:

p=1 rad/s ; B= p 'p− ''−p=21300−738 ,4=2561,5 (rad/s)2

Ahora se puede obtener el valor de a :

a=B

'a− '−a

=2561,5

21200−800 =1,404 rad/s

3

40

1 1,404



4.3.2.- Transformación de impedancias.

H s = f Ri , sL i , sC i , ni . . .. . . .. . . H B2 + 0

2 ------------------------

Ri . . .. . . .. . . Ri

s Li = Li B2 + 0

2 = Li

B

+ 0

2

B

= 1

Li B

+ 0

2

B Li

1

=1

C ' 1

L '

1C i s

= 1

C i B2 + 0

2 =

1C i

B + 0

2

B =

C i B +

02

B C i

1=L'

1C '

Al igual que ocurre en los casos anteriores las resistencias y transformadores no sufren nin-guna variación con respecto al circuito del filtro paso bajo. Las bobinas se transforman en el paralelo de una bobina y un condensador y el condensador en un circuito serie de una bobina y un condensador con los valores obtenidos de las relaciones anteriores.

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5.- Pasos en el proceso de diseño de filtros.

A la hora de la realización completa de un filtro hay que seguir, normalmente, una serie de pasos establecidos partiendo de unas especificaciones iniciales hasta la obtención de un circuito final. La figura 14 muestra los dos posibles caminos a seguir.



Figura 14: Pasos en la realización de un filtro.

Se empieza por la definición de una plantilla en la que se establezcan las pulsaciones de corte de la banda de paso y atenuada, así como, las atenuaciones máxima de la banda de paso y mínima de la banda atenuada. Después deberemos buscar una función de transferencia que las cumpla. Como los métodos para encontrar funciones aproximadas únicamente permiten obtener filtro paso bajo, deberemos transformar aquellas plantillas que pertenezcan a filtros paso alto, paso banda y banda eliminada a una paso bajo normalizada en frecuencia. A partir de esa plantilla, podremos obtener, mediante las distintas funciones de aproximación, una función de transferencia paso bajo normalizada que cumpla con la plantilla.

Partiendo de esa función normalizada paso bajo tenemos dos opciones. Por un lado podemos obtener un circuito normalizado paso bajo mediante técnicas de síntesis, para después deshacer las transformaciones y las normalizaciones sobre los componentes del mismo (Transformación-desnormalización de resistencias, bobinas y condensadores). O bien, podemos desnormalizar y transformar la función de transferencia paso bajo normalizada para obtener la función de transferencia que cumpla con la plantilla inicial y después obtener el circuito mediante métodos de síntesis.



Los dos caminos llevarán a un resultado similar, sin embargo, es preferible trabajar con funciones normalizadas siempre que se pueda y transformar y desnormalizar los componentes al final. En el caso de filtros activos y cuando estamos realizando filtros paso banda o banda eliminada no podremos realizar el filtro transformando los componentes al final porque aparecerían bobinas y estos componentes no pueden formar parte de un filtro activo.


departamento de teorÍa de la seÑal y...

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