departamento de silvopasci cultura · para esto se utiliza información de arboles tipo sometidos a...
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DEPARTAMENTO DE SILVOPASCI CULTURA
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR
INGENIEROS DE MONTES SJft-lFTB)S
M O D E L O S DE E V O L U C I Ó N DE MASAS DE PI ÑUS S Y L V E S T R I S L.
ALICIA ORTEGA ZURIGA INGENIERA DE MO N T E S
Co-d i r e c t o r e s Dr. D. G R E G O R I O M O N T E R O G O N Z Á L E Z Dr. D. A L B E R T O MADRIGAL C O L L A Z O
1 9 8 9
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID
0700125183
RESUMEN I
AGRADECIMIENTOS VI
1.- INTRODUCCIÓN 1
2 . - OBJETIVOS 4
3 .- CALIDAD DE LAS ESTACIONES FORESTALES 5
3.1 Introducción 5
3 . 2 Objetivos 16
3.3 Revisión bibliográfica 17
3.3.1 índices de sitio 17
3.3.1.1 Alturas consideradas 18
3.3.1.1.1 Altura media 18
3.3.1.1.2 Altura dominante 19
3.3.1.1.3 Estatura 21
3.3.1.2 Métodos utilizados para la medición
del índice de sitio 22
3.3.1.2.1 Métodos gráficos 22
3.3.1.2.1.1 Método de las fajas 22
3.3.1.2.1.2 Método de las curvas armónicas ... 25
3.3.1.2.1.3 Método de las curvas naturales ... 25
3.3.1.2.2 Métodos numéricos 26
3.3.1.2.2.1 Curvas anamórficas 33
3.3.1.2.2.2 Curvas polimórficas 33
3.3.1.2.2.2.1 Segmentos 34
3.3.1.2.2.2.2 Derivadas 36
3.3.1.2.2.2.3 Funciones de crecimiento 37 3.3.1.2.2.2.4 Ecuaciones diferenciales
estocásticas 40
3.3.1.3 Intercepción . . . 42
3.3.1.4 Método basado en el diámetro 46
3.3.1.5 Fuente de errores 49
3.3.2 Calidad de la estación en función
de la vegetación 52
3.3.2.1 Clasificación 54
3.3.2.2 Ordinación 56
3.3.3 Calidad de la estación en función
de factores del suelo y topográficos 58
3.3.4 Método de multifactores 62
3.3.5 Método mixto 71
3.3.6 Dendrocronología 76
3 . 4 Material 78
3 . 5 Metodología 81
3.5.1 Modelo determinístico de MEYER 82
3.5.1.1 Planteamiento del modelo 82
3.5.1.2 Implementación del modelo 84
3.5.2 Modelo determinístico de BAILEY y CLUTER 88
3.5.2.1 Planteamiento del modelo 88
3.5.2.1.1 Sistema anamórfico 88
3.5.2.1.2 Sistema polimórfico 90
3.5.2.2 Implementación del modelo 90
3.5.3 Modelo estocástico de GARCÍA 94
3.5.3.1 Planteamiento del modelo 94
3.5.3.2 Implementación del modelo 96
3.6 Análisis y discusión de resultados 104
3.6.1 Análisis de los modelos 104
3.6.2 Comparación de modelos 108
3.7 Bibliografía 124
DISTRIBUCIONES DIAMETRICAS . 147
4.1 Introducción 147
4.2 Objetivos 150
4*3 Revisión bibliográfica 151
4.3.1 Distribuciones diamétricas 151
4.3.2 Irregularidades en las funciones
de distribución 156
4.3.2.1 Pronóstico de diámetros mayores 156
4.3.2.2 Distribuciones multimodales 158
4.3.3 Uso del área basimétrica en lugar del diámetro 161
4.3.4 La distribución diamétrica como
predictora del crecimiento 163
4 . 4 Material 168
4.4.1 Descripción del programa de claras 168
4.4.2 Descripción de las parcelas 172
4.4.2.1 Características cualitativas 172
4.4.2.2 Características cuantitativas 175
4.5 Método 178
4.5.1 Clasificación diamétrica 178
4.5.2 Ajustes de las funciones de distribución 179
4.5.2.1 Descripción de cada función ajustada 179
4.5.3 Determinación del mejor ajuste 187
4.5.4 Estratificación de la información 190
4.5.4.1 Análisis de varianza (ANOVA) 190
4.5.4.2 Prueba de medias de TUKEY 192
4.5.5 Recuperación de parámetros 193
4.5.5.1 Métodos utilizados 193
4.5.5.2 Validación 199
4.6 Análisis y discusión de resultados 206
4.7 Bibliografía 218
5 . - CONCLUSIONES 228
ANEXOS:
ANEXO 1
ANEXO 2
ANEXO 3
ANEXO 4
RESUMEN
En el capítulo dedicado a la calidad de la estación,
como primera etapa se realiza una exhaustiva revisión
bibliográfica a partir de la cual se comprueba que los
métodos más precisos para determinar esta calidad, en
términos generales, son aquellos basados en la relación de
la altura con la edad.
En base a los datos que se encuentran disponibles y
como fruto de esta revisión bibliográfica, se decide
probar tres métodos: uno de ellos que estudia la evolución
de la altura en función del diámetro (MEYER) y los otros
dos en función de la edad (BAILEY y CLUTTER y GARCÍA).
Para probar estos métodos, se utilizan datos de
parcelas de producción distribuidas en los tres
principales sistemas montañosos de España: Ibérico,
Central y Pirenaico.
El modelo de MEYER implica una clasificación previa de
las parcelas en función de su clase de sitio y los ajustes
se realizan para cada clase, con lo que se obtienen cuatro
cur>vas po 1 imórf i cas. La ecuación que describe este modelo
es:
H = 1.3 + s(1-e - b D)
El modelo de BAILEY y CLUTTER genera también un sistema
de curvas pol imórfi cas y se genera a partir de la relación
entre el 1og de la altura y la inversa de la edad:
log H = a + b¡(1/AC)
Este método impl ica una agrupación o estratificación de
las parcelas en clases de sitio.
Por último, se prueba el modelo de GARCÍA que se basa
en una ecuación diferencial estocástica:
dHc(t) = b(ac-Hc(t)) + a(t)dw(t)
y se prueba la siguiente estructura parámetrica:
a
b
c
°"0
o
*o
H 0
global
1 oca 1
g1obal
0.00
global
0.00
0.0
Posteriormente se hace un análisis de los residuos en
que se aplica la prueba de Durbin-Watson que detecta la
presencia de correlación serial.
Se verifica la forma aproximada a un "cometa" en los
residuos, lo que es frecuente en series de tiempo cuando
la magnitud analizada (en nuestro caso, la altura
dominante) se acumula en el tiempo.
Esta prueba no es concluyente en el sentido de que no
aclara que modelo es el más apropiado.
Finalmente, se valiadn estos modelos utilizando datos
de las parcelas de clara. Para esto se utiliza información
de arboles tipo sometidos a análisis de tronco. Esta
validación permite concluir que el modelo de GARCÍA es el
que mejor explica la evolución del crecimiento en altura.
En el capítulo dedicado a las distribuciones
diamétricas, se pretende modelizar dichas distribuciones a
través de variables de estado. Para esto, como primera
etapa, se prueban para 45 parcelas y tres inventarios, las
siguientes funciones:
- Normal
- Gamma
- Ln de dos parámetros
- Ln de tres parámetros
- Beta I I
- Wei bul 1
Mediante el uso de chi-cuadrado como estimador de la
bondad del ajuste, se determina que la función de Weibull
es la que mejor responde a la distribución diamétrica de
nuastras parcelas.
Posteriormente, se comprueba la bondad de dicho ajuste,
mediante la prueba de Kolmogorov-Smirnov, el que determina
que en el 99X de los casos, el ajuste es aceptable.
Luego se procede a la recuperación de 1 os*parámetros de
la función de Weibull; a,b y c. En esta etapa se
estratifica la información y se realizan análisis de va
ri anza (ANOVA) y pruebas de medias de TUKEY que dan como
resultado el que se continúe trabajando por tratamiento y
por inventario quedando la diferencia entre sitios absor
bida por la altura dominante. Para la recuperación de los
parámetros, se utilizan las variables de estado que defi
nen a nuastras parcelas; edad, densidad, altura dominante,
diámetro medio cuadrático y área basimétrica.
El método seguido es la obtención de ecuaciones de
regresión con las variables de estado como independiantes
para predecir los valores de los parámetros antes
mencionados. Las ecuaciones se obtienen utilizando
distintas vías (STEPWISE, ENTER y RSQUARE) lo que nos
proporciona abundante material para efectuar la selección
de éstas.
La selección de las mejores ecuaciones se hace en base
a dos estadísticos conocidos:
- Coeficiente de determinación ajustado: R2a
- Cp de MALLOWS
Estos elementos se tratan en forma conjunta consideran
do, además, que el número de parámetros esté en
concordancia con el número de datos.
El proceso de selección implica que se obtengan 36
ecuaciones de regresión que posteriormente se validan en
dos sentidos. Por una parte, se calcula el valor de cada
parámetro según la ecuación que le corresponda y se
compara con el valor de los parámetros calculados en el
ajuste de Weibull. Lo que se puede deducir de esta etapa
es que la distorsión que sufren los parámetros al
efectuar ecuaciones de regresión, es relativamente baja y
la diferencia se produce debido a errores que se originan
al realizar los modelos.
Por otra parte, con las parcelas que se encuentren
disponibles, se valida el modelo en el sentido de hacer el
proceso inverso al anterior, es decir a partir de sus
variables de estado, fácilmente medibles, se obtienen los
valores de los parámetros que definen a la función de
Weibull. Con esto se reconstruye la distribución diamétri-
ca de cada función. Los resultados que se obtienen de esto
indican que los ajustes son aceptables a un nivel del 1X
en el caso de tres parcelas.
AGRADECIMIENTOS
Quiero expresar mi agradecimiento a las siguientes
personas e instituciones:
Al Dr. D. Gregorio Montero González, por su dirección y
tutela en el desarrollo de esta tesis.
Al Dr. D. Alberto Madrigal Collazo por su dirección y
asesorami ento.
Al Dr. D. Julián de Zulueta como Jefe del Departamento
de Sistemas Forestales del C. I.T.- I.N. I.A. por haber
puesto a mi disposición los medios materiales necesarios
para la realización de este trabajo.
Al coordinador y al equipo de investigación del
proyecto "Estudio de los principales problemas selvícolas
de los pinares españoles" por la cesión de parte de los
datos utilizados en esta Tesis Doctoral, así como por
haber puesto a mi disposición las numerosas notas y comen
tarios existentes sobre los mismos.
Al Dr. D. Ángel Fernandez Cancio por su desinteresada
ayuda y gran paciencia,
A D. Roberto Ipinza Carmona por su gran ayuda en la
implementación de programas computaciona1 es.
A D. Osear García por su valiosa colaboración en
decifrar ciertos temas metodológicos.
A D. Jesús de Miguel por sus cuidadosos gráficos.
1.- INTRODUCCION
Los modelos son esquemas o abstracciones de una
realidad compleja que se elaboran para facilitar su
comprensión y el estudio de su comportamiento. Para el
desarrollo de un modelo matemático o para la aplicación de
uno conocido a un necno concreto es necesario la
observación y toma de datos sobre el fenómeno al que se
intenta modelizar o al que se intenta aplicar un modelo
preestablecido. Si el modelo se ajusta a la realidad
estudiada nos permite generalizar los resultados de los
datos y/o observaciones, y obtener nuevas formulaciones y
explicaciones del fenómeno estudiado. Para su construcción
es, casi siempre, necesario reducir el fenómeno a sus
líneas fundamentales para que pueda ser representado de
forma simplificada, aunque esta simplificación no contenga
toda la realidad. Los modelos de evolución de masas
forestales encuentran su mayor dificultad en la falta de
datos, tomados de forma Homogénea, a lo largo de todo el
turno o ciclo productivo de la especie estudiada y a que
generalmente no se conocen con certeza los mecanismos
básicos que }\gan las variables; por lo tanto sólo por el
hecho de que hayamos supuesto una relación funcional
determinada que se ajuste bien a los datos que tenemos, no
podemos asegurar con absoluta certeza que el crecimiento
o decrecimiento de una variable se refleja en la variación
de otras, sólo podemos afirmarlo si estamos seguros de que
el mecanismo básico opera de acuerdo con la función
i
matemática elegida. Por otra parte es un hecho aceptado
que los modelos más ampliamente utilizados, lo son por sus
propiedades matemáticas intrínsecas y no tienen por que
coincidir con una realidad biológica determinada. De ahí
la importancia de la elección de aquellas ecuaciones que
mejor traduzcan la ley de variación de nuestros datos, que
habrán de contener algún mecanismo causal o básico
asociado a las variables utilizadas.
Este trabajo surgió como consecuencia de que en el
I.N.I.A (Instituto Nacional de Investigaciones Agrarias)
existe una red de parcelas permanentes de Pinus sylvestris
L. y otras coniferas dentro del programa de claras, las
cuales han sido instaladas a partir del año 1968. Algunas
de ellas han sido sometidas a tres inventarios y sus
correspondientes claras, el resto sólo cuenta con dos
i nventar i os.
Con los datos generados en las mediciones periódicas de
las parcelas, ya es posible plantearse la posibilidad de
realizar un modelo de crecimiento, el cual requiere a su
vez un serie de estudios previos. Dichos estudios, además
de aportar información y metodología se integrarán como
módulos de este sistema.
El propósito de esta investigación es comenzar con una
línea de estudio que conduzca al modelo global del creci
miento de Pinus sylvestris L.. Para esto, se t\a considera
do que hay dos elementos fundamentales que es necesario
2
conocer : índice de sitio y distribuciones diamétricas.
Estos elementos, no tanto por su resultado como por su
metodología, constituyen los principales objetivos
específicos de esta tesis, aunque cabe señalar que los
resultados deberán ser validados a medida que se cuente
con más información.
La elección de P i ñus sy1vestri s L. se debe por una
parte a que es la especie sobre la cual se dispone de una
mayor cantidad de información, tanto en lo referente a su
respuesta a los distintos tipos e intensidades de claras
como de su crecimiento y producción , y por otra a la gran
importancia selvícola y ecológica, que por su situación se
concede a las masas de esta especie. No en vano, la mayor
parte de la selvicultura extensiva aplicada en España ha
sido realizada fundamentalmente sobre masas de Pi ñus
sy1vestri s, seguramente por dos razones: su importancia
relativa en la Península y sus características ecológicas
y selvícolas que la convertían en una de las más indicadas
para aplicar, con ciertas posibilidades de éxito, los
conocimientos selvícolas importados de Centro-Europa a
finales del siglo pasado.
3
2.- OBJETIVOS
Teniendo en cuenta la problemática de los modelos de
crecimiento de las masas forestales, las limitaciones que
presentan los datos de que se dispone y la necesidad de
comenzar este tipo de estudios que hasta ahora no habían
sido introducidos de forma importante en España y a que
consideramos de gran interés para el conocimiento de la
selvicultura, hemos decidido orientar este trabajo hacia
el desarrollo de dos líneas de investigación, ampliamente
tratadas en la literatura mundial, y que por una histórica
falta de tradición dasométrica no había sido posible
abordarlos de forma global anteriormente por carecer de un
banco de datos que pudiese considerarse mínimamente
representativo de la evolución de las masas de esta
especie a lo largo del turno. Estas dos líneas u objetivos
son las siguientes:
- Determinación del modelo más apropiado para describir
la evolución de la altura en función de la edad en
masas de Pi ñus sy1vestri s L., basándose en la
información bibliográfica y en la de los datos reales
que se poseen.
- Determinar, dentro de una gama de funciones de
distribución, cuál de ellas se ajusta mejor a los
datos obtenidos en las parcelas de las muestras y
posteriormente estimar las distribuciones diamétricas
a través de variables de estado.
4
3.- CALIDAD DE LAS ESTACIONES FORESTALES
3.1 Introducción
La capacidad productiva de una estación poblada por una
especie dada y tratada a un turno conocido puede ser deter
minada directamente a través de mediciones repetidas a lo
largo de todo el ciclo productivo fijado, y contabilizando
el volumen existente y los extraídos en las intervenciones
selvícolas, así como la mortalidad natural si se produce.
Este procedimiento es lento y costoso en especies de turno
medio y largo, por lo cual los forestales se nan visto en la
necesidad de acudir a indicadores productivos indirectos
obtenidos a través de la medición de atributos estacionales
intrínsecos o extrínsecos a la masa forestal. Estos
atributos o factores pueden agruparse de la siguiente mane
ra:
** Factores intrínsecos:
- altura dominante o media - crecimiento medio máximo - volumen total al final del turno - intercepción
K* Factores extrínsecos:
- del biotopo - elima - li tología - edafología - morfología
- de la biocenosis - especies indicadoras (sociología) - asociaciones indicadoras (fitosociología)
Cuando se utilizan factores intrínsecos, el índice de
calidad suele ser el valor que toma el factor o atributo a
5
una edad dada de la masa. Cuando se utilizan los factores
extrínsecos, el valor del índice suele determinarse a través
de relaciones estadísticas en la que los factores
extrínsecos suelen entrar como variable independiente y los
intrínsecos como variable dependiente, aunque en realidad
unos y otros están fuertemente interrelacionados, como pone
de manifiesto el siguiente esquema (WALTER 1977):
CLIMA
LITOLOGIA SUELO VEGETACIÓN FLORA
Figura 1 : Esquema de interrelaciones entre factores productivos.
El clima determina el tipo de suelo y de vegetación. la
fitología influye sobre el suelo y la flora sobre la vegeta
ción que a su vez está estrechamente interrelacionada con el
suelo.
Los factores estacionales que influyen en el crecimiento
actúan de forma conjunta e interactuante (JONSSON, 1978)
por lo cual se presentan dificultades para separar la in-
6
fluencia de uno o más de ellos a partir de la ejercida por
otros. En tales casos el análisis obliga a seleccionar
modelos esquemáticos basados en el conocimiento disponible
sobre el proceso de crecimiento y sus factores limitantes
tal como hacen HAGGLUND y LUNDMARK (1977) al presentar un
modelo en el que se obtiene el índice de calidad de la
estación definido como la altura dominante a los 100 años
para P i ñus sy1vestr i s y P i cea abi es, en función de un grupo
de factores extrínsecos o medio ambientales minuciosamente
seleccionados. Para la definición del modelo se basan, ade
más, en la ley de BAULE (1917), según la cual, debe partirse
del supuesto básico de que "los efectos de los diferentes
factores estacionales que influyen en el crecimiento actúan
conjuntamente y de manera multiplicativa" es decir, son los
efectos los que actúan multiplicativamente y no los fac
tores .
La complejidad de las interacciones limita la utilidad
de métodos de regresión sencillos en la obtención del ín
dice, al menos a un nivel de utilización práctica. La
dificultad de medición de algunos parámetros del suelo y el
poco conocimiento que se tiene de los mecanismos que regulan
las interacciones y sus efectos ecofisiológi eos han limitado
la aplicación práctica de dichos índices a escala de monte .
Aunque la calidad de la estación queda mejor definida cuando
se tienen en cuenta todos los factores que afectan la capa
cidad productiva (clima, suelo, vegetación, etc.), por sen
cillez y simplificación suelen hacerse estimaciones indirec-
7
tas a través de uno o más factores que se tratan como si
fuesen independientes entre sí, Jo cual pocas veces es
cierto, pero que muchas veces explican un alto porcentaje de
la productividad estacional.
El método más ampliamente utilizado y que ha dado mejores
resultados ha sido el que utiliza la altura como índice. Se
parte de la certeza experimental de que la altura de los
árboles dominantes o de los dominantes más los codominantes
para una especie y edad dadas está más correlacionada con la
producción de madera que ningún otro parámetro de los que
definen la capacidad productiva de la estación. El índice de
calidad (site index), en este caso, es un concepto muy
concreto: altura que alcanza una masa a una edad determina
da, llamada edad típica. La determinación precisa de la edad
típica es importante porque puede producir una clasificación
errónea de las calidades. Si la evolución de la altura con
la edad está representada por curvas polimórficas y los
datos proceden de parcelas permanentes o de análisis de
troncos, el error podrá ser detectado y corregido variando
la edad típica. Si no es así, no podrá detectarse el posible
error cometido. En la Fig. 2 se pone de manifiesto que
existe la posibilidad de que la evolución de la altura con
la edad sea distinta para una misma especie, dependiendo de
las características de la estación sobre la que se desarrolla
8
*> edad (años) *1 Vs U *5
Figura 2 : Distintas evoluciones de la altura con la edad.
Este hecho, además de ser lógico, está constatado por
numerosos investigadores (SPURR 1982, CARMEAN 1975). Las
justificaciones podrían ser las siguientes:
La curva (a) podría presentarse en un suelo en el que
la especie crece de forma normal hasta que las raíces
alcancen un horizonte enriquecido o un abasteci
miento de agua subterránea, después de lo cual el cre
cimiento se acelera.
La curva (b) correspondería al comportamiento normal
de la especie cuando crece sobre un suelo dado sin pe
culiaridades específicas.
La curva (c) representa la evolución de la altura con
la edad cuando la especie crece sobre un suelo en el
9
que la profundidad está limitada por razones físicas o
biológicas. El crecimiento en altura sería normal
hasta el punto en el que Ja profundidad del suelo se
convierte en factor limitante, ralentizándose el cre
cimiento. Este caso es frecuente en repoblaciones
artificiales realizadas sobre suelos en los que existe
una capa de arcilla entre los 40 y 60 cm. de profundi
dad y que probablemente ha sido la causa del fracaso
de muchas repoblaciones.
La curva (d) podría presentarse cuando la especie
crece sobre un suelo con bajo nivel de fertilidad,
pero sin peculiaridades específicas.
La Fig.2 indica, también, que al menos teóricamente,
siempre existe una edad, en este caso t¿ , a partir de la
cual el orden jerárquico de las curvas se estabiliza hasta
alcanzar la altura máxima posible (tg).
La edad típica es la edad a la cual se cuantifica y se
fija el índice por lo cual, si se quiere relacionar la
posición relativa de la curva a dicha edad con la producción
de madera que presumiblemente se puede obtener a un turno
dado (t) (y esta es la aplicación más importante del índice)
tendremos que tomar una edad típica superior a t3. Si el
turno fijado para la especie fuese igual o menor que t3 , la
jerarquizacion de las calidades será distinta dependiendo de
donde se tome la edad típica t , tg • t3 o cualquiera edad
10
Intermedia. Curvas que aparecerán como iguales en un punto,
pueden resultar distintas si se toma la edad típica a otro
punto.
En condiciones "normales" de evolución de la altura con
la edad, lo que supone que no existen factores especiales
que la alteren fuertemente (casos de las curvas b y d), lo
habitual es tomar la edad típica próxima a la mitad del
turno, al final del turno, o al finalizar el crecimiento en
altura de la especie. La elección de una u otra dependerá
del turno y del conocimiento que se tenga sobre el modo de
crecimiento de la especie. En las especies forestales con
turnos medios o largos (80 - 120 años) la mitad del turno
tiende a coincidir, en algunos casos, con la edad de
término del máximo crecimiento en altura, que es otro de los
criterios que algunos autores utilizan para fijar la edad.
La elección de la edad típica próxima al turno o a la edad
de ralentizacion del crecimiento en altura tiene la ventaja
de que a partir de ese punto no se van a producir cambios en
la posición de las curvas. La fijación de esta edad próxima
a la mitad del turno tiene como ventaja el poder conocer la
calidad de la estación en masas más jóvenes y predecir las
producciones que podrán obtenerse al final del turno. Es
deseable que esta edad coincida con la edad de finalización
del máximo crecimiento en altura, a partir de lo cual, es
menos probable que se produzcan cambios en la posición
relativa de las curvas. En cualquier caso, la edad típica
será distinta para distintas calidades de estación de una
11
misma especie.
Las consideraciones nechas sobre la evolución de la
altura y la fijación de la edad típica puede extenderse con
pequeñas matizaciones a cualquiera de los métodos que
utilizan el valor alcanzado, a una edad previamente fijada,
por alguno de los factores intrínsecos mencionados como
índice de la calidad de la estación.
Los métodos de construcción de curvas de calidad permiten
una jerarquizacion de las mismas, identificándolas con un
número romano que indica la posición relativa de cada curva,
l, ll, M I , IV, V, etc. dependiendo del número de calidades
que se hayan definido. Esta identificación, por sí sola, no
proporciona información suficiente para inferir la capacidad
productiva de la especie y además no permite comparar de
manera sencilla e inmediata las curvas obtenidas para una
misma especie en distintas zonas geográficas. Para facilitar
la comparación de las calidades obtenidas en distintas zonas
ecológicas y/o geográficas, algunos autores caracterizan a
cada curva con una cifra que representa alguna variable
dasométrica de la masa de la cual procede, añadiendo así, a
la jerarquizacion relativa, un indicador de mayor contenido
productivo. Estas variables de masa suelen ser el
crecimiento medio máximo (m3/Ha/año), o la altura dominante
o media a la edad típica. Esta forma de proceder permite
comparar curvas de calidad y tablas de producción mediante
el crecimiento medio máximo, la altura dominante o la altura
media, independiente de la zona geográfica de donde procedan
12
y de la calidad relativa que se les hubiese asignado (l,
II, III, IV, v, etc.).
Los técnicos y gestores forestales reciben más
información cuando se les habla de una masa de una cierta
especie de una zona geográfica dada que tiene un crecimiento
medio máximo de 10 m3/Ha/año o una altura dominante de 20 m
a los 50 años que si se les dice que se trata de una masa de
calidad I para esa zona.
La bondad de la altura como indicador de la calidad
radica en la correlación que existe entre altura y volumen.
Según la "ley de EICHHORN", la producción total en volumen,
de una masas homogéneas de una especie dada dentro de una
región climáticamente homogénea, es, esencialmente función
de la altura. Esto implica la adopción de varias hipótesis
que se pueden resumir en: la relación entre la altura domi
nante y la producción total es independiente de la edad, de
la estación y de la densidad de la población o, más aún, del
tipo e intensidad de las claras practicadas.
Si la independencia de la relación altura dominante/
volumen total tanto de la edad como de la estación es
aceptada por muchos, las tendencias más recientes acentúan
la necesidad de dividir en varios niveles la producción
observada en un mismo lugar para una edad y una altura
dominante idénticas (ASSMANN y FRANZ 1965, HAMlLTON y
CHRISTIE 1971, y otros). La Mley de EICHHORN" puede tener
un gran interés práctico debido a que proporciona la varia-
13
ción de la producción total (RONDEAUX, 1977).
En lo que concierne a la densidad, se admite que dentro
de límites no bien determinados para nuestras especies, el
crecimiento corriente en volumen no depende de la intensidad
de las claras.
En estas condiciones será, sin duda, más estricto
precisar que la ley de EICHHORN concierne a la producción
total correspondiente a la ley de crecimiento corriente
máximo (DECOURT, 1973).
Investigaciones posteriores han matizado la ley en los
siguientes aspectos:
* Se adapta mejor a masas de coniferas que de frondosas
* La relación es mejor cuando se utiliza el volumen de la
masa total en lugar del volumen de la masa principal
* La ley es válida cuando se utiliza en masas con una
densidad comprendida dentro de los límites del área
basimótrica óptima definida por ASSMAN (1970), lo que
permite, a través de intervenciones selvícolas, modificar el
volumen individual', el volumen principal y secundario y el
área basimótrica, ofreciendo la posibilidad de construir
tablas de producción de selvicultura variable para cada
el ase de calidad.
El índice de calidad aporta información sobre la
capacidad productiva de la estación y sobre la selvicultura
14
que deba aplicarse. En todo caso, no importa en qué medida
un método indirecto pueda reflejar la variación en el
ambiente, su importancia radica en el hecho de que pueda
convertirse en un estimador preciso de la máxima pro
ducción a una edad predeterminada.
3.2 Objetivos
El principal objetivo de esta etapa es el de establecer
el índice de sitio para el pino silvestre, que podrá uti
lizarse para un posterior modelo del crecimiento de esta
espec i e.
Para lograr este objetivo se probarán tres métodos, el
primero de ellos corresponde a la relación altura-diáme
tro, con la ecuación de MEYER (1940). El segundo método se
refiere al método descrito por BAILEY y CLUTTER (1974) en
que se logra establecer un conjunto de ecuaciones polimór-
ficas basadas en la relación linear existente entre el
logaritmo de la altura dominante (1og H) y la inversa de
la edad elevada a c (1/AC). Por último, se empleará una
ecuación diferencial estocástica cuya parte determinísti -
ca está basada en el modelo de Bertalanffy-Ricnards.
La elección de estos métodos se basa principalmente en
la originalidad tanto del primero como del último de ellos
y en lo tradicional del segundo. Además, porque dicnos
métodos se basan en diferentes conceptos, como se explica
en la metodología (3.5).
Una vez probados y establecidos los tres modelos, se
determinará cual es el más apropiado, es decir, el que
explica un mayor porcentaje de la varianza y logra prede
cir con mayor certeza la evolución de la altura dominante
con respecto a la edad u otro parámetro de rodal, mediante
el análisis gráfico y estadístico de sus residuos.
16
3.3 Revisión bibliográfica
3.3.1 índices de sitio
Un método común de la evaluación de la calidad de la
estación en bosques coetáneos ha sido el índice de sitio,
el cual corresponde al punto de intersección del gráfico
altura/edad con su ordenada a la edad de referencia.
Las curvas de índice de sitio han sido y son ampliamente
usadas tanto por su fácil interpretación y alta significa
ción productiva como por su utilidad práctica para la co
rrecta aplicación de las tablas de producción y su opera-
tividad en cuanto a la toma de datos.
Según CAJANDER (1926), Huber en 1824 utilizó el índice
de sitio en Alemania . Su uso llegó a Escandinavia (JON-
SON.1914) y a los Estados unidos (STERRET,1914). NO mucho
después, en los E.E.U.U. el concepto fue discutido en una
serie de artículos (PARKER,1916; ROTH,1916,1918;
SPRlNG.1917; BATES,1918 y especialmente FROTHINGHAM,1918) y
fue comparado con las relaciones volümen-edad, tipos de
vegetación y factores ambientales como posibles índices
alternativos, pero se llegó a la conclusión de que la rela
ción altura-edad tiene mayor significación productiva, por
si sola, que ninguna otra.
Las curvas de índice de sitio pueden ser desarrolladas a
partir de información de crecimiento en altura, de parcelas
permanentes, y del análisis de troncos . Sin embargo, comun
mente están basadas en datos de varias parcelas temporales
17
de muestreo. En la muestra deben estar incluidas todas las
clases de edad y de calidades de estación.
3.3.1.1 Alturas consideradas
Los criterios para la elección de los árboles en Jos que
se medirá la altura son variables y han evolucionado desde
los primeros trabajos realizados. En general, son tres las
alturas que se han utilizado en los estudios de calidad de
Estación mediante índices de sitio.
- Al tura med i a
- Altura dominante
- Estatura
3.3.1.1.1 Altura media
La altura media corresponde al promedio aritmético de la
altura de todos los árboles de la muestra considerada.
A medida que se ha avanzado en los estudios, la altura
media ha sido reemplazada por la altura dominante que
corresponde al promedio de la altura de una muestra de los
árboles dominantes o dominantes más codominantes.
Las ventajas de utilizar la altura media son las
siguientes:
a) su medición es sencilla.
b) La altura total (media) es, de los factores que
18
intervienen en la formación del volumen, el parámetro
que mejor acusa las variaciones de la calidad de la
estac i ón.
c) La altura media y la dominante están muy correlacionadas
por lo que mediante procesos estadísticos (o gráficos)
se pueden hacer comparaciones y transformar la una en la
otra.
Sus desventajas son:
a) Las situaciones extremas de espesura afectan a la altura
total.
b) Las claras por lo bajo elevan la altura media
produciéndose saltos bruscos en su evolución.
c) La evolución de la altura, sobre todo en la primera mi
tad del turno, refleja las condiciones iniciales de ori
gen y tratamientos culturales del suelo y vuelo de la
masa.
d) La técnica habitual supone que la forma de la curva es
la misma para todas las calidades, lo cual no es cierto
debido principalmente a diferencias de las caracterís
ticas del suelo.
3.3.1.1.2 Altura dominante
La principal ventaja de la altura dominante como
Parámetro indicador de la producción es que es menos
19
sensible a las claras y, en general, a cualquier trata
miento selvícola.
Las desventajas son:
a) Dificultad interpretativa de establecer límites en la
dinámica evolutiva de la masa dominante.
b) Se produce un intercambio de los pies que forman el piso
dominante, los dominantes no son los mismos en cada
momento del turno, al menos en las primeras edades de la
masa.
c) Estos árboles destacados, en determinadas ocasiones re
presentan condiciones excepcionales de origen genético o
edáfico, ajenas a la calidad media de la estación.
El criterio para la definición de la altura dominante no
es uniforme. Sin embargo ha habido una evolución en el
tamaño de la muestra en el sentido de disminuirla cada vez
más.
En la Commonwealth se utiliza generalmente el concepto de
"Altura Superior", la cual está referida a la media aritmé
tica de la altura de los 250 arboles/Ha de mayores diáme
tros.
Las variantes más importantes de la altura dominante han
s ido:
* Altura de los 247 árboles más gruesos/Ha. Este sistema
referido a la edad de 50 años, ha sido el empleado en las
20
Tablas Inglesas de Hummel.
K Altura correspondiente al árbol cuya sección normal es la
media de los 100 pies más gruesos/ha (ASSMAN, 1970).
* Altura dominante de Weise, correspondiente al pie de
sección normal media entre el 20X de los árboles más gruesos
de la distribución diamétrica.
* Altura dominante definida por el árbol cuyo diámetro es
d + 3d siendo d el diámetro normal medio aritmético y d la
desviación típica de la distribución diamétrica.
3.3.1.1.3 Estatura
Se basa en el criterio biológico de estimar la bondad de
la estación por la altura alcanzada por la masa al final
del turno, es decir, cuando haya alcanzado su total desa
rrollo fisiológico. Este método fue aplicado en Dinamarca
con buenos resultados. Para trazar las curvas se supone que
la altura media alcanzada en la Clase V de Calidad, es 1/2
de la alcanzada a la misma edad en la Clase i. Las clases
intermedias las obtiene dividiendo el intervalo en partes
i guales.
Este método tiene la ventaja de que se podría aplicar a
las masas irregulares. Su gran desventaja es que resulta
difícil predecir la altura máxima que alcanzará una masa
inmadura (PITA, 1964) aunque posteriormente se han usado
algunos modelos de la curva logística corregida que permite
simular la altura total que puede alcanzar la masa al final
21
de su rotación en función de la pendiente de la curva en los
primeros 5-10 años de la masa (CANCIO, 1988).
3.3.1.2 Métodos utilizados para la determinación de» índice
de sitio
El tratamiento de la información para la determinación
del índice de sitio ha evolucionado desde los métodos
gráficos anamórficos en el sentido de que se ha reconocido
la necesidad de una mayor precisión en la representación de
la productividad de una estación dada en función de este
índice, ya sea en forma gráfica o en su forma numérica.
3.3.1.2.1 Métodos gráficos
Los métodos gráficos se refieren a la representación de
la altura versus la edad de una masa dada, sin la
utilización de fórmulas o modelos, y a través de dicha
representación se establecen las diversas curvas de índice
de sitio.
3.3.1.2.1.1 Método de las fajas
Este método data de 1877 y se asocia con el nombre de VON
BAUR (Alemania). En este método, primero se llevan a ejes
cartesianos las alturas sobre las edades. Luego se dibujan
008 curvas límites; una delimitando el borde superior de los
«tatos y la otra el borde inferior. El espacio comprendido
entre las dos curvas límites se divide en fajas de igual
anchura mediante curvas armonizadas. Estas fajas vienen a
22
ser las curvas de índice de sitio.
Las objeciones a este método son:
-Las curvas guías se basan en los datos extremos y no en
los medios.
- Los datos de los extremos provienen de muy pocas parcelas
de la muestra.
- La forma de las curvas de crecimiento de las clases
intermedias viene determinada por la forma de las curvas
de crecimiento de las mejores y peores estaciones.
3.3.1.2.1.2 Método de Jas curvas armónicas
Este método es el seguido en el caso de parcelas perma
nentes. Los datos de altura sobre edad se llevan a ejes
cartesianos. Luego se dibuja una curva media única ("Guidin
curve" o curva directriz) para una edad conveniente ("Age
index o edad típica) a partir de la cual se completa el
período de crecimiento rápido, el que preferiblemente se
toma menor a la edad de corta o turno de la especie estudia
da, normalmente 1/2 de su turno.
Se selecciona un número conveniente de intervalos iguales
de altura que limitarán las diferentes clases de calidad de
la estación. A continuación se dibuja una serie de curvas
armónicas respecto a la directriz, con su misma forma y
características, diferenciándose de ésta sólo por un
porcentaje fijo.
23
Algunos autores han aplicado los principios de
anamorfosis o nomogramas a ésta técnica.
Los supuestos en que se basa el método y que pueden ser
objetados, son los siguientes:
- Los datos de las parcelas son representativos del rango de
estaciones por clase de edad y, consecuentemente, el
diagrama disperso altura/edad indica adecuadamente la forma
de las curvas.
- El efecto de las diferencias de estación sobre el
crecimiento en altura es relativamente el mismo a cualquier
edad.
- Las curvas de crecimiento para cada estación tienen la
misma forma.
El primer supuesto sólo puede admitirse mediante la
elección de una técnica de muestreo consistente, eficiente y
suficiente, pero aún así, pudiera suceder que en las masas
no existan todas las clases de edad o calidad.
Con respecto al segundo supuesto, ha sido estudiado en
detalle por numerosos autores (BRUCE y SCHUMACHER 1950,
CURTÍS 1964, BRICKWELL 1968, etc.). En este caso se debe
trabajar con el coeficiente de variación de la altura para
cada clase de edad y en función de éste, estimar la posición
respecto a la curva directriz en las distintas edades.
Por ultimo, con respecto a la forma de las curvas de
24
crecimiento, según BECK (1971), la curva de índice de sitio
es simplemente una curva de crecimiento de una determinada
entidad genética bajo una serie de condiciones ambientales,
por lo que se encuentran diferentes formas de curvas para
diferentes combinaciones de árboles y condiciones
ambientales. Por lo tanto, las curvas de calidad son
esencialmente polimórfi cas, es decir que varían de una esta
ción a otra, y la función a usar debería ser tan flexible
que las curvas correspondientes a los distintos índices de
sitio tomaran distintas formas y demostraran, por ejemplo,
que el crecimiento en altura culmina antes en mejores
Si t ios (BULL, 1931) .
Este tema ha sido estudiado por numerosos autores tales
como CARMEAN (1956), CURTÍS (1964), MCGEE y CLUTTER (1967),
BAILEY y CLUTTER (1974), GOLDEN y Otros (1981), etc.
3.3.1.2.1.3 Método de las curvas naturales
De acuerdo a CAJANDER (1926) las curvas pioneras de HUBER
fueron curvas naturales de índice de sitio. BULL (1931) las
introdujo a Estados Unidos y su principio está bien
ilustrado en las curvas de índice de sitio para plantaciones
de Pi ñus res i nosa en Conecticut. En dicho trabajo se des
cribe el curso actual del crecimiento en altura para cada
árbol muestreado por medición de la altura en cada vertici
lo. Los datos de altura-edad para todos los árboles en una
clase de índice de sitio simple son elaborados para formar
una curva de índice de sitio para esa clase. Ninguna curva
25
depende de datos de otra clase de calidad.
El mismo principio ha sido desarrollado donde el conteo
de verticilos no es posible. Los datos básicos son el conteo
de anillos medidos a intervalos a lo largo del tronco del
árbol apeado. Esto recibe el nombre de análisis de tronco.
El polimorfismo de las curvas de índice de sitio ha dado
origen a éste método que se basa en seguir la evolución de
la altura con la edad en cada parcela con la mayor exactitud
posible por medio de alguno de los siguientes procedimientos:
a) Midiendo la altura todos los años durante un turno, o
cada 5-10 años. Este procedimiento es lento y supone
parcelas fijas.
b) Análisis de tronco de un reducido numero de árboles
domi nantes.
c) Distancia o longitud de los verticilos (crecimiento en
altura de cada año).
d) Combinación de procedimientos.
El método consiste en hallar la curva natural media para
cada calidad y representarlas gráficamente. Luego se clasi
fican las calidades por el valor de ht a la edad típica.
3.3.1.2.2 Métodos numéricos
La forma de las curvas definidas por fórmulas matemáticas
tienen varias ventajas sobre las curvas obtenidas
26
gráf i camente:
- A través de ellas, se obtienen parámetros que pueden estar
relacionados con la competencia, habitat u otros factores
que puedan influir en las curvas.
- El cálculo mediante ordenadores permite análisis eficien
tes para mayor cantidad de información.
Sin embargo los métodos numéricos serán más precisos que
los gráficos solo en la medida en que el modelo de creci
miento en altura describa adecuadamente la variación de la
altura en función de la edad en cada situación particular y
que los supuestos estadísticos usados en el ajuste de los
parámetros del modelo sean válidos.
En general, los métodos matemáticos pueden ser agrupados
del siguiente modo:
Métodos matemá-t i eos
Datos de parcelas temporales
Datos de parcelas permanentes
Curvas proporcionales
Método del mTn-máx
Regresión jerárquica sin l. S.
Regresión múltiple con l. s. a priori
y estos cuatro métodos pueden referirse a un modelo simple
de altura, como la ecuación de SCHUMACHER por ejemplo, o
27
cualquier otra de las que se verán más adelante (ALDER,
1980).
A) Curvas proporc i onales: Se basa en que en cada clase de
edad, todos los sitios tienen igual probabilidad de estar
representados. Se ajusta una ecuación al conjunto global de
datos de las parcelas de muestreo por regresión lineal. Esto
da la tendencia de crecimiento de la altura media asumiendo
que en cada clase de edad, todas las estaciones tienen igual
probabilidad de estar representadas. Una vez que la curva de
crecimiento ha sido ajustada, pueden trazarse curvas de la
misma forma que pasen por diferentes valores del índice de
sitio.
B) MTn imo-máx imo: Es más flexible que el método anterior
pero requiere un mínimo de observaciones múltiples en cada
clase de edad (mínimo tres). El procedimiento es el siguien
te:
- En cada clase de edad se calcula la media de HQ para
todas las parcelas y los valores máximos y mínimos de
H0.
- Se ajustan tres regresiones diferentes a cada conjunto
de observaciones para los valores medios, máximos y mínimos
respectivamente.
- Los coeficientes de cada una de las tres curvas pueden ser
armonizados para obtener una sola ecuación. En caso de tener
muchos datos, en cada clase de edad se justifica una
28
variante más compleja en que las observaciones se ordenan de
mayor a menor y cada punto se asigna a una clase de sitio S
de acuerdo a:
S = (i-1/2)/n
donde i es 1 a posición de la parcela después de la ordena
ción y n es el número de parcelas en la clase de edad.
Una vez hecho esto, se puede hacer un análisis de regresión
mü11 i ple.
Como en la práctica es difícil que existan datos sufi
cientes en cada clase de edad y que cada calidad de estación
se encuentre bien representada en cada una de estas clases,
se trabaja más frecuentemente con parcelas permanentes, o
bien, análisis de tronco.
C) Métodos de regres ion jerárgu i ca: Estos métodos son de
dos tipos . Uno de ellos utiliza variables condicionales (o
variables 0-1). Este método, según la revisión bibliográfica
hecha, no ha sido utilizado en la construcción de curvas de
índice de sitio pero el enfoque es realizable. El otro
método, descrito por primera vez por BAILEY y CLUTTER (1974)
implica el uso de estimadores de pendiente (o coeficientes
de regresión) común y de término independiente común, a
partir de la matriz de covarianza.
D) Métodos de regres i ón mú11 i ple: Esto puede uti i izarse
cuando el índice de sitio o clase de sitio puede ser deter
minado a priori. Una vez determinado esto, se tendrán tres
29
variables por observación:
- altura dominante HQ - edad A - clase o índice de sitio S
La regresión múltiple puede usarse para ajustar un modelo
que relacione HQ, A y S usando diferentes transformaciones.
Se han utilizado dos tipos de modelos:
i) Modelos con restricciones, para usarlos con curvas de
índice de sitio en las cuales la altura se expresa en
relación al índice de sitio y la edad en relación a la edad
índice Aj. La regresión ajustada no tendrá término
independiente. Este tipo de modelo está forzado a dar una
altura dominante HQ igual al índice de sitio cuando la edad
es igual a la edad típica Aj. El modelo siguiente constituye
un ejemplo:
(H0 - S) = bjCA-Aj) + b2(A-Aj)2
i i) Modelos irrestrictos con término independiente: Cuando
se usa el índice de sitio, más bien la clase de sitio, las
curvas deben ser condicionadas después del ajuste para
asegurar que la altura dominante corresponde al índice de
sitio en la edad índice.
Las ecuaciones más usadas han sido las sigmoideas y se
han desarrollado aquellas que permiten una mayor flexibili
dad en el ajuste de los datos disponibles.
Algunas ecuaciones que se han usado y posteriormente han
30
dado origen a curvas modificadas son
KM SCHUMACHER (1939)
H0 = Hmax exp(b/AK)
donde HQ : altura dominante Hmax: Parámetro a ser ajustado y que representa la
máxima altura que la especie podría alcanzar b,K : parámetros de la ecuación A : edad del rodal
Esta ecuación na sido usada para expresar el componente
edad en la altura, en estudios de suelo-sitio.
«* MEYER (1940)
H = 4.5+a(1-exp(-bD))
donde H D a
al tura tota 1 d i ámetro a 1.3 m parámetro de la ecuación que representa la máxima altura y corresponde a la asíntota de la curva. Está estrechamente relacionada a la estación parámetro relacionado a la especie.
Esta ecuación fue usada posteriormente por McLINTOCK Y
BICKFORD (1957) para desarrollar una clasificación de sitio
basándose en el diámetro para abeto rojo. También ha sido
usada por STOUT y SHUMWAY (1982) para clasificación de sitio
en seis especies forestales obteniéndose buenos resultados
y por ORTEGA y MONTERO (1988) en pino silvestre con resulta
dos poco satisfactorios.
** LUNDQV1ST (1957) utilizó una función para ajustar curvas
de altura a partir de mediciones de incremento en altura
para rodales de pino y abeto, de la siguiente forma:
31
H = a exp(-b/Ac)
con el incremento en altura dado por:
I = [cba exp(-b/A ) ]/A
donde H : altura total A : edad a,b,c : parámetros de la ecuación
La curva sigmoidea de altura puede ser estimada a partir
de una regresión lineal del logaritmo del porcentaje de
crecimiento en altura sobre el 1og de la edad. El punto de
inflexión de la altura sobre la edad, del máximo incremento
anual en altura es:
Aj = [cb/(c+1)]
La expresión de LUNDKVIST está muy relacionada con la de
SCHUMACHER, la cual expresada en las mismas variables, sería:
lnd/H) = in b - 2ln A
ó
H = a exp (-b/A)
A partir de entonces se nan desarrollado numerosas fór
mulas matemáticas para curvas anamórficas y pol imórfi cas.
En dichas fórmulas, el denominador común es la transfor
mación generalizada de H porlog H y de A por1/A , es decir,
se usa la fórmula original de SCHUMACHER (BURKHART Y STRUB
1974, BURKHART et al. 1972, COI LE y SCHUMACHER 1964, LEN-
HART 1972 a,b y otros).
32
3.3.1.2.2.1 Curvas anamórficas
Las curvas anamórficas o proporcionales de índices de
sitio están basadas en el supuesto de que log (H) es una
función lineal de (1/A) . Si nay datos disponibles de al
tura-edad para m sitios (o parcelas), el sistema anamórfico
resulta del ajuste:
log H = a¡ + b(1/A)c i=1,2,...m
donde a : parámetro específico del i-€simo sitio b : parámetro de pendiente de la regresión c : parámetro de 1 inearizacion (frecuentemente c = + 1)
Este modelo genera un sistema de curvas proporcionales de
índice de sitio con una tasa relativa de crecimiento
constante (dH/dA)/H a lo largo de todos los sitios a una
edad dada.
Algunos de los modelos utilizados han sido los de
FEDUCCIA et al. (1979), SMALLEY Y BAILEY (1974) quienes
desarrollan sistemas anamórficos de curvas empleando la
regresión antes mencionada.
3.3.1.2.2.2 Curvas polimórficas
Partiendo de la relación anterior, para obtener un sistema
po1 i mórf i co, reescr i b i remos
log H = a + bj(1/A)c i=1,2,...m
donde
b¿ : parámetro específico del sitio
33
(dH/dA)/H : indica que la tasa relativa de crecimiento es una función de la edad y del sitio (BA1LEY y CLUTTER, 1974).
LENHART y CLUTTER (1971) aplicaron curvas polimórficas
con el siguiente modelo:
log H = 1.5469-11.406/A+(0.76481 1ogSI-O.83419)
3.3.1.2.2.2.1 Segmentos
Revisando varios modelos de índices de sitio, se observa
que algunos se ajustan mejor a edades inferiores, en tanto
que otros lo hacen mejor a edades superiores. A partir de
estas consideraciones se comenzó a usar la regresión polinó-
mica segmentada (GALLANT y FULLER 1973, FULLER 1969) para
desarrollar un sistema de ecuaciones donde cada ecuación
podría ser usada sobre un "dominio de la edad" dado.
El ajuste de las curvas combinadas de sitio es mejor que
un modelo simple a lo largo del rango completo de edades y
tiene las siguientes propiedades:
- La altura es O cuando la edad es O.
- La altura a la edad típica iguala al índice de sitio
(pasa a través del índice de sitio a la edad crítica).
- Cada curva tiene su asíntota superior separada.
- Las curvas son invariantes con respecto a la edad crítica
(la misma edad crítica para todas las curvas).
34
En general, se ha trabajado con curvas anamórficas para
edades menores y polimórficas para edades superiores.
La forma general del modelo es:
Y1 = f1(x) O < x < a1
Y2 = faíx) a1 - x - ^2
Yn = fn(x) an+1 < x < oo
donde fj(x), i=1,2,...n, es una función polinomica de x
sobre el i-ésimo segmento. Las ecuaciones se unen en los
puntos a^ag an mediante restricciones implícitas en el
modelo. FULLER (1973) discutía la estimación de los
parámetros de f¿ con puntos fijos de unión y GALLANT y
FULLER (op.cit) cubrieron la estimación de los puntos de
unión a partir de los datos.
Los requisitos del modelo de incremento son que la so
lución debe ser cerrada, como una ecuación diferencial, y
ser polinomial. Estos requisitos del modelo de incremento en
altura vienen expresados en su forma general por:
dy/dx = bo + b^y + g(x)
donde dy/dx : tasa de crecimiento instantánea (estimada como una diferencia finita)
bo.bi : parámetros estimados por técnicas de regres ion
Y : altura de los árboles a la cual ocurre dy/dx
g(x) : función polinomial de la edad a la cual
35
ocurre dy/dx.
Para obtener una curva suave total de altura, la ecuación
de incremento en altura debe ser continua en los puntos de
unión. Esto se puede lograr usando las constantes de
integración de segmentos adyacentes para asegurar igual
altura en el punto de unión (DEVAN y BURKHART, 1982).
3.3.1.2.2.2.2 Derivadas
Este método consiste en modelar la tasa de crecimiento en
altura directamente mediante el ajuste de un modelo de
incremento de altura a los datos obtenidos por remediciones
O análisis de tronco (LENHART 1970, DEVAN y BURKHART op.
Ci t . )
Tal modelo, normalmente una ecuación diferencial, es
ajustado directamente a partir de los datos observados de
incremento de altura y luego integrado sobre la edad para
obtener la altura total como una función de la edad.
Este método se basa en dos supuestos:
a) A partir de altura y edad de sucesivas mediciones, el
promedio de dos mediciones es asumido como una aproximación
por las finitas diferencias.
b) Si H¡ es la altura y A¡ es la edad, ambas al tiempo i,
entonces la expresión:
d(ln H)/D(1/A) = (ln Hj - lnHi_1)/(l/Aj - 1/A¡_¡)
36
se usa como una aproximación a la derivada. Gráficamente se
expresa de la siguiente manera:
ln H
In H|
ln Huí
1/A¡_1 1 /A i 1 /A
Figura 3 : Aproximación a una derivada entre dos mediciones suces i vas.
3.3.1.2.2.2.3 Funciones de crecimiento
Las dos principales características de las curvas de
crecimiento, en general, son:
Son asintóticas a la recta W=A cuando la edad se aproxima
a i nf i n i to.
Existe un punto de inflexión en la curva correspondiente
a una determinada edad que varía según la especie y dentro
de la especie, con la calidad de la estación. Esto indica
que el crecimiento corriente anual es creciente hasta dicha
edad, culmina, es decir alcanza su máximo en ella, y luego
37
decrece hasta que nuevamente se acerca a "O". lo que se
logra en la plena madurez o hasta que el árbol o la masa
mueren.
Si un modelo cumple con estos dos principios generales,
dicho modelo es satisfactoriamente preciso.
Se ha establecido que la función general de crecimiento
desarrollada por RICHARDS (1959) es la más adecuada para la
construcción de un sistema de curvas de índice de sitio
mediante funciones de crecimiento.
BRICKELL (1968), LUNDGREN y DOLID (1970), BECK (1971),
HAGGLUND (1972), RAWAT (1973), y otros han utilizado satis
factoriamente dicha función en la construcción de curvas de
calidad aunque la metodología utilizada es diferente según
los autores.
Un método adecuado es el de MARQUARDT (1963) que se puede
utilizar para cualquier caso de regresión no lineal asintó-
tica. Otro método es el de STEVENS (1951) que parece ser el
más apropiado para el caso forestal puesto que fue desarro
llado especialmente para la función general de crecimien
to de RICHARDS.
La función desarrollada por RICHARDS es una ampliación
del trabajo de BERTALANFFY (1941) y se ha utilizado muy
frecuentemente en biometría.
La función generalizada desarrollada por RICHARDS (op.-
cit.) es la siguiente:
38
Función de crecimiento corriente:
dW/dT = nWm -KW
Función de crecimiento:
W = A(1-b exp-Kt)1/1-m
donde
W : Tamaño o valor de la magnitud a la edad T A : Valor límite de dicha magnitud A,b,K y m son los parámetros de crecimiento en la fune ion
Esta función es, además, una ampliación de otras
funciones ampliamente conocidas:
*) Función monomolecular de crecimiento que se obtiene
cuando m = 0 . No tiene punto de inflección y su tasa de
crecimiento declina linearmente cuando se incrementa W. Es
usada para representar las últimas porciones de la vida de
un i nd i v i dúo.
W = Ad-b exp-Kt)
cuya tasa de crecimiento es k(A-W)
*) Función autocatalTtica de crecimiento (conocida también
como función logística) que se obtiene en el caso de que
m = 2 y es simétrica con respecto a su punto de inflexión.
Su tasa relativa de crecimiento declina linearmente cuando
se incrementa W.
W - A/(1-b exp-Kt) cuya tasa de crecimiento es:
39
KW(A-W)/A
*) Cuando m tiende a l , se obtiene la función de Gompertz
que reemplaza a la función autocatalTtica en algunos casos,
pero es asimétrica:
W = A exp(-b exp-Kt)
cuya tasa de crecimiento es:
KWln(A/W)
3.3.1.2.2.2.4 Ecuaciones diferenciales
Otra forma de modelar la evolución de la altura en
función de la edad es mediante el uso de ecuaciones
diferenciales. El modelo presenta la forma
dH(t) = b(ac - Hc(t))dt + a(t)dw(t) (1)
con la condición inicial:
Hc (t0) = H0c + € 0
donde H t w
a,
altura total edad proceso estandarizado de Wiener representando la "variación ambiental" variable aleatoria de distribución normal
b, c, tQi HQI O : parámetros a ser estimados
además, se asume que nay errores de medición en las alturas
medidas ,h, que satisfacen:
hc = Hc + am €
40
donde € : variable normal estándar independiente o m : parámetro a ser estimado
La integración de la ecuación diferencial (1) da:
H = a {1-(1-H0c/ac) exp(-b(t-t0))i
1/c + P(t)
donde u(t) es un término de error aleatorio con una distri
bución dependiente de los parámetros.
El modelo se aplica a una parcela o rodal particular.
Alguno de los 8 parámetros (a, b, c, XQ, HQ, O, am o OQ)
puede ser diferente para los diferentes rodales, reflejando
la variación en la calidad de la estación. Un modelo para
una región o un bosque debe especificar como difieren los
parámetros entre rodales. En una versión particular del
modelo, los parámetros pueden ser fijos a valores dados,
pueden ser condicionados a tener el mismo valor para todas
las parcelas (valor no especificado) o puede ser libre de
tomar diferentes valores para diferentes parcelas. También
es posible tener relaciones entre los 8 parámetros básicos
fijos o condicionados a un mismo valor. Esto se nace defi
niendo nuevos parámetros secundarios que están en función de
los or i g i nal es.
Una versión se especifica clasificando sus parámetros en:
- fijos: valor dado
- globales : igual valor para todas las parcelas
- i ocal es : i i bre
Una vez definidos los parámetros, se calcula la función
de máxima verosimilitud para el modelo y se buscan los
41
parámetros que maximizan la función. Específicamente, se
puede usar el método de Newton modificado que minimiza -2 In
L, donde L es la función de verosimilitud.
Es necesaria una buena estimación inicial de los
parámetros para ahorrar tiempo y reducir el riesgo de no
convergencia o mínima local. (GARCÍA 1980, 1983, 1984).
3.3.1.3 Intercepción
Este método se basa en la medición del crecimiento en
altura durante una cierta fase de desarrollo del árbol,
a partir de cierta altura inicial, variable según los
diferentes estudios llevados a cabo y es especialmente útil
en masas jóvenes en que la medición de la altura dominante
presenta serias dificultades lo que se traduce en errores en
la determinación del índice de sitio.
Algunos investigadores (WAKELY 1954, WAKELY y MARRERO
1958 y otros) han destacado los siguientes aspectos:
- Antes de que el rodal alcance la altura del pecho, el
desarrollo en altura es frecuentemente alterado por diversos
factores y por lo tanto, no es un buen indicador de la
productividad de la estación.
- Las tradicionales curvas de índice de sitio frecuentemente
tienen errores en los rodales jóvenes debido a que la altura
de los árboles de dicho rodal, aún se encuentra bajo
la influencia de la densidad inicial, plantación, etc.
42
- cuando las curvas de índice de sitio son usadas en rodales
jóvenes, errores pequeños en la determinación de la edad,
provocan grandes errores en el índice de sitio.
BULL (1931) investigó en la utilización de éste método y
utilizó el numero de verticilos entre dos alturas predetei—
minadas, 1 y 4.5 metros, como un indicador de la productivi
dad. Sin embargo, llegó a la conclusión de que este indica
dor no era preciso.
Por otra parte, los investigadores antes mencionados
(WAKELY y MARRERO 1950) han usado el crecimiento en altura
de 5 años, que toma la longitud total de los 5 años de
crecimiento en altura a partir de la altura al pecho (1.3
m.) .
Debido a que el método de la intercepción no necesita
determinación de edades, se evitarían los problemas antes
menc i onados.
El método es, por supuesto, limitado a especies con un
patrón regular de crecimiento en altura y tiene las
desventajas de que se ve afectado por las fluctuaciones
climáticas a corto plazo y de que no distingue entre los
sitios en los cuales la tasa inicial de crecimiento no se
corresponde con las tasas posteriores.
En algunos estudios, el índice de sitio esta dado por: Sl= a + b(intercepcion)
donde a y b son parámetros de la regresión lineal.
43
Sin embargo, DAY, BEY y RUDOLPH (1960) determinaron que
una polinomial de segundo grado daba un mejor ajuste que una
recta.
Con el objetivo de obtener una mayor precisión, RICHARDS,
MORROW Y STONE (1962) calcularon distintas funciones del
tipo IS = a + b(Jntercepcion) para diferentes tipos de
suelo pero no encontraron diferencias significativas entre
ellas. Por otra parte, WARRACK y FRASER (1955) y BECK
(1971) compararon intercepción a 3 y 5 años y ambos estudios
concluyeron que los 5 años daban una estimación superior.
OLIVER (1972) probó con 1, 2, 3, 4, 5 y 6 años para Pinus
sp. y encontró que a la altura de 4 años se producía un
rápido incremento que luego comenzaba a disminuir, por lo
que recomendó los 4 años.
Por Otra parte, ALBAN (1972), BLYTH (1974) y HAGGLUND
(1976) probaron diferentes alturas iniciales para medir la
intercepción. En las investigaciones de ALBAN (op.cit) y
HAGGLUND (op.cit) la mejor altura inicial fue sobre los 2.5
m.. Por su parte BLYTH (op.cit) encontró que la mejor altura
inicial era de 3 m. como mínimo.
En la Figura 4 se observan las diferentes mediciones
que se deben realizar.
44
N&años
altura inicial
Fig. 4: Mediciones a realizar en el método de intercepción
Una variación de este método es el de las curvas
polimórficas de STAGE (1963) que se basa en la intercepción
que representa el crecimiento a lo largo de 10 años después
de que el árbol dominante alcanzó una cierta altura. La
racionalización de éste es similar a la del método de
intercepción anterior, es decir, que la calidad de la
estación es función de la tasa de crecimiento de un árbol de
una cierta altura; sin embargo se supone que la tasa de
crecimiento es la porción superior de la curva de
altura/edad es un mejor indicador de la capacidad del sitio
que la altura en una edad particular. De acuerdo con este
método, el índice de sitio se puede redefinir como
"clasificación de los sitios según el incremento que alcanza
un árbol dominante de altura estándar". Este método se
diseñó para el Ab i es grand i s que es una especie tolerante y
45
constituye una forma de analizar la dinámica de los rodales
de edad no uniforme, así como la de otros rodales en los
cuales prevalece la saturación.
3.3.1.4 Método basado en el diámetro
Basado en que el objetivo de los índices de sitio es el
de medir la productividad de una estación dada, JONES (1969)
critica la relación altura/edad debido a que la altura es
solo un componente de la producción en volumen y dicha
relación no explica totalmente la productividad de la
estac ion.
MADER (1973) ha revisado la última crítica con mayor
detalle. CARMEAN (1975) también ha examinado este problema
asociado con estimaciones dadas de la productividad poten
cial del sitio.
El crecimiento en diámetro, el otro componente del incre
mento en volumen, es considerado más sensible que el creci
miento en altura a las variaciones de los factores ambien
tales,sin embargo su uso ha sido bastante moderado debido a
su dependencia de la densidad del rodal.
Interpretaciones más recientes (DREW y FLEWELLING 1977)
de los estudios de producción/ densidad, sugieren que la
productividad por unidad de área, independientemente de la
densidad inicial y del régimen de claras tiende a converger
en el tiempo.
46
STOUT y SHUMWAY (1982) establecieron una metodología
basada en la ley de rendimientos decrecientes postulada por
DAVID RICARDO (1772-1823) la cual fue validada para cultivos
agrícolas por JUSTUS V. LIEBIG (1874-1956) y que establece
que la productividad se aproxima a un límite y que, por lo
tanto, el incremento de dicha productividad tiende a "O". La
ley del efecto de los factores limitantes postulada por A.
MISTERLICH (1940) es una versión de la ley anterior diseñada
para aplicaciones prácticas donde:
dy/dx = K(Ymax - Y)
la respuesta (dy) de un factor limitante (dx) es
proporcional (K) a la diferencia entre los valores máximos
(Ymax) y actuales (Y). En la medida de que Y se aproxima a
Ymax» ,a tasa decrecerá proporcionalmente.
Si x representa el tiempo, Y será una función de
crecimiento, pero al mismo tiempo representa una.f©rmulación
de la hipótesis general de crecimiento por la cual el
incremento es dependiente de la diferencia entre el tamaño
actual y el f i nal.
En el caso de una masa forestal, debido a que el dosel
debe soportar un gran volumen de ramas y fuste en la etapa
de madurez, como H crece hasta un límite metabólico, se
puede esperar que a medida que el árbol se acerca a su
madurez, disminuye el incremento del crecimiento de la
altura con respecto al diámetro, hasta que dicho incremento
47
se aproxima a M 0 M , lo que nos lleva a formular la ley de
M1STERLICH en los siguientes términos:
dh/dD = -b(S - H)
es decir, un incremento en el diámetro (D) supondrá un
incremento en altura (H) proporcional a su potencial rema
nente (PRODAN, 1968), el cual a su vez, está determinado por
la calidad de la estación por lo que la relación proporcio
nal entre altura y diámetro es usada para estimar la calidad
de la estación de forma independiente de la edad. La obten
ción de curvas de calidad de estación sin implicar a la edad
permite, por una parte, eliminar el problema de la elección
de la edad típica, y por otra, el que en el momento de la
determinación de las curvas altura/edad no suelen estar
presentes todas las clases de edad.
MEYER (1940) sugirió el siguiente modelo para un caso
forestal:
Y = 1.3 + s(1 - exp-bd)
donde H D S b 1 . 3
altura total d i ámetro a 1.3 m coeficiente del sitio (asíntota superior) coeficiente relacionado a la especie corrección para la medición de altura a 1.3 m
STOUT y SHUMWAY (1982) para cada especie, agruparon los
datos de cada árbol en clases de sitio. A cada grupo se le
aplicó un análisis de regresión no linear de mínimos
48
cuadrados basado en la ecuación de MEYER. A partir de los
coeficientes obtenidos, b y S, se establecieron dos con
juntos de hipótesis nulas y los resultados son los siguien
tes:
Los coeficientes por especie , b, no fueron significati
vamente diferentes entre clases de sitio cada 3 metros. Sin
embargo, la hipótesis nula de S igual para cada clase de
sitio fue rechazada. El tamaño de S incrementa cuando aumen
ta el valor del índice de sitio, sin embargo, en una
aplicación de este mótodo en España (ORTEGA y MONTERO,
1988), se concluyó que los ajustes daban mejores resultados
tanto con b como con S diferentes.
3.3.1.5 Fuente de errores
La precisión del índice de Sitio estimado es una impor
tante medición de la utilidad de un método particular de
estimación del índice de Sitio. Algunos factores contribuyen
a esta precisión, por ejemplo:
* Error de muestreo: El I.S. es frecuentemente estimado a
partir de un muestreo de parcelas que se generaliza al
rodal. Este rodal es usado como un indicador de la producti
vidad del sitio y puede ser considerado como una muestra
para todos los posibles rodales, cumpliendo ciertas especi-
f i cae i ones.
* Errores aleatorios o sistemáticos en la elección de
árboles de altura dominante dentro de las parcelas.
49
* Diferencias aletorias o sistemáticas entre el desarrollo
de la actual altura dominante y las curvas de I.S.. Los
errores sistemáticos pueden, por ejemplo, ser causados por
el uso de expresiones analíticas inadecuadas para las
funciones que fundamentan las curvas. Un error aleatorio
puede ser, por ejemplo, variación de las condiciones hídri-
cas entre años (HAGGLUND, 1981).
Algunas de las fuentes de errores sistemáticos fueron
discutidas por BECK y TROUSDELL (1973). Ellos hacen notar el
riesgo evidente de sesgo cuando se usan datos de parcelas
temporales para la construcción de curvas de I.S.. Una
importante razón para este sesgo, es que la distribución de
I.S. es distinta para distintas edades. Esto ocurre porque
las rotaciones son más cortas en los mejores sitios.
McQUILKlN (1974) demuestra que muy pequeñas diferencias
en edad (10-15 años) entre árboles usados para establecer el
I.S. en el mismo rodal, tiene un efecto significativo en los
valores del índice y propone algunas reglas para manejar
situaciones en que hay pequeñas diferencias entre árboles en
un rodal.
LLOYD (1975) presenta un profundo análisis de la varianza
de un estimador de I.S. comenzando por el concepto de que el
I.S. es una variable aleatoria definida de forma general
pero exacta. Este autor expresa el desarrollo en altura de
un árbol como una ecuación cúbica en edad. A partir de esta
ecuación, deduce la varianza de un I.S. estimado y también
50
la probabilidad de clasificar en forma errónea las parcelas
cuando se asume un cierto rango en las clases de I.S.
Por otra parte, en las curvas convencionales de índice de
Sitio se asume que los datos de las parcelas de muestreo
representan una distribución normal de la calidad del sitio
dentro de cada clase de edad. Es posible, sin embargo, que
la curva media de cada sitio usada en el cálculo de las
curvas para sitios buenos y pobres, esté sesgada si ciertas
clases de edad contienen preponderancia de parcelas en si
tios buenos o, por el contrario, pobres. Es decir, la curva
media del sitio puede no ser aplicable a ciertas clases se
sitio, localidades o tipos de suelo que no fueron adecuada
mente representados por los datos de la parcela de muestreo
(CARMEAN, 1956).
Se han realizado estudios de suelo/sitio que ttan produci
do métodos para ser usados en la construcción de las curvas
de I.S. Estas curvas son estadísticamente independientes de
los factores ambientales relacionados con el crecimiento en
altura de los árboles dominantes y codominantes y está más
cercano a la expresión verdadera que existe entre altura y
edad de los árboles. El estudio consiste en ecuaciones de
regresión múltiple que expresan la altura total de los
árboles dominantes en términos de la edad y factores
asociados al suelo, precipitación y topografía, para cada
grupo de suelo.
Resultados de este análisis demuestran que la altura
51
total de los árboles está relacionada con la edad total de
los árboles para todos los grupos de suelo y que la altura
de los árboles también esta relacionada a la precipitación,
altitud y ciertas condiciones del suelo.
Para cada tipo de suelo se obtienen coeficientes de
regresión de la variable edad, independiente del efecto de
los factores del suelo, precipitación y altitud. Estos coe
ficientes se usan en la siguiente ecuación para calcular la
curva adecuada de cada sitio:
log H = log SI + bi ( 1/x1 - 0.01)
donde:
log H = log de la altura total de los árboles dominantes log SI = log del índice de Sitio bj = coeficiente de la variable edad xj = edad total, en años
En todo caso, se podrá evitar caer en errores en un alto
porcentaje, evitando las extrapolaciones debido a que aún no
se ha desarrollado ningún método que las permita y por otra
parte con un gran conocimiento del problema a resolver, es
decir, utilizar aquellos modelos que estadísticamente compa
rados con la realidad prueben ser los más apropiados.
3.3.2 Calidad de la estación en función de la vegetación
La presencia, abundancia y tamaño relativo de las diver
sas especies en el bosque reflejan la naturaleza del ecosis
tema del cual forman parte y a partir de esto sirven como
indicadores de la calidad de la estación.
52
La correlación puede o no ser aparente debido a que la
vegetación también refleja los efectos de la ocurrencia,
competencia vegetal, sucesos pasados en la historia de la
vegetación tales como sequía, incendios y ataque de los
insectos y muchos otros factores. En todo caso, las caracte
rísticas de la estación se reflejan lo suficiente en la
vegetación como para utilizarla con éxito en muchos casos.
Tanto las especies arbóreas como las del sotobosque sir
ven para este propósito. Las especies arbóreas tienen la
ventaja de tener vida prolongada, se identifican fácilmente
en todas las estaciones del año y algunas especies tienen
una amplitud ecológica tan estrecha que su presencia es
indicativa de una local ización particular, aunque la mayor
parte de los árboles tienen una amplia adaptación ecológica
de tal manera que su presencia tiene, así, un menor valor
como indicador, pero su abundancia y su tamaño relativo son
útiles para este fin.
Por otra parte, las especies vegetales en el sotobosque,
aunque son más propensas a estar influidas por la densidad,
la historia pasada y la composición del bosque en mayor
medida que las especies arbóreas, tienen, en muchos casos,
una tolerancia ecológica más restringida y pueden, por lo
tanto, ser más Otiles como indicadores vegetales.
Sin embargo, cabe recordar que la variación de la
localización toma frecuentemente la forma de un gradiente
más que de clases de estación distintas y mutuamente ex-
53
cluyentes. Los cambios tienden a ser graduales y el con-
tinuum se puede describir mejor en términos de un gradiente
ecológi co.
El enfoque vegetacional puede ser de clasificación u
ordi nal.
3.3.2.1 Clasificación
MALSTROM (1949) cita dos trabajos finlandeses (PAT 1862,
NORRLIN 1871) en los cuales el ecosistema forestal fue
clasificado de acuerdo a la vegetación pero con la conside
ración explícita del habitat.
Sin embargo, el trabajo que ha recibido una mayor aten
ción ha sido el de CAJANDER (1909, 1926) quien subdividió el
habitat forestal de Finlandia en un completo conjunto de
tipos de sitio definidos por la vegetación baja(sotobosque )
climax, utilizando el concepto de policlímax. El criterio
usado fue el de similitudes ambientales (CAJANDER 1926,
KALELA 1960 ) y se asumió que para el propósito forestal,
todos los hábitats que caen dentro de un tipo de sitio
pueden ser considerados uniformes. Por medio de estudios de
crecimiento, se desarrollaron tablas de producción para los
diferentes "tipos de sitio- (ILVESSALO 1927, 1937, CARBONIER
1954) . Además, estos "tipos de sitio" han proporcionado un
marco de referencia válido para investigadores y selvi
cultores durante muchos años.
COILE (1938), un defensor del suelo como característica a
54
utilizar en la evaluación del sitio, cuestionó si la
vegetación climax podría ser reconocida después de severos
disturbios y de fuertes intervenciones selvícolas y si el
sotobosque de arraigamiento superficial podría reflejar las
características del suelo más profundo con que se encuentran
las raíces de los árboles.
Por otra parte, 1LVESSALO admite que puede haber errores
en la asignación de sitios pero que dichos errores normal
mente se producen en los umbrales de las clasificaciones.
Sistemas operacionales de tipos de sitio han sido
desarrollados y probados en Suecia (ENEROTH 1931, MALSTROM
1949, ARNBORG 1953). Sin embargo el índice de sitio perma
nece como la manera estándar de estimación de la productivi
dad. Los tipos de sitio son usados solo como un marco de
referencia para prescripciones selvícolas. La conclusión de
la experiencia en Suecia ha sido de que los tipos de sitio
incluyen demasiada variabilidad. MALSTROM (1949) Y ARNBORG
(1960) sugerían que el crecimiento del árbol es más sensible
que la composición de la vegetación a diferencias de al
titud, orientación, pendiente y tratamientos pasados.
En Canadá y Estados Unidos se han realizado
clasificaciones del habitat en función de la vegetación.
Específicamente en los Estados Unidos, DAUBENMIRE (1952),
DAUBENMIRE y DAUBENMIRE (1968), LAYSER (1974) Y PFISTER y
ARNO (1980) han presentado métodos para la clasificación de
hábitats definidos por diversas asociaciones de plantas. El
55
tipo de habitat expresa el potencial climax de la vegeta-
c ion.
MacLEAN y BOLSINGER (1973) aplicaron el método
Angloamericano Clements para la descripción de la
vegetación. Estos investigadores expresan el índice de sitio
como una función de la ocurrencia de un número de plantas
indicadoras en que cada especie representa una variable y no
hay agrupación de estas especies.
3.3.2.2 Ordinación
GLEASON (1926, 1939) cuestionó la realidad de las "aso
ciaciones de plantas" y consideró la composición de la
vegetación como una respuesta a variaciones ambientales e
históricas. Por su parte, CURTÍS y colaboradores, desde 1951
han demostrado que la vegetación es un continuo, aunque los
segmentos de tal continuo estén geográficamente disjuntos.
GOODAL (1953a,b 1954) propuso el término "ordinación" para
el arreglo de la vegetación a lo largo de ejes, "ordenada"
en función de alguna otra variable. Por ejemplo, W1EDEMANN
(1929, cit. por BAKUZlS) arregló los "tipos de sitio" fin
landeses en función de gradientes teóricos de humedad y
nutrientes. En este mismo sentido se ha trabajado principal
mente en Suecia (MALSTROM 1949, ARNBORG 1953) y Estados
Unidos (SPURR, 1982).
En general, el concepto de ordinación implica que la
vegetación se estudia en combinación con otras
56
características tales como humedad, nutrientes, luz, calor,
radiación solar, potasio intercambiable, porcentaje de
arcilla, etc., pero es necesario un gran conocimiento de la
ecología regional de la vegetación para la determinación de
las gradientes.
Este concepto también es conocido como "espectro
indicador" referido a una lista de plantas (árboles,
arbustos y hierbas) clasificados de forma teórica, de
acuerdo a ciertos sitios. Por ejemplo, puede comenzar con
sitio seco-infértil y terminar con sitio húmedo-fórtil ,
luego en el campo se comprueba como está presente el
indicador vegetal (si es común o abundante) y a que calidad
de sitio corresponde.
Un refinamiento de la técnica de espectros es agrupar las
plantas con exigencias ecológicas similares y utilizar los
grupos para distinguir diferentes estaciones.
En los bosques de coniferas no perturbados de las
Montañas Rocallosas del norte de los Estados Unidos, DAUBEN-
MIRE (1952) y DAUBENMI RE y DAUBENMIRE (1968) utilizaron
grupos de especies del sotobosque denominados "uniones sub
ordinadas" en combinación con las especies de la masa ar
bórea de último establecimiento (uniones dominantes) para
distinguir las asociaciones forestales. El área colectiva de
una asociación forestal dada, el tipo de habitat (el tipo
de vegetación climax sobre un habitat o localización dada),
indica condiciones similares del medio ambiente y bióticas,
57
es decir, un ecosistema. Las uniones del sotobosque están
compuestas por una a 25 especies. Los tipos de habitat
diferentes se distinguen por las combinaciones específicas
de las uniones de la masa arbórea y el sotobosque. En al
gunos casos, la unión de la masa arbórea es el determinante
principal del tipo de habitat, mientras que en otras situa
ciones la unión del sotobosque es más importante.
Por ejemplo, las curvas polimórficas del índice de sitio
del pino ponderosa en siete tipos de hábitats indican que
los ecosistemas delimitados por la vegetación tienen una
calidad de estación sustancialmente diferente. (DAUBENMIRE,
1961).
3.3.3 Calidad de la estación en función de factores del
suelo y topográficos
La determinación de la calidad de la estación en relación
a la topografía y el suelo, ha sido de gran interés en
regiones o áreas que presentan estas características
altamente variables y para aquellas áreas que no están muy
pobladas, cubiertas con especies no deseadas o con árboles
inapropiados para los datos del índice de sitio (SPURR y
BARNES, 1982).
Los estudios de la relación suelo-sitio requieren la
medición o estimación de muchas variables del suelo y de la
estación, denominadas variables independientes y relacionan
éstas a través del análisis de regresión múltiple con
58
la altura del árbol o con el índice de sitio.
Las ecuaciones derivadas de estos estudios se usan para
desarrollar tablas de predicción de sitio y gráficas para
estimar el índice de sitio en el campo. En importantes
estudios de la relación suelo-sitio, la combinación de las
variables independientes pueden determinar de un 65 a un 85/
de la variación en altura de los árboles o del índice de
sitio observado en el gráfico de campo (CARMEAN, 1975).
Aunque muchas variables pueden utilizarse para desarrolar
ecuaciones precisas, algunas de estas pueden ser de difícil
medición por lo que, generalmente, se desarrollan ecuaciones
menos precisas utilizando variables que se identifican más
fácilmente y luego se comprueban en el campo.
Es necesario hacer dos observaciones fundamentales:
- Lo que se obtiene es una correlación, por lo que no
necesariamente es una determinación de causa y efecto.
- Frecuentemente la variable dependiente ha sido el índice
de sitio obtenido de curvas armonizadas, lo que conlleva los
errores propios de dicho método.
Una vez realizada esta aclaración, se analizarán los
factores que afectan al crecimiento potencial de los
árboles. Los que contribuyen en mayor medida a ésto son:
* La cantidad de suelo ocupado por las raíces de los árboles
y la disponibilidad de humedad y nutrientes en dicho suelo.
59
* Profundidad efectiva del suelo o profundidad del suelo
superficial, es decir, espesor del suelo que es ocupado o es
capaz de ser ocupado por las raíces del árbol.
* Posición del nivel freático durante la estación de creci
miento.
* También es significativo el que un estrato seco, grueso
pueda convertirse en una barrera efectiva a la penetración
de las raíces de la misma forma que lo puede ser un estrato
altamente compacto e impermeable, como es el caso de un
suelo altamente resistente.
COILE (1952) resumió los primeros estudios que concluyen
en la gran significancia de las medidas de profundidad del
suelo. Dichas conclusiones son que los factores que más
frecuentemente se encuentran como principales determinantes
son:
- profundidad del horizonte A sobre un subsuelo compacto
- profundidad de la capa menos permeable (normalmente el
horizonte B)
- profundidad del suelo moteado (indicativo de la
profundidad media del drenaje restringido)
- grosor del manto del suelo sobre el lecho rocoso.
Otras características importantes son aquellas del perfil
del suelo que afectan la humedad, el drenaje y la aireación
del suelo: la naturaleza física del perfil, textura general
60
y estructura del horizonte menos permeable (normalmente B2).
Con respecto a otra característica como es la topografía,
se encuentra estrechamente relacionada al microclima y a las
propiedades físicas del suelo que determinan las condiciones
de aireación y humedad de éste. CARMEAN (1967) encontró que
las ecuaciones basadas únicamente en los rasgos topográficos
explicaban más del 75/ de la variación en altura total del
encino negro en el sudeste de Oh i o (Estados Unidos), lo cual
se explica porque la topografía está estrechamente asociada
con los rasgos más importantes del suelo tales como la
profundidad del horizonte A, textura del subsuelo, contenido
de rocas y contenido de materia orgánica. Las relaciones de
orientación, pendiente e índice de sitio se ilustran en la
Fig.5.
60 «28 O*» o *
Figura 5: Relaciones entre la orientación, la pendiente y el índ i ce de sitio
61
La predicción del índice de sitio basándose en las
características del suelo, en Estados Unidos, ha resultado
de gran eficacia en muchas áreas de tierras elevadas para
árboles de madera dura (RALSTON 1964, CARMEAN 1977), sin
embargo es ineficaz para árboles de madera dura de las
tierras bajas sobre suelos aluviales de la zona central del
sur.
Con respecto al uso de las series de suelos, por ser
estas unidades demasiado heterogéneas, no sirven como base,
por si solas, para la evaluación de la calidad de la
estación. La variación de la productividad forestal dentro
de una unidad taxonómica de suelo es demasiado amplia para
ser aceptable, pero al incorporarse factores específicos del
suelo y topográficos se puede mejorar su eficiencia como
variable predictora.
3.3.4 Método de muítifactores
Debido a que la calidad de la estación es la suma total
de los factores que afectan la capacidad de la tierra para
producir, el método de los mu11i factores se refiere al
estudio cuantitativo global de la productividad forestal e
integra aquellos elementos que, según las características de
la estación, sirvan como predictores de la productividad.
Desde esta perspectiva, la modelización constituye el
aspecto más importante. En este sentido, M'HIRIT (1982)
62
con ocasión de un trabajo exhaustivo sobre los cedros del
Rif marroquí ha propuesto la siguiente relación general:
P = f(Fi, F2, F3, F4)
en que P: corresponde a productividad Fj: " " componentes biológicos Fg: " M componentes ecológicos F3: H M componentes antrópicos F4: M " componentes dendrométri eos
En términos generales, el método se puede resumir en las
siguientes etapas:
- Elección de una superficie (dentro de una zona climática
dada) y de estaciones a partir de las cuales se puedan
ajustar las ecuaciones predictoras.
- Distribución de las parcelas de muestreo, las cuales
deben cubrir todos los posibles estados de desarrollo (e-
dades) y de condiciones de productividad.
- Medición de alturas dominantes, edades, factores
topográficos, edáficos, fitosociológi eos y eventuaImente
climát i eos.
Las variables a medir deben ser brutas, lo más simples
posibles, sin necesidad de análisis de laboratorio complejos
o grandes transformaciones. En materia fitosociológica, por
ejemplo, el inventario florístico deberá considerar un
número limitado de plantas indicadoras, lo más
representativas posible del medio. De esta manera, es
posible predecir los valores de la altura dominante para
63
varias especies en relación a diversos factores del medio y
por lo tanto, los datos colectados permiten cubrir un máximo
de casos (RONDEAUX, 1977).
Este método permite numerosas aplicaciones, algunas de
las cuales son:
La predicción de la productividad de medios cubiertos o
no por el bosque.
La elección objetiva de las especies forestales más
adaptadas desde el punto de vista de la producción leñosa.
Establecimiento de mapas de potencialidad forestal (zonas
de isopotenci al i dad) (PAGE, 1970) y la posibilidad de
definir o de precisar, sobre bases objetivas, el tipo y
grado de manejo del bosque.
Realización progresiva de un inventario de la población y
la determinación de la producción utilizable (ej.
maderable).
Api i cae i ones del método
Desde hace más de 50 años se utilizan en Europa, métodos
intensivos que contienen múltiples factores y métodos
similares pero más extensivos han proliferado en Canadá. Uno
de los trabajos más completos y desarrollados es el de
Baden-Wurttemberg, que se realizó con fines prácticos de
administración de recursos, pero que describe y estudia la
estructura, productividad y proceso del sistema y aunque en
64
la práctica se considera que es demasiado detallista,
oneroso y poco práctico, el modelo es claro y se puede
elegir el nivel de profundidad de éste en función de las
necesidades u objetivos predeterminados.
A continuación, se presentará un resumen de este trabajo.
S i stema Badén-Wurttemberg
Baden-Wurttemberg es un estado situado en la parte
Sudoeste de Alemania, de aproximadamente 36.000 km2, con una
gran diversidad de condiciones climáticas, geológicas y del
suelo. Existe un mosaico de patrones de vegetación, en parte
debido a su medio ambiente variable y en parte como
resultado de perturbaciones provocadas por el hombre.
El método consiste en una síntesis de los factores de
localización más importantes en los niveles regionales y
locales del sistema. En la Figura 6 se presenta el modelo
del sistema de clasificación:
65
Acumulación de experiencia
sel vi cola local
Clasificación regional en áreas de crecimiento subdivldidasen distritos
decrecimiento
Clasificación local •n unidades
de sitio
"71 Cartografía ds la
localízación
re Evaluación de crecimiento
y productividad
Investigaciones científica*
básicas
Evaluación selvícola
Resumen comprensivo para cada área de crecimiento y
comparaciones entre las diferentes oreas de crecimiento
Figura 6: Modelo del sistema de clasificación de la localización en Baden-wurttemberg (Alemania).
La primera etapa es la de elasificación regional, en la
que se definen siete amplios paisajes forestales, y las
áreas de crecimiento se distinguen por diferencias
significativas en el clima, la topografía y el suelo. Las
áreas de crecimiento no son homogéneas y se subdividen en
distritos de crecimiento basado en diferencias más sutiles,
especialmente mi croelimáti cas, pero también en material
parental, suelo y vegetación. Cada distrito es
caracterizado por uno o más tipos de bosques naturales
66
dominantes cuya composición está determinada en gran medida
por el clima. La vegetación natural del bosque es de
primordial importancia al determinar los límites de los
distritos de crecimiento y debido a que muchos de los
lugares sufrieron alteraciones antropógenas, se consideró
análisis de polen, historia forestal y estudio de la
vegetación del piso inferior, A través de este estudio se
reconstruyó la vegetación del período que comienza aproxima
damente el año 1500 a.C. y termina en la Edad Media.
Luego viene la etapa de el as i f i cae ion I ocal y_ cartografía
en la que cada distrito de crecimiento se subdivide en
unidades de sitio. Una unidad incluye sitios individuales
(el área ocupada por un grupo de árboles) las cuales, aunque
no son idénticas, tienen similares potenciales silvícolas y
tasas de crecimiento y productividad equivalentes para las
especies arbóreas más importanets. La unidad de localización
se determina en el campo por las diferencias locales en la
topografía, factores de sueJo tales como la textura,
estructura, acidez, profundidad y capacidad de retención de
humedad, y la vegetación de la masa arbórea y el sotobosque.
Cada unidad de sitio está caracterizada por un tipo local
de sotobosque y además se encuentra florísticamente
delineada a través del uso de grupos de especies ecológicas.
Una unidad de sitio está caracterizada por la presencia o
ausencia de determinados grupos o de la abundancia relativa
de las especies en los respectivos grupos. La tendencia
gradual de las diferencias se observa claramente cuando las
67
unidades de sitio se sitúan a lo largo de una gradiente
de humedad. Las unidades en los extremos opuestos de las
gradientes, se distinguen fácilmente por los grupos de espe
cies. Sin embargo, las unidades de sitio adyacentes pueden
ser similares en sus grupos de especies y se diferencian en
el campo por los rasgos del suelo y topográficos.
Posterior a un reconocimiento del bosque y de la
determinación de una lista tentativa de unidades de sitio,
se realiza un mapa utilizando estos tres caracteres ,
acompañado con un informe detallado describiendo los rasgos
más importantes de cada unidad, asi como recomendaciones
para la elección de especies, riesgos de la acción del
viento o ataques por hongos, edad de rotación, etc.
Posteriormente, en la etapa de crecimiento y
productividad se determinan la tasa de crecimiento, el índi
ce de sitio y la productividad para las especies más
importantes en un distrito o grupo relacionado de distritos
sobre la determinación cartográfica, utilizando gráficas de
muestras y análisis de tronco en las unidades de sitio más
importantes. Se puede determinar la productividad en volumen
de tronco para las espeecies mayores en cada unidad de sitio
y además, comparar la productividad de las estaciones dentro
de un distrito o entre distritos a partir de lo cual se
pueden agrupar las unidades de sitio de productividad
similar en grupos de productividad.
La eva1uac ion se 1 vico 1 a es la etapa siguiente y se
68
refiere a la evaluación de método en términos selvícolas.
Las diferencias en las unidades de sitio afectan
directamente tanto a las decisiones como a la elección de
las especies, técnicas de establecimiento, regímenes de
corta, clara, y los riesgos posibles de acción del viento,
degradación del suelo, plagas y enfermedades.
Api i cae ion del anali s i s mu11 i factor i al en Amér i ca
Sistemas de clasificación similares al de Baden-
Wurtemberg nan sido utilizados en otros estados de Alemania
Occidental, Austria y Alemania Democrática pero en América
del Norte y Australia se desarrollaron métodos menos deta
llistas y a un nivel más extensivo.
En general, en estos trabajos se na caracterizado la
productividad de una estación y se han individualizado
clases de crecimiento caracterizadas por una agregación de
criterios ponderados.
En el país donde más se han desarrollado estos métodos,
ha sido en Canadá, donde, usando técnicas de fotogrametrTa
aérea, se han clasificado grandes extensiones de territorio
basándose en un enfoque combinado de fisiografía y
vegetación. Entre los más interesantes están elmctodo de
HILLS en Ontario y el de biogeocenósis de KRAJINA en Co-
lumbi a Br i tan i ca.
Método de HILLS en Ontario: Este método se basa en dos
aspectos principales que son:
69
- uso de la fotointerpretacion para clasificar y evaluar
grandes áreas a menudo inaccesibles
- preponderancia de los rasgos fisiográfi eos fácilmente
reconocibles desde el a i re y que permanecen a lo largo del
t i empo.
El método de clasificación se realiza por la combinación
de los tipos de estación fisiográfica y tipo de vegetación
para conformar el tipo total de estación de acuerdo con el
esquema siguiente:
Planta* Animales Oportunidades
Profundidad Clima del material Humedad local
del suelo
Tipo fisiografico de la estación (componentes de tipo
terrestre)
Vegetación menor
Tipo forestal (componente forestal)
Tipo total de la estación
(unidad ecológica)
Figura 7 : Esquema de la determinación de la estación
Previo a la clasificación de las estaciones, se
desarrolló un marco en el que se subdividió Ontario en 13
regiones de estaciones a partir de las diferencias
70
climáticas más importantes. A su vez estas regiones se
subdividían en distritos de estaciones donde el criterio
seguido era el fisiográfico, geológico y edáfico.
La evaluación de la producción actual y potencial no era
tan rigurosa como la de Baden-Wurtemberg pero cumplía am
pliamente con el objetivo de clasificación.
3.3.5 Método mixto
Este método tiene por objeto medir la relación entre la
altura dominante a una edad dada (u otro índice
dendrométrico) y factores ambientales. La mayor importancia
de este método reside en que permite estimar el índice de
sitio en ausencia de la población.
La construcción de tablas de producción mediante técnicas
matemáticas permite centrar la atención sobre la
variabilidad existente en la relación entre el volumen
total y la altura dominante. Investigaciones recientes con
sisten en asociar índices dendrométri eos y variables del
medio, bien para definir nuevos índices (índices mixtos),
bien para elaborar modelos de crecimiento o funciones de
produce ion.
La medición del índice de sitio en relación con algunos
factores limitantes del medio, necesitan el recurso de
modelos más elaborados. Esta aproximación factorial se puede
llevar a la práctica de la siguiente manera:
71
elección previa de factores ambientales relacionadas a la
altura dominante
eliminación de variables muy difíciles de colectar o
demasiado complejas
determinación de la muestra en las poblaciones aptas para
las mediciones que presentes todos los elementos de
variabilidad (edad, condiciones ecológicas)
toma de datos
regresión de la altura dominante con las variables
explicativas presentando la contribución más significativa
en la precisión de la estimación (examen de la matriz de
correlación, introducción o eliminación de variables)
Los factores más relevantes que pueden ser probados
mediante técnicas estadísticas, se pueden presentar de la
siguiente forma:
HD = ao • ai xi + ••• + an xn
en que
HD : altura dominante a la edad típica X} ...xn : variables ambientales o combinación de ellas ao •..an : constantes de regresión
Este modelo se basa en la aditividad de los factores de
productividad, aunque una variable puede ser una combinación
de variables simples.
otra forma más directa de enfocar el problema es
72
utilizando um modelo del tipo:
Ht = fi (t) x f2(t) x ... x fn(t)
en que fn(t) corresponde a una función relacionada a un fac
tor o interrelacion de ellos y cada función se relaciona con
la otra de manera multiplicativa.
Entre estas variables, es conveniente señalar la
importancia del suelo (profundidad, textura, drenaje,...),
de la topografía (pendiente, altitud, exposición,
geomorfologia) (COI LE y SCHUMACHER 1953, PAGE 1970,
y del elima.
Los métodos estadísticos más utilizados y cuyos
resultados son bastante aceptables son el de análisis de
componentes principales (con el objetivo de seleccionar
variables linearmente independientes que aporten un mayor
porcentaje de explicación a la varianza total) y la
regresión múltiple, generalmente paso a paso (stepwise) que
relaciona al índice de sitio con el resto de las variables
(HUNTER y GIBSON 1984, WHI TE 1982a, WHI TE 1982b).
Una aplicación del método de componentes principales y de
la formación de enjambres de VAN den DRIESSCHE se na llevado
a cabo (GANDULLO, 1972) en Pi ñus nalepens i s Mili. para
determinar los diversos ecosistemas sobre los que se
desarrolla esta especie y sus calidades de estación. Las
variables estudiadas son: déficit de agua, superávit de
agua, precipitación anual, terrosidad, are illos i dad,
73
limosidad, pendiente, pH, materia orgánica y carbonato
calcico como variables independientes y la calidad de la
estación como variable dependiente. Como principal
resultado con respecto a la determinación de las calidades
de estación, se concluye que "el porcentaje de la variación
del índice de calidad explicado por las 10 variables
consideradas es aproximadamente del 50X"
Por otra parte, GANDULLO et al (1977) estudiaron el
óptimo ecológico del Pi ñus radi ata D. Don en España y a
partir de él, determinaron la mayor o menor influencia de
ciertos parámetros ecológicos en la calidad de la estación
mediante análisis de regresión múltiple a partir del cual se
estableció la siguiente ecuación de pronóstico:
calidad = 2.100108 + 0.0027Xi + 0.000027X2 - 0.000042x7
- 0.006187X5 " 0.00003X 3 + 1.064016x4
- 1.258609 1/X6
en que: x1 - altitud x¿ = 1imo-55 X3 = arena X4 = are i 11a-35
TF X5 = C/N-18 1/xg = frío X7 - tierra fina
con un coeficiente de determinación de 0.287
También en España, en Galicia (BARA y TOVÁL, 1983), se ha
realizado un estudio de las siguientes variables: análisis
químico de suelos, análisis mecánico, análisis foliar, al
titud, pendiente, orientación, profundidad, temperaturas
74
medias mensuales, criterio de GAUSSEN y parámetros dasomé-
tricos y se ha utilizado el análisis muíti vari ante obtenién
dose la siguiente ecuación:
1 = 1.1525 - 0.000509A + 0.211798P - 0.002952Ca - 0.000932K
en que: 1 = indice de calidad en función de la altura domi nante
A = a11 i tud (m) p = profundidad del suelo (m) Ca = calcio del suelo K = potasio del suelo
con un coeficiente de determinación de 0.48.
Cabe señalar que en la gran mayoría de estos trabajos,
las ecuaciones obtenidas sólo tienen un carácter
exploratorio debido a la poca proporción de la varianza que
queda explicada por dichos modelos.
Un problema que se debe considerar en este tipo de análi
sis, es la necesidad de cuantificar las variables cualitati
vas del medio con el fin de poder integrarlas en los análi
sis de regresión. La codificación numérica de estas varia
bles supone, en efecto, que la información cualitativa dis
continua sea representada en forma de escalas continuas
crecientes o decrecientes. Una forma lógica pero subjetiva y
sujeta a la experiencia del investigador es la codificación,
cuando el caso lo permita, con valores (p. ej. de 1 a 9) que
representen la mayor o menor relación entre las variables
consideradas y la productividad (KINLOCH y PAGE 1966).
El problema es, sin duda, más complicado en el caso de
ecuaciones construidas principalmente en función de plantas
75
indicadoras o asociaciones de plantas. Generalmente éstas
intervienen en los modelos de regresión con el valor O ó 1
si están presentes (MAC LEAN y BOLSINGER 1973). Este método
es muy útil a considerar cuando la vegetación y la
distribución natural de especies que la componen, sintetizan
muy bien el conjunto de condiciones del medio. En la
práctica, esta hipótesis es, por otra parte, confirmada por
el hecho de que la ausencia de especies o de grupos de
especies representativas de tal o cual medio, contribuyen de
manera significativa a la explicación de la variabilidad de
la altura dominante.
3.3.6 Dendrocronología
Otro método que no ha sido muy utilizado en la
determinación de la calidad de la estación pero que en
algunos casos ha dado buenos resultados es el de la
dendrocronología, es decir la medición del crecimiento en
los an illos anual es.
ERMICH, RUTKOWSKI, BEDNARZ y FELIKSK (1976) han comparado
series de anillos de crecimiento anual para distintos
individuos de Pi cea sp. en el mismo sitio y distintos sitios
y encontraron que arboles creciendo en mejores sitios tenían
un crecimiento más regular que aquellos que crecían en
s i t i os ma1 os.
El grado de similaridad entre arboles creciendo en el
mismo sitio fue llamado "coeficiente de similitud" y puede
76
ser considerado como una medi
c i ón.
Este método puede ser útil
necesario comparar estaciones
a de la calidad de la esta-
en aquellos casos en que sea
olo en términos cualitativos.
77
3.4 Material
El material utilizado coresponde a parcelas de pro
ducción establecidas por el l.F.I.E. (Instituto Forestal
de Investigaciones y Experiencias) durante los años 1963-
1964 (actual I.N.I.A.) y se encuentran distribuidas en los
tres sistemas montañosos, Central, Ibérico y Pirenaico con
un total de 122 parcelas para Pino silvestre. De este
total se trabajó con 60 parcelas con las que quedan repre
sentadas todas las clases de edad. La distribución de
éstas por clase de edad es la siguiente (Tabla 1 ):
Tabla 1 : Distribución del número de parcelas por clase de edad
Edad (años)
N* parcelas
20-30 31-50 51-70 71-90 >90
10 16 19 9 6
Total 60
Dichas parcelas, en el año 1988, cuentan con cinco
inventarios, realizados cada cinco años.
Las mediciones utilizadas, obtenidas de los datos de
cada inventario fueron la altura dominante y la edad. Como
se comprueba en la Tabla 1, las edades a considerar son
mayores de 20 años, debido a que no existen parcelas más
jóvenes.
78
La base de datos es la misma para los tres métodos a
estud i ar.
Cabe considerar que a todas las parcelas se les ha
realizado el mismo tratamiento seivícola, consistente en
claras bajas y de intensidad moderada de tal forma que
el patrón de densidad es el mismo, tanto en el momento del
establecimiento de las parcelas como en el transcurso del
tiempo. Esto queda demostrado a través del índice de
Reineke de 1.380 en un DPR (Diámetro Promedio del Rodal)
de 20 cm para el conjunto de las parcelas objeto del
estudio (Figura 8 ).
4.00
3.80
3.60
3.40
S 3.20 o o o
3.00
2.80
2.60
2.40
a
Gl i v '
a
D
NDICE
V x
DE REINEKE
^ u »
•
Hi 4^
D
i g
R § v(-|
\ Na
0.80 0.90 1.00 1.10 1.20 1.30 1.40 1.50 1.60 1.70 LOG10<DMC)
Figura 8 : índice de Reineke para las parcelas de producción de Pino silvestre en España
79
La ecuación que describe dicha recta es:
log N = 5.240261 - 1.61405 1og D
en que N : número de árboles (N/ha) D : diámetro medio cuadrático (cm)
y presenta un R2 de 0.9099.
80
3.5 METODOLOGI A
Los métodos que se utilizarán para la modelizacion de
la calidad de la estación, corresponden a dos conceptos
que se han utilizado en la selvicultura. Estos conceptos
corresponden a las siguientes relaciones:
altura - diámetro
a I tura - edad
La primera está representada por el modelo determinís-
tico de MEYER (1940), que, de por sT, necesita una clasi
ficación previa de las calidades de estación.
Para la segunda relación, se seguirán dos métodos. El
primero de ellos corresponde al ampliamente utilizado de
BAILEY y CLUTTER (1974) que utiliza una ecuación determi-
nística que da origen a un sistema de ecuaciones polimór-
ficas. Por último, se emplea un modelo estocástico (GAR
CÍA, 1983) el cual solo ha sido utilizado en plantaciones
de pino radiata.
El número de clases de calidad es de cuatro para todos
los métodos y esto está basado en que PITA (1964) determi
nó cinco clases pero por falta de representativi dad esta
dística, se ha eliminado la clase V, quedando solo cuatro.
El número de clases podría disminuir o aumentar ya que
esto depende de la significación de las diferencias que se
produzcan entre clases bajo algún criterio específico
(volümen/ha, área basimétrica/ha, etc) por Jo que es posi
ble reformuIar este número de clases.
81
3.5.1 Modelo determinístico de MEYER
3.5.1.1 Planteamiento del modelo
Aunque la altura en relación con la edad, ha sido el
parámetro más utilizado en el cálculo del índice de sitio,
cabe señalar que el diámetro, el otro componente del
incremento del volumen, es considerado más sensible que el
crecimiento en altura a la variación de los efectos de
factores ambientales (KRAMER y KOZLOWSKl, 1960). Este
parámetro no ha sido muy usado debido a su dependencia de
la densidad del rodal, aunque estudios de productividad
con respecto a la densidad sugieren que esta productividad
por unidad de área, independientemente de la densidad,
tiende a converger en el tiempo. De acuerdo con esto y
asumiendo que las masas forestales se comportan de acuer
do a la ley de "productividad constante" (STOUT y SHUMWAY,
1962), para una selvicultura media y común a todas las
parcelas, la evolución de la altura dominante con el
diámetro es distinta para cada calidad y la influencia de
la densidad del rodal puede ser considerada como menor a
medida que la masa alcanza el final del turno.
La metodología empleada para establecer la relación
altura-diámetro se basa en la ley de "rendimientos decre
cientes" postulada por DAVID RICARDO (1772-1823) que fué
validada para cultivos agrícolas por JUSTUS V. LIEBIG
(1874-1956) y que establece que la productividad se apro
xima a un límite y que, por lo tanto, el incremento de
82
dicha productividad tiende a o. La ley del "efecto de los
factores limitantes" postulada por MITSCHERLICH (1940) es
una versión de la ley anterior, diseñada para aplicaciones
prácticas donde:
dY/dX = K (Ymáx - Y)
es decir, la respuesta (dY) de un factor limitante (dX) es
proporcional (K) a la diferencia entre los valores máximos
(Ymáx) y actuales (Y). En la medida en que Y se aproxima a
Ymáx (asíntota superior), la tasa decrecerá proporcional-
mente. A partir de la ecuación anterior, se obtiene que:
Ln (Ymáx - Y) = -KX + K1
Si X representa al tiempo, Y será una función de creci
miento pero al mismo tiempo, representa una formulación de
la hipótesis general de crecimiento por la cual el incre
mento es dependiente de la diferencia entre el tamaño
final y el actual.
En el caso de una masa forestal, debido a que el dosel
debe soportar un gran volumen de ramas y fuste en la etapa
de madurez, como H crece hasta un límite metabólico, se
puede esperar que a medida que el árbol se acerca a su
madurez, disminuye el crecimiento de la altura con respec
to al diámetro, hasta que dicho incrementó se aproxima a
O, lo que nos lleva a formular la ley de MITSCHERLICH
(1940) en los siguientes términos:
dH/dD = -b(S-H)
83
es decir, un incremento en el diámetro (D) supondrá un
incremento en altura (H) proporcional a su potencial rema
nente (PRODAN, 1968) el cual, a su vez, está determinado
por la calidad de la estación por lo que la relación
proporcional entre altura y diámetro es usada para estimar
la calidad de la estación de forma independiente de la
edad,
MEYER (1940) sugirió el siguiente modelo para un caso
forestal:
H0 = 1.3 + S(1-e"bD)
donde HQ = altura total D = diámetro a la altura del pecho S = coeficiente del sitio (asíntota superior) b = coeficiente propio de cada especie 1.3= corrección para la medición de la altura al DAP
3.5.1.2 Implementacion del modelo
Para la ejecución del modelo, las parcelas se
clasificaron, además de la edad, por clase de sitio, en
base a los estudios de PITA (1964). como se indicó
anteriormente, se consideraron solo las primeras cuatro
calidades por falta de representación estadística de la
ü11 ima el ase (V).
Los datos de D y HQ ele cada calidad de estación se
ajustaron según la ecuación de MEYER. El procedimiento de
ajuste de este modelo no lineal fue el siguiente:
1) Determinación de la altura máxima por calidad de
84
estación. Esta altura se usará como valor inicia» en los
cálculos de los parámetros b y S en la siguiente etapa.
2) Estimación de los parámetros b y S a través del
programa MLP (Maximun Likelihood Program).
3) Cálculo de la expresión (1 - e-t>D) la cual indica la
proporción (prop) de altura que puede ser alcanzada por
un árbol de diámetro específico D.
4) Cálculo de H que se realiza mediante la aplicación
directa de la fórmula completa de MEYER,
H = 1.3 + S(prop)
El único factor que varía es S que corresponde a la asín
tota en altura.
5) Por ultimo, para cada calidad, se representa gráfica
mente la correspondiente curva de calidad de estación.
Los ajustes se efectuaron para cada calidad de estación
(Sj) mediante el uso del programa MLP (Máximum Likelihood
Program) y los resultados de la estimación de los paráme
tros se indica en la Tabla 2 en la que además se indica
su correspondiente desviación estándar (Sx) .
85
Tabla 2 Parámetros para el ajuste de la ecuación de MEYER Y=1.3 + S(1-e-bD).
Calidad
I 1 1 1 i 1 IV
(1) S
45. 39. 31 . 26.
5 2 7 1
S x
2. 39 2.27 1 .89 3. 1 1
b
1 .86
S x
0. 21
*1> Calidad definida por PITA (1964) para Pino silvestre
Una vez obtenidos ambos parámetros, se calculó la
proporción (1-e~kD) que corresponde a la fracción de la
altura que puede ser alcanzada por un árbol de diámetro
específico. Dichas proporciones son las siguientes
(Tabla 3 ) .
Tabla 3 Proporción de crecimiento en diferentes diámetros
altura
DAP
(m)
0.05 0. 10 0. 15 0. 20 0. 25 0. 30 0. 35 0. 40
"• — - • • i
Proporc i ón -bD)
(1-e
8.88 16.97 24. 34 31 .06 37. 18 42. 76 47, 84 52. 47
A continuación y empleando la ecuación completa de
MEYER, se obtienen los datos necesarios de la altura
dominante en función del diámetro (Tabla 4 ) para
representar gráficamente las curvas correspondientes a
86
cada calidad de estación (Figura 9 ) .
Tabla 4 : Datos para la construcción de las curvas de la altura dominante en función del diámetro (DAP)
H (m) DAP
(m)
0.05 0. 10 0. 15 0. 20 0. 25 0. 30 0. 35 0.40
1 S
= 45. 5 1
5. 30 9.02
12. 37 15.43 18.21 20.67 23.06 25.09
1 1
S =39.2 2
4. 78 7. 95
10. 84 13. 47 15.87 18.06 20.05 21 .87
1 1 1
S =31.7 3
4.11 6.68 9.01 11.14 1 3.08 14.86 16. 46 17. 93
- • • • •
IV
S =26.1 4
3.61 5.95 7.65 9.40
1 1 .00 12.46 13. 78 14. 99
30.0 -i
20.0 -
o X
10.0
0,0 i i i i | i i i i | i i i i 1 i i i i | i i i i 1
10 20 30 40 50 DAP. (cm)
Fig. 9 : Curvas obtenidas para la relación
a partir de la ecuación de MEYER altura dominante-diámetro (DAP)
87
3.5.2 Modelo determinístico de BAILEY y CLUTTER
3.5.2.1 Planteamiento del modelo
3.5.2.1.1 Sistema anamórfico
La obtención del modelo se basa en la relación lineal
que existe entre el logaritmo de la altura dominante
(log H0) y la inversa de la edad (1/AC) (BAILEY y CLUTTER,
1974). Si los datos altura-edad están disponibles para m
sitios (parcelas), el sistema anamórfico resulta del a-
juste:
'og10(H0) = a¡+b(1/A)c i=1,...m
donde a¡ : parámetro específico al i-ésimo sitio b : parámetro de pendiente de la regresión c > 0
Este modelo generaría un sistema de curvas
proporcionales de índice de sitio con una tasa relativa de
crecimiento constante (dH/dA)/H a lo largo de todos los
sitios a una edad dada.
Si HQ corresponde a S¡ (indi ce de sitio), a la edad
base Afc, entonces:
log10 S¡ = aj + b/abc (2)
despejando aj, a la edad base, tenemos que:
a¡ = 1O910 si " b/ Ab c
reemplazando el valor de a¡ en (2), se obtiene:
*og10 H0 = log Si - b/Abc + b/Ac
88
IO910 H0 = loS si + bfA_c - A b_ c)
es decir:
H0 = S¡ 10b ÍA"C - Ab"
c)
lo que es una ecuación en términos de A, Ab y Sj. Mediante
la estimación de b y c, se puede determinar una curva
altura edad para alguna edad base y mediante la variación
de Sj, se establece el sistema de curvas anamórficas.
3.5.2.1.2 Sistema polimórfico
Para la obtención de un sistema polimórfico, en el cual
estamos interesados (no proporcional), reescribiremos:
log H = a + bj(1/A)c i = 1,2,...m (3)
donde bj : parámetro específico del sitio
Si partimos de la ecuación original, despejando bj de
(3) y siguiendo el mismo proceso de reemplazo que en el
caso del sistema anamórfico, tenemos que:
H0 = ioa(Sj/lOa) (Ab/A)c (4)
con lo que se obtiene un sistema de curvas polimórfi cas.
Si S < 10a y c > O, los límites son:
1im H = O y lim H = 10a
a — O a—* <»
89
El primer límite es deseable. El segundo indica que la
altura límite es la misma para todos los sitios. De este
modo, curvas provenientes de (4) con valores seleccionados
para S¡ a una edad base A&, comenzarán en el origen,
tienen tasas de incremento dependientes de los S\ y tien
de a una asíntota superior independiente de S¡.
El límite efectivo dependerá del instante de la vida
de la especie bajo estudio y por consiguiente, no será
constante a lo largo de todos,los valores de S¡. Si Aj
es la edad límite, el límite efectivo de la altura es:
H, = 10a(S¡/10a)(Ab/Al)c (5)
3.5.2.2 implementacion del modelo
Las etapas necesarias para obtener las curvas
correspondientes a cada clase de calidad de estación, son
I as s i gu i entes:
- Determinación de la altura dominante máxima, mínima y
su rango.
- Obtención de cuatro clases de calidad de estación y su
correspondiente valor clase.
- Obtención del parámetro c . Existen dos métodos para
obtener el valor de este parámetro:
i) mediante la fórmula:
90
EEÍX¡ j - Xj ) (Yj j) C= • — (6)
EE (X j j - X , ) 2
es decir, con el uso de los mínimos cuadrados cuando la
ecuación se resuelve por este método.
i i) mediante el uso de aproximaciones sucesivas. Según
ALDER (1980) este parámetro varía según la especie,
situándose la mayoría de los casos entre 0.2 y 2 y tomando
normalmente un valor igual a la unidad sin perjuicio de la
precisión obtenida. Se pueden "probar" diferentes valores
de c hasta aproximarse a aquel que de un mejor ajuste.
- Ajuste del modelo general
H r a efb/ A c)
para la obtención de a y b, mediante el programa MLP
(Máximum Likelihood Program) dejando al parámetro c como
constante.
- Cálculo de las alturas dominantes en función de la edad
en base al siguiente modelo
H = loa(S¡/1oa)(Ab/A)c
- Por último, para cada calidad se representan las alturas
dominantes versus la edad obteniéndose el sistema de
curvas.
Para desarrollar este método, se determina la altura
91
dominante correspondiente a cada clase de calidad, es
decir el Sj. Para ello se obtuvieron todos los valores
de las alturas dominantes correspondientes a las
parcelas de 50 años. Posteriormente se obtuvo el rango
de variación, luego se dividió en cuatro y se obtuvo la
clase y el valor medio correspondiente a cada clase de
calidad de estación. Dichos valores aproximados para
obtener diferencias entre ellos de 3.5 m , se dan en la
Tabla 5 .
Tabla 5 : Valores aproximados del índice de Sitio a la edad de 50 años
Cal i dad
l l 1 l l l IV
S i
21.18 17.68 14.18 10,68
S x
2.65 1 . 73 2.06 2.85
Luego, se calcula el valor de c, según el segundo
método explicado en 3.5.2.2, es decir, mediante
aproximaciones sucesivas. Dicho parámetro para un valor
igual a 0.85, prueba dar un mejor ajuste. A partir de los
valores de clase y del valor obtenido de c, se ajusta el
modelo general para obtener los valores de a y b
manteniendo constante c. Dicho modelo general es:
H = a e^/Ac
en que H : altura dominante (m) A : edad a.b : parámetros de la curva c : valor constante
92
con lo que se obtuvieron los siguientes valores de a y b
(Tabla 6 ).
Tabla 6 : Valores calculados de a y c.
Parámetro
a b
Val or
1 .52 9.85
S x
0.113 1.171
A partir de estos valores se procede a calcular las
alturas que corresponden a cada clase de calidad para cada
edad (Tabla 7 ) y que dan origen a las cuatro curvas de
calidad de estación (Figura 10 ), basado en la ecuación
particular siguiente:
H=10a(S¡/lOa) ÍAb/A)c
en que H A b A a, c
altura dominante (m) Edad base (años) edad (años) parámetros de la curva
Tabla 7 : Datos para la construcción de las curvas de la altura dominante en función de la edad.
Cal i dad
Edad
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
1 S =21.18 1
5. 74 12. 55 16.63 19.37 21.18 22. 54 23.68 24. 54 25. 21 25. 90
I I S =17.68 2
2.83 8. 48
12. 59 15.59 17. 68 19. 30 20. 68 21 . 75 22. 58 23. 45
i I I S =14.18 3
1 . 20 5.26 8.97 1 1 .96 14.18 15.96 17.52 18. 75 19. 73 20. 76
I V S =10.68 4
0. 40 2. 84 5. 78 8. 51 10. 68 12.51 14.17 15.51 16.60 1 7. 77
93
30.0 -i
20.0 -
o X
10.0
0 - 0 | i i i i | i i i i | i i i i | i i i i |
0 25 50 75 100 Edad (anos)
Figura 10 : Curvas obtenidas a partir de la ecuación de BAILEY Y CLUTTER, para la relación altura domi nante-edad.
3.5.3 Modelo estocástico de GARCÍA
3.5.3.1 Planteamiento del modelo
Este modelo se basa en la ecuación de Bertalanffy
Richards para describir el curso más probable del desarro
lio de la altura máxima de un rodal en función de la edad
Esta relación queda definida como:
94
dHc/dt = b(ac - Hc)
donde a,b,c : parámetros de la curva H : altura dominante
Como ha destacado HGTTELING (1927), aparte de los posi
bles errores de medición, los cuales pueden ser considera
dos como independientes, las desviaciones a partir de la
curva de crecimiento más probable, pueden ser las resul
tantes de efectos acumulativos de numerosas perturbacio
nes que operan por períodos breves, tales como sequía,
ataque de insectos, etc. También es sabido que las medi
ciones repetidas sobre un individuo o parcela de muestreo
están correlacionadas y que las desviaciones tienden a
incrementarse con el tiempo. Debido a estas apreciaciones
es natural intentar modelar el proceso a través de una
ecuación diferencial estocástica (SANDLAND y McGILCHRIST,
1979; GARClA,1979), a la cual se añadirá un "proceso de
Wiener" el cual representa los efectos de las fluctua
ciones ambientales. El modelo queda como sigue:
dHc(t) = b(ac - Hc(t)) + a(t)dw(t)
donde w representa al proceso de Wiener y a es una función
de la edad. Esencialmente, esto significa que la varia
ción o error en Hc acumulado sobre un corto intervalo de
tiempo está distribuido normalmente con media O y varianza
que crecerá con la longitud del intervalo y que los e-
rrores para intervalo de tiempo sin solape, son indepen
dientes (KARLIN, 1966). En la presente aplicación se a-
95
sumirá que o es una constante excepto posiblemente para
unos pocos años después de la plantación que es cuando se
puede esperar que ocurra una gran variación.
Algunos de los parámetros pueden ser fijos a valores
dados (f i Jos). condicionados a tener el mismo valor para
todas las parcelas (globales) o pueden ser libres de tomar
diferentes valores para las diferentes parcelas (locales).
También es posible tener relaciones entre los parámetros
básicos fijos o condicionados a un mismo valor, lo cual se
hace definiendo nuevos parámetros secundarios que están en
función de los parámetros originales.
3.5.3.2 Implementacion del modelo
La estimación de los parámetros se realiza por el
método de máxima verosimilitud. Dichas estimaciones son
los valores de los parámetros para los cuales la función
de verosimilitud encuentra un máximo para los datos dados.
La estimación en este caso, se calcula a través de la
minimización del log-negativo de la verosimilitud usando
el método modificado de Newton (GARCÍA, 1983). Esta
función tiene la forma general:
FÍ9) = EFK(ek,e0)
donde ek: vector de parámetros locales para la k-ésima parcela
QQ: vector de parámetros globales
Para el cálculo de los parámetros y, en definitiva,
96
obtención del modelo, se utilizó el programa HTMOD origi
nario de Nueva Zelanda, facilitado por su autor (GARCÍA,
1983) el cual ha probado su eficacia en aplicaciones en
dicho país sobre plantaciones de Pinus rad i ata D. Don.
Este programa está en lenguaje FORTRAN y fue
implementado para su uso en un PC compatible, está
estructurado en forma de subrutinas y calcula los
parámetros dados los vectores 6^ y QQ y definiendo el mo
delo a usar en una de las subrutinas.
A partir de los datos formados por pares altura
dominante-edad de cinco inventarios, y mediante el progra
ma HTMOD, se han calculado los parámetros básicos que se
necesitan para la construcción del modelo de crecimiento
de la altura en función de la edad (GARCÍA, 1983). Recor
demos que el modelo propuesto es:
dHc(t) = b(ac-Hc(t))+a(t)dw(t)
Específicamente para este modelo, se probó con la si
guiente estructura paramétrica:
a b c
<*o o to H 0
g1obal 1 ocal global 0.00 global 0.00 0.00
Los datos fueron tomados en conjunto, sin determinación
de calidades a priori y para obtener las cuatro curvas
correspondientes a las cuatro calidades, dado que el
97
parámetro b es local, es decir, varía de parcela en
parcela, se procedió a representar los valores de b prime
ro frente a la altura dominante de las parcelas que tenían
50 años, lo que proporcionó la siguiente distribución
(F i gura 11 )
b
0.18-
0.16-
0.14-
0.12-
0.10-
0.08-
0.06-
0.04-
0.02-
F i gura 11 :
Al comparar las parcelas según la clasificación de cali
dades de PITA (1964), se observa que presentan una agrupa
ción bastante lógica por clases de calidad.
Posteriormente, y para disminuir la variación de la
nube de puntos, se procedió a representar los valores de b
versus la altura dominante calculada a partir de la ecua-
98
.. i ./ s- —
"0 Valores de b frente a la altura dominante observada para todas las parcelas de producción.
ción obtenida.
Esta vez, al comparar con las clases de calidad de PITA
(1964) también se observa la misma agrupación pero con
una variación mínima debido a la obtención empírica de la
altura dominante. (Figura 12 ).
b
0.18-
0.16
0.14-
0.12-
0.10-
0.08-
0.06-
0.04-
0 .02 -
S N X ^
-r~ IO 15
— I -
2 0 - 1 — 2 2 H,
F i g u r a 12 Valores de b versus la altura dominante calculada para todas las parcelas de producción
Como se puede apreciar, existe un solape de calidades
que se produce por la continuidad de los valores de la
altura dominante entre clases y también se aprecia como
algunos valores se escapan a la lógica del conjunto, lo
que puede estar explicado por una errónea clasificación
prev i a.
99
El valor de b para cada clase se obtiene utilizando la
ecuac i ón:
b = -ln(1-(S/a)c)/(Ab) (7)
donde S : Tndi ce de siti o a,c: parámetros AD : edad base
que proviene de reemplazar H por S (el índice de sitio) y
la edad por la edad base y resolviendo para b (7) (GARCIA,
1988) dado el índice de sitio.
Los valores de S que se utilizan son los mismos que se
utilizan en el método de BAILEY y CLUTTER, es decir:
Si = 21.18
5 2 = 17.68
53 = 14.18
54 - 10.68
Dado que el valor de b es local, se obtiene uno para
cada parcela (bc) y, sólo a efectos de comparación, se cal
cula el valor promedio de este parámetro para las parcelas
clasificadas (bp) según PITA (1964) y se obtiene lo si-
gu i ente (Tabla 8 ):
100
Tabla 8 : Valores del parámetro b calculado según (5) (bc) y promedio para parcelas clasificadas según PITA (1964) (bp).
Cal i dad
l l l l 1 1 IV
b c
0. 147 0. 121 0.097 0.074
b O
0. 157 0. 129 0. 101 0.077
Estos resultados indican que el cálculo del parámetro
está dentro de los rangos esperados y, por lo tanto, el
ajuste es correcto.
Dada la estructura paramétrica establecida previamente,
el parámetro b, local, es el que determina cada curva de
calidad, en tanto que el resto de los parámetros determina
la forma de cada una de las curvas y son constantes para
las distintas calidades.
La ecuación final que genera las curvas , es la
s i gu i ente:
H = ai1-e~bt)1/c + 6
en que H : altura dominante (decámetros) t : tiempo (décadas) a,b,c : parámetros de la ecuación
Los valores que se obtienen para los parámetros a, b
promedio y c son los siguientes (Tabla 9 ).
101
Tabla 9 : Valores calculados de los parámetros y sus correspondientes desviaciones estándar
Parámetro
a b c o
-val or
4.02808 0.12705 0.75984 0.05232
S x
0.41866 0.02513 0.07124 0.00294
Por último, se obtienen los valores que darán origen a
las cuatro curvas en que los correspondientes valores de
altura dominante a los 50 años son 14.91 m, 12.45 m, 10.00
m y 7.51 m para las calidades I, II, III y IV
respectivamente (Tabla 10 ).
Tabla 10 : Datos para la construcción de las curvas de la altura dominante en función de la edad
Cal i dad Edad
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 b=0.147
2. 56 5.82 9.06 12.12 14.91 17. 43 19.68 21 .68 23.43 24.97
1 1 b=0.121
2.02 4. 65 7. 36 9. 98
12. 45 14. 75 16. 86 18. 78 20. 53 22. 10
1 1 1 b=0.097
1 . 53 3. 59 5. 75 7.91 10.00 12.00 13. 88 15.64 1 7. 29 18.81
IV brO.074
1 .09 2. 58 4. 21 5. 86 7. 51 9.13 10.69 12. 20 1 3.63 15.00
Cabe señalar que el objetivo de trabajar en décadas y
decámetros es que para los parámetros, se obtienen magni
tudes de valores más homogéneos y además, según GARCIA
102
(1988), se reduce la verosimilitud.
A continuación, se dibujan las cuatro curvas con los datos
de la Tabla 10 (Figura 13 ).
30.0 n
20.0 -
o
10.0 -
0.0 i i i i | i i i i | i i i
25 50 Edad (anos)
i | i i i i | i
75 100
Figura 13 : Curvas obtenidas a partir de una ecuación estocástica para modelar la relación altura edad ( : límites de la banda de verosimilitud determinadas por el proceso de Wiener).
103
3.6 Análisis y discusión de resultados
3.6.1 Análisis de los modelos
El análisis de los modelos se ha efectuado en base a
dos criterios: biológico y estadístico.
Con respecto al criterio biológico es necesario recor
dar la formulación original de los modelos.
El modelo sugerido por MEYER (1940) igual a:
Y = 1 .3 + s(1-e-DCl)
se basa en que dH/dD = -b(S-H)
donde S : asíntota en altura H : a I tura
es decir, un incremento en el diámetro ÍD) supondrá un
incremento en altura (H) proporcional a su potencial. Esto
quiere decir que existe una asíntota en el punto para el
cual se igualan los valores de S y H. A partir de ese
punto, los incrementos anuales en diámetro, no producen un
incremento en altura puesto que la especie ha alcanzado su
altura máxima biológica, lo cual se ve claramente cuando
se analiza una relación altura-edad y está implícito en el
caso de la variación de la altura en función del diámetro.
Al aplicar el modelo de MEYER a nuestros datos, éstos
ya presentan una agrupación previa por calidades de esta
ción, lo que significa que ya hay una distinta relación
altura-edad para cada calidad.
104
En términos generales, se puede deducir que se sobre-
valora la realidad, las asíntotas de la altura en función
del diámetro son altas, lo que lleva a que en la aplica
ción del modelo, éste no presente una gran disminución de
las tasas de crecimiento en altura, como cabría esperar ya
que los mayores diámetros observados corresponden a menos
de 40 cm. Es decir, cuando el árbol deja de crecer en
altura, sigue creciendo en diámetro, lo que es normal pero
la detención del crecimiento en altura se logra a edades
muy superiores al turno estudiado que según la región
ecológica puede variar de 100 a 120 años. Según la figura
de la relación del diámetro con la edad (Fig. 9), se
observa que éste no tiene tendencia asíntótica clara dentro
del rango de edades estudiadas. Quizá al incluir edades
superiores se clarifique este aspecto. Sin embargo, los
valores de las alturas obtenidas para cada calidad son muy
próximas a la realidad, cuando se trata de diámetros
superiores a los 60-65 cm. Estos valores del diámetro no
suelen alcanzarse con los turnos de corta que habitualmen-
te se aplican a la especie, lo cual nos indica que el
modelo puede ser aplicado sin riesgo de cometer errores
mayores que los cometidos con cualquier otro método.
En todo caso, la hipótesis general de crecimiento en
que se basa este modelo es que el incremento es dependien
te de la diferencia entre el tamaño final y el actual, y
si esta diferencia conlleva algún grado de incertidumbre
por lo que respecta a los tamaños finales, se recomienda
105
considerar este hecho en su aplicación.
Por su parte, el modelo de BAILEY y CLUTTER (1973) se
basa en la relación lineal que existe entre el logaritmo
de la altura y la inversa de la edad. Esta relación ha
sido validada para diversas especies forestales y a partir
de ella es posible obtener una ecuación que prediga la
evolución de la altura en función de la edad y el índice
de sitio. Las alturas que se obtienen por este modelo
tienden a ser subvaloradas a medida que se acerca al final
del turno y a medida que la clase de calidad de estación
es superior (recordemos que la clase I es la más alta).
El valor del parámetro c, corresponde a un valor típico
para la especie. Para P i ñus rad i ata se ha obtenido valores
de 0.52 (BAILEY y CLUTTER, 1974) y para Pi ñus pi naster de
0.7 (CARVALHO, 1982). En nuestro caso para P i ñus sy1 ves-
tris, se obtiene un valor de 0.85. Esto estaría indicando
la alta relación que existe entre este valor y el turno de
la especie estudiada. Con respecto a las asíntotas, se
puede observar en la Figura 10 que pese a no alcanzarlas
dentro del turno, muestra una buena tendencia de dismi
nución del ritmo de crecimiento en altura, llegando a un
achatamiento en esta variable.
Pasando a la ecuación de GARCÍA (1983), ésta viene
conformada por dos componentes, el deterministico y el
estocástico. El deterministico está basado en el modelo de
von Bertalanffy el cual, según RICHARDS (1969) satisface
106
la ecuación del tipo:
dhc/dt = f[H(t)} (9)
La parte izquierda representa la tasa relativa de cre
cimiento y es de fundamental importancia biológica, pero
el crecimiento no sólo puede estar representado por una
ecuación determinística debido a su relación con el am
biente y la aleatoridad de éste. Es por eso que resulta
interesante la incorporación del ruido ambiental. Para
lograr esto, es posible reformular el modelo (9) en una
ecuación diferencial estocástica en que:
dHc/dt = f[H(t), a, €(t)]
donde a : vector de parámetros €ít) : proceso aleatorio
Es decir, el ruido representa una perturbación ambien
tal operando en el tiempo continuo. Escencialmente, esto
significa que el error en la altura calculada sobre un
corto intervalo de tiempo está distribuida normalmente con
media O y varianza que crece con el tiempo, y que los
errores para intervalos de tiempo sin solape, son indepen-
d i entes.
Un supuesto básico del modelo de GARCÍA es que las
perturbaciones ambientales ocurren en la etapa inmediata
mente después de ocurrida la plantación y normalmente
antes de la primera intervención, por lo que para edades
superiores, se asume que es constante.
107
GARCÍA añade un término estocástico conocido como "pro
ceso de Wiener" que es una función representando al ruido,
pero dado que en nuestros datos, no nay antecedentes de
edades inferiores a los 20 años,este termino representa
una constante.
Por otra parte, en el modelo, se asume independencia
estadística entre las parcelas de muestreo, lo cual, en
nuestro caso, no es completamente cierto debido a que, se
gún se comentó anteriormente, las parcelas están
distribuidas por grupos de tal manera que hay ciertas
condiciones ambientales que están afectando a estos grupos
de la misma forma, por lo que la independencia entre todas
las parcelas no ocurre.
Con respecto a los valores de los parámetros, se
obtienen desviaciones relativamente pequeñas, menores al
10X de su valor, lo cual es uno de los indicadores de que
el modelo está bien ajustado.
3.6.2 Comparación de modelos.
La comparación de los modelos se ha hecho en base al
análisis de sus residos y se hará para los modelos que
describen la relación altura-edad puesto que son
comparables por dos causas; se utilizan las mismas
variables y para ambos casos, se analizarán las curvas
guías, inexistente en el caso de la relación altura-diáme
tro debido a la agrupación previa de sus datos. El aná-
108
lisis gráfico consiste en representar los residuos defini
dos como:
e = valor observado - valor calculado
Este residuo e se ha normalizado con el objetivo de
reducir la escala de los valores.
Es importante recordar las siguientes propiedades de
los residuos:
i) La media de Jos let) es O
e = 1/n Ee ¿ = 0
i i) La varianza es definida como:
S2 = 1/(n-(k+1)) E ej 2
La normalización de los residuos se realiza
dividiendo cada e¡ por S (e¿/S).
ti i) Los íe¡] no son variables aleatorias independientes,
lo que queda claro a partir del hecho de que Ee¡ = O y
E(e¡) = N(0,a2).
El análisis gráfico tiene el objetivo de observar si
existen o no patrones de distribución de los residuos. Los
patrones típicos que indican alguna anomalía son los
siguientes (Figura 14 ):
109
e¡/8 e,/S| e,/s
Figura 14 a,b,c : Patrones de distribución de los residuos que presentan alguna anomalía.
En el primer caso (Fig. 14a) este patrón está indicando
la necesidad de un término cuadrático o multiplicativo en
el modelo. En la Fig 14b, se requiere una transformación
de los datos. Por último, en la Fig 14c, hay una necesidad
de incluir al tiempo en el modelo o un término
independiente. En general, esto da una visión bastante
aceptable de como funciona el modelo y el óptimo ocurre
cuando los residuos no tienen ningún patrón de distribu
ción, lo que queda representado en la Figura 15. Esto
indica un óptimo en el ajuste de un modelo.
no
2.00 q
1.00 -
0.00 en o O-1.00-co Lü ^ -2.00
-3.00 -i
-4.00
•*.'. * * : •.
• -. • *«' r. * * . •
• • •• * ' . . • • . •' - K 1 . . . •
*• • • •
I 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0.00 20.00 40.00 60.00 80.00 100.00 120.00
EDAD
Figura 15 : Residuos sin patrón de distribución.
A continuación, se observa como se distribuyen
residuos para nuestros modelos de altura en función de
edad.
e¡ /s
Figura 16 : Residuos estandarizados del modelo de BAl y CLUTTER
111
2.00 -q
1.00 •:
0.00 -
Lí) -O : Z> :
Q - 1 . 0 0 ^
(/) : Lü :
^ -2.00 \
-3.00 -j
" 4 - - 0 0 I I I I I I I I I I I I I I I 1 I I I I I I I I I I I I I I | I I I I I I I I I | ! I I I I I I I I I I I I I I I I I I I 0.00 20.00 40.00 60.00 80.00 100.00 120.00
EDAD
Figura 17 : Residuos estandarizados del modelo de GARCÍA.
Como se puede apreciar, del análisis gráfico se des
prende que en el caso del modelo de BAILEY y CLUTTER, los
residuos tienden a adoptar un patrón similar a un "cometa".
Esta forma está indicando que hay algún grado de correla
ción entre los residuos, es decir, no hay una distribución
uniforme de ellos. Por otra parte, se tiene que una mayor
proporción de estos residuos se distribuye por debajo del
O, es decir, el modelo tiende a sobrevalorar la realidad.
En el modelo de GARCÍA, además de presentar también un
grado de correlación entre los residuos y la edad, por una
parte se observa que los residuos tienden a centrarse más
en el O y por otra que los valores de edades superiores
tienden a tirar el "cometa" hacia abajo, es decir, en va
lor absoluto estos residuos son mayores.
'-: -."o.\ •/
112
Después de este análisis visual de los residuos, se
procederá al análisis estadístico, utilizando el estadís
tico de DURBIN-WATSON, el cual facilita información acer
ca del tipo de correlación serial que existe entre los
residuos y la edad.
La prueba de DURBIN-WATSON (DRAPER y SMITH, 1981; ABRA-
HAM y LEDOLTER, 1983) se basa en que los errores son
independientes con N(0,o2) de tal manera de que existe una
correlac ion ser i al d = 0. Por lo tanto, la hipótesis nula de
trabajo es :
H0:d = O
Para probar esta hipótesis, después de ajustado el
modelo de la evolución de la altura en función de la edad,
se calculan los residuos, denotándolos como e^ , e¡>, . . .
en. A partir de esto se forma el estadístico D:
D = E (e n - en-¡)2/Len
El valor calculado D, se compara con los valores d j j y
d] obtenidos de la tabla de DURBIN-WATSON.
Antes de nombrar las reglas de decisión, es preciso
comentar algo acerca del estadístico. Así como el
coeficiente de correlación de Pearson varía entre -1 y 1,
este estadístico varía entre O y 4. Un valor de O a 2
indica correlación positiva y un valor entre 2 y 4 indica
correlación negativa.
113
La comparación se hace probando dos valores críticos.
El estadístico D es usado sólo para la prueba de la
porción inferior contra la alternativa de d>0. Para probar
la alternativa contraria de d<0, se necesita un test para
la porción superior. Esto se hace utilizando el
estadístico complementario (4-D) en vez de D.
Considerando que d¡j es el valor de la prueba en su
respectiva tabla los procedimientos de prueba son los
s i gu i entes:
- Para probar que HQ:Ó=0 contra Hj:d>0 (autocorreIacion
pos i t i va)
Si D>djj 0 no es significativa al nivel a; no
se rechaza HQ
D<dj D es significativa; se rechaza Ho
en favor de Hj
d]<4-D<d¡j El test es inconcluyente
-Para probar que HQ'.Ó = 0 contra H^:d<0 (autocorrel ac ion
negat i va)
Si 4-D>djj D no es significativa al nivel a; no
se rechaza HQ
4-D<dj D es significativa; se rechaza HQ en
favor de Hj
dj<4-D<djj El test es inconcluyente
114
-Para probar que H<>:d = o contra Hj:d*0
Si D>djj y 4-D>djj D no es significativa a 2a; no
se rechaza H Q
D<dj 6 4-D>dj D es significativa; se rechaza
HQ en favor de Hj
Cualquier otra relación indica que el test es
i nconcluyente.
Los resultados de la prueba de DURBIN-WATSON son los
siguientes (Tabla 11 ):
Tabla 11 : Valores calculados del estadístico D y 4-D para valores residuales de los modelos de BAILEY y CLUTTER y GARCÍA
Estadístico BAILEY y CLUTTER GARCÍA
D 0,0711 0.0820 4-D 3.9288 3.9117
Los valores tabulados para n=249 y a=0.05 son los
s i gu i entes:
dj = 1.65
djj = 1.69
Siguiendo los procedimientos de prueba, obtenemos lo
siguiente (Tabla 12 );
115
Tabla 12 : Aplicación de los procedimientos de prueba a los modelos de BAILEY y CLUTTER y GARCÍA
H0:d=0 y
d > d u
d<d, d i < D < d j j
H0:d=0 y
4-D>dj j 4-D<d] d,<4-D<d¡j
H0:d=0 y
D>djj y 4-D<d] ó 4-
Hi:d>0
Hi:d<0
í
Hi:d*0
D > d u
D>dj
BAILEY y
NO S! NO
SI NO NO
NO SI
CLUTTER
Si
GARCÍA
i gn i f i cae ion
NO SI NO
SI NO NO
NO SI
De lo anterior se puede deducir que en ambos casos
existe cierta correlación serial entre los residuos y la
edad, lo que en cierta medida es lógico pues a medida que
la edad es mayor, las magnitudes de la edad son mayores,
por lo tanto sus residuos también lo son.
En el primer caso, en que se prueba que H<>:d = 0 contra
Hj:d>0, se obtiene que D no es significativa al nivel de
oc=0.05, es decir, se rechaza HQ en favor de Hj , lo que
indica una autocorrelacion positiva.
En el segundo caso, en que se prueba que H Q : 3 = 0 contra
H^:d<o, se obtiene que D no es significativa al nivel de
a=0.05, es decir, no se rechaza HQ lo que indica que no
hay autocorrelacion negativa.
116
Por último, se prueba HQ:Ó=0 contra Hi:d=0, y se obtie
ne que D es significativa, es decir, se rechaza HQ en
favor de H^, lo cual es una comprobación de que existe un
grado de correlación serial.
Esta correlación, al estar presente de la misma forma
en los dos modelos, tendría su explicación en la base de
datos utilizada que es la misma para los dos modelos, o en
que el modelo no es completamente correcta. Por una parte,
es sabido que las mediciones repetidas sobre un individuo
o parcela de muestreo, están correlacionadas y que las
desviaciones tienden a incrementarse con el tiempo (SULLl-
VAN y CLUTTER, 1972; SULLI VAN y REYNOLDS, 1976; FERGUSON y
LEECH, 1978; SANDLAND y McGILCHRIST, 1979). Por Otra parte
está el hecho ya comentado de la distribución de las áreas
geográficas. Su agrupación está reflejándose, en cierta
medida, en que por grupos a nivel general, están siendo
sometidas a las mismas condiciones ambientales aunque
luego, por la presencia de microhábitats, estas parcelas
presentan distintas alturas dominantes para una misma
edad.
Por último, con respecto a la validación del modelo, es
necesario aclarar dos aspectos. Por una parte, es difícil
comprobar, en el momento de aplicar el método, si éste
está bien construido o no debido a que no hay un punto
fiable de comparación, por lo tanto sólo se sabrá la
bondad del ajuste cuando transcurra el tiempo y se pueda
establecer la correcta evolución de la altura en el
117
tiempo, para las distintas calidades que se hayan
establecido. Por otra parte, el hecho de tener un cierto
número de calidades de estación, hecho quizá arbitrario
que se basa más bien en las necesidades del silvicultor o
productor, que, por lo tanto, no tiene una base estadísti
ca. Es decir, si nos atenemos al concepto de estratifica
ción, se podrían tener demasiadas calidades que si bien,
disminuirían la varianza dentro del estrato, harían
impracticable al método. Por lo tanto hay que llegar a
un equilibrio entre las necesidades del usuario y esta es-
trat i f i cae ion.
Quizás la única forma viable de validación es estudiar
la evolución de la altura en árboles sometidos a análisis
de tronco, en relación al diámetro o a la altura, según
sea el caso.
Esto es lo que se hizo utilizando árboles dominantes
pertenecientes a parcelas del programa de claras del
I.N.I.A, localizadas en el Sistema Central e ibérico y
sometidas a una selvicultura regular, es decir, claras
bajas y de intensidad moderada. Las localidades
corresponden a Duruelo (SOI), Covaleda (S02), El Espinar
(SG1) y Navafría (SG2). Se analizaron dos árboles por
parcela.
En el método de MEYER (Figura 18 a.b.c.d) se observa
que la evolución de las curvas ajustadas no tiende a la a-
síntota de forma clara, en tanto que los árboles indivi-
118
duales sí lo hacen. Además se produce una subevaluacion de
la altura debido, quizás, a que Jos árboles elegidos para
el análisis son dominantes y sus variables de estado
tienen mayores dimensiones que los valores de un promedio
de 100 árboles (en el caso de la altura dominante) o de un
diámetro promedio de la parcela contra un diámetro del
árbol seleccionado entre los más dominantes de una parcela
En todo caso, está claro que el ajuste es deficiente en el
sentido de sus asíntotas y debería mejorarse en dicho as
pecto.
En el caso del método de BAILEY y CLUTTER, ocurre lo
contrario con respecto a las asíntotas. Analizando los
árboles individuales, pareciera que, hasta las edades
estudiadas, no dejan de crecer en altura, siendo su
representación gráfica (Figura 19 a.b.c.d) más parecida
a una recta que a una sigmoidea, lo cual queda bastante
claro en el caso de SC-2 (Covaleda) en el que, en la prác
tica existe información hasta los 92 años, en tanto que
el modelo indica que las tasas de incremento tienden a
decrecer con el tiempo.
Por otra parte, el modelo de GARCÍA, que muestra
deficiencias en la primera etapa de crecimiento, se
comporta más cercano a la realidad a partir de aproximada
mente los 25 años, quizás debido a la nula información de
parcelas menores de 20 años (Fig. 20 a.b.c.d).
Debido a que tanto el análisis de los residuos como
120
las otras pruebas estadísticas no son concluyentes, en
base a estas validaciones se podría deducir que el método
más apropiado es el de GARCÍA y que su deficiencia se
puede subsanar completando la información con las edades
que faltan.
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146
4.- DISTRIBUCIONES DIAMETRI CAS
4.1 Introducción
La estructura de un rodal ofrece una valiosa informa
ción tanto a los encargados del manejo forestal como a los
productores de madera y sus derivados y da respuesta a nu
merosas preguntas tales como ¿nabrá beneficios en la clara
que se hará?, ¿cuanto volumen comercial se puede obtener
en el momento de la corta final?, etc. para lo cual el
diámetro medio proporciona escasa o nula información.
En general, los aspectos que pueden ser solucionados
mediante el conocimiento de la estructura de un rodal,
pueden ser los siguientes:
a) Caracterización de un rodal: esto se puede hacer de
forma gráfica o matemática. De forma gráfica consiste en
la representación de la frecuencia diamétrica. De forma
matemática consiste en la representación mediante una
función de distribución la cual está caracterizada por sus
parámetros. Luego,estos parámetros pueden relacionarse con
características tales como la edad, índice de sitio y el
número de árboles o área basimétrica por hectárea lo cual,
permitirá caracterizar un rodal según los parámetros que
se obtengan.
b) Proyección de la productividad: esto es esencial para
la correcta solución de una extensa serie de problemas
asociados con el manejo efectivo de una empresa forestal
147
de producción integrada. La determinación de los valores
de los materiales, costos de cosecha, combinación de pro
ductos y planificación del manejo forestal son actividades
que resaltan la importancia de los pronósticos de la dis
tribución de productividades. Estos modelos de distri
bución diamétrica han sido ampliamente usados para prede
cir la productividad especialmente de plantaciones no a-
claradas, desde su uso extensivo que comenzó con CLU-
TTER y BENNETT (1965). La distribución diamétrica da a
los gestores la capacidad de repartir la productividad a
clases arbitrarias de tamaño (STRUB, FEDUCC1A y BALDWIN,
1980).
c) Proyectar decisiones de manejo: la información de
distribuciones ha sido útil para analizar la productividad
por clase diamétrica identificando estrategias selvícolas
y proyectando el impacto de decisiones de manejo con
respecto al turno de la especie (DEPTA, 1974; STIFF, 1979).
d) inventarios forestales: las distribuciones también
pueden jugar un papel en el desarrollo de métodos para la
actualización de inventarios forestales sin un mayor
trabajo de campo (MacLEAN, 1981). Sistemas de inventarios
para rodales, los cuales se basan en datos de distribución
diamétrica, pueden hacer uso de modelos de distribución,
que requieren estadísticas del rodal de inventarios
previos, fotografía aérea o mediciones de campo (LITTLE,
1983).
148
Por último cabe señalar la importancia del conocimiento
de la estructura de un rodal como parte de un modelo de
crecimiento en el cual pueden estar integrados todos los
aspectos mencionados anteriormente.
14 9
4.2 Objetivos
El objetivo básico consiste en el ajuste de una función
de crecimiento la cual debe expresar, a través de sus
parámetros, la distribución de los diámetros de 45
parcelas con tres inventarios cada una, sometidas a
distintos regímenes selvi culturales. Para ello, primero se
ajustan seis funciones para elegir la mejor. Luego se
sigue trabajando con los parámetros de dicha distribución,
en el sentido de estratificación de la información y pos
terior "recuperación" de los parámetros a través de
variables de estado de cada parcela.
Los parámetros se expresan como ecuaciones de regresión
con éstos como variable dependiente y las variables de
estado como independientes. Para ésto, se utilizan varios
métodos y criterios para la selección de la mejor ecuación
en cada caso.
Mediante el uso de las ecuaciones obtenidas. se pueden
establecer los valores de los parámetros para cierta
parcela, con lo cual se obtiene su tabla de rodal.
150
4.3 Revisión bibliográfica
4.3.1 Distribuciones diamétricas
Una distribución diamétrica corresponde a una tabla del
rodal, es decir, al número de árboles por clase diamétrica,
representados bien como una tabla, gráficamente mediante
un histograma, o bien como una función de distribución
definida por sus parámetros.
Este método caracteriza al crecimiento y volumen por
clase o agrupación de clases diamétricas (MEYER, 1952).
En 1898, DE LlOCOURT construyó un modelo basado en la
progresión geométrica para estas distribuciones, a partir
de rodales coetáneos (MEYER y STEVENSON, 1943). MEYER y
STEVENSON aplicaron este modelo general, la distribución
exponencial, a bosques mixtos en Pennsy1 van i a. MEYER
(1952) y posteriormente SCHMELZ y LINDSEY (1965) también
encontraron satisfactorio este modelo. Por último podemos
decir que LEAK (1965) da un completo tratamiento de su
aplicación a la curva J-invertida de distribución diamé
trica de masas irregulares.
La utilidad de las tablas de rodal en dendrometría fo
restal indicando el número de árboles por hectárea por cla
se diamétrica en condiciones de densidad completa de un ro
dal regular,ha sido enfatizada por CHAPMAN y MEYER (1949).
Con estas y sus correspondientes tablas de volumen, se
puede calcular la distribución del volumen y su proporción
por clase diamétrica.
151
La mayor contribución a la predicción de la productivi
dad estructural en rodales coetáneos fue hecha por CLUTTER
y BENNETT (1965). Posteriormente, se ha seguido trabajando
en este tema en el sentido de establecer la viabilidad de
los métodos de distribución diamétrica para la predicción
de la productividad y estructura del rodal coetáneo (McGEE
y DELLA BIANCA, 1971; BENNETT y CLUTTER, 1968; BURKHART,
1971; LENHART y CLUTTER, 1971; BAILEY y DELL, 1973;
BURKHART y STRUB, 1974; SMALLEY y BAILEY, 1974; LOHREY y
BAILEY, 1976; CLUTTER y BELCHER, 1978; DELL et al. .1979;
FEDUCCIA et al., 1979; etc.
Existen numerosas hipótesis acerca de la naturaleza de
la variación no explicada en el crecimiento de una especie
forestal. No cabe duda de que un porcentaje de la
variación puede ser atribuida a errores de medición,
aunque esto ha sido minimizado para especies de creci
miento rápido mediante cuidadosas mediciones con el tiem
po suficiente entre ellas como para permitir discernir
cambios en las características medidas. Otro factor que
puede contribuir a la variación no explicada es atribuible
a imperfecciones en los índices usados para describir la
calidad del sitio y existencias. La variabilidad genética,
agrupación y distribución diamétrica son otras
posibilidades que podrían explicar las variaciones en el
crecimiento (NELSON, 1964).
La productividad por unidad de área se puede predecir
aplicando un procedimiento en cuatro etapas de análisis de
152
distribuciones diamétricas. Las cuatro etapas son:
1) Estimación del número de árboles por unidad de área en
cada clase diamétrica.
2) Predicción de la altura total media para árboles de un
diámetro dado.
3) Cálculo del volumen por clase diamétrica usando el
punto medio de cada intervalo de clase diamétrica.
4) Suma de los volúmenes por clase diamétrica para
obtener una estimación del volumen por unidad de área.
Dado que el uso del punto medio o valor de la clase
diamétrica para predecir la altura media y luego el
volumen medio por clase diamétrica presenta dificultades
puesto que el valor de la clase no corresponde a la media
verdadera para la clase, se han desarrollado métodos para
que los intervalos puedan ser determinados de forma libre
(STRUB y BURKHART, 1975).
Algunos trabajos sobre los sistemas de corta selectiva
destacan la importancia de crear una distribución especí
fica de diámetro o estructura de rodal al término de
cada ciclo de corta (FARRAR, 1980; HANN y BARE, 1979;
MARQUIS, 1978; SMITH, 1980).
LEAK y GOTTSACKER (1985) identifican tres objetivos en
los sistemas selectivos de corta:
153
i) Cortar árboles maduros y de alto riesgo.
i i) Crear espacio para el establecimiento y desarrollo de
la regeneración.
i i i) Concentrar el crecimiento en los mejores individuos
mientras se mantiene un adecuado volumen de madera
a lo largo de un rango de clases diamétricas.
Controlando la estructura del rodal se obtiene un
enfoque sistemático que satisface los tres objetivos por
la ubicación del espacio de crecimiento entre la
regeneración y los árboles residuales en diferentes edades
o clases de crecimiento (NYLAND y MARQUIS, 1979).
El uso de modelos de crecimiento en conjunto con
técnicas de optimización matemática ha demostrado que las
distribuciones diamétricas para rodales regulares pueden
variar con los objetivos del manejo. ADAMS y EK (1974)
encuentran que las distribuciones diamétricas que
maximizan los valores de crecimiento sobre ciclos de corta
de cinco años difieren sustanci almente dependiendo de los
valores asignados a los árboles de diferentes clases
diamétricas (HANSEN y NYLAND, 1987).
Otros factores que influyen en la elección de una
distribución diamétrica, considerados por MARTIN (1982)
son Ja calidad del sitio, longitud del ciclo de corta
(turno) y la tasa alternativa de retorno.
154
La mayoría de los estudios se han concentrado en la
explicación de estructuras de rodales por medio de una
función matemática. Los ejemplos incluyen ajustes a series
de Gram-CharIier (MEYER, 1930), curvas Pearsonianas
(SCHNUR, 1934), log-normal (BLISS y REINKER, 1964), gamma
(NELSON, 1964), normal (GINGRICH, 1967), WeiDUI I (BAILEY y
DELL, 1973), Sb de Johnson (HAFLEY y SCHREUDER, 1977),beta
(RUSTAGI, 1978; VALIAHO y VUOKILA, 1973) y numerosas
variaciones sobre estas distribuciones. En todos estos
trabajos se tomó como base los datos de las tablas de rodal,
pero sólo en los casos de CLUTTER y BENNETT (1965), McGEE
y DELLA BIANCA (1967),LENHART y CLUTTER (1971,1973) y CAM
POS (1981) crearon tablas de rodal a partir de variables
conocidas de rodal usando alguna función de distribución,
lo que es conocido como recuperación de parámetros. Esto
consiste en establecer ecuaciones de regresión con el
parámetro como variable dependiente y las variables del
rodal como independientes; en cierta medida el camino in
verso a lo anterior.
Con respecto a los rodales irregulares, el uso de las
distribuciones diamétricas es escenci aImente el de regular
la productividad (ROACH, 1974). Asi como una distribución
predeterminada puede ser creada en sucesivos ciclos de
corta, la productividad puede permanecer constante (HANSEN
y NYLAND, 1987). Esto requiere que sólo los árboles que
sobrepasan al numero deseado son cortados cada vez. ADAMS
y EK (1974) definen tales distribuciones como
155
viables. LEAK y FILIP (1975) establecen que la repre
sentación gráfica de tal distribución se aproxima a una
J-invertida representando el número decreciente de árboles
asociado con los diámetros progresivamente mayores. Estos
autores también especulan con que la forma de la distri
bución podría variar dependiendo de las tasas de regenera
ción, mortalidad y corta.
4.3.2 Irregularidades en las funciones de distribución
Algunos de los problemas encontrados en el uso de las
distribuciones diamótricas se refieren a dos aspectos:
a) Pronóstico del diámetro en árboles grandes cuando se
han utilizado pocos datos de estos árboles para calibrar
el modelo.
b) Las distribuciones diamótricas en rodales clareados y
mixtos tienden a ser irregulares y por lo tanto deben ser
representados en forma multimodal.
A continuación se desarrollan estos dos puntos por ser
de gran importancia.
4.3.2.1 Pronóstico de diámetros mayores
Utilizar los modelos de crecimiento para extrapolar
fuera de los límites conlleva un considerable riesgo. En
manejo forestal y planificación tales extrapolaciones son
corrientes cuando se carece de otra fuente de información
156
disponible. La función de distribución elegida puede ser
modificada con información acerca del máximo tamaño de los
árboles para asegurar, por una parte, estimaciones
realistas del crecimiento para arboles mayores y, por otra,
incremento del crecimiento acumulativo para algún árbol
que no exceda un tamaño total biológicamente posible.
Algunos modelos de crecimiento basados en árboles
individuales ilustran ciertos problemas encontrados cuando
en el momento de pronosticar el diámetro del árbol no
había un grado de confianza aceptable por no existir
información suficiente de árboles de grandes dimensiones.
El modelo de crecimiento de WEST (1981) proyectó diámetros
de excesivo tamaño. Estipulando que el crecimiento en
diámetro predicho no fuera mayor que 2 cm por año, WEST
redujo pero no eliminó el problema de los diámetros
excesivos y cita la necesidad de investigar más sobre este
problema. En el caso del modelo de MAWSON (1982) aunque
éste se comporta bien dentro del rango de diámetros
representados en sus datos, predijo como monótonamente de
creciente al diámetro de los árboles mayores de 100 cm de
d i ámetro.
Por su parte, reconociendo los límites del tamaño
máximo del árbol, HANN y LEARY (1979) establecieron que el
crecimiento predicho debe ser cero cuando el árbol alcanza
el tamaño máximo registrado para su especie. Si los datos
disponibles no se ajustan apropiadamente al modelo, HANN y
LEARY usan estimaciones del diámetro máximo para elaborar
157
un número suficiente de datos de árboles grandes para
forzar las restricciones. Estos autores dan información de
los efectos de sus restricciones sobre el ajuste del mo
delo resultante a los datos originales (SHIFLEY y BRAND,
1984).
4.3.2.2 Distribuciones multimodales
Las distribuciones diamétricas en rodales forestales
nan sido modelizadas por diferentes funciones de densidad
de probabilidad, las cuales pueden describir bien las
distribuciones unimodales pero pueden ser inadecuadas para
situaciones con gran irregularidad, es decir, multimodales
En este caso, se requiere un enfoque más flexible, que
puede hacerse mediante la unión de segmentos de funciones
los cuales serán uniformes y unidos en los puntos per-
cent i 1 es.
Supongamos que X es una variable aleatoria continua
definida sobre el intervalo (Xmin, Xmax). Consideremos n
puntos
x < x¿<. ..<xn
donde Xj: Xmi n xn: Xmax
Los Xj-ésimos estarán referidos a los puntos de unión o
percentiles. Las probabilidades acumulativas (Pj) corres
pondientes a los X; están dadas por:
158
Pj = Pr(X<xj), j = 1 ,2...n
donde Pr = probabilidad
Si Pi=0 y pn=l, se puede definir una función
acumulativa como:
O Fi íx) F2(x)
F(X)= Fj(x) i
i
Fn-l<X) 1
F(X) debe satisfacer las siguientes condiciones:
1) Fj(x) debe ser monotónica no decreciente
2) Fj(x) debe ser continua
3) Fj(x) debe ser continua en los puntos de unión, es
dec i r:
FjfXj+1) = FJ+1(XJ+1) = PJ+1, j=l,2 n-1
4) fj(x), la derivada de Fj(x) con respecto a X debe ser
continua en los puntos de unión, es decir:
fj(XJ+1) = fj+i(Xj+1). J=l,2,...n-1
Las condiciones 1), 2) y 3) aseguran que F(X) es una
función acumulativa continua. La condición 4) requiere que
xí X\ xj < x<x¿ Xgí X<X3
Xj<X<X J + i
xn.1<x<xn
xn<x
159
F(X) sea uniforme y su correspondiente f(X) continua en
los puntos de unión.
La representación gráfica de una función acumulativa
segmentada y su correspondiente función de densidad de
probabilidad se muestra en la Figura 21.
Variable X 2 *3 A 4
Variable X
Figura 21 : Representación gráfica de una función de distribución segmentada y su correspondiente función de densidad de probabilidad.
La función acumulativa de probabilidad segmentada fue
usada en un modelo de productividad para plantaciones
clareadas de Pinus taeda para demostrar la utilidad de
esta nueva técnica, (CAO, 1981). El modelo consiste en dos
etapas. En la primera, fueron predichos los atributos a
nivel de rodal utilizando técnicas de regresión. La
segunda etapa consistió en determinar los parámetros de la
función de distribución acumulativa segmentada de forma
que la distribución diamétrica resultante pudiese propor
cionar estimaciones de área basimétrica y del diámetro me-
160
dio compatibles con aquellas predichas a partir de las
ecuaciones de regresión en la primera etapa. Uniendo estas
dos partes la información por clase de tamaño de la dis
tribución producida está condicionada a conseguir valores
agregados que son consistentes con los atributos del
rodal predichos.
En la siguiente figura se aprecia como mejora la
precisión desde una función no segmentada a una segmentada.
Figura 22 : a) función ajustada de distribución no segmentada b) función ajustada de distribución segmentada
4.3.3 Uso del área basimctrica en lugar del diámetro
Prácticamente todas las investigaciones en estructura
del rodal nan estado basadas en frecuencias por clase
diamctrica. La excepción a ésto son los trabajos de McGEE
y DELLA BIANCA (1967) y RUSTAGI (1978). Existen numerosas
ventajas en trabajar con área basimétrica en vez de con el
numero de árboles. Primero, al ajustar un modelo por
regresión, se obtiene un mejor resultado en la mitad
161
superior del rango diamétrico. Esto ocurre porque
aproximadamente el 67X de los árboles, es decir, los más
pequeños, contribuyen tan sólo el 45X del área basimétri-
ca del rodal (Fig. 23) (RUSTAGI, 1978).
Como los árboles mayores contienen proporcionalmente
mayor volumen, trabajar con área basimétrica podría garan
tizar una mejor representación de los árboles mayores en
la tabla de rodal predicha.
Segundo, dentro de un rodal, el área basimétrica está
estrechamente corelacionada con su volumen, con cierta
independencia de la distribución diamétrica del rodal.
Consecuentemente, los errores en la distribución del área
basimétrica predicha, tendrán un pequeño impacto sobre el
volOrnen total.
100
t 45
67 100 Numero de arboles acumulados
Figura 23 .'Relación entre área basimétrica acumulativa (X) y número de árboles acumulativo ('/.) en un rodal coetáneo.
162
4.3.4 La distribución diamétrica como predictora del cre-
c imi ento
Se han realizado numerosos trabajos sobre modelos de
crecimiento y productividad que han incluido técnicas para
predecir cambios en la distribución diamétrica con la edad
del rodal (SMALLEY y BAI LEY, 1974; LOHREY y BAILEY, 1977;
SCHREUDER et al., 1979; DELL et al., 1979; FEDUCCIA et
al., 1979). En estos modelos, una familia particular de
distribuciones, tales como la beta (CLUTTER y BENNETT,
1965) o Weibull (BAILEY y DELL, 1973) son ajustadas a los
datos. La estimación de los parámetros de la distribución
es usada para desarrollar regresiones para predecir los
parámetros y por lo tanto, la distribución diamétrica a
partir de la edad del rodal.
A continuación se desarrolla el trabajo de MUNRO (1974)
que aplica lo anteriormente descrito, en que la forma
funcional de las ecuaciones de crecimiento implicadas es
investigada para siete distribuciones con el objetivo de
obtener un nexo matemático y biológico entre el tipo de
modelo de rodal de distribución diamétrica y modelo de
rodal de árbol individual .
El procedimiento para desarrollar un modelo de creci
miento y productividad de distribución diamétrica na sido:
Tomar un conjunto de datos.
Seleccionar una familia de distribuciones.
163
Estimar los parámetros de la distribución parcela por
parcela.
Ajustar las regresiones para predecir los parámetros a
partir de características del rodal, tales como la edad,
índice de sitio y densidad del rodal.
Simbólicamente, denotaremos la función de densidad de
probabilidad (fdp) de una familia de distribucione con k
parámetros como:
f(x;e); ©€Qk y x€X
donde x : diámetro del árbol © : vector conteniendo k parámetros
y &K y X son el subconjunto de un espacio k-dimensiona1 y
el real respectivamente.
La probabilidad asociada con alguna clase diamótrica
P i
f (t; ©)dt
El proceso de modelización descrito, para un índice de
sitio fijo, densidad de plantación y curva de
supervivencia requiere que la distribución diamétrica este
en la misma familia de fdp a diferentes edades en el
desarrollo del rodal.
Si nacemos:
164
x1 : diámetro a la edad A1 Xg ' diámetro a la edad Ag
y f1(xi;9}) y fg(X2;©2) son las respectivas fdp, entonces
hay una relación matemática entre xl y x2. Se encuentra
una ecuación o transformación de xg en términos de xl
en la misma familia de distribuciones, sea ésta la beta,
Weibull o Sb de Johnson (HAFLEY y SCHREUDER, 1977).
Cree imi ento en d i ámetro
Si f(x;G) es la fdp de una distribución normal,
entonces la función normalizada es:
f(x) = (i/aO)e-1/2((x-p)/o-)2
Es fácil demostrar que la relación entre x1 y x2 es una
transformación lineal (HOOG y CRA1G, 1965) tal que :
x2 = 0 O + 0 1 x 1
Así, un sistema de productividad y crecimiento basado
en la distribución normal como un modelo de distribución
diamétrica, implica que los diámetros de los árboles a la
edad A2 son una función lineal de los diámetros a la
edad Aj (Ag>Ai).
El incremento en diámetro (I) como una función del
diámetro puede ser obtenido como una ecuación tal que:
l = 00 + (Pi-Ux
Esta es la misma ecuación dada por MEYER (1952) para la
165
exponencial, o el modelo de DE LIOCOURT de distribuciones
diamétricas en rodales irregulares. Para la Wei bu 1 I, log-
normal y gamma generalizada, se puede demostrar que la
transformac ion:
x2 = P 0 + P(*1 - 03)b2 (1°)
donde 03 es el parámetro de posición (límite inferior),
nará permanecer a la distribución dentro de la familia
apropiada. La ecuación de incremento resultante de (10) es:
l = (P0 - x) + Pj(x - P 3 )e2 -
Esta es equivalente a la ecuación de MEYER (1952)
cuando p 2 =1.
Con la Wei bull y gamma, (1) se desarrolla directamente
a partir de una forma generalizada de la distribución
gamma:
f(x) = c(x-a) c r ~ 1 exp [-( (x-a)/b)c] / bcrT(r) (1 1)
donde T(r) = r-1~-t dt
Con c=l, (11) corresponde a la distribución gamma y
cuando r=l, corresponde a I a Wei bulI. Cuando ambos, C=1 y
r= 1,(11) es la exponencial (modelo de DE LIOCOURT). Si xj
(diámetro a la edad A1) tiene a (2) como fdp y x2 es
definida por (10) con P3 = a, entonces un resultado dado por
STACE y MlHRAM (1965) sobre las propiedades regenerati vas
conducen a la conclusión de que x2 también desarrolla el
166
modelo de la dsitribución gamma generalizada como en (2) con:
1) a reemplazada por PQ
2) b reemplazada por p^b^
3) c reemplazada por c/p¿
La distribución de xg podría ser la Weibull si r=l,
gamma si c/Pg=1 y el modelo de LIOCOURT si ambos son igua
les a 1 .
Otras dos distribuciones que han sido propuestas o
usadas debido a la flexibilidad de la forma de la curva,
son SB de Johnson (HAFLEY y SCHREUDER, 1977) y beta
(CLUTTER y BENNETT, 1965). Con cualquiera de estos
modelos, Pg=1 es necesario para que la distribución sea
regenerativa sobre la edad. Si la forma general de (1) es,
en efecto, el modelo del proceso de crecimiento, la fdp de
x podría no estar en la familia Sg o beta a la edad 2
aunque esté en la edad 1.
4.4 Material
4.4.1 Descripción del programa de claras
A partir del año 1964, el Instituto Forestal de Investi
gaciones y Experiencia Tactual INIA) comienza una investi
gación sobre el tema de claras con el título "Estudio de
las claras en su incidencia sobre la producción". Con
respecto al P i ñus syIvestr i s L. , la actuación se concentra
en masas naturales (Covaleda y Duruelo, en Soria, 1968;
Navafria en Segovia, 1971; Neila, en Burgos, 1974) y
artificiales fEl Espinar, en Segovia, 1970). (MADRIGAL et
al ... 1985) .
Un programa de claras, en general, ha consistido esen
cialmente en la reducción de la densidad de la masa,
anticipándose a la acción de la naturaleza, con el fin de
aumentar al máximo el valor neto de los productos obteni
dos durante la totalidad del turno. todo esto Planteado
bajo el contexto de que la producción utilizable de madera
aumentará a medida que un tipo de clara proporcione piezas
de mayores dimensiones.
Esta finalidad no la cumplen por igual los distintos
tipos o métodos de claras y parece lógico pensar que a
igualdad de los demás efectos producidos por las claras,
serán más aconsejables, económicamente, aquellas que
proporcionen productos de mayores dimensiones; pues, es
sabido que la relación producción bruta a producción
elaborada aumenta con el diámetro de los Pies, que el
168
coste de transformación por unidad de producto es menor en
maderas más gruesas y además la calidad de los productos
crece generalmente con el diámetro. Esto nos dice que los
resultados de una clara no pueden ser medidos únicamente
por el volumen que representan sin considerar el tamaño de
los arboles extraídos (MADRIGAL et al. 1985).
Una vez definidos los objetivos del programa de claras
se especifican los tratamientos contemplados en él.
Básicamente se ha seguido la terminología empleada por
ASSMANN (1970) que propone los tratamientos (A), (C),
(D),(E) que se exponen a continuación.
De acuerdo con el diseño de la experiencia, en cada
bloque se combinan aleatoriamente los siguientes
tratami entos:
-Tratamiento A: corresponde a la parcela testigo, en la
cual no se realiza clara, si exceptuamos la extracción
de los pies secos y moribundos.
-Tratamiento Ciclaras bajas moderadas, que incide sobre
el estrato de pies, con posibilidad nula, a priori,
de sobrevivir en años futuros. dejándose sentir el
peso de la clara en la zona de diámetros menores de la
clasificación diamétrica.
-Tratamiento D: claras bajas fuertes actuando sobre el
estrato de pies dominados, aunque a veces se llega a
claras mixtas moderadas.
169
-Tratamiento E: claras mixtas, de moderadas a fuertes,
que incide sobre los estratos dominados, codominante
e incluso afecta a algún pie dominante.
Con respecto al criterio del peso de la clara,
básicamente se na utilizado el Área Basimétrica íAB)
residual, aunque también se emplean otros tales como
d/D, y v/V e índice de HART en que:
AB residual (X) = Cociente entre el área basimétrica
después de la clara y área basimé
trica de su correspondiente testigo
expresada en tanto por ciento ('/).
d/D = Cociente entre el diámetro medio de la
masa extraída de la clara fd) y
el diámetro medio antes de la clara íD)
v/v - Cociente entre el volumen del árbol me
dio de la masa extraída en la clara
(v) y el volumen del árbol medio antes
de la el ara ÍV).
índice de Hart = Se emplea como variación de éste antes
y después de la clara.
P = 10.000/H
En la siguiente tabla, se resumen los valores del AB
('/.) residual para los distintos tratamientos y distintos
sitios de ensayo, por inventario:
170
Tabla 13 : AB residual por sitio. inventario y trata-mi ento
SITIO
DURUEbO
COVALEDA
EL ESPINAR
NAVAÍTOA
Año inv.
1968 1973 1983
1968 1973 1983
1970 1980 1985
1971 1981 1986
TRATAMEWIO
A
100 100 100
100 100 100
100 100 100
100 100 100
C
80 87 86
87 85 83
91 89 93
83 78 82
D
63 70 71
72 71 73
84 82 86
72 66 71
E
57 61 64
74 72 74
59 55 59
El diseño del experimento corresponde, para cada sitio,
a bloques aleatorios, tres bloques y cuatro tratamientos
(excepto Covaleda que sólo tiene 3 tratamientos). La
superficie de cada parcela, normalmente de forma
rectangular, es de aproximadamente 10 áreas, con una
separación mínima entre parcelas, de 10 m. para evitar los
efectos de borde.
171
4,4.2 Descripción de las parcelas
4.4.2.1 Características cualitativas
A continuación se describen las parcelas en términos
cual i tat i vos:
Parcel as denominadas por SQ1 .y_ SQ2
Loca 1 i zac ion:
Región natural: Macizo de Urbión (Sistema Ibérico)
Término municipal: Duruelo (Soria) SO-1
Covaleda (Soria) SO-2
Montes: Pinar de Duruelo N2 132, Cuartel C, Tramo V.
Paraje: Paseo de la Atalaya.
Pinar de Covaleda N2 125. Cuartel C, Tramo V.
Paraje: Fuente El Pico.
Datos f i s i ográf i eos:
SO-1 Pendiente: 15 - 20X
Exposición: N.W.
Alt i tud: 1200 - 1300 m.
SO-2 Pendiente: O - 5/
Expos i c ion: N. E .
Al ti tud: 1500 - 1600 m.
Datos l i tológ i eos:
Cuarzareni tas congíomeráti cas y arcillas are
nosas. Periodo MALM del Jurásico.
Datos edafológ i eos:
Suelos con perfil A/(B)/C sobre materiales
silíceos: "Tierra parda húmeda".
172
Datos f i toclimát i eos:
Mediterráneo subhümedo de tendencia centroeu-
ropea IV(VI) en las proximidades a VI centro-
europeo (ALLUE, 1966), cuya diagnosis fisiognó
mica es: Formación de BROCKMANN-JEROCHS, grado
Gen i sta fIorida-Quercus pyrenai ca de SCHMiD
con tendencia al grado del mismo autor Fagus
syIvat i ca-Abi es alba.
Vegetac i ón el i má c i c a:
Serie supramediterránea ibérico-sori ana y
ayllonense nümeda-hipernumeda silicícola de
Quercus pyrena i ca o roble me 1 ojo.
Origen Y. estado de 1 a masa:
Masa pura de P i ñus syIvestr i s L. originadas
por cortas de aclareo sucesivo de 35 clase de
edad (40-60 años) acompañada de escaso soto-
bosque .
******
Parcel as denomi nadas por SG1
Local i zac ion:
Región natural: Sistema Central
Término municipal: NavafrTa
Monte: Pinar de NavafrTa - U.P. N2 198 de Segovia,
Cuartel C, Tramo Ill
Sitio: Regajo Hondo
Datos f i s iográf i eos:
Pendiente: 17/
173
Exposición: N.W.
Al t itud: 1750 - 1800 m.
Datos 1 i tológi eos
Rocas metamórficas con abundancia de gneis.
Patos edafológ i eos
Suelo con perfil A/(B)/C sobre materiales
silíceos. "Tierra Parda húmeda".
Datos f i toe 1imát i eos
Clima VI I I(VI) oroborealoide subnemoral
Vegetac i ón c1imác i ca
Serie oromediterránea guadarrámica silicícola
de Jun i perus nana o enebro rastrero (Junípero
nanae-Cyticeto purgantis sigmetum) V.P.pi
nares, piornales y enebrales rastreros en el
límite con la serie Supramediterránea Carpeto-
Ibórico-Leonesa y Alcarreña subhümeda
s i 1 i cícol a de Quercus pi rena i ca o robie melojo
íLuzulo forsteri-Querceto pyrenaicae sigmetum)
Origen y_ estado de l a masa
Masa se origen natural, cláreos a los 40-60
años. Escasa vegetación herbácea, suelo prác
ticamente cubierto de acículas.
M M * * M *
Parcel as denomi nadas por SG2
Locali zac i ón:
Región natural: Sistema Central
Término municipal: El Espinar (Segovia)
174
Monte: "Aguas Vertientes" U.P. N2 138 de Segovia.
Cuartel C, Tramo v.
Datos f i s i oqráf i eos:
Pendiente: 15-20'/
Exposición: N.E.
Alt i tud: 1400 1500 m.
Patos I i to1óq i eos
Rocas acidas. Granito.
Datos f i toe 1imát i eos
Mediterráneo subhúmedo de tendencia centro-eu
ropea IV(VI) con tendencia a IVg mediterráneo
cálido menos seco ÍALLUE, 1966).
OrTqen y_ estado de I a masa
Plantación en el año 1925 por hoyos a marco de
2X2 m. Eliminación de Pies secos en distintas
etapas anteriores a la fecha de instalación de
la parcela. Posteriores cláreos.
4.4.2.2 Características cuantitativas
En la Tabla 14 se exponen los valores alcanzados por
las variables de estado en el primer inventario.
175
Tabla 14 : C a r a c t e r í s t i c a s c u a n t i t a t i v a s de las de P i n u s s y l v e s t r i s L.
p a r c e I as
Parcela
SOI SOI SOI S02 S02 S02 SG1 SG1 SG1 SG2 SG2 SG2 SOI SOI SOI S02 S02 S02 SG1 SG1 SG1 SG2 SG2 SG2 SOI SOI SOI S02 S02 S02 SG1 SG1 SG1 SG2 S62 SG2 SOI SOI SOI SG1 SG1 SG1 SG2 SG2 SG2
Tratam.
A A A A A A A A A A A A C C C C C C C C C C C C D D D D D D D D D D D D £ E E E E E E E E
Edad
41 41 41 50 50 50 45 45 45 35 35 35 41 41 41 50 50 50 45 45 45 35 35 35 41 41 41 50 50 50 45 45 45 35 35 35 41 41 41 45 45 45 35 35 35
Densidad (N/Ha)
2783 2404 2435 1893 2384 1732 1546 1417 1356 5040 6170 5960 2125 2290 2066 2148 2191 1402 1368 1165 1124 6323 7352 5410 1812 2349 3071 2771 2070 1917 1876 1514 1588 4510 4550 5561 2883 1773 2290 1418 1222 1410 5590 5047 4057
H0 (m)
11.6 11.8 11.1 11.4 11.8 11.9 15.2 14.3 12.2 9.8 8.7 9.0 12.3 11.8 12.0 U.3 11.3 10.9 13.5 15.8 12.1 9.1 7.6 8.9 13.3 11.2 10.0 11.2 11.8 12.7 13.9 15.7 15.0 10.1 7.8 8.6 10.9 10.9 12.4 14.9 14.6 14.2 9.1 8.7 9.1
Dg (cm)
12.8 14.1 13.1 14.2 14.0 15.8 19.4 20.7 19.4 10.7 9.5 9.8 14.6 14.2 14.3 13.6 14.2 15.7 19.5 23.3 20.8 9.4 8.1 9.9 15.8 14.1 11.8 11.4 14.3 14.9 18.3 20.7 18.9 10.3 10.1 9.1 12.2 15.4 14.6 19.8 21.8 20.1 9.0 9.5 10.5
AB (m*)
36.1 37.6 32.7 30.0 36.5 33.8 45.7 47.9 40.0 45.7 43.5 45.1 35.4 36.2 33.2 31.2 34.6 27.3 40.8 49.8 38.4 44.3 38.3 42.0 35.4 36.7 33.5 28.2 33.5 33.6 49.3 50.8 44.4 37.3 36.3 35.8 33.5 33.0 38.3 43.9 45.8 44.6 35.7 35.5 35.1
176
La elección de las parcelas se ha basado en el mayor
número de inventarios que tienen Duruelo, Covaleda, El
Espinar y Navafría y que por lo tanto permiten obtener un
análisis más amplio en el tiempo dentro del turno. Estos
sitios poseen tres inventarios que en total abarcan 15
años.
En resumen, se cuenta con información de 45 parcelas
para cada inventario, divididas en cuatro sitios por tres
repeticiones por cuatro tratamientos (excepto Covaleda que
sólo tiene (A), (C) y (D)).
177
4.5 Método
4.5.1 Clasificación diamétrica
Para la clasificación diamétrica, se utilizan los datos
de cada inventario antes de efectuar la clara, con el fin
de considerar sólo el crecimiento biológico. La informa
ción se clasificó en diámetros de 2 en 2 cm. a partir de
los 5 cm.
Como resultado de esta clasificación, se nan
representado gráficamente los tres inventarios sucesivos
para cada sitio y cada tratamiento (Anexo 2).
4.5.2 Ajustes de las funciones de distribución
A continuación de la clasificación diamétrica, se a-
justaron seis funciones de distribución:
1 . - Normal (ÑOR)
2.- Gamma (GAM)
3.- Log. normal de 2 parámetros (LN)
4.- Log. normal de 3 parámetros (LNA)
5.- Beta I I (BTWO)
6.- Weibuli (WEi)
Cabe señalar que la obtención de los parámetros de las
seis funciones mencionadas se na hecho por máxima
verosimilitud. Las primeras 5 funciones se ajustaron
utilizando el programa MLP (Máximum LiKelihod Programa)
implementado en su versión interactiva en el INIA. La
178
función Wei bu 1l se ajustó empleando otro programa
independiente del paquete señalado anteriormente.
4.5.2.1 Descripción de cada función ajustada
x-m 1 -1/2 í ) ^
a) Normal f(x) = e S S + 2 TT
donde x: diámetro
m. s: parámetros de la distribución
b) GAMMA f(x)r bKx fK"1 ) Ke_b></r(K) x>0
con media M - K/b
Varianza V = k/b2
donde x : diámetro
b,K : parámetros de la distribución
c) Log. normal:-La distribución de dos parámetros supo
ne que logx está normalmente distribu
ido con media M y varianza S2.
-La distribución de tres parámetros
tiene un parámetro adicional, tal que
log (x-a) está normalmente distribuido.
El parámetro a debe ser menor que la
observación más pequeña.
179
1 fíx) = e (log (x-a); m,s) x>a
x - a
con media M = a + e(m+0,5 S )
varianza V = e í 2 m + 5 2 > ) ( e s -1)
donde x : diámetro
m.s.a : parámetro de la distribución
Si el sesgo de Ja muestra es negativo,
se ajusta la normal.
d) Beta tipo II: Está definida para el rango
x >0
bPxP-1 F íx) =
B (p,q) (1 +bx) (P + c«)
con med i a M = bfq-1)
varianza V = p(p+q-1)/b 2fq-1) 2(q-2)
donde x : diámetro
b,p,q : parámetros de la d i str i buc i 5n
e) Weibull Fíx) = c/b[(x-a)/b]ef"íx"a)/bc]
con media M = br[(c+1)/2]
varianza V = b2íT[(c+2)] - {TC(c+1)/c]})
A continuación se dan los valores de los seis ajustes.es
decir, sus parámetros y el correspondiente chi-cuadrado
(X2) (Tablas 15 a 20).
180
T a b l a 15 : A
[PARCELA
SOllA S012A S013A SOllC S012C S013C SOllD S012D S013D SOllE S012E S013E
9021A S0221 S023A S021C S022C S023C S021D S022D S023D
SGllA SG12A SG13A SGllC SG12C SG13C SGllD SG12D SG13D SGllE SG12E SG13E
SG21A SG22A SG23A SG21C SG22C SG23C SG21D SG22D SG23D SG21E SG22E SG23E
x:
154.96 86.33 94.50 76.61 91.92 142.85 110.51 60.59 65.17 92.79 173.83 72.03
58.06 35.57 204.95 21.02 66.73 67.88 79.27 148.29 77.55
195.79 444.24 84.60 218.15 190.40 93.57 140.18 195.82 111.44 145.17 139.84 181.30
55.20 585.07 173.02 180.34 894.30 819.80 171.58 24.62 694.91 109.82 35.98 28.47
d i s t r i b u c i ó n NORMAL
021 029 025 023 026 022 018 034 034 022 024 025
028 026 022 034 023 031 028 016 023
231 042 041 037 026 021 030 027 033 038 031 032
017 018 L17 )18 )28 )18 )16 )20 327 )23 323 )18
HWHTCARIO 2
X2
56.93 (11) 120.52 (08) 43.82 (10) 65.50 (10)
113.93 (12) 109.71 (08) 90.81 (09) 93.44 (08) 12.86 (06)
134.60 (09) 140.33 (10) 42.23 (10)
44.54 (08) 102.32 (07) 163.52 (09) 38.52 (08)
110.64 (10) 201.52 (09) 127.65 (09) 94.26 (11)
217.74 (09)
270.12 (12) 528.24 (09) 219.84 (10) 95.07 (10)
140.26 (12) 225.56 (09) 20.31 (07) 44.30 (10) 82.97 (09)
143.84 (09) 306.82 (11) 75.35 (07)
99.70 (07) 84.35 (09)
175.25 (08) 106.44 (09) 34.53 (06)
319.65 (09) 181.98 (10) 155.29 (08) 115.51 (08) 193.46 (10) 21.63 (07)
182.09 (09)
K
6.715 0.203 10.028 0.292 8.718 0.266
13.946 0.639 12.477 0.488 13.062 0.501 13.502 0.677 18.406 1.029 26.094 1.062 14.398 0.614 18.237 0.897 21.949 1.206
10.500 0.356 10.398 0.314 8.6% 0.304
13.092 0.431 11.214 0.377 10.756 0.418 12.354 0.568 9.587 0.547
12.912 0.664
10.652 0.399 15.890 0.612 17.314 0.677 24.045 0.983 25.943 1.299 30.873 1.387 37.343 1.665 28.494 1.310 35.840 1.635 38.837 1.947 21.164 1.066 37.044 2.026
9.053 0.220 9.309 0.204 8.953 0.191 9.280 0.209
11.172 0.239 10.048 0.235 8.858 0.229
11.011 0.279 12.959 0.304 13.171 0.330 11.546 0.337 11.608 0.335
B
0.514 0.016 0.687 0.020 0.645 0.020 0.788 0.036 0.751 0.029 0.768 0.030 0.665 0.033 1.056 0.059 1.719 0.070 0.862 0.037 0.965 0.048 1.063 0.059
0.725 0.025 0.732 0.022 0.544 0.019 0.927 0.031 0.743 0.025 0.654 0.026 0.621 0.034 0.587 0.024 0.804 0.066
0.500 0.019 0.706 0.027 0.805 0.031 1.066 0.044 0.923 0.046 1.302 0.059 1.587 0.071 1.124 0.052 1.512 0.069 1.529 0.077 0.793 0.040 1.447 0.079
0.689 0.017 0.820 0.018 0.777 0.016 0.770 0.017 1.102 0.023 0.808 0.019 0.657 0.017 0.852 0.022 1.061 0.025 1.063 0.027 0.888 0.026 0.825 0.024
INVENTARIO 3
X2
120.49 (10) 175.30 (14) 30.27 (10) 80.22 (12)
187.09 (13) 101.41 (10) 148.69 (12) 60.47 (07) 38.22 (08) 55.86 (08)
168.89 (10) 144.98 (08)
95.72 (10) 88.92 (07)
182.20 (10) 61.73 (08)
117.28 (09) 78.33 (09)
114.56 (08) 139.78 (08) 92.03 (08)
119.29 (11) 276.51 (09) 134.77 (09) 97.57 (08) 36.34 (12)
120.69 (08) 111.82 (09) 47.42 (09) 67.99 (08)
128.11 (09) 134.41 (08) 28.31 (07)
250.62 (08) 109.93 (05) 21.37 (06) 47.64 (04)
100.10 (06) 115.02 (06) 60.77 (06) 92.81 (06)
204.36 (06) 174.12 (06) 119.21 (06) 66.53 (06)
K
8.758 0.303 10.370 0.322 9.741 0.317
18.206 0.885 18.590 0.994 17.124 0.904 16.484 0.824 21.308 1.255 27.418 1.126 20.601 0.942 33.996 1.931 29.098 1.198
12.423 0.438 12.046 0.383 11.654 0.431 19.033 0.692 18.875 0.716 17.979 0.763 23.305 0.966 20.156 0.880 27.398 1.291
16.578 0.682 23.142 0.965 19.045 0.758 32.573 1.401 28.932 1.492 41.298 1.880 44.500 2.113 38.064 1.862 41.429 1.993 45.749 2.420 46.963 2.712 52.265 2.987
8.834 0.222 17.273 0.506 16.791 0.710 32.715 1.373 8.228 0.192
17.082 0.424 16.625 0.590 27.382 1.063 8.1% 0.189
15.453 0.465 24.842 0.821 24.948 1.088
B
0.534 0.018 0.614 0.091 0.620 0.020 0.874 0.043 0.930 0.039 0.855 0.035 0.694 0.035 1.066 0.063 1.524 0.063 1.049 0.048 1.452 0.083 1.739 0.072
0.746 0.026 0.741 0.023 0.613 0.023 1.127 0.041 1.042 0.046 0.896 0.038 1.362 0.053 0.995 0.045 1.321 0.062
0.699 0.029 0.940 0.034 0.850 0.034 1.357 0.059 0.970 0.054 1.667 0.073 1.780 0.083 1.409 0.063 1.627 0.073 1.710 0.093 1.587 0.094 1.889 0.103
0.064 0.014 1.183 0.033 0.992 0.045 2.167 0.033 0.690 0.014 1.394 0.033 1.102 0.034 1.713 0.063 0.6% 0.014 1.065 0.033 1.655 0.053 1.449 0.006
üste de la función de distribución NORMAL
(09) (06) (09) (11) (09) (08) (07) (07) (07) (09) (10) (08)
(07) (06) (07) (07) (08) (08) (06) (09) (09)
(10) (07) (08) (11) (14) (08) (08) (11) (09) (10) (09) (10)
(08) (08) (10) (07) (05) (08) (08) (06) (06) (07) (06) (08)
BJVimRIO 1
K
9.226 13.866 10.730 9.198
11.362 9.782 7.564
12.536 13.732 9.660
10.542 11.613
11.196 11.130 9.185
14.205 9.903
11.83 9.832 6,302 9.905
11.450 21.407 19.177 17.722 13.735 18.271 15.665 14.431 16.793 17.385 15.336 16.537
7.211 8.916 4.871 6.983
12.140 8.477 5.657 7.413
11.428 7.739 7.678 6.385
0.281 0.412 0.336 0.338 0.374 0.324 0.268 0.495 0.411 0.273 0.378 0.374
0.380 0.342 0.332 0.451 0.314 0.466 0.301 0.210 0.331
0.421 0.846 0.768 0.696 0.578 0.511 0.526 0.534 0.612 0.667 0.642 0.631
0.173 0.166 0.094 0.166 0.218 0.168 0.151 0.194 0.229 0.202 0.203 0.177
B
0.705 0.961 0.806 0.631 0.804 0.675 0.519 0.868 1.134 0.779 0.680 0.786
0.827 0.836 0.618 1.083 0.738 0.777 0.919 0.468 0.691
0.617 1.053 1.019 0.935 0.607 0.707 0.891 0.726 0.912 0.982 0.727 0.850
0.714 0.994 0.595 0.794 1.543 0.909 0.623 0.789 1.328 0.923 0.887 0.658
0.021 0.029 0.025 0.023 0.026 0.022 0.018 0.034 0.034 0.022 0.024 0.025
0.028 0.026 0.022 0.034 0.023 0.031 0.028 0.016 0.023
0.231 0.042 0.041 0.037 0.026 0.021 0.030 0.027 0.033 0.038 0.031 0.032
0.017 0.018 0.117 0.018 0.028 0.018 0.016 0.020 0.027 0.023 0.023 0.018
X2
56.93 120.52 43.82 65.50
113.93 109.71 90.81 93.44 12.86
134.60 140.33 42.23
44.54 102.32 163.52 38.52
110.64 201.52 127.65 94.26
217.74
270.12 528.24 219.84 95.07
140.26 225.56 20.31 44.30 82.97
143.84 306.82 75.35
99.70 84.35
175.25 106.44 34.53
319.65 181.98 155.29 115.51 193.46 21.63
182.09
(11) (08) (10) (10) (12) (08) (09) (08) (06) (09) (10) (10)
(08) (07) (09) (08) (10) (09) (09) (11) (09)
(12) (09) (10) (10) (12) (09) (07) (10) (09) (09) (11) (07)
(07) (09) (08) (09) (06) (09) (10) (08) (08) (10) (07) (09)
INVHTCARIO 2
K
6.715 10.028 8.718
13.946 12.477 13.062 13.502 18.406 26.094 14.398 18.237 21.949
10.500 10.398 8.6%
13.092 11.214 10.756 12.354 9.587
12.912
10.652 15.890 17.314 24.045 25.943 30.873 37.343 28.494 35.840 38.837 21.164 37.044
9.053 9.309 8.953 9.280
11.172 10.048 8.858
11.011 12.959 13.171 11.546 11.608
0.203 0.292 0.266 0.639 0.488 0.501 0.677 1.029 1.062 0.614 0.897 1.206
0.356 0.314 0.304 0.431 0.377 0.418 0.568 0.547 0.664
0.399 0.612 0.677 0.983 1.299 1.387 1.665 1.310 1.635 1.947 1.066 2.026
0.220 0.204 0.191 0.209 0.239 0.235 0.229 0.279 0.304 0.330 0.337 0.335
B
0.514 0.687 0.645 0.788 0.751 0.768 0.665 1.056 1.719 0.862 0.965 1.063
0.725 0.732 0.544 0.927 0.743 0.654 0.621 0.587 0.804
0.500 0.706 0.805 1.066 0.923 1.302 1.587 1.124 1.512 1.529 0.793 1.447
0.689 0.820 0.777 0.770 1.102 0.808 0.657 0.852 1.061 1.063 0.888 0.825
0.016 0.020 0.020 0.036 0.029 0.030 0.033 0.059 0.070 0.037 0.048 0.059
0.025 0.022 0.019 0.031 0.025 0.026 0.034 0.024 0.066
0.019 0.027 0.031 0.044 0.046 0.059 0.071 0.052 0.069 0.077 0.040 0.079
0.017 0.018 0.016 0.017 0.023 0.019 0.017 0.022 0.025 0.027 0.026 0.024
BJVENEARI
X2
120.49 175.30 30.27 80.22
187.09 101.41 148.69 60.47 38.22 55.86
168.89 144.98
95.72 88.92
182.20 61.73
117.28 78.33
114.56 139.78 92.03
119.29 276.51 134.77 97.57 36.34
120.69 111.82 47.42 67.99
128.11 134.41 28.31
250.62 109.93 21.37 47.64
100.10 115.02 60.77 92.81
204.36 174.12 119.21 66.53
(10) (14) (10) (12) (13) (10) (12) (07) (08) (08) (10) (08)
(10) (07) (10) (08) (09) (09) (08) (08) (08)
(11) (09) (09) (08) (12) (08) (09) (09) (OS) (09) (08) (07)
(08) (05) (06) (04) (06) (06) (06) (06) (06) (06) (06) (06)
K
8.758 0. 10.370 0. 9.741 0.
18.206 0. 18.590 0. 17.124 0. 16.484 0. 21.308 1. 27.418 1. 20.601 0. 33.9% 1. 29.098 1.
12.423 0. 12.046 0. 11.654 0. 19.033 0. 18.875 0. 17.979 0. 23.305 0. 20.156 0. 27.398 1.
16.578 0. 23.142 0. 19.045 0. 32.573 1. 28.932 1. 41.298 1. 44.500 2. 38.064 1. 41.429 1. 45.749 2. 46.%3 2 . 52.265 2 .
8.834 0. 17.273 0. 16.791 0. 32.715 1. 8.228 0.
17.082 OJ 16.625 0. 27.382 l.< 8.1% o.:
15.453 OJ 24.842 0.1 24.948 l.<
d i s t r i b u c i ó n GAMMA
368 357 966 391 370 377 394 381 350 359 386 371
368 360 385 355 367 386 354 391 375
398 382 383 383 L22 381 373 392 380
m L07 )86
)48 )29 )39 M4 )21 )34 )59 )50 )27 )45 )46 )59
INVENTARIO 2
X2
154.41 (11) 184.77 (08) 1%.72 (10) 134.25 (10) 190.74 (12) 155.77 (08)
64.54 (09) 93.13 (08) 24.55 (06)
131.21 (09) 157.67 (10)
41.86 (10)
41.19 (08) 47.94 (07)
143.14 (09) 80.95 (08) 92.11 (10)
129.27 (09) 235.61 (09) 179.43 (11) 57.88 (09)
185.99 (12) 313.55 (09) 110.96 (10) 46.45 (10)
119.77 (12) 140.19 (09) 13.94 (07) 52.13 (10) 47.56 (09)
142.92 (09) 163.19 (11) 58.49 (07)
62.66 (07) 38.39 (09) 60.86 (08) 47.% (09)
264.98 (06) 81.86 (09) 60.62 (10)
496.01 (08) 492.85 (08) 539.24 (10) 111.78 (07) 424.19 (09)
M
12.938 0.105 14.552 0.092 13.469 0.098 17.638 0.152 16.589 0.129 16.972 0.122 20.225 0.182 17.416 0.155 15.170 0.082 16.677 0.128 18.882 0.151 20.624 0.165
14.431 0.101 14.151 0.088 15.936 0.126 14.106 0.088 15.050 0.103 16.392 0.129 14.157 0.086 16.333 0.136 17.078 0.119
21.267 0.162 22.475 0.138 21.469 0.132 22.536 0.127 28.049 0.185 23.683 0.125 23.506 0.115 25.330 0.151 23.686 0.121 25.372 0.139 26.665 0.184 25.571 0.151
13.061 0.070 11.278 0.056 11.455 0.058 11.986 0.063 10.058 0.044 12.412 0.066 13.437 0.084 12.893 0.070 12.192 0.056 12.378 0.061 12.891 0.075 14.050 0.085
S
5.171 0.079 4.566 0.067 4.646 0.071 4.863 0.112 4.739 0.093 4.641 0.089 5.3% 0.136 4.015 0.113 2.950 0.060 4.304 0.092 4.437 0.109 4.347 0.120
4.389 0.075 4.284 0.065 5.224 0.092 3.864 0.064 4.414 0.075 4.813 0.094 3.284 0.062 5.053 0.102 4.152 0.087
6.176 0.117 5.215 0.101 4.867 0.095 4.456 0.091 5.3% 0.136 4.054 0.091 3.791 0.084 4.717 0.108 3.852 0.088 4.053 0.101 5.257 0.133 4.136 0.113
4.315 0.053 3.888 0.043 4.046 0.043 4.114 0.047 3.185 0.034 4.094 0.048 4.722 0.061 3.998 0.051 3.509 0.041 3.536 0.044 3.991 0.058 4.215 0.061
INVENTARIO 3
X2
136.94 (10) 352.18 (14) 127.00 (10) 116.90 (12) 353.26 (13)
89.17 (10) 157.19 (12)
44.59 (07) 70.89 (08) 92.31 (08)
211.05 (10) 83.48 (08)
99.55 (10) 94.53 (07)
128.73 (10) 103.16 (08) 132.25 (09)
78.99 (09) 180.34 (08) 115.11 (08)
99.38 (08)
101.68 (11) 136.76 (09)
66.49 (09) 77.66 (08) 29.66 (12) 90.27 (08)
159.46 (09) 90.50 (09) 74.76 (08)
149.72 (09) 95.99 (08) 48.07 (07)
176.75 (08) 235.63 (05) 78.58 (06) 60.86 (04)
186.28 (06) 187.86 (06) 56.16 (06) 90.04 (06) 45.36 (06)
224.63 (06) 210.99 (06) 64.77 (06)
M
16.308 0.129 16.866 0.116 15.643 0.112 20.798 0.166 19.946 0.142 20.000 0.135 23.701 0.200 19.950 0.170 17.979 0.098 19.595 0.136 23.394 0.160 24.246 0.172
16.637 0.114 16.1% 0.099 18.933 0.133 16.881 0.097 18.099 0.109 28.050 0.137 17.098 0.102 20.222 0.132 20.727 0.128
23.671 0.163 24.563 0.134 22.345 0.135 23.9% 0.123 29.799 0.195 24.762 0.118 24.980 0.123 26.991 0.151 25.435 0.129 26.732 0.145 29.567 0.163 27.646 0.151
13.752 0.078 14.572 0.069 16.857 0.116 15.077 0.074 11.815 0.064 12.237 0.050 15.040 0.087 15.970 0.081 11.685 0.064 14.474 0.076 14.997 0.069 17.195 0.102
S
5.557 0.097 5.2% 0.083 5.068 0.083 4.894 0.119 4.882 0.102 4.741 0.098 5.801 0.146 4.269 0.126 3.441 0.070 4.378 0.100 4.109 0.117 4.254 0.127
4.612 0.082 4.593 0.073 5.250 0.098 3.859 0.070 4.122 0.078 4.652 0.099 3.601 0.074 4.380 0.0% 3.948 0.093
5.688 0.118 4.727 0.099 4.982 0.099 4.131 0.089 5.467 0.141 3.774 0.086 3.831 0.091 4.448 0.109 3.%5 0.095 3.982 0.105 4.158 0.120 3.871 0.110
4.550 0.058 3.510 0.051 4.149 0.088 2.652 0.044 4.210 0.049 2.%5 0.037 3.663 0.065 3.027 0.059 4.229 0.049 3.723 0.056 3.036 0.050 3.421 0.075
Tabla 16: Ajuste de la función de distribución GAMMA
PARCELA
SOllA S012A S013A SOllC S012C S013C SOllD S012D S013D SOllE S012E S013E
S021A S022A S023A S021C S022C S023C S021D S022D 9023D
SG11A SG12A SG13A SdlC SGL2C SG13C SGllD SG12D SG13D SGllE SG12E SG13E
SG21A S622A SG23A SG21C SG22C S623C SG21D SG22D SG23D SG21E SG22E SG23E
INVENTARIO 1
X2
242.75 (09) 172.68 (06) 230.01 (09) 197.50 (11) 142.72 (09) 202.59 (08)
93.38 (07) 112.21 (07)
84.23 (07) 254.72 (09) 230.30 (10) 180.11 (08)
83.24 (07) 54.83 (06)
117.66 (07) 102.03 (07)
57.24 (08) 49.67 (08) 46.04 (06)
140.75 (09) 53.92 (09)
158.98 (10) 276.83 (07)
37.26 (08) 100.82 (11)
82.22 (14) 65.21 (08)
101.38 (08) 82.46 (11) 79.52 (09)
193.45 (10) 82.41 (09) 71.99 (10)
120.26 (08) 152.32 (08)
57.58 (10) 470.84 (07) 195.46 (05) 183.20 (08) 446.55 (08) 200.91 (06) 158.80 (06) 377.23 (07)
23.77 (06) 22.87 (08)
M
13.001 0.090 14.387 0.078 13.258 0.088 14.511 0.124 14.081 0.095 14.430 0.105 14.424 0.121 14.401 0.110 12.051 0.065 12.304 0.077 15.456 0.118 14.733 0.097
13.492 0.092 13.261 0.081 14.790 0.115 13.105 0.076 13.376 0.091 15.179 0.117 10.603 0.068 13.329 0.119 14.284 0.102
18.525 0.136 20.307 0.111 18.783 0.114 18.937 0.116 22.579 0.169 18.343 0.121 17.566 0.101 19.866 0.128 18.392 0.111 17.679 0.113 21.031 0.146 19.445 0.120
9.893 0.059 8.954 0.040 7.977 0.049 8.516 0.052 7.856 0.029 9.307 0.047 8.713 0.069 9.172 0.060 8.599 0.037 8.106 0.051 8.401 0.054 9.435 0.071
S
4.433 0.068 3.854 0.057 4.183 0.066 4.921 0.091 4.239 0.070 4.638 0.077 5.220 0.094 4.074 0.081 3.322 0.050 4.182 0.059 4.769 0.086 4.385 0.071
4.004 0.068 3.920 0.060 4.675 0.085 3.488 0.055 4.228 0.067 4.326 0.086 3.503 0.054 5.389 0.091 4.456 0.075
5.300 0.098 4.132 0.082 4.134 0.083 4.243 0.083 5.746 0.122 4.813 0.081 4.319 0.073 4.941 0.092 4.363 0.080 4.230 0.081 5.100 0.107 4.528 0.086
4.029 0.048 3.167 0.029 4.040 0.039 3.780 0.044 2.397 0.021 3.402 0.034 4.415 0.059 3.802 0.050 2.687 0.027 3.472 0.045 3.536 0.046 4.281 0.059
INVENTARIO 2
X2
154.41 (11) 184.77 (08) 196.72 (10) 134.25 (10) 190.74 (12) 155.77 (08) 64.54 (09) 93.13 (08) 24.55 (06)
131.21 (09) 157.67 (10) 41.86 (10)
41.19 (08) 47.94 (07)
143.14 (09) 80.95 (08) 92.11 (10)
129.27 (09) 235.61 (09) 179.43 (11) 57.88 (09)
185.99 (12) 313.55 (09) 110.96 (10) 46.45 (10)
119.77 (12) 140.19 (09) 13.94 (07) 52.13 (10) 47.56 (09)
142.92 (09) 163.19 (11) 58.49 (07)
62.66 (07) 38.39 (09) 60.86 (08) 47.% (09)
264.98 (06) 81.86 (09) 60.62 (10)
496.01 (08) 492.85 (08) 539.24 (10) 111.78 (07) 424.19 (09)
M
12.938 0.105 14.552 0.092 13.469 0.098 17.638 0.152 16.589 0.129 16.972 0.122 20.225 0.182 17.416 0.155 15.170 0.082 16.677 0.128 18.882 0.151 20.624 0.165
14.431 0.101 14.151 0.088 15.936 0.126 14.106 0.088 15.050 0.103 16.392 0.129 14.157 0.086 16.333 0.136 17.078 0.119
21.267 0.162 22.475 0.138 21.469 0.132 22.536 0.127 28.049 0.185 23.683 0.125 23.506 0.115 25.330 0.151 23.686 0.121 25.372 0.139 26.665 0.184 25.571 0.151
13.061 0.070 11.278 0.056 11.455 0.058 11.986 0.063 10.058 0.044 12.412 0.066 13.437 0.084 12.893 0.070 12.192 0.056 12.378 0.061 12.891 0.075 14.050 0.085
S
5.171 0.07 4.566 0.06 4.646 0.07 4.863 0.11 4.739 0.09 4.641 0.08 5.396 0.13 4.015 0.11 2.950 0.061 4.304 0.09 4.437 0.10 4.347 0.121
4.389 0.07 4.284 0.06. 5.224 0.09. 3.864 0.06 4.414 0.07! 4.813 0.09-3.284 0.06, 5.053 0.10, 4.152 0.08"
6.176 0.11' 5.215 o.io: 4.867 0.09! 4.456 0.09: 5.3% 0.13( 4.054 0.09: 3.791 0.0& 4.717 0.101 3.852 0.081 4.053 0.10] 5.257 0.13: 4.136 o . n :
4.315 0.05: 3.888 0.04: 4.046 0.04: 4.114 0.04' 3.185 0.034 4.094 0.O4Í 4.722 0.06J 3.998 0.05] 3.509 0.04] 3.536 0.044 3.991 0.05Í 4.215 0.06]
1 2 ( l o g n o r m a l de dos
05 04 04 06 05 05 06 05 04 04 05 04
05 04 06 04 05 05 04 06 05
05 04 04 04 06 04 04 05 04 04 05 04
04 03 04 04 02 )3 05 04 02 M M )5
INVENTARIO 2
X2
108.71 (11) 172.80 (08) 68.09 (10) 57.27 (10)
132.40 (12) 122.68 (08) 125.70 (09) 103.66 (08) 25.85 (06)
168.29 (09) 142.96 (10)
56.47 (10)
107.16 (08) 201.17 (07) 237.39 (09) 72.45 (08)
182.48 (10) 286.42 (09) 160.82 (09) 237.02 (11) 129.54 (09)
361.56 (12) 665.39 (09) 306.79 (10) 141.97 (10) 166.09 (12) 286.12 (09) 34.30 (07) 54.58 (10)
114.02 (09) 153.79 (09) 398.38 (11) 90.81 (07)
230.94 (07) 73.79 (09)
111.23 (08) 62.88 (09) 30.20 (06)
203.98 (09) 104.06 (10) 93.62 (08) 44.58 (08)
129.78 (10) 33.17 (07)
146.99 (09)
M
2.497 0.007 2.630 0.006 2.546 0.007 2.837 0.008 2.769 0.007 2.795 0.007 2.974 0.009 2.831 0.009 2.700 0.005 2.780 0.008 2.911 0.008 3.004 0.008
2.626 0.007 2.605 0.006 2.714 0.008 2.609 0.006 2.668 0.007 2.752 0.008 2.624 0.006 2.751 0.008 2.809 0.007
3.011 0.008 3.082 0.006 3.038 0.006 3.094 0.005 3.316 0.006 3.149 0.005 3.144 0.005 3.214 0.006 3.151 0.005 3.221 0.005 3.260 0.008 3.229 0.006
2.520 0.005 2.378 0.004 2.390 0.004 2.435 0.005 2.274 0.004 2.471 0.005 2.544 0.006 2.512 0.005 2.464 0.004 2.479 0.004 2.524 0.005 2.599 0.006
S
0.390 0.006 0.322 0.004 0.342 0.005 0.267 0.006 0.287 0.005 0.282 0.005 0.279 0.007 0.236 0.006 0.197 0.004 0.270 0.005 0.236 0.005 0.217 0.006
0.316 0.005 0.319 0.004 0.352 0.006 0.281 0.004 0.306 0.005 0.316 0.006 0.231 0.004 0.313 0.006 0.252 0.005
0.320 0.006 0.263 0.005 0.250 0.004 0.208 0.004 0.200 0.005 0.186 0.004 0.165 0.003 0.189 0.004 0.170 0.003 0.161 0.004 0.231 0.005 0.166 0.004
0.339 0.00 4 0.326 0.00 3 0.331 0.00 3 0.327 0.00 3 0.295 0.00 3 0.314 0.00 3 0.336 0.00 4 0.302 0.00 3 0.277 0.00 3 0.274 0.00 3 0.291 0.00 4 0.295 0.00 4
INVENTARIO 3
X2
171.74 (10) 172.82 (14) 131.84 (10) 82.35 (12)
136.37 (13) 133.91 (10) 164.61 (12) 76.82 (07) 41.43 (08) 53.41 (08)
159.02 (10) 185.19 (08)
149.12 (10) 136.69 (07) 265.59 (10) 72.% (08)
138.73 (09) 102.30 (09) 105.46 (08) 173.81 (08) 101.78 (08)
153.89 (11) 369.75 (09) 193.34 (09) 121.22 (08) 51.91 (12)
146.48 (08) 97.07 (09) 34.95 (09) 72.59 (08)
124.69 (09) 158.98 (08) 22.89 (07)
397.42 (08) 88.17 (05) 12.29 (06) 52.40 (04)
172.73 (06) 152.95 (06) 96.11 (06)
115.87 (06) 198.26 (06) 196.29 (06) 101.44 (06) 82.12 (06)
M
2.742 0.008 2.999 0.006 2.704 0.007 3.008 0.008 2.967 0.006 2.967 0.007 3.137 0.008 2.972 0.008 2.871 0.005 2.953 0.006 3.138 0.006 3.172 0.007
2.771 0.007 2.747 0.006 2.901 0.007 2.800 0.005 2.869 0.006 2.971 0.007 2.818 0.005 2.983 0.006 3.014 0.006
3.135 0.007 3.182 0.006 3.082 0.006 3.162 0.005 3.377 0.006 3.197 0.004 3.207 0.004 3.282 0.005 3.225 0.005 3.275 0.005 3.376 0.005 3.310 0.005
2.568 0.005 2.652 0.004 2.799 0.006 2.699 0.004 2.419 0.005 2.476 0.004 2.683 0.005 2.752 0.005 2.407 0.005 2.642 0.005 2.688 0.004 2.825 0.006
S
0.343 0.006 0.314 0.004 0.324 0.005 0.236 0.005 0.228 0.004 0.246 0.005 0.250 0.006 0.219 0.006 0.192 0.003 0.220 0.005 0.171 0.004 0.192 0.005
0.291 0.005 0.294 0.004 0.306 0.005 0.231 0.004 0.233 0.004 0.240 0.005 0.207 0.004 0.228 0.005 0.192 0.004
0.251 0.005 0.218 0.004 0.234 0.004 0.177 0.003 0.188 0.004 0.158 0.003 0.148 0.003 0.161 0.003 0.155 0.003 0.148 0.003 0.149 0.004 0.137 0.003
0.345 0.004 0.242 0.003 0.245 0.005 0.175 0.003 0.351 0.004 0.244 0.003 0.248 0.004 0.193 0.003 0.350 0.004 0.255 0.003 0.201 0.003 0.202 0.004
Tabla 17 : Ajuste de la función LN 2 (log normal de dos parámetros)
PARCELA
SOllA S012A SODA SOllC S012C S013C S011D S012D S013D SOllE S012E S013E
9021A S0221 S023A S021C S022C S023C S021D S022D S023D
SGllA SG12A SG13A SGllC SG12C SG13C SdlD SG12D SG13D SGllE SG12E SG13E
SG21A SG22A SG23A SG21C SG22C SG23C SG21D SG22D SG23D SG21E SG22E SG23E
INVENTARIO 1
X2
182.16 (09) 92.97 (06) 90.25 (09) 72.74 (11)
127.70 (09) 168.62 (08) 169.33 (07) 69.18 (07)
105.34 (07) 89.55 (09)
199.91 (10) 77.19 (08)
99.45 (07) 87.73 (06)
301.07 (07) 34.77 (07)
138.19 (08) 120.90 (08) 154.40 (06) 230.12 (09) 155.17 (09)
25.52 (10) 54.99 (07)
135.18 (08) 31.63 (11) 29.78 (14) 49.10 (08)
202.72 (08) 30.62 (11)
162.17 (09) 153.45 (10) 195.31 (09) 28.06 (10)
131.18 (08) 353.32 (08) 235.31 (10) 136.15 (07) 55.49 (05) 53.97 (08)
139.70 (08) 20.72 (06) 42.42 (06) 57.26 (07) 10.46 (06) 23.82 (08)
M
2.519 0.006 2.633 0.005 2.543 0.006 2.624 0.008 2.605 0.006 2.622 0.007 2.615 0.008 2.630 0.007 2.458 0.005 2.468 0.005 2.693 0.007 2.649 0.006
2.560 0.007 2.544 0.006 2.645 0.008 2.538 0.005 2.547 0.007 2.680 0.008 2.323 0.006 2.524 0.009 2.611 0.007
2.876 0.007 2.981 0.006 2.908 0.006 2.913 0.006 3.082 0.008 2.986 0.006 2.834 0.006 2.954 0.007 2.882 0.006 2.844 0.006 3.016 0.007 2.937 0.006
2.250 0.005 2.138 0.004 2.009 0.005 2.116 0.005 2.021 0.003 2.172 0.004 2.136 0.006 2.182 0.005 2.108 0.004 2.077 0.005 2.106 0.052 2.206 0.006
S
0.330 0.005 0.272 0.004 0.305 0.004 0.331 0.006 0.299 0.005 0.324 0.005 0.372 0.006 0.286 0.005 0.270 0.004 0.319 0.004 0.313 0.005 0.295 0.004
0.304 0.005 0.306 0.004 0.343 0.006 0.268 0.004 0.324 0.005 0.298 0.005 0.319 0.004 0.406 0.006 0.326 0.005
0.304 0.005 0.224 0.004 0.235 0.004 0.248 0.004 0.284 0.006 0.223 0.004 0.258 0.004 0.275 0.005 0.250 0.004 0.242 0.004 0.265 0.005 0.256 0.004
0.365 0.004 0.323 0.003 0.445 0.004 0.360 0.004 0.282 0.002 0.339 0.003 0.398 0.005 0.355 0.004 0.291 0.002 0.339 0.004 0.343 0.004 0.382 0.005
INVENTARIO 2
X2
108.71 (11) 172.80 (08) 68.09 (10) 57.27 (10)
132.40 (12) 122.68 (08) 125.70 (09) 103.66 (08) 25.85 (06)
168.29 (09) 142.96 (10) 56.47 (10)
107.16 (08) 201.17 (07) 237.39 (09) 72.45 (08)
182.48 (10) 286.42 (09) 160.82 (09) 237.02 (11) 129.54 (09)
361.56 (12) 665.39 (09) 306.79 (10) 141.97 (10) 166.09 (12) 286.12 (09) 34.30 (07) 54.58 (10)
114.02 (09) 153.79 (09) 398.38 (11) 90.81 (07)
230.94 (07) 73.79 (09)
111.23 (08) 62.88 (09) 30.20 (06)
203.98 (09) 104.06 (10) 93.62 (08) 44.58 (08)
129.78 (10) 33.17 (07)
146.99 (09)
M
2.497 0.007 2.630 0.006 2.546 0.007 2.837 0.008 2.769 0.007 2.795 0.007 2.974 0.009 2.831 0.009 2.700 0.005 2.780 0.008 2.911 0.008 3.004 0.008
2.626 0.007 2.605 0.006 2.714 0.008 2.609 0.006 2.668 0.007 2.752 0.008 2.624 0.006 2.751 0.008 2.809 0.007
3.011 0.008 3.082 0.006 3.038 0.006 3.094 0.005 3.316 0.006 3.149 0.005 3.144 0.005 3.214 0.006 3.151 0.005 3.221 0.005 3.260 0.008 3.229 0.006
2.520 0.005 2.378 0.004 2.390 0.004 2.435 0.005 2.274 0.004 2.471 0.005 2.544 0.006 2.512 0.005 2.464 0.004 2.479 0.004 2.524 0.005 2.599 0.006
S
0.390 0.006 0.322 0.004 0.342 0.005 0.267 0.006 0.287 0.005 0.282 0.005 0.279 0.007 0.236 0.006 0.197 0.004 0.270 0.005 0.236 0.005 0.217 0.006
0.316 0.005 0.319 0.004 0.352 0.006 0.281 0.004 0.306 0.005 0.316 0.006 0.231 0.004 0.313 0.006 0.252 0.005
0.320 0.006 0.263 0.005 0.250 0.004 0.208 0.004 0.200 0.005 0.186 0.004 0.165 0.003 0.189 0.004 0.170 0.003 0.161 0.004 0.231 0.005 0.166 0.004
0.339 0.00 4 0.326 0.00 3 0.331 0.00 3 0.327 0.00 3 0.295 0.00 3 0.314 0.00 3 0.336 0.00 4 0.302 0.00 3 0.277 0.00 3 0.274 0.00 3 0.291 0.00 4 0.295 0.00 4
INVENTARIO 2
2.561 3.316 1.450 2.038 2.684 3.688
4.256
0.010
Ef)4
0.744 0.451 0.556 0.807 0.304 0.491 0.494 0.498 0.531 2.074 0.698
M
3.112 0.116 3.259 0.129 2.800 0.091 2.834 0.123 3.210 0.110 3.176 0.156 5.398 3.508 3.337 3.675 3.200 0.176 4.015
3.714 0.023 4.350 3.246 4.183 7.892 2.919 3.769 4.671
21.267 0.162 22.475 0.138 21.469 0.132 22.536 0.127 6.925
23.683 0.125 4.925 3.916
23.686 0.121 4.273
26.665 0.184 25.571 0.151
4.419 2.501 0.063 2.269 0.049 2.388 0.053 2.426 0.073 2.103 0.041 2.398 0.048 2.329 0.051 2.349 0.049 2.350 0.053 2.879 0.119 2.480 0.062
S
0.216 0.024 0.171 0.022 0.267 0.024 0.268 0.032 0.184 0.020 0.191 0.030 0.024 0.119 0.104 0.108 0.177 0.031 0.078
0.105 0.023 0.067 0.148 0.066 0.001 0.172 0.114 0.038
6.176 0.117 5.215 0.101 4.867 0.095 4.456 0.091 0.005 4.054 0.091 0.027 0.093 3.852 0.088 0.056 5.257 0.133 4.136 0.113
0.051 0.290 0.017 0.371 0.017 0.342 0.017 0.256 0.017 0.445 0.018 0.387 0.018 0.361 0.018 0.309 0.015 0.311 0.016 0.210 0.024 0.331 0.021
INVENTARIO 3
X2 (df)
109.90 (09) 168.68 (13) 90.86 (09) 79.15 (11)
110.99 (12) 86.80 (09)
144.53 (11) 44.68 (06) 37.77 (07) 53.35 (07)
158.83 (09) 83.48 (08)
98,43 (09) 89.96 (06)
128.73 (10) 63.76 (07)
116.58 (08) 72.89 (08)
105.43 (07) 115.11 (08) 90.31 (07)
101.30 (10) 136.76 (09) 66.49 (09) 77.66 (08) 27.68 (11) 90.27 (08) 88.23 (08) 26.35 (08) 67.44 (07)
124.69 (08) 95.99 (08) 20.36 (06)
176.57 (07) 82.59 (04) 11.80 (05) 48.42 (03)
104.31 (05) 116.20 (05) 46.98 (05) 83.40 (05)
197.34 (05) 177.34 (05) 97.24 (05) 62.12 (05)
A
-26.814 -2.321 1.330
-17.055 6.201 -5.863 4.383 6.177 0.966
-97.469 -33.931 -0.232 E404 -5.933 4.340
2.992 0.164 1.383 2.969
0»
-141.110 26.110
00
7.647 3.821 -15.776 -57.572
-O.300 2.070 00
-18.626
-314.078 00
00
00
-93.652 00
9.068 1.906 9.697 2.026
-21.287 0.283 5.461
00
8.194 3.575
0.250 B|04 2.564 0.862 1.404 1.796
-13.786 -10.951 -8.290 1.642
-47.803 -34.235 -0.696 0.748 -8.323 2.710 1.052
-59.370
M
3.757 2.918 0.074 3.477 0.193 3.267 0.169 2.568 0.062 4.765 4.049 7.759 3.164 0.185 2.992 0.164 3.075 0.139
24.246 0.172
7.263 3.739
18.933 0.133 3.187 0.159 3.516 4.350 2.835 0.124
20.222 0.132 3.667
5.822 24.563 0.134 22.345 0.135 23.996 0.123 4.814
24.762 0.118 2.714 0.126 2.818 0.124 3.840 3.264 0.211
29.567 0.163 2.949 0.190
7.830 2.446 0.077 2.707 0.123 3.358 3.112 3.011 0.081 4.139 3.914 2.469 0.066 3.114 2.478 0.091 4.337
S
0.126 0.273 0.020 0.152 0.028 0.182 0.031 0.336 0.021 0.040 0.100 0.001 0.143 0.026 0.212 0.034 0.182 0.025 4.254 0.127
0.003 0.108 5.250 0.096 0.157 0.025 0.121 0.599 0.203 0.025 4.380 0.0% 0.100
0.016 4.727 0.099 4.982 0.099 4.133 0.089 0.044 3.774 0.086 0.235 0.029 0.255 0.032 0.084 0.149 0.031 4.158 0.120 0.196 0.037
0.001 0.298 0.023 0.269 0.033 0.091 0.180 0.143 0.011 0.058 0.060 0.330 0.021 0.161 0.247 0.022 0.044
Tabla 18: Ajuste de la función de distribución LN 3 (1og normal de tres parámetros)
PARCELA
S011A S012A S013A S011C S012C S013C S011D S012D S013D S011E S012E S013E
S021A S022A S023A S021C S022C S023C S021D S022D S023D
SG11A SG12A SG13A SdlC SG12C SG13C SG11D SG12D S&3D SG11E SG12E SG13E
SG21A S622A SG23A SG21C SG22C SG23C SG21D SG22D SG23D SG21E SG22E SG23E
X2 (df)
159.55 88.56 88.65 73.71 86.19 151.57 90.78 64.75 70.77 85.93
176.48 72.41
72.81 27.24
117.66 23.69 43.08 41.04 38.14
122.17 44.07
161.15 276.83 37.26
100.82 82.88 252.79 101.32 82.64 79.52
146.02 82.41 71.99
48.74 197.32 180.86 131.85 < 119.86 1 268.23 i 139.67 1 16.41 100.63 52.14 < 10.71 1 17.66 i
(08) (05) (08) (10) (08) (07) (06) (06) (06) (08) (09) (07)
(06) (05) (07) (06) (07) (07) (05) (08) (08)
(09) (07) (08) (11) (14) (08) (07) (11) (08) (09) (09) (10)
(07) [07) [09) [06) [04) [07) [07) [05) [05) [06) [05) [07)
INVENTARIO 1
A
-8.529 -4.610 -1.420 -2.529 -12.383 -7.997
-205.871 -49.249 -12.710 -1.920 -10.158 -2.886
-146.709 -15.648
00
-4.632 -41.542 -45.486 -58.641 -32.794 -48.826
0.027 1.698 1.250
3.676 3.145
1.271 1.151 3.619 1.585
1.972
-O.00005
-O.00001
-0.00001 -6.559
-18.614 2.880 -3.485 1.229 3.670 3.538 -0.117 -1.683 3.756 1.367 0.154 -2.016
3.503
0.138 0.666 0.519 0.078 0.106 0.676 0.936 0.093 0.522 0.705 0.957
M
3.053 2.925 2.653 2.805 3.264 3.091 5.394 4.114 3.211 2.624 3.227 2.840
5.076 3.350
14.790 2.857 4.003 4.103 4.236 3.826 4.142
8.609 20.307 18.783 18.937 22.579 20.234 7.073 19.866 7.231 3.173 21.031 19.445
3.345 1.680 2.406 1.952 1.590 2.150 2.360 1.431 1.885 2.087 2.4133 27.304
0.003 0.093 0.091
0.142 0.146
0.021 0.086 0.146 0.095
0.115 0.115
0.111 0.114 0.116 0.169 0.120
0.128
0.149 0.146 0.120
0.029 0.061 0.076 0.026 0.026 0.090 0.027 0.085 0.089 0.088
....
S
0.198 0.203 0.275 0.277 0.156 0.204 0.023 0.053 0.081 0.276 0.184 0.245
0.025 0.135 4.696 0.195 0.076 0.071 0.049 0.114 0.070
0.009 4.132 4.134 4.213 5.746 3.997 0.003 4.941 0.003 0.174 5.100 4.528
0.133 0.509 0.314 0.412 0.559 0.583 0.394 0.304 0.549 0.3% 0.349 0.320
0.003 0.019 0.024
0.021 0.024
0.071 0.022 0.026 0.023
0.080 0.022
0.082 0.082 0.082 0.122 0.088
0.092
0.026 0.107 0.086
0.014 0.017 0.025 0.145 0.015 0.026 0.024 0.014 0.026 0.026 0.024
X2 (df)
58.20 123.84 58.10 57.27
105.12 113.69 94.06 92.61 12.55 124.27 139.38 36.13
21.65 46.18 135.52 40.00 79.41 129.75 151.53 166.94 54.36
185.99 313.55 110.% 46.45 119.49 140.19 12.80 42.95 47.56 139.03 163.19 58.49
49.51 69.50 105.88 62.14 25.27 147.63 95.93 83.00 39.85
124.62 21.55
143.70
(10) (07) (09) (09) (11) (07) (08) (07) (05) (08) (09) (09)
(07) (06) (08) (07) (09) (08) (08) (10) (08)
(12) (09) (10) (10) (11) (09) (06) (09) (09) (08) (11) (07)
(06) (08) (07) (08) (05) (08) (09) (07) (07) (09) (06) (08)
INVENTARIO 2
A
-9.987 -11.855 -3.530 0.055
-8.615 -9.409
-200.846 -16.212 -13.117 -23.005 -6.027 -34.985
-26.826 -164.268 -61.700 -11.874 -50.671 -0.267 -4.640 -27.248 -89.895
ce
0»
es
ee
-989.926 ee
-114.330 -25.081
es
-46.505 0»
00
-70.094 -1.365 1.181 0.502 -1.553 3.418 1.635 1.967 1.224 1.381 -5.041 1.449
2.561 3.316 1.450 2.038 2.684 3.688
4.256
0.010
Ef04
0.744 0.451 0.556 0.807 0.304 0.491 0.494 0.498 0.531 2.074 0.698
3.11: 3.25! 2.8a 2.8¿ 3.21( 3.17< 5.391 3.501 3.33' 3.67! 3.2CX 4.01!
3.71^ 0.02: 4.35Í 3.24< 4.18: 7.89Í 2.91Í 3.76< 4.67]
21.261 22.47Í 21.46Í 22.53* 6.925
23.68: 4.92Í 3.91Í 23.686 4.27^ 26.66E 25.571
4.41S 2.503 2.26S 2.38Í 2.426 2.103 2.398 2.329 2.349 2.35C 2.879 2.480
INVENTARIO 2
P
0.007 0.007
0.005 0.028
0.016
0.052
0.010
0.016
0.067
0.004
0.061 0.006
0.0008
0.077 0.0007 1.816 0.002 0.0006
0.001
Q
193.294 0.033 144.298 0.019 118.052 31.397 0.0005 99.309 0.031 13.466 178.139 0.036 199.708 120.250 106.566 0.027 105.017 168.047
182.088 0.028 338.014 351.561 221.751 272.889 316.283 90.882 273.632 279.492
368.397 0.072 362.976 318.738 137.559 0.029 174.570 107.592 103.432 0.003 159.978 110.645 0.024 107.977 0.001 321.864 145.980
209.032 33.215 14.832 0.0002 19.047 45.892 11.175 0.004 13.008 0.0001 15.198 1.816 18.771 0.0004 18.955 0.0001 117.081 21.743 0.0002
B
0.002 0.00002 0.005 0.00003 0.005 0.048 0.0004 0.008 0.00007 0.906 0.004 0.00004 0.005 0.018 0.009 0.00008 0.011 0.007
0.004 0.00003 0.002 0.001 0.004 0.002 0.002 0.018 0.002 0.003
0.001 0.00001 0.002 0.002 0.009 0.00006 0.006 0.016 0.023 0.0001 0.008 0.018 0.0001 0.022 0.0001 0.002 0.013
0.003 0.036 0.162 0.0007 0.087
1.802 0.009 0.193 0.0016 0.237 0.112 0.214 0.0009 0.219 0.001 0.0085 0.088 0.0005
INVENTARIO 3
X2
123.12 (09) 168.07 (13) 92.58 (09) 79.24 (11) 109.85 (12) 105.17 (09) 151.39 (11) 63.56 (06) 38.26 (07) 54.86 (07) 156.56 (09) 162.04 (07)
100.39 (09) 92.04 (06) 187.01 (09) 63.24 (07) 120.22 (08) 81.48 (08) 104.69 (07) 144.26 (07) 95.96 (07)
123.76 (10) 308.62 (08) 145.28 (08) 106.73 (07) 40.94 (11) 137.64 (07) 90.77 (08) 29.20 (08) 70.83 (07) 124.82 (08) 153.61 (07) 21.31 (06)
258.77 (07) 87.95 (04) 12.22 (05) 50.10 (03) 105.88 (05) 121.19 (05) 64.98 (05) 97.72 (05) 200.52 (05) 178.44 (05) 99.67 (05) 73.44 (05)
P
9.082 0.008 13.961 10.136 22.187 601.238 0.098 18.445 19.013 23.740 37.343 0.006 55.820 0.041 127.656 0.032 37.007 0.099
13.169 0.012 12.573 12.117 21.933 20.863 19.460 47.686 21.895 39.108 0.012
17.793 28.137 21.124 40.858 35.291 63.120 0.009 269.587 413.180 64.735 198.202 0.048 76.889 207.866
9.099 72.029 0.025 44.599 0.016 48.659 8.724 0.013 19.737 0.006 18.105 0.012 32.152 13.521 0.003 18.077 0.007 192.446 0.019 32.969 0.008
Q
235.904 0.031 39.990 260.853 100.396 20.365 0.006 239.444 119.538 0.021 202.410 102.349 0.006 33.179 0.008 47.435 0.006 115.064 0.040
202.889 0.032 293.233 277.068 138.172 204.186 220.421 46.406 241.086 102.647 0.012
221.793 112.465 179.322 155.312 148.927 116.551 0.002 54.811 43.205 0.001 115.920 59.789 0.010 110.951 71.232
281.254 22.570 0.004 26.938 0.003 100,720 145.951 0.005 125.158 0.010 195.079 0.026 184.222 21.671 0.002 106.409 0.011 28.852 0.002 101.091 0.002
B
0.002 0.0000 0.002 0.002 0.010 1.554 0.010 0.003 0.006 0.00006 0.005 0.020 0.0001 0.088 0.0006 0.117 0.0007 0.013 0.0001
0.004 0.00003 0.0026 0.0023 0.009 0.005 0.004 0.06 0.004 0.017 0.0001
0.003 0.010 0.005 0.011 0.007 0.022 0.0001 0.200 0.362 0.001 0.022 0.126 0.0006 0.023 0.107
0.002 0.228 0.001 0.101 0.0007 0.032 0.005 0.00003 0.012 0.005 0.006 0.00001 0.010 0.055 0.0003 0.011 0.00006 0.460 0.002 0.019 0.0001
Tabla 19: Ajuste de la función de distribución BETA II
PARCHA A iu\vij|jn
S011A S012A S013A S011C S012C S013C S011D S012D S013D S011E S012E S013E
S021A S022A S023A S021C S022C S023C S021D S022D S023D
SG11A SG12A SG13A SG11C SG12C SG13C SG11D SGÍ2D SG13D SG11E SG12E SG13E
S621A SG22A SG23A SG21C SG22C SG23C SG21D SG22D SG23D S621E SG22E SG23E
X2
120.46 139.27 104.56 99.12 65.84 72.58 224.21 94.29 71.26 85.61 176.35 71.11
61.11 39.12 50.10 22.16 71.64 70.68 84.84 151.59 80.74
199.91 458.24 92.27 230.40 196.32 42.62 147.86 203.38 116.26 145.51 146.31 192.02
58.22 257.89 178.88 138.87 349.21 389.59 140.30 16.30 258.86 52.20 11.81 17.64
(08) (05) (08) (10) (08) (07) (06) (06) (06) (08) (09) (07)
(06) (05) (05) (06) (07) (07) (05) (08) (08)
(09) (06) (07) (10) (13) (07) (07) (10) (08) (09) (08) (09)
(07) (07) (09) (06) (04) (07) (07) (05) (05) [06) 05) [07)
INVENTARIO 1
P
12.123 0.014 9.486 0.009 15.016 14.306 10.893 8.650 0.007 16.741 0.016 199.043 15.332 0.008 13.251 11.533 0.0088 14.470
11.827 11.708 9.142 0.022 16.548 10.340 0.010 12.318 10.308 6.462 0.009 10.188
11.848 0.015 22.989 20.958 19.024 14.288 26.466 16.792 0.012 15.056 17.758 19.988 16.334 17.183
7.477 0.0003 5.137 19.867 351.991 0.023 0.0003 10.9% 10.252 0.0003 32.398 0.003 15.572 8.881
Q
66.327 112.156 98.367 24.816 49.571 12.675 33.451 13.207 133.184 38.166 118.886 58.890
195.457 225.707
100.340 221.075 297.206 219.906 240.104 365.059
304.665 283.837 207.178 221.593 323.993 111.371 215.265 315.704 306.973 132.275 219.526 236.742
240.163 9.726
106.624 13.675 13.831 9.369 15.119 31.694 12.563 13.271 19.033 27.304
0.064
0.051 0.066
0.149
0.018
0.034
0.048
0.056
0.029
0.001
0.0003
0.0007
B
0.023 0.004 0.003 1.021 0.012 1.318 0.002 1.124 0.009 0.028 0.006 0.016
0.004 0.003
0.012 0.003 0.002 0.004 0.002 0.001
0.002 0.004 0.005 0.004 0.001 0.011 0.004 0.002 0.003 0.008 0.003 0.003
0.003 48.760 0.005 0.176 4.489 49.575 0.084 0.035 38.254 0.311 0.099 0.034
0.00002 0.00007
0.00001
0.00005
0.00005
0.00002
0.00002
0.00002
0.00003
0.119
0.0005
0.001
X2
58.68 125.45 53.43 57.37 112.79 151.83 94.70 94.81 17.34 141.35 139.47 44.62
49.38 107.28 165.41 41.10 114.77 205.91 153.93 191.73 88.35
274.61 538.62 227.73 108.90 146.05 255.00 29.29 46.91 100.28 149.73 316.56 82.02
108.86 69.56 115.43 67.47 24.95 168.35 97.75 90.02 37.12 124.08 21.01 149.40
(10) (07) (09) (09) (11) (07) (08) (07) (05) (08) (09) (09)
(07) (06) (08) (07) (09) (08) (08) (10) (08)
(11) (08) (09) (09) (11) (08) (06) (09) (08) (08) (10) (06)
(06) (08) (07) (08) (05) (08) (09) (07) (07) (09) (06) (08)
INVENH
P
6.955 10.737 9.411 25.861 14.260 139.179 14.523 20.307 33.127 16.467 22.011 25.031
11.097 10.721 8.910 13.929 11.691 11.087 24.088 10.954 17.421
10.919 16.505 18.214 28.533 30.112 41.479 57.194 34.682 50.673 59.757 22.349 48.919
9.418 13.264 25.967 19.046 15.169 228.559 31.284 43.579 46.629 48.794 12.903 25.853
0.007 0.007
0.005 0.028
0.016
0.052
0.010
0.016
0.067
0.004
0.061 0.006
0.0008
0.077 0.0007 1.816 0.002 0.0006
0.001
1 1 1
2 2 3
2 2
3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 3 1
2
1
INVENTARIO 2
A
30 0.051 00 0.077 00 0.048 30 0.092 30 0.072 00 0.091 60 0.103 90 0.092 00 0.070 90 0.088 00 0.121 00 0.119
00 0.078 00 0.082 70 0.084 00 0.059 00 0.089 00 0.077 00 0.092 80 0.117 70 0.107
50 0.121 50 0.149 30 0.099 00 0.123 30 0.346 30 0.209 00 0.382 50 0.463 90 0.327 60 0.541 30 0.119 00 0.344
10 0.122 80 0.132 70 0.187 00 0.209 60 0.062 90 0.087 00 0.079 40 0.914 50 0.101 80 0.119 60 0.092 80 0.126
B
9.852 0.147 10.835 0.306 9.479 0.123
10.493 0.144 13.888 0.219 12.365 0.181 14.4% 0.227 10.661 0.133 9.189 0.139
12.244 0.302 11.146 0.296 13.008 0.286
10.644 0.196 10.330 0.226 13.802 0.341 10.270 0.218 11.330 0.327 15.000 0.439 10.242 0.439 12.636 0.229 12.174 0.392
18.795 0.546 18.788 0.623 17.614 0.466 14.936 0.309 17.517 0.574 17.884 0.439 11.727 0.262 13.215 0.318 13.120 0.401 13.140 0.539 24.279 0.882 11.802 0.344
10.191 0.311 7.420 0.092 7.733 0.112 7.951 0.108 6.299 0.077 8.531 0.101 9.566 0.356 8.477 0.328 8.712 0.349 7.407 0.299 7.276 0.184 9.326 0.276
C
1.888 0.053 2.182 0.077 1.999 0.072 2.126 0.084 2.558 0.088 2.586 0.092 2.469 0.087 2.465 0.076 2.835 0.094 2.705 0.091 2.359 0.119 2.865 0.099
2.300 0.103 2.291 0.105 2.584 0.117 2.519 0.093 2.430 0.099 3.104 0.113 2.872 0.119 2.951 0.104 2.362 0.086
3.054 0.119 3.975 0.159 3.659 0.143 3.529 0.127 3.185 0.138 4.6% 0.144 3.040 0.108 2.676 0.114 3.309 0.121 3.145 0.128 5.354 0.219 2.790 0.104
2.299 0.088 1.841 0.071 1.845 0.077 1.833 0.073 1.940 0.079 l .%2 0.084 1.910 0.088 1.975 0.093 2.325 0.089 1.907 0.062 1.807 0.080 2.050 0.085
INVENTARIO 3
X2
128.69 (09) 257.61 (13) 75.44 (09)
137.72 (11) 55.10 (12) 60.12 (09)
144.38 (11) 43.05 (06) 66.61 (07) 45.85 (07)
164.84 (09) 27.51 (08)
70.08 (09) 57.24 (06)
195.36 (10) 62.76 (07)
107.18 (08) 55.43 (08) 87.46 (07) 64.27 (08)
106.23 (07)
86.45 (10) 110.42 (09) 103.71 (09) 76.55 (08) 79.60 (11) 92.92 (08) 49.72 (08) 43.53 (08) 72.86 (07) 87.97 (08) 83.13 (08) 31.05 (06)
129.04 (07) 88.54 (04) 48.50 (05) 47.86 (03) 97.84 (05)
121.66 (05) 90.17 (05)
117.53 (05) 107.41 (05) 124.91 (05) 103.65 (05) 66.00 (05)
A
6.30 0.104 5.90 0.125 6.00 0.126 9.00 0.145 9.90 0.153 8.40 0.127
10.20 0.219 11.00 0.197 9.00 0.112
11.00 0.203 11.50 0.239 11.00 0.246
5.00 0.099 6.00 0.123 5.00 0.118 7.00 0.127 6.00 0.133 9.00 0.145 9.50 0.173 9.10 0.168
11.00 0.239
10.50 0.233 8.00 0.187 9.10 0.191
13.00 0.272 15.00 0.298 12.00 0.249 17.00 0.372 17.00 0.368 16.00 0.349 16.00 0.327 15.50 0.345 19.00 0.448
2.50 0.082 7.00 0.139 9.00 0.208 9.00 0.217 3.50 0.073 5.00 0.136 7.00 0.152 7.00 0.186 4.20 0.088 7.00 0.151 7.00 0.170 9.00 0.204
B
11.415 0.327 12.371 0.342 10.936 0.288 13.283 0.292 11.397 0.286 13.057 0.421 15.218 0.503 9.955 0.300
10.084 0.307 9.738 0.271
13.275 0.317 14.593 0.462
13.080 0.480 11.523 0.327 15.539 0.443 11.109 0.271 13.519 0.307 12.440 0.241 10.671 0.197 14.529 0.245 10.935 0.203
14.848 0.307 18.106 0.539 15.070 0.353 12.319 0.266 16.537 0.431 14.109 0.321 9.028 0.172
11.283 0.286 10.654 0.245 12.031 0.277 15.484 0.358 9.760 0.199
12.729 0.306 8.545 0.152 8.879 0.147 6.863 0.193 9.535 0.242 8.156 0.162 9.069 0.232
10.004 0.285 8.585 0.190 8.474 0.217 8.991 0.233 9.255 0.311
C
1.982 0.068 2.162 0.083 2.124 0.072 2.565 0.084 2.056 0.063 2.662 0.088 2.518 0.075 2.290 0.074 2.767 0.081 2.098 0.066 2.978 0.079 3.511 0.120
2.716 0.104 2.459 0.093 2.932 0.117 2.746 0.119 3.198 0.121 2.558 0.104 2.863 0.118 3.250 0.124 2.639 0.119
2.515 0.121 4.231 0.143 3.053 0.125 2.093 0.131 2.924 0.122 3.765 0.139 2.203 0.086 2.388 0.093 2.593 0.092 2.870 0.088 3.953 0.146 2.381 0.097
2.781 0.086 2.335 0.104 2.058 0.078 2.441 0.087 2.261 0.092 2.589 0.114 2.360 0.118 3.169 0.243 1.995 0.133 2.145 0.127 2.795 0.121 2.532 0.149
T a b l a 2 0 : A j u s t e de la f u n c i ó n de d i s t r i b u c i ó n W E I B U L L
PARCELA & iu\vJJLm
S011A S012A S013A S011C S012C S013C S011D S012D S013D S011E S012E S013E
S021A S022A S023A S021C S022C S023C S021D S022D S023D
SG11A SG12A SG13A SG11C SG12C SG13C SG11D SG12D SG13D SG11E SG12E SG13E
SG21A S622A SG23A SG21C SG22C SG23C SG21D SG22D SG23D SG21E SG22E SG23E
X2
103.72 U8.59 161.96 93.42 340.81 107.31 138.66 54.21 33.12 40.37 158.84 62.07
58.18 31.40 126.55 20.82 38.72 89.02 94.44 45.41 43.85
129.89 148.73 37.86 97.87 34.67 89.47 68.75 93.62 40.06 125.92 99.06 66.09
82.72 111.02 130.91 138.98 1 221.12 1 173.43 1 195.77 1 31.41 \ 80.72 i 91.32 i 34.70 ( 48.45 <
(08) (05) (08) (10) (08) (07) (06) (06) (06) (08) (09) (07)
(06) (05) (07) (06) (07) (07) (05) (08) (08)
(09) (07) (08) (11) (14) (08) (07) (11) (08) (09) (09) (10)
07) [07) [09) [06) [04) 07) 07) 05) 05) 06) 05) 07)
INVENTARIO 1
A
5.00 5.99 5.99 5.99 5.99 4.50 4.80 5.00 4.70 5.00 4.50 5.00
4.50 5.00 3.00 5.00 4.00 5.00 4.50 4.00 4.00
5.10 7.10 6.10 4.10 5.00 1.00 5.10 5.00 6.00 5.10 6.60 5.00
4.70 3.95 2.50 4.80 2.50 2.10 4.90 4.80 3.55 4.10 4.80 4.80
0.091 0.087 0.088 0 073 0.132 0.093 0.083 0.077 0.073 0.081 0.090 0.079
0.088 0.073 0.103 0.072 0.066 0.089 0.111 0.075 0.070
0.119 0.117 0.069 0.081 0.063 0.098 0.082 0.091 0.068 0.102 0.100 0.093
0.103 0.088 0.115 0.121 0.137 0.125 0.131 0.068 0.093 0.066 0.075 0.109
B
7.986 8.158 6.892 8.115 7.617 10.153 9.7% 9.503 7.252 7.222 11.280 9.8%
10.165 9.324 13.265 9.150 10.634 11.449 7.048 10.721 11.626
15.116 14.629 14.099 16.363 19.486 20.960 13.929 16.527 13.864 14.050 16.055 14.010
6.169. 5.566 6.474 4.6% 6.095 8.181 5.213 5.285 5.925 5.118 4.525 5.625
0.113 0.124 0.143 0.099 0.234 0.127 0.121 0.118 0.115 0.118 0.173 0.121
0.183 0.176 0.291 0.144 0.203 0.181 0.187 0.212 0.177
0.321 0.298 0.303 0.400 0.227 0.519 0.373 0.446 0.421 0.462 0.419 0.507
0.221 0.341 0.453 0.327 0.639 0.419 0.328 0.231 0.292 0.271 0.187 0.235
C
1.718 1.806 1.241 1.350 1.383 2.093 1.818 2.208 2.094 1.673 2.244 2.122
2.438 2.273 2.872 2.470 2.436 2.525 1.989 1.961 2.518
2.814 3.813 3.439 3.924 3.308 5.859 3.201 3.310 3.142 3.184 3.246 3.539
1.599 1.576 1.669 1.433 2.334 2.242 1.390 1.511 1.970 1.740 1.471 1.447
0.041 0.052 0.033 0.038 0.066 0.087 0.059 0.086 0.074 0.052 0.096 0.084
0.093 0.106 0.147 0.098 0.087 0.093 0.081 0.087 0.128
0.132 0.118 0.107 0.128 0.111 0.122 0.096 0.117 0.101 0.184 0.162 0.169
0.059 0.049 0.056 0.047 0.066 0.086 0.051 0.065 0.073 0.071 0.044 0.049
X2
65.05 208.20 29.81 80.38 128.45 107.03 145.45 79.69 7.66
136.91 73.37 68.62
60.76 61.37 122.45 20.92 108.47 136.56 153.00 131.07 99.39
165.90 198.40 72.39 46.97 113.24 81.80 34.28 66.89 71.69 121.88 78.09 53.10
40.69 42.44 104.44 67.07 21.63 90.29 93.22 118.85 124.49 121.15 35.47 143.58
(10) (07) (09) (09) (11) (07) (08) (07) (05) (08) (09) (09)
(07) (06) (08) (07) (09) (08) (08) (10) (08)
(12) (09) (10) (10) (11) (09) (06) (09) (09) (08) (11) (07)
(06) (08) (07) (08) (05) (08) (09) (07) (07) (09) (06) (08)
INVENTARIO 2
A
4.30 5.00 5.00 8.30 4.30 6.00 7.60 7.90 7.00 5.90 9.00 9.00
5.00 5.00 3.70 5.00 5.00 3.00 5.00 5.80 5.70
4.50 5.50 5.30 9.00 12.30 7.30 13.00 13.50 11.90 13.60 4.30 15.00
4.10 4.80 4.70 5.00 4.60 4.90 5.00 5.40 4.50 5.80 6.60 5.80
0.051 0.077 0.048 0.092 0.072 0.091 0.103 0.092 0.070 0.088 0.121 0.119
0.078 0.082 0.084 0.059 0.089 0.077 0.092 0.117 0.107
0.121 0.149 0.099 0.123 0.346 0.209 0.382 0.463 0.327 0.541 0.119 0.344
0.122 0.132 0.187 0.209 0.062 0.087 0.079 0.914 0.101 0.119 0.092 0.126
B
9.852 10.835 9.479 10.493 13.888 12.365 14.4% 10.661 9.189 12.244 11.146 13.008
10.644 10.330 13.802 10.270 11.330 15.000 10.242 12.636 12.174
18.795 18.788 17.614 14.936 17.517 17.884 11.727 13.215 13.120 13.140 24.279 11.802
10.191 7.420 7.733 7.951 6.299 8.531 9.566 8.477 8.712 7.407 7.276 9.326 l
Cabe señalar que para todos los ajustes excepto Weibull,
el valor de X 2 se calcula de forma automática mediante MLP.
Para el caso de la Weibull se utilizó el paquete esta
dístico STATGRAPHICS.
4.5.3 Determinación del mejor ajuste
Para determinar cuál era el mejor ajuste, se calculó el
estadístico X 2 íchi-cuadrado) para cada parcela de cada
inventario. Este se comparó parcela a parcela y permite
continuar con el ajuste de menor x2 global.
El estadístico X 2 mide la bondad del ajuste en términos
de su hipótesis nula:
H0: Fnfx> = F0(x)
donde Fníx) es la función de distribución real y FQÍX) la
empírica , y la fórmula empleada para su cálculo es la
s i gu i ente:
íf i - e i ) 2
X2 -e i
donde fi: valor calculado e i : valor esperado
En la Tabla 31 se presentan los X 2 promedio de las tres
repeticiones por parcela para cada distribución.
Como se observa, la función de Weibull es la que tiene
un menor X 2 general, por lo que se decide trabajar con es
ta fune i ón.
187
Tabla 2 1 : Ch i cuadrado o b t e n i d o por la aplicación de seis funciones de d i s t r i b u c i ó n .
PARCELA
SOI Al SOI A2 SOI A3 SOI Cl SOI C2 SOI C3 SOI DI SOI D2 SOI D3 SOI EL SOI E2 501 E3 502 Al S02 A2 S02 A3 S02 a S02 C2 S02 C3 S02 DI S02 D2 S02 D3 SG1 Al SG1 A2 SG1 A3 SG1 Cl SG1 C2 SG1 C3 SG1 DI SG1 D2 SG1 D3 SG1 El SG1 £2 SG1 E3 SG2 Al SG2 A2 SG2 A3 SG2 Cl SG2 C2 SG2 C3 SG2 DI SG2 D2 SG2 D3 SG2 El SG2 E2 SG2 E3
X
GAM
119.93 77.09 115.35 103.79 96.38 122.90 78.75 65.70 82.46 112.88 105.72 123.24 99.52 103.12 122.28 51.87 116.89 85.78 101.70 145.55 115.45 241.54 339.40 176.85 167.37 153.63
84.86 149.14 49.19 75.74 155.43 175.33 96.94 271.09 119.76 127.30 631.48 153.54 87.58 297.03 150.92 119.31 58.09 132.39 119.95
139.42
N0R
215.14 178.63 205.40 180.93 160.25 186.44 96.60 62.74 90.89 221.71 116.24 128.94 85.24 77.42 107.60 69.64 100.77 104.80 80.23 157.64 131.61 157.69 203.50 101.64 82.75 102.13 65.86 87.78 37.87 108.24 115.95 121.53 97.92 282.80 53.97 163.65 283.18 131.60 145.00 268.75 349.82 63.85 141.29 358.40 166.79
143.35
LN
123.79 116.53 158.80 123.02 104.11 117.54 114.61 85.09 94.28 122.21 122.59 132.54 162.95 181.90 183.80 97.95 180.45 104.66 179.89 175.79 127.01 71.99 444.58 238.99 36.83 198.06 106.53 131.83 67.63 68.20 125.60 214.32 102.18 239.93 138.65 165.% 81.89 99.02 126.02 67.61 80.75 136.74 30.51 103.31 126.61
133.62
188
WEIBULL
128.09 101.02 103.91 180.51 105.28 84.31 75.33 77.60 84.68 87.09 92.% 96.40 92.04 81.52 101.56 49.52 88.65 75.12 61.23 127.82 85.98 105.49 145.56 100.19 74.00 80.37 83.02 70.47 57.62 55.37 97.02 84.35 67.38 108.21 62.52 88.69 199.84 59.66 89.12 102.63 112.18 105.03 58.15 100.06 98.18
91.77
LNA
122.25 80.04 123.14 103.82 92.02 92.34 75.43 76.40 75.66 111.60 99.92 98.55 72.57 67.78 102.70 35.93 88.05 84.14 68.12 124.27 103.61 158.41 203.50 101.51 145.49 102.04 65.20 87.82 34.43 60.67 100.14 120.23 80.34 142.30 74.96 90.32 193.31 98.34 89.64 85.59 116.09 109.24 60.17 %.62 112.23
97.18
BTWO
121.43 79.18 127.92 135.18 107.33 98.08 97.86 68.95 84.40 111.02 108.48 124.48 50.11 107.35 126.48 54.82 120.59 88.31 105.72 144.67 115.00 250.14 346.98 192.55 156.44 169.98 95.10 155.83 58.82 63.60 161.28 182.77 99.91 164.99 97.95 119.64 292.55 86.92 92.39 138.48 74.98 121.07 27.21 98.16 117.18
123.51
A continuación, una vez determinado que el mejor ajuste
es el de Weibull se profundizó más en él mediante la
prueba de Kolmogorov-Smirnov. El procedimiento de K-S es
una prueba de la bondad del ajuste, no paramétrica, apli
cable a distribuciones de frecuencia y prueba la hipótesis
de que la función de distribución Fn(x) es FQ(X) y esta
basado en las diferencias absolutas entre las distri
buciones de frecuencia acumulativas observadas y espera
das; las cuales se expresan como diferencias entre las
frecuencias acumulativas relativas, pudiendo encontrarse
valores críticos tabulados y decidir si la diferencia
máxima entre la distribución de frecuencia acumulativa
observada y esperada es significativa.
El estadístico de prueba de K-S está dado por:
D = max |F (x) - F (x)I n todo x1 n ° •
donde Fnfx) - función de una muestra
FQÍX) = función de una población
Las diferencias entre Fnfx) y FQ(X) deben ser examinadas
para todas las clases de la distribución y la hipótesis
nu l a:
H0 : Fnfx) = F0fx)
se rechaza al nivel de significación L cuando Dnfx) > da;n
donde Dn fx) : valor calculado
da;n ; valor tabulado
189
4.5.4 Estratificación de la información
Debido a que en esta etapa se pretende analizar la
información de las parcelas de modo que se puedan obtener
resultados por tratamiento e inventario. Se prueba donde
residen las mayores diferencias significativas, es decir,
cuál es el nivel apropiado para la posterior recuperación
de los parámetros . Para lograr ésto, primero se realiza
ron los análisis de varianza y luego, comparación de me
tí i as para cada parámetro de la función Wei bull y para ca
da inventario.
4,5.4.1 Análisis de Varianza (ANOVA)
En términos generales, podemos decir que el ANOVA per
mite discernir la naturaleza de la variación de los acon
tecimientos ÍSOKAL, 1979).
El modelo utilizado corresponde a uno de tipo lineal no
equilibrado y de diseño mixto debido a que los efectos
(tratamiento y sitio) tienen igual categoría. El factor
Bloque está anidado dentro del sitio, de manera que se
consideran todas las combinaciones posibles entre las
diferentes clases.
Nuestro modelo queda como sigue:
Y = T¡ + Sj + T X S + BkfSj) + Ejjk
donde T, S y B son las variables de clasificación
190
Tj = Tratamiento i = 1....4
Sj = Sitio J = 1 .... 4
B^ = Bloque k = 1 .... 3
E| jk = Error
Y = Variable dependiente
El valor Ejjk corresponde al efecto de la individuali
dad, en nuestro caso, de la parcela. Este efecto incluye
lo que no se controla y su conjunto constituirá el error o
var i anza res i dual.
La nipótesis nula del análisis consiste en que pobla
ciones normales representadas por sus muestras, poseen la
misma varianza, es decir:
H 0 : O Í 2 = a 22 = ... = o n
2
El test empleado es de dos colas dado que la nipóte
sis alternat iva es:
H1 : a j 2 i a 22 * ... * a n
2
Por último, es necesario señalar que el uso de la
prueba de significación (F) conduce a saber si la variabi
lidad encontrada entre los niveles del factor contrastado
es lo suficientemente grande como para admitir que alguno
de estos niveles nan dado mejor resultado que otros.
El ANOVA se realizó mediante el uso del paquete esta
dístico SAS/STAT y el procedimiento GLM (General Linear
Models). El test utilizado es TIPO lll que se caracteriza
191
porque actúa en presencia de valores "missing" (faltan-
tes), hecho que ocurre en el sitio COVALEDA que, como se
mencionaba anteriormente, solo tiene tres tratamientos (A,
C y D). Las hipótesis se mantienen al aplicar esta prueba.
Los resultados obtenidos en el ANDEVA se presentan en
el Anexo 3.
4.5.4.2 Prueba de medias de TUKEY
El método TUKEY utiliza la tabla "q" para el cálculo de
la región crítica y consiste en contrastar las parejas en
las que estamos interesados, para ver si las diferencias
son significativas, según la expresión:
S XI - X2 > q
v n
donde:
X : med i a
s : desviación
n : número de datos
q : valor de TUKEY
Esta prueba se realizó para las variables de clasifica
ción T (Tratamiento) y S (Sitio) para los parámetros a, b,
y c de 1 a función de Wei bu 11, por inventario, y se llevó a
cabo mediante el uso del paquete estadístico SAS/STAT y el
procedimiento GLM (General Lineal Models).
192
4.5.5 Recuperación de parámetros: La recuperación de
parámetros consiste en la obtención de ecuaciones de re
gresión de éstos como variable dependiente en función de
las variables de estado del rodal como variables indepen-
d i entes.
Los parámetros corresponden a los de la distribución de
Weibull; a, b, c y las variables de estado consideradas
son : edad (EDAD), densidad (DENSl), altura dominante
(HO) , diámetro medio cuadrático (Dg), área basimétrica
(AB), HO2 (H2), Dg2 (D2) y AB2 (ABE).
Además, para el cáculo de b, entra a como variable
independiente y para el cálculo de c entran a y b.
4.5.5.1 Métodos utlizados
Como primera etapa, se hizo la matriz de correlación
general.es decir la que integra toda la información (Tabla
22)
193
Tabla 22 : Matriz de correlación genera!
EDAD DENSI HO DG AB
EDAD
DENSI
HO
DG
AB
1.00000 0.0000
-0.65881 0.0001
0.68441 0.0001
0.68353 0.0001
0.16543 0.0552
0.54909 0.0001
0.50721 0.0001
0.44505 0.0001
-0.65881 0.0001
1.00000 0.0000
-0.66583 0.0001
-0.81150 0.0001
0.20070 0.0196
-0.51559 0.0001
-0.69560 0.0001
-0.56542 0.0001
0.68441 0.0001
-0.66583 0.0001
1.00000 0.0000
0.91416 0.0001
0.45750 0.0001
0.73270 0.0001
0.65223 0.0001
0.52451 0.0001
0.68353 0.0001
-0.81150 0.0001
0.91416 0.0001
1.00000 0.0000
0.21851 0.0109
0.75599 0.0001
0.75952 0.0001
0.66495 0.0001
0.16543 0.0552
0.20070 0.0196
0.45750 0.0001
0.21851 0.0109
1.00000 0.0000
0.15270 0.0770
0.19647 0.0224
0.16704 0.0528
0.54909 0.0001
-0.51559 0.0001
0.73270 0.0001
0.75599 0.0001
0.15270 0.0770
1.00000 0.0000
0.16835 0.0510
0.16316 0.0587
0.50721 0.0001
-0.69560 0.0001
0.65223 0.0001
0.75952 0.0001
0.19647 0.0224
0.16835 0.0510
1.00000 0.0000
0.86202 0.0001
0.44505 0.0001
-0.56542 0.0001
0.52451 0.0001
0.66495 0.0001
0.16704 0.0528
0.16316 0.0587
0.86202 0.0001
1.00000 0.0000
Los métodos utl izados para efectuar las regresiones
fueron tres: S T P W I S E íbackward), STEP y RSQUARE. Los dos
primeros fueron ejecutados en SPSS fStatistical Package
for the Social Sciences) y el último en SAS.
El método "stepwise" se hizo mediante la modalidad
bacKward, que consiste en lo siguiente:
a) Se calcula una regresión conteniendo todas las varia
bles.
b) Se calcula la prueba F parcial para cada variable pre-
194
dictora tratada como si fuera la última variable a entrar
en la ecuación de regresión.
c) El menor valor de F (digamos Fj) es comparado con un
nivel de significación FQ.
Si Fj>F0 se adopta la ecuación de regresión calculada.
Si F|<F0 se elimina la variable y se vuelve a calcular
la ecuación de regresión con las variables que permanecen.
Por lo tanto, es un método de eliminación de variables
hasta encontrar el Fj mayor que FQ.
El método "STEP" consiste en la entrada forzada de
ciertas variables prese I eco ionadas.
El método "RSQUARE" consiste en que a partir del con
junto de variables, se selecciona un número determinado de
ecuaciones que son las mejores con un determinado número
de variables. Por ejemplo: las 3 mejores ecuaciones con
dos variables predictoras, luego con tres variables pre-
dictoras, etc.
El criterio que se utiliza para evaluar que la ecuación
es "mejor" es R2.
Una vez obtenido un gran número de ecuaciones, se hizo
una tabla resumen (Tabla 23) en la que se aprecia qué
variables son las que aparecen con mayor frecuencia.
En el caso del método "RSQUARE" se combinaron los
criterios de:
195
- Menor número de variables
- Mayor R2 ajustado
- CP bajo y próximo al número de variables
Los dos últimos criterios se explican brevemente a
cont inuac ion:
- R_£ ajustado: Se refiere a una corrección que se le
realiza al coeficiente de determinación (R2)en el cual se
considera tanto el número de parámetros (incluida la
intercepción) y de datos.
R2a = í _ p(1-R2)
n-p
donde
R2 : coeficiente de determinación
P : número de parámetros
n : número de datos
- Cp d_e MALLOWS: Es una medida del error cuadrático medio
total y tiene en cuenta la suma de las desviaciones al
cuadrado respecto al modelo completo más el cuadrado de
los errores aleatorios en Y (ecuación de regresión) para
el conjunto de los n datos.
MALLOWS (1966) recomienda el empleo del estadístico
siguiente:
SCEp Cp - + 2 P - n
a2
196
donde:
SCEp : Suma de cuadrados del error del modelo pare i al
a2 : Estimación de S2 a través del modelo completo
P : número de parámetros (+ 1)
n : número de datos
Si Ja ecuación de regresión con p variables describe
bien los datos, SCED estimará (n-p)a2 y:
fn-p) a2
CD = + 2 p - n p
Por lo que la búsqueda del conjunto óptimo de variables
a identificar es el conjunto que conduce al valor mas
pequeño de Cp y aquel en el que los valores de CP estén
más próximos a p.
197
Tabla 23 : Resumen de las variables mas significativas para cada parámetro
INV
1
1
1
1
2
2
2
2
3
3
3
3
TOAT
A
C
D
E
A
C
D
E
A
C
D
E
Variab. depend.
a b c
a b c
a b c
a b c
a b c
a b c
a b c
a b c
a b c
a b c
a b c
a b c
EDAD
2 -
2
1 1 1
2 1 -
1 -1
1 -1
2 --
1 -
3
1 --
1 -—
1 -
1
1 -
1
2 -
1
DENSI
2 --
1 1 -
2 --
2 -
2
2 --
1 --
1 -1
1 1 1
2 -
2
2 1 -
1 --
1 2 -
HO
1 -2
2 --
1 --
1 -1
1 -1
-
-2
2 -
1
1 --
-
--
3 -1
1 -
1
1 -1
DG
2 3 -
-
1 -
-
3 1
1 2 -
1 3 -
1 3 -
-
3 -
-
--
-
3 -
-
2 -
1 2 -
-
1 —
AB
2 --
1 -
1
1 -
1
1 1 1
M2
---
-
-3
-
--
-
--
-
-1
3 --
1 --
-
-2
2 --
1 --
-
--
-
--
D2
--
2
2 3 1
1 --
3 -1
2 -3
1 -
1
3 -
1
1 1 1
2 --
1 1 1
2 -
1
1 -1
AB2
1 -
1
-
--
-
--
-
--
-
-1
-
--
-
-
1
-
--
1 1 -
1 3 -
1 2 -
1 1 1
a
-
2 -
-
3 -
-
3 -
-
1 -
-
2 -
-
3 -
-
3 1
-
1 -
-
3 -
-
3 -
-
1 -
-
1 —
b
--2
-
-
3
-
-
3
-
-2
-
-1
-
-
3
-
-
1
-
-
2
-
-
2
-
-1
-
-
1
-
-2
198
Una vez obtenido este conjunto de información, se pro
cede a establecer cada ecuación de regresión para cada
parámetro.
En total son 36 ecuaciones realizadas mediante el méto
do "enter" (SAS) que consiste en introducir Jas variables
de manera forzada, de forma que efectúe la regresión sólo
con las variables determinadas a priori, sin posibilidades
de entrar o salir, y bajo el supuesto de que previamente
se han elegido aquellas que se consideran óptimas bajo
los criterios antes señalados y que conducen a la mejor
descripción del problema. A continuación se entrega un
resumen de cada ecuación de regresión (Tabla 24) y en el
Anexo 4 se muestran los resultados de este proceso, con
toda la información que es posible obtener para describir
la bondad del ajuste. Cabe señalar que se ha realizado un
análisis de los residuos (descriptivo) y se obtiene el
valor de Durbin-Watson y su significación (presencia y
dirección de correlación serial).
4.5.5.2 Val i dac i on
La validación de los modelos obtenidos se ha realizado
en dos sentidos. Uno corresponde al cálculo de los
parámetros en función de las características cuantitativas
de cada parcela para el primer inventario. Dichos resulta
dos se dan en la Tabla 25 en que se comparan estos valores
ir) con los obtenidos mediante el ajuste de la distri
bución Wei bu il (w). Se calcula, además, el porcentaje de
199
nes de r e g r e s i ó n o b t e n i d a s p a r a l o s r o s de l a W e i b u l l , p o r i n v e n t a r i o y e n t o
REGRESIÓN
40.067 DG -0.221 EDAD -0.0009 DENSI -0.075 H0 +1.100 DG -0.975 A -0.0002 AB +0.288 B -0.153 H0 -0.003 EDAD
+1.301 H0 -0.017 D2 -0.967 A +0.033 D2 +0.339 B -O.016 H2
-0.098 EDAD -0.00005 DENSI +1.040 DG -1.157 A +0.031 AB -KJ.252 B -0.131 DG +0.025 AB
+0.071 D2 -2.540 DG -0.001 DENSI +0.942 DG +0.251 B +0.0002 DENSI
-2.360 DG +0,062 D2 -0.0006 DENSI +1.073 DG -1.100 A +0.004 D2
+0.850 HO +1.086 DG -1.075 A +0.284 B -0.152 HO +0.028 AB
+0.624 DG +0.108 H2 -3.317 HO +1.040 DG -1.030 A +0.0005 DENSI +0.057 EDAD +0.208 A -0.0007 AB2
-0.001 D2 +5.650 HO -0.161 H2 -0.001 DENSI +0.021 D2 -0.985 A 40.194 B 40.001 H2
+1.329 AB +0.042 D2 +0.005 DENSI -0.016 AB2 +0.743 DG -0.503 A +0.293 B +0.0002 DENSI
+0.130 H2 +0.0005 DENSI +5.684 HO +0.020 D2 40.586 A 40.001 AB2 40.083 EDAD -0.267 HO 40.0024 D2 40.074 AB 40.045 b
40.920 DG 40.0009 AB2 +1.003 DG -0.763 A -0.001 AB2 +0.113 B -0.00005 DENSI -0.047 DG
+0.556 EDAD +0.536 HO +0.001 DENSI +1.003 DG -1.013 A +0.271 B 40.001 DENSI 40.069 DG
R2
0.627 0.994 0.897
0.692 0.983 0.959
0.511 0.982 0.878
0.787 0.982 0.980
0.438 0.999 0.921
0.812 0.999 0.836
0.939 0.983 0.740
0.306 0.998 0.834
0.887 0.935 0.834
0.942 0.957 0.680
0.844 0.861 0.401
0.910 0.994 0.941
RA2
0.413 0.992 0.858
0.624 0.980 0.950
0.402 0.975 0.833
0.659 0.979 0.974
0.228 0.999 0.913
0.793 0.999 0.775
0.916 0.980 0.591
-1.098 0.998 0.991
0.823 0.920 0.797
0.920 0.941 0.586
0.810 0.809 0.176
0.880 0.991 0.906
Cp
8.323 7.631 3.211
2.223 25.464 19.545
3.728 4.184 0.215
2.367 0.494 4.426
-0.139 12.256 7.177
-1.912 22.076 5.042
2.941 -1.515 2.562
18.194 4.037 3.768
4.039 3.373 3.974
1.793 2.465 2.838
1.543 0.146 1.791
0.768 6.412 4.236
D
2.357 1.819 2.438
2.626 1.213 2.616
1.668 1.453 2.457
2.936 1.900 3.123
2,143 1.156 2.067
2.199 1.717 3.048
2.342 2.038 2.824
3.265 1.665 2.104
2.551 2.153 2.223
2.582 3.007 2.013
2.134 2.740 2.170
2.429 2.663 2.974
D+
*
*
*
*
D-
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
rámetros de la distribución ad de la masa (años) nsidad de la masa (número de árboles/ha) tura dominante (metros)
diferencia que ocurre entre el valor ajustado y el cal-
cu I ado ('/.).
Tabla 25 : Comparación de los valores de los parámetros que definen a la distribución wei bu I I í(w):ob-tenidos por ajuste; (r):obten idos por regre-s ion) .
PARCELA
SOI 3A SOI IC SOI 3D 501 3E
502 1A S02 2C S02 2D
SGl 3A SGl 2C SGl ID SGl 2E
SG2 2A SG2 2C SG2 2D SG2 2E
a(w) a(r) %desvia.
5.990 5.950 - 0.67 5.990 5.918 - 1.21 4.700 4.826 + 2.68 5.000 5.525 +10.50
4.500 4.500 0.00 4.000 4.813 +20.32 4.500 4.094 - 9.02
6.100 6.377 - 4.54 5.000 4.866 - 2.68 5.100 5.032 - 1.33 6.600 6.913 + 4.74
3.950 3.854 - 2.43 2.500 2.312 - 7.52 4.800 4.675 - 2.60 4.800 5.065 + 5.12
b(w) b(r) % desvia.
6.892 7.173 + 4.07 8.115 8.383 + 3.30 7.252 6.948 - 4.19 9.896 9.806 - 0.90
10.165 9.797 - 3.62 10.634 9.071 -14.69 7.048 7.215 + 2.36
14.099 13.685 - 2.93 19.486 20.281 + 4.07 13.929 13.960 + 0.22 16.055 16.588 + 3.31
5.566 5.254 - 5.60 6.075 7.001 +15.24 5.285 5.442 + 2.97 5.625 5.941 + 5.61
c(w) c(r) % desvia.
1.241 1.618 +30.37 1.350 1.540 +14.07 2.094 1.732 -17.28 2.122 2.007 -5.41
2.438 2.301 - 5.61 2.436 2.151 -11.69 1.989 1.719 -13.57
3.439 3.313 - 3.66 3.308 4.000 +20.91 3.201 3.043 - 4.93 3.246 3.495 + 7.67
1.576 1.451 - 7.93 2.334 2.568 +10.02 1.511 1.645 + 8.86 1.447 1.589 + 9.81
Cabe señalar que para esta validación, se eligió una
parcela al azar por cada tratamiento.
Por otra parte, se realizó validación en el sentido de
utilizar parcelas que no se habían usado para obtener los
modelos. Dichas parcelas se encuentran localizadas en
Gascones y Montejo (Sistema Central) y sus características
cuantitativas son las siguientes (Tabla 26).
201
Tabla 26 : Características cuantitativas de parcelas de ciaras de Pi ñus sy1vestr i s L. ut i 1 izadas en la validación de los modelos.
LOCALIDAD
Gascones
Montejo
PARCELA
M70 M71 M72
M75 M76
TOAT.
C D E
D C
DÍV.
1 1 1
2 2
EDAD
26 26 26
33 33
Densidad
2784 2576 2912
1140 1300
H0
11.6 12.0 12.6
16.8 15.8
Dg
13.6 14.6 14.2
23.7 23.0
AB
40.5 43.3 46.2
50.1 54.2
En base a sus variables de estado, se calcularon los
valores de los parámetros según la ecuación que les
corresponde por inventario (INV) y tratamiento (TRAT)
según Tabla 26. Dichos valores son los siguientes (Tabla
27) :
Tabla 27 : Parámetros calculados para parcelas de val i dac i ón.
Parce 1 a
M70 M71 M72 M75 M76
— .... . „ . . ,
Parámetro
a
5 . 483 6 . 544 5 , 101
1 4 . 0 5 0 7 . 7 2 1
b
7. 876 8 . 176 9 . 429
1 0 . 3 1 9 1 6 . 2 6 6
c
1 . 6 3 6 1 . 920 2 . 0 3 7 1 .913 3 . 8 6 6
A partir de esto, se calculan sus respectivas
distribuciones diamétricas, lo que se obtiene aplicando la
ecuación de la distribución de Wei bull, dando los
202
parámetros calculados y variando sólo el valor del
diámetro para obtener la tabla de frecuencias de cada
parcela. Posteriormente, se comparan dichas tablas
calculadas con las observadas mediante X2. En las
siguientes figuras se puede apreciar visualmente, las
diferencias que se producen entre ambos valores (Figura 24
a, b, c, d, e ) .
203
A B
8 10 12 14 16 18 20 22 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 CI ose8 D.A .P . (cm) Clo«08 D.A .P . (cm)
6 0 0 . 0 0 -
6 8 10 12 14 16 18 20 22 C loses D .A .P . (cm)
3 5 0 . 0 0 -
300 .00 -
2 5 0 . 0 0 -
2 0 0 . 0 0 -
150.00 -
100 .00 -
50.00 J-0 . 0 0 I
14 16 18 20 22 24 26 28 30 32
CI o 8 o © D.A .P . (cm)
1 r—1 r—i 1 r 14 16 18 20 22 24 26 28 30
Cloees D.A.P. (cm)
Figura 24 a, b, c, d, e observadas y c:M72; d:M75;
Distribuciones de frecuencia calculadas fa:M70; b:M7i; e:M76)
204
A continuación, en la Tabla 28 se dan los valores de X 2
para cada parcela.
Tabla 28 : X 2 obtenido para cada parcela de validación.
Parcela
M70 M71 M72 M75 M76
X 2
49. 18 169.95 87. 79 160.80 94.86
Por ultimo, se realiza la prueba de Kolmogorov-Smir-
nov, a través de la cual se verifica la bondad del ajuste
mediante la aceptación o rechazo de la hipótesis nula:
H 0 : Dn = da.n
donde
Dn : valor calculado del estadístico
d a ; n : valor tabulado del estadístico al nivel a de significación.
Como resultado de esta prueba se obtiene la siguiente
Tabla:
205
Tabla 29: Resultados de la aplicación de la prueba de Kolmogorov-Smirnov en las parcelas de validación.
n D Dn
D 0 . 05 0.01
i
M70
2768 0.094 0.034 0.065
..... M71
2608 0.087 0.031 0.026
M72
3010 0.052 0.024 0.069
M75
1060 0.047 0.04 1 0.052
M76
1270 0.056 0.038 0.058
El nivel de significación de esta prueba fue del
0.05 y 0.01.
4.6 Análisis y discusión de resultados
El uso de las seis funciones de distribución de
diámetros, gamma (GAM), lognormal (dos parámetros)
(LN2),lognormal (tres parámetros) (LN3), beta II (BETA),
normal (ÑOR) y Wei bull (WEI), tiene un carácter explora
torio y debido a que las masas estudiadas son regulares,
son estas funciones las que, según la revisión bibliográ
fica, nan sido usadas en ajustes a distribuciones diamé-
tr i cas.
Un primer problema se plantea en la selección del
mejor modelo, dentro de un conjunto de posibles
candidatos, cuando ningún modelo es preferido a priori.
Dentro de las seis funciones propuestas y ajustadas, se
determinó que la de Wei bu I 1 proporciona el menor cni-
cuadrado (Tabla 20 ). En el caso de la función BETA se
206
observa en la Tabla 19 que en algunos casos no se llega
al cálculo de la desviación estándar de los parámetros,
debido a que el ajuste es deficiente y el algoritmo del
programa utilizado no permite su cálculo. Por otra parte,
la función LN3 en muchos casos, no logra ajustarse a los
datos, por lo cual, el programa opta por calcular la ÑOR,
de dos parámetros, lo que ocurre cuando el sesgo de la
muestra es negativo.
Cabe destacar que, al analizar el chi-cuadrado del
ajuste de la Weibull por clase diamétrica, se observa que
los valores más altos proceden principalmente del extremo
izquierdo de la distribución, lo cual puede deberse al
truncamiento de ésta distribución a valores menores de 5
cm.
A partir de ésto, se observa que para todas las
parcelas. el ajuste de la WEl es el mejor. Esto se
comprueba mediante el estadístico de Kolmogorov-Smirnov
el cual confirma que además de ser el mejor ajuste, es un
buen ajuste en el 99/ de las clases diamétricas.
La función de Wei buJl, mediante el cálculo de sus
parámetros, describe la distribución diamétrica de cada
parcela. Cada parámetro, por su parte, describe alguna
característica de esta distribución; así, a que es el
parámetro de 1 oca 1 ización, corresponde al diámetro mínimo
observado, b que es el parámetro de escala en cierta
medida, registra la regularidad de la masa y c es el
207
parámetro de forma, es decir, el sesgo de la distribución
y su dirección.
Una vez obtenido el mejor ajuste a nuestros datos,
corresponde estratificar la información lo que nos
permitirá continuar trabajando sólo con los parámetros y
con los grupos de datos que no presenten diferencias
significativas en cuanto a su distribución diamétrica.
El análisis de varianza con un modelo mixto, no
equilibrado, realizado por inventario y por parámetro,
permite discriminar a que nivel se producen las mayores
diferencias significativas siendo los factores, el trata
miento (TRAT), el sitio (SITIO) referido a la localiza-
ción, la combinación TRAT*SITIO y el bloque (BLOQ) anida
do con el sitio BLOQ(SITIO). De este análisis se despren
de que, como era de esperar, nay diferencias significati
vas entre SITIO en todos los casos, excepto para el
tercer inventario. En la siguiente tabla (Tabla 30) se
resume la información de este análisis.
Tabla 30 : Resumen del análisis de varianza con respecto a las diferencias significativas.
P a r á m e t r o
a b c
I n v . 1
T S
no s i no s i no s i
l n v . 2
T S
3 3
09
O
O
-
09
09 0
9
I n v . 3
T S
s i s i no s i no no
208
El parámetro a capta bastante bien las diferencias
entre los diferentes tratamientos y de necho, la prueba
de medias de Tukey separa dos grupos de tratamientos en
el segundo inventario y tres grupos en el tercero;
además, ordenándolos perfectamente y en los que al
tratamiento A le corresponde el menor valor,excepto en el
primer inventario, y al E el mayor.
Analizando al parámetro a con respecto al numero del
inventario, este parámetro aumenta en magnitud debido a
que, como es lógico, aumenta el diámetro mínimo y la
diferencia entre los tratamientos se hace mayor (Tabla
31) .
Tabla 31 : Valor promedio del parámetro a por inventario y por tratamiento.
1 1
TRAT
A
C
D
E
inv. 1
4.911
4. 165
4. 696
4. 989
I nv . 2
4. 942
6. 225
7. 692
8. 333
» lnv.3 I
I i
6.692 1 1 1
8.900 I
10.333 i I I
11.889 | I
Por otra parte, las diferencias significativas entre
tratamientos se van acentuando a medida que se progresa
en el tiempo y es así como para el primer inventario no
hay diferencias, en el segundo ya hay dos grupos (A+c y
D+E) y en el ultimo ya hay tres grupos (A, C+D y E). Esto
refleja el hecho de que las intervenciones tienen un
209
efecto acumulativo en el tiempo.
Con respecto al SITIO, también se refleja el hecho de
que el parámetro va adquiriendo valores cada vez más
diferentes en el tiempo y de dos grupos obtenidos ini
cial mente, se termina con tres en el último inventario.
El valor de a aumenta con el tiempo (Tabla 32).
Tabla 32 : Valor promedio del parámetro a, por inventario y por sitio.
! SITIO
SOI
S02
SG1
SG2
Inv. 1
5. 205
4. 333
5. 100
3. 958
l nv. 2
6. 608
4. 800
9. 600
5. 100
inv. 3
9.100 I
7.067 I I 1
14.008 I 1 1
6.433 1 1
El parámetro b puede ser interpretado como aquel
diámetro que junto con a (a+b) representan el diámetro
tal que el 63X del total de árboles son menores que él
(a+b). En nuestro caso, el valor de b no varia
significativamente, es, decir es el valor de a el que
tiene una mayor influencia en la expresión a+b.
Por tratamiento no presenta diferencias significativas
pero por sitio parte de cuatro grupos (los cuatro sitios)
en el primer inventario, para luego homogeneizarse y
formar dos grupos en el último en que sólo Navafría es
210
significativamente diferente al resto, debido quizás a
que las parcelas estudiadas en este sitio tienen un gran
número promedio de árboles (5.464,1) comparado con el
resto de las parcelas (1.933,2) y aunque se le nayan
efectuado dos claras, no liega a los niveles de número de
árboles por nectarea que el resto de los sitios y por lo
tanto, sus diámetros son inferiores aún teniendo edades
s imiI ares.
Los valores promedio de este parámetro, primero por
tratamiento y luego por sitio, se pueden ver en la Tabla
33, siempre por inventario.
Tabla 33 : Valores promedio del parámetro b por tratamiento (TRAT) y sitio (SITIO).
TRAT
A
C
D
E
SITIO
Duruelo
Covaleda
El Espinar
Navafría
INVENTARIO
1
9.820
11.055
9.707
9.976
2
12.124
12.205
11.185
12.181
3
12.753
11.860
10.835
11.289
8.656
10.376
15.907
5.719
11.471
11.825
16.068
8.241
12.110
12.594
13.269
9.090
211
Por último, con respecto al parámetro c, cabe destacar
que por el hecho de medir el sesgo y la dirección de la
distribución, es bastante importante dentro del ajuste. En
general, este valor no varía demasiado y solo un 6.1'/.
tiene un valor superior a 3.6, valor que indica una
aproximación a la distribución normal. Valores superiores
a 3.6 indican un sesgo negativo, aunque no excesivamente
debido a que el valor máximo calculado es de 5.354. El
resto, 96.3X de los valores oscilan entre 1.241 y 3.6, es
decir, con un sesgo positivo. El valor promedio total es
de 2.36, lo cual está indicando que, en general, las
parcelas estudiadas tienen una distribución algo sesgada
hac i a la i zqu i erda.
Entre tratamientos, no hay diferencias significativas y
los valores fluctúan entre 2.259 y 2.613 en el primer
inventario y entre 2.586 y 2.807 en el último.
Entre sitios si que hay diferencias, dejando en el
primer inventario tres grupos sin solape, que son El
Espinar, Covaleda y DurueIo+Navafría, y en el último
inventario hay homogeneidad; es decir, un solo grupo con
todos los sitios incluidos, lo que puede estar reflejando
que los sitios tienden a acercarse al valor promedio de
2,68 a medida que transcurre el tiempo y se le efectúan
intervenciones se 1vi culturales (Tabla 34).
212
Tabla 34 : Valor promedio del parámetro c por inventario y sitio.
SITIO
Duruelo
Covaleda
El Espinar
Navafría
INV 1
1.812
2. 387
3. 565
1 . 699
INV 2
2.420
2.601
3. 534
1 . 974
INV 2
2.476
2.821
2.982
2. 455
Cabe destacar que El Espinar pasa de una situación
prácticamente "normal" en cuanto a su distribución (3.565)
a una distribución sesgada positivamente (2.982) pero, en
todo caso, su alejamiento de dicha situación es muy pe
queño y no representa más que la tendencia normal del
resto de los sitios.
Con respecto a la recuperación de los parámetros de la
función de Wei bu 11 consiste en la obtención de ecuaciones
regresoras con estos parámetros como variables dependien
tes y las variables de estado como independientes.
La matriz de correlación obtenida en términos
generales; es decir, con todas las parcelas incluidas,
proporciona información también general pero nos orienta
en cuanto a ciertas relaciones básicas que se producen
entre las variables. Por una parte, se tiene que HQ está
correlacionada negativamente con el número de árboles por
hectárea (R2= -0.67). Esta relación que en este caso no
es alta, es la que justifica el que muchos investigado-
213
res hayan utilizado esta variable (HQ) para regular la
densidad en función de ella.
Otro aspecto importante es que se observa que Dg está
correlacionado negativamente con la densidad, lo que
demuestra que puede ser utilizado para regular el numero
de arboles por hectárea y en este caso con un buen
resultado ÍR2= -0.81). Esta relación fue utilizada por RE I -
NEKE para definir su "índice de densidad" y posteriormente
numerosos investigadores han utilizado diversos índices
basados en esta relación.
Otra relación que es interesante destacar, es la de
Dg y H0 ÍR2= 0.9142). Llama la atención que estando Dg muy
correlacionado con la densidad y con HQ. no exista una co
rrelación mayor entre la densidad y HQ. Esto puede ser
debido a que la calidad de la estación tiene más
influencia sobre la altura dominante que sobre el
diámetro, al menos en masas jóvenes.
El hecho de decidir la bondad de una regresión va
acompañada de criterios objetivos y subjetivos. Los
criterios objetivos se refieren al análisis estadístico,
y el subjetivo a la acumulación de información del
decisor en el transcurso de la investigación. El primer
elemento, en nuestro caso, está dado por estadísticos
tales como: R2a que mide el grado de asociación entre dos
variables, CP de MALLOWS que estima el error cuadrático
medio de la regresión con respecto a un modelo completo,
214
y la prueba de Durbin-Watson, que detecta la presencia de
correlación entre los residuos.
Dado que sería muy largo discutir cada una de las
ecuaciones de regresión, nos referiremos a ellas en
términos generales y resaltando los hechos más notables.
En primer lugar, cabe señalar que el parámetro a es el
que ofrece mayores dificultades en el momento de obtener
una ecuación de regresión. Los valores de los estadísti
cos indican que, pese a que se probaron distintos métodos
para obtener cada ecuación, el valor que representa al
diámetro mínimo de la distribución, no ofrece una gran
seguridad, Jo cual nos hace pensar que en el momento de
calcular los otros dos parámetros, incluyendo a a como
variable independiente, se puede acumular un error no
predecible. Esta dificultad puede deberse al truncamiento
que se . produce tanto artificialmente, por el hecho de
contabilizar diámetros superiores a 5 cm., como natural
mente por efecto de mortalidad natural, cláreos y claras.
En todo caso, parece ser que es el primer efecto el que
tiene una mayor incidencia puesto que, en general, los
valores de R2a para el primer inventario, son más bajos
que en el resto de los inventarios.
Para los demás parámetros se obtienen buenos ajustes
excepto para dos ecuaciones, lo que puede atribuirse a
una estrategia errada en el proceso de decidir sus
variables regresoras.
215
La prueba de Durbin-Watson, aunque se utiliza funda
mentalmente en datos de series de tiempo, aporta informa
ción sobre la distribución de los residuos con respecto a
la presencia de correlación entre ellos. Los resultados
obtenidos indican que sólo en cuatro ecuaciones se presen
ta correlación positiva y esto ocurre sólo para el paráme
tro b, en tanto que la correlación positiva se presenta en
14 ecuaciones de regresión con 7 casos para el parámetro a
y 7 casos para el parámetro c. En general, la correlación
es baja y disminuye a medida que se avanza en el tiempo.
Con respecto a la validación, la primera etapa
consistid en comparar los valores de los parámetros obte
nidos mediante el ajuste de la función de Wei bu 1l con los
obtenidos a través de las ecuaciones de regresión para
calcular su distorsión (Tabla 25) mediante lo cual es
posible observar que un 22/ de estos valores están desvia
dos con respecto al ajuste sobre un 10/. El valor promedio
del porcentaje de desviación de a es de 5.01/., para b de
4.87/ y para c de 11.45/, lo que indica que pese a que los
estadísticos utilizados para analizar la bondad de las
regresiones mostraban que el parámetro a era difícil de
predecir, sus porcentajes de variación son pequeños y muy
similares a los de b sin olvidar que estos cálculos se nan
hecho utilizando la misma base de datos.
La segunda etapa consistió en, mediante las ecuaciones
de regresión, obtener los valores de los parámetros en
cinco parcelas de validación, para de esa manera encon-
216
trar sus frecuencias diamétri cas por clase. La obtención
de cada distribución se analiza mediante X 2 el cual, en
promedio, da valores más altos que los X 2 del ajuste de
Weibull. Cabe destacar que las parcelas disponibles para
esta validación tienen 26 y 33 años, lo que las deja
fuera del rango de edad de las parcelas estudiadas
originalmente, lo cual puede ser una de las causas de
estas deficiencias.
Posteriormente se utilizó el estadístico de
Kolmogorov-Smirnov, el cual permite decidir si los datos
se ajustan a la supuesta distribución. A un nivel del 5/
se determina que ningün ajuste es aceptable, pero al nivel
de significación del IX se acepta la hipótesis de que M72,
M75 y M76 se ajustan bien a la función de distribución
definida por los parámetros recuperados.
217
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227
5.- CONCLUSIONES
Este trabajo tiene un carácter exploratorio por cuanto
se revisan y prueban varios modelos de evolución de dos de
las principales variables que definen el crecimiento de
P i ñus sy1vestr i s L, y se interpretan los resultados desde
un punto de vista biológico y matemático. El carácter
descriptivo que además tiene esta Tesis, aconseja incluir
en las conclusiones algunas aportaciones que supongan un
avance en el conocimiento de las leyes que regulan el
crecimiento de esta especie bajo las restricciones impues
tas por los datos disponibles para desarrollar los dife
rentes métodos propuestos.
Ca1 i dad de 1 a estac i ón
- Con base en la bibliografía existente, se ha realizado
una amplia revisión, básicamente de la literatura
anglosajona, en la que además de describir los principales
métodos de determinación de la calidad de la estación, se
han clasificado éstos según la forma de abordar el tema.
- No se encontró aplicación de métodos de "cluster" o si
milares, pero se intuye que es posible realizarla para la
determinación de distintas calidades de estación.
- La calidad de la estación determinada a través del
índice de sitio es el método que mejor explica las
variaciones de una estación determinada, a diferencia de
228
los métodos basados en factores ambientales los cuales
explican un pequeño porcentaje de la variación total con
un costo proporcionalmente más alto en lo que respecta a
la toma de datos.
- El modelo de MEYER, que se basa en la relación altura-
diámetro, tiende a sobrevalorar la altura debido a que las
asíntotas que se obtienen son altas y fuera del rango de
edades estudiado.
-El modelo de BAILEY y CLUTTER , basado en la relación
altura-edad, aunque tiende a subvalorar la altura a medida
que nos aproximamos al final del turno, logra alcanzar
asíntotas claras con respecto a ésta.
- El modelo de GARCÍA permite añadir un término estocásti-
co que representa al "ruido" con lo cual se obtiene una
"banda de confianza" de las alturas calculadas.
- Al comparar los modelos mediante el análisis de sus
residuos, no se obtienen resultados concluyentes debido a
qie el comportamiento de éstos es similar lo que impide
decidir sobre la bondad de un modelo.
- Se comprueba la correlación serial de los residuos y se
determinan dos posibles causas: 1) mediciones repetidas
sobre un mismo individuo o parcela de muestreo están
correlacionadas y las desviaciones tienden a incrementarse
con el tiempo, 2) la agrupación de las parcelas por zoans
geográficas incide en la distribución de los residuos.
229
- La validación efectuada nos revela que el comportamiento
de los árboles tipo es diferente al de la masa dominante
tanto en diámetro como en altura.
- La altura con respecto al diámetro alcanza asíntotas en
los árboles tipo de forma bastante más clara que en el
ajuste del modelo de MEYER.
- La altura con respecto a la edad en los árboles tipo no
alcanza asíntotas y a partir de cierta edad (20-25 años)
pareciera que se ajustan mejor a una recta que tiende a
mantener constante su tasa de incremento,
- El modelo de GARCÍA aunque presenta deficiencias en la
primera etapa del crecimiento (información no disponible)
a partir de aproximadamente los 25 años, es el que mejor
se ajusta si utilizamos la validación como criterio de
dec i s i ón.
D i str i buc i ones d i amétr i cas
- Se ajustan seis funciones de distribución (normal,
gamma, log-normal de dos parámetros, log-normal de tres
parámetros, beta II y Weibull) y mediante chi-cuadrado se
determina que la Weibull es la que mejor se ajusta.
- Mediante la prueba de Kolmogorov-Smirnov se constata que
el ajuste de la Weibull es aceptable en el 99'/ de los
casos.
- Las diferencias significativas por niveles (tratamiento,
230
sitio) se utilizan para tomar decisiones en el sentido de
estratificar la información y resulta que las mayores
diferencias se producen entre sitio, las cuales quedan
absorbidas al utilizar la altura dominante dentro de las
variables independientes para la posterior etapa de
recuperación de los parámetros.
- El parámetro a, de posición, aumenta con el tiempo tanto
por tratamiento como por sitio reflejando diferencias
significativas a ambos niveles.
- El parámetro b refleja diferencias entre sitios los
cuales tienden a homogeneizarse en el tiempo, por lo cual
en el tercer inventario solo permanece Navafría como sig
nificativamente diferente al resto debido a su elevado
número promedio de árboles (5.464) contra 1933 del resto
de I os sitios.
- El parámetro c, de forma, que mide el sesgo y la
dirección de la distribución, no varía demasiado e indica
una gran proporción de parcelas con sesgo positivo, vale
decir, valores inferiores a 3.6 que representa una
distribución normal. Entre tratamientos no hay diferencias
significativas y sí las hay entre sitios.
- Entrando en el tema de las ecuaciones de regresión, el
parámetro a de la función de Wei bu 11, que representa al
diámetro mínimo, suele dar valores bajos en las
estadísticas que miden su ajuste, especialmente en el
primer inventario, quizás debido al truncamiento
231
artificial que se produce al contabilizar sólo los
diámetros mayores a 5 cm.
- Los parámetros b y c no ofrecen mayores dificultades al
obtener sus ecuaciones de regresión.
- Del total de 36 ecuaciones de regresión, cuatro de ellas
presentan cierto grado de correlación positiva entre sus
residuos y sólo en las ecuaciones con el parámetro b como
variable dependiente. Un total de 14 ecuaciones presentan
correlación negativa para los parámetros a y c. En
general, la magnitud de estas correlaciones es baja.
-La validación de los modelos obtenidos indican, por una
parte, que se produce un porcentaje relativamente bajo de
distorsión al recalcular los parámetros a través de las
ecuaciones de regresión. Por otra parte, el cálculo de los
estadísticos chi-cuadrado y Ko1mogorov-Smirnov a las
parcelas de validación indican que los ajustes obtenidos
son aceptables en tres de las cinco parcelas.
- Por último es necesario recalcar dos aspectos
importantes: El primero hace referencia a las
restricciones de los modelos en el sentido de que los
resultados son vá1 i dos dentro del rango de las variables
de estado. El segundo es una recomendación en el sentido
de adquirir más información para pasar de un modelo
estático a uno dinámico en que se obtengan ecuaciones en
función del tiempo para, de esa manera, ofrecer una
232
poderosa herramienta que ayude al selvicultor en la toma
de decisiones con respecto a las intervenciones
se 1v i cu Iturales.
233
ANEXO 1
A continuación se presenta un cuadro resumen en el que se indican las mediciones necesarias para llevar a cabo cada método desarrollado en este trabajo. El orden en que se presentan en este cuadro, es es mismo seguido en el desarrollo de la revisión.
MÉTODO
Gráficos Fajas Curvas armónicas Curvas naturales
Numéricos Curvas anamórficas Curvas polimórficas Segmentos Derivadas Funciones de crecimiento Ecuaciones diferenciales Intercepción Diámetro
Vegetación
Suelo y topografia
Muítifactores
Mixto
Dendrocronologia
l PARAMETCOS A MEDIR
i
Altura, edad if
ti
Altura, edad H
>i
it
•i
•i
Crecimiento de verticilos a partir de una cierta altura Diámetro a la altura del pecho (1.3 m), altura, edad
Inventario de sotobosque climax, árboles, hierbas, arbustos, tablas de producción, otras caracteristicas humedad, nutrientes, luz, calor, radiación solar, etc.)
Cantidad de suelo ocupado por las raices de los árboles, disponibilidad de humedad y nutrientes, profundidad del suelo, presencia de suelo moteado, presencia de capas impermeables, textura, estructura, orientación, pendiente, topografia
Altura dominante, edad, factores topográficos, edáficos, fitosociológicos y eventualmente climáticos
Altura dominante, factores edáficos, topograficos,climáticos, fitosociológicos
Crecimiento de anillos en análisis de tronco
i
ANEXO 3
Análisis de varianza y prueba de medias de TUKEY.
INVENTARIO 1
General Linear Models Procedure
Dependent Variable: a
Source
Model Error Corrected Total
DF
22 22 44
R-Square
0.699536
Sum of Squares
40.82596444 17.53553333 58.36149778
C.V.
19.116598
Mean Square
1.85572566 0.79706970
Root MSE
0.89278760
F Valué Pr > F
2.33 0.0267
A Mean
4.67022222
Souroe DF Type III SS Mean Square F Valué Pr > F
TRAT s r n o TRAT*srno BLOQ(SITIO)
3 3 8 8
4.19667593 12.26838148 14.84012407 9.03793333
1.39889198 4.08946049 1.85501551 1.12974167
1.76 5.13 2.33 1.42
0.1852 0.0077 0.0558 0.2441
Tukey's Studentized Range (HSD) Test for variable: a
Alpha= 0.05 df= 22 MSE= .7970697 Mínimum Significant Difference= 1.0534
Means with the same letter are not significantly different.
Tukey Grouping Mean N TRAT
4.989
4.911
4.696
4.165
9
12
12
12
4
1
3
2
Tukey's Studentized Range (HSD) Test for variable: a
Alpha= 0.05 df= 22 MS&= .7970697 Mínimum Significant Difference= 1.0534
Means with the same letter are not significantly different.
Tukey Grouping
B B B
A A A A A
Mean N
5.205
5.100
4.333
3.958
s r n o
12 1
12 3
9 2
12 4
INVENTARIO 2
General Linear Models Procedure
Dependent Variable: a
Source
Model Error Corrected Total
DF SlDTl Of
Squares Mean
Square
Source
TRAT SITIO TRAT*SITIO BLOQ(SITIO)
22 291.67144444 13.25779293 22 97.47833333 4.43083333 44 389.14977778
R-Square C.V. Root MSE
0.749509 31.690516 2.1049545
DF Type III SS Mean Square
3 70.3867593 23.4622531
3 150.0784259 50.0261420 8 51.6157407 6.4519676 8 5.5883333 0.6985417
F Valué Pr > F
2.99 0.0065
F Valué
5.30 11.29 1.46 0.16
A Mean
6.64222222
Pr > F
0.0067 0.0001 0.2294 0.9944
Tukey's Studentized Range (HSD) Test for variable: a
Alpha= 0.05 d£= 22 MSB= 4.430833 Minimum Significant Difference= 2.4837
Means with the same letter are not significantly different.
Tukey Grouping
B B B
A A A A A
Mean N
8.333
7.692
6.225
4.742
TRAT
9 4
12 3
12 2
12 1
Tukey's Studentized Range (HSD) Test for variable: a
Alpha= 0.05 d£= 22 MSE= 4.430833 Minimum Significant Difference= 2.4837
Means with the same letter are not significantly different.
Tukey Grouping
A
B B B B B
Mean N
9.600
6.608
5.100
4.800
smo
12 3
12 1
12 4
9 2
INVENTARIO 3
General Linear Models Procedure
Dependent Variable: a
Source
fodel Error Corrected Total
Source
TRAT
srno TRAT*SmO BLOQ(SmO)
DF
22 22 44
R-Square
0.8%227
DF
3 3 8 8
Sum o£ Squares
601.23977778 69.61666667
670.85644444
C.V.
19.145981
Type n i SS
130.7925000 384.1013889 50.2366667 10.2100000
Mean Square
27.32908081 3.16439394
Root MSE
1.7788743
Mean Square
43.5975000 128.0337963
6.2795833 1.2762500
F Valué
8.64
F Valué
13.78 40.46 1.98 0.40
Pr > F
0.0001
A Mean
9.29111111
Pr > F
0.0001 0.0001 0.0972 0.9066
Tukey's Studentized Range (HSD) Test for variable: a
Alpha= 0.05 df= 22 MSE= 3.164394 Minimum Significant Di£ference= 2.0989
Means with the same letter are not significantly different.
Tukey Grouping
B B B
A A A
C
Mean N
11.889
10.333
8.900
6.692
TRAT
9 4
12 3
12 2
12 1
Tukey's Studentized Range (HSD) Test for variable: a
Alpha= 0.05 d£= 22 MSE= 3.164394 Minimum Significant Difference= 2.0989
Means with the same letter are not significantly different.
Tukey Grouping
C C C
A
B B B
Mean N
14.008
9.100
7.067
6.433
srno 12 3
12 1
9 2
12 4
INVENTARIO 1
General Linear Models Procedure
Dependent Variable: b
Source
Model Error Corrected Total
Source
TRAT
srno TRAT*SITIO BLOQ(srno)
DF
22 22 44
R-Square
0.952696
DF
3 3 8 8
Sum of Squares
735.29760130 36.50926994 771.80687124
C.V.
12.691217
Type III SS
13.5800646 660.4061841 32.2126680 28.9233601
Mean Square
33.42261824 1.65951227
Root MSE
1.2882206
Mean Square
4.5266882 220.1353947 4.0265835 3.6154200
F Valué
20.14
Pr > F
0.0001
B Mean
10.15048889
F Valué
2.73 132.65 2.43 2.18
Pr > F
0.0685 0.0001 0.0477 0.0709
Tukey's Studentized Range (BSD) Test for variable: b
Alpha= 0.05 df= 22 MSE= 1.659512 Minimum Significant Difference= 1.52
Means with the same letter are not significantly different.
Tukey Grouping Mean N TRAT
11.055 12 2
9.976 9 4
9.820 12 1
9.707 12 3
Tukey's Studentized Range (HSD) Test for variable: b
Alpha= 0.05 df= 22 MSE= 1.659512 Minimum Significant Difference= 1.52
Means with the same letter are not significantly different.
Tukey Grouping
A
B
C
D
Mean N
15.907
10.376
8.656
5.719
smo 12 3
9 2
12 1
12 4
INVENTARIO 2
General Linear Models Procedure
Dependent Variable: b
Source
Model Error Carrected Total
Sum of Squares
'6042094
Mean Square
22.44365550
F Valué
4.88
Pr > F
0.0002
Source
TRAT SITIO TRAT*SnTO BLOQ(SmO)
DF
22 101.17011617 4.59864164
44 594.93053711
R-Square C.V. Root MSE
0.829946 18.010787 2.1444444
DF Type III SS Mean Square
3 8.4965468 2.8321823
3 371.3375804 123.7791935 8 56.6700443 7.0837555 8 57.1841105 7.1480138
B Mean
11.90644444
Valué
0.62 26.92 1.54 1.55
Pr > F
0.6120 0.0001 0.2003 0.1958
Tukey's Studentized Range (HSD) Test for variable: b
Alpha= 0.05 df= 22 MSE= 4.598642 Minimum Significant Difference= 2.5303
Means with the same letter are not significantly different.
Tukey Grouping Mean N TRAT
12.205 12 2
12.181 9 4
12.124 12 1
11.185 12 3
Tukey's Studentized Range (HSD) Test for variable: b
Alpha= 0.05 d£= 22 MSE= 4.598642 Minimum Significant Difference= 2.5303
Means with the same letter are not significantly different.
Tukey Grouping Mean N SITIO
A 16.068 12 3
B 11.825 9 2 B B 11.471 12 1
C 8.241 12 4
INVEOTARIO 3
General Linear Models Procedure
Dependent Variable: b
Source
Model Error Corrected Total
DF
22 22 44
R-Square
0.750011
Sum of Squares
217.60394937 72.53041828 290.13436764
C.V.
15.504805
Mean Square
9.89108861 3.29683719
Root MSE
1.8157195
F Valué Pr > F
3.00 0.0064
B Mean
11.71068889
Source DF Type III SS Mean Square F Valué Pr > F
TRAT SITIO TRAT*SITIO BLOQ(srno)
3 3 8 8
22.6110052 118.9521913 42.1764099 32.3481271
7.5370017 39.6507304 5.2720512 4.0435159
2.29 12.03 1.60 1.23
0.1068 0.0001 0.1821 0.3299
Tukey's Studentized Range (HSD) Test for variable: b
Alpha= 0.05 df= 22 MSE= 3.296837 Minimum Significant Difference= 2.1424
Means with the same letter are not significantly different.
Tukey Grouping Mean N TRAT
12.753 12 1
11.860 12 2
11.289 9 4
10.835 12 3
Tukey's Studentized Range (HSD) Test for variable: b
Alpha= 0.05 d£= 22 MSE= 3.296837 Minimum Significant Difference= 2.1424
Means with the same letter are not significantly different.
Tukey Grouping Mean N SITIO
13.269 12 3
12.594 9 2
12.110 12 1
B 9.090 12 4
INVENTARIO 1
General Linear Models Procedure
Dependent Variable: c
Source
Model Error Corrected Total
DF
22 22 44
R-Square
0.881624
Sum of Squares
31.82250753 4.27283278 36.09534031
C.V.
18.639481
Mean Square
1.44647762 0.19421967
Root MSE
0.44070361
F Valué Pr > F
7.45 0.0001
C Mean
2.36435556
Source DF Type III SS Mean Square F Valué Pr > F
TRAT SITIO TRAT*SnTO BLOQ(SmO)
3 3 8 8
1.01424139 26.26629914 2.74284167 1.79378722
0.33808046 8.75543305 0.34285521 0.22422340
1.74 45.08 1.77 1.15
0.1880 0.0001 0.1389 0.3685
Tukey's Studentized Range (HSD) Test for variable: c
Alpha= 0.05 d£= 22 MSE= .1942197 Miniraum Significant Di£ference= 0.52
Means with the same letter are not significantly different.
Tukey Grouping Mean N TRAT
2.613 12 2
2.297
2.272
2.259
9 4
12 1
12 3
Tukey's Studentized Range (HSD) Test for variable: c
Alpha= 0.05 df= 22 MSE= .1942197 Mínimum Significant Difference= 0.52
Means with the same letter are not significantly different.
Tukey Grouping
A
B
C C C
Mean N
3.565
2.387
1.812
1.699
SITIO
12 3
9 2
12 1
12 4
INVENTARIO 2
General Linear Models Procedure
Dependent Variable: c
Source Model Error
DF 22 22
Sun of Squares
18.67687320 5.95580378
Mean Square
0.84894878 0.27071835
F Valué 3.14
Pr > F 0.0049
Corrected Total
Source
TRAT SITIO TRAT*SnTO BIiOQ(SinO)
44 24.63267698
R-Square C.V. Root MSE
0.758215 19.749124 0.52030602
DF Type III SS Mean Square
3 0.48315281 0.16105094
3 15.49455072 5.16485024 8 1.68151867 0.21018983 8 1.00535689 0.12566961
F Valué
0.59 19.08 0.78 0.46
C Mean
2.63457778
Pr > F
0.6250 0.0001 0.6275 0.8680
Tukey's Studentized Range (BSD) Test for variable: c
Alpha= 0.05 df= 22 MSE= .2707184 Minimum Significant Difference= .61392
Means with the same letter are not significantly different.
Tukey Gix>uping Mean N TRAT
2.776 9 4
2.706 12 2
2.599 12 3
2.493 12 1
Tukey's Studentized Range (HSD) Test for variable: c
Alpha= 0.05 df= 22 MSE= .2707184 MiiÚJHum Significant Difference= .61392
Means with the same letter are not significantly different.
Tukey Grouping
C C C
A
B B B
Mean N
3.534
2.601
2.420
1.974
SITIO
12 3
9 2
12 1
12 4
INVENTARIO 3
General Linear Models Procedure
Dependent Variable: c
Source
Model Error Corrected Total
DF
22 22 44
R-Square
0.601618
Sum of Squares
6.82174370 4.51725594
11.33899964
C.V.
16.943927
Mean Square
0.31007926 0.20532982
Root MSE
0.45313333
F Valué Pr > F
1.51 0.1704
C Mean
2.67431111
Source IF Type III SS Mean Square F Valué Pr > F
TRAT SITIO TRAT*SmO BLoojsrno)
3 3 8 8
0.47459181 2.52185408 1.97252317 1.99912739
0.15819727 0.84061803 0.24656540 0.24989092
0.77 4.09 1.20 1.22
0.5229 0.0188 0.3432 0.3348
Tukey's Studentized Range (HSD) Test for variable: c
Alpha= 0.05 df= 22 MSE= .2053298 Minimum Significant Difference= .53467
Means with the same letter are not significantly different.
Tukey Grouping Mean N TRAT
2.807 9 4
2.725 12 2
2.612 12 1
2.586 12 3
Tukey's Studentized Range (HSD) Test for variable: c
Alpha= 0.05 df= 22 MSE= .2053298 Minimum Significant Difference= .53467
Means with the same letter are not significantly different.
Tukey Grouping
A A A A A A A
Mean N
2.982
2.821
2.476
2.455
sino 12 3
9 2
12 1
12 4
ANEXO 4
Análisis de regresión para "recuperación de parámetros" de la función de Weibull.
INV 1 - TRAT A - PAR a
N = 12 Regression Models for Dependent Variable: a
R-square Adjusted R-square
0.62701489 0.41388055
C(p)
8.323
Variables in Model
DG EDAD DENSI H0
Durbin-Watson D 2.357 lst Order Autocorrelation -0.260
Obs
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A
5.0000 5.9900 5.9900 4.5000 5.0000 3.0000 5.1000 7.1000 6.1000 4.7000 3.9500 2.5000
Sum of Residuals
Predict Valué
5.3256 5.7705 5.7253 4.3139 3.7881 4.5424 5.8281 6.1102 6.2404 4.4327 3.3245 3.5284
Sum of Squared Residuals
Source
Model Error C Total
DF
4 7 11
Std Err Predict
0.560 0.532 0.633 0.601 0.669 0.548 0.838 0.673 0.866 0.509 0.672 0.623
4.52971E-14 7.1566
Analysis of Variance
Sum of Squares
12.03072 7.15657 19.18729
Mean Square
3.00768 1.02237
Residual
-0.3256 0.2195 0.2647 0.1861 1.2119 -1.5424 -0.7281 0.9898 -0.1404 0.2673 0.6255 -1.0284
F Valué
2.942
Std Err Residual
0.842 0.860 0.788 0.813 0.758 0.850 0.565 0.754 0.521 0.874 0.755 0.796
Prob>F
0.1012
Student Residual
-0.387 0.255 0.336 0.229 1.599 -1.815 -1.288 1.312
-0.269 0.306 0.828 -1.291
-2-1-0 1 2
*** **
**
***
**
*
Parameter Estimates
Parameter Variable DF Estímate
INTERCEP ] DG ] EDAD ] DENSI ] H0 ]
L 17.158790 L 0.067428 L -0.221707 L -0.000982 L -0.075224
Standard Error
7.88952585 0.22070158 0.10230701 0.00051694 0.43359751
T for H0: ParameterO
2.175 0.306 -2.167 -1.900 -0.173
Prob > |T|
0.0661 0.7689 0.0669 0.0992 0.8672
INV 1 - TRAT A - PAR b
N = 12 Regression Models for Dependent Variable: b
R-square Adjusted R-square
0.9946%67 0.99270793
Durbin-tfatson D 1.819 l s t Qrder Autocorrelation -0.102
C(p)
7.631
Variables in Model
DG A AB
Obs
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B
7.9860 8.1580 6.8920 10.1650 9.3240 13.2650 15.1160 14.6290 14.0990 6.1690 5.5660 6.4740
Sum of Residuals Sum of
Source
Model Error C Total
Predict Valué
7.8934 8.3706 7.2619 9.9366 9.2253 13.1744 15.11% 14.6117 14.1459 5.8524 5.2523 6.9989
Std Err Predict
0.115 0.137 0.183 0.174 0.101 0.231 0.186 0.221 0.150 0.173 0.167 0.214
-6.03961E-14 Squared Residuals
DF
3 8 11
0.7374
Analysis of Variance
Sum of Squares
138.30066 0.73736
139.03802
Mean Square
46.10022 0.09217
Residual
0.0926 -0.2126 -0.3699 0.2284 0.0987 0.0906
-0.00359 0.0173 -0.0469 0.3166 0.3137 -0.5249
F Valué
500.163
Std Err Residual
0.281 0.271 0.242 0.249 0.286 0.197 0.240 0.208 0.264 0.250 0.253 0.215
Prob>F
0.0001
Student Residual
0.330 -0.784 -1.526 0.919 0.345 0.460 -0.015 0.083 -0.178 1.268 1.238
-2.439
-2-1-0 1 2
* ***
****
*
** **
Parameter Estimates
Variable DF
DTTERCEP DG A AB
Parameter Estímate
-1.429835 1.110032 -0.975163 -0.000260
Standard Error
0.69637480 0.03062177 0.08669983 0.01551144
T for H0: Parameter=0
-2.053 36.250
-11.248 -0.017
Prob > |T|
0.0741 0.0001 0.0001 0.9871
INV 1 - TOAT A - PAR c
N = 12 Regression Models for Dependent Variable: c
R-square Mjusted R-square
0.89742423 0.85895831
C(p)
3.211
Variables in Model
B H0 EDAD
Durbin-Watson D 2.438 lst Order Autocorrelation -0.222
Obs
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C
1.7180 1.8060 1.2410 2.4380 2.2730 2.8720 2.8140 3.8130 3.4390 1.5990 1.5760 1.6690
Sum of Residuals Sum of
Source
Model Error C Total
Predict Valué
1.7445 1.7634 1.5058 2.3689 2.0653 3.1856 3.2326 3.2301 3.3989 1.5193 1.5140 1.7297
Std Err Predict
0.132 0.139 0.148 0.182 0.197 0.196 0.220 0.177 0.199 0.153 0.177 0.179
1.998401E-15 Squared Residuals
DF
3 8 11
0.7494
Analysis of Variance
Sum of Squares
6.55647 0.74941 7.30588
Mean Square
2.18549 0.09368
Residual
-0.0265 0.0426 -0.2648 0.0691 0.2077 -0.3136 -0.4186 0.5829 0.0401 0.0797 0.0620 -0.0607
F Valué
23.330
Std Err Residual
0.276 0.273 0.268 0.246 0.234 0.235 0.213 0.250 0.233 0.265 0.250 0.248
Prob>F
0.0003
Student Residual
-0.0% 0.156 -0.988 0.281 0.888 -1.332 -1.965 2.332 0.172 0.301 0.249 -0.244
-2-1-0 1 2
*
** ***
*
****
Parameter Estimates
Variable DF
INTERCEP B H0 EDAD
Parameter Estímate
1.374845 0.288143 -0.153119 -0.003787
Standard Error
0.98699214 0.05625242 0.09805427 0.02226198
T for H0: Parameter=0
1.393 5.122 -1.562 -0.170
Prob > |T|
0.2011 0.0009 0.1570 0.8691
INV 1 - TRAT C - PAR a
N = 12 Regression Models for Dependent Variable: a
R-square Adjusted C(p) R-square
0.69291046 0.62466834
IXirbin-Watson D
2.223
2.626 lst Qrder Autocorrelation -0.420
Obs
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A
5.9900 5.9900 4.5000 5.0000 4.0000 5.0000 4.1000 5.0000 1.0000 4.8000 2.5000 2.1000
Sum of Residuals
Predict Valué
5.8007 5.3525 5.5627 4.9949 4.7017 3.3928 4.4254 4.5600 1.6825 3.8297 2.2773 3.3997
Sum of Squared Residuals
StdErr Predict
0.457 0.386 0.418 0.345 0.307 0.323 0.397 0.669 0.719 0.412 0.611 0.428
8.88178E-15 8.0929
Variables
H0 D2
Residual
0.1893 0.6375 -1.0627 0.00507 -0.7017 1.6072
-0.3254 0.4400 -0.6825 0.9703 0.2227 -1.2997
in Model
Std Err Residual
0.831 0.866 0.851 0.883 0.897 0.891 0.861 0.672 0.618 0.854 0.725 0.846
Student Residual
0.228 0.736 -1.249 0.006 -0.782 1.803
-0.378 0.655 -1.104 1.136 0.307 -1.536
-2-1-0 1 2
**
*
**
***
*
***
*
**
Analysis of Variance
Source
Model Error C Total
DF
2 9 11
Sum of Squares
18.26062 8.09288 26.35350
Mean Square
9.13031 0.89921
F Valué
10.154
Prob>F
0.0049
Parameter Estimates
Variable DF
INTERCEP H0 D2
Parameter Estímate
-6.460699 1.301488 -0.017578
Standard Error
2.43040326 0.28887606 0.00433627
T for H0: Pararoeter=0
-2.658 4.505 -4.054
Prob > |T|
0.0261 0.0015 0.0029
INV 1 - TOAT C - PAR b
N = 12 Regression Models for Dependent Variable: b
R-square Adjusted R-square
C(p)
0.98363946 0.98000378 25.464
Durbin-Watsotí D 1.213 lst Qrder Autocorrelation 0.380
Variables in Model
A D 2
Obs
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B
8.1150 7.6170 10.1530 9.1500 10.6340 11.4490 16.3630 19.4860 20.7600 4.6760 6.0750 8.1810
Sum of Residuals
Predict Valué
8.4415 8.0541 9.5923 8.4516 9.9804 10.5205 15.8894 20.4870 20.6518 5.3970 6.8583 8.3350
Sum of Squared Residuals
Std Err Predict
0.336 0.338 0.222 0.254 0.219 0.242 0.301 0.524 0.574 0.322 0.414 0.422
0 4.7844
Residual
-0.3265 -0.4371 0.5607 0.6984 0.6536 0.9285 0.4736 -1.0010 0.1082 -0.7210 -0.7833 -0.1540
Std Err Residual
0.647 0.646 0.695 0.683 0.695 0.688 0.664 0.507 0.450 0.654 0.600 0.595
Student Residual
-0.504 -0.677 0.807 1.022 0.940 1.350 0.713 -1.975 0.240 -1.102 -1.305 -0.259
-2-1-0 1 2
* *
***
** **
* ** * ** *
Analysis of Variance
Source
Model Error C Tbtal
DF
2 9 11
Sum of Squares
287.64974 4.78438
292.43412
Mean Square
143.82487 0.53160
F Valué
270.552
Prob>F
0.0001
Parameter Estimates
Variable
INTERCEP A D2
DF
1 1 1
Parameter Estímate
7.072133 -0.967975 0.033625
Standard Error
0.73024772 0.14204990 0.00152036
T for H0: Parameter=0
9.685 -6.814 22.117
Prob > |T|
0.0001 0.0001 0.0001
INV 1 - TRAT C - PAR c
N = 12 Regression Models for Dependent Variable: c
R-square Adjusted R-square
0.95956243 0.95057631
Durbin-Watson D
C(p)
19.545
2.616 lst Order Autocorrelation -0.378
Obs
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C
1.3500 1.3830 2.0930 2.4700 2.4360 2.5250 3.9240 3.3080 5.8590 1.4330 2.3340 2.2420
Sum oí Residuals Sum oí i
Predict Valué
1.3234 1.3574 2.1372 2.0717 2.5749 3.0008 3.5989 3.5231 5.6934 1.3103 2.2065 2.5594
Std Err Predict
0.137 0.126 0.093 0.090 0.082 0.094 0.122 0.212 0.234 0.134 0.154 0.128
-6.43929E-15 >quared Residuals 0.7191
Variables
B H2
Residual
0.0266 0.0256 -0.0442 0.3983 -0.1389 -0.4758 0.3251 -0.2151 0.1656 0.1227 0.1275 -0.3174
in Model
Std Err Residual
0.247 0.253 0.267 0.268 0.270 0.267 0.255 0.187 0.158 0.249 0.237 0.252
Student Residual
0.108 0.101 -0.166 1.486
-0.514 -1.784 1.275
-1.151 1.046 0.493 0.538 -1.258
-2-1-0 1 2
* ***
**
**
**
**
**
*
Analysis of Variance
Source
Model Error C Total
DF
2 9 11
Sum of Squares
17.06499 0.71915 17.78413
Mean Square
8.53249 0.07991
F Valué
106.783
Prob>F
0.0001
Parameter Estimates
Variable
INTERCEP B H2
DF
1 1 1
Parameter Estímate
1.119094 0.339093 -0.016838
Standard Error
0.24120046 0.02497449 0.00255110
T for H0: Parameter=0
4.640 13.578 -6.600
Prob > |T|
0.0012 0.0001 0.0001
INV 1 - TRAT D - PAR a
N = 12 Regression Models for Dependent Variable: a
R-square Adjusted R-square
0.51102762 0.40236709
C(p)
3.728
Variables in Model
EDAD DENSI
Durbin-Watson D 1.668 lst Order Autocorrelation 0.038
Obs
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Predict A Valué
4.8000 5.3864 5.0000 5.1046 4.7000 4.7257 4.5000 3.9955 4.0000 4.3634 4.0000 4.4437 5.1000 4.9583 5.0000 5.1483 6.0000 5.1095 4.9000 4.5624 4.8000 4.5414 3.5500 4.0108
Std Err Predict
0.268 0.198 0.149 0.322 0.255 0.246 0.177 0.214 0.206 0.250 0.252 0.337
Sum of Residuals 1.421085E-14 Sum of Squared Residuals 2.1673
Residual
-0.5864 -0.1046 -0.0257 0.5045 -0.3634 -0.4437 0.1417 -0.1483 0.8905 0.3376 0.2586 -0.4608
Std Err Residual
0.411 0.449 0.468 0.370 0.419 0.425 0.458 0.441 0.446 0.422 0.421 0.356
Student Residual
-1.427 -0.233 -0.055 1.362 -0.867 -1.045 0.309 -0.336 1.999 0.800 0.614 -1.293
-2-1-0 1 2
**
* **
**
**
*** * *
Analysis of Variance
Source
Model Error C Total
INTERCEP EDAD DENSI
DF
2 9 11
Variable DF
Sum of Squares
2.26502 2.16727 4.43229
Mean Square
1.13251 0.24081
F Valué
4.703
Parameter Estimates
Parameter Estímate
10.380989 -0.098627 -0.000525
Standard Error
2.12279131 0.04039365 0.00017126
Prob>F
0.0400
T for H0: Parameter=0
4.890 -2.442 -3.064
Prob > |T|
0.0009 0.0373 0.0135
INV 1 - TRAT D - PAR b
N = 12 Regression Models for Dependent Variable: b
R-square Adjusted R-square
C(p)
0.98209061 0.97537458 4.184
Durbin-Watson D 1.453 lst Order Autocorrelation -0.099
Variables in Model
DG A AB
Obs
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B
9.7960 9.5030 7.2520 7.0480 10.7210 11.6260 13.9290 16.5270 13.8640 5.2130 5.2850 5.7250
Sum oí Residuals
Predict Valué
11.2341 9.2742 7.1259 6.7734 10.5383 11.1660 13.9289 16.5903 13.3572 5.4532 5.3290 5.7186
Sum of Squared Residuals
Source
Model Error C Total
DF
3 8 11
Std Err Predict
0.268 0.213 0.227 0.331 0.319 0.345 0.351 0.416 0.411 0.342 0.324 0.451
2.04281E-14 2.7774
Analysis of Variance
Sum of Squares
152.30494 2.77743
155.08237
Mean Square
50.76831 0.34718
Residual
-1.4381 0.2288 0.1261 0.2746 0.1827 0.4600
1.438E-4 -0.0633 0.5068 -0.2402 -0.0440 0.00645
F Valué
146.231
Std Err Residual
0.525 0.549 0.544 0.487 0.495 0.478 0.473 0.418 0.422 0.480 0.492 0.380
Prob>F
0.0001
Student Residual
-2.741 0.416 0.232 0.564 0.369 0.963 0.000 -0.152 1.200 -0.500 -0.089 0.017
-2-1-0 1 2
*****
*
*
*
**
Parameter Estimates
Variable DF
INIERCEP DG A AB
Parameter Estímate
-0.778506 1.040973 -1.157026 0.031610
Standard Error
1.40654268 0.07387172 0.34766926 0.04126425
T for H0: ParameterO
-0.553 14.092 -3.328 0.766
Prob > |T|
0.5951 0.0001 0.0104 0.4656
Wf 1 - TRAT D - PAR c
N = 12 Regression Models for Dependent Variable: c
R-square Adjusted R-square
C(p)
0.87878426 0.83332835 0.215
Durbin-Watson D 2.457 lst Order Autocorrelation -0.268
Variables in Model
B DG AB
Obs
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C
1.8180 2.2080 2.0940 1.9890 1.9610 2.5180 3.2010 3.3100 3.1420 1.3900 1.5110 1.9700
Sum of Residuals
Predict Valué
1.9996 2.1823 1.8336 1.6984 2.3815 2.5338 3.0725 3.4520 2.8513 1.6133 1.6320 1.8617
Sum of Squared Residuals
Source
Model Error C Total
DF
3 8 11
Std Err Predict
0.199 0.081 0.095 0.144 0.142 0.171 0.157 0.180 0.136 0.158 0.142 0.185
8.65974E-15 0.5604
Analysis of Variance
Sum of Squares
4.06256 0.56037 4.62293
Mean Square
1.35419 0.07005
Residual
-0.1816 0.0257 0.2604 0.2906 -0.4205 -0.0158 0.1285 -0.1420 0.2907 -0.2233 -0.1210 0.1083
F Valué
19.333
Std Err Residual
0.174 0.252 0.247 0.222 0.223 0.202 0.213 0.194 0.227 0.213 0.223 0.189
Prob>F
0.0005
Student Residual
-1.043 0.102 1.055 1.308
-1.882 -0.078 0.603 -0.731 1.281
-1.050 -0.542 0.572
-2-1-0 1 2
**
***
*
** *
** **
*
**
*
Parameter Estimates
Variable
DTCERCEP B DG AB
DF
1 1 1 1
Parameter Estímate
0.690706 0.252579 -0.131342 0.025703
Standard Error
0.61544706 0.10284455 0.10599360 0.01789697
T for H0: ParameterO
1.122 2.456 -1.239 1.436
Prob > |T|
0.2943 0.0396 0.2504 0.1889
H W 1 - TRAT E - PAR a
N = 9 Regression Models for Dependent Variable: a
R-square Adjusted R-square
0.78717300 0.65947681
C(p) Variables in Model
2.367 D2 DG DENSI
Durbin-Watson D 2.936 lst Qrder Autooorrelation -0.475
Obs
1 2 3 4 5 6 7 8 9
A
5.0000 4.5000 5.0000 5.1000 6.6000 5.0000 4.1000 4.8000 4.8000
Sum of Residuals Sum of
Predict Valué
5.0557 4.8510 4.4095 5.2017 6.3217 5.3017 4.3386 4.5334 4.8866
Squared Residuals
Std Err Predict
0.282 0.236 0.265 0.231 0.350 0.229 0.305 0.233 0.225
5.06262E-14 0.7894
Residual
-0.0557 -O.3510 0.5905 -0.1017 0.2783 -0.3017 -0.2386 0.2666 -0.0866
Std Err Residual
0.280 0.320 0.2% 0.323 0.187 0.324 0.255 0.322 0.328
Student Residual
-0.199 -1.098 1.992
-0.315 1.485
-0.930 -0.935 0.829 -0.264
-2-1-0 1 2
**
* *
***
**
*
Analysis of Variance
Source
Model Error C Total
DF
3 5 8
Sum of Squares
2.91954 0.78935 3.70889
Mean Square
0.97318 0.15787
F Valué
6.164
Prob>F
0.0392
Parameter Estimates
Variable
INTERCEP D2 DG DENSI
DF
1 1 1 1
Parameter Estímate
29.765879 0.071020 -2.540238 -0.001488
Standard Error
10.76069455 0.02767025 1.04768298 0.00067080
T for H0: Parameter=0
2.766 2.567
-2.425 -2.218
Prob > |T|
0.0395 0.0502 0.0598 0.0773
INV 1 - TRAT E - PAR b
N = 9 Regression Models for Dependent Variable: b
R-square Adjusted C(p)
R-square
0.98213961 0.97958812 0.494
Durbin-Watson D 1.900 lst Qrder Autocorrelation 0.014
Variables in Model
DG
Obs
1 2 3 4 5 6 7 8 9
B
7.2220 11.2800 9.8960 14.0500 16.0550 16.0100 5.1180 4.5250 5.6250
Sum of Residuals
Predict Valué
7.5556 10.5728 9.8185 14.7215 16.6073 15.0044 4.5384 5.0098 5.9527
Std Err Predict
0.253 0.223 0.221 0.327 0.404 0.338 0.354 0.336 0.301
2.930989E-14 Sum of Squared Residuals 3.0630
Residual
-0.3336 0.7072 0.0775 -0.6715 -0.5523 1.0056 0.5796 -0.4848 -0.3277
Std Err Residual
0.611 0.623 0.624 0.575 0.524 0.569 0.559 0.570 0.589
Student Residual
-0.546 1.135 0.124 -1.168 -1.054 1.769 1.037 -0.851 -0.556
-2-1-0 1 2
*
** **
* *
**
*** **
Source
Model Error C Total
DF
1 7 8
Analysis of Variance
Sum of Squares
168.43397 3.06300
171.49697
Mean Square
168.43397 0.43757
F Valué
384.929
Prob>F
0.0001
Parameter Estimates
Variable
INTERCEP DG
DF
1 1
Parameter Estímate
-3.947517 0.942879
Standard Error
0.74312314 0.04805803
T for H0: Parameter=0
-5.312 19.620
Prob > |T|
0.0011 0.0001
INV 1 - TOAT E - PAR c
N = 9 Regression Models for Dependent Variable: c
R-square Adjusted R-square
0.98050214 0.97400286
Durbin-Watson D 3.133 lst Qrder Autocorrelation -0.5%
C(p)
4.426
Variables in Model
B DENSI
Obs
1 2 3 4 5 6 7 8 9
C
1.6730 2.2440 2.1220 3.1840 3.2460 3.5390 1.7400 1.4740 1.4470
Sum oí Residuals
Predict Valué
1.6099 2.3612 2.1387 2.9722 3.4294 3.4640 1.7406 1.4587 1.4942
Std Err Predict
0.081 0.065 0.061 0.061 0.080 0.084 0.104 0.076 0.064
1.110223E-15 Sum of Squared Residuals
Source
Model Error C Total
DF
2 6 8
0.1046
Analysis of Variance
Sum of Squares
5.25826 0.10456 5.36282
Mean Square
2.62913 0.01743
Residual
0.0631 -0.1172 -0.0167 0.2118 -0.1834 0.0750
-6.01E-4 0.0153 -0.0472
F Valué
150.863
Std Err Residual
0.104 0.115 0.117 0.117 0.105 0.102 0.081 0.108 0.115
Prob>F
0.0001
Student Residual
0.605 -1.020 -0.143 1.805
-1.744 0.738 -0.007 0.141 -0.409
-2-1-0 1 2
**
***
*
***
*
Parameter Estimates
Variable
INTERCEP B DENSI
DF
1 1 1
Parameter Estímate
-0.912746 0.251881 0.000244
Standard Error
0.44745770 0.02534526 0.00007070
T for H0: Parameter=0
-2.040 9.938 3.452
Prob > |T|
0.0875 0.0001 0.0136
INV 2 - TCAT A - PAR a
N = 12 Regression Models for Dependent Variable: a
R-square Adjusted R-square
C(p)
0.43873042 0.22825433 0.139
Durbin-Watson D 2.143 lst Qrder Autocorrelation -0.167
Variables in Model
DG D2 DENSI
Obs
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Predict A Valué
4.3000 4.8495 5.0000 4.3242 5.0000 4.9708 5.0000 4.8162 5.0000 4.6718 3.7000 4.3349 4.5000 4.9102 5.5000 5.4160 5.3000 4.9435 4.1000 4.1958 4.8000 4.8749 4.7000 4.5921
Sum of Residuals Sum of Squared Residuals
Std Err Predict
0.205 0.228 0.262 0.241 0.180 0.262 0.253 0.328 0.243 0.287 0.309 0.294
8.88178E-15 1.6328
Residual
-0.5495 0.6758 0.0292 0.1838 0.3282 -0.6349 -0.4102 0.0840 0.3565 -0.0958 -0.0749 0.1079
Std Err Residual
0.403 0.390 0.368 0.382 0.414 0.368 0.374 0.311 0.381 0.349 0.329 0.343
Student Residual
-1.364 1.732 0.079 0.481 0.792 -1.724 -1.097 0.270 0.936 -0.275 -0.228 0.314
-2-1-0 1 2
**
*** **
***
*
*
Source
Model Error C Tbtal
DF
3 8
11
Analysis of Variance
Sum of Squares
1.27634 1.63283 2.90917
Mean Square
0.42545 0.20410
F Valué
2.084
Prob>F
0.1807
Parameter Estimates
Variable DF
INTERCEP DG D2 DENSI
Parameter Estímate
27.650141 -2.360284 0.062165
-0.000697
Standard Error
11.39414641 1.14188334 0.02932136 0.00039520
T for H0: Parameter=0
2.427 -2.067 2.120
-1.765
Prob > |T|
0.0414 0.0726 0.0668 0.1156
INV 2 - TRAT A - PAR b
N = 12 Regression Models for Dependent Variable: b
R-square Adjusted R-square
C(p)
0.99931897 0.99916764 12.256
Durbin-Watson D 1.156 lst Order Autooorrelation 0.239
Variables in Model
DG A
Obs
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B
9.8520 10.8350 9.4790 10.6440 10.3300 13.8020 18.7950 18.7880 17.6140 10.1910 7.4200 7.7330
Sum of Residuals Sum of
Source
Model Error C Total
Predict Valué
10.0590 10.8995 9.5033 10.5773 10.1477 13.7265 18.7530 18.7263 17.7651 10.1717 7.3607 7.7929
Squared Residuals
DF
2 9 11
Std Err Predict
0.047 0.041 0.047 0.043 0.044 0.086 0.074 0.079 0.066 0.057 0.055 0.051
7.99361E-15 0.1268
Analysis of Variance
Sum of Squares
186.11344 0.12683
186.24027
Mean Square
93.05672 0.01409
Residual
-0.2070 -0.0645 -0.0243 0.0667 0.1823 0.0755 0.0420 0.0617 -0.1511 0.0193 0.0593 -0.0599
F Valué
6603.187
Std Err Residual
0.109 0.111 0.109 0.111 0.110 0.082 0.093 0.089 0.098 0.104 0.105 0.107
Prob>F
0.0001
Student Residual
-1.902 -0.580 -0.223 0.602 1.655 0.919 0.451 0.693 -1.536 0.185 0.565 -0.559
-2-1-0 1 2
***
*
***
*
* *** *
*
*
Parameter Estimates
Variable
TfflSRCEP DG A
DF
1 1 1
Parameter Estímate
-0.2441% 1.073995 -1.100645
Standard Error
0.33384165 0.00957377 0.07405022
T for H0: Parameter=0
-0.731 112.181 -14.863
Prob > |T|
0.4831 0.0001 0.0001
INV 2 - TRAT A - PAR c
N « 12 Regression Models for Dependent Variable: c
R-square Adjusted R-square
C(p)
0.92150142 0.91365156 7.177
Durbin-Watson D 2.067 lst Order Autocorrelation -0.076
Variables in Model
D2
Obs
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Predict C Valué
1.8880 2.0802 2.1820 2.2910 1.9990 2.1070 2.3000 2.2472 2.2910 2.1900 2.5840 2.4912 3.0540 3.5160 3.9750 3.7333 3.6590 3.4948 2.2990 2.0669 1.8410 1.8323 1.8450 1.8671
Sum of Residuals Sum of Squared Residuals
Std Err Predict
0.071 0.063 0.070 0.064 0.066 0.060 0.112 0.129 0.110 0.072 0.086 0.083
-1.9984E-15 0.4354
Residual
-0.1922 -0.1090 -0.1080 0.0528 0.1010 0.0928 -0.4620 0.2417 0.1642 0.2321 0.00866 -0.0221
Std Err Residual
0.196 0.199 0.197 0.198 0.198 0.200 0.176 0.164 0.177 0.1% 0.190 0.191
Student Residual
-0.980 -0.548 -0.550 0.266 0.511 0.465 -2.624 1.476 0.927 1.185 0.046 -0.115
-2-1-0 1 2
* * *
*****
*
** * **
Analysis of Variance
Sum of Mean Source DF Squares Square F Valué
117.391 Model Error C Total
1 10 11
5.11098 0.43538 5.54636
5.11098 0.04354
Prob>F
0.0001
Parameter Estimates
Variable
INTERCEP D2
DF
1 1
Parameter Estímate
1.146077 0.004766
Standard Error
0.13814650 0.00043986
T for H0: Parameter=0
8.2% 10.835
Prob > |T|
0.0001 0.0001
INV 2 - TRAT C - PAR a
N - 12 Regression Models for Dependent Variable: a
R-square Adjusted R-square
0.81267969 0.79394766
IXirbin-Watson D 2.199 lst Order Autocorrelation -0.262
C(p)
1.982
Variables in Model
H0
Obs
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A
8.3000 4.3000 6.0000 5.0000 5.0000 3.0000 9.0000 12.3000 7.3000 5.0000 4.6000 4.9000
Sum of Residuals
Predict Valué
6.2037 5.7782 5.4379 4.7571 4.9273 5.1826 9.3523 11.8201 7.6504 5.4379 3.4806 4.6720
Std Err Predict
0.338 0.345 0.358 0.405 0.391 0.373 0.583 0.914 0.401 0.358 0.536 0.412
8.881784E-15 Sum of Squared Residuals
Source
Model Error C Total
DF
1 10 11
13.6973
Analysis of Variance
Sum of Squares
59.42517 13.69733 73.12250
Mean Square
59.42517 1.36973
Residual
2.0963 -1.4782 0.5621 0.2429 0.0727 -2.1826 -0.3523 0.4799 -0.3504 -0.4379 1.1194 0.2280
F Valué
43.384
Std Err Residual
1.121 1.118 1.114 1.098 1.103 1.109 1.015 0.731 1.099 1.114 1.040 1.095
Prob>F
0.0001
Student Residual
1.871 -1.322 0.505 0.221 0.066 -1.968 -0.347 0.657 -0.319 -0.393 1.076 0.208
-2-1-0 1 2
**
***
***
*
*
**
Parameter Estimates
Variable
INTERCEP H0
DF
1 1
Parameter Estímate
-5.709816 0.850967
Standard Error
1.84318775 0.129194%
T for H0: Parameter=0
-3.098 6.587
Prob > |T|
0.0113 0.0001
INV 2 - TRAT C - PAR b
N = 12 Regression Models for Dependent Variable: b
R-square Adjusted R-square
C(p)
0.99961317 0.99952721 22.076
Durbiii-Watson D 1.717 lst Qrder Autocorrelation 0.111
Variables in Model
DG A
Obs
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B
10.4930 13.8880 12.3650 10.2700 11.3300 15.0000 14.9360 17.5170 17.8840 7.9510 6.2990 8.5310
Sum of Residuals
Predict Valué
10.4363 13.9760 12.3657 10.1819 11.2682 14.9391 14.8980 17.5422 17.9204 8.1180 6.2668 8.5514
Sum of Squared Residuals
Std Err Predict
0.039 0.038 0.024 0.027 0.026 0.054 0.036 0.062 0.045 0.036 0.046 0.033
-5.9508E-14 0.0590
Residual
0.0567 -0.0880 -7.44E-4 0.0881 0.0618 0.0609 0.0380 -0.0252 -0.0364 -0.1670 0.0322 -0.0204
Std Err Residual
0.071 0.071 0.077 0.076 0.077 0.060 0.073 0.051 0.067 0.073 0.067 0.074
Student Residual
0.801 -1.233 -O.010 1.156 0.806 1.017 0.523 -0.489 -0.543 -2.297 0.482 -0.276
-2-1-0 1 2
**
* ****
*
** * ** *
Source
Model Error C Total
DF
2 9 11
Analysis of Variance
Sum of Squares
152.45428 0.05900
152.51328
Mean Square
76.22714 0.00656
F Valué
11628.567
Prob>F
0.0001
Parameter Estimates
V a r i a b l e DF
DTCERCEP DG A
Parameter Estimate
-0.411281 1.086283 -1.075031
Standard Error
0.08825323 0.00824795 0.01664504
T for H0: Parameter=0
-4.660 131.703 -64.586
Prob > |T|
0.0012 0.0001 0.0001
BÍV 2 - TOAT C - PAR c
N = 12 Regression Models for Dependent Variable: c
R-square Adjusted R-square
0.83673769 0.77551432
C(p)
5.042
Variables in Model
B H0 AB
DurbirHíatson D 3.084 lst Order Autooorrelation -0.573
Dbs
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C
2.1260 2.5580 2.5860 2.5190 2.4300 3.1040 3.5290 3.1850 4.6960 1.8330 1.9400 1.9620
Predict Valué
2.0015 3.0485 2.6933 2.1148 2.4790 3.3553 3.0946 3.5482 4.1918 2.0148 1.7226 2.2036
Std Err Predict
0.243 0.160 0.142 0.202 0.149 0.231 0.201 0.312 0.301 0.233 0.239 0.210
Residual
0.1245 -0.4905 -0.1073 0.4042 -0.0490 -0.2513 0.4344 -0.3632 0.5042 -0.1818 0.2174 -0.2416
Std Err Residual
0.304 0.355 0.362 0.332 0.359 0.313 0.333 0.233 0.246 0.311 0.307 0.328
Student Residual
0.410 -1.384 -0.296 1.217
-0.137 -0.804 1.305
-1.562 2.049 -0.584 0.708 -0.737
Sum of Residuals 2.88658E-15 Sum of Squared Residuals 1.2100
Analysis of Variance
Source
Model Error C Total
DF
3 8
11
Sum of Squares
6.20152 1.21003 7.41154
Mean Square
2.06717 0.15125
F Valué
13.667
Prob>F
0.0016
Parameter Estimates
Variable DF
BTTCRCEP B H0 AB
Parameter Estímate
0.131023 0.284314 -0.152144 0.028256
Standard Error
0.71165541 0.06170111 0.09066053 0.01718609
T for H0: Parameter=0
0.184 4.608 -1.678 1.644
Prob > |T|
0.8585 0.0017 0.1318
Wf 2 - TRAT D - PAR a
N = 12 Regression Models for Dependent Variable: a
R-square
0.93947374 0.91677639
Adjusted R-square
C(p)
2.941
Variables in Model
D2 H2 H0
Durbin-Watson D 2.342 lst Qrder Autocorrelation -0.271
>bs
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A
7.6000 7.9000 7.0000 5.0000 5.8000 5.7000
13.0000 13.5000 11.9000 5.0000 5.4000 4.5000
Predict Valué
8.7932 7.3376 6.7140 5.2213 6.3942 6.2389 11.0159 13.9231 12.4084 4.5847 5.1576 4.5112
Std Err Predict
0.651 0.512 0.679 0.370 0.340 0.462 0.549 0.664 0.666 0.572 0.446 0.483
Residual
-1.1932 0.5624 0.2860 -0.2213 -0.5942 -0.5389 1.9841
-0.4231 -0.5084 0.4153 0.2424 -0.0112
Std Err Residual
0.683 0.792 0.655 0.868 0.880 0.822 0.767 0.670 0.668 0.750 0.831 0.810
Student Residual
-1.748 0.710 0.436 -0.255 -0.675 -0.655 2.587 -0.632 -0.761 0.554 0.292 -0.014
-2-1-0 1 2
***
* *
* *
*
****!
*
Sum of Residuals 1.065814E-14 Sun» of Squared Residuals 7.1197
Analysis of Variance
Source
Model Error C Total
DF
3 8 11
Sum of Squares
109.52051 8.10866
117.62917
Mean Square
36.50684 1.01358
F Valué
36.018
Prob>F
0.0001
Parameter Estimates
Variable DF
INTERCEP DG H2 H0
Parameter Estímate
20.639405 0.624474 0.108194 -3.317946
Standard Error
12.17636063 0.17813946 0.05067597 1.68475101
T for H0: Parameter=0
1.695 3.506 2.135
-1.969
Prob > |T|
0.1285 0.0080 0.0653 0.0844
H W 2 - TRAT D - PAR b
N = 12 Regression Models for Dependent Variable: b
R-square Adjusted R-square
0.98396815 0.98040552
Durbin-Watson D 2.038 lst Order Autocorrelation -O.019
C(p)
1.515
Variables in Model
DG A
tos
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B
14.4960 10.6610 9.1890 10.2420 12.6360 12.1740 11.7270 13.2150 13.1200 9.5660 8.4770 8.7120
Predict Valué
14.4794 10.5276 9.0614 10.0818 12.0674 12.5867 11.7242 13.1863 13.2741 9.8737 8.6288 8.7238
Std Err Predict
0.189 0.089 0.127 0.106 0.122 0.143 0.171 0.169 0.139 0.108 0.135 0.135
Residual
0.0166 0.1334 0.1276 0.1602 0.5686 -0.4127 0.00284 0.0287 -0.1541 -0.3077 -0.1518 -0.0118
Std Err Residual
0.204 0.264 0.247 0.257 0.250 0.238 0.219 0.221 0.241 0.256 0.243 0.243
Student Residual
0.082 0.506 0.516 0.623 2.277
-1.732 0.013 0.130 -0.639 -1.200 -0.625 -0.048
-2-1-0 1 2
***
* ** *
* * * ****
Sum of Residuals -2.84217E-14 Sum of Squared Residuals 0.6962
Analysis of Variance
Source
Model Error C Total
DF
2 9 11
Sum of Squares
42.72697 0.69615 43.42312
Mean Square
21.36349 0.07735
F Valué
276.191
Prob>F
0.0001
Parameter Estimates
Variable DF
INTERCEP DG A
Parameter Estímate
0.143906 1.040752 -1.030600
Standard Error
0.48368752 0.05367197 0.07521720
T for H0: ParameterO
0.298 19.391 -13.702
Prob > |T|
0.7728 0.0001 0.0001
INV 2 - TRAT D - PAR c
N = 12 Regression Models for Dependent Variable: c
R-square Adjusted R-ajuare
0.74019355 0.59173272
Durbin-Watson 0 2.824 Ist Order Autocorrelation -0.431
C(p)
2.562
Variables in Model
DENSI EDAD A AB2
Obs
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C
2.4690 2.4650 2.8350 2.8720 2.9510 2.3620 3.0400 2.6760 3.3090 1.9100 1.9750 2.3250
Sum of Residuals
Predict Valué
2.4029 2.6434 2.6554 2.8961 2.6965 2.6859 3.0833 2.9122 2.9426 1.8381 2.2311 2.2014
Sum of Squared Residuals
Source
Model Error C Total
DF
4 7 11
Std Err Predict
0.199 0.165 0.166 0.186 0.153 0.162 0.170 0.178 0.137 0.222 0.148 0.200
2.44249E-15 0.5167
Analysis of Variance
Sum of Squares
1.47212 0.51671 1.98884
Mean Square
0.36803 0.07382
Residual
0.0661 -0.1784 0.1796 -0.0241 0.2545 -0.3239 -0.0433 -0.2362 0.3664 0.0719 -0.2561 0.1236
F Valué
4.986
Std Err Residual
0.185 0.216 0.215 0.198 0.224 0.218 0.212 0.205 0.234 0.157 0.228 0.183
Prob>F
0.0321
Student Residual
0.357 -0.825 0.834 -0.122 1.134 -1.486 -0.205 -1.151 1.563 0.459 -1.123 0.674
-2-1-0 1 2
*
**
**
**
*
**
***
*
Parameter Estimates
Parameter Variable DF Estimate
INTERCEP ] DENSI ] EDAD J A 1 AB2 ]
L -1.703543 L 0.000560 L 0.057624 L 0.208494 L -0.000727
Standard Error
1.75365641 0.00037102 0.02395321 0.10097094 0.00037984
T for H0: Parameter=0
-0.971 1.510 2.406 2.065 -1.915
Prob > |T|
0.3637 0.1748 0.0471 0.0778 0.0970
INV 2 - TRAT E - PAR a
N = 9 Regression Models for Dependent Variable: a
R-square
0.40634440
Adjusted R-square
.309848%
C(p)
18.194
IXirbin-Watson D 3.265 Ist Qrder Autccorrelation -0.648
Variables in Model
D2 H0 H2
Obs
1 2 3 4 5 6 7 8 9
A
5.9000 9.0000 9.0000 13.6000 4.3000 15.0000 5.8000 6.6000 5.8000
Sum of Residuals
Predict Valué
6.4500 6.3615 8.7786 10.9564 10.8171 10.9355 7.1029 6.3758 7.2221
Std Err Predict
2.102 3.117 3.774 2.364 2.551 2.273 2.535 2.320 2.048
8.437695E-14 Sum of Squared Residuals
Source
Model Error C Total
DF
3 5 8
77.0651
Analysis of Variance
Sum of Squares
34.03486 77.06514 111.10000
Mean Square
11.34495 15.41303
Residual
-0.5500 2.6385 0.2214 2.6436
-6.5171 4.0645 -1.3029 0.2242 -1.4221
F Valué
0.736
Std Err Residual
3.316 2.387 1.080 3.134 2.984 3.201 2.998 3.167 3.349
Prob>F
0.5740
Student Residual
-0.166 1.105 0.205 0.843 -2.184 1.270 -0.435 0.071 -0.425
-2-1-0 1 2
****
**
*
**
Parameter Estimates
Variable
INTERCEP D2 H0 H2
DF
1 1 1 1
Parameter Estímate
-37.641665 -0.001008 5.650082
-0.161355
Standard Error
119.18589854 0.01821686 16.16890501 0.51728736
T for H0: Parameter=0
-0.316 -0.055 0.349 -0.312
Prob > |T|
0.7649 0.9580 0.7410 0.7677
INV 2 - TRAT E - PAR b
N = 9 Regression Models for Dependent Variable: b
R-squarr Adjusted R-square
0.99897507 0.99836011
Durbin-Watson D 1.665 lst Order Autocorrelation 0.147
C(p)
4.037
Variables in Model
DENS1 D2 A
Obs
1 2 3 4 5 6 7 8 9
B
12.2440 11.1460 13.0080 13.1400 24.2790 11.8020 7.4070 7.2760 9.3260
Sum of Residuals Sum of
Source
Model Error C Total
Predict Valué
12.3236 11.2187 12.7834 12.8844 24.3133 12.0733 7.3469 7.3107 9.3738
Squared Residuals
DF
3 5 8
Std Err Predict
0.143 0.109 0.102 0.130 0.203 0.150 0.144 0.119 0.097
2.30926E-14 0.2093
Analysis of Variance
Sum of Squares
203.97590 0.20928
204.18517
Mean Square
67.99197 0.04186
Residual
-0.07% -0.0727 0.2246 0.2556 -O.0343 -0.2713 0.0601 -0.0347 -0.0478
F Valué
1624.454
Std Err Residual
0.147 0.173 0.177 0.158 0.025 0.139 0.145 0.166 0.180
Prob>F
0.0001
Student Residual
-0.543 -0.419 1.266 1.614 -1.367 -1.955 0.414 -0.209 -0.265
-2-1-0 1 2
*
** ***
** ***
Parameter Estimates
Variable DF
BITERCEP DENSI D2 A
Parameter Estimate
12.946230 -0.001025 0.021373 -0.985497
Standard Error
0.40034641 0.00010941 0.00052517 0.02274607
T for H0: Parameter=0
32.338 -9.369 40.697 -43.326
Prob > |T|
0.0001 0.0002 0.0001 0.0001
INV 2 - TRAT E - PAR c
N = 9 Regression Models for Dependent Variable: c
R-square Adjusted R-square
C(p)
0.99340982 0.99121310 3.768
Durbin-Watson D 2.104 lst Qrder Autocorrelation -0.119
Variables in Model
B H2
Qbs
1 2 3 4 5 6 7 8 9
C
2.7050 2.3590 2.8650 3.1450 5.3540 2.7900 1.9070 1.8070 2.0500
Sum o£ Residuals
Predict Valué
2.6953 2.4815 2.8945 3.1237 5.2972 2.8632 1.7624 1.7250 2.1391
Std Err Predict
0.049 0.045 0.040 0.065 0.092 0.072 0.048 0.049 0.041
2.664535E-15 Sum of Squared Residuals
Source
Model Error C Total
DF
2 6 8
0.0606
Analysis of Variance
Sum of Squares
9.12992 0.06057 9.19049
Mean Square
4.56496 0.01009
Residual
0.0097 -0.1225 -0.0295 0.0213 0.0568 -0.0732 0.1446 0.0820 -0.0891
F Valué
452.223
Std Err Residual
0.088 0.090 0.092 0.076 0.040 0.070 0.089 0.088 0.092
Prob>F
0.0001
Student Residual
0.111 -1.363 -0.321 0.279 1.406
-1.046 1.633 0.932 -0.973
-2-1-0 1 2
**
**
*
**
*** *
Parameter Estimates
Variable
DJTERCEP B H2
DF
1 1 1
Parameter Estímate
0.135235 0.194713 0.001243
Standard Error
0.09627009 0.00929861 0.00047439
T for H0: ParameterO
1.405 20.940 2.620
Prob > |T|
0.2097 0.0001 0.03%
W¡ 3 - TOAT A - PAR a
N = 12 Regression Models for Dependent Variable: a
R-square Adjusted R-square
0.88761726 0.82339854
IXirbin-tfatson D 2.551 l s t Order Autocorrelation -0.343
C(p)
4.039
Variables in Model
AB D2 DENSI A62
)bs
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A
6.3000 5.9000 6.0000 5.0000 6.0000 5.0000
10.5000 8.0000 9.1000 2.5000 7.0000 9.0000
Predict Valué
5.8055 5.6239 5.9163 4.5206 5.8178 6.8901 9.8602 8.2269 8.9808 2.5555 7.8418 8.2606
Std Err Predict
0.432 0.484 0.415 0.882 0.418 0.369 0.556 0.670 0.462 0.853 0.627 0.662
Residual
0.4945 0.2761 0.0837 0.4794 0.1822 -1.8901 0.6398 -0.2269 0.1192 -0.0555 -0.8418 0.7394
Std Err Residual
0.810 0.780 0.819 0.252 0.817 0.840 0.730 0.627 0.793 0.340 0.670 0.636
Student Residual
0.611 0.354 0.102 1.899 0.223 -2.250 0.876 -0.362 0.150 -0.163 -1.256 1.163
-2-1-0 1 2
****
**
*
***
*
**
Sum of Residuals -1.32339E-13 Sum of Squared Residuals 5.8966
Analysis of Variance
Source
Model Error C Total
DF
4 7 11
Sum of Squares
46.57254 5.89663 52.46917
Mean Square
11.64313 0.84238
F Valué
13.822
Prob>F
0.0020
Parameter Estimates
Variable
INTERCEP AB D2 DENSI AB2
DF
1 1 1 1 1
Parameter Estímate
-44.854948 1.329443 0.042690 0.005863 -0.016416
Standard Error
13.03793639 0.48053551 0.00704888 0.00106866 0.00458803
T for H0: Parameter=0
-3.440 2.767 6.056 5.486
-3.578
Prob > |T|
0.0108 0.0278 0.0005 0.0009 0.0090
Wf 3 - TRAT A - PAR b
N = 12 Regressioii Models for Dependent Variable: b
R-square Adjusted R-square
C(p)
0.93511843 0.92070030 3.373
Durbin-Watson D 2.153 lst Order Autocorrelation -0.267
Variables in Model
DG A
Obs
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B
11.4150 12.3710 10.9360 13.0800 11.5230 15.5390 14.8480 18.1060 15.0700 12.7290 8.5450 8.8790
Sum of Residuals
Predict Valué
12.2377 12.8110 11.7936 12.8922 12.0912 14.6032 15.4049 17.1843 15.2170 12.4399 8.6865 7.6796
Std Err Predict
0.234 0.243 0.251 0.294 0.244 0.347 0.506 0.460 0.393 0.509 0.430 0.588
-3.10862E-14 Sum of Squared Residuals
Source DF
Model Error
2 9
C Total 11
5.5634
Analysis of Variance
Sum of Squares
80.18371 5.56341 85.74712
Mean Square
40.09186 0.61816
Residual
-0.8227 -0.4400 -0.8576 0.1878 -0.5682 0.9358 -0.5569 0.9217 -0.1470 0.2891 -0.1415 1.1994
F Valué
64.857
Std Err Student Residual Residual
0.750 0.748 0.745 0.729 0.747 0.706 0.602 0.638 0.681 0.599 0.658 0.522
Prob>F
0.0001
-1.096 -0.589 -1.151 0.258 -0.760 1.326
-0.925 1.446
-0.216 0.483 -0.215 2.296
-2-1-0 1 2
**
* **
*
* **
**
****
Parameter Estimates
Variable
INTERCEP DG A
DF
1 1 1
Parameter Estímate
2.539981 0.743901 -0.503456
Standard Error
1.11321062 0.06583040 0.12315977
T for H0: Parameter=0
2.282 11.300 -4.088
Prob > |T|
0.0484 0.0001 0.0027
INV 3 - TRAT A - PAR c
N = 12 Regression Models for Dependent Variable: c
R-square Adjusted R-square
C(p)
0.83422746 0.79738912 3.974
Durbin-Watson D 2.223 lst Qrder Autooorrelation -0.138
Variables in Model
B DENSI
Obs
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C
1.9820 2.1620 2.1240 2.7160 2.4590 2.9320 2.5150 4.2310 3.0530 2.7810 2.3350 2.0580
Sum of Residuals
Predict Valué
2.1259 2.3966 2.0222 2.4868 2.1715 3.1798 2.8823 3.8492 2.9741 2.9968 2.0782 2.1846
Std Err Predict
0.125 0.097 0.134 0.105 0.117 0.118 0.110 0.201 0.109 0.161 0.173 0.175
1.110223E-15 Sum of Squared Residuals
Source
Model Error C Total
DF
2 9 11
Analysis
Sum of Squares
3.51329 0.69814 4.21142
0.6981
of Variance
Mean Square
1.75664 0.07757
Residual
-0.1439 -0.2346 0.1018 0.2292 0.2875 -0.2478 -0.3673 0.3818 0.0789 -0.2158 0.2568 -0.1266
F Valué
22.646
Std Err Residual
0.249 0.261 0.244 0.258 0.253 0.252 0.256 0.193 0.256 0.227 0.218 0.217
Prob>F
0.0003
Student Residual
-0.578 -0.898 0.417 0.888 1.138
-0.982 -1.436 1.982 0.308 -0.951 1.178
-0.585
-2-1-0 1 2
*
*
* **
*
*
* **
***
**
Parameter Estimates
Variable
INTERCEP B DENSI
DF
1 1 1
Parameter Estímate
-1.817809 0.293042 0.000285
Standard Error
0.84460813 0.04934049 0.00010244
T for H0: Parameter=0
-2.152 5.939 2.779
Prob > |T|
0.0598 0.0002 0.0214
INV 3 - TOAT C - PAR a
N = 12 Regression Models for Dependent Variable: a
R-square Adjusted R-square
0.94233323 0.92070819
Durbii Hfatson D
C(p)
1.793
2.582 lst Order Autooorrelation -0.379
Obs
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A
9.0000 9.9000 8.4000 7.0000 6.0000 9.0000 13.0000 15.0000 12.0000 9.0000 3.5000 5.0000
Sum of Residuals
Predict Valué
9.5553 9.4756 8.2185 6.9862 7.3235 7.7375 13.8973 14.7157 11.5743 7.9381 3.4157 5.9623
Sum of Squared Residuals
Std Err Predict
0.361 0.347 0.369 0.418 0.415 0.477 0.634 0.906 0.464 0.601 0.747 0.423
3.19744E-14 6.9950
Variables in Model
H2 DENSI H0
Residual
-0.5553 0.4344 0.1815 0.0138 -1.3235 1.2625 -0.8973 0.2843 0.4257 1.0619 0.0843 -0.9623
Std Err Residual
0.863 0.868 0.859 0.836 0.838 0.804 0.687 0.233 0.812 0.717 0.562 0.834
Student Residual
-0.644 0.489 0.211 0.016 -1.580 1.570
-1.305 1.220 0.524 1.482 0.150 -1.154
-2-1-0 1 2
*
***
**
**
***
** * **
Analysis of Variance
Source
Model Error C Ttotal
DF
3 8 11
Sum of Squares
114.30502 6.99498
121.30000
Mean Square
38.10167 0.87437
F Valué
43.576
Prob>F
0.0001
Parameter Estimates
Variable
INTERCEP H2 DENSI H0
DF
1 1 1 1
Parameter Estímate
-47.478674 -0.130783 0.000580 5.684352
Standard Error
15.62015220 0.04663252 0.00059484 1.69818599
T for H0: Parameter=0
-3.040 -2.805 0.975 3.347
Prob > |T|
0.0161 0.0230 0.3582 0.0101
INV 3 - TOAT C - PAR b
N = 12 Regression Models for Dependent Variable: b
R-square Mjusted R-square
C(p)
0.95730973 0.94130088 2.465
Durbin-Watson D 3.007 lst Order Autocorrelation -0.662
Variables in Model
D2 A AB2
Obs
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B
13.2830 11.3970 13.0570 11.1090 13.5190 12.4400 12.3190 16.5370 14.1090 6.8630 9.5350 8.1560
Sum of Residuals Sum of
Source
Model Error C Itotal
Predict Valué
13.1807 11.7216 12.5306 11.7046 12.9238 12.9398 11.9575 16.9176 13.6155 6.7595 8.8894 9.1834
Squared Residuals
DF
3 8 11
Std Err Predict
0.256 0.271 0.224 0.319 0.348 0.321 0.356 0.554 0.269 0.529 0.446 0.421
4.79616E-14 3.3539
Analysis of Variance
Sum of Squares
75.20917 3.35388 78.56305
Mean Square
25.06972 0.41923
Residual
0.1023 -0.3246 0.5264 -0.5956 0.5952 -0.4998 0.3615 -0.3806 0.4935 0.1035 0.6456 -1.0274
F Valué
59.799
Std Err Residual
0.595 0.588 0.607 0.564 0.546 0.562 0.541 0.335 0.589 0.374 0.469 0.492
Prob>F
0.0001
Student Residual
0.172 -0.552 0.867 -1.057 1.091 -0.889 0.668 -1.137 0.838 0.277 1.376
-2.088
-2-1-0 1 2
*
**
*
**
****
*
**
*
*
**
Parameter Estimates
Variable DF
D2 A AB2
Parameter Estímate
11.833220 0.020711 -0.586873 -O.001611
Standard Error
0.80355576 0.00227566 0.14314786 0.00031408
T for H0: Parameter=0
14.726 9.101
-4.100 -5.129
Prob > |T|
0.0001 0.0001 0.0034 0.0009
INV 3 - TRAT C - PAR c
N = 12 Regression Models for Dependent Variable: C
R-square Adjusted R-square
0.68026662 0.41382214
C(p)
6.00000
Durbin-Watson D 2.804 lst Qrder Autocorrelation -0.452
Variables in Model
EDAD H0 D2 AB B
Obs
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Predict C Valué
2.5650 2.2998 2.0560 2.3365 2.6620 2.5270 2.7460 2.7001 3.1980 3.0719 2.5880 2.9428 2.9030 2.7939 2.9240 3.2007 3.7650 3.3950 2.4410 2.2410 2.2610 2.6115 2.5890 2.5778
Std Err Predict
0.241 0.190 0.191 0.227 0.265 0.238 0.247 0.280 0.275 0.249 0.263 0.210
Sum of Residuals 1.110223E-14 Sum of Squared Residuals 0.6994
Residual
0.2652 -0.2805 0.1350 0.0459 0.1261 -0.3548 0.1091 -0.2767 0.3700 0.2000 -0.3505 0.0112
Std Err Residual
0.242 0.284 0.283 0.255 0.215 0.245 0.236 0.196 0.202 0.234 0.217 0.269
Student Residual
1.096 -0.989 0.476 0.180 0.587 -1.451 0.463 -1.413 1.834 0.856 -1.612 0.042
-2-1-0 1 2
*
**
**
***
**
*
*** *
Analysis of Variance
Source
Model Error C Total
DF
5 6 11
Sum of Squares
1.48802 0.69939 2.18740
Mean Square
0.29760 0.11656
F Valué
2.553
Prob>F
0.1425
Parameter Estimates
Variable
INTERCEP EDAD H0 D2 AB B
DF
1 1 1 1 1 1
Parameter Estímate
-3.143245 0.083859 -0.267189 0.002487 0.073453 0.045454
Standard Error
3.41316959 0.03436161 0.18728333 0.00330031 0.03189123 0.12112207
T for H0: Parameter=0
-0.921 2.440 -1.427 0.753 2.303 0.375
Prob > oTo
0.3926 0.0504 0.2036 0.4797 0.0608 0.7204
INV 3 - TRAT D - PAR a
N = 12 Regression Models for Dependent Variable: a
R-square Adjusted R-square
C(p)
0.84468525 0.81017086 1.543
DurbiiHfatson D 2.134 lst Order Autocorrelation -0.247
Variables in Model
DG AB2
Obs
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A
10.2000 11.0000 9.0000 7.5000 7.1000 11.0000 17.0000 17.0000 16.0000 7.0000 7.0000 4.2000
Sum of Residuals
Predict Valué
13.0233 9.2430 7.6377 6.3915 9.8311 9.9099 15.0336 17.2597 15.5730 7.7925 6.2815 6.0232
Sum of Squared Residuals
Source
Model Error C Total
DF
2 9 11
Std Err Predict
1.059 0.774 0.680 0.927 0.643 0.855 0.907 1.204 0.979 0.951 0.978 1.086
1.68754E-14 31.3746
Analysis of Variance
Sum of Squares
170.63205 31.37462
202.00667
Mean Square
85.31603 3.48607
Residual
-2.8233 1.7570 1.3623 1.1085 -2.7311 1.0901 1.9664
-0.2597 0.4270 -0.7925 0.7185 -1.8232
F Valué
24.473
Std Err Residual
1.538 1.699 1.739 1.620 1.753 1.660 1.632 1.427 1.590 1.607 1.590 1.519
Prob>F
0.0002
Student Residual
-1.836 1.034 0.783 0.684 -1.558 0.657 1.205 -0.182 0.269 -0.493 0.452 -1.201
-2-1-0 1 2
***
***
**
** * *
* **
Parameter Estimates
Variable
INIERCEP DG AB2
DF
1 1 1
Parameter Estímate
-10.775704 0.920291 0.000993
Standard Error
3.07746460 0.15057907 0.00099890
T for H0: Parameter=0
-3.501 6.112 0.994
Prob > |T|
0.0067 0.0002 0.3460
INV 3 - TRAT D - PAR b
N - 12 Regression Models for Dependent Variable: b
R-square Adjusted R-square
C(p)
0.86170576 0.80984542 0.146
Durbin-Watson D 2.740 lst Order Autooarrelation -0.518
Variables in Model
DG A AB2
Obs
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B
15.2180 9.9550 10.0840 10.6710 14.5290 10.9350 9.0280 11.2830 10.6540 9.0690 10.0040 8.5850
Sum of Residuals
Predict Valué
15.2725 10.5563 9.7526 10.5675 13.6328 11.4544 9.3638 11.0689 10.5201 9.4802 8.3805 9.9654
Sum of Squared Residuals
Source
Model Error C Total
DF
3 8 11
Std Err Predict
0.681 0.467 0.393 0.480 0.536 0.446 0.538 0.580 0.475 0.475 0.484 0.598
1.24345E-14 6.4448
Analysis of Variance
Sum of Squares
40.15734 6.44481
46.60215
Mean Square
13.38578 0.80560
Residual
-0.0545 -0.6013 0.3314 0.1035 0.8962 -0.5194 -0.3358 0.2141 0.1339 -0.4112 1.6235 -1.3804
F Valué
16.616
Std Err Residual
0.585 0.767 0.807 0.758 0.720 0.779 0.718 0.685 0.761 0.762 0.756 0.669
Prob>F
0.0008
Student Residual
-0.093 -0.784 0.411 0.136 1.245
-0.667 -0.467 0.313 0.176 -0.540 2.148
-2.063
-2-1-0 1 2
*
*
*
****
**
****
Parameter Estimates
Variable DF
INTERCEP DG A AB2
Parameter Estímate
0.184243 1.003717 -0.763263 -0.001363
Standard Error
2.27378691 0.16427544 0.160239% 0.00050589
T for H0: ParameterO
0.081 6.110
-4.763 -2.694
Prob > |T|
0.9374 0.0003 0.0014 0.0273
UN 3 - TRAT E - PAR a
N = 9 Regression Models for Dependent Variable: a
R-square Adjusted R-square
C(p)
0.91003704 0.88004938 0.768
Durbin-tfatson D 2.429 lst Qrder Autooorrelation -0.281
Variables in Model
EDAD H0
Obs
1 2 3 4 5 6 7 8 9
A
11.0000 11.5000 11.0000 16.0000 15.5000 19.0000 7.0000 7.0000 9.0000
Sum of Residuals Sum of
Predict Valué
11.1163 11.1699 12.1349 16.7742 16.7742 16.3989 7.5081 7.4009 7.7226
Std Err Predict
0.974 0.945 0.532 0.855 0.855 0.759 0.819 0.803 0.865
6.217249E-15 Squared Residuals 12.4499
Residual
-0.1163 0.3301 -1.1349 -0.7742 -1.2742 2.6011 -0.5081 -0.4009 1.2774
Std Err Residual
1.062 1.087 1.339 1.159 1.159 1.224 1.185 1.196 1.152
Student Residual
-O.110 0.304 -0.848 -0.668 -1.099 2.124
-0.429 -0.335 1.109
-2-1-0 1 2
* * **
****
**
Source
Model Error C Total
DF
2 6 8
Analysis of Variance
Sum of Squares
125.93901 12.44987 138.38889
Mean Square
62.96951 2.07498
F Valué
30.347
Prob>F
0.0007
Parameter Estimates
Variable
INTERCEP EDAD H0
DF
1 1 1
Parameter Estímate
-27.242262 0.556690 0.536115
Standard Error
9.00953465 0.23680749 0.33095704
T for H0: Parameter=0
-3.024 2.351 1.620
Prob > |T|
0.0233 0.0570 0.1564
INV 3 - TOAT E - PAR b
N = 9 Regression Models for Dependent Variable: b
R-square Mjusted R-square
0.99493655 0.99189848
Durbin-Watson D 2.663 lst Qrder Autocorrelation -0.549
C(p)
6.412
Variables in Model
DENSI DG A
Obs
1 2 3 4 5 6 7 8 9
B
9.7380 13.2750 14.5930 12.0310 15.4840 9.7600 8.4740 8.9910 9.2550
Sum of Residuals
Predict Valué
9.6867 13.2937 14.6707 11.9985 15.3764 9.9021 8.4293 9.3327 8.9110
-
Sum of Squared Residuals
Source
Model Error C Tbtal
DF
3 5 8
Std Err Predict
0.170 0.139 0.163 0.119 0.194 0.199 0.151 0.146 0.115
1.24345E-14 0.2790
Analysis of Variance
Sum of Squares
54.81586 0.27897 55.09483
Mean Square
18.27195 0.05579
Residual
0.0513 -0.0187 -0.0777 0.0325 0.1076 -0.1421 0.0447 -0.3417 0.3440
F Valué
327.490
Std Err Residual
0.164 0.191 0.171 0.204 0.134 0.128 0.182 0.186 0.206
Prob>F
0.0001
Student Residual
0.312 -0.098 -0.453 0.159 0.801 -1.112 0.246 -1.841 1.668
-2-1-0 1 2
**
***
*
***
Parameter Estimates
Variable DF
INTERCEP DENSI DG A
Parameter Estímate
2.081958 -0.001505 1.003178 -1.013457
Standard Error
1.46316638 0.00044513 0.05966690 0.05037439
T for H0: Parameter=0
1.423 -3.382 16.813
-20.118
Prob > |T|
0.2140 0.01% 0.0001 0.0001
INV 3 - TRAT E - PAR c
N = 9 Regressicn Models for Dependent Variable: c
R-square Adjusted R-square
C(p)
0.94138531 0.90621649 4.236
Durbin-Watson D 2.974 lst Order Autocorrelation -0.502
Variables in Model
B DENSI DG
Obs
1 2 3 4 5 6 7 8 9
C
2.0980 2.9780 3.5110 2.8700 3.9530 2.3810 2.1450 2.7950 2.5320
Sum o£ Residuals Sum o£
Source
Model Error C Total
Predict Valué
2.1341 3.0475 3.4100 2.9725 3.9755 2.3028 2.4161 2.5356 2.4689
Squared Residuals
DF
3 5 8
Std Err Predict
0.135 0.111 0.128 0.094 0.157 0.163 0.120 0.114 0.090
2.66454E-15 0.1782
Analysis of Variance
Sum of Squares
2.86211 0.17821 3.04031
Mean Square
0.95404 0.03564
Residual
-0.0361 -0.0695 0.1010 -0.1025 -0.0225 0.0782 -0.2711 0.2594 0.0631
F Valué
26.768
Std Err Residual
0.132 0.153 0.139 0.163 0.105 0.0% 0.145 0.150 0.166
Prob>F
0.0017
Student Residual
-0.273 -0.455 0.726 -0.627 -0.215 0.816 -1.865 1.727 0.381
-2-1-0 1 2
*
***
*
*
***
Parameter Estimates
Variable DF
INTERCEP B DENSI DG
Parameter Estímate
-3.064358 0.271980 0.001144 0.069395
Standard Error
1.19595936 0.03948409 0.00036851 0.03373446
T for H0: Parameter=0
-2.562 6.888 3.103 2.057
Prob > |T|
0.0505 0.0010 0.0268 0.0948