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  • Álgebra Conmutativa Grado en Matemáticas

    Colección manuales uex - 00

    Pedro Sancho de Salas

    00

  • ÁLGEBRA CONMUTATIVA GRADO ENMATEMÁTICAS

  • 00 MANUALES UEX

  • PEDRO SANCHO DE SALAS

    ÁLGEBRA CONMUTATIVA GRADO ENMATEMÁTICAS

    2016

  • Edita

    Universidad de ExtremaduraN Servicio de Publicaciones CNX Caldererosw q I Planta qª I éBBDé Cáceres 4EspañaF TelfN jqD qzD Búé I Fax jqD qzD Búy [email protected] wwwNunexNesX publicaciones

    ISSN XXX ISBN de méritos XXX

    Cualquier forma de reproducciónw distribuciónw comunicación pública o transformación de esta obra solo puede ser realizada con la autorización de sus titularesw salvo excepción prevista por la leyN Diríjase a CEDRO 4Centro Español de Derechos Reprográficosw wwwNcedroNorgF si necesita fotocopiar o escanear algún fragmento de esta obraN

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    Índice general

    Introducción 9

    1. Teoría de grupos 13 1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2. Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3. Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4. Morfismos de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5. Cocientes por subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.6. Grupos cíclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.7. Grupo simétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.8. Cuestionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.9. Biografía de Georg Fröbenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.10.Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    2. Dominios de factorización única 31 2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2. Anillos. Cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

    2.2.1. Anillos euclídeos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.3. Ideales de un anillo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

    2.3.1. Morfismo de anillos. Cociente por un ideal . . . . . . . . . . . . . . 35 2.3.2. Ideales primos. Ideales maximales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

    2.4. Dominios de factorización única . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.5. Congruencias de Fermat, Euler y Wilson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.6. K[x1, . . . , xn] es DFU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

    2.6.1. Localización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.6.2. Lema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

    2.7. Raíces de un polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.8. Polinomios ciclotómicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.9. Criterios de irreducibilidad de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.10.Apéndice: Teorema fundamental del Álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.11.Cuestionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.12.Biografía de Leonhard Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.13.Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

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    ÍNDICE GENERAL

    3. Módulos 69 3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.2. Módulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.3. Submódulos. Sistema generador. Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.4. Morfismos de módulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.5. Módulos libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.6. Presentación de un módulo por módulos libres . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.7. Teorema de descomposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

    3.7.1. Ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes . . . . . . . . 77 3.7.2. Ecuaciones en diferencias finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

    3.8. Cuestionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 3.9. Biografía de Hermann Grassmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 3.10.Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

    4. Módulos sobre DIP 95 4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 4.2. Transformaciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.3. Sistemas de ecuaciones lineales diofánticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.4. Clasificación de módulos sobre anillos euclídeos . . . . . . . . . . . . . . . 98

    4.4.1. Unicidad de los divisores elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.4.2. Factores invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

    4.5. Clasificación de los grupos abelianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4.6. Clasificación de los endomorfismos lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

    4.6.1. Matriz característica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 4.6.2. Polinomio característico. Teorema de Hamilton-Cayley . . . . . . . 107 4.6.3. Bases de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 4.6.4. Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales . . . . . . . . . . . . . 111

    4.7. Localización de módulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 4.8. Clasificación de los módulos sobre DIP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 4.9. Cuestionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4.10.Biografía de Camile Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 4.11.Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

    Solución de los problemas del curso 123

    Bibliografía 137

    Índice de términos 138

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    Introducción

    El presente manual está concebido por el autor como el manual de la asignatu- ra cuatrimestral Álgebra Conmutativa, del segundo curso del Grado en Matemáticas de la UEX. Introducimos estructuras básicas del Álgebra como las de grupo, anillo y módulo, herramientas fundamentales como el cociente de un grupo por un subgru- po, cociente de un anillo por un ideal, cociente de un módulo por un submódulo y la localización de un anillo o un módulo por un sistema multiplicativo. Estudiamos los dominios de factorización única y clasificamos los Z-módulos y k[x]-módulos.

    El manual está divido en cuatro temas. En cada tema incluimos un cuestionario, una lista de problemas (con sus soluciones) y la biografía de un matemático relevante (en inglés).

    Comentemos algunos de los conceptos y contenidos fundamentales del curso. Los inicios de la filosofía griega (los presocráticos) fueron también los inicios de

    la matemática griega (los pitagóricos). Descubrir que en el conjunto de los números naturales destacaban los números primos, descubrir más tarde que todo número era producto de números primos de modo único, observar que las notas musicales depen- dían de las proporciones enteras de las longitudes de las cuerdas musicales, etc, se vivió como la aparición de un nuevo mundo independiente de toda contingencia que regía y explicaba el mundo real. En la escuela aprendimos la aritmética elemental de Z. Si elevamos un poco la vista observaremos que en Z es fundamental la existencia de dos operaciones + y ·, la existencia de elementos primos (o irreducibles) y que es- ta estructura es igualmente existente en otros anillos (por ejemplo, en los anillos de polinomios). En el curso hablaremos de los anillos y fundamentalmente de los anillos euclídeos. Probaremos que en los anillos euclídeos (Z, k[x], el anillo de los enteros de Gauss, etc.) todo elemento se escribe de modo único como producto de irreducibles (sal- vo multiplicación por invertibles y orden). La propiedad aritmética fundamental de los anillos euclídeos es que sus ideales son principales, es decir, generados por un elemen- to (el de “grado” mínimo). Del mismo modo que en anillos euclídeos, probamos que si A es un dominio de ideales principales entonces todo elemento a ∈ A (no nulo ni inver- tible) se escribe de modo único como producto de irreducibles (salvo multiplicación por invertibles y orden),

    a = p1 · · · pn, (pi irreducibles).

    Veremos que

    a · A+b · A = m.c.d.(a,b) · A a · A∩b · A = m.c.m.(a,b) · A

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    Introducción

    Mediante el algoritmo de Euclides, calcularemos λ,µ ∈ A, tales que

    λ ·a+µ ·b = m.c.d.(a,b).

    Esta igualdad, “identidad de Bezout”, tendrá múltiples aplicaciones tanto en Álgebra como para la resolución de ciertas ecuaciones diferenciales y ecuaciones en diferencias finitas.

    Consideremos ahora el anillo de polinomios en una variable con coefcientes com- plejos. Probaremos el teorema fundamental del Álgebra, que nos dice que para todo polinomio p(x) ∈C[x] existen α1, . . . ,αn ∈C de modo qu