IES:Calderón:de:la:Barca:-:GijónDepartamento:de:dibujo

Apuntes:de:dibujo:técnico:1º:bachillerato

primera:parte:dibujo:geométrico

Material:educativo:fotocopiableEdición curso 2016 - 2017

IES:Calderón:de:la:Barca:3:GijónDepartamento:de:dibujo

Apuntes:de:dibujo:técnico:7º:bachillerato

primera:parte:dibujo:geométrico

Material:educativo:fotocopiable EdiciónlcursolhÁCGlálhÁCH

ÍndiceÁÁÁÁCCLhCL,hhLChLh,,LC,Lh,L,,Lí,LIííLCíLhíL,íLíIILCILhGGLCGLhHHLCHLhHL,HL,LCREPASOlC8LC8Lh8L,8Lí8LI8LG8LH9LC9Lh9L,9Lí9LI9LG9LHCÁLCCÁLhCÁLhLCCÁLhLhCÁL,CÁL,LCCÁL,LhCÁLíCÁLíLCCÁLíLhCÁLI

UsoldellalescuadralylellcartabónLDefinicioneslylconvencionalismosLTrazadoslfundamentaleslconlreglalylcompásLTrazadoslfundamentalesLlLugareslgeométricosLTrazadoslfundamentalesLlLugareslgeométricosLProporcionalidadLProporcionalidadLOperacioneslconlsegmentosLÁngulosLConstruccionesldelánguloslconlreglalylcompásLConstruccionesldelánguloslconlescuadralylcartabónLÁngulosLlPropiedadeslylparalelismoLArcolcapazLArcolcapazLlProblemaldelPothenotLTriángulosLTriángulospllíneaslylpuntoslnotablesLTriángulospllíneaslylpuntoslnotablesLTriángulosLlConstruccioneslsencillasLTriángulosLlConstruccioneslsencillaslhLCuadriláterosLCuadriláterosLlConstruccionesLCuadriláterosLlConstruccioneslhLPolígonoslregularesLPolígonoslregularesLlConstrucciónldadallalcircunferenciaLPolígonoslregularesLlConstrucciónldadolellladoLTransformacioneslgeométricasLTransformacioneslgeométricasLlIgualdadlyltraslaciónLTransformacioneslgeométricasLlGirolylsimetríaLTransformacioneslgeométricasLlHomoteciaLTransformacioneslgeométricasLlHomotecialhL

TangenciaslylenlaceslCLTangenciaslylenlaceslhLTangenciaslylenlacesl,LTangenciaslylenlaceslíLTangenciaslylenlaceslILTangenciaslylenlaceslGLTangenciaslylenlaceslHLCurvasltécnicasLCurvasltécnicaslhLCurvasltécnicasl,LCurvasltécnicaslíLCurvasltécnicaslILCurvasltécnicaslGLCurvasltécnicaslHLCurvaslcónicasLCurvaslcónicasLlElipseLCurvaslcónicasLlElipselhLCurvaslcónicasLlElipseLlTrazadoLCurvaslcónicasLlHipérbolaLCurvaslcónicasLlHipérbolalhLCurvaslcónicasLlHipérbolaLlTrazadoLCurvaslcónicasLlParábolaLCurvaslcónicasLlParábolalhLCurvaslcónicasLlParábolaLlTrazadoLCurvaslcónicasLlAplicacionesL

Trazadosfundamentales

Proporcionalidad

Ángulos

Triángulos

Cuadriláteros

Polígonosregulares

Transformacionesgeométricas

Tangencias:y:enlaces

Curvas:técnicas

Curvas:cónicas

7

8

9

0

5

6

7

8

9

76

IES0Calderón0de0la0Barca0-0GijónDpto.0de0dibujoApuntes0de0dibujo0técnico01º0bachillerato

000

Uso de la escuadra y el cartabón

Escuadra

Cartabón

Sujetar0las0plantillas0con0los0dedos0separados0sin0hacer0demasiada0presión

Paralelas horizontales y

líneas a 45º Paralelas verticales y

líneas a 45º

Sostenemos0el0cartabón0y0rotamos090º0la0escuadra

Perpendicular

Dibuja con escuadra y cartabón

Duplicación0del0cuadradosegún0Platón

Definiciones

Punto

Líneaprecta

Línepacurva

Semirrecta

Segmento

Plano

Ángulo

IESpCalderónpdeplapBarcapMpGijónDptoypdepdibujoApuntespdepdibujoptécnicop1ºpbachillerato

DEFINICIONESpYpCONVENCIONALISMOS

Signospypsímbolospgeométricos

0

(ÁAMediatrizAdeAunAsegmentoÁ

IESACalderónAdeAlaABarcaAPAGijónDptoÁAdeAdibujo=puntesAdeAdibujoAtécnicoA(ºAbachillerato

TR=Z=DOSAFUND=MENT=LESAAPAA=LGUN=SACONSTRUCCIONESACONAREGL=AYACOMPÁS

)ÁAPerpendicularAaAunaAsemirrectaAenAsuAorigenÁPrimerAprocedimientoÁA

áÁAPerpendicularAaAunaAsemirrectaAenAsuAorigenÁSegundoAprocedimientoAFbasadoAenAarcoAcapazAdeA25ºUFMásAadelanteAestudiaremosAarcoAcapazU

0ÁAPerpendicularAaAunaArectaAporAunApuntoAexteriorÁ

xÁAParalelaAaAunaArectaAaAunaAdistanciaAdada

9ÁAPerpendicularAaAunaArectaAporAunApuntoAdeAellaÁ

(

LasAconstruccionesAconAreglaAyAcompásAformanApartedeAlaAbaseAdeAlaAgeometríaAclásicaAgriegaÁAFormalmentebasadasAenAlosAtresAprimerosApostuladosAdeAEuclidesÁ

LaAreglaAnoAtieneAmarcasAoAgraduaciónYAseAutilizaAsóloparaAtrazarAlíneasArectasÁEnAinglésAtienenAunAtérminoAespecíficoAparaAesteAinstrumentoyAStraightedgeÁ

EnAlaAprácticaYAparaAtrazarAparalelasAyAperpendicularesYusaremosAescuadraAyAcartabónÁA

= B

=( 9

= (

90

)

=

(

9

0

=

( 9

P

r

3ÁAParalelaAaAunaArectaArAporAunApuntoAPÁ=plicamosAconsecutivamenteAloAvistoAenA0AyA9

TrazamosAunaAperpendicularAaAlaArectayAsobreAellaAllevamosAlaAdistanciaAdadaÁ=plicamosAlosAprocedimientosAvistosAenAestaApáginaÁ

ElAsímbolosignificaAAánguloArectoAF,A25ºU

yÁDLaDcircunferenciaDcomoDlugarDgeométricoDdeDlosDpuntosDqueDequidistanDdeDunoDfijoDllamadoDcentroÁ

IESDCalderónDdeDlaDBarcaDÉDGijónDptoÁDdeDdibujoApuntesDdeDdibujoDtécnicoDyºDbachillerato

TRAZADOSDFUNDAMENTALESDDÉDDLUGARESDGEOMÉTRICOSDBÁSICOS

HÁDLaDmediatrizDlugarDgeométricoDdeDlosDpuntosDdelplanoDqueDequidistanDdeDdosDpuntosDfijosDADyDBD

PÁDLaDmediatrizDconsideradaDcomoDlugarDgeométricodeDlosDcentrosDdeDlasDcircunferenciasDqueDpasanporDdosDpuntosDfijosDADyDB

3ÁDHallarDelDlugarDgeométricoDdeDlosDcentrosDdeDlascircunferenciasDdeDradioDdadoDrDqueDpasanDporDunDpuntoDfijoDPElDlugarDesÁÁÁ

6ÁDCircunferenciasDdeDradioDrDqueDpasanporDdosDpuntosDdados

5ÁDHallarDelDlugarDgeométricoDdeDlosDpuntosDdelDplanoqueDdistanDrDdeDunDpuntoDdadoDP

yÁ5

Lugar geométrico es el conjunto que componen

todos los puntos que poseen las mismas propiedades

geométricas, es decir, que cumplen determinada

condición (o condiciones)

El concepto de lugar geométrico es muy útil

para resolver problemas geométricos.

P

r r

P

A B

A B

A B

IESTCalderónTdeTlaTBarcaTfTGijónDptoqTdeTdibujoApuntesTdeTdibujoTtécnicoT(ºTbachillerato

TRAZADOSTFUNDAMENTALESTTfTTLUGARESTGEOMÉTRICOSTBÁSICOS

(q8

zqTCircunferenciaTqueTpasaTporTtresTpuntosTdadosTA7TBTyTCTLnoTalineadosÉ

mqTDistanciaTdeTunTpuntoTaTunaTrecta

(yqTDistanciaTdeTunTpuntoTPTaTunaTcircunferenciaTcq9qTDadosTdosTpuntosTA7TBTyTunaTrectaTrTobtenerTunTpuntoTPTdeTellaTqueTequidisteTdeTlosTdados

((qTTrazarTunaTcircunferenciaTqueTpaseTporTunTpuntoTdado7TPTyTequidisteTdeTotrosTtresTtambiéndados7TA7TBTyTC

A

B

C

O

Pr

d

d

c

O

P

A

B

rP

A

B

C

O

P

IESPCalderónPdePlaPBarcaPUPGijónDpto3PdePdibujoApuntesPdePdibujoPtécnicoPxºPbachillerato

PROPORCIONALIDAD

'

Razón Proporción:PigualdadPdePrazones

TeoremaPdePThales

CuartoPproporcionalPaPtresPsegmentosPdadosPa"Pb"Pc TerceroPproporcionalPaP'PsegmentosPdadosPa"Pb

SePlee:POaPesPaPbO SePlee:POaPesPaPbPcomoPcPesPaPdOOUnoPesPaPtresO

OUnoPesPaPtresPcomoPdosPesPaPseisO

x

y

x

y

'

7=

x

'

P

P

"Un haz de paralelas equidistantes intercepta a dos concurrentes según segmentos iguales en cada una".

ExtensiónPdelPteorema:"Segmentos cualesquiera pertenecientes

a una de las concurrentes,

llevados mediante paralelas sobre la otra,

producen en esta última

segmentos proporcionales

a los primeros".

A

B

C

A:

B:

C:

AB

AC

A:B:

A:C:= yPtambiénP

AB

A:B:

BC

B:C:=

x

'y

45

7v

DivisiónPdePunPsegmentoPenPunPnúmeroPcualquieraPdePpartesPiguales

A Bx ' y 4 5 7 vU A B

a

b

c

a: b: c:

DivisiónPdePunPsegmentoPenPpartesPproporcionalesPaPotrasPdadas

a b

c

x

a b

b

x

=ab

cx =

ab

bx

OPbien:

Observa que si intercambiamos

los términos b, c la proporción no varía.

a

b

c

x

IESPCalderónPdePlaPBarcaPfPGijónDptoáPdePdibujoApuntesPdePdibujoPtécnicoPqºPbachillerato

PROPORCIONALIDAD

"áq

MediaPproporcionalConstrucciónPdePlaPmediaPproporcionalPxentrePdosPsegmentosPdadosPavPbPempleando la propiedad de la altura.

Media proporcional

B C

A

h

H

ObservaPlaPfiguraáPElPtriánguloPBACPesPrectánguloáPLaPalturaPhPdividePaPsuPhipotenusaPenPdosPsegmentosPnvPmá

AdemásvPlaPalturaPdividePaPBACPenPdosPtriángulosPBHAPyPAHCáEstosPsonPtambiénPrectángulosPyPsemejantesPaPBACPxporquePtienenPlosPmismosPángulosPxrecuerdaPOángulosPdePladosPrespectivamentePperpendicularesPtienenPsusPángulosPigualesOgá

LuegoP

n

h

h

mh"P=PnPPm= á

TeoremaPdePlaPaltura"La altura de un triángulo rectángulo

es media proporcional entre los segmentos

que determina sobre la hipotenusa".

AdemásPatendiendoPaPlaPsemejanzaPentrePBACPyPcadaPunoPdePlosPBHAPyPAHCvPsePcumple

c"P=PaPPnPPPPPPPPPPyPPPPPPPPPPPb"P=PaPPm

TeoremaPdelPcateto"Un cateto es medio proporcional en la

hipotenusa y la proyección ortogonal

de dicho cateto sobre ella".

áá

MediaPproporcionalConstrucciónPdePlaPmediaPproporcionalPxentrePdosPsegmentosPdadosPavPbPaplicando la propiedad del cateto.

a

b

a

b

Obtención de la media proporcional aplicando potencia de un punto respecto a una circunferencia

n m

ab

PonemosPaPyPbPunoPaPcontinuaciónPdePotroyPtrazamosPlaPsemicircunferenciaPdePdiámetroPaPHb

a

b

SuperponemosPaPyPbPyPtrazamosPlaPsemicircunferenciaPdePdiámetroPa

xx

x"P=PaPPbá x"P=PaPPbá

bc

P

T

O

A

B

PT"P=PPAPPPBP=PkPxconstanteg

x

á

á

x"P=PaPPbá

aP=PPAbP=PPB

SuperponemosPlosPdatosPaPyPbPyPtrazamosPunaPcircunferenciaPdePdiámetroPsuPdiferenciaáLaPtangentePPTPesPlaPmediaPentrePaPyPbP

Nota: veremos tangencias y potencia de

un punto con más detalle más adelante.

ab

IESOCalderónOdeOlaOBarcaO=OGijónDptovOdeOdibujoApuntesOdeOdibujoOtécnicoOxºObachillerato

OPERACIONESOCONOSEGMENTOS

/v/

SumaOdeOsegmentosOOOOaOfOb RestaOdeOsegmentosOOOOOOOaO=Ob

ProductoOlinealOgráficoOdeOdosOsegmentosOb,OcdadoOelOsegmentoOuO=Ox,OunidadSeOresuelveOutilizandoOlaOconstruccióndelOcuartoOproporcional,OhaciendoaO=OxOparaOqueOxO=ObOOc

DivisiónOlinealOgráficaOdeOdosOsegmentosOc,OadadoOelOsegmentoOuO=Ox,Ounidadv

a

b

c

x=

v

AhoraOhacemosObO=OxOparaOqueOOxO=Oc

a

ObtenciónOdelOsegmentoOxzaOdadoOelOsegmentoOaOyOelOunidad,OuO=Ox

AplicamosOlaOconstrucciónOdelOterceroOproporcional

a

b

b

x= HacemosObO=OxOparaOqueOxO=

x

a

ObtenciónOgráficaOdeOlaOraízOcuadrada

UtilizamosOmediaOproporcionalOaplicandoOlaOpropiedaddeOlaOaltura,OcuandoOunoOdeOlosOsegmentosOenOlosOquedivideOaOlaOhipotenusaOesOelOsegmentoOunidadO=Ox

a

uO=Ox

uO=Ox

a

cuO=Ox

cuO=Ox

b

c

a

b

a

b

a b

aOfOb

a

b

aO=Ob

x

b x

c

a

c

xx

ax

aa

xx

x

IES3Calderón3de3la3Barca3z3GijónDptoá3de3dibujoApuntes3de3dibujo3técnico3)º3bachillerato ÁNGULOS

3

Ángulo:3porción3del3plano3comprendidaentre3dos3semirrectas3concurrentesá

Los ángulos son muy importantes en geometría. Forman parte de innumerables construcciones y aplicaciones.

lado

lado

vértice

Construcciónzdezunzángulozigualzazotro(transportezdezunzángulo)

Dato:

) 2 3

Sumazdezángulos Diferenciazdezángulos

A

B

A3M3BA3z3B

B

A

B

Bisectrizzdezunzángulo

Sobre3ambos3lados3se3toman3puntos3AT3B3equidistantesdel3vértice3y3se3halla3otro3punto3M3equidistante3de3AT3B3

BisectrizzdezunzángulozconzelzvérticezinaccesiblePrimerzprocedimiento:Trazamos3una3secante3y3dibujamos3las3bisectricesde3los3ángulos3interiores

BisectrizzdezunzángulozconzelzvérticezinaccesibleSegundozprocedimiento:Trazamos3una3paralela3a3uno3o3dos3ladospara3conseguir3un3ángulo3con3vértice3al3cual3letrazamos3la3bisectriz3auxiliar

bisectriz bisectrizM3,punto3medio3de3ABq

A

B

bisectrizA

B

M

bisectriz3auxiliar

IES3Calderón3de3la3Barca3-3GijónDpto.3de3dibujoApuntes3de3dibujo3técnico31º3bachillerato CONSTRUCCIONES0DE0ÁNGULOS

3.1

Construcción0de0un0triángulo0equilátero0dado0el0lado

Construcción0de0un0ángulo0de062º

Ángulos0sin0ayuda0del0transportador0utilizando0sólo0regla0y0compás

Construcción0de0un0ángulo0de032º

Construcción3del3ángulo3recto:Ver3página313gtrazados3fundamentalesg

15º0=0Bisecando0un0ángulo0de032º 45º0=0bisecando0un0ángulo0de092º

75º0=045º04032º 125º0=045º04062º 122º0=062º04062º

135º0=092º0445º 152º0=092º04062º

IES3Calderón3de3la3Barca3-3GijónDpto.3de3dibujoApuntes3de3dibujo3técnico31º3bachillerato CONSTRUCCIONESbDEbÁNGULOS

3.2

Construcciónbdebángulosbutilizandobsólobescuadrabybcartabón

9vº 45º .35º 3vº 6vº .5vº .2vºb66vb+6vbób9vb+3v2

75ºb645b+3v2 .v5ºb675b+3v2 .5º .65º

LugarbgeométricobdebTales

Se)denomina)así)a)cualquier)semicircunferencia

de)diámetro)dado)BC)cuya)propiedad)es)que

cualquier)punto)A)de)ella)es)vértice)de)un

ángulo)recto)cuyos)lados)pasan)por)los)extremos

B,)C)de)dicho)diámetro)(el)lugar)completo

es)la)circunferencia).

Es)un)LG)importante)que)se)aplica)por)ejemplo

en)tangencias)y)cuaternas)armónicas.

Nuevabconstrucciónbdebángulosbrectosm

Otro3procedimiento3para3trazar3la3perpendiculara3una3recta3en3un3punto3A3de3ella

B C

A B

O

C

IES3Calderón3de3la3Barca3z3GijónDpto.3de3dibujoApuntes3de3dibujo3técnico31º3bachillerato ÁNGULOSººPropiedadesººParalelismo

3.3

Paresºdeºángulosºqueºseºformanºentreºdosºparalelasºyºunaºsecante

Losºtresºángulosºinterioresºdeºunºtriánguloºsumanº180ºObserva(la(igualdad(de(los(ángulos(alternos(internos

que(se(forman(al(trazar(una(paralela(a(la(base(por(el(

vértice(opuesto.

A B

C D

E F

G H

Opuestos3por3el3vértice3333333A = D ; B = C ; E = H ; F = G

Correspondientes:3Uno3exterior3y3otro3interior3a3las3paralelas3y3ambos3al3mismo3lado3de3la3secante

Alternos3internos:3Uno3a3cada3lado3de3la3secante3y3ambos3interiores3a3las3paralelas

Alternos3externos:3Uno3a3cada3lado3de3la3secante3y3ambos3exteriores3a3las3paralelas

Losºángulosºformadosºporºdosºrectasºincidentestienenºsusºbisectricesºperpendiculares

ÁngulosºdeºladosºrespectivamenteºperpendicularesºsonºigualesObserva(que(los(dos(triángulos(que(se(forman(

son(rectángulos(y(poseen(ángulos(opuestos(iguales

RectasºantiparalelasDos(rectas(r,(s(son(antiparalelas(a(otras(dos(r',(s'

si(se(cumple(que(los(pares(de(rectas(homólogas

(r(homóloga(de(r'(y(s(homóloga(de(s')

se(cortan(bajo(ángulos(iguales(B

Los(ángulos(formados(por(pares(de(antiparalelas(

son(iguales.

A = E ; B = F ; C = G ; D = H

C = F ; D = E ;

A = H ; B = G

C

F

D

E

paralela(a(la(base

D = EC = F

V

VxV3=3Vx

rx

r

sxs

V

Vx

V3=3Vx

B

B

r

s

bisectriz

bise

ctriz

r

rx

sxs

IES3Calderón3de3la3Barca383GijónDpto03de3dibujoApuntes3de3dibujo3técnico31º3bachillerato ARCO CAPAZ

304

Construcción del arco capaz de un ángulo dado cCon9centro9en9un9punto9cualquiera9de9la9mediatriz

de9AB9construimos9el9ángulo9dado9c9de9manera9que

uno9de9sus9lados9sea9dicha9mediatriz.

Luego9lo9desplazamos9mediante9paralela9hasta9que

su9otro9lado9pasa9por9A9

Otro procedimientoSituamos9el9ángulo9dado9como9semiinscrito,9

con9uno9de9sus9vértices9en9uno9

de9los9puntos9dados9A,9B

(Construimos9el9ángulo9con9uno9de9sus9lados

en9el9segmento9AB9y9su9vértice9en9A9o9en9B

y9completamos9hasta990º9que9nos9da9el9

centro9O9donde9un9lado9corta9a9la9mediatriz9de9AB

Arco3capaz:3lugar3geométrico3que3ocupan3los3vértices3de3un3ánguloO3de3abertura3constanteO3cuyos3lados3pasan3por3dos3puntos3fijos3AO3B

Lugar geométrico de Tales

Se9denomina9así9a9cualquier9semicircunferencia

de9diámetro9dado9BC9cuya9propiedad9es9que

cualquier9punto9A9de9ella9es9vértice9de9un

ángulo9recto9cuyos9lados9pasan9por9los9extremos

B,9C9de9dicho9diámetro9(el9lugar9completo

es9la9circunferencia).

Observa3lo3que3ocurre3si3desplazamos3verticalmente3el3centro3del3arco0

B C

B C

B C

A B

O

Datos:3ángulo3csegmento3AB

A B

O

Arco capaz completo de un ángulo rectoEs3la3circunferencia3de3diámetro3AB3

A BO

A B

O

Arco capaz del suplementarioCompletando3la3circunferencia3

c

180º383c

c

c

c

IES3Calderón3de3la3Barca3z3GijónDptof3de3dibujoApuntes3de3dibujo3técnico31º3bachillerato ARCO CAPAZ Aplicaciones

3f5

Problema de la carta de Pothenot

Determinar3en3la3carta3marina3la3posición3de3un3barco3desde3el3cual3se3ven:Punta3de3la3Esparteña3y3Playa3del3Muelle3bajo3un3ángulo3de330ºPlaya3del3Muelle3e3Isla3del3Ciervo3bajo3un3ángulo3de3135º

Otras aplicaciones

Hemos3visto3en3construcción3de3triángulos3otras3aplicaciones3de3arco3capazf

Solución:3construir3dos3arcos3capaces3y3su3intersección3define3la3posición3del3barcof

IES4Calderón4de4la4Barca404GijónDpto>4de4dibujoApuntes4de4dibujo4técnico48º4bachillerato TRIÁNGULOS

x

Notación

A B

C

c

ab

ClasificaciónAsegúnAsusAlados

ClasificaciónAsegúnAsusAángulos

Para4construir4un4triángulo4son4necesarios4tres4datos4Ulados94ángulos94líneas4notables>>>m>Uno4de4los4datos4debe4ser4una4magnitud4lineal>

EquiláteroAAAAa4=4b4=4c

ab

c

Isóscelesa4=4b4=4c

Escalenoa4=4b4=4c

ab

c

ab

c

ab

c

A B

CAcutánguloA94B94C4<4zLº

RectánguloUn4ángulo4=4zLº

ObtusánguloUn4ángulo4>4zLº

Cada4lado4es4menor4que4la4suma4de4los4otros4dos>

Los4tres4ángulos4de4un4triángulo4suman4siempre48TLº>

Polígono4que4tiene4tres4vértices4y4tres4lados4no4alineados>

Un4ángulo4exterior4mide4igual4que4la4suma4de4los4dos4ángulos4interiores4opuestos4a4él>

C

F

D

E

paralela a la base

TriángulosAproporcionales TeoremaAdeAlaAbisectrizAinterior TeoremaAdeAlaAbisectrizAexterior

AB

C

D

E

rs

t

Si4r4qq4s4qq4t4entonces4ABqBC4=4DBqBE

Si4MN4qq4AC4entonces4BMqMA4=4BNqNC

B

M N

A C

A

B

C

AC4q4CB4=4AD4q4DB

D

vc

A B

C

D

bisectriz exterior de C

(perpendicular a vc)

AD4q4AC4=4BD4q4BC

Uconsecuencia4o4corolario4del4Teorema4de4Talesm

En4un4triángulo94la4bisectriz4de4un4ángulo4exteriordivide4a4la4prolongación4del4lado4opuesto4en4dossegmentos4AD4y4BD4directamente4proporcionalesa4los4lados4AC4y4BC4que4forman4dicho4ángulo4

En4todo4triángulo94la4bisectriz4de4un4ángulo4interior4divide4al4lado4opuesto4en4dos4segmentos4directamente4proporcionales4a4los4lados4que4forman4dicho4ángulo>

o4bien4AC4q4AD4=4CB4q4DB

A

B

C

D

vc

B)

IES4Calderón4de4la4Barca4=4GijónDpto,4de4dibujoApuntes4de4dibujo4técnico4íº4bachillerato

LÍNEASuYuPUNTOSuNOTABLESuDELuTRIÁNGULO

M,í

Bisectricesuinteriores:uincentrou(centroudeulaucircunferenciauinscrita)Bisectricesuexteriores:uexincentrosu(centrosudeulasucircunferenciasuexinscritas)

Las4bisectrices4interiores4del4triángulo4ABC4se4cortan4en4el4incentro4I,Cada4bisectriz4exterior4es4perpendicular4a4su4respectiva4interior,Dos4bisectrices4exteriores4más4una4interior(prolongada)4determinan4los4exincentros,

Observa4que4las4circunferencias4exinscritasson4tangentes4a4los4tres4lados4del4triángulo,Se4cumple4también4que4las4bisectrices4interioresson4alturas4del4triángulo4de4exincentros,Luego4el4incentro4del4ABC4es4ortocentrodel4EaEbEc4

Observa4los4puntos4de4tangencia,

La4distancia4r4del4incentro4a4cualquiera4de4los4ladosse4llama4inradio4del4triángulo,Se4cumple4que4x4=4xf4y4=4yf4z4=4z4(las4tag4desde4un4punto4ext4son4iguales)4luegoa4=4y4q4zf4b4=4x4q4zf4c4=4x4q4y44444Euler4introdujo4la4costumbre4de4llamar4s4al4semiperímetrode4un4triángulof4es4decirf4s4=4(aqbqc)y/Luego4x4q4y4q4z4=4s

A

B

C

a

c

b

Eb

Ea

Ec

I

Mediatrices:ucircuncentrou(centroudeulaucircunferenciaucircunscrita)

A

B

C

O

Ma

Mb

Mc

mc

mb

ma

A

B

C

I

x

x

y

y

zz

IES4Calderón4de4la4Barca4y4GijónDptoH4de4dibujoApuntes4de4dibujo4técnico41º4bachillerato

LÍNEAS(Y(PUNTOS(NOTABLES(DEL(TRIÁNGULO

4H2

Medianas:(baricentro((centro(de(gravedad(del(triángulo)

El4baricentro4se4denota4con4la4letra4GHEl4baricentro4divide4a4cada4mediana4en4dos4segmentosá4el4segmento4que4une4el4baricentro4con4el4vértice4mide4el4doble4que4el4segmento4que4une4baricentro4con4el4punto4medio4del4lado4opuestoH

Alturas:(ortocentro

A B

C

GMa

Mb

Mc

GA4=42GMa

O4bien4444GMa4=41;34AMa

A B

C

ha hc

hb

Comprueba4dónde4cae4el4ortocentro4en4un4triángulo4rectángulo4y4en4uno4obtusánguloH

H

Recta(de(Euler El4ortocentroá4el4baricentro4y4el4circuncentro4de4un4triángulo4no4equilátero4están4alineados;4es4decirá4pertenecen4a4la4misma4rectaá4llamada4recta4de4EulerH4Compruébalo4dibujándoloH

A B

C

OGH

IES4Calderón4de4la4Barca4H4GijónDpto.4de4dibujoApuntes4de4dibujo4técnico41º4bachillerato TRIÁNGULOS. Construcciones sencillas

4.3

Para construir un triángulo son necesarios tres datos (lados, ángulos,líneas notables...). Uno de los datos debe ser una magnitud lineal.

LLLR4los4tres4lados LALR4dos4lados4y4el4ángulo4comprendido

ALAR4dos4ángulos4y4el4lado4comprendido

LLAR4dos4lados4y4un4ángulo4opuesto4a4uno4de4ellos

AALR4dos4ángulos4y4un4lado(no4comprendido)Construir4arco4capaz

cR4hcR4CConstruir4arco4capaz4del4ángulo4dado4sobre4su4lado4opuesto.4Construir4LG4de4la4altura.

cR4hcR4mcConstruir4LG4de4la4altura4y4LG4de4la4mediana

4

vcR4CR4A hcR4bR4cResolver4en4principio4el4triángulo4CR4HcR4A

cb

a

Acb

cA B

ca

A A C

c

IES4Calderón4de4la4Barca4-4GijónDpto.4de4dibujoApuntes4de4dibujo4técnico41º4bachillerato TRIÁNGULOS. Construcciones sencillas 2

4.4

Para construir un triángulo son necesarios tres datos (lados, ángulos,líneas notables...). Uno de los datos debe ser una magnitud lineal.

hc,4a,4bResolver4en4principio4el4triángulo4C,4Hc,4B4y4el4C,4Hc,4A

hc,4c,4AResolver4en4principio4el4triángulo4C,4Hc,4A

hc,4a,4AResolver4en4principio4el4triángulo4C,4Hc,4A

hc,4A,4BResolver4en4principio4el4triángulo4C,4Hc,4A4y4el4C,4Hc,4B

a,4C,4vcResolver4en4principio4el4triángulo4vc,4B,4C

Construcciones de triángulos rectángulos

Los4dos4catetos4b,4c Un4cateto4y4un4ángulo4adyacente Un4cateto4c4y4el4ángulo4opuesto

La4hipotenusa4y4un4cateto La4hipotenusa4y4un4ángulo4Lno4rectoU La4hipotenusa4a4y4la4altura4sobre4ella4ha4

IES5Calderón5de5la5Barca5T5GijónDpto25de5dibujoApuntes5de5dibujo5técnico5yº5bachillerato CUADRILÁTEROS

U

Notación

A

B

C

c

a b

Clasificaciónm

Si5los5ángulos5opuestos5de5uncuadrilátero5son5suplementarios=el5cuadrilátero5se5puede5inscribiren5una5circunferencia2

La5suma5de5los5ángulosinteriores5de5un5cuadiláteroes5O(xº2

Si5la5suma5de5los5ladosopuestos5de5un5cuadriláterocoincide=5el5cuadriláterocircunscribe5a5una5circunferencia2

Trapezoides:mningúnmladomparalelo

Trapecios:mdosmladosmsonmparalelosmállamadosmbbasesbv

Paralelogramos:mlosmladosmopuestosmsonmparalelosmemiguales.mÁngulosmopuestosmiguales

Figuraszplanaszlimitadaszporzcuatrozrectasz

quezsezcortanzdoszazdos,zdeterminandoz

unoszsegmentoszquezsonzloszladosz

delzcuadrilátero.

Loszpuntoszdondezconcurren

doszladoszcontiguoszson

loszvértices.

Laszdiagonaleszunenzdoszvértices

nozconsecutivos.

D

d

Propiedades

A

B

C

D

y)xº

y)xº

Observazcómozsezdescompone

enzdosztriángulos.

55A5+5B5+5C5+5D5=5O(xº

Ty

Tz

TO

TR

x y

yx

z

zt

tO

A B

CD

AB5+5DC5=5BC5+5AD

AB

C

D

A5+5C5=5B5+5D5=5y)xº

Atendiendozalzparalelismozentrezsuszlados,zclasificamos

loszcuadriláteroszconvexoszenzparalelogramos,ztrapecioszyztrapezoides.

Cuadrado Rectángulo Rombo Romboide

Cuatro5ángulos5iguales5y5rectos2Diagonales5iguales5y5se5cortanen5el5punto5medio2

Cuatro5lados5iguales2Diagonales5perpendiculares2

Cuatro5lados5iguales5y5rectos2Diagonales5iguales5yperpendiculares

Diagonales5desiguales5y5no5perpendiculares2

Isósceles Rectángulo Escaleno

Uno5de5los5dos5ladosno5básicos5es5perpendiculara5la5altura

Lados5no5básicos5iguales2Diagonales5iguales2

Deltoide

Cuadrilátero5simétrico5respecto5deuna5de5sus5diagonales2Diagonales5perpendiculares2Dos5pares5de5lados5contiguos5iguales2

Cuadriláteromconvexo6o5simplemente5gcuadriláterog0

Cuadriláteromcóncavo

IES5Calderón5de5la5Barca5-5GijónDpto.5de5dibujoApuntes5de5dibujo5técnico51º5bachillerato CUADRILÁTEROS Construcciones

5.1

A

B

C

c

a b

Cuadrilátero5dados5sus5cuatro5lados5y5una5diagonal

Elynúmeroydeydatosyqueynecesitamosyparayconstruiryunycuadriláteroydependeydeysuytipo.

D

d

Trapecio5dadas5las5bases5y5los5lados

e

A D

C

B

A

A

D

C

BCe

A

B

C

D

B

C

D

A

Figuraydeyanálisis:

A B

CDConstruiryenyprincipio

elytriánguloyauxiliaryCBC'

enyelyque:

C'By=yABy-yDCyyyyyC'Cy=yAD

CP

Trapecio5dadas5sus5bases,5un5ladoy5la5altura

h

A

B

C

B

C

D

Paralelogramo5dado5un5ladoy5las5diagonales

A Be

f

a

DeterminaryelycentroyOyde

intersecciónydeylasydiagonales

dibujandoyelytriánguloyAOB

Rombo5dado5un5lado5y5un5ángulo

A

aA B

IES5Calderón5de5la5Barca5-5GijónDpto.5de5dibujoApuntes5de5dibujo5técnico51º5bachillerato CUADRILÁTEROS Construcciones

5.2

Rombo5dado5un5lado5y5una5diagonal

El número de datos que necesitamos para construir un cuadrilátero depende de su tipo.

Rectángulo5dadas5las5diagonales5y5el5ángulo5que5forman

A Ba

A C

Rombo5dadas5las5diagonalesA C

B D

Rectángulo5dada5la5diagonal5y5un5ladoe

n

e

Cuadrado5dado5el5lado

l

Cuadrado5dada5su5diagonal

e

Cuadrado5dada5la5suma5fo5la5diferencia(5de5su5diagonal5y5un5lado.

suma

IES6Calderón6de6la6Barca6,6GijónDptoÁ6de6dibujo5puntes6de6dibujo6técnico6yº6bachillerato POLÍGONOS REGULARES

á

Elementos de un polígono regular

CIRCUNFERENCI56CIRCUNSCRIT5Á6Circunferencia6que6pasa6por6los6vértices6del6polígonoÁCIRCUNFERENCI56INSCRIT5Á6Circunferencia6tangente6a6los6lados6del6polígonoÁCENTROÁ6El6centro6de6las6dos6circunferencias6antedichas6es6a6su6vezz6centro6del6polígonoÁR5DIOÁ6Distancia6del6centro6a6un6vérticez6radio6de6la6circunferencia6circunscritaÁÁNGULO6CENTR5LÁTiene6como6vértice6el6centro6y6sus6lados6pasan6por6dos6vértices6consecutivosÁSu6valor6en6grados6es6igual6a6dividir60ámº6entre6el6número6de6lados6del6polígonoÁÁNGULO6INTERIORÁFormado6entre6dos6lados6consecutivosÁ6Su6valor6en6grados6es6igual6a6yMmº6menos6el6valor6del6ángulo6centralÁ65POTEM5Á6Radio6de6la6circunferencia6inscrita6del6polígono6o6perpendicular6del6centro6a6un6lado6del6polígonoÁPERÍMETROÁ6Suma6de6las6longitudes6de6los6ladosÁ6Se6denota6por63pÁÁRE5Á6Producto6de6la6apotema6por6el6semiperímetroÁ656x6a6Á6pL5DOÁ6Une6dos6vértices6consecutivosÁ6Su6mediatriz6pasa6por6el6centro6del6polígonoÁDI5GON5LESÁUnen6dos6vértices6no6consecutivosz6sus6mediatrices6pasan6por6el6centro6del6polígonoÁ

Polígono convexoTodos6los6vértices6del6polígono6se6unen6de6forma6consecutivaÁ

Polígono estrelladoNos6vamos6saltando6vértices6y6el6polígono6cierra6después6de6dar6más6de6una6vueltaÁFalso6estrellado26se6superponen6varios6polígonos6convexosÁPaso del estrellado: número6de6lados6que6nos6saltamosÁ

Para6averiguar6si6un6polígono6tiene6construcción6de6estrelladosz6y6cómo6unir6los6vérticesz6buscamos6los6números6enterosz6menores6que6la6mitad6del6número6de6lados6del6polígonoz6y6de6ellos6los6que6sean6primos6respecto6a6dicho6número6de6ladosÁ6Ejemplo26para6el6octógono6vM6ladosíz6los6números6menores6que6la6mitad6de6sus6lados6son6el60z6el636y6el6yz6y6de6ellosz6primos6respecto6a6M6solo6tenemos6el60z6por6tanto6el6octógono6tiene6un6único6estrellado6genuino6que6se6obtiene6uniendo6los6vértices6de606en60ÁvSuperponiendo6dos6cuadradosz6uno6de6ellosgirado6ú8ºz6obtenemos6un6falso6octógono6estrelladoíÁ6

Octógono6regular6convexo Octógono6regular6estrelladode6paso60

Octógono6vfalsoí6estrelladode6paso63

Observa que el área de este pentágono

equivale a cinco triángulos cuya

altura es igual a la apotema del polígono

y su base es igual al lado.

Octógono6regular6estrelladode6paso60

Polígono regular es el que tiene sus lados y sus ángulos interiores iguales entre si.

IES6Calderón6de6la6Barca6P6GijónDptoñ6de6dibujoApuntes6de6dibujo6técnico6,º6bachillerato POLÍGONOSHREGULARESHConstrucciónHdadaHlaHcircunferencia

6ñ,

Dada0la0circunferencia0(=0división0de0la0circunferencia0en0partes0iguales)

1ElóDRAEóadmiteólaóescrituraódeóhexágonoósinóhóinicialó-exágonoMóporqueóhaósidoóunaóescrituraómuyócomúnóduranteóvariosósiglos,ómientrasóqueóheptágonoósinóhóinicialó

noóhaótenidoóestaótradiciónóescrita.óóóElóDPDó-DiccionarioópanhispánicoódeódudasMóaconseja,ósinóembargo,óqueóseóprefieraólaóescrituraóqueóconservaólaóhóinicial.

Trazamos6un6diámetro6vertical6y6con6centroen6su6extremo6inferior6L6trazamos6el6arcode6radio6el6mismo6que6la6circunferenciaque6nos6da6los6puntos6M6y676

,

L

M 7

TriánguloHequilátero Hexágono*Hregular

Procedemos6como6en6el6caso6anteriorañadiendo6un6segundo6arco6de6centroel6punto6,6que6nos6proporciona6lospuntos6O6y66

,

L

M 7

O 6

DodecágonoHregular

Trazamos6un6hexágono6y6despuéscon6tres6mediatrices6m,46mL6y6mM

obtenemos6el6dodecágonoñ

,

L

M 7

O 6

m,

mL

mM

3,060y012

40y08

Trazamos6dos6diámetros6perpendicularesque6nos6dan6los6puntos6,46L46M6y67

Cuadrado OctógonoHregular

Procedemos6como6en6el6caso6anteriory6después6trazamos6dos6mediatricesñ

HeptágonoHregular

Con6centro6en6punto6L6trazamosel6arco6MP7ñ6La6mitad6de6la6cuerda6MP7es6el6lado6del6heptágonoñ-Completaróllevandoólaómedidaó3-M

aóambosóladosódeó1óparaóreduciróerrorMó

,

L

M 7

,

L

M 7

M

7

50y010

Trazamos6dos6diámetros6perpendicularesque6nos6dan6los6puntos6,46L46M6y67ñ

Con6centro6en6el6punto676y6radio6el6mismoque6la6circunferencia6trazamos6el6arco6OP6ñ

Con6centro6en6M46punto6medio6de6OP64abrimos6el6compás6hasta6el6punto6,y6trazamos6el6arco6que6nos6da6el6punto67ñ

La6medida6,P76es6el6lado6del6pentágono4que6llevamos6a6partir6del6punto6,6a6ambos6lados6para6reducir6el6error6de6trazadoñ

La6medida6OP76es6el6lado6del6decágonoñ

PentágonoHregular

Completaróelótrazado

,

L

M 7

O

6

O

,

L

M 7

O

6

O

IES6Calderón6de6la6Barca6L6GijónDptov6de6dibujoApuntes6de6dibujo6técnico65º6bachillerato POLÍGONOSxREGULARESxConstrucciónxdadoxelxlado

ªv7

Con6centro6en6los6extremos656y67y6radio6AB6trazamos6dos6arcos6que6nos6dan6en6su6intersección6el6punto6'

7

'

Triánguloxequilátero Hexágonoxregular

Procedemos6como6en6el6caso6anteriory6hacemos6centro6en6el6punto6'6con6la6misma6abertura6de6compásg6trazando6la6circunferencia6circunscrita6al6hexágonovLuego6trazamos6arcos6con6igual6radiov

Pentágonoxregular

Levantamos6perpendicular67L'g6de6medidaigual6al6ladog6sobre6punto67vCon6centro6en6Mg6punto6medio6de65L7gy6radio6M'g6trazamos6arco6que6nos6dagen6la6prolongación6de65L7g6el6punto6ívLa6medida65Lí6es6la6diagonal6del6pentágonov

3 y 6

Procedimiento general n lados dada la circunferencia

5

5

'

5 75 7

'

í

U

M

5

7

'

í

U

ª

(

73

lado(

5

7

'

í

U

ª

(

73

lado6dado

Dividimos6el6diámetro6vertical6en6tantas6partes6iguales6como6lados6ha6de6tener6el6polígonovCon6centro6en656y676y6radio6el6diámetrotrazamos6dos6arcos6que6se6cortan6en6punto6'vUnimos6punto6'6con67ª6división6del6diámetrovLlevamos6la6medida6obtenida6a6ambos6ladospara6reducir6errorvPAun6asíg6este6método6es6aproximado6y6debehacerse6con6gran6precisión6para6evitar6erroresá

Hacemos6la6construcción6anteriory6luego6aplicamos6una6homotecia6de6centro6O6para6colocar6el6datov

Procedimiento general n lados dado el lado

O

5

7

'

IES7Calderón7de7la7Barca7T7GijónDptoR7de7dibujoApuntes7de7dibujo7técnico7(º7bachillerato TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS

Q

LasItransformacionesIgeométricasIsirvenIparaIresolverIproblemas

Las7transformaciones7geométricas7que7conservan7la7forma7y7el7tamaño7de7la7figura7original7se7llaman7MOVIMIENTOSR

Los7elementos7DOBLES7o7INVARIANTES7en7una7transformación7geométrica7son7aquellos7que7al7aplicarles7la7transformación7se7transforman7en7si7mismosR

Recuerda7los7conceptos7de7RAZÓN7ñaZbM7y7PROPORCIÓN7ñaZb7=7cZdMR

IGUALDAD

EQUIVALENCIA

LasItransformacionesIgeométricasIsonIoperacionesIgeométricasIqueIpermitenIcrearIunaInuevaIfiguraIaIpartirIdeIunaIpreviamenteIdada.IEstaInuevaIfiguraIseIdenominaIHOMÓLOGAIdeIlaIORIGINAL.

IES7Calderón7de7la7Barca7O7GijónDptoM7de7dibujoApuntes7de7dibujo7técnico7Lº7bachillerato TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS Igualdad y traslación

vML

SiR7ademásR7al7superponer7dos7figurasR7coinciden7exactamente7y7se7confunden7en7una7solaR7entonces7son7IDÉNTICASM

Dos7figuras7planas7son7iguales7si7sus7lados7y7ángulos7son7iguales7y7están7dispuestos7en7el7mismo7ordenM

Igualdad

PROCEDIMIENTOS7PARA7OBTENER7UNA7FIGURA7IGUAL7A7UNA7FIGURA7ORIGINAL7DADA

Por7triangulación Por7perpendiculares

Por7radiación Por7copia7de7ángulos7o7rodeo

A B

C

D

E O

Ay By

Cy

Dy

Ey Oy

A B

C

D

E

Ay7 By

Cy

Dy

Ey

L ' 2 3 4 Ly 'y 2y3y 4y

Ay By

Cy

Dy

Ey

A B

C

D

E

Traslación de una figura plana

Consiste7en7aplicar7a7la7figura7un7movimiento7rectilíneo7en7una7dirección7establecidaM

A

Ay

B

By

C

CyD

Dy

E

Ey

F

F'

AAy

A

Ay

IES7Calderón7de7la7Barca7'7GijónDptoO7de7dibujoApuntes7de7dibujo7técnico7Lº7bachillerato TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS Giro y simetría

3Oá

Todo7giro7es7una7isometría7directaO7vla7figura7homóloga7conserva7la7orientación7de7la7original)OEl7único7punto7doble7de7un7giro7es7su7centroO

Giro o rotación Sentido7dextrógiro:7como7las7manecillas7de7un7relojmagnitud7angular7positiva)

Sentido7levógiro:7sentidoanti'horariovmagnitud7angular7positiva)

A

BC Cf

AfBf

O

80º

Observa que si giramos una figura

180º obtenemos una simetría central.

(Completar el dibujo).

O

A

B

C

Simetría axial Simetría central

Los7puntos7simétricos7están77en7una7perpendicular7al7eje7de7simetría7y7a7igual7distancia7de7élOLos7puntos7del7eje7son7doblesO

Los7puntos7simétricos7están7alineados7con7el7centro:7a7igual7distancia7y7distinto7ladoOLas7rectas7simétricas7son7paralelasOEl7centro7es7punto7dobleOEquivale7a7un7giro7de7L40ºO

A B

C

D

E

Af Bf

Cf

Df

Ef

L'Lf

á

áf

y

yf

,

,f

ejeO'B'Bf

AAf

C

Cf

IES7Calderón7de7la7Barca7g7GijónDptoP7de7dibujoApuntes7de7dibujo7técnico7vº7bachillerato TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS Homotecia 1

/P>

El7centro7O7es7punto7doblePLas7rectas7que7pasan7por7O7son7doblesPLas7rectas7homotéticas7son7paralelasP

Homotecia

DefiniciónDado77un77punto7O7del7plano7y7un7número77real7k≠=z7se7llama7homotecia7de7centro7O7y7razón7ka7la7transformación77geométrica7que7asocia7a7cada7punto7P7del7plano7otro7punto7Py

k7=7razón7de7la7homotecia

k7puede7ser7positiva7úk>=k7o7negativa7úk<=kSi7es7negativa7el7centro7queda7entre7los7puntos7homotéticosP

k7=7OP

OPy

O

P

Pyk7=7('v=7(

Ejemplos

O

Py

Pk7=7v'(7=7=z<

O

Py

Pk7=7gv7 (Equivale a una simetría central)

k > 0 k < 0

k7=7(7'7v

Ay By

Cy

Dy

Ey D

A B

CE

D

Dy

O

A B

CE

Cy

AyBy

Ey

k7=7gv

Resolución por homotecia de cuadrado dada

la suma del lado y la diagonal

O

O

Ay By

Cy

Dy

Ey

AB

CE

O

k7=7g7(7'7v

D

O

k7=7v7'7>

Py

P

O

k7=7>7'7v

Py

P

IES7Calderón7de7la7Barca7,7GijónDptog7de7dibujoApuntes7de7dibujo7técnico7Pº7bachillerato TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS Homotecia 2

(gúgP

Homotecia y semejanza

k707M7q7P

AO BO

CO

DO

EO D

A B

CE

O

A7efectos7prácticos7una7homotecia7y7una7semejanza7son7lo7mismoz7y7por7tantoz7se7opera7igual7en7una7que7en7otragLa7diferencia7es7que7en7una7homotecia7siempre7hay7un7centro7de7homotecia7definidoz7las7figuras7tienen7la7misma7orientación7y7los7segmentos7homotéticos7son7paralelosg7Por7ello7que7cuando7se7plantea7un7problema7de7homotecia7siempre7te7dan7el7centro7o7datos7para7calcularlog7Mientras7que7en7la7semejanza7no7lo7suelen7darz7sino7que7eres7tú7el7que7eliges7cual7te7conviene7másg7Habitualmente7se7escoge7uno7de7los7vértices7de7la7figura7por7comodidadz7aunque7se7puede7utilizar7cualquier7punto7incluidos7los7que7estaneestán7exterior7o7interior7de7la7figurag

Figuras semejantes

(y no homotéticas)Figuras homotéticas

(y por tanto, semejantes)

Circunferencias homotéticas

Dadas7dos7circunferenciasz7exterioresz7interiores7o7secantesz7la7recta7que7une7los7extremos7de7un7par7de7radios7homotéticos7intercepta7a7la7que7une7los7centros7en7el7centro7de7una7homotecia7que7liga7a7las7circunferenciasgEsta7homotecia7puede7ser7de7razón7positiva7o7negativaz7según7el7sentido7de7los7dos7radios7homotéticos7que7se7tomang

Si7las7circunferencias7son7igualesz7la7homotecia7de7razón7positiva7tiene7centro7impropio7ftraslacióná7y7la7derazón7negativa7tiene7centro7propio7fsimetría7centralág

Nota7PN7Dos7circunferencias7tangentes7exteriores7finterioresá7tienen7un7centro7de7homotecia7coincidente7con7elpunto7de7tangencia7y7el7otro7exterior7finteriorá7a7ellas7fsalvo7que7las7circunferencias7sean7igualeságNota7MN7Dos7circunferencias7concéntricas7tienen7los7dos7centros7de7homotecia7fde7razón7positiva7y7negativaá7coincidentes7con7los7de7tales7circunferencias7fhomotecia7centralág

7

k<Lk>L k<Lk>L

k<Lk>Lk<Lk>L

k<Lk>L

IES8Calderón8de8la8Barca8P8GijónDptoU8de8dibujoApuntes8de8dibujo8técnico8qº8bachillerato TANGENCIAS)Y)ENLACES)1

8Uq

Propiedades

La8recta8tangente8a8una8circunferencia8es8siempreperpendicular8al8radioen8el8punto8de8tangencia8TU

El8punto8de8tangencia8Tde8dos8circunferenciastangentes8siemprepertenece8a8la8línea8de8centros8OqOv

TOq

Ov

r

T TOq

Ov

La8mediatriz8m8de8una8cuerda8pasa8siempre8por8el8centro8de8la8circunferenciaU

m

La8bisectriz8de8dos8rectas8concurrentes8pasa8siempre8por8el8centro8de8las8circunferencias8tangentesU

t

Recta)tangente)a)una)circunferenciaen)un)punto)T)de)esta.

Rectas)tangentes)a)una)circunferenciaparalelas)a)una)dirección)dada)(d).

r

Tt

c

O

Trazamos8el8radio8OTy8por8T8trazamos8laperpendicular8al8radioU

Tvtv

cO

dTrazamos8un8diámetroperpendicular8a8ladirección8dadaULos8extremos8de8dichodiámetro8son8los8puntosde8tangencia8Tq8y8TvUTrazamos8las8tangentestq8y8tv8paralelas8a8ladirección8dadaU

tqTq

Rectas)tangentes)a)una)circunferencia)desde)un)punto)exterior)a)esta.

P O

c

Tq

Tv

tq

tv

Utilizamos8el8lugar8geométrico8de8Thales:asíx8trazamos8la8circunferencia8de8diámetro8OPx8que8cortará8a8la8circunferencia8dada8c8en8los8puntosde8tangencia8Tq8y8Tv

Observa8cómo8en8dichos8puntos8los8radios8son8perpendiculares8a8las8tangentesU2Lugar8geométrico8de8Thales:8arco8capazde89,ºzU

IES8Calderón8de8la8Barca8Y8GijónDpto(8de8dibujoApuntes8de8dibujo8técnico8"º8bachillerato TANGENCIAS Y ENLACES 2

8(g

Rectas tangentes comunes exteriores a dos circunferencias

O"Og

cg

T:

T"

t"

tg

Rectas tangentes comunes interiores a dos circunferencias

R - r

R + r

r

rR8Y8r

c"

aux

Tg

Tq

"

g

Por8medio8de8una8dilatacióntransformamos8las8dos8circunferencias8dadas8enun8punto8O"8y8una8circunferenciaauxiliar(Restamos8r"8a8la8circunferenciacg8y8obtenemos8la8auxiliar,cuyo8radio8es8R8Y8r(Ya8tenemos8una8circunferenciaPauxm8y8un8punto8PO"m(Ahora8podemos8resolver8Otangentes8desde8un8punto8a8una8circunferenciaO,8obteniendolos8puntos8"8y8g(Ahora8procedemos8a8revertirla8dilatación:Desde8Og8prolongamos8radiosque8pasan8por8"8y8g8hastacortar8a8cg,8obteniendo8T"8y8Tg(Por8O"8trazamos8radiosparalelos8a8los8OT"8y8OTg,obteniendo8T:8y8Tq

O"Og

cgT:

T"

t"

tg

r

r

R8y8r

c"

aux

Tg

Tq

"

g

R

En8este8caso8sumamos8los8radios8de8las8circunferenciasdadas(Observa8que8los8radios8paralelosvan8cruzados(

Nota: si no te acuerdas de si

hay que restar o sumar radios,

simplemente haz un croquis

rápido.

IES8Calderón8de8la8Barca8-8GijónDpto.8de8dibujoApuntes8de8dibujo8técnico81º8bachillerato TANGENCIAS.Y.ENLACES.3

8.3

Circunferencia.que.pasa.por.un.punto.P,.dado,.y.es.tangente.a.una.recta,.r,.conocido.elpunto.de.tangencia,.T,.en.la.recta.O lo que es lo mismo,

Circunferencia.que.tiene.el.centrosobre.una.recta.n,.pasa.por.un.punto.,.T,.de.ellay.por.otro.punto.P.exterior.

Circunferencia.que.pasa.por.unpunto.P,.dado,.y.es.tangente.a.otra.circunferencia.c.también.dada,conocido.el.punto.T.de.contacto.

Circunferencias.tangentes.a.dos.rectas.dadas,conocido.el.punto.de.tangencia.en.una.de.ellas.O lo que es lo mismo,

Circunferencias.que.tienen.su.centro.sobre.una.recta.n,.pasan.por.un.punto.T.de.ellay.son.tangentes.a.otra.recta,.r.

Circunferencias.tangentes.a.una.recta.yuna.circunferencia.dadas.conocido.el.puntode.tangencia.en.la.circunferencia.

T

r

OP c

O

O1

P

T

Si el punto P pertenece a c la solución es la propia c.

Dibújalo con el punto P interior a c.

t

T

T1

O1

O2

T2

n

r

t

T

T1

O1

O2

T2

r

c

O

IES8Calderón8de8la8Barca8R8GijónDpto,8de8dibujoApuntes8de8dibujo8técnico8Uº8bachillerato TANGENCIAS2Y2ENLACES24

8,4

Circunferencias2tangentes2a2tres2rectasque2se2cortan2dos2a2dos.

r

s

O2

O3

O4

OU

Las8circunferencias8que8buscamos8son8la8inscrita8y8las8exinscritas8al8triángulo8que8forman8las8tres8rectas8dadas,Recuerdag8para8ganar8tiempo8en8el8trazadog8que8las8bisectrices8interiores8y8exteriores8son8perpendiculares,

t

Circunferencias2tangentes2a2otras2dos2circunferencias2dadas,2conocido2unpunto2T12de2tangencia2en2una2de2ellas.

OU

TU

O4

O2

O3

T3

T2

A

B

cU

c2

r

Datos:BcircunferenciasBc1ByBc2ByBpuntoBdeBtangenciaBT1

queBperteneceBaBc1

1.8Trazamos8la8recta8r8que8pasa8por8el8centro8OUy8por8el8punto8de8tangencia8TU

Trasladamos8los8segmentos8TUA8y8TUB8iguales8alradio8de8c2,Unimos8A8y8B8con8O2

2.8Trazamos8las8mediatrices8de8O2A8y8O2B,

Las8intersecciones8de8dichas8mediatrices8con8la8recta8r8son8los8puntos8O38y8O4

centros8de8las8soluciones,

3.8Obtenemos8los8puntos8de8tangencia8T28y8T3

uniendo8O38y8O48con8O2

Análisis:

LosBcentrosBtienenBqueBestarBenBlaBrectaBrBqueBpasaB

porBO1ByBporBelBpuntoBdeBtangenciaBT1

ObservaBque,BsupuestoBresueltoBelBproblema,BsiB

hacemosBcentroBenBO3BconBradioBO3O2B=BO3BBtrazaríamos

unaBcircunferenciaBconcéntricaBaBlaBqueBbuscamos,

esBdecir,BconBelBmismoBcentroBO3B

ElBsegmentoBBO2BesBunaBcuerda

deBdichaBcircunferencia.BSuBmediatrizBtieneBqueBpasarB

porBelBcentroBO3BqueBesBelBqueBbuscamos.

ElBmismoBrazonamientoBconBelBpuntoBAByBO4

Trazar2una2recta2tangente2a2un2arco2de2circunferencia,2de2centro2desconocido,2dado2el2punto2de2tangencia2T

T

IES8Calderón8de8la8Barca8á8GijónDpto.8de8dibujoApuntes8de8dibujo8técnico81º8bachillerato TANGENCIAS Y ENLACES 5

8.5

Circunferencias de radio dadotangentes a una recta.

Trazando8paralelas8a8la8recta8a8una8distancia8igual8al8radio8obtenemos8el8lugar8geométricode8los8centros8de8las8posibles8soluciones.

sr

r

LG1

LG2

Circunferencias de radio dadotangentes a una circunferencia.

c.8dada

LG1

LG2

Sumando8y8restando8el8radio8obtenemos8el8LGde8los8centros8de8las8posibles8circunferencias.

r r

Circunferencias de radio dadotangentes a una circunferenciay a una recta.

c.8dada

LG1

LG2

r r

LG3

LG4r

r

El8número8de8soluciones8depende8de8los8datos8y8la8posición8de8estos.Los8centros8de8las8soluciones8estándonde8se8cortan8los8LG.

Circunferencias de radio dadotangentes a dos circunferencias.

c.8dada81

LG1

LG2

c.8dada82LG3

LG4

En8este8caso8tenemos888soluciones.

IES8Calderón8de8la8Barca8,8GijónDpto=8de8dibujoApuntes8de8dibujo8técnico8)º8bachillerato TANGENCIAS Y ENLACES 6

P=M

Enlace de dos rectas concurrentes por mediode un arco de radio conocido.

Trazamos8paralelas8a8las8rectas8a8una8distancia8igual8al8radio=Los8puntos8de8tangencia(enlace8los8conseguimos8trazando8perpendiculares8desde8el8centro8O=

s

Enlace de dos rectas paralelas mediante dos arcos del mismo o distinto sentido, dados los puntos de enlace A y B.

Enlace de dos rectas paralelas mediantedos arcos de igual radio, dados los puntos de enlace A y B.

r

O

T)

Tá

radio8dado

radio8dado

)=8Trazamos8perpendiculares8por8A8y8B=á=8Sobre8las8perpendiculares8llevamos8unadistancia8cualquieraq8tal8que8AO)8=8BC=8Observa8que8para8obtener8los8dos8arcos8con8el8mismo8sentido8Ofig=8á28el8radiodesde8O)8debe8ser8tal8que8el8punto8B8quede8dentro8de8la8circunferencia8de8centro8O)=8Si8queda8fuera8Ofig=8)28el8enlaceserá8con8arcos8de8distinto8sentido=

3=8Dibujamos8la8mediatriz8del8segmento8O)C=Esta8mediatriz8corta8a8la8perpendicular8por8B8en8Oácentro8del8segundo8arco=888

O)

A

B

C

Oá

)=8Unimos8A8y8B8con8una8recta=á=8Hallamos8punto8medio8M8de8AB=3=8Mediatrices8de8AM8y8BM=U=8Por8A8y8B8levantar8perpendicularesque8cortan8a8las8mediatricesen8los8centros8de8las8soluciones=

A

B

MO)

Oá

O)

A

B

C

Oá

Fig. 2

Fig. 1

IES8Calderón8de8la8Barca8P8GijónDpto38de8dibujoApuntes8de8dibujo8técnico81º8bachillerato TANGENCIASmYmENLACESm7

837

EnlacemdemdosmrectasmsecantesmconmdosmarcosdemsentidomcontrariomdadosmlosmpuntosmT1mymT2mdemenlacemymelmradiomdemunomdemlosmarcos.

Trazamos8paralelas8a8las8rectas8a8una8distancia8igual8al8radio3Obtenemos8O18y8A8en8las8perpendiculares8por8T18yT28

Unimos8A8y8O18con8un8segmento8cuya8mediatriz8nos8da8O2

El8punto8de8enlace8B8en8la8línea8de8centros3

s

Enlacemdemcircunferencias.

EnlacemdemunmarcomdemcircunferenciamdemradiomRymunamrectammediantemunmarcomdemsentidomcontrarioymdemradiomR1mdado.

r

O1

T1

T2radio8dado

radio8dado

Consiste8en8sumar8o8restar8radios3Esto8se8usa8mucho8para8trazar8hallar8los8centros8de8los8arcos8de8enlace8en8piezas3Los8puntos8de8enlace8siempre8en8la8línea8de8centros388

O2

A

Datos : r, s, T1, T2

radio

B

s

O1

T2

O2R1

R1

Paralela8a8la8recta8y8sumar8radio8al8arco3Donde8se8cortan8es8el8centro8O28del8arco8solución3

O1

O2O3

IES9Calderón9de9la9Barca9O9GijónDpto39de9dibujoApuntes9de9dibujo9técnico9Pº9bachillerato CURVAScTÉCNICAS

93P

Óvalo

Óvalocóptimo.Es9el9compuesto9por9arcos9que9pasanpor9el9incentro9,y9son9tangentes9en9élf9del9triángulo9rectángulo9BACí9formadopor9las9tangentes9en9los9extremos9de9los9semiejes9y9la9hipotenusa9BCque9une9dichos9extremos3

Regióncdecloscóvaloscdecejescdados.

Curva9cerrada9plana9con9dos9ejesde9simetría9perpendicularesí9compuesta9por9cuatro9arcos9de9circunferencia9tangentesíiguales9dos9a9dosí9cuyos9centros9pertenecena9dichos9ejes9de9simetría3

OOP

O:

OL

OT

centros9OP9y9OL9radio9rPcentros9O:9y9OT9radio9rL

Para9dos9ejes9dadosí9existen9tantos9óvalos9como9configuraciones9pueden9obtenerse9variando9los9radios3Los9casos9límite9serían:rP9igual9a9cero:9figura9apuntada9con9forma9de9vesica3rP9igual9a9semije9menor:9forma9oblonga39

En9este9caso9el9cambio9de9curvatura9es9mínimo3La9recta9que9une9los9centros9es9perpendicular9a9la9hipotenusay9pasa9por9el9incentro9I3

I

B

CA

OP

OL

OP

OL

O

Trazado9práctico3

Trazadocacpartircdecunccírculoc(útilcparacperspectivacisométrica).

Trazadocacpartircdecunccuadradoencperspectivacisométrica.

IES9Calderón9de9la9Barca9f9GijónDptoú9de9dibujoApuntes9de9dibujo9técnico93º9bachillerato CURVAS.TÉCNICAS

9ú4

Óvalo.dados.sus.ejes.y.uno.de.sus.radios.(construcción.por.dilatación)

Óvalo.dados.sus.ejes.Empleamos9la9construcción9anteriorú9yver9dibujo9de9la9izquierdaáú9Situamos9los9ejes9y9llevamos9un9radio9r39cualquiera9sobre9el9eje9mayor9ya9partir9de9Aáú9Esto9ya9nos9condicionará9r4

O3

O4

Trazado.del.arco.carpanel.

Llevamos9r39desde9C9hacia9abajo9obteniendo9el9punto9SúUnimos9S9con9O39y9su9mediatriz9nos9da9O4

La9operación9se9efectúa9restando9radiosú

Dado.el.radio.menor.r1

r39=9O3A9=9O3T9=9CS r49=9O4C9=9O4T9=9AS

Dado.el.radio.mayor.r2

OO3

O4

A

C

ST

r 3OO3

O4

C

S

T

r4

A

TO3

S

O4

C

r49f9r3

TO3

S

O4

Cr49f9r3

Llevamos9r49sobre9eleje9mayor9a9partir9de9A9obteniendoel9punto9Sú

Trazados.sencillos.de.óvalos.de.eje.mayor.dado..

O,

O3 O4

O,

Og

O3 O4

flech

a

luz

El9arco9carpanel9es9un9arco9rebajadoúSe9utiliza9la9mitad9de9un9óvaloú

Dada9una9determinada9flechaU9se9ha9generalizado9el9trazado9y9construcción9del9carpanel9óptimoUque9utiliza9la9mitad9de9un9óvalo9óptimoú

arcocarpanel

arco9demedio9punto

IES9Calderón9de9la9Barca9,9GijónDptoz9de9dibujoApuntes9de9dibujo9técnico9:º9bachillerato CURVAS TÉCNICAS

9z3

El ovoide

Trazado sencillo del ovoide dado su eje menor.

Curva9cerrada9y9plana9formada9por9arcos9de9circunferencia9tangentes9con9un9solo9eje9de9simetríaz

Construcción del ovoide dados sus ejes.

Trazado del ovoide dado su eje mayor.

O:

O2

O3 O44r2r r

O:

O2

O3 O4

Dividimos9el9eje9mayor9en9seis9partes9igualeszLas9dos9primeras9se9toman9como9radio9de9la9circunferencia9O:9y9la9última9como9radio9de9la9O2

O:

O2

O3 O4

Desde9O:ú9punto9medio9del9eje9menorútrazamos9una9semicircunferenciaz

Como9en9el9caso9del9óvalo9construidopor9dilataciónú9para9hallar9los9otros9centrospartimos9de9un9arco9de9radio9arbitrario9que9llevamos9desde9B9sobre9el9eje9mayory9desde9C9sobre9el9eje9menorú9enambos9casos9hacia9dentroú9obteniendolos9puntos9:9y9O2z

Mediatriz9de9:,29nos9da9el9centro9O3zO39simétrico9de9O49respecto9al9eje9mayorz

O:

O2

O3 O4C

B

A

D:

Aplicación9del9ovoide9paraconducciones9hidraúlicas:conforme9aumenta9el9caudalúse9incrementa9también9lasuperficie9de9rozamientoúconsiguiendo9una9velocidaduniformez9

IES9Calderón9de9la9Barca939GijónDptoL9de9dibujoApuntes9de9dibujo9técnico97º9bachillerato CURVAS TÉCNICAS

9LT

Espiral de Arquímedes o espiral aritmética

7L39Dividimos9el9segmento9cuya9longitud9es9igual9al9paso9de9la9espiral9deseada9en9un9nº9cualquiera9de9partes9iguales29por9ejemplo9doce29en9un9número9de9partes9igualesL9Se9trazan9circunferencias9concentricas9que9pasan9por9todas9las9divisionesL9Cuantas9más9divisiones9más9puntos9se9obtendrán9para9trazar9la9espiralL998L39Se9dividen9las9circunferencias9en9el9mismo9nº9de9partes9igualesque9el9segmento9original9y9se9trazan9los9radios9respectivosL990L39Las9intersecciones9de9cada9radio9con9sus9arcos9correspondientes9nos9determinan9los9puntos9de9la9espiral29que9se9unen9a9mano9alzadaL

Espiral de Teodoro

7

7

7

7

80T

í

(

)

8

9

76 77 78 707T

7í

7(

7)

También9llamada9espiral9de9raíces9cuadradas2espiral9de9Einstein9y9espiral9pitagóricaLLleva9el9nombre9del9matemático9pitagóricoTeodoro9de9Cirene9úT(í9aC9390989aCzL

IES9Calderón9de9la9Barca9z9GijónDptoq9de9dibujoApuntes9de9dibujo9técnico91º9bachillerato CURVAShTÉCNICAS

9q5

Volutas

Curva9abierta9y9plana9formada9por9arcos9de9circunferenciatangentesq

Las9volutas9están9formadas9por9arcosde9circunferencia9tangentes9entre9siqPor9tantox9en9rigorx9no9son9espiralesqLos9centros9de9dichos9arcosx9si9son9más9de9dosxforman9un9polígono9regularq

Las9volutasx9como9los9óvalosx9no9existen9enla9naturalezax9son9una9construcción9humanaque9simplifica9las9formasx9pues9son9másfáciles9de9construirq

Volutahdehdoshcentros

En9arquitecturax9la9voluta9es9el9principal9ornamentodel9capitel9de9orden9jónicoq9Posteriormente9seríautilizada9en9el9renacimiento9y9en9el9barrocox9así9comoen9mueblesx9cerámicaq

Volutahdehtreshcentros Volutahdoblehdehtreshcentros

Bombahcentrífugahdehvoluta,hRichards,h1894

IES9Calderón9de9la9Barca9O9GijónDpto29de9dibujoApuntes9de9dibujo9técnico95º9bachillerato CURVAS TÉCNICAS

92(

Espiral logarítmica

Esta9curva9se9encuentra9en9numerososfenómenos9de9la9naturaleza:9galaxiasqciclonesq9conchas9marinasq9el9vuelo9deun9halcón9hacia9su9presa222La9espiral9logarítmica9se9distingue9de9la9espiral9de9Arquímedes9por9el9hecho9de9que9las9distancias9entre9su9brazos9se9incrementan9en9progresión9geométricaq9mientras9que9en9una9espiral9de9Arquímedes9estas9distancias9son9constantes2

O B

A

C

D

OT

Oá

Oy

OP

O5

En9esta9curva9el9movimiento9de9traslación9no9es9uniformeq9sino9que9sigue9una9progresión9geométricaq9de9tal9modo9que9el9paso9es9variable2

Construcción:9

529Trazamos9dos9ejes9perpendiculares9entre9síq9que9se9cortan9en9el9punto9O29Dibujamos9un9triángulo9rectángulo9ABOq9cuyos9catetos9formen9con9la9hipotenusa9los9ángulos9que9se9quieren9dejar9constantes9durante9el9recorrido9del9punto9generador29Partimos9del9triángulo9escogido9ABO2T29Por9el9punto9B9trazamos9una9perpendicular9a9la9hipotenusa9ABq9lo9que9nos9determina9sobre9el9otro9eje9el9punto9C9por9el9queq9a9su9vezq9trazamos9otra9perpendicular9al9segmento9BCq9obteniendo9el9punto9D9sobre9el9otro9ejeq9y9así9sucesivamente2á29Trazamos9las9mediatrices9de9los9segmentos9ABq9BCq9CDq9etc2q9y9éstas9cortan9a9las9bisectrices99de9los9ángulos9rectos9que9forman9la9línea9poligonal9definida9por9ellosq9obtenemos9los9centros9O5q9OTq9Oáq9etc2q9de9los9diferentes9arcos9de9circunferencia9que9configuran9la9espiral29xTomamos9de9radio9para9O59

su9distancia9al9punto9A,29

IES9Calderón9de9la9Barca959GijónDpto89de9dibujoApuntes9de9dibujo9técnico9úº9bachillerato CURVAS

980

Espiral áurea

Es9un9caso9particular9de9la9espiral9logarítmica3basada9en9la9proporción9áurea9o9gdivina9proporcióng3que9estudiaremos9con9más9detalle9el9próximo9curso8

Espiral de Fibonacci

F

(

ú

ú z

)ú(

Fú

(L

zz

)9

Es9una9aproximación9a9la9espiral9áurea9basada9en9la9sucesión9infinita9de9números9naturales9de9Fibonacci9vLeonardo9Bonazzi9o9Leonardo9de9Pisa39c39úú0f959c8úFzfq999(Traza la curva)

IES0Calderón0de0la0Barca0F0GijónDpto'0de0dibujoApuntes0de0dibujo0técnico01º0bachillerato CURVAS CÓNICAS

1P'1

Cónicas

El0plano0es0oblicuo0al0eje0del0conoy0corta0a0todas0las0generatrices'

Caso0particular:0si0el0plano0esperpendicular0al0eje)0tenemos0una0circunferencia'

El0plano0es0oblicuo0o0paraleloal0eje0del0cono0y0paralelo0ados0generatrices'Curva0abierta0con0dos0ramas'

El0plano0es0oblicuo0al0eje0y0paralelo0a0una0generatriz'Curva0abierta0con0una0rama'

Hipérbola ParábolaElipse

Son0las0curvas0que0resultan0al0seccionar0una0superficie0cónica0con0un0plano'zLa0superficie0cónica0completa0de0revolución0es0engendrada0por0una0recta)0llamada0generatriz)0que0gira0alrededor0deun0eje0al0que0corta0en0un0punto)0llamado0vérticeq'0

Para ver mejor las cónicas, se recomienda ver animaciones, que puedes encontrar en Youtube y en Geogebra.

Cónicas0degeneradas:0cuando0el0plano0pasa0por0el0vértice)0podemos0tener0un0punto)0dos0rectas0o0una0recta'

directrizF

plano de la directriz

Fv

directriz0d

directriz0dv

F

plano de la directriz

plano

de la directriz directriz0dv

plano de la directriz

plano de la directriz

directriz0d

Fv

F

Esferas de DandelinDescubiertas0por0el0matemático0belga0GP0Dandelin'0Interiores0al0cono)0Son0tangentes0al0plano0secante0y0a0la0superficie0cónica'0Su0punto0de0contacto0con0el0plano0secante0es0el0foco0o0focos'

IES0Calderón0de0la0Barca0/0GijónDptof0de0dibujoApuntes0de0dibujo0técnico0Pº0bachillerato CÓNICASu

P'fT

Elipse

Curva0cerrada0y0plana0lugar0geométrico0de0los0puntos0cuya0razón0de0distancias0a0un0punto0FFoco)0y0a0una0recta0FDirectriz)0es0constante=0igual0a0la0excentricidad0e0siendo0e0<0cOa

Curva0cerrada0y0plana0lugar0geométrico0de0los0puntos0cuya0suma0de0distancias0a0dos0puntos0fijosllamados0focos0es0constante0e0igual0a0Ta0<0eje0mayorf

Elementos de la elipse

Simetrías Diámetros

Vértices Focos

Radiosuvectores

O

OA B

C

D

F F(

P

P(

OA B

C

D

F F(O

A B

C

D

F F(

a

c

b

OA B

F F(

Tc

Ta

Toda0cuerda0que0pase0por0el0centro0es0un0diámetro0de0la0elipsefDentro0de0los0infinitos0diámetros0posibles=0hay0unos0pares0llamados0diámetrosuconjugados=0como0MM(0y0NN(=0en0los0que0se0cumpleí0PX0<0PX(

La0elipse0tiene0cuatro0vértices0que0sonlos0puntos0donde0los0ejes0cortan0a0la0curvaf

Las0magnitudes0de0los0ejes0se0designaní

ABu=uejeumayoru=u2a

CDu=uejeumenoru=u2b

Son0los0puntos0F0y0F(0sobre0el0eje0mayorfSon0simétricos0con0respecto0al0centro0Of

FFfu=udistanciaufocalu=u2c

Observa0el0triángulo0rectángulof00000a2u=ub2u+uc2

Son0los0segmentos0que0unen0cualquierpunto0de0la0curva0con0los0focosfSu0suma0es0constante0y0se0cumpleí

uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuur1u+urf1u=u2a

Los0elementos0de0simetría0soníDos0ejes0AB0y0CD0perpendiculares0entre0sifUn0centro0O0de0simetríaf

e0<0c

aMide0el0grado0de0achatamiento0de0la0elipseU0sus0límites0soní0'0;0e0;0P

e0<0'000c0<0'000circunferenciae0<0P000c0<0a000segmento0FF(

P

M

M(N

N(

X

X(

OA B

C

D

F F(

P

rPr(P

Directricesuyuexcentricidad

O

A

B

F F(

d

P

e0<0PF

Pd

Las0directrices0son0dos0rectas0asociadas0a0los0focos0en0las0que0se0cumple0la0constanteí

La0excentricidad0también0se0puedeexpresar0como0el0cociente0de0los0parámetros0c0y0a

IES0Calderón0de0la0Barca0z0GijónDptoN0de0dibujoApuntes0de0dibujo0técnico0xº0bachillerato CÓNICAS

x=NqNx

Elipse. Circunferencia principal.

OF Fy

La0circunferencia0principal0deuna0elipse0tiene0por0centro0Oy0su0diámetro0es0qa0áeje0mayormN

Es0el0lugar0geométrico0de0lospies0de0las0perpendiculares0a0las0tangentes0trazadas0desde0los0focosN

Nos0permite0trazar0la0elipse0por0envolventesN0

F Fy

O

Elipse. Circunferencias focales.

OF Fy

La0elipse0tiene0dos0circunferencias0focalesN

Sus0centros0son0los0focosN

Su0radio0es0qa0álongitud0del0eje0mayormN

Son0los0lugares0geométricos0de0los0puntossimétricos0de0los0focos0respecto0a0las0tangentesN

Fyx0simétrico0de0Fy

Fx0simétrico0de0F

tangente

Elipse. Rectas directrices.

e0=0excentricidadN0Constante0que0mide0el0grado0de0achatamiento0de0la0elipse;0sus0límites0son:0=0<0e0<0x

e0=0=000circunferencia00000000000000000e0=0x000segmento0FFy

OA

B

F Fy

dy

P

e0=0PF

PD

d

D

Para0cualquiera0de0las0secciones0cónicasg0la0distancia0de0un0punto0fijo0áel0focom0es0proporcional0a0la0distancia0desde0una0línea0fija00llamada0directrizN0Esta0constante0de0proporcionalidad0es0llamada0excentricidadN

La0elipse0tiene0dos0directricesgperpendiculares0al0eje0mayorN

En0la0figura0vemos0las0directrices0d0y0dyg0son0la0intersección0del0plano0en0el0cual0surgela0cónica0áplano0cm0con0los0planos0a0y0bg0perpendiculares0al0eje0del0conog0que0contienen0las0circunferencias0de0tangencia0de0las0esferas de Dandelin0con0la0superficie0cónicaNObserva0los0focos0de0la0elipseg0son0los0puntos0de0tangencia0de0las0esferas0con0el0plano0cN0

Fy

d

dy

Trazado0para0obtener0las0directricesN

F

c

a

b

IES0Calderón0de0la0Barca0,0GijónDptof0de0dibujoApuntes0de0dibujo0técnico0qº0bachillerato CÓNICASv

q3fáfá

Trazadovdevlavelipse.v

OF F:

Esta0construcción0se0basa0en0el0criteriode0lugar0geométricoV0PF0x0PF:0M0AB0M0áaf

Se0toman0puntos0auxiliares0sobre0eleje0mayory0entre0el0centro0y0un0focofA0continuación0se0trazan0arcos0de0circunferencia0FPqy0FPáy0FPv00fff0de0radios0Aqy0Aáy0Av0fff0que0se0cortarán0correlativamente0con0los0arcos0F:Pqy0F:Pá0fffy0radios0Bqy0Báy0ffff

Se0unen0los0puntos0a0mano0alzadaf

Trazadovporvafinidad

Se0trazan0dos0circunferencias0de0centro0Oy0diámetros0la0longitud0d0elos0ejesf

Se0toman0puntos0P:y0Q:y0R:0fff0en0lacircunferencia0mayor0y0se0obtienen0sus0homólogos0Py0Qy0R0fffy0que0son0de0la0elipseyen0la0intersección0de0las0paralelas0a0los0ejesf

Trazadovdadosvdosvdiámetrosvconjugadosv(porvafinidad)

Construcciónvporvpuntos

La afinidad es una transformación geométrica que veremos el próximo curso.

DatosV0de0los0tres0parámetros0ay0by0c0nos0dan0dosf

Dos0diámetros0conjugados0son0aquellos0que0corresponden0a0la0proyección0Pcilíndrica+de0dos0diámetros0de0la0circunferencia0que0se0cortan0perpendicularmentef

Un0diámetro0conjugado0pasa0por0los0puntos0medios0de0las0cuerdas0paralelas0al0otrof

qávA B

Pq

PáPv

Esta0construcción0se0basa0en0laafinidad0entre0circunferencia0y0elipsef

OOA B

C

D

P:

P

TrazadovporvenvolventesvVer0Ocircunferencia0principal0Phoja0q3fq+

X

X:

O

M

M:N

N:

P

PV0punto0medio0de0XX:

OA B

C

DM

M:

N

N:

O

M

M:

N

N:

U3º

M

M:

NU3º

O

N:

Trazamos0una0perpendicular0al0diámetromayor0y0dibujamos0la0semicircunferenciade0diámetro0NN:

Observa0que0la0elipse0sobresale0de0la0circunferencia0NN:

c

a

bFgF

c

aFgF

P

FgF

P

O AgA

B

Bg

IESéCalderónédeélaéBarcaé:éGijónDptoqédeédibujoApuntesédeédibujoétécnicoé(ºébachillerato CÓNICASg

(zq)

Hipérbola LugarégeométricoédeélosépuntosédeléplanoécuyaédiferenciaédeédistanciaséaédosépuntoséfijoséllamadoséfocoséeséconstanteqéElélugaréeséunaécurvaéabiertaéplanaédeédoséramasqTambién:élugarégeométricoédeélosécentrosédeélasécircunferenciasétangenteséaéotraédadaéqueépasanéporéunépuntoéfijoéexterioréaééstaq

PFg-gPFíg=g2a

Focos:ésonélosépuntoséfijoséFéyéFgq

Ejegprincipalgogreal:éAAgéenélaérectaéqueépasaéporéloséfocosq

Ejegsecundariogogimaginario:éBBgéenélaémediatrizédelésegmentoéFFg

Centro:épuntoéOéintersecciónédeélosédoséejesq

Vértices:élosépuntoséAéyéAgésonélosévérticesérealesqLosépuntoséBéyéBgésonélosévérticeséimaginariosq

Radiosgvectores:ésonélosésegmentoséPFéyéPFgéqueévanédesdeéunépuntoédeélaéhipérbolaéaéloséfocosqSuédiferenciaéeséconstanteq

LosépuntoséBéyéBgéseéobtienenéenélaéintersecciónédelejeésecundarioéconélaécircunferenciaédeécentroéAgéyéradioécq

Distanciagfocalém2cy:éeséelésegmentoéFFgé=é2cé

Ejeémayorém2ay:ésegmentoéAAgé=é2aEjeémenorém2by:ésegmentoéBBgé=é2b

Simetrías:élosédoséejesésonéejeédeésimetríaq

c2g=ga2g+gb2

Asíntotas:ésonélasédosérectaséqueépasanéporéelcentroéyéqueétiendenéaéacercarseéaélaécurvaésinéencontrarseénuncaémtangenteséenéeléinfinitoyqSeétrazanéconstruyendoéelétriánguloéOMAgq

Cuandoélaséasíntotaséformanéunéánguloédeé=íºconéeléejeérealélaéhipérbolaéseéllamaéequiláteraq

Elementos de la hipérbola

O Ag

M

b

asíntota

asíntota

IES0Calderón0de0la0Barca0g0GijónDptoF0de0dibujoApuntes0de0dibujo0técnico0=º0bachillerato CÓNICAS

=íFPF=

Hipérbola

ExcentricidadM0mide0la0mayor0o0menor0abertura0de0las0ramas0de0la0curvaF0A0mayor0valor0de0excentricidadL0mayor0aberturaF0(la0curva0se0acerca0a0la0directrizzFA0menor0valorL0la0curva0se0acerca0al0eje0realL0adoptando0una0forma0apuntadaF

La0hipérbola0también0puede0definirse0como0el0lugar0geométrico0de0los0puntos0cuyo0cociente0de0distancias0a0un0punto0fijo0F0llamado0foco0y0a0una0recta0fija0d0llamada0directrizL0es0una0constante0mayor0que0=F0Esa0constante0es0la0excentricidadF0La0hipérbola0tiene0una0directriz0para0cada0focoFLas0directrices0se0obtienen0en0la0intersección0de0las0asíntotas0con0la0circunferencia0principalF

e0<0c0q0a e0<0PF0q0PD00

F,F

PD

d,d

F,F

T

Circunferencia principal

Su0centro0es0O0y0su0diámetro00/aF

O

F,F

Circunferencias focales

Sus0centros0son0los0focos0y0su0radio0/aF

O

Se0denomina0diámetro0real0de0la0hipérbola0a0cualquier0recta0que0pase0por0el0centro0y0corte0a0la0curvaF0(Ver0MNz0Se0denomina0diámetro0imaginario0a0cualquier0recta0que0pase0por0el0centro0y0no0toque0a0la0curvaF0(Ver0RSz0El0sector0correspondiente0a0los0diámetros0imaginarios0está0determinado0por0las0asíntotasF

Diámetros conjugados

El0diámetro0conjugado0RS0de0uno0dado0MN0es0el0lugar0geométrico0de0los0puntos0medios0de0las0cuerdas0paralelas0a0élF0Si0un0diámetro0es0realL0su0conjugado0es0imaginarioL0y0viceversaF

Las0tangentes0a0la0hipérbola0(Ver0t=0y0t/z0en0los0extremos0de0un0diámetro0real0son0paralelas0al0diámetro0conjugado0imaginarioF

La0circunferencia0focal0de0un0foco0es0el0lugar0geométrico0de0los0puntos0simétricos0del0otro0foco0con0respecto0a0cualquier0tangente0a0la0hipérbolaF

Es0el0lugar0geométrico0de0los0pies0de0las0perpendiculares0a0las0tangentes0desde0los0focosFEs0también0el0lugar0geométrico0de0los0puntos0medios0entre0un0foco0y0su0simétrico0respecto0a0la0tangenteF

El0punto0TL0punto0de0contacto0de0una0tangente0con0la0curvaL0está0alineado0con0un0foco0y0el0simétrico0del0otro0con0respecto0a0esa0tangente0(ver0línea0de0puntos0en0el0dibujozF0La0tangente0es0bisectriz0del0ángulo0formado0por0TL0F0y0F=F

t

M

F=simétricode0F

Diámetrost=

t/

M

N

R

S

Directrices y excentricidad

y0también

=0R0e0R0 2

e0<0=00000c0<0a0000000dos0semirrectas

e0<00000000a0<0í0000000mediatriz0de0FF,2

FF=

Py

O AA=

FF=

IESsCalderónsdeslasBarcasfsGijónDptoLsdesdibujoApuntessdesdibujostécnicosyºsbachillerato CÓNICAS

ygLTLí

Hipérbola

PFsfsPF=s=sía

MarcamosspuntossyHsíHsqLLLssobreselsejesprincipalL

HacemosscentrosenselsotrosfocosconsradiosA=yHsA=íHsA=qLLL

HacemosscentrosenselsfocosFstomandoscomoradioslasdistanciasAyHsAíHsAqLLL

LosspuntossdeslasotrasramasdeslascurvassesconsiguenconslasmismasoperaciónHsinvirtiendoslosscentrossFsysF=HosbiensporssimetríaL

Consestesmétodosobtenemossparejassdesradios vectoresHcuyasdiferenciassiempresessconstantesesigualsasíaL

PrimerossituamossunspuntosPsdeslascurvaHobtenidosmedianteselsmétodosanteriorL

Trazado de la hipérbola por puntos

1 2 3

P=y

ObservasquesA=ysfsAys=síaA=ísfsAís=síaLLL

Trazado de la hipérbola por haces proyectivos

TrazamosselsrectángulosARPSL

DividimosslossladossRPsysSPsenselsmismosnúmerodespartessigualesL

LuegostrazamossrectassquesunenselsvérticesAsconslassdivisionessdesRPHsyselsvérticesA=sconslassdivisionessdesSPHsobteniendosenssussinterseccionesspuntosspertenecientessaslascurvaL

LasmitadsinferiorsdesestasramayslasotrasramassespuedensobtenersporssimetríaL

AA=

PR

S

1

2

3

1 2 3

IES0Calderón0de0la0Barca0=0GijónDptoM0de0dibujoApuntes0de0dibujo0técnico0íº0bachillerato CÓNICAS

íáM)

Parábola Lugar0geométrico0de0los0puntos0del0plano0que0equidistan0de0uno0fijo0denominado0foco0y0de0una0recta0denominada0directrizM0Es0una0curva0plana0y0abiertaM

F

directriz

ejeV

PA

PF0=0PA

F eje

Físimétricode0F

M

T

F

d

ejeV

P

d

tv

D

parámetro

t

Cuenta0con0un0eje0de0simetría0EP0perpendicular0a0la0directriz0y0en0el0que0se0encuentra0el0focoM0000El0vértice0V0es0punto0de0intersección0de0la0curva0con0el0ejeM0

La0tangente principal tv0es0paralela0a0la0directrizM0

Por0ser0V0un0punto0de0la0curvaP0equidista0del0foco0y0la0directrizM0VF0=0VD

Parámetro0es0la0mitad0de0la0cuerda0que0pasa0por0el0foco0y0es0paralela0a0la0directrizM

Parámetro0=0distancia0del0foco0a0la0directriz0=0FD0

La0parábola0puede0considerarse0como0una0elipse0cuyo0segundo0foco0está0en0el0infinito0zes0impropiovM

La0directriz0de0la0parábola0equivale0a0la0circunferencia focal del0foco0impropio0zyP0por0tantoP0se0convierte0en0una0rectavM

La0tangente0principal0tvzparalela0a0la0directriz0por0el0vérticev0se0corresponde0con0la0circunferencia principal0de0la0elipseM

La0directriz0zcircunferencia0focal0del0foco0impropiov0es0el0lugar0geométrico0de0los0puntos0simétricos0del0foco0F0con0respecto0a0cualquier0tangente0a0la0parábola0zFí0en0la0figuravM

La0tangente principal tv0es0el0lugar0geométrico0de0los0puntos0zM0en0la0figurav0queP0estando0en0las0tangentesP0son0los0intermedios0entre0un0foco0y0su0simétrico0con0respecto0a0cualquier0tangente0a0la0parábolaP0es0decirP0es0el0lugar0geométrico0de0los0pies0de0las0perpendiculares0a0las0tangentes0desde0el0focoM

El0punto0TP0punto0de0contacto0de0una0tangente0con0una0parábolaP0está0alineado0con0un0foco0zel0impropiovzver0línea0de0puntos0en0la0figuravM0y0el0simétrico0del0otro0con0respecto0a0esa0tangenteM0La0tangente0en0T0es0bisectriz0del0ángulo0formado0por0TP0F0y0FíM

Cualquier0punto0de0la0curva0equidista0del0foco0y0de0la0directrizM

Los0radios vectores0PF0y0PA0unen0cualquier0punto0P0de0la0curva0con0el0foco0F0y0perpendicularmente0con0la0directriz0dM

Fy0zimpropiov

tv

IES0Calderón0de0la0Barca0v0GijónDptom0de0dibujoApuntes0de0dibujo0técnico0(º0bachillerato CÓNICAS

(,mím(

Excentricidad en la parábola

F

d

eje

V

FT

dT

e0=0c0P0a c0=0FV a0=0VD e0=0(FV0=0VD

F

d

eje

V

TT

La0parábola0es0la0única0cónica0cuya0excentricidad0es0invariablem0Siempre0vale0(m

Por0tantox0todas las parábolas son semejantes0Ltienen0la0misma0formaámA0simple0vistax0no0parece0asím0La0razón0de0esto0es0la0diferencia0de0escala0yPo0que0estamos0viendo0una0porción0de0la0curvam

Observa0la0parábola0grande0de0la0izquierda0c(0y0la0de0la0derecha0cfm0Son0la0mismax0pero0vemos0sólo0un0fragmento0de0cf

A0la0izquierdax0c(0y0c)0son0homotéticas0con0centro0de0homotecia0en0Vm0La0diferencia0de0escala0nos0hace0verlas0diferentesx0pero0lo0cierto0es0que0su0forma0es0igual30son0semejantesmObserva0como0las0tangentes0son0paralelasm

T

t

tT

c(

c)

cf

D

IES0Calderón0de0la0Barca0y0GijónDptoq0de0dibujoApuntes0de0dibujo0técnico0Nº0bachillerato CÓNICAS

Nñq)q:

Trazado de la parábola

Trazado por puntos

F

directriz

V

F eje

F

d

V

P

dLa0tangente0principal0tv0es0el0lugar00geométrico0de0los0pies0de0las0perpendiculares0a0las0tangentes0desde0el0focoq

Sabiendo0esto,0basta0trazar0varios0segmentos0desde0el0focoy0donde0encuentran0a0la0tangente0principal,trazar0sus0perpendicularesq0De0esta0manera0dibujamosmuchas0tangentes0que0acaban0mostrando0la0curvaq

Este0método0se0basa0en0la0propiedad0fundamental0de0quecada0punto0de0la0curva0equidista0del0foco0y0de0la0directrizq

Marcamos0divisiones0en0el0ejeq0Conviene0que0sean0de0igualtamaño0o0muy0parecido0para0obtener0puntos0distribuidosuniformementeqNumeramos0las0divisionesq

Por0cada0división0trazamos0rectas0perpendiculares0al0ejeq

Con0centro0en0el0foco,0trazamos0arcos0de0radio0la0distancia0entre0cada0división0y0la0directrizq

Ejemplo:0Con0centro0en0el0foco0y0distancia0Nd,0trazamos0arcosque0cortan0a0la0perpendicular0del0punto0Nq

tv

1 2 3 4

eje

Trazado por rectas o haces proyectivos

1

2

3

4

1 2 3 4

eje

Primero0obtenemos0un0punto0P0gbastante0alejado0del0ejevpor0el0método0anteriorq

Construimos0el0rectángulo0VMPN0y0lo0dividimos0horizontaly0verticalmente0en0el0mismo0número0de0partes0igualesqTrazamos0rectas0horizontales0por0las0divisiones0verticalesqTrazamos0rectas0que0unen0el0vértice0V0con0las0divisiones0horizontalesq0Estas0rectas0intersectan0a0las0horizontalesen0puntos0de0la0curvaqLa0otra0mitad0de0la0curva0se0puede0obtener0por0el0mismométodo0o0aplicando0simetríaq0

Trazado por tangentes envolventes

V

M

N

IES0Calderón0de0la0Barca0v0GijónDptof0de0dibujoApuntes0de0dibujo0técnico0zº0bachillerato CURVAS CÓNICAS

záfO

Algunas aplicaciones de las cónicas

Jf0Lf0Synge09zÓíNvzííO7

Horno0solarf0Paraboloide0de0revoluciónfLos0rayos0solares0se0concentran0en0el0focofSimilar0a0una0antena0parabólicaf

Parábola0de0seguridadf0Envuelve0a0todaslas0posibles0parábolas0lanzadas0desde0unpunto09para0proyectiles0con0igual0empuje7f

La0trayectoria0de0un0proyectil09no0autopropulsado7Ppor0ejemplo0una0bala0o0una0flechaP0es0siempre0una0parábolaPdesde0el0mismo0instante0que0sale0del0cañónf

Sistema0LORAN09Long0Range0Navigation7La0ubicación0de0todos0los0puntos0en0los0que0las0señales0de0las0dos0estaciones0están0separadas0un0determinado0intervalo0de0tiempo0se0puede0representar0mediante0una0hipérbolaP0cuyos0focos0se0encuentran0en0ambas0estaciones0emisorasf0

Órbitas0elípticas0de0los0planetas0con0diferente0excentricidadf

F09Sol7

Planeta

distancia0x

distancia0y

Elhplanetahcubrehlahdistanciahx

yhlahdistanciahyhenhelhmismohtiempo.

Lasháreashxhehyhsonhiguales.

Elhplanetahsehmuevehmáshrápido

cuandohestáhmáshpróximohalhsol

área0x

área0y

Segunda ley de Kepler

Perihelio Afelio

Ademáshdehlashrectas,hcírculos,hplanoshyhesferashquehconocehcualquierhestudiantehdehEuclides,h

loshgriegoshsabíanhlashpropiedadeshdehlashcurvashquehsehobtienenhalhcortarhunhconohconhunhplano:h

lahelipse,hlahparábolahyhlahhipérbola.hKeplerhdescubrióhalhanalizarhsushobservacioneshastronómicash

-yhNewtonhlohdemostróhmatemáticamentehsobrehlahbasehdehlahleyhuniversalhdehlahgravitación-hqueh

loshplanetashdescribenhelipses.hAsíhsehhizohdehlahgeometríahdehlahGreciahantiguahpiedrahangularhdehlah

astronomíahmoderna.h