demostraciones de las fórmulas de física l (ingeniería)

8/19/2019 Demostraciones de las Fórmulas de Física l (Ingeniería)

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DEMOSTRACIONES DE LASFÓRMULAS DE FÍSICA I

(INGENIERÍA)


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FÍSIC I DEMOSTRACIONES ............................................................................................................................................................. 3

Demostración de la Ecuación Complementaria del M.R.U.V. ................................................................................................... 3 Demostración de la ecuación para la trayectoria ............................................................................................................ 3 Demostración de la ecuación de alcance.................................................................................................................................. 3 Movimiento Circular Uniformemente Acelerado ..................................................................................................................... 4 Movimiento Relativo ................................................................................................................................................................ 4 Dinámica ................................................................................................................................................................................... 5

Fuerza de rozamiento ............................................................................................................................................................... 6 Deducción de Potencia ............................................................................................................................................................. 6 Deducción del teorema de trabajo y energía ........................................................................................................................... 6 Trabajo realizado de la fuerza elástica ..................................................................................................................................... 7 Deducción del movimiento del centro de masa de un sistema de partículas .......................................................................... 8 Choques .................................................................................................................................................................................... 8 Deducción de la cantidad de movimiento lineal ....................................................................................................................... 9 Deducción de impulso .............................................................................................................................................................. 9 Deducción de la cantidad de movimiento angular ................................................................................................................... 9 Deducción de la energía cinética de rotación y momento de inercia ................... ...................... ...................... ..................... . 10 Deducción de la relación 0 0 · .................................................................................................................................... 10 Deducción del Teorema de Steiner o Ejes Paralelos ............................................................................................................... 11 Deducción de

0 0 × .................................................................................................................................................... 11

Leyes de Kepler ....................................................................................................................................................................... 12 Movimiento Oscilatorio Simple .............................................................................................................................................. 12 Deducción de la energía en un Movimiento Armónico Simple .............................................................................................. 13 Deducción Péndulo Simple ..................................................................................................................................................... 14 Deducción Péndulo Físico ....................................................................................................................................................... 14 Deducción de la variación de presión de un fluido en reposo ................................................................................................ 15 Deducción de la ecuación de continuidad .............................................................................................................................. 15 Deducción del Teorema de Bernoulli ..................................................................................................................................... 16

FÓRMULAS ....................................................................................................................................................................... 17

Péndulo Simple ....................................................................................................................................................................... 18 Péndulo Físico ......................................................................................................................................................................... 18

Ondas Mecánicas .................................................................................................................................................................... 18 Gravitación ............................................................................................................................................................................. 19


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Demostraciones

Demostración de la Ecuación Complementaria del M.R.U.V.

( ) 1

2 ( ) Ecuación horaria de la posición en función del tiempo

( ) De la ecuación horaria de la velocidad en función deltiempo se despeja la diferencia de tiempo 12

Para un cierto

[ 12 ] Sacando factor común

2

[2

2 ]

12 ( )( ) Por diferencia de cuadrados 12 ( )

2 Queda demostrada la Ecuación Complementaria delM.R.U.V.Demostración de la ecuación para la trayectoria

cos Ecuación horaria de la posición en el eje

en función

del tiempo cos Para un cierto sin 12 Ecuación horaria de la posición en el eje en funcióndel tiempo

sin cos 12 cos

Para un cierto sincos

2 cos

tan cos Queda demostrada la ecuación Demostración de la ecuación de alcance

cos Ecuación horaria de la posición en el eje en funcióndel tiempo sin 12 Ecuación horaria de la posición en el eje en funcióndel tiempo

0 sin 1

2 () 0

0 [ sin 12 ] 0 2 sin 2 Soluciones posibles 0 ó

+ − 0, siendo la primera ecuación sin sentido


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2 sin cos 2 sin Reemplazando en la ecuación horaria del eje con()

sin2 9,8

sin2 Queda demostrada la ecuación del alcance máximo

Movimiento Circular Uniformemente Acelerado

; −; − ⟹ ; ; −

∡

; [

] ; −

;

|| 2 · · · · · 12 · · 2

Lineal Angular

[ ] ; ; − aceleración tangencial −; Movimiento Relativo

Se considera un sistema de referencia “O” fijo en tierra y otro “O’” que se encuentra en movimientorespecto al primero


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Según el gráfico, ⃗ (desplazamiento según “O” ), es la suma vectorial de ′ con · ⃗ ′

Derivando con respecto al tiempo

⃗ ′

⃗ ′ Donde: ⃗: velocidad absoluta (velocidad instantánea de la partícula medida según “S” ′ : velocidad relativa (velocidad instantánea de la partícula medida según “S’” : velocidad de arrastre Dinámica

Primera Ley de Newton

Todo cuerpo persevera en su estado de reposo o movimiento uniforme y rectilíneo a no ser que sea

obligado a cambiar su estado por fuerzas impresas sobre él.

⃗ { 0 No cambia de estado≠ 0 Cambia de estado Segunda Ley de Newton

El cambio de movimiento es directamente proporcional a la fuerza motriz impresa y ocurre según la

línea recta a lo largo de la cual aquella fuerza se imprime.

⃗ ·⃗ Tercera Ley de Newton

Con toda acción ocurre siempre una reacción igual y contraria: quiere decir que las acciones mutuas de

dos cuerpos siempre son iguales y dirigidas en sentido opuesto.

′


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Fuerza de rozamiento

. . c o s á ta n

á √ á . . √ ..tan

Fuerza Conservativa FC) Fuerza No Conservativa FNC)

Cinética Normal

Elástica Rozamiento

Gravitatoria

Peso

Deducción de Potencia

Sabiendo que:

⃗ × ⃗ ó

· · c o s

El trabajo ejercido al transcurrir un determinado tiempo es:

· · c o s Sabiendo que:

· · c o s Deducción del teorema de trabajo y energía

∫


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∫ · Sabiendo que · ∫ · Donde ∫ · Donde

∫ ·

Como es constante · ∫

· 2

2

2 2 Trabajo realizado de la fuerza elástica

Tomando intervalos de espacio muy pequeños, se puede hacer una aproximación bastante exacta delárea debajo de la curva, que representa el trabajo total

∫ ⃗

∫ ·

· ∫

Como es una constante

·

2

· ( )2 · 2


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Deducción del movimiento del centro de masa de un sistema de partículas

∑( · )∑ ∑( · )∑ Derivando con respecto al tiempo

∑ · ()∑ ∑( · )∑

∑( · )∑ Derivando con respecto al tiempo

∑ ·

()

∑ ∑( · )∑ · Por la segunda Ley de Newton

· De todas las fuerzas, las internas pueden

despreciarse porque (por la tercera Ley deNewton) las fuerzas internas interactúan de apares con igual módulo y dirección pero con

sentido opuesto. Por lo tanto se anulan.

Choques

Choque elástico: colisión entre dos o más cuerpos en la que éstos no sufren deformacionespermanentes durante el impacto. En una colisión elástica se conservan tanto el momento lineal comola energía cinética del sistema, y no hay intercambio de masa entre los cuerpos, que se separandespués del choque.

Un choque inelástico es un tipo de choque en el que la energía cinética no se conserva. Comoconsecuencia, los cuerpos que colisionan pueden sufrir deformaciones y aumento de su temperatura.

El coeficiente de restitución (en realidad, cociente) es una medida del grado de conservación de laenergía cinética en un choque entre partículas clásicas.

Colisiones →á: 0 ⟹ →á: ≠ 0→ á:

′ ′ 0⏟á ≤ ≤ 1⏟Eá

∑( · )∑ ∑( · )∑


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Deducción de la cantidad de movimiento lineal

· ( · )

∑ y Porque es un cuerpo rígido

·

( · ) · Por la segunda y tercera Ley de Newton∑ · 0 Si ∑ 0 0

Deducción de impulso

∫

∫

∫

∫

⃗ · · · · Deducción de la cantidad de movimiento angular

Relación entre el momento resultante de las fuerzas exteriores con la tasa de cambio del momentocinético a través del tiempo


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× ×

=

∑ × = Derivando con respecto al tiempo

× = × = ×

= ×

=

Como ∥ , entonces × 0

=

Por la tercera Ley de Newton las fuerzasinternas se anulan entre sí

×

=

=

Deducción de la energía cinética de rotación y momento de inercia

· 2 Energía cinética de translación de una partícula · · 2 Sabiendo que ·

· ∑ · 2 Para un cuerpo rígido formado por variaspartículas

·

2 · Deducción de la relación ·

×

=

× ( · )

= × ( · )

=

Se descompone ⃗ en (velocidad tangencial) y (velocidad radial)

× ( · )= Como ∥ ⃗ , ⃗ × 0 × · ( × )

=

Como ⃗⃗ × · · ‖ ‖

=

×

· ‖ ‖

=


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Deducción del Teorema de Steiner o Ejes Paralelos

·

=

√ · =

Si el centro de masaes el origen decoordenadas

·

= Si el punto ;

· 2 2

=

·

= 2 ·

= ∗ 2 ·

= ∗

= * Son cero porque se

toma como centrode masas al origen

Deducción de × ⃗

×

=

× = ×

=

×

=

Se descompone ⃗ en (fuerza tangencial) y (fuerza radial)

×

= Como ∥ ⃗ , ⃗ × 0

× ·

= Como

⃗⃗ × ⃗

× · ( × ⃗)=


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⃗ · · ‖ ‖

=

· ⃗ · ‖ ‖

=

Leyes de Kepler

Primera ley (1609): "Todos los planetas se desplazan alrededor del Sol describiendo órbitas elípticas.El Sol se encuentra en uno de los focos de la elipse".

Segunda ley (1609): "El radio vector que une un planeta y el Sol barre áreas iguales en tiemposiguales".

La ley de las áreas es equivalente a la constancia del momento angular, es decir, cuando el planetaestá más alejado del Sol (afelio) su velocidad es menor que cuando está más cercano al Sol(perihelio). En el afelio y en el perihelio, el momento angular

es el producto de la masa del planeta,

su velocidad y su distancia al centro del Sol. · · · · Tercera ley (1618): "Para cualquier planeta, el cuadrado de su período orbital es directamente

proporcional al cubo de la longitud del semieje mayor de su órbita elíptica".

3 constante Donde, es el periodo orbital (tiempo que tarda en dar una vuelta alrededor del Sol), la distanciamedia del planeta con el Sol y la constante de proporcionalidad.Estas leyes se aplican a otros cuerpos astronómicos que se encuentran en mutua influenciagravitatoria, como el sistema formado por la Tierra y la Luna.

3 4

· Donde, es el periodo orbital, el semieje mayor de la órbita, es la masa del cuerpo central y una constante denominada Constante de gravitación universal cuyo valor marca la intensidad de lainteracción gravitatoria y el sistema de unidades a utilizar para las otras variables de esta expresión.

Movimiento Oscilatorio Simple

· s i n ′ · · c o s ′′ · ·sin ·

· · · ·

·

·


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2 2

2

1 12 Deducción de la energía en un Movimiento Armónico Simple

· 2

· · sin

2 · s i n · ·sin 2 · 2 · · c o s

· · · cos 2 · · ·cos

2

· · ·cos 2

· · ·cos 2

· · c o s 2 ≥ 0 · ·sin 2 · · c o s 2 · · sin cos 2 sin cos 1

· 2


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Deducción Péndulo Simple

Se descompone el peso en una componente radial causante de la aceleración centrípeta y unacomponente tangencial, clasificada como fuerza restauradora.

· · s i n Como son amplitudes muy chicas

s i n ≈

· · · · · · · ·

· · · ·

2 · · 2

Deducción Péndulo Físico

×

× × Se descompone

en

(tangencial) y

(radial)

× Como ∥ , × 0 · · · s i n · · · Como son amplitudes muy chicas s i n ≈

· ′′ · · · · ′′ · · · sin · · · · sin · s i n ′′ · ·sin

· · ·

· ·


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2 · · 2 Deducción de la variación de presión de un fluido en reposo

Suponemos un cuerpo sumergido en un fluido en reposo. El elemento tiene una altura , las superficieinferior y superior tiene un área

. Sabiendo que el volumen del elemento es

· · · · Como el fluido está en reposo: · · 0 Segunda Ley de Newton

· · · · · 0 · · 0 Dividiendo por el área

· · · ·

Deducción de la ecuación de continuidad

La masa total es constante · · · · · · · · · · Al ser un fluido incompresible · ·

· (caudal)


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Deducción del Teorema de Bernoulli

· · El trabajo de la fuerza depresión en 1 · · El trabajo de la fuerza depresión en 2

· · El trabajo efectuado por elsistema para elevar el fluido · · · · · ·

· · · · ·

· · · 2 · ·

2 · · 2 · ·

2 · · · · · · ·

2 ·

2 · ·

· · · 2 · · · 2


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Fórmulas

·sin2 ; −;

− > ; ; − . . . c o s

Colisiones →á: 0 ⟹ →á: ≠ 0→ á:

′ ′ 0⏟á ≤ ≤ 1⏟Eá

∑( · )∑ ∑( · )∑

⃗×⃗ · }

⃗ · · · · × · · ·

×

· ⃗ · s i n ′ · · c o s ′′ · ·sin ·

2

1


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2 12 ·

2

Péndulo Simple

· · 2

Péndulo Físico

· · · · · 2 · ·

· · · 2 · · · 2 Ondas Mecánicas

· s i n · 2

; · s i n · ·

; · s i n · ·

2 · · s i n · ·cos ·

ó · 2 ·

2

Número de Onda

2 Frecuencia Angular Posición del nodo · 2


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2 · ·

+

Gravitación

· · ℎ · ·

√ 2 · ·

·

é ó · 3 4

·

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