Demostración del enunciado de Playfair análogo al quinto postulado de Euclides

Rodolfo A. Nieves Rivas

Fundación Integral para el Desarrollo Comunitario (F.I.D.E.C.)

San Carlos, Cojedes 2203 Venezuela

fesol7luzley@gmail.com

Resumen: En este artículo se presenta un axioma y su aplicación en un ejemplo de

construcción geométrica que permite establecer la relación entre un enunciado atribuido a

Proclo, actualmente conocido como axioma de Playfair y su analogía con el quinto

postulado de Euclides. Se concluye con la propuesta de incorporación de este axioma

dentro de la estructura axiomática de la geometría de Euclides.

Palabras Clave: Axioma, Postulado, Estructura Axiomática.

Proof of the statement of Playfair analogous to the Euclid’s fifth postulate

Abstract: We present in this article an axiom and its application on an example of

geometric construction analogous that allows a relation between a statement attributed to

Proclus, now known as Playfair’s axiom and its analogy to the Euclid’s fifth postulate. We

conclude with a proposal for including this axiom on the axiomatic structure of the Euclid

geometry.

Key words: Axiom, postulate, axiomatic structure.

INTRODUCCIÓN

Dentro de la estructura axiomática en los elementos de Euclides el concepto o definición

que ha intrigado a todo aquel que ha tenido acceso a este tratado es lo referente al quinto

postulado de Euclides y sus intentos por demostrar nos conducen hacia resultados difusos y

problemas conceptuales a tal grado que se pierde la esencia y objetividad de tan majestuosa

obra.

Es por ello que humildemente se propone la incorporación de un axioma el cual despejará

todas las dudas generadas al intentar demostrar dicho postulado o axioma según algunos

autores.

Este breve artículo tiene como objetivo presentar un axioma preservando la consistencia

interna de la estructura axiomática y se considera al quinto postulado como un teorema

fundamental dentro de esta estructura.

Para el logro del objetivo se expondrá el desarrollo de la siguiente forma:

a) Marco teórico.

b) Bases teóricas

c) Planteamiento del problema y propuesta.

d) Construcción geométrica. (Figura 1)

e) Objetivo y demostración.

f) Análisis descriptivo de resultados.(Figura 2)

g) Discusión.(Figuras: 3, 4, 5 y 6)

h) Conclusión y recomendación.

MARCO TEÓRICO

Quinto Postulado de Euclides:

Y que si una recta (secante) al incidir sobre dos rectas hace los ángulos internos del mismo

lado, menores a dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontrarán en el

lado en el que están los (ángulos) menores a dos rectos.

Enunciado de Proclo o axioma de Playfair análogo al postulado de Euclides:

Por un punto exterior a una recta; solo pasa una y nada más que una recta paralela a esta.

BASES TEÓRICAS

Axioma: 1 El cociente de una suma es igual a la suma de los cocientes.

Teorema: 1 El ángulo inscrito sobre la circunferencia es igual a la mitad del ángulo

central determinado por la misma cuerda.

Corolario: 1 El ángulo inscrito periférico en una semicircunferencia es recto.

Corolario: 2 Las Cuerdas que determinan ángulos centrales suplementarios.

Son perpendiculares.

Corolario: 3 La bisectriz de cualquier ángulo central. Es perpendicular a la cuerda que lo

determina.

Corolario: 4 Las bisectrices de dos ángulos centrales suplementarios. Son perpendiculares.

Corolario: 5 La bisectriz de cualquier ángulo central. Es paralela a la cuerda de su ángulo

suplementario correspondiente.

Planteamiento del problema:

Demuestre que: “Si: La bisectriz de cualquier ángulo es única.

Entonces: Por un punto exterior a una recta dada, pasa una recta paralela

Y solo una”.

Propuesta:

Axioma: La bisectriz de cualquier ángulo es única.

Construcción geométrica de la figura: 1

1a) Dada la recta: r

1b) Siendo el punto: C exterior a la recta: r

c) Centre el compas en el punto exterior: C y con abertura arbitraria: CD

1construya una circunferencia de radio: CD y determine el punto: E en la recta: r

d) Se unen los puntos: E con el punto: C y luego se prolonga el segmento de recta: DC o radio

para determinar el punto: F en la circunferencia.

Siendo: DC=CF=CE y ademas: CDE = DEC y de esta forma se comprueba que:

CDE + DEC = ECF

1

e) Luego se traza la bisectriz: CG del angulo: ECF

Siendo CG r (Por el corolario 5)

Figura 1

OBJETIVO Y DEMOSTRACIÓN

ANÁLISIS DE RESULTADOS

Figura 2

En la figura 2 se puede observar el cumplimiento de la base teórica utilizada de la siguiente

forma; cuando se unen los puntos: E con el punto: F se obtiene la cuerda: EF del

ángulo:∡FCE siendo: EF ⊥ ED (por los corolarios 1 y 2) y cuando se construye la bisectriz:

CH del ángulo:∡DCE siendo: CH ⊥ DE (por el corolario 3)y además se observa que: CH ∥ EF (por el corolario 5) Y se comprueba que el ángulo: ∡CDE es la mitad del ángulo: ∡FCE

(por el teorema 1) De igual forma queda comprobado que: ∡CDE = ∡DEC =∡FCG =

∡GCE ( con el axioma 1) dado que:

∡ACF/2 = dos rectos/2 = ∡DCE/2 = ∡ECF/2 = ∡HCE/2 + ∡ECG

(Por los corolarios 1; 2; 3; 4 y 5)

Y con todo lo anterior queda demostrado el objetivo al comprobarse que: CH ∥DE (con el

corolario 5) dado que: DE ∈ r1 Y además: CG ∈ r2 siendo: r2 la bisectriz única por el axioma

propuesto.

DISCUSIÓN

Cabe destacar que los resultados obtenidos y su análisis nos conducen a tener en

consideracion el siguiente teorema equivalente a los primeros cuatros postulados y su

conjugación, dado que es fundamental y clave para la comprensión y justificación del

axioma propuesto en este artículo.

Teorema principal:

Desde cualquier punto exterior: C a una recta dada: AB se puede construir una

circunferencia que determine dos puntos: D y E en esta recta y que son además

equidistantes a este punto exterior: C. ( )CD CE

Figura 3

Corolario: La intersección de una recta secante: AB y una circunferencia determina dos

puntos: D y E equidistantes al centro: C de esta circunferencia.

Escolio: Todos los puntos pertenecientes a una circunferencia son equidistantes a su centro.

Corolario: la intersección de una recta secante: AB y una circunferencia determina una

cuerda: DE en esta circunferencia.

Escolio: Y esta cuerda determina un angulo central cuyo vértice es el punto central de la

circunferencia.

Corolario: Todo ángulo central: DCEmenor a dos rectos determina un triángulo

isósceles: DCE cuya base es la cuerda: DE que determina en la circunferencia.

Figura 4

Corolario: Todo triangulo isósceles: DCE tiene dos lados iguales: DC CE y dos

ángulos iguales: CDE CED

Escolio: Y los dos ángulos iguales de cualquier triangulo isósceles, siempre son agudos.

Corolario: El ángulo exterior: ECF del ángulo opuesto: DCEa la base: DE de

cualquier triangulo isósceles: DCE es igual a la suma de sus dos ángulos iguales.

ECF CDE CED

Corolario: Todo ángulo exterior: CEB a el ángulo: CEDque determina la altura

relativa a la base de cualquier triangulo isósceles: DCE es igual a la suma del ángulo que

determina la altura relativa a la base más el ángulo que determina la base.

CDE DCE CEB

He de resaltar que la mejor demostración del quinto postulado tendría que ser presentado

con las siguientes características:

Proposición: 39

Figura 5

:Si ACB ADB AEB

1:  ;   ;Cuando C D E R

2: ;Y A B R

1 2:Entonces R R

. :      Y Si AC B ADB AEB

1 2:Entonces R R

1 2: ; . . .Entonces R R convergenen sentido AB

1 2: ; . . .Y R R divergenen sentido BA

    .( . )CF DG EH Las alturas

Figura 6

Teorema:

Si por dos vértices: P; Q de dos ángulos opuestos a una base común: AB perteneciente a

una recta dada: r1 pasa otra recta: r2.

Entonces: Las rectas: r1 y r2 son:

Paralelas en sentido:

AB . . . :Si y solo si APB AQB

Convergen en sentido:

AB . . . :Si y solo si APB AQB

Divergen en sentido:

AB . . . :Si y solo si AQB APB

CONCLUSIÓN Y RECOMENDACIONES

Una vez presentados los resultados obtenidos en esta investigación es necesario reconocer

que la demostración del quinto postulado de Euclides no está expuesta en este artículo dado

que la misma requiere de tener en consideracion la restructuración y reforma axiomática en

general o la enmienda puntual a través de la incorporación de algunos axiomas dentro de su

estructura axiomática tales como:

a) Axioma: Todo triángulo contiene al menos dos ángulos agudos.

b) Axioma: Ningún triángulo contiene dos ángulos que sumen dos rectos.

c) Criterio: Las condiciones necesarias y suficientes para que el quinto postulado de

Euclides sea cierto es que: La diferencia de los ángulos alternos internos sea menor

que cero para que la suma de los ángulos internos sea menor a dos rectos. Y de esta

forma: Si una secante corta a dos rectas formando a un lado ángulos interiores cuya

suma es menor que dos rectos; entonces estas dos rectas al ser prolongadas

convergen en ese mismo lado formando un trilátero.

Y es por todo lo anterior que se propone ante la comunidad científica la incorporación del

axioma presentado en este artículo y de esta forma poder tratar estos temas que durante

tanto tiempo han intrigado a quienes pretenden desentrañar su misterio.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Coxeter, H.S.M (1971): Fundamentos de Geometría. México: Limusa - Wiley, S.A.

Joyce, D. (1996). Euclid’s elements. Recuperado el 15 de Febrero de 2012, de

http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/bookI.html

Ramírez, G., Ana, I. y Sienra, L., Guillermo. (2000): Invitación a las Geometrías no

Euclidianas. México: © Coordinación de Servicios Editoriales. Facultad de Ciencias,

UNAM.