5/11/2018 Demostraci n de que 2 equivale a 1 y otros - slidepdf.com

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Demostración de que 2 equivale a 1Sean a y b dos cantidades iguales. Se sigue que:

a = b

a² = ab

a² - b² = ab - b²

(a - b)(a + b) = b(a - b)a + b = b

b + b = b

2b = b

2 = 1lqqd  La falacia se encuentra en la línea 5: el paso de la línea 4 a la 5 implica una división por a-b, que es cero 

ya que a equivale a b (por la suposición). Como la división por cero no está definida, la demostración no

es válida.

Otra demostración de que 2 equivale a 1

  Por definición de la multiplicación, se tiene que, para x ≠ 0,

 x = 1 + 1 + ... + 1 ( x términos)

  Multiplicando ambos lados por x,

 x2

= x + x + ... + x ( x términos)

  Derivando con respecto a x,

2 x = 1 + 1 + ... + 1 ( x términos)

  Ahora bien, volviendo a la primera línea, se ve que el lado derecho de esa igualdad es  x, y por lo

tanto,

2 x = x 

  Dividiendo ambos lados por x (lo cual es posible, pues x ≠ 0), se tiene

2 = 1

lqqd  

El error: en la primera línea de la supuesta demostración se asumió que  x era entero; dicha expresión notiene sentido para números no enteros. Por otro lado, para derivar funciones hace falta un dominio

continuo como los reales, no los enteros; para cada x entero se tiene una ecuación correcta, pero para

derivar ambos lados hace falta una ecuación de funciones, no de enteros, y la función  x + x +... + x "con x

términos" no tiene sentido en general (¿cómo se pueden tener  x términos?), con lo cual no es derivable.

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Demostración de que 4 equivale a 2

4 = 4

Restamos a ambos lados de la ecuación4 - 4 = 4 -4

En un lado factorizamos usando la "suma por su diferencia" y en el otro lado se factoriza por 2

(2 - 2) * (2 + 2) = 2 (2 - 2)Cancelamos los términos iguales a cada lado de la ecuación (2 - 2)

(2 + 2) = 2

Nos queda como resultado4 = 2

lqqd  

La falacia se encuentra en el paso de la línea 3 a la 4, ya que implica una división por (2 - 2), que es cero.Como la división por cero no está definida, la demostración no es válida.

Demostración de que 1 equivale a −1 

Comenzamos con

Ahora, los convertimos en fracciones 

Aplicando la raíz cuadrada en ambos lados obtenemos

Que equivale a

Pero ya que (ver número imaginario), podemos sustituirlo, obteniendo

Reordenando la ecuación para eliminar las fracciones, obtenemos

Y ya que i2 = − 1 tenemos como resultado

lqqd  

Esta demostración no es válida, ya que aplica mal el siguiente principio de las raíces cuadradas:

Este principio sólo es correcto cuando tanto x como y son números positivos. En la "demostración"

anterior, una de estas dos variables es un número negativo, lo que invalida toda la demostración.

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Demostración de que 1 es menor que 0

Supongamos que x < 1

Ahora tomamos el logaritmo en ambos lados de la desigualdad. Podemos hacerlo siempre que x > 0,

porque los logaritmos crecen monótonamente. Si tenemos en cuenta que el logaritmo de 1 es 0,

obtendremos

ln x < 0Dividir por ln x da como resultado

1 < 0

lqqd  

El error se encuentra en el último paso, la división. Este paso es erróneo porque el número por el que

estamos dividiendo es negativo, lo que a su vez es porque el argumento del logaritmo es menor que 1, pornuestra suposición original. Una multiplicación o división por un número negativo invierte el símbolo de

desigualdad. En otras palabras, deberíamos obtener 1 > 0, lo que es, por cierto, correcto.

Demostración de que “a”  equivale a “b”  Comenzamos con

a - b = c

Elevamos al cuadrado ambos lados

a² - 2ab + b² = c²Como (a - b)(c) = c² = ac - bc, podemos reescribirlo como

a² - 2ab + b² = ac - bc

Si lo reordenamos, obtenemos

a² - ab - ac = ab - b² - bc

Factorizamos ambos miembros

a(a - b - c) = b(a - b - c)

Dividimos ambos miembros por (a - b -c)

a(a - b - c) = b(a - b - c)

Al final

a = b

lqqd  

El truco está en que si a - b = c, entonces a - b - c = 0, por lo que hemos realizado una división por cero, l

que invalida la demostración.

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Demostración de que 0 equivale a 1

Lo siguiente es una "demostración" de que 0 es igual a 1

0 = 0 + 0 + 0 + ...

= (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + ... 

= 1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + ...  (ley asociativa) 

= 1 + 0 + 0 + 0 + ...

= 1

lqqd  

El error se encuentra en que la ley asociativa no se puede aplicar libremente a sumas infinitas a menos qu

sean absolutamente convergentes. De hecho, es posible demostrar que en cualquier campo, 0 no es igual a1.

Demostración de que 0,999...(periódico) equivale a 1

Se tiene 1

de 1 se obtienen 3 partes:

si 1 dividido en 3 es 0,333...(periódico) entonces: 0,333... + 0,333... + 0,333... = 1siendo también 0,333... + 0,333... + 0,333... = 0,999...

En realidad esta afirmación es cierta, aunque la demostración sea errónea:

Tomemos x=0,999....

10x = 9,999....10*x - x = 9

Es decir, que

9*x = 9

de donde se deduce que

x = 1l