del controlador diseño en s diseño en z (fácil) (complicado)...atacaremos el problema de diseñar...

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 4 - pág. 4-1

4. Realización de controladores discretos.

4.1. Métodos para el diseño de controladores discretos.

Atacaremos el problema de diseñar un controlador discreto para una planta continua G(s),

analizando los resultados que pueden obtenerse para cada tipo de solución propuesta.

4.1.1. Diseño simplificado en el plano s.

El método de diseño simplificado en s pone en práctica el siguiente esquema conceptual

Dominio de tiempo continuo

Diseño en s (fácil) –

( )G s

Dominio de tiempo discreto Diseño en z (complicado) –

( )K s

( )G s

2 1

1

( ) ( ) zs

T z

K z K s

Transformación z del controlador

( )HG G z

( )K z ( )HG G z

Fig. 4.1. Método de diseño simplificado en s.

La idea básica consiste en suponer que, si se elige una frecuencia de muestreo suficientemente

elevada, se puede diseñar el controlador como si el sistema fuera continuo con las técnicas

conocidas en el plano s, para luego transladarlo al dominio discreto por medio de una

trasformación aproximada (por ejemplo la fórmula de Tustin).

Desde luego, que al olvidar la influencia de los dispositivos de muestreo y retención, se

cometerán errores cuya importancia será tanto mayor cuanto más elevado sea el período de

muestreo elegido. En general se deberá elegir un período de muestreo que sea claramente menor

que la más pequeña constante de tiempo (Tmin) de la planta que se tenga en cuenta en el diseño

del controlador, por ejemplo T = Tmin /10.

Analizaremos el empleo de este método tomando como estructura genérica de diseño al

controlador PID en su forma paralela, con y sin constante de tiempo parásita en el derivador:

1

1( ) 1 (forma ideal)P D

I

K s K T sT s

(4.1)


2

1( ) 1 (forma con retardo)

1

DP

I D

T sK s K

T s T s

. (4.2)

Dimensionado el controlador PID en el dominio continuo, su translación al dominio discreto

puede realizarse en principio vía la transformación de Tustin. Y decimos en principio ya que

debe analizarse si su aplicación no genera componentes inestables. Ilustrando el concepto,

consideremos la transformación de la componente derivativa de (4.1):

1 1

2 1( ) ( )

1D D

zD s T s D z T

T z

(4.3)

que como vemos, aporta un polo inestable en z = –1. Para evitar esto, en la transformación de

la componente derivativa debe utilizarse una fórmula alternativa, por ejemplo la regla del

rectángulo por la suma superior que genera un polo estable en el origen.

1 1

1( ) ( ) D

D

T zD s T s D z

T z

(4.4)

De modo que las expresiones transformadas correspondientes a (4.1) y (4.2) son

1

1 1( ) 1 (Tustin y suma superior)

2 1

DP

I

TT z zK z K

T z T z

(4.5)

2

21 1( ) 1 (exclusivamente Tustin)

22 1 2

2

DP

DI D

D

TT z zK z K

T TT z T Tz

T T

. (4.6)

Pueden repetirse aquí todas las consideraciones realizadas en el Capítulo 1 referidas a la limita-

ción de la ganancia derivativa en alta frecuencia y a la conveniencia de evitar o contrarrestar el

efecto de windup. Tales conceptos, expresados para sistemas continuos, pueden transladarse en

forma directa al dominio discreto, por lo que no los reiteraremos aquí.

Ejemplo aplicativo. Sea la siguiente planta continua de segundo orden, que ha de ser

compensada mediante un controlador discreto PI con período de muestreo T = 0.5 s

1

1 2

2

1

( ) con 1 s1 1

5 s

VV

G s TT s T s

T

(4.7)

El criterio de diseño adoptado para el controlador PI continuo es: por una parte compensar la

mayor constante de tiempo de la planta, y además obtener una respuesta de lazo cerrado con

relación de amortiguamiento c=1/2 a fin de lograr un buen tiempo de respuesta al escalón.


El controlador es

11

( ) 1 = IP P

I I

T sK s K K

T s T s

(4.8)

Para compensar la mayor constante de tiempo de planta se elige TI = T2, con lo que la función de

transferencia de lazo abierto queda

2

1 2 2 1

1( ) por ser

1 1 1

I Po P I

I

T s K VVG s K T T

T s T s T s T s T s

. (4.9)

La función de transferencia de lazo cerrado es

2

221 2 21 2 2

1 2

1( )

1

c

cc

Pc

P

P P

K VG s

TT TTT s T s K Vs s

K V K V

(4.10)

operando con los coeficientes obtenemos:

2

2

1

; reemplazando valores: 2.54

P P

c

TK K

TV , (4.11)

con lo que concluye el diseño del controlador PI continuo. Convertimos a continuación el

controlador en discreto, aplicando la transformación de Tustin

1 0

2 1

1

21

2 2

2 1

12 1

1

11

( )

1 1

I

I I

II

P P

II

P P

zs

T z

T TT

T T

z

T zz

T z

TT s

K z K KT s

T

K z Kr z r

z z

(4.12)

Reemplazando valores numéricos para T = 0.5 s, de (4.12) se obtiene la función de transferencia

z del controlador PI

2.625 2.375

( )1

zK z

z

. (4.13)

Procedemos ahora a la simulación del sistema a lazo cerrado, para diferentes valores del período

de muestreo. En la Fig. 4.2 se observa una muy buena coincidencia de la respuesta al escalón

respecto del PI continuo para un período de muestreo inferior a T1. La respuesta sigue siendo

aceptable para T = 0.5 T1 (no olvidemos que en esta situación nos encontramos justo en el límite

que marca el teorema del muestreo). Para T = T1 la respuesta al escalón es aparentemente

buena, pero recordemos que el comportamiento del sistema es inaceptable para señales de

entrada senoidales con frecuencias cercanas a la frecuencia de muestreo 1/T (véase Fig. 4.3).


Fig. 4.2. Variación de la respuesta al escalón con el período de muestreo.

Fig. 4.3. Respuestas ante excitaciones senoidales con frecuencias cercanas a 1/T.

La obvia conclusión, que ya habíamos adelantado, es que el procedimiento de diseño

simplificado en el plano s brinda buenos resultados para períodos de muestreo reducidos respecto

de la menor constante de tiempo (T1 en nuestro ejemplo).


4.1.2. Método completo en s.

En contraposición con el método precedente, en este procedimiento no solamente se discretiza en

forma aproximada el controlador, sino que se emplean métodos de diseño del dominio continuo

sobre plantas previamente discretizadas. El procedimiento es el siguiente y se sintetiza en la Fig.

4.4:

Se determina la función de transferencia z de la planta completa (incluyendo muestreador

y dispositivo de retención) mediante transformación z exacta de [GH(s)G(s)].

Aplicar la transformación bilineal (Tustin) para obtener la función de transferencia en s

de la planta discretizada.

Diseñar el controlador en s por los métodos continuos conocidos. Problema: en la

transformación de la planta hacia s aparecen uno o más ceros en el semiplano derecho.

Discretizar por Tustin el controlador calculado.

Dominio de tiempo continuo Diseño en s (fácil) –

( )HG G s

Dominio de tiempo discreto Diseño en z (complicado) –

( )K s

HG G

2 1

1

( ) ( ) zs

T z

K z K s

Transformación bilineal

( )HG G z

( )K z

( )HG G z

2

2

( )

( )

H

H Tsz

Ts

G G s

G G z

Fig. 4.4. Método de diseño completo en s.

Ejemplo aplicativo. Repetiremos la planta del ejemplo precedente, al objeto de poder comparar

los resultados. Procederemos paso a paso siguiendo el procedimiento enunciado:

a) Discretización de la planta incluyendo muestreador y dispositivo de retención. En (4.7)

observamos que G(s) posee polos simples, por lo que recordando las expresiones (3.8) a (3.13)

podemos escribir:

1

( ) 1( )

: polos de ( ), .

n

H

s T

R G zG G z

s z z

s G s z e

(4.14)

Calculamos ahora:

1 2

1 2 1 2

1 2

1 2 1 2 1 2

1 1( ) ; polos en ; ;

1 1

1( ) ;

( )( ) ( ) ( )

VG s s s

T s T s T T

R RVG s

TT s s s s s s s s

(4.15)


siendo los residuos

1 2

1 1 2 2

1 2 2 1

lim( ) ( ) ; lim( ) ( )s s s s

V VR s s G s R s s G s

T T T T

. (4.16)

Aplicando ahora (4.14), y reemplazando valores se obtiene,

1 2

01 1 2 2

1 1 2 2 1 2

/ /

1 2

1 1 2 2

2 1

1 2 1 2 1 2

0

1 1 2 2

1 1( )

siendo 0.606531 ; 0.904837 ;

1 1 0.020586 ;

1 1 0.8188

1 1

H

T T T T

z rR z R zG G z C

s z z s z z z z z z

z e z e

VT z VT zC

T T

T z z T z zr

T z T z

94 ;

(4.17)

valores calculados para el período de muestreo T=0.5 s.

b) Transformación bilineal hacia el plano s de la planta discretizada:

2

2

( ) ( )H H Tsz

Ts

G G s G G z

(4.18)

( ) ( )0

01 02( )

( ) ( )

1 21 2

2

2

2 2

2 2

1 1( )

1 1

s s

s

H s s

Ts

Ts

Ts Ts

Ts Ts

r T s T sG G s C V

T s T sz z

, (4.19)

siendo los valores de los parámetros

( ) 0

1 2

( ) 11 1

1

( ) 22 2

2

( ) 001

0

( )

02

11

1 1

11.020747

2 1

15.004166

2 1

10.024892

2 1

0.252

s

s

s

s

s

rV C V

z z

zTT T

z

zTT T

z

rTT

r

TT

(4.20)

Observamos que los polos de G(s) vuelven a aparecer, con un error mínimo originado por la

transformación bilineal aproximada. Aparecen ceros adicionales debidos al proceso de

muestreo, manteniéndose invariable la ganancia estática.


c) Diseño del controlador en s. La planta a compensar es (4.19) que presenta un par de ceros

(uno de ellos en el semiplano derecho). Una solución viable es reemplazar el conjunto de las

constantes de tiempo más bajas por un elemento de primer orden sustituto.

( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( )

01 02 01 02 01 02( ) ( )

( ) ( )( ) ( )1 21 2

1 1 1 1( )

1 11 1

s s s s s s

s s

H s ss s

T s T s T T s T T sG G s V V

T s T sT s T s

, (4.21)

la constante de tiempo sustituta vale

( ) ( ) ( ) ( )

1 01 02 1.245855 ss s s s

eT T T T ; (4.22)

con lo que la función de transferencia aproximada queda:

( )

( ) ( )

2

( )1 1

s

H e s s

e

VG G s

T s T s

(4.23)

y podemos visualizar la validez de la simplificación comparando los diagramas de Bode de las

funciones de transferencia exacta (4.21) y aproximada (4.23).

Fig. 4.5. Comparación de respuestas en frecuencia de las f.t. (4.21) y (4.23).

Buena coincidencia para 1 rad/s.

Dimensionaremos ahora el controlador PI

( )

( ) ( )

2

1( ) ( )

1 1

s

IH Pe s s

I e

T s VK s G G s K

T s T s T s

(4.24)


para compensar la mayor constante de tiempo de la planta, siempre y cuando ésta no sea una

constante de tiempo sustituta; en consecuencia eligiremos

( )

2

s

IT T .

La función de transferencia de lazo abierto queda

( )

( ) ( )

2

( )1

s

Po s s

e

K VG s

T s T s

(4.25)

por lo que la f.t. de lazo cerrado es:

( ) ( ) 2( )

22 2

2( ) ( )

( ) 1 1( )

21 ( )11

oc s s s

ceo

s s

c cP P

G sG s

T T sTG sss s

K V K V

; (4.26)

igualando coeficientes y despejando obtenemos el valor de la ganancia del controlador:

( )

2

2 ( ) ( )4

s

P s s

c e

TK

T V (4.27)

de modo que para c =0.707 los parámetros del controlador quedan KP =2.008326

y TI =5,004166 .

Obviamente se deberá verificar que la frecuencia de cruce de ganancia resultante sea inferior al

límite que marca la Fig. 4.5 (lo que de hecho ocurre).

d) Discretización del controlador calculado. Aplicando nuevamente la fórmula de Tustin para

retornar al plano z obtendremos la expresión del controlador discreto

0

1

2 1

1

2 1

1

2 1

2

2

11

( )

2

2 1 1

I

I

II

P P

II

IP

I

T zs

z

T z

z

T z

z

T T

T T

TT s

K z K KT s

T

zz rT T

K CT z z

(4.28)

reemplazando valores se llega a:

0 0.904837( ) 2.108659

1 1

z r zK z C

z z

, (4.29)

con lo cual, queda completado el diseño.

Pasamos ahora a discutir los resultados alcanzados, comparándolos con el método de diseño

anteriormente tratado. La planta discretizada tiene por expresión


0.818894( ) 0.020586

0.606531 0.904837H

zG G z

z z

(4.30)

El controlador diseñado por el método simplificado

0.904761

( ) 2.6251

zK z

z

no alcanza a compensar exactamente el mayor de los polos de (4.30) z2 = 0.904837, mientras

que el controlador obtenido aplicando el método completo es:

0.904837

( ) 2.1086591

zK z

z

cuyo cero cancela exactamente el polo de la planta. Podemos esperar entonces que el método

completo de diseño produzca mejores resultados en las respuestas transitorias.

Fig. 4.6. Respuesta vs. el período de muestreo, diseño completo en s.

En la Fig. 4.6 podemos observar que el amortiguamiento relativo es independiente del período de

muestreo T, lo que no nos sorprende ya que T se encuentra ‘embebido’ en el diseño del

controlador y todos los controladores están dimensionados para el mismo c de lazo cerrado.

Desde luego que si excitamos al sistema de lazo cerrado con sinusoides de frecuencia cercana a

la frecuencia de muestreo, se nos presentarán exactamente los mismos problemas que mostramos

en la Fig. 4.3, ya que al ser ellos inherentes al proceso de muestreo, resultan absolutamente

independientes del método empleado para diseñar al controlador.


4.1.3. Diseño directo en z. Método de compensación.

Al contrario de lo que ocurre en el campo analógico, donde los amplificadores operacionales y

componentes pasivos brindan una banda de soluciones para la realización de controladores

limitada a la implementación de funciones de transferencia de orden reducido, con parámetros

ajustables con baja precisión y reducida constancia temporal, las realizaciones discretas hacen

practicable todo el abanico de soluciones de que dispone el proyectista, incluyendo controladores

de orden superior, ya que la precisión de ajuste y estabilidad de los parámetros está garantizada

por los elementos digitales, siendo las únicas fuentes de variaciones el offset y el error de

ganancia de los convertidores A/D y D/A y, en mucha menor medida, las fluctuaciones de la

base de tiempo empleada (reloj de cuarzo).

El diseño de controladores por compensación ya ha sido desarrollada en el dominio continuo

(véase en el Capítulo 1 el punto 1.8.1) y puede ser reproducida en el dominio discreto.

Fig. 4.7. Sistema de control

Se pretende lograr un comportamiento al comando prefijado Mw en un lazo de control con

planta conocida G, siendo Mw la función que modeliza la respuesta deseada a la variable de

comando W. Esto significa que la función de transferencia de lazo cerrado Gc ha de ser igual a

Mw. Formalmente escribimos:

1

1 1

wc w

w

MKGG M K

KG M G

(4.31)

Fig. 4.8. Sistema con controlador compensador

Para que el controlador sea realizable (causal), se deben imponer algunas condiciones a Mw y a

G. Como el sistema debe ser numéricamente estable, resulta necesario que la planta continua G

sea estable y de fase mínima (es decir que sus polos y ceros se encuentren en el semiplano

izquierdo). El requerimiento de error estacionario nulo conduce a un controlador con parte

integradora.

Compensación


Los requerimientos precedentes pueden transladarse al campo discreto. ( )G z no puede poseer ni

polos ni ceros con módulo mayor que uno (1). Mw debe ser elegido de tal manera que K resulte

realizable. El problema se complica ulteriormente en los sistemas discretos a causa de la

aparición de ceros adicionales en los alrededores de z0 –1 por efecto del muestreo, aun en el

caso de plantas continuas muy elementales (ver ejemplo anterior).

En la elección de la función modelo Mw han de tenerse en cuenta algunas particularidades de

acuerdo a la distribución de polos y ceros de la función de transferencia de la planta ( )G z .

Escribiremos:

( ) ( )

( )( ) ( )

r

z z

z z

B z B z zG z

A z A z

(4.32)

donde

( ) y ( ) poseen raíces en el interior del círculo unitario,

( ) y ( ) poseen raíces fuera del círculo unitario,

es un retardo equivalente a períodos de muestreo.

z z

z z

r

B z A z

B z A z

z r

El diseño del controlador responde a (4.31). La restricción a plantas estables impone ( ) 1zA z ,

luego:

( )( )

( )( ) ( ) 1 ( )

wz

r

z z w

M zA zK z

B z B z z M z

(4.33)

Al objeto de garantizar la realizabilidad y robustez del controlador, deben incorporarse al modelo

tanto el tiempo muerto de r períodos, como los ceros exteriores al círculo unitario: de no

hacerlo así, el controlador poseería polos inestables. Para reflejar estos requerimientos en (4.33)

y asimismo la condición de precisión en estado de régimen (integrador), ha de ser

( ) ( )

( )(1) (1)

r

wr zw

wr z

M z B z zM z

M B

(4.34)

En consecuencia

( )( ) 1

( )( ) 1 ( ) (1) (1)

wrz

z wr wr z

M zA zK z

B z M z M B

. (4.35)

Ejemplo aplicativo. Retornamos a nuestra planta discretizada según (4.30), que repetimos a

continuación

01

1 2

0.818894( ) 0.020586

0.606531 0.904837H

z zzG G z C

z z z z z z

(4.36)

para el período de muestreo T =

0.5 s.

La planta y dispositivo de retención se encuentran integrados en un lazo de control como muestra

la Fig. 4.9 y el controlador discreto debe ser diseñado para que la operación del sistema a lazo

cerrado se corresponda con el modelo propuesto.


( )wM z ( )K z ( )HG G z W W Y

D

–

Y

Fig. 4.9. Sistema a lazo cerrado y modelo de respuesta al comando.

a) Modelo sin ceros. Se propone el siguiente modelo de funcionamiento:

1 0

2

1 0

1( )w

c cM z

z c z c

(4.37)

mediante los dos polos del denominador se determinan la frecuencia natural y el

amortiguamiento de lazo cerrado. La expresión del numerador 1 01 c c asegura una ganancia

unitaria en estado de régimen (1) 1.wM De acuerdo a (4.31) es

1 2 1 0

2

01 1 0 1 0

1 21 0

01 1

( ) 11 1( )

1 ( ) 1( )

1 1( )

1 1

w

wH

z z z zM z c cK z

M z C z z z c z c c cG G z

z z z zc cK z

C z z z z c

(4.38)

Aplicando este controlador, la función de transferencia de lazo abierto queda

1 0

1

1( ) ( ) ( )

1 1o H

c cG z K z G G z

z z c

(4.39)

que corresponde a un integrador (polo en z =1) acompañado por un elemento de primer orden.

Por cierto, la función de lazo cerrado coincide con el modelo propuesto.

variable manipulada u

variable controlada y

Fig. 4.10.

Modelo con

párametros

c1= –1.32 y

c0= 0.49


El cero z01 de la planta se transforma en un polo oscilatorio con reducido amortiguamiento

(polo real negativo) para el controlador, por lo que aparecen oscilaciones en la variable

manipulada (salida del controlador), tal como se observa en la Fig. 4.10.

Fig. 4.11. Ampliación de la variable controlada, Fig. 4.10.

En la Fig. 4.11 se muestra ampliada la respuesta de la variable controlada, observándose con

claridad las pequeñas ondas provocadas por el comportamiento oscilatorio de la variable

manipulada.

El comportamiento que acabamos de describir puede, en algunas circunstancias llegar a ser

inestable o bien, en caso de plantas poco amortiguadas, dar origen a oscilaciones ocultas en la

variable continua controlada.

b) El modelo incluye los ceros de la planta. Se propone el siguiente modelo de funcionamiento:

1 0 01

2

01 1 0

1( ) , el factor constante asegura (1) 1.

1w w

c c z zM z M

z z c z c

(4.40)

El controlador es ahora

1 2 1 0 01

201 01 1 0 1 0 01

1 2 0 01 11 03

01 3 01

( )1( )

1 ( )( )

11( )

1 1

11( ) ; con .

1 1 1

w

wH

M zK z

M zG G z

z z z z c c z zK z

C z z z z c z c c c z z

z z z z c z cc cK z z

C z z z z z

(4.41)


Reemplazando los valores numéricos que ya tenemos calculados y manteniendo para nuestro

modelo c1= –1.32 y c0= 0.49 resulta el controlador

0.606531 0.904837( ) 4.5401

1 0.413463

z zK z

z z

(4.42)

Vemos en (4.42) que el controlador no contiene polos a parte real negativa, por lo que su salida

ya no será oscilatoria como en el caso precedente.

Por cierto que habiendo diseñado nuestro controlador para un modelo de respuesta a la variable

de comando, carecemos de parámetros libres para ajustar la respuesta a la perturbación. Para

ello se deberá adoptar un método de diseño con dos grados de libertad, lo que en nuestro caso se

traduce en plantear dos modelos de comportamiento deseado y proceder como se indica a

continuación.

( )wG z ( )K z ( )HG G z 0W W Y

D

–

Fig. 4.13. Lazo de control con filtro de comando

Igual a como procediéramos con controladores continuos en el Capítulo 1, diseñamos el

controlador ( )K z para obtener el comportamiento deseado ante la perturbación D y

posteriormente dimensionamos el filtro ( )wG z para lograr la respuesta requerida ante la variable

de comando 0W .

variable manipulada u

variable controlada y Fig. 4.12. Respuesta al escalón de

comando y de perturbación, cuando se

incluyen en el modelo los ceros de la

planta. Se han mantenido las escalas de la

Fig. 4.10 a fines de comparación.


La función de transferencia deseada para la perturbación es:

( ) ( ) ( )( ) 1 1( ) ( )

( ) ( )1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

H H DD

DH H D H

G G z G G z M zY zM z K z

D z M zK z G G z G G z M z G G z

, (4.43)

con lo que queda definido el controlador. Para el cálculo del filtro de comando es necesario

contar con el modelo de respuesta al comando. De la Fig. 4.13 se deduce

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

Hw w w D w

H

ww

D

K z G G zM z G z G z K z M z M z

K z G G z

M zG z

K z M z

(4.44)

como se deduce de la primera igualdad de (4.43). Si bien las expresiones (4.43) y (4.44) son en

apariencia sencillas, resulta necesario contar con experiencia, paciencia y algo de ingenio para

encontrar modelos de respuesta adecuados.

4.2. Efecto del tiempo finito de cálculo del procesador.

Hasta este momento hemos supuesto calladamente que los pulsos discretos poseen un tiempo de

tránsito nulo a través del procesador: ello lleva a suponer que el tiempo de cálculo en el

microcomputador es nulo, lo cual no es el caso en los sistemas reales. El tiempo de cálculo

puede ser despreciado completamente tan sólo en el caso de plantas muy lentas, como las que

aparecen en las industrias de procesos y que poseen constantes de tiempo del orden de minutos y

hasta de horas. Las plantas electromecánicas presentan constantes de tiempo bien por debajo del

segundo, de modo que el tiempo de cálculo representa una parte importante (30% a 80%) del

período de muestreo. Aunque se puede recurrir a cambiar el procesador por otro más rápido, es

una solución que se evita por razones de costo. La Fig. 4.14 compara los conceptos de tiempo de

cálculo nulo y tiempo de cálculo finito.

DIAGRAMA DE TIEMPOS IDEAL

DIAGRAMA DE TIEMPOS REAL

Fig. 4.14. Diagramas de tiempos.

salida D/A salida D/A Tiempo finito de cálculo

jitter

background

prg control

background

prg control


Como vemos en la figura, lo más fácil es despreciar el tiempo de cálculo suponiendo que la

entrada y salida de datos (conversiones A/D y D/A) son coincidentes. Eso solamente es posible

cuando el tiempo de cálculo TC es inferior al 5% del período de muestreo T (TC < T/20).

Si se supone, pesimísticamente, que el tiempo de cálculo abarca todo un período de muestreo

(TC = T), ello se puede modelizar agregando un elemento de retardo (1/z) a la función de

transferencia discreta de la planta.

Si se desea modelizar la realidad, entonces se debe echar mano de la transformación z

modificada y considerar a TC como un tiempo muerto más. Aplicando lo estudiado en 2.3.3.

deberemos calcular la transformada z modificada de la planta (incluido el dispositivo de

retención) sin tiempos muertos

( , ) ( ) ( )H HG G z G s G s

Z (4.45)

y, suponiendo que el único tiempo muerto es 0<TC<T resulta (ver (2.82) a (2.84)):

1 ; con 1. CC

TT mT T m

T (4.46)

La función de transferencia completa (planta + disp. retención + tiempo de cálculo) es entonces

1

( ) ( , )HG z G G zz

. (4.47)

El algoritmo de control debe ser programado sin incluir lazos de longitud variable de ninguna

índole, al objeto de garantizar un tiempo de cálculo constante, libre de jitter (bailoteo). Si en

razón de la calidad de los elementos utilizados (procesador, conversores) el jitter resulta

inevitable, deberán analizarse sus características estadísticas a fin de incluir su influencia en el

diseño del controlador. Debemos mencionar que el jitter de tiempo de cálculo puede

manifestarse aún en el caso de emplear elementos de alta calidad: puede aparecer un retardo

entre la conversión A/D y la entrada de datos al procesador debida a un retardo de

comunicaciones, si el sensor se encuentra en un nodo de red de datos diferente al nodo del

procesador (sistemas de control en red de datos).

Otro efecto a considerar es el jitter del período de muestreo. Si se cuenta con una base de tiempo

con la resolución suficiente para medir cada vez el período real de muestreo, se podrán

compensar sus variaciones. De lo contrario habrá que emplear técnicas de Control Robusto

verificar la sensibilidad del diseño ante variaciones en el período de muestreo1.

1 IFAC es la sigla de la International Federation for Automatic Control, www.ifac-control.org, que ha publicado en

su página web (sección Profesional Briefs) un interesante trabajo de distribución gratuita: COMPUTER CONTROL:

AN OVERVIEW, producido por miembros del Departamento de Control Automático del Lund Institute of

Technology (Suecia). Se recomienda especialmente la lectura del capítulo final, que trata sobre temas de control de

tiempos y secuencialización.

http://www.ifac-control.org/


4.3. Realización práctica de controladores discretos.

La implementación práctica de un controlador discreto como por ejemplo el PI calculado en

(4.29), que repetimos a continuación

( )K z W

Y

U

–

E

Fig. 4.15. Controlador discreto.

1

0 0

1

1 ( )( )

1 1 ( )

z r r z U zK z C C

z z E z

(4.48)

significa formular las ecuaciones de diferencia pertinentes y luego convertirlas en un algoritmo

computacional mediante un lenguaje de programación adecuado.

1 1

0

1 0 1

1 0 1

( ) 1 1 ( )

( ) ( ) ( ) ( )

como ( ) ( ) ( ) es

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

k k k k

k k k

k k k k k

U z z C r z E z

u t u t Ce t Cr e t

e t w t y t

u t u t C w t y t Cr e t

(4.49)

Nótese en la última igualdad de las (4.49) que ( ) e ( )k kw t y t corresponden a la medición del

estado actual de las variables de comando y controlada, y que deben almacenarse en memoria los

estados precedentes de la variable manipulada y del error actuante 1 1( ) y ( )k ku t e t . El pseudo-

código correspondiente sería:

Por cierto, este pseudocódigo deberá estar integrado en el programa general de manejo de

interrupciones que generará los llamados al algoritmo de control y a las rutinas de background

que sean necesarias para la modificación de coeficientes.

Si bien la programación precedente es formalmente correcta, se pierde de vista el hecho que el

controlador es un proporcional integrador, y como todo controlador con parte integradora puede

estar sometido a windup si el actuador se satura. Se pierde también la visión de los parámetros

primarios KP y TI que quedan enmascarados por los coeficientes C y r0 en (4.48). Por estas

razones y porque en muchas instalaciones industriales se continúan utilizando controladores PID

“Valores iniciales y coeficientes

uviejo=0

eviejo=0

c=2.108659

r0=-0.904837

“Algoritmo de control

w=adin(ch1) “ingresar variable de comando desde ch1

y=adin(ch2) “ingresar variable controlada desde ch2

e=w-y “calcula error actual

u=uviejo+c*e+c*r0*eviejo “calcula la señal de control

daout(u,ch3) “sacar la señal de control u por ch3

uviejo=u “actualiza señal de control vieja

eviejo=e “actualiza señal de error vieja


que, a pesar de ser discretos, siguen presentando una apariencia analógica, vamos a desarrollar

en los siguientes puntos los detalles de la implementación práctica de un controlador PID

discreto.

Fig. 4.16. Controlador basado en microprocesador. Cortesía de ABB Industrial Systems.

4.3.1 Discretización de la ley de control PID. Enfoque aplicativo.

Para implementar un controlador PID en una computadora digital es necesario, como ya

sabemos, formular aproximaciones discretas de la derivada y de la integral que aparecen en la

ley de control. Si mediante algún método de diseño en el dominio continuo hemos determinado

los valores de los parámetros adecuados para obtener el comportamiento deseado del sistema a

lazo cerrado, habremos definido totalmente los elementos de la expresión (1.19) que repetimos a

continuación

0

1 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

t

P d

i

dr t dy tu t K br t y t e d T c

T dt dt

(4.50)

Acción Proporcional En (4.50), el término proporcional es

( ) ( ) ( )PP t K br t y t

Este término se implementa reemplazando simplemente las variables continuas por sus versiones

muestreadas,

( ) ( ) ( )k P k kP t K br t y t (4.51)


donde kt denota los instantes de muestreo, es decir los valores de tiempo para los cuales se leen

las variables analógicas.

Acción Integradora El término integral es

0

( ) ( )

t

P

i

KI t e d

T

y se deduce que

P

i

KdIe

dt T

Si se aproxima la derivada con una diferencia hacia adelante se obtiene, empleando h =T para

designar el período de muestreo

1( ) ( )( )k k P

k

i

I t I t Ke t

h T

lo que nos conduce a la siguiente expresión recursiva para el cálculo del término integral

1( ) ( ) ( )P

k k k

i

K hI t I t e t

T . (4.52)

Acción Derivadora El derivador puro de la (4.50) es reemplazado con c=0 por un derivador

restringido como el que empleáramos en (1.15), teniéndose

( ) ( )1

P d

d

s K TD s Y s

sT N

;

es decir: dP d

T dD dyD K T

N dt dt

que puede ser aproximada por la siguiente ecuación en diferencias,

1 1( ) ( ) ( ) ( )( )d k k k k

k P d

T D t D t y t y tD t K T

N h h

y reordenando obtenemos

1 1( ) ( ) ( ) ( )d P dk k k k

d d

T K T ND t D t y t y t

T Nh T Nh

(4.53)

La ventaja de emplear una expresión retrógada es que el valor del factor d dT T Nh se

encuentra siempre comprendido en el intervalo [0,1] lo que garantiza la estabilidad de la

ecuación en diferencias.

Hemos entonces determinado que el controlador PID puede ser aproximado mediante las

expresiones (4.54). Por cierto, estas expresiones constituyen quizás la más simple de las muchas

discretizaciones posibles del algoritmo de control PID. La selección del método de


discretización más adecuado constituye un problema de optimización en el que concurren, entre

otros factores, la frecuencia de muestreo utilizada y las características dinámicas de los

conversores A-D y D-A empleados.

1 1

1

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

k P k k

k k k

dk k P k k

d

k k k k

Pk k k

i

P t K br t y t

e t r t y t

TD t D t K N y t y t

T Nh

u t P t I t D t

K hI t I t e t

T

(4.54)

Algoritmos de Velocidad. El algoritmo descripto por las (4.54) se denomina algoritmo

posicional porque su salida es la variable de control. En algunos casos el controlador está

dispuesto de manera tal que su salida es proporcionada por un integrador (p.ej. un motor). En

estos casos resulta natural modificar el algoritmo de modo que proporcione la velocidad de la

variable de control (con mayor propiedad diríamos la derivada temporal de la variable de

control). Un algoritmo de este tipo se denomina algoritmo de velocidad. La Fig. 38 muestra un

diagrama de bloques analógicos de un algoritmo de velocidad.

Los algoritmos de velocidad se utilizaban en controladores antiguos construidos alrededor de

motores (integradores mecánicos). En muchos casos, al cambiar la tecnología, los fabricantes

retuvieron la estructura original para asegurar la compatibilidad con equipos preexistentes. Otra

razón para el uso de algoritmos de velocidad es que facilitan la implementación de muchas

cuestiones prácticas, tales como la protección anti-windup y la transición sin sacudidas ante

cambios de parámetros. En implementaciones digitales los algoritmos de velocidad son también

denominados algoritmos incrementales.

2

1

P d

d

s K T

sT N

sKP

1/s

KP/Ti

du

dt

Integrador

externo

e

(br – y)

y

u

Fig. 4.17. Diagrama en bloques correspondiente a la

representación analógica de un algoritmo de velocidad.


Algoritmo Incremental. La forma incremental del algoritmo PID puede ser obtenida

calculando las diferencias temporales de la salida del controlador para luego sumar (integración

discreta) estos incrementos.

1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k k k k k ku t u t u t P t I t D t (4.55)

En muchos casos la integración se realiza externamente. Esto resulta natural cuando se utiliza un

motor paso-a-paso. Los incrementos de las partes proporcional, integradora y derivadora se

calculan con facilidad a partir de las Ecs. (4.51) a (4.53):

1 1

1

1 1 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( )

;

k P k k k k

Pk k

i

k d k d k k k

d d Pd d

d d

P t K b r t r t y t y t

K hI t e t

T

D t a D t b y t y t y t

T T K Na b

T Nh T Nh

(4.56)

4.3.2 Aspectos Operativos.

Prácticamente todos los controladores pueden funcionar en dos modos: manual o automático. En

el modo manual la salida del controlador es manipulada directamente por el operador,

usualmente accionando botones que incrementan o decrementan la salida. Un controlador puede

también operar en forma combinada con otros controladores (p.ej. en una conexión en cascada),

o con elementos no lineales tales como multiplicadores o selectores: ello origina más modos

operativos. Los controladores poseen parámetros que pueden ser ajustados durante la operación.

Cuando se producen cambios de modos y/o de parámetros, es esencial evitar que se produzcan

transitorios de conmutación, por lo que se deberá diseñar un controlador con la estructura

adecuada.

Transferencia sin sacudidas entre Manual y Automático. Dado que el controlador es un sistema

dinámico, es necesario asegurar que el estado del sistema sea el correcto al conmutar el

controlador de modo manual a modo automático: es decir que la salida calculada por el

algoritmo de control sea igual a la señal generada manualmente. A esto se denomina

‘transferencia sin sacudidas’ (en inglés ‘bumpless’).

En la Fig. 4.18 se muestra una implementación que utiliza un integrador separado para sumar los

cambios incrementales que produce el dispositivo manual. El diagrama contiene dos

configuraciones del tipo anti-windup (recordar la Fig. 1.39) que aseguran el seguimiento de la

salida manual por parte del controlador y viceversa.


KP Td s

KP

1/s

1/Tt

KP/Ti

1/s

1/Tm

1/Tt

u v

A

M

– +

+ – CONTROL

MANUAL

+

–

– y

e= r – y

Fig. 4.18. Controlador PID que conmuta suavemente de modo manual (M) a modo automático (A).

Transferencia sin sacudidas ante Cambios de Parámetros. Una modificación de los parámetros

del controlador se reflejará como un cambio en su variable de salida. Estos cambios son en

general indeseables: para un controlador PID es natural el requerimiento de que no se originen

cambios drásticos en la salida, si los parámetros son modificados cuando el error es cero. Esto

será verdadero para todos los algoritmos incrementales ya que su salida es cero cuando su

entrada es cero, independientemente de los valores de sus parámetros. Para un algoritmo de

posición, ello dependerá de la implementación adoptada.

Si al implementar el algoritmo el estado interno del controlador es elegido como

0

( )

t

Ix e d

el término integral resulta PI

i

KI x

T .

Todo cambio en KP o en Ti dará por resultado un cambio en I. Para evitar sacudidas al

modificar los parámetros, al implementar el término integrador, se deberá elegir el estado

conforme a

0

( )( )

( )

t

PI

i

Kx e d

T

. (4.57)

Un caso en particular requiere de especiales precauciones: es cuando se implementa la asigna-

ción de peso al punto de ajuste (o variable de referencia). En este caso es necesario que la

cantidad P + I sea invariante ante cambios en los parámetros. Ello conduce a que, cuando se

cambian los parámetros, el estado I debe ser modificado de la manera siguiente:

nuevo viejo Pviejo viejo Pnuevo nuevoI I K b r y K b r y (4.58)


Tomando las adecuadas precauciones es entonces relativamente sencillo evitar sacudidas si los

cambios en los parámetros se realizan cuando el error es nulo (operación en régimen).

4.3.3 Pseudocódigo de Computadora.

A modo de ilustración, el siguiente es el pseudocódigo para un algoritmo PID basado en las

Ecs.(4.54) . El controlador maneja tanto el windup como la transferencia sin sacudidas ante

variaciones de los parámetros.

El cálculo de coeficientes debe realizarse sólo cuando se modifican los parámetros del

controlador. El cálculo de ad, ao, bd, bi ahorra tiempo de ejecución del programa principal. El

algoritmo de control debe ser ejecutado una vez por cada período de muestreo. Obsérvese que el

pseudocódigo incluye en la derivación únicamente a la variable controlada (y), emplea factor de

peso (b) para la variable de referencia e implementa anti-windup utilizando un modelo interno de

la saturación del actuador.

Debemos destacar que, por razones de claridad, en estos últimos apartados hemos empleado

(muy calladamente) aproximaciones basadas en la regla del rectángulo que condujeron a los

algoritmos dados por las expresiones (4.54) y (4.56) y al programa precedente. El procedimiento

es totalmente análogo utilizando la aproximación de Tustin, llegándose a expresiones finales

ligeramente más complejas, y queda como ejercicio para el lector interesado.

4.4. Controladores para tiempo de respuesta finito.

En sistemas de control discretos con la estructura de la Fig. 4.19 para plantas continuas no

derivadoras, es decir en las que se cumple G(0)0, se puede alcanzar una respuesta estacionaria

en un número finito de períodos de muestreo t =NT para un escalón de comando w(t) =(t), de

tal manera que el error actuante sea nulo e(t) =0 para t NT. Para que esto sea posible, la

función de transferencia al comando debe poseer polos únicamente en el origen z =0.

“Cálculo de coeficientes del controlador

bi=Kp*h/Ti “ganancia de integración

ad=Td/(Td+N*h) “ganancia derivativa

bd=Kp*N*Td/(Td+N*h) “ganancia derivativa

ao=h/Tt “ganancia de seguimiento (tracking)

“Cambio de parámetros sin sacudidas

I=I+Kpviejo*(bviejo*r-y)-Kp*(b*r-y) “invariancia de P+I

“Algoritmo de control

r=adin(ch1) “ingresar variable de referencia desde ch1

y=adin(ch2) “ingresar variable del proceso desde ch2

P=Kp*(b*r-y) “acción Proporcional

D=ad*D-bd*(y-yviejo) “acción Derivativa

v=P+I+D “salida temporal para acción antiwindup

u=sat(v,umin,umax) “simula saturación del actuador

daout(u,ch3) “sacar variable de control u por ch3

I=I+bi*(r-y)+ao*(u-v) “actualiza Integrador con antiwindup

yviejo=y “actualiza variable de proceso vieja


K(z) w e e* u y

CONTROLADOR DISP. RETENCIÓN PLANTA

GH(s)

–

G(s)

Fig. 4.19. Sistema de control discreto.

Si ( )cG z es la función de transferencia de lazo cerrado y ( ) /( 1)W z z z la excitación,

entonces el desarrollo en fracciones parciales de la salida será

1( ) ( ) ( ) polinomio1

c

zY z W z G z z

z

; (4.59)

vemos que además del término deseado z/(z–1) aparece un polinomio en z –1

que describe la

secuencia finita de error e(kT) . Cualquier otro polo zi de la función de transferencia de lazo

cerrado daría origen a una secuencia de error infinita.

Un método intuitivo debido a Schneider (1960) permite calcular la secuencia de control u(t)

como suma de funciones escalón:

1

0

( ) ( ) ( ) ( )N

k N

k

u t u t kT t kT T u t NT

(4.60)

con ( ) ( ) para u t u NT t NT se debe lograr la condición de régimen ( ) 1 para y t t NT .

La planta continua G(s) posee una respuesta al escalón que vale

( ) : ( ) /m t G s s -1L (4.61)

Debido a la condición G(0)0, m(t) siempre contiene una parte constante (t) correspondiente

al polo en el origen de (4.61), a la que se adicionan para una planta de orden n otras n funciones

temporales del tipo tr e–at

. En caso de ser a complejo, aparece también su conjugado y entre

ambos originan funciones temporales reales tr

e–bt

sin(t) y tr

e–bt

cos(t). Por simplicidad,

denominaremos f1, f2, ... fn a estas n funciones.

Para condiciones iniciales nulas, la respuesta de la planta a la secuencia (4.60) está dada por

1

0

( ) ( ) ( ) ( ) ; N

k N

k

y t u m t kT m t kT T u m t NT t NT

. (4.62)

En (4.62) aparecen términos ( )( )r a t kTt kT e que contienen únicamente las funciones f1, f2, ... fn

y (t), por lo que se puede sin inconvenientes expresar a y(t) de la forma

0 1 1 2 2 n( ) ( ) f f f ; ny t c t c c c t NT (4.63)

donde los coeficientes ci son combinaciones lineales de las amplitudes u0 ... uN de la señal de

control.


El comportamiento de tiempo de respuesta finito (en inglés: deadbeat) se logra con la condición

0 1 21, 0nc c c c . (4.64)

Debe notarse que, de acuerdo a (4.63), se puede prescribir cualquier otro comportamiento

además de seguir sin error al escalón (t), mientras éste sea expresable por la combinación de

funciones temporales (4.63). O dicho con otras palabras: el sistema puede seguir con precisión

todas aquellas señales cuyos polos aparezcan en la función de transferencia de la parte continua

del sistema.

Ejemplo: sea la planta G(s) en la Fig. 4.19

11( ) con respuesta al escalón ( ) ( ) / 1

( 1)

tG s m t G s s t es s

L (4.65)

para t NT es, de acuerdo a (4.62)

1

0

1

0

1

0

( ) ( ) ( ) ( )

( ) 1 1

1

( ) 1 1

N

k N

k

Nt kT t kT T

k

k

t NT

N

NT kT t NT t

k N

k

y t u m t kT m t kT T u m t NT

y t u t kT e t kT T e

u t NT e

y t u T e e e u NT t e e

(4.66)

quedando finalmente

1 1

0 0

( ) 1 ( ) 1N N

T kT NT

k N N k N

k k

ty t T u u NT t u t e u e u e e

(4.67)

Cuando el sistema debe seguir un escalón de comando w(t)=(t), deben ser nulos los

coeficientes de las funciones temporales t y e

–t, y ha de ser unitario el coeficiente de (t). Se

tiene entonces:

1 1

0 0

0 , =0 , 1/N N

kT

N k k

k k

u u e u T

(4.68)

Poniendo N = n = 2, es decir el número de periodos de muestreo para error nulo (N) igual al

orden del sistema (n), el sistema de ecuaciones (4.68) posee una solución única que vale

0 1

1 , ; 0, 2.

1 1

T

kT T

eu u u k

T e T e

(4.69)


Observamos en (4.69) que, a medida que el período de muestreo T disminuye u0 y u1 aumentan

en valor absoluto, lo que significa que el esfuerzo de control se hace mayor y ello ha de ser así

porque para llevar al sistema a su valor final en 2 períodos se emplea siempre la misma energía,

por lo que si el período decrece la potencia puesta en juego ha de aumentar y junto con ella las

amplitudes de u0 y u1 . Llevar en el límite el período de muestreo a cero T0, significaría

pasar al caso continuo, pero entonces la solución (4.69) pierde significado ya que u0 se haría

infinito positivo y u1 infinito negativo. La consecuencia de este pequeño análisis es que el

fenómeno de deadbeat solo existe en el dominio discreto, donde es realizable mediante

secuencias finitas señales de control {u0, u1,... uN} de amplitud finita.

Deducimos de (4.69) que para períodos T crecientes, u0 y u1 decrecen monótonamente.

Para T=1 se obtienen los resultados de la Fig. 4.20.

Fig. 4.20. Control deadbeat de

1( )

1G s

s s

para 1T s.

u(t) es una secuencia finita de dos términos

1 0.368( ) 1.582 0.582 1.582

zU z z

z

. (4.70)

Independientemente de la estructura que se elija para su realización, la función de transferencia

que liga ( ) /( 1)W z z z con la variable manipulada ( )U z debe poseer la forma

2

1.582 0.368 1( )

( )

z zU z

W z z

. (4.71)


La deducción de la función de transferencia del controlador discreto ( )K z que ha de

implementarse (ver Fig. 4.19) es también elemental. ( )K z transforma la secuencia de error

( )E z en la secuencia de control ( )U z . Y siendo

1 0.418( ) 1 0.418

zE z z

z

(4.72)

resulta

1.582 0.368( )

( )( ) 0.418

zU zK z

E z z

. (4.73)

Si el valor de u0 = 1.582 resulta en un esfuerzo de control excesivo, siempre se puede lograr el

deadbeat en más períodos de muestreo (N >

n), imponiendo restricciones adicionales sobre la

amplitud de los pulsos uk . Si se opta por ejemplo por tres períodos de muestreo, de acuerdo a la

(4.68) habrá de cumplirse

2

0 1 2 0 1 2

0 2 1 2

0, 3

1/ , 0,

1 1 , 1

1 1

k

T T

T T

T T

u k

u u u T u e u e u

u e u u e uT e T e

(4.74)

para u2 = 0 la solución coincide con la precedente (4.69); se darán a continuación otros

ejemplos de solución para diferentes tipos de restricciones.

1. La exigencia que la “energía de actuación” 2 2 2

0 1 2u u u sea un mínimo conduce a:

0 1 2

0 1 2

1 1, ,

22 1 2 1

para 1: 0.791, 0.5, 0.292

T

T T

eu u u

TT e T e

T u u u

(4.75)

2. Para una limitación del esfuerzo máximo de actuación u se encuentra la solución

2

0 1 22 2

0 1 2

1,

2 1 2 1

para 1: 0.667, 0.334

TT

T T T T

eeu u u

T e e T e e

T u u u

(4.76)

Y los controladores correspondientes se calculan de acuerdo al procedimiento expuesto

precedentemente.

El método de Schneider que se acaba de exponer no es el único que puede emplearse para

calcular controladores deadbeat. Veremos a continuación un método más general, pero por

cierto menos intuitivo que el precedente.


Partiendo de ( )wM z que representa un modelo de respuesta al comando en tiempo finito para un

lazo de control, se puede calcular el controlador ( )K z correspondiente, empleando el procedi-

miento de compensación y seguimiento de modelo. Sea N el número períodos de muestreo

requeridos para alcanzar el estado de régimen; N debe ser como mínimo igual al orden n de la

planta controlada. Con estos requerimientos el modelo propuesto tiene la forma

1 2

0 1 2( ) N

w NM z q q z q z q z (4.77)

Adicionalmente deberá cumplirse que también la señal de control se encuentre en estado

estacionario, pues de lo contrario la planta seguiría siendo excitada y la salida asumiría el valor

deseado tan solo en los instantes de muestreo.

Si la planta posee una función de transferencia z dada por

( ) ( )

( )( ) ( )

r

z z

z z

B z B z zG z

A z A z

(4.78)

donde

( ) y ( ) poseen raíces en el interior del círculo unitario,

( ) y ( ) poseen raíces fuera del círculo unitario,

es un retardo equivalente a períodos de muestreo.

z z

z z

r

B z A z

B z A z

z r

Imponiendo el requerimiento de estabilidad de la planta ( ) 1zA z , (4.78) puede ser reescrita

como

1 1

0 1 0 1

1

1 1

( ) ( )( )

( ) 1

j krj krz z

n

z

z z z zB z B z zG z z

A z z z

(4.79)

y el controlador se calcula mediante la conocida expresión, ver (4.31),

( )1

( )1 ( )( )

w

w

M zK z

M zG z

. (4.80)

De acuerdo a lo dicho más arriba, también la función de transferencia que liga w con u deberá

manifestar comportamiento deadbeat, es decir una respuesta impulsiva de duración finita:

1( )( ) polinomio

( )

wu

M zG z z

G z

. (4.81)

Ello puede lograrse, si el modelo ( )wM z contiene también el polinomio ( )zB z además de

contener a ( )zB z y a rz . Véanse al respecto las consideraciones realizadas para (4.33).

2

2

( ) ( ) ( )( )

(1) (1) (1)

r

w z zw

w z z

M z B z B z zM z

M B B

(4.82)


Reemplazando se obtiene para ( )uG z

2

2

2

2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1( )

( ) ( ) (1) (1) (1)( )

( ) ( )

(1) (1) (1)

r

w w z z zu r

z z w z z

w z

w z z

M z M z B z B z z A zG z

B z B z z M B BG z

M z A z

M B B

(4.83)

Eligiendo 2 ( )wM z como polinomio en 1z se alcanza el estado estacionario en un número finito

de períodos de muestreo. Si además se elige el modelo de modo de emplear n+p períodos en

alcanzar el estado de régimen, pueden variarse las amplitudes de la señal de control para

satisfacer un criterio de performance adicional (p.ej.: minimizar de la energía de actuación). El

cálculo resulta independiente del valor absoluto del período de muestreo, pero el esfuerzo de

actuación resulta recíprocamente creciente respecto del período de muestreo.

Para concluir, debemos mencionar que el diseño de controladores discretos para respuesta

deadbeat no es más que una aplicación específica de la teoría de filtros digitales de respuesta

impulsiva finita (filtros FIR2), también denominados filtros transversales.

2 FIR = Finite Impulse Response.

del controlador diseño en s diseño en z (fácil) (complicado)...atacaremos el problema de diseñar...

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