IMPORTANCIA DE LAS DEFORMACIONES POR CORTANTE EN LA UBICACIÓN DE LOSCENTROS DE TORSIÓN DE ENTREPISO EN EDIFICIOS ESTRUCTURADOS CON BASE EN MUROS

Arturo Tena Colunga1 y Miguel Ángel Pérez Osornio2

Departamento de MaterialesUniversidad Autónoma Metropolitana AzcapotzalcoEdificio H, 3er. PisoAv. San Pablo 180, Col. Reynosa Tamaulipas, 02200 México, D. F.1e-mail: atc@correo.azc.uam.mx2e-mail: osornio@compaq.net.mx

RESUMEN

Es bien sabido que en el análisis de sistemas planos (2D) con muros, las deformaciones por cortante de los murostienen un gran impacto tanto en deformaciones como en la distribución de los elementos mecánicos del sistema, porlo que deben incluirse en los análisis. Las deformaciones por cortante también se incluyen en los análisis deestructuras tridimensionales con muros; sin embargo, hasta donde saben los autores, el impacto específico que éstastienen en el comportamiento tridimensional no ha sido valorado previamente. El presente trabajo estudia laimportancia que tienen las deformaciones por cortante de los muros en la ubicación de los centros de torsión deentrepiso de edificios estructurados completamente a base de muros, comparando a su vez las diferencias en sulocalización si no se consideraran las deformaciones por corte.

SUMMARY

It is well known that shear deformations are of paramount importance in the planar (2D) analysis of wall systems,both for strains and stresses, so they should be included in the analyses of such systems. Shear deformations are alsoincluded in 3D analyses of wall systems; however, to the authors’ knowledge, the impact of shear deformations onthe 3D behavior of structures has not been yet assessed. This paper presents a study where the importance of sheardeformations of wall systems in the location of interstory center of resistance (CR) of shear wall buildings isassessed, comparing to the results when shear deformations are not included.

INTRODUCCIÓN

En el análisis estructural de edificios a base de marcos o marcos con contravientos, se acostumbra despreciar lasdeformaciones por cortante, ya que en elementos que trabajan principalmente a flexión y/o carga axial, dichasdeformaciones tienen un impacto muy reducido, tanto en las deformaciones como en los elementos mecánicos. Sinembargo, cuando se tienen sistemas duales o mixtos, a base de marcos con muros, o sistemas a base de murosexclusivamente, las deformaciones por cortante de los muros deben incluirse en el análisis, ya tienen un gran impactotanto en deformaciones como en la distribución de los elementos mecánicos del sistema. Lo anterior es bien sabido,pues se ha demostrado en innumerables ocasiones en el estudio de sistemas planos (o bidimensionales), utilizandométodos como el método del elemento finito o el método de la columna ancha equivalente (en los sistemas donde sepuede aplicar), o a partir de principios fundamentales de la mecánica y del análisis estructural que consideran uncomportamiento elástico lineal, homogéneo e isotrópico de los materiales conforme a la Ley de Hooke.

Aunque el impacto de las deformaciones por cortante en análisis bidimensionales ha sido discutido y documentadodesde hace décadas, llama poderosamente la atención que su importancia en el comportamiento tridimensional deestructuras no haya sido estudiada. Del conocimiento de los autores, el impacto específico que las deformaciones porcortante tienen en el comportamiento tridimensional no ha sido valorado previamente.

De hecho, lo que se acostumbra en el análisis tridimensional de edificios con muros, es modelar a los murosbidimensionalmente por medio de columnas anchas o elementos finitos de estado plano de esfuerzos, y a partir de

una condensación estática de sus grados de libertad y de técnicas de subestructuración, incluir su participación en larespuesta tridimensional; aunque existen algunos programas comerciales más recientes para el análisis de edificiosque modelan a los muros con elementos finitos tridimensionales y, por supuesto, los programas generales deelementos finitos cuentan con elementos bidimensionales y tridimensionales que permiten modelar con lacomplejidad y precisión deseada a los muros. Ciertamente en estas opciones de modelado de muros en estructurastridimensionales generalmente se incluyen las deformaciones de corte; sin embargo, su influencia específica en elcomportamiento tridimensional no ha sido valorada en ningún nivel de respuestas estructurales de interés, tales comoesfuerzos, deformaciones, o efectos de torsión, por ejemplo.

Resulta sorprendente que la importancia de las deformaciones por cortante de muros en la ubicación del centro detorsión de edificios no haya sido valorada previamente. Quizá esto pudiera deberse a los siguientes factores:

(1) Durante las décadas de los años sesenta y setenta, para estructuras con sistemas duales, se acostumbraban haceranálisis con marcos planos, o tridimensionales basados en marcos planos, como era el programa TABS, laprimera versión de lo que ahora se conoce como el programa ETABS, y en ese entonces se vigilaba que ladistribución de los muros en planta no sugiriera, a-priori, que se presentaran efectos de torsión.

(2) Los métodos simplificados de análisis sísmico para estructuras a base de muros vigilan esencialmente que suconfiguración sea tal que permita ignorar efectos de esbeltez, de torsión y de flexibilidad de diafragma. Encuanto a la torsión se especifica que debe vigilarse que la distribución de muros en planta con respecto a dos ejesortogonales sea “sensiblemente simétrica”, la cual es una recomendación basada en la intuición, la experiencia yen el estudio de sistemas elásticos donde no se han tomado en cuenta las deformaciones por cortante.

(3) Desde principios de la década de los ochenta, las investigaciones mundiales sobre problemas de torsión se hanconcentrado en modelos inelásticos de una planta, ya que la torsión elástica se ha declarado como “conocida”,pero entre las variables que se han estudiado hasta la fecha no se han incluido a las deformaciones por cortante.

(4) Con el impresionante avance de las capacidades de cómputo a partir de la segunda mitad de la década de losaños ochenta, se introdujeron en el mercado programas capaces de modelar estructuras más complejas y dedeterminar sus formas modales, por lo que los ingenieros ahora vigilan el comportamiento de este tipo deestructuras con base en estudiar sus formas modales y sus características (periodos, acoplamientos, masasmodales asociadas a grados de libertad globales, factores de participación modal, etc.).

Aunque para algunos investigadores la torsión elástica de sistemas con diafragmas rígidos ya está bien conocida, enopinión del primer autor aún faltan algunas variables por estudiar, entre las cuales se encuentran la importancia de lasdeformaciones por cortante en sistemas que incluyen muros. Por tanto, el presente trabajo estudia la importancia quetienen las deformaciones por cortante de los muros en la ubicación de los centros de torsión de entrepiso de edificiosestructurados completamente a base de muros, comparando a su vez las diferencias en su localización si no seconsideraran las deformaciones por corte. En particular se estudian edificios que, aparentemente, cumplensatisfactoriamente con las limitantes impuestas actualmente por los reglamentos mexicanos para el empleo delmétodo simplificado de análisis, el cual permite ignorar, entre otras cosas, los efectos de torsión. Además, se valorael caso muy común de edificios donde se tiene la misma distribución de muros en cada planta, pero en cada plantaexisten muros con distintas relaciones altura-longitud (h/L), lo que ocasiona que el impacto de las deformaciones porcortante en la rigidez lateral de cada muro sea distinto.

El estudio demuestra que las deformaciones por cortante tienen una gran influencia en la ubicación de los centros detorsión de entrepiso de edificios que no sean totalmente simétricos en planta y en elevación, y que en sistemas dondeexistan en planta muros con distintas relaciones altura-longitud (h/L), la ubicación de los centros de torsión puedevariar notablemente entre los distintos entrepisos a pesar de que dicha distribución de muros sea idéntica en todos losniveles del edificio, como consecuencia directa de las deformaciones por cortante. Las conclusiones de este estudiotienen un impacto muy directo sobre ciertas limitaciones adicionales que se debieran imponer al método simplificadode análisis permitido actualmente por los reglamentos de diseño sísmico de México. En las siguientes secciones sepresenta la metodología utilizada para estudiar este problema, que se basa en el método propuesto por Julio Damy en1985 para determinar matricialmente los centros de torsión de edificios.

DETERMINACIÓN DE LOS CENTROS DE TORSIÓN DE EDIFICIOS: MÉTODO DE DAMY

Para poder estudiar el impacto de las deformaciones por cortante en la ubicación de los centros de torsión deentrepiso de edificios se ha seleccionado el método que el Ing. Julio Damy Ríos propuso en 1985 en la Facultad deIngeniería de la UNAM y que se documenta con detalle en una tesis de licenciatura que él dirigió (Alcocer 1986), seresume en otra tesis dirigida por él (Tena 1986) y en un artículo presentado en el VI Congreso Nacional de IngenieríaEstructural en Querétaro en 1987 (Damy y Alcocer 1987). El primer autor considera injusta la omisión hecha enBazán y Meli (1999) al presentar en las secciones 2.4 y 6.4.3 de su libro las bases del método propuesto por Damy yno acreditarle su autoría, ni de manera escrita en el texto del mismo, ni en la lista de referencias.

El método propuesto por Damy permite calcular matricialmente los centros de rigidez o de torsión de edificios condiafragmas rígidos con base en las matrices de rigidez lateral del sistema resistente ante carga lateral, para lo cual seconsideran tres grados de libertad globales en cada piso del edificio: dos asociados a los desplazamientoshorizontales y uno de rotación con respecto al eje vertical de la estructura (figura 1). En este trabajo, la matriz derigidez lateral de un muro j ([KD]j); se obtiene por condensación estática de la matriz de rigidez del muro j, como sepresenta secciones más adelante.

1

2

j

β2

βj

β1

Di1 Dij

Di2Fxi

Fyi

Fi2

Fi1

FijC Mi

Vi

θi

rj

r1

r2

Dxi

Dyi

Nivel iX

Y

Z

bxi

byi

CCi

C Ti

exi

eyi

Fi

Figura 1. Sistema de piso del nivel iésimo de una estructura cualquiera

Sea el sistema mostrado en la figura 1, que corresponde a una planta cualquiera del nivel iésimo de un edificio,referido a un sistema coordenado global único para la estructura (X, Y, Z). Sea el muro j cuya posición se define porlos puntos Aj(Xj, Yj) y el ángulo βj. Al muro j en el nivel i se le puede asociar un desplazamiento Dij, en función de lostres grados de libertad del nivel i, es decir:

jijyijxiij rDDD θββ ++= sencos (1)

donde, por geometría, el vector de posición de cada muro j estaría dado por:

jjjjj YXr ββ cossen −= (2)

Empleando notación vectorial, podemos establecer para cada muro j:{ } { } { } { } jjyjxj rDDD θββ ++= sencos (3)

Recordando que en el método de las rigideces, la solución del sistema está dada por:{ } [ ] { }jjDj DKF = (4)

donde, substituyendo la ecuación 3 en la ecuación 4 se tiene:

{ } [ ] { } { } { }[ ]jjyjxjDj rDDKF θββ ++= sencos (5)

donde el vector { }jF representa el conjunto de fuerzas laterales que es necesario aplicar al muro j para conseguir un

vector de desplazamiento { }jD .

Por equilibrio en cada nivel se obtiene que:

{ } { }∑=

=n

jjjx FF

1

cos β (6)

{ } { }∑=

=n

jjjy FF

1

sen β (7)

{ } { }∑=

=n

jjjO rFM

1

(8)

Substituyendo la ecuación 5 en las ecuaciones 6 a 8 se obtiene que las 3m ecuaciones del sistema están dadas por:

{ }{ }

{ }

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

{ }{ }{ }

=

θθθθθ

θ

θ

y

x

yx

yyyyx

xxyxx

O

y

x

D

D

KKK

KKK

KKK

M

F

F

(9)

donde:

[ ] [ ]∑=

=n

jjDjxx KK

1

2cos β (10)

[ ] [ ]∑=

=n

jjDjyy KK

1

2sen β (11)

[ ] [ ] [ ] j

n

jjDjyxxy KKK ββ sencos

1∑

=

== (12)

[ ] [ ] [ ]∑=

==n

jjjDjxx rKKK

1

cos βθθ (13)

[ ] [ ] [ ]∑=

==n

jjjDjyy rKKK

1

sen βθθ (14)

[ ] [ ]∑=

=n

jjDj rKK

1

2θθ (15)

o escrito de manera compacta:

{ } [ ]{ }DKF D= (16)

donde [KD] es la matriz de rigidez lateral del edificio, de orden 3m, donde m es el número de niveles, { }xF y { }yF son

los vectores de fuerza que actúan sobre el edificio y { }OM el vector de momentos de estas fuerzas con respecto al

centro coordenado único para todos los niveles i; los vectores { } { } { }θy , yyx DD son los desplazamientos y rotaciones

de los diafragmas rígidos de cada nivel i y n es el número total de elementos resistentes (muros y o marcos) antecarga lateral.

Coordenadas de los centros de torsión de entrepiso

A partir del sistema de ecuaciones dado por la ecuación 9, Damy razonó que si lo que uno pretende es obtener lascoordenadas de los centros de torsión de los niveles, lo que se requiere es considerar que no existe rotación, es decir,{ }θ =0, y si esto se cumple, las fuerzas actuantes producirán exclusivamente traslaciones sin rotación alguna, lo quedefine al centro de torsión. Para definir las coordenadas del centro de torsión se debe obtener el vector de momentos{ }OM que es necesario aplicar al edificio para que solamente existan desplazamientos { }xD y { }yD sin rotación

{ }θ . Por lo tanto, si { }θ =0, el sistema de ecuaciones en 9 se reduce a:

{ }{ }

[ ] [ ][ ] [ ]

{ }{ }

=

y

x

yyyx

xyxx

y

x

D

D

KK

KK

F

F(17)

{ } [ ]{ } [ ]{ }yyxxO DKDKM θθ += (18)

Se debe, entonces, considerar dos direcciones ortogonales del sismo (por ejemplo, X e Y) para definir los centros detorsión, como se discute a continuación.

Para obtener las abscisas de los centros de torsión de los niveles, consideraremos que las fuerzas sísmicas sonparalelas al eje Y, por lo tanto:

{ } { }0=xF (19)

{ } { }FFy = (20)

Donde { }F es el vector de fuerzas sísmicas de entrepiso. Por lo tanto, substituyendo las ecuaciones 19 y 20 en la

ecuación 17 y resolviendo el sistema, se obtienen los vectores { }xD y { }yD , y substituyendo éstos en la ecuación 18

se obtiene el vector { }OM . De esta manera, podemos calcular la abscisa del centro de pseudotorsión de entrepiso

( )ixτ como:

yi

ii F

Mx 0=τ (21)

Damy definió como centro de pseudotorsión a aquél que está ligado a las fuerzas laterales que actúan en unentrepiso, ya que por definición el centro de torsión es el punto de aplicación de la resultante de las resistencias decada entrepiso, es decir, es el punto por el que debe cruzar la línea de acción de la fuerza cortante sísmica para que elmovimiento relativo de los dos niveles que limitan al entrepiso sea, exclusivamente, de traslación (Alcocer 1986).Por lo tanto, para calcular las coordenadas del centro de torsión hay que trabajar con los cortantes de entrepiso. Porlo tanto, para obtener las abscisas de los centros de torsión de entrepiso ( )iTx , se procede de la siguiente manera.

Para el último nivel (n) tenemos que:

nTn xx τ= (22)

mientras que para cualquier nivel iésimo cualquiera, se tiene que:

yi

iyiTiyiTi V

xFxVx

τ+= ++ 11

(23)

donde Vyi es el cortante de entrepiso del nivel i y n es número total de niveles y, por tanto, corresponde también alúltimo nivel.

Para obtener las ordenadas de los centros de torsión de los niveles, consideraremos que las fuerzas sísmicas sonparalelas al eje X, de manera similar como se hizo en al dirección Y, por lo tanto:

{ } { }FFx = (24)

{ } { }0=yF (25)

Por lo tanto, substituyendo las ecuaciones 24 y 25 en la ecuación 17 y resolviendo el sistema, se obtienen losvectores { }xD y { }yD , y substituyendo éstos en la ecuación 18 se obtiene el vector { }OM . De esta manera,

podemos calcular la ordenada del centro de pseudotorsión de entrepiso ( )iyτ como:

xi

ii F

My 0−

=τ (26)

De manera análoga a la dirección Y, para obtener las ordenadas de los centros de torsión de entrepiso ( )iTy tenemos

que:

nTn yy τ= (27)

xi

ixiTixiTi V

yFyVy τ+

= ++ 11 (28)

donde Vxi es el cortante de entrepiso del nivel i y n es número total de niveles.

Cálculo de los centros de cortante

Se define como centro de cortante (CC) al punto de aplicación de la fuerza cortante sísmica de entrepiso, mientrasque se entiende como centro de masa (CM) al punto de aplicación de la fuerza sísmica en un cierto nivel considerado(figura 1). Por tanto, la definición de los centros de cortante de entrepiso ( )CiCi yx , es de primordial importanciapara estudiar el problema de la torsión estática elástica. Estos se pueden obtener a partir de los centros de masa decada entrepiso ( )MiMi yx , de la siguiente manera:

MnCn xx = (29)

yi

MiyiCiyiCi V

xFxVx

+= ++ 11 (30)

MnCn yy = (31)

xi

MixiCixiCi V

yFyVy

+= ++ 11 (32)

Cálculo de excentricidades estáticas existentes

Una vez conocidos los centros de torsión y de cortante, se desprende que la excentricidad estática existente será ladiferencia entre las coordenadas de los centros de cortante y torsión (figura 1), por lo tanto, se tiene que:

TiCixi xxe −= (33)

TiCiyi yye −= (34)

MODELADO DE LOS MUROS

Para poder utilizar el método de Damy se requieren obtener las matrices de rigidez lateral de los muros incluyendolas deformaciones por cortante. Por lo tanto, se decidió modelar a los muros (fig 2a) como columnas anchasequivalentes (fig 2b), que permiten incluir directamente a las deformaciones por cortante, y posteriormente obtener lamatriz de rigidez lateral mediante una condensación estática de los grados de libertad de rotación, obteniéndose unaviga condensada equivalente en función de los grados de libertad de desplazamiento lateral exclusivamente (fig 2c),como se ilustra esquemáticamente en la figura 2.

Se puede demostrar que la matriz de rigidez de una columna ancha equivalente bidimensional con dos grados delibertad por nudo en coordenadas locales [k´] es de la forma (Tena 1999):

[ ] [ ] [ ][ ] [ ]

−−−−

−−

=

=

xbaxxbax

baxaaxabxaax

xabxxabx

baxaaxabxaax

rrrr

rrrr

rrrr

rrrr

kk

kkk

2221

1211

2221

1211

´´

´´´ (35)

a) Muro sólido b) Columna ancha equivalente c) Viga condensada equivalente

L

h1

h2

D1

D2

D1

D2

ϕ1

ϕ2

D1

D2

ϕ1

ϕ2

Figura 2. Modelado de muros

donde los coeficientes de rigidez están dados por:

( )y

xaax

h

EIr

Φ+=

1

123

(36)

( )y

xbaxabx

h

EIrr

Φ+==

1

62

(37)

( )( )y

xyxx h

EIrr

Φ+

Φ+==

1

42211 (38)

( )( )y

xyxx h

EIrr

Φ+

Φ−==

1

22112 (39)

y las deformaciones por cortante están dadas adimensionalmente en función del coeficiente Φy dado por:

( )2

2124

12

+==Φ

h

r

A

A

hGA

EI x

cycy

xy ν (40)

De la ecuación 40 se aprecia que las deformaciones por cortante dependen de la relación entre el radio de giro de lasección transversal (rx) con respecto a la altura del muro (h), y como el radio de giro es función de la longitud delmuro L, es obvio que las deformaciones por cortante dependen de la relación de aspecto del muro, h/L, o de maneradirecta a partir de la ecuación 40, L/h, es decir, si se introduce una coeficiente α que nos da la fracción de L quedefine el radio de giro para una sección transversal dada (por ejemplo, para la sección transversal rectangularα=0.287), se tiene que la ecuación 40 puede reescribirse como:

( )2

124

+=Φ

h

L

A

A

cyy

αν (41)

Por lo tanto, a medida que aumenta la altura del muro (muros esbeltos) se reduce el valor del coeficienteadimensional Φy y su influencia se reduce notablemente, pero para muros cuadrados o cortos (h relativamentepequeña) se aumenta el valor de Φy y su impacto es significativo en la determinación de la matriz de rigidez y porello no pueden despreciarse en la mayoría de los muros.

La matriz de rigidez global de los muros se obtienen a partir del ensamble de las matrices de rigidez de cada muroutilizando procedimientos convencionales, y haciendo las permutaciones necesarias se puede obtener la matriz derigidez global del sistema en función de los grados de libertad de desplazamiento y de rotación, por lo que el sistemaglobal asociado a la figura 2b estaría definido por:

{ }{ }

[ ] [ ][ ] [ ]

{ }{ }

=

z

x

DDD

D

z

x

Dkk

kk

F

M ϕ

ϕ

ϕϕϕ (42)

donde { } { }zx FyM son los momentos flexionantes y fuerzas laterales externamente aplicados respectivamente,

{ } { }zx Dyϕ son los giros asociados a los momentos flexionantes y los desplazamientos asociados a las fuerzas

laterales respectivamente, y [ ] [ ] [ ] [ ]DDDD kykkk ϕϕϕϕ ,, son las submatrices de rigidez asociadas a giros y

desplazamientos laterales.

Para obtener a la viga equivalente mostrada en la figura 2c, se necesita hacer una condensación estática del sistemade ecuaciones dado por la ecuación 42, de manera que los grados de libertad de giro se incluyan en la respuesta. Sepuede demostrar a partir de la ecuación 42 (Tena 1999) que el sistema equivalente de la figura 2c está dado por:

{ } [ ][ ] { } [ ] [ ][ ] [ ]( ){ }zDDDDxDz DkkkkMkkF ϕϕϕϕϕϕϕ11 −− −=− (43)

o escrito de otra forma:

{ } [ ][ ] { } [ ]{ }zDxDz DKMkkF =− −1ϕϕϕ (44)

donde [ ]DK es la matriz de rigidez lateral del muro, dada por:

[ ] [ ] [ ][ ] [ ]DDDDD kkkkK ϕϕϕϕ1−−= (45)

De esta manera, las matrices de rigidez lateral de cada muro requeridas en el método de Damy se pueden calcular yprogramar fácilmente. Para ilustrar lo complejo que es la participación de las deformaciones por cortante en la matrizde rigidez lateral de los muros, se presenta la forma de la matriz de rigidez lateral del muro de dos pisos de la figura2 en función de los coeficientes de rigidez de cada entrepiso del muro, indicando con superíndices a que entrepisocorresponde cada coeficiente. En Tena (1999) se demuestra que para el muro de la figura 2, la matriz de rigidezlateral está dada por:

[ ]

=

DD

DDD kk

kkK

2221

1211 (46)

donde:

[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )

+++−−−+= 2

11122

22212

2222

21212111

1xxbaxxbaxxabxbaxabxbaxaaxaaxD rrrrrrrrrr

Detrrk

ϕϕ(47)

[ ] [ ] ( )( ) ( )[ ]{ }211

122

2212

22212

2222

22121212

1xxbaxxabxbaxxbaxxabxabxbaxaaxDD rrrrrrrrrrrr

Detrkk +−+−−−−==

ϕϕ(48)

[ ] ( ) ( ) ( )

++−−= 2

11122

22212

22222

22222 2

1xxbaxxbaxabxxabxaaxD rrrrrrrr

Detrk

ϕϕ(49)

( ) ( )2212

222

211

122 xxxx rrrrDet −+=ϕϕ (50)

MODELOS EN ESTUDIO

Para estudiar la importancia que tienen las deformaciones por cortante de los muros en la ubicación de los centros detorsión de entrepiso de edificios estructurados completamente a base de muros, se seleccionaron inicialmente seismodelos de edificio que, aparentemente, cumplen satisfactoriamente con las limitantes impuestas actualmente por losreglamentos mexicanos para el empleo del método simplificado de análisis por sismo, el cual permite ignorar losefectos de torsión, considerando que se trata esencialmente de estructuras de mampostería, que son donde más seemplea este método. El modelado de los muros y la determinación de los centros de torsión, centros de cortante yexcentricidades estáticas en planta se hizo conforme se expuso en secciones anteriores, utilizando el método deDamy, considerando deformaciones por cortante de cada muro (Φy calculado conforme a la ecuación 40), odespreciando las deformaciones por cortante (Φy =0 para todos los muros), para lo cual fue necesario desarrollarprogramas específicos para este propósito, que se documentan en Pérez (2000).

Se seleccionaron edificios de mampostería tipo de tres niveles, con altura típica de entrepiso de 2.50 m, cuyas plantasse presentan en las figuras 3 a 8 y los criterios empleados en su selección así como sus características más relevantesse enuncian a continuación. En todos los casos, los muros de mampostería tienen 14 cm de espesor, con E=19.2ton/cm y v=0.25, y como se indicó anteriormente, Φy se calculó conforme a la ecuación 40 cuando se considerandeformaciones por cortante y se tomó Φy =0 cuando se despreciaron las deformaciones por cortante. Se estudio entodos los modelos el caso muy común de edificios donde se tiene la misma distribución de muros en cada planta,pero en cada planta existen muros con distintas relaciones altura-longitud (h/L), lo que ocasiona que el impacto delas deformaciones por cortante en la rigidez lateral de cada muro sea distinto, como se puede deducir a partir de lopresentado en la sección anterior. En la dirección Y se emplearon tres muros largos dispuestos simétricamentesiempre, mientras que en la dirección X se emplearon seis muros, cuatro perimetrales y dos centrales, donde losmuros perimetrales siempre son iguales entre sí para cada caso de estudio y los muros centrales tienen las mismasdimensiones en todos los estudios.

L’ L’

1 2

4

6 7 3

5

98

12 m

8 m

2.5 m 2.5 m

L’ L’

1 2

4

6 7 3

5

98

12 m

8 m

2.5 m 2.5 m

Figura 3. Planta tipo del modelo 1 Figura 4. Planta tipo de los modelos 2 y 3

Se estudiaron dos casos generales, (a) aquél donde la distribución de muros en planta es completamente simétricacon respecto a dos ejes ortogonales principales (figuras 3 a 5), que es la hipótesis en que se basa el métodosimplificado permitido por las normas técnicas complementarias para diseño por sismo y, (b) se consideró también elcaso donde la distribución de los muros es totalmente simétrica con respecto a un eje ortogonal (eje Y), pero esasimétrica con respecto al otro (figuras 6 a 8), con la finalidad de evaluar esta condición permitida por el métodosimplificado de análisis. Para cada caso general, se estudiaron las siguientes cinco alternativas que se pueden agruparen tres, (1) los modelos de referencia (figuras 3 y 6), donde en todos lo entrepisos la relación de aspecto de todos losmuros en dirección X (muros 4 a 9) es h/L=1, es decir, todos los muros son cuadrados, (2) dos modelos donde en ladirección X, los muros centrales (6 y 7) tienen una relación de aspecto h/L=1, pero los muros de los extremos (muros4, 5, 8 y 9) son alargados, con relaciones de aspecto h/L=0.75 y h/L=0.5 (figuras 4 y 7) y, (3) dos modelos donde losmuros centrales (6 y 7) tienen una relación de aspecto h/L=1, pero los muros de los extremos (muros 4,5, 8 y 9) sonesbeltos, con relaciones de aspecto h/L=1.33 y h/L=2.0 (figuras 5 y 8). Las características generales de cada modeloen estudio se resumen en la tabla 1.

L’ L’1 2

4

6 7 3

5

98

12 m

8 m

2.5 m 2.5 m

L’ L’

1

2

4

8

6 7

3

5

9

12 m

8 m

1 m

2.5 m 2.5 m

Figura 5. Planta tipo de los modelos 4 y 5 Figura 6. Planta tipo del modelo 6

L’ L’

1

2

4

8

6 7

35

9

12 m

8 m

1 m

2.5 m 2.5 m

L’ L’

1

2

4

8

6 7

3

5

9

12 m

8 m

1 m

2.5 m 2.5 m

Figura 7. Planta tipo de los modelos 7 y 8 Figura 8. Planta tipo de los modelos 9 y 10

Tabla 1. Identificación de los modelos en estudioModelos simétricos Modelos asimétricos

Modelo H/L muros 6 y 7 H/L´ muros 4, 5, 8 y 9 Modelo H/L muros 6 y 7 H/L´ muros 4, 5, 8 y 91 1.0 1.0 6 1.0 1.02 1.0 0.75 7 1.0 0.753 1.0 0.5 8 1.0 0.54 1.0 1.33 9 1.0 1.335 1.0 2.0 10 1.0 2.0

En el método de Damy se calcularon las fuerzas y cortantes sísmicos considerando que se trata de un edificio deoficinas donde puede emplearse el método simplificado y se incluyó además el peso propio de los muros, por lo queen la tabla 2 se resumen las fuerzas sísmicas utilizadas en los análisis para cada modelo. Las masas se consideraronuniformemente distribuidas en todos los entrepisos, por lo que el centro de masas de cada entrepiso coincide con elcentro geométrico de cada planta, es decir xMi=6m y yMi=4m.

Tabla 2. Fuerzas sísmicas utilizadas en los modelos en estudioNivel Modelos 1 y 6 Modelos 2 y 7 Modelos 3 y 8 Modelos 4 y 9 Modelos 5 y 10

Fi (Ton) Vi (Ton) Fi (Ton) Vi (Ton) Fi (Ton) Vi (Ton) Fi (Ton) Vi (Ton) Fi (Ton) Vi (Ton)3 17.63 17.63 17.93 17.93 18.55 18.55 17.40 17.40 17.17 17.172 15.49 33.12 15.89 33.82 16.69 35.23 15.19 32.59 14.89 32.061 7.75 40.86 7.94 41.76 8.34 43.57 7.59 40.18 7.45 39.5

Las relaciones de aspecto de los muros (h/L) seleccionadas tienen que ver con aquéllas especificadas actualmente enel método simplificado de análisis propuesto en el anteproyecto de las normas técnicas complementarias para diseñoy construcción de estructuras de mampostería (NTCM-2000 2000). En este respecto, también se evaluó la propuestade dicho anteproyecto de norma para calcular de manera aproximada, la excentricidad torsional calculadaestáticamente, es, como el cociente del valor absoluto de la suma algebraica del momento de las áreas efectivas de losmuros, con respecto al centro de cortante del entrepiso, entre el área efectiva total de los muros orientados en ladirección de análisis (figura 9), dado por la expresión:

j

T

n

iAEi

n

iTiAEii

sj B

AF

AFx

e

i

1.0

1

1 ≤=

∑

∑

=

= (51)

donde el área efectiva es el producto del área bruta de la sección transversal del muro i, ATi, y el factor FAEi, donde Hes la altura libre del muro y L es la longitud efectiva del muro, y el factor FAEi se calcula como:

1=AEiF , si 33.1≤L

H(52)

2

33.1

=

H

LFAEi , si 33.1>

L

H(53)

X

Y

x i

x

F A F A

i+1

B

eiAE Ti i +1AE Ti +1

Centro de Cortantedel entrepiso j

Entrepiso j

s,j

j

Figura 9. Requisito para considerar distribución simétrica de muros en una dirección (NTCM-2000)

Por lo tanto, para cada modelo se determinaron las excentricidades estáticas utilizando: 1) el método de Damy,incluyendo deformaciones por cortante (Φy ≠0), 2) el método de Damy, ignorando las deformaciones por cortante(Φy =0) y, 3) el método simplificado propuesto en las NTCM-2000 (ecuación 51). Para todos los modelos simétricos(modelos 1 a 5, figs 3 a 5), como se esperaba a-priori, se obtuvo por los tres métodos que no existe excentricidadestática en planta en ningún nivel y en ninguna dirección, es decir, exi=eyi=0.

Para los modelos asimétricos (modelos 6 a 10, figs 6 a 8), se obtuvo por los tres métodos que en la dirección donde ladistribución de muros es totalmente simétrica, no existe excentricidad en ningún nivel, es decir, exi=0, como seesperaba a-priori. Sin embargo, en la dirección donde se presenta la asimetría se obtuvieron resultados muyinteresantes, contrarios a lo que pudiera suponerse a-priori. Dichos resultados se resumen en la tabla 3 y se discutena continuación. De la geometría de los modelos 6 a 10 ilustrados en las figuras 6 a 8, pudiera pensarse a-priori quecomo la distribución de muros en planta es la misma en todos los niveles, si la distribución de masas es simétrica entodos los niveles, como se supuso en este estudio, entonces, las excentricidades estáticas en todos los nivelesdeberían tener el mismo valor en todos los niveles. De los resultados de la tabla 3 se observa que utilizando elmétodo riguroso de Damy, ésto sólo se cumple para todos los modelos cuando no se toman en cuenta lasdeformaciones por cortante (Φy =0); sin embargo, este caso de estudio no es realista para sistemas a base de muros(aunque sí lo es para sistemas a base de marcos). Cuando se consideran las deformaciones por cortante (Φy ≠0), las

excentricidades estáticas en todos los niveles sólo tienen el mismo valor cuando todos los muros en la dirección Xtienen la misma relación de aspecto (H/L=1, figura 6), lo que se debe a que en este caso, el coeficiente adimensionalΦy de cada muro en esa dirección es igual y, por lo tanto, tiene la misma influencia en la obtención de la matriz derigidez diagonal por condensación estática en todos los niveles, lo que propicia que los centros de torsión deentrepiso y, por ende, las excentricidades estáticas coincidan. Sin embargo, se observa que cuando los muros de losextremos (muros 4, 5, 8 y 9) tienen distintas relaciones de aspecto que los muros centrales (muros 6 y 7), como es elcaso estudiado en los modelos 7 a 10 (figs 7 y 8), las excentricidades estáticas de cada nivel no coinciden, comoresultado de que el coeficiente adimensional Φy de los muros centrales 6 y 7 no coincide con el de los murosextremos 4, 5, 8 y 9, teniendo distinto impacto en las rigideces relativas de las matrices de rigidez diagonal de cadatipo de muro en cada entrepiso, lo que propicia que los centros de torsión de entrepiso no coincidan y, por ende, lasexcentricidades estáticas. Además, se aprecia que cuando dominan muros rectangulares con relaciones de aspectocortas (modelos 7 y 8), donde las deformaciones por cortante son importantes, las excentricidades estáticascalculadas tienden a incrementarse del último al primer nivel; en contraste, cuando predominan los muros esbeltos(modelos 9 y 10), donde el impacto de las deformaciones por cortante se reduce, las excentricidades estáticascalculadas tienden a incrementarse del primer nivel al último nivel. Del conocimiento de los autores, estasobservaciones no han sido discutidas anteriormente en la literatura especializada sobre el tema, y tienenimplicaciones muy importantes, ya que puede modificar algunos criterios simplistas establecidos en los reglamentosde diseño sísmico sobre el concepto de simetría de elementos resistentes en planta para el caso de sistemas a base demuros, como se discute más adelante.

Tabla 3. Excentricidades estáticas en la dirección y (eyi) de los modelos asimétricos en estudio (en %)Modelo 6 Modelo 7

Nivel Damy (ΦΦy ≠≠0) Damy (ΦΦy =0) NTCM-2000 Damy (ΦΦy ≠≠0) Damy (ΦΦy =0) NTCM-20003 4.17 4.17 4.13 1.92 2.18 3.382 4.17 4.17 4.13 2.30 2.18 3.381 4.17 4.17 4.13 3.09 2.18 3.38

Modelo 8 Modelo 9Nivel Damy (ΦΦy ≠≠0) Damy (ΦΦy =0) NTCM-2000 Damy (ΦΦy ≠≠0) Damy (ΦΦy =0) NTCM-2000

3 0.36 0.74 2.50 7.07 6.78 52 0.92 0.74 2.50 6.69 6.78 51 2.07 0.74 2.50 5.73 6.78 5

Modelo 10Nivel Damy (ΦΦy ≠≠0) Damy (ΦΦy =0) NTCM-2000

3 10.35 10 8.662 9.98 10 8.661 8.63 10 8.66

Nota: Las excentricidades estáticas estánindicadas como un porcentaje de la dimensiónmáxima en planta en la dirección y, es decir,B=8m.

En la tabla 3 también se compara la aproximación de la ecuación propuesta por las NTCM-2000 para el cálculo de laexcentricidad estática con respecto a la obtenida con el procedimiento riguroso utilizado en este trabajo (Damy, Φy

≠0). Se aprecia que la aproximación es muy razonable para el modelo donde todos los muros en dirección X tienenlas mismas proporciones (H/L=1, modelo 6); sin embargo, la aproximación ya no es tan buena para modelos dondeexisten muros con distintas relaciones de aspecto (modelos 7 a 10). En este respecto, los resultados de la tabla 3indicarían que para sistemas con muros esencialmente cortos o rectangulares (modelos 7 y 8), la expresión propuestapor las NTCM-2000 permitiría llegar a estimaciones conservadoras de la excentricidad estática, mientras que parasistemas con muros esencialmente esbeltos (modelos 9 y 10), la expresión de las NTCM-2000 no es conservadora,por lo que pudiera estudiarse alguna modificación en el factor FAEi propuesto dentro del cuerpo de la norma para estepropósito (ecuación 53).

Con la finalidad de evaluar más extensamente el impacto de las deformaciones por cortante en la ubicación de loscentros de torsión de entrepiso de edificios que no sean totalmente simétricos en planta, pero que dispongan de lamisma distribución de muros y masas en todos los entrepisos, se estudió el ejemplo número 2 presentado en loscomentarios de las Normas Técnicas Complementarias para Diseño y Construcción de Estructuras de Mamposteríade 1987 (“Comentarios” 1992), donde se ilustra la aplicación del método simplificado de análisis, ya que de acuerdocon los mismos comentarios, cumple con las restricciones para la aplicación del método simplificado según las

normas de referencia. El edificio en cuestión cuenta con cinco niveles con altura típica de entrepiso h=2.50 m, cuyaplanta se ilustra en la figura 10 y sus detalles se presentan en “Comentarios” (1992) y Pérez (2000), y en la tabla 4 seresumen las características de los 10 muros tipo consideradas en este estudio.

285 135 240 130 130 240 135 285

335

335

120

12065

135

100

11

13 12 23 24

22

2089

2110

2

5

4

6 19

17

18

7

1615

141

3

48

Figura 10. Ejemplo 2, “Comentarios” (1992), planta tipo (unidades: m)

Tabla 4. Características de los muros del Ejemplo 2, “Comentarios” (1992)Muro tipo N° E (t/cm2) V t (cm) L (cm) Muros con estas características

1 19.2 0.25 14 670 1, 142 19.2 0.25 14 235 2, 3, 15, 163 19.2 0.25 14 455 4, 6, 17, 194 19.2 0.25 14 200 5, 12, 18, 235 19.2 0.25 14 335 76 19.2 0.25 14 290 87 19.2 0.25 14 355 9, 208 19.2 0.25 14 170 10, 219 19.2 0.25 14 285 11, 22

10 19.2 0.25 14 190 13, 24

Para este modelo se determinaron las excentricidades estáticas utilizando: 1) el método de Damy, incluyendodeformaciones por cortante (Φy ≠0), 2) el método de Damy, ignorando las deformaciones por cortante (Φy =0), 3) elmétodo simplificado propuesto en las NTCM-2000 (ecuación 51) y, 4) el método de Damy, pero considerando, deacuerdo con las hipótesis del método simplificado de análisis, que los muros pueden modelarse como un sistema decorte puro, por lo que la matriz de rigidez diagonal de cada muro es, en este caso:

[ ]

−−−

−−−−

−

=

cmcm

cmcmcm

cmcmcm

cmcmcm

cmcm

D

kk

kkk

kkk

kkk

kk

K

000

200

020

002

0002

(54)

donde kcm es la rigidez de entrepiso por cortante de cada muro, que de acuerdo con las hipótesis del métodosimplificado propuesto por las NTCM-2000, sería calculada como:

muro

AEmuroTmuromurocm H

FAGk = (55)

En la dirección Y, donde la distribución de muros es totalmente simétrica, se obtuvo por los cuatro métodos que noexiste excentricidad en ningún nivel, es decir, exi=0, como se esperaba a-priori. Sin embargo, en la dirección dondese presenta la asimetría se obtuvieron resultados muy interesantes, que se resumen en la tabla 5 y que no dejan de sersorprendentes. De acuerdo con la fórmula propuesta por las NTCM-2000, la aplicación del método simplificado deanálisis sería totalmente válida, ya que las excentricidades estáticas calculadas para cada nivel son inferiores al 10%;sin embargo, de acuerdo con el método de Damy, dichas excentricidades son muy superiores y diferentes a lascalculadas conforme a las NTCM-2000, independientemente de si se toman o no las deformaciones por cortante. Seobservan las mismas tendencias que en los modelos simples, y de acuerdo con los resultados de la tabla 5, pareceríaser que en este caso los efectos de esbeltez predominan, ya que las excentricidades calculadas con el método deDamy cuando se consideran deformaciones por cortante aumentan del primer al último nivel. Por ello se decidióestudiar el modelo de cortante puro identificado como Damy-NTCM, en el cual se valoran las hipótesis hechas en elmétodo simplificado de análisis, donde la rigidez de los muros en cada entrepiso es directamente proporcional a surigidez a corte, como lo establecen las ecuaciones 54 y 55. Se observa en la tabla 5 que si éste es el caso, la fórmulasimplificada propuesta por las NTCM-2000 hacen un trabajo decoroso en predecir las excentricidades estáticas,aunque no es conservadora, pues subestima las excentricidades obtenidas con un método más riguroso.

Tabla 5. Excentricidades estáticas en la dirección y (eyi) del Ejemplo 2 de la figura 10 (en %)Nivel Damy (ΦΦy ≠≠0) Damy (ΦΦy =0) NTCM-2000 Damy-NTCM

5 29.66 25.63 6.96 8.754 25.27 25.63 6.96 8.753 22.09 25.63 6.96 8.752 24.48 25.63 6.96 8.751 16.40 25.63 6.96 8.75

De los resultados de este estudio comparando los modelos Damy (Φy ≠0) y Damy-NTCM, uno pudiera comenzar adiscernir cuál es la diferencia entre un sistema de cortante puro, representado por el modelo Damy-NTCM, y unsistema donde se consideran tanto los desplazamientos directos como las rotaciones locales de los muros,representado por los modelo Damy (Φy ≠0) y Damy (Φy =0). Al parecer, la diferencia importante que existe en lasmagnitudes calculadas entre uno y otro sistema se debe a los términos fuera de la diagonal de las matrices de rigidezlateral en uno y otro caso, ya que para el modelo Damy-NTCM, esta matriz es tridiagonal, con coeficientes iguales acero fuera de esta tridiagonal (ecuación 54), mientras que en los otros dos casos, la matriz es totalmente llena debidaa la condensación estática de los grados de libertad de rotación, de lo que se concluye que además de lasdeformaciones por cortante, los grados de libertad de rotación de los muros tienen un impacto muy importante en lalocalización de los centros de torsión de entrepiso, por lo que el empleo del concepto de rigidez de entrepiso pudierasubestimar notablemente el cálculo de las excentricidades estáticas en estructuras, principalmente si se trata desistemas a base de muros.

RESUMEN Y CONCLUSIONES

El presente trabajo estudió la importancia que tienen las deformaciones por cortante de los muros en la ubicación delos centros de torsión de entrepiso de edificios estructurados completamente a base de muros, mediante ladeterminación de las excentricidades estáticas de cada entrepiso, comparando a su vez las diferencias en sulocalización si no se consideran o no las deformaciones por corte o si se emplean la fórmula aproximada propuestapara el método simplificado de análisis por las NTCM-2000. En particular se estudiaron edificios que,aparentemente, cumplen satisfactoriamente con las limitantes impuestas actualmente por los reglamentos mexicanospara el empleo del método simplificado de análisis, el cual permite ignorar, entre otras cosas, los efectos de torsión.Además, se valoró el caso muy común de edificios donde se tiene la misma distribución de muros en cada planta,pero en cada planta existen muros con distintas relaciones altura-longitud (h/L), lo que ocasiona que el impacto delas deformaciones por cortante en la rigidez lateral de cada muro sea distinto.

El estudio de todos los modelos demuestra que las deformaciones por cortante tienen una gran influencia en laubicación de los centros de torsión de entrepiso de edificios que no sean totalmente simétricos en planta y enelevación, y que en sistemas donde existan en planta muros con distintas relaciones altura-longitud (h/L), laubicación de los centros de torsión puede variar notablemente entre los distintos entrepisos a pesar de que dichadistribución de muros sea idéntica en todos los niveles del edificio, como consecuencia directa de las deformacionespor cortante. Se observó que cuando dominan muros rectangulares con relaciones de aspecto cortas (h/L ≤ 1), dondelas deformaciones por cortante son importantes, las excentricidades estáticas calculadas tienden a incrementarse delúltimo al primer nivel; en contraste, cuando predominan los muros esbeltos (h/L > 1), donde el impacto de lasdeformaciones por cortante se reduce, las excentricidades estáticas calculadas tienden a incrementarse del primernivel al último nivel. Además, del estudio de los modelos que se basan en el ejemplo 2 presentado en los comentariosde las Normas Técnicas Complementarias para Diseño y Construcción de Estructuras de Mampostería de 1987 seconcluye que además de las deformaciones por cortante, los grados de libertad de rotación de los muros tienen unimpacto muy importante en la localización de los centros de torsión de entrepiso, por lo que el empleo del conceptode rigidez de entrepiso pudiera subestimar notablemente el cálculo de las excentricidades estáticas en estructuras,principalmente si se trata de sistemas a base de muros.

Con respecto a la aproximación de la ecuación propuesta por las NTCM-2000 para el cálculo de la excentricidadestática comparada con la obtenida con el método riguroso utilizado en este trabajo (método de Damy considerandodeformaciones por cortante), se aprecia que la aproximación es muy razonable para modelos donde todos los murostienen las mismas proporciones (relación h/L) en una dirección; sin embargo, la aproximación ya no es tan buenapara modelos donde existen muros con distintas relaciones de aspecto (h/L). En este respecto, los resultados delestudio indicarían que para sistemas con muros esencialmente cortos o rectangulares (h/L ≤ 1), la expresiónpropuesta por las NTCM-2000 permitiría llegar a estimaciones conservadoras de la excentricidad estática, mientrasque para sistemas con muros esencialmente esbeltos (h/L > 1), la expresión de las NTCM-2000 no es conservadora,por lo que pudiera estudiarse alguna modificación en el factor FAEi propuesto dentro del cuerpo de la norma para estepropósito. El trabajo también ilustra que la expresión propuesta por las NTCM-2000 no es muy afortunada paraestructuras donde se empleen un gran número de muros con distintas relaciones de aspecto (h/L) en cada planta,donde las subestimaciones pueden ser notables, a juzgar por el ejemplo presentado, lo cual se debe confirmar conestudios adicionales donde se consideren otras variables importantes, como por ejemplo, la relación de esbeltezglobal de la estructura.

REFERENCIAS

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NTCM-2000 (2000), “Normas Técnicas Complementarias para Diseño y Construcción de Estructuras deMampostería”, Anteproyecto del Comité de Normas, abril.

Pérez, M A (2000), “Estudio de la excentricidad estática máxima para el diseño de estructuras de mamposteríaconforme al método simplificado”, Proyecto Terminal de Licenciatura, Departamento de Materiales, UniversidadAutónoma de Metropolitana, mayo.

Tena, A (1986), “Reestructuración de un edificio dañado por el sismo del 19 de septiembre de 1985”, Tesis deLicenciatura, Facultad de Ingeniería, UNAM, noviembre.

Tena, A (1999), Apuntes del curso Análisis Estructural III, Universidad Autónoma Metropolitana Azcapotzalco.