DEFINICION DE DERIVADA.

La expresión h

)x(f)hx(fLímm o0

0hT

−+=

→ se utiliza para calcular la pendiente de una

recta tangente a la curva de f ( x ) , para un valor de x = c.

Pero, la expresión h

)x(f)hx(fLím)x('f

0h

−+=→

se utiliza para calcular la pendiente de

una recta tangente a la curva de f ( x ) , para cualquier valor de x. Donde f ‘ ( x ) se conoce como derivada de f ( x ) , y se lee f prima de x . Así, la derivada de f ( x ) es la fórmula que se utiliza para calcular la pendiente de la recta tangente a la curva de f ( x ) , para cualquier valor de x. Ejercicios: Determine la derivada de cada una de las siguientes funciones, haciendo uso de la definición. Luego, determine las pendientes que, en cada caso, se pidan. 1. f ( x ) = x2 + 1 ; ( a ) x = 2 , ( b ) x = 0 , ( c ) x = – 1 Solución: * Partiendo de la fórmula para encontrar la derivada:

h

)x(f)hx(fLím)x('f

0h

−+=→

Se empieza determinando cada componente de la misma. Se encuentra la evaluación del primer término del numerador.

1hhx2x

.cuadradoelrdesarrolladebeSe1)hx()hx(f22

2

+++=

++=+

Se realiza la resta del numerador, y dividiendo entre h :

quedado ha que lo a límite aplica Se hx2

fracciónlasimplificaSeh

)hx2(h

numeradorelencomúnfactorsacaSeh

hhx2

xposeennoqueosmintércancelanSeh

1x1hhx2x

)x(fdeparéntesiselrimesupSeh

)1x(1hhx2xh

)x(f)hx(f

2

222

222

+=

+=

+=

∆−−+++=

+−+++=−+

Se aplica límite a la expresión obtenida, y se evalúa: x20x2)hx2(Lím)x('f

0h=+=+=

→

Como la tendencia es de x∆ , el término 2x permanece intacto. La derivada es: f ‘ ( x ) = 2x Con este resultado se puede determinar cuanta pendiente se desee, evaluando en ella. a) Para x = 2 � mT = f ‘ ( 2 ) = 2 ( 2 ) = 4 mT = 4 b) Para x = 0 � mT = f ‘ ( 0 ) = 2 ( 0 ) = 0 mT = 0 c) Para x = – 1 � mT = f ‘ ( – 1 ) = 2 ( – 1 ) = – 2 mT = – 2 Ahora: Encuentre la derivada de f ( x ) = 4 – x 2 Luego, determine la pendiente de la recta tangente en: a) x = 1 , b) x = 0 , c) x = – 2 Respuestas: f ‘ ( x ) = – 2x a) mT = – 2 , b) mT = 0 , c) mT = 4 2. f ( x ) = 2x2 – 3x + 5 ; ( a ) x = 1 , ( b ) x = 0 , ( c ) x = – 2 Solución: * Se obtiene )hx(f +

5h3x3h2 h4x 2x

5h3x3) h h2x x( 2

5)hx(3)hx(2)hx(f

22

22

2

++−++=

++−++=

++−+=+

* Aplicando en la fórmula de definición:

)3h2 4x (Lím

hlasnsimplificaSeh

)3h2 4x (h Lím

numeradorelencomúnfactorsacaSeh

h3h2 h4x Lím

opuestososmintércancelanSeh

5x3x25h3x3h2 h4x 2xLím

paréntesislosrimensupSeh

)5x3x2(5h3x3h2 h4x 2xLím

h)x(f)hx(f

Lím)x('f

0h

0h

2

0h

222

0h

222

0h

0h

++=

++=

++=

−+−++−++=

+−−++−++=

−+=

→

→

→

→

→

→

* Evaluando el límite.

3 4x)x('f +=

++=++=→

3)0(2 4x )3h2 4x (Lím)x('f0h

* Ahora, se va a calcular cada una de las pendientes. ( a ) x = 1 � mT = f ‘ ( 1 ) = 4 ( 1 ) + 3 � mT = 7 ( b ) x = 0 � mT = f ‘ ( 0 ) = 4 ( 0 ) + 3 � mT = 3 ( c ) x = – 2 � mT = f ‘ ( – 2 ) = 4 ( – 2 ) + 3 � mT = – 5

3. f ( x ) = 2x

5−

; ( a ) x = 3 , ( b ) x = 0 , ( c ) x = – 1

Solución: * Se obtiene )hx(f +

2hx

5)hx(f

−+=+

* Aplicando en la fórmula de definición:

)2x()2hx(5

Lím

hlasnsimplificaSe)2x()2hx(h

h5Lím

mediosyextremosnmultiplicaSe

1h

)2x()2hx(h5

Lím

opuestossignosconosmintércancelanSeh

)2x()2hx(10h5x510x5

Lím

indicadosproductosefectúanSeh

)2x()2hx()2hx(5)2x(5

Lím

solaunaenfraccioneslasconviertenSeh

2x5

2hx5

Lím

h)x(f)hx(f

Lím)x('f

0h

0h

0h

0h

0h

0h

0h

−−+−=

−−+−=

−−+−

=

−−++−−−

=

−−+−+−−

=

−−

−+=

−+=

→

→

→

→

→

→

→

* Evaluando el límite.

2)2x(

5)x('f

−−=

−−−=

−−+−=

−−+−=

→ )2x()2x(5

)2x()20x(5

)2x()2hx(5

Lím)x('f0h

* Ahora, se va a calcular cada una de las pendientes.

( a ) x = 3 � mT = f ‘ ( 1 ) = 15

)1(

5

)21(

522

−=−−=

−−

� mT = – 5

( b ) x = 0 � mT = f ‘ ( 0 ) = 45

)2(

5

)20(

522

−=−−=

−−

� mT = – 45

( c ) x = – 1 � mT = f ‘ ( – 2 ) = 95

)3(

5

)21(

522

−=−−=

−−−

� mT = –95

4. f ( x ) = 3x + ; ( a ) x = 1 , ( b ) x = 0 , ( c ) x = – 2

Solución: * Se obtiene )hx(f + 3hx)hx(f ++=+

* Aplicando en la fórmula de definición:

3x3hx

1Lím

hlasnsimplificaSe)3x3hx(h

hLím

opuestososmintércancelanSe)3x3hx(h

3x3hxLím

paréntesisrimensupSe)3x3hx(h

)3x(3hxLím

radicalesrimensupSe)3x3hx(h

)3x()3hx(Lím

3x3hx

3x3hx.

h

3x3hxLím

aciónracionalizaplicaSeh

3x3hxLím

h)x(f)hx(f

Lím)x('f

0h

0h

0h

0h

22

0h

0h

0h

0h

++++=

++++=

++++−−++=

+++++−++=

+++++−++

=

+++++++++−++

=

+−++=

−+=

→

→

→

→

→

→

→

→

* Evaluando el límite.

3x2

1)x('f

+=

+++=

++++=

++++=

→ 3x3x

1

3x30x

1

3x3hx

1Lím)x('f

0h

* Ahora, se va a calcular cada una de las pendientes.

( a ) x = 1 � mT = f ‘ ( 1 ) = )2(2

1

42

1

312

1 ==+

= � mT = 41

( b ) x = 0 � mT = f ‘ ( 0 ) = 32

1

302

1 =+

= � mT = 32

1

( c ) x = – 2 � mT = f ‘ ( – 2 ) = )1(2

1

12

1

322

1 ==+−

= � mT = 21