definicion clasica ecuaciones diferenciales

ECUACIONES DIFERENCIALES. Definiciones Básicas. 1

ECUACIONES DIFERENCIALES.DEFINICIONES BASICAS.ECUACION DIFERENCIAL.Una ecuación diferencial es aquella expresión que contiene derivadas o diferenciales de una función desconocida o variable dependiente con respecto a una o más variables independientes.También se define a la ecuación diferencial como una relación funcional entre una o más variables independientes, una función desconocida o variable

dependiente y sus derivadas. ( )( ), , ', '', '', , 0nf x y y y y y =K .

Ejemplos,

2 xdye

dx−= y x y

kxt t s

∂ ∂ ∂= + −∂ ∂ ∂

2 '' ' 0x y xy y+ + = 2''yy x y x+ =2

2

y yc

t s

∂ ∂+ =∂ ∂

22 2 2

2( ) 0

d y dyx x x v ydx dx

+ + − =

4 2

4 2

v mkv

t n

∂ ∂= ∂ ∂ ( ) 2V 2''' '' 0y y y y− + − =

'x

y yy

+ = cos ' 0y y+ = .

CLASIFICACION DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES.De acuerdo con la definición de ecuación diferencial, por contener derivadas o diferenciales, las ecuaciones diferenciales se pueden clasificar por el tipo de derivada como:

OrdinariasTipo

Parciales

ECUACION DIFERENCIAL ORDINARIA,Una ecuación diferencial ordinaria contiene derivadas o diferenciales ordinarias, es decir derivadas o diferenciales de funciones de una sola variable,

( )f x ( )h t , ( )r s etc.

Elaborado por Ing. ERNESTO TELLO ABURTO 22 de marzo de 2014


EJEMPLOS.

1. 2 xdye

dx−= 2. 2 '' ' 0x y xy y+ + =

3. 2''yy x y x+ = 4.2

2 2 22

( ) 0d y dy

x x x v ydx dx

+ + − =

5. ( ) 2V 2''' '' 0y y y y− + − = 6. 'x

y yy

+ =

7. cos ' 0y y+ = 7.2

22

(1 ) 2 ( 1) 0d y dy

x x p p ydx dx

− − + + =

8.2

20

d yxy

dx+ = 9. 2 2(1 ) 0x y xy p y′′ ′− − + =

10. 2 2 0y xy py′′ ′− + = 11.dy

kydx

=

12.

233

3sen

d y dyy x

dx dx + = +

Ecuación 7: ecuación de Legendre.Ecuación 8: ecuación de Bessel.Ecuación 9: ecuación de Airy.Ecuación 10: ecuación de Hermite.

ECUACION DIFERENCIAL PARCIAL.Una ecuación diferencial parcial es aquella que contiene derivadas o diferenciales parciales, es decir derivadas o diferenciales de una función de varias variables. ( , )y x t , ( , )w f x y= ( , , )r r x y z= etc.Ejemplo.

1 2u u

x yx y

∂ ∂− = −∂ ∂

2.2

2

y yc

t s

∂ ∂+ =∂ ∂

34 2

4 2

v mkv

t n

∂ ∂= ∂ ∂



ORDEN DE LA ECUACION DIFERENCIAL.Las derivadas tienen la propiedad de la derivación sucesiva, determinando la sucesión el orden de la derivada.El orden de la ecuación diferencial lo determina el orden de la derivada mayor que contengaPor lo tanto, las ecuaciones diferenciales se pueden clasificar por su orden como

( )

Primer orden ( , , ') 0

Segundo orden ( , , ', '') 0

Orden Tercer orden ( , , ', ''. '') 0

Enesimo orden ( , , ', '', ''', , ) 0n

f x y y

f x y y y

f x y y y y

f x y y y y y

= = = … =

M

Ejemplo

2 xdye

dx−= Ecuación diferencial ordinaria de primer orden.

y x ykx

t t s

∂ ∂ ∂= + −∂ ∂ ∂

Ecuación diferencial parcial de primer orden.

2 '' ' 0x y xy y+ + = Ecuación diferencial ordinaria de segundo orden.2

2

y yc

t s

∂ ∂+ =∂ ∂

Ecuación diferencial parcial de segundo orden.

( ) 2V 2''' '' 0y y y y− + − = Ecuación diferencial ordinaria de quinto orden.

GRADO DE UNA ECUACION DIFERENCIAL.Como las derivadas son funciones pueden estar afectadas por una potencia dada.El grado de una ecuación diferencial es el grado o potencia a que esta elevada la derivada mayor que contiene la ecuación diferencial.Por esta razón las ecuaciones diferencial se pueden clasificar por su grado como



Primer grado

Segundo grado

Grado Tercer grado

Enesimo grado

L

Ejemplo.

2 xdye

dx−= Ordinaria de primer orden, primer grado.

y x ykx

t t s

∂ ∂ ∂= + −∂ ∂ ∂

Parcial de primer orden, primer grado

( ) 32 '' ' 0x y xy y+ + = Ordinaria de segundo orden, primer grado.

( ) 2V 2''' '' 0y y y y− + − = Ordinaria de quinto orden, segundo grado.

4 5( ''') ( ') 0y x y y+ + = Ordinaria de tercer orden, cuarto grado.

LINEALIDAD DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES.Como las ecuaciones diferenciales contienen derivadas y una derivada es una función que representa la razón de cambio de una función o variable dependiente con respecto a las variaciones de otra u otras funciones o variables independientes, por tal razón, las ecuaciones diferenciales son modelos matemáticos de fenómenos, eventos o sistemas en los cuales están presentes variaciones de una magnitud con respecto a otra u otras magnitudes. Los fenómenos, eventos o sistemas pueden ser no lineales o lineales. Por esto a las ecuaciones diferenciales se les puede clasificar de acuerdo a su linealidad como

No LinealesLinealidad

Lineales

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES.Para que una ecuación diferencial ordinaria, pueda ser lineal debe cumplir con las siguientes condiciones.

1. La ecuación diferencial debe ser de primer grado.



2. La función desconocida o variable dependiente deben tener como exponente a la unidad.

3. la ecuación diferencial no debe contener productos de la variable dependiente con alguna de sus derivadas.

4. La ecuación diferencial no debe contener productos entre las derivadas de la función desconocida o variable dependiente,

5. La ecuación diferencial no debe contener funciones trascendentes (trigonométricas, exponenciales, logarítmicas, e hiperbólicas) de la variable dependiente.

Ejemplo.

2 xdye

dx−= Ordinaria de primer orden, lineal

2 '' ' 0x y xy y+ + = Ordinaria de segundo orden, lineal.

y x ykx

t t s

∂ ∂ ∂= + −∂ ∂ ∂

Parcial de primer orden, lineal.

V ''' '' 5 0y y y y− + − = Ordinaria de quinto orden, lineal.

'' 4 ' 2 cos 0y y y x− + = Ordinaria de segundo orden, lineal.

ECUACIONES DIFERENCIALES NO LINEALES.Las ecuaciones diferenciales no lineales son aquellas que no cumplen con alguna de las condiciones especificadas anteriormente.

Ejemplos,2''yy x y x+ = Ordinaria, segundo orden, no lineal.

22 2 2

2( ) 0

d y dyx x x v ydx dx

+ + − = Ordinaria, segundo orden, no lineal.

( ) 2V 2''' '' 0y y y y− + − = Ordinaria, quinto orden, no lineal.

cos ' 0y y+ = . Ordinaria, primer orden, no lineal.3 '' 3 ' cos5y y y+ = Ordinaria, segundo orden, no lineal.


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