• Definición: Una matriz es un arreglo rectangular de números en filas y

columnas, encerrados entre corchetes o paréntesis. • Orden de una Matriz: 3x4

Siendo A una matriz de 3 filas (horizontales) y 4 columnas (verticales).

• Matriz Cuadrada: Se llama así a la matriz que tiene el mismo número de filas

y columnas. Así,

3x3• Es una matriz cuadrada de orden 3x3 o simplemente diremos que tiene

orden 3.

032111022121

A

151312221

B

• Elementos de una Matriz: • los subíndices i, j indica la fila y la columna donde está

ubicado el elemento en cuestión.

¿Cuál será el elemento ubicado en la fila 3 y columna 2 de la matriz A? a3x2 = ??? • Forma General de una Matriz: matriz A de orden mxn será:

Abreviar así:

124 a

032111022121

A

ija

03

34

33

aa

mnmmm

n

n

n

aaaa

aaaaaaaaaaaa

321

3333231

2232221

1131211

Anmija )( A

• Igualdad de Matrices: Tienen el mismo orden y los elementos correspondientes iguales.

Por ejemplo,

• Son de igual orden y sus elementos correspondientes son iguales:

Ejercicio: ¿Es A=B? Explique su respuesta.

Solución:Las matrices no son iguales, pues aunque tienen el mismo orden no

todos sus elementos correspondientes son iguales, por ejemplo: .

1/43-0-54

A

1/43-0-54

B

32

4/1 3 0 5 4

232322222121

131312121111

babababababa

1/83.14927-4-532

A

3.141/89274-532

B

2222 ba

• Tipos de Matrices• A. Matriz Transpuesta: Dada una matriz A, se llama transpuesta de A a la

matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas. Se representa por .

Ejemplo: Sea a) entonces

b) , entonces

B. Matriz Nula: Si todos sus elementos son cero. También se denomina matriz cero y se denota por .

Por ejemplo, la matriz sería la matriz:

TA

743521

A

7542

31TA

723124861

B

718226341

TB

nm0430

000000000000

• C. Matriz Identidad: Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto

los de la diagonal principal que son iguales a 1. También se le denomina matriz unidad y normalmente se le representa por la letra I, así tenemos que la matriz identidad de orden 3x3 se escribe de la siguiente forma:

• D. Matriz Escalar: Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos Excepto

los de la diagonal principal que son iguales. Por ejemplo, la siguiente matriz es una matriz escalar:

100010001

I

700070007

A

OPERACIONES CON MATRICES1.- Adición de matrices:.Ejemplo 1: Calcular la matriz C=A+B, si:

Solución:

Nota: La suma de dos matrices es posible sólo si ambas matrices tienen el mismo orden. Por ejemplo, no es posible sumar las matrices

• ya que no tienen el mismo orden.

223-54-2

By 367354

A

584816

23263-7534-524

223542

367354

C

963654

y 134507

• Ejemplo 2: Sea; A= y B =

Calcular A + B y A - B. Solución:

A + B = + A – B = -

A + B = A – B =

A + B = A – B =

235798

1012

x

235689

1511

x

235798

1012

x

235689

1511

x

235798

1012

x

235689

1511

x

235567899815101112

x

235567899815101112

x

23101317172523

x

23011151

x

– Ejemplo 3:

– Si A = y B =

¿Qué valor toma x+y; si la matriz, A + B es una matriz nula?– Solución: A + B

= + =

= = 0. De donde:

– Luego: se obtiene: x = 2, y = 5; por lo que: x + y = 7.

33812

1153422

xyxyx

yx

338127

115174112

x

33812

11534322

xyxyx

yx

338127

115174112

x

3300700173011320

xyxyx

yx

33000000000

x

07017301132

yxyxyx

Ejemplo Práctico: (Matriz de Costos de Suministros): Un contratista calcula que los Costos en dólares) de

adquirir y transportar unidades determinadas de concreto, madera y acero desde tres diferentes

localidades están dados por las siguientes Tablas.

– Tabla 01.• Localidad A Concreto Madera AceroCostos de material 20 35 25Costos de transporte 22 10 6

– Tabla 02.• Localidad B Concreto Madera AceroCostos de material 22 36 24Costos de transporte 9 9 8

– Tabla 03.• Localidad C Concreto Madera AceroCostos de material 18 32 2 Costos de transporte 11 8 5

a. Determinar las matrices de Costos de Suministros de las localidades A, B y C.

b. Escriba la matriz que representa los Costos Totales de material y de transporte por unidades de concreto, madera y acero desde cada una de las tres localidades.

Solución:

a. Matriz de Costos de Suministros de la localidad A.

A =

Matriz de Costos de Suministros de la localidad B.

B =

– Matriz de Costos de Suministros de la localidad C.

C =

b. La matriz que representa los Costos Totales es la matriz suma A + B + C.

A + B + C =

3261022253520

x

32899243622

x

325810263218

x

32586891010922262425323635182220

x

321927427510360

x

• Propiedades de la suma de matrices.• Teorema 1• Si A, B y C son matrices del mismo orden, entonces:

1. A,B Mmxn, (A+B) Mmxn Clausura

2. A + B = B + A Conmutatividad

3. A + (B + C)= (A + B) + C Asociatividad

4. A Mmxn,0mxn /A+0 = 0+A = A Elemento neutro aditivo

5. A Mmxn, (-A) Mmxn / A+(-A)=(-A)+A = 0 Elemento inverso aditivo

Producto de dos matrices:Ejemplo: Sean, hallar la matriz producto C = A.B si:

Solución:

• y nuestra matriz producto va quedando así:

• entonces los demás elementos son:

3223

14281110

B , 124334

A

333231

232221

131211

14281110

124334

Cccccccccc

333231

232221

355646C

cccccc

172622284938355646

C

Ejemplo 1: Si Calcular: A x B

Solución: Verificamos que el número de columnas de la matriz A es igual al número de

filas de la matriz B, luego, las matrices son conformes para la multiplicación, entonces

Ejemplo 2. Si

hallar: a) AxB, b) BxASolución: Empleando el método del producto escalar se tiene: a) AXB

Ahora hallar BxA

124031

A

654

B

121213

32 3419

815244805341

854

124031

BA

420

013-By

53

1-0A

2079-

4-2- 0

45032513053-3

41-0021-1001-3-0