definición matemática - guías de apoyo electromagnetismo... · transformadores, generadores,...
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La induccioacuten electromagneacutetica es el fenoacutemeno que origina la produccioacuten de
una fuerza electromotriz (fem o voltaje) en un medio o cuerpo expuesto a un campo
magneacutetico variable o bien en un medio moacutevil respecto a un campo magneacutetico estaacutetico
Es asiacute que cuando dicho cuerpo es un conductor se produce una corriente inducida
Este fenoacutemeno fue descubierto por Michael Faraday quieacuten lo expresoacute indicando que la
magnitud del voltaje inducido es proporcional a la variacioacuten del flujo magneacutetico (Ley de
Faraday)
Por otra parte Heinrich Lenz comproboacute que la corriente debida a la fem
inducida se opone al cambio de flujo magneacutetico de forma tal que la corriente tiende a
mantener el flujo Esto es vaacutelido tanto para el caso en que la intensidad del flujo variacutee o
que el cuerpo conductor se mueva respecto de eacutel
Definicioacuten matemaacutetica
Matemaacuteticamente se puede expresar como
donde
= Fuerza electromotriz en voltios
Φ = Flujo magneacutetico en weber
t = Tiempo en segundos
y el signo minus es debido a la Ley de Lenz
La induccioacuten electromagneacutetica es el principio fundamental sobre el cual operan
transformadores generadores motores eleacutectricos la vitroceraacutemica de induccioacuten y la
mayoriacutea de las demaacutes maacutequinas eleacutectricas
De forma maacutes general las ecuaciones que describen el fenoacutemeno son
Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten electromagneacutetica de Faraday (o simplemente Ley de
Faraday) se basa en los experimentos que Michael Faraday realizoacute en 1831 y establece
que el voltaje inducido en un circuito cerrado es directamente proporcional a la rapidez
con que cambia en el tiempo el flujo magneacutetico que atraviesa una superficie cualquiera
con el circuito como borde
donde es el campo eleacutectrico es el elemento infinitesimal del contorno C
es la densidad de campo magneacutetico y S es una superficie arbitraria cuyo borde es C
Las direcciones del contorno C y de estaacuten dadas por la regla de la mano izquierda
La permutacioacuten de la integral de superficie y la derivada temporal se puede
hacer siempre y cuando la superficie de integracioacuten no cambie con el tiempo
Por medio del teorema de Stokes puede obtenerse una forma diferencial de esta ley
Eacutesta es una de las ecuaciones de Maxwell las cuales conforman las ecuaciones
fundamentales del electromagnetismo La ley de Faraday junto con las otras leyes del
electromagnetismo fue incorporada en las ecuaciones de Maxwell unificando asiacute al
electromagnetismo
En el caso de un inductor con N vueltas de alambre la foacutermula anterior se
transforma en
donde es la fuerza electromotriz inducida y dΦdt es la tasa de variacioacuten temporal del
flujo magneacutetico Φ La direccioacuten de la fuerza electromotriz (el signo negativo en la
foacutermula) se debe a la ley de Lenz
Induccioacuten magneacutetica
La induccioacuten magneacutetica o densidad de flujo magneacutetico cuyo siacutembolo es B es
el flujo magneacutetico por unidad de aacuterea de una seccioacuten normal a la direccioacuten del flujo y
en algunos textos modernos recibe el nombre de intensidad de campo magneacutetico ya que
es el campo real
La unidad de la densidad en el Sistema Internacional de Unidades es el tesla
Estaacute dado por
Donde B es la densidad del flujo magneacutetico generado por una carga que se
mueve a una velocidad v a una distancia r de la carga y ur es el vector unitario que une
la carga con el punto donde se mide B (el punto r)
o bien
Donde B es la densidad del flujo magneacutetico generado por un conductor por el
cual pasa una corriente I a una distancia r
La foacutermula de esta definicioacuten se llama Ley de Biot-Savart y es en magnetismo
la equivalente a la Ley de Coulomb de la electrostaacutetica pues sirve para calcular las
fuerzas que actuacutean en cargas en movimiento
El campo induccioacuten B o densidad de flujo magneacutetico (los tres nombres son
equivalentes) es maacutes fundamental en electromagnetismo que el campo H ya que es el
responsable de las fuerzas en las cargas en movimiento y es por tanto el equivalente
Ecuaciones de Maxwell
Las cuatro ecuaciones de Maxwell describen todos los fenoacutemenos
electromagneacuteticos aquiacute se muestra la induccioacuten magneacutetica por medio de una corriente
eleacutectrica
Las ecuaciones de Maxwell son un conjunto de cuatro ecuaciones que describen
por completo los fenoacutemenos electromagneacuteticos La gran contribucioacuten de James Clerk
Maxwell fue reunir en estas ecuaciones largos antildeos de resultados experimentales
debidos a Coulomb Gauss Ampere Faraday y otros introduciendo los conceptos de
campo y corriente de desplazamiento y unificando los campos eleacutectricos y magneacuteticos
en un solo concepto el campo electromagneacutetico1
Desarrollo histoacuterico de las ecuaciones de Maxwell
Retrato de Maxwell
Veacutease tambieacuten Electromagnetismo
Las ecuaciones de Maxwell son un conjunto de cuatro ecuaciones que
aparecieron de manera separada en la publicacioacuten de 1861 On Physical Lines of Force
por parte del cientiacutefico James Clerk Maxwell El trabajo en siacute no era obra soacutelo de
Maxwell en las ecuaciones notamos la ley de Faraday (ecuacioacuten 54 en su trabajo) la
ecuacioacuten 56 div B = 0 de su autoriacutea la ley de Ampegravere con correcciones hechas por eacutel
(ecuacioacuten 112) y la ley de Gauss (ecuacioacuten 113) Eacutestas expresan respectivamente como
el cambio de los campos magneacuteticos producen campos eleacutectricos la ausencia
experimental de monopolos magneacuteticos coacutemo una corriente eleacutectrica y el cambio en los
campos eleacutectricos producen campos magneacuteticos y coacutemo cargas eleacutectricas producen
campos eleacutectricos En el trabajo original de Maxwell se podiacutean encontrar muchas otras
ecuaciones pero se llegoacute a simplificarlas a estas cuatro2
El aspecto maacutes importante del trabajo de Maxwell en el electromagnetismo es el
teacutermino que introdujo en la ley de Ampegravere la derivada temporal de un campo eleacutectrico
conocido como corriente de desplazamiento El trabajo que Maxwell publicoacute en 1865 A
Dynamical Theory of the Electromagnetic Field modificaba la versioacuten de la ley de
Ampegravere con lo que se predeciacutea la existencia de ondas electromagneacuteticas propagaacutendose
dependiendo del medio material a la velocidad de la luz en dicho medio De esta forma
Maxwell identificoacute la luz como una onda electromagneacutetica unificando asiacute la oacuteptica con
el electromagnetismo3
Exceptuando la modificacioacuten a la ley de Ampegravere ninguna de las otras
ecuaciones era original Lo que hizo Maxwell fue re obtener dichas ecuaciones a partir
de modelos mecaacutenicos e hidrodinaacutemicos usando su modelo de voacutertices de liacuteneas de
fuerza de Faraday
En 1884 Oliver Heaviside junto con Willard Gibbs agrupoacute estas ecuaciones y
las reformuloacute en la notacioacuten vectorial actual Sin embargo es importante conocer que al
hacer eso Heaviside usoacute derivadas parciales temporales diferentes a las derivadas
totales usadas por Maxwell en la ecuacioacuten (54) Ello provocoacute que se perdiera el teacutermino
vxB que apareciacutea en la ecuacioacuten posterior del trabajo de Maxwell (nuacutemero 77) En la
actualidad este teacutermino se usa como complementario a estas ecuaciones y se conoce
como fuerza de Lorentz
La historia es auacuten confusa debido a que el teacutermino ecuaciones de Maxwell se
usa tambieacuten para un conjunto de ocho ecuaciones en la publicacioacuten de Maxwell de
1865 A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field y esta confusioacuten se debe a que
seis de las ocho ecuaciones son escritas como tres ecuaciones para cada eje de
coordenadas asiacute se puede uno confundir al encontrar veinte ecuaciones con veinte
incoacutegnitas Los dos tipos de ecuaciones son casi equivalentes a pesar del teacutermino
eliminado por Heaviside en las actuales cuatro ecuaciones
Detalle de las ecuaciones
Ley de Gauss
Artiacuteculo principal Ley de Gauss
Flujo eleacutectrico de una carga puntual en una superficie cerrada
La ley de Gauss explica la relacioacuten entre el flujo del campo eleacutectrico y una
superficie cerrada Se define como flujo eleacutectrico ( ) a la cantidad de fluido eleacutectrico
que atraviesa una superficie dada Anaacutelogo al flujo de la mecaacutenica de fluidos este fluido
eleacutectrico no transporta materia pero ayuda a analizar la cantidad de campo eleacutectrico (
) que pasa por una superficie4 Matemaacuteticamente se la expresa como
La ley dice que el flujo del campo eleacutectrico a traveacutes de una superficie cerrada es
igual al cociente entre la carga (q) o la suma de las cargas que hay en el interior de la
superficie y la permitividad eleacutectrica en el vaciacuteo (ε0) asiacute5 6
La forma diferencial de la ley de Gauss es
Donde ρ es la densidad de carga Esta expresioacuten es para una carga en el vaciacuteo
para casos generales se debe introducir una cantidad llamada densidad de flujo eleacutectrico
( ) y nuestra expresioacuten obtiene la forma
Ley de Gauss para el campo magneacutetico
Artiacuteculos principales Ley de Gauss y Monopolo magneacutetico
Las liacuteneas de campo magneacutetico comienzan y terminan en el mismo lugar por lo
que no existe un monopolo magneacutetico
Experimentalmente se llegoacute al resultado de que los campos magneacuteticos a
diferencia de los eleacutectricos no comienzan y terminan en cargas diferentes Esta ley
primordialmente indica que las liacuteneas de los campos magneacuteticos deben ser cerradas En
otras palabras se dice que sobre una superficie cerrada sea cual sea eacutesta no seremos
capaces de encerrar una fuente o sumidero de campo esto expresa la no existencia del
monopolo magneacutetico7 Matemaacuteticamente esto se expresa asiacute
6
Donde es la densidad de flujo magneacutetico tambieacuten llamada induccioacuten
magneacutetica
Su forma integral equivalente
Como en la forma integral del campo eleacutectrico esta ecuacioacuten soacutelo funciona si la
integral estaacute definida en una superficie cerrada
Ley de Faraday-Lenz
Artiacuteculo principal Ley de Faraday-Lenz
La ley de Faraday nos habla sobre la induccioacuten electromagneacutetica la que origina
una fuerza electromotriz en un campo magneacutetico Esta ley es muchas veces llamada
como ley de Faraday-Lenz debido a que Heinrich Lenz descubrioacute eacutesta induccioacuten de
manera separada a Faraday pero casi simultaacutenea8 Lo primero que se debe introducir es
la fuerza electromotriz ( ) si tenemos un campo magneacutetico variable con el tiempo una
fuerza electromotriz es inducida en cualquier circuito eleacutectrico y esta fuerza es igual a
menos la derivada temporal del flujo magneacutetico asiacute9
Como el campo magneacutetico es dependiente de la posicioacuten tenemos que el flujo
magneacutetico es igual a
Ademaacutes el que exista fuerza electromotriz indica que existe un campo eleacutectrico
que se representa como
Con lo que finalmente se obtiene la expresioacuten de la ley de Faraday6
Lo que indica que un campo magneacutetico que depende del tiempo implica la
existencia de un campo eleacutectrico del que su circulacioacuten por un camino arbitrario
cerrado es igual a menos la derivada temporal del flujo magneacutetico en cualquier
superficie limitada por el camino cerrado
La forma diferencial de esta ecuacioacuten es
Esta ecuacioacuten relaciona los campos eleacutectrico y magneacutetico pero tiene tambieacuten
muchas otras aplicaciones praacutecticas Esta ecuacioacuten describe coacutemo los motores eleacutectricos
y los generadores eleacutectricos funcionan Maacutes precisamente demuestra que un voltaje
puede ser generado variando el flujo magneacutetico que atraviesa una superficie dada
Ley de Ampere generalizada
Ampere formuloacute una relacioacuten para un campo magneacutetico inmoacutevil y una corriente
eleacutectrica que no variacutea en el tiempo La ley de Ampere nos dice que la circulacioacuten en un
campo magneacutetico ( ) a lo largo de una curva cerrada C es igual a la densidad de
corriente ( ) sobre la superficie encerrada en la curva C matemaacuteticamente asiacute6
Donde es la permeabilidad magneacutetica en el vaciacuteo
Pero cuando esta relacioacuten se la considera con campos que siacute variacutean a traveacutes del
tiempo llega a caacutelculos erroacuteneos como el de violar la conservacioacuten de la carga10
Maxwell corrigioacute esta ecuacioacuten para lograr adaptarla a campos no estacionarios y
posteriormente pudo ser comprobada experimentalmente Maxwell reformuloacute esta ley
asiacute6
En el caso especiacutefico estacionario esta relacioacuten corresponde a la ley de Ampere
ademaacutes confirma que un campo eleacutectrico que variacutea con el tiempo produce un campo
magneacutetico y ademaacutes es consecuente con el principio de conservacioacuten de la carga10
En forma diferencial eacutesta ecuacioacuten toma la forma
En medios materiales
Para el caso de que las cargas esteacuten en medios materiales y asumiendo que eacutestos
son lineales homogeacuteneos isoacutetropos y no dispersivos podemos encontrar una relacioacuten
entre los vectores intensidad e induccioacuten a traveacutes de dos paraacutemetros conocidos como
permitividad eleacutectrica y la permeabilidad magneacutetica11
Pero estos valores tambieacuten dependen del medio material por lo que se dice que
un medio es lineal cuando la relacioacuten entre ED y BH es lineal Si esta relacioacuten es
lineal matemaacuteticamente se puede decir que y μ estaacuten representadas por una matriz
3x3 Si un medio es isoacutetropo es porque esta matriz ha podido ser diagonalizada y
consecuentemente es equivalente a una funcioacuten si en esta diagonal uno de
los elementos es diferente al otro se dice que es un medio anisoacutetropo Estos elementos
tambieacuten son llamados constantes dieleacutectricas y cuando estas constantes no dependen de
su posicioacuten el medio es homogeacuteneo12
El valor de y μ en medios lineales no dependen de las intensidades del campo
Por otro lado la permitividad y la permeabilidad son escalares cuando las cargas estaacuten
en medios homogeacuteneos e isoacutetropos Los medios heterogeacuteneos e isoacutetropos dependen de
las coordenadas de cada punto por lo que los valores escalares van a depender de la
posicioacuten Los medios anisoacutetropos son tensores11
Finalmente en el vaciacuteo tanto como
son cero porque suponemos que no hay fuentes
En la siguiente tabla encontramos a las ecuaciones como se las formula en el
vaciacuteo y en la forma maacutes general13
En el vaciacuteo Caso general
Ecuaciones de Maxwell
Las ecuaciones de Maxwell como ahora las conocemos son las cuatro citadas
anteriormente y a manera de resumen se pueden encontrar en la siguiente tabla
Nombre Forma diferencial Forma integral
Ley de
Gauss
Ley de
Gauss para
el campo
magneacutetico
Ley de
Faraday
Ley de
Ampegravere
generaliza
da
Estas cuatro ecuaciones junto con la fuerza de Lorentz son las que explican
cualquier tipo de fenoacutemeno electromagneacutetico Una fortaleza de las ecuaciones de
Maxwell es que permanecen invariantes en cualquier sistema de unidades salvo
de pequentildeas excepciones y que son compatibles con la relatividad especial y
general Ademaacutes Maxwell descubrioacute que la cantidad era
simplemente la velocidad de la luz en el vaciacuteo por lo que la luz es una forma de
radiacioacuten electromagneacutetica Los valores aceptados actualmente para la velocidad
de la luz la permitividad y la permeabilidad magneacutetica se resumen en la
siguiente tabla
Siacutembolo Nombre Valor numeacuterico Unidad de medida
SI Tipo
Velocidad de la luz en el
vaciacuteo
metros por segundo definido
Permitividad
faradios por metro derivado
Permeabilidad magneacutetica
henrios por metro definido
Potencial escalar y potencial vector
Como consecuencia matemaacutetica de las ecuaciones de Maxwell y ademaacutes con el
objetivo de simplificar sus caacutelculos se han introducido los conceptos de potencial vector
( ) y potencial escalar ( ) Este potencial vector no es uacutenico y no tiene significado
fiacutesico claro pero se sabe que un elemento infinitesimal de corriente da lugar a una
contribucioacuten paralela a la corriente14
Este potencial se obtiene como consecuencia
de la ley de Gauss para el flujo magneacutetico ya que se conoce que si la divergencia de un
vector es cero ese vector como consecuencia define a un rotacional asiacute15
A partir de este potencial vector y de la ley de Faraday puede definirse un
potencial escalar asiacute13
Donde el signo menos ( minus ) es por convencioacuten Estos potenciales son importantes
porque poseen una simetriacutea gauge que nos da cierta libertad a la hora de escogerlos13
El
campo eleacutectrico en funcioacuten de los potenciales
Hallamos que con la introduccioacuten de estas cantidades las ecuaciones de Maxwell
quedan reducidas solo a dos puesto que la ley de Gauss para el campo magneacutetico y la
ley de Faraday quedan satisfechas por definicioacuten Asiacute la ley de Gauss para el campo
eleacutectrico escrita en teacuterminos de los potenciales
y la ley de Ampeacutere generalizada
Noacutetese que se ha pasado de un conjunto de cuatro ecuaciones diferenciales
parciales de primer orden a solo dos ecuaciones diferenciales parciales pero de segundo
orden Sin embargo estas ecuaciones se pueden simplificar con ayuda de una adecuada
eleccioacuten del gauge
Consecuencias fiacutesicas de las ecuaciones
Principio de conservacioacuten de la carga
Las ecuaciones de Maxwell llevan impliacutecitas el principio de conservacioacuten de la
carga El principio afirma que la carga eleacutectrica no se crea ni se destruye ni global ni
localmente sino que uacutenicamente se transfiere y que si en una superficie cerrada estaacute
disminuyendo la carga contenida en su interior debe haber un flujo de corriente neto
hacia el exterior del sistema Es decir la densidad de carga y la densidad de corriente
satisfacen una ecuacioacuten de continuidad
A partir de la forma diferencial de la ley de Ampere se tiene
Que al reemplazar la ley de Gauss y tomar en cuenta que
(para cualquier vector ) se obtiene
O bien en forma integral
Ecuaciones originales de Maxwell
En el capiacutetulo III de A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field titulado
Ecuaciones generales del campo electromagneacutetico Maxwell formuloacute ocho ecuaciones
que las nombroacute de la A a la H16
Estas ecuaciones llegaron a ser conocidas como las
ecuaciones de Maxwell pero ahora este epiacuteteto lo reciben las ecuaciones que agrupoacute
Heaviside La versioacuten de Heaviside de las ecuaciones de Maxwell realmente contiene
solo una ecuacioacuten de las ocho originales la ley de Gauss que en el conjunto de ocho
seriacutea la ecuacioacuten G Ademaacutes Heaviside fusionoacute la ecuacioacuten A de Maxwell de la
corriente total con la ley circuital de Ampegravere que en el trabajo de Maxwell era la
ecuacioacuten C Esta fusioacuten que Maxwell por si mismo publicoacute en su trabajo On Physical
Lines of Force de 1861 modifica la ley circuital de Ampegravere para incluir la corriente de
desplazamiento de Maxwell
Las ocho ecuaciones originales de Maxwell pueden ser escritas en forma
vectorial asiacute
Denominacioacuten Nombre Ecuacioacuten
A Ley de corrientes totales
B Definicioacuten de vector potencial
magneacutetico
C Ley circuital de Ampere
D Fuerza de Lorentz
E Ecuacioacuten de electricidad elaacutestica
F Ley de Ohm
G Ley de Gauss
H Ecuacioacuten de continuidad de carga
Donde es el vector intensidad de campo magneacutetico (llamado por Maxwell
como intensidad magneacutetica) es la densidad de corriente eleacutectrica y es la
corriente total incluida la corriente de desplazamiento es el campo desplazamiento
(desplazamiento eleacutectrico) es la densidad de carga libre (cantidad libre de
electricidad) es el vector potencial magneacutetico (impulso magneacutetico) es el campo
eleacutectrico (fuerza electromotriz (no confundir con la actual definicioacuten de fuerza
electromotriz)) es el potencial eleacutectrico y es la conductividad eleacutectrica (resistencia
especiacutefica ahora solo resistencia)
Maxwell no consideroacute a los medios materiales en general esta formulacioacuten
inicial usa la permitividad y la permeabilidad en medios lineales isoacutetropos y no
dispersos a pesar que tambieacuten se las puede usar en medios anisoacutetropos
Maxwell incluyoacute el teacutermino en la expresioacuten de la fuerza electromotriz
de la ecuacioacuten D que corresponde a la fuerza magneacutetica por unidad de carga en un
conductor que se mueve a una velocidad Esto significa que la ecuacioacuten D es otra
formulacioacuten de la fuerza de Lorentz Esta ecuacioacuten primero aparecioacute como la ecuacioacuten
77 de la publicacioacuten On Physical Lines of Force de Maxwell anterior a la publicacioacuten
de Lorentz En la actualidad esta fuerza de Lorentz no forma parte de las ecuaciones de
Maxwell pero se la considera una ecuacioacuten adicional fundamental en el
electromagnetismo
Expresioacuten de las ecuaciones en relatividad
En la relatividad especial las ecuaciones de Maxwell en el vaciacuteo se escriben
mediante unas relaciones geomeacutetricas las cuales toman la misma forma en cualquier
sistema de referencia inercial Eacutestas estaacuten escritas en teacuterminos de cuadrivectores y
tensores covariantes que son objetos geomeacutetricos definidos en M4 Estos objetos se
relacionan mediante formas diferenciales en relaciones geomeacutetricas que al expresarlas
en componentes de los sistemas coordenados Lorentz proporcionan las ecuaciones para
el campo electromagneacutetico
La cuadricorriente esta descrita por una 1-forma y lleva la informacioacuten sobre
la distribucioacuten de cargas y corrientes Sus componentes son
Que debe cumplir la siguiente relacioacuten geomeacutetrica para que se cumpla la
ecuacioacuten de continuidad
Escrito en componentes de los sistemas coordenados Lorentz queda
Para poner en correspondencia objetos del mismo rango se utiliza el operador de
Laplace-Beltrami o Laplaciana definida como
Podemos poner en correspondencia el cuadrivector densidad de corriente con
otro objeto del mismo rango como es el cuadripotencial que lleva la informacioacuten del
potencial eleacutectrico y el potencial vector magneacutetico
O escrito en coordenadas Lorentz obtenemos que
Expresioacuten que reproduce las ecuaciones de onda para los potenciales
electromagneacuteticos
La 1-forma A lleva la informacioacuten sobre los potenciales de los observadores
inerciales siendo sus componentes
Para obtener el objeto geomeacutetrico que contiene los campos tenemos que subir el
rango de A mediante el operador diferencial exterior obteniendo la 2-forma F campo
electromagneacutetico En forma geomeacutetrica podemos escribir
Que expresado para un sistema inercial Lorentz tenemos que
Con lo que obtenemos el tensor de campo electromagneacutetico
Primer par de ecuaciones de Maxwell
La siguientes expresiones ligan los campos con las fuentes relacionamos la
cuadricorriente con el tensor campo electromagneacutetico mediante la forma geomeacutetrica
O bien en coordenadas Lorentz
Obtencioacuten de las ecuaciones
Para un observable en S partiendo de expresioacuten en coordenadas Lorentz podemos
obtener
Para tenemos que entonces
Por tanto
Para podemos obtener de la misma forma que
Segundo par de ecuaciones de Maxwell
Corresponden a las ecuaciones homogeacuteneas Escritas en forma geomeacutetrica
tenemos que
Que corresponde con la expresioacuten en los sistemas coordenados Lorentz
Donde el tensor es el tensor dual de F Se obtiene mediante el operador de
Hodge
Obtencioacuten de las ecuaciones
Para
Por tanto
Para se obtiene la ecuacioacuten vectorial
La propiedad reproduce las ecuaciones de Maxwell internas
que se puede expresar como que se puede escribir en los sistemas
coordenados Lorentz como
Podemos resumir el conjunto de expresiones que relacionan los objetos que
describen el campo electromagneacutetico en la siguiente tabla La primera columna son las
relaciones geomeacutetricas independientes de cualquier observador la segunda columna
son las ecuaciones descritas mediante un sistema coordenado Lorentz y la tercera es la
descripcioacuten de la relacioacuten y la ley que cumple
Forma
Geomeacutetrica Covariante Lorentz Descripcioacuten
Condicioacutengauge de Lorentz ()
Definicioacuten de Campos
Electromagneacuteticos
Ecuaciones de Ondas
Ecuaciones de Maxwell
Ley de conservacioacuten de la Carga
() Existe una confusioacuten habitual en cuanto a la nomenclatura de este gauge Las
primeras ecuaciones en las que aparece tal condicioacuten (1867) se deben a Ludvig V
Lorentz no al mucho maacutes conocido Hendrik A Lorentz (Veacutease JD Jackson
Classical Electrodynamics 3rd edition p294)
Finalmente el cuadrigradiente se define asiacute
Los iacutendices repetidos se suman de acuerdo al convenio de sumacioacuten de Einstein
De acuerdo con el caacutelculo tensorial los iacutendices pueden subirse o bajarse por medio de la
matriz fundamental g
El primer tensor es una expresioacuten de dos ecuaciones de Maxwell la ley de Gauss
y la ley de Ampere generalizada la segunda ecuacioacuten es consecuentemente una
expresioacuten de las otras dos leyes
Se ha sugerido que el componente de la fuerza de Lorentz se puede
derivar de la ley de Coulomb y por eso la relatividad especial asume la invariancia de la
carga eleacutectrica17
18
Expresioacuten de las ecuaciones para una frecuencia
constante
En las ecuaciones de Maxwell los campos vectoriales no son solo funciones de
la posicioacuten en general son funciones de la posicioacuten y del tiempo como por ejemplo
Para la resolucioacuten de estas ecuaciones en derivadas parciales las
variables posicionales se encuentran con la variable temporal En la praacutectica la
resolucioacuten de dichas ecuaciones pueden contener una solucioacuten armoacutenica (sinusoidal)
Con ayuda de la notacioacuten compleja se puede evitar la dependencia temporal de
los resultados armoacutenicos eliminando asiacute el factor complejo de la expresioacuten Gran
parte de las resoluciones de las ecuaciones de Maxwell toman amplitudes complejas
ademaacutes de no ser solo funcioacuten de la posicioacuten En lugar de la derivacioacuten parcial en el
tiempo se tiene la multiplicacioacuten del factor imaginario donde es la frecuencia
angular
En la forma compleja las ecuaciones de Maxwell toman la siguiente forma11
Veacutease tambieacuten
Electromagnetismo
James Clerk Maxwell
Oliver Heaviside
Carga
Onda electromagneacutetica
Ecuacioacuten de onda electromagneacutetica
Ecuaciones de Jefimenko
Ley de Gauss
Ley de Faraday
Ley de Ampegravere
Referencias y Notas
1 uarr laquoEcuaciones de Maxwellraquo (en espantildeol) (1999 de agosto) Consultado el 15 de
enero 2008
2 uarr laquo[httpwwwzpenergycomdownloadsOrig_maxwell_equationspdf On the
Notation of MAXWELLrsquos Field Equations]raquo (en ingleacutes) Consultado el
08012008
3 uarr [Aacutengel Franco Garciacutea Universidad del Paiacutes Vasco] (octubre de 2006) laquoEl
espectro electromagneacuteticoraquo (en espantildeol) Consultado el 15012008
4 uarr laquoTeorema de Gauss y Flujo Eleacutectricoraquo Consultado el 19012008
5 uarr laquoLiacutenea de cargas Ley de Gaussraquo Consultado el 18012008
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ingleacutes) Addison Wesley Longman ISBN 0-201-02115-3
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8 uarr laquoConcepto de Flujoraquo Consultado el 19012008
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10 uarr a b laquoLey de Ampere-Maxwellraquo Consultado el 20012008
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12 uarr Liliana I Perez laquoAPUNTEEcuaciones de Maxwellraquo Consultado el
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15 uarr laquoEcuaciones del Electromagnetismoraquo Consultado el 21012008
16 uarr laquoProfessor Clerk Maxwell on the electromagnetic fieldraquo (en ingleacutes)
Consultado el 21012008
17 uarr L D Landau E M Lifshitz (1980) The Classical Theory of Fields (en
ingleacutes) Butterworth-Heinemann ISBN 0-7506-2768-9
18 uarr Richard E Haskell (2006) laquoSpecial relativity and Maxwell equationsraquo (en
ingleacutes) Consultado el 23012008
Enlaces externos
Fundamentos de las Ecuaciones de Maxwell
On Physical Lines of Force
A dinamical theory of the electromagnetic field Trabajo original de Maxwell
Monografiacuteascom archivo sobre ecuaciones de Maxwell
Modelo de Maxwell
Fundamentos de la radiacioacuten
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiEcuaciones_de_Maxwell
Categoriacuteas WikipediaArtiacuteculos buenos | Ecuaciones | Leyes electromagneacuteticas
Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten electromagneacutetica de Faraday (o simplemente Ley de
Faraday) se basa en los experimentos que Michael Faraday realizoacute en 1831 y establece
que el voltaje inducido en un circuito cerrado es directamente proporcional a la rapidez
con que cambia en el tiempo el flujo magneacutetico que atraviesa una superficie cualquiera
con el circuito como borde
donde es el campo eleacutectrico es el elemento infinitesimal del contorno C
es la densidad de campo magneacutetico y S es una superficie arbitraria cuyo borde es C
Las direcciones del contorno C y de estaacuten dadas por la regla de la mano izquierda
La permutacioacuten de la integral de superficie y la derivada temporal se puede
hacer siempre y cuando la superficie de integracioacuten no cambie con el tiempo
Por medio del teorema de Stokes puede obtenerse una forma diferencial de esta ley
Eacutesta es una de las ecuaciones de Maxwell las cuales conforman las ecuaciones
fundamentales del electromagnetismo La ley de Faraday junto con las otras leyes del
electromagnetismo fue incorporada en las ecuaciones de Maxwell unificando asiacute al
electromagnetismo
En el caso de un inductor con N vueltas de alambre la foacutermula anterior se
transforma en
donde es la fuerza electromotriz inducida y dΦdt es la tasa de variacioacuten temporal del
flujo magneacutetico Φ La direccioacuten de la fuerza electromotriz (el signo negativo en la
foacutermula) se debe a la ley de Lenz
Induccioacuten magneacutetica
La induccioacuten magneacutetica o densidad de flujo magneacutetico cuyo siacutembolo es B es
el flujo magneacutetico por unidad de aacuterea de una seccioacuten normal a la direccioacuten del flujo y
en algunos textos modernos recibe el nombre de intensidad de campo magneacutetico ya que
es el campo real
La unidad de la densidad en el Sistema Internacional de Unidades es el tesla
Estaacute dado por
Donde B es la densidad del flujo magneacutetico generado por una carga que se
mueve a una velocidad v a una distancia r de la carga y ur es el vector unitario que une
la carga con el punto donde se mide B (el punto r)
o bien
Donde B es la densidad del flujo magneacutetico generado por un conductor por el
cual pasa una corriente I a una distancia r
La foacutermula de esta definicioacuten se llama Ley de Biot-Savart y es en magnetismo
la equivalente a la Ley de Coulomb de la electrostaacutetica pues sirve para calcular las
fuerzas que actuacutean en cargas en movimiento
El campo induccioacuten B o densidad de flujo magneacutetico (los tres nombres son
equivalentes) es maacutes fundamental en electromagnetismo que el campo H ya que es el
responsable de las fuerzas en las cargas en movimiento y es por tanto el equivalente
Ecuaciones de Maxwell
Las cuatro ecuaciones de Maxwell describen todos los fenoacutemenos
electromagneacuteticos aquiacute se muestra la induccioacuten magneacutetica por medio de una corriente
eleacutectrica
Las ecuaciones de Maxwell son un conjunto de cuatro ecuaciones que describen
por completo los fenoacutemenos electromagneacuteticos La gran contribucioacuten de James Clerk
Maxwell fue reunir en estas ecuaciones largos antildeos de resultados experimentales
debidos a Coulomb Gauss Ampere Faraday y otros introduciendo los conceptos de
campo y corriente de desplazamiento y unificando los campos eleacutectricos y magneacuteticos
en un solo concepto el campo electromagneacutetico1
Desarrollo histoacuterico de las ecuaciones de Maxwell
Retrato de Maxwell
Veacutease tambieacuten Electromagnetismo
Las ecuaciones de Maxwell son un conjunto de cuatro ecuaciones que
aparecieron de manera separada en la publicacioacuten de 1861 On Physical Lines of Force
por parte del cientiacutefico James Clerk Maxwell El trabajo en siacute no era obra soacutelo de
Maxwell en las ecuaciones notamos la ley de Faraday (ecuacioacuten 54 en su trabajo) la
ecuacioacuten 56 div B = 0 de su autoriacutea la ley de Ampegravere con correcciones hechas por eacutel
(ecuacioacuten 112) y la ley de Gauss (ecuacioacuten 113) Eacutestas expresan respectivamente como
el cambio de los campos magneacuteticos producen campos eleacutectricos la ausencia
experimental de monopolos magneacuteticos coacutemo una corriente eleacutectrica y el cambio en los
campos eleacutectricos producen campos magneacuteticos y coacutemo cargas eleacutectricas producen
campos eleacutectricos En el trabajo original de Maxwell se podiacutean encontrar muchas otras
ecuaciones pero se llegoacute a simplificarlas a estas cuatro2
El aspecto maacutes importante del trabajo de Maxwell en el electromagnetismo es el
teacutermino que introdujo en la ley de Ampegravere la derivada temporal de un campo eleacutectrico
conocido como corriente de desplazamiento El trabajo que Maxwell publicoacute en 1865 A
Dynamical Theory of the Electromagnetic Field modificaba la versioacuten de la ley de
Ampegravere con lo que se predeciacutea la existencia de ondas electromagneacuteticas propagaacutendose
dependiendo del medio material a la velocidad de la luz en dicho medio De esta forma
Maxwell identificoacute la luz como una onda electromagneacutetica unificando asiacute la oacuteptica con
el electromagnetismo3
Exceptuando la modificacioacuten a la ley de Ampegravere ninguna de las otras
ecuaciones era original Lo que hizo Maxwell fue re obtener dichas ecuaciones a partir
de modelos mecaacutenicos e hidrodinaacutemicos usando su modelo de voacutertices de liacuteneas de
fuerza de Faraday
En 1884 Oliver Heaviside junto con Willard Gibbs agrupoacute estas ecuaciones y
las reformuloacute en la notacioacuten vectorial actual Sin embargo es importante conocer que al
hacer eso Heaviside usoacute derivadas parciales temporales diferentes a las derivadas
totales usadas por Maxwell en la ecuacioacuten (54) Ello provocoacute que se perdiera el teacutermino
vxB que apareciacutea en la ecuacioacuten posterior del trabajo de Maxwell (nuacutemero 77) En la
actualidad este teacutermino se usa como complementario a estas ecuaciones y se conoce
como fuerza de Lorentz
La historia es auacuten confusa debido a que el teacutermino ecuaciones de Maxwell se
usa tambieacuten para un conjunto de ocho ecuaciones en la publicacioacuten de Maxwell de
1865 A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field y esta confusioacuten se debe a que
seis de las ocho ecuaciones son escritas como tres ecuaciones para cada eje de
coordenadas asiacute se puede uno confundir al encontrar veinte ecuaciones con veinte
incoacutegnitas Los dos tipos de ecuaciones son casi equivalentes a pesar del teacutermino
eliminado por Heaviside en las actuales cuatro ecuaciones
Detalle de las ecuaciones
Ley de Gauss
Artiacuteculo principal Ley de Gauss
Flujo eleacutectrico de una carga puntual en una superficie cerrada
La ley de Gauss explica la relacioacuten entre el flujo del campo eleacutectrico y una
superficie cerrada Se define como flujo eleacutectrico ( ) a la cantidad de fluido eleacutectrico
que atraviesa una superficie dada Anaacutelogo al flujo de la mecaacutenica de fluidos este fluido
eleacutectrico no transporta materia pero ayuda a analizar la cantidad de campo eleacutectrico (
) que pasa por una superficie4 Matemaacuteticamente se la expresa como
La ley dice que el flujo del campo eleacutectrico a traveacutes de una superficie cerrada es
igual al cociente entre la carga (q) o la suma de las cargas que hay en el interior de la
superficie y la permitividad eleacutectrica en el vaciacuteo (ε0) asiacute5 6
La forma diferencial de la ley de Gauss es
Donde ρ es la densidad de carga Esta expresioacuten es para una carga en el vaciacuteo
para casos generales se debe introducir una cantidad llamada densidad de flujo eleacutectrico
( ) y nuestra expresioacuten obtiene la forma
Ley de Gauss para el campo magneacutetico
Artiacuteculos principales Ley de Gauss y Monopolo magneacutetico
Las liacuteneas de campo magneacutetico comienzan y terminan en el mismo lugar por lo
que no existe un monopolo magneacutetico
Experimentalmente se llegoacute al resultado de que los campos magneacuteticos a
diferencia de los eleacutectricos no comienzan y terminan en cargas diferentes Esta ley
primordialmente indica que las liacuteneas de los campos magneacuteticos deben ser cerradas En
otras palabras se dice que sobre una superficie cerrada sea cual sea eacutesta no seremos
capaces de encerrar una fuente o sumidero de campo esto expresa la no existencia del
monopolo magneacutetico7 Matemaacuteticamente esto se expresa asiacute
6
Donde es la densidad de flujo magneacutetico tambieacuten llamada induccioacuten
magneacutetica
Su forma integral equivalente
Como en la forma integral del campo eleacutectrico esta ecuacioacuten soacutelo funciona si la
integral estaacute definida en una superficie cerrada
Ley de Faraday-Lenz
Artiacuteculo principal Ley de Faraday-Lenz
La ley de Faraday nos habla sobre la induccioacuten electromagneacutetica la que origina
una fuerza electromotriz en un campo magneacutetico Esta ley es muchas veces llamada
como ley de Faraday-Lenz debido a que Heinrich Lenz descubrioacute eacutesta induccioacuten de
manera separada a Faraday pero casi simultaacutenea8 Lo primero que se debe introducir es
la fuerza electromotriz ( ) si tenemos un campo magneacutetico variable con el tiempo una
fuerza electromotriz es inducida en cualquier circuito eleacutectrico y esta fuerza es igual a
menos la derivada temporal del flujo magneacutetico asiacute9
Como el campo magneacutetico es dependiente de la posicioacuten tenemos que el flujo
magneacutetico es igual a
Ademaacutes el que exista fuerza electromotriz indica que existe un campo eleacutectrico
que se representa como
Con lo que finalmente se obtiene la expresioacuten de la ley de Faraday6
Lo que indica que un campo magneacutetico que depende del tiempo implica la
existencia de un campo eleacutectrico del que su circulacioacuten por un camino arbitrario
cerrado es igual a menos la derivada temporal del flujo magneacutetico en cualquier
superficie limitada por el camino cerrado
La forma diferencial de esta ecuacioacuten es
Esta ecuacioacuten relaciona los campos eleacutectrico y magneacutetico pero tiene tambieacuten
muchas otras aplicaciones praacutecticas Esta ecuacioacuten describe coacutemo los motores eleacutectricos
y los generadores eleacutectricos funcionan Maacutes precisamente demuestra que un voltaje
puede ser generado variando el flujo magneacutetico que atraviesa una superficie dada
Ley de Ampere generalizada
Ampere formuloacute una relacioacuten para un campo magneacutetico inmoacutevil y una corriente
eleacutectrica que no variacutea en el tiempo La ley de Ampere nos dice que la circulacioacuten en un
campo magneacutetico ( ) a lo largo de una curva cerrada C es igual a la densidad de
corriente ( ) sobre la superficie encerrada en la curva C matemaacuteticamente asiacute6
Donde es la permeabilidad magneacutetica en el vaciacuteo
Pero cuando esta relacioacuten se la considera con campos que siacute variacutean a traveacutes del
tiempo llega a caacutelculos erroacuteneos como el de violar la conservacioacuten de la carga10
Maxwell corrigioacute esta ecuacioacuten para lograr adaptarla a campos no estacionarios y
posteriormente pudo ser comprobada experimentalmente Maxwell reformuloacute esta ley
asiacute6
En el caso especiacutefico estacionario esta relacioacuten corresponde a la ley de Ampere
ademaacutes confirma que un campo eleacutectrico que variacutea con el tiempo produce un campo
magneacutetico y ademaacutes es consecuente con el principio de conservacioacuten de la carga10
En forma diferencial eacutesta ecuacioacuten toma la forma
En medios materiales
Para el caso de que las cargas esteacuten en medios materiales y asumiendo que eacutestos
son lineales homogeacuteneos isoacutetropos y no dispersivos podemos encontrar una relacioacuten
entre los vectores intensidad e induccioacuten a traveacutes de dos paraacutemetros conocidos como
permitividad eleacutectrica y la permeabilidad magneacutetica11
Pero estos valores tambieacuten dependen del medio material por lo que se dice que
un medio es lineal cuando la relacioacuten entre ED y BH es lineal Si esta relacioacuten es
lineal matemaacuteticamente se puede decir que y μ estaacuten representadas por una matriz
3x3 Si un medio es isoacutetropo es porque esta matriz ha podido ser diagonalizada y
consecuentemente es equivalente a una funcioacuten si en esta diagonal uno de
los elementos es diferente al otro se dice que es un medio anisoacutetropo Estos elementos
tambieacuten son llamados constantes dieleacutectricas y cuando estas constantes no dependen de
su posicioacuten el medio es homogeacuteneo12
El valor de y μ en medios lineales no dependen de las intensidades del campo
Por otro lado la permitividad y la permeabilidad son escalares cuando las cargas estaacuten
en medios homogeacuteneos e isoacutetropos Los medios heterogeacuteneos e isoacutetropos dependen de
las coordenadas de cada punto por lo que los valores escalares van a depender de la
posicioacuten Los medios anisoacutetropos son tensores11
Finalmente en el vaciacuteo tanto como
son cero porque suponemos que no hay fuentes
En la siguiente tabla encontramos a las ecuaciones como se las formula en el
vaciacuteo y en la forma maacutes general13
En el vaciacuteo Caso general
Ecuaciones de Maxwell
Las ecuaciones de Maxwell como ahora las conocemos son las cuatro citadas
anteriormente y a manera de resumen se pueden encontrar en la siguiente tabla
Nombre Forma diferencial Forma integral
Ley de
Gauss
Ley de
Gauss para
el campo
magneacutetico
Ley de
Faraday
Ley de
Ampegravere
generaliza
da
Estas cuatro ecuaciones junto con la fuerza de Lorentz son las que explican
cualquier tipo de fenoacutemeno electromagneacutetico Una fortaleza de las ecuaciones de
Maxwell es que permanecen invariantes en cualquier sistema de unidades salvo
de pequentildeas excepciones y que son compatibles con la relatividad especial y
general Ademaacutes Maxwell descubrioacute que la cantidad era
simplemente la velocidad de la luz en el vaciacuteo por lo que la luz es una forma de
radiacioacuten electromagneacutetica Los valores aceptados actualmente para la velocidad
de la luz la permitividad y la permeabilidad magneacutetica se resumen en la
siguiente tabla
Siacutembolo Nombre Valor numeacuterico Unidad de medida
SI Tipo
Velocidad de la luz en el
vaciacuteo
metros por segundo definido
Permitividad
faradios por metro derivado
Permeabilidad magneacutetica
henrios por metro definido
Potencial escalar y potencial vector
Como consecuencia matemaacutetica de las ecuaciones de Maxwell y ademaacutes con el
objetivo de simplificar sus caacutelculos se han introducido los conceptos de potencial vector
( ) y potencial escalar ( ) Este potencial vector no es uacutenico y no tiene significado
fiacutesico claro pero se sabe que un elemento infinitesimal de corriente da lugar a una
contribucioacuten paralela a la corriente14
Este potencial se obtiene como consecuencia
de la ley de Gauss para el flujo magneacutetico ya que se conoce que si la divergencia de un
vector es cero ese vector como consecuencia define a un rotacional asiacute15
A partir de este potencial vector y de la ley de Faraday puede definirse un
potencial escalar asiacute13
Donde el signo menos ( minus ) es por convencioacuten Estos potenciales son importantes
porque poseen una simetriacutea gauge que nos da cierta libertad a la hora de escogerlos13
El
campo eleacutectrico en funcioacuten de los potenciales
Hallamos que con la introduccioacuten de estas cantidades las ecuaciones de Maxwell
quedan reducidas solo a dos puesto que la ley de Gauss para el campo magneacutetico y la
ley de Faraday quedan satisfechas por definicioacuten Asiacute la ley de Gauss para el campo
eleacutectrico escrita en teacuterminos de los potenciales
y la ley de Ampeacutere generalizada
Noacutetese que se ha pasado de un conjunto de cuatro ecuaciones diferenciales
parciales de primer orden a solo dos ecuaciones diferenciales parciales pero de segundo
orden Sin embargo estas ecuaciones se pueden simplificar con ayuda de una adecuada
eleccioacuten del gauge
Consecuencias fiacutesicas de las ecuaciones
Principio de conservacioacuten de la carga
Las ecuaciones de Maxwell llevan impliacutecitas el principio de conservacioacuten de la
carga El principio afirma que la carga eleacutectrica no se crea ni se destruye ni global ni
localmente sino que uacutenicamente se transfiere y que si en una superficie cerrada estaacute
disminuyendo la carga contenida en su interior debe haber un flujo de corriente neto
hacia el exterior del sistema Es decir la densidad de carga y la densidad de corriente
satisfacen una ecuacioacuten de continuidad
A partir de la forma diferencial de la ley de Ampere se tiene
Que al reemplazar la ley de Gauss y tomar en cuenta que
(para cualquier vector ) se obtiene
O bien en forma integral
Ecuaciones originales de Maxwell
En el capiacutetulo III de A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field titulado
Ecuaciones generales del campo electromagneacutetico Maxwell formuloacute ocho ecuaciones
que las nombroacute de la A a la H16
Estas ecuaciones llegaron a ser conocidas como las
ecuaciones de Maxwell pero ahora este epiacuteteto lo reciben las ecuaciones que agrupoacute
Heaviside La versioacuten de Heaviside de las ecuaciones de Maxwell realmente contiene
solo una ecuacioacuten de las ocho originales la ley de Gauss que en el conjunto de ocho
seriacutea la ecuacioacuten G Ademaacutes Heaviside fusionoacute la ecuacioacuten A de Maxwell de la
corriente total con la ley circuital de Ampegravere que en el trabajo de Maxwell era la
ecuacioacuten C Esta fusioacuten que Maxwell por si mismo publicoacute en su trabajo On Physical
Lines of Force de 1861 modifica la ley circuital de Ampegravere para incluir la corriente de
desplazamiento de Maxwell
Las ocho ecuaciones originales de Maxwell pueden ser escritas en forma
vectorial asiacute
Denominacioacuten Nombre Ecuacioacuten
A Ley de corrientes totales
B Definicioacuten de vector potencial
magneacutetico
C Ley circuital de Ampere
D Fuerza de Lorentz
E Ecuacioacuten de electricidad elaacutestica
F Ley de Ohm
G Ley de Gauss
H Ecuacioacuten de continuidad de carga
Donde es el vector intensidad de campo magneacutetico (llamado por Maxwell
como intensidad magneacutetica) es la densidad de corriente eleacutectrica y es la
corriente total incluida la corriente de desplazamiento es el campo desplazamiento
(desplazamiento eleacutectrico) es la densidad de carga libre (cantidad libre de
electricidad) es el vector potencial magneacutetico (impulso magneacutetico) es el campo
eleacutectrico (fuerza electromotriz (no confundir con la actual definicioacuten de fuerza
electromotriz)) es el potencial eleacutectrico y es la conductividad eleacutectrica (resistencia
especiacutefica ahora solo resistencia)
Maxwell no consideroacute a los medios materiales en general esta formulacioacuten
inicial usa la permitividad y la permeabilidad en medios lineales isoacutetropos y no
dispersos a pesar que tambieacuten se las puede usar en medios anisoacutetropos
Maxwell incluyoacute el teacutermino en la expresioacuten de la fuerza electromotriz
de la ecuacioacuten D que corresponde a la fuerza magneacutetica por unidad de carga en un
conductor que se mueve a una velocidad Esto significa que la ecuacioacuten D es otra
formulacioacuten de la fuerza de Lorentz Esta ecuacioacuten primero aparecioacute como la ecuacioacuten
77 de la publicacioacuten On Physical Lines of Force de Maxwell anterior a la publicacioacuten
de Lorentz En la actualidad esta fuerza de Lorentz no forma parte de las ecuaciones de
Maxwell pero se la considera una ecuacioacuten adicional fundamental en el
electromagnetismo
Expresioacuten de las ecuaciones en relatividad
En la relatividad especial las ecuaciones de Maxwell en el vaciacuteo se escriben
mediante unas relaciones geomeacutetricas las cuales toman la misma forma en cualquier
sistema de referencia inercial Eacutestas estaacuten escritas en teacuterminos de cuadrivectores y
tensores covariantes que son objetos geomeacutetricos definidos en M4 Estos objetos se
relacionan mediante formas diferenciales en relaciones geomeacutetricas que al expresarlas
en componentes de los sistemas coordenados Lorentz proporcionan las ecuaciones para
el campo electromagneacutetico
La cuadricorriente esta descrita por una 1-forma y lleva la informacioacuten sobre
la distribucioacuten de cargas y corrientes Sus componentes son
Que debe cumplir la siguiente relacioacuten geomeacutetrica para que se cumpla la
ecuacioacuten de continuidad
Escrito en componentes de los sistemas coordenados Lorentz queda
Para poner en correspondencia objetos del mismo rango se utiliza el operador de
Laplace-Beltrami o Laplaciana definida como
Podemos poner en correspondencia el cuadrivector densidad de corriente con
otro objeto del mismo rango como es el cuadripotencial que lleva la informacioacuten del
potencial eleacutectrico y el potencial vector magneacutetico
O escrito en coordenadas Lorentz obtenemos que
Expresioacuten que reproduce las ecuaciones de onda para los potenciales
electromagneacuteticos
La 1-forma A lleva la informacioacuten sobre los potenciales de los observadores
inerciales siendo sus componentes
Para obtener el objeto geomeacutetrico que contiene los campos tenemos que subir el
rango de A mediante el operador diferencial exterior obteniendo la 2-forma F campo
electromagneacutetico En forma geomeacutetrica podemos escribir
Que expresado para un sistema inercial Lorentz tenemos que
Con lo que obtenemos el tensor de campo electromagneacutetico
Primer par de ecuaciones de Maxwell
La siguientes expresiones ligan los campos con las fuentes relacionamos la
cuadricorriente con el tensor campo electromagneacutetico mediante la forma geomeacutetrica
O bien en coordenadas Lorentz
Obtencioacuten de las ecuaciones
Para un observable en S partiendo de expresioacuten en coordenadas Lorentz podemos
obtener
Para tenemos que entonces
Por tanto
Para podemos obtener de la misma forma que
Segundo par de ecuaciones de Maxwell
Corresponden a las ecuaciones homogeacuteneas Escritas en forma geomeacutetrica
tenemos que
Que corresponde con la expresioacuten en los sistemas coordenados Lorentz
Donde el tensor es el tensor dual de F Se obtiene mediante el operador de
Hodge
Obtencioacuten de las ecuaciones
Para
Por tanto
Para se obtiene la ecuacioacuten vectorial
La propiedad reproduce las ecuaciones de Maxwell internas
que se puede expresar como que se puede escribir en los sistemas
coordenados Lorentz como
Podemos resumir el conjunto de expresiones que relacionan los objetos que
describen el campo electromagneacutetico en la siguiente tabla La primera columna son las
relaciones geomeacutetricas independientes de cualquier observador la segunda columna
son las ecuaciones descritas mediante un sistema coordenado Lorentz y la tercera es la
descripcioacuten de la relacioacuten y la ley que cumple
Forma
Geomeacutetrica Covariante Lorentz Descripcioacuten
Condicioacutengauge de Lorentz ()
Definicioacuten de Campos
Electromagneacuteticos
Ecuaciones de Ondas
Ecuaciones de Maxwell
Ley de conservacioacuten de la Carga
() Existe una confusioacuten habitual en cuanto a la nomenclatura de este gauge Las
primeras ecuaciones en las que aparece tal condicioacuten (1867) se deben a Ludvig V
Lorentz no al mucho maacutes conocido Hendrik A Lorentz (Veacutease JD Jackson
Classical Electrodynamics 3rd edition p294)
Finalmente el cuadrigradiente se define asiacute
Los iacutendices repetidos se suman de acuerdo al convenio de sumacioacuten de Einstein
De acuerdo con el caacutelculo tensorial los iacutendices pueden subirse o bajarse por medio de la
matriz fundamental g
El primer tensor es una expresioacuten de dos ecuaciones de Maxwell la ley de Gauss
y la ley de Ampere generalizada la segunda ecuacioacuten es consecuentemente una
expresioacuten de las otras dos leyes
Se ha sugerido que el componente de la fuerza de Lorentz se puede
derivar de la ley de Coulomb y por eso la relatividad especial asume la invariancia de la
carga eleacutectrica17
18
Expresioacuten de las ecuaciones para una frecuencia
constante
En las ecuaciones de Maxwell los campos vectoriales no son solo funciones de
la posicioacuten en general son funciones de la posicioacuten y del tiempo como por ejemplo
Para la resolucioacuten de estas ecuaciones en derivadas parciales las
variables posicionales se encuentran con la variable temporal En la praacutectica la
resolucioacuten de dichas ecuaciones pueden contener una solucioacuten armoacutenica (sinusoidal)
Con ayuda de la notacioacuten compleja se puede evitar la dependencia temporal de
los resultados armoacutenicos eliminando asiacute el factor complejo de la expresioacuten Gran
parte de las resoluciones de las ecuaciones de Maxwell toman amplitudes complejas
ademaacutes de no ser solo funcioacuten de la posicioacuten En lugar de la derivacioacuten parcial en el
tiempo se tiene la multiplicacioacuten del factor imaginario donde es la frecuencia
angular
En la forma compleja las ecuaciones de Maxwell toman la siguiente forma11
Veacutease tambieacuten
Electromagnetismo
James Clerk Maxwell
Oliver Heaviside
Carga
Onda electromagneacutetica
Ecuacioacuten de onda electromagneacutetica
Ecuaciones de Jefimenko
Ley de Gauss
Ley de Faraday
Ley de Ampegravere
Referencias y Notas
1 uarr laquoEcuaciones de Maxwellraquo (en espantildeol) (1999 de agosto) Consultado el 15 de
enero 2008
2 uarr laquo[httpwwwzpenergycomdownloadsOrig_maxwell_equationspdf On the
Notation of MAXWELLrsquos Field Equations]raquo (en ingleacutes) Consultado el
08012008
3 uarr [Aacutengel Franco Garciacutea Universidad del Paiacutes Vasco] (octubre de 2006) laquoEl
espectro electromagneacuteticoraquo (en espantildeol) Consultado el 15012008
4 uarr laquoTeorema de Gauss y Flujo Eleacutectricoraquo Consultado el 19012008
5 uarr laquoLiacutenea de cargas Ley de Gaussraquo Consultado el 18012008
6 uarr a b c d e Richard Feynman (1974) Feynman lectures on Physics Volume 2 (en
ingleacutes) Addison Wesley Longman ISBN 0-201-02115-3
7 uarr laquoMagnetostaacuteticaraquo Consultado el 19012008
8 uarr laquoConcepto de Flujoraquo Consultado el 19012008
9 uarr laquoLey de Faraday-Henryraquo Consultado el 19012008
10 uarr a b laquoLey de Ampere-Maxwellraquo Consultado el 20012008
11 uarr a b c Aacutengel Cardama Aznar (2002) Antenas UPC ISBN 84-8301-625-7
12 uarr Liliana I Perez laquoAPUNTEEcuaciones de Maxwellraquo Consultado el
22012008
13 uarr a b c La web de Fiacutesica (2008) laquoEcuaciones de Maxwellraquo Consultado el
23012008
14 uarr laquoPotencial Vector Magneacuteticoraquo Consultado el 21012008
15 uarr laquoEcuaciones del Electromagnetismoraquo Consultado el 21012008
16 uarr laquoProfessor Clerk Maxwell on the electromagnetic fieldraquo (en ingleacutes)
Consultado el 21012008
17 uarr L D Landau E M Lifshitz (1980) The Classical Theory of Fields (en
ingleacutes) Butterworth-Heinemann ISBN 0-7506-2768-9
18 uarr Richard E Haskell (2006) laquoSpecial relativity and Maxwell equationsraquo (en
ingleacutes) Consultado el 23012008
Enlaces externos
Fundamentos de las Ecuaciones de Maxwell
On Physical Lines of Force
A dinamical theory of the electromagnetic field Trabajo original de Maxwell
Monografiacuteascom archivo sobre ecuaciones de Maxwell
Modelo de Maxwell
Fundamentos de la radiacioacuten
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiEcuaciones_de_Maxwell
Categoriacuteas WikipediaArtiacuteculos buenos | Ecuaciones | Leyes electromagneacuteticas
La unidad de la densidad en el Sistema Internacional de Unidades es el tesla
Estaacute dado por
Donde B es la densidad del flujo magneacutetico generado por una carga que se
mueve a una velocidad v a una distancia r de la carga y ur es el vector unitario que une
la carga con el punto donde se mide B (el punto r)
o bien
Donde B es la densidad del flujo magneacutetico generado por un conductor por el
cual pasa una corriente I a una distancia r
La foacutermula de esta definicioacuten se llama Ley de Biot-Savart y es en magnetismo
la equivalente a la Ley de Coulomb de la electrostaacutetica pues sirve para calcular las
fuerzas que actuacutean en cargas en movimiento
El campo induccioacuten B o densidad de flujo magneacutetico (los tres nombres son
equivalentes) es maacutes fundamental en electromagnetismo que el campo H ya que es el
responsable de las fuerzas en las cargas en movimiento y es por tanto el equivalente
Ecuaciones de Maxwell
Las cuatro ecuaciones de Maxwell describen todos los fenoacutemenos
electromagneacuteticos aquiacute se muestra la induccioacuten magneacutetica por medio de una corriente
eleacutectrica
Las ecuaciones de Maxwell son un conjunto de cuatro ecuaciones que describen
por completo los fenoacutemenos electromagneacuteticos La gran contribucioacuten de James Clerk
Maxwell fue reunir en estas ecuaciones largos antildeos de resultados experimentales
debidos a Coulomb Gauss Ampere Faraday y otros introduciendo los conceptos de
campo y corriente de desplazamiento y unificando los campos eleacutectricos y magneacuteticos
en un solo concepto el campo electromagneacutetico1
Desarrollo histoacuterico de las ecuaciones de Maxwell
Retrato de Maxwell
Veacutease tambieacuten Electromagnetismo
Las ecuaciones de Maxwell son un conjunto de cuatro ecuaciones que
aparecieron de manera separada en la publicacioacuten de 1861 On Physical Lines of Force
por parte del cientiacutefico James Clerk Maxwell El trabajo en siacute no era obra soacutelo de
Maxwell en las ecuaciones notamos la ley de Faraday (ecuacioacuten 54 en su trabajo) la
ecuacioacuten 56 div B = 0 de su autoriacutea la ley de Ampegravere con correcciones hechas por eacutel
(ecuacioacuten 112) y la ley de Gauss (ecuacioacuten 113) Eacutestas expresan respectivamente como
el cambio de los campos magneacuteticos producen campos eleacutectricos la ausencia
experimental de monopolos magneacuteticos coacutemo una corriente eleacutectrica y el cambio en los
campos eleacutectricos producen campos magneacuteticos y coacutemo cargas eleacutectricas producen
campos eleacutectricos En el trabajo original de Maxwell se podiacutean encontrar muchas otras
ecuaciones pero se llegoacute a simplificarlas a estas cuatro2
El aspecto maacutes importante del trabajo de Maxwell en el electromagnetismo es el
teacutermino que introdujo en la ley de Ampegravere la derivada temporal de un campo eleacutectrico
conocido como corriente de desplazamiento El trabajo que Maxwell publicoacute en 1865 A
Dynamical Theory of the Electromagnetic Field modificaba la versioacuten de la ley de
Ampegravere con lo que se predeciacutea la existencia de ondas electromagneacuteticas propagaacutendose
dependiendo del medio material a la velocidad de la luz en dicho medio De esta forma
Maxwell identificoacute la luz como una onda electromagneacutetica unificando asiacute la oacuteptica con
el electromagnetismo3
Exceptuando la modificacioacuten a la ley de Ampegravere ninguna de las otras
ecuaciones era original Lo que hizo Maxwell fue re obtener dichas ecuaciones a partir
de modelos mecaacutenicos e hidrodinaacutemicos usando su modelo de voacutertices de liacuteneas de
fuerza de Faraday
En 1884 Oliver Heaviside junto con Willard Gibbs agrupoacute estas ecuaciones y
las reformuloacute en la notacioacuten vectorial actual Sin embargo es importante conocer que al
hacer eso Heaviside usoacute derivadas parciales temporales diferentes a las derivadas
totales usadas por Maxwell en la ecuacioacuten (54) Ello provocoacute que se perdiera el teacutermino
vxB que apareciacutea en la ecuacioacuten posterior del trabajo de Maxwell (nuacutemero 77) En la
actualidad este teacutermino se usa como complementario a estas ecuaciones y se conoce
como fuerza de Lorentz
La historia es auacuten confusa debido a que el teacutermino ecuaciones de Maxwell se
usa tambieacuten para un conjunto de ocho ecuaciones en la publicacioacuten de Maxwell de
1865 A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field y esta confusioacuten se debe a que
seis de las ocho ecuaciones son escritas como tres ecuaciones para cada eje de
coordenadas asiacute se puede uno confundir al encontrar veinte ecuaciones con veinte
incoacutegnitas Los dos tipos de ecuaciones son casi equivalentes a pesar del teacutermino
eliminado por Heaviside en las actuales cuatro ecuaciones
Detalle de las ecuaciones
Ley de Gauss
Artiacuteculo principal Ley de Gauss
Flujo eleacutectrico de una carga puntual en una superficie cerrada
La ley de Gauss explica la relacioacuten entre el flujo del campo eleacutectrico y una
superficie cerrada Se define como flujo eleacutectrico ( ) a la cantidad de fluido eleacutectrico
que atraviesa una superficie dada Anaacutelogo al flujo de la mecaacutenica de fluidos este fluido
eleacutectrico no transporta materia pero ayuda a analizar la cantidad de campo eleacutectrico (
) que pasa por una superficie4 Matemaacuteticamente se la expresa como
La ley dice que el flujo del campo eleacutectrico a traveacutes de una superficie cerrada es
igual al cociente entre la carga (q) o la suma de las cargas que hay en el interior de la
superficie y la permitividad eleacutectrica en el vaciacuteo (ε0) asiacute5 6
La forma diferencial de la ley de Gauss es
Donde ρ es la densidad de carga Esta expresioacuten es para una carga en el vaciacuteo
para casos generales se debe introducir una cantidad llamada densidad de flujo eleacutectrico
( ) y nuestra expresioacuten obtiene la forma
Ley de Gauss para el campo magneacutetico
Artiacuteculos principales Ley de Gauss y Monopolo magneacutetico
Las liacuteneas de campo magneacutetico comienzan y terminan en el mismo lugar por lo
que no existe un monopolo magneacutetico
Experimentalmente se llegoacute al resultado de que los campos magneacuteticos a
diferencia de los eleacutectricos no comienzan y terminan en cargas diferentes Esta ley
primordialmente indica que las liacuteneas de los campos magneacuteticos deben ser cerradas En
otras palabras se dice que sobre una superficie cerrada sea cual sea eacutesta no seremos
capaces de encerrar una fuente o sumidero de campo esto expresa la no existencia del
monopolo magneacutetico7 Matemaacuteticamente esto se expresa asiacute
6
Donde es la densidad de flujo magneacutetico tambieacuten llamada induccioacuten
magneacutetica
Su forma integral equivalente
Como en la forma integral del campo eleacutectrico esta ecuacioacuten soacutelo funciona si la
integral estaacute definida en una superficie cerrada
Ley de Faraday-Lenz
Artiacuteculo principal Ley de Faraday-Lenz
La ley de Faraday nos habla sobre la induccioacuten electromagneacutetica la que origina
una fuerza electromotriz en un campo magneacutetico Esta ley es muchas veces llamada
como ley de Faraday-Lenz debido a que Heinrich Lenz descubrioacute eacutesta induccioacuten de
manera separada a Faraday pero casi simultaacutenea8 Lo primero que se debe introducir es
la fuerza electromotriz ( ) si tenemos un campo magneacutetico variable con el tiempo una
fuerza electromotriz es inducida en cualquier circuito eleacutectrico y esta fuerza es igual a
menos la derivada temporal del flujo magneacutetico asiacute9
Como el campo magneacutetico es dependiente de la posicioacuten tenemos que el flujo
magneacutetico es igual a
Ademaacutes el que exista fuerza electromotriz indica que existe un campo eleacutectrico
que se representa como
Con lo que finalmente se obtiene la expresioacuten de la ley de Faraday6
Lo que indica que un campo magneacutetico que depende del tiempo implica la
existencia de un campo eleacutectrico del que su circulacioacuten por un camino arbitrario
cerrado es igual a menos la derivada temporal del flujo magneacutetico en cualquier
superficie limitada por el camino cerrado
La forma diferencial de esta ecuacioacuten es
Esta ecuacioacuten relaciona los campos eleacutectrico y magneacutetico pero tiene tambieacuten
muchas otras aplicaciones praacutecticas Esta ecuacioacuten describe coacutemo los motores eleacutectricos
y los generadores eleacutectricos funcionan Maacutes precisamente demuestra que un voltaje
puede ser generado variando el flujo magneacutetico que atraviesa una superficie dada
Ley de Ampere generalizada
Ampere formuloacute una relacioacuten para un campo magneacutetico inmoacutevil y una corriente
eleacutectrica que no variacutea en el tiempo La ley de Ampere nos dice que la circulacioacuten en un
campo magneacutetico ( ) a lo largo de una curva cerrada C es igual a la densidad de
corriente ( ) sobre la superficie encerrada en la curva C matemaacuteticamente asiacute6
Donde es la permeabilidad magneacutetica en el vaciacuteo
Pero cuando esta relacioacuten se la considera con campos que siacute variacutean a traveacutes del
tiempo llega a caacutelculos erroacuteneos como el de violar la conservacioacuten de la carga10
Maxwell corrigioacute esta ecuacioacuten para lograr adaptarla a campos no estacionarios y
posteriormente pudo ser comprobada experimentalmente Maxwell reformuloacute esta ley
asiacute6
En el caso especiacutefico estacionario esta relacioacuten corresponde a la ley de Ampere
ademaacutes confirma que un campo eleacutectrico que variacutea con el tiempo produce un campo
magneacutetico y ademaacutes es consecuente con el principio de conservacioacuten de la carga10
En forma diferencial eacutesta ecuacioacuten toma la forma
En medios materiales
Para el caso de que las cargas esteacuten en medios materiales y asumiendo que eacutestos
son lineales homogeacuteneos isoacutetropos y no dispersivos podemos encontrar una relacioacuten
entre los vectores intensidad e induccioacuten a traveacutes de dos paraacutemetros conocidos como
permitividad eleacutectrica y la permeabilidad magneacutetica11
Pero estos valores tambieacuten dependen del medio material por lo que se dice que
un medio es lineal cuando la relacioacuten entre ED y BH es lineal Si esta relacioacuten es
lineal matemaacuteticamente se puede decir que y μ estaacuten representadas por una matriz
3x3 Si un medio es isoacutetropo es porque esta matriz ha podido ser diagonalizada y
consecuentemente es equivalente a una funcioacuten si en esta diagonal uno de
los elementos es diferente al otro se dice que es un medio anisoacutetropo Estos elementos
tambieacuten son llamados constantes dieleacutectricas y cuando estas constantes no dependen de
su posicioacuten el medio es homogeacuteneo12
El valor de y μ en medios lineales no dependen de las intensidades del campo
Por otro lado la permitividad y la permeabilidad son escalares cuando las cargas estaacuten
en medios homogeacuteneos e isoacutetropos Los medios heterogeacuteneos e isoacutetropos dependen de
las coordenadas de cada punto por lo que los valores escalares van a depender de la
posicioacuten Los medios anisoacutetropos son tensores11
Finalmente en el vaciacuteo tanto como
son cero porque suponemos que no hay fuentes
En la siguiente tabla encontramos a las ecuaciones como se las formula en el
vaciacuteo y en la forma maacutes general13
En el vaciacuteo Caso general
Ecuaciones de Maxwell
Las ecuaciones de Maxwell como ahora las conocemos son las cuatro citadas
anteriormente y a manera de resumen se pueden encontrar en la siguiente tabla
Nombre Forma diferencial Forma integral
Ley de
Gauss
Ley de
Gauss para
el campo
magneacutetico
Ley de
Faraday
Ley de
Ampegravere
generaliza
da
Estas cuatro ecuaciones junto con la fuerza de Lorentz son las que explican
cualquier tipo de fenoacutemeno electromagneacutetico Una fortaleza de las ecuaciones de
Maxwell es que permanecen invariantes en cualquier sistema de unidades salvo
de pequentildeas excepciones y que son compatibles con la relatividad especial y
general Ademaacutes Maxwell descubrioacute que la cantidad era
simplemente la velocidad de la luz en el vaciacuteo por lo que la luz es una forma de
radiacioacuten electromagneacutetica Los valores aceptados actualmente para la velocidad
de la luz la permitividad y la permeabilidad magneacutetica se resumen en la
siguiente tabla
Siacutembolo Nombre Valor numeacuterico Unidad de medida
SI Tipo
Velocidad de la luz en el
vaciacuteo
metros por segundo definido
Permitividad
faradios por metro derivado
Permeabilidad magneacutetica
henrios por metro definido
Potencial escalar y potencial vector
Como consecuencia matemaacutetica de las ecuaciones de Maxwell y ademaacutes con el
objetivo de simplificar sus caacutelculos se han introducido los conceptos de potencial vector
( ) y potencial escalar ( ) Este potencial vector no es uacutenico y no tiene significado
fiacutesico claro pero se sabe que un elemento infinitesimal de corriente da lugar a una
contribucioacuten paralela a la corriente14
Este potencial se obtiene como consecuencia
de la ley de Gauss para el flujo magneacutetico ya que se conoce que si la divergencia de un
vector es cero ese vector como consecuencia define a un rotacional asiacute15
A partir de este potencial vector y de la ley de Faraday puede definirse un
potencial escalar asiacute13
Donde el signo menos ( minus ) es por convencioacuten Estos potenciales son importantes
porque poseen una simetriacutea gauge que nos da cierta libertad a la hora de escogerlos13
El
campo eleacutectrico en funcioacuten de los potenciales
Hallamos que con la introduccioacuten de estas cantidades las ecuaciones de Maxwell
quedan reducidas solo a dos puesto que la ley de Gauss para el campo magneacutetico y la
ley de Faraday quedan satisfechas por definicioacuten Asiacute la ley de Gauss para el campo
eleacutectrico escrita en teacuterminos de los potenciales
y la ley de Ampeacutere generalizada
Noacutetese que se ha pasado de un conjunto de cuatro ecuaciones diferenciales
parciales de primer orden a solo dos ecuaciones diferenciales parciales pero de segundo
orden Sin embargo estas ecuaciones se pueden simplificar con ayuda de una adecuada
eleccioacuten del gauge
Consecuencias fiacutesicas de las ecuaciones
Principio de conservacioacuten de la carga
Las ecuaciones de Maxwell llevan impliacutecitas el principio de conservacioacuten de la
carga El principio afirma que la carga eleacutectrica no se crea ni se destruye ni global ni
localmente sino que uacutenicamente se transfiere y que si en una superficie cerrada estaacute
disminuyendo la carga contenida en su interior debe haber un flujo de corriente neto
hacia el exterior del sistema Es decir la densidad de carga y la densidad de corriente
satisfacen una ecuacioacuten de continuidad
A partir de la forma diferencial de la ley de Ampere se tiene
Que al reemplazar la ley de Gauss y tomar en cuenta que
(para cualquier vector ) se obtiene
O bien en forma integral
Ecuaciones originales de Maxwell
En el capiacutetulo III de A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field titulado
Ecuaciones generales del campo electromagneacutetico Maxwell formuloacute ocho ecuaciones
que las nombroacute de la A a la H16
Estas ecuaciones llegaron a ser conocidas como las
ecuaciones de Maxwell pero ahora este epiacuteteto lo reciben las ecuaciones que agrupoacute
Heaviside La versioacuten de Heaviside de las ecuaciones de Maxwell realmente contiene
solo una ecuacioacuten de las ocho originales la ley de Gauss que en el conjunto de ocho
seriacutea la ecuacioacuten G Ademaacutes Heaviside fusionoacute la ecuacioacuten A de Maxwell de la
corriente total con la ley circuital de Ampegravere que en el trabajo de Maxwell era la
ecuacioacuten C Esta fusioacuten que Maxwell por si mismo publicoacute en su trabajo On Physical
Lines of Force de 1861 modifica la ley circuital de Ampegravere para incluir la corriente de
desplazamiento de Maxwell
Las ocho ecuaciones originales de Maxwell pueden ser escritas en forma
vectorial asiacute
Denominacioacuten Nombre Ecuacioacuten
A Ley de corrientes totales
B Definicioacuten de vector potencial
magneacutetico
C Ley circuital de Ampere
D Fuerza de Lorentz
E Ecuacioacuten de electricidad elaacutestica
F Ley de Ohm
G Ley de Gauss
H Ecuacioacuten de continuidad de carga
Donde es el vector intensidad de campo magneacutetico (llamado por Maxwell
como intensidad magneacutetica) es la densidad de corriente eleacutectrica y es la
corriente total incluida la corriente de desplazamiento es el campo desplazamiento
(desplazamiento eleacutectrico) es la densidad de carga libre (cantidad libre de
electricidad) es el vector potencial magneacutetico (impulso magneacutetico) es el campo
eleacutectrico (fuerza electromotriz (no confundir con la actual definicioacuten de fuerza
electromotriz)) es el potencial eleacutectrico y es la conductividad eleacutectrica (resistencia
especiacutefica ahora solo resistencia)
Maxwell no consideroacute a los medios materiales en general esta formulacioacuten
inicial usa la permitividad y la permeabilidad en medios lineales isoacutetropos y no
dispersos a pesar que tambieacuten se las puede usar en medios anisoacutetropos
Maxwell incluyoacute el teacutermino en la expresioacuten de la fuerza electromotriz
de la ecuacioacuten D que corresponde a la fuerza magneacutetica por unidad de carga en un
conductor que se mueve a una velocidad Esto significa que la ecuacioacuten D es otra
formulacioacuten de la fuerza de Lorentz Esta ecuacioacuten primero aparecioacute como la ecuacioacuten
77 de la publicacioacuten On Physical Lines of Force de Maxwell anterior a la publicacioacuten
de Lorentz En la actualidad esta fuerza de Lorentz no forma parte de las ecuaciones de
Maxwell pero se la considera una ecuacioacuten adicional fundamental en el
electromagnetismo
Expresioacuten de las ecuaciones en relatividad
En la relatividad especial las ecuaciones de Maxwell en el vaciacuteo se escriben
mediante unas relaciones geomeacutetricas las cuales toman la misma forma en cualquier
sistema de referencia inercial Eacutestas estaacuten escritas en teacuterminos de cuadrivectores y
tensores covariantes que son objetos geomeacutetricos definidos en M4 Estos objetos se
relacionan mediante formas diferenciales en relaciones geomeacutetricas que al expresarlas
en componentes de los sistemas coordenados Lorentz proporcionan las ecuaciones para
el campo electromagneacutetico
La cuadricorriente esta descrita por una 1-forma y lleva la informacioacuten sobre
la distribucioacuten de cargas y corrientes Sus componentes son
Que debe cumplir la siguiente relacioacuten geomeacutetrica para que se cumpla la
ecuacioacuten de continuidad
Escrito en componentes de los sistemas coordenados Lorentz queda
Para poner en correspondencia objetos del mismo rango se utiliza el operador de
Laplace-Beltrami o Laplaciana definida como
Podemos poner en correspondencia el cuadrivector densidad de corriente con
otro objeto del mismo rango como es el cuadripotencial que lleva la informacioacuten del
potencial eleacutectrico y el potencial vector magneacutetico
O escrito en coordenadas Lorentz obtenemos que
Expresioacuten que reproduce las ecuaciones de onda para los potenciales
electromagneacuteticos
La 1-forma A lleva la informacioacuten sobre los potenciales de los observadores
inerciales siendo sus componentes
Para obtener el objeto geomeacutetrico que contiene los campos tenemos que subir el
rango de A mediante el operador diferencial exterior obteniendo la 2-forma F campo
electromagneacutetico En forma geomeacutetrica podemos escribir
Que expresado para un sistema inercial Lorentz tenemos que
Con lo que obtenemos el tensor de campo electromagneacutetico
Primer par de ecuaciones de Maxwell
La siguientes expresiones ligan los campos con las fuentes relacionamos la
cuadricorriente con el tensor campo electromagneacutetico mediante la forma geomeacutetrica
O bien en coordenadas Lorentz
Obtencioacuten de las ecuaciones
Para un observable en S partiendo de expresioacuten en coordenadas Lorentz podemos
obtener
Para tenemos que entonces
Por tanto
Para podemos obtener de la misma forma que
Segundo par de ecuaciones de Maxwell
Corresponden a las ecuaciones homogeacuteneas Escritas en forma geomeacutetrica
tenemos que
Que corresponde con la expresioacuten en los sistemas coordenados Lorentz
Donde el tensor es el tensor dual de F Se obtiene mediante el operador de
Hodge
Obtencioacuten de las ecuaciones
Para
Por tanto
Para se obtiene la ecuacioacuten vectorial
La propiedad reproduce las ecuaciones de Maxwell internas
que se puede expresar como que se puede escribir en los sistemas
coordenados Lorentz como
Podemos resumir el conjunto de expresiones que relacionan los objetos que
describen el campo electromagneacutetico en la siguiente tabla La primera columna son las
relaciones geomeacutetricas independientes de cualquier observador la segunda columna
son las ecuaciones descritas mediante un sistema coordenado Lorentz y la tercera es la
descripcioacuten de la relacioacuten y la ley que cumple
Forma
Geomeacutetrica Covariante Lorentz Descripcioacuten
Condicioacutengauge de Lorentz ()
Definicioacuten de Campos
Electromagneacuteticos
Ecuaciones de Ondas
Ecuaciones de Maxwell
Ley de conservacioacuten de la Carga
() Existe una confusioacuten habitual en cuanto a la nomenclatura de este gauge Las
primeras ecuaciones en las que aparece tal condicioacuten (1867) se deben a Ludvig V
Lorentz no al mucho maacutes conocido Hendrik A Lorentz (Veacutease JD Jackson
Classical Electrodynamics 3rd edition p294)
Finalmente el cuadrigradiente se define asiacute
Los iacutendices repetidos se suman de acuerdo al convenio de sumacioacuten de Einstein
De acuerdo con el caacutelculo tensorial los iacutendices pueden subirse o bajarse por medio de la
matriz fundamental g
El primer tensor es una expresioacuten de dos ecuaciones de Maxwell la ley de Gauss
y la ley de Ampere generalizada la segunda ecuacioacuten es consecuentemente una
expresioacuten de las otras dos leyes
Se ha sugerido que el componente de la fuerza de Lorentz se puede
derivar de la ley de Coulomb y por eso la relatividad especial asume la invariancia de la
carga eleacutectrica17
18
Expresioacuten de las ecuaciones para una frecuencia
constante
En las ecuaciones de Maxwell los campos vectoriales no son solo funciones de
la posicioacuten en general son funciones de la posicioacuten y del tiempo como por ejemplo
Para la resolucioacuten de estas ecuaciones en derivadas parciales las
variables posicionales se encuentran con la variable temporal En la praacutectica la
resolucioacuten de dichas ecuaciones pueden contener una solucioacuten armoacutenica (sinusoidal)
Con ayuda de la notacioacuten compleja se puede evitar la dependencia temporal de
los resultados armoacutenicos eliminando asiacute el factor complejo de la expresioacuten Gran
parte de las resoluciones de las ecuaciones de Maxwell toman amplitudes complejas
ademaacutes de no ser solo funcioacuten de la posicioacuten En lugar de la derivacioacuten parcial en el
tiempo se tiene la multiplicacioacuten del factor imaginario donde es la frecuencia
angular
En la forma compleja las ecuaciones de Maxwell toman la siguiente forma11
Veacutease tambieacuten
Electromagnetismo
James Clerk Maxwell
Oliver Heaviside
Carga
Onda electromagneacutetica
Ecuacioacuten de onda electromagneacutetica
Ecuaciones de Jefimenko
Ley de Gauss
Ley de Faraday
Ley de Ampegravere
Referencias y Notas
1 uarr laquoEcuaciones de Maxwellraquo (en espantildeol) (1999 de agosto) Consultado el 15 de
enero 2008
2 uarr laquo[httpwwwzpenergycomdownloadsOrig_maxwell_equationspdf On the
Notation of MAXWELLrsquos Field Equations]raquo (en ingleacutes) Consultado el
08012008
3 uarr [Aacutengel Franco Garciacutea Universidad del Paiacutes Vasco] (octubre de 2006) laquoEl
espectro electromagneacuteticoraquo (en espantildeol) Consultado el 15012008
4 uarr laquoTeorema de Gauss y Flujo Eleacutectricoraquo Consultado el 19012008
5 uarr laquoLiacutenea de cargas Ley de Gaussraquo Consultado el 18012008
6 uarr a b c d e Richard Feynman (1974) Feynman lectures on Physics Volume 2 (en
ingleacutes) Addison Wesley Longman ISBN 0-201-02115-3
7 uarr laquoMagnetostaacuteticaraquo Consultado el 19012008
8 uarr laquoConcepto de Flujoraquo Consultado el 19012008
9 uarr laquoLey de Faraday-Henryraquo Consultado el 19012008
10 uarr a b laquoLey de Ampere-Maxwellraquo Consultado el 20012008
11 uarr a b c Aacutengel Cardama Aznar (2002) Antenas UPC ISBN 84-8301-625-7
12 uarr Liliana I Perez laquoAPUNTEEcuaciones de Maxwellraquo Consultado el
22012008
13 uarr a b c La web de Fiacutesica (2008) laquoEcuaciones de Maxwellraquo Consultado el
23012008
14 uarr laquoPotencial Vector Magneacuteticoraquo Consultado el 21012008
15 uarr laquoEcuaciones del Electromagnetismoraquo Consultado el 21012008
16 uarr laquoProfessor Clerk Maxwell on the electromagnetic fieldraquo (en ingleacutes)
Consultado el 21012008
17 uarr L D Landau E M Lifshitz (1980) The Classical Theory of Fields (en
ingleacutes) Butterworth-Heinemann ISBN 0-7506-2768-9
18 uarr Richard E Haskell (2006) laquoSpecial relativity and Maxwell equationsraquo (en
ingleacutes) Consultado el 23012008
Enlaces externos
Fundamentos de las Ecuaciones de Maxwell
On Physical Lines of Force
A dinamical theory of the electromagnetic field Trabajo original de Maxwell
Monografiacuteascom archivo sobre ecuaciones de Maxwell
Modelo de Maxwell
Fundamentos de la radiacioacuten
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiEcuaciones_de_Maxwell
Categoriacuteas WikipediaArtiacuteculos buenos | Ecuaciones | Leyes electromagneacuteticas
Las ecuaciones de Maxwell son un conjunto de cuatro ecuaciones que describen
por completo los fenoacutemenos electromagneacuteticos La gran contribucioacuten de James Clerk
Maxwell fue reunir en estas ecuaciones largos antildeos de resultados experimentales
debidos a Coulomb Gauss Ampere Faraday y otros introduciendo los conceptos de
campo y corriente de desplazamiento y unificando los campos eleacutectricos y magneacuteticos
en un solo concepto el campo electromagneacutetico1
Desarrollo histoacuterico de las ecuaciones de Maxwell
Retrato de Maxwell
Veacutease tambieacuten Electromagnetismo
Las ecuaciones de Maxwell son un conjunto de cuatro ecuaciones que
aparecieron de manera separada en la publicacioacuten de 1861 On Physical Lines of Force
por parte del cientiacutefico James Clerk Maxwell El trabajo en siacute no era obra soacutelo de
Maxwell en las ecuaciones notamos la ley de Faraday (ecuacioacuten 54 en su trabajo) la
ecuacioacuten 56 div B = 0 de su autoriacutea la ley de Ampegravere con correcciones hechas por eacutel
(ecuacioacuten 112) y la ley de Gauss (ecuacioacuten 113) Eacutestas expresan respectivamente como
el cambio de los campos magneacuteticos producen campos eleacutectricos la ausencia
experimental de monopolos magneacuteticos coacutemo una corriente eleacutectrica y el cambio en los
campos eleacutectricos producen campos magneacuteticos y coacutemo cargas eleacutectricas producen
campos eleacutectricos En el trabajo original de Maxwell se podiacutean encontrar muchas otras
ecuaciones pero se llegoacute a simplificarlas a estas cuatro2
El aspecto maacutes importante del trabajo de Maxwell en el electromagnetismo es el
teacutermino que introdujo en la ley de Ampegravere la derivada temporal de un campo eleacutectrico
conocido como corriente de desplazamiento El trabajo que Maxwell publicoacute en 1865 A
Dynamical Theory of the Electromagnetic Field modificaba la versioacuten de la ley de
Ampegravere con lo que se predeciacutea la existencia de ondas electromagneacuteticas propagaacutendose
dependiendo del medio material a la velocidad de la luz en dicho medio De esta forma
Maxwell identificoacute la luz como una onda electromagneacutetica unificando asiacute la oacuteptica con
el electromagnetismo3
Exceptuando la modificacioacuten a la ley de Ampegravere ninguna de las otras
ecuaciones era original Lo que hizo Maxwell fue re obtener dichas ecuaciones a partir
de modelos mecaacutenicos e hidrodinaacutemicos usando su modelo de voacutertices de liacuteneas de
fuerza de Faraday
En 1884 Oliver Heaviside junto con Willard Gibbs agrupoacute estas ecuaciones y
las reformuloacute en la notacioacuten vectorial actual Sin embargo es importante conocer que al
hacer eso Heaviside usoacute derivadas parciales temporales diferentes a las derivadas
totales usadas por Maxwell en la ecuacioacuten (54) Ello provocoacute que se perdiera el teacutermino
vxB que apareciacutea en la ecuacioacuten posterior del trabajo de Maxwell (nuacutemero 77) En la
actualidad este teacutermino se usa como complementario a estas ecuaciones y se conoce
como fuerza de Lorentz
La historia es auacuten confusa debido a que el teacutermino ecuaciones de Maxwell se
usa tambieacuten para un conjunto de ocho ecuaciones en la publicacioacuten de Maxwell de
1865 A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field y esta confusioacuten se debe a que
seis de las ocho ecuaciones son escritas como tres ecuaciones para cada eje de
coordenadas asiacute se puede uno confundir al encontrar veinte ecuaciones con veinte
incoacutegnitas Los dos tipos de ecuaciones son casi equivalentes a pesar del teacutermino
eliminado por Heaviside en las actuales cuatro ecuaciones
Detalle de las ecuaciones
Ley de Gauss
Artiacuteculo principal Ley de Gauss
Flujo eleacutectrico de una carga puntual en una superficie cerrada
La ley de Gauss explica la relacioacuten entre el flujo del campo eleacutectrico y una
superficie cerrada Se define como flujo eleacutectrico ( ) a la cantidad de fluido eleacutectrico
que atraviesa una superficie dada Anaacutelogo al flujo de la mecaacutenica de fluidos este fluido
eleacutectrico no transporta materia pero ayuda a analizar la cantidad de campo eleacutectrico (
) que pasa por una superficie4 Matemaacuteticamente se la expresa como
La ley dice que el flujo del campo eleacutectrico a traveacutes de una superficie cerrada es
igual al cociente entre la carga (q) o la suma de las cargas que hay en el interior de la
superficie y la permitividad eleacutectrica en el vaciacuteo (ε0) asiacute5 6
La forma diferencial de la ley de Gauss es
Donde ρ es la densidad de carga Esta expresioacuten es para una carga en el vaciacuteo
para casos generales se debe introducir una cantidad llamada densidad de flujo eleacutectrico
( ) y nuestra expresioacuten obtiene la forma
Ley de Gauss para el campo magneacutetico
Artiacuteculos principales Ley de Gauss y Monopolo magneacutetico
Las liacuteneas de campo magneacutetico comienzan y terminan en el mismo lugar por lo
que no existe un monopolo magneacutetico
Experimentalmente se llegoacute al resultado de que los campos magneacuteticos a
diferencia de los eleacutectricos no comienzan y terminan en cargas diferentes Esta ley
primordialmente indica que las liacuteneas de los campos magneacuteticos deben ser cerradas En
otras palabras se dice que sobre una superficie cerrada sea cual sea eacutesta no seremos
capaces de encerrar una fuente o sumidero de campo esto expresa la no existencia del
monopolo magneacutetico7 Matemaacuteticamente esto se expresa asiacute
6
Donde es la densidad de flujo magneacutetico tambieacuten llamada induccioacuten
magneacutetica
Su forma integral equivalente
Como en la forma integral del campo eleacutectrico esta ecuacioacuten soacutelo funciona si la
integral estaacute definida en una superficie cerrada
Ley de Faraday-Lenz
Artiacuteculo principal Ley de Faraday-Lenz
La ley de Faraday nos habla sobre la induccioacuten electromagneacutetica la que origina
una fuerza electromotriz en un campo magneacutetico Esta ley es muchas veces llamada
como ley de Faraday-Lenz debido a que Heinrich Lenz descubrioacute eacutesta induccioacuten de
manera separada a Faraday pero casi simultaacutenea8 Lo primero que se debe introducir es
la fuerza electromotriz ( ) si tenemos un campo magneacutetico variable con el tiempo una
fuerza electromotriz es inducida en cualquier circuito eleacutectrico y esta fuerza es igual a
menos la derivada temporal del flujo magneacutetico asiacute9
Como el campo magneacutetico es dependiente de la posicioacuten tenemos que el flujo
magneacutetico es igual a
Ademaacutes el que exista fuerza electromotriz indica que existe un campo eleacutectrico
que se representa como
Con lo que finalmente se obtiene la expresioacuten de la ley de Faraday6
Lo que indica que un campo magneacutetico que depende del tiempo implica la
existencia de un campo eleacutectrico del que su circulacioacuten por un camino arbitrario
cerrado es igual a menos la derivada temporal del flujo magneacutetico en cualquier
superficie limitada por el camino cerrado
La forma diferencial de esta ecuacioacuten es
Esta ecuacioacuten relaciona los campos eleacutectrico y magneacutetico pero tiene tambieacuten
muchas otras aplicaciones praacutecticas Esta ecuacioacuten describe coacutemo los motores eleacutectricos
y los generadores eleacutectricos funcionan Maacutes precisamente demuestra que un voltaje
puede ser generado variando el flujo magneacutetico que atraviesa una superficie dada
Ley de Ampere generalizada
Ampere formuloacute una relacioacuten para un campo magneacutetico inmoacutevil y una corriente
eleacutectrica que no variacutea en el tiempo La ley de Ampere nos dice que la circulacioacuten en un
campo magneacutetico ( ) a lo largo de una curva cerrada C es igual a la densidad de
corriente ( ) sobre la superficie encerrada en la curva C matemaacuteticamente asiacute6
Donde es la permeabilidad magneacutetica en el vaciacuteo
Pero cuando esta relacioacuten se la considera con campos que siacute variacutean a traveacutes del
tiempo llega a caacutelculos erroacuteneos como el de violar la conservacioacuten de la carga10
Maxwell corrigioacute esta ecuacioacuten para lograr adaptarla a campos no estacionarios y
posteriormente pudo ser comprobada experimentalmente Maxwell reformuloacute esta ley
asiacute6
En el caso especiacutefico estacionario esta relacioacuten corresponde a la ley de Ampere
ademaacutes confirma que un campo eleacutectrico que variacutea con el tiempo produce un campo
magneacutetico y ademaacutes es consecuente con el principio de conservacioacuten de la carga10
En forma diferencial eacutesta ecuacioacuten toma la forma
En medios materiales
Para el caso de que las cargas esteacuten en medios materiales y asumiendo que eacutestos
son lineales homogeacuteneos isoacutetropos y no dispersivos podemos encontrar una relacioacuten
entre los vectores intensidad e induccioacuten a traveacutes de dos paraacutemetros conocidos como
permitividad eleacutectrica y la permeabilidad magneacutetica11
Pero estos valores tambieacuten dependen del medio material por lo que se dice que
un medio es lineal cuando la relacioacuten entre ED y BH es lineal Si esta relacioacuten es
lineal matemaacuteticamente se puede decir que y μ estaacuten representadas por una matriz
3x3 Si un medio es isoacutetropo es porque esta matriz ha podido ser diagonalizada y
consecuentemente es equivalente a una funcioacuten si en esta diagonal uno de
los elementos es diferente al otro se dice que es un medio anisoacutetropo Estos elementos
tambieacuten son llamados constantes dieleacutectricas y cuando estas constantes no dependen de
su posicioacuten el medio es homogeacuteneo12
El valor de y μ en medios lineales no dependen de las intensidades del campo
Por otro lado la permitividad y la permeabilidad son escalares cuando las cargas estaacuten
en medios homogeacuteneos e isoacutetropos Los medios heterogeacuteneos e isoacutetropos dependen de
las coordenadas de cada punto por lo que los valores escalares van a depender de la
posicioacuten Los medios anisoacutetropos son tensores11
Finalmente en el vaciacuteo tanto como
son cero porque suponemos que no hay fuentes
En la siguiente tabla encontramos a las ecuaciones como se las formula en el
vaciacuteo y en la forma maacutes general13
En el vaciacuteo Caso general
Ecuaciones de Maxwell
Las ecuaciones de Maxwell como ahora las conocemos son las cuatro citadas
anteriormente y a manera de resumen se pueden encontrar en la siguiente tabla
Nombre Forma diferencial Forma integral
Ley de
Gauss
Ley de
Gauss para
el campo
magneacutetico
Ley de
Faraday
Ley de
Ampegravere
generaliza
da
Estas cuatro ecuaciones junto con la fuerza de Lorentz son las que explican
cualquier tipo de fenoacutemeno electromagneacutetico Una fortaleza de las ecuaciones de
Maxwell es que permanecen invariantes en cualquier sistema de unidades salvo
de pequentildeas excepciones y que son compatibles con la relatividad especial y
general Ademaacutes Maxwell descubrioacute que la cantidad era
simplemente la velocidad de la luz en el vaciacuteo por lo que la luz es una forma de
radiacioacuten electromagneacutetica Los valores aceptados actualmente para la velocidad
de la luz la permitividad y la permeabilidad magneacutetica se resumen en la
siguiente tabla
Siacutembolo Nombre Valor numeacuterico Unidad de medida
SI Tipo
Velocidad de la luz en el
vaciacuteo
metros por segundo definido
Permitividad
faradios por metro derivado
Permeabilidad magneacutetica
henrios por metro definido
Potencial escalar y potencial vector
Como consecuencia matemaacutetica de las ecuaciones de Maxwell y ademaacutes con el
objetivo de simplificar sus caacutelculos se han introducido los conceptos de potencial vector
( ) y potencial escalar ( ) Este potencial vector no es uacutenico y no tiene significado
fiacutesico claro pero se sabe que un elemento infinitesimal de corriente da lugar a una
contribucioacuten paralela a la corriente14
Este potencial se obtiene como consecuencia
de la ley de Gauss para el flujo magneacutetico ya que se conoce que si la divergencia de un
vector es cero ese vector como consecuencia define a un rotacional asiacute15
A partir de este potencial vector y de la ley de Faraday puede definirse un
potencial escalar asiacute13
Donde el signo menos ( minus ) es por convencioacuten Estos potenciales son importantes
porque poseen una simetriacutea gauge que nos da cierta libertad a la hora de escogerlos13
El
campo eleacutectrico en funcioacuten de los potenciales
Hallamos que con la introduccioacuten de estas cantidades las ecuaciones de Maxwell
quedan reducidas solo a dos puesto que la ley de Gauss para el campo magneacutetico y la
ley de Faraday quedan satisfechas por definicioacuten Asiacute la ley de Gauss para el campo
eleacutectrico escrita en teacuterminos de los potenciales
y la ley de Ampeacutere generalizada
Noacutetese que se ha pasado de un conjunto de cuatro ecuaciones diferenciales
parciales de primer orden a solo dos ecuaciones diferenciales parciales pero de segundo
orden Sin embargo estas ecuaciones se pueden simplificar con ayuda de una adecuada
eleccioacuten del gauge
Consecuencias fiacutesicas de las ecuaciones
Principio de conservacioacuten de la carga
Las ecuaciones de Maxwell llevan impliacutecitas el principio de conservacioacuten de la
carga El principio afirma que la carga eleacutectrica no se crea ni se destruye ni global ni
localmente sino que uacutenicamente se transfiere y que si en una superficie cerrada estaacute
disminuyendo la carga contenida en su interior debe haber un flujo de corriente neto
hacia el exterior del sistema Es decir la densidad de carga y la densidad de corriente
satisfacen una ecuacioacuten de continuidad
A partir de la forma diferencial de la ley de Ampere se tiene
Que al reemplazar la ley de Gauss y tomar en cuenta que
(para cualquier vector ) se obtiene
O bien en forma integral
Ecuaciones originales de Maxwell
En el capiacutetulo III de A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field titulado
Ecuaciones generales del campo electromagneacutetico Maxwell formuloacute ocho ecuaciones
que las nombroacute de la A a la H16
Estas ecuaciones llegaron a ser conocidas como las
ecuaciones de Maxwell pero ahora este epiacuteteto lo reciben las ecuaciones que agrupoacute
Heaviside La versioacuten de Heaviside de las ecuaciones de Maxwell realmente contiene
solo una ecuacioacuten de las ocho originales la ley de Gauss que en el conjunto de ocho
seriacutea la ecuacioacuten G Ademaacutes Heaviside fusionoacute la ecuacioacuten A de Maxwell de la
corriente total con la ley circuital de Ampegravere que en el trabajo de Maxwell era la
ecuacioacuten C Esta fusioacuten que Maxwell por si mismo publicoacute en su trabajo On Physical
Lines of Force de 1861 modifica la ley circuital de Ampegravere para incluir la corriente de
desplazamiento de Maxwell
Las ocho ecuaciones originales de Maxwell pueden ser escritas en forma
vectorial asiacute
Denominacioacuten Nombre Ecuacioacuten
A Ley de corrientes totales
B Definicioacuten de vector potencial
magneacutetico
C Ley circuital de Ampere
D Fuerza de Lorentz
E Ecuacioacuten de electricidad elaacutestica
F Ley de Ohm
G Ley de Gauss
H Ecuacioacuten de continuidad de carga
Donde es el vector intensidad de campo magneacutetico (llamado por Maxwell
como intensidad magneacutetica) es la densidad de corriente eleacutectrica y es la
corriente total incluida la corriente de desplazamiento es el campo desplazamiento
(desplazamiento eleacutectrico) es la densidad de carga libre (cantidad libre de
electricidad) es el vector potencial magneacutetico (impulso magneacutetico) es el campo
eleacutectrico (fuerza electromotriz (no confundir con la actual definicioacuten de fuerza
electromotriz)) es el potencial eleacutectrico y es la conductividad eleacutectrica (resistencia
especiacutefica ahora solo resistencia)
Maxwell no consideroacute a los medios materiales en general esta formulacioacuten
inicial usa la permitividad y la permeabilidad en medios lineales isoacutetropos y no
dispersos a pesar que tambieacuten se las puede usar en medios anisoacutetropos
Maxwell incluyoacute el teacutermino en la expresioacuten de la fuerza electromotriz
de la ecuacioacuten D que corresponde a la fuerza magneacutetica por unidad de carga en un
conductor que se mueve a una velocidad Esto significa que la ecuacioacuten D es otra
formulacioacuten de la fuerza de Lorentz Esta ecuacioacuten primero aparecioacute como la ecuacioacuten
77 de la publicacioacuten On Physical Lines of Force de Maxwell anterior a la publicacioacuten
de Lorentz En la actualidad esta fuerza de Lorentz no forma parte de las ecuaciones de
Maxwell pero se la considera una ecuacioacuten adicional fundamental en el
electromagnetismo
Expresioacuten de las ecuaciones en relatividad
En la relatividad especial las ecuaciones de Maxwell en el vaciacuteo se escriben
mediante unas relaciones geomeacutetricas las cuales toman la misma forma en cualquier
sistema de referencia inercial Eacutestas estaacuten escritas en teacuterminos de cuadrivectores y
tensores covariantes que son objetos geomeacutetricos definidos en M4 Estos objetos se
relacionan mediante formas diferenciales en relaciones geomeacutetricas que al expresarlas
en componentes de los sistemas coordenados Lorentz proporcionan las ecuaciones para
el campo electromagneacutetico
La cuadricorriente esta descrita por una 1-forma y lleva la informacioacuten sobre
la distribucioacuten de cargas y corrientes Sus componentes son
Que debe cumplir la siguiente relacioacuten geomeacutetrica para que se cumpla la
ecuacioacuten de continuidad
Escrito en componentes de los sistemas coordenados Lorentz queda
Para poner en correspondencia objetos del mismo rango se utiliza el operador de
Laplace-Beltrami o Laplaciana definida como
Podemos poner en correspondencia el cuadrivector densidad de corriente con
otro objeto del mismo rango como es el cuadripotencial que lleva la informacioacuten del
potencial eleacutectrico y el potencial vector magneacutetico
O escrito en coordenadas Lorentz obtenemos que
Expresioacuten que reproduce las ecuaciones de onda para los potenciales
electromagneacuteticos
La 1-forma A lleva la informacioacuten sobre los potenciales de los observadores
inerciales siendo sus componentes
Para obtener el objeto geomeacutetrico que contiene los campos tenemos que subir el
rango de A mediante el operador diferencial exterior obteniendo la 2-forma F campo
electromagneacutetico En forma geomeacutetrica podemos escribir
Que expresado para un sistema inercial Lorentz tenemos que
Con lo que obtenemos el tensor de campo electromagneacutetico
Primer par de ecuaciones de Maxwell
La siguientes expresiones ligan los campos con las fuentes relacionamos la
cuadricorriente con el tensor campo electromagneacutetico mediante la forma geomeacutetrica
O bien en coordenadas Lorentz
Obtencioacuten de las ecuaciones
Para un observable en S partiendo de expresioacuten en coordenadas Lorentz podemos
obtener
Para tenemos que entonces
Por tanto
Para podemos obtener de la misma forma que
Segundo par de ecuaciones de Maxwell
Corresponden a las ecuaciones homogeacuteneas Escritas en forma geomeacutetrica
tenemos que
Que corresponde con la expresioacuten en los sistemas coordenados Lorentz
Donde el tensor es el tensor dual de F Se obtiene mediante el operador de
Hodge
Obtencioacuten de las ecuaciones
Para
Por tanto
Para se obtiene la ecuacioacuten vectorial
La propiedad reproduce las ecuaciones de Maxwell internas
que se puede expresar como que se puede escribir en los sistemas
coordenados Lorentz como
Podemos resumir el conjunto de expresiones que relacionan los objetos que
describen el campo electromagneacutetico en la siguiente tabla La primera columna son las
relaciones geomeacutetricas independientes de cualquier observador la segunda columna
son las ecuaciones descritas mediante un sistema coordenado Lorentz y la tercera es la
descripcioacuten de la relacioacuten y la ley que cumple
Forma
Geomeacutetrica Covariante Lorentz Descripcioacuten
Condicioacutengauge de Lorentz ()
Definicioacuten de Campos
Electromagneacuteticos
Ecuaciones de Ondas
Ecuaciones de Maxwell
Ley de conservacioacuten de la Carga
() Existe una confusioacuten habitual en cuanto a la nomenclatura de este gauge Las
primeras ecuaciones en las que aparece tal condicioacuten (1867) se deben a Ludvig V
Lorentz no al mucho maacutes conocido Hendrik A Lorentz (Veacutease JD Jackson
Classical Electrodynamics 3rd edition p294)
Finalmente el cuadrigradiente se define asiacute
Los iacutendices repetidos se suman de acuerdo al convenio de sumacioacuten de Einstein
De acuerdo con el caacutelculo tensorial los iacutendices pueden subirse o bajarse por medio de la
matriz fundamental g
El primer tensor es una expresioacuten de dos ecuaciones de Maxwell la ley de Gauss
y la ley de Ampere generalizada la segunda ecuacioacuten es consecuentemente una
expresioacuten de las otras dos leyes
Se ha sugerido que el componente de la fuerza de Lorentz se puede
derivar de la ley de Coulomb y por eso la relatividad especial asume la invariancia de la
carga eleacutectrica17
18
Expresioacuten de las ecuaciones para una frecuencia
constante
En las ecuaciones de Maxwell los campos vectoriales no son solo funciones de
la posicioacuten en general son funciones de la posicioacuten y del tiempo como por ejemplo
Para la resolucioacuten de estas ecuaciones en derivadas parciales las
variables posicionales se encuentran con la variable temporal En la praacutectica la
resolucioacuten de dichas ecuaciones pueden contener una solucioacuten armoacutenica (sinusoidal)
Con ayuda de la notacioacuten compleja se puede evitar la dependencia temporal de
los resultados armoacutenicos eliminando asiacute el factor complejo de la expresioacuten Gran
parte de las resoluciones de las ecuaciones de Maxwell toman amplitudes complejas
ademaacutes de no ser solo funcioacuten de la posicioacuten En lugar de la derivacioacuten parcial en el
tiempo se tiene la multiplicacioacuten del factor imaginario donde es la frecuencia
angular
En la forma compleja las ecuaciones de Maxwell toman la siguiente forma11
Veacutease tambieacuten
Electromagnetismo
James Clerk Maxwell
Oliver Heaviside
Carga
Onda electromagneacutetica
Ecuacioacuten de onda electromagneacutetica
Ecuaciones de Jefimenko
Ley de Gauss
Ley de Faraday
Ley de Ampegravere
Referencias y Notas
1 uarr laquoEcuaciones de Maxwellraquo (en espantildeol) (1999 de agosto) Consultado el 15 de
enero 2008
2 uarr laquo[httpwwwzpenergycomdownloadsOrig_maxwell_equationspdf On the
Notation of MAXWELLrsquos Field Equations]raquo (en ingleacutes) Consultado el
08012008
3 uarr [Aacutengel Franco Garciacutea Universidad del Paiacutes Vasco] (octubre de 2006) laquoEl
espectro electromagneacuteticoraquo (en espantildeol) Consultado el 15012008
4 uarr laquoTeorema de Gauss y Flujo Eleacutectricoraquo Consultado el 19012008
5 uarr laquoLiacutenea de cargas Ley de Gaussraquo Consultado el 18012008
6 uarr a b c d e Richard Feynman (1974) Feynman lectures on Physics Volume 2 (en
ingleacutes) Addison Wesley Longman ISBN 0-201-02115-3
7 uarr laquoMagnetostaacuteticaraquo Consultado el 19012008
8 uarr laquoConcepto de Flujoraquo Consultado el 19012008
9 uarr laquoLey de Faraday-Henryraquo Consultado el 19012008
10 uarr a b laquoLey de Ampere-Maxwellraquo Consultado el 20012008
11 uarr a b c Aacutengel Cardama Aznar (2002) Antenas UPC ISBN 84-8301-625-7
12 uarr Liliana I Perez laquoAPUNTEEcuaciones de Maxwellraquo Consultado el
22012008
13 uarr a b c La web de Fiacutesica (2008) laquoEcuaciones de Maxwellraquo Consultado el
23012008
14 uarr laquoPotencial Vector Magneacuteticoraquo Consultado el 21012008
15 uarr laquoEcuaciones del Electromagnetismoraquo Consultado el 21012008
16 uarr laquoProfessor Clerk Maxwell on the electromagnetic fieldraquo (en ingleacutes)
Consultado el 21012008
17 uarr L D Landau E M Lifshitz (1980) The Classical Theory of Fields (en
ingleacutes) Butterworth-Heinemann ISBN 0-7506-2768-9
18 uarr Richard E Haskell (2006) laquoSpecial relativity and Maxwell equationsraquo (en
ingleacutes) Consultado el 23012008
Enlaces externos
Fundamentos de las Ecuaciones de Maxwell
On Physical Lines of Force
A dinamical theory of the electromagnetic field Trabajo original de Maxwell
Monografiacuteascom archivo sobre ecuaciones de Maxwell
Modelo de Maxwell
Fundamentos de la radiacioacuten
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiEcuaciones_de_Maxwell
Categoriacuteas WikipediaArtiacuteculos buenos | Ecuaciones | Leyes electromagneacuteticas
de modelos mecaacutenicos e hidrodinaacutemicos usando su modelo de voacutertices de liacuteneas de
fuerza de Faraday
En 1884 Oliver Heaviside junto con Willard Gibbs agrupoacute estas ecuaciones y
las reformuloacute en la notacioacuten vectorial actual Sin embargo es importante conocer que al
hacer eso Heaviside usoacute derivadas parciales temporales diferentes a las derivadas
totales usadas por Maxwell en la ecuacioacuten (54) Ello provocoacute que se perdiera el teacutermino
vxB que apareciacutea en la ecuacioacuten posterior del trabajo de Maxwell (nuacutemero 77) En la
actualidad este teacutermino se usa como complementario a estas ecuaciones y se conoce
como fuerza de Lorentz
La historia es auacuten confusa debido a que el teacutermino ecuaciones de Maxwell se
usa tambieacuten para un conjunto de ocho ecuaciones en la publicacioacuten de Maxwell de
1865 A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field y esta confusioacuten se debe a que
seis de las ocho ecuaciones son escritas como tres ecuaciones para cada eje de
coordenadas asiacute se puede uno confundir al encontrar veinte ecuaciones con veinte
incoacutegnitas Los dos tipos de ecuaciones son casi equivalentes a pesar del teacutermino
eliminado por Heaviside en las actuales cuatro ecuaciones
Detalle de las ecuaciones
Ley de Gauss
Artiacuteculo principal Ley de Gauss
Flujo eleacutectrico de una carga puntual en una superficie cerrada
La ley de Gauss explica la relacioacuten entre el flujo del campo eleacutectrico y una
superficie cerrada Se define como flujo eleacutectrico ( ) a la cantidad de fluido eleacutectrico
que atraviesa una superficie dada Anaacutelogo al flujo de la mecaacutenica de fluidos este fluido
eleacutectrico no transporta materia pero ayuda a analizar la cantidad de campo eleacutectrico (
) que pasa por una superficie4 Matemaacuteticamente se la expresa como
La ley dice que el flujo del campo eleacutectrico a traveacutes de una superficie cerrada es
igual al cociente entre la carga (q) o la suma de las cargas que hay en el interior de la
superficie y la permitividad eleacutectrica en el vaciacuteo (ε0) asiacute5 6
La forma diferencial de la ley de Gauss es
Donde ρ es la densidad de carga Esta expresioacuten es para una carga en el vaciacuteo
para casos generales se debe introducir una cantidad llamada densidad de flujo eleacutectrico
( ) y nuestra expresioacuten obtiene la forma
Ley de Gauss para el campo magneacutetico
Artiacuteculos principales Ley de Gauss y Monopolo magneacutetico
Las liacuteneas de campo magneacutetico comienzan y terminan en el mismo lugar por lo
que no existe un monopolo magneacutetico
Experimentalmente se llegoacute al resultado de que los campos magneacuteticos a
diferencia de los eleacutectricos no comienzan y terminan en cargas diferentes Esta ley
primordialmente indica que las liacuteneas de los campos magneacuteticos deben ser cerradas En
otras palabras se dice que sobre una superficie cerrada sea cual sea eacutesta no seremos
capaces de encerrar una fuente o sumidero de campo esto expresa la no existencia del
monopolo magneacutetico7 Matemaacuteticamente esto se expresa asiacute
6
Donde es la densidad de flujo magneacutetico tambieacuten llamada induccioacuten
magneacutetica
Su forma integral equivalente
Como en la forma integral del campo eleacutectrico esta ecuacioacuten soacutelo funciona si la
integral estaacute definida en una superficie cerrada
Ley de Faraday-Lenz
Artiacuteculo principal Ley de Faraday-Lenz
La ley de Faraday nos habla sobre la induccioacuten electromagneacutetica la que origina
una fuerza electromotriz en un campo magneacutetico Esta ley es muchas veces llamada
como ley de Faraday-Lenz debido a que Heinrich Lenz descubrioacute eacutesta induccioacuten de
manera separada a Faraday pero casi simultaacutenea8 Lo primero que se debe introducir es
la fuerza electromotriz ( ) si tenemos un campo magneacutetico variable con el tiempo una
fuerza electromotriz es inducida en cualquier circuito eleacutectrico y esta fuerza es igual a
menos la derivada temporal del flujo magneacutetico asiacute9
Como el campo magneacutetico es dependiente de la posicioacuten tenemos que el flujo
magneacutetico es igual a
Ademaacutes el que exista fuerza electromotriz indica que existe un campo eleacutectrico
que se representa como
Con lo que finalmente se obtiene la expresioacuten de la ley de Faraday6
Lo que indica que un campo magneacutetico que depende del tiempo implica la
existencia de un campo eleacutectrico del que su circulacioacuten por un camino arbitrario
cerrado es igual a menos la derivada temporal del flujo magneacutetico en cualquier
superficie limitada por el camino cerrado
La forma diferencial de esta ecuacioacuten es
Esta ecuacioacuten relaciona los campos eleacutectrico y magneacutetico pero tiene tambieacuten
muchas otras aplicaciones praacutecticas Esta ecuacioacuten describe coacutemo los motores eleacutectricos
y los generadores eleacutectricos funcionan Maacutes precisamente demuestra que un voltaje
puede ser generado variando el flujo magneacutetico que atraviesa una superficie dada
Ley de Ampere generalizada
Ampere formuloacute una relacioacuten para un campo magneacutetico inmoacutevil y una corriente
eleacutectrica que no variacutea en el tiempo La ley de Ampere nos dice que la circulacioacuten en un
campo magneacutetico ( ) a lo largo de una curva cerrada C es igual a la densidad de
corriente ( ) sobre la superficie encerrada en la curva C matemaacuteticamente asiacute6
Donde es la permeabilidad magneacutetica en el vaciacuteo
Pero cuando esta relacioacuten se la considera con campos que siacute variacutean a traveacutes del
tiempo llega a caacutelculos erroacuteneos como el de violar la conservacioacuten de la carga10
Maxwell corrigioacute esta ecuacioacuten para lograr adaptarla a campos no estacionarios y
posteriormente pudo ser comprobada experimentalmente Maxwell reformuloacute esta ley
asiacute6
En el caso especiacutefico estacionario esta relacioacuten corresponde a la ley de Ampere
ademaacutes confirma que un campo eleacutectrico que variacutea con el tiempo produce un campo
magneacutetico y ademaacutes es consecuente con el principio de conservacioacuten de la carga10
En forma diferencial eacutesta ecuacioacuten toma la forma
En medios materiales
Para el caso de que las cargas esteacuten en medios materiales y asumiendo que eacutestos
son lineales homogeacuteneos isoacutetropos y no dispersivos podemos encontrar una relacioacuten
entre los vectores intensidad e induccioacuten a traveacutes de dos paraacutemetros conocidos como
permitividad eleacutectrica y la permeabilidad magneacutetica11
Pero estos valores tambieacuten dependen del medio material por lo que se dice que
un medio es lineal cuando la relacioacuten entre ED y BH es lineal Si esta relacioacuten es
lineal matemaacuteticamente se puede decir que y μ estaacuten representadas por una matriz
3x3 Si un medio es isoacutetropo es porque esta matriz ha podido ser diagonalizada y
consecuentemente es equivalente a una funcioacuten si en esta diagonal uno de
los elementos es diferente al otro se dice que es un medio anisoacutetropo Estos elementos
tambieacuten son llamados constantes dieleacutectricas y cuando estas constantes no dependen de
su posicioacuten el medio es homogeacuteneo12
El valor de y μ en medios lineales no dependen de las intensidades del campo
Por otro lado la permitividad y la permeabilidad son escalares cuando las cargas estaacuten
en medios homogeacuteneos e isoacutetropos Los medios heterogeacuteneos e isoacutetropos dependen de
las coordenadas de cada punto por lo que los valores escalares van a depender de la
posicioacuten Los medios anisoacutetropos son tensores11
Finalmente en el vaciacuteo tanto como
son cero porque suponemos que no hay fuentes
En la siguiente tabla encontramos a las ecuaciones como se las formula en el
vaciacuteo y en la forma maacutes general13
En el vaciacuteo Caso general
Ecuaciones de Maxwell
Las ecuaciones de Maxwell como ahora las conocemos son las cuatro citadas
anteriormente y a manera de resumen se pueden encontrar en la siguiente tabla
Nombre Forma diferencial Forma integral
Ley de
Gauss
Ley de
Gauss para
el campo
magneacutetico
Ley de
Faraday
Ley de
Ampegravere
generaliza
da
Estas cuatro ecuaciones junto con la fuerza de Lorentz son las que explican
cualquier tipo de fenoacutemeno electromagneacutetico Una fortaleza de las ecuaciones de
Maxwell es que permanecen invariantes en cualquier sistema de unidades salvo
de pequentildeas excepciones y que son compatibles con la relatividad especial y
general Ademaacutes Maxwell descubrioacute que la cantidad era
simplemente la velocidad de la luz en el vaciacuteo por lo que la luz es una forma de
radiacioacuten electromagneacutetica Los valores aceptados actualmente para la velocidad
de la luz la permitividad y la permeabilidad magneacutetica se resumen en la
siguiente tabla
Siacutembolo Nombre Valor numeacuterico Unidad de medida
SI Tipo
Velocidad de la luz en el
vaciacuteo
metros por segundo definido
Permitividad
faradios por metro derivado
Permeabilidad magneacutetica
henrios por metro definido
Potencial escalar y potencial vector
Como consecuencia matemaacutetica de las ecuaciones de Maxwell y ademaacutes con el
objetivo de simplificar sus caacutelculos se han introducido los conceptos de potencial vector
( ) y potencial escalar ( ) Este potencial vector no es uacutenico y no tiene significado
fiacutesico claro pero se sabe que un elemento infinitesimal de corriente da lugar a una
contribucioacuten paralela a la corriente14
Este potencial se obtiene como consecuencia
de la ley de Gauss para el flujo magneacutetico ya que se conoce que si la divergencia de un
vector es cero ese vector como consecuencia define a un rotacional asiacute15
A partir de este potencial vector y de la ley de Faraday puede definirse un
potencial escalar asiacute13
Donde el signo menos ( minus ) es por convencioacuten Estos potenciales son importantes
porque poseen una simetriacutea gauge que nos da cierta libertad a la hora de escogerlos13
El
campo eleacutectrico en funcioacuten de los potenciales
Hallamos que con la introduccioacuten de estas cantidades las ecuaciones de Maxwell
quedan reducidas solo a dos puesto que la ley de Gauss para el campo magneacutetico y la
ley de Faraday quedan satisfechas por definicioacuten Asiacute la ley de Gauss para el campo
eleacutectrico escrita en teacuterminos de los potenciales
y la ley de Ampeacutere generalizada
Noacutetese que se ha pasado de un conjunto de cuatro ecuaciones diferenciales
parciales de primer orden a solo dos ecuaciones diferenciales parciales pero de segundo
orden Sin embargo estas ecuaciones se pueden simplificar con ayuda de una adecuada
eleccioacuten del gauge
Consecuencias fiacutesicas de las ecuaciones
Principio de conservacioacuten de la carga
Las ecuaciones de Maxwell llevan impliacutecitas el principio de conservacioacuten de la
carga El principio afirma que la carga eleacutectrica no se crea ni se destruye ni global ni
localmente sino que uacutenicamente se transfiere y que si en una superficie cerrada estaacute
disminuyendo la carga contenida en su interior debe haber un flujo de corriente neto
hacia el exterior del sistema Es decir la densidad de carga y la densidad de corriente
satisfacen una ecuacioacuten de continuidad
A partir de la forma diferencial de la ley de Ampere se tiene
Que al reemplazar la ley de Gauss y tomar en cuenta que
(para cualquier vector ) se obtiene
O bien en forma integral
Ecuaciones originales de Maxwell
En el capiacutetulo III de A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field titulado
Ecuaciones generales del campo electromagneacutetico Maxwell formuloacute ocho ecuaciones
que las nombroacute de la A a la H16
Estas ecuaciones llegaron a ser conocidas como las
ecuaciones de Maxwell pero ahora este epiacuteteto lo reciben las ecuaciones que agrupoacute
Heaviside La versioacuten de Heaviside de las ecuaciones de Maxwell realmente contiene
solo una ecuacioacuten de las ocho originales la ley de Gauss que en el conjunto de ocho
seriacutea la ecuacioacuten G Ademaacutes Heaviside fusionoacute la ecuacioacuten A de Maxwell de la
corriente total con la ley circuital de Ampegravere que en el trabajo de Maxwell era la
ecuacioacuten C Esta fusioacuten que Maxwell por si mismo publicoacute en su trabajo On Physical
Lines of Force de 1861 modifica la ley circuital de Ampegravere para incluir la corriente de
desplazamiento de Maxwell
Las ocho ecuaciones originales de Maxwell pueden ser escritas en forma
vectorial asiacute
Denominacioacuten Nombre Ecuacioacuten
A Ley de corrientes totales
B Definicioacuten de vector potencial
magneacutetico
C Ley circuital de Ampere
D Fuerza de Lorentz
E Ecuacioacuten de electricidad elaacutestica
F Ley de Ohm
G Ley de Gauss
H Ecuacioacuten de continuidad de carga
Donde es el vector intensidad de campo magneacutetico (llamado por Maxwell
como intensidad magneacutetica) es la densidad de corriente eleacutectrica y es la
corriente total incluida la corriente de desplazamiento es el campo desplazamiento
(desplazamiento eleacutectrico) es la densidad de carga libre (cantidad libre de
electricidad) es el vector potencial magneacutetico (impulso magneacutetico) es el campo
eleacutectrico (fuerza electromotriz (no confundir con la actual definicioacuten de fuerza
electromotriz)) es el potencial eleacutectrico y es la conductividad eleacutectrica (resistencia
especiacutefica ahora solo resistencia)
Maxwell no consideroacute a los medios materiales en general esta formulacioacuten
inicial usa la permitividad y la permeabilidad en medios lineales isoacutetropos y no
dispersos a pesar que tambieacuten se las puede usar en medios anisoacutetropos
Maxwell incluyoacute el teacutermino en la expresioacuten de la fuerza electromotriz
de la ecuacioacuten D que corresponde a la fuerza magneacutetica por unidad de carga en un
conductor que se mueve a una velocidad Esto significa que la ecuacioacuten D es otra
formulacioacuten de la fuerza de Lorentz Esta ecuacioacuten primero aparecioacute como la ecuacioacuten
77 de la publicacioacuten On Physical Lines of Force de Maxwell anterior a la publicacioacuten
de Lorentz En la actualidad esta fuerza de Lorentz no forma parte de las ecuaciones de
Maxwell pero se la considera una ecuacioacuten adicional fundamental en el
electromagnetismo
Expresioacuten de las ecuaciones en relatividad
En la relatividad especial las ecuaciones de Maxwell en el vaciacuteo se escriben
mediante unas relaciones geomeacutetricas las cuales toman la misma forma en cualquier
sistema de referencia inercial Eacutestas estaacuten escritas en teacuterminos de cuadrivectores y
tensores covariantes que son objetos geomeacutetricos definidos en M4 Estos objetos se
relacionan mediante formas diferenciales en relaciones geomeacutetricas que al expresarlas
en componentes de los sistemas coordenados Lorentz proporcionan las ecuaciones para
el campo electromagneacutetico
La cuadricorriente esta descrita por una 1-forma y lleva la informacioacuten sobre
la distribucioacuten de cargas y corrientes Sus componentes son
Que debe cumplir la siguiente relacioacuten geomeacutetrica para que se cumpla la
ecuacioacuten de continuidad
Escrito en componentes de los sistemas coordenados Lorentz queda
Para poner en correspondencia objetos del mismo rango se utiliza el operador de
Laplace-Beltrami o Laplaciana definida como
Podemos poner en correspondencia el cuadrivector densidad de corriente con
otro objeto del mismo rango como es el cuadripotencial que lleva la informacioacuten del
potencial eleacutectrico y el potencial vector magneacutetico
O escrito en coordenadas Lorentz obtenemos que
Expresioacuten que reproduce las ecuaciones de onda para los potenciales
electromagneacuteticos
La 1-forma A lleva la informacioacuten sobre los potenciales de los observadores
inerciales siendo sus componentes
Para obtener el objeto geomeacutetrico que contiene los campos tenemos que subir el
rango de A mediante el operador diferencial exterior obteniendo la 2-forma F campo
electromagneacutetico En forma geomeacutetrica podemos escribir
Que expresado para un sistema inercial Lorentz tenemos que
Con lo que obtenemos el tensor de campo electromagneacutetico
Primer par de ecuaciones de Maxwell
La siguientes expresiones ligan los campos con las fuentes relacionamos la
cuadricorriente con el tensor campo electromagneacutetico mediante la forma geomeacutetrica
O bien en coordenadas Lorentz
Obtencioacuten de las ecuaciones
Para un observable en S partiendo de expresioacuten en coordenadas Lorentz podemos
obtener
Para tenemos que entonces
Por tanto
Para podemos obtener de la misma forma que
Segundo par de ecuaciones de Maxwell
Corresponden a las ecuaciones homogeacuteneas Escritas en forma geomeacutetrica
tenemos que
Que corresponde con la expresioacuten en los sistemas coordenados Lorentz
Donde el tensor es el tensor dual de F Se obtiene mediante el operador de
Hodge
Obtencioacuten de las ecuaciones
Para
Por tanto
Para se obtiene la ecuacioacuten vectorial
La propiedad reproduce las ecuaciones de Maxwell internas
que se puede expresar como que se puede escribir en los sistemas
coordenados Lorentz como
Podemos resumir el conjunto de expresiones que relacionan los objetos que
describen el campo electromagneacutetico en la siguiente tabla La primera columna son las
relaciones geomeacutetricas independientes de cualquier observador la segunda columna
son las ecuaciones descritas mediante un sistema coordenado Lorentz y la tercera es la
descripcioacuten de la relacioacuten y la ley que cumple
Forma
Geomeacutetrica Covariante Lorentz Descripcioacuten
Condicioacutengauge de Lorentz ()
Definicioacuten de Campos
Electromagneacuteticos
Ecuaciones de Ondas
Ecuaciones de Maxwell
Ley de conservacioacuten de la Carga
() Existe una confusioacuten habitual en cuanto a la nomenclatura de este gauge Las
primeras ecuaciones en las que aparece tal condicioacuten (1867) se deben a Ludvig V
Lorentz no al mucho maacutes conocido Hendrik A Lorentz (Veacutease JD Jackson
Classical Electrodynamics 3rd edition p294)
Finalmente el cuadrigradiente se define asiacute
Los iacutendices repetidos se suman de acuerdo al convenio de sumacioacuten de Einstein
De acuerdo con el caacutelculo tensorial los iacutendices pueden subirse o bajarse por medio de la
matriz fundamental g
El primer tensor es una expresioacuten de dos ecuaciones de Maxwell la ley de Gauss
y la ley de Ampere generalizada la segunda ecuacioacuten es consecuentemente una
expresioacuten de las otras dos leyes
Se ha sugerido que el componente de la fuerza de Lorentz se puede
derivar de la ley de Coulomb y por eso la relatividad especial asume la invariancia de la
carga eleacutectrica17
18
Expresioacuten de las ecuaciones para una frecuencia
constante
En las ecuaciones de Maxwell los campos vectoriales no son solo funciones de
la posicioacuten en general son funciones de la posicioacuten y del tiempo como por ejemplo
Para la resolucioacuten de estas ecuaciones en derivadas parciales las
variables posicionales se encuentran con la variable temporal En la praacutectica la
resolucioacuten de dichas ecuaciones pueden contener una solucioacuten armoacutenica (sinusoidal)
Con ayuda de la notacioacuten compleja se puede evitar la dependencia temporal de
los resultados armoacutenicos eliminando asiacute el factor complejo de la expresioacuten Gran
parte de las resoluciones de las ecuaciones de Maxwell toman amplitudes complejas
ademaacutes de no ser solo funcioacuten de la posicioacuten En lugar de la derivacioacuten parcial en el
tiempo se tiene la multiplicacioacuten del factor imaginario donde es la frecuencia
angular
En la forma compleja las ecuaciones de Maxwell toman la siguiente forma11
Veacutease tambieacuten
Electromagnetismo
James Clerk Maxwell
Oliver Heaviside
Carga
Onda electromagneacutetica
Ecuacioacuten de onda electromagneacutetica
Ecuaciones de Jefimenko
Ley de Gauss
Ley de Faraday
Ley de Ampegravere
Referencias y Notas
1 uarr laquoEcuaciones de Maxwellraquo (en espantildeol) (1999 de agosto) Consultado el 15 de
enero 2008
2 uarr laquo[httpwwwzpenergycomdownloadsOrig_maxwell_equationspdf On the
Notation of MAXWELLrsquos Field Equations]raquo (en ingleacutes) Consultado el
08012008
3 uarr [Aacutengel Franco Garciacutea Universidad del Paiacutes Vasco] (octubre de 2006) laquoEl
espectro electromagneacuteticoraquo (en espantildeol) Consultado el 15012008
4 uarr laquoTeorema de Gauss y Flujo Eleacutectricoraquo Consultado el 19012008
5 uarr laquoLiacutenea de cargas Ley de Gaussraquo Consultado el 18012008
6 uarr a b c d e Richard Feynman (1974) Feynman lectures on Physics Volume 2 (en
ingleacutes) Addison Wesley Longman ISBN 0-201-02115-3
7 uarr laquoMagnetostaacuteticaraquo Consultado el 19012008
8 uarr laquoConcepto de Flujoraquo Consultado el 19012008
9 uarr laquoLey de Faraday-Henryraquo Consultado el 19012008
10 uarr a b laquoLey de Ampere-Maxwellraquo Consultado el 20012008
11 uarr a b c Aacutengel Cardama Aznar (2002) Antenas UPC ISBN 84-8301-625-7
12 uarr Liliana I Perez laquoAPUNTEEcuaciones de Maxwellraquo Consultado el
22012008
13 uarr a b c La web de Fiacutesica (2008) laquoEcuaciones de Maxwellraquo Consultado el
23012008
14 uarr laquoPotencial Vector Magneacuteticoraquo Consultado el 21012008
15 uarr laquoEcuaciones del Electromagnetismoraquo Consultado el 21012008
16 uarr laquoProfessor Clerk Maxwell on the electromagnetic fieldraquo (en ingleacutes)
Consultado el 21012008
17 uarr L D Landau E M Lifshitz (1980) The Classical Theory of Fields (en
ingleacutes) Butterworth-Heinemann ISBN 0-7506-2768-9
18 uarr Richard E Haskell (2006) laquoSpecial relativity and Maxwell equationsraquo (en
ingleacutes) Consultado el 23012008
Enlaces externos
Fundamentos de las Ecuaciones de Maxwell
On Physical Lines of Force
A dinamical theory of the electromagnetic field Trabajo original de Maxwell
Monografiacuteascom archivo sobre ecuaciones de Maxwell
Modelo de Maxwell
Fundamentos de la radiacioacuten
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiEcuaciones_de_Maxwell
Categoriacuteas WikipediaArtiacuteculos buenos | Ecuaciones | Leyes electromagneacuteticas
La ley dice que el flujo del campo eleacutectrico a traveacutes de una superficie cerrada es
igual al cociente entre la carga (q) o la suma de las cargas que hay en el interior de la
superficie y la permitividad eleacutectrica en el vaciacuteo (ε0) asiacute5 6
La forma diferencial de la ley de Gauss es
Donde ρ es la densidad de carga Esta expresioacuten es para una carga en el vaciacuteo
para casos generales se debe introducir una cantidad llamada densidad de flujo eleacutectrico
( ) y nuestra expresioacuten obtiene la forma
Ley de Gauss para el campo magneacutetico
Artiacuteculos principales Ley de Gauss y Monopolo magneacutetico
Las liacuteneas de campo magneacutetico comienzan y terminan en el mismo lugar por lo
que no existe un monopolo magneacutetico
Experimentalmente se llegoacute al resultado de que los campos magneacuteticos a
diferencia de los eleacutectricos no comienzan y terminan en cargas diferentes Esta ley
primordialmente indica que las liacuteneas de los campos magneacuteticos deben ser cerradas En
otras palabras se dice que sobre una superficie cerrada sea cual sea eacutesta no seremos
capaces de encerrar una fuente o sumidero de campo esto expresa la no existencia del
monopolo magneacutetico7 Matemaacuteticamente esto se expresa asiacute
6
Donde es la densidad de flujo magneacutetico tambieacuten llamada induccioacuten
magneacutetica
Su forma integral equivalente
Como en la forma integral del campo eleacutectrico esta ecuacioacuten soacutelo funciona si la
integral estaacute definida en una superficie cerrada
Ley de Faraday-Lenz
Artiacuteculo principal Ley de Faraday-Lenz
La ley de Faraday nos habla sobre la induccioacuten electromagneacutetica la que origina
una fuerza electromotriz en un campo magneacutetico Esta ley es muchas veces llamada
como ley de Faraday-Lenz debido a que Heinrich Lenz descubrioacute eacutesta induccioacuten de
manera separada a Faraday pero casi simultaacutenea8 Lo primero que se debe introducir es
la fuerza electromotriz ( ) si tenemos un campo magneacutetico variable con el tiempo una
fuerza electromotriz es inducida en cualquier circuito eleacutectrico y esta fuerza es igual a
menos la derivada temporal del flujo magneacutetico asiacute9
Como el campo magneacutetico es dependiente de la posicioacuten tenemos que el flujo
magneacutetico es igual a
Ademaacutes el que exista fuerza electromotriz indica que existe un campo eleacutectrico
que se representa como
Con lo que finalmente se obtiene la expresioacuten de la ley de Faraday6
Lo que indica que un campo magneacutetico que depende del tiempo implica la
existencia de un campo eleacutectrico del que su circulacioacuten por un camino arbitrario
cerrado es igual a menos la derivada temporal del flujo magneacutetico en cualquier
superficie limitada por el camino cerrado
La forma diferencial de esta ecuacioacuten es
Esta ecuacioacuten relaciona los campos eleacutectrico y magneacutetico pero tiene tambieacuten
muchas otras aplicaciones praacutecticas Esta ecuacioacuten describe coacutemo los motores eleacutectricos
y los generadores eleacutectricos funcionan Maacutes precisamente demuestra que un voltaje
puede ser generado variando el flujo magneacutetico que atraviesa una superficie dada
Ley de Ampere generalizada
Ampere formuloacute una relacioacuten para un campo magneacutetico inmoacutevil y una corriente
eleacutectrica que no variacutea en el tiempo La ley de Ampere nos dice que la circulacioacuten en un
campo magneacutetico ( ) a lo largo de una curva cerrada C es igual a la densidad de
corriente ( ) sobre la superficie encerrada en la curva C matemaacuteticamente asiacute6
Donde es la permeabilidad magneacutetica en el vaciacuteo
Pero cuando esta relacioacuten se la considera con campos que siacute variacutean a traveacutes del
tiempo llega a caacutelculos erroacuteneos como el de violar la conservacioacuten de la carga10
Maxwell corrigioacute esta ecuacioacuten para lograr adaptarla a campos no estacionarios y
posteriormente pudo ser comprobada experimentalmente Maxwell reformuloacute esta ley
asiacute6
En el caso especiacutefico estacionario esta relacioacuten corresponde a la ley de Ampere
ademaacutes confirma que un campo eleacutectrico que variacutea con el tiempo produce un campo
magneacutetico y ademaacutes es consecuente con el principio de conservacioacuten de la carga10
En forma diferencial eacutesta ecuacioacuten toma la forma
En medios materiales
Para el caso de que las cargas esteacuten en medios materiales y asumiendo que eacutestos
son lineales homogeacuteneos isoacutetropos y no dispersivos podemos encontrar una relacioacuten
entre los vectores intensidad e induccioacuten a traveacutes de dos paraacutemetros conocidos como
permitividad eleacutectrica y la permeabilidad magneacutetica11
Pero estos valores tambieacuten dependen del medio material por lo que se dice que
un medio es lineal cuando la relacioacuten entre ED y BH es lineal Si esta relacioacuten es
lineal matemaacuteticamente se puede decir que y μ estaacuten representadas por una matriz
3x3 Si un medio es isoacutetropo es porque esta matriz ha podido ser diagonalizada y
consecuentemente es equivalente a una funcioacuten si en esta diagonal uno de
los elementos es diferente al otro se dice que es un medio anisoacutetropo Estos elementos
tambieacuten son llamados constantes dieleacutectricas y cuando estas constantes no dependen de
su posicioacuten el medio es homogeacuteneo12
El valor de y μ en medios lineales no dependen de las intensidades del campo
Por otro lado la permitividad y la permeabilidad son escalares cuando las cargas estaacuten
en medios homogeacuteneos e isoacutetropos Los medios heterogeacuteneos e isoacutetropos dependen de
las coordenadas de cada punto por lo que los valores escalares van a depender de la
posicioacuten Los medios anisoacutetropos son tensores11
Finalmente en el vaciacuteo tanto como
son cero porque suponemos que no hay fuentes
En la siguiente tabla encontramos a las ecuaciones como se las formula en el
vaciacuteo y en la forma maacutes general13
En el vaciacuteo Caso general
Ecuaciones de Maxwell
Las ecuaciones de Maxwell como ahora las conocemos son las cuatro citadas
anteriormente y a manera de resumen se pueden encontrar en la siguiente tabla
Nombre Forma diferencial Forma integral
Ley de
Gauss
Ley de
Gauss para
el campo
magneacutetico
Ley de
Faraday
Ley de
Ampegravere
generaliza
da
Estas cuatro ecuaciones junto con la fuerza de Lorentz son las que explican
cualquier tipo de fenoacutemeno electromagneacutetico Una fortaleza de las ecuaciones de
Maxwell es que permanecen invariantes en cualquier sistema de unidades salvo
de pequentildeas excepciones y que son compatibles con la relatividad especial y
general Ademaacutes Maxwell descubrioacute que la cantidad era
simplemente la velocidad de la luz en el vaciacuteo por lo que la luz es una forma de
radiacioacuten electromagneacutetica Los valores aceptados actualmente para la velocidad
de la luz la permitividad y la permeabilidad magneacutetica se resumen en la
siguiente tabla
Siacutembolo Nombre Valor numeacuterico Unidad de medida
SI Tipo
Velocidad de la luz en el
vaciacuteo
metros por segundo definido
Permitividad
faradios por metro derivado
Permeabilidad magneacutetica
henrios por metro definido
Potencial escalar y potencial vector
Como consecuencia matemaacutetica de las ecuaciones de Maxwell y ademaacutes con el
objetivo de simplificar sus caacutelculos se han introducido los conceptos de potencial vector
( ) y potencial escalar ( ) Este potencial vector no es uacutenico y no tiene significado
fiacutesico claro pero se sabe que un elemento infinitesimal de corriente da lugar a una
contribucioacuten paralela a la corriente14
Este potencial se obtiene como consecuencia
de la ley de Gauss para el flujo magneacutetico ya que se conoce que si la divergencia de un
vector es cero ese vector como consecuencia define a un rotacional asiacute15
A partir de este potencial vector y de la ley de Faraday puede definirse un
potencial escalar asiacute13
Donde el signo menos ( minus ) es por convencioacuten Estos potenciales son importantes
porque poseen una simetriacutea gauge que nos da cierta libertad a la hora de escogerlos13
El
campo eleacutectrico en funcioacuten de los potenciales
Hallamos que con la introduccioacuten de estas cantidades las ecuaciones de Maxwell
quedan reducidas solo a dos puesto que la ley de Gauss para el campo magneacutetico y la
ley de Faraday quedan satisfechas por definicioacuten Asiacute la ley de Gauss para el campo
eleacutectrico escrita en teacuterminos de los potenciales
y la ley de Ampeacutere generalizada
Noacutetese que se ha pasado de un conjunto de cuatro ecuaciones diferenciales
parciales de primer orden a solo dos ecuaciones diferenciales parciales pero de segundo
orden Sin embargo estas ecuaciones se pueden simplificar con ayuda de una adecuada
eleccioacuten del gauge
Consecuencias fiacutesicas de las ecuaciones
Principio de conservacioacuten de la carga
Las ecuaciones de Maxwell llevan impliacutecitas el principio de conservacioacuten de la
carga El principio afirma que la carga eleacutectrica no se crea ni se destruye ni global ni
localmente sino que uacutenicamente se transfiere y que si en una superficie cerrada estaacute
disminuyendo la carga contenida en su interior debe haber un flujo de corriente neto
hacia el exterior del sistema Es decir la densidad de carga y la densidad de corriente
satisfacen una ecuacioacuten de continuidad
A partir de la forma diferencial de la ley de Ampere se tiene
Que al reemplazar la ley de Gauss y tomar en cuenta que
(para cualquier vector ) se obtiene
O bien en forma integral
Ecuaciones originales de Maxwell
En el capiacutetulo III de A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field titulado
Ecuaciones generales del campo electromagneacutetico Maxwell formuloacute ocho ecuaciones
que las nombroacute de la A a la H16
Estas ecuaciones llegaron a ser conocidas como las
ecuaciones de Maxwell pero ahora este epiacuteteto lo reciben las ecuaciones que agrupoacute
Heaviside La versioacuten de Heaviside de las ecuaciones de Maxwell realmente contiene
solo una ecuacioacuten de las ocho originales la ley de Gauss que en el conjunto de ocho
seriacutea la ecuacioacuten G Ademaacutes Heaviside fusionoacute la ecuacioacuten A de Maxwell de la
corriente total con la ley circuital de Ampegravere que en el trabajo de Maxwell era la
ecuacioacuten C Esta fusioacuten que Maxwell por si mismo publicoacute en su trabajo On Physical
Lines of Force de 1861 modifica la ley circuital de Ampegravere para incluir la corriente de
desplazamiento de Maxwell
Las ocho ecuaciones originales de Maxwell pueden ser escritas en forma
vectorial asiacute
Denominacioacuten Nombre Ecuacioacuten
A Ley de corrientes totales
B Definicioacuten de vector potencial
magneacutetico
C Ley circuital de Ampere
D Fuerza de Lorentz
E Ecuacioacuten de electricidad elaacutestica
F Ley de Ohm
G Ley de Gauss
H Ecuacioacuten de continuidad de carga
Donde es el vector intensidad de campo magneacutetico (llamado por Maxwell
como intensidad magneacutetica) es la densidad de corriente eleacutectrica y es la
corriente total incluida la corriente de desplazamiento es el campo desplazamiento
(desplazamiento eleacutectrico) es la densidad de carga libre (cantidad libre de
electricidad) es el vector potencial magneacutetico (impulso magneacutetico) es el campo
eleacutectrico (fuerza electromotriz (no confundir con la actual definicioacuten de fuerza
electromotriz)) es el potencial eleacutectrico y es la conductividad eleacutectrica (resistencia
especiacutefica ahora solo resistencia)
Maxwell no consideroacute a los medios materiales en general esta formulacioacuten
inicial usa la permitividad y la permeabilidad en medios lineales isoacutetropos y no
dispersos a pesar que tambieacuten se las puede usar en medios anisoacutetropos
Maxwell incluyoacute el teacutermino en la expresioacuten de la fuerza electromotriz
de la ecuacioacuten D que corresponde a la fuerza magneacutetica por unidad de carga en un
conductor que se mueve a una velocidad Esto significa que la ecuacioacuten D es otra
formulacioacuten de la fuerza de Lorentz Esta ecuacioacuten primero aparecioacute como la ecuacioacuten
77 de la publicacioacuten On Physical Lines of Force de Maxwell anterior a la publicacioacuten
de Lorentz En la actualidad esta fuerza de Lorentz no forma parte de las ecuaciones de
Maxwell pero se la considera una ecuacioacuten adicional fundamental en el
electromagnetismo
Expresioacuten de las ecuaciones en relatividad
En la relatividad especial las ecuaciones de Maxwell en el vaciacuteo se escriben
mediante unas relaciones geomeacutetricas las cuales toman la misma forma en cualquier
sistema de referencia inercial Eacutestas estaacuten escritas en teacuterminos de cuadrivectores y
tensores covariantes que son objetos geomeacutetricos definidos en M4 Estos objetos se
relacionan mediante formas diferenciales en relaciones geomeacutetricas que al expresarlas
en componentes de los sistemas coordenados Lorentz proporcionan las ecuaciones para
el campo electromagneacutetico
La cuadricorriente esta descrita por una 1-forma y lleva la informacioacuten sobre
la distribucioacuten de cargas y corrientes Sus componentes son
Que debe cumplir la siguiente relacioacuten geomeacutetrica para que se cumpla la
ecuacioacuten de continuidad
Escrito en componentes de los sistemas coordenados Lorentz queda
Para poner en correspondencia objetos del mismo rango se utiliza el operador de
Laplace-Beltrami o Laplaciana definida como
Podemos poner en correspondencia el cuadrivector densidad de corriente con
otro objeto del mismo rango como es el cuadripotencial que lleva la informacioacuten del
potencial eleacutectrico y el potencial vector magneacutetico
O escrito en coordenadas Lorentz obtenemos que
Expresioacuten que reproduce las ecuaciones de onda para los potenciales
electromagneacuteticos
La 1-forma A lleva la informacioacuten sobre los potenciales de los observadores
inerciales siendo sus componentes
Para obtener el objeto geomeacutetrico que contiene los campos tenemos que subir el
rango de A mediante el operador diferencial exterior obteniendo la 2-forma F campo
electromagneacutetico En forma geomeacutetrica podemos escribir
Que expresado para un sistema inercial Lorentz tenemos que
Con lo que obtenemos el tensor de campo electromagneacutetico
Primer par de ecuaciones de Maxwell
La siguientes expresiones ligan los campos con las fuentes relacionamos la
cuadricorriente con el tensor campo electromagneacutetico mediante la forma geomeacutetrica
O bien en coordenadas Lorentz
Obtencioacuten de las ecuaciones
Para un observable en S partiendo de expresioacuten en coordenadas Lorentz podemos
obtener
Para tenemos que entonces
Por tanto
Para podemos obtener de la misma forma que
Segundo par de ecuaciones de Maxwell
Corresponden a las ecuaciones homogeacuteneas Escritas en forma geomeacutetrica
tenemos que
Que corresponde con la expresioacuten en los sistemas coordenados Lorentz
Donde el tensor es el tensor dual de F Se obtiene mediante el operador de
Hodge
Obtencioacuten de las ecuaciones
Para
Por tanto
Para se obtiene la ecuacioacuten vectorial
La propiedad reproduce las ecuaciones de Maxwell internas
que se puede expresar como que se puede escribir en los sistemas
coordenados Lorentz como
Podemos resumir el conjunto de expresiones que relacionan los objetos que
describen el campo electromagneacutetico en la siguiente tabla La primera columna son las
relaciones geomeacutetricas independientes de cualquier observador la segunda columna
son las ecuaciones descritas mediante un sistema coordenado Lorentz y la tercera es la
descripcioacuten de la relacioacuten y la ley que cumple
Forma
Geomeacutetrica Covariante Lorentz Descripcioacuten
Condicioacutengauge de Lorentz ()
Definicioacuten de Campos
Electromagneacuteticos
Ecuaciones de Ondas
Ecuaciones de Maxwell
Ley de conservacioacuten de la Carga
() Existe una confusioacuten habitual en cuanto a la nomenclatura de este gauge Las
primeras ecuaciones en las que aparece tal condicioacuten (1867) se deben a Ludvig V
Lorentz no al mucho maacutes conocido Hendrik A Lorentz (Veacutease JD Jackson
Classical Electrodynamics 3rd edition p294)
Finalmente el cuadrigradiente se define asiacute
Los iacutendices repetidos se suman de acuerdo al convenio de sumacioacuten de Einstein
De acuerdo con el caacutelculo tensorial los iacutendices pueden subirse o bajarse por medio de la
matriz fundamental g
El primer tensor es una expresioacuten de dos ecuaciones de Maxwell la ley de Gauss
y la ley de Ampere generalizada la segunda ecuacioacuten es consecuentemente una
expresioacuten de las otras dos leyes
Se ha sugerido que el componente de la fuerza de Lorentz se puede
derivar de la ley de Coulomb y por eso la relatividad especial asume la invariancia de la
carga eleacutectrica17
18
Expresioacuten de las ecuaciones para una frecuencia
constante
En las ecuaciones de Maxwell los campos vectoriales no son solo funciones de
la posicioacuten en general son funciones de la posicioacuten y del tiempo como por ejemplo
Para la resolucioacuten de estas ecuaciones en derivadas parciales las
variables posicionales se encuentran con la variable temporal En la praacutectica la
resolucioacuten de dichas ecuaciones pueden contener una solucioacuten armoacutenica (sinusoidal)
Con ayuda de la notacioacuten compleja se puede evitar la dependencia temporal de
los resultados armoacutenicos eliminando asiacute el factor complejo de la expresioacuten Gran
parte de las resoluciones de las ecuaciones de Maxwell toman amplitudes complejas
ademaacutes de no ser solo funcioacuten de la posicioacuten En lugar de la derivacioacuten parcial en el
tiempo se tiene la multiplicacioacuten del factor imaginario donde es la frecuencia
angular
En la forma compleja las ecuaciones de Maxwell toman la siguiente forma11
Veacutease tambieacuten
Electromagnetismo
James Clerk Maxwell
Oliver Heaviside
Carga
Onda electromagneacutetica
Ecuacioacuten de onda electromagneacutetica
Ecuaciones de Jefimenko
Ley de Gauss
Ley de Faraday
Ley de Ampegravere
Referencias y Notas
1 uarr laquoEcuaciones de Maxwellraquo (en espantildeol) (1999 de agosto) Consultado el 15 de
enero 2008
2 uarr laquo[httpwwwzpenergycomdownloadsOrig_maxwell_equationspdf On the
Notation of MAXWELLrsquos Field Equations]raquo (en ingleacutes) Consultado el
08012008
3 uarr [Aacutengel Franco Garciacutea Universidad del Paiacutes Vasco] (octubre de 2006) laquoEl
espectro electromagneacuteticoraquo (en espantildeol) Consultado el 15012008
4 uarr laquoTeorema de Gauss y Flujo Eleacutectricoraquo Consultado el 19012008
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ingleacutes) Addison Wesley Longman ISBN 0-201-02115-3
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8 uarr laquoConcepto de Flujoraquo Consultado el 19012008
9 uarr laquoLey de Faraday-Henryraquo Consultado el 19012008
10 uarr a b laquoLey de Ampere-Maxwellraquo Consultado el 20012008
11 uarr a b c Aacutengel Cardama Aznar (2002) Antenas UPC ISBN 84-8301-625-7
12 uarr Liliana I Perez laquoAPUNTEEcuaciones de Maxwellraquo Consultado el
22012008
13 uarr a b c La web de Fiacutesica (2008) laquoEcuaciones de Maxwellraquo Consultado el
23012008
14 uarr laquoPotencial Vector Magneacuteticoraquo Consultado el 21012008
15 uarr laquoEcuaciones del Electromagnetismoraquo Consultado el 21012008
16 uarr laquoProfessor Clerk Maxwell on the electromagnetic fieldraquo (en ingleacutes)
Consultado el 21012008
17 uarr L D Landau E M Lifshitz (1980) The Classical Theory of Fields (en
ingleacutes) Butterworth-Heinemann ISBN 0-7506-2768-9
18 uarr Richard E Haskell (2006) laquoSpecial relativity and Maxwell equationsraquo (en
ingleacutes) Consultado el 23012008
Enlaces externos
Fundamentos de las Ecuaciones de Maxwell
On Physical Lines of Force
A dinamical theory of the electromagnetic field Trabajo original de Maxwell
Monografiacuteascom archivo sobre ecuaciones de Maxwell
Modelo de Maxwell
Fundamentos de la radiacioacuten
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiEcuaciones_de_Maxwell
Categoriacuteas WikipediaArtiacuteculos buenos | Ecuaciones | Leyes electromagneacuteticas
Donde es la densidad de flujo magneacutetico tambieacuten llamada induccioacuten
magneacutetica
Su forma integral equivalente
Como en la forma integral del campo eleacutectrico esta ecuacioacuten soacutelo funciona si la
integral estaacute definida en una superficie cerrada
Ley de Faraday-Lenz
Artiacuteculo principal Ley de Faraday-Lenz
La ley de Faraday nos habla sobre la induccioacuten electromagneacutetica la que origina
una fuerza electromotriz en un campo magneacutetico Esta ley es muchas veces llamada
como ley de Faraday-Lenz debido a que Heinrich Lenz descubrioacute eacutesta induccioacuten de
manera separada a Faraday pero casi simultaacutenea8 Lo primero que se debe introducir es
la fuerza electromotriz ( ) si tenemos un campo magneacutetico variable con el tiempo una
fuerza electromotriz es inducida en cualquier circuito eleacutectrico y esta fuerza es igual a
menos la derivada temporal del flujo magneacutetico asiacute9
Como el campo magneacutetico es dependiente de la posicioacuten tenemos que el flujo
magneacutetico es igual a
Ademaacutes el que exista fuerza electromotriz indica que existe un campo eleacutectrico
que se representa como
Con lo que finalmente se obtiene la expresioacuten de la ley de Faraday6
Lo que indica que un campo magneacutetico que depende del tiempo implica la
existencia de un campo eleacutectrico del que su circulacioacuten por un camino arbitrario
cerrado es igual a menos la derivada temporal del flujo magneacutetico en cualquier
superficie limitada por el camino cerrado
La forma diferencial de esta ecuacioacuten es
Esta ecuacioacuten relaciona los campos eleacutectrico y magneacutetico pero tiene tambieacuten
muchas otras aplicaciones praacutecticas Esta ecuacioacuten describe coacutemo los motores eleacutectricos
y los generadores eleacutectricos funcionan Maacutes precisamente demuestra que un voltaje
puede ser generado variando el flujo magneacutetico que atraviesa una superficie dada
Ley de Ampere generalizada
Ampere formuloacute una relacioacuten para un campo magneacutetico inmoacutevil y una corriente
eleacutectrica que no variacutea en el tiempo La ley de Ampere nos dice que la circulacioacuten en un
campo magneacutetico ( ) a lo largo de una curva cerrada C es igual a la densidad de
corriente ( ) sobre la superficie encerrada en la curva C matemaacuteticamente asiacute6
Donde es la permeabilidad magneacutetica en el vaciacuteo
Pero cuando esta relacioacuten se la considera con campos que siacute variacutean a traveacutes del
tiempo llega a caacutelculos erroacuteneos como el de violar la conservacioacuten de la carga10
Maxwell corrigioacute esta ecuacioacuten para lograr adaptarla a campos no estacionarios y
posteriormente pudo ser comprobada experimentalmente Maxwell reformuloacute esta ley
asiacute6
En el caso especiacutefico estacionario esta relacioacuten corresponde a la ley de Ampere
ademaacutes confirma que un campo eleacutectrico que variacutea con el tiempo produce un campo
magneacutetico y ademaacutes es consecuente con el principio de conservacioacuten de la carga10
En forma diferencial eacutesta ecuacioacuten toma la forma
En medios materiales
Para el caso de que las cargas esteacuten en medios materiales y asumiendo que eacutestos
son lineales homogeacuteneos isoacutetropos y no dispersivos podemos encontrar una relacioacuten
entre los vectores intensidad e induccioacuten a traveacutes de dos paraacutemetros conocidos como
permitividad eleacutectrica y la permeabilidad magneacutetica11
Pero estos valores tambieacuten dependen del medio material por lo que se dice que
un medio es lineal cuando la relacioacuten entre ED y BH es lineal Si esta relacioacuten es
lineal matemaacuteticamente se puede decir que y μ estaacuten representadas por una matriz
3x3 Si un medio es isoacutetropo es porque esta matriz ha podido ser diagonalizada y
consecuentemente es equivalente a una funcioacuten si en esta diagonal uno de
los elementos es diferente al otro se dice que es un medio anisoacutetropo Estos elementos
tambieacuten son llamados constantes dieleacutectricas y cuando estas constantes no dependen de
su posicioacuten el medio es homogeacuteneo12
El valor de y μ en medios lineales no dependen de las intensidades del campo
Por otro lado la permitividad y la permeabilidad son escalares cuando las cargas estaacuten
en medios homogeacuteneos e isoacutetropos Los medios heterogeacuteneos e isoacutetropos dependen de
las coordenadas de cada punto por lo que los valores escalares van a depender de la
posicioacuten Los medios anisoacutetropos son tensores11
Finalmente en el vaciacuteo tanto como
son cero porque suponemos que no hay fuentes
En la siguiente tabla encontramos a las ecuaciones como se las formula en el
vaciacuteo y en la forma maacutes general13
En el vaciacuteo Caso general
Ecuaciones de Maxwell
Las ecuaciones de Maxwell como ahora las conocemos son las cuatro citadas
anteriormente y a manera de resumen se pueden encontrar en la siguiente tabla
Nombre Forma diferencial Forma integral
Ley de
Gauss
Ley de
Gauss para
el campo
magneacutetico
Ley de
Faraday
Ley de
Ampegravere
generaliza
da
Estas cuatro ecuaciones junto con la fuerza de Lorentz son las que explican
cualquier tipo de fenoacutemeno electromagneacutetico Una fortaleza de las ecuaciones de
Maxwell es que permanecen invariantes en cualquier sistema de unidades salvo
de pequentildeas excepciones y que son compatibles con la relatividad especial y
general Ademaacutes Maxwell descubrioacute que la cantidad era
simplemente la velocidad de la luz en el vaciacuteo por lo que la luz es una forma de
radiacioacuten electromagneacutetica Los valores aceptados actualmente para la velocidad
de la luz la permitividad y la permeabilidad magneacutetica se resumen en la
siguiente tabla
Siacutembolo Nombre Valor numeacuterico Unidad de medida
SI Tipo
Velocidad de la luz en el
vaciacuteo
metros por segundo definido
Permitividad
faradios por metro derivado
Permeabilidad magneacutetica
henrios por metro definido
Potencial escalar y potencial vector
Como consecuencia matemaacutetica de las ecuaciones de Maxwell y ademaacutes con el
objetivo de simplificar sus caacutelculos se han introducido los conceptos de potencial vector
( ) y potencial escalar ( ) Este potencial vector no es uacutenico y no tiene significado
fiacutesico claro pero se sabe que un elemento infinitesimal de corriente da lugar a una
contribucioacuten paralela a la corriente14
Este potencial se obtiene como consecuencia
de la ley de Gauss para el flujo magneacutetico ya que se conoce que si la divergencia de un
vector es cero ese vector como consecuencia define a un rotacional asiacute15
A partir de este potencial vector y de la ley de Faraday puede definirse un
potencial escalar asiacute13
Donde el signo menos ( minus ) es por convencioacuten Estos potenciales son importantes
porque poseen una simetriacutea gauge que nos da cierta libertad a la hora de escogerlos13
El
campo eleacutectrico en funcioacuten de los potenciales
Hallamos que con la introduccioacuten de estas cantidades las ecuaciones de Maxwell
quedan reducidas solo a dos puesto que la ley de Gauss para el campo magneacutetico y la
ley de Faraday quedan satisfechas por definicioacuten Asiacute la ley de Gauss para el campo
eleacutectrico escrita en teacuterminos de los potenciales
y la ley de Ampeacutere generalizada
Noacutetese que se ha pasado de un conjunto de cuatro ecuaciones diferenciales
parciales de primer orden a solo dos ecuaciones diferenciales parciales pero de segundo
orden Sin embargo estas ecuaciones se pueden simplificar con ayuda de una adecuada
eleccioacuten del gauge
Consecuencias fiacutesicas de las ecuaciones
Principio de conservacioacuten de la carga
Las ecuaciones de Maxwell llevan impliacutecitas el principio de conservacioacuten de la
carga El principio afirma que la carga eleacutectrica no se crea ni se destruye ni global ni
localmente sino que uacutenicamente se transfiere y que si en una superficie cerrada estaacute
disminuyendo la carga contenida en su interior debe haber un flujo de corriente neto
hacia el exterior del sistema Es decir la densidad de carga y la densidad de corriente
satisfacen una ecuacioacuten de continuidad
A partir de la forma diferencial de la ley de Ampere se tiene
Que al reemplazar la ley de Gauss y tomar en cuenta que
(para cualquier vector ) se obtiene
O bien en forma integral
Ecuaciones originales de Maxwell
En el capiacutetulo III de A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field titulado
Ecuaciones generales del campo electromagneacutetico Maxwell formuloacute ocho ecuaciones
que las nombroacute de la A a la H16
Estas ecuaciones llegaron a ser conocidas como las
ecuaciones de Maxwell pero ahora este epiacuteteto lo reciben las ecuaciones que agrupoacute
Heaviside La versioacuten de Heaviside de las ecuaciones de Maxwell realmente contiene
solo una ecuacioacuten de las ocho originales la ley de Gauss que en el conjunto de ocho
seriacutea la ecuacioacuten G Ademaacutes Heaviside fusionoacute la ecuacioacuten A de Maxwell de la
corriente total con la ley circuital de Ampegravere que en el trabajo de Maxwell era la
ecuacioacuten C Esta fusioacuten que Maxwell por si mismo publicoacute en su trabajo On Physical
Lines of Force de 1861 modifica la ley circuital de Ampegravere para incluir la corriente de
desplazamiento de Maxwell
Las ocho ecuaciones originales de Maxwell pueden ser escritas en forma
vectorial asiacute
Denominacioacuten Nombre Ecuacioacuten
A Ley de corrientes totales
B Definicioacuten de vector potencial
magneacutetico
C Ley circuital de Ampere
D Fuerza de Lorentz
E Ecuacioacuten de electricidad elaacutestica
F Ley de Ohm
G Ley de Gauss
H Ecuacioacuten de continuidad de carga
Donde es el vector intensidad de campo magneacutetico (llamado por Maxwell
como intensidad magneacutetica) es la densidad de corriente eleacutectrica y es la
corriente total incluida la corriente de desplazamiento es el campo desplazamiento
(desplazamiento eleacutectrico) es la densidad de carga libre (cantidad libre de
electricidad) es el vector potencial magneacutetico (impulso magneacutetico) es el campo
eleacutectrico (fuerza electromotriz (no confundir con la actual definicioacuten de fuerza
electromotriz)) es el potencial eleacutectrico y es la conductividad eleacutectrica (resistencia
especiacutefica ahora solo resistencia)
Maxwell no consideroacute a los medios materiales en general esta formulacioacuten
inicial usa la permitividad y la permeabilidad en medios lineales isoacutetropos y no
dispersos a pesar que tambieacuten se las puede usar en medios anisoacutetropos
Maxwell incluyoacute el teacutermino en la expresioacuten de la fuerza electromotriz
de la ecuacioacuten D que corresponde a la fuerza magneacutetica por unidad de carga en un
conductor que se mueve a una velocidad Esto significa que la ecuacioacuten D es otra
formulacioacuten de la fuerza de Lorentz Esta ecuacioacuten primero aparecioacute como la ecuacioacuten
77 de la publicacioacuten On Physical Lines of Force de Maxwell anterior a la publicacioacuten
de Lorentz En la actualidad esta fuerza de Lorentz no forma parte de las ecuaciones de
Maxwell pero se la considera una ecuacioacuten adicional fundamental en el
electromagnetismo
Expresioacuten de las ecuaciones en relatividad
En la relatividad especial las ecuaciones de Maxwell en el vaciacuteo se escriben
mediante unas relaciones geomeacutetricas las cuales toman la misma forma en cualquier
sistema de referencia inercial Eacutestas estaacuten escritas en teacuterminos de cuadrivectores y
tensores covariantes que son objetos geomeacutetricos definidos en M4 Estos objetos se
relacionan mediante formas diferenciales en relaciones geomeacutetricas que al expresarlas
en componentes de los sistemas coordenados Lorentz proporcionan las ecuaciones para
el campo electromagneacutetico
La cuadricorriente esta descrita por una 1-forma y lleva la informacioacuten sobre
la distribucioacuten de cargas y corrientes Sus componentes son
Que debe cumplir la siguiente relacioacuten geomeacutetrica para que se cumpla la
ecuacioacuten de continuidad
Escrito en componentes de los sistemas coordenados Lorentz queda
Para poner en correspondencia objetos del mismo rango se utiliza el operador de
Laplace-Beltrami o Laplaciana definida como
Podemos poner en correspondencia el cuadrivector densidad de corriente con
otro objeto del mismo rango como es el cuadripotencial que lleva la informacioacuten del
potencial eleacutectrico y el potencial vector magneacutetico
O escrito en coordenadas Lorentz obtenemos que
Expresioacuten que reproduce las ecuaciones de onda para los potenciales
electromagneacuteticos
La 1-forma A lleva la informacioacuten sobre los potenciales de los observadores
inerciales siendo sus componentes
Para obtener el objeto geomeacutetrico que contiene los campos tenemos que subir el
rango de A mediante el operador diferencial exterior obteniendo la 2-forma F campo
electromagneacutetico En forma geomeacutetrica podemos escribir
Que expresado para un sistema inercial Lorentz tenemos que
Con lo que obtenemos el tensor de campo electromagneacutetico
Primer par de ecuaciones de Maxwell
La siguientes expresiones ligan los campos con las fuentes relacionamos la
cuadricorriente con el tensor campo electromagneacutetico mediante la forma geomeacutetrica
O bien en coordenadas Lorentz
Obtencioacuten de las ecuaciones
Para un observable en S partiendo de expresioacuten en coordenadas Lorentz podemos
obtener
Para tenemos que entonces
Por tanto
Para podemos obtener de la misma forma que
Segundo par de ecuaciones de Maxwell
Corresponden a las ecuaciones homogeacuteneas Escritas en forma geomeacutetrica
tenemos que
Que corresponde con la expresioacuten en los sistemas coordenados Lorentz
Donde el tensor es el tensor dual de F Se obtiene mediante el operador de
Hodge
Obtencioacuten de las ecuaciones
Para
Por tanto
Para se obtiene la ecuacioacuten vectorial
La propiedad reproduce las ecuaciones de Maxwell internas
que se puede expresar como que se puede escribir en los sistemas
coordenados Lorentz como
Podemos resumir el conjunto de expresiones que relacionan los objetos que
describen el campo electromagneacutetico en la siguiente tabla La primera columna son las
relaciones geomeacutetricas independientes de cualquier observador la segunda columna
son las ecuaciones descritas mediante un sistema coordenado Lorentz y la tercera es la
descripcioacuten de la relacioacuten y la ley que cumple
Forma
Geomeacutetrica Covariante Lorentz Descripcioacuten
Condicioacutengauge de Lorentz ()
Definicioacuten de Campos
Electromagneacuteticos
Ecuaciones de Ondas
Ecuaciones de Maxwell
Ley de conservacioacuten de la Carga
() Existe una confusioacuten habitual en cuanto a la nomenclatura de este gauge Las
primeras ecuaciones en las que aparece tal condicioacuten (1867) se deben a Ludvig V
Lorentz no al mucho maacutes conocido Hendrik A Lorentz (Veacutease JD Jackson
Classical Electrodynamics 3rd edition p294)
Finalmente el cuadrigradiente se define asiacute
Los iacutendices repetidos se suman de acuerdo al convenio de sumacioacuten de Einstein
De acuerdo con el caacutelculo tensorial los iacutendices pueden subirse o bajarse por medio de la
matriz fundamental g
El primer tensor es una expresioacuten de dos ecuaciones de Maxwell la ley de Gauss
y la ley de Ampere generalizada la segunda ecuacioacuten es consecuentemente una
expresioacuten de las otras dos leyes
Se ha sugerido que el componente de la fuerza de Lorentz se puede
derivar de la ley de Coulomb y por eso la relatividad especial asume la invariancia de la
carga eleacutectrica17
18
Expresioacuten de las ecuaciones para una frecuencia
constante
En las ecuaciones de Maxwell los campos vectoriales no son solo funciones de
la posicioacuten en general son funciones de la posicioacuten y del tiempo como por ejemplo
Para la resolucioacuten de estas ecuaciones en derivadas parciales las
variables posicionales se encuentran con la variable temporal En la praacutectica la
resolucioacuten de dichas ecuaciones pueden contener una solucioacuten armoacutenica (sinusoidal)
Con ayuda de la notacioacuten compleja se puede evitar la dependencia temporal de
los resultados armoacutenicos eliminando asiacute el factor complejo de la expresioacuten Gran
parte de las resoluciones de las ecuaciones de Maxwell toman amplitudes complejas
ademaacutes de no ser solo funcioacuten de la posicioacuten En lugar de la derivacioacuten parcial en el
tiempo se tiene la multiplicacioacuten del factor imaginario donde es la frecuencia
angular
En la forma compleja las ecuaciones de Maxwell toman la siguiente forma11
Veacutease tambieacuten
Electromagnetismo
James Clerk Maxwell
Oliver Heaviside
Carga
Onda electromagneacutetica
Ecuacioacuten de onda electromagneacutetica
Ecuaciones de Jefimenko
Ley de Gauss
Ley de Faraday
Ley de Ampegravere
Referencias y Notas
1 uarr laquoEcuaciones de Maxwellraquo (en espantildeol) (1999 de agosto) Consultado el 15 de
enero 2008
2 uarr laquo[httpwwwzpenergycomdownloadsOrig_maxwell_equationspdf On the
Notation of MAXWELLrsquos Field Equations]raquo (en ingleacutes) Consultado el
08012008
3 uarr [Aacutengel Franco Garciacutea Universidad del Paiacutes Vasco] (octubre de 2006) laquoEl
espectro electromagneacuteticoraquo (en espantildeol) Consultado el 15012008
4 uarr laquoTeorema de Gauss y Flujo Eleacutectricoraquo Consultado el 19012008
5 uarr laquoLiacutenea de cargas Ley de Gaussraquo Consultado el 18012008
6 uarr a b c d e Richard Feynman (1974) Feynman lectures on Physics Volume 2 (en
ingleacutes) Addison Wesley Longman ISBN 0-201-02115-3
7 uarr laquoMagnetostaacuteticaraquo Consultado el 19012008
8 uarr laquoConcepto de Flujoraquo Consultado el 19012008
9 uarr laquoLey de Faraday-Henryraquo Consultado el 19012008
10 uarr a b laquoLey de Ampere-Maxwellraquo Consultado el 20012008
11 uarr a b c Aacutengel Cardama Aznar (2002) Antenas UPC ISBN 84-8301-625-7
12 uarr Liliana I Perez laquoAPUNTEEcuaciones de Maxwellraquo Consultado el
22012008
13 uarr a b c La web de Fiacutesica (2008) laquoEcuaciones de Maxwellraquo Consultado el
23012008
14 uarr laquoPotencial Vector Magneacuteticoraquo Consultado el 21012008
15 uarr laquoEcuaciones del Electromagnetismoraquo Consultado el 21012008
16 uarr laquoProfessor Clerk Maxwell on the electromagnetic fieldraquo (en ingleacutes)
Consultado el 21012008
17 uarr L D Landau E M Lifshitz (1980) The Classical Theory of Fields (en
ingleacutes) Butterworth-Heinemann ISBN 0-7506-2768-9
18 uarr Richard E Haskell (2006) laquoSpecial relativity and Maxwell equationsraquo (en
ingleacutes) Consultado el 23012008
Enlaces externos
Fundamentos de las Ecuaciones de Maxwell
On Physical Lines of Force
A dinamical theory of the electromagnetic field Trabajo original de Maxwell
Monografiacuteascom archivo sobre ecuaciones de Maxwell
Modelo de Maxwell
Fundamentos de la radiacioacuten
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiEcuaciones_de_Maxwell
Categoriacuteas WikipediaArtiacuteculos buenos | Ecuaciones | Leyes electromagneacuteticas
cerrado es igual a menos la derivada temporal del flujo magneacutetico en cualquier
superficie limitada por el camino cerrado
La forma diferencial de esta ecuacioacuten es
Esta ecuacioacuten relaciona los campos eleacutectrico y magneacutetico pero tiene tambieacuten
muchas otras aplicaciones praacutecticas Esta ecuacioacuten describe coacutemo los motores eleacutectricos
y los generadores eleacutectricos funcionan Maacutes precisamente demuestra que un voltaje
puede ser generado variando el flujo magneacutetico que atraviesa una superficie dada
Ley de Ampere generalizada
Ampere formuloacute una relacioacuten para un campo magneacutetico inmoacutevil y una corriente
eleacutectrica que no variacutea en el tiempo La ley de Ampere nos dice que la circulacioacuten en un
campo magneacutetico ( ) a lo largo de una curva cerrada C es igual a la densidad de
corriente ( ) sobre la superficie encerrada en la curva C matemaacuteticamente asiacute6
Donde es la permeabilidad magneacutetica en el vaciacuteo
Pero cuando esta relacioacuten se la considera con campos que siacute variacutean a traveacutes del
tiempo llega a caacutelculos erroacuteneos como el de violar la conservacioacuten de la carga10
Maxwell corrigioacute esta ecuacioacuten para lograr adaptarla a campos no estacionarios y
posteriormente pudo ser comprobada experimentalmente Maxwell reformuloacute esta ley
asiacute6
En el caso especiacutefico estacionario esta relacioacuten corresponde a la ley de Ampere
ademaacutes confirma que un campo eleacutectrico que variacutea con el tiempo produce un campo
magneacutetico y ademaacutes es consecuente con el principio de conservacioacuten de la carga10
En forma diferencial eacutesta ecuacioacuten toma la forma
En medios materiales
Para el caso de que las cargas esteacuten en medios materiales y asumiendo que eacutestos
son lineales homogeacuteneos isoacutetropos y no dispersivos podemos encontrar una relacioacuten
entre los vectores intensidad e induccioacuten a traveacutes de dos paraacutemetros conocidos como
permitividad eleacutectrica y la permeabilidad magneacutetica11
Pero estos valores tambieacuten dependen del medio material por lo que se dice que
un medio es lineal cuando la relacioacuten entre ED y BH es lineal Si esta relacioacuten es
lineal matemaacuteticamente se puede decir que y μ estaacuten representadas por una matriz
3x3 Si un medio es isoacutetropo es porque esta matriz ha podido ser diagonalizada y
consecuentemente es equivalente a una funcioacuten si en esta diagonal uno de
los elementos es diferente al otro se dice que es un medio anisoacutetropo Estos elementos
tambieacuten son llamados constantes dieleacutectricas y cuando estas constantes no dependen de
su posicioacuten el medio es homogeacuteneo12
El valor de y μ en medios lineales no dependen de las intensidades del campo
Por otro lado la permitividad y la permeabilidad son escalares cuando las cargas estaacuten
en medios homogeacuteneos e isoacutetropos Los medios heterogeacuteneos e isoacutetropos dependen de
las coordenadas de cada punto por lo que los valores escalares van a depender de la
posicioacuten Los medios anisoacutetropos son tensores11
Finalmente en el vaciacuteo tanto como
son cero porque suponemos que no hay fuentes
En la siguiente tabla encontramos a las ecuaciones como se las formula en el
vaciacuteo y en la forma maacutes general13
En el vaciacuteo Caso general
Ecuaciones de Maxwell
Las ecuaciones de Maxwell como ahora las conocemos son las cuatro citadas
anteriormente y a manera de resumen se pueden encontrar en la siguiente tabla
Nombre Forma diferencial Forma integral
Ley de
Gauss
Ley de
Gauss para
el campo
magneacutetico
Ley de
Faraday
Ley de
Ampegravere
generaliza
da
Estas cuatro ecuaciones junto con la fuerza de Lorentz son las que explican
cualquier tipo de fenoacutemeno electromagneacutetico Una fortaleza de las ecuaciones de
Maxwell es que permanecen invariantes en cualquier sistema de unidades salvo
de pequentildeas excepciones y que son compatibles con la relatividad especial y
general Ademaacutes Maxwell descubrioacute que la cantidad era
simplemente la velocidad de la luz en el vaciacuteo por lo que la luz es una forma de
radiacioacuten electromagneacutetica Los valores aceptados actualmente para la velocidad
de la luz la permitividad y la permeabilidad magneacutetica se resumen en la
siguiente tabla
Siacutembolo Nombre Valor numeacuterico Unidad de medida
SI Tipo
Velocidad de la luz en el
vaciacuteo
metros por segundo definido
Permitividad
faradios por metro derivado
Permeabilidad magneacutetica
henrios por metro definido
Potencial escalar y potencial vector
Como consecuencia matemaacutetica de las ecuaciones de Maxwell y ademaacutes con el
objetivo de simplificar sus caacutelculos se han introducido los conceptos de potencial vector
( ) y potencial escalar ( ) Este potencial vector no es uacutenico y no tiene significado
fiacutesico claro pero se sabe que un elemento infinitesimal de corriente da lugar a una
contribucioacuten paralela a la corriente14
Este potencial se obtiene como consecuencia
de la ley de Gauss para el flujo magneacutetico ya que se conoce que si la divergencia de un
vector es cero ese vector como consecuencia define a un rotacional asiacute15
A partir de este potencial vector y de la ley de Faraday puede definirse un
potencial escalar asiacute13
Donde el signo menos ( minus ) es por convencioacuten Estos potenciales son importantes
porque poseen una simetriacutea gauge que nos da cierta libertad a la hora de escogerlos13
El
campo eleacutectrico en funcioacuten de los potenciales
Hallamos que con la introduccioacuten de estas cantidades las ecuaciones de Maxwell
quedan reducidas solo a dos puesto que la ley de Gauss para el campo magneacutetico y la
ley de Faraday quedan satisfechas por definicioacuten Asiacute la ley de Gauss para el campo
eleacutectrico escrita en teacuterminos de los potenciales
y la ley de Ampeacutere generalizada
Noacutetese que se ha pasado de un conjunto de cuatro ecuaciones diferenciales
parciales de primer orden a solo dos ecuaciones diferenciales parciales pero de segundo
orden Sin embargo estas ecuaciones se pueden simplificar con ayuda de una adecuada
eleccioacuten del gauge
Consecuencias fiacutesicas de las ecuaciones
Principio de conservacioacuten de la carga
Las ecuaciones de Maxwell llevan impliacutecitas el principio de conservacioacuten de la
carga El principio afirma que la carga eleacutectrica no se crea ni se destruye ni global ni
localmente sino que uacutenicamente se transfiere y que si en una superficie cerrada estaacute
disminuyendo la carga contenida en su interior debe haber un flujo de corriente neto
hacia el exterior del sistema Es decir la densidad de carga y la densidad de corriente
satisfacen una ecuacioacuten de continuidad
A partir de la forma diferencial de la ley de Ampere se tiene
Que al reemplazar la ley de Gauss y tomar en cuenta que
(para cualquier vector ) se obtiene
O bien en forma integral
Ecuaciones originales de Maxwell
En el capiacutetulo III de A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field titulado
Ecuaciones generales del campo electromagneacutetico Maxwell formuloacute ocho ecuaciones
que las nombroacute de la A a la H16
Estas ecuaciones llegaron a ser conocidas como las
ecuaciones de Maxwell pero ahora este epiacuteteto lo reciben las ecuaciones que agrupoacute
Heaviside La versioacuten de Heaviside de las ecuaciones de Maxwell realmente contiene
solo una ecuacioacuten de las ocho originales la ley de Gauss que en el conjunto de ocho
seriacutea la ecuacioacuten G Ademaacutes Heaviside fusionoacute la ecuacioacuten A de Maxwell de la
corriente total con la ley circuital de Ampegravere que en el trabajo de Maxwell era la
ecuacioacuten C Esta fusioacuten que Maxwell por si mismo publicoacute en su trabajo On Physical
Lines of Force de 1861 modifica la ley circuital de Ampegravere para incluir la corriente de
desplazamiento de Maxwell
Las ocho ecuaciones originales de Maxwell pueden ser escritas en forma
vectorial asiacute
Denominacioacuten Nombre Ecuacioacuten
A Ley de corrientes totales
B Definicioacuten de vector potencial
magneacutetico
C Ley circuital de Ampere
D Fuerza de Lorentz
E Ecuacioacuten de electricidad elaacutestica
F Ley de Ohm
G Ley de Gauss
H Ecuacioacuten de continuidad de carga
Donde es el vector intensidad de campo magneacutetico (llamado por Maxwell
como intensidad magneacutetica) es la densidad de corriente eleacutectrica y es la
corriente total incluida la corriente de desplazamiento es el campo desplazamiento
(desplazamiento eleacutectrico) es la densidad de carga libre (cantidad libre de
electricidad) es el vector potencial magneacutetico (impulso magneacutetico) es el campo
eleacutectrico (fuerza electromotriz (no confundir con la actual definicioacuten de fuerza
electromotriz)) es el potencial eleacutectrico y es la conductividad eleacutectrica (resistencia
especiacutefica ahora solo resistencia)
Maxwell no consideroacute a los medios materiales en general esta formulacioacuten
inicial usa la permitividad y la permeabilidad en medios lineales isoacutetropos y no
dispersos a pesar que tambieacuten se las puede usar en medios anisoacutetropos
Maxwell incluyoacute el teacutermino en la expresioacuten de la fuerza electromotriz
de la ecuacioacuten D que corresponde a la fuerza magneacutetica por unidad de carga en un
conductor que se mueve a una velocidad Esto significa que la ecuacioacuten D es otra
formulacioacuten de la fuerza de Lorentz Esta ecuacioacuten primero aparecioacute como la ecuacioacuten
77 de la publicacioacuten On Physical Lines of Force de Maxwell anterior a la publicacioacuten
de Lorentz En la actualidad esta fuerza de Lorentz no forma parte de las ecuaciones de
Maxwell pero se la considera una ecuacioacuten adicional fundamental en el
electromagnetismo
Expresioacuten de las ecuaciones en relatividad
En la relatividad especial las ecuaciones de Maxwell en el vaciacuteo se escriben
mediante unas relaciones geomeacutetricas las cuales toman la misma forma en cualquier
sistema de referencia inercial Eacutestas estaacuten escritas en teacuterminos de cuadrivectores y
tensores covariantes que son objetos geomeacutetricos definidos en M4 Estos objetos se
relacionan mediante formas diferenciales en relaciones geomeacutetricas que al expresarlas
en componentes de los sistemas coordenados Lorentz proporcionan las ecuaciones para
el campo electromagneacutetico
La cuadricorriente esta descrita por una 1-forma y lleva la informacioacuten sobre
la distribucioacuten de cargas y corrientes Sus componentes son
Que debe cumplir la siguiente relacioacuten geomeacutetrica para que se cumpla la
ecuacioacuten de continuidad
Escrito en componentes de los sistemas coordenados Lorentz queda
Para poner en correspondencia objetos del mismo rango se utiliza el operador de
Laplace-Beltrami o Laplaciana definida como
Podemos poner en correspondencia el cuadrivector densidad de corriente con
otro objeto del mismo rango como es el cuadripotencial que lleva la informacioacuten del
potencial eleacutectrico y el potencial vector magneacutetico
O escrito en coordenadas Lorentz obtenemos que
Expresioacuten que reproduce las ecuaciones de onda para los potenciales
electromagneacuteticos
La 1-forma A lleva la informacioacuten sobre los potenciales de los observadores
inerciales siendo sus componentes
Para obtener el objeto geomeacutetrico que contiene los campos tenemos que subir el
rango de A mediante el operador diferencial exterior obteniendo la 2-forma F campo
electromagneacutetico En forma geomeacutetrica podemos escribir
Que expresado para un sistema inercial Lorentz tenemos que
Con lo que obtenemos el tensor de campo electromagneacutetico
Primer par de ecuaciones de Maxwell
La siguientes expresiones ligan los campos con las fuentes relacionamos la
cuadricorriente con el tensor campo electromagneacutetico mediante la forma geomeacutetrica
O bien en coordenadas Lorentz
Obtencioacuten de las ecuaciones
Para un observable en S partiendo de expresioacuten en coordenadas Lorentz podemos
obtener
Para tenemos que entonces
Por tanto
Para podemos obtener de la misma forma que
Segundo par de ecuaciones de Maxwell
Corresponden a las ecuaciones homogeacuteneas Escritas en forma geomeacutetrica
tenemos que
Que corresponde con la expresioacuten en los sistemas coordenados Lorentz
Donde el tensor es el tensor dual de F Se obtiene mediante el operador de
Hodge
Obtencioacuten de las ecuaciones
Para
Por tanto
Para se obtiene la ecuacioacuten vectorial
La propiedad reproduce las ecuaciones de Maxwell internas
que se puede expresar como que se puede escribir en los sistemas
coordenados Lorentz como
Podemos resumir el conjunto de expresiones que relacionan los objetos que
describen el campo electromagneacutetico en la siguiente tabla La primera columna son las
relaciones geomeacutetricas independientes de cualquier observador la segunda columna
son las ecuaciones descritas mediante un sistema coordenado Lorentz y la tercera es la
descripcioacuten de la relacioacuten y la ley que cumple
Forma
Geomeacutetrica Covariante Lorentz Descripcioacuten
Condicioacutengauge de Lorentz ()
Definicioacuten de Campos
Electromagneacuteticos
Ecuaciones de Ondas
Ecuaciones de Maxwell
Ley de conservacioacuten de la Carga
() Existe una confusioacuten habitual en cuanto a la nomenclatura de este gauge Las
primeras ecuaciones en las que aparece tal condicioacuten (1867) se deben a Ludvig V
Lorentz no al mucho maacutes conocido Hendrik A Lorentz (Veacutease JD Jackson
Classical Electrodynamics 3rd edition p294)
Finalmente el cuadrigradiente se define asiacute
Los iacutendices repetidos se suman de acuerdo al convenio de sumacioacuten de Einstein
De acuerdo con el caacutelculo tensorial los iacutendices pueden subirse o bajarse por medio de la
matriz fundamental g
El primer tensor es una expresioacuten de dos ecuaciones de Maxwell la ley de Gauss
y la ley de Ampere generalizada la segunda ecuacioacuten es consecuentemente una
expresioacuten de las otras dos leyes
Se ha sugerido que el componente de la fuerza de Lorentz se puede
derivar de la ley de Coulomb y por eso la relatividad especial asume la invariancia de la
carga eleacutectrica17
18
Expresioacuten de las ecuaciones para una frecuencia
constante
En las ecuaciones de Maxwell los campos vectoriales no son solo funciones de
la posicioacuten en general son funciones de la posicioacuten y del tiempo como por ejemplo
Para la resolucioacuten de estas ecuaciones en derivadas parciales las
variables posicionales se encuentran con la variable temporal En la praacutectica la
resolucioacuten de dichas ecuaciones pueden contener una solucioacuten armoacutenica (sinusoidal)
Con ayuda de la notacioacuten compleja se puede evitar la dependencia temporal de
los resultados armoacutenicos eliminando asiacute el factor complejo de la expresioacuten Gran
parte de las resoluciones de las ecuaciones de Maxwell toman amplitudes complejas
ademaacutes de no ser solo funcioacuten de la posicioacuten En lugar de la derivacioacuten parcial en el
tiempo se tiene la multiplicacioacuten del factor imaginario donde es la frecuencia
angular
En la forma compleja las ecuaciones de Maxwell toman la siguiente forma11
Veacutease tambieacuten
Electromagnetismo
James Clerk Maxwell
Oliver Heaviside
Carga
Onda electromagneacutetica
Ecuacioacuten de onda electromagneacutetica
Ecuaciones de Jefimenko
Ley de Gauss
Ley de Faraday
Ley de Ampegravere
Referencias y Notas
1 uarr laquoEcuaciones de Maxwellraquo (en espantildeol) (1999 de agosto) Consultado el 15 de
enero 2008
2 uarr laquo[httpwwwzpenergycomdownloadsOrig_maxwell_equationspdf On the
Notation of MAXWELLrsquos Field Equations]raquo (en ingleacutes) Consultado el
08012008
3 uarr [Aacutengel Franco Garciacutea Universidad del Paiacutes Vasco] (octubre de 2006) laquoEl
espectro electromagneacuteticoraquo (en espantildeol) Consultado el 15012008
4 uarr laquoTeorema de Gauss y Flujo Eleacutectricoraquo Consultado el 19012008
5 uarr laquoLiacutenea de cargas Ley de Gaussraquo Consultado el 18012008
6 uarr a b c d e Richard Feynman (1974) Feynman lectures on Physics Volume 2 (en
ingleacutes) Addison Wesley Longman ISBN 0-201-02115-3
7 uarr laquoMagnetostaacuteticaraquo Consultado el 19012008
8 uarr laquoConcepto de Flujoraquo Consultado el 19012008
9 uarr laquoLey de Faraday-Henryraquo Consultado el 19012008
10 uarr a b laquoLey de Ampere-Maxwellraquo Consultado el 20012008
11 uarr a b c Aacutengel Cardama Aznar (2002) Antenas UPC ISBN 84-8301-625-7
12 uarr Liliana I Perez laquoAPUNTEEcuaciones de Maxwellraquo Consultado el
22012008
13 uarr a b c La web de Fiacutesica (2008) laquoEcuaciones de Maxwellraquo Consultado el
23012008
14 uarr laquoPotencial Vector Magneacuteticoraquo Consultado el 21012008
15 uarr laquoEcuaciones del Electromagnetismoraquo Consultado el 21012008
16 uarr laquoProfessor Clerk Maxwell on the electromagnetic fieldraquo (en ingleacutes)
Consultado el 21012008
17 uarr L D Landau E M Lifshitz (1980) The Classical Theory of Fields (en
ingleacutes) Butterworth-Heinemann ISBN 0-7506-2768-9
18 uarr Richard E Haskell (2006) laquoSpecial relativity and Maxwell equationsraquo (en
ingleacutes) Consultado el 23012008
Enlaces externos
Fundamentos de las Ecuaciones de Maxwell
On Physical Lines of Force
A dinamical theory of the electromagnetic field Trabajo original de Maxwell
Monografiacuteascom archivo sobre ecuaciones de Maxwell
Modelo de Maxwell
Fundamentos de la radiacioacuten
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiEcuaciones_de_Maxwell
Categoriacuteas WikipediaArtiacuteculos buenos | Ecuaciones | Leyes electromagneacuteticas
En medios materiales
Para el caso de que las cargas esteacuten en medios materiales y asumiendo que eacutestos
son lineales homogeacuteneos isoacutetropos y no dispersivos podemos encontrar una relacioacuten
entre los vectores intensidad e induccioacuten a traveacutes de dos paraacutemetros conocidos como
permitividad eleacutectrica y la permeabilidad magneacutetica11
Pero estos valores tambieacuten dependen del medio material por lo que se dice que
un medio es lineal cuando la relacioacuten entre ED y BH es lineal Si esta relacioacuten es
lineal matemaacuteticamente se puede decir que y μ estaacuten representadas por una matriz
3x3 Si un medio es isoacutetropo es porque esta matriz ha podido ser diagonalizada y
consecuentemente es equivalente a una funcioacuten si en esta diagonal uno de
los elementos es diferente al otro se dice que es un medio anisoacutetropo Estos elementos
tambieacuten son llamados constantes dieleacutectricas y cuando estas constantes no dependen de
su posicioacuten el medio es homogeacuteneo12
El valor de y μ en medios lineales no dependen de las intensidades del campo
Por otro lado la permitividad y la permeabilidad son escalares cuando las cargas estaacuten
en medios homogeacuteneos e isoacutetropos Los medios heterogeacuteneos e isoacutetropos dependen de
las coordenadas de cada punto por lo que los valores escalares van a depender de la
posicioacuten Los medios anisoacutetropos son tensores11
Finalmente en el vaciacuteo tanto como
son cero porque suponemos que no hay fuentes
En la siguiente tabla encontramos a las ecuaciones como se las formula en el
vaciacuteo y en la forma maacutes general13
En el vaciacuteo Caso general
Ecuaciones de Maxwell
Las ecuaciones de Maxwell como ahora las conocemos son las cuatro citadas
anteriormente y a manera de resumen se pueden encontrar en la siguiente tabla
Nombre Forma diferencial Forma integral
Ley de
Gauss
Ley de
Gauss para
el campo
magneacutetico
Ley de
Faraday
Ley de
Ampegravere
generaliza
da
Estas cuatro ecuaciones junto con la fuerza de Lorentz son las que explican
cualquier tipo de fenoacutemeno electromagneacutetico Una fortaleza de las ecuaciones de
Maxwell es que permanecen invariantes en cualquier sistema de unidades salvo
de pequentildeas excepciones y que son compatibles con la relatividad especial y
general Ademaacutes Maxwell descubrioacute que la cantidad era
simplemente la velocidad de la luz en el vaciacuteo por lo que la luz es una forma de
radiacioacuten electromagneacutetica Los valores aceptados actualmente para la velocidad
de la luz la permitividad y la permeabilidad magneacutetica se resumen en la
siguiente tabla
Siacutembolo Nombre Valor numeacuterico Unidad de medida
SI Tipo
Velocidad de la luz en el
vaciacuteo
metros por segundo definido
Permitividad
faradios por metro derivado
Permeabilidad magneacutetica
henrios por metro definido
Potencial escalar y potencial vector
Como consecuencia matemaacutetica de las ecuaciones de Maxwell y ademaacutes con el
objetivo de simplificar sus caacutelculos se han introducido los conceptos de potencial vector
( ) y potencial escalar ( ) Este potencial vector no es uacutenico y no tiene significado
fiacutesico claro pero se sabe que un elemento infinitesimal de corriente da lugar a una
contribucioacuten paralela a la corriente14
Este potencial se obtiene como consecuencia
de la ley de Gauss para el flujo magneacutetico ya que se conoce que si la divergencia de un
vector es cero ese vector como consecuencia define a un rotacional asiacute15
A partir de este potencial vector y de la ley de Faraday puede definirse un
potencial escalar asiacute13
Donde el signo menos ( minus ) es por convencioacuten Estos potenciales son importantes
porque poseen una simetriacutea gauge que nos da cierta libertad a la hora de escogerlos13
El
campo eleacutectrico en funcioacuten de los potenciales
Hallamos que con la introduccioacuten de estas cantidades las ecuaciones de Maxwell
quedan reducidas solo a dos puesto que la ley de Gauss para el campo magneacutetico y la
ley de Faraday quedan satisfechas por definicioacuten Asiacute la ley de Gauss para el campo
eleacutectrico escrita en teacuterminos de los potenciales
y la ley de Ampeacutere generalizada
Noacutetese que se ha pasado de un conjunto de cuatro ecuaciones diferenciales
parciales de primer orden a solo dos ecuaciones diferenciales parciales pero de segundo
orden Sin embargo estas ecuaciones se pueden simplificar con ayuda de una adecuada
eleccioacuten del gauge
Consecuencias fiacutesicas de las ecuaciones
Principio de conservacioacuten de la carga
Las ecuaciones de Maxwell llevan impliacutecitas el principio de conservacioacuten de la
carga El principio afirma que la carga eleacutectrica no se crea ni se destruye ni global ni
localmente sino que uacutenicamente se transfiere y que si en una superficie cerrada estaacute
disminuyendo la carga contenida en su interior debe haber un flujo de corriente neto
hacia el exterior del sistema Es decir la densidad de carga y la densidad de corriente
satisfacen una ecuacioacuten de continuidad
A partir de la forma diferencial de la ley de Ampere se tiene
Que al reemplazar la ley de Gauss y tomar en cuenta que
(para cualquier vector ) se obtiene
O bien en forma integral
Ecuaciones originales de Maxwell
En el capiacutetulo III de A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field titulado
Ecuaciones generales del campo electromagneacutetico Maxwell formuloacute ocho ecuaciones
que las nombroacute de la A a la H16
Estas ecuaciones llegaron a ser conocidas como las
ecuaciones de Maxwell pero ahora este epiacuteteto lo reciben las ecuaciones que agrupoacute
Heaviside La versioacuten de Heaviside de las ecuaciones de Maxwell realmente contiene
solo una ecuacioacuten de las ocho originales la ley de Gauss que en el conjunto de ocho
seriacutea la ecuacioacuten G Ademaacutes Heaviside fusionoacute la ecuacioacuten A de Maxwell de la
corriente total con la ley circuital de Ampegravere que en el trabajo de Maxwell era la
ecuacioacuten C Esta fusioacuten que Maxwell por si mismo publicoacute en su trabajo On Physical
Lines of Force de 1861 modifica la ley circuital de Ampegravere para incluir la corriente de
desplazamiento de Maxwell
Las ocho ecuaciones originales de Maxwell pueden ser escritas en forma
vectorial asiacute
Denominacioacuten Nombre Ecuacioacuten
A Ley de corrientes totales
B Definicioacuten de vector potencial
magneacutetico
C Ley circuital de Ampere
D Fuerza de Lorentz
E Ecuacioacuten de electricidad elaacutestica
F Ley de Ohm
G Ley de Gauss
H Ecuacioacuten de continuidad de carga
Donde es el vector intensidad de campo magneacutetico (llamado por Maxwell
como intensidad magneacutetica) es la densidad de corriente eleacutectrica y es la
corriente total incluida la corriente de desplazamiento es el campo desplazamiento
(desplazamiento eleacutectrico) es la densidad de carga libre (cantidad libre de
electricidad) es el vector potencial magneacutetico (impulso magneacutetico) es el campo
eleacutectrico (fuerza electromotriz (no confundir con la actual definicioacuten de fuerza
electromotriz)) es el potencial eleacutectrico y es la conductividad eleacutectrica (resistencia
especiacutefica ahora solo resistencia)
Maxwell no consideroacute a los medios materiales en general esta formulacioacuten
inicial usa la permitividad y la permeabilidad en medios lineales isoacutetropos y no
dispersos a pesar que tambieacuten se las puede usar en medios anisoacutetropos
Maxwell incluyoacute el teacutermino en la expresioacuten de la fuerza electromotriz
de la ecuacioacuten D que corresponde a la fuerza magneacutetica por unidad de carga en un
conductor que se mueve a una velocidad Esto significa que la ecuacioacuten D es otra
formulacioacuten de la fuerza de Lorentz Esta ecuacioacuten primero aparecioacute como la ecuacioacuten
77 de la publicacioacuten On Physical Lines of Force de Maxwell anterior a la publicacioacuten
de Lorentz En la actualidad esta fuerza de Lorentz no forma parte de las ecuaciones de
Maxwell pero se la considera una ecuacioacuten adicional fundamental en el
electromagnetismo
Expresioacuten de las ecuaciones en relatividad
En la relatividad especial las ecuaciones de Maxwell en el vaciacuteo se escriben
mediante unas relaciones geomeacutetricas las cuales toman la misma forma en cualquier
sistema de referencia inercial Eacutestas estaacuten escritas en teacuterminos de cuadrivectores y
tensores covariantes que son objetos geomeacutetricos definidos en M4 Estos objetos se
relacionan mediante formas diferenciales en relaciones geomeacutetricas que al expresarlas
en componentes de los sistemas coordenados Lorentz proporcionan las ecuaciones para
el campo electromagneacutetico
La cuadricorriente esta descrita por una 1-forma y lleva la informacioacuten sobre
la distribucioacuten de cargas y corrientes Sus componentes son
Que debe cumplir la siguiente relacioacuten geomeacutetrica para que se cumpla la
ecuacioacuten de continuidad
Escrito en componentes de los sistemas coordenados Lorentz queda
Para poner en correspondencia objetos del mismo rango se utiliza el operador de
Laplace-Beltrami o Laplaciana definida como
Podemos poner en correspondencia el cuadrivector densidad de corriente con
otro objeto del mismo rango como es el cuadripotencial que lleva la informacioacuten del
potencial eleacutectrico y el potencial vector magneacutetico
O escrito en coordenadas Lorentz obtenemos que
Expresioacuten que reproduce las ecuaciones de onda para los potenciales
electromagneacuteticos
La 1-forma A lleva la informacioacuten sobre los potenciales de los observadores
inerciales siendo sus componentes
Para obtener el objeto geomeacutetrico que contiene los campos tenemos que subir el
rango de A mediante el operador diferencial exterior obteniendo la 2-forma F campo
electromagneacutetico En forma geomeacutetrica podemos escribir
Que expresado para un sistema inercial Lorentz tenemos que
Con lo que obtenemos el tensor de campo electromagneacutetico
Primer par de ecuaciones de Maxwell
La siguientes expresiones ligan los campos con las fuentes relacionamos la
cuadricorriente con el tensor campo electromagneacutetico mediante la forma geomeacutetrica
O bien en coordenadas Lorentz
Obtencioacuten de las ecuaciones
Para un observable en S partiendo de expresioacuten en coordenadas Lorentz podemos
obtener
Para tenemos que entonces
Por tanto
Para podemos obtener de la misma forma que
Segundo par de ecuaciones de Maxwell
Corresponden a las ecuaciones homogeacuteneas Escritas en forma geomeacutetrica
tenemos que
Que corresponde con la expresioacuten en los sistemas coordenados Lorentz
Donde el tensor es el tensor dual de F Se obtiene mediante el operador de
Hodge
Obtencioacuten de las ecuaciones
Para
Por tanto
Para se obtiene la ecuacioacuten vectorial
La propiedad reproduce las ecuaciones de Maxwell internas
que se puede expresar como que se puede escribir en los sistemas
coordenados Lorentz como
Podemos resumir el conjunto de expresiones que relacionan los objetos que
describen el campo electromagneacutetico en la siguiente tabla La primera columna son las
relaciones geomeacutetricas independientes de cualquier observador la segunda columna
son las ecuaciones descritas mediante un sistema coordenado Lorentz y la tercera es la
descripcioacuten de la relacioacuten y la ley que cumple
Forma
Geomeacutetrica Covariante Lorentz Descripcioacuten
Condicioacutengauge de Lorentz ()
Definicioacuten de Campos
Electromagneacuteticos
Ecuaciones de Ondas
Ecuaciones de Maxwell
Ley de conservacioacuten de la Carga
() Existe una confusioacuten habitual en cuanto a la nomenclatura de este gauge Las
primeras ecuaciones en las que aparece tal condicioacuten (1867) se deben a Ludvig V
Lorentz no al mucho maacutes conocido Hendrik A Lorentz (Veacutease JD Jackson
Classical Electrodynamics 3rd edition p294)
Finalmente el cuadrigradiente se define asiacute
Los iacutendices repetidos se suman de acuerdo al convenio de sumacioacuten de Einstein
De acuerdo con el caacutelculo tensorial los iacutendices pueden subirse o bajarse por medio de la
matriz fundamental g
El primer tensor es una expresioacuten de dos ecuaciones de Maxwell la ley de Gauss
y la ley de Ampere generalizada la segunda ecuacioacuten es consecuentemente una
expresioacuten de las otras dos leyes
Se ha sugerido que el componente de la fuerza de Lorentz se puede
derivar de la ley de Coulomb y por eso la relatividad especial asume la invariancia de la
carga eleacutectrica17
18
Expresioacuten de las ecuaciones para una frecuencia
constante
En las ecuaciones de Maxwell los campos vectoriales no son solo funciones de
la posicioacuten en general son funciones de la posicioacuten y del tiempo como por ejemplo
Para la resolucioacuten de estas ecuaciones en derivadas parciales las
variables posicionales se encuentran con la variable temporal En la praacutectica la
resolucioacuten de dichas ecuaciones pueden contener una solucioacuten armoacutenica (sinusoidal)
Con ayuda de la notacioacuten compleja se puede evitar la dependencia temporal de
los resultados armoacutenicos eliminando asiacute el factor complejo de la expresioacuten Gran
parte de las resoluciones de las ecuaciones de Maxwell toman amplitudes complejas
ademaacutes de no ser solo funcioacuten de la posicioacuten En lugar de la derivacioacuten parcial en el
tiempo se tiene la multiplicacioacuten del factor imaginario donde es la frecuencia
angular
En la forma compleja las ecuaciones de Maxwell toman la siguiente forma11
Veacutease tambieacuten
Electromagnetismo
James Clerk Maxwell
Oliver Heaviside
Carga
Onda electromagneacutetica
Ecuacioacuten de onda electromagneacutetica
Ecuaciones de Jefimenko
Ley de Gauss
Ley de Faraday
Ley de Ampegravere
Referencias y Notas
1 uarr laquoEcuaciones de Maxwellraquo (en espantildeol) (1999 de agosto) Consultado el 15 de
enero 2008
2 uarr laquo[httpwwwzpenergycomdownloadsOrig_maxwell_equationspdf On the
Notation of MAXWELLrsquos Field Equations]raquo (en ingleacutes) Consultado el
08012008
3 uarr [Aacutengel Franco Garciacutea Universidad del Paiacutes Vasco] (octubre de 2006) laquoEl
espectro electromagneacuteticoraquo (en espantildeol) Consultado el 15012008
4 uarr laquoTeorema de Gauss y Flujo Eleacutectricoraquo Consultado el 19012008
5 uarr laquoLiacutenea de cargas Ley de Gaussraquo Consultado el 18012008
6 uarr a b c d e Richard Feynman (1974) Feynman lectures on Physics Volume 2 (en
ingleacutes) Addison Wesley Longman ISBN 0-201-02115-3
7 uarr laquoMagnetostaacuteticaraquo Consultado el 19012008
8 uarr laquoConcepto de Flujoraquo Consultado el 19012008
9 uarr laquoLey de Faraday-Henryraquo Consultado el 19012008
10 uarr a b laquoLey de Ampere-Maxwellraquo Consultado el 20012008
11 uarr a b c Aacutengel Cardama Aznar (2002) Antenas UPC ISBN 84-8301-625-7
12 uarr Liliana I Perez laquoAPUNTEEcuaciones de Maxwellraquo Consultado el
22012008
13 uarr a b c La web de Fiacutesica (2008) laquoEcuaciones de Maxwellraquo Consultado el
23012008
14 uarr laquoPotencial Vector Magneacuteticoraquo Consultado el 21012008
15 uarr laquoEcuaciones del Electromagnetismoraquo Consultado el 21012008
16 uarr laquoProfessor Clerk Maxwell on the electromagnetic fieldraquo (en ingleacutes)
Consultado el 21012008
17 uarr L D Landau E M Lifshitz (1980) The Classical Theory of Fields (en
ingleacutes) Butterworth-Heinemann ISBN 0-7506-2768-9
18 uarr Richard E Haskell (2006) laquoSpecial relativity and Maxwell equationsraquo (en
ingleacutes) Consultado el 23012008
Enlaces externos
Fundamentos de las Ecuaciones de Maxwell
On Physical Lines of Force
A dinamical theory of the electromagnetic field Trabajo original de Maxwell
Monografiacuteascom archivo sobre ecuaciones de Maxwell
Modelo de Maxwell
Fundamentos de la radiacioacuten
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiEcuaciones_de_Maxwell
Categoriacuteas WikipediaArtiacuteculos buenos | Ecuaciones | Leyes electromagneacuteticas
Ecuaciones de Maxwell
Las ecuaciones de Maxwell como ahora las conocemos son las cuatro citadas
anteriormente y a manera de resumen se pueden encontrar en la siguiente tabla
Nombre Forma diferencial Forma integral
Ley de
Gauss
Ley de
Gauss para
el campo
magneacutetico
Ley de
Faraday
Ley de
Ampegravere
generaliza
da
Estas cuatro ecuaciones junto con la fuerza de Lorentz son las que explican
cualquier tipo de fenoacutemeno electromagneacutetico Una fortaleza de las ecuaciones de
Maxwell es que permanecen invariantes en cualquier sistema de unidades salvo
de pequentildeas excepciones y que son compatibles con la relatividad especial y
general Ademaacutes Maxwell descubrioacute que la cantidad era
simplemente la velocidad de la luz en el vaciacuteo por lo que la luz es una forma de
radiacioacuten electromagneacutetica Los valores aceptados actualmente para la velocidad
de la luz la permitividad y la permeabilidad magneacutetica se resumen en la
siguiente tabla
Siacutembolo Nombre Valor numeacuterico Unidad de medida
SI Tipo
Velocidad de la luz en el
vaciacuteo
metros por segundo definido
Permitividad
faradios por metro derivado
Permeabilidad magneacutetica
henrios por metro definido
Potencial escalar y potencial vector
Como consecuencia matemaacutetica de las ecuaciones de Maxwell y ademaacutes con el
objetivo de simplificar sus caacutelculos se han introducido los conceptos de potencial vector
( ) y potencial escalar ( ) Este potencial vector no es uacutenico y no tiene significado
fiacutesico claro pero se sabe que un elemento infinitesimal de corriente da lugar a una
contribucioacuten paralela a la corriente14
Este potencial se obtiene como consecuencia
de la ley de Gauss para el flujo magneacutetico ya que se conoce que si la divergencia de un
vector es cero ese vector como consecuencia define a un rotacional asiacute15
A partir de este potencial vector y de la ley de Faraday puede definirse un
potencial escalar asiacute13
Donde el signo menos ( minus ) es por convencioacuten Estos potenciales son importantes
porque poseen una simetriacutea gauge que nos da cierta libertad a la hora de escogerlos13
El
campo eleacutectrico en funcioacuten de los potenciales
Hallamos que con la introduccioacuten de estas cantidades las ecuaciones de Maxwell
quedan reducidas solo a dos puesto que la ley de Gauss para el campo magneacutetico y la
ley de Faraday quedan satisfechas por definicioacuten Asiacute la ley de Gauss para el campo
eleacutectrico escrita en teacuterminos de los potenciales
y la ley de Ampeacutere generalizada
Noacutetese que se ha pasado de un conjunto de cuatro ecuaciones diferenciales
parciales de primer orden a solo dos ecuaciones diferenciales parciales pero de segundo
orden Sin embargo estas ecuaciones se pueden simplificar con ayuda de una adecuada
eleccioacuten del gauge
Consecuencias fiacutesicas de las ecuaciones
Principio de conservacioacuten de la carga
Las ecuaciones de Maxwell llevan impliacutecitas el principio de conservacioacuten de la
carga El principio afirma que la carga eleacutectrica no se crea ni se destruye ni global ni
localmente sino que uacutenicamente se transfiere y que si en una superficie cerrada estaacute
disminuyendo la carga contenida en su interior debe haber un flujo de corriente neto
hacia el exterior del sistema Es decir la densidad de carga y la densidad de corriente
satisfacen una ecuacioacuten de continuidad
A partir de la forma diferencial de la ley de Ampere se tiene
Que al reemplazar la ley de Gauss y tomar en cuenta que
(para cualquier vector ) se obtiene
O bien en forma integral
Ecuaciones originales de Maxwell
En el capiacutetulo III de A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field titulado
Ecuaciones generales del campo electromagneacutetico Maxwell formuloacute ocho ecuaciones
que las nombroacute de la A a la H16
Estas ecuaciones llegaron a ser conocidas como las
ecuaciones de Maxwell pero ahora este epiacuteteto lo reciben las ecuaciones que agrupoacute
Heaviside La versioacuten de Heaviside de las ecuaciones de Maxwell realmente contiene
solo una ecuacioacuten de las ocho originales la ley de Gauss que en el conjunto de ocho
seriacutea la ecuacioacuten G Ademaacutes Heaviside fusionoacute la ecuacioacuten A de Maxwell de la
corriente total con la ley circuital de Ampegravere que en el trabajo de Maxwell era la
ecuacioacuten C Esta fusioacuten que Maxwell por si mismo publicoacute en su trabajo On Physical
Lines of Force de 1861 modifica la ley circuital de Ampegravere para incluir la corriente de
desplazamiento de Maxwell
Las ocho ecuaciones originales de Maxwell pueden ser escritas en forma
vectorial asiacute
Denominacioacuten Nombre Ecuacioacuten
A Ley de corrientes totales
B Definicioacuten de vector potencial
magneacutetico
C Ley circuital de Ampere
D Fuerza de Lorentz
E Ecuacioacuten de electricidad elaacutestica
F Ley de Ohm
G Ley de Gauss
H Ecuacioacuten de continuidad de carga
Donde es el vector intensidad de campo magneacutetico (llamado por Maxwell
como intensidad magneacutetica) es la densidad de corriente eleacutectrica y es la
corriente total incluida la corriente de desplazamiento es el campo desplazamiento
(desplazamiento eleacutectrico) es la densidad de carga libre (cantidad libre de
electricidad) es el vector potencial magneacutetico (impulso magneacutetico) es el campo
eleacutectrico (fuerza electromotriz (no confundir con la actual definicioacuten de fuerza
electromotriz)) es el potencial eleacutectrico y es la conductividad eleacutectrica (resistencia
especiacutefica ahora solo resistencia)
Maxwell no consideroacute a los medios materiales en general esta formulacioacuten
inicial usa la permitividad y la permeabilidad en medios lineales isoacutetropos y no
dispersos a pesar que tambieacuten se las puede usar en medios anisoacutetropos
Maxwell incluyoacute el teacutermino en la expresioacuten de la fuerza electromotriz
de la ecuacioacuten D que corresponde a la fuerza magneacutetica por unidad de carga en un
conductor que se mueve a una velocidad Esto significa que la ecuacioacuten D es otra
formulacioacuten de la fuerza de Lorentz Esta ecuacioacuten primero aparecioacute como la ecuacioacuten
77 de la publicacioacuten On Physical Lines of Force de Maxwell anterior a la publicacioacuten
de Lorentz En la actualidad esta fuerza de Lorentz no forma parte de las ecuaciones de
Maxwell pero se la considera una ecuacioacuten adicional fundamental en el
electromagnetismo
Expresioacuten de las ecuaciones en relatividad
En la relatividad especial las ecuaciones de Maxwell en el vaciacuteo se escriben
mediante unas relaciones geomeacutetricas las cuales toman la misma forma en cualquier
sistema de referencia inercial Eacutestas estaacuten escritas en teacuterminos de cuadrivectores y
tensores covariantes que son objetos geomeacutetricos definidos en M4 Estos objetos se
relacionan mediante formas diferenciales en relaciones geomeacutetricas que al expresarlas
en componentes de los sistemas coordenados Lorentz proporcionan las ecuaciones para
el campo electromagneacutetico
La cuadricorriente esta descrita por una 1-forma y lleva la informacioacuten sobre
la distribucioacuten de cargas y corrientes Sus componentes son
Que debe cumplir la siguiente relacioacuten geomeacutetrica para que se cumpla la
ecuacioacuten de continuidad
Escrito en componentes de los sistemas coordenados Lorentz queda
Para poner en correspondencia objetos del mismo rango se utiliza el operador de
Laplace-Beltrami o Laplaciana definida como
Podemos poner en correspondencia el cuadrivector densidad de corriente con
otro objeto del mismo rango como es el cuadripotencial que lleva la informacioacuten del
potencial eleacutectrico y el potencial vector magneacutetico
O escrito en coordenadas Lorentz obtenemos que
Expresioacuten que reproduce las ecuaciones de onda para los potenciales
electromagneacuteticos
La 1-forma A lleva la informacioacuten sobre los potenciales de los observadores
inerciales siendo sus componentes
Para obtener el objeto geomeacutetrico que contiene los campos tenemos que subir el
rango de A mediante el operador diferencial exterior obteniendo la 2-forma F campo
electromagneacutetico En forma geomeacutetrica podemos escribir
Que expresado para un sistema inercial Lorentz tenemos que
Con lo que obtenemos el tensor de campo electromagneacutetico
Primer par de ecuaciones de Maxwell
La siguientes expresiones ligan los campos con las fuentes relacionamos la
cuadricorriente con el tensor campo electromagneacutetico mediante la forma geomeacutetrica
O bien en coordenadas Lorentz
Obtencioacuten de las ecuaciones
Para un observable en S partiendo de expresioacuten en coordenadas Lorentz podemos
obtener
Para tenemos que entonces
Por tanto
Para podemos obtener de la misma forma que
Segundo par de ecuaciones de Maxwell
Corresponden a las ecuaciones homogeacuteneas Escritas en forma geomeacutetrica
tenemos que
Que corresponde con la expresioacuten en los sistemas coordenados Lorentz
Donde el tensor es el tensor dual de F Se obtiene mediante el operador de
Hodge
Obtencioacuten de las ecuaciones
Para
Por tanto
Para se obtiene la ecuacioacuten vectorial
La propiedad reproduce las ecuaciones de Maxwell internas
que se puede expresar como que se puede escribir en los sistemas
coordenados Lorentz como
Podemos resumir el conjunto de expresiones que relacionan los objetos que
describen el campo electromagneacutetico en la siguiente tabla La primera columna son las
relaciones geomeacutetricas independientes de cualquier observador la segunda columna
son las ecuaciones descritas mediante un sistema coordenado Lorentz y la tercera es la
descripcioacuten de la relacioacuten y la ley que cumple
Forma
Geomeacutetrica Covariante Lorentz Descripcioacuten
Condicioacutengauge de Lorentz ()
Definicioacuten de Campos
Electromagneacuteticos
Ecuaciones de Ondas
Ecuaciones de Maxwell
Ley de conservacioacuten de la Carga
() Existe una confusioacuten habitual en cuanto a la nomenclatura de este gauge Las
primeras ecuaciones en las que aparece tal condicioacuten (1867) se deben a Ludvig V
Lorentz no al mucho maacutes conocido Hendrik A Lorentz (Veacutease JD Jackson
Classical Electrodynamics 3rd edition p294)
Finalmente el cuadrigradiente se define asiacute
Los iacutendices repetidos se suman de acuerdo al convenio de sumacioacuten de Einstein
De acuerdo con el caacutelculo tensorial los iacutendices pueden subirse o bajarse por medio de la
matriz fundamental g
El primer tensor es una expresioacuten de dos ecuaciones de Maxwell la ley de Gauss
y la ley de Ampere generalizada la segunda ecuacioacuten es consecuentemente una
expresioacuten de las otras dos leyes
Se ha sugerido que el componente de la fuerza de Lorentz se puede
derivar de la ley de Coulomb y por eso la relatividad especial asume la invariancia de la
carga eleacutectrica17
18
Expresioacuten de las ecuaciones para una frecuencia
constante
En las ecuaciones de Maxwell los campos vectoriales no son solo funciones de
la posicioacuten en general son funciones de la posicioacuten y del tiempo como por ejemplo
Para la resolucioacuten de estas ecuaciones en derivadas parciales las
variables posicionales se encuentran con la variable temporal En la praacutectica la
resolucioacuten de dichas ecuaciones pueden contener una solucioacuten armoacutenica (sinusoidal)
Con ayuda de la notacioacuten compleja se puede evitar la dependencia temporal de
los resultados armoacutenicos eliminando asiacute el factor complejo de la expresioacuten Gran
parte de las resoluciones de las ecuaciones de Maxwell toman amplitudes complejas
ademaacutes de no ser solo funcioacuten de la posicioacuten En lugar de la derivacioacuten parcial en el
tiempo se tiene la multiplicacioacuten del factor imaginario donde es la frecuencia
angular
En la forma compleja las ecuaciones de Maxwell toman la siguiente forma11
Veacutease tambieacuten
Electromagnetismo
James Clerk Maxwell
Oliver Heaviside
Carga
Onda electromagneacutetica
Ecuacioacuten de onda electromagneacutetica
Ecuaciones de Jefimenko
Ley de Gauss
Ley de Faraday
Ley de Ampegravere
Referencias y Notas
1 uarr laquoEcuaciones de Maxwellraquo (en espantildeol) (1999 de agosto) Consultado el 15 de
enero 2008
2 uarr laquo[httpwwwzpenergycomdownloadsOrig_maxwell_equationspdf On the
Notation of MAXWELLrsquos Field Equations]raquo (en ingleacutes) Consultado el
08012008
3 uarr [Aacutengel Franco Garciacutea Universidad del Paiacutes Vasco] (octubre de 2006) laquoEl
espectro electromagneacuteticoraquo (en espantildeol) Consultado el 15012008
4 uarr laquoTeorema de Gauss y Flujo Eleacutectricoraquo Consultado el 19012008
5 uarr laquoLiacutenea de cargas Ley de Gaussraquo Consultado el 18012008
6 uarr a b c d e Richard Feynman (1974) Feynman lectures on Physics Volume 2 (en
ingleacutes) Addison Wesley Longman ISBN 0-201-02115-3
7 uarr laquoMagnetostaacuteticaraquo Consultado el 19012008
8 uarr laquoConcepto de Flujoraquo Consultado el 19012008
9 uarr laquoLey de Faraday-Henryraquo Consultado el 19012008
10 uarr a b laquoLey de Ampere-Maxwellraquo Consultado el 20012008
11 uarr a b c Aacutengel Cardama Aznar (2002) Antenas UPC ISBN 84-8301-625-7
12 uarr Liliana I Perez laquoAPUNTEEcuaciones de Maxwellraquo Consultado el
22012008
13 uarr a b c La web de Fiacutesica (2008) laquoEcuaciones de Maxwellraquo Consultado el
23012008
14 uarr laquoPotencial Vector Magneacuteticoraquo Consultado el 21012008
15 uarr laquoEcuaciones del Electromagnetismoraquo Consultado el 21012008
16 uarr laquoProfessor Clerk Maxwell on the electromagnetic fieldraquo (en ingleacutes)
Consultado el 21012008
17 uarr L D Landau E M Lifshitz (1980) The Classical Theory of Fields (en
ingleacutes) Butterworth-Heinemann ISBN 0-7506-2768-9
18 uarr Richard E Haskell (2006) laquoSpecial relativity and Maxwell equationsraquo (en
ingleacutes) Consultado el 23012008
Enlaces externos
Fundamentos de las Ecuaciones de Maxwell
On Physical Lines of Force
A dinamical theory of the electromagnetic field Trabajo original de Maxwell
Monografiacuteascom archivo sobre ecuaciones de Maxwell
Modelo de Maxwell
Fundamentos de la radiacioacuten
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiEcuaciones_de_Maxwell
Categoriacuteas WikipediaArtiacuteculos buenos | Ecuaciones | Leyes electromagneacuteticas
Siacutembolo Nombre Valor numeacuterico Unidad de medida
SI Tipo
Velocidad de la luz en el
vaciacuteo
metros por segundo definido
Permitividad
faradios por metro derivado
Permeabilidad magneacutetica
henrios por metro definido
Potencial escalar y potencial vector
Como consecuencia matemaacutetica de las ecuaciones de Maxwell y ademaacutes con el
objetivo de simplificar sus caacutelculos se han introducido los conceptos de potencial vector
( ) y potencial escalar ( ) Este potencial vector no es uacutenico y no tiene significado
fiacutesico claro pero se sabe que un elemento infinitesimal de corriente da lugar a una
contribucioacuten paralela a la corriente14
Este potencial se obtiene como consecuencia
de la ley de Gauss para el flujo magneacutetico ya que se conoce que si la divergencia de un
vector es cero ese vector como consecuencia define a un rotacional asiacute15
A partir de este potencial vector y de la ley de Faraday puede definirse un
potencial escalar asiacute13
Donde el signo menos ( minus ) es por convencioacuten Estos potenciales son importantes
porque poseen una simetriacutea gauge que nos da cierta libertad a la hora de escogerlos13
El
campo eleacutectrico en funcioacuten de los potenciales
Hallamos que con la introduccioacuten de estas cantidades las ecuaciones de Maxwell
quedan reducidas solo a dos puesto que la ley de Gauss para el campo magneacutetico y la
ley de Faraday quedan satisfechas por definicioacuten Asiacute la ley de Gauss para el campo
eleacutectrico escrita en teacuterminos de los potenciales
y la ley de Ampeacutere generalizada
Noacutetese que se ha pasado de un conjunto de cuatro ecuaciones diferenciales
parciales de primer orden a solo dos ecuaciones diferenciales parciales pero de segundo
orden Sin embargo estas ecuaciones se pueden simplificar con ayuda de una adecuada
eleccioacuten del gauge
Consecuencias fiacutesicas de las ecuaciones
Principio de conservacioacuten de la carga
Las ecuaciones de Maxwell llevan impliacutecitas el principio de conservacioacuten de la
carga El principio afirma que la carga eleacutectrica no se crea ni se destruye ni global ni
localmente sino que uacutenicamente se transfiere y que si en una superficie cerrada estaacute
disminuyendo la carga contenida en su interior debe haber un flujo de corriente neto
hacia el exterior del sistema Es decir la densidad de carga y la densidad de corriente
satisfacen una ecuacioacuten de continuidad
A partir de la forma diferencial de la ley de Ampere se tiene
Que al reemplazar la ley de Gauss y tomar en cuenta que
(para cualquier vector ) se obtiene
O bien en forma integral
Ecuaciones originales de Maxwell
En el capiacutetulo III de A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field titulado
Ecuaciones generales del campo electromagneacutetico Maxwell formuloacute ocho ecuaciones
que las nombroacute de la A a la H16
Estas ecuaciones llegaron a ser conocidas como las
ecuaciones de Maxwell pero ahora este epiacuteteto lo reciben las ecuaciones que agrupoacute
Heaviside La versioacuten de Heaviside de las ecuaciones de Maxwell realmente contiene
solo una ecuacioacuten de las ocho originales la ley de Gauss que en el conjunto de ocho
seriacutea la ecuacioacuten G Ademaacutes Heaviside fusionoacute la ecuacioacuten A de Maxwell de la
corriente total con la ley circuital de Ampegravere que en el trabajo de Maxwell era la
ecuacioacuten C Esta fusioacuten que Maxwell por si mismo publicoacute en su trabajo On Physical
Lines of Force de 1861 modifica la ley circuital de Ampegravere para incluir la corriente de
desplazamiento de Maxwell
Las ocho ecuaciones originales de Maxwell pueden ser escritas en forma
vectorial asiacute
Denominacioacuten Nombre Ecuacioacuten
A Ley de corrientes totales
B Definicioacuten de vector potencial
magneacutetico
C Ley circuital de Ampere
D Fuerza de Lorentz
E Ecuacioacuten de electricidad elaacutestica
F Ley de Ohm
G Ley de Gauss
H Ecuacioacuten de continuidad de carga
Donde es el vector intensidad de campo magneacutetico (llamado por Maxwell
como intensidad magneacutetica) es la densidad de corriente eleacutectrica y es la
corriente total incluida la corriente de desplazamiento es el campo desplazamiento
(desplazamiento eleacutectrico) es la densidad de carga libre (cantidad libre de
electricidad) es el vector potencial magneacutetico (impulso magneacutetico) es el campo
eleacutectrico (fuerza electromotriz (no confundir con la actual definicioacuten de fuerza
electromotriz)) es el potencial eleacutectrico y es la conductividad eleacutectrica (resistencia
especiacutefica ahora solo resistencia)
Maxwell no consideroacute a los medios materiales en general esta formulacioacuten
inicial usa la permitividad y la permeabilidad en medios lineales isoacutetropos y no
dispersos a pesar que tambieacuten se las puede usar en medios anisoacutetropos
Maxwell incluyoacute el teacutermino en la expresioacuten de la fuerza electromotriz
de la ecuacioacuten D que corresponde a la fuerza magneacutetica por unidad de carga en un
conductor que se mueve a una velocidad Esto significa que la ecuacioacuten D es otra
formulacioacuten de la fuerza de Lorentz Esta ecuacioacuten primero aparecioacute como la ecuacioacuten
77 de la publicacioacuten On Physical Lines of Force de Maxwell anterior a la publicacioacuten
de Lorentz En la actualidad esta fuerza de Lorentz no forma parte de las ecuaciones de
Maxwell pero se la considera una ecuacioacuten adicional fundamental en el
electromagnetismo
Expresioacuten de las ecuaciones en relatividad
En la relatividad especial las ecuaciones de Maxwell en el vaciacuteo se escriben
mediante unas relaciones geomeacutetricas las cuales toman la misma forma en cualquier
sistema de referencia inercial Eacutestas estaacuten escritas en teacuterminos de cuadrivectores y
tensores covariantes que son objetos geomeacutetricos definidos en M4 Estos objetos se
relacionan mediante formas diferenciales en relaciones geomeacutetricas que al expresarlas
en componentes de los sistemas coordenados Lorentz proporcionan las ecuaciones para
el campo electromagneacutetico
La cuadricorriente esta descrita por una 1-forma y lleva la informacioacuten sobre
la distribucioacuten de cargas y corrientes Sus componentes son
Que debe cumplir la siguiente relacioacuten geomeacutetrica para que se cumpla la
ecuacioacuten de continuidad
Escrito en componentes de los sistemas coordenados Lorentz queda
Para poner en correspondencia objetos del mismo rango se utiliza el operador de
Laplace-Beltrami o Laplaciana definida como
Podemos poner en correspondencia el cuadrivector densidad de corriente con
otro objeto del mismo rango como es el cuadripotencial que lleva la informacioacuten del
potencial eleacutectrico y el potencial vector magneacutetico
O escrito en coordenadas Lorentz obtenemos que
Expresioacuten que reproduce las ecuaciones de onda para los potenciales
electromagneacuteticos
La 1-forma A lleva la informacioacuten sobre los potenciales de los observadores
inerciales siendo sus componentes
Para obtener el objeto geomeacutetrico que contiene los campos tenemos que subir el
rango de A mediante el operador diferencial exterior obteniendo la 2-forma F campo
electromagneacutetico En forma geomeacutetrica podemos escribir
Que expresado para un sistema inercial Lorentz tenemos que
Con lo que obtenemos el tensor de campo electromagneacutetico
Primer par de ecuaciones de Maxwell
La siguientes expresiones ligan los campos con las fuentes relacionamos la
cuadricorriente con el tensor campo electromagneacutetico mediante la forma geomeacutetrica
O bien en coordenadas Lorentz
Obtencioacuten de las ecuaciones
Para un observable en S partiendo de expresioacuten en coordenadas Lorentz podemos
obtener
Para tenemos que entonces
Por tanto
Para podemos obtener de la misma forma que
Segundo par de ecuaciones de Maxwell
Corresponden a las ecuaciones homogeacuteneas Escritas en forma geomeacutetrica
tenemos que
Que corresponde con la expresioacuten en los sistemas coordenados Lorentz
Donde el tensor es el tensor dual de F Se obtiene mediante el operador de
Hodge
Obtencioacuten de las ecuaciones
Para
Por tanto
Para se obtiene la ecuacioacuten vectorial
La propiedad reproduce las ecuaciones de Maxwell internas
que se puede expresar como que se puede escribir en los sistemas
coordenados Lorentz como
Podemos resumir el conjunto de expresiones que relacionan los objetos que
describen el campo electromagneacutetico en la siguiente tabla La primera columna son las
relaciones geomeacutetricas independientes de cualquier observador la segunda columna
son las ecuaciones descritas mediante un sistema coordenado Lorentz y la tercera es la
descripcioacuten de la relacioacuten y la ley que cumple
Forma
Geomeacutetrica Covariante Lorentz Descripcioacuten
Condicioacutengauge de Lorentz ()
Definicioacuten de Campos
Electromagneacuteticos
Ecuaciones de Ondas
Ecuaciones de Maxwell
Ley de conservacioacuten de la Carga
() Existe una confusioacuten habitual en cuanto a la nomenclatura de este gauge Las
primeras ecuaciones en las que aparece tal condicioacuten (1867) se deben a Ludvig V
Lorentz no al mucho maacutes conocido Hendrik A Lorentz (Veacutease JD Jackson
Classical Electrodynamics 3rd edition p294)
Finalmente el cuadrigradiente se define asiacute
Los iacutendices repetidos se suman de acuerdo al convenio de sumacioacuten de Einstein
De acuerdo con el caacutelculo tensorial los iacutendices pueden subirse o bajarse por medio de la
matriz fundamental g
El primer tensor es una expresioacuten de dos ecuaciones de Maxwell la ley de Gauss
y la ley de Ampere generalizada la segunda ecuacioacuten es consecuentemente una
expresioacuten de las otras dos leyes
Se ha sugerido que el componente de la fuerza de Lorentz se puede
derivar de la ley de Coulomb y por eso la relatividad especial asume la invariancia de la
carga eleacutectrica17
18
Expresioacuten de las ecuaciones para una frecuencia
constante
En las ecuaciones de Maxwell los campos vectoriales no son solo funciones de
la posicioacuten en general son funciones de la posicioacuten y del tiempo como por ejemplo
Para la resolucioacuten de estas ecuaciones en derivadas parciales las
variables posicionales se encuentran con la variable temporal En la praacutectica la
resolucioacuten de dichas ecuaciones pueden contener una solucioacuten armoacutenica (sinusoidal)
Con ayuda de la notacioacuten compleja se puede evitar la dependencia temporal de
los resultados armoacutenicos eliminando asiacute el factor complejo de la expresioacuten Gran
parte de las resoluciones de las ecuaciones de Maxwell toman amplitudes complejas
ademaacutes de no ser solo funcioacuten de la posicioacuten En lugar de la derivacioacuten parcial en el
tiempo se tiene la multiplicacioacuten del factor imaginario donde es la frecuencia
angular
En la forma compleja las ecuaciones de Maxwell toman la siguiente forma11
Veacutease tambieacuten
Electromagnetismo
James Clerk Maxwell
Oliver Heaviside
Carga
Onda electromagneacutetica
Ecuacioacuten de onda electromagneacutetica
Ecuaciones de Jefimenko
Ley de Gauss
Ley de Faraday
Ley de Ampegravere
Referencias y Notas
1 uarr laquoEcuaciones de Maxwellraquo (en espantildeol) (1999 de agosto) Consultado el 15 de
enero 2008
2 uarr laquo[httpwwwzpenergycomdownloadsOrig_maxwell_equationspdf On the
Notation of MAXWELLrsquos Field Equations]raquo (en ingleacutes) Consultado el
08012008
3 uarr [Aacutengel Franco Garciacutea Universidad del Paiacutes Vasco] (octubre de 2006) laquoEl
espectro electromagneacuteticoraquo (en espantildeol) Consultado el 15012008
4 uarr laquoTeorema de Gauss y Flujo Eleacutectricoraquo Consultado el 19012008
5 uarr laquoLiacutenea de cargas Ley de Gaussraquo Consultado el 18012008
6 uarr a b c d e Richard Feynman (1974) Feynman lectures on Physics Volume 2 (en
ingleacutes) Addison Wesley Longman ISBN 0-201-02115-3
7 uarr laquoMagnetostaacuteticaraquo Consultado el 19012008
8 uarr laquoConcepto de Flujoraquo Consultado el 19012008
9 uarr laquoLey de Faraday-Henryraquo Consultado el 19012008
10 uarr a b laquoLey de Ampere-Maxwellraquo Consultado el 20012008
11 uarr a b c Aacutengel Cardama Aznar (2002) Antenas UPC ISBN 84-8301-625-7
12 uarr Liliana I Perez laquoAPUNTEEcuaciones de Maxwellraquo Consultado el
22012008
13 uarr a b c La web de Fiacutesica (2008) laquoEcuaciones de Maxwellraquo Consultado el
23012008
14 uarr laquoPotencial Vector Magneacuteticoraquo Consultado el 21012008
15 uarr laquoEcuaciones del Electromagnetismoraquo Consultado el 21012008
16 uarr laquoProfessor Clerk Maxwell on the electromagnetic fieldraquo (en ingleacutes)
Consultado el 21012008
17 uarr L D Landau E M Lifshitz (1980) The Classical Theory of Fields (en
ingleacutes) Butterworth-Heinemann ISBN 0-7506-2768-9
18 uarr Richard E Haskell (2006) laquoSpecial relativity and Maxwell equationsraquo (en
ingleacutes) Consultado el 23012008
Enlaces externos
Fundamentos de las Ecuaciones de Maxwell
On Physical Lines of Force
A dinamical theory of the electromagnetic field Trabajo original de Maxwell
Monografiacuteascom archivo sobre ecuaciones de Maxwell
Modelo de Maxwell
Fundamentos de la radiacioacuten
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiEcuaciones_de_Maxwell
Categoriacuteas WikipediaArtiacuteculos buenos | Ecuaciones | Leyes electromagneacuteticas
Hallamos que con la introduccioacuten de estas cantidades las ecuaciones de Maxwell
quedan reducidas solo a dos puesto que la ley de Gauss para el campo magneacutetico y la
ley de Faraday quedan satisfechas por definicioacuten Asiacute la ley de Gauss para el campo
eleacutectrico escrita en teacuterminos de los potenciales
y la ley de Ampeacutere generalizada
Noacutetese que se ha pasado de un conjunto de cuatro ecuaciones diferenciales
parciales de primer orden a solo dos ecuaciones diferenciales parciales pero de segundo
orden Sin embargo estas ecuaciones se pueden simplificar con ayuda de una adecuada
eleccioacuten del gauge
Consecuencias fiacutesicas de las ecuaciones
Principio de conservacioacuten de la carga
Las ecuaciones de Maxwell llevan impliacutecitas el principio de conservacioacuten de la
carga El principio afirma que la carga eleacutectrica no se crea ni se destruye ni global ni
localmente sino que uacutenicamente se transfiere y que si en una superficie cerrada estaacute
disminuyendo la carga contenida en su interior debe haber un flujo de corriente neto
hacia el exterior del sistema Es decir la densidad de carga y la densidad de corriente
satisfacen una ecuacioacuten de continuidad
A partir de la forma diferencial de la ley de Ampere se tiene
Que al reemplazar la ley de Gauss y tomar en cuenta que
(para cualquier vector ) se obtiene
O bien en forma integral
Ecuaciones originales de Maxwell
En el capiacutetulo III de A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field titulado
Ecuaciones generales del campo electromagneacutetico Maxwell formuloacute ocho ecuaciones
que las nombroacute de la A a la H16
Estas ecuaciones llegaron a ser conocidas como las
ecuaciones de Maxwell pero ahora este epiacuteteto lo reciben las ecuaciones que agrupoacute
Heaviside La versioacuten de Heaviside de las ecuaciones de Maxwell realmente contiene
solo una ecuacioacuten de las ocho originales la ley de Gauss que en el conjunto de ocho
seriacutea la ecuacioacuten G Ademaacutes Heaviside fusionoacute la ecuacioacuten A de Maxwell de la
corriente total con la ley circuital de Ampegravere que en el trabajo de Maxwell era la
ecuacioacuten C Esta fusioacuten que Maxwell por si mismo publicoacute en su trabajo On Physical
Lines of Force de 1861 modifica la ley circuital de Ampegravere para incluir la corriente de
desplazamiento de Maxwell
Las ocho ecuaciones originales de Maxwell pueden ser escritas en forma
vectorial asiacute
Denominacioacuten Nombre Ecuacioacuten
A Ley de corrientes totales
B Definicioacuten de vector potencial
magneacutetico
C Ley circuital de Ampere
D Fuerza de Lorentz
E Ecuacioacuten de electricidad elaacutestica
F Ley de Ohm
G Ley de Gauss
H Ecuacioacuten de continuidad de carga
Donde es el vector intensidad de campo magneacutetico (llamado por Maxwell
como intensidad magneacutetica) es la densidad de corriente eleacutectrica y es la
corriente total incluida la corriente de desplazamiento es el campo desplazamiento
(desplazamiento eleacutectrico) es la densidad de carga libre (cantidad libre de
electricidad) es el vector potencial magneacutetico (impulso magneacutetico) es el campo
eleacutectrico (fuerza electromotriz (no confundir con la actual definicioacuten de fuerza
electromotriz)) es el potencial eleacutectrico y es la conductividad eleacutectrica (resistencia
especiacutefica ahora solo resistencia)
Maxwell no consideroacute a los medios materiales en general esta formulacioacuten
inicial usa la permitividad y la permeabilidad en medios lineales isoacutetropos y no
dispersos a pesar que tambieacuten se las puede usar en medios anisoacutetropos
Maxwell incluyoacute el teacutermino en la expresioacuten de la fuerza electromotriz
de la ecuacioacuten D que corresponde a la fuerza magneacutetica por unidad de carga en un
conductor que se mueve a una velocidad Esto significa que la ecuacioacuten D es otra
formulacioacuten de la fuerza de Lorentz Esta ecuacioacuten primero aparecioacute como la ecuacioacuten
77 de la publicacioacuten On Physical Lines of Force de Maxwell anterior a la publicacioacuten
de Lorentz En la actualidad esta fuerza de Lorentz no forma parte de las ecuaciones de
Maxwell pero se la considera una ecuacioacuten adicional fundamental en el
electromagnetismo
Expresioacuten de las ecuaciones en relatividad
En la relatividad especial las ecuaciones de Maxwell en el vaciacuteo se escriben
mediante unas relaciones geomeacutetricas las cuales toman la misma forma en cualquier
sistema de referencia inercial Eacutestas estaacuten escritas en teacuterminos de cuadrivectores y
tensores covariantes que son objetos geomeacutetricos definidos en M4 Estos objetos se
relacionan mediante formas diferenciales en relaciones geomeacutetricas que al expresarlas
en componentes de los sistemas coordenados Lorentz proporcionan las ecuaciones para
el campo electromagneacutetico
La cuadricorriente esta descrita por una 1-forma y lleva la informacioacuten sobre
la distribucioacuten de cargas y corrientes Sus componentes son
Que debe cumplir la siguiente relacioacuten geomeacutetrica para que se cumpla la
ecuacioacuten de continuidad
Escrito en componentes de los sistemas coordenados Lorentz queda
Para poner en correspondencia objetos del mismo rango se utiliza el operador de
Laplace-Beltrami o Laplaciana definida como
Podemos poner en correspondencia el cuadrivector densidad de corriente con
otro objeto del mismo rango como es el cuadripotencial que lleva la informacioacuten del
potencial eleacutectrico y el potencial vector magneacutetico
O escrito en coordenadas Lorentz obtenemos que
Expresioacuten que reproduce las ecuaciones de onda para los potenciales
electromagneacuteticos
La 1-forma A lleva la informacioacuten sobre los potenciales de los observadores
inerciales siendo sus componentes
Para obtener el objeto geomeacutetrico que contiene los campos tenemos que subir el
rango de A mediante el operador diferencial exterior obteniendo la 2-forma F campo
electromagneacutetico En forma geomeacutetrica podemos escribir
Que expresado para un sistema inercial Lorentz tenemos que
Con lo que obtenemos el tensor de campo electromagneacutetico
Primer par de ecuaciones de Maxwell
La siguientes expresiones ligan los campos con las fuentes relacionamos la
cuadricorriente con el tensor campo electromagneacutetico mediante la forma geomeacutetrica
O bien en coordenadas Lorentz
Obtencioacuten de las ecuaciones
Para un observable en S partiendo de expresioacuten en coordenadas Lorentz podemos
obtener
Para tenemos que entonces
Por tanto
Para podemos obtener de la misma forma que
Segundo par de ecuaciones de Maxwell
Corresponden a las ecuaciones homogeacuteneas Escritas en forma geomeacutetrica
tenemos que
Que corresponde con la expresioacuten en los sistemas coordenados Lorentz
Donde el tensor es el tensor dual de F Se obtiene mediante el operador de
Hodge
Obtencioacuten de las ecuaciones
Para
Por tanto
Para se obtiene la ecuacioacuten vectorial
La propiedad reproduce las ecuaciones de Maxwell internas
que se puede expresar como que se puede escribir en los sistemas
coordenados Lorentz como
Podemos resumir el conjunto de expresiones que relacionan los objetos que
describen el campo electromagneacutetico en la siguiente tabla La primera columna son las
relaciones geomeacutetricas independientes de cualquier observador la segunda columna
son las ecuaciones descritas mediante un sistema coordenado Lorentz y la tercera es la
descripcioacuten de la relacioacuten y la ley que cumple
Forma
Geomeacutetrica Covariante Lorentz Descripcioacuten
Condicioacutengauge de Lorentz ()
Definicioacuten de Campos
Electromagneacuteticos
Ecuaciones de Ondas
Ecuaciones de Maxwell
Ley de conservacioacuten de la Carga
() Existe una confusioacuten habitual en cuanto a la nomenclatura de este gauge Las
primeras ecuaciones en las que aparece tal condicioacuten (1867) se deben a Ludvig V
Lorentz no al mucho maacutes conocido Hendrik A Lorentz (Veacutease JD Jackson
Classical Electrodynamics 3rd edition p294)
Finalmente el cuadrigradiente se define asiacute
Los iacutendices repetidos se suman de acuerdo al convenio de sumacioacuten de Einstein
De acuerdo con el caacutelculo tensorial los iacutendices pueden subirse o bajarse por medio de la
matriz fundamental g
El primer tensor es una expresioacuten de dos ecuaciones de Maxwell la ley de Gauss
y la ley de Ampere generalizada la segunda ecuacioacuten es consecuentemente una
expresioacuten de las otras dos leyes
Se ha sugerido que el componente de la fuerza de Lorentz se puede
derivar de la ley de Coulomb y por eso la relatividad especial asume la invariancia de la
carga eleacutectrica17
18
Expresioacuten de las ecuaciones para una frecuencia
constante
En las ecuaciones de Maxwell los campos vectoriales no son solo funciones de
la posicioacuten en general son funciones de la posicioacuten y del tiempo como por ejemplo
Para la resolucioacuten de estas ecuaciones en derivadas parciales las
variables posicionales se encuentran con la variable temporal En la praacutectica la
resolucioacuten de dichas ecuaciones pueden contener una solucioacuten armoacutenica (sinusoidal)
Con ayuda de la notacioacuten compleja se puede evitar la dependencia temporal de
los resultados armoacutenicos eliminando asiacute el factor complejo de la expresioacuten Gran
parte de las resoluciones de las ecuaciones de Maxwell toman amplitudes complejas
ademaacutes de no ser solo funcioacuten de la posicioacuten En lugar de la derivacioacuten parcial en el
tiempo se tiene la multiplicacioacuten del factor imaginario donde es la frecuencia
angular
En la forma compleja las ecuaciones de Maxwell toman la siguiente forma11
Veacutease tambieacuten
Electromagnetismo
James Clerk Maxwell
Oliver Heaviside
Carga
Onda electromagneacutetica
Ecuacioacuten de onda electromagneacutetica
Ecuaciones de Jefimenko
Ley de Gauss
Ley de Faraday
Ley de Ampegravere
Referencias y Notas
1 uarr laquoEcuaciones de Maxwellraquo (en espantildeol) (1999 de agosto) Consultado el 15 de
enero 2008
2 uarr laquo[httpwwwzpenergycomdownloadsOrig_maxwell_equationspdf On the
Notation of MAXWELLrsquos Field Equations]raquo (en ingleacutes) Consultado el
08012008
3 uarr [Aacutengel Franco Garciacutea Universidad del Paiacutes Vasco] (octubre de 2006) laquoEl
espectro electromagneacuteticoraquo (en espantildeol) Consultado el 15012008
4 uarr laquoTeorema de Gauss y Flujo Eleacutectricoraquo Consultado el 19012008
5 uarr laquoLiacutenea de cargas Ley de Gaussraquo Consultado el 18012008
6 uarr a b c d e Richard Feynman (1974) Feynman lectures on Physics Volume 2 (en
ingleacutes) Addison Wesley Longman ISBN 0-201-02115-3
7 uarr laquoMagnetostaacuteticaraquo Consultado el 19012008
8 uarr laquoConcepto de Flujoraquo Consultado el 19012008
9 uarr laquoLey de Faraday-Henryraquo Consultado el 19012008
10 uarr a b laquoLey de Ampere-Maxwellraquo Consultado el 20012008
11 uarr a b c Aacutengel Cardama Aznar (2002) Antenas UPC ISBN 84-8301-625-7
12 uarr Liliana I Perez laquoAPUNTEEcuaciones de Maxwellraquo Consultado el
22012008
13 uarr a b c La web de Fiacutesica (2008) laquoEcuaciones de Maxwellraquo Consultado el
23012008
14 uarr laquoPotencial Vector Magneacuteticoraquo Consultado el 21012008
15 uarr laquoEcuaciones del Electromagnetismoraquo Consultado el 21012008
16 uarr laquoProfessor Clerk Maxwell on the electromagnetic fieldraquo (en ingleacutes)
Consultado el 21012008
17 uarr L D Landau E M Lifshitz (1980) The Classical Theory of Fields (en
ingleacutes) Butterworth-Heinemann ISBN 0-7506-2768-9
18 uarr Richard E Haskell (2006) laquoSpecial relativity and Maxwell equationsraquo (en
ingleacutes) Consultado el 23012008
Enlaces externos
Fundamentos de las Ecuaciones de Maxwell
On Physical Lines of Force
A dinamical theory of the electromagnetic field Trabajo original de Maxwell
Monografiacuteascom archivo sobre ecuaciones de Maxwell
Modelo de Maxwell
Fundamentos de la radiacioacuten
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiEcuaciones_de_Maxwell
Categoriacuteas WikipediaArtiacuteculos buenos | Ecuaciones | Leyes electromagneacuteticas
Ecuaciones originales de Maxwell
En el capiacutetulo III de A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field titulado
Ecuaciones generales del campo electromagneacutetico Maxwell formuloacute ocho ecuaciones
que las nombroacute de la A a la H16
Estas ecuaciones llegaron a ser conocidas como las
ecuaciones de Maxwell pero ahora este epiacuteteto lo reciben las ecuaciones que agrupoacute
Heaviside La versioacuten de Heaviside de las ecuaciones de Maxwell realmente contiene
solo una ecuacioacuten de las ocho originales la ley de Gauss que en el conjunto de ocho
seriacutea la ecuacioacuten G Ademaacutes Heaviside fusionoacute la ecuacioacuten A de Maxwell de la
corriente total con la ley circuital de Ampegravere que en el trabajo de Maxwell era la
ecuacioacuten C Esta fusioacuten que Maxwell por si mismo publicoacute en su trabajo On Physical
Lines of Force de 1861 modifica la ley circuital de Ampegravere para incluir la corriente de
desplazamiento de Maxwell
Las ocho ecuaciones originales de Maxwell pueden ser escritas en forma
vectorial asiacute
Denominacioacuten Nombre Ecuacioacuten
A Ley de corrientes totales
B Definicioacuten de vector potencial
magneacutetico
C Ley circuital de Ampere
D Fuerza de Lorentz
E Ecuacioacuten de electricidad elaacutestica
F Ley de Ohm
G Ley de Gauss
H Ecuacioacuten de continuidad de carga
Donde es el vector intensidad de campo magneacutetico (llamado por Maxwell
como intensidad magneacutetica) es la densidad de corriente eleacutectrica y es la
corriente total incluida la corriente de desplazamiento es el campo desplazamiento
(desplazamiento eleacutectrico) es la densidad de carga libre (cantidad libre de
electricidad) es el vector potencial magneacutetico (impulso magneacutetico) es el campo
eleacutectrico (fuerza electromotriz (no confundir con la actual definicioacuten de fuerza
electromotriz)) es el potencial eleacutectrico y es la conductividad eleacutectrica (resistencia
especiacutefica ahora solo resistencia)
Maxwell no consideroacute a los medios materiales en general esta formulacioacuten
inicial usa la permitividad y la permeabilidad en medios lineales isoacutetropos y no
dispersos a pesar que tambieacuten se las puede usar en medios anisoacutetropos
Maxwell incluyoacute el teacutermino en la expresioacuten de la fuerza electromotriz
de la ecuacioacuten D que corresponde a la fuerza magneacutetica por unidad de carga en un
conductor que se mueve a una velocidad Esto significa que la ecuacioacuten D es otra
formulacioacuten de la fuerza de Lorentz Esta ecuacioacuten primero aparecioacute como la ecuacioacuten
77 de la publicacioacuten On Physical Lines of Force de Maxwell anterior a la publicacioacuten
de Lorentz En la actualidad esta fuerza de Lorentz no forma parte de las ecuaciones de
Maxwell pero se la considera una ecuacioacuten adicional fundamental en el
electromagnetismo
Expresioacuten de las ecuaciones en relatividad
En la relatividad especial las ecuaciones de Maxwell en el vaciacuteo se escriben
mediante unas relaciones geomeacutetricas las cuales toman la misma forma en cualquier
sistema de referencia inercial Eacutestas estaacuten escritas en teacuterminos de cuadrivectores y
tensores covariantes que son objetos geomeacutetricos definidos en M4 Estos objetos se
relacionan mediante formas diferenciales en relaciones geomeacutetricas que al expresarlas
en componentes de los sistemas coordenados Lorentz proporcionan las ecuaciones para
el campo electromagneacutetico
La cuadricorriente esta descrita por una 1-forma y lleva la informacioacuten sobre
la distribucioacuten de cargas y corrientes Sus componentes son
Que debe cumplir la siguiente relacioacuten geomeacutetrica para que se cumpla la
ecuacioacuten de continuidad
Escrito en componentes de los sistemas coordenados Lorentz queda
Para poner en correspondencia objetos del mismo rango se utiliza el operador de
Laplace-Beltrami o Laplaciana definida como
Podemos poner en correspondencia el cuadrivector densidad de corriente con
otro objeto del mismo rango como es el cuadripotencial que lleva la informacioacuten del
potencial eleacutectrico y el potencial vector magneacutetico
O escrito en coordenadas Lorentz obtenemos que
Expresioacuten que reproduce las ecuaciones de onda para los potenciales
electromagneacuteticos
La 1-forma A lleva la informacioacuten sobre los potenciales de los observadores
inerciales siendo sus componentes
Para obtener el objeto geomeacutetrico que contiene los campos tenemos que subir el
rango de A mediante el operador diferencial exterior obteniendo la 2-forma F campo
electromagneacutetico En forma geomeacutetrica podemos escribir
Que expresado para un sistema inercial Lorentz tenemos que
Con lo que obtenemos el tensor de campo electromagneacutetico
Primer par de ecuaciones de Maxwell
La siguientes expresiones ligan los campos con las fuentes relacionamos la
cuadricorriente con el tensor campo electromagneacutetico mediante la forma geomeacutetrica
O bien en coordenadas Lorentz
Obtencioacuten de las ecuaciones
Para un observable en S partiendo de expresioacuten en coordenadas Lorentz podemos
obtener
Para tenemos que entonces
Por tanto
Para podemos obtener de la misma forma que
Segundo par de ecuaciones de Maxwell
Corresponden a las ecuaciones homogeacuteneas Escritas en forma geomeacutetrica
tenemos que
Que corresponde con la expresioacuten en los sistemas coordenados Lorentz
Donde el tensor es el tensor dual de F Se obtiene mediante el operador de
Hodge
Obtencioacuten de las ecuaciones
Para
Por tanto
Para se obtiene la ecuacioacuten vectorial
La propiedad reproduce las ecuaciones de Maxwell internas
que se puede expresar como que se puede escribir en los sistemas
coordenados Lorentz como
Podemos resumir el conjunto de expresiones que relacionan los objetos que
describen el campo electromagneacutetico en la siguiente tabla La primera columna son las
relaciones geomeacutetricas independientes de cualquier observador la segunda columna
son las ecuaciones descritas mediante un sistema coordenado Lorentz y la tercera es la
descripcioacuten de la relacioacuten y la ley que cumple
Forma
Geomeacutetrica Covariante Lorentz Descripcioacuten
Condicioacutengauge de Lorentz ()
Definicioacuten de Campos
Electromagneacuteticos
Ecuaciones de Ondas
Ecuaciones de Maxwell
Ley de conservacioacuten de la Carga
() Existe una confusioacuten habitual en cuanto a la nomenclatura de este gauge Las
primeras ecuaciones en las que aparece tal condicioacuten (1867) se deben a Ludvig V
Lorentz no al mucho maacutes conocido Hendrik A Lorentz (Veacutease JD Jackson
Classical Electrodynamics 3rd edition p294)
Finalmente el cuadrigradiente se define asiacute
Los iacutendices repetidos se suman de acuerdo al convenio de sumacioacuten de Einstein
De acuerdo con el caacutelculo tensorial los iacutendices pueden subirse o bajarse por medio de la
matriz fundamental g
El primer tensor es una expresioacuten de dos ecuaciones de Maxwell la ley de Gauss
y la ley de Ampere generalizada la segunda ecuacioacuten es consecuentemente una
expresioacuten de las otras dos leyes
Se ha sugerido que el componente de la fuerza de Lorentz se puede
derivar de la ley de Coulomb y por eso la relatividad especial asume la invariancia de la
carga eleacutectrica17
18
Expresioacuten de las ecuaciones para una frecuencia
constante
En las ecuaciones de Maxwell los campos vectoriales no son solo funciones de
la posicioacuten en general son funciones de la posicioacuten y del tiempo como por ejemplo
Para la resolucioacuten de estas ecuaciones en derivadas parciales las
variables posicionales se encuentran con la variable temporal En la praacutectica la
resolucioacuten de dichas ecuaciones pueden contener una solucioacuten armoacutenica (sinusoidal)
Con ayuda de la notacioacuten compleja se puede evitar la dependencia temporal de
los resultados armoacutenicos eliminando asiacute el factor complejo de la expresioacuten Gran
parte de las resoluciones de las ecuaciones de Maxwell toman amplitudes complejas
ademaacutes de no ser solo funcioacuten de la posicioacuten En lugar de la derivacioacuten parcial en el
tiempo se tiene la multiplicacioacuten del factor imaginario donde es la frecuencia
angular
En la forma compleja las ecuaciones de Maxwell toman la siguiente forma11
Veacutease tambieacuten
Electromagnetismo
James Clerk Maxwell
Oliver Heaviside
Carga
Onda electromagneacutetica
Ecuacioacuten de onda electromagneacutetica
Ecuaciones de Jefimenko
Ley de Gauss
Ley de Faraday
Ley de Ampegravere
Referencias y Notas
1 uarr laquoEcuaciones de Maxwellraquo (en espantildeol) (1999 de agosto) Consultado el 15 de
enero 2008
2 uarr laquo[httpwwwzpenergycomdownloadsOrig_maxwell_equationspdf On the
Notation of MAXWELLrsquos Field Equations]raquo (en ingleacutes) Consultado el
08012008
3 uarr [Aacutengel Franco Garciacutea Universidad del Paiacutes Vasco] (octubre de 2006) laquoEl
espectro electromagneacuteticoraquo (en espantildeol) Consultado el 15012008
4 uarr laquoTeorema de Gauss y Flujo Eleacutectricoraquo Consultado el 19012008
5 uarr laquoLiacutenea de cargas Ley de Gaussraquo Consultado el 18012008
6 uarr a b c d e Richard Feynman (1974) Feynman lectures on Physics Volume 2 (en
ingleacutes) Addison Wesley Longman ISBN 0-201-02115-3
7 uarr laquoMagnetostaacuteticaraquo Consultado el 19012008
8 uarr laquoConcepto de Flujoraquo Consultado el 19012008
9 uarr laquoLey de Faraday-Henryraquo Consultado el 19012008
10 uarr a b laquoLey de Ampere-Maxwellraquo Consultado el 20012008
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12 uarr Liliana I Perez laquoAPUNTEEcuaciones de Maxwellraquo Consultado el
22012008
13 uarr a b c La web de Fiacutesica (2008) laquoEcuaciones de Maxwellraquo Consultado el
23012008
14 uarr laquoPotencial Vector Magneacuteticoraquo Consultado el 21012008
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Consultado el 21012008
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ingleacutes) Butterworth-Heinemann ISBN 0-7506-2768-9
18 uarr Richard E Haskell (2006) laquoSpecial relativity and Maxwell equationsraquo (en
ingleacutes) Consultado el 23012008
Enlaces externos
Fundamentos de las Ecuaciones de Maxwell
On Physical Lines of Force
A dinamical theory of the electromagnetic field Trabajo original de Maxwell
Monografiacuteascom archivo sobre ecuaciones de Maxwell
Modelo de Maxwell
Fundamentos de la radiacioacuten
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiEcuaciones_de_Maxwell
Categoriacuteas WikipediaArtiacuteculos buenos | Ecuaciones | Leyes electromagneacuteticas
H Ecuacioacuten de continuidad de carga
Donde es el vector intensidad de campo magneacutetico (llamado por Maxwell
como intensidad magneacutetica) es la densidad de corriente eleacutectrica y es la
corriente total incluida la corriente de desplazamiento es el campo desplazamiento
(desplazamiento eleacutectrico) es la densidad de carga libre (cantidad libre de
electricidad) es el vector potencial magneacutetico (impulso magneacutetico) es el campo
eleacutectrico (fuerza electromotriz (no confundir con la actual definicioacuten de fuerza
electromotriz)) es el potencial eleacutectrico y es la conductividad eleacutectrica (resistencia
especiacutefica ahora solo resistencia)
Maxwell no consideroacute a los medios materiales en general esta formulacioacuten
inicial usa la permitividad y la permeabilidad en medios lineales isoacutetropos y no
dispersos a pesar que tambieacuten se las puede usar en medios anisoacutetropos
Maxwell incluyoacute el teacutermino en la expresioacuten de la fuerza electromotriz
de la ecuacioacuten D que corresponde a la fuerza magneacutetica por unidad de carga en un
conductor que se mueve a una velocidad Esto significa que la ecuacioacuten D es otra
formulacioacuten de la fuerza de Lorentz Esta ecuacioacuten primero aparecioacute como la ecuacioacuten
77 de la publicacioacuten On Physical Lines of Force de Maxwell anterior a la publicacioacuten
de Lorentz En la actualidad esta fuerza de Lorentz no forma parte de las ecuaciones de
Maxwell pero se la considera una ecuacioacuten adicional fundamental en el
electromagnetismo
Expresioacuten de las ecuaciones en relatividad
En la relatividad especial las ecuaciones de Maxwell en el vaciacuteo se escriben
mediante unas relaciones geomeacutetricas las cuales toman la misma forma en cualquier
sistema de referencia inercial Eacutestas estaacuten escritas en teacuterminos de cuadrivectores y
tensores covariantes que son objetos geomeacutetricos definidos en M4 Estos objetos se
relacionan mediante formas diferenciales en relaciones geomeacutetricas que al expresarlas
en componentes de los sistemas coordenados Lorentz proporcionan las ecuaciones para
el campo electromagneacutetico
La cuadricorriente esta descrita por una 1-forma y lleva la informacioacuten sobre
la distribucioacuten de cargas y corrientes Sus componentes son
Que debe cumplir la siguiente relacioacuten geomeacutetrica para que se cumpla la
ecuacioacuten de continuidad
Escrito en componentes de los sistemas coordenados Lorentz queda
Para poner en correspondencia objetos del mismo rango se utiliza el operador de
Laplace-Beltrami o Laplaciana definida como
Podemos poner en correspondencia el cuadrivector densidad de corriente con
otro objeto del mismo rango como es el cuadripotencial que lleva la informacioacuten del
potencial eleacutectrico y el potencial vector magneacutetico
O escrito en coordenadas Lorentz obtenemos que
Expresioacuten que reproduce las ecuaciones de onda para los potenciales
electromagneacuteticos
La 1-forma A lleva la informacioacuten sobre los potenciales de los observadores
inerciales siendo sus componentes
Para obtener el objeto geomeacutetrico que contiene los campos tenemos que subir el
rango de A mediante el operador diferencial exterior obteniendo la 2-forma F campo
electromagneacutetico En forma geomeacutetrica podemos escribir
Que expresado para un sistema inercial Lorentz tenemos que
Con lo que obtenemos el tensor de campo electromagneacutetico
Primer par de ecuaciones de Maxwell
La siguientes expresiones ligan los campos con las fuentes relacionamos la
cuadricorriente con el tensor campo electromagneacutetico mediante la forma geomeacutetrica
O bien en coordenadas Lorentz
Obtencioacuten de las ecuaciones
Para un observable en S partiendo de expresioacuten en coordenadas Lorentz podemos
obtener
Para tenemos que entonces
Por tanto
Para podemos obtener de la misma forma que
Segundo par de ecuaciones de Maxwell
Corresponden a las ecuaciones homogeacuteneas Escritas en forma geomeacutetrica
tenemos que
Que corresponde con la expresioacuten en los sistemas coordenados Lorentz
Donde el tensor es el tensor dual de F Se obtiene mediante el operador de
Hodge
Obtencioacuten de las ecuaciones
Para
Por tanto
Para se obtiene la ecuacioacuten vectorial
La propiedad reproduce las ecuaciones de Maxwell internas
que se puede expresar como que se puede escribir en los sistemas
coordenados Lorentz como
Podemos resumir el conjunto de expresiones que relacionan los objetos que
describen el campo electromagneacutetico en la siguiente tabla La primera columna son las
relaciones geomeacutetricas independientes de cualquier observador la segunda columna
son las ecuaciones descritas mediante un sistema coordenado Lorentz y la tercera es la
descripcioacuten de la relacioacuten y la ley que cumple
Forma
Geomeacutetrica Covariante Lorentz Descripcioacuten
Condicioacutengauge de Lorentz ()
Definicioacuten de Campos
Electromagneacuteticos
Ecuaciones de Ondas
Ecuaciones de Maxwell
Ley de conservacioacuten de la Carga
() Existe una confusioacuten habitual en cuanto a la nomenclatura de este gauge Las
primeras ecuaciones en las que aparece tal condicioacuten (1867) se deben a Ludvig V
Lorentz no al mucho maacutes conocido Hendrik A Lorentz (Veacutease JD Jackson
Classical Electrodynamics 3rd edition p294)
Finalmente el cuadrigradiente se define asiacute
Los iacutendices repetidos se suman de acuerdo al convenio de sumacioacuten de Einstein
De acuerdo con el caacutelculo tensorial los iacutendices pueden subirse o bajarse por medio de la
matriz fundamental g
El primer tensor es una expresioacuten de dos ecuaciones de Maxwell la ley de Gauss
y la ley de Ampere generalizada la segunda ecuacioacuten es consecuentemente una
expresioacuten de las otras dos leyes
Se ha sugerido que el componente de la fuerza de Lorentz se puede
derivar de la ley de Coulomb y por eso la relatividad especial asume la invariancia de la
carga eleacutectrica17
18
Expresioacuten de las ecuaciones para una frecuencia
constante
En las ecuaciones de Maxwell los campos vectoriales no son solo funciones de
la posicioacuten en general son funciones de la posicioacuten y del tiempo como por ejemplo
Para la resolucioacuten de estas ecuaciones en derivadas parciales las
variables posicionales se encuentran con la variable temporal En la praacutectica la
resolucioacuten de dichas ecuaciones pueden contener una solucioacuten armoacutenica (sinusoidal)
Con ayuda de la notacioacuten compleja se puede evitar la dependencia temporal de
los resultados armoacutenicos eliminando asiacute el factor complejo de la expresioacuten Gran
parte de las resoluciones de las ecuaciones de Maxwell toman amplitudes complejas
ademaacutes de no ser solo funcioacuten de la posicioacuten En lugar de la derivacioacuten parcial en el
tiempo se tiene la multiplicacioacuten del factor imaginario donde es la frecuencia
angular
En la forma compleja las ecuaciones de Maxwell toman la siguiente forma11
Veacutease tambieacuten
Electromagnetismo
James Clerk Maxwell
Oliver Heaviside
Carga
Onda electromagneacutetica
Ecuacioacuten de onda electromagneacutetica
Ecuaciones de Jefimenko
Ley de Gauss
Ley de Faraday
Ley de Ampegravere
Referencias y Notas
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Notation of MAXWELLrsquos Field Equations]raquo (en ingleacutes) Consultado el
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8 uarr laquoConcepto de Flujoraquo Consultado el 19012008
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ingleacutes) Butterworth-Heinemann ISBN 0-7506-2768-9
18 uarr Richard E Haskell (2006) laquoSpecial relativity and Maxwell equationsraquo (en
ingleacutes) Consultado el 23012008
Enlaces externos
Fundamentos de las Ecuaciones de Maxwell
On Physical Lines of Force
A dinamical theory of the electromagnetic field Trabajo original de Maxwell
Monografiacuteascom archivo sobre ecuaciones de Maxwell
Modelo de Maxwell
Fundamentos de la radiacioacuten
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiEcuaciones_de_Maxwell
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Escrito en componentes de los sistemas coordenados Lorentz queda
Para poner en correspondencia objetos del mismo rango se utiliza el operador de
Laplace-Beltrami o Laplaciana definida como
Podemos poner en correspondencia el cuadrivector densidad de corriente con
otro objeto del mismo rango como es el cuadripotencial que lleva la informacioacuten del
potencial eleacutectrico y el potencial vector magneacutetico
O escrito en coordenadas Lorentz obtenemos que
Expresioacuten que reproduce las ecuaciones de onda para los potenciales
electromagneacuteticos
La 1-forma A lleva la informacioacuten sobre los potenciales de los observadores
inerciales siendo sus componentes
Para obtener el objeto geomeacutetrico que contiene los campos tenemos que subir el
rango de A mediante el operador diferencial exterior obteniendo la 2-forma F campo
electromagneacutetico En forma geomeacutetrica podemos escribir
Que expresado para un sistema inercial Lorentz tenemos que
Con lo que obtenemos el tensor de campo electromagneacutetico
Primer par de ecuaciones de Maxwell
La siguientes expresiones ligan los campos con las fuentes relacionamos la
cuadricorriente con el tensor campo electromagneacutetico mediante la forma geomeacutetrica
O bien en coordenadas Lorentz
Obtencioacuten de las ecuaciones
Para un observable en S partiendo de expresioacuten en coordenadas Lorentz podemos
obtener
Para tenemos que entonces
Por tanto
Para podemos obtener de la misma forma que
Segundo par de ecuaciones de Maxwell
Corresponden a las ecuaciones homogeacuteneas Escritas en forma geomeacutetrica
tenemos que
Que corresponde con la expresioacuten en los sistemas coordenados Lorentz
Donde el tensor es el tensor dual de F Se obtiene mediante el operador de
Hodge
Obtencioacuten de las ecuaciones
Para
Por tanto
Para se obtiene la ecuacioacuten vectorial
La propiedad reproduce las ecuaciones de Maxwell internas
que se puede expresar como que se puede escribir en los sistemas
coordenados Lorentz como
Podemos resumir el conjunto de expresiones que relacionan los objetos que
describen el campo electromagneacutetico en la siguiente tabla La primera columna son las
relaciones geomeacutetricas independientes de cualquier observador la segunda columna
son las ecuaciones descritas mediante un sistema coordenado Lorentz y la tercera es la
descripcioacuten de la relacioacuten y la ley que cumple
Forma
Geomeacutetrica Covariante Lorentz Descripcioacuten
Condicioacutengauge de Lorentz ()
Definicioacuten de Campos
Electromagneacuteticos
Ecuaciones de Ondas
Ecuaciones de Maxwell
Ley de conservacioacuten de la Carga
() Existe una confusioacuten habitual en cuanto a la nomenclatura de este gauge Las
primeras ecuaciones en las que aparece tal condicioacuten (1867) se deben a Ludvig V
Lorentz no al mucho maacutes conocido Hendrik A Lorentz (Veacutease JD Jackson
Classical Electrodynamics 3rd edition p294)
Finalmente el cuadrigradiente se define asiacute
Los iacutendices repetidos se suman de acuerdo al convenio de sumacioacuten de Einstein
De acuerdo con el caacutelculo tensorial los iacutendices pueden subirse o bajarse por medio de la
matriz fundamental g
El primer tensor es una expresioacuten de dos ecuaciones de Maxwell la ley de Gauss
y la ley de Ampere generalizada la segunda ecuacioacuten es consecuentemente una
expresioacuten de las otras dos leyes
Se ha sugerido que el componente de la fuerza de Lorentz se puede
derivar de la ley de Coulomb y por eso la relatividad especial asume la invariancia de la
carga eleacutectrica17
18
Expresioacuten de las ecuaciones para una frecuencia
constante
En las ecuaciones de Maxwell los campos vectoriales no son solo funciones de
la posicioacuten en general son funciones de la posicioacuten y del tiempo como por ejemplo
Para la resolucioacuten de estas ecuaciones en derivadas parciales las
variables posicionales se encuentran con la variable temporal En la praacutectica la
resolucioacuten de dichas ecuaciones pueden contener una solucioacuten armoacutenica (sinusoidal)
Con ayuda de la notacioacuten compleja se puede evitar la dependencia temporal de
los resultados armoacutenicos eliminando asiacute el factor complejo de la expresioacuten Gran
parte de las resoluciones de las ecuaciones de Maxwell toman amplitudes complejas
ademaacutes de no ser solo funcioacuten de la posicioacuten En lugar de la derivacioacuten parcial en el
tiempo se tiene la multiplicacioacuten del factor imaginario donde es la frecuencia
angular
En la forma compleja las ecuaciones de Maxwell toman la siguiente forma11
Veacutease tambieacuten
Electromagnetismo
James Clerk Maxwell
Oliver Heaviside
Carga
Onda electromagneacutetica
Ecuacioacuten de onda electromagneacutetica
Ecuaciones de Jefimenko
Ley de Gauss
Ley de Faraday
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Primer par de ecuaciones de Maxwell
La siguientes expresiones ligan los campos con las fuentes relacionamos la
cuadricorriente con el tensor campo electromagneacutetico mediante la forma geomeacutetrica
O bien en coordenadas Lorentz
Obtencioacuten de las ecuaciones
Para un observable en S partiendo de expresioacuten en coordenadas Lorentz podemos
obtener
Para tenemos que entonces
Por tanto
Para podemos obtener de la misma forma que
Segundo par de ecuaciones de Maxwell
Corresponden a las ecuaciones homogeacuteneas Escritas en forma geomeacutetrica
tenemos que
Que corresponde con la expresioacuten en los sistemas coordenados Lorentz
Donde el tensor es el tensor dual de F Se obtiene mediante el operador de
Hodge
Obtencioacuten de las ecuaciones
Para
Por tanto
Para se obtiene la ecuacioacuten vectorial
La propiedad reproduce las ecuaciones de Maxwell internas
que se puede expresar como que se puede escribir en los sistemas
coordenados Lorentz como
Podemos resumir el conjunto de expresiones que relacionan los objetos que
describen el campo electromagneacutetico en la siguiente tabla La primera columna son las
relaciones geomeacutetricas independientes de cualquier observador la segunda columna
son las ecuaciones descritas mediante un sistema coordenado Lorentz y la tercera es la
descripcioacuten de la relacioacuten y la ley que cumple
Forma
Geomeacutetrica Covariante Lorentz Descripcioacuten
Condicioacutengauge de Lorentz ()
Definicioacuten de Campos
Electromagneacuteticos
Ecuaciones de Ondas
Ecuaciones de Maxwell
Ley de conservacioacuten de la Carga
() Existe una confusioacuten habitual en cuanto a la nomenclatura de este gauge Las
primeras ecuaciones en las que aparece tal condicioacuten (1867) se deben a Ludvig V
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Classical Electrodynamics 3rd edition p294)
Finalmente el cuadrigradiente se define asiacute
Los iacutendices repetidos se suman de acuerdo al convenio de sumacioacuten de Einstein
De acuerdo con el caacutelculo tensorial los iacutendices pueden subirse o bajarse por medio de la
matriz fundamental g
El primer tensor es una expresioacuten de dos ecuaciones de Maxwell la ley de Gauss
y la ley de Ampere generalizada la segunda ecuacioacuten es consecuentemente una
expresioacuten de las otras dos leyes
Se ha sugerido que el componente de la fuerza de Lorentz se puede
derivar de la ley de Coulomb y por eso la relatividad especial asume la invariancia de la
carga eleacutectrica17
18
Expresioacuten de las ecuaciones para una frecuencia
constante
En las ecuaciones de Maxwell los campos vectoriales no son solo funciones de
la posicioacuten en general son funciones de la posicioacuten y del tiempo como por ejemplo
Para la resolucioacuten de estas ecuaciones en derivadas parciales las
variables posicionales se encuentran con la variable temporal En la praacutectica la
resolucioacuten de dichas ecuaciones pueden contener una solucioacuten armoacutenica (sinusoidal)
Con ayuda de la notacioacuten compleja se puede evitar la dependencia temporal de
los resultados armoacutenicos eliminando asiacute el factor complejo de la expresioacuten Gran
parte de las resoluciones de las ecuaciones de Maxwell toman amplitudes complejas
ademaacutes de no ser solo funcioacuten de la posicioacuten En lugar de la derivacioacuten parcial en el
tiempo se tiene la multiplicacioacuten del factor imaginario donde es la frecuencia
angular
En la forma compleja las ecuaciones de Maxwell toman la siguiente forma11
Veacutease tambieacuten
Electromagnetismo
James Clerk Maxwell
Oliver Heaviside
Carga
Onda electromagneacutetica
Ecuacioacuten de onda electromagneacutetica
Ecuaciones de Jefimenko
Ley de Gauss
Ley de Faraday
Ley de Ampegravere
Referencias y Notas
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enero 2008
2 uarr laquo[httpwwwzpenergycomdownloadsOrig_maxwell_equationspdf On the
Notation of MAXWELLrsquos Field Equations]raquo (en ingleacutes) Consultado el
08012008
3 uarr [Aacutengel Franco Garciacutea Universidad del Paiacutes Vasco] (octubre de 2006) laquoEl
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5 uarr laquoLiacutenea de cargas Ley de Gaussraquo Consultado el 18012008
6 uarr a b c d e Richard Feynman (1974) Feynman lectures on Physics Volume 2 (en
ingleacutes) Addison Wesley Longman ISBN 0-201-02115-3
7 uarr laquoMagnetostaacuteticaraquo Consultado el 19012008
8 uarr laquoConcepto de Flujoraquo Consultado el 19012008
9 uarr laquoLey de Faraday-Henryraquo Consultado el 19012008
10 uarr a b laquoLey de Ampere-Maxwellraquo Consultado el 20012008
11 uarr a b c Aacutengel Cardama Aznar (2002) Antenas UPC ISBN 84-8301-625-7
12 uarr Liliana I Perez laquoAPUNTEEcuaciones de Maxwellraquo Consultado el
22012008
13 uarr a b c La web de Fiacutesica (2008) laquoEcuaciones de Maxwellraquo Consultado el
23012008
14 uarr laquoPotencial Vector Magneacuteticoraquo Consultado el 21012008
15 uarr laquoEcuaciones del Electromagnetismoraquo Consultado el 21012008
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17 uarr L D Landau E M Lifshitz (1980) The Classical Theory of Fields (en
ingleacutes) Butterworth-Heinemann ISBN 0-7506-2768-9
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Enlaces externos
Fundamentos de las Ecuaciones de Maxwell
On Physical Lines of Force
A dinamical theory of the electromagnetic field Trabajo original de Maxwell
Monografiacuteascom archivo sobre ecuaciones de Maxwell
Modelo de Maxwell
Fundamentos de la radiacioacuten
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Que corresponde con la expresioacuten en los sistemas coordenados Lorentz
Donde el tensor es el tensor dual de F Se obtiene mediante el operador de
Hodge
Obtencioacuten de las ecuaciones
Para
Por tanto
Para se obtiene la ecuacioacuten vectorial
La propiedad reproduce las ecuaciones de Maxwell internas
que se puede expresar como que se puede escribir en los sistemas
coordenados Lorentz como
Podemos resumir el conjunto de expresiones que relacionan los objetos que
describen el campo electromagneacutetico en la siguiente tabla La primera columna son las
relaciones geomeacutetricas independientes de cualquier observador la segunda columna
son las ecuaciones descritas mediante un sistema coordenado Lorentz y la tercera es la
descripcioacuten de la relacioacuten y la ley que cumple
Forma
Geomeacutetrica Covariante Lorentz Descripcioacuten
Condicioacutengauge de Lorentz ()
Definicioacuten de Campos
Electromagneacuteticos
Ecuaciones de Ondas
Ecuaciones de Maxwell
Ley de conservacioacuten de la Carga
() Existe una confusioacuten habitual en cuanto a la nomenclatura de este gauge Las
primeras ecuaciones en las que aparece tal condicioacuten (1867) se deben a Ludvig V
Lorentz no al mucho maacutes conocido Hendrik A Lorentz (Veacutease JD Jackson
Classical Electrodynamics 3rd edition p294)
Finalmente el cuadrigradiente se define asiacute
Los iacutendices repetidos se suman de acuerdo al convenio de sumacioacuten de Einstein
De acuerdo con el caacutelculo tensorial los iacutendices pueden subirse o bajarse por medio de la
matriz fundamental g
El primer tensor es una expresioacuten de dos ecuaciones de Maxwell la ley de Gauss
y la ley de Ampere generalizada la segunda ecuacioacuten es consecuentemente una
expresioacuten de las otras dos leyes
Se ha sugerido que el componente de la fuerza de Lorentz se puede
derivar de la ley de Coulomb y por eso la relatividad especial asume la invariancia de la
carga eleacutectrica17
18
Expresioacuten de las ecuaciones para una frecuencia
constante
En las ecuaciones de Maxwell los campos vectoriales no son solo funciones de
la posicioacuten en general son funciones de la posicioacuten y del tiempo como por ejemplo
Para la resolucioacuten de estas ecuaciones en derivadas parciales las
variables posicionales se encuentran con la variable temporal En la praacutectica la
resolucioacuten de dichas ecuaciones pueden contener una solucioacuten armoacutenica (sinusoidal)
Con ayuda de la notacioacuten compleja se puede evitar la dependencia temporal de
los resultados armoacutenicos eliminando asiacute el factor complejo de la expresioacuten Gran
parte de las resoluciones de las ecuaciones de Maxwell toman amplitudes complejas
ademaacutes de no ser solo funcioacuten de la posicioacuten En lugar de la derivacioacuten parcial en el
tiempo se tiene la multiplicacioacuten del factor imaginario donde es la frecuencia
angular
En la forma compleja las ecuaciones de Maxwell toman la siguiente forma11
Veacutease tambieacuten
Electromagnetismo
James Clerk Maxwell
Oliver Heaviside
Carga
Onda electromagneacutetica
Ecuacioacuten de onda electromagneacutetica
Ecuaciones de Jefimenko
Ley de Gauss
Ley de Faraday
Ley de Ampegravere
Referencias y Notas
1 uarr laquoEcuaciones de Maxwellraquo (en espantildeol) (1999 de agosto) Consultado el 15 de
enero 2008
2 uarr laquo[httpwwwzpenergycomdownloadsOrig_maxwell_equationspdf On the
Notation of MAXWELLrsquos Field Equations]raquo (en ingleacutes) Consultado el
08012008
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Enlaces externos
Fundamentos de las Ecuaciones de Maxwell
On Physical Lines of Force
A dinamical theory of the electromagnetic field Trabajo original de Maxwell
Monografiacuteascom archivo sobre ecuaciones de Maxwell
Modelo de Maxwell
Fundamentos de la radiacioacuten
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiEcuaciones_de_Maxwell
Categoriacuteas WikipediaArtiacuteculos buenos | Ecuaciones | Leyes electromagneacuteticas
Ecuaciones de Ondas
Ecuaciones de Maxwell
Ley de conservacioacuten de la Carga
() Existe una confusioacuten habitual en cuanto a la nomenclatura de este gauge Las
primeras ecuaciones en las que aparece tal condicioacuten (1867) se deben a Ludvig V
Lorentz no al mucho maacutes conocido Hendrik A Lorentz (Veacutease JD Jackson
Classical Electrodynamics 3rd edition p294)
Finalmente el cuadrigradiente se define asiacute
Los iacutendices repetidos se suman de acuerdo al convenio de sumacioacuten de Einstein
De acuerdo con el caacutelculo tensorial los iacutendices pueden subirse o bajarse por medio de la
matriz fundamental g
El primer tensor es una expresioacuten de dos ecuaciones de Maxwell la ley de Gauss
y la ley de Ampere generalizada la segunda ecuacioacuten es consecuentemente una
expresioacuten de las otras dos leyes
Se ha sugerido que el componente de la fuerza de Lorentz se puede
derivar de la ley de Coulomb y por eso la relatividad especial asume la invariancia de la
carga eleacutectrica17
18
Expresioacuten de las ecuaciones para una frecuencia
constante
En las ecuaciones de Maxwell los campos vectoriales no son solo funciones de
la posicioacuten en general son funciones de la posicioacuten y del tiempo como por ejemplo
Para la resolucioacuten de estas ecuaciones en derivadas parciales las
variables posicionales se encuentran con la variable temporal En la praacutectica la
resolucioacuten de dichas ecuaciones pueden contener una solucioacuten armoacutenica (sinusoidal)
Con ayuda de la notacioacuten compleja se puede evitar la dependencia temporal de
los resultados armoacutenicos eliminando asiacute el factor complejo de la expresioacuten Gran
parte de las resoluciones de las ecuaciones de Maxwell toman amplitudes complejas
ademaacutes de no ser solo funcioacuten de la posicioacuten En lugar de la derivacioacuten parcial en el
tiempo se tiene la multiplicacioacuten del factor imaginario donde es la frecuencia
angular
En la forma compleja las ecuaciones de Maxwell toman la siguiente forma11
Veacutease tambieacuten
Electromagnetismo
James Clerk Maxwell
Oliver Heaviside
Carga
Onda electromagneacutetica
Ecuacioacuten de onda electromagneacutetica
Ecuaciones de Jefimenko
Ley de Gauss
Ley de Faraday
Ley de Ampegravere
Referencias y Notas
1 uarr laquoEcuaciones de Maxwellraquo (en espantildeol) (1999 de agosto) Consultado el 15 de
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tiempo se tiene la multiplicacioacuten del factor imaginario donde es la frecuencia
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Modelo de Maxwell
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