DEFINICIÓN DE POLINOMIO Un polinomio es una expresión de la forma Donde, son números reales o complejos llamados coeficientes y variable. Así, cualquier polinomio lo podemos escribir como:

a0+a

1x+a

2x2 + ...+a

nxn + ....

a0,a

1,a

2,...,a

n,....

x

p(x) = aixi

i=0

¥

å = a0 + a1x+ a2x2 + ...+ anxn + .... ai Î K;n Î NÈ 0{ }

dondetodosloscoeficientesaisonnulos,exceptounacantidadfinitasdeellos

Notación

Al conjunto de todos los polinomios en la indeterminada x con coeficientes en K, lo denotamos K[x]

Con K se designa indistintamente el cuerpo C, R, Q y Z

C[x] = {p(x) : p(x) es polinomio en x con coeficientes complejos}

R[x] = {p(x) : p(x) es polinomio en x con coeficientes reales}

Q[x] = {p(x) : p(x) es polinomio en x con coeficientes racionales}

Z[x] = {p(x) : p(x) es polinomio en x con coeficientes enteros}

p(x) = ai

i=0

¥

å xi = a0 + a1x+ a2x2 + ...+ anxn + .... ai Î K;n Î NÈ 0{ }

p(x) = aixi

i=0

¥

å = a0 + a1x+ a2x2 + ...+ anxn + .... ai Î K;n Î NÈ 0{ }

Observaciones.

1. Cada uno de los sumandos es un término del polinomio p(x).

2. El término se llama libre o independiente y el término coeficiente principal.

3. El polinomio se llama polinomio cero

4. El polinomio se dice polinomio constante.

a0an

p(x) = 0+0x+0x2 + ...+0xn

p(x) = a+0x+0x2 + ...+0xn = a

Igualdad de un polinomio Definición. Igualdad de Polinomio

Sean decimos que si y sólo si son idénticos, es decir,

Ejemplo. Sean

p(x) = aii=0

¥

å xi y q(x) = bii=0

¥

å xi Î K x[ ] p(x) = q(x)

p(x) = q(x)Ûai = bi, "i

p(x) = d+b( ) x4 + a-c( ) x3 + a+1( ) x y q(x) = 5x4 ++ 3a+b( ) x2 -3xdos polinomios definidos en los reales, determine para que

a,b,c,d Î Âp(x) = q(x)

GRADOS DE UN POLINOMIOS

Si un polinomio es tal que, para

entonces diremos que el polinomio tiene grado m.

Notación:

Ejemplo

Consecuencia:

Preguntas

1. ¿Cuál el grado del polinomio cero?

2. ¿Cuál el grado de los polinomio constantes?

p(x) = aii=0

¥

å xi i = m, am ¹ 0 y ai = 0 " i > m

p(x)

gr(p(x)) = m

p(x) = x4 + x3 -11x2 -6x+ 4 gr( p(x)) = 4

q(x) = 6x6 + 4x8 +11x2 +16x gr(q(x)) = 8

gr(p(x)) = m ® p(x) = a0 +a1x+a2x2 +...+amx

m con am ¹ 0

Suma de polinomios Definición

Sean polinomios en K[x],

Se llama suma de al polinomio

Ejemplo. Sean los polinomios

Determinar

p(x) = aixi

i=0

¥

å ; q(x) = bi xii=0

¥

åp(x) y q(x) p(x)+ q(x) = c(x) = c

ixi

i=o

¥

å dondeci = ai +bi , "i

p(x) = 5x4 -1

3; q(x) = 3x5 - 2x4 - x+1; r(x) = x2 - 2x+ 2

3p(x)-q(x)+ r(x)

Sol. 3p(x)- q(x)+ r(x) = 3(5x4 -1

3)- (3x5 - 2x4 - x+1)+ x2 - 2x+ 2= 15x4 -1-3x5 + 2x4 + x-1+ x2 - 2x+ 2

= -3x5 +17x4 ++x2 - x

gr( p+q) £ máx gr(p),gr(q){ } si gr(p+q) existe

Propiedades

a) La suma de polinomios es asociativo, conmutativo, tiene por neutro el polinomio cero y el inverso aditivo de es b)

-p(x) = (-ai)xi

i=0

¥

åp(x) = ai xii=0

¥

å

Producto de polinomios K[x] Definición

Sean polinomios en K[x],

Se llama Producto de al polinomio

Ejemplo. Sean

p(x) = aixi

i=0

¥

å ; q(x) = bi xii=0

¥

åp(x) y q(x) p(x) ×q(x) = r(x) = di xi

i=o

¥

å tal que di = akbi-kk=0

i

å

p(x) = 5x3 -3 ® a0

= -3,a1= 0,a

2= 0,a

3= 5

q(x) = x+ 2®b0

= 2,b1= 1

p(x) ×q(x) = d0+ d

1x+ d

2x2 + d

3x3

d0

= a0b

0= -3× 2= -6; d

1= a

0b

1+ a

1b

0= -3×1+0× 2= -3; d

2= a

0b

2+ a

1b

1+ a

2b

0= -3×0+0 ×1+0 × 2= 0;

d3

= a0b

3+ a

1b

2+ a

2b

1+ a

3b

0= -3×0+0×0+0 ×1+ 5× 2= 10; d

4= a

0b

4+ a

1b

3+ a

2b

2+ a

3b

1+ a

4b

0= -3×0+0 ×0+ 5×1+0× 2= 5

Así , p(x) ×q(x) = -6-3x+10x3 + 5x4

Propiedades a) El producto de polinomios es asociativo, conmutativo, distributivo con respecto a la suma tiene por neutro el polinomio constante 1 y solo los polinomios constantes tienen el inverso multiplicativo. b)

gr(p×q) = gr(p)+ gr(q)

ALGORITMO DE LA DIVISIÓN

Teorema. Dados p(x), s(x) ∈ C[x], siendo s(x) polinomio no nulo, entonces existen dos polinomios únicos q(x) y r(x) en C[x] tales que: i) p(x) = s(x)q(x) + r(x)

ii) Para r(x) se cumple sólo una de las condiciones siguientes: a) r(x) es el polinomio cero. b) gr r(x)

Observación. Cuando el polinomio divisor es de la forma podemos efectuar la división mediante “división sintética”. Mostraremos el método a través del siguiente ejercicio. Consideremos la misma división anterior 1 4 -1 -2 2 2 12 22 1 6 11 20 La descripción del método 1.Ordenar todos los coeficiente de los términos en un orden decreciente de potencias de x hasta llegar al exponente cero rellenando con coeficientes cero donde haga falta 2. Después escribimos en la parte derecha, en nuestro ejemplo es 2. 3. Se baja el coeficiente de la izquierda al tercer renglón. 4. Multiplicamos este coeficiente por para obtener el primer número del segundo renglón (en el primer espacio de la izquierda nunca se escribe nada). 5.Sumamos verticalmente para obtener el segundo número de el tercer renglón. 6. Con este último número repetimos los pasos cuatro y cinco hasta encontrar el último número del tercer renglón, que será el residuo.

x-a

x3 +4x2 - x-2: x-2

a

cuocienteq(x) = x2 +6x+11 y

resto r(x) = 20

a

TEOREMA DEL RESTO

El resto de la división de p(x) por x − b es p(b). Es decir: p(x) = q(x)(x − b) + p(b) Pregunta ¿Cuál es el resto que se produce al dividir por ? Sol. El resto que se produce es cero, ya que p(1)=0 (división exacta)

Consecuencia Ejercicio Si es un factor común de demostrar que

RAÍZ DE UN POLINOMIO.TEOREMA DEL RESTO

Definición. b ∈ R es un cero de p(x) ∈ R[x] o raíz de la ecuación p(x) = 0 si y sólo p(b)=0 Pregunta: ¿es raíz del polinomio ? Sí, ya que

x = 1 p(x) = 32x10 -33x5 +1

p(1) = 32× (1)10 -33× (1)5 +1= 0

p(x) = x40 -1 x-1

besraízde p(x)Û x-besun factor de p(x)

x+a x2 + px+q= 0 y x2 + rx+ s= 0a(p- r) = (q- s)