7/25/2019 Def Topo Logic As

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CAP ITULO 1. N UMEROS COMPLEJOS 7

1.6 Regiones en el plano complejo

En esta parte se estudiar an conjuntos especiales de numeros complejos, o puntos, y la proximidadde unos a otros.

Denici on 1.7 (Vecindad) El conjunto de puntos B (z0 , ) = {z : |z z0 | < } ,

para cada punto z0 y cada > 0, se denomina vecindad de z0 , que consta de todos los puntos situados dentro de la circunferencia de centro z0 y radio .

Denici on 1.8 (Conjunto abierto) Se dice que un conjunto de n umeros complejos S es abier-to si para cada z S existe una vecindad de z, B (z, ), tal que B (z, ) S .

Ejemplo 1.3 El conjunto |z | < 1 es abierto. En efecto, es posible trazar una vecindad B (z, )alrededor de cada uno de sus puntos de tal forma que todos los puntos de B (z, ) pertenecen al conjunto |z | < 1.

Denici on 1.9 (Frontera de un conjunto) Sea S un conjunto de n umeros complejos. La frontera de S es el conjunto formado por los puntos z (no necesariamente pretenecientes a S )tales que B (z, ) S = , para todo > 0; en otras palabras, todas las vecindades de z contienen puntos de S y puntos que no est an en S .

Ejemplo 1.4 El conjunto |z 1| = 1 es la frontera del conjunto |z 1| < 1.

Denici on 1.10 (Punto de acumulaci on) Sea S un conjunto de n umeros complejos. Se dice que z0 es un punto de acumulaci on de S si toda vecindad de z0 contiene por lo menos un puntode S diferente de z0 .

Denici on 1.11 (Conjunto cerrado) Se dice que un conjunto de n umeros complejos S es ce-rrado, si todos sus puntos de acumulaci on pertenecen a el. Equivalentemente, S es cerrado si contiene a su frontera.

Ejemplo 1.5 El conjunto |z | 1 es cerrado.

Denici on 1.12 (Conjunto conexo) Se dice que un conjunto de n umeros complejos S es cone-xo, si dados dos puntos cualesquiera de S , existe una trayectoria formada por segmentos de recta que los une y cuyos puntos pertenecen todos a S .

Denici on 1.13 (Dominio) Se dice que el conjunto de n umeros complejos S es un dominio, si S es abierto y conexo.

Ejemplo 1.6 El conjunto |z | < 1 es un dominio.

Denici on 1.14 (Conjuntos acotado y no acotado) Se dice que un conjunto de n umeros complejos S es acotado, si existe un n umero real R > 0 tal que todo punto de S queda dentro de la circunferencia |z | = R . Por el contrario, si |z | > R para todo R > 0 y alg un z S , se dice que S es no acotado.

Ejemplo 1.7 El conjunto que consiste en el cuadrado 0 Re z 1, 0 Im z 1, es acotado.La franja {z : Re z 3} es un conjunto no acotado.