Mecánica de fluidos compresibles

Deducción de la fórmula del volumen del cilindro

En Cualquier posición del pistón Alejandro Hurtado Girón.

Academia de Ingeniería Mecánica, Instituto Tecnológico de Morelia.

5 de enero del 2015.

1. INTRODUCCION.

Existe una fórmula establecida para calcular el volumen de un cilindro con dimensiones, el propósito de este documento es establecer a paso a paso la obtención del modelo adimensional de esta misma fórmula, manipulando algebraicamente la ecuación que tomamos como punto de inicio. sabemos que conociendo los parámetros y las manipulaciones que se tomaron en cuenta en la deducción de la formula nos pueden indicar muchos factores que a veces no se toman en cuenta

en el empleo de las formulas establecidas

Formula del volumen de un cilindro en cualquier posición del pistón en su forma dimensional.

V=V c+( πB24 )(r+a−s )

A continuación se efectúa el primer paso dividir la ecuación inicial entre el volumen de la cámara .

VV c

=V c+( πB24 ) (r+a−s)

V C

VV c

=V cV c

+( πB24 ) (r+a−s)

V c

Aplicando un poco de algebra obtenemos.

VV c

=1+( πB24 ) (r+a−s)

V c

ecuación (a)

Si se manipula el término (r+a−s):

Del diagrama características de operación del cilindro- pistón se obtiene el siguiente triangulo se .

Por definición R= raó r=Ra

(r+a−s)=(Ra+a−s ) (ecuación b)

s=L2+L3

Para L2 :

cos β=L2aó L2=acosθ

Para L3 :

L3=√r2−L2

Para L1 :

sin θ ¿l1aó l1=a sin θ

L3=√r2−a2sin2θ=√R2a2−a2sin2θ

l3=a√R2−sin2θPor lo tanto.

s=L2+L3=acosθ+a√R2−sin2θ=a (cosθ+√R2−sin2θ )

Conociendo el valor de s la expresión (b) queda.

(Ra+a−s )=[Ra+a−a (cosθ+√R2−sin2θ )](Ra+a−s )=a¿

Sustituyendo esta expresión en la ecuación a:

VV c

=1+( πB24 )a¿¿ la carrera del pistón se define como:

S=2aóa=S2

VV c

=1+( πB2S8 )V c

¿

ecuación (c)

usando el término ( π B2S8 )V c

por separado:

Por definición, el volumen de la cámara es, V BDC=V c+V dóV c=V BDC−V d

( πB2S8 )V c

=( πB2S8 )V BDC−V d

= π B2S8 (V BDC−V d )

El volumen barrido para un cilindro es:

V d=π4B2S

π B2S8 (V BDC−V d )

= π B2S(2 ) (4 ) (V BDC−V d )

=12 ( V d

V BDC−V d )Sustituyendo en la ecuación previa

V BDC−V d=V c

12 ( V dV BDC−V d )=12 (V dV c )

Utilizando esta expresión y sustituyendo obtenemos

V d=V BDC−V c

12 (V dV c

)=12 (V BDC−V cV c )=12 (V BDC

V c−V cV c )=12 (V BDCV c

−1)Ya que V c=V TDC y la relación de

compresión está definida como rc=V BDCV TDC

se

puede escribir

12 (V BDC

V c−1)=12 (r c−1 )

Se llega a la siguiente igualdad

( πB2S8 )V c

=12

( rc−1 )

Tomando esta expresión y sustituyéndola en la ecuación c se tiene

VV c

=1+( πB2S8 )V c

¿

VV c

=1+ 12

( rc−1 )¿

Obteniendo así la expresión en su modelo adimensional del cálculo del volumen de un cilindro en cualquier posición

RESULTADOS.

se demuestra de forma gráfica basándonos en el software geómetra, la relación de compresión (rc) variando desde 4 hasta 16 y la distancia del centro del pistón al muñón(R=r/a) que varía de 3 a 9, se muestra cada una de estas variaciones a partir de la ecuación que determina el volumen de la cámara al término de la combustión.

NOMENCLATURA

rc relación de compresión

R=r/a distancia del centro del pistón al muñón

Grafica.

Variación de relación de compresión

.

Variación del centro del pistón al muñón

Variaciones R y rc