La deconvolucin o filtraje inverso puede definirse como un cierto proceso que neutraliza una accin de convolucin previa (o filtracin). La principal aplicacin de los filtros inversos es eliminar los efectos adversos de una operacin de filtrado previo que suceden en el campo del procesado de datos ssmicos de reflexin. Por otro lado la deconvolucin sirve para intentar eliminar los efectos que ejercen tanto la fuente como el medio por el que se propagan las ondas ssmicas en la seal temporal registrada. La deconvolucin vista como un proceso de filtrado cuenta con dos reas bsicas: estimacin de parmetros e identificacin de estado.

En concreto, lo que se tiende a hacer con la deconvolucin es minimizar el efecto de la convolucin, pero no se puede suprimir del todo para llegar a la informacin pura. Los procedimientos matemticos asociados a la deconvolucin descansan por lo general sobre varias hiptesis en comn con el modelo convucional: Modelo de capas horizontales con velocidades constantes e incidencia normal. Una onda ssmica estacionaria (su forma no cambia durante la propagacin) La ondcula ssmica es de fase mnima, en el caso de la deconvolucin spiking.

La deconvolucin por lo general implica la convolucin con un filtro inverso. La idea es que esto deshace los efectos de un filtro anterior, tales como la tierra o el sistema de grabacin. La dificultad en el diseo de un filtro inverso es que casi nunca se conocen las propiedades del filtro, cuyos efectos estamos tratando de eliminar. La Tierra est compuesta por un conjunto de capas de diferente litologa y propiedades fsicas. Ssmicamente los estratos se definen por sus densidades y las velocidades de propagacin de las ondas, o lo que es lo mismo, por la impedancia acstica (producto de ambas magnitudes). El contraste de impedancias es la razn de las diversas reflexiones que sufre la seal incidente. As, la traza registrada puede considerarse como la convolucin entre la fuente inicial que origina la onda y el efecto que la tierra ejerce sobre la misma.

Consideremos una traza ssmica cualquiera, resultado de la convolucin de la respuesta de la tierra por el impulso inicial creado por la fuente.

Si pasamos al dominio frecuencial con una transformada de Fourier (Fig. 2.16) podemos constatar dos cosas: Primero, que las amplitudes del espectro de la traza ssmica (sismograma) son muy similares a las amplitudes del impulso inicial (segundo y tercer panel de la Fig. 2.16), mientras que el espectro de frecuencias correspondiente a la respuesta de la Tierra es ms parecido al espectro de una seal de tipo aleatorio. De hecho, generalmente se piensa que las rpidas fluctuaciones observadas en las amplitudes del sismograma (derecha de la Fig.2.16) son una manifestacin de la respuesta de la tierra al impulso (izquierda de la Fig.2.16), mientras que la forma bsica del sismograma se debe a la forma del impulso inicial (centro).

En resumen, el sismograma tiene las caractersticas de la fuente ya que sus autocorrelaciones y sus espectros de amplitudes son similares, exceptuando el primer pico que lo consideraremos como el efecto de la respuesta de la Tierra.

Existen varios tipos de ondculas sobre las cuales se opera; por ejemplo el tipo delta de Dirac (spike) que tiende a convertir los lbulos de reflexin en picos.

En la prctica el analista ssmico busca un razonable punto medio entre la agudizacin de los reflectores y el aumento del ruido. A continuacin un caso real en el que se puede apreciar que la seccin ssmica final (resultante de aplicar toda la secuencia de procesado, hasta el apilamiento o suma inclusive) da como producto una seccin con mejor definicin de reflectores pero tambin ms ruidosa cuando se ha aplicado la deconvolucin, una correccin que, como se indic, no es obligatoria aunque s muy frecuente.

EL CONCEPTO BSICO DE DECONVOLUCIN EN TRMINOS MATEMTICOS

Para explicar la idea bsica de deconvolucin, podemos considerar la operacin de convolucin siguiente: y(t)=f(t)*h(t) (1) Donde f(t) y h(t) son dos funciones convolucionadas y y(t) es la funcin de salida de convolucin. Ahora, suponga que y(t) y f(t) son dadas, entonces el proceso de encontrar h(t) se llama deconvolucin, y el sistema que hace eso se llama el filtro inverso. As, si h'(t) es la funcin que debe ser los convolucionada con y(t) para dar f(t), nosotros podemos escribir: f(t)=y(t)* h (t) (2) Sustituyendo por y(t) de la ecuacin (1), nosotros conseguimos: f(t)=f(t)*h(t)* h (t) (3) Sin embargo, de la teora de la funcin Dirac delta, nosotros tenemos: f(t)=f(t)* (t) (4) Haciendo uso de esta relacin, ecuacin (3) se reduce a: h(t)*h (t)= (t) El cual expresa el tipo de relacin que existe entre el operador de convolucin h(t) y el operador de deconvolucin h'(t).

TIPOS DE DECONVOLUCIN

DECONVOLUCIN IMPULSIVA (SPIKING) La deconvolucin spiking (o deconvolucin de blanqueado) emplea un filtro inverso de mnimos cuadrados que se aplica a la ondcula ssmica para encontrar su inversa, que tambin ser de fase mnima. Posteriormente la convolucin de la inversa de la ondcula con la traza ssmica genera la serie de reflectividad. El carcter de spikes de la seccin ssmica depender de la fase de la ondcula, mientras ms se parezca a una ondcula de fase mnima mejores sern los resultados. El principio general de la optimizacin de la ondcula es filtrar las muestras de serie de tiempo de un modo que la salida filtrada sea una funcin de impulso representando la deconvolucin de la seal. Un filtro ptimo es aquel en el cual la energa de la diferencia entre el filtro actual y el deseado es minimizada. Dicho filtro se denomina ptimo o filtro de mnimos cuadrados y es conocido como el criterio de error de mnimos cuadrados medio de Wiener y se denomina filtro de Wiener.

DECONVOLUCIN PREDICTIVA Este tipo de deconvolucin hace uso de la hiptesis que establece que la reflexin es un proceso aleatorio, haciendo posible el clculo y deteccin de ruido coherente como, mltiples, reverberaciones, entre otros. Las ecuaciones normales para el clculo del filtro predictivo se pueden escribir conociendo la constante de prediccin y una matriz que se conoce con el nombre de matriz de Toeplitz. A partir de estas ecuaciones, se puede escribir fcilmente una expresin para el filtro de prediccin de error.

APLICACIONES DE LA DECONVOLUCIN

INGENIERA AUTOMTICA O DE CONTROL La excitacin que se brinda a un sistema, permitir dar una respuesta de ste en un intervalo de tiempo adyacente al de la excitacin, ya que sufre un pequeo retardo, al ser procesada y en la mayora de los casos, transformada de acuerdo a las operaciones que el sistema requiera hacer. El proceso para conocer cmo opera el sistema dada las seales de entrada y salida, se le conoce, como deconvolucin

PTICA La imagen g surge de la convolucin de las fuentes reales de luz f (el objeto) y la funcin de dispersin del punto ( PSF ) h. Grficamente, y considerando un corte longitudinal XZ de una imagen de fluorescencia tridimensional, la convolucin acta como sigue:

Al registrar una imagen, obtenemos solamente la distribucin g. Tambin podemos conocer cmo el microscopio degrada la imagen midiendo su PSF (por ejemplo mediante cuentas de calibracin ) o con un clculo terico basado en algunos parmetros del microscopio . Por lo tanto la situacin queda descrita con la siguiente ilustracin:

La deconvolucin ciega es un mtodo de deconvolucin que intenta obtener el objeto f y la PSF h simultneamente a partir de la imagen g. Por lo tanto, en principio no requiere conocer a priori la PSF.