debrayes sobre la curvatura presentación examen profesional 2009 05-27 presentacion - efrain vega

Presentación examen profesional

Debrayes sobre la curvaturaEfraín Vega Landa

2009-05-27

Debrayes sobre la curvatura 2

1. Ideas preliminares2. Una forma intuitiva de introducir la curvatura de manera intrínseca (del axioma delas paralelas al teorema de Gauss-Bonnet)

3. Ideas intuitivas de conexión.4. Ideas previas para la fórmula del tensor5. Interpretación de la fórmula R (X;Y )Z = rXrYZ �rYrXZ �r[X;Y ]Z



1 Ideas preliminaresLos vectores velocidad de curvas en una variedad no pertenecen a la variedad.En los espacios planos pareciera que si.

Están contenidos en los espacios tangentes, que son espacios vectoriales arriba decada punto. El conjunto de estos espacios tangentes forma el haz tangente.Presentación examen profesional


1.1 Curvatura de una curva

t : [0; s]! C1



La curvatura como rapidez angular con que gira el vector tangente.

k (s) = k 00(s)k = kt0(s)k :



También puede ser la medida de la rapidez angular con que gira el vector normal.

k (s) =

�dnds



El marco (o diedro) de Frenet-Serret1 F de una curva es la pareja de vectores2conformada por el vector tangente t y el vector normal n a la curva en cada punto

1 Serret, Joseph Alfred (1819-1885) y Frenet, Jean Frédéric (1816-1900); matemáticos franceses.2 Es una base del espacio tangente T R2.



�0 �kk 0

�=� �

dtds

�F

�dnds

�F

�= IF�

� �dtds

��

�dnds

��

�= IF�A

0s



Un observador en el marco paralelo observa que los puntos del marco de Frenet semueven de manera que su velocidad satisface el siguiente sistema de ecuacionesdiferenciales.

x0 =

�0 �k (s)

k (s) 0

�x;



1.2 Curvatura de super�cies en R3

1.2.1 Curvatura de super�cies, a través de la curvatura de sus seccionesnormalesEn una super�cie hay una in�nidad de formas de pasar por el punto P . La forma enque se curva una super�cie depende del punto y de la dirección por la que lleguemosal punto.



Las intersección de la super�cie con los planos que pasan por la recta normal a lasuper�cie NPS genera curvas �� que son llamadas secciones normales.



Ejemplo. Una silla de montar.

Hay direcciones para las cuales la circunferencia osculatriz de �� quede arriba yabajo de TPS. De modo que la curvatura normal será positiva en algunas secciones

normales y negativa en otras.



Hay también dos direcciones en las que la sección normal es una línea recta por loque k� = 0. En este caso la función k� es también una onda que asume valores

negativos para algunas secciones normales.

k� = k1 cos2 � + k2sen

2� con k1 < 0 < k2:

En los ejemplos anteriores P tiene dos secciones normales perpendiculares para lascuales la curvatura k� es mínima y máxima. Esto sucede en cualquier super�cie S.



Las curvaturas normales mínima y máxima en un punto P en S se llaman curvaturasprincipales k1 y k2; y las direcciones en el plano tangente en las que se alcanzandichos valores extremos se llaman direcciones principales.La curvatura gaussiana

k = k1k2

de la super�cie en el punto P es el producto de las curvaturas principales en dichopunto.



Ejemplo. El plano y el cilindro tienen curvatura gaussiana cero.



Ejemplo. La esfera y el elipsoide tienen curvatura gaussiana positiva.



Ejemplo. La silla de montar tiene curvatura gaussiana negativa.



1.2.2 Curvatura de super�cies, a través de la aplicación de GaussLa aplicación de Gauss es un mapeo

N : S ! S2

que manda los puntos de la super�cie en puntos en la esfera S2.



Ejemplo. Un cilindro.



Ejemplo. Una super�icie con curvatura gaussiana positiva.



La curvatura gaussiana kP = k1k2 de la super�cie en el punto P puede ser interpretadacomo el factor de agrandamiento de áreas de la diferencial de la aplicación de Gauss,es decir, su determinante en el punto

kP = det dNP :



Los determinantes de la aplicación de Gauss para S212

y S22 son

det dN12= 4 =

1�12

�2 = 1

r2

det dN2 =1

4=

1

(2)2=1

r2



1.3 Marco de Darboux-Ribaucour

G = N� t.

Es el marco ortonormal formado por los vectores

D = ft;G;Ng

a lo largo de la curva � S.



2 Una forma intuitiva de introducir la curvatura demanera intrínseca (del axioma de las paralelas alteorema de Gauss-Bonnet)

2.1 Transporte paralelo en R2Una línea recta en R2

Si trasladamos paralelamente sus vectores tangentes obtenemos un vector constante.No hay variación del vector tangente, dtds = 0, no hay aceleración, la curvatura es cero.Presentación examen profesional


Transporte paralelo a lo largo de rectas (geodésicas) en R2Para transportar paralelamente un vector vP 2 TPR2 a lo largo del segmento de recta = PQ que une los puntos P y Q, escogemos vectores vO en los distintos espaciostangentes TOR2 intermedios, de manera que:

1. Sean del mismo tamaño que vP2. El ángulo que forma vO con el vector velocidad 0O a la curva es igual a �P :

�O = ] (vO; 0O) = ] (vP ; 0P ) = �P



Transporte paralelo a lo largo de curvas arbitrarias en R2



La conexión usual en R2 es independiente de la curva que une un par de puntos



2.2 Transporte paralelo en una super�cie S � R3En una super�cie ¿Cuándo se curva una curva?Derivamos el campo de velocidades de la curva usando la conexión de R3.

00 = 00T + 00N

a3D = a2D + a1D



a3D = a2D + a1D

kn =kGG+kNN

La curvatura geodésica es el número kG por el que hay que multiplicar a G paraobtener la aceleración 2D.Una curva será geodésica en la super�cie si kG = 0



Transporte paralelo a lo largo de geodésicas en super�cies contenidas en R3Para transportar un vector a lo largo de una geodésica que une P con Q tenemos quetomar vectores vO 2 TOS de modo que conservemos:1. El ángulo inicial

�O = ] (vO; 0O) = ] (vP ; 0P ) = �P

2. La longitud del vector inicial

kvOk = kvPk ;



Ejemplo. Campos paralelos a lo largo de geodésicas en la esfera y cilindro.



Transporte paralelo a lo largo de curvas arbitrariasLa idea será aproximar la curva con una sucesión de polígonos geodésicos en S.De�nimos el transporte paralelo a lo largo de como el límite de los transportes parale-los a lo largo de los polígonos con vértices en :

vQ = vQ (vP ; ) = l��mn!1

vQn



Ejemplo. Dos polígonos de la sucesión Pn que aproximan a un paralelo en la esfera.



El transporte paralelo induce una aplicación

H (vP ; ) : TPS �n QP

o! TQS:

Si �jamos la curva 2n QP

o, obtenemos una aplicación

H : TPS ! TQS

que manda a cada vector vP 2 TPS en su transporte paralelo vQ 2 TQS.Presentación examen profesional


Transporte paralelo en una curva cerrada, transformación de holonomíaEn este caso H es una aplicación3

H (vP ; ) : TPS �� PP! TPS;

Si �jamos la curva ; entonces la transformaciónH se convierte en una transformaciónde TPS en sí mismo

H : TPS ! TPS, con H (vP ) = v1P ;

que es llamada transformación de holonomía.

3 Todas las transformaciones forman un grupo que se llama grupo de holonomía.



El transporte paralelo del vector vP a lo largo de es el vector

v1P = v1P (vP ; ) = l��mn!1

v1Pn

en TPS, que resulta de tomar el límite de la sucesión v1Pn de vectores en TPS que re-sultan de transportar paralelamente al vector vP a lo largo de cada polígono geodésicoPn hasta completar una vuelta.



La transformación de holonomía para super�cies contenidas en R3

1. La longitud de los vectores no cambia al transportar.2. El ángulo entre dos campos paralelos a lo largo de es constante y esto implicaque el ángulo ]

�vP ; v

1P

�entre un vector y su transporte paralelo será constante e

independiente de vP .



Lo anterior implica que H es una rotación de TPS por un ángulo ' = ' que se llamaángulo de holonomía de la curva .



Transformación de holonomía en un triángulo geodésico en una super�cieTransportemos el vector vP1 a lo largo de los lados del triángulo geodésico con vérticesP1, P2 y P3 en S.

El ángulo de holonomía del triángulo

'4 = ]�vP1; v

1P1

�= 2� � (�1 + �2 + �3) = 2� �

X�i

es lo que le falta o sobra respecto de 2� (haber girado una vuelta entera).Presentación examen profesional


Transformación de holonomía en un polígono geodésico en una super�cie S

'P = 2� �nXi=1

�i:



El ángulo de holonomía de un triángulo geodésico en la esfera S2 es igual al áreaque este encierra

A (4) = 2� �X

�i = '4:



El ángulo de holonomía de un triángulo geodésico en la esfera de radio r es igualal área de la imagen del triángulo bajo la aplicación de GaussSi la esfera es de radio r entonces el área cambia en un factor r2:

A (4) =h2� �

X�i

ir2;

de donde obtenemos que el ángulo de holonomía de 4 es

'4 =h2� �

X�i

i=A (4)r2

= A (4) k = A (N (4)) .



La Fórmula de Gauss-Bonnet para un triángulo geodésico en S2r

A (N (4)) = A (4) k = A (4)r2

= 2� �X

�i = '4;

vincula la transformación de holonomía y la aplicación de Gauss. En la esfera S2r pro-porciona una manera intrínseca de medir su curvatura gaussiana mediante la igualdad

A (N (4))A (4) = k =

'4A (4).

Un ser 2D que habite en S2r puede transportar paralelamente un vector a lo largo de untriángulo geodésico, medir el ángulo de holonomía y el área del triángulo. Los dividey obtiene la curvatura gaussiana de su mundo 2D. Con la fórmula de Gauss-Bonnetpodemos interpretar la curvatura gaussiana como una densidad de holonomía porunidad de área. El ángulo de holonomía '4 es igual al producto de su área por ladensidad de holonomía

'4 = A (4) k:



Fórmula de Gauss-Bonnet para un polígono geodésico

A (N (P )) = A (P ) k =A (P )

r2= 2� �

nXi=1

�i = 'P ;



Y de nuevo, a partir de la igualdad anterior, obtenemos que la curvatura gaussiana deS2r es el cociente del ángulo de holonomía de un polígono geodésico entre su área

A (N (P ))

A (P )= k =

'PA (P )

:

La interpretación de la densidad de holonomía por unidad de área es válida paracualquier polígono en la esfera; podemos obtener su ángulo de holonomía multipli-cando su área por la curvatura gaussiana de la esfera.



Fórmula de Gauss-Bonnet para curvas cerradas contenidas en la esfera S2r

' = A (N ( ))



Tomemos una curva concreta en esfera para visualizar el resultado, un paralelo en S2yuna sucesión de polígonos geodésicos (regulares) Pn, con vértices en , que converjaal paralelo .



Por un lado

A (N (Pn)) = A (N ( ))

l��mn!1

A (Pn) = A ( ) ;

y por el otro, por de�nición

l��mn!1

'Pn = ' .

En cada polígono la fórmula de Gauss-Bonnet garantiza que

'Pn = A (N (Pn)) ;

de modo que los límites serán iguales

' = A (N ( )) .



Relación entre la integral de la curvatura geodésica y el ángulo de holonomía deuna curva Nos falta la parte de la fórmula de Gauss-Bonnet

2� �nXi=1

�i = 'P

que relaciona el ángulo de holonomía con la diferencia entre 2� y la suma de losángulos exteriores. ¿Qué sentido tienen los ángulos exteriores en nuestra curva ?Veamos qué le sucede a los ángulos exteriores de Pn cuando n!1.



En cada polígono

'Pn = 2� �X

�in.

Parametricemos el polígono Pn a longitud de arco. Los ángulos exteriores �in son losbrincos que da el vector tangente P 0n del polígono al pasar por sus vértices.



En el límite, (n!1):1. Los ángulos exteriores �in de Pn tienden a cero; los brincos del vector son cada vezmenores y el intervalo de tiempo entre ellos tiende a cero

2. El movimiento a brincos de P 0n culmina con el movimiento suave a rapidez unitariadel vector 0 a lo largo de que gira4 con una rapidez angular igual a la curvaturageodésica kG del paralelo .

De modo que en el límite tenemos

' = l��mn!1

'Pn = l��mn!1

�2� �

X�in

�= 2� �

Z

kG:

4 respecto al vector tangente de la geodésica que pasa por (s) con velocidad 0 (s)Presentación examen profesional


Fórmula de Gauss-Bonnet para curvas cerradas suaves en S2rLlegamos entonces a la fórmula de Gauss-Bonnet para el paralelo en S2r

2� �Z

kG = ' = A(N ( )):

Que se puede expresar en la forma

2� �Z

kG = ' =

ZZR

k.



Curvatura gaussiana intrínseca en la esfera y su generalizaciónLa fórmula

2� �Z

kG = ' = A(N ( )):

garantiza queA (N (4))A (4) = k =

'4A (4).

es aplicable a cualquier curva suave en la esfera' A ( )

= k =A (N ( ))

A ( ):



Método intrínseco para calcular la curvatura de una super�cieHemos encontrado un método intrínseco para calcular la curvatura de la esfera, ¿fun-cionará este método en otras super�cies?La curvatura gaussiana puede variar de una región a otra, el cociente '

A( ) nos dauna aproximación al comportamiento de la curvatura gaussiana en la región R queencierra . Necesitamos

l��mA( )!0

' A ( )

:



El ángulo de holonomía de una curva en una super�cie es igual al área bajo laaplicación de Gauss de la región que encierra.

' = A (N ( )) : (1)

A partir (1) podemos obtener la curvatura gaussiana tomando el límite l��mA( )!0' A( ).

Tomemos una sucesión de curvas n tales que

1. Siempre contengan a un punto P 2 S en la región R que encierran.2. El área que encierran tienda a cero, l��m

n!1A ( n) = 0.

Por (1) tenemos que

' n = A (N ( n)) ;

por lo que al tomar el límite obtenemos que

l��mn!1

' nA ( n)

= l��mn!1

A (N ( n))

A ( n)= k



Los espacios tangentes a lo largo de � S y N ( ) � S2 son paralelos, de modo queun campo paralelo a lo alrgo de en S será también paralelo a lo largo deN ( ) � S2.

Esto garantiza que las transformaciones de holonomía que generan los campos parale-los a lo largo de � S y N ( ) � S2 son iguales

' = '(N( ))

Por otro lado, el ángulo de holonomía '(N( )) es igual al área de la región en S2 queencierra la curva N ( ), es decir,

' = A (N ( ))



El teorema Egregio de GaussLa fórmula

k (P ) = l��mn!1

' nA ( n)

proporciona un método intrínseco para calcular la curvatura gaussiana. Midiendo án-gulos y áreas un ser 2D puede calcular la curvatura de su mundo.Si deformamosisométricamente una super�cie S, no cambiarán las áreas ni los ángulos, por lo queun ser 2D, habitante de S; no se dará cuenta del cambio en su mundo. Las medidasde los ángulos de holonomía ' n de la sucesión de curvas n y del área A ( n) de lasregiones que encierran las curvas n serán iguales.Obtendrá el mismo valor para ellímite

l��mn!1

' nA ( n)

;

y en consecuencia el mismo valor para la curvatura gaussiana antes y después dela derformación. Lo anterior nos dice que la curvatura Gaussiana es invariante bajoisometrías.



Teorema de Gauss-Bonnet para una super�cie SYa vimos que el ángulo de holonomía de una curva � S es

' = 2� �Z

kG:

Y por otro lado llegamos a que

' = A (N ( ))

Recordamos que la curvatura gaussiana en un punto P puede ser interpretada como

k (P ) = l��mA(�)!0

A (N (�))

A (�);

donde � es una región que contiene a P .



Entonces podemos ver A (N ( )) como la integral de super�cie de la función curvaturagaussiana

' = A (N (R )) =

ZZR

k:

Igualando las dos expresiones para el ángulo de holonomía obtenemos

2� �Z

kG = ' =

ZZ

k;

La fórmula de Gauss-Bonnet



3 Ideas intuitivas de conexión.Interpretación de una conexión en R2Dada una curva en R2 la conexión proporciona una manera de tranportar paralela-mente los vectores del espacio tangente al punto inicial de la curva al espacio tangenteal punto �nal.Esto induce un �ujo en el subhaz del haz tangente que se encuetra por arriba de lacurva.



La curvatura mide de la dependencia de la trayectoria en el transporte paraleloPodemos ir de uno al otro viajando a lo largo de dos curvas distintas. Los �ujos arribade cada curva pueden llegar al espacio tangente por arriba del punto �nal comúnde cada curva, de manera distinta. Esto induce una transformación en dicho espaciotangente que mide qué tan distinto llegan. Cuando los �ujos no llegan igual decimosque la conexión tiene curvatura.



La dependencia de la trayectoria y la transformación de holonomíaLa siguiente idea, (que es equivalente a la anterior), permitirá introducir la idea deltensor de curvatura.Consideremos una curva cerrada y tomemos un punto en ella, la conexión induceun �ujo en el subhaz por arriba de la curva, al volver al espacio tangente al puntoinicial, llegaremos, en general, de manera difererente. La transformación que mideesta diferencia, se llama transformación de holnomía.



Curva de transformaciones de holonomíaA cada curva le corresponde una transformación de holonomía, en analogía con lacirculación en el caso del rotacional. Si tomamos una curva de curvas que colapsenen el punto obtendremos una curva de transformaciones de holonomía. Si hacemosla curva en R2 pequeña, la transformación de holonomía se acercará a la identidad.Si tomamos el área que encierra la curva como parámetro entonces la velocidad de lacurva de transformaciones de holonomía, en a = 0, nos dará un vector en el álgebrade Lie del haz de marcos, que podemos interpretar como un campo vectorial en elespacio tangente al punto inicial.Podemos imaginar que hacemos pequeña la curva en la �gura y que las rebanadasinicial y �nal se identi�can.



La forma de curvatura (Arnold)Ahora tomemos como curvas paralelogramos en R2. Sea ��t (�; �) el paralelogramocontenido en TPR2 generado por los vectores �; � en TPR2. Mediante el parámetro tgeneremos una curva de paralelogramos ��t (t�; t�) en TPR2. A esta curva le corre-sponde5 una curva de paralelogramos �t (t�; t�) en R2, que a su vez genera una curvade transformaciones de holonomía

H�t : TPS ! TPS.

La velocidad de la curva H�t en t = 0 es cero, sin embargo su aceleración, quepodemos interpretar cómo un campo vectorial en TPS, es distinta de cero y la mi-tad de ella es la forma de curvatura evaluada en los vectores � ,�:

(�; �) =1

2

d

dt2H�t = l��m

t2!0H�t

5 (mediante una identi�cación)



4 Ideas previas para la fórmula del tensorInterpretación de la derivada covariante rXZInterpretemos la derivada covariante rXZ de un campo Z en la dirección del cam-po X. De manera intuitiva lo que una conexión hace es determinar cuáles serán lossistemas de referencia respecto a los cuales realizaremos nuestras mediciones.La derivada covariante del campo Z en la dirección determinada por las soluciones delcampo X es un tercer campo rXZ conformado por las velocidades que va midiendoun observador que viaja a lo largo de las soluciones del campo X en el sistema dereferencia paralelo �s = f�1s; �2sg determinado por la conexión



Flujos que conmutan y que no conmutan



Los �ujos que determinan los campos X y Y conmutan en una región cuando al �uirun tiempo t

LP (t) = �t � ��t � t � �t (P )

(con t en alguna vecindad del cero) a lo largo de la pareja de �ujos (X; Y ), partiendode un punto P arbitrario en la región, regresamos al punto P , es decir, cuando

LP (t) = P

y no conmutan cuando existe algún P en la región para el que

LP (t) 6= P:



Ejemplo. Dos �ujos que conmutan en R2Los campos X = (1; 0) y Y = (0; 1) conmutan ya que en cualquier punto P 2 R2

LP (t) = �t � ��t � t � �t (P ) = P:



Ejemplo. Dos �ujos en R2 que no conmutanPor otro lado los campos X = (1; 0), Y = (0; x) no conmutan en el origen: si tomamosP = (0; 0) tenemos que

LP (t) = �t � ��t � t � �t (0; 0) 6= (0; 0)



La no conmutatividad de dos �ujos en un punto como una aceleración

LP (t) = �t � ��t � t � �t (P ) = �t�0; t2

�=�0; t2

�:

L0P (0) = (0; 0) ;

L00P (0) = (0; 2) :



El corchete de LieEl corchete de Lie de los campos X y Y en el punto P es la mitad de la aceleración

[X; Y ]p =L00P (0)

2:

En el ejemplo

[X;Y ]p =L00P (0)

2= (0; 1)

El corchete de Lie nos proporciona una medida de la aceleración de la curva LP (t),es decir, de que tan rápido aumenta la velocidad (en t = 0) con la que se separa elvértice �nal del cuadrilátero



En el ejemplo de los �ujos que conmutan, X = (1; 0) y Y = (0; 1), la curva LP (t) es laconstante cero, de modo que su aceleración es la constante cero,

L00P (0) = 0 = [X; Y ]p

Entonces si1

2L00P (0) = [X;Y ]p 6= 0

el vértice �nal del cuadrilátero se alejará en la dirección de L00P en un movimientoanálogo al de una caída libre: el vector L00P es análogo al vector de aceleración queactúa en un objeto en el momento en que lo dejamos caer.



El vector [X;Y ]p indica (al empezar a correr el tiempo, t = 0):

1. La dirección en la que el vértice �nal del cuadrilátero iniciará su separación respectodel punto P (vértice inicial)

2. La rapidez con que aumentará la velocidad (que en inicialmente es cero) con quese separan los vértices, es decir, la aceleración de la separación, que es el análogoal valor de la constante de la gravedad en el movimiento de caída libre.



El corchete es un campo vectorialEn cada punto P tenemos una curva

LP (t) = �t � ��t � t � �t (P )

y su respectivo vector [X;Y ]p, de modo que estos vectores forman un nuevo campo6.

El punto P es el extremo izquierdo de cada curva y su correspondiente vector acel-eración [X;Y ]p =

12L

00P

6 Mostramos en la �gura varias curvas LP (t) para los camposX =��y2 + 1; 0

�, Y =

�0; x2 +

12

�Presentación examen profesional


5 Interpretación de la fórmulaR (X; Y )Z = rXrY Z �rYrXZ �r[X;Y ]Z

La pareja de campos (X; Y ) determina la curva de curvas(X;Y ) determina en cada punto P de la variedadM una curva de pentágonos

� = � (t) = '�t � �t � ��t � t � �t (P )

que inician y terminan en P ; donde la transformación '�t consiste en moverse untiempo �t a lo largo del campo de velocidades de la curva L (t)



El marco ��(t) de TPM que resulta de trasladar paralelamente un marco � de TPM a

lo largo del pentágono � induce una transformación lineal de holonomía

Ht (X;Y ) : TPM ! TPM ;

� ! ��(t) ;



Si variamos t obtenemos una curva de transformaciones ortogonales de holonomía.Cuando t ! 0 la curva � (t) ; a lo largo de la cual hacemos los traslados paralelos,colapsa en el punto P y el movimiento del marco �

�(t) respecto del marco � se vuelve

nulo, es decir, cuando t ! 0 la curva de transformaciones de holonomía tiende a laidentidad en TPM

Ht (X;Y )! Id.



La velocidad con que la curva Ht (X; Y ) llega a la identidad, en t = 0, es cero. Sinembargo su aceleración no es cero, es un vector tangente en el haz de marcos. Lamitad de la aceleración es el negativo de la transformación que buscamos (??):

1

2

d

dt2Ht (X;Y ) = l��m

t!0

Ht (X;Y )

t2= �R (X;Y ) :



Lo que hace la fórmula R (X;Y )Z = rXrYZ � rYrXZ � r[X;Y ]Z es ver las cosasdesde el marco paralelo. Tomamos una sección del haz de marcos en una vecindaddel punto, y miramos la variación del marco paralelo desde el marco de la sección.



El tensor es la mitad de la aceleración, para un observador en el marco paralelo (enrojo) con la cual se separa el marco formado por Z1 y Z2, de su posición inicial.



FIN

Gracias a todosPresentación examen profesional

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