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SISTEMAS DE CONTROL ALUMNO CARLOS VALENCIA

6 DE ENERO DE 2016 UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE

SISTEMAS DE CONTROL

UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS – ESPE

1

PROBLEMAS SISTEMAS DE CONTROL - SEGUNDO PARCIAL

1) Bosqueje el lugar de raíces de un sistema en lazo cerrado de segundo orden, con un comportamiento de: a) Mp=10%, b) wn=4 [rad/s] y c) Mp=10% y wn=4[rad/s]


MAURICIO RODRÍGUEZ 3

CARLOS VALENCIA

2) a) Rellene la siguiente tabla hallando las constantes y los errores

estáticos de posición, velocidad y aceleración. b) Para los casos donde exista un error estático constante, ilustre dicha situación con un gráfico.

3

𝐺1(𝑠) = 𝑠 + 2

3 𝐺2(𝑠) = 𝑠(𝑠 + 2)

3 𝐺3(𝑠) = 𝑠2(𝑠 + 2)

Error estático ante escalón

2 𝑒𝑠𝑠 = 5

3

𝑘𝑝 = 2

𝑒𝑠𝑠 = 0

𝑘𝑝 = ∞

𝑒𝑠𝑠 = 0

𝑘𝑝 = ∞

Error estático ante rampa

𝑒𝑠𝑠 = ∞

𝑘𝑣 = 0

2 𝑒𝑠𝑠 = 3

3

𝑘𝑣 = 2

𝑒𝑠𝑠 = 0

𝑘𝑣 = ∞

Error estático ante parábola

𝑒𝑠𝑠 = ∞

𝑘𝑎 = 0

𝑒𝑠𝑠 = ∞

𝑘𝑎 = 0

2 𝑒𝑠𝑠 = 3

3

𝑘𝑎 = 2


4


3) Sea un sistema de control 𝑮(𝒔) = � 𝟔

en lazo abierto. Si el

sistema � 𝒔� +𝟔𝒔+𝟗

G(s), se realimenta tal como se muestra en la figura.

Obtener: a) El gráfico de la respuesta temporal del sistema en lazo cerrado C(s)/R(s)

ante entrada escalón y haga constar en el dibujo, los tiempos, tr, ts, tp, y el período de oscilación subamortiguada, el sobrepico Mp, el valor de estado estable y el valor pico calculados.

b) El Error estático ante escalón, rampa y parábola con sus tres respectivos gráficos (del sistema en lazo cerrado).

c) El Lugar geométrico de las raíces de G. d) La Estabilidad absoluta del sistema en lazo cerrado C(s)/R(s).

Compruebe con un mapa de ceros y polos en el plano S y utilizando el Criterio de Routh-Hurwitz.

e) La ganancia necesaria para que el sistema en lazo cerrado C(s)/R(s) tenga una frecuencia natural de 8 rad/s.



4) Halle un sistema equivalente de menor orden para el siguiente

sistema:

36(𝑠 + 20) 𝐺(𝑠) = (𝑠 + 21)(3𝑠2 + 6𝑠 + 9)

Con la ayude Matlab encontramos los polos y ceros del sistema, y graficamos

el Lugar de las Raíces correspondiente:



𝐺(𝑠) = 36𝑠 + 720

3𝑠3 + 69𝑠2 + 135𝑠 + 189

gs=tf([36 720],[3 69 135 189])

polos=roots(gs.den{1})

zeros=roots(gs.num{1})

rlocus(gs)

Polo y cero despreciable

Más dominantes



Como se puede observar en el lugar de las raíces del sistema, existe un polo

y un cero que se encuentran muy alejados del origen del plano S, el cero en

-20 y el polo en 21, por lo que se los puede despreciar ya que los polos

imaginarios que se encuentran más cercanos al origen del plano S son más

predominantes.

Al despreciar ese polo y cero que se encuentran muy lejos del origen,

encontramos un sistema equivalente de menor orden al sistema que tenías

anteriormente.

Entonces, si eliminamos ese polo y cero, tendríamos el siguiente sistema

equivalente:

36(𝑠 + 20) 36 𝐺(𝑠) =

(𝑠 + 21)(3𝑠2 + 6𝑠 + 9) ≅

3𝑠2 + 6𝑠 + 9

Comprobamos esto con la ayuda de Matlab. Encontramos primero el lugar de

las raíces:

gs=tf([36],[3 6 9])

polos=roots(gs.den{1})

zeros=roots(gs.num{1})

rlocus(gs)



Y ahora graficamos los 2 sistemas con la ayuda de Simulink, para observar y

verificar si en efecto el sistema que encontramos es un sistema equivalente

al que teníamos en un comienzo:



Como se observa en la gráfica, en efecto hemos encontrado un sistema

equivalente de menor orden al expuesto en el enunciado.

5) Determine el valor de K para que el sistema siguiente sea estable.

Utilice el Criterio de Routh-Hurwitz.

𝐺(𝑠) =

1

𝑠3 + 3𝐾𝑠2 + (𝐾 + 2)𝑠 + 4



6) Diga de la estabilidad de los siguientes sistemas:

6.1

36(𝑠 + 20) (𝑠 + 21)(3𝑠2 + 6𝑠 + 9)

Graficando los polos y ceros del sistema en Matlab obtenemos lo siguiente:



Donde determinamos que el sistema es ESTABLE debido a que todos los

polos y ceros del sistema se encuentran al lado izquierdo del eje imaginario

del plano S.

6.2

2 (𝑠 + 21)(3𝑠2 + 6𝑠 + 9)




Donde determinamos que el sistema es ESTABLE debido a que todos los

polos del sistema se encuentran al lado izquierdo del eje imaginario del plano

S.

6.3

2(𝑠 − 5) (𝑠 + 2)2(3𝑠2 + 6𝑠 + 9)


Donde determinamos que el sistema es INESTABLE debido a que un cero

se encuentra al lado derecho del eje imaginario del plano S.

6.4

3 (𝑠2 + 16)2(3𝑠2 + 6𝑠 + 9)




Donde determinamos que el sistema es INESTABLE debido a que existen

polos múltiples que se encuentran sobre el eje imaginario del plano S.

6.5

3 (𝑠2 + 16)(3𝑠2 + 6𝑠 + 9)




Donde determinamos que el sistema es MARGINALMENTE ESTABLE O

MARGINALMENTE INESTABLE debido a que existen polos que se

encuentran sobre el eje imaginario del plano S.

6.6

3(𝑠 − 7) (𝑠 + 3)(𝑠 + 2)


Donde determinamos que el sistema es INESTABLE debido a que existe un

cero en el lado derecho del eje imaginario del plano S.

7) Bosqueje aplicando las reglas aprendidas, el lugar de las raíces de los

siguientes sistemas:


8) Diseñe un control proporcional k para que el sistema en lazo cerrado

de la figura, tenga:

𝐺(𝑠) = 4

0.3𝑠2 + 0.4𝑠 + 1

8.1) error de estado estable ante entrada escalón menor al 10%

8.2) tiempo pico sea 1.27 segundos

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