Deber 4Algebra Lineal

Prof. Dr. Joseph Paez Chavez

II Termino 2009–2010

Problema 1. Encuentre una base y la dimension de los siguientes subespacios de V:

(i) V = P3, W = {p(t) ∈ P3 : p(1) = 2dp(t)dt

|t=2}, H = {(a2− 3a0)t3 +(a2 + a1)t+ a0 : ai ∈

R}, H ∩W , H + W .

(ii) V = M2×2, W = gen

((1 00 2

),

(2 00 4

)), H = S2×2, H + W , H ∩W .

(iii) V = C[0, 1], H = gen(sin2(x), cos2(x), cos(2x), 2).

Problema 2. Determine cuales de los siguientes conjuntos de vectores constituyen una basede R3:

(i)

1

21

,

390

,

114

.

(ii)

1

21

,

010

,

111

,

000

.

(iii)

1

−21

,

334

.

(iv)

1

10

,

090

,

220

.

(v)

2

−1−1

,

010

,

−411

,

090

.

1

Problema 3. Construya, de ser posible, una base de P3 que contenga a los vectores:

(i) {t2 − t, t + 2, 2t2 − t + 2}.

(ii) {2t, 1− t}.

(iii) {t2 + 1, t2 − 1, t3}.

Problema 4. Sea V un espacio vectorial de dimension n. Sean W , H subespacios de V .

(i) Demuestre que dim(W + H) = dim(W ) + dim(H)− dim(W ∩H). Verifique si esto secumple en los literales (i) y (ii) del Problema 1.

(ii) Investigue la definicion de suma directa de W y H, representada por W ⊕ H. Quecondicion garantiza la suma directa de los subespacios W y H? En caso de que lasuma de W y H sea directa, a que es igual dim(W ⊕H)?

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