UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRIDESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS INDUSTRIALES

Desarrollo de un método de análisis de los�ujos de argas en un sistema de energíaelé tri a, que permite ontrolar laobten ión de más de una solu ión.Apli a ión al estudio del fenómeno de olapso de tensiónTESIS DOCTORAL

ROSA MARÍA DE CASTRO FERNÁNDEZIngeniera Industrial por la Universidad Polité ni a de MadridPara la obten ión del Grado de Do tor Ingeniero Industrial2013

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICAESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROSINDUSTRIALES

Desarrollo de un método de análisis de los�ujos de argas en un sistema de energíaelé tri a, que permite ontrolar laobten ión de más de una solu ión.Apli a ión al estudio del fenómeno de olapso de tensiónAUTORA: Rosa María de Castro FernándezIngeniera Industrial por la Universidad Polité ni a de MadridDIRECTOR: Ángel Pérez CoytoDo tor Ingeniero Industrial por la Universidad Polité ni a de Madrid

2013

A mis padres

Agrade imientosHan pasado mu hos años desde que omen é la aventura del do torado yla realiza ión de esta tesis. Por el amino nos hemos tropezado on gran an-tidad de ir unstan ias que no entraban en la hoja de ruta, pero también hanapare ido dos maravillosas �personitas� muy deseadas y que entraban dentrode mi plan vital y que han sido el verdadero empuje �nal para la on lusiónde esta tesis.Me gustaría agrade er a todas aquellas personas que me han ayudado oque simplemente me han dado unas palabras de aliento en los momentos más ompli ados uando me en ontraba perdida. Quiero desta ar:A Ángel, mi dire tor. Desde sus primeras lases uando realizaba la espe- ialidad, el proye to �n de arrera, los ursos de do torado y esta tesis siempreha despertado mi interés por el análisis de los sistemas de energía elé tri a. Hetenido el privilegio de aprender de un gran do ente. Mu has gra ias.A todos mis ompañeros del departamento, por su apoyo y por su om-prensión. En espe ial a Antonio por su generosidad y apoyo.A mi buen amigo Nelson, aunque esté a miles de kilómetros, nun a olvidarétodo lo que ompartimos.A D. Eduardo Prieto y D. Miguel Duvison por el interés y disponibilidadque siempre han mostrado. Gra ias a ellos y a Red Elé tri a de España se hapodido disponer de datos del sistema elé tri o español.A mis padres. Honestidad y buen ha er son los grandes valores que me hanlegado. Siempre están ahí para fa ilitarme las uestiones logísti as. Siempreestán ahí para darme aliento, para ver la luz uando todo está os uro. Siempre,siempre. Todo lo que soy y ómo soy se lo debo a ellos.A Paquito, siempre positivo y poniendo un toque de humor en los momentosdifí iles.Finalmente, a Carlos, siempre pragmáti o, me ha ayudado a ser valiente.Mu has gra ias a todos.

Índi e general1. Estabilidad de tensión, fundamentos y trabajos previos 11.1. De�ni iones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Métodos de análisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.1. Métodos dire tos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.2. Métodos de ontinua ión . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.3. Métodos indire tos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.3.1. Fa tores de sensibilidad . . . . . . . . . . . . . 91.2.3.2. Índi es basados en la matriz ja obiana del �ujode argas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.3.3. Margen de arga mínimo . . . . . . . . . . . . . 141.2.3.4. Proximidad de la pareja de solu iones del �ujode argas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2.3.5. Métodos lo ales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3. Con lusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172. Apli a ión del teorema de la máxima transferen ia de poten- ia. Amplia ión para onsiderar varios nudos de arga simul-táneamente 192.1. Introdu ión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2. El teorema de la máxima transferen ia de poten ia onven ionaly su empleo para determinar el margen de arga . . . . . . . . . 21i

Índi e general2.2.1. Ante edentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2.2. Metodología propuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2.3. In�uen ia del modelo de los generadores . . . . . . . . . 252.2.3.1. Caso IEEE 14 nudos . . . . . . . . . . . . . . . 252.2.3.2. Caso IEEE 39 nudos . . . . . . . . . . . . . . . 262.2.3.3. Caso IEEE 57 nudos . . . . . . . . . . . . . . . 272.2.3.4. Caso IEEE 118 nudos . . . . . . . . . . . . . . 272.2.3.5. Caso IEEE 118 nudos modi� ado . . . . . . . . 282.2.3.6. Caso IEEE 300 nudos . . . . . . . . . . . . . . 282.2.3.7. Caso de 1182 nudos de la red española . . . . . 292.2.3.8. Con lusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.2.4. Implementa ión de la metodología propuesta . . . . . . . 322.2.5. Compara ión on otras metodologías . . . . . . . . . . . 352.3. Considera ión de varios nudos en el teorema de la máxima trans-feren ia de poten ia. Cál ulo de admitan ias ríti as . . . . . . . 372.3.1. Caso parti ular: Sistema de 2 nudos . . . . . . . . . . . . 412.3.2. Caso parti ular: Sistema de n− 1 nudos de arga pura-mente resistivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.3.3. Caso general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.3.3.1. Simpli� a iones de ál ulo . . . . . . . . . . . . 462.3.3.2. Análisis de resultados en un aso de tres nudos 482.3.4. Tratamiento de los nudos generadores . . . . . . . . . . . 502.3.4.1. Los nudos PU superan sus límites de genera- ión de poten ia rea tiva . . . . . . . . . . . . . 502.3.4.2. Los nudos PU trabajan dentro de sus límitesde genera ión de poten ia rea tiva . . . . . . . 512.3.4.3. Compara ión de los modelos . . . . . . . . . . . 55ii

Índi e general 2.3.4.4. Análisis del aso IEEE de 118 nudos . . . . . . 582.3.4.5. Con lusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593. Nueva metodología de ara teriza ión de la estabilidad de ten-sión empleando el �ujo de argas. El nudo FU 613.1. El nudo FU. Nueva de�ni ión de tipo de nudo para el �ujo de argas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.2. Modelo de nudo FU. Formula ión matemáti a . . . . . . . . . . 623.3. Casos de estudio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.3.1. Red IEEE de 118 nudos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.3.1.1. Empleo de un solo nudo FU . . . . . . . . . . . 663.3.1.2. Empleo de varios nudos FU. Cál ulo de már-genes de arga . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.3.2. Red IEEE de 118 nudos, modi� ado . . . . . . . . . . . . 783.3.2.1. Margen de arga global . . . . . . . . . . . . . 783.3.2.2. Deslastre de arga . . . . . . . . . . . . . . . . 793.3.2.3. Empleo de los nudos FU para ara terizar nu-dos generadores. Considera ión de distintos fa -tores de poten ia . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.3.2.4. Estudio de ontingen ias . . . . . . . . . . . . . 863.3.2.5. Con lusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874. Apli a ión de los nudos FU a asos de la red española. Cara -teriza ión del fenómeno de estabilidad de tensión 894.1. Introdu ión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.2. Estudio del fenómeno de estabilidad de tensión . . . . . . . . . . 904.2.1. Estudio de es enarios ualesquiera . . . . . . . . . . . . . 934.2.1.1. Primera etapa. Análisis de los nudos piloto de400 kV omo nudos FU . . . . . . . . . . . . . 93iii

Índi e general4.2.1.2. Segunda etapa. Análisis de sensibilidad . . . . . 964.2.1.3. Ter era etapa. Determina ión del margen de arga de ada área . . . . . . . . . . . . . . . . 984.2.2. Análisis de es enarios � ti ios . . . . . . . . . . . . . . . 1074.2.2.1. Primera etapa. Análisis de los nudos piloto de400 kV omo nudos FU . . . . . . . . . . . . . 1094.2.2.2. Segunda etapa. Análisis de sensibilidad . . . . . 1114.2.2.3. Ter era etapa. Determina ión del margen de arga de ada área . . . . . . . . . . . . . . . . 1114.2.3. Estudio de los es enarios más degradados de las 17:54 y18:19 horas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1154.2.3.1. Estudio del es enario de las 17:54 horas . . . . 1154.2.3.2. Estudio del es enario de las 18:19 horas . . . . 1164.2.4. Implementa ión prá ti a de la estrategia de análisis em-pleando los nudos FU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1194.3. Con lusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1205. Con lusiones y trabajos futuros 1235.1. Resumen y on lusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1235.2. Aporta iones originales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1245.3. Trabajos futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125Bibliografía 127

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Índi e de tablas2.1. Compara ión del ál ulo de la poten ia a tiva máxima emplean-do la metodología MCTMP on el valor real para el aso IEEEde 14 nudos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2. Compara ión del ál ulo de la poten ia a tiva máxima emplean-do la metodología MCTMP on el valor real para el aso IEEEde 39 nudos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.3. Compara ión del ál ulo de la poten ia a tiva máxima emplean-do la metodología MCTMP on el valor real para el aso IEEEde 57 nudos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.4. Compara ión del ál ulo de la poten ia a tiva máxima emplean-do la metodología MCTMP on el valor real para el aso IEEEde 118 nudos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.5. Compara ión del ál ulo de la poten ia a tiva máxima emplean-do la metodología MCTMP on el valor real para el aso IEEEde 118 nudos modi� ado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.6. Compara ión del ál ulo de la poten ia a tiva máxima emplean-do la metodología MCTMP on el valor real para el aso IEEEde 300 nudos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.7. Compara ión del ál ulo de la poten ia a tiva máxima emplean-do la metodología MCTMP on el valor real para el aso de lared española del 2 de marzo de 2004 a las 19:05. . . . . . . . . . 292.8. Por entajes de error absoluto y �ujos de argas ne esarios em-pleando la admitan ia SG en la metodología propuesta de ál u-lo de poten ia ríti a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32v

Índi e de tablas2.9. Compara ión de resultados entre metodología Haque y la pro-puesta MCTMP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.10. Compara ión de tiempo de ál ulo entre metodología propuestaMCTMP y �ujo de argas de ontinua ión. . . . . . . . . . . . . 362.11. Cál ulo de admitan ias ríti as del nudo 2 para el aso de 3 nudos. 492.12. Cál ulo del módulo de la admitan ia ríti a y poten ia del nudo6 en p.u. onsiderando los diferentes modelos PU para el asobase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.13. Cál ulo del módulo de la admitan ia ríti a del nudo 6 en p.u. onsiderando los diferentes modelos PU para el aso 1. . . . . . 562.14. Cál ulo del módulo de la admitan ia ríti a del nudo 6 en p.u. onsiderando los diferentes modelos PU para el aso 2. . . . . . 562.15. Cál ulo del módulo de la admitan ia ríti a en p.u. del nudo 6 onsiderando los diferentes modelos PU para el aso 3. . . . . . 572.16. Cál ulo del módulo de la admitan ia ríti a del nudo 6 en p.u. onsiderando los diferentes modelos PU para el aso 4. . . . . . 572.17. Cál ulo del módulo de la admitan ia ríti a del nudo 6 en p.u. onsiderando los diferentes modelos PU para el aso 5. . . . . . 572.18. Compara ión de resultados para el ál ulo de la admitan ia rí-ti a para el nudo 44 del aso IEEE de 118 nudos. . . . . . . . . 592.19. Compara ión de resultados para el ál ulo de la admitan ia rí-ti a para varios nudos del aso IEEE de 118 nudos. . . . . . . . 593.1. Resultados para distintos valores de tensión en p.u. para el asoIEEE de 118 nudos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.2. Obten ión de puntos inestables de la urva P-U para el asoIEEE de 118 nudos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.3. Tensiones más bajas y más altas por zona en p.u. para el asoIEEE de 118 nudos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.4. Análisis de riti idad para la zona 1 en p.u. del aso IEEE de118 nudos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72vi

Índi e de tablas3.5. Análisis de riti idad para la zona 2 en p.u. del aso IEEE de118 nudos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.6. Análisis de riti idad para la zona 3 en p.u. del aso IEEE de118 nudos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.7. Valores ara terísti os para el análisis on nudos FU en p.u., onsiderados de forma independiente por zonas y su ompara- ión on el FCC para el aso IEEE de 118 nudos. . . . . . . . . 753.8. Valores ara terísti os para el análisis on nudos FU en p.u., onsiderados de forma simultánea y su ompara ión on el FCCpara el aso IEEE de 118 nudos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.9. Tensiones más bajas por zona en p.u. para el aso IEEE de 118nudos modi� ado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.10. Valores ara terísti os para el análisis on nudos FU en p.u., onsiderados de forma simultánea y su ompara ión on el FCCpara el aso IEEE de 118 nudos modi� ado. . . . . . . . . . . . 793.11. Análisis de riti idad para la zona 3 en p.u. ante una opera- ión de deslastre del nudo 118 para el aso IEEE de 118 nudosmodi� ado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.12. Sensibilidades de los nudos de la zona 1 ante una disminu ióndel 1% de la tensión de los generadores on fa tor de poten iaunidad para in rementar el inter ambio de área entre la zona 1y 2 en el aso IEEE de 118 nudos modi� ado. . . . . . . . . . . 833.13. Sensibilidades de los nudos de la zona 1 ante una disminu ióndel 1% de la tensión de los generadores on fa tor de poten iaunidad para in rementar el inter ambio de área entre la zona 1y 2 en el aso IEEE de 118 nudos modi� ado on tensionespróximas a 0,9 p.u. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843.14. Sensibilidades de los nudos de la zona 1 ante una disminu ióndel 1% de la tensión de los generadores para in rementar elinter ambio de área entre la zona 1 y 2 en el aso IEEE de118 nudos modi� ado para distintos fa tores de poten ia en losgeneradores originarios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85vii

Índi e de tablas3.15. Márgenes de arga para la elimina ión de las 25 líneas más rí-ti as para el aso IEEE 118 nudos modi� ado. . . . . . . . . . . 874.1. Resumen de los datos más representativos de los diez es enarios orrespondientes al 17 de di iembre de 2001. . . . . . . . . . . . 924.2. Resumen del estudio de sensibilidad por áreas on redu ión detensión de 0, 3% y tanϕ = 0, 01 para el aso del 17 de di iembrede 2001. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984.3. Solu iones estables e inestables en el nudo ELIANA3 on tanϕ =

0, 3 para el es enario de las 17:54 orrespondiente al 17 de di- iembre de 2001. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1154.4. Solu iones estables e inestables en el nudo ELIANA3 on tanϕ =

0, 3 para el es enario de las 18:19 orrespondiente al 17 de di- iembre de 2001. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

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Índi e de �guras1.1. Método de ontinua ión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.1. Sistema de 2 nudos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2. Sistema de 3 nudos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3. Equivalente multithévenin para el sistema de tres nudos. . . . . 222.4. Errores en el ál ulo de la poten ia ríti a. . . . . . . . . . . . . 312.5. Diagrama de �ujo del algoritmo propuesto para el ál ulo de lapoten ia ríti a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.6. Algoritmo de ajuste de la admitan ia de arga. . . . . . . . . . . 352.7. Equivalente multithévenin para dos nudos de arga ualesquiera

k y m al que se le añaden las admitan ias de arga. . . . . . . . 382.8. Super� ie de poten ia total para el aso de 3 nudos ortada porlos planos de admitan ias ríti as. . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.9. Equivalente en admitan ia para representar el omportamientode los nudos PU. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.10. Equivalente de fuente ideal de tensión on impedan ia para losnudos PU. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.11. Equivalente de fuente real de tensión on rea tan ia para losnudos PU. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.12. Compara ión del omportamiento de los modelos PU propuestospara el aso de 6 nudos Ward&Hale ante distintos es enarios de arga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58ix

Índi e de �guras3.1. Red del aso IEEE de 118 nudos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.1. Zonas en las que se divide el sistema elé tri o español y posi iónde los nudos piloto de 400 kV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.2. Curvas de demanda y genera ión de la zona española de los diezes enarios orrespondientes al 17 de di iembre de 2001. . . . . . 914.3. Última solu ión estable obtenida para los nudos piloto de 400 kV on tanϕ = 10 para varios es enarios del aso del 17 de di iem-bre de 2001. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.4. Determina ión de la riti idad de los nudos . . . . . . . . . . . . 974.5. Margen para el área de Cataluña . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.6. Margen para el área de Valen ia-Mur ia . . . . . . . . . . . . . 1024.7. Margen para el área de Madrid . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.8. Margen para el área de Andalu ía . . . . . . . . . . . . . . . . . 1044.9. Margen de arga para una redu ión del 10% de tensión y án-gulo de arga ini ial para varios es enarios del aso del 17 dedi iembre de 2001. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1064.10. Última solu ión estable obtenida para los nudos piloto de 400 kV on tanϕ = 10 para varios es enarios � ti ios del aso del 17 dedi iembre de 2001. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1094.11. Margen para el área de Cataluña . . . . . . . . . . . . . . . . . 1124.12. Margen para el área de Valen ia-Mur ia . . . . . . . . . . . . . 1134.13. Curva de solu iones del nudo ELIANA3 on tanϕ = 0, 3 parael es enario de las 17:54 orrespondiente al 17 de di iembre de2001. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1164.14. Curva de solu iones del nudo ELIANA3 on tanϕ = 0, 3 parael es enario de las 18:19 orrespondiente al 17 de di iembre de2001. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1174.15. Análisis de opera ión de deslastre ombinado en ELIANA3 yJIJONA2 on tanϕ = 0, 3 para el es enario de las 18:19 orres-pondiente al 17 de di iembre de 2001. . . . . . . . . . . . . . . . 118x

Índi e de �guras4.16. Margen en ELIANA3 y JIJONA2 on tanϕ = 0, 3 para el es e-nario de las 18:19 onvergente orrespondiente al 17 de di iem-bre de 2001. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

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Planteamiento y resumen de latesisÁmbito y al an e del estudioEl fenómeno de estabilidad de tensión y su rela ión on el olapso de tensiónjuegan un papel muy importante en la opera ión segura y �able de los sistemaselé tri os. Por este motivo, este problema ha tomado gran relevan ia en losúltimos tiempos, de ahí que haya sus itado gran interés su estudio, tal omoatestiguan los trabajos detallados en la bibliografía.Aunque la naturaleza del fenómeno del olapso de tensión es esen ialmen-te dinámi a, se puede estudiar desde un punto de vista estáti o, más aún silos parámetros del sistema presentan una evolu ión lenta, omo es el aso dein rementos ontinuados del nivel de arga. El empleo del �ujo de argas paradete tar la proximidad al olapso de tensión es una té ni a muy difundida entrelas múltiples herramientas e índi es desarrollados para estudiar este fenómeno.En mu hos de los trabajos onsultados, la herramienta o metodología deresolu ión empleada presenta gran omplejidad analíti a de forma que la om-prensión del fenómeno desde un punto de vista elé tri o queda enmas aradopor problemas de tipo matemáti o. En esta tesis se pretende abordar el estudiodel fenómeno de estabilidad de tensión empleando metodologías que permitan omprender el pro eso de análisis desde su dimensión elé tri a ha iendo usode on eptos bási os de la teoría de ir uitos y análisis de redes elé tri as.Por otra parte, las e ua iones no lineales que resultan de la formula ión del�ujo de argas presentan solu iones múltiples. De todas ellas, una orresponde on la solu ión ono ida omo estable y el resto omo inestables o solu ionesque, aunque analíti amente posibles, no son fa tibles en la opera ión del siste-ma elé tri o. El número de estas solu iones disminuye a medida que se argaxiii

Planteamiento y resumen de la tesisel sistema, de tal manera que en las proximidades del olapso de tensión soloexiste una pareja de solu iones muy próximas. La existen ia del par de solu- iones, una estable y otra inestable, er anas, se puede emplear para estimarla distan ia al punto de olapso de tensión o para al ular el margen de argamínimo hasta di ho punto ríti o. En este ontexto, resulta de gran interésdesarrollar métodos para lo alizar las solu iones múltiples de manera rápida ye� iente. En la bibliografía se han en ontrado diversos métodos que abordaneste problema y en ninguno de ellos la búsqueda de solu iones representa unatarea sen illa; en primer lugar por la di� ultad analíti a aso iada a su búsque-da y en segundo por la in ertidumbre de saber si las solu iones obtenidas sontodas las analíti amente posibles. Bási amente existen dos métodos que abor-dan la tarea de bus ar múltiples solu iones. El primero de ellos está basadoen la realiza ión de una estima ión ini ial ade uada de las solu iones inesta-bles para posteriormente obtener las solu iones múltiples. El segundo método,desarrollado en los últimos años, emplea té ni as de álgebra simbóli a, en on- reto las bases de Gröbner, para resolver las e ua iones del �ujo de argas yasí obtener on total seguridad todas las solu iones analíti amente posibles.La implementa ión de este método presenta grandes de� ien ias, pues el algo-ritmo que desarrolla las bases de Gröbner onsume grandes re ursos y olapsalos sistemas informáti os, in luso para sistemas pequeños de in o nudos. Portanto, esta segunda línea de investiga ión, que es atra tiva en sí misma ne e-sita de un estudio más profundo para superar las di� ultades que presenta ensu apli a ión a la resolu ión del �ujo de argas.Cabe men ionar que en el aso del �ujo de argas de ontinua ión, queemplea té ni as de ontinua ión para trazar la urva P-U y uyo objetivo es al ular el punto de olapso de tensión, se puede trazar la parte de la urva orrespondiente a las solu iones inestables. En este sentido, aunque no es supropósito, esta té ni a se puede onsiderar también omo una herramienta debúsqueda de solu iones múltiples. Sin embargo, esta tarea no es e� iente, puesel tiempo de ál ulo empleado es elevado.En esta tesis se han seguido dos líneas de trabajo. La primera de ellas desa-rrolla, omo novedad, una extensión del teorema de la máxima transferen iade poten ia uando varía la arga de varios nudos de forma simultánea para al ular las admitan ias, que se denominan ríti as, de forma rápida, sin ha eruso de métodos numéri os. A partir de las mismas se obtiene la poten ia totalmáxima que permite obtener informa ión global sobre la er anía al olapso detensión. La segunda línea aborda el estudio de la estabilidad y proximidad alxiv

Planteamiento y resumen de la tesis olapso de tensión mediante el análisis de los �ujos de arga en los sistemas deenergía elé tri a. Como prin ipal aporta ión se propone el empleo de un nuevotipo de nudo, que se ha denominado FU, para el análisis del �ujo de argasque permite obtener de manera rápida informa ión global del omportamientodel sistema elé tri o de interés para el análisis del fenómeno de estabilidad detensión onsiderando los límites del sistema. Este método permite realizar unseguimiento del omportamiento del sistema para al ular el margen de arga,prede ir el olapso de tensión dete tando zonas ríti as, origen del problemasubya ente, trazar la urva P-U de forma dire ta y rápida para al ular so-lu iones inestables, hasta servir de herramienta de apoyo en opera iones deplani� a ión.Estru tura de la tesisPara abordar todos los aspe tos men ionados anteriormente, la tesis se haestru turado en in o apítulos.En el apítulo 1 se de�nen los on eptos de estabilidad de tensión, fenómenoaso iado y olapso de tensión. Se presentan los fundamentos del problema, serealiza una revisión de los trabajos previos más relevantes y de los diferentesindi adores empleados por los mismos para dete tar el punto de olapso detensión.En el apítulo 2 se emplea el on epto manejado por el teorema de la má-xima transferen ia de poten ia para al ular el margen de arga. Primero sedesarrolla una metodología uando solo se varía la arga de un nudo y quemejora los métodos presentes en la bibliografía. De manera adi ional, se desa-rrolla de forma original la expresión analíti a que permite apli ar el teoremade la máxima transferen ia de poten ia para determinar el margen de poten iamáximo para un sistema de varios nudos que pueden variar su arga simul-táneamente. Este desarrollo al ula las admitan ias ríti as a olo ar en losnudos de arga para obtener la máxima arga del sistema. A partir de es-tas admitan ias se determina el margen de poten ia y es posible estable er la riti idad de los nudos o zonas del sistema elé tri o de estudio.En el apítulo 3 se des ribe un nuevo método para ara terizar el fenó-meno de estabilidad de tensión desde un punto de vista prá ti o. Constituyela prin ipal aporta ión de esta tesis por dos motivos. Primero, por la novedadxv

Planteamiento y resumen de la tesisen ómo afronta el problema y el desarrollo analíti o que emplea para ello ysegundo, por la múltiple fun ionalidad que propor iona al operador del sistemapara la opera ión prá ti a del mismo. La informa ión que puede propor ionarpuede ser omplementaria a la informa ión que propor ionan otras té ni asempleadas para ara terizar el fenómeno de estabilidad de tensión omo el�ujo de argas estándar y de ontinua ión.Para mostrar su apli abilidad a los sistemas reales, en el apítulo 4 sehan analizado varios asos de la red española para mostrar la versatilidad einforma ión útil que propor ionan los nudos FU.Por último, en el apítulo 5 se realiza una men ión de las aporta ionesprin ipales de esta tesis y se espe i� an las líneas de investiga ión para trabajosfuturos que permitan un análisis más profundo y general de los resultados aquípresentados.

xvi

Capítulo 1Estabilidad de tensión,fundamentos y trabajos previos1.1. De�ni ionesEn los últimos años los sistemas de energía elé tri a se han visto forzadosa trabajar er a de sus límites físi os o de arga debido fundamentalmente ala liberaliza ión del mer ado elé tri o. Como onse uen ia, han o urrido entodo el mundo diversos episodios rela ionados on el problema de estabilidadde tensión. Debido a la importan ia de este fenómeno, que afe ta de maneraimportante a la opera ión segura de los sistemas, se han realizado gran antidadde trabajos para entender este fenómeno y para estable er métodos o té ni asde dete ión y predi ión de forma que puedan tomarse a tiempo medidas orre toras.El término estabilidad de tensión, de a uerdo on [Kundur y otros, 2004℄,se re�ere a la habilidad de un sistema de energía elé tri a para mantener lastensiones de todos los nudos del sistema en un rango permisible después deprodu irse una perturba ión.Según el tipo de perturba ión, la estabilidad de tensión puede lasi� arseen: Estabilidad de tensión debido a grandes perturba iones, omo orto ir- uitos, pérdidas de genera ión o ontingen ias de la red.Estabilidad de tensión debido a pequeñas perturba iones, omo ambios1

Capítulo 1. Estabilidad de tensión, fundamentos y trabajos previosin rementales en la arga.El término olapso de tensión, según [Kundur y otros, 2004℄, se re�ere alpro eso por el que la se uen ia de eventos que a ompañan a la inestabilidad detensión deriva en un fallo severo del suministro o en tensiones anormalmentebajas en una zona signi� ativa del sistema.Los prin ipales fa tores que tienen in�uen ia en el fenómeno de olapso detensión son:El nivel de arga en el sistema.Cara terísti as del sistema, líneas de onexión y genera ión disponible.A ión de los ambiadores de toma de los transformadores y de otros ontroles omo termostatos, relés térmi os, et . en periodos de baja ten-sión.A tua ión de los equipos de ompensa ión de poten ia rea tiva, omo ondensadores, ompensadores sín ronos, et . uando baja la tensión enel sistema.Sea ual sea la ausa prin ipal que provo a el fenómeno de estabilidad detensión, el efe to en el sistema se tradu e en una in apa idad por parte delos generadores de propor ionar la poten ia rea tiva que requiere el sistema ouna in apa idad de las líneas de transporte de transmitir el �ujo de poten iaa tiva demandada por las argas. Es de ir, o se superan los límites o reservasde poten ia rea tiva de los generadores o se supera la apa idad de transportede las líneas en estas ondi iones, respe tivamente.1.2. Métodos de análisisLos sistemas de energía elé tri a presentan ara terísti as de omporta-miento no lineales, por lo que deben ser analizados on té ni as de análisis nolineales. La teoría de las bifur a iones [Cañizares, 2002℄ es una de ellas y se a-ra teriza porque predi e de forma ualitativa los ambios de omportamientoen un sistema, es de ir, la forma en que un sistema presenta un omportamien-to inestable, asumiendo una varia ión lenta de los parámetros del sistema deestudio. Esta suposi ión se ono e omo aproxima ión uasiestáti a y signi� a2

1.2. Métodos de análisisque la varia ión de los parámetros es lo su� ientemente lenta si se ompara on la dinámi a del resto del sistema. Las formas o aminos para al anzarla inestabilidad son independientes del tamaño o omplejidad del modelo delsistema.El fenómeno de estabilidad de tensión es de naturaleza igualmente no li-neal, de modo que para el estudio de la estabilidad de tensión por pequeñasperturba iones se puede emplear la teoría de las bifur a iones y en prin ipio nosería muy ade uado para el aso de grandes perturba iones que en o asionesson responsables del olapso de tensión.La teoría de las bifur a iones requiere que el sistema sea modelado em-pleando dos tipos de variables: estados y parámetros. Los estados presentanuna varia ión dinámi a durante los transitorios del sistema. Ejemplos de esta-dos son los módulos y los ángulos de las tensiones de los nudos. Los parámetrospresentan una varia ión lenta en los ambios graduales del sistema de e ua- iones. Ejemplos de parámetros son las varia iones de demanda de poten iaa tiva en los nudos.El sistema puede ser modelado mediante un onjunto de e ua iones dife-ren iales y/o algebrai as que dependan de un parámetro λ. Las solu iones delsistema de e ua iones estarán en fun ión de este parámetro, de forma que laestru tura ualitativa de la solu ión ambiará según ambie el valor del pa-rámetro. La representa ión grá� a de las solu iones en fun ión del parámetro onstituyen los diagramas de rama o bifur a ión [Seydel, 1994℄. Estas solu io-nes presentan dos formas:Rama. Se trata de una urva ontinua, unión de solu iones.Punto de rama. Punto en el que el número de solu iones ambia al am-biar λ. Se puede hablar de:• Puntos límites o puntos de silla. Antes de al anzar este punto exis-ten dos solu iones para un mismo valor del parámetro λ (puedepresentar una rama inestable y otra estable o las dos inestables, ymás allá de él no existe solu ión.• Puntos de bifur a ión. Puntos en los que onvergen dos ramas ondistinta tangente, es de ir, existen solu iones a ambos lados de él.Se tratará de un punto de bifur a ión super ríti a si las solu ionesa ambos lados son estables y si no, sub ríti a.3

Capítulo 1. Estabilidad de tensión, fundamentos y trabajos previos• Bifur a iones Hopf. Se trata de una bifur a ión de una rama deequilibrio a una rama de os ila iones periódi as.Cada una de las bifur a iones anteriores presenta un omportamiento di-ferente de los valores propios de la matriz ja obiana del sistema, por tanto,para el estudio de la estabilidad puede ser útil realizar un análisis de di hosvalores propios. La obten ión de los diagramas de ramas es ompli ada ya quepor limita iones omputa ionales solo se puede obtener un onjunto de puntos, on el riesgo de perder informa ión sobre los puntos límite o perder tiempo al al ular puntos no signi� ativos. En estos aso es ne esario disponer de unmétodo que genere una adena de solu iones satisfa toria, omo por ejemplolos métodos de ontinua ión.En el aso parti ular de los sistemas de energía elé tri a representadosmediante modelos que dependen de un solo parámetro, se ha omprobadoque los puntos límites son una de las ausas más omunes responsables delos problemas de olapso de tensión. Sin embargo, otro tipo de bifur a ionespueden estar detrás de este fenómeno, omo por ejemplo las bifur a ionestipo Hopf, aunque si se asume un nivel de amortiguamiento importante estasbifur a iones desapare en. También es posible en ontrar el origen del olapsode tensión en la o urren ia de fenómenos dinámi os muy rápidos que nadatienen que ver on el fenómeno de las bifur a iones [Cañizares, 1995℄. Portanto, onsideraremos que las ausas del olapso de tensión tienen su origenen los puntos límites.El empleo de modelos dinámi os para los diferentes elementos que formanparte del sistema es importante para representar de forma ade uada el fe-nómeno de estabilidad de tensión. Sin embargo, las simula iones en tiemporeal resultan muy ostosas en términos de tiempo de ál ulo, lo que les ha einade uados para el análisis de una gran variedad de es enarios. Además, nopropor ionan de forma dire ta informa ión sobre la sensibilidad o grado deinestabilidad. Por otra parte, los estudios de tipo estáti o emplean e ua ionesde tipo algebrai o que ignoran la dinámi a de los elementos del sistema, porlo que son más e� ientes que los anteriores en términos omputa ionales. Porlo tanto, la forma más ade uada de enfrentar el estudio del fenómeno de esta-bilidad de tensión sería emplear de forma omplementaria té ni as de análisisestáti as y dinámi as [Cutsem y Vournas, 1998; Gao y otros, 1996℄.En esta tesis se proponen diversas metodologías de análisis del fenómenode estabilidad de tensión desde un punto de vista estáti o, por este motivo se4

1.2. Métodos de análisisdes riben brevemente los métodos existentes más relevantes, fundamentados enel análisis de régimen permanente (estáti os) y en el análisis de sensibilidades.Así, para la dete ión de las bifur a iones punto límite se emplean los siguientesmétodos de ará ter estáti o1:Métodos dire tos.Métodos de ontinua ión.Métodos indire tos.La prin ipal ara terísti a de los métodos dire tos y de ontinua ión es quelas e ua iones empleadas son no singulares en el punto de bifur a ión, siendo,por tanto, té ni as muy útiles para lo alizar estos puntos en los sistemas deenergía elé tri a. Los métodos indire tos al ulan el margen de que dispone unsistema hasta llegar al punto de olapso mediante el ál ulo de unos índi es orealizando un análisis de sensibilidades.1.2.1. Métodos dire tosLos métodos dire tos o métodos del punto de olapso en uentran dire ta-mente el punto de bifur a ión a partir de unas itera iones Newton-Raphsonmodi� adas. Así, de forma general, un sistema no lineal que depende de unparámetro λ puede ser representado por:z = f (z, λ) (1.1)donde z ∈ Rn representa las variables de estado y λ ∈ R representa el paráme-tro de varia ión. Este sistema presenta un punto de bifur a ión de equilibrio

(zo, λo) uando su matriz ja obiana es singular. Si se trata de un punto límiteel ve tor propio por la izquierda ω es no nulo y el ja obiano presenta un úni ovalor propio nulo, enton es la ondi ión anterior se puede expresar omo:f (zo, λo) = 0

DTz f (zo, λo)ω = 0 (1.2)

‖ω‖∞ = 11La lasi� a ión de las diferentes metodologías presentadas en esta se ión se ha basadoen la presentada en [Cañizares, 2002℄ y mu has de las on lusiones mostradas se indi an endi ha referen ia. La lasi� a ión se ha ompletado on algunas propuestas más a tualizadas.5

Capítulo 1. Estabilidad de tensión, fundamentos y trabajos previosEsta formula ión es la empleada para los sistemas de energía elé tri a por[Cañizares y otros, 1992; Cañizares y Alvarado, 1993℄, donde f representa lase ua iones ordinarias del �ujo de argas, por ser la que presenta mejores a-ra terísti as para grandes sistemas [Cañizares y Alvarado, 1993℄. Este métodopermite al ular de forma dire ta el margen de arga hasta el punto de olapso omo:∆λ = λo − λ (1.3)Las desventajas que presenta este método es que requiere una buena hipó-tesis de valores de partida y un gran esfuerzo de ál ulo, que se in rementa uando se onsideran los diferentes tipos de límites del sistema [Greene y otros,1999℄. Por otra parte, su apli a ión a sistemas reales presenta problemas detipo numéri o uando se onsideran todos los límites del sistema [Cañizares yAlvarado, 1993℄.1.2.2. Métodos de ontinua iónLos métodos de ontinua ión al ulan la traye toria de los puntos de equi-librio del sistema no lineal [Seydel, 1994℄z = f (z, λ) (1.4)representado por las e ua iones del �ujo de argas y dependientes de un pará-metro variante λ, que suele ser el fa tor de arga, hasta aproximarse al puntode bifur a ión. El empleo del �ujo de argas para obtener informa ión sobreel punto de olapso de tensión presenta una di� ultad por el he ho de que sumatriz ja obiana es singular en ese punto. Como onse uen ia, las solu ionesdel �ujo de argas presentan errores o problemas de onvergen ia en las proxi-midades del punto límite. Para evitar la singularidad de la matriz ja obiana,las e ua iones del �ujo de argas se pueden reformular empleando té ni asbasadas en una parametriza ión del problema, propor ionando un pro eso deaproxima ión al onjunto de solu iones de las e ua iones del �ujo de argasque se ono e on el nombre de ��ujo de argas de ontinua ión�, [Ajjarapuy Christy, 1992℄. El objetivo es en ontrar de forma ontinua el onjunto desolu iones del �ujo de argas partiendo de una situa ión de partida o base, deforma que en lugar de eje utar varios �ujos de argas para en ontrar di has6

1.2. Métodos de análisissolu iones se eje ute un solo �ujo que propor ione todas las solu iones.Los métodos de ontinua ión onstan de tres etapas bási as: predi ión,parametriza ión y orre ión.1. Predi ión: trata de en ontrar una aproxima ión a la próxima solu ión.2. Parametriza ión: es la forma matemáti a que se emplea para identi� ar ada solu ión de forma que la solu ión siguiente y anterior puedan ser uanti� adas.3. Corre ión: la etapa de predi ión propor iona una solu ión aproximada.La etapa de orre ión debe obtener la nueva solu ión a partir de lapredi ión anterior.La Figura 1.1 muestra ómo fun iona este método. Así, dado un punto deequilibrio (z1, λ1) se desea prede ir un nuevo punto (z2, λ2) a partir del ál ulode la dire ión del ve tor ∆z1 y del ambio en el parámetro ∆λ1 propor ionan-do un punto (z1 +∆z1, λ1 +∆λ1) que es empleado en la etapa de orre iónpara obtener el punto de equilibrio (z2, λ2).Las diferentes implementa iones realizas de este método di�eren según seanlas té ni as empleadas en ada una de las etapas anteriores.(z1, λ1)

(z2, λ2)

∆z1

λ

(zo, λo)

Figura 1.1: Método de ontinua ión.La etapa de predi ión, muy ligada a la parametriza ión, se entra en el ál ulo de la dire ión del ve tor ∆z1 y propor iona una solu ión aproximada.La última etapa es el pro eso de orre ión y obtiene la nueva solu ión a partirde la predi ión anterior. Se debe resolver el siguiente onjunto de e ua iones:7

Capítulo 1. Estabilidad de tensión, fundamentos y trabajos previosf (z, λ) = 0

ρ (z, λ) = 0

(1.5)La segunda e ua ión garantiza la no singularidad del ja obiano de las e ua- iones anteriores. En prin ipio se puede emplear ualquier pro edimiento nu-méri o efe tivo para resolver un onjunto de e ua iones algebrai as no lineales, omo el método Newton-Raphson o Newton-Raphson desa oplado rápido.Las urvas P-U y Q-U se pueden obtener empleando este método y re-presentan los diagramas de bifur a ión bajo iertas ondi iones. Las primerasmuestran la evolu ión del módulo de tensión solu ión para ada valor del pa-rámetro de arga λ o poten ia en el nudo de análisis. Representan la evolu ióndel sistema ante el patrón de modi� a ión de arga elegido y sirve para prede- ir el margen de arga y punto de olapso de tensión. Las segundas representanla evolu ión de la tensión de un nudo de análisis uando solo se permite unainye ión de poten ia rea tiva en ese nudo. Estos per�les de tensiones se siguenempleando en la a tualidad [(RRWG), 2006℄ para determinar la proximidad al olapso de tensión.Esta té ni a se emplea omo alternativa a los métodos dire tos de ál ulo,así omo para obtener informa ión adi ional sobre el omportamiento de lastensiones del sistema. Su gran desventaja es que, aunque los resultados sonmuy �ables, el esfuerzo omputa ional requerido es muy elevado, al igual queen el aso del empleo de métodos dire tos. En esta tesis se propone el empleode un nuevo tipo de nudo en el �ujo de argas que permite al ular los puntosde la urva P-U para distintos valores de fa tor de poten ia de manera máse� iente que la realizada empleando el �ujo de argas de ontinua ión.Al igual que en el método anterior se obtiene de forma dire ta el margende arga tal omo indi a (1.3). Las ventajas que presenta son:El ál ulo de la distan ia al punto de olapso es muy pre iso.Una vez obtenido este valor, es fá il y rápido al ular su sensibilidad onrespe to a ualquier parámetro del sistema.Como desventajas abría indi ar que:No se puede emplear los ambios en este índi e para evaluar dire tamente8

1.2. Métodos de análisisel efe to relativo de los límites en el margen de arga.El ál ulo del margen de arga ne esita una dire ión del in rementode arga o informa ión sobre el patrón de arga, y en la mayoría de laso asiones esta informa ión no está dire tamente disponible.Algunos autores [Ejebe y otros, 1996; Jia y Jeyasurya, 2000; Chiang yotros, 1997; Lee y otros, 2010℄ al ulan el margen de arga empleando unnúmero redu ido de puntos de la urva de solu iones obtenidos mediante elmétodo de ontinua ión, onvenientemente es ogidos, para luego realizar unaaproxima ión de la urva y así redu ir el esfuerzo de ál ulo.1.2.3. Métodos indire tosLos métodos indire tos al ulan el punto de bifur a ión mediante unosíndi es es alares que en la mayoría de los asos no al ulan de forma pre isa elpunto o distan ia al punto de olapso, pero representan un valor próximo a él on un esfuerzo omputa ional mu ho menor que el ne esario para los métodosdire tos o de ontinua ión.1.2.3.1. Fa tores de sensibilidadEstos índi es se emplean en las empresas elé tri as [(RRWG), 2006℄ paradete tar problemas de estabilidad de tensión y tomar medidas orre toras.Son los más simples de al ular y prevén problemas de olapso de tensióninspe ionando ambios en la urva del sistema a partir del análisis de latangente en distintos puntos. Así, si se ha e un seguimiento de las tensiones,se puede al ular el índi e V SF 2 omo:V SF =

∥

∥

∥

∥

dUdλ ∥∥∥∥ (1.6)Cuando este índi e toma valores elevados indi a la proximidad al olapsode tensión y por tanto, representa una zona no segura de fun ionamiento.Estos índi es representan un esfuerzo de ál ulo pequeño, sin embargo, su grandesventaja es que son muy po o sensibles a las varia iones de los parámetros2El a rónimo orresponde on la denomina ión en inglés de voltage stability fa tor.9

Capítulo 1. Estabilidad de tensión, fundamentos y trabajos previosen el aso de los grandes sistemas elé tri os. Por este motivo se deben emplearjunto on otros métodos de dete ión de los puntos límites.1.2.3.2. Índi es basados en la matriz ja obiana del �ujo de argasLa matriz ja obiana y su ja obiano se emplean en varios índi es:1. Basados en los valores ara terísti os de la matriz ja obiana. Sehan propuesto diferentes índi es que propor ionan una indi a ión de losnudos del sistema más próximos al olapso de tensión basados en:Fa tores que rela ionan los valores máximos y mínimos de la diago-nal de la matriz ja obiana del �ujo de argas.El empleo de la norma in�nito y norma eu lidiana de di ha matriz.El empleo de o ientes basados en las derivadas par iales de poten- ia a tiva/rea tiva respe to al ángulo/módulo de tensión al uladasen unas ondi iones de arga dada y en va ío, [Sinha y Hazarika,2000℄.Estos índi es muestran dos problemas: no propor ionan una indi a ióndel margen de poten ia o arga al olapso de tensión y su omportamientoen las proximidades del mismo no es �able.2. Basados en la singularidad de la matriz ja obiana. Tal omo se omentó anteriormente, en el punto límite la matriz ja obiana del sistemapresenta una singularidad. En el aso de trabajar on las e ua iones del�ujo de argasP (θ,U) = 0

Q (θ,U) = 0

(1.7)donde P yQ representan las e ua iones de poten ia a tiva y rea tiva onlas variables θ y U representando el ángulo y magnitud de las tensionesde nudo, respe tivamente, la ondi ión de punto límite se puede expresar omo:|J (θ,U)| =

∣

∣

∣

∣

∣

Pθ PU

Qθ QU

∣

∣

∣

∣

∣

= 0 on |Pθ| 6= 0 (1.8)10

1.2. Métodos de análisisNo existe prueba de�nitiva de |Pθ| 6= 0 aunque J sea singular, pero en laprá ti a pare e que se veri� a de a uerdo on [Cañizares y otros, 1996℄.La apli a ión para la resolu ión de las e ua iones del �ujo de argas semuestra a ontinua ión,[

∆θ

∆U

]

= V Σ−1UT

[

∆P

∆Q

] (1.9)donde U y V son las matri es unitarias orrespondientes a los ve toressingulares por la izquierda y dere ha, respe tivamente, y Σ es la matrizdiagonal de valores singulares.Basados en la propiedad del ja obiano indi ada, se proponen dos métodospara al ular unos índi es que indiquen la proximidad al olapso de ten-sión: la des omposi ión singular y la des omposi ión en valores propios.Ambos propor ionan un onjunto de valores y ve tores muy similares ysu empleo para dete tar el olapso de tensión es similar. En [Löf y otros,1993; Gao y otros, 1992℄ se propone el empleo de una submatriz Gsobtenida a partir de la matriz ja obiana, en lugar de esta última, paraapli arle la des omposi ión en valores singulares o en valores propios yasí identi� ar el problema de estabilidad de tensión. Los valores singula-res y valores propios de esta matriz redu ida presentan mejores per�lesque los orrespondientes a J . Esta matriz es la derivada primera de lapoten ia rea tiva on respe to a la magnitud de tensión onsiderandoque los generadores y nudos de arga no presentan varia ión de poten iaa tiva. Así,∆Q =

(

QU −QθP−1

θ PU

)

∆U = Gs∆U (1.10)Los resultados obtenidos empleando la des omposi ión en valores sin-gulares y valores propios no son buenos indi adores de proximidad al olapso de tensión [Cañizares, 2002℄ ya que presentan un omportamien-to fuertemente no lineal en las proximidades del punto límite y grandesdis ontinuidades uando se tienen en uenta los límites de los generadoreso de los transformadores on tomas. Por lo tanto, sus resultados aunquerápidos no son �ables y además sus órdenes de magnitud no guardanrela ión on la distan ia al punto de olapso.Por otra parte, los índi es que propor ionan son similares a los obtenidosutilizando los fa tores de sensibilidad des ritos en el apartado 1.2.3.111

Capítulo 1. Estabilidad de tensión, fundamentos y trabajos previospero el esfuerzo de ál ulo es mayor.Para superar estos in onvenientes [Berizzi y otros, 1998℄ presenta un ín-di e de segundo orden basado en el mínimo valor singular de la matrizja obiana. Teniendo en uenta la rela ión de los valores singulares onel punto de olapso de tensión y tratando de resolver sus in onvenientesestable e una rela ión entre el valor singular máximo, σmax, de la inversade la matriz ja obiana de las e ua iones del �ujo de arga on el pará-metro de arga λ. Este índi e presenta un omportamiento lineal in luso uando se al anza algún límite del sistema y por lo tanto propor ionabuenas predi iones de la proximidad al punto de olapso de tensión.Este índi e ha sido implementado en una herramienta informáti a de laque ha e uso la empresa na ional de energía elé tri a de Italia, ENEL.3. Basados en el riterio de poten ia rea tiva. Ini ialmente este ri-terio fue desarrollado por Paul Dimo [Dimo, 1975℄. Este método estábasado en la singularidad de la matriz ja obiana bajo determinadas on-sidera iones.En lugar de emplear una se uen ia de �ujos de arga y el análisis de evo-lu ión de los valores propios, on los in onvenientes de tiempo de ál uloy de tipo teóri o3, [Savules u, 2005℄ emplea un � riterio prá ti o� de la ondi ión de determinante nulo de la matriz ja obiana, que se tradu e enel riterio de poten ia rea tiva para la estabilidad de tensión dQ/dU < 0.Este riterio es válido si se asume que los generadores están one tadosradialmente al nudo de arga, la poten ia a tiva de los generadores semantiene onstante, la poten ia a tiva de las argas es onstante si sedespre ia la varia ión debido a la fre uen ia, las tensiones internas de losgeneradores se mantienen onstantes y la poten ia rea tiva de las argasvarían on la tensión al uadrado.Emplea una té ni a que ombina los ál ulos analíti os del riterio de po-ten ia rea tiva on una representa ión grá� a, imagen nodal, que permitesimular el in remento de arga y genera ión sin ne esidad de eje utar su- esivos �ujos de arga. Para ello emplea las redes REI4 del sistema, que3De a uerdo on [Sauer y Pai, 1990℄ las on lusiones basadas en la singularidad de lamatriz ja obiana del �ujo de argas para estudiar la inestabilidad de tensión solo son válidaspara el aso de proximidad en el punto de máxima transferen ia de poten ia, pues tales aná-lisis no dete tan inestabilidades aso iadas a las ara terísti as de los generadores sín ronosy sus ontroles.4El a rónimo en inglés orresponde on redes radiales equivalentes para el resto del ir- uito e independientes. 12

1.2. Métodos de análisis onsisten en redes radiales de admitan ias que one tan los generadoresa un nudo de arga equivalente donde su poten ia total se representapor una admitan ia y uyas orrientes pueden ser rela ionadas on las orrientes de orto ir uito. Esta red equivalente se representa de formagrá� a mediante la imagen nodal, que muestra el diagrama fasorial delas orrientes que ir ulan por el mismo y el índi e propuesto se puederepresentar de forma dire ta en la imagen nodal, de forma que variandode manera progresiva las ondi iones de arga y genera ión se puede ob-tener una medida grá� a de la distan ia al punto de inestabilidad, que orresponde on dQ/dU = 0.Este método ha sido implementado y mejorado por [Erwin y otros, 1994℄para onsiderar los límites de poten ia rea tiva y obtener en MW lamedida del margen de seguridad hasta el punto de inestabilidad, iden-ti� ando nudos de arga y genera ión ríti os. Debido a su rapidez de ál ulo y fá il le tura de on lusiones mediante la representa ión grá� ade los límites, se emplea en estudios en tiempo real. En on reto, lasempresas na ionales elé tri as de Panamá (ETESA), Vietnam (EVN),Rumanía (Transele tri a S.A.) y Bosnia Herzegovina ha en uso del pro-grama reado por los autores itados.4. Basados en el empleo de fun iones test. El empleo de una fun ióntest basada en la matriz ja obiana, de�nida en [Seydel, 1994℄ se empleaen [Chiang y Jean-Jumeau, 1995℄ para obtener un índi e que permita al ular el margen de arga en el nudo ríti o del sistema.A medida que ambia el parámetro de arga λ para aproximarse al puntode olapso, la fun ión test ríti a presenta un omportamiento que sepuede aproximar a una parábola [Seydel, 1994℄. Este omportamiento uadráti o no apare e en los nudos no ríti os.El omportamiento de este índi e es válido para al ular el margen de arga, pero se debe desta ar que se puede ver modi� ado uando se onsideran los límites del sistema. Por otra parte, su gran desventaja esla di� ultad para determinar los puntos ríti os, los uales se podrían al ular realizando un seguimiento del ve tor tangente a la traye toriadz/dλ [Souza y otros, 1997℄; sin embargo, el esfuerzo de ál ulo seríamuy elevado.[Cañizares y otros, 1996℄ muestra una variante a este método empleandoel determinante de la matriz ja obiana redu ida orrespondiente a los13

Capítulo 1. Estabilidad de tensión, fundamentos y trabajos previosnudos ríti os. El tiempo de ál ulo, en este aso, es menor pero el ál ulodel margen de arga y demás desventajas ya apuntadas son idénti as.1.2.3.3. Margen de arga mínimoEste índi e al ula el margen de arga omo ∆λ = λ∗ − λi on λi siendo elpunto de arga ini ial y λ∗ el punto de arga ríti o, de forma que |λ∗ − λi| esun mínimo lo al de la distan ia desde λi. Es de ir, trata de en ontrar el peorpatrón de in remento de arga para propor ionar el margen mínimo, evitandoasí ono er la dire ión del in remento de arga. Este punto se al ula a partirdel ve tor normal al hiperespa io de varia ión de arga, para lo que empleael ve tor propio por la izquierda de la matriz ja obiana de las e ua iones del�ujo de argas orrespondiente al valor propio nulo (punto de olapso). Pararealizar estos ál ulos [Dobson y Lu, 1993; Alvarado y otros, 1994℄ emplean unmétodo iterativo o el método dire to modi� ado.El tiempo de al ulo empleado es elevado y por tanto su utilidad en el asode grandes sistemas es limitada.1.2.3.4. Proximidad de la pareja de solu iones del �ujo de argasLas e ua iones del �ujo de argas presentan múltiples solu iones, siendouna de ellas la orrespondiente al punto de opera ión del sistema [Tamura yotros, 1983℄. En sistemas mallados, normalmente, el número de solu iones de- re e a medida que el punto de olapso está más próximo, enton es, solamenteuna pareja de solu iones se mantienen er a del punto límite para �nalmente oin idir en una sola.El empleo de la pareja de solu iones permite de�nir la proximidad al olapsode tensión al ulando varios índi es:1. El índi e de proximidad a la inestabilidad de tensión (V IPI)5.Este índi e se de�ne basándose en una representa ión en oordenadas artesianas de las e ua iones del �ujo de argas [Tamura y otros, 1989℄.La gran desventaja que presenta este índi e es que sus unidades songrados y esta informa ión no se puede aso iar dire tamente on ningunavariable del sistema elé tri o. Por otra parte, el ál ulo de la solu ión5El a rónimo orresponde on la designa ión en inglés voltage instability proximity index.14

1.2. Métodos de análisisinestable no es una tarea sen illa y el esfuerzo de ál ulo es elevado.2. Limite de arga más er ano (CLL)6. Este índi e, indi ado en [Yo-rino y otros, 1997℄, al ula la aproxima ión más er ana al punto de olapso uando la poten ia en las argas y generadores ambia en la di-re ión más desfavorable. Está basado en el método desarrollado paraobtener el índi e V IPI y en el margen de arga mínimo, lo que permiteaveriguar el margen mínimo de arga, al ulado en el apartado 1.2.3.3,de forma aproximada y on un tiempo de ál ulo signi� ativamente me-nor. Por tanto, presenta mejoras respe to a los anteriores pero tambiénpresenta desventajas inherentes al propio método. Así, su prin ipal des-ventaja es que ne esita la identi� a ión de la solu ión inestable.3. Fun iones energía. Basándose en la proximidad de las dos solu iones,estable e inestable, y en la singularidad de la matriz ja obiana, se ompa-ra la energía orrespondiente a estos dos puntos de equilibrio, de formaque uando se al anza el punto de olapso la diferen ia de energía es nula.Así, [Overbye y otros, 1994℄ propone una fun ión de energía basada enla fun ión Lyapunov o fun ión de energía transitoria7 para al ular uníndi e llamado TEF que propor iona la distan ia en términos de energíaentre dos puntos de equilibrio. Este índi e presenta un omportamiento asi lineal ante varia iones de λ y, por tanto, la predi ión al punto de olapso de tensión es ade uada, sin embargo, resulta ompli ado onsi-derar modelos del sistema más omplejos y de forma análoga a lo queo urría on los anteriores índi es el ál ulo de la solu ión inestable es ompli ado.1.2.3.5. Métodos lo alesLos métodos lo ales se basan en la idea de que los fasores ontienen la infor-ma ión su� iente para dete tar el margen de estabilidad de tensión de formadire ta. Esta idea es muy atra tiva para emplear estos métodos en tiemporeal, pero además también pueden ser implementados para estudios estáti os.Sin embargo, en este aso los modelos del sistema son ríti os para obtenerresultados válidos.1. Basados en la singularidad de la matriz ja obiana de las e ua-6El a rónimo orresponde on la designa ión en inglés losest loadability limit.7En inglés se ono e omo fun ión TEF. 15

Capítulo 1. Estabilidad de tensión, fundamentos y trabajos previos iones del �ujo de argas. [Panto�s y otros, 2006℄ proponen el empleode dos índi es para dete tar la proximidad al punto de olapso de tensión.Por una parte emplean un índi e aso iado a la estabilidad de tensión uando se al anza el límite de transmisión de poten ia (V CPI8), y porotro lado, de�nen un índi e rela ionado on la inestabilidad de tensiónpor insu� ien ia de genera ión de poten ia rea tiva (RPI9).Así, para el primer aso generalizan la ondi ión de punto límite de es-tabilidad de tensión en el aso de un sistema simple de dos nudos paraapli arla a una red radial y una red mallada unión de subredes radia-les. Para el segundo aso de�nen el índi e RPI omo una rela ión entrepoten ias rea tivas máximas y mínimas.Este método presenta tres desventajas importantes. El empleo de dosíndi es para la dete ión del olapso de tensión no es operativo ni dire toy, por otro lado, la des omposi ión en redes radiales on asigna ión depoten ia omo una ombina ión de poten ia de diferentes generadoresde a uerdo on unas onstantes, propor iona resultados aproximados.Por último, estos índi es propor ionan un valor de proximidad de tipo ualitativo pero no uantitativo.Los mismos autores en [Verbi� y otros, 2006℄ proponen un índi e basadoen el método de sensibilidad de las pérdidas de poten ia que, tal y omoindi a [Moon y otros, 2001℄, es idénti o al método de la ja obiana. Así, enel punto de olapso, el in remento total de poten ia aparente se empleapara satisfa er las pérdidas de poten ia y, por tanto, la diferen ia depoten ia aparente en el extremo re eptor es nula. Este método solo sepuede utilizar para lasi� ar la severidad de diferentes ontingen ias delsistema empleando dos �ujos de arga, uno antes de la ontingen ia yotro después de la ontingen ia. La gran desventaja que presenta es quesu omportamiento no es ade uado uando se onsideran los límites delsistema.2. Basados en el equivalente Thévenin de la red. Ini ialmente el em-pleo del equivalente Thévenin se utilizaba para métodos de apli a ión entiempo real, pero últimamente han apare ido trabajos, que se basan eneste equivalente, para estudios estáti os.Los métodos propuestos en la bibliografía y de apli a ión en tiempo real8El a rónimo orresponde on la denomina ión en inglés voltage ollapse proximity index.9El a rónimo orresponde on la denomina ión en inglés rea tive power index.16

1.3. Con lusionesse basan en el teorema de máxima transferen ia de poten ia que impli ala igualdad de los módulos de la impedan ia Thévenin, Zth, del ir uitode la red desde el nudo de arga k y la impedan ia de arga, Zk.|Zk| = |Zth| (1.11)Los diferentes índi es que emplean este método se diferen ian en la for-ma de obten ión de los parámetros del equivalente Thévenin (mínimos uadrados [Vu y otros, 1999℄, teorema de Tellegen [�Smon y otros, 2006℄o un método basado en sensibilidades [Corsi y Taranto, 2008℄).La gran desventaja de estos métodos es que el límite de poten ia máximaobtenido por el teorema de máxima transferen ia de poten ia no siempre oin ide on el punto de olapso de tensión, ya que no se onsideran loslímites de poten ia rea tiva de los generadores.Los trabajos basados en el estudio estáti o, [Haque, 1995; Chebbo y otros,1992℄, proponen emplear el equivalente Thévenin para redu ir el estudiode estabilidad de tensión para ada nudo en el estudio de un sistema dedos nudos, donde la obten ión de las urvas de máxima poten ia se deter-minan de forma sen illa. El punto ríti o de estos métodos es el ál ulo delos parámetros del equivalente Thévenin. [Chebbo y otros, 1992℄ emplea ál ulos repetitivos para tener en uenta la no linealidad de generadoresy argas, lo que impli a altos tiempos de ál ulo, mientras que [Haque,1995℄ obtiene los parámetros de forma sen illa partiendo del aso basey sustituyendo los generadores por fuentes de tensión onstante o admi-tan ias onstantes, según estén trabajando dentro o fuera de límites. Losresultados que se obtienen son a eptables si no se onsideran los límitesde poten ia rea tiva de los generadores del sistema y su gran ventaja esla rapidez de ál ulo.1.3. Con lusionesExiste gran diversidad de trabajos que abordan el estudio del fenómeno deestabilidad de tensión y en on reto aquellos entrados en el ál ulo del puntode olapso o punto de máxima arga y margen aso iado. Todos ellos presen-tan ventajas e in onvenientes. Mientras el método dire to y de ontinua ión al ulan de forma muy pre isa el punto de olapso y el margen de arga a17

Capítulo 1. Estabilidad de tensión, fundamentos y trabajos previos osta de emplear elevados tiempos de ál ulo, en los diferentes métodos indi-re tos, de forma general, el tiempo de ál ulo es redu ido pero los resultadosson aproximados. Así, los dos primeros pare en más ade uados para una tareade plani� a ión del sistema y los segundos para la opera ión diaria del mismo.Como resumen, podría indi arse que los métodos de análisis propuestos enla bibliografía,de forma general, presentan varios in onvenientes:1. Tiempo de ál ulo dire tamente rela ionado on la pre isión de los re-sultados que propor iona.2. Adop ión de hipótesis simpli� adoras para mejorar la rapidez de ál uloen detrimento de la pre isión.3. Di� ultades para tener en uenta los diferentes tipos de límites del siste-ma elé tri o.4. La metodología y diferentes índi es en ontrados se entran en la reso-lu ión analíti a del problema y en la mayoría de los asos se pierde ladimensión prá ti a de la opera ión del sistema y queda enmas arado elsigni� ado físi o del problema y las alternativas de solu ión.En esta tesis se aborda de forma original el estudio de estabilidad de tensióndesde un punto de vista de opera ión y plani� a ión del sistema elé tri o. Labibliografía onsultada al ula el margen de arga máximo sin onsiderar lasrestri iones operativas de tensión de los nudos. Es de ir, en mu has o asio-nes, al punto de olapso le orresponde un per�l de tensiones en uno o variosnudos ina eptable desde un punto de vista operativo. Para intentar ubrir estalaguna, este trabajo presenta en el apítulo 3 una nueva metodología basadaen el análisis de los �ujos de arga empleando un nuevo tipo de nudo que seha denominado FU. Este tipo de nudo permite realizar estudios que aportaninforma ión válida para la opera ión y plani� a ión desde el punto de vista deestabilidad de tensión.

18

Capítulo 2Apli a ión del teorema de lamáxima transferen ia de poten ia.Amplia ión para onsiderar variosnudos de arga simultáneamente2.1. Introdu iónEl objetivo de mu hos de los trabajos interesados en ara terizar el fenó-meno de estabilidad de tensión es el ono imiento del margen de arga del quese dispone partiendo de una situa ión base.En la situa ión de arga más ríti a, el margen del que se dispone hasta elpunto de olapso se podría al ular empleando, de forma ade uada, el teoremade la máxima transferen ia de poten ia. La ventaja de esta forma de abordarel estudio del fenómeno de estabilidad de tensión es que se basa en on eptosbási os de la teoría de ir uitos.Algunos autores han empleado este enfoque, onsiderando solo una argavariable. En este apítulo se dedu e la expresión analíti a que permite on-siderar simultáneamente varios nudos de arga y se emplea para al ular elmargen de arga.Para un sistema de dos nudos, tal omo muestra la �gura 2.1, representandola arga omo una impedan ia, la poten ia ompleja en el nudo 2 se al ula omo: 19

Capítulo 2. Apli a ión del teorema de la máxima transferen ia de . . .S = U2 I

∗ = U1

Z

Z + ZL

(

U1

Z + ZL

)∗ (2.1)Nudo 1

Z

Nudo 2

-

+

U1

U2

IZL

Figura 2.1: Sistema de 2 nudos.La expresión de la poten ia a tiva orresponde on la parte real de laexpresión anterior y es:P =

U21Z cosϕ

Z2L + Z2 + 2ZLZ cos (ϕL − ϕ)

(2.2)donde ϕL y ϕ son los ángulos de fase de la impedan ia de línea que une losnudos y de la impedan ia de arga, respe tivamente.Por tanto, por apli a ión del teorema de la máxima transferen ia de poten- ia, la poten ia es máxima, para un fa tor de poten ia de la arga ono ido,cos (ϕ), si se umple la igualdad de los módulos de las impedan ias de arga ydel sistema, Z = ZL.La expresión general de poten ia máxima que se obtiene es:

Pmax =U21 cosϕ

2ZL (1 + cos (ϕL − ϕ))(2.3)El punto de olapso de tensión se puede entender omo el orrespondienteal de máxima arga o punto límite de la urva P-U.

20

2.2. El teorema de la máxima transferen ia de poten ia onven ional y su empleo paradeterminar el margen de arga2.2. El teorema de la máxima transferen ia depoten ia onven ional y su empleo para de-terminar el margen de arga2.2.1. Ante edentesEn la bibliografía existen varios trabajos que emplean este teorema. Cal- ulan el margen de arga o transferen ia máxima de poten ia para un nudodel sistema realizando un equivalente Thévenin de todo el sistema one tadoal nudo de análisis. [Haque, 1995℄ emplea esta estrategia y al ula la impe-dan ia Thévenin del nudo de arga sujeto a análisis y redu e el sistema a unsistema de dos nudos. Se trata de una metodología que propor iona resultadosaproximados. El trabajo presentado por estos autores es muy atra tivo por larapidez y sen illez de los ál ulos empleados pero presenta dos in onvenientes.El primero tiene que ver on la representa ión y modelo de los generadoresque in�uye en la determina ión de la impedan ia Thévenin y que no permi-te ontemplar los límites del sistema, poten ia rea tiva de los generadores uotros. El segundo tiene que ver on la forma en ómo apli a el teorema demáxima transferen ia de poten ia. La on lusión del teorema solo es válida sise respetan las ondi iones de ontorno de�nidas en su determina ión. En unsistema de n nudos on varios nudos on arga no se umple que la máximatransferen ia de poten ia se veri� a para la igualdad de módulos de la impe-dan ia Thévenin y la impedan ia de su arga, desde el nudo de análisis, a noser que las argas del resto de nudos sean admitan ias.A modo de ejemplo se analiza el sistema de tres nudos mostrado en la�gura 2.2.Nudo 1

Nudo2

U1

= 16 0o U2

P3

XL1 = 0,1 p.u.

U3

P2

XL2 = 0,1 p.u. XL3 = 0,1 p.u.

Nudo 3

Figura 2.2: Sistema de 3 nudos.21

Capítulo 2. Apli a ión del teorema de la máxima transferen ia de . . .En este sistema, on arga nula en el nudo 2, arga en el nudo 3 on fa torde poten ia unidad, ϕ = 0, y onexiones puramente indu tivas, ϕL = 90◦, lapoten ia máxima es P = 7,5 p.u. y le orresponde una tensión en la arga de0,7071 −45◦p.u. Si la arga se sustituye por su admitan ia equivalente, G = 15p.u., este valor oin ide on el módulo de la admitan ia de todo el sistema,1/ZL, vista desde el nudo de arga (nudo 3).En el aso de que existan argas en los nudos 2 y 3, la poten ia total máxi-ma que se puede suministrar se puede determinar de forma sen illa apli ando on eptos bási os de la teoría de ir uitos. Si se emplea el equivalente multithé-venin del ir uito, ver �gura 2.3, y se tiene en uenta la simetría del problemase dedu e que las impedan ias Thévenin propias de ada nudo son las mismas.Cuando se añade arga a ada nudo representada por resisten ias, R2 y R3,estas también deben ser las mismas, por la ondi ión de simetría men ionada,así omo la intensidad que ir ula por ellas, I2 e I3, respe tivamente.

R3

Nudo 2

jXp

Nudo 3

-+ +

---

U

I3

jXp

U

I2

jXm

R2

Figura 2.3: Equivalente multithévenin para el sistema de tres nudos.Del análisis de esta red se obtiene que:U = (R2 + jXp) I2 + jXmI3 = [R2 + j (Xp +Xm)] I2 (2.4)De tal manera que apli ando el teorema de la máxima transferen ia depoten ia a ualquiera de las mallas del equivalente multithévenin se dedu e22

2.2. El teorema de la máxima transferen ia de poten ia onven ional . . .que:R2 = R3 = Xp +Xm = 0,1 (2.5)Por tanto, el valor de las admitan ias de arga que propor ionan una po-ten ia total máxima es G2 = G3 = 10 p.u., que orresponde on unas poten ias

P2 = P3 = 5 p.u. y poten ia total máxima de valor 10 p.u. on tensiones enambos nudos de 0,7071 −45◦p.u.Por las ara terísti as de simetría del sistema, en este punto de fun iona-miento el �ujo de poten ia en el enla e que une los nudos 2 y 3 es nulo, porlo que su rea tan ia no afe ta a la solu ión. Es muy importante desta ar quesolamente en el aso de que di ho enla e sea un ir uito abierto o un orto ir- uito se umple que el módulo de la admitan ia de la arga es igual al módulode la admitan ia del sistema visto desde ese nudo (el elemento de la diagonalprin ipal de la matriz de admitan ias orrespondiente).Del ejemplo sen illo analizado se puede on luir que, de forma general, elempleo del teorema de máxima transferen ia de poten ia propor iona resulta-dos válidos siempre que se emplee de forma orre ta respetando las ondi ionesde ontorno impuestas en su formula ión.En la se ión siguiente se detalla una metodología que trabaja en esta líneade investiga ión que propor iona solu ión a los in onvenientes que presenta eltrabajo mostrado en [Haque, 1995℄ y que de ahora en adelante designaremos omo Haque.2.2.2. Metodología propuestaLa metodología propuesta1 se estru tura en dos etapas:1. Primera etapaConsiste en al ular la impedan ia Thévenin del sistema linealizado, vistadesde el nudo de estudio en que se desea ono er el margen de arga sin onsiderar su arga ini ial.Como primera aproxima ión se onsidera que la admitan ia ríti a o-rrespondiente a ese nudo será aquella que presente el mismo módulo que1En adelante esta metodología propuesta se designará on el a rónimo MCTMP, margende arga empleando el teorema de la máxima transferen ia de poten ia.23

Capítulo 2. Apli a ión del teorema de la máxima transferen ia de . . .la admitan ia del equivalente Thévenin al ulado y un ángulo orrespon-diente al fa tor de poten ia de la arga ini ial.El ál ulo de la impedan ia Thévenin es determinante para el buen om-portamiento de la metodología propuesta.Se propone una linealiza ión de todas las argas del sistema, es de ir,se sustituyen por unas admitan ias al uladas a partir de las tensionesobtenidas en el �ujo de argas de partida. Para realizar de forma orre tael ál ulo de la impedan ia Thévenin es ne esario ha er una orre ión,puesto que se parte del �ujo de argas on la arga de los nudos indi adaen el aso base, in luidas omo admitan ias.Para al ular la impedan ia Thévenin desde un nudo ualquiera k, Zthk,se emplea la expresión siguiente:Zthk =

(

1

Zkk

−1

Zck

)−1 (2.6)donde Zkk es el elemento k-ésimo de la diagonal prin ipal de la matrizde impedan ias obtenida del �ujo de argas de partida y Zck es la argadel nudo de análisis.El modelo para representar los generadores es de gran importan ia eneste pro eso de linealiza ión. Se estudian tres modelos: el más simple yya analizado por la referen ia [Haque, 1995℄ es onsiderar que los genera-dores se omportan omo una fuente de tensión onstante (modelo FT),en los otros dos modelos se onsidera a los generadores omo nudos de arga donde se ontabiliza su poten ia ompleja inye tada omo admi-tan ia (modelo CG) o no se onsidera ninguna poten ia en ellos (modeloSG), respe tivamente.Cuando los generadores trabajan dentro de sus límites, su poten ia a tivainye tada y módulo de tensión son onstantes, por lo que la representa- ión de ondu tan ia onstante es ade uada, sin embargo, la sus eptan ia onstante para representar la poten ia rea tiva inye tada no es orre ta.Cuando los generadores trabajan en sus límites, el omportamiento de latensión no es onstante y por lo tanto su admitan ia no debería serlo. Apriori, dado que mu hos de los generadores en el punto de máxima argase en ontrarán trabajando en sus límites, pare e importante los valoresde admitan ia a elegir. Se analizan varios asos de estudio para mostrarla relevan ia del modelo del generador onsiderado.24

2.2. El teorema de la máxima transferen ia de poten ia onven ional . . .2. Segunda etapaSe propone omo paso ini ial emplear la admitan ia obtenida en la etapaanterior omo admitan ia de arga del nudo de análisis para posterior-mente realizar un �ujo de argas, en el que se pueden onsiderar loslímites del sistema que se deseen, manteniendo las argas del resto denudos en su forma y valor ini ial. Este �ujo de argas propor iona unvalor de poten ia para el nudo de estudio que no di�ere de la poten ia ríti a real en más del 4% para todos los asos analizados, sea ual sea sudimensión y límites onsiderados. La admitan ia que se emplea presentasolu ión en el �ujo de argas tanto si está por en ima omo por debajo dela ríti a on tal de que no se en uentre muy alejada de ella. Esta formade trabajo resuelve los problemas que presenta la metodología Haque.2.2.3. In�uen ia del modelo de los generadoresSe analiza la in�uen ia del modelo de generador empleado (FT, SG, CG) enel ál ulo de la admitan ia de arga orrespondiente al punto de arga máximoy el valor de la poten ia máxima en el nudo de estudio. Con este análisis sepretende de idir el modelo más onveniente de generador a emplear.Se analizan siete redes de diferente tamaño y nivel de arga onsiderandolos límites de genera ión de poten ia rea tiva. Los resultados se omparan onel punto límite que propor iona onvergen ia en el �ujo de argas uando seaumenta la poten ia del nudo de análisis, manteniendo su fa tor de poten iaini ial. En este aso, se onsidera que se al anza el punto máximo de arga opunto ríti o uando el �ujo de argas no propor iona solu ión.2.2.3.1. Caso IEEE 14 nudosSe analiza el aso estándar IEEE de 14 nudos, [Christie, 1993℄, donde los uatro nudos generadores se en uentran trabajando dentro de sus límites depoten ia rea tiva. Se al ula la poten ia a tiva del punto máximo de argapara dos nudos, el 9 y el 14, onsiderados omo el menos y más ríti o, res-pe tivamente, de a uerdo on el empleo de la e ua ión del teorema de máximatransferen ia de poten ia de forma independiente para ada nudo (2.6).La tabla 2.1 muestra los resultados en p.u.25

Capítulo 2. Apli a ión del teorema de la máxima transferen ia de . . .Caso IEEE 14 nudosNudo Base Críti a1 Th. SG2 Th. CG3 Th. FT49 Módulo admitan ia 0,3033 2,9323 4,0862 4,0269 8,9016Poten ia a tiva 0,295 1,21 1,186 1,1891 N.C.5Módulo tensión 1,0563 0,6881 0,5771 0,5821 -14 Módulo admitan ia 0,1465 1,9129 2,6235 2,6031 4,3495Poten ia a tiva 0,149 0,83 0,8227 0,8235 N.C.Módulo tensión 1,0358 0,6765 0,5751 0,5777 -1 Admitan ia obtenida del �ujo de argas en el último valor en el que se obtiene on-vergen ia, onsideradas todas las argas omo poten ias y teniendo en uenta loslímites de poten ia rea tiva de los generadores. En este aso los uatro generadoresse en uentran en sus límites máximos.2 El ál ulo de la matriz de impedan ias Thévenin in luye las argas de los nudos PQ omo admitan ias pero ontabiliza omo nulas las admitan ias de los generadores.3 El ál ulo de la matriz de impedan ias Thévenin in luye tanto las argas de los nudosPQ omo las poten ias inye tadas de los generadores omo admitan ias.4 El ál ulo de la matriz de impedan ias Thévenin onsidera a los nudos generadores omo fuentes de tensión onstante y se in luyen las argas de los nudos PQ omoadmitan ias.5 No se obtiene solu ión, el �ujo de argas no onverge.Tabla 2.1: Compara ión del ál ulo de la poten ia a tiva máxima empleandola metodología MCTMP on el valor real para el aso IEEE de 14 nudos.2.2.3.2. Caso IEEE 39 nudosEl aso analizado orresponde on los valores estándar, [Christie, 1993℄,donde los nueve generadores están trabajando dentro de sus límites de poten iarea tiva. Se analiza la poten ia máxima para los nudos 4 y 8.La tabla 2.2 muestra los resultados en p.u.Caso IEEE 39 nudosNudo Base Críti a1 Th. SG Th. CG Th. FT4 Módulo admitan ia 5,2875 24,6390 46,4869 24,3952 85,4871Poten ia a tiva 5 15,7 N.C. 15,66 N.C.Módulo tensión 1,0038 0,8240 - 0,8271 -8 Módulo admitan ia 5,5561 28,3778 44,2804 27,5064 74,5752Poten ia a tiva 5,22 15,7 N.C. 15,63 N.C.Módulo tensión 0,9957 0,7641 - 0,8920 -1 En este aso in o generadores trabajan en sus límites máximos.Tabla 2.2: Compara ión del ál ulo de la poten ia a tiva máxima empleandola metodología MCTMP on el valor real para el aso IEEE de 39 nudos.26

2.2. El teorema de la máxima transferen ia de poten ia onven ional . . .2.2.3.3. Caso IEEE 57 nudosEn el aso estándar, [Christie, 1993℄, existen seis generadores que trabajan,todos ellos, dentro de sus límites de poten ia rea tiva. Se al ula la poten iamáxima de dos de los nudos más ríti os, el 31 y el 25, de a uerdo on el riterio de impedan ia Thévenin omentado.La tabla 2.3 muestra los resultados en p.u.Caso IEEE 57 nudosNudo Base Críti a1 Th. SG Th. CG Th. FT31 Módulo admitan ia 0,074 0,8375 1,0170 1,0143 1,0565Poten ia a tiva 0,058 0,232 0,2308 0,2308 0,2299Módulo tensión 0,9359 0,5565 0,5036 0,5044 0,493225 Módulo admitan ia 0,0732 1,0987 1,3797 1,3730 1,4595Poten ia a tiva 0,063 0,346 0,3409 0,3412 0,3374Módulo tensión 0,9825 0,5943 0,5264 0,5279 0,50921 Un generador adi ional trabaja en su límite superior.Tabla 2.3: Compara ión del ál ulo de la poten ia a tiva máxima empleandola metodología MCTMP on el valor real para el aso IEEE de 57 nudos.2.2.3.4. Caso IEEE 118 nudosSe analiza el aso estándar, [Christie, 1993℄, on 53 generadores, de los uales seis se en uentran trabajando en sus límites. Se realiza el análisis de lapoten ia máxima para el nudo 44, uno de los más ríti os.La tabla 2.4 muestra los resultados en p.u.Caso IEEE 118 nudosNudo Base Críti a Th. SG Th. CG Th. FT44 Módulo admitan ia 0,1844 5,3993 5,5180 5,3770 7,9120Poten ia a tiva 0,16 1,86 1,8465 1,8433 1,8137Módulo tensión 0,9850 0,6206 0,6117 0,6191 0,5063Tabla 2.4: Compara ión del ál ulo de la poten ia a tiva máxima empleandola metodología MCTMP on el valor real para el aso IEEE de 118 nudos.27

Capítulo 2. Apli a ión del teorema de la máxima transferen ia de . . .2.2.3.5. Caso IEEE 118 nudos modi� adoSe analiza el aso de 118 nudos muy argado de la forma des rita en [Al-varado y otros, 1995℄ muy próxima al olapso de tensión.Se parte de una situa ión base on arga total de 3668MW, de forma que la arga total y la parti ipa ión de los generadores se in rementa de a uerdo onla referen ia indi ada hasta al anzar una arga de 7446MW. En esta situa ión,el inter ambio de área se estable e entre el área 1 y el área 2 en 102,8 MW yentre el área 1 y el área 3 en 143,8 MW. Además se han eliminado los límitesde poten ia rea tiva en el generador 4.Los generadores que al anzan sus límites, en la solu ión estable, son idén-ti os a los indi ados en la referen ia, salvo el generador 10.En este aso, de los 53 generadores que existen 29 se en uentran trabajandoen sus límites. Se analizan dos de los nudos más ríti os, el 45 y el 118.La tabla 2.5 muestra los resultados en p.u.Caso IEEE 118 nudos modi� adoNudo Base Críti a Th. SG Th. CG Th. FT45 Módulo admitan ia 1,5319 7,1603 7,7588 7,3445 9,2967Poten ia a tiva 1,0759 1,942 1,8703 1,9120 N.C.Módulo tensión 0,8720 0,5419 0,5109 0,5309 -118 Módulo admitan ia 1,1694 5,2817 14,1917 13,8486 15,0102Poten ia a tiva 0,6699 1,6800 N.C. N.C. N.C.Módulo tensión 0,7933 0,5911 - - -Tabla 2.5: Compara ión del ál ulo de la poten ia a tiva máxima empleandola metodología MCTMP on el valor real para el aso IEEE de 118 nudosmodi� ado.2.2.3.6. Caso IEEE 300 nudosEn el aso estándar, [Christie, 1993℄, existen 68 generadores de los uales12 están trabajando en sus límites superiores de poten ia rea tiva.Se analiza la poten ia máxima para dos de los nudos más ríti os, elNudo236 y Nudo152.La tabla 2.6 muestra los resultados en p.u.28

2.2. El teorema de la máxima transferen ia de poten ia onven ional . . .Caso IEEE 300 nudosNudo Base Críti a1 Th. SG Th. CG Th. FTNudo236 Módulo admitan ia 1,6809 2,5935 2,8446 2,3215 5,7333Poten ia a tiva 1,45302 1,6800 1,6715 1,6536 1,1917Módulo tensión 0,9429 0,8162 0,7774 0,8559 0,4624Nudo152 Módulo admitan ia 1,7494 5,98 5,9795 3,2214 7,8316Poten ia a tiva 1,635 2,852 2,8519 2,4018 2,8118Módulo tensión 0,9831 0,7019 0,7023 0,8780 0,60931 Dependiendo de las admitan ias empleadas, entre 9 y 11 generadores al anzan sus límites.2 Carga apa itiva.Tabla 2.6: Compara ión del ál ulo de la poten ia a tiva máxima empleandola metodología MCTMP on el valor real para el aso IEEE de 300 nudos.2.2.3.7. Caso de 1182 nudos de la red españolaSe analiza el aso de la red española orrespondiente a la salida del estima-dor de estado para el 2 de marzo de 2004 a las 19:052.Se trata de un aso de 1182 nudos, 1208 líneas y 585 transformadores quein luye representa ión de los sistemas fran és, portugués y marroquí. Corres-ponde on la punta de invierno de ese año on una poten ia a tiva total de37700 MW. Se estudia la poten ia máxima para tres de los nudos más ríti osSIDMED1, PTORE2 y C.BARB2.La tabla 2.7 muestra los resultados en p.u.Caso de la red española del 2 de marzo de 2004Nudo Base Críti a Th. SG Th. CG Th. FTSIDMED1 Módulo admitan ia 1,6479 18,9088 35,6663 6,8187 42,1402( entro) Poten ia a tiva 0,7886 4,0 N.C. 2,5598 N.C.

220 kV Módulo tensión 1,0275 0,6831 - 0,9100 -PTORE2 Módulo admitan ia 0,7979 7,2547 7,1767 4,2433 7,4945(sur) Poten ia a tiva 0,6168 1,8692 1,8691 1,7254 1,8688132 kV Módulo tensión 1,0018 0,5783 0,5814 0,7265 0,5689C.BARB2 Módulo admitan ia 2,7017 13,4513 13,4046 4,9143 14,1679(este) Poten ia a tiva 2,4862 5,8710 5,8701 3,9587 5,8741110 kV Módulo tensión 0,9694 0,6678 0,6689 0,9072 0,6506Tabla 2.7: Compara ión del ál ulo de la poten ia a tiva máxima empleandola metodología MCTMP on el valor real para el aso de la red española del 2de marzo de 2004 a las 19:05.2Los datos de este aso han sido propor ionados por Red Elé tri a de España (REE).29

Capítulo 2. Apli a ión del teorema de la máxima transferen ia de . . .2.2.3.8. Con lusionesDel análisis de los asos estudiados se puede desta ar lo siguiente:Las admitan ias orrespondientes a la impedan ia Thévenin del nudo deestudio presentan unos valores que, en general, no se ajustan al valor dela admitan ia orrespondiente al punto de arga máxima. Sin embargo,se observa que las admitan ias SG y CG presentan valores muy similares,salvo en dos asos, el de 39 nudos y el de la red española.Por otra parte, la admitan ia CG siempre presenta menor valor que laSG y la FT, presentando esta última el valor más alejado de las anterioresy de la admitan ia del punto de arga máxima.Con respe to al ál ulo de las poten ias, los valores obtenidos trabajan-do on las admitan ias SG y CG son muy similares, presentando erroresinferiores al 16%. Sin embargo, existen uatro asos donde este ompor-tamiento no es tan similar. El aso de 118 nudos modi� ado que parael nudo 118 no presenta onvergen ia en ningún aso y el aso de la redespañola que solo presenta onvergen ia para el aso CG, la red de 39nudos y red de 300 nudos donde los valores son algo más diferentes.Por otra parte, el empleo de la admitan ia FT en la mayoría de los asosno presenta onvergen ia.La �gura 2.4 muestra el por entaje de error absoluto de la poten ia ríti a al ulada respe to de la ríti a real para ada uno de los asosanalizados. Para interpretar ade uadamente la �gura se debe desta arque la no onvergen ia se ha representado omo errores negativos.El empleo del modelo linealizado que representa la arga de los nudos omo admitan ias propor iona predi iones onservadoras de la poten iamáxima. Es de ir, las poten ias al uladas son siempre inferiores al valormáximo límite obtenido on el �ujo de argas.Existen dos situa iones:• Si la admitan ia al ulada por el teorema de Thévenin es inferiora la admitan ia del punto de arga máxima, obtenida después derealizar el �ujo de argas último que propor iona solu ión, la po-ten ia al ulada es inferior a la máxima porque todavía el sistematiene más margen de arga y por tanto, la poten ia al ulada debeser inferior a la ríti a. 30

2.2. El teorema de la máxima transferen ia de poten ia onven ional . . .• Si la admitan ia al ulada por el teorema de Thévenin es superior ala admitan ia del punto de arga máxima, la poten ia al ulada estambién inferior a la máxima porque se trabaja en la zona inestable.Como el modelo en forma de admitan ia de la arga es menos exi-gente, propor iona solu ión aunque el modelo en poten ias no loobtenga, siempre y uando la admitan ia no sea muy superior ala orrespondiente al punto de arga máxima. En esta situa ión,aunque se aumente la admitan ia la poten ia obtenida disminuirá.

9 14 4 8 31 25 44 45 118 236 152−10

−5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

Nudo

% E

rror

pot

enci

a m

áxim

a

SGCGFT

Caso IEEE 14 nudos Caso IEEE 300nudos

Caso redespañola

Caso IEEE 39nudos

Caso IEEE 57nudos

Caso IEEE 118 nudos modificado

SIDMED1 PTORE2 C.BARB2Figura 2.4: Errores en el ál ulo de la poten ia ríti a.Se on luye que el modelo del generador onsiderándolo omo una fuentede tensión onstante (FT) presenta el peor omportamiento tanto para la de-termina ión de la admitan ia omo para la poten ia orrespondiente al puntode arga máxima.Resulta más ade uado el empleo de los modelos SG o CG.31

Capítulo 2. Apli a ión del teorema de la máxima transferen ia de . . .2.2.4. Implementa ión de la metodología propuestaSe propone el empleo del modelo SG porque, en el aso de que exista onvergen ia, presenta errores prá ti amente iguales o menores que los quemuestra el modelo CG (ver �gura 2.4).En el aso de que no se obtenga onvergen ia se propone un pro eso deajuste de la admitan ia. Esto signi� a que en lugar de dos �ujos de argas, el orrespondiente a la situa ión base y otro para determinar la poten ia máxima,será ne esario uno o dos �ujos adi ionales. Es de ir, en el peor de los asos sene esitarán uatro �ujos de arga on errores inferiores al 4% en todos los asos analizados.La tabla 2.8 muestra los por entajes de error y número de �ujos de argane esarios de todos los asos analizados.Caso % Error Flujos de argaIEEE 14 nudos Nudo 9Nudo 141,98 20,88 2IEEE 39 nudos Nudo 4Nudo 80,25 30,45 3IEEE 57 nudos Nudo 31Nudo 250,52 21,47 2IEEE 118 nudos Nudo 44 0,72 2IEEE 118 nudosmodi� ado Nudo 45Nudo 1183,69 21,82 4IEEE 300 nudos Nudo 236Nudo 1520,51 20,04 2Red española2 de marzo 2004 Nudo SIDMED1Nudo PTORE2Nudo C.BARB2 0,81 30,005 20,02 2Tabla 2.8: Por entajes de error absoluto y �ujos de argas ne esarios empleandola admitan ia SG en la metodología propuesta de ál ulo de poten ia ríti a.El diagrama de �ujo de la metodología propuesta se muestra en la �gura 2.5.

32

Final

IDENTIFICACION potencia activa crıtica

ELECCION nudo k de analisis

Teorema maxima transferencia de potencia

- CALCULO admitancia de carga crıtica del nudo k yck

- REEMPLAZAR Sk por yck

Ejecucion flujo de cargas → SOLUCION BASE

Pcriticak = Pk

Convergencia

Ejecucion flujo de cargas

AJUSTE yk

Comienzo

NoSi

Linealizacion del sistema → CALCULO ZT h 1

3

2

Ejecucion flujo de cargas

Convergencia

Si

No

Figura 2.5: Diagrama de �ujo del algoritmo propuesto para el ál ulo de lapoten ia ríti a.

2.2. El teorema de la máxima transferen ia de poten ia onven ional . . .

33

Capítulo 2. Apli a ión del teorema de la máxima transferen ia de . . .Los bloques 1, 2 y 3 indi ados en di ha �gura se desarrollan on más detallea ontinua ión:Bloque 1 �Linealiza ión del sistema�. Las poten ias inye tadas en losnudos, tanto de arga omo de genera ión, se expresan omo admitan iasde arga. Se al ulayc=

−Si∗

U2(2.7)

yg=

−Sig∗

U2

g

(2.8)donde Si, U , Sig y Ug representan los ve tores poten ia ompleja in-ye tada y módulo de tensión de los nudos de arga y nudos generadores,respe tivamente. ycy y

grepresentan los ve tores admitan ia de argaaso iados a las poten ias en los nudos de arga y nudos generadores, res-pe tivamente. Se al ulan las nuevas matri es de impedan ia de nudos,

ZThSGy ZThCG

, que onsideran todos los nudos salvo el nudo balan ede a uerdo on los modelos SG y CG ya omentados.ZThSG

=(

Y red + diag(yc

))−1 (2.9)ZThCG

=(

Y red + diag(yc

)

+ diag(yg

))−1 (2.10)siendo Y red la matriz de admitan ias del sistema de partida.Bloque 2 �Teorema de la máxima transferen ia de poten ia�. Una vezque se ono e la matriz de impedan ias al ulada en el bloque anterior,se apli a el teorema de máxima transferen ia de poten ia y se al ulala admitan ia de arga del nudo de análisis k para sustituir su poten ia ompleja Sk. La forma polar de esta admitan ia, teniendo en uenta laexpresión (2.6), es:ythk

=1

ZThSG kk

−ϕck − yck

(2.11)donde ythk

es la admitan ia ríti a de arga del nudo k, ZThSG kkes elmódulo del elemento de la diagonal prin ipal de la matriz de admitan iasde nudos ZThSG

orrespondiente al nudo k y ϕck es el ángulo de la argaini ial del nudo de análisis. 34

2.2. El teorema de la máxima transferen ia de poten ia onven ional . . .Bloque 3 �Ajuste de ythk

�. La �gura 2.6 muestra el diagrama de �ujo delalgoritmo de ajuste de la admitan ia de arga.Se trata de una estrategia de redu ión de la admitan ia, de forma queen una primera etapa se redu e estable iendo omo límite inferior el valorde ZThCG kky, en el resto de etapas, se disminuye el valor sin imponerlímite inferior.

ythk = 1

ZT hCG kk

Ajuste=1

Ajuste = Ajuste +1

Eleccion = 1

No

Si

Si

No

ythk < 1

ZT hCG kk

Eleccion = 1

No

Si

ythk

= 0,5 ythk

Eleccion = 0

ythk

= 0,5 ythk

ythk = 1

ZT hCG kk

Eleccion = 1

Figura 2.6: Algoritmo de ajuste de la admitan ia de arga.2.2.5. Compara ión on otras metodologíasSe muestra la ompara ión de resultados para el aso IEEE de 118 nudosestándar, [Christie, 1993℄, y 118 nudos modi� ado, empleando la metodologíaHaque indi ada en [Haque, 1995℄ y la metodología MCTMP propuesta en este apítulo. La tabla 2.9 muestra los resultados en p.u.El aso de 118 nudos modi� ado no se analiza en la referen ia [Haque,1995℄, sin embargo, se ha empleado su metodología para resolver este aso quese en uentra en situa ión de arga muy próxima al límite y se omprueba quelas predi iones al punto ríti o de arga están muy alejadas, obteniéndoseerrores de hasta el 65%. La metodología MCTMP propuesta en este apítulomuestra errores inferiores al 4%. 35

Capítulo 2. Apli a ión del teorema de la máxima transferen ia de . . .Caso Nudo Poten ia a tiva en p.u. % ErrorCríti a1 Haque MCTMP Haque MCTMPIEEE 118 nudos Nudo 44 1,86 2,1049 1,8465 13,2 0,72IEEE 118 nudos Nudo 45 1,942 2,4276 1,8703 25 3,69modi� ado Nudo 118 1,68 2,7713 1,6494 65 1,821 Admitan ia obtenida del �ujo de argas en el último valor en el que se obtiene onvergen ia onsideradas todas las argas omo poten ias y teniendo en uenta los límites de poten iarea tiva de los generadores.Tabla 2.9: Compara ión de resultados entre metodología Haque y la propuestaMCTMP.Se on luye que la metodología MCTMP mejora sustan ialmente los re-sultados presentados por la metodología Haque, pero el esfuerzo de ál ulo esalgo mayor porque ne esita entre uno o tres �ujos de arga adi ionales a losque requiere esta última.Para analizar este esfuerzo de ál ulo adi ional, la tabla 2.10 muestra la ompara ión del método propuesto MCTMP on el �ujo de argas de onti-nua ión desarrollado en el Departamento de Ingeniería Elé tri a de la E.T.S.Ingenieros Industriales de Madrid3. Ambos programas han sido desarrolladosen MATLAB y por lo tanto los resultados son sus eptibles de ompara ión.El tiempo de ál ulo empleado por la metodología MCTMP es inferior alempleado por el �ujo de argas de ontinua ión in luso en el aso de 118 nudosmodi� ado más exigente (alrededor de un 20% inferior), que orresponde onel análisis del nudo 118 en el que se ne esita hasta 4 eje u iones de �ujo de argas. Caso Nudo Tiempo en sMCTMP FCCIEEE 118 nudos Nudo 44 0,3438 3,14118 nudos modi� ado Nudo 118 2,047 2,5157Tabla 2.10: Compara ión de tiempo de ál ulo entre metodología propuestaMCTMP y �ujo de argas de ontinua ión.Se on luye que la metodología MCTMP propuesta para al ular el mar-gen de arga uando se modi� a la arga úni amente de un nudo presentaresultados on errores y tiempos de ál ulo menores que otras presentes en labibliografía.3En adelante, el �ujo de argas de ontinua ión se designará omo FCC.36

2.3. Considera ión de varios nudos en el teorema de la máxima transferen ia de poten ia.Cál ulo de admitan ias ríti asEn el apítulo 3 se presenta una herramienta original, el nudo FU, paraemplearse en el �ujo de argas, que también va a permitir realizar este ál ulode manera más dire ta.2.3. Considera ión de varios nudos en el teore-ma de la máxima transferen ia de poten ia.Cál ulo de admitan ias ríti asAunque es ierto que en determinados estudios puede ser de interés estudiarel margen de arga uando se modi� a la arga úni amente de un nudo, enotros se debe analizar el problema uando se modi� a la arga en todos o variosnudos. Por este motivo en la siguiente se ión se aborda la obten ión de lasadmitan ias ríti as uando se onsideran varios nudos de arga.Para ilustrar el estudio se onsidera una red elé tri a de n nudos, onun nudo balan e, y el resto de los n − 1 nudos omo nudos de arga PQ. Serealiza una linealiza ión del sistema, onsiderando las argas omo admitan iasde módulo variable y fa tor de poten ia onstante, y

cargak= Yck ψck on kvariando de 2 hasta n.Se va a onsiderar el equivalente multihévenin de la red sin arga al quese le añaden las argas omo admitan ias. La �gura 2.7 representa dos de losnudos de este equivalente multihévenin.Realizando un análisis nodal se obtiene el equivalente respe to a todos losnudos de arga a partir de la tensión del nudo balan e o generador, U 1, y lamatriz de admitan ias de la red, Y red.

[

I1

0

]

=

[

Y red11Y red1pq

Y redpq1Y redpqpq

][

U 1

U pq

] (2.12)Las tensiones del equivalente, U pq, se designarán de aquí en adelante omoel ve tor olumna U , y se obtienen a partir de (2.12) omo:U = U pq = −Zred Y 1U 1 = −K1U 1 (2.13)dondeZred es la inversa de la parte de la matriz de admitan ias orrespondiente37

Capítulo 2. Apli a ión del teorema de la máxima transferen ia de . . .a los nudos de arga, esto es, Y −1

redpqpq.

Zred = Y−1

redpqpq(2.14)que se orresponde on la matriz de impedan ias de nudo del equivalente, e

Y 1 es el ve tor olumna Y redpq1. Además, el ve tor olumna K1 rela iona lastensiones de ir uito abierto del equivalente on las del nudo balan e.

ycargam

Nudo k

Zmm

Zmk

Nudo m

U′

k

-+ +

---

Uk

Im

Zkk

Um

U′

m

Ik

Zkm

ycargak

. . . . . .. . . . . .

. . . . . . . . . . . .Figura 2.7: Equivalente multithévenin para dos nudos de arga ualesquiera ky m al que se le añaden las admitan ias de arga.Al one tar las admitan ias de arga, las nuevas tensiones de nudo, U ′,son:U

′

= U −Zred I (2.15) onI = Y c U

′ (2.16)donde Y c es la matriz diagonal de las admitan ias de arga de los nudos de arga.De las e ua iones (2.15) y (2.16) se obtiene que:U = (1 +ZredY c)U

′ (2.17)Premultipli ando ambos términos por Y redpqpqy teniendo en uenta lase ua iones (2.13) y (2.14),

−Y 1U 1 =(

Y redpqpq+ Y c

)

U′ (2.18)38

2.3. Considera ión de varios nudos . . .Por otra parte, la poten ia a tiva total onsumida por las argas, P T , es:PT =

n∑

k=2

GckU′

k

2 (2.19)siendo Gck la parte real de las admitan ias de argas, es de ir,Gck = Yck cos (ψck) (2.20)De aquí en adelante se denominan �admitan ias ríti as� o �puntos ríti os�a ada una de las admitan ias de los nudos que orresponden on un punto defun ionamiento en el que la poten ia total absorbida es máxima y se obtienena partir de la e ua ión siguiente:

∂PT∂Yck

= 0 on k = 2 : n (2.21)Es de ir, empleando el superíndi e c para indi ar la situa ión de un punto ríti o la e ua ión (2.21) se puede es ribir omo:U ck2 cos (ψck) +G

cc

∂U c2

∂Y cck

= 0 on k = 2 : n (2.22)donde Gcc es el ve tor �la de las ondu tan ias ríti as de las argas de losnudos PQ y U c2 es el ve tor olumna de los módulos de las tensiones de losnudos de arga al uadrado uando se onsideran las admitan ias ríti as.Por otra parte, ∂U c

m2

∂Y cck

se puede expresar omo:∂U c

m2

∂Y cck

=∂ [U c

m (U cm)

∗]

∂Y cck

= 2 ℜ

[

(U cm)

∗ ∂Ucm

∂Y cck

] (2.23)Así, la e ua ión de los puntos ríti os para la poten ia a tiva total, (2.22),queda:U ck2 cos (ψck) + 2Gc

c ℜ

[diag [(U c)∗]∂U c

∂Y cck

]

= 0 (2.24)donde el operador diag signi� a matriz diagonal. Si se deriva la e ua ión (2.18),en las ondi iones de punto ríti o, respe to a Y cck, se obtiene que:

0 = [0 . . . U ck1 ψck . . . 0]

t +(

Y redpqpq+ Y c

c

) ∂U c

∂Y cck

(2.25)39

Capítulo 2. Apli a ión del teorema de la máxima transferen ia de . . .La ondi ión de puntos ríti os, (2.24), queda:U ck2 cos (ψck) =

= 2Gcc ℜ

[diag [(U c)∗](

Y redpqpq+ Y c

c

)−1

[0 . . . U ck1 ψck . . . 0]

t

] on k = 2 : nEn forma matri ial,(cos (ψc))

t diag [U c2]

=

= 2Gcc ℜ

[diag [(U c)∗](

Y redpqpq+ Y c

c

)−1 diag [U c] diag [1 ψc]

] (2.26)donde ψc representa el ve tor olumna de los ángulos de las admitan ias de arga ini iales de los nudos PQ. Para un punto de fun ionamiento dado, estaexpresión puede emplearse para omprobar la proximidad a un punto ríti o.Por otra parte, di ha e ua ión también se puede emplear para al ular las ondu tan ias de arga ríti as si se expresa en forma de impedan ias a partirde (2.18)U c = −Zc Y 1U 1 = −Kc

1U 1 (2.27) on la matriz de impedan ias Zc siendo la inversa de la matriz de admitan iasde de la red in luyendo las admitan ias de arga ríti as, (Y redpqpq+ Y c

c

)−1.El primer término de la e ua ión (2.26) se puede expresar omo:(cos (ψc))

t diag [U c2]

= (cos (ψc))t diag [U c] diag [(U c)∗] =

= (cos (ψc))t diag [Kc

1

2]

U2

1El segundo término de la e ua ión (2.26) se puede expresar omo:2Gc

c ℜ

[diag [(U c)∗](

Y redpqpq+ Y c

c

)−1 diag [U c]diag [1 ψc]

]

=

= 2Gcc ℜ

[diag [(Kc1)

∗]Zc diag [Kc1] diag [1 ψc]U

2

1

]Finalmente, la e ua ión para lo alizar los puntos ríti os en forma matri ialexpresada en fun ión de las admitan ias del sistema y de las argas queda:(cos (ψc))

t diag [Kc12]

= 2Gcc ℜ [diag [(Kc

1)∗]Zc diag [Kc

1]diag [1 ψc]] (2.28)40

2.3. Considera ión de varios nudos . . .Esta expresión permite:Cal ular las ondu tan ias o módulos de admitan ias ríti as en todoslos nudos de arga del sistema elé tri o. Este análisis propor iona una lasi� a ión de la riti idad de los nudos del sistema.Para un punto de fun ionamiento dado omprobar la proximidad a unpunto ríti o.A ontinua ión se analizan varios asos parti ulares.2.3.1. Caso parti ular: Sistema de 2 nudosEn este aso n = 2 y solo existe un nudo de arga. Las variables a sustituiren la expresión (2.28) tienen la siguiente forma:Zc =

(

Y red22+ Y c

c2

)−1

Kc1 = Zc Y red21

=Y red21

(

Y red22+ Y c

c2

)Por tanto, la e ua ión para la dete ión de los nudos ríti os es:cos (ψc2)K

c1

2 = 2Gcc2ℜ[

Kc1

2Zc 1 ψc2] (2.29)Simpli� ando y operando,

1 = 2 Y cc2ℜ

[

1 ψc2(

Yred22 ψred22 + Y cc2ψc2

)

]

= 2 Y cc2ℜ

[

1(

Yred22 ψred22 − ψc2 + Y cc2

)

]

(

Yred22 cos (ψred22 − ψc2) + Y cc2

)2+ (Yred22 sin (ψred22 − ψc2))

2 =

= 2 Y cc2

(

Yred22 cos (ψred22 − ψc2) + Y cc2

)

Y 2

red22+Y c

c2

2+2Y cc2Yred22 cos (ψred22 − ψc2) = 2Y c

c2

(

Yred22 cos (ψred22 − ψc2) + Y cc2

)Es de ir, el valor que debe tomar la admitan ia de arga del úni o nudo41

Capítulo 2. Apli a ión del teorema de la máxima transferen ia de . . .PQ para que sea ríti a debe ser igual al elemento de la matriz de admitan iasde la red orrespondiente a ese nudo.Y cc2= Yred22 (2.30)Obviamente, en este aso el valor de la admitan ia ríti a oin ide on elresultado obtenido por la apli a ión del teorema de la máxima transferen iade poten ia.2.3.2. Caso parti ular: Sistema de n − 1 nudos de argapuramente resistivosEn un sistema de n nudos on n − 1 nudos de arga on argas resistivaspuras,

cos (ψck) = 1 =⇒ Y cck

= GcckTeniendo en uenta estas ondi iones, la e ua ión general para obtener lospuntos ríti os, (2.28) queda:

(

Kc1

2)t

= 2Gcc ℜ [diag [(Kc

1)∗]Zc diag [Kc

1]] (2.31)Si se analiza el aso de 3 nudos des rito y estudiado en el apartado 2.2.1,Zc =

[

Gcc2− j20 j10j10 Gc

c3− j20]−1

=1

∆

[

Gcc3− j20 −j10

−j10 Gcc2− j20] on ∆ =

(

Gcc2Gcc3− 300

)

− j20 (Gcc2+Gc

c3

).Kc

1 = Zc

[

Y red21

Y red31

]

= j10Zc

[

1

1

]

=j10∆

[

Gcc3− j30

Gcc2− j30] (2.32)Por tanto, el sistema de e ua iones para obtener los puntos ríti os,(2.31),queda:

[Gcc3

2+900 Gcc2

2+900 ] =

= 2 [Gcc2

Gcc3 ]ℜ

{

1

∆

[

(Gcc3

2+900)(Gcc3−j20) 300(Gc

c2−Gc

c3)−j10(Gc

c2Gc

c3+900)

300(Gcc3

−Gcc2)−j10(Gc

c2Gc

c3+900) (Gc

c22+900)(Gc

c2−j20) ]}42

2.3. Considera ión de varios nudos . . .Estas e ua iones presentan una simetría que responde a la simetría de la redque se analiza. Presentan una solu ión úni a para la poten ia total máxima onGcc = Gc

c2= Gc

c3. Representa un máximo absoluto al anularse las dos derivadas.El valor que deben tomar las admitan ias de arga para ser ríti as satisfa enambas e ua iones y se obtiene de ualquiera de las dos anteriores. Así:Gcc2 + 900 = 2 ℜ

[

Gcc

(

Gcc2 + 900

) (

Gcc2 − j30)

(

Gcc2 − 300

)

− j40Gcc

]

Gcc4 + 800Gc

c2 − 9 · 104 = 0Enton es, el valor de las ondu tan ias para ser ríti as es Gc

c = 10 p.u. Esteresultado oin ide on el ya obtenido en el apartado 2.2.1 apli ando análisisde ir uitos teniendo en uenta la simetría de la red.A ontinua ión se analizan varios supuestos uando solamente varía una delas admitan ias de arga.Se supone una ondu tan ia de arga �ja y otra que puede ser variable.Por ejemplo, Gc3 se onsidera dada y Gc2 variable. La e ua ión a emplear paradeterminar Gc2 es,∂PT∂Gc2

∣

∣

∣

∣

Gc3=cte

= 0y orresponde on la primera e ua ión del sistema de e ua iones (2.31).Gcc2

2(

G4

c3+ 1100G2

c3+ 36 · 104

)

+ 200Gcc2

(

5G3

c3+ 2700Gc3

)

−

−(

400G4

c3+ 27 · 104G2

c3+ 81 · 106

)

= 0(2.33)Se resuelve esta e ua ión para diferentes valores de arga Gc3:1. Si Gc3 = 0 p.u., enton es la e ua ión (2.33) propor iona el valor

Gcc2= 15 p.u. de la arga para que sea ríti a. Si se resuelve elsistema, por ejemplo realizando un �ujo de argas, on estas argas omo admitan ias se obtiene que las tensiones de los nudos son:

U′

2 = 0,7071 −45◦ p.u. y U′

3 = 0,7906 −18,4349◦ p.u. Las poten ias de ada nudo son Pc2 = 7,5 p.u. y Pc3 = 0 p.u. y por tanto, la poten iatotal es PT = Pc2 + Pc3 = 7,5 p.u. Estos resultados oin iden on losobtenidos en el apartado 2.2.1 después de apli ar el teorema de la máximatransferen ia de poten ia. 43

Capítulo 2. Apli a ión del teorema de la máxima transferen ia de . . .2. Si Gc3 = 5 p.u., enton es la e ua ión (2.33) propor iona el valor de la arga Gcc2= 11,8519 p.u. para que sea ríti a. Las tensiones de los nudosserán U ′

2 = 0,7343 −45◦p.u. y U ′

3 = 0,7788 −32,9053◦p.u. Las poten iasde ada nudo son Pc2 = 6,3905 p.u. y Pc3 = 3,0325 p.u. y por tanto lapoten ia total es PT = Pc2 + Pc3 = 9,4230 p.u.3. Si Gc3 = 20 p.u., enton es la e ua ión (2.33) propor iona el valor dela arga Gcc2

= 9,1667 p.u. para que sea ríti a. Las tensiones de losnudos serán U′

2 = 0,6061 −45◦ p.u. y U′

3 = 0,5273 −61,6993◦ p.u. Laspoten ias de ada nudo son Pc2 = 3,3674 p.u. y Pc3 = 5,5612 p.u. y portanto, la poten ia total es PT = Pc2 + Pc3 = 8,9286 p.u. Esta solu ión esinestable, tal omo indi a el análisis modal realizado4. Esto es así porqueGc3 = 20 p.u. es mayor que el módulo de la admitan ia vista desde elnudo 3, es de ir, el inverso del elemento orrespondiente de la diagonalprin ipal de matriz de impedan ias de la red, 1/Zred2,2 = j15 p.u.El punto estable de fun ionamiento orrespondiente a esas poten ias, ob-tenido realizando un �ujo de argas, es: U ′

2 = 0,8498 −29,0826◦ p.u. onGc2 = 4,6631 p.u. y U ′

3 = 0,8305 −35,2901◦ p.u. on Gc3 = 8,0625 p.u.Se puede on luir, del análisis de los tres asos presentados, que todosellos representan puntos máximos pero no absolutos ya que solo se anula unaderivada. Todos ellos son puntos ríti os on poten ias siempre menores que la orrespondiente al punto máximo. Estos puntos están en la frontera que separala zona esta ionariamente estable de la esta ionariamente inestable.De forma análoga se podría realizar un estudio similar al anterior onside-rando Gc2 dada y Gc3 variable y así al ular ∂PT∂Gc3

∣

∣

∣

∣

Gc2=cte

= 0.La representa ión grá� a de poten ia total y de las e ua iones para deter-minar los puntos ríti os ayudan a omprender el signi� ado e importan ia dela lo aliza ión de las admitan ias ríti as.La �gura 2.8 representa la super� ie de poten ia total on las orrespon-dientes a las dos planos donde se anulan las derivadas para en ontrar los puntos ríti os.El punto de orte de ambos planos ríti os orresponde on el punto depoten ia máxima, que ya se ha visto que es 10 p.u.4El análisis modal empleado se ha desarrollado a partir de lo indi ado en [Gao y otros,1992℄. 44

2.3. Considera ión de varios nudos . . .

0

5

10

15

0

5

10

150

2

4

6

8

10

Conductancia de carga Gc2Conductancia de carga Gc3

Pote

ncia

tota

l PT

dPT/dGc2 = 0dPT/dGc3 = 0

Figura 2.8: Super� ie de poten ia total para el aso de 3 nudos ortada porlos planos de admitan ias ríti as.El área ontenida entre los dos planos ríti os de oordenadas (0; 0; 0),(0; 15; 7,5), (15; 0; 7, 5) y (10; 10; 10) se orresponde on admitan ias de argaque propor ionan solu iones esta ionariamente estables; aquellos oin identes on los planos ríti os son puntos ríti os y más allá de este área las admitan iasde arga propor ionan solu iones inestables.2.3.3. Caso generalEl ál ulo de las admitan ias ríti as a partir de la e ua ión (2.28) en los asos parti ulares planteados anteriormente, asos de 2 y 3 nudos on simpli-� a iones, ha sido inmediato.Por otra parte, en el aso de que todas las admitan ias de arga sean dadassalvo la de un nudo, por ejemplo el nudo k, se obtiene que la poten ia a tivatotal absorbida por la úni a arga es máxima, dire tamente por apli a ióndel teorema de la máxima transferen ia de poten ia en la �gura 2.7, uandose umple Yck = 1/Zredkk. A este mismo resultado se llega parti ularizando lae ua ión (2.28) on esta ondi ión.Para una red ualquiera de n nudos y n − 1 nudos de arga en el que45

Capítulo 2. Apli a ión del teorema de la máxima transferen ia de . . .no se onsideren simpli� a iones, omo las vistas en los apartados anteriores,el ál ulo de las admitan ias ríti as a partir de (2.28) no se puede obtenerde forma dire ta e inmediata por ser un onjunto de e ua iones no lineales.Su resolu ión impli a el empleo de un método iterativo que puede demorar,en algunos asos, el ál ulo de las admitan ias ríti as y equipararlo a otrosmétodos de ál ulo omo el �ujo de argas de ontinua ión.Por este motivo, se analizan varias simpli� a iones para obtener un sistemade e ua iones de rápida solu ión.2.3.3.1. Simpli� a iones de ál uloLa e ua ión orrespondiente al término k, es de ir, ∂PT∂Yck

= 0 es:cos (ψck)K

c1k

2 =

n∑

m=2

2Gccm

ℜ[(

Kc1m

)∗Zcmk K

c1k1 ψck

]

= 2Gcckℜ[(

Kc1k

)∗Zckk K

c1k

1 ψck]

+ Ak

(2.34)dondeAk =

n∑

m=2

2Gccm

ℜ[(

Kc1m

)∗Zcmk K

c1k

1 ψck] on m 6= k (2.35)Es de ir,

1 = 2 Y cckℜ [Zc

kk ψck ] +Bk (2.36)dondeBk =

Ak

cos (ψck)Kc1k

2(2.37)1. Primera simpli� a iónEl valor de Bk depende de Y c

ck, pero si se ignora esta dependen ia em-pleando las admitan ias de arga del punto de partida (se onsidera quelos elementos de la diagonal prin ipal de la matriz de impedan ias Zmuestran mayor dependen ia on la admitan ia ríti a), y

cargak, la e ua- ión (2.36) permite obtener para ada punto de fun ionamiento un valoraproximado de la admitan ia ríti a Y c

ck.Así, tan solo el término Zc

kk ontiene las in ógnitas admitan ias ríti- as, sin embargo el ál ulo de las mismas requiere también el empleo de46

2.3. Considera ión de varios nudos . . .métodos iterativos. Por este motivo se realiza otra simpli� a ión.2. Segunda simpli� a iónLa impedan ia Zckk se puede onsiderar omo el resultado de la ombina- ión paralelo de la admitan ia ríti a de arga, Y c

ck, on otra impedan iades ono ida que llamaremos Z ′

kk. De forma análoga, en la situa ión de arga orrespondiente al punto de fun ionamiento, la impedan ia Zkkse podría al ular omo el onjunto paralelo de la admitan ia de arga,ycargak

, on la impedan ia anterior, Z ′

kk. Así, esta impedan ia se al ulaa partir del punto de fun ionamiento omo:Z

′

kk =Zkk

1− ycargak

Zkk

(2.38)Una vez al ulada Z ′

kk la impedan ia Zckk de la e ua ión (2.36) se al ula omo:

Zckk =

Z′

kk

1 + Y cckZ

′

kk

=Z

′

kkϕZ′

kk

1 + Y cckZ

′

kk ϕZ′

kk+ ψck

(2.39)La parte real en la e ua ión anterior después de multipli ar por 1 ψckqueda,ℜ [Zc

kk ψck ] = ℜ

[

Z′

kkϕZ′

kk+ψck

1 + Y cckZ

′

kk ϕZ′

kk+ ψck

]

= ℜ

[

1

Y′

kk −ϕZ′

kk− ψck + Y c

ck

]

(2.40)donde

Y′

kk =1

Z′

kkSustituyendo la e ua ión (2.40) en la e ua ión para determinar los pun-tos ríti os (2.36), on αk = ϕZ

′

kk+ ψck , se obtiene una e ua ión desegundo grado desa oplada para el nudo k de rápida solu ión que evitala resolu ión de las admitan ias ríti as empleando un método iterativo.

(1− Bk)

[

(

Y′

kk cosαk + Y cck

)2

+(

Y′

kk sinαk

)2]

= 2Y cck

(

Y′

kk cosαk + Y cck

)47

Capítulo 2. Apli a ión del teorema de la máxima transferen ia de . . .Reordenando, la e ua ión es:(1 +Bk)Y

cck

2 + 2 BkY′

kkYcckcosαk − (1−Bk)Y

′

kk

2

= 0 (2.41)La solu ión positiva de esta e ua ión de segundo grado propor iona unvalor aproximado del módulo de la admitan ia ríti a para el nudo k,suponiendo que las demás no ambian. En el aso parti ular de que todaslas demás admitan ias de arga sean nulas, es de ir Bk = 0, sustituyendoen la e ua ión (2.41) se obtiene que Y cck

= Y′

kk = Yredkk que oin ide onel resultado obtenido al apli ar el teorema de la máxima transferen ia depoten ia.3. Ter era simpli� a iónSe puede realizar otra aproxima ión en la e ua ión (2.41). Si resulta a ep-table la aproxima ión Z′

kk = Zredkk, siendo esta última la impedan iaThévenin sin onsiderar las argas y además, la red es puramente indu -tiva (ϕZ′

kk=

π

2) on argas puramente resistivas, (ψck = 0), enton es(αk =

π

2) y la e ua ión de segundo grado para obtener las admitan ias ríti as, (2.41) queda:

Y cck

2 =

[

(1−Bk)

(1 +Bk)

](

1

Zredkk

)2 (2.42)2.3.3.2. Análisis de resultados en un aso de tres nudosA ontinua ión, se trabaja on el aso de tres nudos mostrado en la �gura2.2 analizado en el apartado 2.3.2 empleando la e ua ión aproximada (2.41)para la obten ión de las admitan ias ríti as. Si se suponen unas argas pura-mente resistivas de valor Gc2 = 5 p.u. y Gc3 = 10 p.u. se obtiene de la e ua ión(2.32),

K′

12=

j10 (Gc3 − j30)(Gc2Gc3 − 300)− j20 (Gc2 +Gc3)

= 0,8098 148,24◦ p.u.K

′

13=

j10 (Gc2 − j30)(Gc2Gc3 − 300)− j20 (Gc2 +Gc3)

= 0,7788 139,27◦ p.u.48

2.3. Considera ión de varios nudos . . .Z22 =

(Gc3 − j20)(Gc2Gc3 − 300)− j20 (Gc2 +Gc3)

= 0,0573 66,37◦ p.u.Z32 =

−j10(Gc2Gc3 − 300)− j20 (Gc2 +Gc3)

= 0,0256 39,81◦ p.u.Z

′

22 = 0,0620 82,87◦ p.u.A2 = 2Gc3 ℜ

[(

K′

13

)∗

Z32 K′

12

]

= 0,2128 p.u.B2 =

A2

K′

12

2= 0,3246 p.u.

α2 = ϕZ′

11+ ψc2 = 82,875◦

Y′

22 =1

Z′

11

= 16,1345 p.u.Sustituyendo los valores anteriores en la e ua ión (2.41), la e ua ión desegundo grado que se obtiene para obtener la admitan ia ríti a para el nudode arga 2 suponiendo onstante la del nudo 3 es:1,3246 Y c

c2

2 + 1,2984 Y cc2− 175,6047 = 0El valor de la admitan ia ríti a que se obtiene es Y c

c2= 11,0344 p.u.Este aso ya se ha analizado en el apartado 2.3.2 obteniéndose omo resultado

Y cc2= 10 p.u. Por tanto, existe una dis repan ia del 10% entre el resultado orre to y el obtenido por la e ua ión (2.41).La tabla 2.11 muestra las admitan ias ríti as para el aso de la red de 3nudos obtenidas de forma exa ta y de forma aproximada.Cál ulo admitan ia ríti a Y c

c2

CasoGc2 = 5 p.u. Gc2 = 9 p.u. Gc2 = 8 p.u.Gc3 = 10 p.u. Gc3 = 10 p.u. Gc3 = 5 p.u.Según (2.28) 10 p.u. 10 p.u. 11,8519 p.u.Aproximado según (2.41) 11,0344 p.u. 10,1027 p.u. 12,1351 p.u.Aproximado según (2.42) 10,7109 p.u. 9,9087 p.u. 12,0678 p.u.

Z′

220,0620 82,875◦ 0,0620 82,876◦ 0,0652 85,601◦

Zred220,0667 90◦Tabla 2.11: Cál ulo de admitan ias ríti as del nudo 2 para el aso de 3 nudos.

49

Capítulo 2. Apli a ión del teorema de la máxima transferen ia de . . .2.3.4. Tratamiento de los nudos generadoresLa expresión de ál ulo de admitan ias ríti as se ha desarrollado supo-niendo que solo existe un nudo generador, el balan e. En las redes elé tri ases habitual que existan varios nudos generadores. Por lo tanto, es importan-te analizar el modelo de los generadores a emplear para que el resultado del ál ulo de las admitan ias ríti as, de a uerdo on la e ua ión (2.28), sea lomás realista posible.Por ejemplo, en un aso muy sen illo on arga en un úni o nudo y on unsolo generador adi ional al balan e, si se onsidera al nudo PU omo nudo detensión onstante (módulo y argumento) el ál ulo de la admitan ia ríti a,de a uerdo on e ua ión la (2.28), oin ide on la inversa del elemento de lamatriz de impedan ias pues es el resultado de la apli a ión del teorema de lamáxima transferen ia de poten ia.En el aso de que se ambien las ondi iones del generador (módulo de ten-sión o poten ia a tiva generada) empleando el modelo de tensión onstante seobtiene el mismo valor de admitan ia ríti a. Este resultado no es realista por-que en la prá ti a si se ambian estos valores ambia el valor de la admitan ia ríti a. Por tanto, para onsiderar de forma ade uada los diferentes es ena-rios de arga se ha e ne esario analizar diferentes modelos para los nudos degenera ión.Así pues, para representar orre tamente el omportamiento de estos nudosse deben onsiderar dos posibles situa iones: que los nudos PU trabajen dentrode sus límites de genera ión de poten ia rea tiva y que los nudos PU superendi hos límites.La onsidera ión de estas situa iones introdu e varia iones en la expresiónde las admitan ias ríti as (2.28) que afe tan a los valores de los términos deestas expresiones y al ál ulo de la matriz de impedan ias Zred.2.3.4.1. Los nudos PU superan sus límites de genera ión de poten- ia rea tivaEn este aso los generadores han superado su valor límite de genera iónde poten ia rea tiva y enton es se les onsidera omo nudos de arga o PQ,puesto que el valor de poten ia rea tiva inye tada es ono ida y viene impuestaal superar sus límites y el valor de poten ia a tiva es ono ido por ser origi-50

2.3. Considera ión de varios nudos . . .nalmente nudos de genera ión. Esto impli a la modi� a ión de la matriz deimpedan ias.Esta modi� a ión afe ta al ál ulo de las tensiones U ′. Como ya se ha omentado la poten ia a tiva y rea tiva de genera ión, Pnudogengy Qnudogengrespe tivamente, son �jas y por tanto, al realizar la linealiza ión de las mismasse deben representar por una ondu tan ia, Gnudogeng

y sus eptan ia, Bnudogeng,variables que ajustarán su valor al ambiar las tensiones de estos nudos. Esteajuste también se debería realizar para las argas linealizadas de los nudosPQ. Sin embargo, se asume que sus valores no ambian de forma apre iable almodi� ar la situa ión de arga del sistema (no se onsideran ambios superioresal 10%) y por tanto, se trabaja on el valor obtenido de la linealiza ión del aso base. Si se tuviera en uenta la modi� a ión de estas admitan ias sedebería realizar un pro eso iterativo de ajuste se di hos valores que emplearíaun tiempo de ál ulo elevado y por lo tanto el método de linealiza ión noofre ería ninguna ventaja respe to a la realiza ión de su esivos �ujos de arga.2.3.4.2. Los nudos PU trabajan dentro de sus límites de genera iónde poten ia rea tivaEn este aso no existe varia ión del módulo de la tensión en los nudos degenera ión pero sí de su argumento. Se proponen y analizan tres modelos pararepresentar el omportamiento de los nudos PU:1. Los nudos PU se onsideran omo una admitan ia a tierraEn este aso, la poten ia a tiva de genera ión es onstante y la poten iarea tiva es variable y depende del nivel de arga del sistema. La poten iaa tiva y rea tiva inye tada, en el aso base, en estos nudos se representapor una admitan ia de arga one tada a tierra de la forma:

ynudogen

= −s∗nudogenU2nudogendonde snudogen representa la poten ia ompleja inye tada en el nudo degenera ión, es de ir, la poten ia ompleja de genera ión menos la de arga, en el aso de que la hubiera. Esta admitan ia se in luye en lamatriz de admitan ias Y red omo una admitan ia de ompensa ión.La �gura 2.9 muestra la representa ión de este equivalente.51

Capítulo 2. Apli a ión del teorema de la máxima transferen ia de . . .Nudo genNudo gen

ynudogen

Resto sistemaResto sistema

Unudogen

snudogen

Unudogen

Figura 2.9: Equivalente en admitan ia para representar el omportamiento delos nudos PU.2. Los nudos PU se onsideran omo nudos balan e one tados através de una impedan ia (Balan e Z)En este aso, se sustituye el nudo generador de módulo de tensión ono- ida por una fuente real de tensión, donde la fuente de tensión ideal tomaun valor onstante y ono ido e igual al del nudo balan e del sistema yse one ta a través de una impedan ia de valor znudogen ade uado paramantener las ondi iones de arga del aso base en los nudos PU (ver�gura 2.10).Por tanto, es ne esario in luir en el sistema un nudo adi ional que se tra-ta de forma idénti a al nudo balan e y una línea adi ional que one taeste nuevo nudo balan e on el nudo PU original, que ahora se onsidera omo un nudo de arga. Este equivalente, en prin ipio, pare e que ofre- e un omportamiento más exa to que el de admitan ia, pues on esteequivalente se trata la inye ión de orriente de forma orre ta para elnudo balan e adi ional.El ál ulo de la impedan ia znudogen se realiza de la siguiente manera, apartir de la intensidad inye tada en el nudo de genera ión.Inudogen =

s∗nudogenU ∗nudogen

znudogen =U1 − Unudogen

Inudogen(2.43)donde U1 representa la tensión del nudo balan e del sistema. Estas mo-di� a iones se in luyen onvenientemente en la matriz de admitan ias52

2.3. Considera ión de varios nudos . . .

Nudo gen

Nudo Adicional

Resto sistema

Nudo genNudo Balance

Resto sistema

znudogen

U1

Nudo Balance

U1

Unudogen

U1

Unudogen

snudogen

snudogen

Inudogen

Figura 2.10: Equivalente de fuente ideal de tensión on impedan ia para losnudos PU.Y red para obtener la matriz de impedan ias orregida Zred.3. Los nudos PU se onsideran omo nudos balan e one tados através de una rea tan ia (Balan e X)Este equivalente es similar al anterior (ver �gura 2.11).Se emplea la fuente real de tensión antes de�nida, pero en este asose emplea una rea tan ia de onexión, X1nudogen, en lugar de una im-pedan ia para no alterar la poten ia a tiva del nudo, ya que en di haimpedan ia se produ en unas pérdidas de poten ia a tiva. Esto impli aque para poder ajustar la poten ia rea tiva del nudo PU original se olo- a una rea tan ia de ompensa ión en el mismo, B2nudogen, a er ándosebastante bien al omportamiento real de los generadores que ajustan sutensión variando la poten ia rea tiva.El ál ulo de las rea tan ias antes men ionadas se realiza de la siguientemanera: 53

Capítulo 2. Apli a ión del teorema de la máxima transferen ia de . . .

Nudo gen

Nudo Adicional

Resto sistema

Nudo genNudo Balance

Resto sistema

B2nudogen

U1

Nudo Balance

U1

Unudogen

U1

Unudogen

snudogen

snudogen

Inudogen

X1nudogen

Figura 2.11: Equivalente de fuente real de tensión on rea tan ia para los nudosPU.X1nudogen =

UnudogenU1

Pnudogencos (δnudogen − δ1 + π/2) (2.44)

B2nudogen =Qnudogen

U2nudogen

+1

X1nudogen

−

−U1

X1nudogenUnudogensin (δnudogen − δ1 + π/2)

(2.45)

54

2.3. Considera ión de varios nudos . . .2.3.4.3. Compara ión de los modelosPara estudiar la in�uen ia de los modelos para los nudos PU propuestos, seanaliza el valor de la admitan ia ríti a propor ionada por la e ua ión (2.28),sin onsiderar ninguna de las simpli� a iones men ionadas en 2.3.3.1, y se ompara on los resultados propor ionados por el �ujo de argas.Considerando el modelo linealizado para el ál ulo de admitan ias ríti as,todas las argas se representan por su admitan ia orrespondiente al aso basey tan solo se analiza el valor de la admitan ia ríti a para un úni o nudo de arga. Esta e ua ión, es ne esario resolverla empleando métodos numéri os.Para realizar la ompara ión on el �ujo de argas y onsiderar solo la in-�uen ia de los modelos PU, las argas se deben expresar omo admitan ias.Así, las ondi iones de trabajo son idénti as a las de la formula ión de admi-tan ias ríti as. Al igual que antes, úni amente se modi� a la admitan ia deun nudo. La admitan ia ríti a se obtendrá uando al in rementar la admitan- ia del nudo la poten ia a tiva de arga total del sistema, es de ir, la suma depoten ias a tivas de arga de todos los nudos, disminuya.Se analiza un aso de pequeña dimensión para fa ilitar los ál ulos. Se eligeel aso de 6 nudos Ward&Hale [Ward y Hale, 1956℄ que solo presenta un nudogenerador, además del balan e, para identi� ar de forma más lara la in�uen iadel modelo adoptado. Se analiza la admitan ia ríti a del nudo 6, manteniendosu fa tor de poten ia. Para omprobar la bondad de los diferentes modelos seanalizan seis es enarios de arga.1. Caso base. Caso de partida, tal omo se espe i� a en [Ward y Hale,1956℄.2. Caso 1. Caso base on redu ión de la poten ia a tiva inye tada por elgenerador. De 0,5 p.u. se redu e a 0,2 p.u.3. Caso 2. Caso base on elimina ión de la poten ia a tiva inye tada porel generador.4. Caso 3. Caso base on aumento de la poten ia a tiva inye tada por elgenerador. De 0,5 p.u. se aumenta a 1 p.u.5. Caso 4. Caso base on aumento de la poten ia demandada por el nudode arga 3 manteniendo el fa tor de poten ia. La poten ia a tiva de 0,55p.u. se aumenta a 0,9 p.u. 55

Capítulo 2. Apli a ión del teorema de la máxima transferen ia de . . .6. Caso 5. Caso base on disminu ión de la poten ia demandada por elnudo de arga 3 manteniendo el fa tor de poten ia. La poten ia a tivade 0,55 p.u. se redu e a 0,01 p.u.Las tablas 2.12, 2.13, 2.14, 2.15, 2.16 y 2.17 muestran los resultados parael aso base, aso 1, aso 2, aso 3, aso4 y aso 5, respe tivamente.Caso BaseModelo Módulo admitan ia %Error Poten ia a tiva %ErrorFlujo argas 3,42 1,4569F. tensión te. 3,69 7,9 1,5295 4,9Admitan ia 2,38 −30,4 1,1553 −20,7Balan e Z 3,60 5,3 1,5260 4,7Balan e X 3,48 1,8 1,4726 1,1Tabla 2.12: Cál ulo del módulo de la admitan ia ríti a y poten ia del nudo 6en p.u. onsiderando los diferentes modelos PU para el aso base.Caso 1Modelo Módulo admitan ia %Error Poten ia a tiva %ErrorFlujo argas 2,91 1,3131F. tensión te. 3,69 26,8 1,5194 15,7Admitan ia 2,31 −20,6 1,1135 −15,2Balan e Z 2,86 −1,7 1,3117 −1,1Balan e X 2,70 −7,2 1,2326 −6,1Tabla 2.13: Cál ulo del módulo de la admitan ia ríti a del nudo 6 en p.u. onsiderando los diferentes modelos PU para el aso 1.Caso 2Modelo Módulo admitan ia %Error Poten ia a tiva %ErrorFlujo argas 2,41 1,1492F. tensión te. 3,69 52,7 1,4801 28,7Admitan ia 2,26 −6,2 1,0667 −7,2Balan e Z 2,41 0 1,1425 −0,5Balan e X 2,26 −6,2 1,0667 −7,2Tabla 2.14: Cál ulo del módulo de la admitan ia ríti a del nudo 6 en p.u. onsiderando los diferentes modelos PU para el aso 2.56

2.3. Considera ión de varios nudos . . . Caso 3Modelo Módulo admitan ia %Error Poten ia a tiva %ErrorFlujo argas 3,72 1,4964F. tensión te. 3,66 −1,6 1,4510 −3,1Admitan ia 2,52 −32,3 1,1721 −21,7Balan e Z 4,95 33,1 1,6876 12,7Balan e X 4,72 26,9 1,6287 8,8Tabla 2.15: Cál ulo del módulo de la admitan ia ríti a en p.u. del nudo 6 onsiderando los diferentes modelos PU para el aso 3.Caso 4Modelo Módulo admitan ia %Error Poten ia a tiva %ErrorFlujo argas 2,91 1,2678F. tensión te. 3,42 17,5 1,3948 10,1Admitan ia 1,97 −32,6 0,9951 −21,5Balan e Z 3,01 3,4 1,3054 2,9Balan e X 2,82 −3,1 1,2418 −2,1Tabla 2.16: Cál ulo del módulo de la admitan ia ríti a del nudo 6 en p.u. onsiderando los diferentes modelos PU para el aso 4.Caso 5Modelo Módulo admitan ia %Error Poten ia a tiva %ErrorFlujo argas 3,92 1,6259F. tensión te. 4,10 4,6 1,6436 1,1Admitan ia 2,93 −25,3 1,3017 −19,9Balan e Z 4,99 −27,3 1,8998 −16,8Balan e X 4,72 20,4 1,7759 9,2Tabla 2.17: Cál ulo del módulo de la admitan ia ríti a del nudo 6 en p.u. onsiderando los diferentes modelos PU para el aso 5.La �gura 2.12 muestra grá� amente los errores en el ál ulo de las admitan- ias para ada uno de los asos anteriormente analizados. Admitiendo un errora eptable del 10%, se observa que ninguno de los modelos para los nudos PUanalizados presentan errores dentro de ese rango permisible para los diferenteses enarios de arga analizados. Estos errores, de forma general disminuyen sise analiza la poten ia aso iada a la admitan ia al ulada.El modelo de admitan ia presenta el peor omportamiento y los de balan e on impedan ia o rea tan ia son los que presentan mejor omportamiento. Enestos últimos se ha omprobado que la ele ión del ángulo del nudo balan eadi ional empleado en el modelo tiene una in�uen ia dire ta en los resultados57

Capítulo 2. Apli a ión del teorema de la máxima transferen ia de . . .de la admitan ia ríti a, y por tanto en el error. Para que los errores seanmenores el ángulo del nudo balan e debe ser superior al obtenido en el nudoPU en el �ujo de argas de partida. Sin embargo, no se ha en ontrado lamagnitud de aumento ade uada sea ual sea el aso de estudio. El modeloini ialmente onsiderado, el de tensión onstante presenta un omportamientointermedio. Por este motivo al no presentar ninguno de los modelos analizadosuna ventaja lara respe to de los otros se propone emplear el modelo de tensión onstante para representar los nudos generadores.

Caso base Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4 Caso50

10

20

30

40

50

60

% E

rror

cál

culo

de

adm

itanc

ia

F. tensión cte.AdmitanciaBalance ZBalance X

Toleranciaerror

Figura 2.12: Compara ión del omportamiento de los modelos PU propuestospara el aso de 6 nudos Ward&Hale ante distintos es enarios de arga.2.3.4.4. Análisis del aso IEEE de 118 nudosSe analiza el aso de 118 nudos, [Christie, 1993℄, para omprobar la in i-den ia del modelo de los generadores y el empleo de las fórmulas sin y onsimpli� a iones para el ál ulo de la admitan ia ríti a y se ompara on losresultados obtenidos on el �ujo de argas de ontinua ión.La tabla 2.18 muestra los resultados uando se onsidera úni amente va-ria ión de arga en el nudo 44. Se omprueba que existen errores onsiderablesempleando el teorema de máxima transferen ia de poten ia frente al ál u-lo obtenido on el �ujo de argas de ontinua ión. Sin embargo, no existendiferen ias signi� ativas empleando las simpli� a iones en la fórmula de ad-mitan ias ríti as (2.41) frente al empleo de la expresión (2.28), sin onsiderar58

2.3. Considera ión de varios nudos . . .simpli� a iones.Nudo Admitan ia ríti a en p.u. % ErrorFCC1 Según (2.28) Según (2.41) Según (2.28) Según (2.41)Nudo 44 5,39 6,9042 6,9832 28 29,51 Admitan ia obtenida a partir de la poten ia máxima y su tensión orrespondientemediante el �ujo de argas de ontinua ión.Tabla 2.18: Compara ión de resultados para el ál ulo de la admitan ia ríti apara el nudo 44 del aso IEEE de 118 nudos.La tabla 2.19 muestra los resultados uando se onsidera varia ión de argasimultáneamente en los nudos 13, 45 y 98. Cada uno de estos nudos pertene ea una de las tres zonas en las que se divide el aso de 118 nudos que se analiza.Se vuelve a omprobar que no existen diferen ias signi� ativas empleando lassimpli� a iones en la fórmula de admitan ias ríti as (2.41) y la fórmula (2.28).En este análisis se indi an las admitan ias obtenidas on el �ujo de argasde ontinua ión pero no se in luyen por entajes de error, ya que el patrón demodi� a ión de argas adoptado por el �ujo de argas de ontinua ión, idénti opara los tres nudos, no tiene que oin idir on el patrón de arga más ríti oque propor ione la poten ia máxima y que puede ser diferente para ada nudoy que es lo que realiza el ál ulo de admitan ias ríti as.Nudo Admitan ia ríti a en p.u.FCC Según (2.28) Según (2.41)Nudo 13 2,8415 14,6818 14,7685Nudo 45 8,5238 13,30 13,3446Nudo 98 2,1106 14,45 14,4592Tabla 2.19: Compara ión de resultados para el ál ulo de la admitan ia ríti apara varios nudos del aso IEEE de 118 nudos.2.3.4.5. Con lusionesEl método presentado permite al ular la poten ia máxima más ríti a pa-ra un número ualquiera de nudos de arga que pueden variar su poten ia. Laformula ión desarrollada permite al ular el punto de olapso empleando on- eptos fundamentales del análisis de ir uitos lo que favore e la interpreta iónde resultados. El empleo de simpli� a iones en la formula ión general pro-puesta propor iona resultados rápidos on por entajes de error a eptables. Es59

Capítulo 2. Apli a ión del teorema de la máxima transferen ia de . . .importante desta ar que los resultados de admitan ias ríti as obtenidos siem-pre presentan errores, aunque se emplee la formula ión sin simpli� a iones,que pueden ser importantes, debido a la presen ia de generadores y al modeloempleado para su representa ión. No se ha podido en ontrar un modelo degenerador que propor ione resultados on errores a eptables para ualquier es- enario de arga. Por este motivo y dado que los sistemas elé tri os presentanvarios nudos generadores, el empleo de las admitan ias ríti as desarrolladoen esta tesis no representa una herramienta de utilidad prá ti a para deter-minar el margen de arga y para ara terizar el fenómeno de estabilidad detensión. Sin embargo, las admitan ias ríti as se pueden emplear para realizaruna lasi� a ión de la riti idad de los nudos.

60

Capítulo 3Nueva metodología de ara teriza ión de la estabilidadde tensión empleando el �ujo de argas. El nudo FU3.1. El nudo FU. Nueva de�ni ión de tipo denudo para el �ujo de argasLos sistemas de energía elé tri a trabajan dentro de unos márgenes detensión que vienen impuestos por los dispositivos de prote ión, de forma quelos valores de tensión orrespondientes al punto límite de arga suelen ser másbajos que los límites impuestos en la prá ti a. Desde un punto de vista prá ti o,de utilidad para el operador y plani� ador del sistema, el ál ulo de la poten ia ríti a y el margen de arga disponible tiene apli abilidad real siempre que se onsideren los límites de fun ionamiento.En este sentido, desde el punto de vista del análisis del fenómeno de esta-bilidad de tensión resulta de gran interés ono er la demanda total del sistemapara la que el �ujo de argas presente solu ión estable, dado un ierto per�lde tensiones. Si se emplea el �ujo de argas omo herramienta de análisis, esteestudio no se puede llevar a abo de forma dire ta.El algoritmo onven ional del �ujo de argas trabaja on tres tipos de nu-dos: balan e, generador (PU) y arga (PQ) y permite imponer diversos límites61

Capítulo 3. Nueva metodología de ara teriza ión de la estabilidad . . .a los nudos PU y PQ. En estos nudos no se puede variar la poten ia a tiva yrea tiva de a uerdo on un fa tor de poten ia ualquiera para ajustar un nivelde tensión en los nudos de arga. Tan solo es posible imponer un límite detensión en los nudos PQ, es de ir, no se les permite subir o bajar de un deter-minado valor límite de módulo de tensión pero no se �ja el nivel de tensión.En el aso de al anzar el límite, el nivel de tensión a mantener se onsigueinye tando/ onsumiendo poten ia rea tiva. Otras herramientas omo el �ujode argas de ontinua ión permiten ono er la situa ión de arga que orres-ponde on un determinado nivel de tensión, pero es ne esario realizar varios�ujos de argas y el tiempo de ál ulo puede ser elevado. Es, por tanto, deinterés prá ti o para el operador disponer de un tipo de nudo en el que sepueda determinar de forma rápida el nivel de arga que le orresponde a unatensión dada.En esta tesis se propone emplear un nuevo tipo de nudo, al que se va adenominar FU, dentro del algoritmo de �ujo de argas omo estrategia de a-ra teriza ión del fenómeno de estabilidad de tensión. En este sentido, se puede al ular el margen de arga prá ti o, lo alizar zonas ríti as, lo alizar puntosde interés de la urva P-U y orientar la toma de de isiones para mejorar elfun ionamiento del sistema. Como adelanto, aunque se desarrolla on detallea ontinua ión, la implementa ión e in orpora ión al �ujo de argas onven- ional del nudo FU se realiza de manera sen illa sin modi� ar el algoritmo yla estru tura del � hero de entrada de datos de forma sustan ial.3.2. Modelo de nudo FU. Formula ión matemá-ti aSe propone un nuevo tipo de nudo de arga, FU, on módulo de tensión yángulo de arga �jos que permite al ular el nivel de poten ia requerido parael nivel de tensión impuesto, on el fa tor de poten ia espe i� ado.Como es sabido, el �ujo de argas plantea un onjunto de e ua iones o-rrespondientes a la poten ia ono ida a tiva y rea tiva inye tadas en los nudos.Este sistema se resuelve empleando un método iterativo para obtener las ten-siones en módulo y argumento en di hos nudos. La in lusión de los nudos FUdebe ajustarse a este esquema. La formula ión matemáti a ne esaria para in- luir los nudos FU en el esquema del �ujo de argas es muy similar a la de62

3.2. Modelo de nudo FU. Formula ión matemáti alos nudos PU. Solo es ne esario plantear una e ua ión en poten ias orrespon-diente al fa tor de poten ia espe i� ado. La e ua ión a emplear se muestra en(3.1). Esta orresponde on la tangente del ángulo de arga y se expresa omoel o iente entre poten ia rea tiva y a tiva demandadas en el nudo.tanϕi =

Qdi

Pdi(3.1)donde ϕi es el ángulo de arga orrespondiente al nudo i y Pdi, Qdi se o-rresponden on la poten ia ono ida a tiva y rea tiva demandadas en el nudo

i. Como las e ua iones del �ujo de argas están expresadas en fun ión de laspoten ias inye tadas, la e ua ión (3.1) puede rees ribirse omo:tanϕi =

Qi −Qgi

Pi − Pgi(3.2)donde Pgi y Qgi se orresponden on la poten ia a tiva y rea tiva generadasespe i� adas ini ialmente en el nudo i (en general suelen tomar valor nulo enlos nudos de arga) y Pi y Qi se orresponden on la poten ia a tiva y rea tivainye tadas en el nudo i.Enton es, el onjunto de e ua iones del �ujo de argas a resolver es:Nudos generadores PU

Pi =∑

j

UiUjYij cos (δi − δj − θij) (3.3)Nudos FUtanϕi =

∑

j UiUjYij sin (δi − δj − θij)−Qgi∑

j UiUjYij cos (δi − δj − θij)− Pgi(3.4)Nudos de arga PQ

Pi =∑

j

UiUjYij cos (δi − δj − θij) (3.5)Qi =

∑

j

UiUjYij sin (δi − δj − θij) (3.6)donde Ui, δi, Uj, δj son la magnitud de tensión y ángulo del nudo i y j, res-pe tivamente, e Yij y θij se orresponden on el módulo y ángulo del elemento63

Capítulo 3. Nueva metodología de ara teriza ión de la estabilidad . . .ij-ésimo de la matriz de admitan ias de nudo de la red.Si se espe i� a el módulo de la tensión Ui, la úni a in ógnita adi ional queapare e en el nudo FU es el ángulo de la tensión δi. Las poten ias demandadasne esarias se al ulan al �nalizar el pro eso de onvergen ia del �ujo de argas.La e ua ión (3.7) muestra la forma ompa ta del sistema de e ua iones aresolver en ada itera ión del �ujo de argas empleando el método iterativo deNewton-Raphson.

∆P

∆ tanϕ

∆Q

=

∂P∂δ

U ∂P∂U

∂ tanϕ∂δ

U∂ tanϕ∂U

∂Q∂δ

U∂Q∂U

∆δ

∆UU

(3.7)

La matriz ja obiana se modi� a y las nuevas entradas se al ulan para unnudo FU genéri o, i, de la siguiente forma,∂ tan ϕi∂ δi

=

∂ Qi

∂ δi− ∂Pi∂ δi

tanϕi

Pi − Pgi

=

∑

j 6=i UiUjYij [cos (δi − δj − θij) + sin (δi − δj − θij) tanϕi]∑

j UiUjYij cos (δi − δj − θij)− Pgi

(3.8)∂ tan ϕi∂ δj

=

∂ Qi

∂ δj− ∂Pi∂ δj

tanϕi

Pi − Pgi

=−UiUjYij [cos (δi − δj − θij) + sin (δi − δj − θij) tanϕi]

∑

j UiUjYij cos (δi − δj − θij)− Pgi

(3.9)Ui∂ tanϕi∂ Ui

=Ui∂Qi

∂ Ui− Ui

∂Pi∂Ui

tan ϕi

Pi − Pgi

=

∑

j 6=i UiUjYij [sin (δi − δj − θij)− cos (δi − δj − θij) tanϕi]∑

j UiUjYij cos (δi − δj − θij)−

−2U2

i (Yii sin θii + Yii cos θii tanϕi)∑

j UiUjYij cos (δi − δj − θij)− Pgi (3.10)64

3.2. Modelo de nudo FU. Formula ión matemáti aUj∂ tanϕi∂ Uj

=Uj

∂Qi

∂ Uj− Uj

∂Pi∂Uj

tan ϕi

Pi − Pgi

=UiUjYij [sin (δi − δj − θij)− cos (δi − δj − θij) tanϕi]

∑

j UiUjYij cos (δi − δj − θij)− Pgi

(3.11)A la vista de la e ua iones anteriores se on luye que la in orpora ión delnudo FU en el algoritmo del �ujo de argas impli a un pequeño número demodi� a iones sen illas que no afe tan a la in lusión de los diferentes tipos delímites ya onsiderados, límites de poten ia rea tiva en los nudos generadoresy límites de tensión en los nudos de arga. Para dotar a estos nudos FU deuna versatilidad ompleta, se ha implementado también un límite de poten iaa tiva y rea tiva inye tada, de a uerdo on un fa tor de poten ia que no tieneque oin idir on el de arga espe i� ado. La programa ión de este límite essimilar a la empleada para los límites en los nudos generadores o nudos de arga.La implementa ión de este nudo se ha in orporado al �ujo de argas, pro-gramado en MATLAB y desarrollado en el departamento de Ingeniería Elé -tri a de la E.T.S.I. Industriales de la Universidad Polité ni a de Madrid.En resumen, la estru tura del � hero de entrada no se ve afe tada ya queno es ne esario in luir ningún ampo nuevo. En el ampo orrespondiente parael valor ini ial del módulo de tensión se indi a el valor de tensión requerido y laindi a ión del ángulo de arga o fa tor de poten ia se obtiene de la rela ión en-tre poten ia rea tiva y a tiva demandadas ini ialmente. Se puede trabajar on ualquier valor de ángulo ajustando onvenientemente los valores de poten iademandada y de genera ión en el � hero de entrada de datos.Para mostrar los resultados de poten ia demandada en los nudos FU se haoptado por representarla omo la ombina ión de poten ia demandada ini ialy poten ia generada ne esaria.Por otra parte, se ha insistido en la dimensión prá ti a del empleo del nudoFU, por este motivo se han in orporado también al �ujo de argas, límites depoten ia a tiva en el nudo balan e para tener en uenta las restri iones quese produ en en el fun ionamiento del sistema. De las diferentes op iones quese pueden realizar, ver [Dimitrovski y Tomsovi , 2004℄, se ha implementado laque en ada itera ión omprueba si el nudo balan e supera el límite de poten ia65

Capítulo 3. Nueva metodología de ara teriza ión de la estabilidad . . .a tiva impuesto. En aso a�rmativo, el saldo sobrante de poten ia se reasignaa otro generador o grupo de generadores, que previamente se han indi ado enel � hero de entrada de datos, de forma propor ional al margen de que dispone ada uno de ellos hasta su límite de poten ia a tiva máxima.3.3. Casos de estudioSe analiza la red IEEE de 118 nudos, bajo distintos es enarios de arga, paraponer de mani�esto la forma de trabajar on los nudos FU y la informa iónútil que pueden propor ionar.3.3.1. Red IEEE de 118 nudosEn los siguientes apartados se analiza el aso IEEE de 118 nudos estándar uyos datos se obtienen de la referen ia [Christie, 1993℄. Este aso se divide entres zonas que se muestran en la �gura 3.1.3.3.1.1. Empleo de un solo nudo FUSe trata del análisis más sen illo que se puede realizar empleando los nu-dos FU. La herramienta propuesta en el apartado 2.2.2 del apítulo 2, así omo otras herramientas des ritas en la bibliografía1, podrían propor ionar lamisma informa ión aunque de forma menos dire ta y on tiempos de ál ulosuperiores, respe tivamente.El estudio on un úni o nudo de este tipo se realiza uando solamenteinteresa el omportamiento de ese nudo, el ual presenta un omportamiento ríti o avalado por experien ia o estudios previos que así lo demuestran2.1Entre otras el �ujo de argas de ontinua ión.2La riti idad de los nudos se puede obtener realizando un �ujo de argas on nudos FU omo se muestra en las siguientes se iones.66

3.3.Casosdeestudio

G

G

G

G

G

G

G

GG

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

33

34

35

36

37

38

39

40 41 42

43

44

45

47

46

48

49

50

51

52

53 5455

56

5758

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

116

69

70

71

72

73

24

G

G

G

G G

G

GG

G G

G

G G G

G

G G

G

G

74

75

11876

77

78

79

80

81

82

83

84

85

86

87

88 89

9091

92

93

9495

96

9798

99

100

101102

103

104 105

10

6

107

108

109

110

111

112

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G G

1 2

3

4

5

6 7

8

9

10

11

12

13

14

117

15

16

1718

19

20

21

22

23

25

26

27

28

29

113 30

31

32

114115

ZONA 1

ZONA 2

ZONA 3

Figura3.1:Reddel asoIEEEde118nudos.67

Capítulo 3. Nueva metodología de ara teriza ión de la estabilidad . . .Cál ulo del margen de argaCon una úni a eje u ión del �ujo de argas se obtiene informa ión del mar-gen de arga. Dependiendo del valor de tensión que se es oja, el margen de arga orresponderá on el margen ríti o, si la tensión elegida orresponde on la del olapso de tensión, o simplemente se obtendrá un margen para undeterminado nivel de tensión que resulta de interés para el operador del siste-ma.Esta red ya ha sido analizada en el apítulo 2 apartado 2.2.2 uando se pre-sentó el método MCTMP. En el aso de onsiderar el nudo 44, que ini ialmentedemanda 0,16 p.u. de poten ia a tiva y 0,08 p.u. de poten ia rea tiva, omo ríti o y onsiderarlo omo nudo FU se pueden obtener diferentes márgenes de arga para distintos valores de tensión impuestos. Si le le impone la tensión de olapso3, 0,6206 p.u. manteniendo el fa tor de poten ia de la arga ini ial, seobtiene que debe generar −1,7 p.u. y −0, 85 p.u. de poten ia a tiva y rea ti-va, respe tivamente. Es de ir, que en ese nudo la poten ia inye tada a tiva yrea tiva, para esa tensión, es −1,86 p.u. y −0,93 p.u. Este mismo resultado seobtiene trabajando on el método MCTMP, para el que la demanda máximahasta que se onsigue onvergen ia es 1,86 p.u. y 0,93 p.u. de poten ia a tivay rea tiva, respe tivamente.Por otra parte, el intervalo de varia ión de las tensiones de los nudos enla prá ti a, suele ser del orden del 5% al 10% de su valor nominal. El asoanalizado presenta un valor de tensión muy bajo para el punto límite de arga,por lo que nun a se podría trabajar en la prá ti a on ellos.En la tabla 3.1 se muestra el análisis del aso de IEEE de 118 nudos están-dar onsiderando al nudo 44 omo FU uando se onsideran varios niveles detensión, 0,9 p.u. y 0,85 p.u. La poten ia inye tada que propor iona se puede onsiderar omo el margen de arga ríti o �prá ti o�. Por ejemplo, imponien-do la tensión de 0,9 p.u., algo inferior a la de partida de valor 0,985 p.u., yfa tor de poten ia idénti o al de la arga ini ial, se obtiene que el nudo debegenerar −0,7084 p.u. de poten ia a tiva. Es de ir, para esa tensión se puedein rementar la demanda de poten ia a tiva o se dispone de un margen �prá -ti o� de 0,7084 p.u. Este valor es, lógi amente, inferior al obtenido uando setrabajaba on la tensión de 0,6206 p.u., −1,7 p.u., orrespondiente al olapsoteóri o del sistema. Con solo un �ujo de argas y empleando el modelo de tipode nudo FU se obtienen resultados pre isos y de forma rápida sobre el margen3Obtenida uando se trabajó on el método MCTMP.68

3.3. Casos de estudiode arga hasta un valor de tensión elegido.Caso IEEE 118 nudos. Nudo FU 44U Pg Qg Pd Qd

0,98501 0,0000 0,0000

0,16 0,080,9 −0,7084 −0,35420,85 −1,0376 −0,51880,62062 −1,70 −0,851 Se re�ere a la tensión del �ujo de argasde partida.2 Se re�ere a la tensión ríti a que orres-ponde on el límite máximo de arga.Tabla 3.1: Resultados para distintos valores de tensión en p.u. para el asoIEEE de 118 nudos.Trazado de las urvas P-UEl estudio anterior ha propor ionado el margen de arga para diferentesniveles de tensión. Esto no es más que la obten ión de diferentes puntos defun ionamiento. Es de ir, la obten ión de la arga ne esaria, para un fa torde poten ia determinado, on un nivel de tensión espe i� ado superior al de olapso y que orresponde on la zona estable de los puntos de fun ionamiento.Por tanto, se han obtenido diferentes puntos de la urva P-U en la zona estable.Los nudos FU ofre en la posibilidad de ono er ualquier punto de tensiónde la urva P-U, tanto en la zona estable, omo ya se ha visto, omo en lainestable, realizando una úni a eje u ión del �ujo de argas por punto sinne esidad de realizar un �ujo de argas de ontinua ión. La tabla 3.2 muestradiferentes valores de tensión orrespondientes a la zona inestable.Caso IEEE 118 nudos. Nudo FU 44U Pg Qg Pd Qd

0,62061 −1,70 −0,85

0,16 0,080,5 −1,6614 −0,83070,4 −1,4960 −0,74800,3 −1,2218 −0,61091 Se re�ere a la tensión ríti a que orres-ponde on el límite máximo de arga.Tabla 3.2: Obten ión de puntos inestables de la urva P-U para el aso IEEEde 118 nudos.Se puede obtener informa ión de la er anía al punto de olapso máximotrabajando on solo dos eje u iones del �ujo de argas empleando los nudos69

Capítulo 3. Nueva metodología de ara teriza ión de la estabilidad . . .FU. Se obtiene el margen orrespondiente al punto de tensión límite prá ti o,por ejemplo, 0,9 p.u. al que le orresponde un margen de poten ia a tiva de0,7084 p.u, y se ompara on el obtenido para un valor de tensión bajo quepropor ione solu ión inestable, por ejemplo 0,5 p.u. al que le orresponde unmargen de 1,6614 p.u. Como el punto de olapso máximo debe presentar unvalor intermedio entre el prá ti o y el orrespondiente a la solu ión inestable,basta �jarse en este último para tener una idea aproximada del margen máxi-mo. En el ejemplo estudiado el margen máximo, 1,7 p.u., es algo superior aldoble del valor del punto estable.3.3.1.2. Empleo de varios nudos FU. Cál ulo de márgenes de argaTal omo se ha omentado, el aso IEEE de 118 nudos se trata de unes enario alejado del punto de olapso donde todas las tensiones presentan unvalor superior a 0,9 p.u. La tabla 3.3 muestra los nudos de arga PQ on argano nula que presentan menor y mayor valor de tensión para ada zona.Zona Umin Nudo Umax Nudo1 0,9581 20 0,9997 232 0,9460 53 1,0197 673 0,9494 118 1,0235 98Tabla 3.3: Tensiones más bajas y más altas por zona en p.u. para el aso IEEEde 118 nudos.Dete ión de zonas ríti asEn el aso de no ontar on un ono imiento del omportamiento del sistemade estudio, omo el que propor iona la experien ia del operador del sistemaelé tri o, se deben realizar análisis previos para averiguar zonas y nudos de omportamiento más ríti o. Mediante el empleo de los nudos FU se puedeestable er un orden de riti idad de ada una de las zonas y de ada uno delos nudos por zona. Para ello, se de�nen todos los nudos de arga PQ on arga no nula de ada zona de estudio omo nudos FU, dejando al resto de losnudos on su on�gura ión ini ial de nudo. Se realiza el análisis imponiendo atodos los nudos FU una tensión inferior a la del aso de partida y on fa tor depoten ia oin idente on el de la arga. Se ha onsiderado una redu ión del2%, valor su� iente para observar el omportamiento de los nudos y asegurar70

3.3. Casos de estudiola onvergen ia4. No se han onsiderado límites en los nudos FU para poderestable er orre tamente la riti idad de los nudos.Las tablas 3.4, 3.5 y 3.6muestran los nudos FU y los valores de poten ias para ada nudo de la zona yel nudo de menor tensión del resto de las zonas.En estas ondi iones, si se suma la poten ia a tiva generada por los nudosFU en ada zona, se observa que la zona 3 presenta el menor valor de margende arga, 3,9508 p.u. frente a 8,3926 p.u. de la zona 2 que presenta el mayorvalor. Por tanto, la zona 3 es la más ríti a y la zona 2 la menos ríti a. En ada una de las zonas también se puede estable er un orden de riti idad delos nudos dependiendo del valor de poten ia generada ne esaria para mantenerel valor de tensión impuesta.En la zona 1, el nudo más ríti o es el nudo 20, que es el nudo que deberíagenerar más poten ia. El nudo menos ríti o es el 29, que puede aumentarsu demanda de poten ia de manera más signi� ativa para el nivel de tensiónimpuesto. De forma análoga, en la zona 2, el nudo más ríti o es el nudo 47,que es el nudo que debería generar más poten ia y el nudo menos ríti o es el60, que puede aumentar su demanda de poten ia de manera más signi� ativapara el nivel de tensión impuesto. En la zona 3, el nudo más ríti o es el118 y el menos ríti o el 88. Comparando on la tabla 3.3 se omprueba quela riti idad de los nudos obtenida trabajando on los nudos FU no siempre oin ide on los nudos que presentan menor y mayor valor de tensión en el asode partida. Por tanto, el estudio on los nudos FU propor iona una informa iónde manera rápida y pre isa que a priori no se disponía de ella.La riti idad de los nudos obtenida a partir del valor de poten ia de gene-ra ión en los nudos FU puede ser también empleada para orientar la toma dede isión sobre medidas orre toras y de arga para elegir aquellos nudos donderesultan más efe tivas estas opera iones. Como medidas orre toras puedenser onsideradas las opera iones de deslastre que pueden ser entendidas o-mo genera ión de valor positivo en los nudos FU. Como opera iones de argaaquellas que, on un número redu ido de nudos, permiten obtener informa ióndel margen de arga prá ti o y que pueden ser entendidas omo genera ión devalor negativo en los nudos FU.4En este aso se ha logrado onvergen ia hasta una redu ión del 4% y la riti idad delos nudos es la misma que la mostrada para una redu ión del 2%. En los sistemas realesde gran tamaño estos por entajes deben ser más redu idos.71

Caso IEEE 118 nudos. Zona 1Nudo FU U Pg Qg Pd Qd

2 0,9520 0,0194 0,0087 0,2000 0,0900

3 0,9483 −0,1337 −0,0343 0,3900 0,1000

7 0,9695 −0,9221 −0,0971 0,1900 0,0200

11 0,9654 −0,8785 −0,2887 0,7000 0,2300

13 0,9489 0,0492 0,0232 0,3400 0,1600

14 0,9639 0,0515 0,0037 0,1400 0,0100

16 0,9642 0,0002 0,0001 0,2500 0,1000

17 0,9752 −1,0188 −0,2779 0,1100 0,0300

20 0,9389 0,1582 0,0264 0,1800 0,0300

21 0,9394 −0,0008 −0,0005 0,1400 0,0800

22 0,9503 −0,0033 −0,0016 0,1000 0,0500

23 0,9797 −0,7869 −0,3372 0,0700 0,0300

28 0,9424 −0,2929 −0,1206 0,1700 0,0700

29 0,9439 −1,0950 −0,1825 0,2400 0,0400

114 0,9412 −0,3076 −0,1153 0,0800 0,0300

115 0,9411 −0,4349 −0,1384 0,2200 0,0700

117 0,9543 −0,0084 −0,0034 0,2000 0,0800Total −5,6044Nudo Umin Pg Qg Pd Qd

38 Zona 2 0,9072 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000Tabla 3.4: Análisis de riti idad para la zona 1 en p.u. del aso IEEE de 118 nudos.

Capítulo 3. Nueva metodología de ara teriza ión de la estabilidad . . .

72

Caso IEEE 118 nudos. Zona 2Nudo FU U Pg Qg Pd Qd

33 0,9522 −0,1333 −0,0521 0,2300 0,0900

35 0,9611 −0,3487 −0,0951 0,3300 0,0900

39 0,9511 −0,3837 −0,1563 0,2700 0,1100

41 0,9475 −0,8449 −0,2284 0,3700 0,1000

43 0,9589 −0,0160 −0,0062 0,1800 0,0700

44 0,9653 0,0137 0,0068 0,1600 0,0800

45 0,9669 −0,1974 −0,0819 0,5300 0,2200

47 0,9968 0,2373 0,0000 0,3400 0,0000

48 1,0002 −0,2728 −0,1500 0,2000 0,1100

50 0,9811 −0,0872 −0,0205 0,1700 0,0400

51 0,9476 0,0101 0,0048 0,1700 0,0800

52 0,9377 0,0358 0,0100 0,1800 0,0500

53 0,9271 −0,1869 −0,0894 0,2300 0,1100

57 0,9512 −0,2073 −0,0518 0,1200 0,0300

58 0,9398 −0,2313 −0,0578 0,1200 0,0300

60 0,9733 −5,8508 −0,2250 0,7800 0,0300

67 0,9993 −0,3129 −0,0782 0,2800 0,0700Total −8,3926Nudo Umin Pg Qg Pd Qd

118 Zona 3 0,9306 0,0000 0,0000 0,3300 0,1500Tabla 3.5: Análisis de riti idad para la zona 2 en p.u. del aso IEEE de 118 nudos.

3.3. Casos de estudio

73

Caso IEEE 118 nudos. Zona 3Nudo FU U Pg Qg Pd Qd

75 0,9480 −0,2355 −0,0551 0,4700 0,1100

78 0,9833 −0,7021 −0,2571 0,7100 0,2600

79 0,9890 −0,2640 −0,2166 0,3900 0,3200

82 0,9690 0,0127 0,0064 0,5400 0,2700

83 0,9648 −0,1094 −0,0547 0,2000 0,1000

84 0,9602 −0,0672 −0,0428 0,1100 0,0700

86 0,9670 −0,1564 −0,0745 0,2100 0,1000

88 0,9678 −0,7156 −0,1491 0,4800 0,1000

93 0,9674 −0,1441 −0,0841 0,1200 0,0700

94 0,9709 −0,2499 −0,1333 0,3000 0,1600

95 0,9614 0,0185 0,0136 0,4200 0,3100

96 0,9728 −0,2177 −0,0859 0,3800 0,1500

97 0,9912 −0,2321 −0,1393 0,1500 0,0900

98 1,0030 −0,4089 −0,0962 0,3400 0,0800

101 0,9727 −0,0681 −0,0464 0,2200 0,1500

102 0,9715 −0,2180 −0,1308 0,0500 0,0300

106 0,9426 −0,1971 −0,0733 0,4300 0,1600

108 0,9475 −0,0210 −0,0105 0,0200 0,0100

109 0,9482 −0,1460 −0,0548 0,0800 0,0300

118 0,9304 0,1711 0,0778 0,3300 0,1500Total −3,9508Nudo Umin Pg Qg Pd Qd

53 Zona 3 0,9458 0,0000 0,0000 0,2300 0,1100Tabla 3.6: Análisis de riti idad para la zona 3 en p.u. del aso IEEE de 118 nudos.

Capítulo 3. Nueva metodología de ara teriza ión de la estabilidad . . .

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3.3. Casos de estudioMargen de arga zonalSe propone el estudio de margen de arga del sistema trabajando on unnúmero redu ido de nudos FU ara terísti os de ada zona.Para analizar el margen de arga en ada zona onsiderada de forma in-dependiente se eligen omo nudos representativos de la zona aquellos que pre-sentan mayor apa idad de arga, por este motivo se es ogen los nudos menos ríti os de a uerdo on el análisis de zonas ríti as realizado en el apartadoanterior. Estos nudos son el nudo 29 de la zona 1, el nudo 60 de la zona 2 y elnudo 88 de la zona 3.La tabla 3.7 muestra el valor de in remento de demanda onsiderando losnudos ara terísti os anteriores, de forma individual para ada zona, omonudos FU on tensión 0,9 p.u y 0,85 p.u. on fa tor de poten ia propor ionala la demanda ini ial. Se indi an también los valores ini iales de demanda de ada zona.Análisis Zona 1 Zona 2 Zona 3Pdo

1p.u. 9,1100 14,4700 13,1000Qdo p.u. 3,4500 4,9700 5,9600FU Nudo 29 60 88U2 0,9 0,85 0,9 0,85 0,9 0,85Pg p.u. −3,7186 −4,5436 −10,5781 −11,0573 −3,1628 −4,2084Qg p.u. −0,6198 −0,7573 −0,4069 −0,4253 −0,6589 −0,8768% In r.3 41 50 73 76 24 32FCC Nudomin4 20 52 118Umin 0,8361 0,8238 0,7451∆Pd

5p.u. 8,3812 13,8912 10,8730∆Qd p.u. 3,1740 4,7712 4,9468% In r. 92 96 831 El subíndi e o se re�ere a la situa ión de partida.2 Los nudos FU son los nudos que presentan la tensión menor en la zona de estudio.3 El % de in remento se re�ere al in remento de poten ia a tiva respe to de la demandaini ial.4 Se re�ere a los nudos de arga que presentan menor tensión en la zona de estudio traba-jando on el FCC.5 Se re�ere al in remento de arga en la zona trabajando on el FCC.Tabla 3.7: Valores ara terísti os para el análisis on nudos FU en p.u., onsi-derados de forma independiente por zonas y su ompara ión on el FCC parael aso IEEE de 118 nudos.Estos resultados se omparan on los obtenidos realizando un �ujo de argasde ontinua ión5 onsiderando un in remento idénti o de arga en todos losnudos PQ de ada zona de forma propor ional a su arga ini ial.5Se ha trabajado on el �ujo de argas de ontinua ión implementado en el Departamento75

Capítulo 3. Nueva metodología de ara teriza ión de la estabilidad . . .Se omprueba que empleando los nudos FU los resultados de in remento de arga por zona son inferiores a los obtenidos por el �ujo de argas de ontinua- ión, omo abría esperar por trabajar solo on un nudo, y estri tamente, losresultados no son omparables. Sin embargo, se muestra la ompara ión paraindi ar la informa ión adi ional que se puede obtener empleando los nudos FU.En on reto, en la zona 3 se al anza el valor del 24% ó 32%, dependiendodel valor de la tensión del nudo FU, frente al 83% obtenido on el FCC. Enlas zonas 1 y 2 los valores que se obtienen están más próximos, espe ialmente uando se trabaja on la tensión de 0,85 p.u.Es importante desta ar que empleando los nudos FU los niveles de tensiónen ada zona son superiores a 0,9 p.u. mientras que empleando el FCC lastensiones son signi� ativamente más bajas, espe ialmente en la zona 3.Margen de arga globalSe analiza el margen global del sistema de estudio empleando los nudos ara terísti os de ada zona ya indi ados, 29, 60 y 88.Se onsideran de forma simultánea los tres nudos FU on tensión de 0,9 p.u.y 0,85 p.u. on fa tor de poten ia propor ional a la arga ini ial.Se omparan los resultados obtenidos empleando el FCC onsiderando unin remento idénti o para los nudos de arga y también propor ional a su de-manda ini ial. La tabla 3.8 muestra los resultados.El empleo de los tres nudos ara terísti os FU de forma simultánea hapropor ionado unos valores de poten ia en los que no se apre ian ambiossigni� ativos en los repartos zonales analizados uando se onsideraban deforma independiente. Sin embargo, onsiderado el sistema de forma globalse omprueba que los valores de poten ia de in remento omparando ambosmétodos se aproximan.De esta forma, trabajando on los nudos FU se obtiene una poten ia a tivay rea tiva total de 53,6580 p.u. y 16,0427 p.u. onsiderando la tensión de0,9 p.u., respe tivamente, frente a 58,6880 p.u. y 23,0080 p.u. empleando elFCC. Existe una diferen ia global de un 10%.Los valores de poten ia empleando nudos FU son algo inferiores pero onde Ingeniería Elé tri a de la E.T.S.I. Industriales de Madrid de a uerdo on [Ajjarapu yChristy, 1992℄. 76

3.3. Casos de estudioniveles de tensión igual o superiores a 0,9 p.u. mientras que el FCC obtienetensiones signi� ativamente inferiores del orden de 0,7 p.u. no a eptables en laprá ti a. Si se onsidera una tensión FU algo inferior, 0,85 p.u., los resultadosen poten ia se aproximan al del olapso.(a) Valores zonalesAnálisis Zona 1 Zona 2 Zona 3Pdop.u. 9,1100 14,4700 13,1000Qdo p.u. 3,4500 4,9700 5,9600FU Nudo 29 60 88U1 0,9 0,85 0,9 0,85 0,9 0,85Pg p.u. −3,7141 −4,2747 −10,1226 −10,2892 −3,1413 −4,0278Qg p.u. −0,6190 −0,7124 −0,3893 −0,3957 −0,6544 −0,8391% In r. 41 47 69 71 24 31FCC Nudomin 20 44 118Umin 0,9581 0,7717 0,7244∆Pd p.u. 5,4660 8,6820 7,86∆Qd p.u. 2,0700 2,9820 3,5760% In r. 60 60 601 Los nudos FU son los nudos que presentan la tensión menor en la zona de estudio para latensión de 0,9 p.u. Para la tensión 0,85 p.u. su ede lo mismo salvo para el nudo 118 quepresenta una tensión de 0,8294 p.u.(b) Valores totalesAnálisis Total

Pdop.u. 36,68000Qdo p.u. 14,3800FU U 0,9 0,85Pg p.u. −16,9780 −18,5917Qg p.u. −1,6627 −1,9472% In r. 46 51FCC ∆Pd p.u. 22,008∆Qd p.u. 8,628% In r. 60Tabla 3.8: Valores ara terísti os para el análisis on nudos FU en p.u., onsi-derados de forma simultánea y su ompara ión on el FCC para el aso IEEEde 118 nudos.Este estudio pone de mani�esto que el empleo de un número redu ido denudos FU para al ular márgenes de arga totales es útil y rápido y basta on emplear los nudos menos ríti os de ada zona. Tan solo se ne esitan doseje u iones del �ujo de argas, una para dete tar la riti idad de los nudos yotra para determinar el margen de arga.77

Capítulo 3. Nueva metodología de ara teriza ión de la estabilidad . . .3.3.2. Red IEEE de 118 nudos, modi� adoEste aso ya se ha des rito en el apartado 2.2.3.5. Está basado en el asoestándar de 118 nudos modi� ado de a uerdo on [Alvarado y otros, 1995℄ paraen ontrarse en una situa ión muy argada próxima al olapso de tensión.La tabla 3.9 muestra los nudos on tensiones más bajas para ada zona.Todas ellas presentan un valor inferior al valor de 0,9 p.u. que se ha onsiderado omo límite prá ti o de fun ionamiento.Zona Umin Nudo1 0,8561 211 0,8589 202 0,8492 432 0,8502 443 0,8421 753 0,7933 118Tabla 3.9: Tensiones más bajas por zona en p.u. para el aso IEEE de 118nudos modi� ado.3.3.2.1. Margen de arga globalDe manera análoga a omo se estudió para el aso estándar de 118 nudos,se analiza en este sistema muy argado el margen de arga del que dispone. Sevuelve a trabajar on los nudos ara terísti os, 29, 60 y 88.Se onsideran de forma simultánea los tres nudos y se les impone unatensión idénti a a los tres de 0,9 p.u. No se obtiene onvergen ia para estevalor y el primer valor que propor iona solu ión es 0,94 p.u.Los resultados se muestran en la tabla 3.10 donde se in luye también una ompara ión on el FCC.Se omprueba que no existe diferen ia en la estima ión del margen de argay los niveles de tensión de los nudos del sistema son muy similares empleandolos nudos FU y el FCC.Al igual que antes las estima iones de margen zonales di�eren para ambos asos, omo es lógi o, pero al tratarse de un aso muy argado se aproximanal global. 78

3.3. Casos de estudio (a) Valores zonalesAnálisis Zona 1 Zona 2 Zona 3Pdop.u. 18,4933 29,3741 26,5930Qdo p.u. 7,0035 10,0891 12,0988FU Nudo 29 60 88U1 0,94 0,94 0,94Pg p.u. −1,1665 −2,3674 0,2188Qg p.u. −0,1944 −0,0911 0,0456% In r. 6,3 8 −0,8FCC Nudomin 21 44 118Umin 0,8245 0,7242 0,7413∆Pd p.u. 0,8137 1,2925 1,1701∆Qd p.u. 0,3082 0,4439 0,5323% In r. 4,4 4,4 4,41 Los nudos de menor tensión por zonas son el 21 ontensión 0,8369 p.u., el 44 on tensión 0,7249 p.u. y el

118 on tensión 0,7524 p.u.(b) Valores totalesAnálisis TotalPdop.u. 74,4604Qdo p.u. 29,1914FU U 0,94Pg p.u. −3,3151Qg p.u. −0,2399% In r. 4,4FCC ∆Pd p.u. 3,2763∆Qd p.u. 1,2844% In r. 4,4Tabla 3.10: Valores ara terísti os para el análisis on nudos FU en p.u., onsi-derados de forma simultánea y su ompara ión on el FCC para el aso IEEEde 118 nudos modi� ado.3.3.2.2. Deslastre de argaEn situa iones de tensiones muy bajas que pueden impli ar una er anía alpunto de olapso de tensión, omo es el aso, es ne esario realizar opera ionesde deslastre de arga para mejorar el per�l de tensiones.Si el �n de estas opera iones es elevar las tensiones del sistema pare erazonable disponer de una herramienta en la que el parámetro tensión se puedadeterminar de forma dire ta por el operador y no omo onse uen ia de unaelimina ión de arga.Los nudos FU permiten realizar las opera iones de deslastre estable iendo79

Capítulo 3. Nueva metodología de ara teriza ión de la estabilidad . . .el nivel de tensión omo parámetro signi� ativo.La zona 3 del sistema de 118 nudos modi� ado se onsidera la más ríti a6y se trabaja on el nudo 118 que presenta la menor tensión. Se pueden realizaropera iones de deslastre para mejorar su nivel de tensión empleando los nudosFU.Como primer estudio se analiza y estudia el nudo 118 y se le onsidera omo FU al que se le imponen tensiones de 0,85 p.u. y 0,9 p.u. (superiores a lade partida que es 0,7933 p.u.) manteniendo el fa tor de poten ia de la arga.Para la tensión de 0,85 p.u. se debe deslastrar 0,5757 p.u. de poten ia a tivay para mantener una tensión en el nudo de 0,9 p.u. se debe deslastrar toda la arga ini ial y generar algo más. Desde un punto de vista prá ti o y realista,se onsidera el límite máximo del nudo FU igual a su arga ini ial, por lo quela tensión que es apaz de mantener es 0,8582 p.u. después de deslastrar todasu arga, 0,6699 p.u.Como segundo estudio, se puede analizar la in�uen ia de este deslastre enel resto de los nudos. Para ello, se trabaja on todos los nudos de la zona omoFU, manteniendo sus tensiones de partida, y on el nudo 118 a una tensión de0,85 p.u.La tabla 3.11 muestra los resultados. Se omprueba que on las restri ionesde tensiones en los nudos, el nudo 118 tan solo al anza un valor de tensión de0,8209 p.u. deslastrando toda su arga.Se obtiene informa ión de la sensibilidad de ada nudo de la zona ante eldeslastre de nudo 118. Existen varios nudos que presentan margen de argapositivo, que es lo mismo que de ir que aumentarían su tensión en aso dedeslastre en el nudo antes men ionado y otros nudos que presentan margen de arga negativo, que signi� a que ante un deslastre del nudo 118 disminuiría sutensión. En el primer aso desta a la importante rela ión que se observa onel nudo 75 (rela ión lógi a pues se trata de un nudo adya ente al nudo 118).En los nudos 79 y 82 se muestra una rela ión positiva aunque de menorgrado. Es interesante desta ar que aunque su proximidad al nudo 118 (ver�gura 3.1) es muy similar, en el nudo 79 la in�uen ia es más signi� ativa. Losnudos 84, 86, 93 y 102 bajarían su tensión ante un deslastre en el nudo 118.6Esta on lusión se obtuvo en el apartado 3.3.1.2 para el aso de 118 nudos estándar. Sise pro ediera de manera análoga los resultados serían muy similares.80

3.3. Casos de estudioEsta informa ión puede resultar de interés para el operador del sistemaporque le permite orientar las opera iones de deslastre y ha sido obtenida deforma muy rápida empleando un úni o �ujo de argas.Caso IEEE 118 nudos modi� ado. Zona 3Nudo FU U Pg Qg Pd Qd

75 0,8421 −0,8422 −0,1970 0,9541 0,223379 0,9193 −0,0580 −0,0476 0,7917 0,649682 0,8660 −0,0242 −0,0121 1,0962 0,548183 0,8622 −0,0006 −0,0003 0,4060 0,203084 0,8796 0,0005 0,0003 0,2233 0,142186 0,9238 0,0003 0,0002 0,4263 0,203093 0,8978 0,0004 0,0002 0,2436 0,142194 0,8904 −0,0017 −0,0009 0,6090 0,324895 0,8608 −0,0010 −0,0008 0,8526 0,629396 0,8814 −0,0038 −0,0015 0,7714 0,304597 0,9258 −0,0102 −0,0061 0,3045 0,1827101 0,9116 −0,0010 −0,0007 0,4466 0,3045102 0,9242 0,0008 0,0005 0,1015 0,0609106 0,8906 −0,0015 −0,0006 0,8729 0,3248108 0,9111 −0,0006 −0,0003 0,0406 0,0203109 0,9175 0,0012 0,0004 0,1624 0,0609118 0,8209 FU max 0,6699 0,3045 0,6699 0,3045Tabla 3.11: Análisis de riti idad para la zona 3 en p.u. ante una opera ión dedeslastre del nudo 118 para el aso IEEE de 118 nudos modi� ado.3.3.2.3. Empleo de los nudos FU para ara terizar nudos genera-dores. Considera ión de distintos fa tores de poten iaEn los apartados anteriores se han ara terizado a los nudos de arga pornaturaleza (ini ialmente nudos PQ) omo nudos FU.En este apartado se muestra la posibilidad de ara terizar nudos genera-dores PU omo nudos FU on diferentes fa tores de poten ia.Para ello, se pretende analizar la varia ión del inter ambio entre áreas de-bido a la in�uen ia de los generadores más signi� ativos de una zona determi-nada.En el aso de estudio analizado el inter ambio de poten ia a tiva entre lazona 1 y 2 es de 102,8MW. Se puede analizar la sensibilidad de los generadoresdel área 1 relevantes para aumentar el �ujo de inter ambio manteniendo, porejemplo, el per�l de tensión de los nudos de la zona 1 en valores a eptablesdesde el punto de vista prá ti o. 81

Capítulo 3. Nueva metodología de ara teriza ión de la estabilidad . . .Los generadores relevantes de esta zona que no se en uentran trabajandoen sus límites de poten ia rea tiva son el 10, 25 y 26. Se trata de generadoresque generan valores signi� ativos de poten ia a tiva on tensiones por en imade 1 p.u.Para estudiar la sensibilidad de los generadores se les onsidera nudos FU on diferentes fa tores de poten ia.In�uen ia en el inter ambio de área entre la zona 1 y zona 2 onfa tores de poten ia unidad en los generadoresComo primer estudio se onsidera que estos nudos ara terizados omo FUpresentan fa tor de poten ia unidad y una disminu ión de su tensión de on-signa del 1%. Es de ir, la poten ia adi ional que propor ionen para esta nuevasitua ión se realiza modi� ando ex lusivamente el valor de su poten ia a tiva.Para ello, su poten ia a tiva generada ini ial se trata omo poten ia deman-dada on signo ontrario y la poten ia rea tiva generada en el aso de partidase olo a omo tal en el � hero de entrada. Esto signi� a que al generador solose le permite variar su poten ia a tiva.Con estas onsidera iones se obtienen las sensibilidades de todos los nudosde la zona 1 onsiderando todos los nudos PQ omo nudos FU on tensión yfa tor de poten ia idénti os a los de la solu ión de partida.Solo se obtiene solu ión estable si no se onsideran los límites en los nudosFU (idénti os a la poten ia demandada) obteniéndose un inter ambio de zonade 323,44 MW superior al de partida en un 214%.La tabla 3.12 muestra los detalles de este análisis.Del análisis de esta tabla se observa que el generador que ontribuye demanera más signi� ativa es el 26, que debe aumentar su genera ión de poten iaa tiva y el generador 25 se omporta prá ti amente omo un ompensadorsín rono, pues la poten ia a tiva que debe generar es prá ti amente igual a lade arga.Por otra parte, el nudo de la zona 1 que resulta más signi� ativo (todoslos demás experimentan varia iones no signi� ativas en su demanda) es elnudo 17. Sin embargo, presenta un omportamiento no a eptable en la prá ti apara ajustarse al per�l de tensiones impuesto. Es un nudo de arga que debegenerar 0,8336 p.u. de poten ia a tiva y esto no es posible (en el aso límite82

3.3. Casos de estudiopodría generar o deslastrar 0,2233 p.u.).Además, los nudos 20, 21 y 22 presentan las tensiones más bajas on valoresinferiores a 0,9 p.u.Nudo FU Uo1 U Pg p.u. Qg p.u. Pd p.u. Qd p.u.Gen 10 1,05 1,0395 0,0426 0,9758 −8,1889 0,0000Gen 25 1,05 1,0395 −4,7912 1,0360 −4,0035 0,0000Gen 26 1,015 1,0048 1,3325 1,1729 −5,7141 0,0000

2 0,9018 0,9018 −0,0009 −0,0004 0,4060 0,18273 0,9017 0,9017 0,0157 0,0040 0,7917 0,20307 0,9463 0,9463 0,0380 0,0040 0,3857 0,040611 0,9373 0,9373 0,0188 0,0062 1,4210 0,466913 0,8950 0,8950 0,0250 0,0117 0,6902 0,324814 0,9216 0,9216 0,0661 0,0047 0,2842 0,020316 0,9221 0,9221 −0,0035 −0,0014 0,5075 0,203017 0,9513 0,9513 0,83362 0,2273 0,2233 0,060920 0,8589 0,8589 0,0903 0,0150 0,3654 0,060921 0,8561 0,8561 −0,0481 −0,0275 0,2842 0,162422 0,8836 0,8836 −0,0752 −0,0376 0,2030 0,101523 0,9754 0,9754 −0,0351 −0,0150 0,1421 0,060928 0,9530 0,9530 −0,0185 −0,0076 0,3451 0,142129 0,9581 0,9581 0,0259 0,0043 0,4872 0,0812114 0,9485 0,9485 −0,0166 −0,0062 0,1624 0,0609115 0,9486 0,9486 −0,0112 −0,0036 0,4466 0,1421117 0,8979 0,8979 −0,0000 −0,0000 0,4060 0,1624Inter ambio 1-2 = 323,44 MW (In remento del 214%)1 Se re�ere a la tensión de partida.2 Este nudo de arga ne esita genera ión de poten ia a tiva.Tabla 3.12: Sensibilidades de los nudos de la zona 1 ante una disminu ióndel 1% de la tensión de los generadores on fa tor de poten ia unidad parain rementar el inter ambio de área entre la zona 1 y 2 en el aso IEEE de 118nudos modi� ado.Dado que existe un dé� it de genera ión en la zona, se estudia la posibilidadde deslastrar arga en los tres nudos anteriores �jándoles la tensión en 0,9 p.u.De esta manera se logra mantener la poten ia de inter ambio en un valorde 323 MW redu iendo el valor de genera ión del nudo 17 a un valor próximoa su límite.Sin embargo, al igual que antes se trata de la solu ión estable que úni a-mente presenta onvergen ia si no se onsideran los límites en los nudos FU.La tabla 3.13 muestra los detalles de este análisis.

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Capítulo 3. Nueva metodología de ara teriza ión de la estabilidad . . .Nudo FU Uo U Pg p.u. Qg p.u. Pd p.u. Qd p.u.Gen 10 1,05 1,0395 0,0400 0,9758 −8,1889 0,0000Gen 25 1,05 1,0395 −4,6769 1,0360 −4,0035 0,0000Gen 26 1,015 1,0048 1,3678 1,1729 −5,7141 0,00002 0,9018 0,9018 −0,0010 −0,0004 0,4060 0,18273 0,9017 0,9017 0,0164 0,0042 0,7917 0,20307 0,9463 0,9463 0,0400 0,0042 0,3857 0,040611 0,9373 0,9373 0,0209 0,0069 1,4210 0,466913 0,8950 0,8950 0,0005 0,0002 0,6902 0,324814 0,9216 0,9216 0,0023 0,0002 0,2842 0,020316 0,9221 0,9221 −0,0039 −0,0016 0,5075 0,203017 0,9513 0,9513 0,34421 0,0939 0,2233 0,060920 0,8589 0,9 0,63061 0,1051 0,3654 0,060921 0,8561 0,9 0,2671 0,1526 0,2842 0,162422 0,8836 0,9 −0,3584 −0,1792 0,2030 0,101523 0,9754 0,9754 −0,2065 −0,0885 0,1421 0,060928 0,9530 0,9530 −0,0180 −0,0074 0,3451 0,142129 0,9581 0,9581 0,0248 0,0041 0,4872 0,0812114 0,9485 0,9485 −0,0166 −0,0062 0,1624 0,0609115 0,9486 0,9486 −0,0110 −0,0035 0,4466 0,1421117 0,8979 0,8979 −0,0000 −0,0000 0,4060 0,1624Inter ambio 1-2 = 323,04 MW (In remento del 214%)1 Este nudo de arga ne esita genera ión de poten ia a tiva.Tabla 3.13: Sensibilidades de los nudos de la zona 1 ante una disminu ióndel 1% de la tensión de los generadores on fa tor de poten ia unidad parain rementar el inter ambio de área entre la zona 1 y 2 en el aso IEEE de 118nudos modi� ado on tensiones próximas a 0,9 p.u.In�uen ia en el inter ambio de área entre la zona 1 y zona 2 ondistintos fa tores de poten ia en los generadoresPara obtener una situa ión a eptable en la prá ti a, en términos de tensióny poten ia, se analiza la in�uen ia del fa tor de poten ia empleado en losnudos generadores que trabajan omo nudos FU. Se omprueba que uandodisminuye el fa tor de poten ia se obtienen solu iones estables respetando loslímites del sistema (tanto de los nudos generadores omo de los nudos FU)pero se disminuye la poten ia de inter ambio.Se ha omprobado que para obtener onvergen ia, respetando los límites,e in rementar la poten ia de inter ambio se debe trabajar on fa tores depoten ia entre 0,99 y 1. Por este motivo, en lugar de espe i� ar el fa tor depoten ia igual para los tres generadores se ha de idido emplear un fa tor de orre ión idénti o para modi� ar la propor ión de poten ia rea tiva frentea poten ia a tiva. Se emplean los fa tores 0,05, 0,1 y 0,5 que se apli an a lapoten ia rea tiva del aso base. La tabla 3.14 muestra los resultados de losnudos más signi� ativos de la zona 1 para tres fa tores de poten ia diferentes84

3.3. Casos de estudioen los nudos FU generadores originarios.(a) Fa tor de poten ia rea tiva 0,05Nudo FU U Pg p.u. Qg p.u. Pd p.u. Qd p.u.Gen 10 1,0395 0,0690 0,9274 −8,1889 −0,0488Gen 25 1,0395 −3,5674 0,9380 −4,0035 −0,0518Gen 26 1,0048 1,6310 1,1310 −5,7141 −0,058617 0,9513 0,0497 0,0136 0,2233 0,060920 FU max 0,8928 0,3654 0,0609 0,3654 0,060921 FU max 0,8962 0,2842 0,1624 0,2842 0,162422 0,9 −0,2794 −0,1397 0,2030 0,1015Inter ambio 1-2 = 237,27 MW (In remento del 131%)(b) Fa tor de poten ia rea tiva 0,1Nudo FU U Pg p.u. Qg p.u. Pd p.u. Qd p.u.Gen 10 1,0395 0,0800 0,8792 −8,1889 −0,0976Gen 25 1,0395 −2,8242 0,8593 −4,0035 −0,1036Gen 26 1,0048 1,6324 1,0891 −5,7141 −0,1173017 0,9513 −0,1043 −0,0284 0,2233 0,060920 FU max 0,8932 0,3654 0,0609 0,3654 0,060921 FU max 0,8962 0,2842 0,1624 0,2842 0,162422 0,9 −0,2679 −0,1339 0,2030 0,1015Inter ambio 1-2 = 180,36 MW (In remento del 75,4%)( ) Fa tor de poten ia rea tiva 0,5Nudo FU U Pg p.u. Qg p.u. Pd p.u. Qd p.u.Gen 10 1,0395 0,0915 0,4934 −8,1889 −0,4879Gen 25 1,0395 −0,7687 0,4185 −4,0035 −0,5180Gen 26 1,0048 1,4134 0,7315 −5,7141 −0,586517 0,9513 −0,2418 −0,0660 0,2233 0,060920 FU max 0,8930 0,3654 0,0609 0,3654 0,060921 FU max 0,8954 0,2842 0,1624 0,2842 0,162422 0,9 −0,2271 −0,1135 0,2030 0,1015Inter ambio 1-2 = 11,42 MW (De remento del 91,38%)Tabla 3.14: Sensibilidades de los nudos de la zona 1 ante una disminu ión del1% de la tensión de los generadores para in rementar el inter ambio de áreaentre la zona 1 y 2 en el aso IEEE de 118 nudos modi� ado para distintosfa tores de poten ia en los generadores originarios.Se omprueba que al disminuir el fa tor de poten ia y aumentar la genera- ión de poten ia rea tiva en los generadores se obtienen situa iones a eptablesen la prá ti a. Todos los nudos de la zona 1 trabajan en valores muy próximosa 0,9 p.u. onsiderando los límites en los generadores y en los nudos FU.El fa tor de poten ia para ada generador es diferente aunque se apliqueel mismo fa tor de orre ión de poten ia rea tiva, pero siempre son del orden85

Capítulo 3. Nueva metodología de ara teriza ión de la estabilidad . . .de 0,999. Esta disminu ión en el fa tor de poten ia provo a una disminu iónen la poten ia de inter ambio, pero para fa tores de orre ión de 0,05 ó 0,1la poten ia de inter ambio 237,27 MW y 180,36 MW, respe tivamente, essuperior a la de partida.Es interesante omprobar que para el segundo fa tor indi ado de 0,1 elnudo 17 ya no debe deslastrar arga sino que debe argarse. El nudo generadormenos signi� ativo es el 10 y el nudo 25 debe redu ir su genera ión de poten iaa tiva y el 26 aumentarla.Este análisis muestra la versatilidad en el uso de los nudos FU, no solo paraimponer diferentes fa tores de poten ia sino para ara terizar omo nudos FUa ualquier nudo originario del sistema, PU o PQ.3.3.2.4. Estudio de ontingen iasA lo largo de las se iones anteriores se ha omprobado que el empleo de losnudos FU permite determinar la sensibilidad de di hos nudos ante diferentes ambios que se produz an en el sistema elé tri o. En esta se ión se ha e hin a-pié en la posibilidad que ofre en los nudos FU para obtener informa ión sobrela ontribu ión al margen de arga de ada uno de los nudos ante diferentes ontingen ias. El empleo de los nudos FU permite estable er la riti idad delas líneas, estable iendo per�les de tensiones dados por el operador, obteniendoinforma ión pre isa de los nudos más signi� ativos.Se analiza el aso de 118 nudos modi� ado. Todos lo nudos, salvo los ge-neradores que trabajan dentro o fuera de límites, se onsideran nudos FU onla tensión del aso de partida. Existen 177 líneas y se eliminan de forma inde-pendiente ada una de ellas. La tabla 3.15 muestra las 25 ontingen ias másseveras indi ando el margen de arga que propor ionan para mantener el nivelde tensión espe i� ado.Se observa que las zonas 2 y 3 resultan ser las zonas más ríti as, donde laelimina ión de líneas que one tan generadores en antena impli a la no on-vergen ia del sistema para el per�l de tensiones dado. Además, prá ti amentela totalidad de la elimina ión de las líneas propor iona márgenes negativos, esde ir, márgenes redu idos respe to al aso de partida, hasta el punto de quela ne esidad de genera ión de poten ia a tiva es tan elevada que aunque noimplique la no onvergen ia del sistema en la prá ti a se trataría de situa ionesingestionables. 86

3.3. Casos de estudioElimina ión línea Margen de arga en MW1 Informa ión adi ionalNudo Nudo71 73 Fatal Eliminar generador 73. Zona 285 86 Fatal Eliminar generador 87. Zona 386 87 Fatal Eliminar generador 87. Zona 3110 111 Fatal Eliminar generador 111. Zona 3110 112 Fatal Eliminar generador 112. Zona 368 116 Fatal Eliminar generador 116. Zona 285 89 −954,4 Zona 388 89 −769,6 Zona 39 10 −747,7 Eliminar generador 10. Zona 18 9 −740,4 Eliminar generador 10. Zona 189 92 −689,9 Zona 338 65 −422,2 Zona 263 64 −400,9 Zona 265 68 −280,6 Zona 264 65 −247,7 Zona 269 70 −223,2 Zona 269 75 −197,8 Zona 2-360 61 −181,7 Zona 225 27 −175,1 Zona 199 100 −163,3 Zona 369 77 −142,2 Zona 2-3100 103 −141,6 Zona 392 93 −138,9 Zona 392 94 −136,0 Zona 349 66 −124,7 Zona 21 Margen negativo signi� a que se debe generar poten ia.Tabla 3.15: Márgenes de arga para la elimina ión de las 25 líneas más ríti aspara el aso IEEE 118 nudos modi� ado.3.3.2.5. Con lusionesEn este apítulo se ha trabajado on el aso IEEE de 118 nudos y se hananalizado diversas situa iones empleando los nudos FU para mostrar de formageneral la manera en la que se puede trabajar y la informa ión que puedenpropor ionar estos nudos. Como resumen se puede apuntar:1. Los nudos FU suponen un omplemento para el �ujo de argas, de fá ilimplementa ión, que permite realizar estudios omplementarios en losque el per�l de tensiones es un parámetro relevante.2. Se pueden obtener los resultados del �ujo de argas de ontinua ión pe-ro sin los altos tiempos de eje u ión que este método presenta. Con lametodología propuesta, una vez de�nido el per�l de tensiones, solo esne esaria una eje u ión del �ujo de argas para determinar un punto detensión ualquiera de la urva P-U.87

Capítulo 3. Nueva metodología de ara teriza ión de la estabilidad . . .3. Propor iona informa ión pre isa sobre proximidad, margen de arga has-ta un determinado nivel de tensión, sensibilidad del margen ante varia- ión de parámetros y riti idad de ontingen ias empleando una eje u ióndel �ujo de argas.

88

Capítulo 4Apli a ión de los nudos FU a asos de la red española.Cara teriza ión del fenómeno deestabilidad de tensión4.1. Introdu iónEn el apítulo 3 se ha de�nido un nuevo tipo de nudo para el �ujo de argas que se ha denominado FU y se ha mostrado su apli abilidad generalpara el aso IEEE de 118 nudos. En este apítulo se analizan asos reales dela red española ha iendo uso de los nudos FU para demostrar su utilidad en la ara teriza ión del fenómeno de estabilidad de tensión en un sistema real degran dimensión.Se trabaja on varios � heros de la red española que representan los datosde entrada para el �ujo de argas y orresponden on la salida del estimador deestado. El sistema trabaja on una poten ia base de 100 MW. Estos � heros,así omo informa ión adi ional de opera ión, han sido propor ionados por REEbajo un a uerdo de on�den ialidad.De la informa ión propor ionada se puede desta ar que el sistema elé tri oespañol se en uentra dividido en o ho zonas, de las que in o de ellas orres-ponden al territorio español (zonas noroeste, norte, este, entro y sur) y tresrestantes representan sistemas equivalentes de la red fran esa, portuguesa y89

Capítulo 4. Apli a ión de los nudos FU a asos de la red española . . .marroquí. Además, las in o zonas del territorio español están divididas en 18áreas. De todos los nudos existentes, REE ha propor ionado informa ión sobreo ho nudos de 400 kV que se onsideran piloto, en los que el seguimiento de susniveles de tensión propor iona informa ión válida sobre el estado de todo elsistema. La �gura 4.1 muestra las zonas en las que se divide el sistema elé tri oespañol y la situa ión de los nudos piloto.1 Noroeste

2 Norte

3 Este

4 Centro

5 Sur

6 Portugal

7 Marruecos

8 Francia

MESON1

ICHASO1

VIC1

RUBI1

CATADA1

SSREY1

ALMARA1

GUILLE1

Figura 4.1: Zonas en las que se divide el sistema elé tri o español y posi iónde los nudos piloto de 400 kV.El aso de estudio orresponde a un episodio de olapso de tensión, el 17de di iembre de 2001. En ese día se produjo un olapso de tensión alrededorde las 18 horas. Se dispone de un onjunto de � heros del día referido hasta elmomento del olapso en intervalos de alrededor de una hora.4.2. Estudio del fenómeno de estabilidad de ten-siónEn el aso del 17 de di iembre de 2001 se superó el ré ord históri o dedemanda del sistema español y se produjo el olapso de tensión alrededor delas 18 horas. Se va a trabajar on los datos de este día para estudiar el fenómenode estabilidad de tensión ha iendo uso de los nudos FU. En on reto se van aemplear para:Lo alizar las zonas y nudos más ríti os y determinar la intera ión entrelos mismos. 90

4.2. Estudio del fenómeno de estabilidad de tensiónAnalizar diferentes estrategias de mejora de es enarios ríti os que sirvande apoyo en la opera ión diaria del operador.Realizar un seguimiento del omportamiento del sistema para evitar si-tua iones de olapso de tensión.Se dispone de varios es enarios para distintas horas y se analiza el sistema,empleando los nudos FU, para demostrar su utilidad en la ara teriza ióndel fenómeno de estabilidad de tensión. De todos los es enarios de los que sedispone, se es ogen diez que orresponden a la evolu ión del sistema desdehoras muy tempranas hasta el olapso de tensión en intervalos de alrededor deuna hora. En on reto, se trabaja on los es enarios de las siguientes horas:7:09, 9:09, 11:47, 13:09, 14:04, 15:10, 16:09, 17:09, 17:54 y 18:19 para disponerde un barrido ompleto de la evolu ión del sistema. Los dos últimos es enariosno presentan onvergen ia onsiderando los límites de poten ia rea tiva en losgeneradores ya que el sistema se en uentra en el punto de olapso o en su er anía. En la �gura 4.2 se muestra la evolu ión de la poten ia a tiva degenera ión y de arga de todo el sistema español y la tabla 4.1 muestra losdatos más representativos de los diez es enarios que in luyen, poten ia a tivademandada Pd y generada Pg en MW desglosada por las in o zonas españolasy totales, así omo los datos topológi os de nudos N, líneas L y transformadoresT. En todos ellos el nudo balan e es VILLAR8 o VILLAR10, que se en uentranen la zona norte en la uen a del río Duero próximo a Portugal. Para loses enarios de las 17:54 y 18:19 no se indi an los valores de genera ión pues nose dispone de la genera ión del nudo balan e al no existir onvergen ia.

35000

37000

39000

41000

43000

45000

47000

49000

7:09 9:09 11:47 13:09 14:04 15:10 16:09 17:09 17:54 18:19

Po

ten

cia

en

MW

Escenario

Curvas de demanda y generación

Pd

Pg

Figura 4.2: Curvas de demanda y genera ión de la zona española de los diezes enarios orrespondientes al 17 de di iembre de 2001.91

Capítulo 4. Apli a ión de los nudos FU a asos de la red española . . .Es enario Zonas Total TopologíaMW Z1 Z2 Z3 Z4 Z5 MW N L T7:09 Pd 2837 3420 5431 6839 2669 211961065 1118 529

Pg 6651 2450 4719 5351 1952 211239:09 Pd 3019 4065 6502 9289 3577 264521064 1118 528

Pg 7897 3523 5324 7235 2554 2653311:47 Pd 3126 4326 7148 10051 4016 286671095 1121 553

Pg 8631 3602 6007 7695 3101 2903613:09 Pd 3126 3996 7009 10153 4119 284031076 1113 538

Pg 8687 3668 5979 7369 3038 2874114:04 Pd 3017 3696 6633 9626 4019 269911077 1114 542

Pg 8420 2875 5619 7334 3025 2727315:10 Pd 2893 3601 6573 9481 4022 265701071 1112 536

Pg 8346 3247 5340 7347 2580 2686016:09 Pd 2335 3344 6570 9649 4037 259351072 1116 539

Pg 8350 2861 5177 7245 2059 2569217:09 Pd 2422 3418 6782 9845 4128 265951071 1119 538

Pg 8306 3201 5403 7416 2172 2649817:54 Pd 2520 3636 7155 10450 4358 281191075 1121 540

Pg 8476 5542 7269 2935 −18:19 Pd 2852 3678 7123 10886 4530 290691104 1122 567

Pg 9196 − 5727 7024 3165 −Tabla 4.1: Resumen de los datos más representativos de los diez es enarios orrespondientes al 17 de di iembre de 2001.Se desta a que la evolu ión de la demanda sigue el patrón habitual de undía laborable de invierno; sin embargo, en el es enario de las 17:54 horas, enel que no se obtiene onvergen ia en el �ujo de argas, el nivel de demanda esalgo inferior a la punta más alta de la mañana que se registra alrededor de las12 horas.Se propone, omo estrategia general de análisis, trabajar en tres etapas:Primera etapa. Empleo de los nudos piloto de 400 kV, que no poseen arga ini ial, omo nudos FU para obtener informa ión global de zonasy de todo el sistema, ya que estos re ogen informa ión interesante de loque su ede aguas abajo de los mismos.De este modo, se pueden lo alizar las zonas más ríti as de forma rápida.Se onsideran varios nudos FU de forma individual.Para seguir profundizando en el análisis se debe ontinuar on las dosetapas siguientes. 92

4.2. Estudio del fenómeno de estabilidad de tensiónSegunda etapa. Análisis de sensibilidad de las zonas para dete tar losnudos más ríti os empleando nudos FU. Requiere el empleo de unaúni a eje u ión del �ujo de argas on nudos FU por zona y ángulo de arga.Ter era etapa. A partir de la informa ión de sensibilidad determinar losmárgenes de los nudos más ríti os dete tando una pareja próxima desolu ión estable e inestable onsiderando los nudos anteriores omo FU.4.2.1. Estudio de es enarios ualesquieraEn esta se ión se analiza el empleo de los nudos FU para el análisis dees enarios ualesquiera que presentan onvergen ia on el algoritmo onven io-nal del �ujo de argas. En on reto, se analizan en detalle los es enarios de las9:09, 11:47, 13:09, 15:10 y 17:09, que se onsideran omo los más representati-vos por in luir las horas de punta de la mañana, horas intermedias en términosde arga y el último es enario del que se dispone que presenta onvergen ia.Con los nudos FU se va a realizar un seguimiento del estado del sistema paralo alizar las zonas más ríti as y los márgenes disponibles y a partir de estosestudiar la posibilidad de er anía al olapso de tensión.Este estudio se va a realizar empleando omo datos de entrada del �ujo de argas los valores de la solu ión de los es enarios anteriores para evitar posibleserrores del estimador de estado. Tal omo se ha indi ado en el ini io de estase ión, se propone realizar un estudio basado en tres etapas que se detalla a ontinua ión.4.2.1.1. Primera etapa. Análisis de los nudos piloto de 400 kV omonudos FUComo un primer a er amiento al estudio del sistema, en términos de esta-bilidad de tensión, se emplean los nudos piloto de 400 kV omo nudos FU deforma individual. Como estos nudos son buenos indi adores del estado generaldel sistema global y aguas abajo, se determina el margen de arga y por en-taje de redu ión de tensión del que dispone ada uno de ellos hasta dete tarsolu ión inestable.Se ha omprobado que on valores pequeños de tanϕ se obtiene el ambiode tenden ia on por entajes de redu ión de tensión pequeños (entre el 2%93

Capítulo 4. Apli a ión de los nudos FU a asos de la red española . . .y el 3%) que suponen, lógi amente, márgenes elevados. En estos asos, lanaturaleza de la inestabilidad que se dete ta es angular pues se trata de asosno bien gestionados en genera ión ya que el balan e debe propor ionar elevadaspoten ias. De ahora en adelante se va a identi� ar omo IA. Es de ir, se tratade una solu ión on ángulos en su omplemento a 180◦de la solu ión estable ysigni� a que se ha dete tado un problema no tanto de arga omo de apa idadde transporte de las líneas. Por tanto, este tipo de inestabilidad no tiene interéspara el estudio de estabilidad de tensión. La obten ión de onvergen ia presentadi� ultades en la mayoría de los asos.Por el ontrario, on tanϕ elevadas el ambio de tenden ia se lo aliza,en términos de onvergen ia, sin di� ultad y se trata de una inestabilidad detensión, que se va a identi� ar omo I. En este aso, los valores de márgenesno son indi ativos de los márgenes de la zona y puede resultar más relevanteel punto de tensión en el que se lo aliza el ambio de tenden ia.Por tanto, para lo alizar de forma rápida el punto de tensión en el que seprodu e el ambio de tenden ia, se propone trabajar on un ángulo de argaque orresponde on una tanϕ = 10. Se trabaja de forma individual on los nu-dos piloto omo FU de las zonas que a priori son más sus eptibles de presentarproblemas. Estos son: VIC1, RUBI1, CATADA1, SSREY1 y GUILLE1.En la �gura 4.3 se muestran los por entajes de redu ión de tensión ymárgenes en p.u. de la última solu ión estable1 obtenida para ada uno de losnudos piloto, antes men ionados, y para los es enarios men ionados.Del análisis de di hos grá� os se desta a que:Todos los nudos en todos los es enarios presentan la solu ión inestablepara unos por entajes de redu ión de tensión superior al 10%. Estospor entajes toman el menor valor para el es enario de las 17:09.Para todos los nudos, en el es enario de las 17:09 se presenta el menorvalor de margen, in luso inferior al de la punta de la mañana.Los nudos que presentan menores redu iones de tensión son RUBI1 yCATADA1 y son también los que presentan menor margen a las 17:09.1Los por entajes que se muestran orresponden a aquellos en los que se observa que entrela solu ión estable e inestable existe una redu ión del margen de arga pese a aumentarla redu ión de tensión. Este ambio de omportamiento también se dete ta empleando elanálisis modal des rito en [Gao y otros, 1992℄.94

4.2. Estudio del fenómeno de estabilidad de tensiónSSREY1 y GUILLE1 presentan los mayores márgenes a las 17:09, elprimero de ellos on una redu ión del 13% de tensión, similar a RUBI1y CATADA1, y el segundo una redu ión signi� ativamente mayor queel resto, del orden del 20%.28 19 21 28 18

1.1965

0.7857 0.9215

1.2246

0.7311

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0

5

10

15

20

25

30

35

9:09 11:47 13:09 15:10 17:09 M

arg

en e

n p

.u.

% R

edu

cció

n d

e te

nsi

ón

Escenarios

VIC1

% Reducción de tensión Margen de carga (a) VIC1 18 14 17 17 13

1.2432

0.7594

0.8878

1.2676

0.7059

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0

5

10

15

20

25

30

35

9:09 11:47 13:09 15:10 17:09

Mar

gen

en

p.u

.

% R

edu

cció

n d

e te

nsi

ón

Escenarios

RUBI1

% Reducción de tensión Margen de carga (b) RUBI122 16 17 22 14

1.2911

0.9233

0.8243

1.3914

0.6397

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

0

5

10

15

20

25

30

35

9:09 11:47 13:09 15:10 17:09

Mar

gen

en

p.u

.

% R

edu

cció

n d

e te

nsi

ón

Escenarios

CATADA1

% Reducción de tensión Margen de carga ( ) CATADA1 25 18 17 24 14

2.1193

1.4898

1.3673

2.1674

1.2424

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0

5

10

15

20

25

30

35

9:09 11:47 13:09 15:10 17:09

Mar

gen

en

p.u

.

% R

edu

cció

n d

e te

nsi

ón

Escenarios

SSREY1

% Reducción de tensión Margen de carga (d) SSREY134 27 25 30 20

1.2988 1.2228

1.0254 1.157

0.7839

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0

5

10

15

20

25

30

35

9:09 11:47 13:09 15:10 17:09

Mar

gen

en

p.u

.

% R

edu

cció

n d

e te

nsi

ón

Escenarios

GUILLE1

% Reducción de tensión Margen de carga (e) GUILLE1Figura 4.3: Última solu ión estable obtenida para los nudos piloto de 400 kV on tanϕ = 10 para varios es enarios del aso del 17 de di iembre de 2001.En prin ipio, las zonas de CATADA1, RUBI1 e in luso VIC1, son las quepresentan un omportamiento más restri tivo y por tanto, se debería analizar on detalle su evolu ión.En el aso de CATADA1, a las 17:09 el margen (0, 6418 p.u.) se ha redu idoun 20% respe to del obtenido para la situa ión más restri tiva de la mañana95

Capítulo 4. Apli a ión de los nudos FU a asos de la red española . . .(0, 8243 p.u.), que orresponde on las 13:09. Pese a ello, teniendo en uenta queuna redu ión del 10% de tensión es un valor límite en la opera ión prá ti a,y todos los nudos presentan la solu ión inestable para un valor superior a este,se puede onsiderar que en el es enario de las 17:09 no existe eviden ia larade los problemas que su edieron posteriormente.Para obtener informa ión más �able, en uanto a márgenes se re�ere, serealiza un análisis de las áreas de nivel de tensión de 132 kV e inferiores.4.2.1.2. Segunda etapa. Análisis de sensibilidadA ontinua ión se realiza un análisis de sensibilidad por zonas empleandolos nudos FU. Para ello se onsideran los nudos PQ, on arga en su partereal mayor que ero, omo nudos FU. Se onsidera en estos nudos una redu - ión de tensión pequeña, de 0, 3%2 de la tensión obtenida para la solu ión deles enario de estudio. Dado que se analiza un problema de dé� it de genera- ión de poten ia a tiva, se onsidera un ángulo de arga prá ti amente nulo,es de ir, tanϕ = 0, 01. Con estas ondi iones se analizan, de forma separa-da, las áreas de Cataluña, Valen ia-Mur ia, Madrid y Andalu ía, que son las orrespondientes a los nudos piloto de 400 kV antes analizados.La �gura 4.4 muestra los nudos más ríti os (aquellos que presentan menormargen de arga o mayor valor de poten ia de genera ión) y los menos ríti os(aquellos que presentan mayor margen o menor valor de poten ia de genera- ión) para nivel de tensión de 132 kV o inferiores en ada una de estas áreas.El análisis se ha realizado para todos los es enarios onsiderados.La ele ión de los nudos más y menos ríti os puede basarse en dos riterios:Elegir estos nudos, en ada es enario, omo los que presenten mayor omenor riti idad del estudio de sensibilidad realizado.Elegir, para todos los es enarios, los mismos nudos para realizar un se-guimiento en los mismos.Se ha de idido es oger omo nudos más y menos ríti os la segunda op iónindi ada, es de ir, los mismos para todos los es enarios. Con la informa ión2Téngase en uenta que esta redu ión debe ser onsistente on la toleran ia de error onsiderada en el algoritmo del �ujo de argas. En esta tesis se ha trabajado on unatoleran ia de 1e− 4. 96

4.2. Estudio del fenómeno de estabilidad de tensióndel nudo más y menos ríti o por zona y es enario se dispone de la horquillade varia ión del margen disponible.

0

2

4

6

8

10

12

14

9:09 11:47 13:09 15:10 17:09

Po

sici

ón

Escenarios

Nudos más críticos

C.BARB2 (Cataluña) GANDIA1 (Valencia)

VICALV2 (Madrid) ALCORE2 (Andalucía) (a) Nudos más ríti os

0

2

4

6

8

10

12

14

9:09 11:47 13:09 15:10 17:09

Po

sici

ón

Escenarios

Nudos menos críticos

LAROC2 (Cataluña) CATADA3 (Valencia) ELIANA3 (Valencia)

VILLAV2 (Madrid) LITORA2 (Andalucía) (b) Nudos menos ríti osFigura 4.4: Criti idad de los nudos después del análisis de sensibilidad poráreas para varios es enarios del aso del 17 de di iembre de 2001.Se debe indi ar que en la sele ión realizada se han des artado aquellosnudos que en alguno de los es enarios, presenten poten ia rea tiva de arganegativa o aquellos que presenten variabilidad muy signi� ativa en su ompor-tamiento, nudos que en algunos es enarios o upan los primeros puestos en la lasi� a ión de riti idad pero que en otros es enarios o upan últimos puestos.97

Capítulo 4. Apli a ión de los nudos FU a asos de la red española . . .En el aso de Valen ia existe gran variabilidad en el nudo más ríti o pa-ra todos los es enarios onsiderados. Se ha es ogido, GANDIA1 que aunquepresenta variabilidad, a las 17:09 que es el último es enario y el más ríti opresenta una posi ión relevante, pues los tres primeros nudos son nudos queen algún es enario presentaban poten ia rea tiva de arga negativa.La tabla 4.2 muestra el resumen de estos nudos en los que se indi a su nivelde tensión. NudosÁrea Más ríti o Menos ríti oCataluña C.BARB2 (110 kV) LAROC2 (132 kV)Valen ia-Mur ia GANDIA1 (132 kV) CATADA3 (132 kV)Madrid VICALV2 (132 kV) VILLAV2 (132 kV)Andalu ía ALCORE2 (132 kV) LITORA2 (132 kV)Tabla 4.2: Resumen del estudio de sensibilidad por áreas on redu ión detensión de 0, 3% y tanϕ = 0, 01 para el aso del 17 de di iembre de 2001.La sele ión de nudos más y menos ríti os permite abordar el estudio dela ter era etapa para determinar el margen de arga de ada área.4.2.1.3. Ter era etapa. Determina ión del margen de arga de adaáreaA partir del análisis de sensibilidad, se emplean los nudos más y menos ríti os para determinar en ada uno de ellos el margen de arga máximo dis-ponible hasta que se lo aliza la inestabilidad. De esta forma se puede estable erel rango de varia ión de di ho margen y ser empleado para determinar de for-ma más pre isa la riti idad de ada área, para orientar opera iones de argay para de idir estrategias de mejora.Cada uno de estos nudos se ara teriza omo nudo FU, de forma inde-pendiente, y se redu e la tensión de la solu ión de partida hasta lo alizar lainestabilidad. Se ha empleado un ángulo de arga oin idente on el de su arga ini ial, para onsiderar una situa ión más realista de omportamiento.Las �guras 4.5, 4.6, 4.7 y 4.8 muestran el análisis realizado para las áreasde Cataluña, Valen ia-Mur ia, Madrid y Andalu ía, respe tivamente. Se re-presentan los márgenes de arga de los nudos más y menos ríti os para la98

4.2. Estudio del fenómeno de estabilidad de tensiónúltima solu ión estable obtenida, el por entaje de redu ión de tensión que le orresponde en el que se espe i� a su tanϕ y el tipo de inestabilidad que sedete ta.En la segunda �gura, la referida al área de Valen ia-Mur ia se muestra unnudo adi ional, ELIANA3, para poner de mani�esto lo que su ede on nudosintermedios entre el más y menos ríti o. En las dos últimas �guras solo semuestran los es enarios de las 9:09 y 17:09, puesto que son su� ientes paraobtener informa ión general de la riti idad de las áreas.Del análisis de las �guras se desta a que:Los nudos más ríti os (en azul) presentan menores márgenes de argaque los menos ríti os (en rojo). En el aso de Valen ia-Mur ia, en el quese ha in luido un nudo adi ional, ELIANA3, se onstata que presentaunos valores de margen intermedios entre el nudo más ríti o y el menos ríti o, GANDIA1 y CATADA3, respe tivamente, salvo para el es enariode las 9:09 en el que es menos ríti o que CATADA3 (ver �gura 4.4(b)).De forma análoga su ede on los por entajes de redu ión de tensión.La redu ión de tensión para dete tar la solu ión inestable es menor enlos nudos menos ríti os, aquellos que presentan mayor margen de arga.En el área de Valen ia-Mur ia, Madrid y Andalu ía se apre ia laramenteeste omportamiento. Sin embargo, en el área de Cataluña, donde losmárgenes de arga de los nudos más y menos ríti os están muy er anos,se invierte esta tenden ia. Esto es debido a la dependen ia que presentala redu ión de tensión on el ángulo de arga del nudo. Menor ángulode arga impli a menores por entajes de redu ión de tensión y mayoresmárgenes de arga.En el área de Cataluña, en todos los es enarios salvo el de las 17:09,en el nudo menos ríti o se apre ian ángulos de arga superiores a lospresentados en el nudo más ríti o.La evolu ión del margen de arga presenta un omportamiento oherente on la urva de demanda, menores valores en los es enarios de las 11:47y 13:09 y mayores valores en los es enarios de las 9:09 y 15:10. En el aso de las 17:09 se obtienen márgenes muy similares o inferiores a lospresentados en los más restri tivos. Para este es enario, los márgenes de arga mínimos de los que se dispone en ada área son los siguientes:99

Capítulo 4. Apli a ión de los nudos FU a asos de la red española . . .• 292 MW en el área de Cataluña.• 205 MW en el área de Valen ia-Mur ia.• 573 MW en el área de Madrid.• 505 MW en el área de Andalu ía.La naturaleza de la inestabilidad dete tada se indi a también en los grá-� os.Para el aso de Cataluña, se dete ta inestabilidad de tensión (I) salvopara los es enarios menos restri tivos de las 9:09 y 15:10 del nudo menos ríti o LAROC2.En el área de Valen ia-Mur ia la inestabilidad siempre es de tipo angular(IA), in luso para el es enario más restri tivo de las 17:09 para los nudosmenos ríti os, y para el nudo más ríti o se dete ta inestabilidad detensión.Madrid presenta inestabilidad angular a las 9:09 y a las 17:09 de tensión.En Andalu ía la inestabilidad es de ángulo o tensión dependiendo de sise trata del nudo menos ríti o o más ríti o, respe tivamente.Así pues, on ará ter general, se omprueba que on mayores márgenesde arga es más fa tible dete tar inestabilidad de tipo angular y por lotanto se trabaja lejos de un posible problema de estabilidad de tensión.Los por entajes de redu ión de tensión, que omo ya se ha indi adopresentan una gran dependen ia on el ángulo de arga, muestran valoresmuy elevados para los nudos más y menos ríti os del área de Cataluña.Para el área de Valen ia-Mur ia existe más varia ión entre ambos nudos,pasa de valores inferiores al 10% a valores del orden del 30%.De forma general los por entajes de redu ión de tensión para los nudosmás ríti os son superiores al 20% y para los nudos menos ríti os se de-te ta una variabilidad entre el 8% y el 15%, salvo en el aso de Cataluñaque son del orden del 30%.Se puede on luir que on este análisis se dete tan las áreas más ríti asy el margen de arga disponible en ada una de ellas. Las áreas de Madridy Andalu ía no son ríti as y presentan, in luso en el es enario de las 17:09,márgenes del orden de 500 MW, que son su� ientes para la opera ión delsistema en situa iones posteriores. 100

4.2. Estudio del fenómeno de estabilidad de tensión6,0412

4,3136 4,3136

6,1624

3,8355 3,6663

2,9965

3,3076 3,7019 2,9192

0

1

2

3

4

5

6

7

9:09 11:47 13:09 15:10 17:09

Mar

gen

en

p.u

.

Escenarios

Área de Cataluña

C.BARB2 LAROC2(a) Margen de argatan j = 0,16

tan j = 0,2

tan j = 0,19

tan j = 0,14

tan j = 0,22 tan j = 0,30

tan j = 0,34

tan j = 0,17

tan j = 0,31

tan j = 0,41

0

5

10

15

20

25

30

35

40

9:09 11:47 13:09 15:10 17:09

% R

edu

cció

n d

e te

nsi

ón

Escenarios

Área de Cataluña

C.BARB2 LAROC2

IA

I I

I

I

I

I

I I

IA

(b)% Redu ión de tensiónFigura 4.5: Margen de arga y otras ara terísti as de la última solu ión establepara varios es enarios en el área de Cataluña orrespondiente al aso del 17 dedi iembre de 2001.101

Capítulo 4. Apli a ión de los nudos FU a asos de la red española . . .

7,7325 6,9305

6,3026

8,0503

5,1987

8,9875

6,2039 5,5186

7,6264

4,7176

1,5655

1,3795

2,377

3,0141

2,0477

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

9:09 11:47 13:09 15:10 17:09

Mar

gen

en

p.u

.

Escenarios

Área de Valencia-Murcia

GANDÍA1 CATADA3 ELIANA3(a) Margen de argatan j = 0,77

tan j = 1,22

tan j = 0,53

tan j = 0,38

tan j = 0,54

tan j = 0,30 tan j = 0,33 tan j = 0,33

tan j = 0,20

tan j = 0,30

tan j = 0,18 tan j = 0,28

tan j = 0,14 tan j = 0,12

tan j = 0,34

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

9:09 11:47 13:09 15:10 17:09

% R

edu

cció

n d

e te

nsi

ón

Escenarios

Área de Valencia-Murcia

GANDÍA1 CATADA3 ELIANA3

Soluciones IA

Soluciones I

(b)% Redu ión de tensiónFigura 4.6: Margen de arga y otras ara terísti as de la última solu ión establepara varios es enarios en el área de Valen ia-Mur ia orrespondiente al asodel 17 de di iembre de 2001.102

4.2. Estudio del fenómeno de estabilidad de tensión

6,9554

5,7249

9,5829

8,0311

0

2

4

6

8

10

12

9:09 17:09

Mar

gen

en

p.u

.

Escenarios

Área de Madrid

VICALV2 VILLAV2(a) Margen de argatan j = 0,36

tan j = 0,38

tan j = 0,04

tan j = 0,19

0

5

10

15

20

25

30

35

40

9:09 17:09

% R

edu

cció

n d

e te

nsi

ón

Escenarios

Área de Madrid

VICALV2 VILLAV2

IA

I IA

I

(b)% Redu ión de tensiónFigura 4.7: Margen de arga y otras ara terísti as de la última solu ión establepara varios es enarios en el área de Madrid orrespondiente al aso del 17 dedi iembre de 2001.103

Capítulo 4. Apli a ión de los nudos FU a asos de la red española . . .9,1625

6,6632

7,731

5,0497

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

9:09 17:09

Mar

gen

en

p.u

.

Escenarios

Área de Andalucía

ALCORE2 LITORA2(a) Margen de argatan j = 0,13

tan j = 0,24

tan j = 0,29 tan j = 0,37

0

5

10

15

20

25

9:09 17:09

% R

edu

cció

n d

e te

nsi

ón

Escenarios

Área de Andalucía

ALCORE2 LITORA2

IA

IA IA

I

(b)% Redu ión de tensiónFigura 4.8: Margen de arga y otras ara terísti as de la última solu ión establepara varios es enarios en el área de Andalu ía orrespondiente al aso del 17de di iembre de 2001.104

4.2. Estudio del fenómeno de estabilidad de tensiónLas áreas más ríti as, en fun ión del margen de arga disponible, sonValen ia-Mur ia y Cataluña, respe tivamente. Sus márgenes, 200MW y 300MWrespe tivamente, son signi� ativamente inferiores a los obtenidos en Madrid yAndalu ía. En prin ipio, estos valores pare en su� ientes para garantizar laopera ión estable del sistema. Esta lasi� a ión de riti idad de las áreas o-rrobora lo que se ha obtenido en la primera etapa del análisis propuesto uandose trabaja on los nudos piloto de 400 kV.Por otra parte, la informa ión del por entaje de redu ión de tensión tam-bién debe tenerse en uenta para estable er la riti idad. Suponiendo que lasvaria iones de tensiones a eptables en la prá ti a podrían os ilar entre el 10%y 20% y que las áreas analizadas no presentan sobretensiones, de forma ge-neral, los valores elevados de redu ión de tensión para dete tar solu ionesinestables en los nudos más ríti os, puede redu ir el margen de arga de lasáreas en la prá ti a. En el aso de trabajar on ángulos de arga similares, elárea de Cataluña presenta la inestabilidad on por entajes del orden del 30%de redu ión de tensión, y podría en ontrarse en la situa ión indi ada.Por tanto, es importante lasi� ar la riti idad de las áreas teniendo en uenta el margen de arga, así omo el por entaje de redu ión de tensiónpara dete tar la solu ión inestable. En este sentido, se puede realizar un análisismuy rápido empleando los nudos FU, pues tan solo requiere la eje u ión delalgoritmo del �ujo de argas por nudo, al ulando el margen disponible en losnudos más y menos ríti os para un determinado por entaje de redu ión detensión, que en términos prá ti os se puede estable er en un valor del 10%.La �gura 4.9 muestra los márgenes de arga obtenidos para una redu iónde tensión del 10% on ángulo de arga oin idente on el de partida, tal omose ha onsiderado en este apartado, para los nudos más y menos ríti os de ada área analizada.Los márgenes de arga mínimos que se obtienen para el es enario de las17:09 son los siguientes:184 MW en el área de Cataluña.104 MW en el área de Valen ia-Mur ia.347 MW en el área de Madrid.376 MW en el área de Andalu ía.105

Capítulo 4. Apli a ión de los nudos FU a asos de la red española . . .2,2875

1,9042

2,0602 2,3262

1,8436

3,4941

2,6884

3,2686

3,4493

2,6796

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

9:09 11:47 13:09 15:10 17:09

Mar

gen

de

carg

a en

p.u

.

Escenarios

Área de Cataluña Reducción del 10% de tensión

C.BARB2 LAROC2(a) Área de Cataluña0,7212 0,5943

1,1401

1,3984

1,0398

8,7584

6,9305

5,7037

N.C.

4,7562

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

9:09 11:47 13:09 15:10 17:09

Mar

gen

de

carg

a en

p.u

.

Escenarios

Área de Valencia-Murcia Reducción del 10% de tensión

GANDÍA1 CATADA3

IA

IA

IA

(b) Área de Valen ia-Mur ia3,7583

3,467

9,5829

6,8441

0

2

4

6

8

10

12

9:09 17:09

Mar

gen

de

carg

a en

p.u

.

Escenarios

Área de Madrid Reducción del 10% de tensión

VICALV2 VILLAV2( ) Área de Madrid5,4894

3,7631

8,1325

6,0342

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

9:09 17:09

Mar

gen

de

carg

a en

p.u

.

Escenarios

Área de Andalucía Reducción del 10% de tensión

ALCORE2 LITORA2(d) Área de Andalu íaFigura 4.9: Margen de arga para una redu ión del 10% de tensión y ángulode arga ini ial para varios es enarios del aso del 17 de di iembre de 2001.106

4.2. Estudio del fenómeno de estabilidad de tensiónEl nudo menos ríti o del área de Valen ia-Mur ia, CATADA3, presentasolu ión inestable angular para todos los es enarios salvo el de las 17:09, yaque la inestabilidad se había dete tado para por entajes de tensión inferioresal 10%. Se debe desta ar que para el es enario de las 15:10 no se obtiene onvergen ia.Los márgenes de arga obtenidos para la redu ión del 10% de tensión, in-feriores a los de la solu ión inestable en el área de Cataluña y Valen ia-Mur ia,presentan unos valores que en prin ipio, pare en su� ientes si se mantiene larela ión genera ión- arga del sistema. Sin embargo, ha e muy re omendableun seguimiento muy er ano de estas áreas, en espe ial en el área de Valen ia-Mur ia.Por tanto, el análisis de un sistema elé tri o empleando los nudos FU per-mite ara terizar el sistema en términos de estabilidad de tensión, dete tandomárgenes de arga y riti idad de las zonas.4.2.2. Análisis de es enarios � ti iosAl igual que en la prá ti a se realizan análisis de ontingen ias, partiendode un es enario dado, para ono er la respuesta del sistema, también se puedenanalizar es enarios � ti ios sometidos a unas ondi iones de arga y genera- ión determinadas para estudiar la respuesta del sistema. Es de ir, se tratade realizar una previsión para evitar es enarios que presenten riesgos para laopera ión segura del sistema o en el aso de produ irse analizar opera ionesde mejora sobre mismo.El es enario de las 17:54 es un es enario que no presenta onvergen ia onsiderando los límites de poten ia rea tiva. El análisis del último es enariodisponible que presenta solu ión es el de las 17:09, y después de su análisisempleando los nudos FU, realizado en el apartado anterior, no se puede on- luir que una situa ión de olapso de tensión esté próxima. Por este motivo,se estudian tres es enarios � ti ios intermedios, entre las 17:09 y 17:54, paraanalizar la informa ión que propor iona el empleo de los nudos FU y demostrarsu utilidad.En el apartado anterior se ha on luido que las áreas más ríti as eran la deValen ia-Mur ia y Cataluña. Los es enarios � ti ios que se analizan presentan ondi iones más restri tivas de arga en estas áreas.107

Capítulo 4. Apli a ión de los nudos FU a asos de la red española . . .Estos es enarios son los siguientes:�17:09 Valen ia�Se parte del es enario de las 17:09 que presenta una demanda en elterritorio español de 26595 MW y se realiza un in remento de arga del10% en el área de Valen ia, solo en aquellos nudos on poten ia a tivademandada positiva, de a uerdo on el fa tor de poten ia ini ial. No semodi� a la genera ión del sistema.Con esta modi� a ión, la arga del sistema para el territorio español tomaun valor de 26973 MW, es de ir, se produ e un in remento de 378 MW on entrados en el área de Valen ia y que presenta onvergen ia.�17:09 Cataluña�A partir del es enario de las 17:09 se realiza un in remento de arga del10% en el área de Cataluña, solo en aquellos nudos on poten ia a tivademandada positiva, de a uerdo on el fa tor de poten ia ini ial. No semodi� a la genera ión del sistema.Con esta modi� a ión, la arga del sistema para el territorio español tomaun valor de 27196 MW, es de ir, se produ e un in remento de 601 MW on entrados en el área de Cataluña y que presenta onvergen ia. Estees enario es más restri tivo en términos de arga que el �17:09 Valen ia�.Se trata de reprodu ir la situa ión de arga elevada on entrada en estazona que su edió en la realidad.�17:54 Cataluña-Valen ia� .Se parte del es enario de las 17:54, no onvergente, on demanda en elterritorio español de 28119 MW y se realiza una disminu ión de arga enel área de Valen ia y Cataluña, de forma simultánea, de un 6% on fa torde poten ia idénti o al ini ial y se onsigue un es enario que presenta onvergen ia.Con esta modi� a ión, la arga del sistema para el territorio españoltoma un valor de 27485 MW, es de ir, se produ e una disminu ión de634 MW, repartidos en 387 MW para el área de Cataluña y 247 MWpara el área de Valen ia.A ontinua ión, se realiza el análisis de estos es enarios empleando los nudosFU, tal omo se ha realizado en los apartados anteriores. Estos es enarios se omparan on el es enario de las 17:09.108

4.2. Estudio del fenómeno de estabilidad de tensión4.2.2.1. Primera etapa. Análisis de los nudos piloto de 400 kV omonudos FUSe trabaja de forma individual on los nudos piloto omo FU VIC1, RUBI1,CATADA1, SSREY1 y GUILLE1 on una tanϕ = 10, tal omo se ha he hoen 4.2.1.1.La �gura 4.10 muestra los por entajes de redu ión de tensión y márgenesen p.u. de la última solu ión estable obtenida para ada uno de los nudos pilotoy para los es enarios � ti ios a estudiar.18 9 5 14

0,7311

0,4327

0,0788

0,5928

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0

5

10

15

20

25

30

35

17:09 17:09 Valencia 17:09 Cataluña 17:54 Cataluña-Valencia

Mar

gen

en

p.u

.

% R

edu

cció

n d

e te

nsi

ón

Escenarios

VIC1

% Reducción de tensión Margen de carga(a) VIC1 13 5 5 9

0,7059

0,3912

0,0719

0,5641

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0

5

10

15

20

25

30

35

17:09 17:09 Valencia 17:09 Cataluña 17:54 Cataluña-Valencia

Mar

gen

en

p.u

.

% R

edu

cció

n d

e te

nsi

ón

Escenarios

RUBI1

% Reducción de tensión Margen de carga(b) RUBI114 7,5 3 9

0,6397

0,1803

0,1569

0,3622

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0

5

10

15

20

25

30

35

17:09 17:09 Valencia 17:09 Cataluña 17:54 Cataluña-Valencia

Mar

gen

en

p.u

.

% R

edu

cció

n d

e te

nsi

ón

Escenarios

CATADA1

% Reducción de tensión Margen de carga( ) CATADA1 14 5,5 3,95 9

1,2424

0,4646 0,448

0,7674

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

0

5

10

15

20

25

30

35

17:09 17:09 Valencia 17:09 Cataluña 17:54 Cataluña-Valencia

Mar

gen

en

p.u

.

% R

edu

cció

n d

e te

nsi

ón

Escenarios

SSREY1

% Reducción de tensión Margen de carga(d) SSREY120 11 11,4 17

0,7839

0,5034 0,5385

0,7448

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0

5

10

15

20

25

30

35

17:09 17:09 Valencia 17:09 Cataluña 17:54 Cataluña-Valencia

Mar

gen

en

p.u

.

% R

edu

cció

n d

e te

nsi

ón

Escenarios

GUILLE1

% Reducción de tensión Margen de carga(e) GUILLE1Figura 4.10: Última solu ión estable obtenida para los nudos piloto de 400 kV on tanϕ = 10 para varios es enarios � ti ios del aso del 17 de di iembre de2001. 109

Capítulo 4. Apli a ión de los nudos FU a asos de la red española . . .Del análisis de di hos grá� os se desta a que:Todos los nudos presentan la solu ión inestable, en todos los es enarios� ti ios, para unos por entajes de redu ión de tensión y márgenes, in-feriores a los presentados en las 17:09. Esto signi� a que el análisis onnudos FU dete ta que los es enarios � ti ios son, efe tivamente, másrestri tivos que este último.El nudo menos sensible a los ambios realizados en los es enarios � ti ioses GUILLE1. Aunque presenta disminu ión de margen, los por entajesde redu ión de tensión están por en ima del 10%.Los nudos pertene ientes al área donde se produ e la modi� a ión de arga son los que presentan menores márgenes y redu iones de tensiónalgo superiores a las obtenidas en el resto de los nudos. Esto es, meno-res márgenes permiten mayores redu iones de tensión. En el es enariode modi� a ión de arga de la zona de Valen ia (segunda olumna), enCATADA1 la solu ión inestable se obtiene para una redu ión del 7, 5%,frente al 5% y 5, 5% que se obtiene en RUBI1 y SSREY1, respe tiva-mente. De forma análoga, en el es enario de modi� a ión de arga de lazona de Cataluña (ter era olumna), en RUBI1 la solu ión inestable seobtiene para una redu ión del 5%, frente al 3% y 3, 95% que se obtieneen CATADA1 y SSREY1, respe tivamente.El es enario que modi� a la arga en la zona de Cataluña, presenta el omportamiento más restri tivo, ya que no solo presenta menor margeny por entaje de tensión para los nudos del área afe tada, RUBI1 y VIC1,sino que en SSREY1 y CATADA1 estos parámetros son también losmás redu idos, in luso inferiores a los obtenidos en CATADA1 uandose modi� aba la arga del área de Valen ia.Se puede on luir que el es enario que presenta peor omportamiento, nosolo para el área en la que se produ e la modi� a ión, sino en todo el sistema, esel es enario de modi� a ión de arga en el área de Cataluña, �1709 Cataluña�.En la realidad, los primeros �apagones� que se produjeron en el sistemasu edieron en el área de Cataluña. El análisis on los nudos FU ha permitidoprever esta situa ión de riesgo para el sistema.110

4.2. Estudio del fenómeno de estabilidad de tensión4.2.2.2. Segunda etapa. Análisis de sensibilidadAl realizar los análisis de sensibilidad por zona, de forma análoga a omose ha realizado en el apartado 4.2.1.2, no se apre ian ambios signi� ativos enla ordena ión de los nudos, por lo que se trabaja on los nudos más y menos ríti os indi ados en di ho apartado.Dado que las zonas que presentan mayor problema son las de Valen ia yMur ia, que son las áreas donde se produ e la modi� a ión de arga en loses enarios � ti ios analizados, se analizan los nudos más y menos ríti os deestas áreas. C.BARB2 y LAROC2 para el área de Cataluña y GANDIA1 yCATADA3 para el área de Valen ia.4.2.2.3. Ter era etapa. Determina ión del margen de arga de adaáreaDe manera análoga a omo se ha realizado en el apartado 4.2.1.3, ada unode los nudos más y menos ríti os se ara terizan omo nudos FU, de formaindependiente, y se redu e la tensión de la solu ión de partida hasta lo alizar lainestabilidad. Se ha empleado un ángulo de arga oin idente on el de su argaini ial, para onsiderar una situa ión más realista de omportamiento. Las�guras 4.11 y 4.12 muestran el análisis para las áreas de Cataluña y Valen ia-Mur ia, respe tivamente.Se representan los márgenes de los nudos más y menos ríti os para laúltima solu ión estable obtenida, el por entaje de redu ión de tensión orres-pondiente en el que se espe i� a su tanϕ y el tipo de inestabilidad que sedete ta.En todas ellas se in luye el es enario de las 17:09 para poder realizar om-para iones on los es enarios � ti ios sujetos a estudio.Estas �guras muestran que:De forma análoga a lo que indi a el análisis on los nudos de 400 kV,existe una redu ión lara del margen y del por entaje de disminu iónde tensión para el que se produ e la inestabilidad en los nudos analizadosy por tanto, en la áreas a las que pertene en. El tipo de inestabilidadque se dete ta es de tensión, mientras que en el es enario de las 17:09,en el área de Valen ia-Mur ia, es de tipo angular.111

Capítulo 4. Apli a ión de los nudos FU a asos de la red española . . .

2,9192

2,1671

0,437

2,546

3,8388

2,335

0,465

3,223

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

17:09 17:09 Valencia 17:09 Cataluña 17:54 Cataluña-Valencia

Mar

gen

en

p.u

.

Escenarios

Área de Cataluña

C.BARB2 LAROC2(a) Margen de argatan j = 0,19

tan j = 0,19

tan j = 0,19

tan j = 0,22

tan j = 0,17

tan j = 0,17

tan j = 0,17

tan j = 0,38

0

5

10

15

20

25

30

17:09 17:09 Valencia 17:09 Cataluña 17:54 Cataluña-Valencia

% R

edu

cció

n d

e te

nsi

ón

Escenarios

Área de Cataluña

C.BARB2 LAROC2

Soluciones I

(b)% Redu ión de tensiónFigura 4.11: Margen de arga y otras ara terísti as de la última solu iónestable para varios es enarios � ti ios en el área de Cataluña orrespondienteal aso del 17 de di iembre de 2001.112

4.2. Estudio del fenómeno de estabilidad de tensión

2,0477

0,7258 0,7298

1,4738

5,1987

1,4809

1,2806

3,455

0

1

2

3

4

5

6

17:09 17:09 Valencia 17:09 Cataluña 17:54 Cataluña-Valencia

Mar

gen

en

p.u

.

Escenarios

Área de Valencia-Murcia

GANDÍA1 CATADA3(a) Margen de argatan j = 0,54

tan j = 0,54

tan j = 0,54

tan j = 0,48

tan j = 0,34

tan j = 0,34

tan j = 0,34

tan j = 0,23

0

5

10

15

20

25

30

17:09 17:09 Valencia 17:09 Cataluña 17:54 Cataluña-Valencia

% R

edu

cció

n d

e te

nsi

ón

Escenarios

Área de Valencia-Murcia

GANDÍA1 CATADA3

Soluciones I

IA

IA

(b)% Redu ión de tensiónFigura 4.12: Margen de arga y otras ara terísti as de la última solu iónestable para varios es enarios � ti ios en el área de Valen ia-Mur ia orres-pondiente al aso del 17 de di iembre de 2001.113

Capítulo 4. Apli a ión de los nudos FU a asos de la red española . . .Para los es enarios modi� ados a partir de las 17:09 se observa un estre- hamiento entre los márgenes y tensiones para los nudos más y menos ríti os. Estos prá ti amente oin iden para el aso de modi� a ión de arga en el área de Cataluña en los nudos de ese área, C.BARB2 y LA-ROC2. También se apre ia laramente para el área de Valen ia-Mur ia.Para el es enario �17:09 Valen ia� se dispone de unos márgenes que os- ilan entre los 70 MW y los 148 MW en el área de Valen ia. En el áreade Cataluña los márgenes varían entre 217 MW y 234 MW. En ambasáreas los por entajes de redu ión de tensión son superiores al 5%.Para el es enario �17:09 Cataluña� se dispone de un margen de alrededorde 40 MW en este área, oin idente para el nudo más y menos ríti o.Esta oin iden ia indi a que se trata de un es enario más restri tivoque el anterior (el aumento de arga en este área ha sido superior a larealizada en el área de Valen ia en el es enario �17:09 Valen ia�). Además,en el área de Valen ia el margen os ila entre 73 MW y 113 MW. Estosúltimos son del mismo orden que los obtenidos en el aso de arga de esteárea. Es de ir, el es enario �17:09 Cataluña� es muy ríti o tanto para elárea de Cataluña omo para el área de Valen ia.En uanto a los valores de tensión, estos os ilan entre el 4% y el 8% deredu ión, presentando el menor valor para el área de Valen ia, dondese dispone de algo más de margen. Esta tenden ia ya se ha dete tado uando se han empleado los nudos de 400 kV (�gura 4.10( )).El es enario de las 17:54 modi� ado, presenta unos márgenes mínimosde 150 MW on por entajes de redu ión de tensión superiores al 10%.Si bien es un es enario más degradado que el de las 17:09, pare e quedispone de margen su� iente.El análisis empleando los nudos FU, determina que el es enario que prá -ti amente no presenta margen y que supone la er anía al olapso de tensiónes el �17:09 Cataluña�. Con el análisis se plasma el problema en la zona deCataluña sino en ómo afe ta al resto del sistema. En on reto, se ompruebaque es también muy restri tivo para el área de Valen ia.114

4.2. Estudio del fenómeno de estabilidad de tensión4.2.3. Estudio de los es enarios más degradados de las17:54 y 18:19 horasEn los es enarios de las 17:54 y 18:19 no se obtiene onvergen ia empleandoel �ujo de argas onven ional si se onsideran los límites de poten ia rea tivaen los generadores, mientras que la utiliza ión de los nudos FU permite obtener onvergen ia en estos asos indi ando las zonas más ríti as. Además puedeofre er orienta ión en las opera iones de mejora o deslastre en estos es enariosdegradados.En estos asos no es ade uado emplear la estrategia general de análisis plan-teada, pues on los datos que propor iona el estimador de estado no se logra onvergen ia y por lo tanto, no es posible realizar análisis de sensibilidad �a-bles. Sin embargo, omo se dispone de la informa ión de evolu ión del sistemaen los es enarios onvergentes y se han podido lo alizar las zonas más ríti as,se trabaja dire tamente on ellas. A ontinua ión se muestra el análisis on loses enarios no onvergentes men ionados.4.2.3.1. Estudio del es enario de las 17:54 horasTal omo se ha indi ado en el apartado 4.2.1, la zona más ríti a a las 17:09es la del área de Valen ia.Se es oge omo nudo FU un nudo de esta área que presente un nivel de arga onsiderable, ELIANA3 on 235, 14 MW. Este nudo en el análisis desensibilidad de los es enarios onvergentes se presentaba omo uno de los menos ríti os (ver 4.4(b)).La tabla 4.3 y la �gura 4.13 muestran el omportamiento en términos degenera ión y naturaleza de la solu ión obtenida uando se disminuye la tensiónen este nudo respe to a la dada por el estimador de estado on tanϕ = 0, 3.Nudo FU tanϕ ini ial % Redu ión tensión Pg en p.u.ELIANA3 0, 3580 1,7555 E4, 4 1,3704 E5, 1 1,3726 ITabla 4.3: Solu iones estables e inestables en el nudo ELIANA3 on tanϕ = 0, 3para el es enario de las 17:54 orrespondiente al 17 de di iembre de 2001.ELIANA3, presenta la solu ión inestable para un valor de poten ia a tiva115

Capítulo 4. Apli a ión de los nudos FU a asos de la red española . . .1,7555

ESTABLE

1,3726 INESTABLE

0

1

2

3

4

5

1.35 1.45 1.55 1.65 1.75 1.85

% R

edu

cció

n d

e te

nsi

ón

Pg en p.u.

Área de Valencia

ELIANA3

Figura 4.13: Curva de solu iones del nudo ELIANA3 on tanϕ = 0, 3 para eles enario de las 17:54 orrespondiente al 17 de di iembre de 2001.de genera ión, del orden de 137 MW, on una redu ión de tensión del 5, 1%.Es de ir, la poten ia mínima a deslastrar para onseguir la onvergen ia deles enario son 137 MW en este nudo. Esto sería posible en la prá ti a, dadoque este nudo posee 235, 14 MW de arga.En el aso de realizar un deslastre en ELIANA3 en la antidad mínima ne- esaria de 137 MW men ionados on tanϕ = 0, 3, no se dispondría de margende arga en los nudos. Si se ne esitara realizar deslastres posteriores se po-dría realizar un análisis de sensibilidad, puesto que se dispone de un es enario onvergente, pero en este aso se realizaría estudiando el omportamiento detodos los nudos ante eleva iones redu idas de tensión.4.2.3.2. Estudio del es enario de las 18:19 horasDe forma análoga a omo se ha realizado en el es enario degradado de las17:54, se trabaja en el área problemáti a de Valen ia.El nudo ELIANA3 para la tensión de entrada y tanϕ = 0, 3 presentasolu ión inestable. Para obtener solu ión estable es ne esario elevar su tensiónrespe to a la dada por el estimador. Esto impli a que el problema que presentaeste es enario no solo se debe a un dé� it de poten ia a tiva, omo su edía alas 17:54, sino que puede deberse también a un dé� it de poten ia rea tiva.116

4.2. Estudio del fenómeno de estabilidad de tensiónEn ualquier aso, siempre se produ e para una genera ión, por en ima de400 MW, superior a la arga que presenta este nudo 242 MW.La tabla 4.4 muestra los valores numéri os uando se eleva la tensión eneste nudo on tanϕ = 0, 3 y la �gura 4.14 los presenta grá� amente.Nudo FU tanϕ ini ial % Subida de tensión Pg en p.u.ELIANA3 0, 358

0 4,7647 I2 4,3318 I3 4,4416 ETabla 4.4: Solu iones estables e inestables en el nudo ELIANA3 on tanϕ = 0, 3para el es enario de las 18:19 orrespondiente al 17 de di iembre de 2001.

4,4416 ESTABLE

4.3318 INESTABLE

4,7647 INESTABLE

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4 4.2 4.4 4.6 4.8 5

% S

ub

ida

de

ten

sió

n

Pg en p.u.

Área de Valencia

ELIANA3

Figura 4.14: Curva de solu iones del nudo ELIANA3 on tanϕ = 0, 3 para eles enario de las 18:19 orrespondiente al 17 de di iembre de 2001.Este análisis se repite para otro nudo de la zona, JIJONA2, on 321, 5 MWde arga y se obtiene que para la tensión del � hero de entrada solo se obtienesolu ión inestable para una genera ión de 362, 17 MW.Dada la imposibilidad de realizar un deslastre de forma independiente en losnudos indi ados, se analiza la posibilidad de realizar un deslastre onjunto enambos nudos. Para ello se onsideran ambos nudos omo FU on tanϕ = 0, 3.La mínima poten ia de deslastre que propor iona solu ión estable orres-ponde on una redu ión de tensión del 0, 5% y toma un valor de 353, 45 MW.La �gura 4.15 muestra estos resultados.117

Capítulo 4. Apli a ión de los nudos FU a asos de la red española . . .2.3732

1.1613

2.4198

3.2148

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

ELIANA3 JIJONA2

Po

ten

cia

acti

va e

n p

.u.

Reducción del 5% de tensión

Área de Valencia. Deslastre combinado

P mínima a deslastrar P demandada Figura 4.15: Análisis de opera ión de deslastre ombinado en ELIANA3 yJIJONA2 on tanϕ = 0, 3 para el es enario de las 18:19 orrespondiente al 17de di iembre de 2001.Con esta informa ión se elimina en su totalidad la arga de ELIANA3,

242 MW y la mitad de la arga de JIJONA2, 160 MW, que supone en totaluna redu ión de demanda de alrededor de 400 MW, superior a la mínimadete tada. De esta forma se onsigue solu ión estable del es enario, omo abríaesperar.Se omprueba que si se realiza un análisis de sensibilidad en este es enarioya on onvergen ia redu iendo un 0, 3% la tensión on tanϕ = 0, 01 se obtieneque el nudo más ríti o, sin onsiderar nudos en antena, es JIJONA2 y por el ontrario ELIANA3 es uno de los menos ríti os.Para orroborar este resultado se analiza el margen de arga, onsiderandotanϕ = 0, 01, de ada uno de estos nudos y se omprueba que el margen de arga de ELIANA3 es de alrededor de 54 MW y para el aso de JIJONA2 esinferior y de valor alrededor de 36 MW on mayor redu ión de tensión. La�gura 4.16 muestra estos resultados.Por tanto, el empleo de los nudos FU permite obtener informa ión de es e-narios degradados, sin solu ión, indi ando el origen y magnitud del problema,de forma muy rápida y sen illa. 118

4.2. Estudio del fenómeno de estabilidad de tensión0,4099

ESTABLE

0,5427 ESTABLE

0,4798 INESTABLE

0,2288 ESTABLE

0,3691 ESTABLE

0,362 INESTABLE

0

1

2

3

4

5

6

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

% R

edu

cció

n d

e te

nsi

ón

Margen en p.u.

Área de Valencia

ELIANA3

JIJONA2

Figura 4.16: Margen en ELIANA3 y JIJONA2 on tanϕ = 0, 3 para el es e-nario de las 18:19 onvergente orrespondiente al 17 de di iembre de 2001.4.2.4. Implementa ión prá ti a de la estrategia de análi-sis empleando los nudos FUA modo de resumen metodológi o, se des ribe la estrategia de empleo delos nudos FU que se propone, en su opera ión prá ti a, y que onsta de tresetapas:1. La primera de ellas onsiste en emplear los nudos piloto de 400 kV, deforma independiente, omo nudos FU para lo alizar el por entaje deredu ión de tensión hasta que se dete ta la inestabilidad de la solu ión.Para asegurar que la inestabilidad presenta esta naturaleza se proponetrabajar on ángulos de arga elevados, por ejemplo, tanϕ = 10. En el aso de es enarios on solu ión estable on el �n de mejorar la rapidezde la metodología, se propone trabajar on una redu ión de tensióndel 10% (valor que se onsidera límite prá ti o), de forma que si lassolu iones en ontradas son estables, se puede onsiderar que el sistema nopresenta problemas en términos de estabilidad de tensión y se dispone demargen su� iente suponiendo que las ondi iones de arga y genera iónno ambian de manera signi� ativa y brus a.Por tanto, en esta etapa solo se deben realizar tantas eje u iones del �ujode argas on nudos FU omo nudos de 400 kV se deseen analizar.119

Capítulo 4. Apli a ión de los nudos FU a asos de la red española . . .En el aso de que en esta etapa anterior se dete ten solu iones inestableso se desee obtener un análisis más detallado de las zonas para determinarmárgenes de arga, se realizan una segunda y ter era etapa.2. La segunda etapa onsiste en un análisis de sensibilidad por zonas paradeterminar la riti idad, en términos de margen de arga, de ada nudode arga ante una pequeña redu ión de tensión. Requiere la eje u iónde tantos �ujos de arga on nudos FU omo zonas se deseen analizar. Sedeben onsiderar los nudos de arga omo nudos FU de forma simultánea.La redu ión de tensión debe ser onsistente on la toleran ia de errordel algoritmo del �ujo de argas y se onsidera un ángulo de arga quepuede ser el ini ial u otro valor que se pueda onsiderar omo habitual.3. La ter era etapa emplea los nudos más y menos ríti os de ada zonapara determinar de manera exa ta el margen del que se dispone. Estosresultados se pueden emplear para determinar la proximidad al olapsode tensión o para realizar opera iones de arga o deslastre, según on-venga.El punto de inestabilidad se puede determinar de forma más pre isaobteniendo el valor de por entaje de redu ión de tensión en el que seprodu e el ambio de tenden ia en el omportamiento de la solu ión.Como primer valor aproximado se puede emplear el obtenido en el análisisde los nudos de 400 kV o para realizar un análisis más rápido, se proponeemplear dos por entajes de tensión, el 10% para es enarios en los queen prin ipio se dispone de margen su� iente y el 5% para aquellos otrosque en la primera etapa ya se dete tan valores de tensión redu idos.4.3. Con lusionesLos nudos FU propor ionan informa ión relativa al margen de arga, a lasensibilidad de los nudos ante varia iones de tensión, al por entaje de tensiónpermisible hasta la lo aliza ión de la solu ión inestable y a la naturaleza de lamisma. Esta informa ión puede ser empleada para determinar zonas o áreasmás ríti as, orientar en la toma de de isiones para lograr la onvergen ia delos asos o para mejorar la opera ión del sistema de energía elé tri a y paraanalizar ontingen ias o es enarios de arga en los que se puede examinarla proximidad al olapso de tensión. De esta manera, el operador del sistemapuede emplearla omo herramienta de apoyo en la opera ión y previsión diaria.120

4.3. Con lusionesEl nuevo tipo de nudo FU propuesto, permite ara terizar los asos deestudio de manera rápida en términos de estabilidad de tensión. Una de lasgrandes ventajas que presenta es que ha e uso del algoritmo del �ujo de argas,herramienta ampliamente empleada en las ompañías elé tri as, teniendo en onsidera ión los diferentes límites del sistema.La estrategia de empleo de los nudos FU propuesta para ara terizar el asodel 17 de di iembre de 2001 dete tando áreas ríti as y es enarios próximos al olapso de tensión ha sido satisfa toria, tanto por los resultados obtenidos (halo alizado el origen del problema que su edió en la opera ión real del sistema), omo por la rapidez de su implementa ión.Por tanto, los nudos FU se presentan omo una alternativa o omplementointeresante a otras herramientas disponibles y que se emplean en la prá ti a, omo por ejemplo el �ujo de argas de ontinua ión.

121

Capítulo 5Con lusiones y trabajos futuros5.1. Resumen y on lusionesEn esta tesis se han abordado dos estrategias diferentes para ara terizarel fenómeno de estabilidad de tensión en los sistemas de energía elé tri a.En el primer enfoque, presentado en el apítulo 2, se ha estudiado el fenó-meno de estabilidad de tensión aportando mejoras a diferentes metodologíaspresentes en la bibliografía y que se re�eren al ál ulo del margen de poten ia, uando varía una arga, empleando el teorema de la máxima transferen ia depoten ia. Adi ionalmente, se propone una amplia ión de este teorema uandovarían las argas de varios nudos simultáneamente, basado en una linealiza ióndel sistema de energía elé tri a para determinar las admitan ias ríti as y portanto, los nudos ríti os, que propor ionan la poten ia total máxima.El segundo enfoque, presentado en los apítulos 3 y 4, propone el empleodel �ujo de argas desde una dimensión distinta a la onven ional. Para ello sede�ne un nuevo tipo de nudo en el �ujo de argas, el nudo FU. Esto onstituyela prin ipal aporta ión de la tesis por dos motivos. Por un lado se trata de unanueva herramienta que permite el análisis de la estabilidad de tensión dotandoa este de una omponente prá ti a. En el trabajo diario de opera ión de lossistemas elé tri os el ono imiento del margen para operar bajo unos per�lesde tensión determinados representa una gran ayuda y onstituye un enfoquedistinto al realizado de forma tradi ional. Por otro lado, el nudo FU se presentano solo omo herramienta de ará ter global para el estudio y predi ión delfenómeno de estabilidad de tensión sino omo herramienta de plani� a ión, yaque propor iona informa ión de márgenes de arga, sensibilidades y origen del123

Capítulo 5. Con lusiones y trabajos futurosproblema de estabilidad mientras que toda esta informa ión hasta ahora erapropor ionada por distintas herramientas.En resumen, el trabajo realizado en esta tesis ontribuye al mejor ono- imiento del fenómeno de estabilidad de tensión empleando herramientas detipo estáti as omo el �ujo de argas.A ontinua ión, se presentan las aporta iones originales presentadas eneste trabajo y se dis uten los diferentes aspe tos que pueden ser de interés enestudios futuros.5.2. Aporta iones originalesLas prin ipales aporta iones originales en esta tesis se indi an a ontinua- ión:1. Se ha implementado un nuevo tipo de nudo, el nudo FU, para el análisisdel �ujo de argas que mantiene �ja la magnitud de tensión y el fa tor depoten ia. El empleo de este tipo de nudo permite ara terizar el fenómenode la estabilidad de tensión globalmente, entrando el estudio desde elpunto de vista prá ti o de per�l de tensiones. Así, dado un per�l detensiones es posible:Cal ular de forma dire ta el margen de arga.Orientar en la ele ión de opera iones y estrategias de mejora desitua iones ríti as según su in iden ia en términos de margen de arga y servir de apoyo en tareas de plani� a ión.Prede ir el fenómeno de olapso de tensión.Dete tar el origen, en términos de poten ia, del olapso de tensión.Además, en asos muy ríti os permite obtener solu ión del �ujo de argas uando la herramienta onven ional no la obtenía.Obtener ada uno de los puntos de las urvas P-U de forma in-mediata on un solo �ujo de argas sin eje utar un algoritmo de ontinua ión. Se puede obtener la solu ión estable e inestables máspróximas para así al ular el margen de arga. Esta herramientapropor iona resultados de forma rápida teniendo en uenta los lími-tes del sistema y por tanto, resuelve las de� ien ias mostradas porotros métodos propuestos en la bibliografía.124

5.3. Trabajos futurosRealizar estudios de sensibilidad del margen de arga ante una va-ria ión de tensión.2. Se ha desarrollado un método para estable er la riti idad de los nudosbasado en una amplia ión del teorema de la máxima transferen ia depoten ia uando varía simultáneamente la arga en varios nudos, de for-ma que una vez linealizado el sistema, los nudos ríti os se ordenan enfun ión de sus admitan ias ríti as. Esto permite uanti� ar la distan iaal punto máximo de arga por ompara ión de la admitan ia ini ial onla admitan ia ríti a. La riti idad de los nudos se expresa en términosde arga y se dota al método de pleno sentido elé tri o.5.3. Trabajos futurosEn rela ión on la línea de trabajo desarrollada en esta tesis se onsiderarelevante abordar los aspe tos que a ontinua ión se detallan:1. En uanto al empleo de los nudos FU:Veri� ar en varios sistemas de gran dimensión y on problemas deestabilidad de tensión que la metodología propuesta también pre-senta buenos resultados.Se debe validar y estable er estrategias de empleo para asos en losque se presenten problemas de sobretensiones.Se ha implementado un modelo de omportamiento realista paralos nudos balan e, in luyendo límites de poten ia, de forma que enel aso de superarlos el operador de ide los generadores andidatosa asumir el ex eso o dé� it de poten ia del nudo balan e. Es on-veniente mejorar el modelo para implementar estrategias óptimasde sele ión de los generadores andidatos a asumir este saldo depoten ia.2. En lo que se re�ere a la determina ión de las admitan ias ríti as ha- iendo uso del teorema de la máxima transferen ia de poten ia:El modelo empleado para representar los generadores tiene impor-tan ia para el ál ulo de las admitan ias ríti as. Se deben analizarotros modelos para representar mejor su omportamiento en todas125

Capítulo 5. Con lusiones y trabajos futuroslas situa iones de arga posibles y estudiar su in�uen ia en el ál ulode las admitan ias ríti as.

126

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