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DAÑO PROBABILISTA SOBRE EL CEMENTO EN PRÓTESIS DE CADERA. INFLUENCIA DEL GRADO DE UNION CEMENTO-PROTESIS
J. Grasa, Mª A. Pérez, J. M. García-Aznar, J. A. Bea y M. Doblaré
Grupo de Estructuras y Modelado de Materiales (GEMM). Instituto de Investigación en Ingeniería de
Aragón (I3A). Universidad de Zaragoza. María de Luna, 3, E-50018. Zaragoza, España.
Resumen. En el diseño de prótesis de cadera cementadas, uno de los factores más determinantes es la unión cemento-prótesis, ya que ésta es una de las principales causas que origina el fallo del implante. El presente trabajo estudia este problema comparando dos configuraciones diferentes: vástago rugoso (cemento y prótesis completamente unidos) o pulido (sueltos con rozamiento). La simulación se lleva a cabo por medio de un modelo numérico probabilista que incluye las dispersiones presentes en las variables del problema. Además, este modelo recoge la evolución del daño en la capa de cemento y la pérdida de rigidez del mismo, combinando los resultados obtenidos de sucesivos análisis por elementos finitos probabilistas y los modelos de acumulación de daño desarrollados por Bogdanoff y Kozin. Las variables aleatorias consideradas son las fuerzas de los músculos que actúan sobre la articulación, el daño generado en el cemento y sus propiedades a fatiga. El modelo predice las regiones con mayor probabilidad de fallo en la capa de cemento y que varían dependiendo del grado de unión de la interfaz. Abstract. In hip prosthesis design, one of the most important factors is the cement-prosthesis union because is one of the most common reasons of failure. The present work compares two different configurations: roughness stem¡ (cement and prosthesis completely bonded) and polish (debonded with friction). Simulation is performed by means of a stochastic numerical model that includes uncertainties of problem variables. The model includes damage evolution in the cement mantle and stiffness loosening combining results of consecutive probabilistic finite element calculations and the cumulative damage models developed by Bogdanoff and Kozin. Random variables considered are muscles forces in the joint, cement damage and its fatigue properties. By means of these simulations is possible to predict regions in the cement with high failure probability.
1. INTRODUCCIÓN Los métodos computacionales están convirtiéndose en una importante herramienta de diseño y análisis de implantes en el campo de la biomecánica, siendo el método de los elementos finitos el más utilizado y extendido [1,2]. En el caso particular de implantes cementados, lo observado experimentalmente apunta hacia el cemento como la principal causa de fallo de las prótesis [3,4,5]. El fallo de este componente ocasiona el movimiento relativo de la prótesis con respecto al hueso (aflojamiento), haciéndose necesaria la intervención quirúrgica para reemplazar el implante. En este trabajo se pretende analizar la fiabilidad de prótesis de cadera cementadas bajo dos distintas configuraciones de la unión entre el cemento y la prótesis: completamente unido y suelto con rozamiento. Estas dos configuraciones se corresponderían con un acabado superficial rugoso o un acabado liso de la superficie de la vástago. El modelo de fiabilidad desarrollado está basado en las ideas de Bogdanoff y Kozin [6,7] utilizando resultados numéricos obtenidos por medio del método de los elementos finitos probabilistas. Parámetros del modelo como las cargas aplicadas, las propiedades del material
y el daño en el cemento son considerados como variables aleatorias.
Fig. 1. Esquema del proceso iterativo de la metodología
probabilista propuesta. En la Figura 1 se puede observar la metodología utilizada en la elaboración del modelo. Para la construcción del mismo son necesarios los parámetros estadísticos correspondientes a las propiedades a fatiga del cemento (curvas S-N) y al campo de tensiones. El estado tensional es evaluado por medio de un modelo de elementos finitos probabilista en el cual, tanto las propiedades mecánicas del cemento como las cargas son
PROPIEDADES A FATIGA DEL CEMENTO
MODELO DE DAÑO ACUMULADO
MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS PROBABILISTA
Modelo de EF
Cargas probabilistas Propiedades
mecánicas del cemento
Probabilidad de fallo
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consideradas como variables aleatorias. El campo de tensiones en el cemento sufrirá variaciones a lo largo del tiempo puesto que, como consecuencia de su deterioro, sus propiedades mecánicas evolucionarán de acuerdo al daño generado. Es por esta razón por la cual son necesarios sucesivos cálculos de elementos finitos para determinar los estadísticos del campo de tensiones en cada instante de tiempo determinado. 2. MODELO DE DAÑO ACUMULADO 2.1 Modelo B de Bogdanoff y Kozin Según las hipótesis propuestas por Bogdanoff y Kozin, la probabilidad de fallo para un determinado número de ciclos n puede obtenerse como (1):
PpPpp nn
n 10 −== (1)
Donde pn es el vector que recoge en cada una de sus componentes la probabilidad de encontrarse en cada nivel de daño. P es la matriz de probabilidad de transición que tiene la forma (2):
=
1
0
0
22
22
11
11
nn
nn
qp
qp
qp
qp
qp
qp
P
O
O
O
O
(2)
pi es la probabilidad de permanecer en el nivel de daño actual y qj es la probabilidad de avanzar al nivel de daño inmediatamente superior, de tal forma que se cumple:
jj pq −= 1 (3)
A diferencia de anteriores trabajos [8,9], va a considerarse que la rigidez del cemento evoluciona a lo largo del tiempo, consecuencia del daño generado. La hipótesis básica realizada es que únicamente se modificará su rigidez cuando se alcance un nivel elevado de daño (>0.9). De esta forma, cada uno de los subloques en los que se divide la matriz P se corresponde con la variación de las propiedades del cemento y en consecuencia el estado tensional del mismo. Si se define
j
jj q
pr = (4)
es posible construir cada uno de los sub-bloques de la matriz P por medio de:
[ ] [ ] ∑∑−
=
−
=
+=+=1
1
1
1
)1()1(b
j
b
j
rrNVarrNE (5)
puesto que los estadísticos del número de ciclos (media y varianza) son conocidos y se obtienen partiendo de la expresión:
B
A
SN
1
= (6)
Desarrollando (6) en serie de Taylor en torno a su media y truncando en primer orden (7)
i
Ii
ii
Ii
NNconNNN
αα
∂∂
=++= ∑=
3
1
0 K (7)
con α1 = S, α2 = A y α3 = B, las variables aleatorias consideradas (tensión y parámetros a fatiga del material), es posible obtener las expresiones media (8) y varianza (9) del número de ciclos de vida como:
[ ] 0NNE = (8)
[ ] ( ) [ ] ( )∑∑∑=
≠==
+=3
1
3
1
3
1
2,
iij
jji
Ij
Ii
ii
Ii CovNNVarNNVar ααα (9)
Los estadísticos de A y B han sido obtenidas de datos experimentales procedentes de curvas S-N (Tabla 1) [23,24]. Tabla 1. Media y varianza de los parámetros a fatiga de
cemento [23,24]..
A B A0 Var[A] B0 Var[B]
74.80 2.1025 -0.21 4.225·10-7
Para la obtención de los parámetros correspondientes a la tensión del cemento se recurre al análisis por elementos finitos probabilistas. 2.2 Método de los elementos finitos probabilistas La ecuación general de equilibrio para un problema de elementos finitos:
)()(),( iii fuuK βββ = (10)
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Donde K es la matriz de rigidez tangente, f son las cargas externas y u los desplazamientos. βi son las variables aleatorias consideradas en el análisis por elementos finitos (cargas sobre la prótesis y propiedades mecánicas del cemento). De la aplicación del método de la perturbación [8,9,10] es posible llegar a la obtención de los estadísticos de las variables solución del problema (desplazamientos y tensiones):
[ ] 0uuE = [ ] 0σσ =E (11)
[ ] [ ] [ ] [ ]∑∑= =
−=N
ijiji
TN
j
Ij
Ii EEEuuuuCov
1 12121 }{)(, ββββ (12)
[ ] [ ] [ ] [ ]∑∑= =
−=N
ijiji
TN
j
Ij
Ii EEECov
1 12121 }{)(, ββββσσσσ (13)
La figura 3 muestra las cargas que ejercen los músculos implicados en la articulación de la cadera que han sido aplicadas en el modelo de elementos finitos. Los parámetros correspondientes a la aplicación de las cargas han sido tomados de ensayos experimentales [11,12]
Fig. 2. Modelo de elementos finitos de la prótesis Exeter implantada en un fémur izquierdo.
Las propiedades mecánicas del cemento, como se ha comentado anteriormente, son modificadas en el modelo cuando el nivel de daño en los puntos del cemento alcanza un valor superior a 0.9. Aplicando la regla de Miner [22] el daño puede estimarse como:
( ) BAS
n
N
nD
1== (14)
y desarrollando en serie de Taylor:
( )i
Ii
N
ii
Ii
DDconDDD
i ϕϕϕ
∂∂
=+−+= ∑=1
00 K (15)
es posible obtener:
[ ] 0DDE = (16)
[ ] ( ) [ ] ( )∑∑∑=
≠==
+=3
1
3
1
3
1
2,
iij
jji
Ij
Ii
ii
Ii CovDDVarDDVar ϕϕϕ (17)
siendo en esta ocasión BASNi ,,,=ϕ
De esta forma, pueden obtenerse los parámetros estadísticos correspondientes a la variación en las propiedades mecánicas del cemento simplemente aplicando:
)1(0 DEE −= (18)
Donde E y E0 se corresponden con los módulos de Young del cemento dañado y sin daño respectivamente.
Fig. 3. Cargas de los músculos que actúan sobre el fémur..
3. RESULTADOS El modelo de acumulación de daño propuesto ha sido aplicado al estudio de fiabilidad en la capa de cemento para dos configuraciones distintas cemento-prótesis (completamente unido y suelto con rozamiento) y dos diferentes casos de carga (caminar y subir escaleras). Para esta serie de casos se ha evaluado la probabilidad de fallo desde los primeros ciclos de carga hasta aproximadamente 25 millones de ciclos que se corresponderían con una vida de entre 8 y 10 años del implante en un paciente promedio [13]. En las siguientes figuras puede observarse la evolución de la probabilidad de fallo en la capa de cemento correspondiente a un implante tipo Exeter. Las figuras 4 y 5 se corresponden con el caso suelto con rozamiento
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para caminar y subir escaleras, y las Figuras 6 y 7 para el caso unido para los dos casos de carga.
Fig. 4. Probabilidad de fallo en la configuración cemento-prótesis suelta con rozamiento para subir escaleras.
Fig. 5. Probabilidad de fallo en la configuración cemento-prótesis suelta con rozamiento para caminar.
Fig. 6. Probabilidad de fallo en la configuración cemento-prótesis unido para subir escaleras.
Fig. 7. Probabilidad de fallo en la configuración cemento-prótesis unido para caminar
4. CONCLUSIONES
De las figuras se observa que, transcurridos 25 millones de ciclos, la probabilidad de fallo depende fuertemente del tipo de condición que se de en la interfaz cemento-prótesis.
Dependiendo de la forma en la que se transmiten las cargas exteriores por las condiciones de la interfaz, la probabilidad de fallo en el cemento varía notablemente. Para el caso unido la región lateral y la distal presentan los máximos valores de probabilidad de fallo, mientras que para el caso con fricción es la región proximal y distal las que presentan estos máximos. Cuando el caso de carga se corresponde con subir escaleras, la región proximal en el caso unido también presenta una alta probabilidad de fallo. Se ha llevado a cabo el análisis para dos diferentes condiciones de carga (caminar y subir escaleras), como era de esperar la condición de subir escaleras es más desfavorable que la de caminar. Existen importantes diferencias entre ambos casos de carga. Subir escaleras genera grandes solicitaciones torsionales que implican elevadas tensiones, de aquí que la probabilidad de fallo se vea incrementada con respecto al caso de caminar. Cualitativamente parece que, para los dos casos de carga cuando la interfaz está completamente unida se obtiene mayor probabilidad de fallo que cuando se encuentra suelta con rozamiento. Suponiendo que el caso unido se corresponde con una configuración de la superficie de la prótesis rugosa ocasionaría una mayor probabilidad de fallo que una superficie pulida (caso de interfaz suelta con fricción) lo que se corresponde con lo observado experimentalmente [14,15]. REFERENCIAS [1] Prendergast, P.J., Finite element models in tissue
mechanics and orthopaedic implant design, Clin Biomech, 12 (6):343-366, 1997.
[2] Huiskes, R., A survey of finite element analysis in
orthopaedic biomechanics: the first decade, J Biomech, 16:385-408, 1983.
[3] Verdonschot T. P., Huiskes, R., The effects of
cement-stem debonding in THA on the long-term failure probability of cement, J Biomech, 30(8):795-802, 1997.
[4] Harrigan T.P., Harris W. H., A three-dimensional
non-linear finite element study of the effect of cement-prosthesis debonding in cemented femoral total hip components, J Biomech, 16:385-408, 1983.
[5] Stolk J., Maher S. A., Verdonschot N., Prendergast
P. J., Huiskes R.. Can finite element models detect clinically inferior cemented hip implants?, Clin Orthop, 409:138-150, 2003.
[6] Bogdanoff J. L., Kozin F.. Probabilistic Models of
Cumulative Damage. Wiley, New York, 1985. [7] Kozin F., Bogdanoff J. L.. Cumulative Damage:
Reliability and Maintainability. In ASTM Symp.
240
ANALES DE MECÁNICA DE LA FRACTURA Vol. 22 (2005)
Prob. Frac. Mech. and Fatigue Meth.: Appl. For Structure. Design and Maint., pages 131{146. St. Louis, STP 798, 1981.
[8] J. Grasa, M. A. Pérez, R. Ferrer, J. A. Bea, J. M.
Garc¶³a, and M. Doblar¶e. A probabilistic damage model for acrylic cements. Application to the life prediction of cemented hip implants. Int J Fat, in press.
[9] J. Grasa, R. Ferrer, M. A. Pérez. Análisis
probabilista del proceso de acumualación de daño para cementos protésicos incorporando efectos de pérdida de rigidez. Anales de Mecánica de la Fractura XXI Encuentro del Grupo Español de Fractura, 2004.
[10] Hisada T., Nakagiri S. Role of the stochastic Finite
element method in stochastic analysis of structures. In Proc. 4th Int. Conf. Structural Safety and Reliability., ICOSSAR'81, pages 395-408. Trondheim, Norway, 1981.
[11] Bergmann G., Deuretzbacher G., Heller M.,
Graichen F., Rohlmann A., Strauss J., Duda G. N.
Hip contact forces and gait patterns from routine activities. J Biomech, 34:859-871, 2001.
[12] Heller M. O., Bergmann G., Deuretzbacher G.,
DÄurselen L., Pohl M., Claes L., Hass N. P., Duda G. N. Musculo-skeletal loading conditions at the hip during walking and stair climbing. J Biomech, 34:883-893, 2001.
[13] Morlock M., Schneider E., Bluhm A., Vollmer M.,
Bergmann G., MÄuller V., and Honl M. Duration and frequency of every day activities in total hip patients. J Biomech, 34:873-881, 2001.
[14] Verdonschot N., Tanck E., Huiskes R.. Effects of
prosthesis surface roughness on the failure process of cemented hip implants after stem-cement debonding. J Biomed Mater Res, 42:554-559, 1998.
[15] Verdonschot N., Huiskes R. Surface roughness of
debonded straight-tapered stems in cemented THA reduces subsidence but not cement damage. Biomater, 19:1773-1779, 1998.
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ANALES DE MECÁNICA DE LA FRACTURA Vol. 22 (2005)