Curvatura: Concavidad y Convexidad

Ejercicio resuelto

Ejercicio:

Vamos a hallar la curvatura y puntos de inflexión de la función

cuyo dominio es

Ya sabemos que:

Cóncavo: f ’’(x)<0

Convexo: f ’’(x)>0

curvatura

Paso 1: Hallar la 2ª derivadaCalculamos la derivada de

Para estudiar el signo, buscamos los puntos donde se anulan numerador y denominador:

Paso 2: Estudiar el signo de f’’(x)

Las soluciones que hemos obtenido dividen la recta real en varios intervalos. En cada uno de ellos el signo es constante.

Para saber qué signo hay en cada intervalo, tomamos un valor cualquiera y lo sustituimos en f’’(x). Si es positivo, lo será en todo el intervalo, e igualmente si es negativo:

-1 1

Tomamos del

intervalo (-,-1) el

valor x=-2 por

ejemplo:

f’’(-2)=-54/343

NEGATIVO

Tomamos del

intervalo (-1,1) el

valor x=0:

f’’(0)=2/3

POSITIVO

Tomamos del

intervalo (1,+) el

valor x=2 por

ejemplo:

f’’(2)=-54/343

NEGATIVO

0 2

Como hemos dicho, el signo se mantiene en cada intervalo, por lo que podemos asegurar que:

En x=-1 y x=1 hay un cambio de curvatura, por lo tanto tenemos dos puntos de inflexión.

Podemos comprobarlo por la gráfica: