curva que llena el espacio

8/16/2019 Curva que llena el espacio

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Breve HistoriaPreliminares

Curva que llena el espacio

ón 21516Curva que llena el espacioDoc-Start ón 31819Curva quellena el espacioDoc-Start

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Mayra Alejandra Quiroga Quintero

Universidad Distrital Francisco José de CaldasFacultad de Ciencias y Educación

Proyecto Curricular de MatemáticasBogotá D.C.

2016

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Índice

1 Breve Historia

2 Preliminares

3 Curva que llena el espacio

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Breve Historia

Las curvas que llenan el espacio fueron creadas por el matemático GiuseppePeano quien nació el 27 de Agosto del año 1858 en Cuneo, Italia. En 1890,publicó un art́ıculo en el que expone la construcción de una curva que tiene

la propiedad de llenar todo el plano, es decir, pasar por cualquier punto. Laconstrucción de las curvas que llenan el espacio se remonta aldescubrimiento de George Cantor, acerca de que el intervalo [0, 1] puedehacerse corresponder biyectivamente al cuadrado unidad. Surgió entoncesen aquel tiempo la pregunta de que si tal correspondencia podŕıa sercontinua, pero en 1879 E. Netto demostró que dicha biyección es

necesariamente discontinua.

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A ráız de esto se buscó obtener una función continua y sobreyectiva de [0, 1]en el cuadrado unidad y alĺı fue que Peano construyó la primera curva que

cumpĺıa tales caracteŕısticas. Luego llegaron otros ejemplos como los de D.Hilbert en 1891; Moore en 1900; Lebesgue en 1904, entre otros.

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B Hi t i

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Definición

Se dice que una sucesión f n converge a f si para todo > 0 y para n ∈ Nexiste N ∈ N tal que si n ≥ N entonces |f n − f | < .

DefiniciónSi tenemos una sucesión dada f n y se forma una nueva sucesión como sigue:

sn = f 1 + · · · + f n =n

k=1

f k

para n = 1, 2, 3, · · · dado esto se tiene la definición de serie infinita.

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Convergencia absoluta y condicional

Se dice que una serie s =∞k=1

f k converge absolutamente cuando la serie

s =∞

k=1

|f k| es convergente. Y se dice que converge condicionalmente si

s =∞k=1

f k converge pero s =∞k=1

|f k| diverge.

Serie Geométrica

Se tiene que |x|


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Convergencia Puntual

Una sucesión f n converge puntualmente a un conjunto A si para cada > 0existe un N x, ∈ N se tiene que si n > N entonces |f n(x) − f (x)| < .

Convergencia Uniforme

Una sucesión f n converge uniformemente a un conjunto A si para cada > 0existe N ∈ N tal que si n > N entonces |f n(x) − f (x)| < para cada x ∈ A.

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Criterio M-Weierstrass

Sea M n una sucesión de números no negativos tales que

0 ≤ |f n(x)| ≤ M n

para n = 1, 2, 3, · · · y cada x en un conjunto A. Entonces

f n(x) convergeuniformemente en A si

M n converge.

Teorema

Supongamos que

f n(x) = f (x) uniformemente en un conjunto A. Si cada

f n es continua en un punto x0 ∈ A, entonces f también es continúa en x0.

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Las curvas que llenan el espacio o curvas de Peano son curvas

unidimensionales irregulares que “llenan” cualquier espacio de cualquierdimensión, son un caso especial de fractales. En general, las curvas, por serunidimensionales, no encierran un área. Sin embargo, estas curvas soncapaces de llenar un espacio, cualquier región del espacio.

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PreliminaresCurva que llena el espacio

Construcción

Curva de I.J Schoenberg

Sea φ una función definida en el intervalo [0, 2] como se muestra en la figura1 por medio de:

φ(t) =

0 si 0 ≤ t ≤ 13

3t − 1 si 13 ≤ t ≤ 2

3

1 si 23 ≤ t ≤ 4

3

−3t + 5

si 43 ≤

t≤

5

3

0 si 53 ≤ t ≤ 2

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Función φ

Figura: Función φ

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Función φ periódica

Luego se extiende la definición de φ a todo R por medio de la ecuación

φ(t + 2) = φ(t)

φ es periódica de periodo 2 y se puede ver en la Figura 2.

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Función φ periódica

Figura: Función periódica

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Sucesiones f 1, f 2

Ahora se definen dos funciones f 1, f 2 por medio de dos series aśı como semuestran en la Figura 3 donde f 1 es la función en color azul y la función f 2es la función en color verde.

f 1(t) =∞n=1

φ(32n−

2t)2n

y

f 2(t) =∞n=1

φ(32n−1t)

2n

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Figura: Series f 1, f 2

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Convergencia

Es decir,

f 1(t) = φ(t)

2n +

φ(32t)

2n +

φ(34t)

2n + · · ·

f 2(

t) =

φ(3t)

2n +

φ(33t)

2n +

φ(35t)

2n + · · ·Ambas series convergen absolutamente para cada real t y su convergencia esuniforme en . En efecto, dado |φ(t)| ≤ 1 para todo t, aplicando el criterio deM de Weierstrass haciendo M n =

1

2n. Como φ es continua en el teorema

?? dice que si f 1, f 2 son también continuas en . Sea f = (f 1, f 2) y Γ laimagen del intervalo unidad [0, 1] por medio de f . Se debe demostrar que Γllena el cuadrado unidad, es decir, Γ = [0, 1] × [0, 1].

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ProposiciónΓ = [0, 1] × [0, 1]

Demostración.

1 Γ es subconjunto de [0, 1] × [0, 1].

2 (a, b) ∈ [0, 1] × [0, 1] está en Γ.

3 Escribir a, b en expresión binaria.

4 Hacer un número c.

5 Demostrar que φ(3kc) = ck+1

6

Comprobar que f 1(c) = a y f 2(c) = b

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Figura: Iteraciones Space Filling Curve

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Bibliograf́ıa

T.M. Apostol.Mathematical Analysis .

Addison-Wesley, 1974.

B. Mandelbrot.La geometŕıa fractal de la naturaleza .Tusquests Editores S.A., 1 edition, 1997.

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