curso-taller olimpiadas matemÁticas john faber arredondo montoya universidad del quindío

CURSO-TALLEROLIMPIADAS MATEMÁTICAS

John Faber Arredondo Montoya

Universidad del Quindío

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

Objetivos:• Comprender los criterios de divisibilidad. • Construir criterios de divisibilidad. • Desarrollar un pensamiento lógico-

constructivo que le permita resolver problemas matemáticos y de contexto.


Criterio del 2:Sea abcd un número de 4 dígitos, luego lo podemos escribir como:

1000𝑎+100𝑏+10𝑐+𝑑Se puede concluir fácilmente que:• Si d es par, se tiene una suma de números pares y

por tanto abcd es par.• Si d es impar, se tiene la suma de tres números

pares y uno impar, por lo tanto abcd es impar.


Criterio del 3:Sea un número de 4 dígitos, luego lo podemos escribir como:

1000𝑎+100𝑏+10𝑐+𝑑Si restamos a este número la suma de sus cifras tenemos:

1000𝑎+100𝑏+10𝑐+𝑑− (𝑎+𝑏+𝑐+𝑑 )=999𝑎+99𝑏+9𝑐o

1000𝑎+100𝑏+10𝑐+𝑑=(999𝑎+99𝑏+9𝑐)+(𝑎+𝑏+𝑐+𝑑 )De donde, se observa que el primer sumando de la derecha es múltiplo de 3, luego si es múltiplo de 3, todo el número también lo será.



100𝑎𝑏+𝑐𝑑Y como 100 es múltiplo de 4, entonces abcd será múltiplo de 4 y cd también lo es.



Y como los primeros términos son múltiplos del 5, entonces abcd será múltiplo del 5 si d también lo es.

1000𝑎+100𝑏+10𝑐+𝑑



Y como el primer término de la derecha es múltiplo de 7 entonces será múltiplo de 7 si lo es.¿Cuál es el criterio con un número de 3 dígitos?


Criterio del 9:¡Construir el criterio!


Criterio del 11:Antes de construir este criterio es necesario observar que la siguiente secuencia de números es divisible por 11:

etc

¿por qué?Y utilizando esta información planteamos el criterio.



Y como el primer término es múltiplo de 11 entonces será múltiplo de 11 si lo es

PROBLEMA 1

Considere todos los números de cuatro dígitos que son compuestos por cuatro dígitos impares distintos. ¿Qué fracción de todos esos números son divisibles por 3?

a) b) c) d)

PROBLEMA 2

¿Cuántos números palíndromes de 4 dígitos son divisibles por 7?

a) b) c) d)

PROBLEMA 3

Si 29a031x342=100900b02

¿Cuál es el valor de a+b?

a) b) c) d)

PROBLEMA 4

Un mago deposita la misma cantidad de conejos (al menos uno) en cada una de tres casas. Para llegar a la primera casa, él cruza un río mágico una vez, y para ir de cualquier casa a cualquier otra, él también cruza un río mágico a la vez. Cada vez que el cruza un río mágico, el número de conejos que él tiene se duplica. Él no tiene conejos cuando él deja la tercera casa. ¿Cuál es el mínimo número de conejos que él podría tener antes de comenzar a repartir los conejos?

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9

UNA SOLUCIÓN

Situación /# conejos

Opción a)6

Opción b)7

Opción c)8

Opción d)9

Llega a la primera casa

2x6=12 2x7=14 2x8=16 2x9=18

Sale de la primera casa

12-x 14-x 16-x 18-x

Llega a la segunda casa

2(12-x)=24-2x 2(14-x)=28-2x 2(16-x)=32-2x 2(18-x)=36-2x

Sale de la segunda casa

(24-2x)-x=24-3x (28-2x)-x=28-3x

(32-2x)-x=32-3x (36-2x)-x=36-3x

Llega a la tercera casa

2(24-3x)=48-6x 2(28-3x)=56-6x

2(32-3x)=64-6x 2(36-3x)=72-6x

Sale de la tercera casa

(48-6x)-x=48-7x (56-6x)-x=56-7x

(64-6x)-x=64-7x (72-6x)-x=72-7x

Valor de x 48-7x=0, x=48/7 56-7x=0, x=8 64-7x=0, x=64/7 72-7x=0, x=72/7

Conclusión Resp. incorrecta

Resp. correcta

Resp. incorrecta

Resp. incorrecta

OTRA SOLUCIÓN

Situación # conejos

Llega a la primera casa

2a

Sale de la primera casa

2a-b

Llega a la segunda casa

2(2a-b)=4a-2b

Sale de la segunda casa

(4a-2b)-b=4a-3b

Llega a la tercera casa

2(4a-3b)=8a-6b

Sale de la tercera casa

(8a-6b)-b=8a-7b

Supongamos que el mago tiene inicialmente a conejos y deja b conejos en cada casa:

Luego como 8a-7b=0 entonces 8a=7b y por tanto, el menor par de números que cumplen esta igualdad son a=7 y b=8.

Respuesta 7

OTRA SOLUCIÓN

Suponiendo que el mago comienza con a conejos y deja b conejos en cada casa. Luego:

Y se concluye de forma análoga a la solución anterior.

GRACIAS

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