Curso para la Enseñanza

Predecir. ¿Qué cambia? y ¿cómo cambia? Para saber qué pasó o pasará

Encuentro: 1

Nivel: Secundaria

Área: Matemática

Agenda

Momentos Actividades

Primer momentoPresentación

20 minutosSe da a conocer la estructura general de los encuentros.

Actividad 120 minutosEntre todos.

Segundo momentoSituación de aprendizaje

60 minutosVivenciar una situación de aprendizaje que desarrolle las prácticas asociadas para la construcción de la noción de fun-ción.

Actividad 235 minutosEn grupos de tres.

Actividad 325 minutosEn pequeños grupos.

Tercer momentoAnálisis del diseño

40 minutosSe analizan las variables de control, la intensión en cada una de las etapas y los objetivos de cada uno de los momentos y elrol que juegan las prácticas socialmente compartidas en el di-seño.

Actividad 440 minutosEntre todos.

Cuarto momentoCierre del encuentro

60 minutosRediseño de la situación de aprendizaje y generación de acuerdos para su implementación en el aula.

Actividad 5Actividades y acuerdospara el próximo en-cuentro60 minutosEn parejas y entre to-dos.

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Presentación Para comenzar, queremos darles la bienvenida a este proceso de desarrollo profesionaldocente en el cual se problematizará la matemática escolar con el fin de propiciar uncambio de relación con el conocimiento matemático escolar: potenciar fortalezas y forta-lecer potencialidades.

En esta primera sesión, se abordará el contenido de función en matemática. Sin darnoscuenta, en muchas tareas que son abordadas cotidianamente los ciudadanos usamos lanoción de función. Dicha noción podría resultar difícil de comprender si iniciamos su en-tendimiento desde el mundo abstracto y la formalidad matemática. Esto no quiere decirque no se estudien estas formalidades en clases, pero sí que podemos apoyarnos en lasprácticas de los estudiantes, en actividades factuales para llegar a construir dichas nocio-nes matemáticas. La intención de cada una de las situaciones que se trabajen con el es-tudiante desde el enfoque socioepistemológico es decir, formar ciudadanos críticos y re-flexivos, que comprendan la información que se les presenten y logren desarrollar aque-llas prácticas que incentiven a construir predicciones y tomar decisiones. Para lograr unuso funcional del concepto de función se propone que forme parte de un modelo predic-tivo en el estudio del cambio, con prácticas como: comparar, estimar, seriar y predecir,esto es, parte del desarrollo del pensamiento y lenguaje variacional.

Se parte de momentos que parecen sencillos, como describir la altura de los compañerosde clases, con la intención de realizar comparaciones de valores que vayan guiando auna organización de la información, al estudio de diferencias que describan el cambio yel comportamiento de las alturas hasta llegar a predecir el valor de la altura en la pobla-ción realizando estudios con la información que se tenga. Nos apoyamos en diversos re-gistros a lo largo de la situación, desde estudios discretos y numéricos, algebraicos y geo-métricos con apoyo de la visualización del fenómeno.

Este primer encuentro, con base en la situación de aprendizaje propuesta, tiene como ob-jetivo analizar la información y construir argumentaciones sobre ella a partir del recono-cimiento de la forma de variación de las variables: reconocer las variables, estudiar lasdiferencias que nos ayudan a caracterizar el cambio, realizar comparaciones, estimacio-nes y seriaciones para propiciar la predicción de las alturas a cierta edad. En esencia: lanoción de función es usada para la comprensión de la información y en las estimacioneslocales que nos ayudan a proponer una predicción con los argumentos que se constru-yan en el colectivo acerca de las alturas de las personas.

Contenidos y capacidades

Contenidos

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Capacidades • Cognitivas

- Reconocer el ordenamiento de números desde la comparación de alturas.

- Identificar las variables que se ponen en juego.

- Reconocer las diferencias entre valores que propicien el estudio del cambio.

- Propiciar predicciones con apoyo de registros numéricos, algebraicos y visuales.

• Intrapersonales

- Asumir el proceso de cambio de relación con el conocimiento matemático escolar.

- Tener una postura crítica que permita reflexionar sobre la propia práctica.

- Contar con una mirada estratégica en torno a la planificación de su propuesta deenseñanza.

• Interpersonales

- Trabajar de manera colaborativa, con base en la reflexión sobre aspectos didácticosy matemáticos.

- Considerar aspectos de la práctica docente que posibiliten la reinterpretación de lasacciones en el aula.

Propuesta de trabajo

Primer momentoPresentación

20 minutosSe da a conocer la estructura general de los encuentros.

Actividad 120 minutos.Entre todos.

Actividad 1 Les presentamos la estructura general de los encuentros con el fin de que organicen lasactividades necesarias para el trabajo colaborativo a desarrollar.

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Las agendas de los primeros cinco encuentros mantendrán la misma estructura: 4 mo-mentos. Se realizan, únicamente, dos cambios: por un lado, se modifica el primer mo-mento, desde el segundo encuentro, que será reemplazado por la retroalimentación de laimplementación; y por otro lado, en el último encuentro les proponemos una sesión inte-gradora.

Encuentro Curso ObjetivoPrácticas socialmen-

te compartidas

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Predecir. ¿Qué cambia? y¿cómo cambia? Para sa-ber que pasó o pasará

Analizar la información de unaetapa y construir argumenta-ciones sobre ella a partir del

reconocimiento de la forma devariación de las variables.

Visualizar, comparar,estimar, predecir.

NAP • Interpretar relaciones entre variables en tablas, gráficos y fórmulas en diversos contextos (regularidades numéricas, proporcionalidad directa e inversa, etc.);

• Modelizar variaciones uniformes y expresarlas eligiendo la representación más adecuada a la situación;

• Producir fórmulas para representar regularidades numéricas en N y analizar sus equivalencias.

IPAP Leer, interpretar y comunicar relaciones entre variables en distintas representacio-nes (tablas, gráficos, formulas) y diversos contextos.

2Inferir. Entre las posibili-dades y su cuantificación

Significar el cálculo de la pro-babilidad, es decir, dar sentido

a la relación parte-todo me-diante el análisis de los resul-tados posibles y los resultadosfavorables; reconociendo las

posibilidades y cuantificándo-las con relación a la totalidad.Y reconocer la naturaleza de

los elementos implicados en elcálculo del número total de po-sibilidades que puede generar

una permutación de caracteresde una configuración.

Ordenar, contar, me-dir, comparar, decidir.

NAP • Comparar las probabilidades de diferentes sucesos incluyendo casos que invo-lucren un conteo ordenado sin necesidad de usar fórmulas.

IPAP Predecir situaciones a partir de calcular y comparar las probabilidades de distintos sucesos incluyendo casos que involucren el conteo ordenado sin necesidad de usarformulas (incluir sucesos seguros e imposibles) para predecir situaciones.

3Visualizar. Representan-

do la realidad enperspectiva

Usar la construcción de figurassemejantes y la identificación

de sus características principa-les como una herramienta quepermite la resolución e inter-

pretación de una situaciónplanteada en un contexto geo-

métrico

Comparar, estimar,conmensurar, medir,

visualizar.

NAP • Construir figuras semejantes a partir de diferentes informaciones e identificar las condiciones necesarias y suficientes de semejanza entre triángulos.

• Interpretar las condiciones de aplicación del teorema de Thales e indagar y va-lidar propiedades asociadas.

• Formular conjeturas sobre propiedades de las figuras (en relación con ángulos interiores, bisectrices, diagonales, entre otras) y producir argumentos que per-mitan validarlas.

IPAP Reconocer, analizar y construir figuras semejantes a partir de diferentes informa-ciones. Identificar las condiciones necesarias y suficientes de semejanza de trián-gulos.

4Comparar y medir.¿Cómo sabés si una

cantidad es igual a otra?

Significar la representaciónfraccionaria y decimal que

puede tener un número racio-nal con apoyo de las compara-ciones que pueden establecer

entre unidades de medida.

Estimar, aproximar,comparar, decidir.

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NAP • Usar diferentes representaciones de un número racional (expresiones fraccio-narias y decimales, notación científica, punto de la recta numérica, etc.), argu-mentando sobre su equivalencia y eligiendo la representación más adecuada en función del problema a resolver.

IPAP Reconocer y usar los números racionales en situaciones que requieran interpretar el número racional como cociente de enteros.

5Predecir. ¿Qué se man-

tiene? ¿Qué cambia?Analizando patrones

Resolver situaciones pro-blemáticas en las que la

solución de una ecuaciónlineal sea el argumentopara la toma de decisio-

nes.

Comparar, aproximar, es-timar, optimizar, predecir.

NAP: • Interpretar relaciones entre variables en tablas, gráficos y fórmulas en diversos contextos (regularidades numéricas, proporcionalidad directa e inversa, etc).

• Modelizar variaciones uniformes y expresarlas eligiendo la representación más adecuada a la situación.

• Producir fórmulas para representar regularidades numéricas en N y analizar sus equivalencias.

• Producir y analizar afirmaciones sobre propiedades de las operaciones o crite-rios de divisibilidad avanzando desde su expresión oral a su expresión simbóli-ca, y argumentar sobre su validez.

• Usar ecuaciones lineales con una variable como expresión de una condición so-bre un conjunto de números y analizar su conjunto solución (solución única, infinitas soluciones, sin solución).

IPAP Modelizar situaciones internas o externas a la matemática que involucren cons-truir, comparar y analizar variaciones uniformes y expresarlas eligiendo la repre-sentación más adecuada a la situación. Esto requiere entre otras cosas plantear y resolver ecuaciones lineales con una o dos variables y analizar el conjunto solu-ción de sistemas de ecuaciones formados por ellas.

6 Sesión integradoraRevisión en profundidad de las dudas generales, los

objetivos alcanzados y las acciones a seguir.

La distribución de los momentos de los primeros cinco encuentros será:

• Momento 1: Presentación (primer encuentro) / Retroalimentación de la implementa-ción (los demás encuentros).

• Momento 2: Situación de aprendizaje. Vivenciar una situación de aprendizaje que pro-blematice el conocimiento matemático escolar correspondiente al encuentro.

• Momento 3: Análisis del diseño. Análisis de las variables de control, los objetivos decada uno de los momentos y el rol que juegan las prácticas socialmente compartidasen el diseño.

• Momento 4: Cierre del encuentro. Rediseño de la situación de aprendizaje y genera-ción de acuerdos para su implementación en el aula.

Orientaciones para el/la formador/aSe sugiere dar claridad sobre los contenidos a trabajar durante los encuentros, con el finde que puedan establecerse metas a corto, mediano y largo plazo. Se recomienda trans-mitir seguridad y confianza en la propuesta ya que son los orientadores de todo el proce-so. Aparte de los cuadernillos de trabajo, otros documentos con los cuales se haya traba-jado durante la formación de orientadores serán usados, de ser necesario, como materialadicional para los encuentros. Se sugiere proponer a las/os participantes que revisen elmaterial disponible con el fin de realizar las preguntas que consideren pertinentes en lasiguiente sesión, o bien, al concluir esta. La intención es que la incertidumbre que pudie-ran estar vivenciando no imposibilite el avance del encuentro.

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Segundo momentoSituación de aprendizaje

60 minutosVivenciar una situación de aprendizaje que desarro-lle las prácticas asociadas para la construcción de lanoción de función.

Actividad 235 minutosEn grupos de tres.

Actividad 325 minutosEn pequeños grupos.

Actividad 2Les proponemos una situación de aprendizaje, para que la vivencien, dividida en tres ta-reas, para revisar el contenido a trabajar.

a. Resuelvan las situaciones

b. Analicen las posibles estrategias que podrían desplegar los estudiantes.

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Actividad 3Les proponemos reunirse en grupos de 6 integrantes para reflexionar sobre los aspectosrelevantes que identificaron en la situación de aprendizaje propuesta. Para guiarse en lareflexión colectiva, les recomendamos considerar las siguientes preguntas aunadas a to-das aquellas que surjan de ustedes:

1. ¿Qué elementos consideran nuevos en el estudio de la función?

2. ¿Cómo consideran la evolución de la complejidad de las actividades?

3. ¿Cuáles son las preguntas o actividades que llamaron más su atención y por qué?

4. Bajo la consideración de que las prácticas socialmente compartidas asociadas en estasituación son: visualizar, comparar, estimar, predecir, ¿cómo correlacionarían las tareasy su puesta en juego para construir una respuesta a las preguntas de la situación?, ¿con-sideraste otra de las prácticas que no se mencionaron? Si tuvieran que realizar un ordende las prácticas en términos de lo que demanda o requiere cada actividad, ¿qué evolu-ción propondrían?

Orientaciones para el/la formador/aPara la segunda actividad, se sugiere tener un rol activo pasando por los equipos para in-centivar la reflexión profunda sobre cada una de las preguntas que den pie a las activida-des posteriores (3 y 4) y no quedarse únicamente en la resolución de las actividades plan-

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teadas. Se propone recomendar a los participantes realizar anotaciones mientras viven lasituación de aprendizaje donde se hagan explícitas las confrontaciones que se vivieron ylas dificultades observadas. Con el fin de propiciar reflexiones a profundidad, se reco-mienda la lectura, nuevamente, del material del Encuentro de Tutores donde se encon-trará el análisis de cada una de las tareas y sus respectivos momentos.

Para la tercera actividad, dado que se pasa por los equipos para ver sus reflexiones, se re-comienda proponer equipos que hayan tenido observaciones diferenciadas para así ro-bustecer la reflexión. Se sugiere, nuevamente, que los participantes tomen nota de susrespuestas para retomarlas en la actividad siguiente.

Con respecto a las preguntas propuestas, se espera que la reflexión gire entorno a:

Pregunta 1. Ordenamiento de los números racionales a partir de la comparación, deter-minar las variables que están en juego, características del cambio: identificar que crece,pero, además, cómo crece dicho comportamiento, el rol de la función como parte de unmodelo predictivo, el papel del sistema de referencia, el promedio, operación con funcio-nes.

Pregunta 2. La intención es evidenciar que las primeras preguntas que parecieran ser derespuesta obvia habilitan a que los estudiantes tomen confianza ante una actividad ma-temática. La complejidad tiene un grado creciente que evoluciona con base en las etapasfactual, procedimental y simbólica, propias de la propuesta.

Pregunta 3. Se podrían mencionar las preguntas colocadas en la tarea 1 que correspondea la etapa factual, justamente despertando el interés de ser actividades que pudieran ca-lificarse sencillas pero que corresponden a la base para poder desarrollar y comprenderel resto de las actividades. Unas preguntas sencillas pero que tienen su peso en la com-paración de elementos.

Además, en las preguntas de esta misma tarea, específicamente la 2, es interesante porla conformación de la fila, que es un paso importante en la situación de aprendizaje, yaque es el momento en el que visualmente los estudiantes reconocen un patrón en lamagnitud de la altura, que posteriormente da lugar al promedio. Además, es a partir deeste patrón visual que la comparación numérica y el promedio cobran significado (¿quétan alto soy en este grupo?), fomentando el análisis de los datos en lugar de limitar su ac-tividad a sólo calcular y medir.

Otra pregunta podría ser de la 2b de la tarea 2, que trata con el promedio de la altura delos estudiantes de la clase. Esta pregunta de cierre orienta la actividad del estudiante aconfigurar métodos y procedimientos que le permitan asociar las comparaciones numé-ricas de la etapa factual con comparaciones gráficas. Si bien la pregunta está orientada asignificar el promedio, su intención es mantener una justificación funcional al desarrollode las comparaciones gráficas y numéricas, es decir, la pregunta ¿por qué comparar mag-nitudes? tiene sentido cuando esas comparaciones proveen información sobre algún as-pecto esencial, en este caso, sobre la altura general de la clase.

Otra pregunta podría ser la 1f de la tarea 3, cierre de toda la situación, que tiene la inten-ción de que el estudiante establezca una predicción a partir de la información que obtuvodel gráfico. Con ello, el estudiante asocia el gráfico con el establecimiento de relacionesfunciones (la altura en función de la edad), que le permiten construir conjeturas acercade un fenómeno (“¿cuál será mi altura a los 20 años?”). El gráfico ya no es solo una ima-gen, sino un argumento sobre un fenómeno.

Pregunta 4. Si bien la evolución pragmática con base en la cual se propone la situación deaprendizaje es comparar-visualizar estimar predecir→ → , dada la construcción de cada uno

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de los integrantes podrían realizarse diversas propuestas. Este hecho permitiría eviden-ciar qué prácticas se han puesto en juego a la hora de enfrentar la situación.

Tercer momentoAnálisis del diseño

40 minutosSe analizan las variables de control, la intensión en cadauna de las etapas y los objetivos de cada uno de los mo-mentos y el rol que juegan las prácticas socialmentecompartidas en el diseño.

Actividad 440 minutosEntre todos.

Actividad 4Con el fin de realizar el análisis del diseño, les proponemos reflexionar, de manera cola-borativa, sobre los siguientes aspectos:

1. Identifique al menos dos variables de control didáctica1 que considere de relevanciapara el éxito de la situación de aprendizaje. Por ejemplo, una variable de control didácti-ca es abordar el estudio de valores desde el gráfico de funciones para poder visualizar lainformación en otro tipo de registro y es un elemento que se usará más adelante. Comoconsejo es pensar en aquellas decisiones que se pudieron tomar para plantear las pre-guntas.

2. Considerando que el diseño de la situación de aprendizaje tiene las siguientes directri-ces para generar un ambiente que propicie la lectura del gráfico de torta o circular:

• comparación de valores desde un registro numérico y visual;

• tránsito entre expresiones analíticas y visuales,

• interpretación de los gráficos para una posible predicción;

¿Cuál es el(los) momento(s) de la situación de aprendizaje en el que se desarrolla cadauna de ellas?

3. ¿Cómo contribuye al desarrollo del pensamiento matemático el trabajo a partir deprácticas socialmente compartidas? ¿Cuáles son las diferencias puntuales que encuentraen esta propuesta?

Orientaciones para el/la formador/aSe sugiere realizar una puesta en común de las respuestas y realizar la anotación de ellasen el pizarrón con el fin de que el grupo pueda robustecer sus consideraciones de mane-ra conjunta. Esta actividad es de reflexión colectiva, en la cual surgen dudas sobre el di-seño, por lo que se recomienda la lectura cuidadosa del documento Cómo diseñar una si-tuación de aprendizaje y el material del Encuentro de Tutores.

Respecto a las preguntas, una orientación es la siguiente:

Pregunta 1. La idea de variable de control refiere a aquello que permite al diseñador favo-recer o impedir una acción (cortar o no cortar, estimar o no estimar, mover la mano o nomoverla, adelantarse o no adelantarse, etc.). Bajo esta consideración algunas de las varia-bles de control que pueden surgir por parte del colectivo docente son: cambio en los re-gistros donde se representa la información, cálculo del promedio para una realización deoperaciones con funciones, relacionar expresiones analíticas lineales de forma local (al-rededor de un punto o dos en la función), entre otras.

1 Se entiende que el uso técnico de la expresión “variable de control didáctica” habrá sido discutidopreviamente con los participantes del encuentro de formación.

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Pregunta 2. La intención es hacer explícito en qué momento se hacen presentes a lo largodel diseño las directrices propuestas. De manera específica, la comparación de valoresdesde un registro numérico y visual se desarrolla en la Tarea 1 y 2, a partir del promedio,tabla de valores, gráficos de los datos; tránsito entre expresiones analíticas y visuales sepromueve en la Tarea 2 y Tarea 3 y la interpretación de los gráficos para una posible pre-dicción se presenta en el desarrollo de la Tarea 3.

Pregunta 3. Una de las diferencias que se pretende acentuar es el valor de uso del conoci-miento matemático, el papel de las prácticas y la descentración del objeto, es decir, partirde las acciones (el hacer) y la organización de acciones a nivel actividad hasta la simbolo-gía, partiendo del entorno de quien aprende con el objetivo de construir y acompañarmediante prácticas al objeto matemático.

Cuarto momentoCierre del encuentro

60 minutosRediseño de la situación de aprendizaje y generación deacuerdos para su implementación en el aula.

Actividad 5 Actividades y acuerdospara el próximo encuentro.Pueden continuar como es-tán organizados, o en pare-jas y entre todos.

Actividad 5Para el proceso de implementación, es recomendable adaptar la situación de aprendizajepropuesta considerando el contexto en el cual se encuentran trabajando con sus estu-diantes, o bien, en su defecto, retomar otras actividades que se consideren pertinentes ypuedan rediseñarse con base en una mirada alternativa hacia el conocimiento matemáti-co escolar. Para ello, les recomendamos reflexionar sobre los siguientes asuntos y/o pre-guntas:

• Considerando el nivel y las características de su grupo, ¿qué cambios le harían a la si-tuación de aprendizaje para llevar a su aula?

• ¿Cómo organizarán la clase (tiempos, dinámica, materiales)?

• ¿Cuál será su rol en cada una de las etapas?

• ¿Cómo gestionarán la puesta en común?

• ¿A qué conclusiones quieren que se llegue al finalizar la clase?

• ¿Qué creen que debería quedar registrado en las carpetas? ¿Y en el pizarrón?

Una vez que hayan tomado estas decisiones, les proponemos registrar los resultados ob-tenidos considerando la Guía de reflexión que se entrega como anexo.

Orientaciones para el/la formador/aEn esta sección se recomienda organizar la actividad en equipos, considerando las decisio-nes tomadas: rediseñar la situación, elegir una actividad alternativa, entre otras. Posterior-mente, se les invita a realizar la programación de su clase considerando tiempos, materia-les, objetivos por sesión, objetivo general. Al finalizar, se presenta la Guía de reflexión queusarán como guía para realizar la toma de datos producto de la implementación. Este últi-mo, será el sustento principal para reflexionar sobre los logros alcanzados en una propues-ta de cambio donde los protagonistas son el cuerpo docente y los/as estudiantes.

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Recursos necesariosEl/la formador/a deberá contar con:

• el presente material impreso a color con sus respectivas anotaciones, para guiar la sesión;

• una lectura analítica a profundidad de los materiales destinados a los/as docentesdonde se da a conocer un análisis a priori de la situación de aprendizaje con bibliogra-fía de referencia que sirve de apoyo para la reflexión;

• la versión digital (si pudiera proyectar) o impresa (para leer) de la Guía de reflexiónpara orientar a los profesores al momento de trabajar su toma de datos.

Materiales de ReferenciaBuendía, G. (2012). “El uso de las gráficas cartesianas. Un estudio con profesores”. Educa-

ción matemática, 24 (2), 9-35.Cantoral, R. (2013a). Teoría socioepistemológica de la matemática educativa. Estudios sobre

construcción social del conocimiento. Barcelona: Gedisa.Cantoral, R. (2013b). Desarrollo del pensamiento y lenguaje variacional. Subsecretaria de Edu-

cación Medio Superior. Ciudad de México.Ministerio de Educación (2011). Núcleos de Aprendizajes Prioritarios. 2° Ciclo Básico Educación

Secundaria 1°, 2° y 3° Años. Buenos Aires: Ministerio de Educación.Ministerio de Educación (2018). Indicadores de Progresión de los Aprendizajes Prioritarios de

Matemática. Buenos Aires: Ministerio de Educación.Ministerio de Educación. Marco de Organización de los Aprendizajes para la Educación Obliga-

toria Argentina. Buenos Aires.

CréditosDesarrollo de contenido: Equipo del Programa Interdisciplinario para el Desarrollo Profesional Do-cente en Matemáticas (PIDPDM) del Departamento de Matemática Educativa del Centro de Investi-gación y de Estudios Avanzados del IPN, México. Coordinadora: Daniela Reyes. Diseño: Ricardo Cantoral, Javier Lezama, Rebeca Flores, Angélica Moreno, Gabriela Buendía, Cristian Paredes, SelvinGalo, Wendolyne Ríos, Viridiana García. Revisión: Claudia RodríguezRevisión técnica: Equipo de Matemáticas de la Dirección de Diseño de Aprendizaje

Plan Nacional de Lectura y Escritura / Coordinación de Materiales EducativosCoordinadora: Alicia SerranoResponsable de publicaciones: Gonzalo BlancoDocumentación gráfica: Javier RodríguezDiseño, armado y diagramación: Alejandra Mosconi, Mario Pesci, Clara Batista, Elizabeth Sanchez, Paula Salvatierra, Juan De TullioProducción de gráficos: Fabián LedesmaFotografía: Gastón Garino, Santiago RadosevichEdición y corrección: Viviana Herrero, Myriam Ladcani, Daniela Parada, Jennifer Pochne.Ilustraciones: Mariano PaisCartografía: José Pais

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