UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA

FACULTAD DE INGENIERÍA

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

CLAVE-114-5-V-2-00-2013

CURSO: Matemática Intermedia III

SEMESTRE: Segundo

CÓDIGO DEL CURSO: 114

TIPO DE EXAMEN: Primera Retrasada

FECHA DE EXAMEN: 20 de noviembre de 2013

NOMBRE DE LA PERSONA QUE

RESOLVIÓ EL EXAMEN: Elda Magally Calderón Motta

NOMBRE DE LA PERSONA QUE

REVISÓ EL EXAMEN: Inga. Helen Rocío Ramírez Lucas

UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA PRIMERA RETRASADA FACULTAD DE INGENIERÍA 20 DE NOVIEMBRE DE 2013 MATEMÁTICA INTERMEDIA 3 JORNADA VESPERTINA

TEMA No. 1 (20 puntos)

Un termómetro se lleva del interior de una habitación, al exterior donde la

temperatura del aire es de 5ºF. Después de un minuto, el termómetro indica 55ºF,

5 minutos después marca 30ºF. ¿Cuál era la temperatura del interior?

TEMA No. 2 (20 puntos)

Un tanque que tiene 500 galones de agua pura le entra salmuera con 2 libras de sal

por galón a razón de 5 gal / min. El tanque está bien mezclado y de él sale la solución

con la misma rapidez. Determine la cantidad A(t) de libras de sal que hay en el

tanque en cualquier instante “t”. ¿Cuál es la concentración de la solución en el

tanque a los 5 minutos?

TEMA No.3 (20 puntos)

Se fija un contrapeso de 24 lb al extremo de un resorte. Si la frecuencia del

movimiento armónico simple es 2/π oscilaciones por segundo. ¿Cuál es la

constante “k” del resorte? ¿Cuál es la frecuencia del movimiento armónico simple si

la masa original se reemplaza con una de 80 kg?

TEMA No. 4 (40 puntos)

Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales:

a. (𝟏𝟎 − 𝟔𝒚 + 𝒆−𝟑𝒙)𝒅𝒙 − 𝟐𝒅𝒚 = 𝟎

b. 𝒚𝟏/𝟐 𝒅𝒚

𝒅𝒙+ 𝒚𝟑/𝟐 = 𝟏

c. 𝒙𝒅𝒚

𝒅𝒙− √𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝒚

d. 𝒅𝒚

𝒅𝒙= 𝐬𝐢𝐧(𝒙 + 𝒚)

SOLUCIÓN DEL EXAMEN

TEMA 1

Un termómetro se lleva del interior de una habitación, al exterior donde la

temperatura del aire es de 5ºF. Después de un minuto, el termómetro indica 55ºF,

5 minutos después marca 30ºF. ¿Cuál era la temperatura del interior?

Solución: Datos:

T (ºF) ¿? 55 30

t (min) 0 1 5

Temperatura ambiente = Ta = 5ºF Ecuación diferencial que modela problema de temperaturas:

𝑑𝑇

𝑑𝑡= 𝑟(𝑇 − 𝑇𝑎)

𝑑𝑇

𝑑𝑡= 𝑟(𝑇 − 5)

Resolviendo por variables separables:

∫𝑑𝑇

(𝑇 − 5)= ∫ 𝑟𝑑𝑡

ln|𝑇 − 5| = 𝑟𝑡 + 𝑘

𝑇 − 5 = 𝑒𝑟𝑡+𝑘

𝑻(𝒕) = 𝑪𝒆𝒓𝒕 + 𝟓

Sustituyendo condiciones del problema:

t = 1 min T = 55ºF

55 = 𝐶𝑒𝑟 + 5

t = 5 min T = 30ºF

30 = 𝐶𝑒5𝑟 + 5

Igualando (1) y (2) para encontrar el valor de r:

50

𝑒𝑟=

25

𝑒5𝑟

𝑒4𝑟 =1

2

𝒓 =𝐥𝐧 (

𝟏𝟐)

𝟒= −𝟎. 𝟏𝟕𝟑𝟐𝟖𝟕

Sustituyendo r en (1):

𝐶 =50

𝑒−0.173287

𝑪 = 𝟓𝟗. 𝟒𝟔

Ecuación que modela la temperatura del termómetro en cualquier instante t:

𝑻(𝒕) = 𝟓𝟗. 𝟒𝟔𝒆−𝟎.𝟏𝟕𝟑𝟐𝟖𝟕𝒕 + 𝟓 Encontrando temperatura del interior (instante t = 0):

𝑇(0) = 59.46𝑒−0.173287(0) + 5

(1) 𝐶 =50

𝑒𝑟

(2) 𝐶 =

25

𝑒5𝑟

𝑻(𝟎) = 𝟔𝟒. 𝟒𝟔º𝑭

(2)

TEMA 2

Un tanque que tiene 500 galones de agua pura le entra salmuera con 2 libras de sal

por galón a razón de 5 gal / min. El tanque está bien mezclado y de él sale la solución

con la misma rapidez. Determine la cantidad A(t) de libras de sal que hay en el

tanque en cualquier instante “t”. ¿Cuál es la concentración de la solución en el

tanque a los 5 minutos?

Solución: Datos: Vo = 500 gal b = 2 lb / gal e = f = 5 gal / min A (0) = 0 El tanque inicialmente contiene agua pura Ecuación diferencial para el modelado de mezclas:

𝑑𝐴

𝑑𝑡= 𝑏𝑒 −

𝑓𝐴

𝑉0 + (𝑒 − 𝑓)𝑡

Sustituyendo datos:

𝑑𝐴

𝑑𝑡= (2)(5) −

5𝐴

500 + (5 − 5)𝑡

𝑑𝐴

𝑑𝑡= 10 −

𝐴

100

𝑑𝐴

𝑑𝑡+

𝐴

100= 10

Resolviendo como ecuación diferencial lineal:

𝑷(𝒕) =𝟏

𝟏𝟎𝟎⇒ 𝑭𝑰 = 𝒆∫

𝒅𝒕𝟏𝟎𝟎 = 𝒆

𝒕𝟏𝟎𝟎

𝑒𝑡

100𝐴 = ∫ 10𝑒𝑡

100𝑑𝑡

𝑒𝑡

100𝐴 = 1000𝑒𝑡/100 + 𝐶

𝐴(𝑡) = 1000 + 𝐶𝑒−𝑡/100 Sustituyendo condición inicial del problema:

t = 0 min A = 0 lb de sal

0 = 1000 + 𝐶𝑒−0/100

𝑪 = −𝟏𝟎𝟎𝟎 Ecuación que modela la cantidad de sal en el tanque en cualquier instante t:

Ecuación que modela la concentración de la solución en el tanque:

ℂ(𝑡) =𝐴(𝑡)

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑡𝑎𝑛𝑞𝑢𝑒=

1000 − 1000𝑒−𝑡/100

500

ℂ(𝑡) = 2 − 2𝑒−𝑡/100

Concentración de la solución a los 5 minutos:

ℂ(5) = 2 − 2𝑒−5/100

𝑨(𝒕) = 𝟏𝟎𝟎𝟎 − 𝟏𝟎𝟎𝟎𝒆−𝒕/𝟏𝟎𝟎

ℂ(𝟓) = 𝟎. 𝟎𝟗𝟕𝟓 𝒍𝒃 𝒔𝒂𝒍 / 𝒈𝒂𝒍ó𝒏

TEMA 3

Se fija un contrapeso de 24 lb al extremo de un resorte. Si la frecuencia del

movimiento armónico simple es 2/π oscilaciones por segundo. ¿Cuál es la

constante “k” del resorte? ¿Cuál es la frecuencia del movimiento armónico simple si

la masa original se reemplaza con una de 80 kg?

Solución: Datos: Peso 1 = 24 lb f = 2/π oscilaciones por segundo Peso 2 = 80 kg Encontrando la masa 1 fijada al resorte: Contrapeso: W1 = 24 lb

M1 = W1 / g = 24 / 32 m = 3 / 4 slug Frecuencia movimiento armónico simple:

𝜔 = √𝑘

𝑚

𝑓 =𝜔

2𝜋=

√ 𝑘𝑚

2𝜋

Sustituyendo datos:

2

𝜋=

√𝑘

3/4

2𝜋

Constante del resorte:

Conversión de la masa de 80 kg a slugs:

m2 = 80 kg * 2.2 / 32 = 5.5 slug

Encontrando frecuencia del movimiento con la masa de 80 kg:

𝑓 =√12

5.5

2𝜋

𝒌 = 𝟏𝟐 𝒍𝒃/𝒇𝒕

𝒇 = 𝟎. 𝟐𝟒 𝒐𝒔𝒄𝒊𝒍𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 / 𝒔𝒆𝒈

TEMA 4

Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales:

a. (𝟏𝟎 − 𝟔𝒚 + 𝒆−𝟑𝒙)𝒅𝒙 − 𝟐𝒅𝒚 = 𝟎

Solución:

Sean:

𝑀 = 10 − 6𝑦 + 𝑒−3𝑥

𝑁 = −2 Entonces:

𝑀𝑦 = −6

𝑁𝑥 = 0

Resolver como ecuación diferencial reducible a exacta.

Encontrando el factor integrante:

𝑃(𝑥) =𝑁𝑥 − 𝑀𝑦

𝑁=

0 − (−6)

−2= 3

𝐹𝐼 = 𝑒∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑒∫ 3𝑑𝑥 = 𝑒3𝑥

Multiplicando la ecuación por el factor integrante:

(10𝑒3𝑥 − 6𝑦𝑒3𝑥 + 1)𝑑𝑥 − 2𝑒3𝑥𝑑𝑦 = 0

𝑀𝑦 = −6𝑒3𝑥

𝑁𝑥 = −6𝑒3𝑥

𝑀𝑦 = 𝑁𝑥 ⟹ 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡𝑎

Integrando parcialmente a M:

∫(10𝑒3𝑥 − 6𝑦𝑒3𝑥 + 1) 𝑑𝑥 =10

3𝑒3𝑥 − 2𝑦𝑒3𝑥 + 𝑥

Integrando parcialmente a N:

∫(−2𝑒3𝑥) 𝑑𝑦 = −2𝑦𝑒3𝑥

Solución de la ecuación diferencial:

b. 𝒚𝟏/𝟐 𝒅𝒚

𝒅𝒙+ 𝒚𝟑/𝟐 = 𝟏

Solución:

Dividiendo ambos lados de la igualdad entre el término 𝑦1/2:

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑦 = 𝑦−1/2

Resolver como ecuación lineal de Bernoulli.

Haciendo la sustitución:

𝑧 = 𝑦1−(−12

) = 𝑦3/2

𝑦 = 𝑧2/3

𝑑𝑦 =2

3𝑧−1/3𝑑𝑧

𝟏𝟎

𝟑𝒆𝟑𝒙 − 𝟐𝒚𝒆𝟑𝒙 + 𝒙 = 𝑪

2

3𝑧−1/3

𝑑𝑧

𝑑𝑥+ 𝑧2/3 = 𝑧−1/3

Dividiendo ambos lados de la igualdad entre 2

3𝑧−1/3:

𝑑𝑧

𝑑𝑥+

3

2𝑧 =

3

2

Encontrando el Factor Integrante:

𝑃(𝑥) =3

2

𝐹𝐼 = 𝑒∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑒∫32

𝑑𝑥 = 𝑒3𝑥/2

Resolviendo la ecuación diferencial lineal:

𝑧𝑒3𝑥/2 = ∫3

2𝑒3𝑥/2𝑑𝑥

𝑧𝑒3𝑥/2 = 𝑒3𝑥/2 + 𝐶

𝑧 = 1 + 𝐶𝑒−3𝑥/2

Regresando a la variable y:

𝑦3/2 = 1 + 𝐶𝑒−3𝑥/2

Solución de la ecuación diferencial:

𝒚 = (𝟏 + 𝑪𝒆−𝟑𝒙/𝟐)

𝟐/𝟑

c. 𝒙𝒅𝒚

𝒅𝒙− √𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝒚

Solución:

Multiplicando ambos lados de la ecuación por el diferencial dx:

𝑥𝑑𝑦 − √𝑥2 + 𝑦2𝑑𝑥 = 𝑦𝑑𝑥

Agrupando términos semejantes:

𝑥𝑑𝑦 + (−√𝑥2 + 𝑦2 − 𝑦)𝑑𝑥 = 0

Sean:

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥

𝑔(𝑥, 𝑦) = −√𝑥2 + 𝑦2 − 𝑦

Entonces:

𝑓(𝑘𝑥, 𝑘𝑦) = 𝑘𝑥 = 𝑘𝑓(𝑥, 𝑦)

𝑔(𝑘𝑥, 𝑘𝑦) = −√𝑘2𝑥2 + 𝑘2𝑦2 − 𝑘𝑦 = 𝑘 (−√𝑥2 + 𝑦2 − 𝑦) = 𝑘𝑔(𝑥, 𝑦)

Por lo tanto f y g son funciones homogéneas de grado uno.

Resolviendo como ecuación diferencial homogénea:

𝑦 = 𝑣𝑥 ⇒ 𝑑𝑦 = 𝑥𝑑𝑣 + 𝑣𝑑𝑥

Sustituyendo:

𝑥(𝑥𝑑𝑣 + 𝑣𝑑𝑥) + (−√𝑥2 + 𝑣2𝑥2 − 𝑣𝑥)𝑑𝑥 = 0

𝑥2𝑑𝑣 + 𝑣𝑥𝑑𝑥 − √𝑥2 + 𝑣2𝑥2𝑑𝑥 − 𝑣𝑥𝑑𝑥 = 0

𝑥2𝑑𝑣 = √𝑥2 + 𝑣2𝑥2𝑑𝑥

𝑥2𝑑𝑣 = 𝑥√1 + 𝑣2𝑑𝑥

Resolver con variables separables:

∫𝑑𝑣

√1 + 𝑣2= ∫

𝑑𝑥

𝑥

Sustitución trigonométrica para la integral del lado izquierdo:

𝑣 = tan 𝜃 ⇒ 𝑑𝑣 = sec2 𝜃 𝑑𝜃

sec 𝜃 = √1 + 𝑣2

Resolviendo las integrales:

∫sec2 𝜃 𝑑𝜃

sec 𝜃= ∫

𝑑𝑥

𝑥

∫ sec 𝜃 𝑑𝜃 = ln|𝑥| + ln|𝐶|

ln|sec 𝜃 + tan 𝜃| = ln|𝑥| + ln|𝐶|

ln|sec 𝜃 + tan 𝜃| = ln|𝐶𝑥|

sec 𝜃 + tan 𝜃 = 𝐶𝑥

𝜽

𝒗

𝟏

Regresando a la variable v:

√1 + 𝑣2 + 𝑣 = 𝐶𝑥

Regresando a las variables originales x e y:

√1 + (𝑦

𝑥)

2

+𝑦

𝑥= 𝐶𝑥

Solución de la ecuación diferencial:

d. 𝒅𝒚

𝒅𝒙= 𝐬𝐢𝐧(𝒙 + 𝒚)

Solución:

Haciendo la sustitución:

𝑢 = 𝑥 + 𝑦

𝑑𝑢

𝑑𝑥= 1 +

𝑑𝑦

𝑑𝑥⇒

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑𝑢

𝑑𝑥− 1

Sustituyendo:

𝑑𝑢

𝑑𝑥− 1 = sin(𝑢)

√𝒚𝟐

𝒙𝟐+ 𝟏 +

𝒚

𝒙= 𝑪𝒙

Resolviendo por variables separables:

∫𝑑𝑢

sin(𝑢) + 1= ∫ 𝑑𝑥

∫𝑑𝑢

sin(𝑢) + 1∗

sin(𝑢) − 1

sin(𝑢) − 1= 𝑥 + 𝐶

∫sin(𝑢) − 1

sin2(𝑢) − 1𝑑𝑢 = 𝑥 + 𝐶

∫sin(𝑢) − 1

− cos2 𝑢𝑑𝑢 = 𝑥 + 𝐶

− ∫sin(𝑢)

cos2 𝑢𝑑𝑢 + ∫ sec2 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑥 + 𝐶

−1

cos 𝑢+ tan 𝑢 = 𝑥 + 𝐶

Regresando a las variables originales x e y:

−1

cos(𝑥 + 𝑦)+ tan(𝑥 + 𝑦) = 𝑥 + 𝐶

Solución de la ecuación diferencial:

𝐭𝐚𝐧(𝒙 + 𝒚) − 𝐬𝐞𝐜(𝒙 + 𝒚) = 𝒙 + 𝑪