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CURSO DE HIDRÁULICA 2010 LECCIÓN 1. INTRODUCCIÓN A LA HIDRÁULICA: CONCEPTO Y PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LOS FLUIDOS. ECUACIÓN GENERAL DE LA HIDRÁULICA. EL MEDIO CONTINUO. CONCEPTO DE CINEMÁTICA: TRAYECTORIAS Y LÍNEAS DE CORRIENTE. CONCEPTO DE GASTO. DEFORMACIÓN DE LA PARTÍCULA. ECUACIÓN DE CONTINUIDAD. Introducción a la Hidráulica - Tradicionalmente se ha definido la Hidráulica como el arte de utilizar el agua - Una definición actualizada lo plantea como la parte de la Mecánica de Fluidos incompresibles, con pleno contenido científico-técnico y con aplicaciones dirigidas a la ingeniería. - Por tratarse de Mecánica racional, asume a la materia como un medio continuo y utiliza el cálculo diferencial para su representación. - Dado que tiene contenido científico, utiliza el método axiomático y aplica la experimentación. - Por ello necesita de unidades de medida. Como su objetivo final es la aplicación en la ingeniería, no puede prescindir del concepto de energía. Espacio – Tiempo – Materia - Para Kant el espacio (en su forma más elemental la longitud) es una forma a priori de la sensibilidad externa humana y el tiempo es una forma a priori de la sensibilidad interna humana. Con ellos se puede referir un punto inmaterial en sus coordenadas espacio-temporales. - Pero el mundo que perciben nuestros sentido está integrado por la materia, que además de ocupar un espacio en cada instante, tiene otros propiedades, algunas sustanciales y otras accidentales, que dependen de las circunstancias. - La ciencia asume que la masa es lo esencial o sustancial de la materia - En consecuencia, la longitud L, el tiempo T y la masa M definen la materia que perciben nuestros sentidos y constituyen las unidades fundamentales en el desarrollo científico. Estados de agregación de la materia - Sintéticamente se presentan tres estados de agregación de la materia: sólido, líquido y gaseoso. - Los líquidos y los gases se designan por fluidos, en contraposición con los sólidos, el patrón de los dos primeros es el menor grado de rigidez de enlace molecular. - En la materia no existen magnitudes infinitas, es decir, no existe una infinita rigidez ni una infinita libertad de enlace molecular. El sólido perfecto y el fluido perfecto son abstracciones de la razón. - Los sólidos participan de los fluidos mediante la plasticidad y los líquidos participan de los sólidos mediante la viscosidad

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- Plasticidad y viscosidad están ligados a la velocidad de deformación y , por tanto, asociados a la escala de tiempos. - Prescindiendo de la consideración anterior y de que la masa pueda desintegrarse, se consideran como invariantes: Sólidos: masa, volumen, forma Líquidos: masa, volumen Gas: masa - Estos estados no son inmutables, tienen cambios cuando varían sus condiciones de presión y temperatura.

Los procesos superiores (sublimación; licuefacción; vaporización) son endotérmicos, aumenta la temperatura y disminuye la presión; los inferiores (solidificación y condensación) son exotérmicos, aumenta la presión y disminuye la temperatura. Concepto de Fluido Un fluido es un medio material o sustancia que se deforma de una forma continua, cuando se le somete a una fuerza cortante, cualquiera que sea la magnitud de ésta. La fuerza cortante actúa tangencialmente a una superficie y el cociente entre ambas se llama esfuerzo cortante (en el límite, cuando la fuerza cortante se aplica a una superficie que se reduce a un punto, se tiene el esfuerzo cortante puntual) Cuando entre dos placas paralelas introducimos un sustancia, de manera que la placa inferior permanece quieta y a la superior se le aplica una fuerza F, que ejerce un esfuerzo cortante: F/S sobre la sustancia contenida entre las dos placas.

Figura 1.

Si la fuerza F ocasiona que la placa superior se mueva con una velocidad u cualquiera que sea la magnitud de F y por pequeña que sea; entonces se puede afirmar que la sustancia situada entre las dos placas es un fluido.

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Un fluido es un medio material continuo, deformable, desprovisto de rigidez y capaz de sufrir grandes variaciones de forma bajo la acción de fuerzas cuya intensidad depende de la mayor o menor velocidad de dichas deformaciones (concepto de fluir). La velocidad de un fluido en inmediato contacto con una frontera sólida es cero (Goldstein, 1938). Observando la Figura 1, experimentalmente se demuestra que F es directamente proporcional a S y u e inversamente proporcional a la distancia z.

µ, es una constante de proporcionalidad que depende del fluido y se llama coeficiente de viscosidad dinámica Como estamos en el medio continuo, la ecuación anterior se puede escribir también como:

τ, tensión de corte; du/dy, rapidez de deformación del fluido Llegamos a la Ley de Newton de la viscosidad

Clasificación de los fluidos desde el punto de vista reológico:

En el fluido perfecto la viscosidad es cero.

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Propiedades de los fluidos Se hacen presentes cuando aparecen fuerzas que interrumpen la simetría y uniformidad de la situación inicial. Son causas de estas fuerzas:

- Variación del movimiento (inercia) - Atracción exterior (peso) - Variación de volumen (elasticidad) - Deformación angular (viscosidad) - Contacto con otra sustancia (tensión superficial)

Inercia Es la propiedad intrínseca de la materia, según la cual ésta no puede modificar por si misma su estado inicial de reposo o movimiento. Se define por el 2º axioma de Newton

Ecuación de dimensión: [F] = [M L T-2] Unidades en el S.I.: N = Kg·m·s-2 Masa específica o densidad:

Ecuación de dimensión: [ρ] = [M L-3] Unidades en el S.I.: Kg·m-3 La densidad relativa de un fluido es la densidad de éste respecto a la densidad del agua. Se expresa por un número Peso Es la acción atractiva debida a la masa terrestre. Sigue la ley de Newton, es directamente proporcional a las masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa.

Se manifiesta por una fuerza dirigida hacia el centro de la tierra: g = 9,80665 m·s-2 (a 0 m de altitud y 45º de latitud)

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Peso específico, el peso por unidad de volumen

Ecuación de dimensión: [γ] = [M L-2 T-2] Unidades en el S.I.: N·m-2 o bien Kg·m-2·s-2 Se relaciona con la densidad ρ: γ = g·ρ El peso específico relativo de un fluido es el peso específico de éste respecto al del agua. Presión es la fuerza ejercida sobre la unidad de superficie.

Ecuación de dimensión: [p] = [M L-1 T-2] Unidades en el S.I.: Pa = N·m-2 o bien Pa = Kg·m-1·s-2 Pa, se denomina Pascal La atmósfera técnica es aproximadamente 105 Pascales Elasticidad Es la propiedad de la materia fluida de reaccionar contra la acción deformante de un fuerza exterior y restablecer la situación primitiva al cesar ésta. En los fluidos interviene la deformación volumétrica. Se mide mediante módulo de elasticidad volumétrica

Presión ejercida para producir una deformación volumétrica unitaria Como dV/V es adimensional, la Ecuación de dimensión de E es la misma que la de la presión

[E] = [M L-1 T-2] Unidades en el S.I.: Kg·m-1·s-2 = Pa (pascales)

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Los líquidos se consideran incompresibles. En los gases la elasticidad carece de sentido, pues su compresibilidad depende del estado termodinámico del sistema. Coeficiente de compresibilidad es el inverso del módulo de elasticidad volumétrico.

Ecuación de dimensión: [α] = [M-1 L T2] Unidades en el S.I.: Kg-1·m·s2 Relación entre el Coeficiente de compresibilidad α y la densidad ρ a través de la ecuación de la conservación de la masa

ρ · V = Cte. Diferenciando:

Integrando:

Viscosidad Es una propiedad del estado fluido que mide la resistencia de los fluidos a la velocidad de su deformación. Se establece mediante la Ley de Newton de la viscosidad Ecuación de dimensión: [µ] = [M L-1 T-2 / T-1] = [M L-1 T-1] Unidades en el sistema C.G.S.: poise = dina / (cm2·s-1) Unidades en el Sistema Internacional:

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Coeficiente de viscosidad cinemático: ν = µ / ρ Ecuación de dimensión: [ν] = [L2 T-1] Unidades en el sistema C.G.S.: stokes = cm2·s-1 Unidades en el Sistema Internacional: 1 stokes = 10-4 m2·s-1 Tensión superficial Se trata de un conjunto de fenómenos que los líquidos presentan en las proximidades de su superficie libre. Aparentemente se asemejan a una membrana tensa que idealmente cubre la capa exterior del fluido. Físicamente se explica admitiendo que entre las moléculas líquidas hay acciones atractivas de origen eléctrico, cuya intensidad varía inversamente al cuadrado de la distancia

El parámetro que expresa la tensión superficial es σ = F/S Ecuación de dimensión: [s] = [F/S] = [M T-2] Unidades en el Sistema Internacional: N·m-2 o bien Kg·s-2 El valor de σ para cada líquido es constante, no depende de la deformación producida. Relación entre la diferencia de presión ∆p ejercida sobre una superficie rectangular (dl1·dl2) y la tensión superficial σ en un líquido (Ley de Lapace)

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Fenómeno de la tensión superficial en el interior de un tubo capilar (Ley de Jurin) Equilibrio entre las fuerzas de peso y las de tensión superficial.

Ecuación General de la Hidráulica En el fenómeno hidráulico intervienen 11 parámetros: 4 parámetros geométricos (longitud a; anchura b; profundidad c; rugosidad d) 1 parámetro cinemático (velocidad v) 1 parámetro de masa específica (densidad ρ) 1 parámetro de fuerzas interiores (∆p) 4 parámetros de fuerzas exteriores (peso específico γ; viscosidad µ; tensión superficial σ; elasticidad E) La ecuación general en forma implícita sería:

f(a,b,c,d,v,ρ,∆p,γ,µ,σ,E) = 0 Estos parámetros se pueden expresar en función de parámetros fundamentales L, T, M Teorema de Π Buckinghan En un sistema de medida que contiene m magnitudes fundamentales (en el caso de la Hidráulica 3) Consideramos una función representativa de un fenómeno físico en el que intervienen t parámetros Q (en el caso de la Hidráulica 11 parámetros Q)

f(Q1, Q2, ….. Qt) = 0 (2) Sean aj1, aj2 ….. ajn las dimensiones de Q respecto de las magnitudes fundamentales

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Si la característica de la matriz

Entonces la ecuación (2) se puede reducir a (t-m) parámetros adimensionales, π1, π2, …. πt-m

ϕ( π1, π2, …. πt-m) = 0 Formados por los productos de potencias de la variables Q de forma que entren (n+1) factores, formados por los n correspondientes al menor no nulo y los (t-n) restantes. Aplicación a la Ecuación General de la Hidráulica:

Cálculo de dos números π a modo de ejemplo

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Operando se obtienen 8 parámetros adimensionales que se conocen como números hidráulicos y la Ecuación General de la Hidráulica queda definida por:

Cada número hidráulico tiene un significado:

Son los números geométricos que caracterizan el régimen del flujo.

Se conoce como número de Euler (E) y representa la relación entre las fuerzas de inercia por unidad de volumen y las fuerzas de presión por unidad de volumen.

La hipótesis de un régimen permanente e irrotacional conduce a una solución única en la distribución de velocidades y presiones, para cualquier forma dada de contorno

Se conoce como número de Froude (F) y representa la relación entre las fuerzas de inercia por unidad de volumen y las fuerzas de peso por unidad de volumen.

El término representa la celeridad de la onda de peso.

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Se conoce como número de Reynolds y representa la relación entre las fuerzas de inercia por unidad de volumen y las fuerzas de viscosidad por unidad de volumen.

Como µ/ρ = ν (viscosidad relativa);

También se define como el cociente entre las tensiones

producidas por las fluctuaciones turbulentas y las tensiones originadas por la viscosidad.

Se conoce como número de Weber (W) y representa la relación entre las fuerzas de inercia por unidad de volumen y las fuerzas de tensión superficial por unidad de volumen.

Como la influencia de la gravedad y de la viscosidad es mucho mayor que el de la tensión superficial, W2 resulta poco determinante.

Se conoce como número de Cauchy (C) o número de Mach (M) y representa La relación entre las fuerzas de inercia por unidad de volumen y las fuerzas de elasticidad por unidad de volumen.

Al término se le denomina celeridad de la onda elástica de pequeña magnitud y se corresponde con la velocidad del sonido, 300 m/s.

Fuerzas interiores (de superficie) y Fuerzas externas (de volumen) Dentro de un medio fluido, se traza una superficie S que aísla un volumen V. Se considera dS un elemento diferencial de S y fs el vector función de punto en dicha superficie (el que define la fuerza de superficie) Las fuerzas de superficie o interiores o de contacto se definen por:

Donde fs(r, t, n) depende de la posición, tiempo y orientación

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Las fuerzas exteriores o de volumen actúan a distancia en el c.d.g. del volumen encerrado por S

Donde fv(r,t) depende de la posición y del tiempo

Las fuerzas másicas son fuerzas exteriores de volumen

El medio continuo Aunque se admita la discontinuidad estructural de la materia (formada por agregados de moléculas); no tiene ningún sentido la consideración individual de las moléculas en mecánica racional. El medio continuo considera que la materia es un todo, llenando por completo el volumen que ocupa. Considerando un fluido como medio continuo y dividiéndolo indefinidamente, se denomina partícula fluida a la porción de dicho fluido lo suficientemente pequeña, para considerar despreciable su volumen respecto del conjunto del fluido; pero que mantiene todas sus propiedades. El concepto de medio continuo implica que las magnitudes físicas se pueden expresar como funciones continuas para intervalos de espacio y tiempo (se puede aplicar el cálculo diferencial) Un fluido se puede considerar como un agregado de partículas y las partículas pueden adoptar cualquier forma. Un medio material es homogéneo, cuando tiene las mismas propiedades en todos sus puntos.

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Un medio material es isótropo respecto de alguna propiedad, cueando ésta es la misma en todas las direcciones. Un material es anisótropo, cuando tiene propiedades direccionales. La masa siempre es continua, pero eso no excluye la posibilidad de una variación de volumen, pero en tal caso la variación de la densidad del fluido será la inversa

dm = ρ · dV Cinemática de fluidos La cinemática estudia los fluidos desde un punto de vista descriptivo. Como una ordenación matemático-lógica de la posición-tiempo (r,t), independientemente de las causas que lo provocan (fuerzas actuantes) Para mantener el principio de continuidad, en cada instante un partícula fluida solo puede tener una velocidad. La velocidad viene definida por una función continua y uniforme de la posición de la partícula y del instante que se considere. Utilizando la notación vectorial:

La posición de las partículas es la de su c.d.g. En un estudio tridimensional, en coordenadas cartesianas

La ecuación implica que es un movimiento variable. La ecuación corresponde a un movimiento permanente. La ecuación V = Cte representa un movimiento permanente y uniforme. Trayectorias y Líneas de Corriente Trayectorias de las partículas materiales son los caminos seguidos por éstas en el transcurso del tiempo

ro, es la posición inicial de la partícula.

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La derivada respecto del tiempo de la posición de la partícula es su velocidad

Desarrollada en coordenadas cartesianas:

Un sistema de 3 ecuaciones diferenciales con 3 incógnitas. Su integración establece las coordenadas (x,y,z) en función del tiempo y de las coordenadas del punto inicial. Líneas de corriente en un instante t son las líneas tangentes en cada punto con la recta de posición del vector velocidad. Sea la línea de corriente y la velocidad, la condición de paralelismo implica:

Y en coordenadas cartesianas:

Integrando dan una familia de curvas

a) Las líneas de corriente no se cortan b) Las líneas de corriente varían con el tiempo c) Se pueden definir como una fotografía rápida del fluido, cuando éste arrastra partículas luminosas de la misma densidad d) Una superficie definida por un haz de líneas de corriente que se apoyan en otra línea que no sea de corriente, constituye un contorno impenetrable e) Si la línea de apoyo de las líneas de corriente es una superficie cerrada, forma un tubo de corriente

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f) Si el tubo del flujo es muy pequeño se denomina filete de corriente Se puede definir la corriente fluida como constituida por una asociación de filetes de corriente. Si el movimiento es permanente , no depende del tiempo ni de la posición de referencia, luego las líneas de corriente coinciden con las trayectorias

Gasto o caudal Se llama gasto o caudal Q, referido a una superficie S, a la cantidad de fluido que pasa a través de dicha superficie S durante un tiempo T Concepto de Gasto medio:

Concepto de Gasto o Caudal instantáneo:

Sea dS un elemento diferencial de S. es un vector de módulo y dirección

Para una velocidad constante, resulta

El volumen encerrado entre los elementos diferenciales dS y dS’ representa el volumen que en el tiempo dt ha atravesado la superficie dS.

Luego, el caudal instantáneo será:

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Siendo β el ángulo que forman y Para toda la superficie

Concepto que coincide con el flujo del vector a través de la superficie Para un movimiento permanente y uniforme

Esta última expresión se admite en movimientos uniformes y permanentes. Análisis del movimiento: Deformación de la partícula Estudio analítico Tenemos un punto material P situado en el origen de coordenadas del triedro PXYZ Vamos a referirlo con otro punto material M, mediante el vector

P está sometido a una velocidad de traslación Luego, en el caso más general, la velocidad de M valdrá:

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Si se tratara de un cuerpo material indeformable (un cuerpo indeformable)

, es la velocidad de translación del punto P , es el momento respecto de M de un vector situado en P (y fijo a dicho

punto material) que mide su velocidad de rotación. Si consideramos, en lugar de un punto M indeformable, una partícula cualquiera, que se transforma a lo largo del tiempo.

Si el punto A se mueve con una velocidad (de translación), el punto M, situado a una distancia infinitesimal de A, tendrá una velocidad que será la suma de:

Demostración: Sea el hexaedro de la figura de aristas dx dy dz Sean (u,v,w) las componentes de la velocidad en el puno A(x,y,z) Las componentes de la velocidad en M serán:

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Vamos a establecer los tensores: GIRO (ROTACIONAL)

DEFORMACIÓN

Definición de tensor: Un sistema de magnitudes coexistentes y de igual índole, tales que se pueden ordenar en filas y columnas como los elementos de una matriz, al cual son aplicables las reglas del cálculo matricial. Sumando y restando θ y Ω resulta:

Sustituyendo estos valores en las ecuaciones anteriores (1) resulta:

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Ordenando las ecuaciones anteriores (2) resulta:

Interpretación del sentido físico de los sumandos que aparecen en las tres ecuaciones anteriores.

Como todos los puntos del hexágono están afectados de la velocidad de translación de A, , al cabo de un tiempo dt la posición inicial ABCD pasará a A1B1C1D1

GIROS Y DEFORMACIONES Consideremos la cara ABCD de la figura anterior. La velocidad en A tendrá de componentes (u,v) Las velocidades en los vértices B, C y D serán:

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Simultáneamente a la translación la figura inicial experimenta: - Un giro alrededor de los ejes coordenados - Una deformación longitudinal respecto a los ejes OX y OY - Deslizamientos de las caras entre si (deformación angular) Interpretación geométrica de las deformaciones

En un instante inicial los vértices ABCD están sometidos a una translación que los hace pasar a A1B1C1D1 Un instante después pasan de A1B1C1D1 a A1’B1’C1’D1’ sometidos a:

- Una deformación lineal - Un deslizamiento, deformación angular - Una rotación respecto del punto A1’

Deformación longitudinal Para la arista AD:

Para la arista AB:

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Para la arista según el eje OZ:

Siendo λx, λy y λz las velocidades de deformación unitaria Deslizamiento (deformación angular) Se mide por la deformación del ángulo recto B1A1D1 que representa la suma de

(se trata de deformaciones unitarias) En la figura:

En el denominador se desprecia respecto de dx

Sumando miembro a miembro dα y dβ, resulta:

De forma idéntica para los restantes ejes:

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Luego:

Los ángulos α, β y λ son los que forma el plano considerado con los ejes OX; OY; OZ Interpretación geométrica de los GIROS (ROTACIÓN) En la figura A1B1C1D1

De forma análoga siguiendo la rotación de las caras

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Estudio del movimiento de la partícula Las variables de Lagrange siguen a la partícula a lo largo de su movimiento y estudia el lugar geométrico de sus distintas posiciones. Utiliza las trayectorias. Las variables de Euler consideran para un instante dado t, la velocidad de cada partícula y estudia su evolución en el tiempo. Utiliza las líneas de corriente. A continuación se utilizan las coordenadas eulerianas, de acuerdo con las mismas: Se fija un punto (x, y, z) y se analiza como varía con el tiempo t la velocidad del fluido que pasa por dicho punto (en concreto la velocidad de las partículas de fluido que pasan por el punto) Coordenadas cartesianas

Vectorialmente

Aceleración:

Como

Vectorialmente:

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Ecuación de Continuidad en coordenadas de Euler Consideremos en el seno de un fluido un cubo recto, invariable de aristas dx dy dz

La masa específica del fluido (variable con el tiempo): En el instante t vale: ρ·dx·dy·dz Al cabo de un tiempo (t+dt):

Como el cubo es invariable, el volumen incrementado (la variación de masa dentro de él) será

Este incremento puede obedecer: 1) A la entrada o salida de flujo por las 6 caras 2) A la existencia de fuentes o sumideros dentro del cubo Prescindimos de esta segunda hipótesis La masa de fluido que entra por la cara ABCD vale:

signo (-) caudal entrante La masa de fluido que sale por la cara A’B’C’D’ vale:

signo (+) caudal saliente

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Luego la diferencia de caudales entrantes y salientes por las seis caras resulta:

Y para el conjunto de las seis caras:

Igualando las ecuaciones (1) y (2)

Operando:

Lo que constituye la Ecuación de Continuidad en las variables de Euler. Si el fluido es un líquido ρ = Cte, luego

Ecuación de Continuidad en las variables de Euler para líquidos.

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La ecuación de Continuidad representa la conservación de la masa

m = Cte

ρ·V = m = Cte Diferenciando: ρ·dV + V·dρ = 0 Si ρ = Cte (caso de un líquido) entonces dV=0