curso-fundamentos sistemas de potencia

8/20/2019 Curso-Fundamentos sistemas de potencia

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CURSO: FUNDAMENTOS DE SISTEMAS

ELÉCTRICOS DE POTENCIA

COMISIÓN FEDERAL DE ELECTRICIDADSUBDIRECCIÓN DEL CENACE

ÁREA DE CONTROL ORIENTAL

21 AL 25 DE ENERO DE 2013



FUNDAMENTOS DE SEP CAPÍTULO 1

ÁREA DE CONTROL ORIENTAL 2

ÍNDICE

CAPÍTULO 1 .......................................................................................................... 4

CONCEPTOS BÁSICOS Y MODELADO DE ELEMENTOS ................................. 4

1.1 INTRODUCCIÓN .............................................................................................. 4

1.2 POTENCIA ELÉCTRICA, ACTIVA Y REACTIVA .............................................. 4

1.3

POTENCIA COMPLEJA ................................................................................... 8 1.4 MODELADO DE REACTORES Y CAPACITORES ..........................................10

1.5 MODELADO DE TRANSFORMADORES ........................................................11

1.5.1 Circuito equivalente del transformador monofásico ................................................... 11

1.5.2 Circuito equivalente del transformador trifásico ......................................................... 16

1.5.3

Conexión estrella-estrella aterrizada .......................................................................... 17

1.5.4 Transformador de tres devanados ............................................................................. 19

1.6 MODELADO DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN ..................................................21

1.6.1 Conductores Compuestos y el Radio Geométrico ..................................................... 21

1.6.2

Resistencia Equivalente ............................................................................................. 22

1.6.3 Efecto Inductivo .......................................................................................................... 23

1.6.3.1

Inductancia debida al flujo interno ..................................................................................................... 23

1.6.3.2

Inductancia en una linea de dos conductores. ..................................................................................... 24

1.6.3.3 Coeficientes de maxwell ..................................................................................................................... 25

1.6.4

Efecto Capacitivo ........................................................................................................ 27 1.6.5 Representación de líneas ........................................................................................... 28

1.6.5.1

Línea de transmisión de longuitud media ........................................................................................... 29

1.6.6

Línea de transmisión larga ......................................................................................... 30

1.7 MODELADO DEL GENERADOR SÍNCRONO .................................................35

1.7.1

Introducción ................................................................................................................ 35

1.7.2 Generador de polos lisos (rotor cilíndrico).................................................................. 36

1.7.3 Generador de polos salientes ..................................................................................... 38

1.7.4

Curva de capabilidad del generador de polos lisos (rotor cilíndrico) ......................... 39

1.7.5 Curva de capabilidad del generador de polos salientes............................................. 43

1.7.6

Condensador síncrono ............................................................................................... 46

CAPITULO 2 ........................................................................................................ 49

SISTEMA POR UNIDAD ...................................................................................... 49

2.1 INTRODUCCIÓN .............................................................................................49

2.2

SISTEMAS MONOFÁSICOS ...........................................................................50

2.3 SISTEMAS TRIFÁSICOS BALANCEADOS ....................................................50

2.4

CAMBIO DE BASE DEL SISTEMA POR UNIDAD ...........................................51

2.5 EJEMPLO ........................................................................................................52

CAPITULO 3 ........................................................................................................ 54

ANÁLISIS NODAL ............................................................................................... 54

3.1 INTRODUCCIÓN .............................................................................................54

3.2 MATRIZ NODAL DE ADMITANCIAS ...............................................................54

3.2.1 Ejemplo ....................................................................................................................... 56

3.3 MATRIZ NODAL DE IMPEDANCIAS ...............................................................57

3.4

CARACTERÍSTICAS DE MATRICES ..............................................................59

3.5 EQUIVALENTE THEVENIN .............................................................................59

3.6

EQUIVALENTE DE NORTON ..........................................................................61

3.7 EJEMPLO ........................................................................................................61

CAPITULO 4 ........................................................................................................ 63

ANÁLISIS DE FALLAS ....................................................................................... 63

4.1 INTRODUCCIÓN .............................................................................................63

4.2 COMPONENTES SIMÉTRICAS Y REDES DE SECUENCIA ...........................64





4.3

SIMPLIFICACIONES EN EL MODELO DEL SISTEMA ....................................67

4.4 FALLA BALANCEADA TRIFÁSICA ................................................................67

4.5

FALLA DE LÍNEA MONOFÁSICA A TIERRA ..................................................68

4.5.1 EJEMPLO ................................................................................................................... 69

4.6 FALLA DE LÍNEA A LÍNEA..............................................................................71

4.6.2 EJEMPLO ................................................................................................................... 73

4.7 FALLA DE DOBLE LÍNEA A TIERRA ..............................................................74

4.7.1

EJEMPLO ................................................................................................................... 76

CAPITULO 5 ........................................................................................................ 77

FLUJOS DE POTENCIA ...................................................................................... 77

5.1 INTRODUCCIÓN .............................................................................................77

5.2 ECUACIONES DE FLUJO DE POTENCIA .......................................................78

5.3 CLASIFICACIÓN DE NODOS Y VARIABLES .................................................84

5.4 SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DE FLUJOS DE POTENCIA ...................85

5.4.1

EL ALGORITMO NEWTON-RAPHSON..................................................................... 86

5.4.2 SOLUCION DE LAS ECUACIONES DE FLUJOS DE POTENCIA MEDIANTE ELMETODO DE NEWTON-RAPHSON ....................................................................................... 88

5.4.3

INICIALIZACIÓN DE LAS VARIABLES DE ESTADO ................................................ 93

5.5 MANEJO DE NODOS PV .................................................................................94

5.6

CONCLUSIONES ............................................................................................95

CAPITULO 6 ........................................................................................................ 96

CONCEPTOS BÁSICOS DE CONTROL DE VOLTAJE ..................................... 96

6.1 INTRODUCCIÓN .............................................................................................96

6.2 COMPORTAMIENTO DEL FLUJO DE REACTIVOS PARA EL CONTROL DE VOLTAJE ....................................................................................................................97

6.2.2

ECUACIONES DE FLUJO DE POTENCIA REACTIVA ........................................... 100

6.3 CONTROL DE VOLTAJE LOCAL ..................................................................102

6.4

BALANCE DE POTENCIA REACTIVA ..........................................................103

6.4.2 INYECCIONES DE POTENCIA REACTIVA ............................................................ 107

6.5 CONTROL DE VOLTAJE MEDIANTE TRANSFORMADORES .....................107

6.6

CONDENSADOR SÍNCRONO. ..............................................................................110 6.7 COORDINACIÓN DE CAMBIOS ....................................................................112

6.7.1 Relación flujos de potencia reactiva – pérdidas de potencia activa ......................... 112

6.7.2 Margen de potencia reactiva .................................................................................... 115

6.8

RESUMEN .....................................................................................................116





CAPÍTULO 1

CONCEPTOS BÁSICOS Y MODELADO DE ELEMENTOS

1.1 INTRODUCCIÓN

Para comprender la forma en que interactúan los diferentes elementos de unSistema Eléctrico de Potencia (SEP), es necesario analizar el comportamiento decada uno de ellos en forma independiente, cada uno de ellos presenta uncomportamiento característico que lo distingue de los demás. Para analizar larespuesta de cada componente del sistema eléctrico ante diferentes condicionesde operación, es necesario contar con modelos matemáticos adecuados que nosrepresenten en forma aceptable su comportamiento.

En este primer capítulo se revisan conceptos fundamentales para analizarfenómenos donde interviene de manera relevante la potencia reactiva. En losdesarrollos se consideran modelos simplificados, lo que ayuda a la comprensiónde las ideas principales. Se modelan los siguientes elementos:

• Reactores• Capacitores• Transformadores• Líneas de Transmisión• Generadores

1.2 POTENCIA ELÉCTRICA, ACTIVA Y REACTIVA

La definición de potencia en términos de energía es “la cantidad de energíaconsumida o generada por unidad de tiempo”. Para el caso particular de potencia

eléctrica, se establece la definición: “la potencia eléctrica generada o absorbidapor un elemento es el producto del voltaje en sus terminales y la corriente a travésde él”, algebraicamente esta dada por:

Joule/segoWattsiv p =

(1.1)





Una vez que se ha definido la potencia eléctrica, es interesante analizar comoes consumida por los elementos pasivos. Por ejemplo para el caso de unaresistencia a la cual se le aplica una señal del tipo alterna, es decir, t V v m ω sen= ,por lo que la respuesta de este elemento ante una señal alterna es t I i

m ω sen= ,

por lo tanto sustituyendo en (1.1) se tiene:

t I V pmm R ω 2

sen=

(1.2)

Se observa que la potencia eléctrica consumida por una resistencia espositiva, aunque tenga una variación en el tiempo como lo muestra la expresión(1.2). En la Figura 1.1 se tiene gráficamente la variación de la potencia eléctricaconsumida por la resistencia al aplicarle una señal de corriente alterna.

v

i p

FIGURA 1.1 Variación con respecto al tiempo de v , i y p para una resistencia.

De igual forma se aplica una señal de voltaje de corriente alterna a un

inductor de la forma t V v m sen= , obteniéndose como respuesta una corriente através de él del tipo t I i

m cos−= , recordando que la relación entre voltaje ycorriente es dt di Lv / = , por lo tanto la potencia instantánea a través del elementose expresa mediante la ecuación (1.3). La Figura 1.2 muestra gráficamente lasvariables eléctricas de un inductor ante una excitación senoidal.

t t I V pmm L ω cossen−=

(1.3)

v

i

p





FIGURA 1.2 Variación con respecto al tiempo de v , i y p para una inductancia.

Es interesante observar a partir de la figura anterior que la potenciainstantánea en un inductor varia en el tiempo con una frecuencia igual al doble dela frecuencia del voltaje aplicado. Además, toma valores positivos y negativoscon amplitudes máximas iguales lo que lleva a concluir que la onda de potenciainstantánea tiene un valor promedio cero.

Caso similar ocurre cuando se le aplica en terminales de un capacitor unvoltaje t V v

m ω sen= , circulando a través del elemento una corriente de la forma

t I im

ω cos= , la potencia instantánea es el producto de estas dos señales, por loque se llega a la expresión (1.4), la Figura 1.3 presenta en forma gráfica lasseñales eléctricas en un capacitor.

t t I V pmm L ω ω cossen=

(1.4)

i

v

p

FIGURA 1.3 Variación con respecto al tiempo de v , i y p para una capacitancia.

De las gráficas anteriores se observa que la potencia suministrada a unelemento puramente inductivo o capacitivo es absorbida durante un cuarto de laonda de voltaje y devuelta a la fuente durante el siguiente cuarto de la onda. Sepuede decir que la potencia en estos dos elementos tiene un comportamientoreactivo, por lo que puede decirse que es una potencia reactiva. A diferencia dela potencia en un elemento puramente resistivo en el cual siempre es positiva, porlo que puede considerarse como una potencia activa.

Si ahora se analiza el comportamiento de la potencia eléctrica instantánea en

un circuito mas general, es decir, uno que contenga resistencia, inductancia ycapacitancia como se muestra en la Figura 1.4, al cual se le energiza con unaseñal de voltaje alterna del tipo t V v

m ω sen= , obteniéndose una respuesta también

alterna de la forma ( )φ ω += t I im

sen .





FIGURA 1.4 Circuito eléctrico con elementos R, L y C.

La potencia eléctrica en el circuito será entonces:

( )φ ω += t t I V p mm sensen

(1.5)

utilizando identidades trigonométricas y manipulando la ecuación anterior puedereescribirse como:

( )[ ]t sensent I V

p mm ω φ ω φ 22cos1cos2

+−=

(1.6)

La potencia instantánea se descompone en dos términos; recordando que losvalores máximos pueden ser expresados como valores eficaces utilizando larelación 2 / mV V = , por lo tanto se tiene:

( ) t sensen I V t I V p ω φ ω φ 22cos1cos +−=

(1.7)

En (1.7) se observa que la potencia instantánea oscila alrededor de un valorpromedio dado por el primer término de la expresión, con la particularidad de quenunca se hace negativa, mientras que el segundo término tiene un valor promediocero. Definiendo entonces las siguientes cantidades:

reactivaPotenciasen

activaPotenciacos

φ

φ

I V Q

I V P

=

=

(1.8)

Sustituyendo (1.8) en (1.7) se simplifica la expresión:

( ) t Qsent P p 22cos1 +−=

(1.9)





En la Figura 1.5 se tiene la variación de la potencia instantánea con respectoal tiempo, así como las variables voltaje y corriente para el circuito de la Figura1.4.

v

p

i

(a)

P

Q

p

(b)

FIGURA 1.5 Variación con respecto al tiempo de v , i y p para un circuito RLC.

En la Figura 1.5 (a) y (b) se observa que la potencia instantánea toma valores

negativos durante ciertos periodos de tiempo, indicando con esto que la energíafluye en esos momentos de la carga al generador.

De las expresiones y gráficas anteriores se puede concluir que la PotenciaActiva se define como el valor promedio alrededor del cual oscila la potenciainstantánea, por lo que representa la potencia útil, aquella que es capaz derealizar un trabajo o que se disipa en forma de calor. Mientras que la PotenciaReactiva se define como el valor pico de una de las componentes de la potenciainstantánea, cuyo valor promedio es cero y que por lo tanto no es capaz derealizar trabajo útil, pero que se desplaza continuamente del generador a la carga

y viceversa.

1.3 POTENCIA COMPLEJA

Para facilitar el análisis de comportamiento de redes eléctricas en régimenpermanente, cuando estas son excitadas por señales de tipo alterno, se desarrollouna transformación denominada fasorial, mediante la cual una función del tiposenoidal puede representarse por un número complejo denominado fasor.

Considerando el circuito eléctrico elemental mostrado en la siguiente figura:

FIGURA 1.6 Circuito eléctrico monofásico.





El voltaje y la corriente del circuito se pueden expresar en forma fasorialcomo:

( )

( )i ji I e I I

v jvV eV V

i j

v j

θ θ

θ θ

θ

θ

sencos

sencos

+==

+==

(1.10)

De acuerdo con la condición original de potencia instantánea dada por vi p = ,la potencia compleja se define como:

( )iv ji jv j e I V e I eV VI S θ θ θ θ −−∗ ===

(1.11)

En la expresión anterior se introduce un concepto que se conoce comopotencia aparente y se simboliza por la letra S . Además, de la misma expresión,el ángulo ( )iv θ θ − es el ángulo de defasamiento entre el voltaje y la corriente ( )φ ,por lo que (1.11) se puede escribir como:

jQPS

I V j I V S

+=

+= φ φ sencos

(1.12)

La relación que existe entre potencia aparente, reactiva y activa puede servisto en forma gráfica utilizando lo que se conoce como triángulo de potencia, elcual se muestra en la siguiente Figura:

FIGURA 1.7 Triángulo de potencia.

Del triángulo de potencia se obtienen las expresiones:

S

P

QPS

jQPVI S

=

+=

+== ∗

φ cos

22

(1.13)





En donde φ representa una medida de la cantidad de potencia útil que estasiendo consumida por el elemento, por lo que al φ cos se le conoce como factorde potencia, el cual al multiplicarlo por la potencia aparente, resulta en la potenciaactiva que el elemento consume.

1.4 MODELADO DE REACTORES Y CAPACITORES

La transmisión de potencia en corriente alterna presenta principalmenteproblemas de regulación de voltaje y de estabilidad. Esto obliga a buscar modosde operación de la red para resolver el problema de altos y bajos voltajes y deoperación cerca del límite de estabilidad de estado estable, situaciones que sepresentan cuando no se cuenta con los medios de compensación adecuados.

En un esquema de compensación reactiva conectado a la línea detransmisión, como primer objetivo se tiene que, lograr una operación que este

dentro de los márgenes de regulación de voltaje y de estabilidad. Como segundoobjetivo, aumentar la capacidad de transmisión de líneas ya existentes.

Un modelo típico de reactores y capacitores que se utiliza para simular suefecto es el de un elemento pasivo con un valor de impedancia fijo. Para unreactor, el cual se utiliza cuando las líneas presentan elevación de voltajecreciente desde el extremo de envío, hacia el extremo de recepción cuandooperan con flujos bajos, la expresión que representa un reactor esta dada por:

L f

V

X

V

Q L π 2

22

==

(1.14)

De la expresión anterior se observa que la potencia reactiva que consume unreactor varía proporcionalmente con el cuadrado del voltaje de operación, einversamente con la frecuencia.

De igual forma, para un capacitor la potencia reactiva esta dada por:

C f V X V QC

π 222

−=−=

(1.15)

En donde la dependencia de la potencia reactiva es proporcional al cuadradodel voltaje y a la frecuencia de operación del sistema.





1.5 MODELADO DE TRANSFORMADORES

Los transformadores constituyen los elementos de unión entre redes eléctricas dediferente nivel de tensión. La función primordial que desempeñan consiste enelevar los voltajes de generación a los niveles de transmisión que son requeridospara disminuir pérdidas; y en los puntos de carga disminuir los voltajes detransmisión hasta los niveles adecuados para las redes de distribución. Medianteestos equipos se logra principalmente el control sobre el voltaje y la distribuciónde potencia reactiva, aun cuando algunos diseños especiales permiten ciertocontrol sobre la potencia activa.

De acuerdo a la ley de Faraday, si se enrolla un segundo conductor en elnúcleo de material ferromagnético se obtendrá una fuerza electromotriz inducidaen las terminales de dicho conductor.

FIGURA 1.8 Representación esquemática de un transformador monofásico.

1.5.1 Circuito equivalente del transformador monofásico

En esta sección se presenta el desarrollo del circuito equivalente deltransformador monofásico, basado en una formulación matricial. No se modelanlos efectos de la corriente de excitación, debido a que no influye sustancialmenteen los estudios de flujos y fallas. La Figura 1.9 muestra el circuito equivalente deun transformador monofásico.

FIGURA 1.9 Circuito equivalente de un transformador monofásico.





Donde:ZH Impedancia del devanado HZX Impedancia del devanado Xe,e’ Voltajes inducidos en los devanadosnH Número de vueltas del devanado H

nX Número de vueltas del devanado X

La relación de transformación se define en función del número de vueltas decada devanado o de los voltajes a circuito abierto como sigue:

X

H

X

H

V

V

n

na ==

(1.16)

Considerando un transformador ideal, en el cual se mantiene el balance depotencia en ambos lados del transformador, es decir,

∗∗ = X X H H I V I V por lo que la

relación de transformación puede también expresarse como:

H

X

H

X

I

I

I

I a ==

∗

∗

(1.17)

De la relación de transformación y del circuito de la Figura 1.9 se obtienen lassiguientes relaciones entre las variables de los devanados:

H X I a I =

(1.18)

eae ='

(1.19)

X X X V Z I e +=

(1.20)

'e Z I V H H H +=

(1.21)

Sustituyendo (1.18) y (1.20) en (1.19):

X X H aV Z I ae += 2'

(1.22)

Sustituyendo (1.22) en (1.20):

( )

X H HX H

X H X H H

X X H H H H

aV I Z V

aV I Z a Z V aV Z I a Z I V

+=

++=++= 2

2

(1.23)

donde:

X H HX Z a Z Z 2+=

(1.24)





La impedancia Z HX es la impedancia total del transformador medida desde ellado H. El circuito equivalente que representa la expresión (1.23) se muestra enla Figura 1.10, además, si se desea conocer la impedancia del transformadormedida desde el lado X, se sigue un procedimiento similar al anterior llegando a:

( ) H X XH Z a1 Z Z

2

/ += (1.25)

FIGURA 1.10 Circuito equivalente con la impedancia referida al lado H.

Siempre será posible agrupar la impedancia de los dos devanados en unosólo de ellos por medio de las ecuaciones (1.24) y (1.25). Un caso más generales el que contempla la posibilidad de tener cambio de tap en ambos devanadosdel transformador, como se muestra en forma reducida en la siguiente figura:

FIGURA 1.11 Representación unifilar del transformador con taps en ambos devanados.

Para este transformador con dos taps, se encontrará un circuito equivalenteutilizando la técnica de superposición de efectos, que consiste en alimentar unvoltaje en una terminal, aterrizar las restantes y encontrar la inyección de corrienteen cada una de las terminales. En la Figura 1.12 el valor de impedancia deltransformador se ha convertido en admitancia, con el objeto de formar masfácilmente el circuito equivalente del transformador, construyendo la matriz deadmitancias correspondiente.





Alimentando en la terminal a del circuito, se tienen las condiciones mostradasa continuación:

FIGURA 1.12 Representación del transformador monofásico.

Si para el circuito de la Figura anterior se considera por convención que lascorrientes entrando a cada nodo son positivas, se tiene:

V a

y I =1

d c I I V ba

y

b

I I I =−==== 1

24

ba I I V

a

y

a

I I I −=====

2

135

(1.26)

El vector de corrientes es entonces:

V

ba y

ba y

a y

a y

I

I

I

I

d

c

b

a

−

−=

/

/

/

/ 2

2

Al excitar con un voltaje V cada una de las terminales del transformadormonofásico, se obtienen las columnas de la matriz de admitancias deltransformador en forma independiente. Ordenando cada una de las columnasdentro de una matriz se obtiene:

−−

−−

−−

−−

22

22

22

22

/ / / /

/ / / /

/ / / /

/ / / /

b yb yab yab y

b yb yab yab y

ab yab ya ya y

ab yab ya ya y





Por inspección de esta matriz de admitancias se construye el circuitoequivalente que se muestra en la Figura 1.13. Este circuito equivalente resultaadecuado para modelar al transformador monofásico en estudios de flujos y fallas,incluyendo los efectos de taps en ambos devanados.

FIGURA 1.13 Equivalente del transformador monofásico con taps en ambos devanados.

Para el caso particular de que las terminales b y d se encuentran aterrizadas,

desaparecen la segunda y cuarta columnas, así como los respectivos renglonesde la matriz de admitancias, por lo que se reduce a la forma siguiente:

−

−2

2

b yab y

ab ya y

/ /

/ /

Nuevamente, por inspección se llega al siguiente circuito:


Para analizar el efecto del cambio de tap en uno de los devanados seconsidera que tap en el otro devanado permanece sin cambio. Si el tap en el ladoc-d es unitario, b=1, el circuito equivalente de la Figura 1.14 se simplifica almostrado a continuación:

FIGURA 1.15 Equivalente del transformador monofásico con tap en un devanado.





Analizando las ramas del circuito equivalente de la Figura 1.15 se puedeobservar que dependiendo de la posición del cambiador de tap se tienen unarama en derivación con comportamiento capacitivo y otra con comportamientoinductivo, o viceversa. En la Tabla 1.1 se muestra la naturaleza de las ramas delcircuito equivalente para diferentes valores de la relación de transformación.

Tabla 1.1Rama a<1 a>1

y0 Inductiva Inductivay1 Inductiva Capacitivay2 Capacitiva Inductiva

El flujo de potencia reactiva en el transformador estará gobernado por laposición del cambiador de tap. Cuando la posición del tap sea diferente a lanominal, la tendencia natural del flujo de potencia reactiva será desde la rama

capacitiva hacia la rama inductiva, a menos que las condiciones del sistemaimpongan otra restricción.

1.5.2 Circuito equivalente del transformador trifásico

Un banco trifásico es la interconexión de tres unidades monofásicas para formarla unidad trifásica. Por ejemplo, en la Figura 1.16 se muestra una unidad trifásicacon conexión delta-estrella. La conexión del transformador se representa enforma vectorial como se muestra en la Figura 1.17.

FIGURA 1.16 Conexiones de un transformador en conexión delta-estrella.





FIGURA 1.17 Diagrama vectorial de la conexión delta-estrella.

Donde las líneas paralelas en el diagrama vectorial indican las conexionesmagnéticas entre primario y secundario del transformador trifásico, de tal maneraque la fase A-B de la delta está magnéticamente acoplada con la fase a-n de laestrella; B-C con la fase b-n y C-A con c-n; y así, con esta representación, y con elcircuito equivalente generalizado de un transformador monofásico se parte paramodelar una banco trifásico compuesto de tres unidades monofásicas.

1.5.3 Conexión estrella-estrella aterrizada

Para modelar este tipo de conexión, Figura 1.18, se parte del modelado deltransformador monofásico.

FIGURA 1.18 Circuito equivalente de la conexión estrella-estrella.

La matriz de admitancias del circuito mostrado en la figura anterior se

construye por inspección y resulta:





+−−−−

−+−−−

−−

−−

−−

−−

−−

−−

l yb yab yb yb yb yab yab yab y

ab y ya yab yab yab ya ya ya y

b yab yb yab y

b yab yb yab y

b yab yb yab y

ab ya yab ya y

ab ya yab ya y

ab ya yab ya y

n

N

c

b

a

C

B

A

g

2222

2222

22

22

22

22

22

22

/ 3 / 3 / / / / / /

/ 3 / 3 / / / / / /

/ / / /

/ / / /

/ / / /

/ / / /

/ / / /

/ / / /

Aplicando el método de reducción de Kron para eliminar los neutros, seobtiene una matriz equivalente de la forma:

=

333222

333222

333222

222111

222111

222111

DF F DF F

F DF F DF

F F DF F D

DF F DF F

F DF F DF

F F DF F D

c

b

a

C

B

A

Yeq

(1.27)

en donde:

1 / 12

F a y D += 2 / 2 F ab y D +−= 3 / 32

F b y D +=

α

22

2

4

2

1 ba

y y

a

y y

F

g−−

=

l

α

3

2

3

2

2 ab

y y

ba

y y

F

g+

=

l

α

4

2

22

2

3 b

y y

ba

y y

F

g−

=

l

( ) ll

y yb ya yba

ygg

++= 22

22

3α

De esta manera el sistema de ecuaciones resulta:

[ ]

=

abc

ABC

abc

ABC

V

V Yeq

I

I

(1.28)

Separando las ecuaciones I ABC de I abc en la ecuación (1.28) y aplicando latransformación de componentes simétricas resultan:

−

−

+−

+

+

=

2

1

0

2

1

0

2

2

2

2

1

0

/

/

23 /

/

/

13 /

Q

Q

Q

P

P

P

P

P

P

V

V

V

ab y

ab y

F ab y

V

V

V

a y

a y

F a y

I

I

I

(1.29)





+

+

−

−

+−

=

2

1

0

2

2

2

2

1

0

2

1

0

/

/

33 /

/

/

23 /

Q

Q

Q

P

P

P

Q

Q

Q

V

V

V

b y

b y

F b y

V

V

V

ab y

ab y

F ab y

I

I

I

(1.30)

Extrayendo las ecuaciones de secuencia positiva de (1.29) y (1.30) se tiene:

−

−=

1

1

2

2

1

1

/ /

/ /

Q

P

Q

P

V

V

b yab y

ab ya y

I

I

(1.31)

La matriz de admitancias resulta idéntica a la de un transformador monofásicocon dos terminales aterrizadas. El circuito equivalente es el siguiente:

FIGURA 1.19 Circuito equivalente de secuencia positiva.

1.5.4 Transformador de tres devanados

En la Figura 1.20 se muestra un diagrama del circuito equivalente de un

transformador de tres devanados que se designan como primario p , secundario s y terciario t . Las tres impedancias se pueden medir mediante las pruebas decorto circuito. Las impedancias son medidas en el lado al cual se le aplica elvoltaje y se denominan como:

Z ps Impedancia medida en el primario, con el secundario en corto circuito y el terciario

abierto.

Z pt Impedancia medida en el primario, con el terciario en corto circuito y el secundario

abierto.

Z st Impedancia medida en el secundario, con el terciario en corto circuito y el primario

abierto.





FIGURA 1.20 Circuito equivalente de un transformador de tres devanados.

Si las tres impedancias medidas en ohms se refieren al voltaje de uno de losdevanados, las impedancias de cada devanado por separado, referidas al mismodevanado, están relacionadas con esas impedancias medidas y referidas comosigue:

t sst

t p pt

s p ps

Z Z Z

Z Z Z

Z Z Z

+=

+=+=

(1.32)

En donde Z p , Z s y Z t son las impedancias de los devanados primario,secundario y terciario, referidas al circuito primario si Z ps , Z pt y. Z st son lasimpedancias medidas referidas al circuito primario. Resolviendo las ecuaciones,se obtiene:

( )( )

( ) psst pt t

pt st pss

st pt ps p

Z Z Z Z

Z Z Z Z

Z Z Z Z

−+=

−+=

−+=

2

1

2

1

2

1

(1.33)

Las impedancias de los tres arrollamientos están conectadas en estrella pararepresentar el circuito equivalente monofásico del transformador de tresdevanados, despreciando la corriente magnetizante.

p

st

Zp

Zs

Zt

p

st

Zp

Zs

Zt

Circuito equivalente de un transformador de tres devanados.





1.6 MODELADO DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN

Las líneas de transmisión ocupan un lugar importante en la operación de una redeléctrica. Tanto por el número, como por la extensión territorial que abarcan,constituyen los elementos del SEP que están sujetos a un mayor riesgo de falla.Por otro lado, aun cuando se conoce de manera práctica el comportamiento delíneas de transmisión típicas, ya sea por medio de curvas de cargabilidad o porexperiencia operativa, la gran diversidad de condiciones de operación del SEPexige la obtención de modelos que la representen adecuadamente y que permitanobtener resultados de simulación confiables.

1.6.1 Conductores Compuestos y el Radio Geométrico

Los conductores compuestos o haces de conductores son utilizados confrecuencia en líneas de transmisión de alto voltaje. Este recurso es más utilizado

que el uso de conductores expandidos que utilizan un relleno de papel entre susdiferentes capas de aluminio y acero para incrementar el radio del conductor,reducir de esta manera el gradiente de potencial en la superficie del conductor y asu vez el efecto corona.

FIGURA 1.21 Disposición geométrica de conductores en un haz.

B Espaciamiento entre conductores adyacentesR Radio del haz de conductoresN Número de subconductores en un haz

Para un gran número de aplicaciones y en los cálculos correspondientes ahaces formados por N subconductores, se puede reemplazar el arreglo por unconductor único con un radio equivalente. A este radio equivalente se le conocecomo radio medio geométrico o simplemente radio equivalente y se calcula de lasiguiente manera, como lo indica (1.34).

N

π 2

R

B





N

eq R

r N Rr

1

**

=

(1.34)

r Radio de cada subconductor, suponiendo N subconductores igualesR Radio de la circunferencia de la configuración del haz

La ecuación anterior describe el radio equivalente de una configuración deconductores, se considera que el ordenamiento de los conductores esequidistante de manera que una circunferencia imaginaria pase a través de los N subconductores del haz.

Por ejemplo, para calcular el radio medio geométrico de un haz deconductores de una línea de alto voltaje, 1,000 kV, que tiene seis subconductoresde diámetro de 4.6 cm cada uno y una distancia B = 12 d , de separación entre

subconductores adyacentes, en configuración circular, y cada subconductorseparado de conductores adyacentes en 60 grados.

Si se observa la Figura 1.21, se tiene que para seis subconductores, el radio R esigual a la distancia B , que hay entre conductores adyacentes, de modo que elradio equivalente se calcula por:

( )( )[ ] .4381.0046.0122

046.066 6

56 5mts Rr r eq

=

==

A medida que el número de subconductores se incrementa, el radioequivalente también aumenta, acercándose al radio R de la configuración del hazde conductores.

1.6.2 Resistencia Equivalente

Las líneas de alto voltaje son siempre conductores trenzados y generalmente losconductores más utilizados son de aluminio con refuerzo de acero (ACSR) oconductor de aluminio con refuerzo de aluminio (ACAR). Si se utiliza refuerzo deacero, debido a su alta permeabilidad e inductancia, la corriente tiende a circularpor los hilos de aluminio externos, de modo que en los conductores tipo ACAR la

sección transversal es mejor utilizada.

FIGURA 1.22 Conductor trenzado 26 Al/7 Fe, en dos capas cada uno.

Diámetro total





La resistencia de un conductor trenzado por cada kilómetro puede calcularsemediante la siguiente ecuación:

4*

10*05.1*

2

3

ss

a nd

R

π

ρ =

(1.35)

ρ a Resistencia específica del aluminio, en ohms-km a una temperatura Td s Diámetro de cada hilo en metrosn s Número de hilos de aluminio

El factor de valor 1.05 toma en cuenta el incremento en la longitud del hilodebido al trenzado, considerando así un 5 % de aumento en la longitud efectiva.

Los efectos de la resistencia en conductores de alto voltaje se pueden listar

como: • Pérdidas en la transmisión por calentamiento I 2 R .• Reducción de la capacidad de conducción de corriente en regiones

geográficas con altas temperaturas ambientales.• Afecta la atenuación de la onda viajera debida a descargas

atmosféricas y operaciones de maniobra.

1.6.3 Efecto Inductivo

El efecto inductivo de conductores que llevan una corriente alterna se puede

dividir en un efecto interno al conductor y otra porción debida al flujo magnéticoexterior que se establece por la corriente que lleva el conductor.

1.6.3.1 Inductancia debida al flujo interno

La inductancia debida al flujo interno es la inductancia resultante al considerar elefecto piel del conductor.

FIGURA 1.23 Sección transversal de un conductor de radio r .





A una distancia Y del centro de conductor de radio r , donde Y < r , como lomuestra la Figura 1.23, la Ley circuital de Ampere está dada por:

∫ =⋅encerrada

I dL H

(1.36)

donde:

H es la intensidad del campo magnético

Considerando una densidad de corriente uniforme J , la corriente encerradahasta la distancia Y es:

2

2

r

I Y I Y =

(1.37)

Entonces:

2

2

2r

I Y Y H dL H Y ==⋅∫ π

(1.38)

La densidad de energía almacenada en el campo magnético es:

32

42

0

22

0 / 82

1m JoulesY

r

I H w r

Y r Y π

µ µ µ µ ==

(1.39)

Además, la energía total almacenada en el campo magnético, hasta el radio r ,se puede calcular como:

20

00

2

162

2

1 I dY wY dW I L r

r

Y

r

iπ

µ µ π === ∫∫

(1.40)Consecuentemente:

m H L r i /

8

0

π

µ µ =

(1.41)

1.6.3.2 Inductancia en una linea de dos conductores.

Si se considera dos conductores, cada uno de radio r y con una separación entre

centros dada por D , conduciendo una corriente I y –I , se obtiene la expresión delos enlaces de flujo e inductancia.

Se puede considerar que el mismo efecto se puede obtener con un conductorúnico a una altura H = D/2 sobre el plano de tierra. Observando que una línea deflujo, externa a ambos conductores enlaza una corriente total cero, de modo quela intensidad de campo magnético es cero. Por lo tanto, todo el flujo existe entrelos dos conductores, desde r hasta D - r .





Los enlaces de flujo del conductor 1, tiene dos componentes, la primeradebida a la corriente I, sin considerar el flujo interno.

−=== ∫∫

−−

r

r D I

x

dx I d r

r D

r

r

r D

r

ln22

00

1111π

µ µ

π

µ µ ψ ψ

(1.42)

Al tomar en cuenta el efecto de la corriente en el segundo conductor y por laregla de Fleming, la cual muestra que el flujo debido a la corriente en el segundoconductor está en la misma dirección que el establecido por la corriente en elprimer conductor. Entonces se encuentra que el flujo que enlaza al primerconductor, debido al segundo conductor, está dado por:

−== ∫

−

r

r D I d r

r D

r

ln2

01212

π

µ µ ψ ψ

(1.43)

El flujo total que enlaza al primer conductor debido a las dos corrientes estádado por:

≈

−=+

r

D I

r

r D I r r lnln 00

1211π

µ µ

π

µ µ ψ ψ

(1.44)

Entonces, la inductancia de cualquiera de los conductores se encuentra pormedio de:

m H r

D L r / ln0

=

π

µ µ

(1.45)

Para incluir el efecto completo de los haces de conductores se sustituye alradio r por el valor del radio geometrico medio, RMG.

1.6.3.3 Coeficientes de maxwell

Para líneas con múltiples conductores, se considera una permeabilidad relativa µr

= 1 en (1.45),

= −

r

H x L

2ln102 7 (H/m), donde el factor

= r

H P

2ln es conocido

como Coeficiente de Maxwell.

Cuando varios conductores se encuentran a diferentes alturas sobre el planode tierra, cada uno con su propia corriente, el sistema de n conductores se puede





analizar como n conductores en el espacio y sus respectivas imágenes bajo tierra,conduciendo la misma corriente pero en dirección opuesta.

FIGURA 1.24 Distancias en líneas multiconductores, con sus respectivas imágenes.

Los enlaces de flujo de cualquier conductor en una línea trifásica, tiene trescomponentes: una componente debida a su propia corriente que se puedecalcular por (1.42), y usando la permeabilidad relativa µ r = 1.

=

r

H I

2ln

21

011

π

µ ψ

(1.46)

Usando el radio medio geométrico D s , en lugar de r se tomará en cuenta elflujo interno del conductor, que es la segunda componente del flujo total.Considerando solamente las líneas de flujo que enlazan al conductor, perodebidas a la corriente que circula en el segundo conductor y su imagen, peroignorando la presencia del resto de los conductores, se puede calcular la tercercomponente del flujo por medio de:

=

−= ∫∫

∞∞

12

122

022

012 ln

221212

A

I I

x

dx I

x

dx I r

I A

r

π

µ µ

π

µ µ ψ

(1.47)

El coeficiente mutuo de Maxwell, entre los conductores 1 y 2, deberá ser

=

12

1212 ln

A

I P .

En general, es evidente que los coeficientes mutuos de Maxwell, para losenlaces de flujo del conductor i con el conductor j (y viceversa), se puedencalcular mediante:

......,,3,2,1,,ln n ji A

I P

ij

ij

ij =

=

(1.48)

I 1

H 1 H 2

2H 1

A12





Así, para un sistema de n conductores, fases en el caso polifásico o polos enel caso de transmisión en CD, la matriz de enlaces de flujo queda expresadamediante:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]nnxnnnxn

r n I L I P ==Ψ

π

µ µ

2

0

(1.49)Al considerar haces de conductores, el denominador de los coeficientes de

Maxwell, debe sustituirse por un radio equivalente, radio medio geométrico, bajolas siguientes consideraciones.

El espaciamiento B , entre subconductores adyacentes de un haz deconfiguración circular de radio R , es pequeño comparado con la altura H de losconductores de fase, sobre el plano de tierra.

La corriente total en un haz es I y la corriente en cada subconductor es i = I/N .

Observando las ecuaciones para el valor de la inductancia, se tiene que alincrementar el número de subconductores en un haz, el radio equivalente seincrementa como lo muestra (1.34).

El coeficiente de Maxwell, dado por (1.48), se reduce dada la relación inversarespecto del radio equivalente, y por tanto la inductancia propia de cada fasedisminuye.

1.6.4 Efecto Capacitivo

Bajo la consideración de dos conductores separados una distancia D = 2 H , conuna carga de Q Coulombs/m y de polaridad opuesta, la fuerza ejercida sobre unacarga de prueba positiva de valor unitario, colocada en un punto F a una distanciax del conductor 1, esta dada por:

Newtons x H x

Q E F

−+=

2

11

2 0ε π

(1.50)

En consecuencia, se puede calcular la diferencia de potencial entre los dosconductores por medio de (1.51). Por simetría se puede determinar la diferenciade potencial entre el conductor y el plano de tierra, (1.52).

Volts2

ln2

ln2

11

2 00

2

0

≈

−=

−+= ∫

−

r

H Q

r

r H Qdx

x H x

QV

r H

r ε π ε π ε π

(1.51)

==

r

H QV V

g

2ln

25.0

0ε π

(1.52)





Como el logaritmo natural de 2H/r , está multiplicado por un coeficiente de lacarga en el conductor (Q/2 π ε 0 ), a este factor se le conoce como coeficiente depotencial de Maxwell. El coeficiente es el mismo que el usado para el cálculo dela inductancia. Se puede usar la Figura 1.24 del cálculo de inductancias paralíneas multiconductores, pero aplicada ahora para el cálculo de capacitancias.

++

+

=

++

+

=

r

H Q

A

I Q

A

I QV

A

I Q

A

I Q

r

H QV

nn

n

n

n

n

n

n

nn

2ln

2...........ln

2ln

2

ln2

...........ln2

2ln

2

02

2

0

2

1

1

0

1

1

1

012

12

0

21

0

11

ε π ε π ε π

ε π ε π ε π

MM

MM

(1.53)

En forma matricial:

[ ] [ ] [ ] 1

0

12

1 nxnxnnx QPV ε π

=

(1.54)

La matriz de capacitancias de un sistema de n conductores es:[ ] [ ] [ ] M PC

nxnnxn 0

1

0 22 ε π ε π == −

(1.55)

Dado que:

[ ] [ ]nxnnxn

P Lπ

µ

2

0=

(1.56)

Entonces:

[ ][ ] [ ] [ ]U c

U C L200

1== ε µ

(1.57)

Donde [U ] es la matriz unitaria, y c es la velocidad de la luz en el vacío, 3x105 km/seg.

1.6.5 Representación de líneas

Las líneas de transmisión pueden ser modeladas por un sencillo circuito cuandosu longitud no es demasiado larga, para lo cual es suficiente conocer R, L y Ccomo parámetros concentrados logrando suficiente exactitud en el modelo. Sinembargo, para líneas con una longitud considerable, requieren de cálculos entérminos de constantes distribuidas para lograr un alto grado de exactitud.





1.6.5.1 Línea de transmisión de longuitud media

En los cálculos de una línea de longitud media se incluye la admitancia paralelo.Si se divide en dos partes iguales la admitancia paralelo total de la línea y cadauna se coloca en los extremos, se obtiene el llamado circuito π ππ π nominal , comose muestra en la Figura 1.25.

FIGURA 1.25 Circuito π nominal de una línea de longitud media.

Del circuito de la Figura anterior se pueden establecer las siguientesrelaciones entre voltajes y corrientes:

r r ss

r r r r r s

I Y

V Y

V I

ZI V ZY

V Z I Y

V V

++=

+

+=+

+=

22

122

(1.58)

Al sustituir V s , se obtiene:

r r s I ZY ZY

Y V I

++

+= 1

21

4

(1.59)

La ecuación (1.58) puede escribirse entonces como:

r r s

r r s

DI CV I

BI AV V

+=

+=

(1.60)

en donde:

Y ZY

C Z B ZY

D A

+==+== 1

4,,1

2

Las constantes A, B, C y D son las constantes generalizadas de circuito de lalínea de transmisión.





1.6.6 Línea de transmisión larga

Para una mejor representación de una línea de transmisión, es necesario tomaren cuenta que los parámetros de la línea están distribuidos uniformemente entoda su longitud. Una forma comunmente utilizada es la suposición de que lalínea está compuesta por n circuitos π equivalentes conectados en cascada; comolo muestra la Figura 1.26. El análisis se efectuá a través de un elementodiferencial de la línea, a una distancia x del extremo de recepción.

FIGURA 1.26 Línea de transmisión con parámetros distribuidos.

Con este procedimiento, el modelo del elemento diferencial de la línea tendrácomo parámetros a z dx e y dx , elementos serie y en derivación respectivamente.V e I son los fasores de voltaje y corriente que varían con x . En la Figura 1.27, semuestra una sección elemental para la línea de transmisión que se modela conparámetros distribuidos. El objetivo es escribir las ecuaciones del circuitoequivalente.

( ) V dx

ydV dx

yV dx

ydV V dx ydI

I dx zdI dx

z I dx zdI

I dx zdV

22222

22

≈+=+=

≈+=

+=

(1.61)

FIGURA 1.27 Sección elemental de la línea de transmisión.

Despejando dx de las ecuaciones anteriores, se tiene:





( )

( )abcabcabc

abcabcabc

t X V Y X

I

t X I Z X

V

,

,

=∂

∂

=∂

∂

(1.62)

Derivando respecto a x y sustituyendo:

( )

( )abcabcabcabc

abcabc

abcabcabcabc

abcabc

t X I Z Y X

V Y

X

I

t X V Y Z X

I Z

X

V

,

,

2

2

2

2

=∂

∂=

∂

∂

=∂

∂=

∂

∂

(1.63)

Se tiene una ecuación diferencial homogénea de la forma dada por:

0'' =− Y aY

(1.64)

La solución a (1.64) tiene la forma siguiente:

X S X S e Ae AY 11

21

−+=

Donde:

aS ±=2,1

Al substituir la solución en las ecuaciones de las primeras derivadas, paradeterminar las constantes de la solución propuesta:

( ) x zy x zy x zy x zy

e Ae A zydx

e Ae Ad I z

dx

dV −−

−=+

== 2121

(1.65)

Despejando la corriente:

( ) x zy x zye Ae A

z

zy I

−−= 212

(1.66)

Si se toma como referencia el extremo receptor, cuando X = 0, V = V R e I=I R :

( ) ( )2121

21

11 A A

Z A A

y

z I

A AV

C

R

R

−=−=

+=

(1.67)

y z Z C / = es la impedancia característica de la línea de transmisión.





Se despeja y se substituye para encontrar los valores de los coeficientes:

2221

RC R RC R I Z V

A y I Z V

A −

=+

=

(1.68)

Entonces, las ecuaciones quedan finalmente como:

x

C

RC R x

C

RC R

x RC R x RC R

e Z

I Z V e

Z

I Z V I

e I Z V

e I Z V

V

γ γ

γ γ

−

−

−+

+=

−+

+=

22

22

(1.69)

β α γ j y z +==

(1.70)

Con γ como constante de propagación. Con α como constante deatenuación, se mide en nepers/km, y representa la atenuación exponencial de laonda electromagnética por unidad de longitud. β es la constante de fase, se mideen radianes/km, y representa un cambio de fase de β radianes por cada unidad delongitud que recorre la onda electromagnética.

x j x RC R x j x RC R ee I Z V

ee I Z V

V β α β α −−−+

+=

22

(1.71)

Se puede definir un voltaje E’ y E’’ :

x j x RC R

x j x RC R

ee I Z V

E

ee I Z V

E

β α

β α

−−−=

+=

2''

2'

(1.72)

Al voltaje E’ se le conoce como voltaje incidente y a E’’ como voltaje reflejado.

La longitud de onda entre dos puntos que difieren en 2 π radianes se le conocecomo λ y tiene unidades de longitud. La velocidad de propagación de la onda es

η . m

β

π λ

2=

(1.73)

segm f

f / 2

β

π λ η ==

(1.74)





Una forma común de escribir las ecuaciones, es en forma hiperbólica:

2

cosh

2sen

θ θ

θ θ

θ

θ

−

−

+=

−=

ee

eeh

(1.75)

Entonces:

( )

( ) ( )

( ) ( ) xV x Z I V

eeV

x Z I V

eV ee I Z V

V

e I Z V

e I Z V

V

RC R

x x RC R

x

R

x x RC R

x RC R x RC R

γ γ

γ γ γ

γ γ γ

γ γ

coshsenh

2senh

2

22

+=

++=

+−+

=

−+

+=

−

−−

−

(1.76)De la misma manera, para la corriente se tiene.

( ) ( ) xsenh Z

V x I I

C

R R γ γ += cosh

(1.77)

Para una longitud total de la línea d , las ecuaciones que relacionan el voltaje yla corriente en los extremos de envío y recepción son:

( ) ( )

( ) ( )d Z

V d I I

d Z I d V V

C

R RS

C R RS

γ γ

γ γ

senhcosh

senhcosh

+=

+=

(1.78)

El circuito π equivalente, para una línea de transmisión de parámetrosdistribuidos es mostrado en la Figura 1.28.

FIGURA 1.28 Equivalente π de la línea de transmisión, parámetros distribuidos.





Donde:( )

=

=

2

1

2

senh

d tanh

Z

Y

d Z Z

C

o

C o

γ

γ

(1.79)

Aplicando la teoría de redes de dos puertos, se establece que cualquier señalde entrada o de salida puede expresarse como una combinación lineal.

FIGURA 1.29 Red de dos puertos.

=

+=

+=

r

r

s

s

r r s

r r s

I

V

DC

B A

I

V

I DV C I

I BV AV

(1.80)

Al resolver los circuitos equivalentes, para el circuito de la Figura 1.27, seobtiene:

000 12

Ro Roo

S I Z V Z Y

V +

+=

000

0 122

22

Roo

Roo

S I Z Y

V Y

Z Y

I

++

+=

(1.81)

Al sustituir los valores para Z o y Y o /2 , se obtiene que las constantes ABCD dela red de dos puertos quedan de la siguiente forma:

( )

( )

( )

( )d D

d Z

C

d Z B

d A

C

C

γ

γ

γ

γ

cosh

senh1

senh

cosh

=

=

=

=

(1.82)





Despejando las variables del extremo de recepción:

( ) ( )

( ) ( )

−

−

=

=−

−

−

−=

=

−

−

s

s

C

C

r

r

s

s

r

r

I

V

d d Z

d Z d

I

V

BC AD

AC

B D

BC AD DC

B A

I

V

DC

B A

I

V

γ γ

γ γ

coshsenh1

senhcosh

1

11

1

(1.83)

1.7 MODELADO DEL GENERADOR SÍNCRONO

1.7.1 Introducción

La máquina síncrona trifásica esta formada por una parte fija donde seencuentran tres devanados espaciados 120 grados eléctricos y los cuales sonexcitados con corriente alterna. Esta parte se conoce como estator o armadura, yde una parte móvil conocida como rotor en la que se tiene un devanado excitadocon corriente directa y en estado estable gira a velocidad constante. En la figura1.30 se muestran las partes de una máquina síncrona de dos polos.

FIGURA 1.30 Máquina síncrona de dos polos

El generador puede clasificarse en dos tipos debido al rotor: generador derotor cilíndrico o de polos lisos y generador de polos salientes. El primero se

Eje de campo

(CD)

RotorEntrehierro

Eje de la faseA

Eje de la fase B Eje de la fase C

a a’

b’

c’ b

c

Estator

f I





caracteriza por tener un entrehierro constante entre rotor y estator, por lo tanto lareluctancia del circuito magnético por el que circula el flujo resultante de armaduraes constante. En el segundo la reluctancia no es uniforme, esta varía de acuerdoa la posición del rotor. En la figura 1.31 se muestran los dos tipos de rotor.

GENERADOR DE POLOS SALIENTES

4 polos

GENERADOR DE POLOS LISOS(ROTOR CILÍNDRICO)

4 polos

N N

S

S

N N

S

S

GENERADOR DE POLOS SALIENTES

4 polos

GENERADOR DE POLOS LISOS(ROTOR CILÍNDRICO)

4 polos

N N

S

S

N N

S

S

FIGURA 1.31 Tipos de rotores

1.7.2 Generador de polos lisos (rotor cilíndrico)

En la figura 1.32 se muestra el circuito equivalente de un modelo simplificado degenerador síncrono de polos lisos para el análisis de estado estable.

FIGURA 1.32 Circuito equivalente y diagrama fasorial del generador síncrono de polos lisos.

La ecuación de voltajes del circuito es:

I jX RV E sa

rrr

)( ++=

(1.84)

donde:Voltaje interno.Resistencia de armadura.Reactancia síncrona.Voltaje de terminales.

a R

E r

I r

V r

s jX

I r

E

r

V r

φ I Ra

r

δ I jX s

r

= E r

=s

X

=V r

=a R





En (1.84) se utiliza notación fasorial, esto es:o

r0∠=V V δ ∠= E E

r

La magnitud del voltaje interno es proporcional a la corriente de campo:

f I k E =

La potencia compleja en terminales se obtiene al desarrollar (1.85):∗= I V S

(1.85)

Considerando que la impedancia de la maquina está dada como:

α ∠=+= Z jX R Z sa

r

(1.86)

donde:22

sa X R Z +=

s

a

X

Rtan

1−=α

Las componentes activa y reactiva de la potencia generada resultan:

α δ α

α δ α

sen)sen(

cos)cos(

2

2

Z

V

Z

VE Q

Z

V

Z

VE P

−−=

−−=

(1.87)

Generalmente los valores de la resistencia de armadura son muy pequeñoscomparados con los valores de la reactancia síncrona, por lo que es usualeliminar la resistencia de las expresiones (1.87), resultando:

[ ]V E X

V Q

sen X

VE P

s

s

−=

=

δ

δ

cos

(1.88)

Considerando que V y E se mantienen constantes, las potencias activa y reactivadependen solamente del ángulo δ, el cual se define positivo para la condición enque E está adelantado con respecto a V.





1.7.3 Generador de polos salientes

En el modelo del generador de polos salientes se distinguen dos trayectorias deflujo magnético; una que esta alineada con el eje de los polos (eje directo) y otra a90 grados eléctricos de la primera, (eje en cuadratura). La reactancia síncrona sepresenta ahora por las componentes X d y X q sobre estos ejes. En la figura 1.33 semuestra el diagrama fasorial de las variables del generador proyectadas sobre losejes d y q. Se ha supuesto que el valor de la resistencia de armadura esdespreciable.

FIGURA 1.33 Diagrama fasorial del generador síncrono de polos salientes

Las componentes de la corriente se pueden obtener mediante:

qq

d

d

X

Vsen

I

X

V E I

δ

δ

=

−=

cos

(1.89)

La componente real de la corriente de armadura puede expresarse entérminos de las corrientes I d e I q de la figura 1.33 como sigue:

δ δ φ sencoscos d q I I I

deabac

+=

+=

(1.90)

Por la definición de potencia activa y sustituyendo (1.90).

)sencos(

cos

δ δ

φ

d q I I V P

VI P

+=

=

(1.91)

I r

E r

d d X jI V r

φ

δ

d I

q I

qq X jI δ

a

b

c

d

e





Sustituyendo (1.89) en (1.91) y simplificando se obtiene:

)2sen()11

(2

sen2

δ δ d qd X X

V

X

VE P −+=

(1.92)

En una forma similar se deriva la expresión para la potencia reactiva.

)11

(2

)2cos()(2

cos22

qd qd

qd

d X X

V

X X

X X V

X

VE Q +−

−+= δ δ

(1.93)

El segundo término de (1.92) es conocido como la potencia de saliencia, elcual no aparece en la ecuación (1.88) del generador de polos lisos.

1.7.4 Curva de capabilidad del generador de polos lisos (rotor cilíndrico)

Un generador síncrono es capaz de generar potencia activa y reactiva dentro decierto rango de valores. Los límites de generación se pueden alcanzar cuando seopera a la máxima temperatura permitida en algún elemento del generador. Laelevación de la temperatura depende de la disipación de las pérdidas en el hierroy en los devanados. Las pérdidas en el hierro son prácticamente constantes; porlo que el límite de temperatura y por lo tanto los límites de capacidad dependende las pérdidas en los devanados del generador. Los puntos (P,Q) quecorresponden a los límites de operación definen lo que se conoce como carta deoperación o curva de capabilidad del generador síncrono.

La curva de capabilidad de un generador se deriva de manera simplificada sintomar en cuenta el efecto de saturación y despreciando la resistencia ycapacitancia en los devanados. Cuando la máquina síncrona opera en sus valoresnominales, es decir; valores a los cuales los devanados y el núcleo alcanzan latemperatura de régimen de diseño, se obtienen las fronteras de la región deoperación dentro de la cual la máquina no sufre daño ni envejecimientoprematuro.

La curva de capabilidad presenta los siguientes límites:

Límite de corriente de estator: la corriente que circula por el estator producepérdidas I2R y por lo tanto un calentamiento. Existe un límite de corriente, yaconsiderando el funcionamiento adecuado de los sistemas de enfriamiento, arribadel cual la máquina resultará dañada permanentemente. Dicha corriente seconoce como nominal (Inom). Asociada a la corriente nominal y evaluada a voltajenominal se tiene la potencia aparente nominal:





nomnom I V S 3=

(1.94)

En la ecuación (1.94), el calentamiento debido a la corriente nominal,restringe la región de operación a puntos dentro del semicírculo con centro en elorigen como lo muestra la figura 1.34.

Límite de la corriente de campo: el calentamiento en el devanado de campoimpone otro límite en la operación del generador. Recordando que el voltajeinterno depende directamente de la corriente en el devanado de campo deacuerdo a:

f I k E =

(1.95)

Además partiendo de las ecuaciones (1.88):

[ ]V E X

V Q

X

VE P

s

s

−=

=

δ

δ

cos

sen

Reescribiendo la segunda ecuación y elevando al cuadrado:22

2 cos

=

+

ss X

VE

X

V Q

δ

(1.96)

Además como:

0sen

2

2 =

− δ

s X

VE P

Podemos reescribir lo siguiente:

0cossen 2

222

2

2

2 =

−

++

− δ δ

sss X

VE

X

V Q

X

VE P

(1.97)

Simplificando se tiene:22

22

=

++

ss X

VE

X

V QP

(1.98)





El lugar geométrico que describe esta ecuación es un círculo:222

)()( r b ya x =−+−

con centro en

−==

s X

V QP

2

0, y radio

s X

VE

.

Los límites térmicos para las corrientes de campo y armadura se intersectanen el punto m , como se muestra en la figura 1.4. Este punto representa los MVAde placa de la máquina y el factor de potencia nominal.

Limite de calentamiento en la región extrema de la maquina: si el límitetérmico en el cuarto cuadrante se considera como la corriente de armadura, laregión de operación se extendería hasta el punto e de la figura 1.34. sin embargose debe considerar el calentamiento producido en los extremos de la armadura(cabezales de bobinas), el cual es importante en máquinas de rotor sólidosubexcitadas. Este límite de calentamiento se determina experimentalmente, y enforma aproximada corresponde a una línea recta que se traza desde el punto defactor de potencia (0.9) en atraso sobre la curva del límite de corriente deestator(punto m’), hasta el punto en que se absorbe el 60 % de potencia reactiva(-0.6Q ), con cero potencia activa. Este límite se muestra en la figura 1.34.

Límite práctico de estabilidad: el límite teórico de estabilidad ocurre eno90=δ . Sustituyendo este valor de δ en las ecuaciones (1.88) se obtiene las

potencias activa y reactiva generadas:

s

max

s

max

X

V Q

X

VE P

2

−=

=

(1.99)

En la figura 1.34 este punto de operación corresponde a la intersección de la

recta que se traza desde el punto e horizontalmente a la derecha con la curva dellímite de corriente de campo (punto h). Los puntos que forman la recta horizontaldesde el punto e hasta la intersección (punto h), son los puntos que forman ellímite teórico de estabilidad. La característica común de estos puntos es que entodos ellos se absorbe una potencia reactiva igual a maxQ .





Para evitar los problemas que implica operar cerca del límite teórico deestabilidad. Se determina un límite práctico reduciendo las magnitudes depotencia activa y reactiva.

La curva del límite práctico se traza considerando un margen del 5 al 10 % de

la potencia nominal de la unidad, de acuerdo al siguiente procedimiento:

Se divide la longitud del radio (e – h) en partes iguales (5 o más), y se trazanlos semicírculos correspondientes a cada división.

A cada división de los semicírculos sobre la recta (e – h) se resta el margenconsiderado en un principio, determinando un punto nuevo.

Se trazan perpendiculares a (e - h) apoyadas sobre los puntos del inciso b).Los puntos de la curva del límite práctico (i - j), se forman por la intersección de

estas perpendiculares con los semicírculos.

Además de las restricciones anteriores se debe mencionar el límite depotencia mínima, para unidades térmicas, el cual es impuesto por la caldera; y ellímite de potencia máxima, que es una restricción del primomotor. En la figura 1.4también se muestran estos límites.

Límite de corriente decampo

s X

VE

r

δ

),0(

2

s X

V

−

m

φ

nom MVA

+= 9.0 fp

m′

Límite decalentamiento decabezales o desubexcitación

Q6.0−

Límite máximo de lafuente de energía

mecánica

Límite mínimo de lafuente de energía

mecánica

pu1

Límite de corriente enel estator

0

Q+

Q−

P

nomnom I V S 3=

e

Límite práctico deestabilidad

h

i

j


s X

VE

r

δ

),0(

2

s X

V

−

m

φ

nom MVA

+= 9.0 fp

m′

Límite decalentamiento decabezales o desubexcitación

Q6.0−

Límite máximo de lafuente de energía

mecánica

Límite mínimo de lafuente de energía

mecánica

pu1


0

Q+

Q−

P

nomnom I V S 3=

e


h

i

j

FIGURA 1.34 Curva de capabilidad del generador síncrono de polos lisos (rotor cilíndrico)





1.7.5 Curva de capabilidad del generador de polos salientes

La curva de capabilidad de capabilidad para un generador de polos salientes sedetermina de manera semejante que para la máquina de polos lisos.

Los principales límites son:

Límite de corriente de estator: es idéntico a del generador de polos lisos. Ellugar geométrico es un círculo con radio S y centro en el origen de los ejes depotencia activa y reactiva, este se muestra en la figura 1.35.

Límite de la corriente de campo: en este caso se consideran las ecuacionesde potencia activa y reactiva del generador de polos salientes (1.92) y (1.93),agrupadas en forma compleja:

+−

−++

−+=

)11

(2

)2cos()(2

cos

)2()

11

(2

22

2

qd qd

qd

d

d qd

X X

V

X X

X X V

X

VE j

sen X X

V

sen X

VE

S

δ δ

δ δ

(1.100)

Reordenando los términos de una manera más conveniente, se tiene:

)cos(

))2cos()2()(11

(2

)11

(2

22

δ δ

δ δ

jsen X

VE

jsen X X

V

X X

V jS

d

d qqd

++

+−++−=

(1.101)

Cada uno de los tres términos de (1.91) se puede representar por un fasor:

C b AS ++=

El fasor A es:

)11

(2

2

qd X X

V j A +−=

(1.102)

Para un generador de polos lisos es común considerar qd X X = ; por lo que elfasor A se convierte en:





d X

V j A

2

−=

(1.103)

El ángulo de este fasor no cambia para ambos tipos de máquinas, y tampococambia durante la operación de la unidad. Es el ángulo de la impedancia delgenerador, en este caso es o90− .

El fasor B es:

))2cos()2()(11

(2

2

δ δ jsen X X

V B

d q

+−=

(1.104)

Este fasor no existe prácticamente en las máquinas de polos lisos. Para las

máquinas de polos salientes el fasor B da origen al llamado círculo de reluctancia.Si la corriente de excitación es nula, o aún con una pequeña excitación negativa,la unidad de polos salientes es capaz de desarrollar un par o potencia, que sedebe a la diferencia de reluctancias entre el eje directo y el de cuadratura, llamadoefecto de saliencia. El ángulo del fasor B varía en función del ángulo δ 2 .

El fasor C es:

)cos( δ δ jsen X

VE C

d

+=

(1.105)

Este factor describe un círculo, llamado de excitación, ya que la magnitud deeste fasor es proporcional a la corriente de excitación. En las máquinas de rotorsólido el fasor C es un círculo con centro fijo, situado en el extremo del fasor A. Enlas máquinas de polos salientes el fasor C no tiene un centro fijo, sino que sedesplaza sobre la circunferencia que describe el fasor B, como se muestra en lafigura 1.35.

Límite de estabilidad permanente: para generadores de polos salientes elobtener los límites de operación en condiciones de baja excitación resulta más

complejo que para los generadores de polos lisos, ya que para cada valor decorriente de campo, la magnitud y el ángulo del fasor C cambian.

El límite teórico de estabilidad permanente se obtendría reduciendopaulatinamente la corriente de campo, desde su valor nominal, pasando por cero,hasta obtener valores de excitación negativa. El límite práctico de estabilidad seobtiene al dejar un margen de un 10 % sobre los valores de la curva teórica.





Sin embargo se debe considerar que en este cuadrante el límite crítico estádado por la corriente de estator, por lo que el límite práctico de estabilidadconsiste solamente de un semicírculo con radio igual a la magnitud del fasor Bmás el margen del 10 % del valor de potencia nominal.

De la figura 1.33, se puede observar lo siguiente:

)(

)cos(0

φ δ

δ

+=

+=

Isen I

X I V E

d

d d

(1.106)

el ángulo δ se puede obtener de la misma figura, observando que:

)cos()(

)cos(

)(

φ δ δ

φ δ

δ

+=

+=

=

q

q

qq

X I Vsen

I I

X I Vsen

(1.107)

de donde se obtiene:

)(

)cos()tan(

φ

φ δ

sen X I V

X I

q

q

+=

(1.108)

de la misma figura 1.33, el voltaje interno de la maquina es el siguiente:

)()cos( φ δ δ ++= sen X I V E d

(1.109)También se puede calcular el valor máximo de δ apartir de la ecuación

(1.92). Utilizando la derivada de esta ecuación con respecto a δ se puede saberdonde se tiene una pendiente igual acero. Identificando terminos se tiene loiguiente:

δ δ sen X

VE sen

X X

V P

d d q

+−= )2()11

(2

2

δ δ Csen BsenP += )2(

(1.110)

02cos)(cos4 2 =−+=∂

∂ BC B

Pmm δ δ

δ

(1.111)

+

+−= −

2

1

88cos

2

1

B

C

B

C mδ

(1.112)





Este valor máximo que puede alcanzar el ángulo δ sirve para trazar la rectaapartir de donde termina el fasor B a un angulo (2 mδ ) hasta la curva del límite decorriente de campo, de la cual se traza el limite teórico de estabilidad permanente.

En la figura 1.35 se muestran los límites de operación para el generador de

polos salientes.

Límite práctico deEstabilidad

(margen de 10%)

0


Q+

Q−

P

A

pu1

nomnom I V S 3=

B

δ 2Circulo dereluctancia


δ

C

mnom

MVA

mδ

mδ 2

Límite teórico deestabilidad

permanente


permanente

10%

Límite práctico deEstabilidad

(margen de 10%)

0


Q+

Q−

P

A

pu1

nomnom I V S 3=

B

δ 2Circulo dereluctancia


δ

C

mnom

MVA

mδ

mδ 2

Límite teórico deestabilidad

permanente


permanente

10%

FIGURA 1.35 Curva de capabilidad del generador síncrono de polos salientes

1.7.6 Condensador síncrono

Cuando la máquina síncrona se conecta a una barra infinita, su velocidad y voltaje

de terminales permanecen fijos e inalterables. Sin embargo, dos variables

controlables son la corriente de campo y el par mecánico en la flecha. La

variación de la corriente de campo f I (conocida como control del sistema de

excitación), se aplica al generador para suministrar o absorber una cantidad

variable de potencia reactiva.





Suponga que el generador esta entregando potencia de manera que hay

cierto ángulo δ entre el voltaje de terminales V de la máquina y el voltaje

generado E , como se muestra en la figura 1.36. La potencia compleja entregada

al sistema por el generador está dada en por unidad por:

)(cos φ φ jsen I V I V jQPS t t +==+= ∗rr

(1.113)

Donde:

)

cos

φ

φ

IsenV Q

I V P

t

t

=

=

(1.114)

Se puede observar que Q es positiva para factores de potencia en atraso yaque el ángulo φ es numéricamente positivo. Si se decide mantener un

determinado suministro de potencia activa P desde el generador al sistema de

voltaje constante, de debe conservar constante φ cos I como lo muestra la

ecuación (1.114). En la figura 1.36 a) se muestra el lugar geométrico de potencia

activa constante y bajo estas condiciones, conforme se varía la corriente de CD

de campo f I

, el voltaje generado E varía proporcionalmente, manteniéndose

constante φ cos I .

Se define como excitación normal, la condición en que:

V E =δ cos

(1.115)

y se dice que la máquina esta sobreexcitada o subexcitada según V E >δ cos o

V E <δ cos , respectivamente. Para la condición de la figura 1.36a), el generador

está sobreexcitado y suministra potencia reactiva Q al sistema. Así desde el punto

de vista del sistema, la máquina actúa como un capacitor. La figura 1.36b)

corresponde a un generador subexcitado que suministra la misma cantidad de

potencia activa a una corriente en adelanto al sistema, se puede considerar que

esta tomando corriente en atraso del sistema. El generador subexcitado toma

potencia reactiva del sistema y en este sentido actúa como un inductor.





I r

E r

V r

φ

φ send X I

δ

I jX d

rφ cosd X I

φ δ

I r

E r

I jX d

r

φ send X I

φ cosd X I

Lugares

geométricosde potencia

constante para:

E, I

V r

I r

δ cos E

E r

d X I

)a

)c

)b

δ

I r

E r

V r

φ

φ send X I

δ

I jX d

rφ cos

d X I

φ δ

I r

E r

I jX d

r

φ send X I

φ cosd X I

Lugares

geométricosde potencia

constante para:

E, I

V r

I r

δ cos E

E r

d X I

)a

)c

)b

δ

FIGURA 1.36 Diagrama fasorial que muestra el lugar geométrico de un generador

a)sobreexcitado, b) con excitación normal, c) generador subexcitado.

Se debe recordar que la potencia real P , se controla abriendo o cerrando las

válvulas por las que el vapor o agua entran a la turbina. Si la potencia de entradaal generador se incrementa, la velocidad del rotor empezará a aumentar y si la

corriente de campo f I

, y por lo tanto E se mantienen constantes, se

incrementará el ángulo δ entre E y V . El incremento en δ da como resultado

un mayor φ cosa

I y por lo tanto el generador entrega mayor potencia activa P a la

red.





CAPITULO 2

SISTEMA POR UNIDAD

OBJETIVO

Al término del capítulo el ingeniero operador de subárea será capaz de utilizar elsistema por unidad para simplificar la representación de los elementos y en lasolución.

2.1 INTRODUCCIÓN

Una vez que se dispone de los modelos de los elementos que componen el SEP,este debe representarse interconectado de alguna manera los modeloscorrespondientes.

Los fabricantes de equipo eléctrico especifican normalmente lascaracterísticas del mismo en forma porcentual o por unidad con respecto avalores nominales, esto es, valores en condiciones de carga u operación normalde diseño. Debido a la gran diversidad de equipo, surge la necesidad deestablecer bases comunes con respecto a las cuales se refieran los parámetrosde los circuitos equivalentes, para estar en posibilidad de interconectar los

modelos. Esta convención introduce algunas simplificaciones en la representaciónde los elementos y en la solución computacional.

Un sistema por unidad se especifica expresando la tensión, la corriente, lapotencia y la impedancia de un circuito con referencia a un valor base que seelige para cada una de tales magnitudes. El valor por unidad de una magnitudcualquiera se define como la razón de su valor al valor base:

baseValor

realValor unidad por Valor =

(2.1)

El valor base siempre tiene las mismas unidades que el valor real, forzando alvalor unitario a ser adimensional. El valor en por ciento es igual a cien veces elvalor por unidad. Los métodos de cálculo que utilizan los valores por unidad o porciento son mucho más sencillos que aquellos que emplean los valores reales enVolts, Ohms, KVA, etc.





Las tensiones, corrientes, potencias e impedancias están relacionadas entresí, de tal forma que seleccionando dos cantidades base, de entre las cantidadesde interés, se pueden encontrar las otras dos. Es común seleccionar el voltaje yla potencia como valores base.

2.2 SISTEMAS MONOFÁSICOS

Se partirá de que se seleccionan el voltaje base ( ) BV y la potencia base ( )

BS y serequiere encontrar la corriente base ( )

B I y la impedancia base ( ) B Z de un sistema

de potencia monofásico. Las magnitudes reales cumplen con:

I Z V =

(2.2)

I V S =

(2.3)

Despejando la corriente en la ecuación (2.3), en función de valores base, setiene:

B

B

BV

S I =

(2.4)

Despejando la impedancia en la ecuación (2.2):

B

B

B

I

V Z =

(2.5)

Sustituyendo la ecuación (2.4) en la (2.5)

B

B B

S

V Z

2

=

(2.6)

2.3 SISTEMAS TRIFÁSICOS BALANCEADOS

En sistemas trifásicos también se partirá de que se seleccionó un voltaje y unapotencia base y se quiere encontrar la corriente y la impedancia base. Se utilizarála siguiente notación:

φ S Potencia Monofásica φ 3S Potencia Trifásica LN V Voltaje de Línea a Neutro LLV Voltaje de Línea a Línea





En un sistema trifásico balanceado se tiene:

3

LL LN

V V =

(2.7)

3

3φ

φ

S S =

(2.8)

Sustituyendo las ecuaciones (2.7) y (2.8) en la ecuación (2.4) se tiene:

LL LN

BV

S

V

S I

3

3φ φ ==

(2.9)

Sustituyendo las ecuaciones (2.7) y (2.9) en la ecuación (2.5) se tiene que laimpedancia base resulta:

φ 3

2

S

V

I

V Z LL

B

LN B ==

(2.10)

2.4 CAMBIO DE BASE DEL SISTEMA POR UNIDAD

Los datos de placa de la mayoría del equipo y elementos del sistema de potenciaestán especificados tomando generalmente como base los valores nominales deoperación de cada uno de ellos, por lo que se hace necesario establecer una basecomún cuando se desea analizar un problema que los involucra a todos. Una vez

elegidos los valores base comunes, es necesario expresar los parámetros detodos los elementos en esa base común. Esto es lo que se denomina como un“cambio de base2, y se realiza como se explica a continuación.

)2(

)1()1()2(

)2()2(

)1()1(

B

BPU PU

BPU

BPU

Z

Z Z Z

Z Z Z

Z Z Z =

=

=

(2.11)

Sustituyendo la ecuación (2.6) en la ecuación (2.11) se expresa el cambio debase para impedancia en función de los voltajes y potencias base.

)1(

)2(2

)2(

)1(

)1()2(

B

B

B

BPU PU

S S

V V Z Z

=

(2.12)

Para corrientes se tiene que:

)2(

)1()1()2(

)2()2(

)1()1(

B

BPU PU

BPU

BPU

I

I I I

I I I

I I I =

=

=

(2.13)





Sustituyendo la ecuación (2.4) en la ecuación (2.13) se obtiene el cambio debase para corrientes en función de los voltajes y potencias base.

)1(

)2(

)2(

)1()1()2(

B

B

B

BPU PU

V

V

S

S I I =

(2.14)

Para voltajes se tiene que:

)2(

)1()1()2(

)2()2(

)1()1(

B

BPU PU

BPU

BPU

V

V V V

V V V

V V V =

=

=

(2.15)

Para potencia se tiene que:

)2(

)1()1()2(

)2()2(

)1()1(

B

BPU PU

BPU

BPU

S

S S S

S S S

S S S =

=

=

(2.16)

2.5 EJEMPLO

Convertir al sistema por unidad los parámetros del S.E.P. siguiente, tomandocomo base de potencia 100 MVA y como voltaje base 115 kV en la línea detransmisión.

W WU1 U2

T1 T2LT

W WW WU1 U2

T1 T2LT

FIGURA 2.1 Sistema para el ejemplo

Para la Línea de Transmisión: se tiene que representar la impedancia enP.U. en la base requerida

..25.132100

11522

u pS

V Z

B

B B === ..78.3

25.132

500.. u p

Z

Z Z

B

u p === Ω

Para Transformador 1: se tiene que representar la impedancia en P.U. deltransformador en la base requerida.En 120 kV

kV V base 115= ..1088.0100

100

115

1201.0

2

)1(

)2(2

)2(

)1()1()2(

u pS

S

V

V Z Z

B

B

B

BPU PU =

=

=

En 14 kV





kV V base 41.13120

14115 =

=

..1088.0100

100

41.13

141.0

2

)1(

)2(2

)2(

)1()1()2( u p

S

S

V

V Z Z

B

B

B

BPU PU =

=

=

Para Transformador 2: se tiene que representar la impedancia en P.U. deltransformador en la base requerida.En 120 kV

kV V base 115= ..1198.0100

100

115

12011.0

2

)1(

)2(2

)2(

)1()1()2(

u pS

S

V

V Z Z

B

B

B

BPU PU =

=

=

En 14 kV

kV V base 22.13120

8.13

115 =

=

..1198.0100

100

22.13

8.1311.0

2

)1(

)2(2

)2(

)1()1()2(

u pS

S

V

V Z Z

B

B

B

BPU PU =

=

=

Para el generador 1: se tiene que representar la impedancia en P.U. de lamáquina a la base requerida

kV V base 41.13120

14115 =

=

..010590.0100

100

41.13

8.13010.0

2

)1(

)2(2

)2(

)1()1()2(

u pS

S

V

V Z Z

B

B

B

BPU PU =

=

=

Para el generador 2: se tiene que representar la impedancia en P.U. de lamáquina a la base requerida

kV V base 22.13120

8.13115 =

=

..01529.0110

100

22.13

14

015.0

2

)1(

)2(2

)2(

)1()1()2(

u pS

S

V

V

Z Z B

B

B

B

PU PU =

=

=

Sistema con los datos a la base de 115 kV y 100 MVA





CAPITULO 3

ANÁLISIS NODAL

OBJETIVO

Al término del capítulo el ingeniero operador de subárea será capaz de utilizar latécnica de análisis nodal.

3.1 INTRODUCCIÓN

El análisis nodal se basa en aplicar el balance de corrientes en cada nodo del

sistema, y las variables de mayor interés son los voltajes nodales y lasinyecciones de corriente.

Un sistema eléctrico puede ser perturbado en diversas formas, pero los casoscomunes se pueden simular eficientemente mediante cambios en las inyeccionesnodales. Así un cambio de carga o generación equivale a modificar lasinyecciones de corriente o potencia en el sistema. Otras modificaciones en la redde transmisión exigen alterar y determinar las inyecciones en diferentes puntosdel sistema. En especial, para el estudio de fallas y flujos de potencia en unS.E.P. las técnicas modernas utilizan el análisis nodal como base para las

formulaciones utilizadas.

3.2 MATRIZ NODAL DE ADMITANCIAS

El análisis de la distribución de corrientes en una rede permite establecerecuaciones que definen el comportamiento del sistema. En el caso multinodo segenera la matriz de admitancias para representar la red eléctrica.

La ecuación matricial utilizada para el análisis nodal es la siguiente:

I V Y BUS

=

(3.1)

donde

BUS Y Matriz nodal de admitanciasV Vector de voltajes nodales I Vector de inyecciones nodales





En la ecuación (3.1) el vector de corrientes representa la excitación delsistema y el vector de voltaje es el vector de respuesta ante un estímulo. Lamatriz de admitancias representa la topología de la red.

Para comprender mejor la ecuación (3.1), se desarrolla en detalle la ecuación

de corriente para el nodo 2. En la Figura 3.1 se muestra el caso estudiado.

12

3

4

5

REF

12

3

4

5

REF

FIGURA 3.1 Determinación de la ecuación nodal para el nodo 2

La ecuación de corrientes para el nodo 2 se obtiene del balance nodal decorrientes.

I V Y BUS

=

REF252423212 IIIIII ++++=

(3.2)

A la vez, cada corriente en una rama del sistema se puede expresar enfunción de los voltajes nodales ( ),...,,

321

V V V y de las admitancias de rama

( ) REF Y Y Y Y Y 225242321 ,,,, .

)V-(VY)V-(VY)V-(VY)V-(VY)V-(VYI REF22REF52254224322312212 ++++=

(3.3)

Agrupando términos:

REF2REF5254243231212REF2524232122 VY-VY-VY-VY-VY-)YYYY(YVI ++++=

(3.4)

De la ecuación (3.4) se obtiene las reglas para la formación de la matriz de

admitancias.

El elemento propio (diagonal) está compuesto por la suma de admitancias delos elementos conectados a un nodo. Para el nodo 2 el elemento es:

YYYYY 2REF25242321 ++++ .





Los elementos fuera de la diagonal se definen como el negativo de la

admitancia entre un nodo y sus nodos vecinos. Para la conexión entre nodos i,j el

elemento es ijij Y-Y = .

De las reglas anteriores se observa que la matriz de admitancias contieneinformación de conectividad de la red eléctrica. Es decir, el elemento (i,j ) tendrácalor si existe la rama (i,j ).

1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

X X

XX X X X

X

X

X

X

X

X

12

3

4

5

REF

1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

X X

XX X X X

X

X

X

X

X

X

12

3

4

5

REF

12

3

4

5

REF

3.2.1 Ejemplo

Determinar la matiz de admitancia del siguiente sistema:1 2 3 4 5 6 7

1

23

4

5

6

7

-3 -7 0 0 0 011

-3 -8 -5 0 0 016

-7 -8 0 -2 -9 026

0 -5 0 -4 0 010

0 0 -2 -4 0 -39

0 0 -9 0 0 010

0 0 0 0 -3 0 3

1 2

3

4 Ω

2 Ω

3 Ω

4

6

5 7

5 Ω

7 Ω

8 Ω

3 Ω

9 Ω

1 Ω

1 Ω

1 Ω

1 2 3 4 5 6 7

1

23

4

5

6

7

1 2 3 4 5 6 7

1

23

4

5

6

7

-3 -7 0 0 0 011

-3 -8 -5 0 0 016

-7-7 -8-8 00 -2-2 -9-9 002626

0 -5 0 -4 0 010

0 0 -2 -4 0 -39

0 0 -9 0 0 010

0 0 0 0 -3 0 3

1 2

3

4 Ω

2 Ω

3 Ω

4

6

5 7

5 Ω

7 Ω

8 Ω

3 Ω

9 Ω

1 Ω

1 Ω

1 Ω

1 2

3

4 Ω

4 Ω

2 Ω

2 Ω

3 Ω

3 Ω

4

6

5 75 7

5 Ω

5 Ω

7 Ω

7 Ω

8 Ω

8 Ω

3 Ω

3 Ω

9 Ω

9 Ω

1 Ω

1 Ω

1 Ω

1 Ω

1 Ω

1 Ω





3.3 MATRIZ NODAL DE IMPEDANCIAS

La ecuación (3.1) puede ser expresada en forma alterna de la manera siguiente:

I Z V BUS

=

donde 1−= BU BUS Y Z representa la matriz nodal de impedancias

La ecuación (3.5) permite un cálculo directo de los voltajes nodales en funciónde las inyecciones de corriente. En el caso lineal, los voltajes se expresan comouna combinación lineal de las corrientes nodales inyectadas. La matriz Z sepuede interpretar como una matiz de coeficientes de sensitividad.

A diferencia de la matriz de admitancias, que se forma por inspección, lamatriz de impedancias no se forma directamente y requiere de un proceso máselaborado. Generalmente en la matriz Z todos los elementos tienen valor, lo cualhace que el voltaje nodal en un punto del sistema dependa de todas lasinyecciones nodales. Esto indica que la matiz de impedancias contieneinformación relacionada con la distribución de corrientes en toda la red.

La matriz BUS Z como se ha comentado se puede calcular a través de lamatriz inversa de BUS Y . Otra forma de poder calcular dicha matriz es a través deinyecciones de corriente en todos los nodos y superponer sus efectos. Delsistema mostrado en la Figura 3.2 se tomará como ejemplo para encontrar lamatiz BUS Y y BUS Z .

J2

J1

J1

J0.5

J0.5

1

2

3

4

J2

J1

J1

J0.5

J0.5

J2

J1

J1

J0.5

J0.5

1

2

3

4

FIGURA 3.2 Sistema de prueba





2 -1 -1 0

-1 -0.5 -2

-1 -0.5 0

0 -2 0 2

3.5

3.5

YBUS

1 2 3 4

1

2

3

4

1.25 1 0.5 1

1 0.5 1.5

0.5 0.5 0.5

1 1.5 0.5 2

0.5

1.5

ZBUS

1

2

3

4

1 2 3 4

2 -1 -1 0

-1 -0.5 -2

-1 -0.5 0

0 -2 0 2

3.5

3.5

YBUS

1 2 3 4

1

2

3

4

2 -1 -1 0

-1 -0.5 -2

-1 -0.5 0

0 -2 0 2

3.5

3.5

YBUS

1 2 3 4

1

2

3

4

1.25 1 0.5 1

1 0.5 1.5

0.5 0.5 0.5

1 1.5 0.5 2

0.5

1.5

ZBUS

1

2

3

4

1 2 3 4

1.25 1 0.5 1

1 0.5 1.5

0.5 0.5 0.5

1 1.5 0.5 2

0.5

1.5

ZBUS

1

2

3

4

1 2 3 4

I Z V BUS

=

1.25 1 0.5 1

1 0.5 1.5

0.5 0.5 0.5

1 1.5 0.5 2

0.5

1.5

ZBUS

V1

V2

V3

V4

=

I1

I2

I3

I4

J2

J1

J1

J0.5

J0.5

1

2

3

4

1.25 1 0.5 1

1 0.5 1.5

0.5 0.5 0.5

1 1.5 0.5 2

0.5

1.5

1.25 1 0.5 1

1 0.5 1.5

0.5 0.5 0.5

1 1.5 0.5 2

0.5

1.5

ZBUS

V1

V2

V3

V4

=

I1

I2

I3

I4

J2

J1

J1

J0.5

J0.5

1

2

3

4

J2

J1

J1

J0.5

J0.5

J2

J1

J1

J0.5

J0.5

1

2

3

4

V1 = 1.25 I1 + 1.0 I2 + 0.5 I3 + 1.0 I4

V2 = 1.00 I1 + 1.5 I2 + 0.5 I3 + 1.5 I4

V3 = 0.50 I1 + 0.5 I2 + 0.5 I3 + 0.5 I4

V4 = 1.00 I1 + 1.5 I2 + 0.5 I3 + 2.0 I4

V1 = 1.25 I1 + 1.0 I2 + 0.5 I3 + 1.0 I4

V2 = 1.00 I1 + 1.5 I2 + 0.5 I3 + 1.5 I4

V3 = 0.50 I1 + 0.5 I2 + 0.5 I3 + 0.5 I4

V4 = 1.00 I1 + 1.5 I2 + 0.5 I3 + 2.0 I4

Si se desea obtener la circulación de corriente en la rama R-S , al inyectar unacorriente unitaria en el nodo K se calcula de la siguiente manera:

IRS =ZRK - ZSK

ZRS

1.25 1 0.5 1

1 0.5 1.5

0.5 0.5 0.5

1 1.5 0.5 2

0.5

1.5

1 2 3 4

1

2

3

4

IRS =ZRK - ZSK

ZRSIRS =

ZRK - ZSK

ZRS

1.25 1 0.5 1

1 0.5 1.5

0.5 0.5 0.5

1 1.5 0.5 2

0.5

1.5

1 2 3 4

1

2

3

4

1.25 1 0.5 1

1 0.5 1.5

0.5 0.5 0.5

1 1.5 0.5 2

0.5

1.5

1.25 1 0.5 1

1 0.5 1.5

0.5 0.5 0.5

1 1.5 0.5 2

0.5

1.5

1 2 3 4

1

2

3

4





3.4 CARACTERÍSTICAS DE MATRICES

El análisis nodal se puede realizar utilizando las matrices de admitancias o deimpedancias, cada una de las cuales tiene características propias. En la Tabla3.1 se resume lo más importante de la comparación.

Tabla 3.1 Característica de la Matriz BUS Y y BUS Z .MATRIZ

ADMITANCIAS

IMPEDANCIAS

DETERMINACION

INSPECCION(Fácil)

ALGORITMO(Complicado)

TIPO

DISPERSA

LLENA

INFORMACION

TOPOLOGÍA

SENSITIVIDADV-I

ELEMENTOS

CON

INFORMACION

LOCAL

SISTEMA

RELACION

DIRECTA

MATRIZ CIRCUITO

SI

NO

MATRIZ

ADMITANCIAS

IMPEDANCIAS

DETERMINACION

INSPECCION(Fácil)

ALGORITMO(Complicado)

TIPO

DISPERSA

LLENA

INFORMACION

TOPOLOGÍA

SENSITIVIDADV-I

ELEMENTOS

CON

INFORMACION

LOCAL

SISTEMA

RELACION

DIRECTA

MATRIZ CIRCUITO

SI

NO

En la Tabla 3.1 se observa características deseables de ambas matrices. Sela matriz de admitancias, su fácil obtención y su dispersidad. Por otro lado, lamatriz de impedancias contiene información muy valiosa a nivel de sistema.

3.5 EQUIVALENTE THEVENIN

Se examina la relación entre los elementos de BUS Z y la impedancia deThevenin que representa la red en cada uno de los nodos. Con el fin deestablecer una notación, se designara a los voltajes de nodo que corresponden alos valores iniciales 0 I de las corrientes nodales I mediante 00

I Z V BUS = .

Cuando las corrientes cambian de sus valores iniciales a sus nuevos valores I I ∆=0 , los nuevos voltajes nodales están dados por la siguiente ecuación de

superposición.

) I Z I Z I I Z V BUS BUS BUS ∆+=∆+= 00

(3.5)

dondeV ∆ representa los cambios que hay en los valores originales de los

voltajes nodales.

En la Figura 3.3 se muestra la forma esquemática de un sistema con el nodok representativo que se ha extraído del sistema junto con el nodo de referencia.En principio se considera que el circuito no está energizado, de modo que lascorrientes y los voltajes son cero ( 0

I , 0V ).





Red original

Zbarra

∆V1

∆V2

∆V3

∆Vn

l

2

3

n

.

.

Referencia

Vk ∆Ik

+

-

0

∆Vk

Red original

Zbarra

∆V1

∆V2

∆V3

∆Vn

l

2

3

n

.

.

Red original

Zbarra

Red original

Zbarra

∆V1

∆V2

∆V3

∆Vn

l

2

3

n

.

.

l

2

3

n

.

.

Referencia

Vk ∆Ik

+

-

0

∆Vk

FIGURA 3.3 Sistema con el nodo k y el nodo de referencia extraídos

Entonces, una corriente de K I ∆ se inyecta dentro del sistema por medio deuna fuente de corriente que se conecta al nodo de referencia. Los cambio devoltaje resultantes en los nodos del sistema )VV,V( N21 ∆…∆∆ está dadas por :

=

Z11 Z1K Z1n

ZK1

Zn1 Zn2 Znk Znn

Zk2

Z2k

Zkk

Z2n

Zkn

Z12 …

Z21 Z22 …

…

…

… …

…

…

… …

…

…

…

…

…

… …

… …

…

0

0

Ik

0

∆V1

∆V2

∆Vk

∆Vn

=

Z11 Z1K Z1n

ZK1

Zn1 Zn2 Znk Znn

Zk2

Z2k

Zkk

Z2n

Zkn

Z12 …

Z21 Z22 …

…

…

… …

…

…

… …

…

…

…

…

…

… …

… …

…

Z11 Z1K Z1n

ZK1

Zn1 Zn2 Znk Znn

Zk2

Z2k

Zkk

Z2n

Zkn

Z12 …

Z21 Z22 …

…

…

… …

…

…

… …

…

…

…

…

…

… …

… …

…

Z11 Z1K Z1n

ZK1

Zn1 Zn2 Znk Znn

Zk2

Z2k

Zkk

Z2n

Zkn

Z12 …

Z21 Z22 …

…

…

… …

…

…

… …

…

…

…

…

…

… …

… …

…

0

0

Ik

0

∆V1

∆V2

∆Vk

∆Vn

∆V1

∆V2

∆Vk

∆Vn

(3.6)

SiendoK

I ∆ en la fila k el único elemento diferente de cero en el vector decorriente. Los voltajes nodales incrementales se obtienen a través de lamultiplicación de filas por columnas de la ecuación (3.7) que son numéricamenteiguales a los elementos en la columna k de BUS Z multiplicados por la corriente

K I ∆ .

K kk k k I Z V V ∆+= 0

(3.7)

El circuito que corresponde a esta ecuación se muestra en la Figura 3.4 de ,aque es evidente que la impedancia de Thevenin en el nodo k del sistema está

dada por:

zzth Z Z =

(3.8)





Red originalZbarra

ReferenciaVk

∆Ik

Zth= ZkkVk0

+

-

+

-

k

Red originalZbarra

ReferenciaVk

∆Ik

Zth= ZkkVk0

+

-

+

-

Red originalZbarra

ReferenciaVk

∆Ik

Zth= ZkkVk0

+

-

+

-

ReferenciaVk

∆Ik

Zth= ZkkVk0

+

-

+

-

k

FIGURA 3.4 Circuito equivalente de Thevenin

3.6 EQUIVALENTE DE NORTON

El equivalente de Norton supone:

Una fuente de corriente en paralelo con la impedancia de Thevenin.La fuente de corriente se calcula con el voltaje 0k V entre la impedancia de

Thevenin.

Para llevar a cabo el equivalente de Norton es necesario llevar a cabo elequivalente de Thevenin.

Referencia

Vk ∆Ik Zth= Zkk

+

-

k

Vk 0

Zth

Referencia

Vk ∆Ik Zth= Zkk

+

-

k

Referencia

Vk ∆Ik Zth= Zkk Zth= Zkk

+

-

k

Vk 0

Zth

Vk 0

Zth

FIGURA 3.5 Circuito equivalente de Norton

3.7 EJEMPLO

Encontrar el equivalente Thevenin y Norton visto desde la resistencia de 1KΩ

del siguiente circuito:

ww2 KΩ 3 KΩ

1 KΩ2 mA4 V +

-

ww

ww

wwww2 KΩ 3 KΩ

1 KΩ2 mA4 V +

-

wwww

wwww





Para llevar a cabo el equivalente se emplearan reducciones tipo Norton yThevenin

NORTON

THEVENIN

≈≈≈≈

ww2 KΩ 3 KΩ

1 KΩ2 mA4 V +

-

ww

ww

w w

2 KΩ

3 KΩ

1 KΩ2 mA2 mA

ww

ww

w w

2 KΩ

3 KΩ

1 KΩ4 mA

ww

ww 1 KΩ

2 KΩ 3 KΩ

8 V

ww

ww

ww

1 KΩ

5 KΩ

8 V

ww

ww 1 KΩ w

w5 KΩ8/5 mA

ww

NORTON

THEVENIN

≈≈≈≈

wwww2 KΩ 3 KΩ

1 KΩ2 mA4 V +

-

wwww

wwww

w w

2 KΩ

3 KΩ

1 KΩ2 mA2 mA

ww

ww w

w w w

2 KΩ

3 KΩ

1 KΩ2 mA2 mA

wwww

wwww

w w

2 KΩ

3 KΩ

1 KΩ4 mA

ww

ww w

w w w

2 KΩ

3 KΩ

1 KΩ4 mA

wwww

wwww 1 KΩ

2 KΩ 3 KΩ

8 V

ww

ww

ww

1 KΩ

2 KΩ 3 KΩ

8 V

wwww

wwww

wwww

1 KΩ

5 KΩ

8 V

ww

ww 1 KΩ

5 KΩ

8 V

wwww

wwww 1 KΩ w

w5 KΩ8/5 mA

ww 1 KΩ w

w5 KΩ8/5 mA

ww w

w w w

5 KΩ8/5 mAwwww

Para comprobar ambos circuitos son equivalentes se calcula la corriente quecircula por la carga de 1 KΩ

I1KΩ =VR

= 86

A I1KΩ = 55 + 1

85 ( (

=85

56( (

=86

A

THEVENIN NORTON

I1KΩ =VR

= 86

AI1KΩ =VR

= 86

A86

A I1KΩ = 55 + 1

85 ( (

=85

56( (

=86

AI1KΩ = 55 + 1

55 + 1

8585 ( (

=8585

5656( (

=86

A86

A

THEVENIN NORTON





CAPITULO 4

ANÁLISIS DE FALLAS

OBJETIVO Al término del capítulo el ingeniero operador de subárea identificará las diferentestipos de fallas y utilizar las variantes en el proceso de solución.

4.1 INTRODUCCIÓN

En el diseño, planificación y operación de los sistemas de potencia los estudios defallas son comúnmente utilizados con diferentes propósitos. En algunos casos,para la especificación de equipo de interrupción, en otros, para definir estrategiasde operación sin violar limites de corto circuito, también se emplean para definir elajuste de protecciones o bien para analizar casos específicos de fallas.

La ocurrencia de fallas en un sistema es de naturaleza aleatoria, de ahí quesu estudio requiera bases sólidas para la definición del problema y la aplicaciónde los resultados. El momento en que ocurre la falla, el tipo de falla, el lugar enque ocurre, las fases involucradas, la evolución de la falla, etc., son aspectosimportantes para el estudio.

Las fallas son conexiones no planeadas que perturban el equilibrio delsistema, con lo cual se inicia un proceso dinámico y la reacción de elementos ycontroles. La falla tiene un impacto variable a lo largo del tiempo, teniendo losvalores mayores de corriente en los primeros ciclos del disturbio.

Aquí se debe señalar que el estudio de fallas clásico se realiza considerandosólo un punto en el tiempo, como si se tomará una fotografía de la respuesta delsistema en un momento dado.

Un estudio de fallas completo involucra estudios dinámicos para observar elcomportamiento de diversas variables en el tiempo. Sin embargo, si se defineespecíficamente el objetivo del análisis, el rango del tiempo de interés queda biendefinido. En cualquier caso, la modelación del sistema es muy importante,especialmente la red de transmisión y los generadores síncronos que son lasfuentes de energía del sistema





4.2 COMPONENTES SIMÉTRICAS Y REDES DE SECUENCIA

Una de las herramientas más poderosas para trata con un circuitos polifásicosdesbalanceados es el método de las componentes simétricas desarrollado porFortescue. Un sistema desbalanceado de n fasores relacionados, se puederesolver con n sistemas de fasores balanceados llamados componentes

simétricas de los fasores originales.

De acuerdo con el teorema de Fortescue, tres fasores desbalanceados de unsistema trifásico se puede descomponer en tres sistemas balanceados defasores. Los conjuntos balanceados de componentes son:

Componentes de secuencia positivaComponentes de secuencia negativaComponentes de secuencia cero

Como cada uno de los fasores desbalanceados originales es la suma de suscomponentes, los fasores originales expresados en términos de sus componentesson:

210

210

210

cccc

bbbb

aaaa

V V V V

V V V V

V V V V

++=

++=

++=

(4.1)

El conjunto de tres fasores desbalanceados, a partir de los tres conjuntos decomponentes simétricas se muestrea en la Figura 4.1.

1bV

1aV

1cV

2bV

2aV

2cV

0aV

0cV

0bV

Componentes de

secuencia positiva

Componentes de

secuencia negativa

Componentes de

secuencia cero

1bV

1aV

1cV

2bV

2aV

2cV

0aV

0cV

0bV

Componentes de

secuencia positiva

Componentes de

secuencia negativa

Componentes de

secuencia cero

FIGURA 4.1 Componentes simétricas de tres fasores desbalanceados

En la Figura 4.2 se observa la síntesis de tres fasores asimétricos a partir detres conjuntos de fasores simétricos. La síntesis se hace a partir de la ecuación





4.1, ahora se examinarán esta misma ecuación para determinar cómodescomponer tres fasores asimétricos en sus componentes simétricas.

1bV

1aV

1

cV

2bV

2aV

2cV

0aV

0cV

0bV

aV

bV

cV

1bV

1aV

1

cV

2bV

2aV

2cV

0aV

0cV

0bV

aV

bV

cV

FIGURA 4.2 Suma gráfica de las componentes para obtener tres fasores desbalanceados

Primero, se observa que el número de cantidades desconocidas se puedereducir al expresar cada componente de V b y V c como el producto de lacomponente de V a y alguna función del operador °∠= 1201a :

00ab V V =

00ac V V =

121ab V aV =

11ac aV V =

22ab aV V =

222ac V aV =

En forma matricial:

=

2

1

0

2

2

1

1

111

V

V

V

aa

aa

V

V

V

c

b

a

(4.2)

donde por conveniencia, se tiene

=2

2

1

1

111

aa

aaT

(4.3)

Entonces, como se puede verificar fácilmente:

=−

aa

aaT 2

21

1

1

111

3

1

(4.4)





Así,

=

c

b

a

V

V

V

aa

aa

V

V

V

2

2

2

1

0

1

1

111

3

1 (4.2)

La misma transformación se aplica para corrientes.012

I T I abc = (4.3)

abc I T I 1012 −= (4.4)

El efecto sobre la impedancia es:

T Z T Z

I T Z V T

I Z V

abc

abc

abcabcabc

1012

012012

−=

=

=

(4.5)

Los circuitos equivalentes de secuencia de transformadores trifásicosdependen de las conexiones de los devanados primario y secundario. Lasdiferentes combinaciones de los devanados ∆ y Υ determinan las configuracionesde los circuitos de secuencia cero y el defasamiento en los circuitos de secuenciapositiva y negativa. Estas conexiones se resumen, junto con sus respectivoscircuitos de secuencia cero en la Figura 4.3.

P Q Q P Zo

Barra de referencia

P Q P Q Q P Zo

Barra de referencia

P Q Q P Zo

Barra de referencia

P Q P Q Q P Zo

Barra de referencia

P Q Q P Zo

Barra de referencia

P Q P Q Q P Zo

Barra de referencia

P Q Q P Zo

Barra de referencia

P Q P Q Q P Zo

Barra de referencia





P Q Q P Zo

Barra de referencia

P Q P Q Q P Zo

Barra de referencia

FIGURA 4.3 Circuitos equivalentes de secuencia cero de banco transformadores trifásicos

4.3 SIMPLIFICACIONES EN EL MODELO DEL SISTEMA

Los circuitos equivalentes de secuencia cero, positiva y negativa, se puedenhacer ciertas simplificaciones que no afectarán la exactitud del resultado. Estassimplificaciones incluyen lo siguiente:Se ignoran los elementos shunt o derivaciones en el modelo del transformador yque son responsables de las corrientes de magnetización y pérdidas en el núcleo.Se ignora la capacitancia shunt en el modelo de línea.

Se utiliza técnicas de análisis de circuitos en estado estable. La llamadadesviación cd, se considera mediante el uso de un factor de corrección.Las fuentes internas del sistema en °∠01

4.4 FALLA BALANCEADA TRIFÁSICA

Para representar la falla trifásica balanceada a través de una impedancia Z f comose muestra en la Figura 4.4.

Z Z Z

A

B

C

Z Z Z

A

B

C

FIGURA 4.4 Falla trifásica balanceada

Las condiciones terminales que se presentan permiten escribir:

=

c

b

a

f

f

f

c

b

a

I

I

I

Z

Z

Z

V

V

V

00

00

00

(4.6)

Usando componentes simétricas tenemos:

00 I Z V f =





11 I Z V f =

22 I Z V f =

En la Figura 4.5 se muestra las conexiones correspondientes de los circuitos.Como los circuitos de secuencia cero y negativa son pasivos, solamente el

circuito de secuencia positiva no es trivial:

020 == V V 020 == I I

Secuencia

positivaZf

V1

+

-

I 1

Secuencia

negativaZf

V2

+

-

I 2

Secuencia

ceroZf

V0

+

-

I 0

Secuencia

positivaZf Zf

V1V1

+

-

I 1I 1

Secuencia

negativaZf Zf

V2V2

+

-

I 2I 2

Secuencia

ceroZf Zf

V0V0

+

-

I 0I 0

FIGURA 4.5 Circuitos de secuencia para una falla trifásica balanceada

4.5 FALLA DE LÍNEA MONOFÁSICA A TIERRA

La falla monofásica de línea a tierra (que es el tipo más común de falla) esoriginada por las descargas atmosféricas o por los conductores al hacer contactocon las estructuras aterrizadas. Para una falla monofásica a tierra desde la fasea, a través de la impedancia Z f , los segmentos de las tres líneas se conectancomo se muestra en la Figura 4.6.

A

B

C

Z

A

B

C

Z

FIGURA 4.6 Diagrama de conexiones de una falla monofásica a tierra.

Las condiciones terminales son tales que podemos escribir:0=b I 0=c I f aa Z I V =

Con I b = I c = 0 , las componentes simétricas de las corrientes están dadas por:

=

0

0

1

1

111

3

1

2

2

2

1

0 a I

aa

aa

I

I

I





(4.7)

y al realizar la multiplicación, se llega a:

3210

a I I I I ===

(4.8)

La ecuación f aa Z I V = requiere también que:

∴ f Z I V V V 1210 3=++

(4.9)

La ecuación (4.8) esta condición se puede satisfacer si se interconectan losequivalentes Thevenin de las redes de secuencia en serie , como se muestra enla Figura 4.7.

Secuencia

positivaV1

+

-

I1

Secuencia

negativa

3Zf

V2

+

-

I2

Secuencia

ceroV

0

+

-

I0

Secuencia

positivaV1V1

+

-

I1

I1

Secuencia

negativa

3Zf 3Zf

V2

V2

+

-

I2

I2

Secuencia

ceroV

0V

0

+

-

I0

I0

FIGURA 4.7 Conexión de las redes de secuencia para simula una falla a tierra

Al encontrar la solución para I 0 y al combinar el resultado con la ecuación (4.8)se obtiene:

f

f

Z Z Z Z V I I I

3210210

+++===

(4.10)

4.5.1 EJEMPLO





Considerar el sistema que se muestra en la Figura 4.8. Los datos del sistema sonlos siguientes:

Elemento MVAnominal

Voltajenominal

X1 X2 X0

G1 100 25 kV 0.20 0.20 0.05G2 100 13.8 kV 0.20 0.20 0.05T1 100 25/230 kV 0.05 0.05 0.05T2 100 13.8/230 kV 0.05 0.05 0.05LT12 100 230 kV 0.10 0.10 0.30LT23 100 230 kV 0.10 0.10 0.30LT13 100 230 kV 0.10 0.10 0.30

G1T1

4

3

1 25 G2

T2LT12

LT23LT13

0.030.03

G1T1

4

3

1 25 G2

T2LT12

LT23LT13

0.030.03

FIGURA 4.8 Ejemplo-sistema

1.- Los equivalentes de los circuitos de secuencia vistos del NODO3

V2

+

-

I 2 j0.175

V1

+

-

I 1 j0.175

°∠01V0

+

-

I 0 j0.199

V2

+

-

I 2 j0.175

V2V2

+

-

I 2I 2 j0.175

V1

+

-

I 1 j0.175

°∠01 V1

+

-

I 1 j0.175

V1V1

+

-

I 1I 1 j0.175

°∠01V0

+

-

I 0 j0.199

V0V0

+

-

I 0I 0 j0.199 j0.199

Calcular una falla monofásica de línea a tierra que ocurre en el NODO3, en elsistema de ejemplo. Calcular los voltajes y corrientes bajo condiciones de falla.

SOLUCIÓN:Los circuitos de secuencia se interconectan como se muestra a continuación:

I1

j0.175

°∠01

j0.199 j0.175I1

I1

I1

j0.175 j0.175

°∠01

j0.199 j0.199 j0.175 j0.175





( )82.1

175.0175.0199.0

01210 j

j I I I −=

++

°∠===

−

=

−

−

−

=

0

0

46.5

82.1

82.1

82.1

1

1

111

2

2

J

j

j

j

aa

aa

I

I

I

c

b

a

Los voltajes de secuencia son:

( )

( )

( ) 319.082.10175

681.082.101751

362.082.10199

2

1

0

−=−−=

−=−−=

−=−−=

j jV

j jV

j jV

°∠

°∠=

−

−

−

=

122022.1

238022.1

0

319.0

0681

362.0

1

1

111

2

2

aa

aa

V

V

V

c

b

a

4.6 FALLA DE LÍNEA A LÍNEA

Para representar una falla línea a línea a través de una impedancia Z f se conectanlos segmentos de las tres líneas en la falla, de la manera mostrada en la Figura

4.9.

A

B

C

Z

A

B

C

Z

FIGURA 4.9 Falla Línea a Línea

La siguientes relaciones deben satisfacerse en el punto de falla0=a I bc I I =− c f bb V Z I V +=

Dado que bc I I =− e 0=a I , las componentes simétricas de la corriente son:





−

=

b

b

I

I

aa

aa

I

I

I 0

1

1

111

3

1

2

2

2

1

0

(4.11)

resolviendo la ecuación, se muestra que:

21

0 0

I I

I

−=

=

(4.12)

Los voltajes a través de la red de secuencia cero deben ser cero ya que no

hay fuentes de secuencia cero, y porque 00 = I , la corriente no se inyecta a esa

red debido a la falla.

Para satisfacer los requisitos de que 21 I I −= , se conectarán los equivalentes

de Thevenin de las redes de secuencias positivas y negativas en paralelo , como

se muestra en la Figura 4.10. Con el fin de mostrar que esta conexión de las

redes también satisface la ecuación de voltaje c f bb V Z I V += .

Secuencia

positivaV1

+

-

I 1

Secuencia

negativa

Zf

V2

+

-

I 2

Secuencia

ceroV0

I 0

+

-

Secuencia

positivaV1V1

+

-

I 1I 1

Secuencia

negativa

Zf

V2V2

+

-

I 2I 2

Secuencia

ceroV0V0

I 0I 0

+

-

FIGURA 4.10 Conexión de las redes de secuencia para una falla línea a línea





La ecuación para la corriente de secuencia positiva en la falla se puededeterminar directamente de la Figura 4.10, así que

f

f

Z Z Z

V I I

++=−=

21

21

(4.13)

4.6.2 EJEMPLO

Una falla línea a línea ocurre en el NODO3 del sistema de la Figura 4.8. Calcularlos voltajes y corrientes bajo condiciones de falla.

SOLUCION:Los circuitos de secuencia se interconectan como se muestra a

continuación:

I 1 j0.175

°∠01

j0.175

V1

+

-

I 1I 1I 1 j0.175 j0.175

°∠01

j0.175 j0.175

V1V1

+

-

( )

0

86.2175.0175.0

01

0

21

=

−=+

°∠=−=

I

j j

I I

Las corrientes de fase son:

−=

−

=

95.4

95.4

0

86.2

86.2

0

1

1

111

2

2

J

J

aa

aa

I

I

I

c

b

a

También:

0

5.0)175.0(

0

121

=

===

V

j I V V

Los voltajes de fase son:

−

−=

=

5.0

5.0

0.1

5.0

5.0

0

1

1

111

2

2

aa

aa

V

V

V

c

b

a





4.7 FALLA DE DOBLE LÍNEA A TIERRA

Para representar una falla de doble línea a tierra a través de una impedancia Z f seconectan los segmentos, de la manera mostrada en la Figura 4.11. Lascondiciones son:

0=a I cb V V = ( ) f cbb Z I I V +=

A

B

C

Z Z

A

B

C

Z Z

FIGURA 4.11 Falla doble línea a tierra

Como 0=a I , la corriente de secuencia cero esta dada por ( ) 30 cb I I I += y

los voltajes de la ecuación anterior dan:

03 I Z V V f cb ==

(4.14)

Al sustituir V b en lugar de V c en la transformación de las componentessimétricas, se encuentra que

=

c

b

a

V

V

V

aa

aa

V

V

V

2

2

2

1

0

1

1

111

3

1

La segunda y la tercera filas de esta ecuación muestran que

21 V V =

(4.15)

mientras la primera fila y la ecuación (4.14) muestran que

( ) 02100 3223 I Z V V V V V V f ba +++=+=

Se factoriza los términos de secuencia cero en un lado de la ecuación,haciendo V 2 = V 1 y al despejar V 1 se obtiene





001 3 I Z V V f −=

(4.16)

Al colocar juntas las ecuaciones (4.15) y (4.16) y al observar nuevamente que0=a I , se llega a los siguientes resultados

0

3

210

0021

=++

−==

I I I

I Z V V V f

(4.17)

Las ecuaciones características de la falla doble línea a tierra se satisfacencuando las tres redes de secuencia se conectan en paralelo como se muestra enla Figura 4.12. El diagrama de conexiones de la red muestra que la corriente desecuencia positiva, I 1, está determinada al aplicar un voltaje de pre-falla V f através de la impedancia total, que consiste en Z 1 en serie con la combinaciónparalelo de Z 2 y (Z 0 + 3 Z f ). Esto es,

( )

++

++

=

f

f

f

Z Z Z

Z Z Z Z

V I

3

3

02

02

1

1

(4.18)

Secuencia

positivaV1

+

-

I 1

Secuencianegativa

3Zf

V2

+

-

I 2

Secuencia

cero

V0

I 0

+

-

Secuencia

positivaV1V1

+

-

I 1I 1

Secuencianegativa

3Zf 3Zf

V2V2

+

-

I 2I 2

Secuencia

cero

V0V0

I 0I 0

+

-

FIGURA 4.12 Conexión de las redes de secuencia para una falla doble línea a tierra.





4.7.1 EJEMPLO

Una falla doble línea a tierra ocurre en el NODO3 del sistema de la Figura 4.8.Calcular los voltajes y corrientes bajo condiciones de falla.

SOLUCIÓN:Los circuitos de secuencia se interconectan como se muestra a

continuación:

I 1 j0.175

°∠01 j0.175V1

+

-

j0.199

I 1I 1I 1 j0.175 j0.175

°∠01 j0.175V1V1

+

-

j0.199

( )( )( )

( )

( ) 99.173.3199.0175.0

199.0

75.173.3199.0175.0

175.0

73.3

199.0175.0

199.0175.0175.0

1

2

0

1

j j I

j j I

j

j

j j j

I

=+

=

=+

=

−=

++

=

Las corrientes de fase son:

°∠

°∠=

−

=

9.2760.5

1.15260.5

0

99.1

73.3

75.1

1

1

111

2

2 J

aa

aa

I

I

I

c

b

a

Los voltajes secuencia son:

( )( ) 348.0199.075.1021 =−=== j jV V V

=

=

0

0044.1

348.0

348.0348.0

1

1111

2

2 J

aa

aa

V

V V

c

b

a



Capítulo 5

Flujos de Potencia

5.1. Introducción

La transmisión de energía eléctrica debe realizarse de una manera segura y confiable, tal que

los consumidores siempre reciban la energía requerida dentro de los rangos de operación de los dis-

positivos eléctricos que la demandan. La seguridad del sistema está dada por el balance energético

existente durante la transmisión de potencia, es decir, la potencia eléctrica que se genera debe ser

igual a la potencia eléctrica que circula a través de la red de transmisión más la potencia eléctricademandada por los consumidores. Debido a que la energía demandada esta cambiando continua-

mente es necesario calcular el punto de operación donde se logra este balance de energía, mediante

un análisis de flujos de potencia.

Este análisis es definido como el proceso de solución que proporciona la magnitud y ángulo

de fase del voltaje en estado estacionario en cada uno de los nodos que conforman la red eléctri-

ca, así como los flujos de potencia activa y reactiva inyectados en terminales de cada elemento de

transmisión, lo anterior bajo condiciones conocidas de potencia generada y consumida. Las ecua-

ciones matemáticas usadas para resolver este problema son conocidas como ecuaciones de flujos

de potencia, las cuales son derivadas al considerar la red de transmisión con parámetros concentra-

dos lineales y balanceados, así como condiciones de operación conocidas en todos los nodos que

77



CAPÍTULO 5. FLUJOS DE POTENCIA

conforman al sistema. Sin embargo, debido a que la formulación matemática se realiza en base a

inyecciones de potencia, las ecuaciones algebraicas resultantes son no lineales, requiriéndose de

un método numérico iterativo para su solución. La solución final es obtenida cuando la magnitud y

ángulo de los voltajes nodales tienen un valor tal que la suma de la potencia neta inyectada en cadanodo del sistema es cero.

5.2. Ecuaciones de Flujo de Potencia

El punto de equilibrio en estado estacionario en un sistema eléctrico de potencia es formulado

matemáticamente mediante ecuaciones en las cuales la suma de la potencia generada, la potencia

demandada por la carga y la potencia que fluye a través de los elementos de transmisión debe ser

igual a cero en cada nodo, tanto para la potencia activa como para la reactiva. Estas ecuaciones son

conocidas como ecuaciones de balance de potencia o ecuaciones de desajuste de potencia,

∆Pk = PGk −P Lk −Pcalk = P

spk −Pcal

k = 0 (5.1)

∆Qk = QGk −Q Lk −Qcalk = Q

spk −Qcal

k = 0. (5.2)

Las variables PGk y QGk representan las potencias activa y reactiva que son inyectadas al nodo

k por un generador, respectivamente. Para propósitos de la solución del estudio de flujos de poten-

cia, se considera que estas variables pueden ser controladas por el operador de la planta, y por lo

tanto, son variables conocidas. Las variables P Lk y Q Lk representan las potencias activa y reactiva,

respectivamente, extraídas por la carga conectada al nodo k . En el problema de flujos de potencia

estas variables son conocidas y dan lugar a lo que se conoce como potencia activa especificada Pspk

y potencia reactiva especificada Qspk ,

Pspk = PGk −P Lk (5.3)





Qspk = QGk −Q Lk . (5.4)

Las potencias activa y reactiva, Pcalk y Qcal

k , inyectadas en terminales de cada elemento de trans-

misión son función de la magnitud y el ángulo de los voltajes nodales, es por esto que deben ser

calculadas por medio de las ecuaciones de flujos de potencia.

Estas ecuaciones son deducidas a partir de las relaciones de voltaje y corriente nodales exis-

tentes en terminales de un elemento de transmisión. En base a la Figura 5.1, la corriente compleja

inyectada en el nodo k , denotada por I k , es la suma de las corrientes que fluyen a través de los

elementos en serie y en derivación que conforman la línea de transmisión,

I k = I km + I shk . (5.5)

Figura 5.1: Modelo π de la línea de transmisión.

La ecuación (5.5) puede ser expresada en términos de los voltajes complejos V k y V m como,

I k = V k −V m

zkm

+ yshk V k = ykm

V k −V m

+ ysh

k V k (5.6)

I k =

ykm + yshk

V k − ykmV m (5.7)

de manera similar para el nodo m,





I m =

ymk + yshm

V m− ymk V k . (5.8)

Las ecuaciones (5.7) y (5.8) se pueden escribir en forma matricial como,

I k

I m

=

ykm + yshk − ykm

− ymk ymk + yshm

V k

V m

(5.9)

o simplemente,

I k

I m

=

Y kk Y km

Y mk Y mm

V k

V m

(5.10)

donde los elementos de la matriz de admitancia y los voltajes nodales pueden ser expresados de

manera general en coordenadas rectangulares y polares, respectivamente,

Y i j = Gi j +j Bi j (5.11)

V i = V iejθ i = V i (cosθ i +jsinθ i) (5.12)

donde i = k , m y j = k , m.

Particularmente, la potencia compleja inyectada en el nodo k , se expresa en función del voltaje

nodal y de la corriente inyectada al nodo, de la siguiente manera

S calk = Pcal

k +jQcalk = V k I

∗k

S calk = V k

Y kk V k +Y kmV m

∗

(5.13)

donde I ∗k es la corriente compleja conjugada inyectada en el nodo k .





Al sustituir (5.11) y (5.12) en (5.13) e igualar parte real e imaginaria de las ecuaciones resul-

tantes, se obtienen expresiones para los términos Pcalk y Qcal

k que aparecen en las ecuaciones (5.1) y

(5.2),

Pcalk = V 2k Gkk +V k V m [Gkm cos (θ k −θ m) + Bkm sin(θ k −θ m)] (5.14)

Qcalk = −V 2k Bkk +V k V m [Gkm sin (θ k −θ m)− Bkm cos (θ k −θ m)] (5.15)

De manera similar, para el nodo m,

Pcalm = V 2mGmm +V mV k [Gmk cos (θ m−θ k ) + Bmk sin (θ m−θ k )] (5.16)

Qcalm = −V 2m Bmm +V mV k [Gmk sin (θ m−θ k )− Bmk cos (θ m−θ k )] (5.17)

Las ecuaciones (5.14) y (5.15) son llamadas ecuaciones de flujos de potencia. Con estas ecua-

ciones es posible calcular la potencia inyectada en el nodo k , de manera similar para el nodo m.

En general, un sistema eléctrico de potencia consiste en más de dos nodos. Para un sistema de

N nodos, la relación entre voltajes y corrientes nodales está dada por

I 1

I 2

...

I N

=

Y 11 Y 12 · · · Y 1 N

Y 21 Y 22 · · · Y 2 N

... ...

. . . ...

Y N 1 Y N 2 · · · Y NN

V 1

V 2

...

V N

(5.18)





o simplemente,

I = YbusV (5.19)

donde I es un vector de N ×1 elementos complejos, el cual representa las inyecciones de corriente

nodal, V es un vector de N ×1 elementos complejos que representa los voltajes nodales, y Ybus es

la matriz de admitancia nodal de N × N elementos complejos Y i j. En este caso, la corriente total

inyectada al nodo k es,

I k = Y k 1V 1 +Y k 2V 2 + · · ·+Y kN V N = N

∑ j=1

Y k jV j (5.20)

Así, las expresiones para las potencias netas calculadas Pcalk y Qcal

k en el nodo k son,

Pcalk = V k

N

∑ j=1

V j

Gk j cosθ k −θ j

+ Bk j sin

θ k −θ j

(5.21)

Qcalk = V k

N

∑ j=1

V j

Gk j sinθ k −θ j

− Bk j cos

θ k −θ j

. (5.22)

La complejidad del problema de flujos de potencia es patente de las ecuaciones anteriores,

(5.21) y (5.22), que muestran que la potencia inyectada en un nodo cualquiera es función de la

magnitud y ángulo de voltaje existente en todos los nodos del sistema. De igual manera, y opuesto

al caso de dos nodos, estas ecuaciones representan la inyección de potencia neta, es decir, la suma

de las potencias que fluyen por cada uno de los elementos de transmisión conectados al nodo k , tal

como se muestra en la Figura 5.2.





a) Balance de potencia activa.

b) Balance de potencia reactiva.

Figura 5.2: Balance de potencia en el nodo k .

Una vez obtenidas las ecuaciones de flujo de potencia, es posible escribir las ecuaciones de

balance de potencia para cada nodo del sistema. Para el caso del sistema de dos nodos,

∆Pk = PGk −P Lk −

V 2k Gkk +V k V m [Gkm cos (θ k −θ m) + Bkm sin (θ k −θ m)]

(5.23)

∆Qk = QGk −Q Lk −

−V 2k Bkk +V k V m [Gkm sin (θ k −θ m)− Bkm cos (θ k −θ m)]

. (5.24)

Para el nodo m se obtienen ecuaciones similares, basta con intercambiar los subíndices k por m

y viceversa.

Finalmente, las ecuaciones generales de balance de potencia en el nodo k al cual están conecta-

dos son,





∆Pk = PGk −P Lk −

V k

N

∑ j=1

V j

Gk j cosθ k −θ j

+ Bk j sin

θ k −θ j

= 0 (5.25)

∆Qk = QGk −Q Lk −

V k

N

∑ j=1

V j

Gk j sinθ k −θ j

− Bk j cos

θ k −θ j

= 0 (5.26)

5.3. Clasificación de Nodos y Variables

En la teoría de flujos de potencia cada nodo se caracteriza por cuatro variables: potencia activa,

potencia reactiva, magnitud y ángulo de fase de los voltajes nodales. De la sección anterior se sabeque sólo se cuenta con dos ecuaciones por nodo, por lo tanto, dos de las cuatro variables deben ser

especificadas para tener un problema que pueda ser resuelto. Desde el punto de vista matemático,

se podrían especificar cualesquiera de las cuatro variables; sin embargo, en términos ingenieriles,

la decisión se toma en base a cuales variables pueden ser controladas físicamente en cada nodo.

De manera general, se consideran magnitud y ángulo de fase nodal como variables de estado, y las

potencias activa y reactiva como variables de control.

Los nodos se clasifican de acuerdo a las dos de las cuatro variables que son especificadas:

Nodo PQ de carga: En este tipo de nodo no hay generador conectado, por lo tanto, las variables

de control PG y QG son cero. Además, las potencias activa y reactiva, P L y Q L extraídas por

la carga son conocidas de mediciones disponibles. En este tipo de nodos, las potencias activa

y reactiva son especificadas, y se resuelve para V y θ .

Nodo PV generador: En este caso, hay un generador conectado al nodo, el cual mantiene la mag-

nitud del voltaje nodal V en un valor constante mediante el ajuste de la corriente de campo

del generador, es decir, el generador inyecta o absorbe potencia reactiva según se requiera.

Además, la potencia activa generada PG se fije en un valor específico, y se resuelve para las

otras dos cantidades, θ y QG. La operación a voltaje constante es posible siempre y cuando

los límites de potencia reactiva del generador no sean violados, es decir, QGmın < QG < QGmax .





Nodo PQ generador: Si en un nodo PV el generador no puede brindar el soporte de potencia

reactiva necesario para mantener la magnitud de voltaje en el valor especificado, la potencia

reactiva se fija en el límite violado y se libera la magnitud de voltaje. En este caso, se especi-

fica la generación de potencia activa y reactiva, PG y QG, respectivamente, y se resuelve para

la magnitud de voltaje nodal V y el ángulo de fase θ .

Nodo Slack (Compensador): Uno de los nodos generadores del sistema se elige para ser el no-

do slack , en el cual se especifica la magnitud del voltaje nodal, V slack , y el ángulo de fase,

θ slack . Hay un solo nodo slack en el SEP, y su función es proporcionar la potencia suficiente

para satisfacer la demanda de potencia del sistema, así como las pérdidas existentes que son

desconocidas al inicio del proceso de solución. Debido a esto, generalmente se escoge como

nodo slack al generador de mayor capacidad nominal conectado al sistema. El ángulo de fase

del voltaje del nodo slack , θ slack , se escoge como la referencia contra la cual serán medidos

los demás ángulos de fase nodales, es normal fijar este valor en cero.

5.4. Solución de las Ecuaciones de Flujos de Potencia

Desde el punto de vista del modelado matemático, la solución del problema de flujos de poten-

cia consiste en resolver un conjunto de ecuaciones algebraicas no-lineales que describen el sistema

de potencia en condiciones de estado estable. A través de los años se han presentado varias pro-

puestas para la solución de las ecuaciones de flujo de potencia. Las primeras propuestas de solución

se basan en métodos numéricos del tipo Gauss y Gauss-Seidel con factores de aceleración. El atrac-

tivo del empleo de estos métodos es su mínimo requerimiento de almacenamiento en memoria, y el

hecho de ser fáciles de comprender y codificar en forma de programa de computadora. El inconve-

niente es que estos algoritmos presentan características de convergencia pobres cuando se aplican a

la solución de redes de tamaño real. Para superar dichas limitaciones, se aplicó el método Newton-

Raphson a principios de los 70’s, y desde entonces se ha establecido firmemente en la industria

eléctrica.





5.4.1. El Algoritmo Newton-Raphson

En estudios de flujos de potencia a redes de gran tamaño, el método Newton-Raphson ha pro-

bado tener el mayor éxito, debido a su característica de convergencia cuadrática. Este algoritmo

utiliza un proceso iterativo para resolver un conjunto de ecuaciones algebraicas no lineales de la

forma,

f 1 ( x1, x2, · · · , x M )

f 2 ( x1, x2, · · · , x M )

...

f M ( x1, x2, · · · , x M )

, o F(X) = 0 (5.27)

donde F representa un conjunto de M ecuaciones algebraicas no lineales, y X es el vector de M

variables de estado desconocidas.

La esencia del método Newton-Raphson consiste en determinar el vector de variables de estado

X por medio de la expansión en series de Taylor de F(X) alrededor de una condición inicial X(0),

F(X) = F (X(0)) + J (X(0))(X−X(0)) + t .a.o (5.28)

donde J(X(0)) es la matriz de derivadas parciales de primer orden de F(X) con respecto de X

evaluada en X = X(0), esta matriz se conoce como Jacobiano.

Esta expansión se adecua a una formulación apropiada para el cálculo del vector de variables

de estado X asumiendo que X(1) es el valor calculado por el algoritmo en la iteración 1, y que este

valor está lo suficientemente cerca de la condición inicial X(0). Basado en esta premisa, todos los

términos de alto orden asociados a derivadas en la ecuación (5.28) pueden ser despreciados. Por lo

tanto,





f 1

X(1)

f 2

X(1)

...

f M

X(1)

F(X(1))

≈

f 1

X(0)

f 2

X(0)

...

f M

X(0)

F(X(0))

+

∂ f 1(X)∂ x1

∂ f 1(X)∂ x2

· · · ∂ f 1(X)

∂ x M

∂ f 2(X)∂ x1

∂ f 2(X)∂ x2

· · · ∂ f 2(X)

∂ x M

... ...

. . . ...

∂ f M (X)∂ x1

∂ f M (X)∂ x2

· · · ∂ f M (X)

∂ x M

X=X(0) J(X(0))

x(1)1 − x

(0)1

x(1)2 − x

(0)2

...

x(1)

M − x(0)

M

X(1)−X(0)

(5.29)

En forma compacta y generalizando la expresión anterior para la i-ésima iteración se tiene,

F

X(i)≈ F

X(i−1)

+ J

X(i−1)

X(i)−X(i−1)

(5.30)

donde i = 1, 2, . . . . Además, se asume que X(i) está suficientemente cerca de la solución X(∗), por

lo tanto F

X(i)≈ F

X(∗)

= 0. De manera que la ecuación (5.30) se puede escribir como,

FX(i−1)+ JX

(i−1)X(i)

−X(i−1) = 0 (5.31)

la cual es resuelta para X(i),

X(i) = X(i−1)−J

X(i−1)−1

F

X(i−1)

(5.32)

La solución iterativa puede ser expresada en términos del vector de correcciones ∆X(i) = X(i)−

X(i−1),

∆X(i) = −J

X(i−1)−1

F

X(i−1)

(5.33)

de esta manera, las condiciones iniciales son actualizadas usando la siguiente relación:





X(i) = X(i−1) +∆X(i) (5.34)

Los cálculos se repiten tantas veces como sea necesario, usando los valores actualizados de X

en la ecuación (5.33) para la iteración en curso. El proceso termina cuando los desajustes ∆X son

más pequeños que una tolerancia especificada (e.g. 1×10−12).

5.4.2. Solución de las Ecuaciones de Flujos de Potencia mediante el Método

Newton-Raphson (FPNR)

Para aplicar el método Newton-Raphson al problema de flujos de potencia, las ecuaciones rele-

vantes deben ser expresadas en la forma de la ecuación (5.33), donde X representa el conjunto de

magnitudes y ángulos de voltajes nodales desconocidos. Las ecuaciones de desbalance de potencia

∆P y ∆Q se expanden alrededor de un punto base (θ (0), V(0)) y, por lo tanto, el algoritmo de flujos

de potencia Newton-Raphson (FPNR) queda expresado por la siguiente relación,

∆P1

∆P2

...

∆P N

∆Q1

∆Q2

...

∆Q N

=−

∂ ∆P1

∂θ 1

∂ ∆P1

∂θ 2 · · · ∂ ∆P1

∂θ N

∂ ∆P2∂θ 1

∂ ∆P2∂θ 2

· · · ∂ ∆P2∂θ N

... ...

. . . ...

∂ ∆P N

∂θ 1

∂ ∆P N

∂θ 2 · · · ∂ ∆P N

∂θ N

∂ ∆P1

∂ V 1 V 1 ∂ ∆P1

∂ V 2 V 2 · · · ∂ ∆P1

∂ V N V N

∂ ∆P2∂ V 1

V 1 ∂ ∆P2

∂ V 2 V 2 · · ·

∂ ∆P2∂ V N

V N

... ...

. . . ...

∂ ∆P N

∂ V 1 V 1

∂ ∆P N

∂ V 2 V 2 · · ·

∂ ∆P N

∂ V N V N

∂ ∆Q1∂θ 1

∂ ∆Q1∂θ 2

· · · ∂ ∆Q1∂θ N

∂ ∆Q2∂θ 1

∂ ∆Q2∂θ 2

· · · ∂ ∆Q2∂θ N

... ...

. . . ...

∂ ∆Q N

∂θ 1

∂ ∆Q N

∂θ 2 · · · ∂ ∆Q N

∂θ N

∂ ∆Q1∂ V 1

V 1 ∂ ∆Q1

∂ V 2 V 2 · · ·

∂ ∆Q1∂ V N

V N

∂ ∆Q2∂ V 1

V 1 ∂ ∆Q2

∂ V 2 V 2 · · ·

∂ ∆Q2∂ V N

V N

... ...

. . . ...

∂ ∆Q N

∂ V 1 V 1

∂ ∆Q N

∂ V 2 V 2 · · ·

∂ ∆Q N

∂ V N V N

∆θ 1

∆θ 2

...

∆θ N

∆V 1V 1

∆V 2V 2

...

∆V N

V N

(5.35)

expresando (5.35) de forma matricial, tenemos,





∆P

∆Q

(i)

F(X(i−1))

= −

∂ ∆P∂θ

∂ ∆P∂ V

V

∂ ∆Q

∂θ

∂ ∆Q

∂ V V

(i)

J(X(i−1))

∆θ

∆V

V

(i)

∆X(i)

(5.36)

Las cuatro submatrices del Jacobiano pueden consistir de hasta ( N −1)× ( N −1) elementos de la

forma,

∂ ∆Pk

∂θ m, ∂ ∆Pk

∂ V mV m,

∂ ∆Qk ∂θ m

, ∂ ∆Qk ∂ V m

V m,

(5.37)

donde k = 1, . . . , N y m = 1, . . . , N omitiendo la entrada del nodo slack . Las filas y columnas co-

rrespondientes a potencia reactiva y magnitud de voltaje para nodos PV también pueden omitirse.

Además, cuando los nodos k y m no están conectados directamente por un elemento de transmisión,

el elemento k −m del Jacobiano es nulo. Debido al bajo grado de conectividad que prevalece en los

sistemas de potencia reales, los Jacobianos de flujos de potencia son matrices altamente dispersas.

Una característica adicional es que las matrices Jacobianas son simétricas en estructura pero no en

valor.

Debe notarse que los términos correctivos ∆V m están divididos por V m, esto para compensar

el hecho de que los términos del Jacobiano (∂ ∆Pk /∂ V m)V m y (∂ ∆Qk /∂ V m)V m están multiplicados por

V m, este artificio matemático resulta en útiles simplificaciones en el cálculo de los elementos de la

matriz Jacobiana, ya que permite establecer las siguientes relaciones,

∂ ∆Qk

∂θ m= −

∂ ∆Pk

∂ V mV m (5.38)

∂ ∆Qk

∂ V mV m =

∂ ∆Pk

∂θ m(5.39)





En las siguientes expresiones, el signo negativo que precede a las derivadas parciales es el que

multiplica al Jacobiano en la ecuación (5.36). Así, los elementos del Jacobiano están dados por,

para k = m:

∂ ∆Pk

∂θ m= −

∂

∂θ m

PGk −P Lk −Pcal

k

= ∂ Pcal

k

∂θ m

∂ Pcalk

∂θ m= V k V m [Gkm sin(θ k −θ m)− Bkm cos (θ k −θ m)]

∂ Pcalk

∂θ m= Qcal

k +V 2k Bkk

(5.40)

∂ ∆Pk

∂ V mV m = −

∂

∂ V m

PGk −P Lk −Pcal

k

V m =

∂ Pcalk

∂ V mV m

∂ Pcalk

∂ V mV m = V k V m [Gkm cos (θ k −θ m) + Bkm sin (θ k −θ m)]

∂ Pcalk

∂ V mV m = Pcal

k −V 2k Gkk

(5.41)

∂ ∆Qk

∂θ m= −

∂

∂θ m

QGk −Q Lk −Qcal

k

= ∂ Qcal

k

∂θ m

∂ Qcalk

∂θ m= V k V m [−Gkm cos (θ k −θ m)− Bkm sin(θ k −θ m)]

∂ Qcalk

∂θ m

= −Pcalk +V 2k Gkk = −

∂ Pcalk

∂ V m

V m

(5.42)





∂ ∆Qk

∂ V mV m = −

∂

∂ V m

QGk −Q Lk −Qcal

k

V m =

∂ Qcalk

∂ V mV m

∂ Qcalk

∂ V mV m = V k V m [Gkm sin (θ k −θ m)− Bkm cos (θ k −θ m)]

∂ Qcalk

∂ V mV m = Qcal

k +V 2k Bkk = ∂ Pcal

k

∂θ m

(5.43)

para k = m:

∂ ∆Pk

∂θ k = −

∂

∂θ k PGk −P Lk −Pcalk =

∂ Pcal

k ∂θ k

∂ Pcalk

∂θ k

= V k V m [−Gkm sin(θ k −θ m) + Bkm cos (θ k −θ m)]

∂ Pcalk

∂θ k

= −Qcalk −V 2k Bkk = −

∂ Pcalk

∂θ m

(5.44)

∂ ∆Pk

∂ V k V k = −

∂

∂ V k

PGk −P Lk −Pcalk V k =

∂ P

cal

k ∂ V k

V k

∂ Pcalk

∂ V k

V k = 2V 2k Gkk +V k V m [Gkm cos (θ k −θ m) + Bkm sin(θ k −θ m)]

∂ Pcalk

∂ V k

V k = Pcalk +V 2k Gkk

(5.45)





∂ ∆Qk

∂θ k

= − ∂

∂θ k ,l

QGk −Q Lk −Qcal

k

= ∂ Qcal

k

∂θ k

∂ Qcalk

∂θ k

= V k V m [Gkm cos (θ k −θ m) + Bkm sin (θ k −θ m)]

∂ Qcalk

∂θ k

= Pcalk −V 2k Gkk =

∂ Pcalk

∂ V mV m

(5.46)

∂ ∆Qk

∂ V k

V k = − ∂

∂ V k QGk −Q Lk −Qcal

k V k = ∂ Qcal

k

∂ V k

V k

∂ Qcalk

∂ V k

V k = −2V 2k Bkk +V k V m [Gkm sin (θ k −θ m)− Bkm cos (θ k −θ m)]

∂ Qcalk

∂ V k

V k = Qcalk −V 2k Bkk

(5.47)

Un punto importante que se debe tener presente es que las ecuaciones de balance de potencia

∆P y ∆Q correspondientes al nodo slack no son incluidas en la ecuación (5.36), esto debido a quelas incógnitas asociadas a este nodo, V slack y θ slack , son datos especificados. Además, las variables

desconocidas Pslack y Qslack son calculadas una vez que se han determinado los flujos y las pérdidas

de potencia en la red de transmisión del sistema eléctrico. También, la potencia reactiva generada en

nodos PV , QG, es calculada en cada iteración, esto para verificar si los generadores se encuentran

dentro de límites de generación de potencia reactiva. Sin embargo, las ecuaciones de balance de

potencia reactiva correspondientes a nodos PV no son incluidas en la ecuación (5.36) ya que en

este tipo se nodos se especifica la magnitud de voltaje.

Una de las principales fortalezas del método Newton-Raphson es la confiabilidad en relación

con la convergencia. Para la mayoría de los casos prácticos, y dadas las condiciones iniciales X(0)

adecuadas, el método exhibe una característica de convergencia cuadrática; es decir,





f ( x(1)) = 1×10−1,

f ( x(2)) = 1×10−2,

f ( x(3)) = 1×10−4,

f ( x(4)) = 1×10−8.

para el valor del máximo desajuste ∆ x. Contrario a lo que sucede en técnicas de solución diferentes

al Newton-Raphson, esta característica de convergencia es independiente del tamaño de la red a

resolver y de la clase y número de equipos de control presentes en el sistema de potencia. Algunos

de los aspectos que podrían mermar esta característica de convergencia son las violaciones de

límites de potencia reactiva en los generadores de nodos PV y condiciones extremas de carga.

5.4.3. Inicialización de Variables de Estado

La efectividad del método Newton-Raphson para lograr una solución factible, depende de la

selección de valores iniciales adecuados para todas las variables de estado involucradas en el pro-

blema.

En la solución de flujos de potencia, las magnitudes de voltaje generalmente se inicializan en

1 p.u. (por unidad) en nodos de tipo PQ, esto debido a que se espera que en estado estable los

valores de magnitud de voltaje estén muy cercanos a 1 p.u. y por lo tanto esta sea una condición

inicial en la cual el método Newton-Raphson tenga un buen desempeño. Para el nodo slack y nodos

PV los valores de magnitud de voltaje son datos especificados, los cuales permanecen constantes

durante el proceso iterativo si no hay violación de límites de potencia reactiva en los generadores.

Los valores para los ángulos de fase de los voltajes nodales son inicializados en 0° para todos los

nodos.





5.5. Manejo de Nodos PV

Aún cuando la ecuación de balance de potencia reactiva ∆Qk del nodo k del tipo PV no es

requerida en la ecuación (5.36), dado que QGk = Q Lk + Qcalk , la solución de la ecuación (5.22) para

nodos PV se realiza en cada iteración para evaluar si la potencia reactiva aportada por el generador

conectado al nodo k se encuentra dentro de límites operativos, es decir

QGk mın < QGk < QGk max (5.48)

Si durante el proceso iterativo ocurre alguna de las siguientes condiciones:

QGk ≥ QGk max

QGk ≤ QGk mın

(5.49)

el nodo k se convierte en nodo PQ generador , y en la ecuación (5.36) se incorpora una de las

siguientes ecuaciones de balance de potencia reactiva,

∆Qk = QGk max −Q Lk −Qcalk

∆Qk = QGk mın −Q Lk −Qcalk

(5.50)

dependiendo del límite violado, junto con los correspondientes elementos del Jacobiano. En este

caso, se libera la magnitud del voltaje del nodo k , es decir, ya no permanecerá constante durante el

resto del proceso iterativo, de manera que V k se convierte en una variable de estado.

Se debe notar que el nodo k puede retornar a nodo generador PV si durante el proceso iterativo

se obtiene una mejor estimación de Qcalk , calculada con valores de voltaje nodal más precisos, y que

este valor indique que el generador conectado al nodo k puede aportar la potencia reactiva requerida

por dicho nodo. Por lo tanto, la verificación de violación de límites de potencia reactiva en los

generadores se realiza cada iteración. La experiencia programando algoritmos de flujos de potencia





indica que la verificación de límites debe comenzar después de la segunda o la tercera iteración,

esto debido a que los valores calculados al inicio del proceso iterativo pueden distar mucho de los

correctos, conllevando con ello a falsos requerimientos de potencia reactiva. El cambio de nodo PV

a nodo PQ y viceversa suponen esfuerzo numérico adicional en la solución iterativa y retarda la

convergencia.

5.6. Conclusiones

Se presenta en detalle la formulación matemática del problema de flujos de potencia basada en

inyecciones de potencia, así como su solución mediante el algoritmo Newton-Raphson (FPNR),

dicha formulación es la más utilizada en la industria para realizar estudios de flujos de potencia.

Para el análisis de flujos de potencia, la red eléctrica es modelada por: un conjunto de nodos in-

terconectados por medio de líneas de transmisión y transformadores, además se tienen generadores

y cargas conectadas a varios nodos del sistema. En general existen tres tipos de nodos: nodos PV

(de generación), nodos PQ (de carga) y el nodo slack.

Al efectuar un estudio de flujos de potencia, las pérdidas de potencia activa y reactiva en la red

no son conocidas de antemano. Por este motivo la inyección de potencia real y reactiva de al menos

un nodo debe ser determinada por la solución; el nodo que asume esta función es llamado nodo

compensador. El modelo matemático del problema de flujos de potencia lo integran un sistema

de ecuaciones algebraicas no-lineales. Para obtener la solución de este sistema de ecuaciones se

utilizan métodos iterativos como el Newton-Raphson.






CAPITULO 6

CONCEPTOS BÁSICOS DE CONTROL DE VOLTAJE

OBJETIVO

Al término del capítulo el Ingeniero Operador de Subárea y el Ingeniero Auxiliar deTurnos de Operación identificarán los aspectos críticos que influyen en el controlde voltaje

6.1 INTRODUCCIÓN

En la operación de Sistemas Eléctricos de Potencia el control de voltaje es una

función primordial. El objetivo de este control es ajustar todos los voltajes nodalesdentro de una banda operativa. Esto hace que la solución del problema sea máscompleja, comparada con el control de frecuencia, ya que se tiene un problemamultivariable.

En el análisis de este tema se relaciona el flujo de potencia reactiva con elperfil de voltaje del sistema, siendo muy importante la localización de fuentes depotencia reactiva y la estructura del sistema de transmisión. Otra característicainteresante del problema, que agrega complejidad a la solución, es la generacióny consumo variable de potencia reactiva en los elementos de transmisión ytransformación.

En este capítulo se presentan conceptos básicos que ayudan a comprendermejor el comportamiento del voltaje en Sistemas Eléctricos de Potencia.Primeramente se presenta el efecto del flujo de potencia reactiva en la red detransmisión sobre el perfil de voltaje del sistema, posteriormente se describen lascaracterísticas de los diferentes elementos de control de voltaje.





6.2 COMPORTAMIENTO DEL FLUJO DE REACTIVOS PARA EL CONTROLDE VOLTAJE

En la literatura se asocia el problema de voltaje con la circulación de potenciareactiva. Esto se puede mostrar analizando el circuito de la Figura 6.1.

FIGURA 6.1 Circuito básico

Si en la Figura 6.1 se considera que la carga consume sólo potencia activa,entonces el diagrama fasorial que relaciona el voltaje de generación (Vg) y el decarga (Vc) es el mostrado en la Figura 6.2.

I

δ

Vg

Ir

Ix

Vc

FIGURA 6.2 Diagrama fasorial del circuito de la Figura 6.1

La relación entre la corriente y la potencia de carga se expresa en la ecuación(6.1). En todos los desarrollos se utilizan magnitudes de corriente y voltaje.

C V

P I =

(6.1)

la relación entre voltaje se obtiene del diagrama fasorial de la Figura 6.2.

( )22

2

+

+=

++=

xV

Pr

V

PV V

I jxr V V

C C

C g

C g

(6.2)

Carga (P + jQ)

Z = r + jx

V gV c

I





En la ecuación (6.2) se observa que las caídas de voltaje en fase y encuadratura con Vc dependen de los valores de resistencia y reactancia delelemento de transmisión. Como generalmente la relación r/x es pequeña ensistemas de transmisión, la componente en fase será pequeña ( )r V P C

. Por otrolado, la componente en cuadratura ( ) xV P

C no cambia significativamente la

magnitud de Vc, sólo causa el defasamiento entre voltajes. De esta forma:

δ sin x

V V P

gC = PARA ÁNGULOS PEQUEÑOS: x

V V

P

gC

=δ

(6.3)

r V

PrI V V V

C

C g ==∆=−

(6.4)

El análisis de las ecuaciones (6.3) y (6.4) muestra:

• Que la carga activa afecta en mayor grado el defasamiento entre voltajes.• El cambio en la magnitud del voltaje depende del valor de la carga, pero su

efecto se reduce debido al valor de la resistencia.

Otro aspecto importante que se debe observar es que aún cuando la carga noconsume potencia reactiva, el generador si está aportando reactivos al sistema.Esto se observa del diagrama de la Figura 6.2, con el voltaje V g adelantadorespecto a la corriente de carga. La potencia reactiva que se inyecta en elextremo de envío se consume en la reactancia del sistema de transmisión,causando una caída de voltaje (Ix) en cuadratura con el voltaje de carga.

Un caso que ilustra el efecto del flujo de reactivos se tiene cuando la cargademanda potencia reactiva inductiva (factor de potencia atrasado). El diagramafasorial para este caso se muestra en la Figura 6.3.

FIGURA 6.3 Diagrama fasorial para carga con Fp. Atrasado

La relación entre voltaje y corriente en la carga es la siguiente:

φ cos I V

P

C

=

(6.5)

Vc Ir

Ix

δ

Vg

I φ Vc Ir

Ix

δ

Vg

I φ





φ sin I V

Q

C

=

(6.6)

del diagrama fasorial de la Fig. 6.3 se obtiene la relación entre voltajes, utilizandolas ecuaciones anteriores (6.5) y (6.6) se tiene:

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]22

2

222 sincossincos

−+

++=

−+++=

r V

Q x

V

P x

V

Qr

V

PV V

r I x I x I r I V V

C C C C

C g

C g φ φ φ φ

(6.7)

Al analizar la ecuación (6.7) y la Figura 6.3 se concluye que la componente enfase con el voltaje de carga es la que tiene mayor efecto en la caída de voltaje delpunto de generación a la carga.

x

V

Qr

V

PV

C C

+≅∆

(6.8)

en (6.8) se observa a su vez que la demanda de potencia reactiva tiene mayorefecto en el cálculo de ∆V debido a que está multiplicada por la reactancia delelemento de transmisión.

Comparando los términos en (6.8) se obtiene:

==

r

x

P

Q

r

V

P

xV

Q

C

C α

(6.9)

De aquí que a medida que la relación x/r aumenta (sistemas de transmisiónde alta tensión) y que el factor de potencia difiere más de la unidad, el efecto de lacorriente reactiva es mayor en el cambio de voltaje.

Analizando el diagrama de la Figura 6.3 se observa que el ángulo entre elvoltaje de generación y la corriente es ( )δ φ + , lo cual indica que el generadoropera con un factor de potencia más atrasado que el de la carga. En este caso sedebe generar y transmitir la potencia reactiva de la carga y la potencia reactiva

que consume el sistema de transmisión.

Otra condición operativa de interés se tiene cuando la carga en la Figura 6.1sólo consume potencia reactiva inductiva. La relación fasorial para este caso semuestra en la Figura 6.4.





FIGURA 6.4 Diagrama fasorial para carga reactiva inductiva

Del análisis de las condiciones mostradas en la Fig. 6.4 se obtiene:

xV

QV

C

=∆

(6.10)

donde se aprecia el gran impacto de la corriente reactiva en la caída de voltaje, eneste caso prácticamente en fase con el voltaje Vc.

Comparando las ecuaciones (6.4) y (6.10), que representan los casosextremos de tener una inyección activa y reactiva respectivamente, se observaque el mayor impacto de la inyección reactiva (6.10) es debido a la reactancia delelemento de transmisión, de esta forma la ecuación (6.10) es el términodominante en la caída de voltaje. En el caso general la ecuación (6.8) define lascontribuciones de cada componente de la carga.

6.2.2 ECUACIONES DE FLUJO DE POTENCIA REACTIVA

Si se consideran dos nodos unidos por una reactancia, Figura 6.5, El flujo depotencia reactiva se puede expresar en función de las magnitudes de voltaje y ladiferencia angular.

FIGURA 6.5 Conexión de nodos a través de una reactancia

La expresión resultante para el flujo de i a j es la siguiente

−+

−=

−==

c

i

ij

ji

iij

ijijiij

jX

V

jX

V V V S

jQP I V S

**

**

Qij Q ji

x ji

Viδi V j

δ j

δ = δ j -δ j

Qij Q ji

x ji

Viδiδi V j

δ j

δ = δ j -δ j

δ Vc

I Vg

Ir

Ixφ

δ Vc

I Vg

Ir

Ixφ





ij

ji

ij X

senV V P

δ = ( )

c

i ji

ij

iij

X

V V V

X

V Q

2

cos −−= δ

Despreciando el efecto capacitivo de la línea de transmisión, la expresiónresultante es la siguiente:

( )δ cos ji

ij

iij

V V X V Q −=

(6.11)

En (6.11) se observa que el flujo de potencia reactiva depende del signo deltérmino entre paréntesis. Es decir, de la diferencia de las magnitudes de voltajeentre los extremos del elemento. De esta manera, para diferencias angularespequeñas, 1cos ≈δ , la potencia reactiva tenderá a circular del voltaje mayor alvoltaje menor.

El consumo de potencia reactiva en el elemento de transmisión se obtiene

sumando los flujos en direcciones opuestas. jiijP

QQQ +=

de acuerdo a (6.11) se obtiene

δ cos2

22

ij

ji

ij

j

ij

iP

X

V V

X

V

X

V Q −+=

(6.12)

Los requerimientos de potencia reactiva en (6.12) depende en formaaproximada de la diferencia de voltajes al cuadrado. Para ilustrar en forma

esquemática el flujo de potencia reactiva se presenta los casos de la Figura 6.6.

V1 V2

0 0

V1

V2V2

V1

IV1 V2

α 0

V2

V1

IV1 V2

α β

α > βV1 V2

α β

V1

V2

I

(a) (b)

(c) (d)

V1

V2

I

V1 V2

α β

(e)

V1 V2

0 0

V1

V2V2

V1

IV1 V2

α 0

V2

V1

IV1 V2

α β

α > βV1 V2

α β

V1

V2

I

(a) (b)

(c) (d)

V1

V2

I

V1 V2

α β

(e)

FIGURA 6.6 Diagramas fasoriales para diferentes condiciones de operación.





Del análisis de las ecuaciones del flujo de reactivos y de los diagramasfasoriales se puede resumir lo siguiente:

• El flujo de reactivos produce una caída de voltaje que depende de lareactancia del elemento de transmisión.

• La diferencia de voltaje incrementa el consumo de potencia reactiva en lareactancia del elemento.

• Los requerimientos de reactivos tienen un comportamiento no-lineal, concambios crecientes al tener una diferencia de voltaje mayor.

• La distribución de flujos reactivos en los extremos de la línea depende dela corriente de carga y del consumo de reactivos en la reactancia detransmisión.

6.3 CONTROL DE VOLTAJE LOCAL

De acuerdo a los conceptos presentados se puede decir que para evitar ladegradación del perfil de voltaje es necesario eliminar o reducir el flujo depotencia reactiva en el sistema. Sin embargo, en sistemas reales las fuentes dereactivos no necesariamente están cerca de la carga, de ahí que se requierecierto transporte de potencia reactiva.

La primera fase en el control de voltaje es tener nodos de voltaje controladoque definan en forma general el perfil de voltaje del sistema. Este control de

voltaje es de tipo local y trata de mantener el voltaje de un nodo en un valorespecificado. Esto se logra a través de cambios en la excitación de generadoreso la conexión continua de reactores o capacitores, en el caso de compensadoresestáticos de vars (CEV).

En la Figura 6.7 se presenta un esquema de control local típico.

FIGURA 6.7 Control de voltaje local

SISTEMADE

POTENCIA

Vref i

V

Efd

CONTROLDEEXCITACION

REGULADORDE

VOLTAJE

S

Vref j

V

CONTROLDELCEV

Σ

GEN

Σ

CARGA CARGA

SISTEMADE

POTENCIA

Vref i

V

Efd

CONTROLDEEXCITACION

REGULADORDE

VOLTAJE

S

Vref j

V

CONTROLDELCEV

ΣΣ

GEN

ΣΣ

CARGA CARGA





Si los esquemas de control se aplican en varios puntos del sistema se definirála estructura básica del flujo de reactivos en la red. Los nodos de voltajecontrolado sirven de referencia (soporte) al perfil de voltaje del sistema ymantienen el nivel de voltaje aportando la potencia reactiva requerida por lascargas y el sistema de transmisión.

En estado estable los controles mantendrán el voltaje del nodo controlado enel valor especificado. En cambio, ante perturbaciones, se tendrán cambios en losvoltajes y el regreso a los valores de referencia dependerá de la respuestadinámica de los sistemas de control.

En un caso real las fuentes de reactivos son limitadas y sólo podrán mantenerel voltaje mientras los requerimientos de potencia reactiva del sistema esténdentro de la capacidad de la fuente. Si se llega a un límite, se pierde el soportede reactivos y el control de voltaje en la zona donde se localiza la fuente.

En un sistema de potencia es muy importante la localización de las fuentes dereactivos, el objetivo en la ubicación es tratar de lograr un soporte de voltajeadecuado y reducir la transmisión de potencia reactiva a los puntos de carga.

Al tener pocas fuentes de potencia reactiva y estar alejadas eléctricamente dela carga, entonces se tendrá la degradación del perfil de voltaje debido a latransmisión de reactivos a grandes distancias. Este problema es acumulativo, yaque al tener mayores diferencias de voltaje también se incrementa el consumo dereactivos en los elementos de transmisión, lo que a su vez causa una caída devoltaje mayor.

6.4 BALANCE DE POTENCIA REACTIVA

En un sistema de potencia los nodos de voltaje controlado actúan comocompensadores de potencia reactiva, suministrando los reactivos necesarios, deacuerdo a las variaciones de la demanda, para mantener el voltaje especificado.

La aportación de reactivos de las fuentes dependerá del voltaje de referenciaespecificado. Así, si se incrementa el voltaje interno del generador, como

resultado de un cambio en la corriente de campo, se tendrá un caso como el quese muestra en el diagrama fasorial de la Figura 6.8.





FIGURA 6.8 Cambio en la excitación del generador

En la Figura 6.8(a) se presenta la condición antes del cambio, se tiene unfactor de potencia unitario en terminales, sin embargo, internamente se tiene uninyección de potencia reactiva (corriente I atrasada con respecto a Eg) que seconsume en la reactancia del generador. Esta es la condición que define el límiteentre sobre-excitación o sub-excitación de un generador.

En la Figura 6.8(b) se presenta el diagrama fasorial después de un cambio en

la demanda de reactivos en el sistema, se mantiene la potencia activa sin cambioy el voltaje terminal constante. En este caso, a través del sistema de excitaciónse incrementa la corriente de campo, y el voltaje interno de la máquina, y paramantener la potencia activa constante se ajusta el ángulo δ a δ´. Esta relaciónentre la corriente (I) y el voltaje interno (Eg) es el mecanismo compensador para lapotencia reactiva. La inyección de potencia reactiva de la máquina parte seconsume en la reactancia del generador y parte se inyecta al sistema (corrienteatrasada con respecto al voltaje terminal). En este caso la máquina estásobreexcitada, ya que suministra los requerimientos internos del generador y losdel sistema.

Un análisis similar se puede realizar cuando se modifica el voltaje dereferencia de un generador, manteniendo el resto de los generadores del sistemasin cambio. Para ilustrar este comportamiento se utiliza el sistema y el diagramafasorial de la Figura 6.9.

FIGURA 6.9 Sistema para analizar el efecto de cambios en el voltaje de generación.

En el diagrama fasorial de la Figura 6.9 se observa que la máquina i entregapotencia activa y reactiva al sistema, en cambio en el nodo j sólo se recibepotencia activa a través de la línea de transmisión.

x ji

Vi V j

δ

I

Vi

V j

x ji

Vi V j

x ji

Vi V j

δ

I

Vi

V jδ

I

Vi

V j

SISTEMA

Xg Vt

Eg

I

δ

IVt

Eg

δ1

I

Vt

Eg

φ Vt

(a) (b)

SISTEMA

Xg Vt

Eg

II

δ

IVt

Eg

δ

IVt

Eg

δ1

I

Vt

Eg

φ Vt

(a) (b)





Si se incrementa el voltaje V i y se mantiene la potencia activa sin cambio,entonces se debe ajusta el ángulo δ para mantener la potencia activa (P).

δ ′= sinij

ji

X

V V P

(6.13)

ji

ij

V V

PX =′δ sin

(6.14)

como el denominador en (6.14) crece, el ángulo δ´ debe ser menor que δ. Deesta manera, la corriente se debe ajustar en magnitud y fase para cumplir con lapotencia activa trasmitida y con la relación de voltajes. En este caso lacomponente de la corriente en fase con el voltaje V j debe ser la misma que antesdel cambio.

En la Figura 6.10 se observa que la inyección de potencia reactiva en el nodoi aumenta, ya que crece la magnitud de V i , la corriente I y el ángulo entre estosfasores. Por otro lado el nodo j recibe potencia reactiva del sistema detransmisión, la cual se consume en la carga o la debe absorber el generador enese nodo.

FIGURA 6.10 Diagrama fasorial para analizar el cambio en le voltaje de V i

El resultado de modificar el voltaje de generación es un cambio en el flujo dereactivos. Se tendrá un intercambio de potencia reactiva entre generadores ycomo consecuencia se altera el perfil de voltaje del sistema. La efectividad delcambio dependerá de que se reduzca el flujo de reactivos en las trayectorias de

mayor impedancia.

En forma natural se tiene la tendencia a suministrar la potencia reactivarequerida por la carga a través de las líneas con menor impedancia. Esto sepuede mostrar utilizando las ecuaciones del flujo de potencia reactiva en elsistema de la Figura 6.11.

δ1

I

Vi

φ V jδ1

I

Vi

φ V j





FIGURA 6.11 Sistema de potencia elemental

( )ij ji

ij

iij

V V X

V Q δ cos−=

(6.15)

( )kj jk

kj

k kj

V V X

V Q δ cos−=

(6.16)

Si se considera que los voltajes de generación (V i =V k ) y las diferencias

angulares (δij=δkj) son iguales, entonces:

ij

kj

kj

ij

X

X

Q

Q=

(6.17)

La ecuación (6.17) muestra que la relación de flujos de reactivos dependeráde las reactancias de las ramas. A medida que la reactancia del elemento detransmisión es mayor, el flujo de reactivos disminuye. La distribución del flujo dereactivos trata de lograr el equilibrio de voltaje en el nodo j , la ecuación (6.17)

también se puede escribir en forma aproximada como una caída de voltaje.

k

kjkj

i

ijij

V

X Q

V

X QV ==∆

(6.18)

Al aumentar la demanda de potencia reactiva en el nodo j , ésta se obtendrá enmayor proporción de la fuente de reactivos más cercana eléctricamente a lacarga, de manera de tener la menor desviación de voltaje en el nodo j .

La acción de control recomendada sería modificar el voltaje de la fuente dereactivos más cercana a la carga, de manera de aumentar el flujo por latrayectoria con menor impedancia y al mismo tiempo descargar las trayectorias dealta impedancia.

xij

Vi V j Vk

xkj

QkjQij

xij

Vi V j Vk

xkj

QkjQij





6.4.2 INYECCIONES DE POTENCIA REACTIVA

En algunos casos se pueden tener elementos pasivos que consumen o generanpotencia reactiva en función del voltaje del punto donde se conectan. La fuentevariable de reactivos suministrará las necesidades de potencia reactiva en nodoscercanos, tratando de evitar el viaje de potencia reactiva desde puntos alejados.Este es el caso de capacitores y reactores, que alteran el balance nodal depotencia reactiva y causan cambios en la distribución de flujos reactivos, en lageneración de potencia reactiva en nodos de voltaje controlado y comoconsecuencia en el perfil de voltaje del sistema.

Si en cada punto del sistema se logra el balance de potencia reactiva (segenera y se consume lo necesario), se tendrá un perfil plano de voltaje, conpequeñas variaciones debidas a la caída por efecto de la resistencia de la líneade transmisión.

6.5 CONTROL DE VOLTAJE MEDIANTE TRANSFORMADORES

Los transformadores constituyen los elementos de unión entre redes eléctricas dediferente nivel de tensión. La función primordial que desempeñan consiste enelevar los voltajes de generación a los niveles de transmisión que son requeridospara disminuir pérdidas; y en los puntos de carga disminuir los voltajes detransmisión hasta los niveles adecuados para las redes de distribución. Medianteestos equipos se logra principalmente el control sobre el voltaje y la distribuciónde potencia reactiva, aun cuando algunos diseños especiales permiten cierto

control sobre la potencia activa.

De acuerdo a la ley de Faraday, si se enrolla un segundo conductor en elnúcleo de material ferromagnético se obtendrá una fuerza electromotriz inducidaen las terminales de dicho conductor.

FIGURA 6.12 Representación esquemática de un transformador monofásico.





En esta sección se presenta el desarrollo del circuito equivalente deltransformador monofásico. No se modelan los efectos de la corriente deexcitación, debido a que no influye sustancialmente en los estudios de flujos yfallas. La Figura 6.13 muestra el circuito equivalente de un transformadormonofásico.

FIGURA 6.13 Circuito equivalente de un transformador monofásico.

Donde:

ZH Impedancia del devanado HZX Impedancia del devanado Xe,e’ Voltajes inducidos en los devanadosnH Número de vueltas del devanado HnX Número de vueltas del devanado X

La relación de transformación se define en función del número de vueltas decada devanado o de los voltajes a circuito abierto como sigue:

X

H

X

H

V

V

n

n

a ==

(6.19)

Para controlar el voltaje es común cambiar la relación de transformación deltransformador (tap) para modificar el voltaje en nodos de carga. El transformadorno es una fuente de potencia reactiva, sin embargo, el cambio de tap altera ladistribución del flujo de reactivos en el sistema, lo que permite obtener un cambioen el perfil de voltaje.

Un caso más general es el que contempla la posibilidad de tener cambio detap en ambos devanados del transformador, como se muestra en la siguiente

figura:

y XH

a:1 1:b

y XH

a:1 1:b

FIGURA 6.14 Representación unifilar del transformador con taps en ambos devanados.





Para este transformador con dos taps, en la Figura 6.15, se muestra el circuitoequivalente para el caso particular de que las terminales b y d se encuentranaterrizadas.


Para analizar el efecto del cambio de tap en uno de los devanados se

considera que tap en el otro devanado permanece sin cambio. Si el tap en el ladoc-d es unitario, el circuito equivalente de la Figura 6.15 se simplifica al mostrado acontinuación:

FIGURA 6.16 Equivalente del transformador monofásico con tap en un devanado.

Analizando las ramas del circuito equivalente de la Figura 6.15 se puedeobservar que dependiendo de la posición del cambiador de tap se tienen unarama en derivación con comportamiento capacitivo y otra con comportamientoinductivo, o viceversa. En la Tabla 6.1 se muestra la naturaleza de las ramas delcircuito equivalente para diferentes valores de la relación de transformación.

Tabla 6.1

Rama a<1 a>1y0 Inductiva Inductiva

y1 Inductiva Capacitiva

y2 Capacitiva Inductiva

a

y

a

y

a 2

1-a

a

b

c

d

H X

y1

a

a-1y2

y0

ab y ab y

−

ab a 11

2

−

ab b 11

2

a

b

c

d

H X





El flujo de potencia reactiva en el transformador estará gobernado por laposición del cambiador de tap. Cuando la posición del tap sea diferente a lanominal, la tendencia natural del flujo de potencia reactiva será desde la ramacapacitiva hacia la rama inductiva, a menos que las condiciones del sistemaimpongan otra restricción.

6.6 Condensador síncrono.

Cuando la maquina síncrona se conecta a una barra infinita, su velocidad voltajede terminales permanecen fijos e inalterables. Sin embargo, dos variablescontrolables son la corriente de campo y el par mecánico en la flecha. Lavariación de la corriente de campo

f I (conocida como control del sistema deexcitación), se aplica al generador para suministrar o absorber una cantidadvariable de potencia reactiva.

Suponga que el generador esta entregando potencia de manera que haycierto ángulo δ entre el voltaje de terminales V de la máquina y el voltajegenerado E , como se muestra en la Figura 6.17. La potencia compleja entregadaal sistema por el generador está dada en por unidad por:

(6.20)

Donde:

(6.21)

Se puede observar que Q es positiva para factores de potencia en atraso ya queel ángulo φ es numéricamente positivo. Si se decide mantener un determinadosuministro de potencia activa P desde el generador al sistema de voltajeconstante, de debe conservar constante φ cos I como lo muestra la ecuación(6.31). En la Figura 6.6 a) se muestra el lugar geométrico de potencia activaconstante y bajo estas condiciones, conforme se varía la corriente de CD decampo

f I , el voltaje generado E varía proporcionalmente, manteniéndose

constante φ cos I .

Se define como excitación norma l , la condición en que:

(6.22)

)sen(cos φ φ j I V I V jQPS t t +==+= ∗

rr

φ

φ

IsenV Q

I V P

t

t

=

= cos

V E =δ cos





y se dice que la máquina esta sobreexcitada o subexcitada según V E >δ cos oV E <δ cos , respectivamente. Para la condición de la Figura 6.6a), el generador

está sobreexcitado y suministra potencia reactiva Q al sistema. Así desde el puntode vista del sistema, la máquina actúa como un capacitor. La Figura 6.6b)corresponde a un generador subexcitado que suministra la misma cantidad de

potencia activa a una corriente en adelanto al sistema, se puede considerar queesta tomando corriente en atraso del sistema. El generador subexcitado tomapotencia reactiva del sistema y en este sentido actúa como un inductor.

FIGURA 6.17 Diagramas fasoriales que muestran el lugar geométrico de un generador a)sobreexcitado, b) con excitación normal, c) generador subexcitado.

Se debe recordar que la potencia real P , se controla abriendo o cerrando las

válvulas por las que el vapor o agua entran a la turbina. Si la potencia de entradaal generador se incrementa, la velocidad del rotor empezará a aumentar y si lacorriente de campo f I , y por lo tanto E se mantienen constantes, seincrementará el ángulo δ entre E y V . El incremento en δ da como resultadoun mayor φ cosa I y por lo tanto el generador entrega mayor potencia activa P a lared.

I r

E r

V r

φ φ send X I

δ

I jX d

rφ cosd X I

φ δ

I r

E r

I jX d

r

φ send X I

φ cosd X I

Lugares

geométrico

s de

V r

I r

δ cos E

E r

d X I

)a

)c

)b

δ





6.7 COORDINACIÓN DE CAMBIOS

En el problema de control de voltaje es muy importante seleccionar los voltajes dereferencia en los nodos de voltaje controlado de tal manera que se mantenga unperfil de voltaje lo más uniforme posible.

Esta acción de coordinación se realiza tratando de mantener cierto nivel dereserva de potencia reactiva, o bien minimizando el flujo de reactivos en elsistema. Este es un proceso de optimización, que trata de lograr un perfil devoltaje dentro de un rango operativo y al mismo tiempo obtener la mejor reservade reactivos posible.

Por otro lado, siendo el control de voltaje un problema de naturaleza local, esposible formular varios problemas de control de acuerdo a la estructura delsistema. Esto se basa en que la acción de controles sólo será efectiva si serealiza en puntos cercanos a los nodos con problemas de voltaje.

Para simplificar el problema, en cada subsistema se puede seleccionar unnodo que servirá de indicador del nivel de voltaje en el subsistema. El objetivo eneste caso es determinar la acción de control mas adecuada para mantener elvoltaje en este nodo dentro de la banda operativa seleccionada.

6.7.1 Relación flujos de potencia reactiva – pérdidas de potencia activa

En secciones previas se ha mostrado la relación entre el flujo de potencia reactiva

y la caída de voltaje. Ahora se tratará de asociar el flujo de reactivos con laspérdidas de potencia activa.

En el análisis se considera el sistema de la Figura 6.18.

FIGURA 6.18 Análisis de pérdidas de transmisión

Se considera que por la línea de transmisión (nodo j ) se recibe una potenciaactiva P y cero potencia reactiva. Los nodos i y j son de voltaje controlado. Eldiagrama fasorial correspondiente se muestra en la Figura 6.19.

Z= r + jx

Vi V j G jG i

Z= r + jx

Vi V j G jG i





FIGURA 6.19 Diagrama fasorial para el caso base

Si se incrementa el voltaje en V i y se mantiene constante la potencia activa dela carga y el voltaje V j , se alterará la distribución de reactivos en el sistema y porconsiguiente la corriente. En la Figura 6.20 se presenta el diagrama fasorial conel cambio de voltaje.

FIGURA 6.20 Efecto del cambio en el voltaje Vi

El análisis de la Figura 6.20 indica que la magnitud de la corriente debe crecerpara mantener la misma componente de corriente en fase con V j , esto de manerade cumplir con la restricción de potencia activa. Al tener una corriente mayor seincrementan las pérdidas de potencia activa ( )r I

2 .

En este caso las pérdidas activas las proporcionará el generador G i , elgenerador G j tiene una aportación fija de potencia activa a la carga. El balancenodal en este caso es el siguiente.

líneaGjac PPP +=arg

En cuanto a la potencia reactiva, ahora en el nodo j se recibe potenciareactiva que se consumirá en la carga o se tendrá que absorber en el generadorG j .

Si el voltaje V i se reduce se tendrá la situación que muestra en el diagrama dela Figura 6.21.

V j Ir

Ix

δ

Vi

I φ V j Ir

Ix

δ

Vi

I φ

V jI

δ

V i

Ir

Ix

V jI

δ

V i

Ir

Ix





FIGURA 6.21 Efecto de la reducción del voltaje Vi

En este caso nuevamente la magnitud de la corriente aumenta para mantenerla restricción de la potencia activa y las relaciones de voltaje, produciendo unincremento en las pérdidas de potencia activa.

La expresión analítica de las pérdidas activas (P p ) se puede obtener sumandoel flujo de potencia activa de i a j y de j a i , el resultado se presenta en laecuación (6.23)

( )ij ji ji p V V V V xr

r P δ cos

22

22 −+

+=

(6.23)

Si sólo se considera V i como variable, la condición de pérdidas mínimas seobtiene derivando (6.24) en respecto a V i e igualando a cero.

( ) 0cos2222

=−+

= ij ji

i

pV V

xr

r

dV

dPδ

(6.24)

simplificando se obtiene

ij ji V V δ cos=

(6.25)

De (6.25) se concluye que para diferencias angulares pequeñas, las pérdidasse minimizan cuando las magnitudes de voltajes son iguales.

En un caso general se puede decir que con un perfil uniforme de voltaje sereduce el flujo de reactivos y como consecuencia se minimizan las pérdidas depotencia activa en la transmisión.

V j

Ix

Irφ

Vi

I

V j

Ix

Irφ

Vi

I





6.7.2 Margen de potencia reactiva

Uno de los aspectos importantes a considerar cuando se realizan cambios en losvoltajes de las fuentes de reactivos, es la reserva de potencia reactiva disponibleen cada nodo controlado.

Aquí lo importante es tener siempre disponible potencia reactiva paracontrarrestar los cambios normales de la carga o cambios en el sistema detransmisión ocasionados por contingencias. Si como resultado de las acciones decontrol, tratando de mejorar el perfil de voltaje, se reduce la reserva de reactivosen una zona, se corre el riesgo de perder el control de voltaje en esa parte delsistema al no disponer del soporte de reactivos necesarios ante posibles cambios.

De acuerdo a los principios presentados anteriormente, la potencia reactiva sedebe tener disponible lo más cerca eléctricamente posible de la demanda, de estaforma el concepto de reserva sólo tiene significado en forma local. En el caso de

una reserva de reactivos remota se tendrá la circulación de potencia reactiva engrandes distancias y en consecuencia la degradación del perfil de voltaje.

La coordinación de voltajes en un sistema debe involucrar criteriospreventivos de seguridad, siempre será necesario estar adelante del sistema, demanera de anticipar cambios posibles en la distribución de reactivos.




6.8 RESUMEN

El perfil de voltajes en un sistema eléctrico está íntimamente relacionado con elflujo de potencia reactiva.

Las fuentes de potencia reactiva y la estructura del sistema de transmisiónson muy importantes para lograr un buen perfil de voltajes.

La caída de voltaje depende tanto de la transmisión de reactivos como de sudistancia.

Carga Caída de voltaje

PQ=0

r V

PV

C

≅∆

P + jQ xV

Qr

V

PV

C C

+≅∆

P=0Q

xV

QV

C

≅∆

La diferencia de voltaje incrementa el consumo de potencia reactiva en lareactancia del elemento.

La efectividad del mejoramiento del perfil de voltaje, depende de que sereduzca el flujo de reactivos en las trayectorias de mayor impedancia.

La potencia reactiva se debe tener disponible lo más cerca (eléctricamente)posible de la demanda, si la potencia reactiva está lejana a la demanda, el perfilde voltaje se degradará.

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