CURSO: ESTÁTICA

SESIÓN 04:

.MOMENTO DE UNA FUERZA RESPECTO A UN

PUNTO Y A UN EJE

(ver Sílabo)(ver Sílabo)Ing. José Vásquez Sevillano

31 DE MARZO 201410:50pm-12:20pm

Elección del Delegado Alumno

MOMENTO DE UNA FUERZAMOMENTO DE UNA FUERZA

1. MOMENTO DE UNA FUERZA 1. MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UN PUNTOCON RESPECTO A UN PUNTO

Resulta del producto vectorial del vector de posición OP OP por el vector fuerza F.El momento es un vector perpendicular al plano de r y F.El sentido del momento se determina mediante la regla de la mano derecha.Dado que las fuerzas tienen carácter de vectores deslizantes, el momento de una fuerza es independiente de su punto de aplicación sobre su recta de acción o directriz (propiedad de transmisibilidad)

La magnitud del momento esta dado por:

http://www.youtube.com/watch?v=F_HwlWwGFpI

2. PRINCIPIO DE MOMENTOS: Teorema de Varignon

Si un sistema de fuerzas concurrentes esta actuando sobre un cuerpo como se muestra en la figura, el momento de la fuerza resultante alrededor del punto puede ser determinado mediante la suma de cada uno de los momentos de las fueras individuales respecto al mismo punto. Es decir:

3. COMPONETES RECTANGULARES DEL MOMENTO DE UNA FUERZA

El momento de la fuerza respecto a O es

Componentes rectangulares del momento respecto a un punto cualquiera

Producto cruz de dos vectores Producto cruz de dos vectores http://www.youtube.com/watch?v=fmAhi1N-uL8http://www.youtube.com/watch?v=fmAhi1N-uL8

Componentes rectangulares del momento en el plano

Ejemplo Se aplica una fuerza vertical de 100 lb al extremo de una palanca que está unida a un eje en O. Determine: (a) el momento de la fuerza de 100 lb con respecto al punto O, (b) el módulo de la fuerza horizontal que aplicada en A produce el mismo momento produce el mismo momento respecto a O,(c) la menor fuerza que aplicada en A produce el mismo momento respecto a O, (d) a que distancia del eje debe aplicarse una fuerza vertical de 750 N para que produzca el mismo momento respecto a O

Parte (a) La magnitud del momento de la fuerza de 100 lb se obtiene multiplicando la fuerza por el brazo de palanca esto es

La dirección de Mo es perpendicular al plano que contiene F y d y su sentido se determina mediante la regla derecha

in. 12lb 100

in. 1260cosin.24

O

O

M

d

FdM

in lb 1200 OM

SOLUCIÓN

Parte (b) La fuerza que aplcada en A produce el mismo momento se determina en la forma siguiente

SOLUCIÓN

in. 8.20

in. lb 1200

in. 8.20in. lb 1200

in. 8.2060sinin. 24

F

F

FdM

d

O

lb 7.57F

Parte (b) Debido a que M = F d. el mínimo valor de F corresponde al máximo valor de d. Eligiendo la fuerza perpendicular a OA se encuentra que d = 24 in; entonces

SOLUCIÓN

in. 42

in. lb 1200

in. 42in. lb 1200

F

F

FdMO

lb 50F

Parte (b). En este caso Mo = Fd obteniendo

SOLUCIÓN

in. 5cos60

in. 5lb 402

in. lb 1200

lb 240in. lb 1200

OB

d

d

FdMO

in. 10OB

Ejemplo • La placa rectangular es soportada por dos pernos en A y B y

por un alambre CD. Conociendo que la tensión e el alambre es 200 N. Determine el momento con respecto al punto A de la fuerza ejercida por el alambre en C

El momento MA de la fuerza F ejercida por el alambre es obtenido evaluando el producto vectorial

SOLUCIÓN

SOLUCIÓNFrM ACA

jirrr ACAC

m 08.0m 3.0

kji

kji

r

rFF

DC

DC

N 128N 69N 120

m 5.0

m 32.0m 0.24m 3.0N 200

N 200

12896120

08.003.0

kji

M A

EjemploLa tensión en el cable AB es 150 N. Determine la tensión en AC y CD tal que la suma de los momentos alrededor del origen debido a la fuerza ejercida por los cables en el punto A es cero.

Ejemplos

INTERPRETACIÓN DEL MOMENTO DE UNA FUERZA

El momento de una fuerza con respecto a un eje da a conocer en qué medida existe capacidad en una fuerza o sistema de fuerzas para causar la rotación del cuerpo alrededor de un eje que pase por dicho punto.

El momento tiende a provocar un giro en el cuerpo sobre el cual se aplica y es una magnitud característica en elementos que trabajan sometidos a torsión (como los ejes de maquinaria) o a flexión (como las vigas

MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UN EJE QUE PASA POR EL ORIGEN

• Sabemos que el momento de la fuerza F respecto al punto O.

• El momento de la fuerza F con respecto al eje OL es la proyección ortogonal de Mo sobre el eje OL.

• El momento MOL de F alrededor del eje OL mide la tendencia de la fuerza F a impartir al cuerpo rígido rotación alrededor del eje OL

0ˆ ˆ ˆ ˆ. . .OLM M r F

MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UN EJE QUE PASA POR

UN PUNTO CUALQUIERA• El momento de una fuerza

alrededor de un eje cualquiera es

• El resultado es independiente del punto B

/

/

ˆ ˆ ˆ ˆ. . .OL B A B

A B A B

M M r F

r r r

Ejemplo • Sobre un cubo de arista a

actúa una fuerza P, como se muestra en la figura. Determine el momento de P:(a) con respecto a A,(b) con respecto a la arista AB.(c) Con respecto a la diagonal AG

SOLUCIÓN

• Moment of P about A,

jiPjiaM

jiPjiPP

jiajaiar

PrM

A

AF

AFA

2

222

kjiaPM A

2

• Moment of P about AB,

kjiaPi

MiM AAB

2

2aPM AB

La magnitud del momento respecto a AB es

SOLUCIÓN

(c) La magnitud del momento respecto a AG es

1116

23

12

3

1

3

aP

kjiaP

kjiM

kjiaP

M

kjia

kajaia

r

r

MM

AG

A

GA

GA

AAG

6

aPM AG

Ejemplo• Se aplica una tensión T de

intensidad 10 kN al cable amarrado al extremo superior A del mástil rígido y se fija en tierra en B. Hallar e momento Mz de T respecto del eje Z que pasa por la base O del mástil.

Ejemplo• La fuerza F tiene una

intensidad de 2 kN y está dirigida de A hacia B. Determine : (a) La proyección FCD de La fuerza F sobre la recta CD (b) el ángulo que θ que forma la fuerza F y la recta CD y (c) si el modulo del momento F respecto a la recta CD es de 50 N. m, halle el módulo de la fuerza

Ejemplo• La tensión el cable es 143,4 N. Determine el momento

alrededor del eje x de esta fuerza de tensión actuando en A. Compare su resultado con el momento del peso de 15 kgf de la placa uniforme alrededor del eje x. ¿Cuál es el momento de fuerza de tensión actuando en A alrededor de la línea OB

Ejemplo• Una barra doblada está rígidamente fijada a una pared en el

punto (0,0,0). Una fuerza de magnitud F = 7 lb actúa en su extremo libre con una línea de acción que pasa por el origen, como se muestra en la figura: Halle : (a) el momento de la fuerza respecto al punto P, (b) el momento respecto a la línea l que pasa por P con una pendiente 5/12 en el plano yz.