curso de preparaciÓn para la prueba de acceso a los ciclos formativos de grado ... ·...

IES Fernando Aguilar Quignón. Departamento de Matemáticas. Curso de preparación para la prueba de acceso a los ciclos formativos de grado superior (B)

CURSO DE PREPARACIÓN PARA

LA PRUEBA DE ACCESO A LOS CICLOS

FORMATIVOS DE GRADO SUPERIOR

(MODALIDAD B)

PARTE COMÚN MATEMÁTICAS


BLOQUE 1: ARITMÉTICA Y

ÁLGEBRA



BLOQUE 1. ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA: POTENCIAS. NOTACIÓN CIENTÍFICA. RECTA REAL 1. Cuenta la leyenda que el inventor del ajedrez recibió como recompensa por su invento la cantidad de trigo consistente en colocar un grano en la primera casilla del tablero, dos en la segunda, cuatro en la tercera, ocho en la cuarta; y así sucesivamente, duplicando en cada casilla el número de granos de la casilla anterior. a) ¿Cuántos granos de trigo habría que depositar en la casilla número 27? Expresa el resultado en notación científica. b) ¿Cuántos granos de trigo se depositaron en la casilla número 64? Expresa también el resultado en notación científica. c) Suponiendo que en 100 gramos de trigo hay 2500 granos, ¿cuánto pesará el trigo de la casilla 64? Expresa el resultado en notación científica. d) ¿Cuántos camiones de 40 toneladas de capacidad de carga serían necesarios para transportar el trigo? Otra vez debes dar el resultado en notación científica. Solución: (a) 226=6,71.107 granos (decenas de millones) (b) 263=9,22.1018 granos (millones de billones) (c) 3,69.1011 T (cientos de miles de millones) (d) 9,22.109 camiones (miles de millones) 2. Con un km3 de arcilla se construyen dados de un cm3. ¿Cuántos se pueden construir? Si colocamos todos estos dados en fila india, es decir, uno a continuación del otro, ¿qué longitud alcanzarían? Solución: Se pueden construir 1015 dados, que puestos en fila india alcanzarían una longitud de 1010 Km (10 mil millones de kilómetros). 3. Calcula las siguientes potencias:

(a) (-3)5

(b) 2

3

2

(c) (0,1)3 (d) (-3)4

(e) 3

5

2

(f) 105 (g) -24

(h) 0

5

1

- 1 -


(i) 4

10

1

(j) 2-2 (k) (-3)-2

(l) 3

2

3

(m)1

10

1

(n) -124 (o) (0,1)-2 (p) -12325

Solución: (a) -243; (b) 4/9; (c) 0,001; (d) 81; (e) -8/125; (f) 100 000 (g) -16; (h) 1; (i) 0,0001; (j) 1/4; (k) 1/9, (l) 8/27; (m) 10; (n) -1; (o) 100; (p) -1

4. Expresa en notación científica: A) Distancia de la Tierra al Sol: 150 000 000 km. En km y en otros múltiplos y submúltiplos del m. B) Caudal de una catarata: 1 200 000 l/s ¿Cuántos litros caen en un día? C) Velocidad de la luz 300 000 km/s. ¿Cuánto tarda en llegar un rayo de luz del Sol a la Tierra, si el sol está aproximadamente a 149.597.870 km de la Tierra? ¿Y a Plutón, que está 6·109 km del Sol? D) La población de China: 1 200 millones de habitantes E) Los siguientes números: 752 000; 0,000000012; 15 000 000 000; 0,073; 32·105; 75·10-4; 843·107; 0,03·106; 0,0025·10-5; Solución: (A) 1,5.108 km=1,5.109 hm=1,5.1010 Dm=1,5.1011 m=1,5.1012 dm=1,5.1013 cm=1,5.1014 mm; (B) 1,2.106 l/s. En un día caen 1,0368.1011 l. (C) 3.105 km/s. Del sol a la Tierra un rayo tarda aproximadamente 8 minutos. (D) 1,2.109 habitantes. (E) 7,52.105; 1,2.10-8; 1,5.1010; 7,3.10-2; 3,2.106; 7,5.10-3; 8,43.109; 3.104; 2,5.10-8. 5. Si un año-luz es la distancia que recorre la luz en un año y sabemos que la estrella Alfa-Centauro está a 4,3 años-luz de la Tierra ¿A cuántos km está? ¿Cuánto tiempo tardaríamos en llegar si viajáramos en una nave espacial a 100 000 km/h?

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Solución: La estrella Alfa-Centauro está aproximadamente a 4,07.1013 km. de la Tierra. A esa velocidad tardaríamos aproximadamente 4,07.108 horas, es decir, aproximadamente 465 siglos. 6. Un virus mide 5·10-4 mm. ¿Cuántos cabrían en el ecuador? .Supón la Tierra una esfera de radio 6 370 km. Solución: Cabrían 8.1013 virus 7. El número estimado de estrellas en nuestra galaxia es de 1011 y el número estimado de galaxias en el universo es de 1012. ¿Qué número estimas que puede haber de estrellas en el universo? Supón que todas las galaxias tienen el mismo número de estrellas. Solución: Se estima que puede haber 1023 estrellas en el universo. 8. La masa de un virus es 10-21 kg, la de un hombre, 70 kg, y la de la Tierra 5,9x1024 kg. Calcula la relación entre la masa de un hombre y un virus, y la de la Tierra y un hombre. ¿Cómo son estas relaciones? Solución: La relación entre la masa de un hombre y la de un virus es de 7.1022. La relación entre la masa de la Tierra y la de un hombre es, aproximadamente 8,43.1022. Ambas relaciones pueden considerarse equivalentes. 9. ¿Cuántas veces es menor la Luna que la Tierra si el volumen estimado de la Luna es de 21,9x109 km3 y el volumen de la Tierra es de alrededor de 1,08x1012 km3? El diámetro de la Tierra es 3,67 veces mayor que el de la Luna. ¿Coincide con la proporción obtenida? Razona la respuesta. Solución: La Luna es aproximadamente 49 veces menor que la Tierra. Evidentemente no coincide con la proporción entre sus diámetros, que es una relación entre medidas de longitud, mientras que el tamaño es una relación entre medidas de volumen. 10. El volumen estimado de todos los océanos de la Tierra es de 1285600000 km3 y el volumen de agua dulce estimado es de 35000000 km3. ¿Cuál es la proporción? Solución: El volumen de todos los océanos de la Tierra es aproximadamente 37 veces superior al volumen de agua dulce. 11. El peso estimado de nuestra galaxia es 2,2x1041 kg, y el peso estimado del Sol es de 1,989x1030 kg. ¿Cuántos soles harían falta para conseguir el peso de nuestra galaxia? Solución: Harían falta aproximadamente 1,11.1011 (cien mil millones de soles)

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12. La pirámide de Keops tiene un volumen estimado de 2500000 m3 y el lago Ness de 7,5 km3. ¿Sabrías compararlos?

Solución: En el lago Ness cabrían 3000 pirámides de Keops. 13. Relaciona mediante una flecha cada expresión de la columna de la izquierda con su correspondiente intervalo: Números reales mayores que 2 (− ∞, 2]

{x∈ R / x ≤ 5} (2, + ∞)

Números reales positivos y menores que 2 (0, 2)

Números reales cuya mitad es menor que 2 y mayor que 1 [− 5, 5]

− ∞ < x ≤ 2 (2, 4) Solución: Números reales mayores que 2 (− ∞, 2] {x∈ R / x ≤ 5} (2, + ∞)

Números reales positivos y menores que 2 (0, 2) Números reales cuya mitad es menor que 2 y mayor que 1 [− 5, 5] − ∞ < x ≤ 2 (2, 4)


BLOQUE 1. ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA: LENGUAJE ALGEBRAICO 14. Asocia a cada enunciado una de las expresiones algebraicas que aparecen debajo: a) El cuadrado de un número menos su doble. b) El 80% de un número. c) Un número impar. d) Los dos tercios de un número más cinco unidades.

2x-1; x2-2x; 0,8x; 2x/3+5 15. Expresa en lenguaje algebraico empleando una sola incógnita. a) El triple de un número menos dos. b) El producto de dos números consecutivos. c) El cuadrado de un número más su mitad. d) La suma de un número con otro diez unidades mayor. 16. Traduce a lenguaje algebraico utilizando dos incógnitas. a) La suma de los cuadrados de dos números. b) El cuadrado de la diferencia de dos números. c) La mitad del producto de dos números. d) La semisuma de dos números. 17. Si x e y son las edades actuales de dos hermanos, expresa los siguientes enunciados utilizando ambas incógnitas: a) La suma de las edades que tenían hace 5 años. b) El producto de las edades que tendrán dentro de 6 años. c) La diferencia entre la edad del mayor y la mitad del menor.

PROBLEMAS DE ECUACIONES 18. La suma de tres números naturales consecutivos es igual al quíntuple del menor menos 11. ¿Cuáles son esos números?.

Solución: 7,8 y 9 19. Calcula un número tal que sumándole su mitad se obtiene lo mismo que restando 6 a los 9/5 de ese número.

Solución: 20 20. Halla tres números impares consecutivos tales que su suma sea 117.

Solución: 37, 39 y 41.

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21. Calcula las longitudes de los lados de un rectángulo de perímetro 82 cm y cuya base mide 8 cm más que la altura.

Solución: base 24,5 cm y altura 16,5 cm. 22. He pagado 14,30 € por un bolígrafo, un cuaderno y una carpeta. Si el precio de la carpeta es 5 veces el del cuaderno y este cuesta el doble que el bolígrafo, ¿cuál es el precio de cada artículo?

Solución: Bolígrafo1,10€, Cuaderno 2,20€ y carpeta 11€. 23. El precio de unos zapatos ha subido un 15% en diciembre y ha bajado un 20% en enero. De esta forma, el precio inicial ha disminuido en 6,96 €. ¿Cuál era el precio inicial?

Solución: 87€. 24. Si un número aumenta un 30%, resulta 189 unidades mayor que si disminuye un 15%. ¿Cuál es ese número?

Solución: 420. 25. En un triángulo rectángulo, un cateto mide 2 cm menos que la hipotenusa y 14 cm más que el otro cateto. Calcula la longitud de los tres lados.

Solución: 10 cm, 24 cm y 26 cm. 26. La base de un rectángulo es 9 cm mayor que su altura. Su área mide 400 cm2. Calcula las dimensiones de este rectángulo.

Solución: altura 16 cm, base 25 cm 27. De un depósito de agua se sacan un 2/7 de su contenido; después, 40 litros, y por último, 5/11 del agua restante, quedando aún 60 l. ¿Cuánta agua había en el depósito?

Solución: 210 litros 28. Un padre de 43 años tiene dos hijos de 9 y 11 años. ¿Cuántos años han de transcurrir para que entre los dos hijos igualen la edad del padre?

Solución: 23 29. La edad actual de un padre es el triple que la de su hijo y dentro de 14 años será el doble. ¿Qué edad tiene cada uno?

Solución: hijo 14, padre 42

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30. Calcula cuántos litros de aceite de orujo de 1,6 €/l tenemos que añadir a un bidón que contiene 60 l de aceite de oliva de 2,8 €/l para obtener una mezcla de 2,5 €/l.

Solución: 20 l 31. Al mezclar 30 kg de pintura con 50 kg de otra de calidad inferior, obtenemos una mezcla a 3,30 €/kg. Si el precio de la pintura barata es la mitad que el de la otra, ¿cuál es el precio del kilo de cada clase de pintura?

Solución: 4,80 €/kg y 2,40 €/kg. 32. Una marca de café se elabora con un 30% de café colombiano de 18 €/kg, y el resto, con otro tipo de café. La mezcla resulta a 14,15 €/kg. ¿Cuál es el precio del café más barato?

Solución: 12,50 €/kg 33. Un centro escolar contrató un autobús para una salida al campo. Con todas las plazas ocupadas, el precio del billete es 12 €; pero quedaron 4 plazas libres por lo que el viaje costó 13,5 €. ¿Cuántas plazas tiene el autobús?

Solución: 36 plazas. 34. Luis y Miguel han comprado dos videojuegos que tenían el mismo precio, pero han conseguido una rebaja del 16% y del 19%, respectivamente. Si Luis pagó 1,26 € más que Miguel, ¿cuál era el precio que tenía el videojuego?

Solución: 42 €. 35. Con 3,5 € más del dinero que tengo, podría comprar la camiseta de mi equipo. Si tuviera el doble, me sobrarían 7,25 €. ¿Cuánto dinero tengo?

Solución: 10,75€

PROBLEMAS DE SISTEMAS DE ECUACIONES 36. Halla dos números tales que su suma sea 160, y su diferencia, 34.

Solución: 97 y 63 37. Por dos bolígrafos y tres cuadernos he pagado 7,80 €; por cinco bolígrafos y cuatro cuadernos, pagué 13,2 €. ¿Cuál es el precio de un bolígrafo? ¿Y de un cuaderno?

Solución: bolígrafo 1,20€ y cuaderno 1,80€

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38. Un librero ha vendido 45 libros, unos a 32 € y otros a 28 €. Obtuvo por la venta 1 368 €. ¿Cuántos libros vendió de cada clase?

Solución: 27 libros de 32€ y 18 de 28€. 39. En un corral hay conejos y gallinas que hacen un total de 29 cabezas y 92 patas. ¿Cuántos animales hay de cada clase?

Solución: 12 gallinas y 17 conejos 40. Un examen tipo test consta de 50 preguntas y hay que contestar a todas. Por cada acierto se obtiene un punto y por cada fallo se restan 0,5 puntos. Si mi nota ha sido 24,5, ¿cuántos aciertos y cuántos fallos he tenido?

Solución: 33 aciertos y 17 fallos. 41. Una cooperativa ha envasado 2 000 l de aceite en botellas de 1,5 l y 2 l. Si ha utilizado 1 100 botellas, ¿cuántas se han necesitado de cada clase?

Solución: 400 de 1,5 l y 700 de 2 l. 42. La suma de las edades de una madre y su hijo es 56 años. Hace 10 años, la edad de la madre era el quíntuple de la edad que tenía el hijo. ¿Cuál es la edad actual de cada uno?

Solución: Madre 40, hijo 16. 43. Hace tres años la edad de Nuria era el doble de la de su hermana Marta.

Dentro de 7 años, será los 3

4 de la que entonces tenga Marta. Calcula la edad

actual de cada una.

Solución: Nuria 13. Marta 8


BLOQUE 1. ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA: INECUACIONES DE PRIMER GRADO 44. Resuelve las siguientes inecuaciones de primer grado con una incógnita. Expresa la solución en forma de intervalo. a) 093 x Solución: (3,+∞) b) 0204 x Solución: (-∞,5) c) 6235 xx Solución: (-∞,1) d) 44310 xx Solución: (2,+∞) e) 52)75(2 x Solución: (-∞,-3] f) xx 5131)12(3 Solución: (-∞,-1)

g) 10

784

10 x

x

Solución: (-∞,2)

h) 3

26

2

15

3

2

xx

Solución: (-∞,55/19)

i)

4

21

8

3

84

743

xxx

- 9 -


- 10 -

Solución: [0,+ ∞)

j) 2

5

4

12

3

23

xxxx

Solución: (-19/20,+ ∞) 45. ¿Qué números cumplen la condición de que su triple más ocho unidades es menor que 20? Solución: Los menores que 4. 46. Expresa mediante una inecuación los siguientes enunciados:

a) El número total de alumnos de un curso es menor que 35. b) Si mi dinero aumentara al triple y, además, me tocaran 20 €, tendría,

por lo menos, 110 €. Solución: a) ; b) 35x 110203 x

47. Todavía me queda por pagar 20 mensualidades para acabar con la hipoteca, es decir, al menos 6 000 €. ¿De cuánto es, al menos, cada mensualidad? Solución: De 300 €. 48. Observa el siguiente diálogo: — ¿Cuántas veces has ido al fútbol? — El triple de ellas más 2 no llega a 10. Expresa en lenguaje algebraico la respuesta, resuélvela algebraicamente y, después, ten en cuenta que la solución ha de ser un número entero no negativo. Solución: los números naturales del intervalo (0,8/3)


BLOQUE 2: GEOMETRÍA



BLOQUE 2. GEOMETRÍA: AREAS Y VOLUMENES 49. Calcula el área total de las siguientes figuras:

Solución: a) 172,71 cm2 b) 451,17 cm2 c) 663,17 m2 d) 196,42 cm2

50. Calcula el área total de estas otras figuras

Solución: a) 175,93 cm2 b) 83,23 cm2 c) 165,53 cm2 d) 201,06 cm2 e) 162 m2 f) 124,71 cm2

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51. Dibuja los siguientes cuerpos geométricos y calcula su área: a) Prisma de altura 20 cm y cuya base es un rombo de diagonales 18 cm y 12 cm. b) Pirámide hexagonal regular de arista lateral 18 cm y arista básica 6 cm.

Solución: a) 1 081,33 cm2 b) 413 cm2

52. Calcula el volumen de las figuras siguientes:

Solución: a) 108 cm3 b) 2 770,88 cm3 c) 117,81 m3 d) 740,73 cm3 e) 4 451,64 m3 f) 108 cm3

53. Calcula el volumen de los siguientes cuerpos geométricos: a) Octaedro regular de arista 10 cm. b) Pirámide hexagonal regular cuya arista lateral mide 15 cm y la arista de la base 8 cm. c) Cono de radio 9 cm y generatriz 15 cm. d) Semiesfera de radio 10 cm. e) Cilindro inscrito en un prisma recto de base cuadrada de lado 6 cm y altura 18 cm.

Solución: a) 471,40 cm3 b) 703,53 cm3 c) 1017,88 cm3 d) 2 094,4 cm3 e) 508,94 cm3

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54. Calcula el volumen de los cuerpos siguientes:

Solución: a) 245,04 m3 b) 565,49 m3

FIGURAS PLANAS FIGURAS ESPACIALES

FIGURA ÁREA POLIEDROS

TRIÁNGULO

2

hbA

ÁREA VOLUMEN

TRIÁNGULO EQUILÁTERO

34

2aA

PRISMAS

lbase AnAA .2

n = nº de lados

de la base

lA = Área de

una cara lateral

hAV base

h =altura del

prisma

- 13 -


RECTÁNGULO

haA

PIRÁMIDES

lbase AnAA

n =nº de lados

de la base

lA =Área de una

cara lateral

hAV base 2

1

h = altura de la pirámide

CUADRADO

2lA CUERPOS DE REVOLUCIÓN

ROMBO

2

DdA

CILINDRO rhAA base 22

r = radio del

cilindro

h = altura del cilindro

hrV 2

TRAPECIO

hba

A

2

CONO

rgAA base

r = radio del

cono

g = generatriz del cono

hrV 2

3

1

POLÍGONO REGULAR

2

apA

ESFERA

24 rA 3

3

4rV

CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO

2rA

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BLOQUE 2. GEOMETRÍA: OPERACIONES EN EL SISTEMA SEXAGESIMAL 55. Expresa en segundos:

a) 27 min 16 s b) 1 min 40 s c) 2 h 5 min 42 s d) 5 h 14 min 27 s

Solución: a)1 636 s, b) 100 s, c) 7 542 s, c) 18 867 s

56. Expresa en grados:

a) 25° 48' b) 1° 6' 36" c) 52° 42' 27" d) 108"

Solución: a) 25,8º, b) 1,11º, c) 52,7075º, d) 0,03º

57. Pasa a horas, minutos y segundos:

a) 4 405 s b) 12 412 s c) 145,25 min d) 3,52 h

Solución: a) 1 h 13 min 25 s, b) 3 h 26 min 52 s, c) 2 h 25 min 15 s, d) 3

h 31 min 12 s 58. Pasa a grados, minutos y segundos:

a) 2,285° b) 965,75' c) 62 237" d) 144 748"

Solución: a) 2° 17' 6", b) 16° 5' 45", c) 17° 17' 17", d) 40° 12' 28"

59. Calcula:

a) 56° 27' 40" + 21° 45' 20" b) 2 h 50 min 32 s + 1 h 25 min 47 s

Solución: a) 78° 13', b) 4 h 16 min 19 s

60. Calcula:

a) 48° 12' – 25° 42' 15" b) 1 h 18 min 25 s – 57 min 35 s

Solución: a) 22° 29' 45", b) 20 min 50 s

61. Calcula:

a) (25° 16' 15") × 4 b) (1 h 3 min 18 s) × 7

Solución: a) 101° 5', b) 7 h 23 min 6 s

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62. Calcula:

a) (5 h 27 min 48 s): 3 b) (40° 49' 30"): 9 c) 83°: 6

Solución: a) 1 h 49 min 16 s, b) 4° 32' 10", c) 13° 50'

63. Si sen (37°) = 0,6. Calcula cos (37°) y tg (37°).

Solución: cos (37°)= =0,8, tg (37°)=0,75 64. Si tg (28°) = 0,53. Calcula sen (28°) y cos (28°).

Solución: sen (28°) = 0,47, cos (28°) = 0,88

65. Calcula el seno y la tangente de un ángulo agudo cuyo coseno vale 0,8.

Solución: sen (a) = 0,6, tg (a) = 0,75

66. Calcula el seno y el coseno de un ángulo agudo cuya tangente vale 0,7.

Solución: cos (a) = 0,82, sen (a) = 0,57

67. Obtén las siguientes razones trigonométricas y escribe los resultados redondeando a las milésimas.

a) sen (86°) b) cos (59°) c) tg (22°) d) sen (15° 25' 43'') e) cos (59° 27' ) f) tg (86° 52') g) sen (10° 30'') (atención, 10° 0' 30'')

Solución: a) sen (86°) = 0,998 b) cos (59°) = 0,515 c) tg (22°) = 0,404 d) sen (15° 25' 43'') = 0,266 e) cos (59° 27') = 0,508 f) tg (86° 52') = 18,268 g) sen (10° 30'') = 0,174

68. Da el valor del ángulo a, agudo, en forma sexagesimal, en cada caso:

a) sen (a) = 0,91 b) tg (a) = 5,83 c) cos (a) = 0,42 d) tg (a) = 0,34 e) sen (a) = 0,08 f) cos (a) = 0,88

Solución: a) a = 65° 30' 19.27'' b) a = 80° 16' 1.08'' c) a = 65° 9' 55.49''

d) a = 18° 46' 40.92'' e) a = 4° 35' 18.84'' f) a = 28° 21' 27.49'' 69. (a) Calcula sen (a) sabiendo que cos (a) = 0,91 y que a es un ángulo agudo.

(b) Calcula cos (a) sabiendo que tg (a) = 6,41 y que a es un ángulo agudo.

(c) Calcula tg (a) sabiendo que cos (a) = 0,06 y que a es un ángulo

agudo.

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18

(d) Calcula tg (a) sabiendo que cos (a) = 0,96 y que a es un ángulo

agudo. (e) Calcula sen (a) sabiendo que tg (a) = 0,1 y que a es un ángulo

agudo. Solución: (a) sen (a) = 0,415 (b) cos (a) = 0,154 (c) tg (a) = 16,637 (d) tg(a) = 0,292 (e) sen (a) = 0,1

70. Completa la siguiente tabla:

Solución:


BLOQUE 2. GEOMETRÍA: RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS 71. Si sen( )=0,28, calcula cos( ) y tg( ) utilizando las relaciones fundamentales (< 90°).

Solución: cos( )=0,96, tg( )=0,29 72. Halla el valor exacto (con radicales) de sen( ) y tg( ) sabiendo que cos( ) = 2/3 ( < 90°).

Solución: sen( )=2

5)(;

3

5tg

73. Si tg( ) = 5 , calcula sen( ) y cos( ) ( < 90°).

Solución: 6

30)(;

6

6)cos( sen

74. Calcula el valor exacto (utilizando radicales) de las razones trigonométricas que faltan en la tabla siguiente ( < 90°):

Solución:

75. Siendo º180º90 , y sabiendo que 3

3)( sen , calcula las restantes

razones trigonométricas.

Solución: 2

2)(;

3

6)cos( tg


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76. Siendo º270º180 , y sabiendo que 3

2)cos( , calcula las restantes

razones trigonométricas.

Solución: 2

5)(;

3

5)( tgsen


BLOQUE 2. GEOMETRÍA: RESOLUCION DE TRIANGULOS RECTANGULOS 77. Un carpintero quiere construir una escalera de tijera, cuyos brazos, una vez abiertos, formen un ángulo de 60°. Para que la altura de la escalera, estando abierta, sea de 2 metros, ¿qué longitud deberá tener cada brazo?

Solución: 2,3 m 78. Los dos catetos de un triángulo rectángulo miden 48 cm y 71 cm. Calcula, en grados y minutos, los dos ángulos agudos.

Solución: A= 34° 3' 39,27'', B=55° 56' 20,73'' 79. En un triángulo rectángulo un ángulo agudo mide 37°, y el cateto opuesto, 87 m. Halla el otro cateto y la hipotenusa.

Solución: 115,45 m y 144,56 m. respectivamente. 80. Halla el radio de un octógono regular de 20 cm de lado. ¿Cuánto mide su apotema?

Solución: apotema = 24,14 cm, radio = 26,13 cm 81. Desde un cohete espacial se ve la Tierra bajo un ángulo de 100°. ¿A qué distancia de la Tierra se encuentra en ese instante? (Radio terrestre=6366 km).

Solución: 1 944,22 km 82. Para hallar la altura a la que se encuentra un globo, procedemos así: Rosa se coloca en un punto B, y yo en A, a 5 metros de ella, de forma que los puntos A, B y C (observa la figura) quedan alineados. Si los ángulos y miden 40° y 50°, respectivamente, ¿a qué altura se encuentra el globo?

Solución: 14,18 m

83. Una antena de radio está sujeta al suelo con dos tirantes de cable de acero, como indica la figura. Calcula:

a) La altura de la antena.

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b) La longitud de los cables. c) El valor del ángulo ABC

Solución: a) 79,88 m, b) AB = 92,24 m, BC = 112,97 m , c) 75°

84. Cuando los rayos del sol forman 40° con el suelo, la sombra de un árbol mide 18 m. ¿Cuál es su altura?

Solución: 15,1 m 85. Una escalera de 3 m está apoyada en una pared. ¿Qué ángulo forma la escalera con el suelo si su base está a 1,2 m de la pared? Solución: = 66° 25' 19'' 86. De un triángulo isósceles conocemos su lado desigual, 18 m, y su altura, 10 m. ¿Cuánto miden sus ángulos? Solución: = 48° 46'', = 83° 58' 28''

87. Calcula la altura, h, de los siguientes triángulos:

Solución: a) h ≈ 16,31 cm, b) h ≈ 16,06 cm

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88. Halla:

a) La longitud AC. b) El área del triángulo ABC. Solución: a) 42,85 cm, b) 393,55

cm2 89. Dos antenas de radio están sujetas al suelo por cables tal como indica la figura. Calcula la longitud total del cable y la distancia AE.

Solución: longitud del cable = 508,14 m, AE = 349,25 m. 90. Para determinar la altura de un poste nos hemos alejado 7 m de su base y hemos medido el ángulo que forma la visual al punto más alto con la horizontal, obteniendo un valor de 40º. ¿Cuánto mide el poste?

Solución: 5,87 m 91. Si queremos que una cinta transportadora de 25 metros eleve la carga hasta una altura de 15 metros, ¿qué ángulo se deberá inclinar la cinta?

Solución: 36° 52' 11,63" 92. Una persona de 1,78 m de estatura proyecta una sombra de 66 cm, y en ese momento un árbol da una sombra de 2,3 m. a) ¿Qué ángulo forman los rayos del Sol con la horizontal? b) ¿Cuál es la altura del árbol?

Solución: 69° 39' 21,24"; 6,2 m

93. Hemos colocado un cable sobre un mástil que lo sujeta como muestra la figura. ¿Cuánto miden el mástil y el cable?

Solución: 7,32 m (mástil); 24,99 m (cable)

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94. Al recorrer 3 km por una carretera, hemos ascendido 280 m. ¿Qué ángulo forma la carretera con la horizontal?

Solución: 5° 21' 19,44" 95. Una estatua de 2,5 m está colocada sobre un pedestal. Desde un punto del suelo se ve el pedestal bajo un ángulo de 15º y la estatua bajo un ángulo de 40º. Calcula la altura del pedestal.

Solución: 0,58 m

96. Un avión vuela entre dos ciudades, A y B, que distan 80 km. Las visuales desde el avión a A y a B forman ángulos de 29º y 43º con la horizontal, respectivamente. ¿A qué altura está el avión?

Solución: 27,8 km

97. Halla la altura de la torre QR de pie inaccesible y más bajo que el punto de observación, con los datos de la fig. 1.

Solución: 79,82 m

Fig.1 Fig.2

98. Calcula la altura de QR, cuyo pie es inaccesible y más alto que el punto donde se encuentra el observador, con los datos de la fig. 2.

Solución: 74,97 m


BLOQUE 2. GEOMETRÍA : SEMEJANZA, ESCALAS 99. En un mapa cuya escala es 1:1 500 000, la distancia entre dos ciudades A y B es de 3,5 cm. Y entre B y C, 2,5 cm a) ¿Cuál es la distancia real entre A y B y entre B y C? b) ¿Cuál será la distancia en ese mapa entre dos ciudades cuya distancia real es 250 km? ¿Y si fuera 360 km? Solución: (a) Entre A y B hay 52,5 Km. B y C distan 37,5 Km. (b) 16,67 cm y 24 cm. 100. Una fotografía de 9 cm de ancha y 6 cm de alta tiene alrededor un marco de 2,5 cm de ancho. ¿Son semejantes los rectángulos interior y exterior del marco? Responde razonadamente. 101. En el plano de un piso cuya escala es 1:200, el salón ocupa una superficie de 7 cm2. ¿Cuál es la superficie real del salón? Solución: 28 m2 102. Un rombo cuyas diagonales miden 275 cm y 150 cm, ¿qué área ocupará en un plano de escala 1:25? Solución: 33 cm2 103. Una maqueta está hecha a escala 1:250. Calcula: a) Las dimensiones de una torre cilíndrica que en la maqueta mide 6 cm de altura y 4 cm de diámetro. b) La superficie de un jardín que en la maqueta ocupa 40 cm2. c) El volumen de una piscina que en la maqueta contiene 20 cm3 de agua. Solución: (a) 15 m. de altura y 10 m. de diámetro. (b) 250 m2 (c) 312,5 m3 104. a) Un edificio de la maqueta anterior tiene forma de ortoedro. Sus dimensiones son 9 cm x 6,4 cm de planta y 4 cm de altura. Halla las dimensiones, el área de la fachada y el volumen en la realidad. b) La superficie del campo de fútbol sala en la maqueta es de 32 cm2. ¿Cuál es la superficie en la realidad? c) Una caseta de la maqueta está hecha con 0,3 cm3 de poliexpán. ¿Cuál es su verdadero volumen? d) La altura de un edificio en la realidad es 65 m. ¿Cuál es su altura en la maqueta? Solución: (a) Planta: 22,5 m x16 m. Altura 10 m. Área de la fachada 225 m2. Volumen del edificio 3600 m3. (b) 200 m2. (c) 4,69 m3. (d) 26 cm.

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105. Para medir la altura de la casa, Álvaro, de 1,65 m de estatura, se situó tras una verja y fue retrocediendo justo hasta que pudo ver la parte más alta de la casa (ver dibujo). En ese momento midió la distancia que le separaba de la verja, 1,5 m, la altura de la misma, 3,5 m y la distancia que la separaba de la casa, 25 m. ¿Cuánto mide la casa?

Solución: 32,48 m 106. ¿Cuál es la profundidad de un pozo, si su anchura es 1,2 m y alejándote 0,8 m del borde, desde una altura de 1,7 m, ves que la visual une el borde del pozo con la línea del fondo? Solución: 2,55 m 107. Sobre plano a escala 1:50, el salón rectangular de un piso tiene dimensiones 12 cm de largo por 8 cm de ancho. El constructor quiere poner tarima flotante en el salón y recibe una oferta de 15 € por m2 más el 16 % de IVA. Rellena los huecos de las afirmaciones siguientes:

a) La superficie real del salón es de ……………….m2 b) El IVA que tiene que pagar el constructor es de …………….€ c) Si el constructor tiene otra oferta de 13,5 € por m2 más el 16 % de IVA,

el ahorro sería de …………..€

Solución: (a) 24 m2. (b) 57,6 €. (c) 41,76 €. 108. Los televisores vienen caracterizados por el tamaño de la diagonal de la pantalla en pulgadas y el formato es la relación entre el ancho y alto de la pantalla (4:3 ó 16:9). En el dibujo se representa una pantalla en formato 16:9 DATO: Una pulgada son 2,54 cm

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ancho : alto = 16:9

Responder a las siguiente cuestiones:

a) Si compramos un televisor en formato 4:3 y de diagonal tiene 20 pulgadas, calcula las dimensiones del ancho y largo del televisor en cm.

b) Calcula la medida de la diagonal (en pulgadas) de un televisor en formato 16:9 si el ancho es de 708 mm.

c) ¿Qué televisor tiene más superficie de pantalla uno de formato 4:3 u otro en formato 16:9 si ambos son de 30 pulgadas?

Solución: (a) alto = 30,48cm y ancho = 40,64cm. (b) Aproximadamente 32 pulgadas. (c) Tiene más superficie de pantalla el de formato 4:3.

alto

ancho

diagonal en pulgadas


BLOQUE 3: FUNCIONES



BLOQUE 3. FUNCIONES: LECTURA E INTERPRETACIÓN DE GRÁFICAS DE FUNCIONES. 109. Una excursión a la Sierra de Cazorla (Jaén) quedó resumida en la siguiente gráfica:

(a) ¿Cuánto tiempo duró

la excursión. (b) ¿Cuánto tiempo se

descansó? ¿A qué horas?

(c) ¿Cuántos kilómetros se recorrieron?

(d) ¿En que intervalos se marchó más rápido que en el trozo BC?

(e) Describe la excursión. (f) Construye una tabla

de valores a partir de los datos de la gráfica.

(g) Si en el eje de ordenadas la variable fuera “distancia al punto de partida” ¿sería la misma gráfica? Con los datos de que dispones, ¿puedes hacerla?

110. La siguiente gráfica muestra las alturas que alcanza un águila imperial ibérica en uno de sus vuelos. Observa detenidamente la gráfica, haz una lectura de la misma y contesta a las cuestiones: (a) ¿Qué variables se

relacionan? (b) ¿En qué unidades se

miden? (c) ¿Qué escala se utiliza

en cada eje? (d) ¿En qué intervalos

toman los valores las variables?

(e) ¿A qué altura se encontraba en el minuto cuatro?

(f) ¿En qué momentos se encuentra a 1300 metros?

(g) ¿En qué intervalos de tiempo sube, baja o planea? (h) ¿Qué significado tienen en la gráfica los puntos A y B?

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111. En una tienda de caramelos, todos son a 5 euros el kilogramo. El precio que pagamos depende de la cantidad que compremos. La fórmula que relaciona el importe con el peso es:

Importe = 5 x peso

(a) Haz una tabla relacionando las variables Importe y Peso. (b) Haz la gráfica correspondiente decidiendo previamente qué variable

tomas como independiente y cuál como dependiente. (c) ¿Cuánto te costaría un cuarto de kilo?, ¿y 125 gramos? (d) Con 3 euros, ¿qué cantidad de caramelos puedes comprar? (e) Si en la tienda disponen de un stock de 100 kilogramos, ¿cuál es el

intervalo en el que puede tomar valores la variable Peso?, ¿y la variable Importe?

112. La edad y el peso de los componentes de una peña ciclista están relacionados según muestra la gráfica.

(a) Si María tiene 15 años, ¿cuál es su posible peso? ¿Hay un solo peso o varios? (b) Para cada edad, ¿hay un único peso?

113. A la vista de las siguientes gráficas, di de forma razonada cuáles corresponden a funciones y cuáles no. Justifica si alguna de ellas es errónea o imposible.

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114. Una persona cobra 8 euros por hora de trabajo más 3 euros por desplazamiento; su jornada de trabajo es como máximo de 8 horas.

(a) La fórmula que permite calcular el salario que cobra conociendo el tiempo trabajado es:

Salario = 8 x tiempo + 3 La fórmula también puede escribirse, más abreviadamente, así

S = 8t+3 Completa la tabla siguiente en la que se relacionan las variables s y t.

T 1 2 3 4 5 6 7 8 s

(b) Haz la gráfica correspondiente decidiendo previamente qué variable

tomas como independiente y cuál como dependiente. (c) ¿Cuál es el origen de 15 euros? (d) ¿Es una función la relación de dependencia entre las variables

salario y tiempo? (e) Observa detenidamente la tabla y la gráfica que has hecho. ¿Qué

valores toma la variable independiente tiempo? (f) ¿Qué valores toma la variable dependiente salario?

115. La gráfica siguiente muestra el importe a pagar según el número de bolsas de patatas que compres, con motivo de una oferta especial por el 25 aniversario de un supermercado.

(a) ¿Qué variables se relacionan? ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la independiente?

(b) ¿Qué valores toma la variable independiente?

(c) ¿Qué valores toma la variable dependiente?

(d) ¿Cuál es el importe de cinco bolsas?, ¿y de 6 bolsas?

(e) ¿Cuál es la imagen de 3? (f) Con 300 pesetas, ¿cuántas bolsas se pueden comprar? (g) ¿Se pueden comprar 2,5 bolsas? (h) ¿Puedes comprar bolsas por un importe de 375 pesetas?

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116. La gráfica siguiente relaciona el tiempo de una llamada telefónica urbana con el coste de la misma.

(a) ¿cuál es la variable

independiente?, ¿y la dependiente?

(b) ¿Cuánto cuesta hablar 7 minutos?, ¿y 7.5 minutos?

(c) Con 50 pesetas, ¿cuánto tiempo puedes hablar?

(d) ¿Qué valores toma la variable independiente? ¿Son sólo valores aislados?

(e) ¿Qué valores toma la variable dependiente?

¿Son sólo valores aislados? 117. El consumo en litros por cada 100 km de una moto circulando a distintas velocidades viene representado por la siguiente gráfica:

(a) ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la independiente?

(b) ¿Cuál es el consumo para una velocidad de 40 km/h?

(c) ¿A qué velocidad el consumo es de 4l/100 km?

(d) ¿Qué valores toma la variable independiente? ¿Son sólo valores aislados? Indica si la variable es discreta o continua.

(e) ¿Qué valores toma la variable dependiente? ¿Son sólo valores aislados? Indica si la variable es discreta o continua.

(f) Haz una descripción de la gráfica. 118. A lo largo de un viaje, la velocidad del coche cambia según el trazado de la carretera. La gráfica siguiente muestra la velocidad a la que va un coche en cada instante del trayecto.

(a) ¿Es funcional la relación de dependencia entre tiempo y velocidad? (b) Escribe cuál es el dominio y cuál el recorrido, interpretando su

significado. (c) ¿Qué ocurre en el origen?, ¿y tras dos horas de viaje? (d) ¿A qué velocidad circulaba cuando llevaba dos horas de viaje? (e) ¿En qué instantes circula el coche a la velocidad de 30 km/h?

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(f) El tiempo en el intervalo [0,40] aumenta, ¿ocurre lo mismo con la velocidad?

(g) Cita otro intervalo en el que suceda igual. (h) ¿Qué variación

experimenta ka velocidad en el intervalo [0,40]?

(i) El tiempo también

aumenta entre los minutos 40 y 50, ¿qué pasa con la velocidad en el intervalo [40,50]?

(j) Cita otros intervalos en los

que ocurra lo mismo. (k) Calcula la variación que experimenta la velocidad en los intervalos

[40,50] y [90,100]. ¿Qué puedes decir de estas variaciones? (l) Entre el minuto 80 y 90 el tiempo aumenta, ¿y la velocidad? (m) Calcula la variación en el intervalo [80,90]. (n) Determina los intervalos en los que la función es creciente. (o) Escribe los intervalos en los que sea decreciente. (p) En el minuto 40 la velocidad pasa de aumentar a disminuir. Es un punto

de cambio. ¿Puedes encontrar otros minutos en los que la función pase de creciente a decreciente? Escríbelos.

(q) Determina los valores del tiempo para los que el cambio es de decreciente a creciente.

(r) Calcula las coordenadas de los puntos de la gráfica de esta actividad en los aparezca un máximo o un mínimo local.

(s) Considera ahora la gráfica, en su totalidad, y di cuál es la velocidad máxima alcanzada a lo largo de todo el viaje. ¿Cuál es la velocidad mínima?

(t) Encuentra el máximo y el mínimo absoluto de la función y escribe sus coordenadas.

119. Tomemos tres recipientes cilíndricos de igual altura y distinta base. Los llenamos mediante un grifo de caudal constante. Anotamos en cada instante la altura alcanzada por el agua en dichos recipientes, y con los datos obtenidos realizamos las gráficas que se muestran en la imagen.

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La recta OB es la que representa la relación entre el tiempo y la altura para el

recipiente B. (a) ¿Cuál de las

otras rectas corresponde al llenado del recipiente A y cuál al del C?

(b) ¿Qué cilindro tarda más tiempo en llenarse? ¿Qué gráfica crece

más

s en llenarse?

rápidamente? (c) Como la altura a

llenar es igual para los tres, ¿qué gráfica crece más despacio, la que corresponde al vaso que tarda más o meno

(d) Si la rapidez de crecimiento es mayor, ¿la base es mayor o menor? ¿Y si crece más lentamente?

(e) ¿Cuál es el aumenta de la altura por cada segundo en cada uno de los tres recipientes?

120. Disponemos de cuatro frascos de colonia que presentan el siguiente diseño: La gráfica A corresponde al llenado del frasco de colonia A. ¿Cuando crece con más rapidez la altura, al principio o al final?, ¿a qué es debido? Ahora decide tú, de forma razonada, a qué llenado corresponde cada una de las otras tres gráficas.

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121. La gráfica siguiente es la de una función que muestra la dependencia entre las variables caudal y tiempo. (a) Si el caudal es de 600 l/min, ¿qué tiempo tarda en llenarse el recipiente?, ¿y si el caudal es de 1200 l/min? Si seguimos aumentando el caudal, ¿a qué número se aproxima o tiende el tiempo? Organiza todos estos datos en una tabla. (b) Al aumentar el caudal, ¿Qué ocurre con el tiempo? (c) Si el caudal des de 100 l/min, ¿cuánto tarda en llenarse?, ¿y si es de 10 l/min?, ¿y si es de 0.5 l/min? Si el caudal se acerca a 0, ¿a qué se aproxima el tiempo? Puedes

ráfica para valores muy pequeños del audal?, ¿y para valores muy grandes?

ndo dicho nivel y observamos que se ajusta a la gráfica que hay en el margen.

lo es

a

18 y 20

a las 0 horas? ¿Hay algún momento en el que

enta un salto, ¿a qué puede ser debido? ¿Qué ocurre a las 14 horas?

mariposa en la que compiten dos nadadoras, se ajusta a la gráfica siguiente:

ayudarte de una tabla. (d) Si el caudal se hace muy pequeño, ¿qué ocurre con el tiempo? (e) ¿Podríamos prolongar esta gc 122. El nivel de ruido de un aeropuerto se ve bruscamente modificado cuando aterriza o despega un avión. A lo largo de un día vamos midie

(a) En el intervalo

(0,6), la función es creciente. ¿En qué otros también?

(b) ¿En qué intervalos disminuye el nivel de ruido? ¿Cómo decimos que es lfunción en ellos?

(c) ¿Qué ocurre a las 6, 10, horas?

(d) ¿Qué nivel de ruido hayel nivel de ruido sea 0?

(e) A las 8 horas la función pres

123. Una carrera de 100 metros

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(a) ¿En qué momentos va por delante la nadadora A?, ¿y la B? (b) ¿En qué intervalos de tiempo esprinta la nadadora A?, ¿y la B?, ¿Cuál dirías que tiene más fondo? (c) ¿Qué ocurre en el segundo 20? (d) Entre 0 y 10 segundos, ¿qué nadadora va más deprisa?¿Cuál de las dos nada siempre al mismo ritmo? (e) Cuándo va más rápido la nadadora A, ¿en los 10 primeros segundos o en los 10 segundos siguientes? (f) Describe qué pasa con la nadadora entre los segundos 30 y 40. (g) Si fueras comentarista deportivo, ¿qué dirías de la competición?, ¿cómo describirías la carrera de ambas nadadoras? (h) Si ambas nadadoras mantienen el mismo ritmo, ¿podría cambiarse el resultado al prolongar la carrera? 124. Dadas las gráficas:

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Señala cuál de ellas corresponde al enunciado y cuál a la tabla siguiente, razonando tu elección:

Recorremos 50 km en moto durante 60 minutos. Los primeros 30 kms los hacemos por una autopista, lo que nos permite ir a una velocidad constante de 90 km/h. Los 20 km restantes los hacemos sobre una carretera comarcal, cuyos primeros kilómetros se encuentran en muy mal estado.

Tiempo (min) 0 10 20 40 60Espacio (km) 0 15 30 40 50

125. La siguiente gráfica relaciona el tiempo con la velocidad alcanzada por un coche durante un viaje.

(a) ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la independiente?

(b) ¿Qué valores toma la variable

independiente? ¿Son sólo valores aislados? Indica si la variable es discreta o continua.

(c) ¿Qué valores toma la variable dependiente? ¿Son sólo valores aislados? Indica si la

variable es discreta o continua. (d) ¿Qué velocidad llevaba el coche a la media hora de iniciado el viaje? (e) ¿En qué momentos del viaje el coche alcanzó la velocidad de 110 km/h? (f) ¿En qué momento alcanzó la velocidad máxima? ¿Cuál fue? (g) ¿Qué ocurre entre la 2ª y la 3ª hora de viaje?

126. Un determinado equipo de fútbol, a lo largo de varias jornadas de liga, va obteniendo puntos según gane (3 puntos), empate (1 punto) o pierda (0 puntos). Si la evolución la representamos gráficamente, se obtiene:

(a) Describe la gráfica e interpreta la marcha del equipo.

(b) Di qué puntos de discontinuidad presenta y qué significan.

(c) ¿Qué puntos tiene el equipo al cabo del 8º partido?, ¿y del 9º?

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(d) ¿Cuándo tiene 4 puntos? (e) ¿Cuándo tiene el equipo 9 puntos? (f) ¿Es discreta o continua la variable independiente?, ¿y la

dependiente? 127. La gráfica siguiente muestra la relación entre el tiempo empleado en un viaje virtual y la velocidad a la que se circula en un simulador de coches. Indica:

(a) ¿Cuánto duró el viaje? (b) ¿Cuál es el dominio

alcanzada?, ¿y la

Escribe el recorrido

cidad? ¿En

e

iado el viaje?

tos de corte de la gráfica con el eje de

s. lla el origen de v = 50 km/h.

cas siguientes son las versiones dadas por dos amigos de un

zona tu respuesta. (b) Haz una breve descripción de la gráfica correcta.

de la función? (c) ¿Cuál es la velocidad máxima mínima? (d) de la función. (e) ¿En qué intervalos aumenta la velocuáles disminuye? (f) Indica en la gráfica los

intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como los máximos y mínimos relativos. ¿Coincide alguno de estos extremos relativos con los absolutos qucalculaste en el apartado (c)? (g) ¿Durante cuánto tiempo se circuló a la misma velocidad? (h) ¿En qué instantes se circula a una velocidad de 50 km/h? (i) ¿A qué velocidad se circulaba a los 8 minutos de inic (j) ¿En qué intervalo se va a una velocidad constante? (k) ¿Qué significado tienen los punabscisas?, ¿y con el eje de ordenadas? (l) Calcula la imagen de t = 5 minuto (m) Ha 128. Las gráfimismo paseo

(a) Una de ellas es errónea o imposible. ¿Cuál es? Ra

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129. Los precios de determinados alimentos dependen de la cantidad que compremos. Así, en una oferta de quesos leemos: “Por una compra inferior a 1

peso de queso con

rétalo.

kilo o comprar 1 kg de una sola vez? (e) ¿Qué sale más barato, o qué interesa más, comprar 900 gramos o

las siguientes gráficas:

cionales, determina

.

(e) Calcula x tal que f(x)=0. (f) Calcula x tal que h(x)=3.

kg el precio es de 7 euros/kg, para una compra de 1 kg o más el precio es de 5,41 euros/kg”. (a) Haz una tabla y una gráfica donde se relacione el el importe a pagar por el mismo. (b) Construye la fórmula a la que se ajusta la gráfica. (c) ¿En qué punto de la gráfica se presenta un salto? Interp (d) A la vista de la gráfica o con la fórmula, indica qué sale más barato: ¿Comprar dos veces medio 1110 gramos? ¿Por qué?

130. Observa detenidamente

(a) Calcula f(2), g(2), h(2). (b) ¿Qué gráficas son funcionales y cuáles

no? ¿Cómo las distingues?(c) En las que sean fun

su dominio y su recorrido(d) Calcula f(0) y h(0).


BLOQUE 2. FUNCIONES: FUNCIONES ELEMENTALES

131. Un grupo de estudiantes van de excursión a Menorca. Para conocer mejor la isla, deciden alquilar un coche que puede conducir la profesora que les acompaña. La empresa a la que se dirigen tiene puesto un cartel con la tarifa de precios que dice lo siguiente: “1,5 euros por kilómetro recorrido más un cantidad fija de 20 euros por cada día que tengan el vehículo en su poder”. El grupo estuvo dos días en Menorca con el vehículo. (a) Encuentra la fórmula que relaciona el número de

kilómetros recorridos con el importe a pagar. (b) ¿Qué tipo de función es? (c) ¿Cómo es su gráfica? (d) ¿Qué significado tiene el punto de corte con el eje de

ordenadas? (e) Si recorren 50 kilómetros, ¿cuánto pagan? (f) Si la cantidad asignada para los gastos de alquiler del

coche es de 100 euros, ¿Cuántos kilómetros pueden recorrer con esa cantidad de dinero? ¿Y con 190 euros?

(g) La función obtenida, ¿es creciente o decreciente? ¿Es continua?

132. En una clase hay un grupo de estudiantes haciendo hexágonos

regulares de distintos tamaños. Tienen que cercarlos con una cuerda que les cuesta a 0,50 euros el centímetro. Encuentra la fórmula que relaciona la longitud del lado de los distintos hexágonos con el importe a pagar por la cuerda necesaria para cercarlos. a. ¿Qué tipo de función has obtenido? b. ¿Cómo es su gráfica? c. ¿Cuántos puntos como mínimo necesitas para representarla? d. ¿Es creciente? e. ¿Pasa por el origen? f. Si el lado mide 3 cm, ¿qué cuesta la cuerda que se necesita. g. ¿Qué longitud tiene el lado del hexágono si la cuerda necesaria

costó 15 euros? 133. Representa gráficamente las funciones siguientes:

xyyxyxyxy2

1;3;3;13;32

a. ¿De qué tipo es cada una de ellas? b. Indica en cada una de ellas el número mínimo de puntos

necesarios para obtener su gráfica. c. Di para cada una de ellas el valor de la pendiente y el de la

ordenada en el origen. d. ¿Cuáles son crecientes?, ¿y decrecientes?, ¿existe alguna que

sea constante?

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e. ¿Hay alguna gráfica que se pueda obtener desplazando otra de las ya realizadas? Razona las respuestas.

134. La gráfica de 22 x es: y

135. Encuentra la expresión algebraica correspondiente a las funciones cuyas gráficas son:

136. En cada caso, escribe las expresiones algebraicas de las funciones desconocidas, a partir de las que se dan:

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137. Dibuja la gráfica de 23 xy a partir de la de xy 3 . Explica cómo lo haces.

138. Dibuja la gráfica de la función 56 x a partir de la de xy 6 .

Explica el procedimiento que utilices. y

139. De una función lineal mxy , sabemos que pasa por el punto (3,5) y

de otra pxy conocemos la imagen del 1 que es 2

1 .

a. Determina pm, dando una interpretación geométrica de ellas. b. Representa gráficamente ambas funciones. c. ¿Qué punto tienen en común?

140. Halla la ecuación de la función afín cuya gráfica pasa por los puntos

A(-2,3) y B(1,2).

a. Represéntala gráficamente. b. Representa gráficamente la función 3 xy . c. Encuentra gráfica y analíticamente las coordenadas del punto de

corte de ambas gráficas.

141. ¿Qué función afín tiene como gráfica la recta que pasa por el punto A(-3,1) y es paralela a la recta 12 xy . ¿Cuántas paralelas a la recta 12 xy hay? ¿Cuál pasa por el origen?

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142. La distancia al punto de partida de un grupo de estudiantes de CAS que salieron de excursión viene dada por la siguiente expresión matemática:

618

6412

403

tsit

tsi

tsit

d

donde representa el tiempo en minutos, y la distancia en metros. Representa gráficamente la función. ¿Es continua? ¿Descansaron en algún momento?

t d

143. Dadas las funciones cuadráticas:

a. 96 2 xxy

b. 1062 xxy

c. 44 2 xxy

d. 5 2 xy

e. 1082 2 xxy

f. 64 2 xxy Calcula las coordenadas del vértice, el punto de corte con el eje de ordenadas, los posibles puntos de corte con el eje de abscisas. Haz la representación gráfica de cada una de las funciones.

144. La función cuadrática 12 pasa por el punto (-1,3).

Calcula el valor de a .

2 xaxy

145. Una parábola pasa por el punto (0,0), y el vértice de la misma es el

punto (3,9). Calcula su expresión matemática, y representa su gráfica.

146. Se sabe que la función cuadrática cbx pasa por los

puntos (1,0), (0,3) y (5,8). Calcula cba ,, . Halla las coordenadas del vértice y represéntala gráficamente.

axy 2

147. En una comarca hay x pueblos, cada uno unido a los restantes por

un camino distinto. Expresa el número de caminos existentes en función del número de pueblos. Representa dicha función. ¿Cuál es el dominio?

148. ¿Cuántas diagonales tiene un polígono de 7 lados?, ¿ y de n lados?.

Representa la función que relaciona el número de lados con el número de diagonales, d , que posee un polígono de n lados.

149. Una avioneta vuela de Almería a Huelva. Su altura de vuelo viene

dada por la fórmula 220 , donde )(th es la altura, expresada en metros, a la que se encuentra la avioneta a los t

600)( ttth

- 42 -


minutos de iniciarse el vuelo. Representa la gráfica y contesta a las siguientes preguntas:

a. Altura alcanzada por la avioneta en el momentote iniciar el

descenso. b. ¿Cuánto dura el vuelo?

150. Dado un número cualquiera x , y otro 6 unidades mayor, calcula la

función que te permite obtener el producto de ambos números. Construye su gráfica. ¿cuál es el dominio de la función? ¿Para qué números la función toma valores negativos? ¿Qué número posibilita que el producto sea máximo?, ¿Y mínimo? ¿Cuál sería ese producto máximo o mínimo?

151. Lanzamos verticalmente hacia arriba una pelota de tenis con una

velocidad inicial de 100 m/s. La función que nos permite calcular la altura a la que se encuentra del suelo en cada instante, t , viene dada por la fórmula

tvtg

th 02

2)(

donde la constante g es la aceleración de la gravedad y vale 9.8

m/s2, y es la velocidad inicial. 0v

a. ¿De qué tipo de función se trata? b. Haz la gráfica, lo más precisa que puedas, calculando todos

aquellos elementos que consideres importantes y necesarios para ello.

c. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota? d. ¿En qué instantes la altura es cero? e. ¿Cuánto tarda en caer?

152. Sea la parábola 64 . Elige razonadamente la respuesta

correcta. 2 2 xxy

a. Corta el eje de abscisas en los puntos: i. (2,0) y (-4,0) ii. (-1,0) y (6,0) iii. (-1,0) y (3,0)

b. Tiene como el vértice el punto: i. (-4,-6) ii. (2,-6) iii. (1,-8)

153. Un banco da a sus clientes preferenciales, en su cuenta corriente, u

interés del 1% para saldos del hasta 3000 €, un 1.5% si el saldo va de 3000 € hasta 6000 €, un 2% si el saldo es desde 6000 € hasta 12000 €, un 3% si va desde los 12000 € hasta los 30000 € y un 5% si el saldo es igual o superior a los 30000 €. Haz la gráfica correspondiente a la función que relaciona el saldo con el tipo de interés que da el banco. Construye la expresión matemática correspondiente.

- 43 -


154. La función área de un círculo de radio r es 2) rr . Construye la gráfica, y di todas las características que presente.

(A

155. Dado el rectángulo de la figura, determina la función área de dicho

rectángulo. Construye su gráfica y enumera todas las características que creas interesantes.

156. Halla la ecuación de las funciones

cuadráticas cuyas gráficas son las de la figura:

157. Considera el triángulo rectángulo de la figura. Expresa matemáticamente la función que te permite calcular el área en función del lado x .

a. ¿Qué tipo de función es?

b. ¿Cuál es el dominio de la función?

c. Haz la gráfica.

158. Considera el hexágono regular de la figura. Expresa matemáticamente la función que te permite calcular el área en función del lado x . a. ¿Qué tipo de función es? b. ¿Cuál es el dominio de la

función? c. Haz la gráfica.

159. ¿Cuál de las siguientes gráficas

se corresponde la de la función 12 x ? Razona la respuesta. y

- 44 -

160. Un c


- 45 -

ircuito de 48 km es recorrido por vehículos de distinta cilindrada. Si cada uno mantiene su velocidad constante a lo largo de todo el trayecto:

a. ¿Qué fórmula tiene la función que relaciona la velocidad con el

tiempo que tarda en recorrerse el circuito? b. Si un vehículo pudiera ir a la velocidad de la luz, ¿qué tiempo

tardaría en recorrer el circuito? c. Si el circuito lo recorriera una hormiga, cuánto tardaría.

ráficas. Determina sus respectivas ecuaciones.

162.

d. Representa gráficamente dicha función.

161. Sean las g

Representa gráficamente las funciones:

a. x

y3

b. 10xy

c. 2

2

x

y

d. 1

13

x

xy


BLOQUE 4: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD



BLOQUE 4: ESTADÍSTICA Haz una tabla de frecuencias completa de cada uno de los siguientes ejercicios, calculando la moda, media, mediana, rango, varianza, desviación típica y coeficiente de variación. Haz el histograma o diagrama de barras, según corresponda, el polígono de frecuencias y los diagramas de sectores: 163. Lanzamos dos dados, sumamos las puntuaciones y anotamos los resultados. Repetimos la experiencia 30 veces, con estos resultados:

164. Nos dan la distribución de notas siguiente:

2, 4, 4, 4, 5, 7, 9, 9, 10 165. Completa esta tabla:

166. Y esta otra:

167. Al preguntar por el número de libros leídos en el último mes a un grupo de personas, hemos obtenido los datos siguientes:

46


168. Contando el número de erratas por página en un libro concreto, David ha obtenido los datos siguientes:

169. En un control de velocidad en carretera se obtuvieron los siguientes datos:

170. A la pregunta: ¿cuántas personas forman tu hogar familiar?, 40 personas respondieron esto:

171. En un test de inteligencia realizado a una muestra de 200 personas, se han obtenido los resultados siguientes:

47


Solución: Histograma

172. En un estudio sobre las Tecnologías de la Información y la Comunicación (TIC) realizado en los hogares españoles se han obtenido los resultados de la tabla siguiente. Realiza un diagrama de barras que resuma los datos de la misma.

Solución:

173. En la familia Fernández, el salario mensual del padre es de 950 €, y el salario de la madre, 1 600 €. En la familia Torres, el padre gana 1 800 € al mes, y la madre 750 € a) ¿Cuál es el sueldo medio de cada familia? b) ¿En cuál de ellas es mayor la dispersión? ¿Cuál es el rango en cada familia?

Solución: a)1 275 €, b) RF=650 €; RT=1 050 € 174. Estas tres distribuciones tienen la misma media. ¿Cuál es?

Sus desviaciones típicas son 3,8; 1,3 y 2,9. Asocia a cada distribución uno de estos valores. (Hazlo observando las gráficas, sin hacer cuentas).

48


49

Solución: Media=7. Desviaciones típicas a) 2,9; b) 1,3 y c) 3,8

175. En estos dos diagramas se muestra la composición del organismo en dos edades distintas (aproximadamente):

a) ¿Cómo varía el porcentaje de agua corporal, de masa ósea, de tejido graso y de músculos, órganos…? b) Si una persona de 25 años pesa 75 kg, ¿cuál es la cantidad de agua que compone su organismo? ¿Y de tejido graso?. c) Responde a las preguntas del apartado anterior para el caso de una persona de 75 años con el mismo peso. Solución: (b) 46,5 kg; 11,25 kg; (c) 39,75 kg; 22,5 kg 176. El color elegido por los españoles, en un momento concreto, al comprar un coche, viene dado en la tabla siguiente:

Solución:

Elabora un diagrama de sectores que refleje la situación mostrada.


BLOQUE 4: PROBABILIDAD Y AZAR 177. Nos fijamos en la cifra en la que termina el premio gordo de la lotería.

a) Describe el espacio muestral. b) Describe los sucesos: A = “Menor que 4” , B = “Número impar” y C = “Mayor que 5” Solución: a) E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}; b) A = {0, 1, 2, 3} B = {1, 3, 5, 7, 9} C = {6, 7, 8, 9}

178. Lanzamos una moneda dos veces y anotamos los resultados ordenadamente.

a) Completa el espacio muestral: E = {CC, …} b) Escribe los sucesos siguientes: A = “La primera fue cara”, B = “Ninguna fue cara” Solución: a) E = {CC, C+, +C, ++}; b) A = {CC, C+} B = {++}

179. Lanzamos una moneda tres veces y anotamos los resultados.

a) Describe el espacio muestral (hay 8 casos). b) Describe los sucesos: A = “Obtener dos veces cara”, B = “Obtener dos veces cruz” y C = “No obtener ninguna cruz”

Solución: a) E = {CCC, CC+, C+C, C++, +CC, +C+, ++C, +++}; b) A = {CC+, C+C, +CC} B = {C++, +C+, ++C} C = {CCC}

180. En una bolsa hay 6 bolas rojas, 4 azules, 7 verdes, 2 amarillas y una negra. Extraemos una al azar. Halla la probabilidad de que:

a) Sea azul. b) No sea negra. c) Sea roja o verde. d) No sea amarilla ni negra. Solución: a) 1/5, b) 19/20, c) 13/20, d) 17/20

181. En un examen para unas oposiciones hay 80 temas, de los cuales se elige uno al azar. Si un opositor se sabe 60 de los temas, halla la probabilidad de que:

a) Le toque uno de los que sabe. b) Le toque uno de los que no sabe. Solución: a) 3/4, b) 1/4

182. Halla las probabilidades siguientes asociadas al lanzamiento de un dado correcto:

- 50 -


a) El resultado es múltiplo de 3. b) El resultado es múltiplo de 2. c) El resultado es mayor que 1. d) El resultado es menor que 5. e) El resultado es menor que 1. Solución: a) 1/3, b) 1/2, c) 5/6, d) 2/3, e) 0

183. Extraemos una carta de una baraja española de 40 naipes. Halla la probabilidad de que:

a) Sea un CINCO. b) NO sea un CABALLO. c) La carta sea de OROS o de COPAS. d) NO sea de ESPADAS. Solución: a) 1/10, b) 9/10, c) 1/2, d) 3/4

184. De esta urna extraemos una bola y observamos su número y color. Halla las probabilidades de los siguientes sucesos:

a) Obtener bola verde con número par. b) Obtener bola roja con número par. c) Obtener bola amarilla o roja. d) Obtener una bola con número mayor que 7. Solución: a) 2/11, b) 0, c) 6/11, d) 4/11

185. Si lanzamos una moneda cuatro veces, ¿cuál es la probabilidad de obtener exactamente dos caras? ¿Y la de obtener al menos dos caras?

Solución: 6/16, 11/16 186. Encima de una mesa tenemos estas cuatro cartas de una baraja española: 2 oros, 4 bastos, 5 copas y as de oros. Sacando al azar otra carta del mazo y fijándonos en su número, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de las puntuaciones de las cinco cartas (las cuatro de la mesa y la extraída del mazo) sea 15? ¿Y el 16?

Solución: 1/9, 1/12 187. Extraemos una ficha de dominó. Halla la probabilidad de que:

a) La suma de puntos sea menor que 4. b) La suma de puntos sea múltiplo de 3. c) Sea una ficha “doble”.

Solución: a) 3/14, b) 5/14, c) ¼

188. Lanzamos dos dados. Calcula la probabilidad de que:

a) El producto de las puntuaciones sea 5. b) El producto de las puntuaciones sea 6. c) El producto de las puntuaciones sea 4.

- 51 -


- 52 -

Solución: a) 1/18, b) 1/9, c) 1/12

189. Lanzamos dos dados y nos fijamos en la mayor de las puntuaciones. Completa el cuadro adjunto y calcula la probabilidad de que la mayor de las puntuaciones sea 1. ¿Y de que sea 2? ¿Y 3? ¿Y 4? ¿Y 5? ¿Y 6? Solución: 1/36, 1/12, 5/36, 7/36, 1/4, 11/36


EXÁMENES PRUEBAS LIBRES

(Desde 2009)



PROBLEMAS DE EXAMEN

ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA

1. (Junio 2009) Un transportista lleva en su furgoneta sacos de sal de dos pesos distintos. Los sacos grandes tienen un peso de 30 kilogramos, mientras que los pequeños pesan un 20% menos. El conductor recuerda que el número de sacos pequeños es el triple del de sacos grandes, y que el peso total de la mercancía es de 714 kilogramos. Calcula el número de sacos de cada tipo que son transportados.

Solución: 7 sacos grandes y 21 sacos pequeños

2. (Septiembre 2009) Tengo que vallar un terreno con forma rectangular

que he comprado, pero al llegar a la ferretería no sabía cuántos metros de valla necesitaba. Recordaba que tiene 6 metros de largo más que de ancho y que su superficie es de 775 m2. ¿Cuántos metros de valla debo comprar?

Solución: 112 metros de valla

3. (Junio 2010) Una empresa, tras realizar el balance anual y observar que ha obtenido importantes beneficios, decide obsequiar a sus 32 empleados con un ordenador portátil para cada uno. Este regalo le ha supuesto a la empresa un coste total de 22 040 €. La empresa ha elegido un modelo valorado en 835 € para los jefes de equipo y un modelo con un coste de 640 € para los operarios que componen los distintos equipos.

a. ¿Cuántos ordenadores de cada modelo ha comprado la empresa?

b. ¿Cuántos jefes de equipo hay en la empresa? c. Si cada jefe de equipo tiene bajo su supervisión al mismo número

de operarios, ¿cuántos operarios componen cada equipo?

Solución: a. 8 ordenadores de 835 € y 24 ordenadores de 640 €. b. Hay 8 jefes de equipo. c. Hay 3 operarios en cada equipo.

4. (Septiembre 2010) Relaciona cada expresión de la columna de la

izquierda con su correspondiente intervalo o semirrecta de la columna de la derecha. Para ello, escribe la letra correcta en cada corchete

- 54 -


a. Números reales menores que 4 [ ] 2,2

b. 4 x [ ] ,3

c. 2/ xIRx [ ] 4,d. Números reales cuya tercera parte es menor que 2 y mayor o igual que 1

[ ] 4,

e. Números reales mayores que 3 [ ] 6,3

Solución: El orden correcto es [c], [e], [b], [a], [d].

5. (Septiembre 2010) En un colegio hay un total de 350 estudiantes, entre chicos y chicas. Del total del alumnado del centro asisten a una excursión 180 estudiantes. Se sabe que además a la excursión han ido el 40% de los alumnos y el 65% de las alumnas del centro. Responde a continuación a las siguientes cuestiones.

a. Del total de alumnos y alumnas, ¿cuántos son chicos y cuántas son chicas?

b. ¿Cuántas alumnas han ido de excursión? c. ¿Cuántos alumnos no han ido de excursión?

Solución: a. 190 chicos y 160 chicas. b. 104 alumnas. c. 114 alumnos

6. (Junio 2011) Según las condiciones de mi cuenta corriente, puedo gastar mensualmente un poco más de lo que gano, siempre que la diferencia entre los gastos totales y mi nómina no supere un 15% de la misma.

a. Expresa algebraicamente con una única línea las condiciones de gasto anteriormente descritas sabiendo que mi nómina asciendo a 1350 €.

b. Resuelve la expresión anterior y proporciona el intervalo en el que se pueden mover mis gastos este mes. ¿Cómo es el intervalo? Representa el intervalo obtenido sobre la recta real.

c. Dados los altos intereses que me cobran por el dinero adelantado intento no gastar más de lo que gano. Sin embargo, por un imprevisto, este mes he gastado 1478,75 €. Calcula los errores absolutos y relativos de este gasto respecto a mi nómina, expresando los resultados en notación científica.

Solución: a. 5,2021350 x . b. 5.1552,0 . c. Error absoluto = 1.2875.102, Error relativo = 9.537.10-2

7. (Septiembre 2011) De la comparación de recorridos en distintos intervalos de tiempos de una sonda espacial se ha deducido la siguiente inecuación, donde x representa la velocidad en m/s.

- 55 -


64

22

3

3 xxx

a. Averigua la velocidad a partir de la cual la sonda comienza a

ahorrar combustible, resolviendo la desigualdad b. La luz recorre en un día 259.108 kilómetros aproximadamente. La

galaxia Andrómeda se encuentra a 236.1017 kilómetros de la Tierra. Expresa ambas cifras en notación científica y calcula cuántos años tarda la luz (distancia que recorre la luz en un año) que emite Andrómeda en alcanzarnos.

Solución: a.A partir de 1.5 m/s. b. 2,59.1010 km/día; 2,36.109 km. La luz de Andrómeda tardará 2,5.106 años en alcanzarnos, aproximadamente.

8. (Junio 2012) En algunas culturas la riqueza de una familia se mide por el

número de animales que poseen. a. Una familia hace el siguiente reparto según el testamento del

patriarca: “La tercera parte de sus camellos se entregarán a su primogénito, una cuarta parte a su segundo hijo, y el resto los conservará su viuda”. Si a la esposa le corresponden 10 camellos, ¿cuántos camellos componían el rebaño de esta familia?

b. El rebaño de una de las familias, que llamaremos familia 1, tiene actualmente 220 reses, pero, como es muy mala gestora, cada mes su rebaño disminuye en 2 animales. Sin embargo el rebaño de otra de las familias, que llamaremos familia 2, se compone de 100 reses y mensualmente su número aumenta en 20 animales. ¿Cuántos meses han de pasar para que la riqueza de la familia 2 sea superior a la de la familia 1?

Solución: a. 24 camellos b. A partir del 6º mes.

9. (Septiembre 2012) El sueño es un estado de reposo que todas las

personas en mayor o menor medida llevamos a cabo. a. Entre una madre y su hijo duermen un total de 17 horas de sueño

reparador. Si al tiempo que invierte la madre al dormir le restamos 2 horas, da como resultado la mitad de las horas que duerme el hijo. ¿Cuántas horas dedican cada uno a dormir?

b. Suponiendo que una persona duerme una media de 7 horas diarias, ¿cuánto ha dormido una persona de 50 años? Expresa el resultado en notación científica y en dos tipos de unidades: segundos y años.

Solución: a. La madre duerme 7 horas y el hijo 10 b. 4.599.108 s y 1.458.10 años.

- 56 -


10. (Junio 2013) Hemos cubierto con césped artificial el suelo de un jardín

de forma cuadrada. Al ampliar su lado en 3 metros, la nueva superficie es el triple de la original.

a. ¿Cuáles eran las dimensiones del jardín antes de la ampliación? b. Expresa la superficie del jardín después de la ampliación en

notación científica y en cm2.

Solución: a. 4.1 m b.5.04.105 cm2

11. (Septiembre 2013) Una empresa dedicada a la compra-venta adquiere dos vehículos (un coche y una moto) por 14350 € y los vende por 16 402 €. ¿Cuál fue el precio de compra de cada vehículo si en la venta del coche ganó el 15% y en la de la moto el 10%

Solución: precio de compra del coche 12340 €. Precio de compra de la moto 2010 €.

12. (Junio 2014) Demuestra (con cálculos o razonamientos) las siguientes

afirmaciones:

a. 5

2x y

5

4y es solución del sistema

12

35

3

2

1

yx

yx

b. ,3 es la solución de la inecuación xx

x 3424

73

c. 27 es el resultado de la operación 21

422 339

Solución: a. Sustituir x e en cada una de las ecuaciones, hacer las yoperaciones que indica cada ecuación y comprobar que los resultados efectivamente son correctos, por ejemplo:

122

1

5

4

5

6

2

1;

5

3

5

4

5

1

5

4

5

2

2

1

b. Resolver la inecuación y comprobar que el resultado es correcto, por ejemplo:

313

39391373224122432712 xxxxxxxx

c. Hacer las operaciones indicadas y comprobar que el resultado es correcto. Por ejemplo:

2793819

81

19

81

19

81

1981

2

1

2

1

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13. (Septiembre 2014) En mi anterior recibo, por un consumo de 180 kw y

70,5 m3 de gas pagué 54,42 €. Aunque el precio del gas se mantiene, el de la luz ha subido un 18%. Así, por el mismo consumo este mes pagaré 58,632 €. Averigua el coste del kw antiguo y nuevo y el del m3 de gas.

Solución: El kw antiguo cuesta 0,13€. El kw nuevo cuesta 0,1534€. El m3 de gas cuesta 0,44€.

14. (Junio 2015) Para elaborar un pan de cereales se necesitan 3 ingredientes: harina, levadura y semillas. El 60% de su peso debe ser harina, la décima parte levadura y el resto 162 gr de semillas. Da respuesta a los siguientes apartados:

a. ¿Cuál es el peso total del pan? ¿Y el de la levadura? ¿Y el de la harina?

b. Por equivocación, hemos usado 328,5 gr de harina, ¿qué error absoluto y qué error relativo hemos cometido?

Solución: a) El peso total del pan es de 540 gr, el de levadura 54 gr y el de harina 324 gr. b) El error absoluto es 4,5 gr y el error relativo es 0,0139.

15. (Septiembre 2015) En la Tierra se calcula que aproximadamente hay

1400 millones de km3 de agua y de ellos sólo 42 millones de km3 son agua dulce.

a. Expresa ambas cantidades en millones de m3 usando notación científica.

b. ¿Qué porcentaje representa el agua dulce del total de agua del planeta?

c. Si quisiéramos envasar toda el agua dulce del planeta en botellas de litro y medio, ¿cuántos millones de botellas necesitaríamos?

Solución: a) Agua: 1,4.106 millones de m3; Agua dulce: 4,2.104 millones de m3 b) 3% c) 2,8.107 millones de botellas de litro y medio

- 58 -


GEOMETRÍA

1. (Junio 2009) Un gran ventanal tiene forma de triángulo isósceles, con el lado desigual en su base (como aparece en la figura siguiente). La longitud del mencionado lado desigual es de 6 metros y el ángulo que forma la base del triángulo con los lados iguales es de 30º. Calcula el área del ventanal.

Solución: 5,2 m2

2. (Septiembre 2009) Un carpintero quiere construir una escalera de tijeras

cuyos brazos, una vez abiertos, formen un ángulo de 60º. Responde a las siguientes cuestiones sabiendo que la altura de la escalera abierta es de 2 metros.

¿Qué longitud debería tener cada brazo? ¿Qué distancia quedará entre los dos pies de la escalera cuando

los brazos están totalmente abiertos?

Solución: a. 2.31 metros b. 2.31 metros (el triángulo es equilátero)

3. (Junio 2010) Obtén la incógnita y la unidad de medida de dicha incógnita en cada uno de los siguientes casos relacionados con lados, áreas y perímetros de figuras planas:

Figura Datos Incógnita

Rectángulo Base = 5 cm

Área = 29 cm2 Altura =

Cuadrado Área = 56 km2 Lado =

Triángulo Altura = 8 cm Área = 20 cm2

Base =

Rombo Diagonal menor = 5 m

Área = 25 m2 Diagonal mayor =

Rectángulo Base = 3 km

Área = 27 km2 Perímetro =

- 59 -


Solución: altura = 5.8 cm; lado = 7.48 km; base = 5 cm; diagonal mayor = 10 cm; perímetro = 24 km

4. (Septiembre 2010) Una cámara de seguridad, situada en el muro de una edificación (punto B de la figura), detecta a través de un rayo infrarrojo de 9,85 metros de longitud a una persona. El ángulo que forma el rayo infrarrojo con el propio muro mide 66,04º. Calcula:

¿A qué distancia del pie del muro se encuentra la persona detectada por la cámara?

¿A qué altura del suelo se encuentra la cámara?

Solución: a. 9 metros. b.4 metros

5. (Junio 2011) Una placa descansa 4 sobre tuercas hexagonales como las de la figura. Para averiguar la superficie de apoyo y el peso al que puede ser sometida, calcula la superficie de apoyo que generan dichas tuercas. El diámetro de la circunferencia interior es de 16 mm y el lado del hexágono regular es de 16 mm.

Nota: Recuerda que en un hexágono regular como éste, el radio tiene la misma longitud que un lado. En caso de ser necesario, redondea a las centésimas los resultados.

Solución: 463,74 mm2

6. (Septiembre 2011) Dos edificios enfrentados distan entre sí 60 m. Desde la azotea del primer edificio, que se encuentra a una altura de 35 m, se observa el tejado del otro edificio con un ángulo de elevación de 38º. Averigua la altura del edificio más alto.

- 60 -


Nota: En caso de ser necesario, redondea a las centésimas los resultados. Solución: 81,88 m

7. (Junio 2012) Tres pelotas de tenis se introducen en un tubo cilíndrico de

6,6 cm de diámetro en el que encajan hasta el borde. Calcula el volumen total de las tres pelotas de tenis. ¿Cuál es el volumen del cilindro que contiene las pelotas? ¿Cuál será el volumen de la parte vacía del bote?

Solución: a. 451,59 cm3 b. 677,36 cm3 c. 225,77 cm3

8. (Septiembre 2012) Los constructores y urbanistas diseñan su obra en dimensiones reducidas como paso previo a su construcción. Para ello hacen uso de maquetas y planos, que vienen acompañados de una escala. Una empresa de este sector tiene entre manos dos proyectos, del primero sólo tiene el solar, y del segundo ya tiene la maquetación.

En el primer proyecto: una distancia real de 5 km en un plano cuya escala es 1:20000, ¿qué longitud representa?

Como segundo proyecto unas viviendas con forma de ortoedro (caja de zapatos). Sus dimensiones son de 135 m de largo, 70 m de ancho y 43 m de alto. La maqueta que ha hecho ha sido con la escala 1:100. Calcula el volumen de la maqueta que está realizando la empresa.

Solución: a. 25 cm b. 406350 cm3

9. (Junio 2013) Clasifica las siguientes afirmaciones como verdaderas o falsas, justificando dicha clasificación con los cálculos y razonamientos pertinentes.

Afirmación

¿V o F? Justificación

En un plano cuya escala es 1:150 a 3 cm le corresponden en la

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realidad 4,5 metros. El intervalo [-1,2) puede representarse también como

Un ángulo mide 45,16º en forma incompleja, y 0,7882 en radianes aproximadamente.

Las diagonales mayor y menor de un rombo miden 8 y 6 cm. Su perímetro entonces mide 20 cm.

Si el seno de un ángulo es 0,42, elcoseno es 0,9075 y la tangente 0,46 aproximadamente

Solución: V, F, V, V, V.

10. (Septiembre 2013) La Tierra, como planeta, puede considerarse que

está formado por una sucesión de esferas, unas contenidas en otras, de tal forma que si hacemos un corte, obtendremos la siguiente imagen:

Si el manto tiene una amplitud aproximada de 2800 km y el núcleo de 3500 km.

¿Cuál será el volumen del manto? Expresa este resultado en notación científica?

Solución: a y b. 8.68.10 km 11 3

21/ xx

11. (Junio 2014) Después de una obra, un estudio de arquitectura le encarga a un profesional, pintar un local totalmente diáfano de planta trapezoidal. Para que pueda hacer sus cálculos, le proporcionan las

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siguientes dimensiones: 2,5 metros de altura y la planta con las medidas que puedes observar en la imagen:

Si necesita 1 litro de pintura para revestir 8 m2, ¿cuántos litros necesitará para pintar todas las paredes y el techo? Solución: 15,97 l.

12. (Septiembre 2014) ¿Cuál es la capacidad interior, en litros, que queda

libre en la cisterna representada en el dibujo?

Solución: 29,27 l.

13. (Junio 2015) El siguiente dibujo representa la sección de un relieve. Calcula las siguientes cuestiones:

La altura máxima de la montaña en el dibujo. Esta representación está hecha a una escala de 1:200. ¿Cuántos

kilómetros recorreríamos si quisiéramos circular por un camino que va desde el pueblo hasta la cima de la montaña y pasa por C y D?

- 63 -


Solución: a) 5,1962 cm. b) 0,02 km

14. (Septiembre 2015) En una competición basada en el lanzamiento de un determinado objeto, se mide entre otras cosas el ángulo de tiro. El problema es que cada juez está acostumbrado a manejar unas unidades, y han anotado los siguientes registros:

Participante 1: 48,33º Participante 2: 47º 25’ 12’’ Participante 3: 28,0 rad

a. Rellena la siguiente tabla para que todos los jueces puedan

contrastar las puntuaciones:

Forma compleja Forma incompleja radianes Participante 1 48,33º Participante 2 47º 25’ 12’’ Participante 3 0,28

b. Suponiendo que gane el que más ángulo haya obtenido, ¿quién

sería el vencedor? ¿y el perdedor? c. Calcula el seno y el coseno del ángulo del Participante 1,

redondeando a la centésima.

- 64 -


Solución: a) La tabla se encuentra más abajo b) El vencedor es el participante 3 y el perdedor el participante 2 c) y 75,0)º33,48( sen

66,0)º33,48cos(

Forma compleja Forma incompleja radianes Participante 1 48º 19’ 48’’ 48,33º 0,2685 Participante 2 47º 25’ 12’’ 47,42º 0,2634 Participante 3 50º 24’ 50,4º 0,28

- 65 -


FUNCIONES

1. (Junio 2009) Representa la gráfica de las siguientes funciones y estudia la monotonía, la continuidad y la acotación de las mismas

a. x

y2

b. 44 2 xxy

Solución: a. La función es decreciente en 0IR , continua en y 0IRno está acotada ni superior ni inferiormente. b. La función es creciente en , decreciente en ),2( )2,( , continua en IR , acotada inferiormente por 0 y no acotada superiormente. Las gráficas se encuentran más abajo.

2. (Septiembre 2009) Dada la gráfica de la siguiente función )(xf :

- 66 -


a. La monotonía. ¿Tiene máximos o mínimos? Indica en qué puntos. ¿Son absolutos?

b. La continuidad. Indica dónde es continua, dónde discontinua y, en su caso, el tipo de discontinuidad.

c. La acotación

Solución: a. La función es creciente en ,02, y es decreciente en . Tiene un máximo relativo en )0,2( )4,2( , que no es absoluto y no

tiene mínimos. b. La función es continua en 0IR . En tiene una 0xdiscontinuidad de salto, con salto 1. Está acotada superiormente por 6 y no está acotada inferiormente.

3. (Junio 2010) Revelado de fotografías. En una tienda de fotografía, revelar una fotografía digital tiene un coste de 0,15 euros.

a. Elabora una tabla donde se muestre el coste de revelar 1,2,3,4,5,…,10 fotografías. Posteriormente, representa gráficamente la tabla de valores obtenida.

b. Halla la ecuación de la función que calcula el coste total del revelado en función del número de fotografías reveladas.

c. Durante el verano, la tienda coloca un anuncio publicitario de oferta con el siguiente texto: “Si revelas 100 fotografías, te haremos un descuento del 20%”. Dispones de 115 fotografías de tus últimas vacaciones y decides revelarlas. ¿Qué cantidad (en euros) te costará revelarlas durante el tiempo que dure la oferta?

Solución: a. tabla de valores y representación gráfica b. c. xy 15.014,25€.

y

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

y 0,15 0,3 0,45 0,6 0,75 0,9 1,05 1,2 1,35 1,5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

4. (Junio 2011) Esta gráfica corresponde a un trozo de monitorización de la respiración de un paciente y representa el volumen de aire durante la inspiración y la expiración en mm3 a lo largo del tiempo, expresado en segundos:

- 67 -


a. Indica el dominio y el rango de las respectivas variables. Indica cuál es la variable independiente.

b. Completa la tabla de valores siguiente:

Tiempo en s. Cantidad de aire en mm3

2 6

16

c. Numera todos los extremos de la función. ¿Qué ocurre en los

puntos A y B? Identifica un trozo de gráfica correspondiente a una inspiración y otro a una expiración.

d. Razona si es una función periódica y/o simétrica. ¿Y continua?

Solución: a. Dominio = [0,18]; Rango = [0,120]. Variable independiente = tiempo. b. (2,50), (6,90), (16,80), c. Máximos relativos: (0,100), (7,120); Mínimos relativos (4,0), (15,20). En A la función alcanza el mínimo absoluto y en B la función alcanza el máximo absoluto. Intervalo de inspiración = (4,7); Intervalo de expiración = (0,4). d. La función no es periódica, ni simétrica; sí es continua.

5. (Septiembre 2011) Para transportar una mercancía de 6,4 toneladas, disponemos de camiones de 800 kg. de capacidad.

a. Rellena la siguiente tabla con el número de viajes necesarios para trasladar toda la carga si contamos con una flota de:

Nº de camiones Nº de viajes necesarios

Recuerda incluir también los cálculos y razonamientos, no sólo las soluciones

- 68 -


b. Expresa la relación anterior mediante una función. Detalla quién

es la variable independiente y por qué. c. Identifica la función obtenida y esboza su gráfica.

Solución: a. Si hay 1 camión, necesitamos 8 viajes, si hay 2 camiones necesitamos 4 viajes, si hay 4 camiones, necesitamos 2 viajes y si hay 8

camiones necesitamos un viaje. b. x

y8

. c. Es una función de

proporcionalidad inversa. Su gráfica es:

6. (Junio 2012) el INE (Instituto Nacional de Estadística) a través de una nota de prensa nos ofrece los siguientes datos en modo de gráfico:

a. ¿Cuál es el dominio y el recorrido de la función? b. ¿El salario medio a qué número de asalariados corresponde

aproximadamente? ¿Y el salario mediano? c. Haz un análisis del crecimiento y decrecimiento de la función

teniendo en cuenta el contexto.

- 69 -


d. ¿A qué valor tiende el número de asalariados al ir aumentando el salario? Razona si podría tener sentido que a partir de salarios mayores de 90000 euros se produjera un nuevo crecimiento.

Solución: a. Dominio = (0, 900000]; Recorrido = (0,800000] b. El salario medio corresponde a 400000 asalariados; el salario mediano corresponde a 700000 asalariados c. Creciente en el intervalo (0, 14466.46); decreciente en el intervalo (14466.46,900000) d. El número de asalariados tiende a 0. No parece posible que a partir de 900000€, el número de asalariados creciera de nuevo.

7. (Septiembre 2012) Para hacer una paella, la proporción de agua y arroz

(en volumen) es de 3 a 1, respectivamente. a. Para 5 tazas de arroz, ¿cuántas tazas de agua serán necesarias? b. Si se echan 5 tazas de agua, ¿cuántas tazas de arroz lleva la

paella? c. Escribe la expresión analítica de la función que relaciona el

volumen de arroz con el de agua. d. Represéntala gráficamente.

Solución: a. 15 tazas de agua b. 5/3 tazas de agua c. 3

xy d.

Representación gráfica:

8. (Junio 2013) El siguiente gráfico muestra el número de televidentes de un partido de fútbol, en función del tiempo que ha transcurrido desde el comienzo del partido.

a. ¿En qué minuto hay más televidentes? b. ¿Cuánto descienden los televidentes en el descanso? c. Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la

función. d. ¿Cuántas personas están viendo la televisión en el minuto 30?

Observa que para dar el resultado exacto debes calcular la

- 70 -


ecuación de la recta, asociada a esa función, que pasa por ese punto.

Solución: a. En el minuto 80 hay 9.106 espectadores b. 3.106 televidentes c. creciente en (0,45) U (60,80) y decreciente en (45,60) U (80,105) d. 7,33.106 personas.

9. (Septiembre 2013) Lee las siguientes afirmaciones sobre la función

3

2

xy e indica justificadamente (con cálculos o con la representación

si es preciso) si son verdaderas o falsas. a. Pasa por el punto (2,-2) b. El dominio de la función son todos los números reales. c. Presenta un máximo relativo en el punto (1,-1) d. La función no está acotada ni superior ni inferiormente. e. La función es continua.

Solución: V, F, F, V, V.

10. (Junio 2014) La siguiente gráfica corresponde a una función afín:

a. ¿Cuál es la pendiente de dicha recta? b. ¿Cuál es su expresión analítica? c. Calcula la expresión analítica de otra función afín paralela a ésta,

que pase por el punto (0,1).

- 71 -


Solución: a. La pendiente es 2. b. 22 xy c. 12 xy

11. (Septiembre 2014) Se consideran las siguientes gráficas y fórmulas de

funciones:

a. Asigna razonadamente cada gráfica con una de las funciones. b. Razona si existe algún punto de corte con el eje “x” de la función

b). c. Averigua el máximo de la función I. d. Escribe el dominio y el recorrido de la función a).

Solución: a. Ic. El vértice es un máximo y el coeficiente de la mayor potencia de x es negativo. IIa. La asíntota vertical y el punto donde se anula el denominador coinciden ambos en x=-1. IIId El vértice es un mínimo y el coeficiente de la mayor potencia de x es positivo. IVb. La asíntota vertical y el punto donde se anula el denominador coinciden ambos en x=2. b. NO hay punto de corte con el eje. Para que una

- 72 -


fracción se anule el numerador tiene que ser cero y en el caso de esta función es la constante -1. c. V(1,5) d. D(g)= 1R R(g)= 0R

12. (Junio 2015) En una tienda de ropa los precios marcados no incluyen el IVA, que es del 21%. Si consideramos las variables “precio marcado” y “precio a pagar (IVA incluido)”:

a. Haz una tabla con al menos 3 valores que relacione ambas variables.

b. Escribe la expresión algebraica asociada a dicha función. ¿Qué tipo de función es?

c. Representa gráficamente la función.

Solución: a) Los puntos (100,121), (200,242), (300,363) están en esa tabla, por ejemplo. b) xy 21,1 es una función lineal. c) La gráfica es la línea recta que pasa por el origen y por cualquiera de los tres puntos anteriores.

13. (Septiembre 2015) Observando el gráfico que sigue responde a los apartados.

a. ¿Qué recta tiene pendiente positiva y cuál negativa? b. ¿Qué recta representa una función afín y qué recta una función

lineal? ¿Por qué? c. Escribe la ecuación de cada una de las rectas. d. Supongamos que buscamos una función que nos relacione el

tiempo que hablamos por teléfono en minutos, con el coste de la

- 73 -


llamada telefónica en céntimos. Si sabemos que el precio del minuto es de 2 céntimos y que no hay establecimiento de llamada, ¿qué recta de las anteriores representa dicha función?

Solución: a) La recta 1 tiene pendiente positiva y la recta 2 tiene pendiente negativa b) La recta 2 es una función afín porque no pasa por el origen de coordenadas, mientras que la recta 1 representa una función lineal porque sí pasa por el origen de coordenadas c) La recta 1 tiene de ecuación , mientras que la recta 2 tiene de ecuación xy 2

23

2 xy

- 74 -


ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

1. (Junio 2009) en una clase el tutor ha anotado el número de hermanos/as que tiene cada uno de sus alumnos/as, obteniendo el siguiente resultado:

1 0 2 1 4 2 2 3 1 3 1 3 0 2 3 2 3 1 2 2 2 1 2 1 3

a. Construye la tabla de frecuencias. b. Representa estos datos mediante un diagrama de barras. c. Calcula la moda, la mediana y media aritmética. d. Halla la desviación típica.

Solución: a. La tabla de frecuencias y el b. El diagrama de barras se encuentra más abajo. c. La Moda es 2, la Mediana es 2 y la media aritmética es 1.88 d. La desviación típica es 0.99

Frecuencia absoluta

Frecuencia absoluta; 2





0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 1 2 3 4

2. (Septiembre 2009) El siguiente gráfico representa la distribución de la variable “número de suspensos en la primera evaluación” de los 30

- 75 -


alumnos/as de un grupo de Bachillerato. Halla la media, la mediana, la moda y la desviación típica.

Nº suspensos en la 1ª Evaluación

0

2

4

6

8

10

12

14

5 6 7 8

Solución: La Media es 6.1, la Mediana es 6, la Moda es 6 y la desviación típica es 0,94.

3. (Junio 2010) En una encuesta, realizada por la compañía de teléfonos para evaluar el grado de satisfacción entre sus clientes de un determinado servicio prestado por dicha compañía, para la pregunta: “¿Cómo valoraría usted el servicio de acceso a Internet prestado por nuestra compañía?” se le proponía a los clientes encuestados elegir una de las siguientes opciones:

Muy bueno (MB); Bueno (B); Regular (R); Malo (M) Las respuestas de los encuestados fueron las siguientes:

B B B B M R B B

MB R M MB B B R M

MB B R R

a. Construye la tabla de frecuencias con las respuestas de los clientes.

b. Realiza un diagrama de barras con las frecuencias absolutas. c. Representa en un diagrama de sectores las frecuencias relativas.

A la vista del diagrama obtenido, ¿consideras que los clientes, en general, están satisfechos con el servicio? Razona tu respuesta.

Solución: La tabla de frecuencias, el diagrama de barras y el diagrama de sectores:

- 76 -


f i

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

f i 3 5 9 3

M R B MB

M

R

B

M B

4. (Septiembre 2010) Juan y María deciden jugar a las cartas y se

encuentran con la sorpresa de que faltan muchas cartas de la baraja, pero, observan que el palo de bastos está casi completo. Ante esta situación, deciden inventar su propio juego al que denominan: “la baraja reducida”. El juego consiste en lo siguiente:

Con los números 1,2,3,4,5 y 6 de bastos forman la baraja reducida.

De esta baraja reducida extraen una carta, anotan su valor y la vuelven a devolver a la baraja. A continuación, repiten de nuevo la misma acción, esto es, sacan una carta, anotan su valor y la devuelven a la baraja.

Finalmente, calculan la diferencia entre el valor de las cartas extraídas. (Si la dos distintas, restan el menor valor al mayor)

Si la diferencia obtenida vale 0,1 o 2, gana Juan Si la diferencia obtenida vale 3,4 o 5, gana María.

Responde a las siguientes cuestiones:

a. ¿En qué casos gana Juan? Calcula la probabilidad que tiene Juan de ganar.

b. ¿En qué casos gana María? Calcula la probabilidad que tiene María de ganar.

Solución: a. Juan tiene una probabilidad de 2/3 (es decir, un 66,67%) de ganar. b. María tiene una probabilidad de 1/3 (es decir, un 33,33%) de ganar.

5. (Junio 2011) He solicitado a mi banco el gráfico de gastos del último mes

en mi tarjeta (1022,98 €), y es el siguiente:

- 77 -

IES Fernando Aguilar Quignón. Departamento de Matemáticas. Curso de preparación para la prueba de acceso a los ciclos formativos de

grado superior (B)

a. Construye un diagrama de barras que represente los mismos resultados, utilizando como variables el tipo de gastos, y la cantidad en € (no el porcentaje). En caso necesario, trunca a las centésimas los resultados obtenidos.

b. Completa la tabla de frecuencias absolutas y relativas (simples y

acumuladas) observando los diagramas anteriores.

Valor F. absoluta

(ni)

F. abs. Acumulada

(Ni)

F. relativa (fi)

F. rel. Acumulada

(Fi) Gasolineras

Grandes superficies Ocio

Alimentación Cajeros TOTAL 1022,98 1

c. Indica cuál es la moda y la mediana razonadamente en interprétalas.

Solución: a. Diagrama de barras está más abajo y también la tabla. c. La Moda es los cajeros. La mediana no se puede calcular para una variable cualitativa.

- 78 - 0

100

G GS O A C

200

300

400

500

600


Valor F. absoluta

(ni)

F. abs. Acumulada

(Ni)

F. relativa (fi)

F. rel. Acumulada

(Fi) Gasolineras 40,92 40,92 0,04 0,04

Grandes superficies 61,38 102,3 0,06 0,1 Ocio 122,76 225,06 0,12 0,22

Alimentación 265,97 491,03 0,26 0,48 Cajeros 531,95 1022.98 0,52 1 TOTAL 1022,98 1

6. (Septiembre 2011) En el billar, jugamos con 16 bolas, 15 de las cuales numeradas del 1 al 15, y una lisa blanca. De las bolas numeradas, 8 son de un color liso, y 7 presentan una franja de color como en la fotografía. Las 8 primeras son color liso y las 7 últimas con franja. Calcula las siguientes probabilidades, teniendo en cuenta que elegimos una bola al azar.

a. Escribe el espacio muestral asociado a este experimento. b. Sea de color liso. c. Sea numerada par. d. Sea numerada par y lisa al mismo tiempo.

Solución: a. E={B, L1, L2,…,L8, F9, F10,…, F15}, siendo B blanca, L lisa y F con franja de color. b. 9/16 (56,25%) c. 7/16 (43,75%) d. 4/16 (25%)

7. (Junio 2012) En informática se usa como unidad de información el bit, que puede tomar únicamente dos valores, 0 y 1. Es, pues, frecuente, encontrarse con cadenas de 2 bits (00, 01, 10, 11), de 3 bits, de 4 bits,… Tomemos, por ejemplo, las cadenas de 4 bits.

a. Enumera todas las posibles cadenas. b. ¿Cuál es la probabilidad de que contenga sólo dos unos? c. ¿Cuál es la probabilidad de que contenga exactamente tres

ceros? d. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos tres de sus bits sean

iguales? e. ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra justamente lo contrario de

los exigido en el apartado anterior?

Solución: a. E={0000, 1000, 0100, 0010, 0001, 1100, 1010, 1001, 0110, 0101, 0011, 1110, 1101, 1011, 0111, 1111} b. 3/8 (37,5%) c. 4/16 (25%) d. 10/16 (62,5%) e. 6/16 (37,5%)

8. La siguiente lista indica los goles que ha marcado un equipo en los 12

partidos de un campeonato.

- 79 -


2 1 0 3 1 4 0 0 1 5 2 0

a. Estudia si el equipo es regular, calculando su media y su desviación típica.

b. Representa la información en un diagrama de barras.

Solución: a. Media = 1,58; desviación típica = 0,71 b. Diagrama de barras:

Frecuencia absoluta

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

0 1 2 3 4 5

9. (Junio 2013) A un instituto de secundaria lo han premiado con un viaje para una de sus clases. Para decidir qué alumnos van al viaje, optan por un sorteo público, que consisten en insertar en un tarro papeletas con el curso (1º, 2º, 3º y 4º) y en otro papeletas con el grupo (A, B, C, D, E), y que una mano inocente haga una extracción de cada una.

a. Escribe el espacio muestral asociado al experimento elegir a los premiados.

b. Calcula la probabilidad de que el premio lo reciban alumnos del primer ciclo de la ESO. (1º o 2º)

c. Calcula la probabilidad de que el premio recaiga sobre 3º A. d. Calcula la probabilidad de que sea un grupo con la letra B el

premiado. e. Calcula la probabilidad de que el premiado sea un grupo con

vocal y del segundo ciclo (3º o 4º).

Solución: a. E = {1A, 1B, 1C, 1D, 1E, 2A, 2B, 2C, 2D, 2E, 3A, 3B, 3C, 3D, 3E, 4A, 4B, 4C, 4D, 4E } b. 10/20 (50%) c. 1/20 (5%) d. 4/20 (20%) e. 4/20 (20%)

- 80 -


10. (Septiembre 2013) El número de horas diarias que entrena un grupo de 10 ciclistas es: 5, 6, 4, 7, 5, 4, 7, 6, 4, 3.

a. Organiza la información en la siguiente tabla:

Nº de horas de entrenamiento Frecuencia absoluta 3 4 5 6 7

b. Representa esta información en un diagrama de barras. c. Calcula la media y la desviación típica del número de horas de

entrenamiento.

Solución: a. Las frecuencias absolutas respectivas son 1, 3, 2, 2, 2 b. El diagrama de barras se encuentra más abajo c. La media es 5,1 h. y la desviación típica es 1,3 h.

Frecuencia absoluta

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

3 4 5 6 7

11. (Junio 2014) En la despensa de una familia numerosa tienen los siguiente tetra briks: 4 de leche desnatada, 3 de leche entera, 2 de zumo de piña, 5 de tomate frito, 2 de sopa y 1 de batido de fresa. Si abrimos dicha despensa a oscuras, calcula la probabilidad de:

a. Elegir un cartón de tomate frito. b. No elegir un zumo. c. Elegir un lácteo. d. Elegir un zumo de piña o un batido.

- 81 -


e. ¿Cuál de las situaciones anteriores es más probable? Razona la respuesta.

Solución: a. 5/17 b. 15/17 c. 8/17 d. 3/17

12. (Septiembre 2014) Suponemos que la salud es independiente del sexo:

a. Completa la siguiente tabla con los resultados de las personas encuestadas y halla la tabla de probabilidades asociadas:

Persona Sana Enferma TotalMujer 50 40 90 Hombre Total 130 70

Persona Sana Enferma TotalMujer Hombre Total 1

b. Calcula la probabilidad de que una persona sana sea mujer. c. Averigua la probabilidad de que siendo hombre, esté enfermo.

Solución: Las tablas completas se encuentran más abajo. b. 5/13 c.3/11. Los últimos dos ejercicios requieren de la definición de probabilidad condicionada.

Persona Sana Enferma TotalMujer 50 40 90 Hombre 80 30 110 Total 130 70 200

Persona Sana Enferma TotalMujer 1/4 1/5 9/20 Hombre 2/5 3/20 11/20Total 13/20 7/20 1

13. (Junio 2015) El aparcamiento de un centro comercial está organizado

por colores (rojo, verde y naranja) y por sectores (F,G,H,I). Además sabemos que hay el mismo número de plazas de cada color y cada sector.

a. Escribe el espacio muestral asociado al experimento “Aparcar el coche en un sector y en un color”

b. Calcula la probabilidad de aparcar en una plaza roja del sector G. c. Calcula la probabilidad de aparcar en el sector F. d. Calcula la probabilidad de no aparcar en una plaza verde. e. Por último, estudia la probabilidad de aparcar el sector F o de

color naranja.

- 82 -


Solución: a) E={RF,RG,RH,RI,VF,VG,VH,VI,NF,NG,NH.NI} 12 sucesos elementales. b) 0,0833 c) 0,25 d) 0,67 e) 0,5

14. (Septiembre 2015) Una caja de cereales contiene copos con las

siguientes formas:

a. Si extraemos un cereal de la caja y nos fijamos en la forma que

orazón, 80 con forma de

tiene, indica todos los sucesos elementales posibles. ¿En algún caso la probabilidad de la intersección de dos de esos sucesos elementales puede ser distinta de cero?

b. Si la caja hay 150 copos con forma de cluna, 110 con forma de carita sonriente, y 50 con forma de cruz, ¿qué probabilidad hay de extraer un corazón? ¿Y de no extraer una carita sonriente?

Solución: a) Sucesos elementales: “Salir corazón”, “Salir carita sonriente”, “salir luna”, “salir cruz”. La intersección de dos sucesos elementales distintos siempre es el conjunto vacío, por tanto su probabilidad siempre es cero. b) Sean los sucesos A = ”extraer corazón”

- 83 -


-

y B = “extraer carita sonriente”, entonces 3846,0390

150)( AP y

7179,0390

280)( BP

84 -

curso de preparaciÓn para la prueba de acceso a los ciclos formativos de grado ... ·...

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