Curso de Matemáticas Actuariales del Seguro de Personas I

(SEMESTRE 2014-1)Profesor: Act. José Fernando Soriano Flores

E-mail: act_fernando@hotmail.comCelular: 55-21064804

Profesor Adjunto: Chrisitan Arturo Quiroga VergaraE-mail: ch.guiroga@hotmail.comCelular: 55-13734218

Introducción: El curso intentará ser teórico y práctico intentando abarcar el temario del curso, para tal efecto algunos temas, trabajos y tareas serán utilizando el software Excel. Con el fin de avanzar de una manera rápida pero precisa en el curso se harán para la mayoría de los temas notas de clases de tal manera que el alumno no ocupe mucho tiempo de la clase en anotaciones y dedique la mayor parte del tiempo a poner atención al desenvolvimiento de la clase. Para diversos efectos se creará un blog en el cual se enviaran mensajes referentes al curso así como material didáctico de apoyo al curso, mismo que tendrá que ser impreso para atender la clase.

Temario1. Matemáticas Actuariales Método tradicional

a. Tabla de mortalidadb. Modelo biométrico Gompertz-Makehamc. Anualidades contigentesd. Seguros de Vidae. Prima Neta Niveladaf. Cálculo de reservasg. Asset Share

i. Examen 1: a , b , cii. Examen 2: c , d , e

iii. Trabajos: f

2. Matemáticas Actuariales Método Modernoa. Funciones Biometricasb. Tabla de Mortalidadc. Anualidadesd. Seguros

i. Examen 33. Herramienta de análisis Estadístico

a. Trabajo

FORMA DE CALIFICAR:

Tareas : 30% Trabajos : 10% Exámenes : 60% Asistencia : 10%

CONSIDEREACIONES:

Para el desarrollo del curso, se han preparado estas notas de clase en formato PDF con el contenido de todo lo que se verá en el semestre, la finalidad de estas notas es que el alumno no anote ni tome apuntes en clase, simplemente pondrá atención a la clase y si cree conveniente anotar algo lo hará sobre las mismas.

Además se contará con un blog para todos, en el cual se guardara de manera permanente el material de clase a lo largo del semestre.

Matemáticas Actuariales Método “Tradicional”.

Cuando nosotros tomamos el curso de Matemáticas financieras abordábamos el tema de Anualidades Ciertas, que consistía precisamente traerse una cantidad monetaria a valor presente y suponíamos “ciertos” los pagos, en otras palabras, suponíamos con 100% de probabilidad de que el pago se iba a dar. En el cálculo actuarial hablamos nuevamente de anualidades pero sujeta a una contingencia: El individuo esté con vida, pues si éste no lo está, no hay manera de recibir el pago.

El cálculo actuarial expuesto bajo el Método Tradicional parte del supuesto muy general de que los periodos de evaluación son anuales o en su mejor caso aproximaciones mensuales, dicho en otras palabras los puntos de valuación serán “discretos”.

En ésta parte del curso abordaremos éste método y para al capítulo 2 el caso continuo.

1

1.-A.- Tabla de Mortalidad

Definición: Una Tabla de Mortalidad es un Cuadro Estadístico que resume el impacto de la mortalidad en un grupo cerrado de personas (Cohorte Generalmente Ficticia) denotado como

.

Clasificación: Generada o de Cohorte: Se construye en base a la observación de un grupo

cerrado de personas hasta que dicho grupo desaparezca por la causa de muerte. Actual: Se construye en un periodo corto de tiempo tomando como referencia dos

censos o observaciones.

Tipos: Abreviada: Como su nombre lo indica es una tabla abreviada la cual emplea

grupos de edad resumidos generalmente las edades 1, 4, 5, 10, 15, 20, etc. Completa: Utiliza edades completas (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, etc.)

Construcción:

Para construir una tabla de Mortalidad es necesario hacer uso de la siguiente notación y funciones biométricas:

: Número de Vivos de Edad exacta x : Número de muertes ocurridas entre las edades x y x+1, es decir:

: Número de muertes ocurridas entre las edades x y x+n, es decir:

: Probabilidad de que una persona de edad x sobreviva 1 año más, es decir:

: Probabilidad de que una persona de edad x sobreviva n años más

: Probabilidad de que una persona de edad x muera entre las edades x y x+1

Es decir:

: Años persona vividos entre las edades x y x+n.

Esta es una de las series más importantes de una tabla de mortalidad y generalmente es la que menos se comprende, su comprensión y estimación se vuelve esencial para poder comprender muchos tópicos actuariales, con el fin de que se entienda cuál es la interpretación de los Años-Persona Vividos considérese el siguiente ejemplo:

Supongamos que tenemos un grupo de tres personas todas de edad 25, y supongamos también que una de ellas llega con vida a la edad 30, otra a la edad 29 y otra a la edad 28, eso quiere decir que una persona vivió 5 años entre las edades 25 y 30, otra vivió 4 años entre las edades 25 y 30, y otra vivió 3 años entre las edades 25 y 30, esto quiere decir que los años persona vividos entre las edades 25 y 30 fueron de 5+4+3=12 años.

Dado el ejemplo anterior podemos decir que los años persona vividos entre las edades x y x+n es el área bajo la función lx como se muestra en la siguiente figura:

En el caso de conocer la función lx de manera continua entonces diríamos que:

Como desconocemos dicha función entonces suponemos que la función lx se comporta de manera lineal entre las edades x y x+n, de tal manera que el área a calcular es de un rectángulo cuya base mide n y altura lx+n, y un triangulo de base n y altura lx – lx+n, de tal manera que:

2

(TAREA 1. DEMOSTRAR ULTIMA IGUALDAD)

: Años persona vividos entre las edades x y x+1Usando la formula anterior (sustituyendo n 1)

: Años persona vividos entre las edades x y wEs complicado aproximar los años persona vividos entre x y w con el supuesto de distribución uniforme de las muertes como en el caso anterior, por lo que sumaremos rangos de edades de años persona vividos para obtener una mejor aproximación:

: Esperanza de vida a la edad x (Número de años que se espera viva una persona de edad x:En otras palabras es el promedio de años que una persona de edad x sobrevivirá, en ese sentido se sumaran los años persona vividos desde la edad x hasta la edad w y se dividirán entre el total de personas de edad x:

En términos generales se puede decir que estas son todas las funciones que componen una tabla de mortalidad, sin en cambio, el actuario para hacer cálculos actuariales se apoya en funciones adicionales llamados “Valores Conmutados”

Valores Conmutados.

Los valores conmutados se definen en función a un interés técnico y el factor de valor presente visto en el curso de Matemáticas Financieras:

Donde e = Interés Técnico

(TAREA 2. Calcular una tabla de mortalidad en base a la serie lx y un interés técnico del 5% - TAREA EN EXCEL)

(TRABAJO 1. Calcular las probabilidades indicadas por el Profesor – Tarea a mano)

1.-B.- Ley de Mortalidad Gompertz - Makeham.

Recordemos que una tabla de mortalidad es un cuadro estadístico que resume el impacto de la mortalidad en un grupo cerrado de personas a través del tiempo, dicho estudio lo hacia en el mejor de los casos de manera anual, es decir, nosotros conocíamos a la serie de manera discreta, pues el valor “x” solo podía tomar valores enteros (x=1,2,3,4,5.....), la cuestión aquí es saber por ejemplo, cuántos vivos tengo yo a la edad x= 12.00045, ó a la edad x=19.234676, la tabla de mortalidad no nos lo puede decir, pues sus observaciones son discretas y no continuas. Gompertz intento resolver este tipo de preguntas y lo que hizo simplemente fue asociarle una función (un modelo matemático) continua a la función discreta de la tabla de mortalidad, dicha función tenía que cumplir con emular de la manera más exacta a la función discreta.

Es así que se presenta su desarrollo.

Recordemos una serie muy particular de la tabla de mortalidad: “Tasa Central de Mortalidad”:

Es decir, el número de muertos en determinado tiempo, respecto al total de personas “presentes”,

Partiendo de esta igualdad y recordando que:3

Si suponemos que h es un número muy pequeño podemos decir entonces que:

Por lo que tendríamos:

Gracias a esto definimos a la Tasa Instantánea de Mortalidad :

Que por definición de Derivada:

Como x es variable muda:

Intentemos despejar a de la ultima expresión,

Finalmente tenemos que:

A esta última ecuación se le conoce como Ecuación Fundamental de la Ciencia Actuarial

Hasta ahora ya hemos encontrado un modelo matemático, una función lx continua, pero solo conocemos el “radix” y desconocemos la forma que puede tener la tasa instantánea de

mortalidad. Es así que Gompertz también respondió esta pregunta haciendo el siguiente razonamiento:

El dijo: “la resistencia del hombre a la muerte, disminuye a una tasa proporcional a ella misma y decrece con el paso del tiempo”. i.e.

la podemos ver como la No resistencia a la muerte a morir de tal manera que si es muy grande entonces la NO resistencia del hombre a la muerte es muy grande, esto quiere decir que la SI resistencia del hombre al morir es pequeña.

Entonces:

la podemos ver como la SI Resistencia a la muerte o bien la resistencia del hombre a morir ya que si es muy grande entonces, , es muy pequeña.

Lo que hizo Gompertz entonces es decir que la resistencia del hombre al morir es la cual es proporcional a ella misma, y esta decrece al paso del tiempo. I.e. entre más tiempo pase la resistencia del hombre es menor.

Sea entonces:

h = constante de proporcional que asegura la hipótesis de Gompertz = resistencia del hombre a la muerte

= tasa de cambio de la resistencia del hombre a morir

)(1

)(1

ydyd

yh

Nótese que el factor "h" esta multiplicado por un signo negativo, esto se debe a que la resistencia del hombre al morir decrece con el paso del tiempo.

De esta última expresión ya podemos despejar a , entonces:

4

Resolviendo la Ecuación Diferencial tenemos que:

Sea

Sea = C

Donde:

B = Deterioro biológico C = Proporción en la que se están muriendo

Sustituyendo este último resultado en:

Resolvemos primero la integral:

Recordemos que:

Sea =

Sea

Recapitulando Gompertz propuso que , y al sustituir este valor obtuvo que

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Tiempo después Makeham propuso que , donde A, era el factor de "azar"

Resolvemos primero la integral:

Sea

Sea

Esta ultima formula es conocida como la ley de Gompertz –Makeham

Hasta aquí, hemos descubierto aquel modelo matemático que nos describe a la función lx en forma continua, pero, cómo se calculan los parámetros K, S, G y C?

Esta pregunta la resolveremos usando el “Método de los Grupos no Superpuestos”

Calculo de los parámetros de la ley de Gompertz-Makeham. Método de los Grupos Superpuestos.

Como se mencionó con anterioridad el curso intentará ser práctico y a continuación se muestra un método práctico con el cual, usando observaciones discretas de la tabla de mortalidad es posible obtener los parámetros de la Ley Gompertz-Makeham utilizando la herramienta de EXCEL.

Para esto es necesario contar con “n” observaciones las cuales tienen que ser múltiplos del número de parámetros que deseamos obtener, en este caso la Ley Gompertz-Makeham cuenta con 4 parámetros: K, S, g y c, en ese sentido n puede ser igual a 16

Se parte del hecho de tener i = 16 observaciones de la serie de la tabla de mortalidad distribuidas de igual forma en el tiempo.

m i x lx

1

1 5 957742 10 956593 15 955734 20 95391

2

5 25 951536 30 947927 35 943678 40 93638

3

9 45 9258110 50 9087011 55 8788012 60 83975

4

13 65 7842914 70 6960315 75 5773216 80 43043

Con las 16 observaciones se hacen m = 4 grupos de igual tamaño. Y se hace el siguiente análisis: Partimos de la ley de Gompertz-Makeham

Se hace una re etiquetación de la serie como se muestra en la columna "i" (Ej. Si i=1 entonces estaremos hablando de ). Entonces la formula nos queda de la siguiente manera:

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Analizamos y sumando cada uno de los 4 grupos, tenemos que:

Resolviendo estas sumas, tenemos que:

Sacando diferencias tenemos que:

De se puede despejar "c"…

De se puede despejar "g"…

De se puede despejar "a"…

De se puede despejar "k"…

(TAREA 3, Dado ejercicio anterior encuentre la fórmula para calcular los parámetros de la ley Gompertz – Tarea a mano)

(TAREA 4, Dado el cuadro puesto al principio de este capitulo encuentre los parámetros de la Ley Gompertz-Makeham en EXCEL)

1.-C.- Anualidades Contingentes.

En el curso de matemáticas financieras se estudio este tema como “Anualidades Ciertas”, y consistía en una serie de pagos “ciertos”, en el caso de Matemáticas Actuariales I se estudia este tema como Anualidades “contingentes” que consisten en una serie de pagos que dependen de una contingencia, es decir, la serie de pagos va a depender directamente de la ocurrencia de una contingencia, en nuestro caso, va a depender de si vive o muere la persona.

Para simplificar algunos cálculos saltaremos un poco del tema para ver un tipo de Seguro muy especial:

Dotal Puro n años: En este caso se dará un solo pago de 1 u.m. (unidad monetaria) a una persona de edad x si esta llega con vida a la edad x+n, es decir, sobrevive n años, este valor presente se calcula de la siguiente manera:

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Anualidad Vitalicia Vencida: Supongamos ahora que se va a dar un pago de 1 u.m. al final del año de forma anual a una persona, siempre y cuando esta permanezca con vida, este valor presente se calcula de la siguiente manera:

Anualidad Vitalicia Anticipada: Supongamos ahora que se va a dar un pago de 1 u.m. al principio del año de forma anual a una persona, siempre y cuando esta permanezca con vida, este valor presente se calcula de la siguiente manera:

Anualidad Vencida Temporal n años: Supongamos ahora que se va a dar un pago de 1 u.m. al final del año de forma anual durante n años, a una persona siempre y cuando esta permanezca con vida, este valor presente se calcula:

Es decir:

Anualidad Anticipada Temporal n años: Supongamos ahora que se va a dar un pago de 1 u.m. al principio de cada año de forma anual durante n años, a una persona siempre y cuando esta permanezca con vida, este valor presente se calcula, análogamente a lo anterior de la siguiente manera:

Hasta ahora se han analizados los casos en los que se entrega una cantidad de unidades monetarias si una persona llega con vida, o vive determinado numero de años. Toca tiempo de analizar aquellos casos en los que se entregara una cantidad de unidades monetarias si la

persona muere en un número determinado de años, a este tipo de casos se les llama “Seguros”.

1.-D.- Seguros

Seguro Ordinario de Vida: Una persona de edad x, contrata un seguro ordinario de vida, y así en caso de que fallezca, se le entregara una suma asegurada de 1 u.m. a los beneficiarios en cuanto la persona fallezca. Este valor presente se calcula de la siguiente manera:

nxA : Seguro Temporal n años: Una persona de edad x, contrata un seguro de vida, y así en caso de que fallezca antes de los próximos n años, se le entregara una suma asegurada de 1 u.m. a los beneficiarios en cuanto la persona fallezca. Este valor presente se calcula de la siguiente manera:

Seguro Dotal Mixto n años: Una persona de edad x, contrata un seguro de vida Dotal Mixto, y así en caso de que fallezca antes de los próximos n años ó llegue con vida, se le entregara una suma asegurada de 1 u.m. a el o a los beneficiarios. Este valor presente se calcula de la siguiente manera:

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1.-E.- PRIMAS

En términos Generales ya se vio este tema, pues el ultimo tema que vimos fue el de “seguros” denotado en general con una “A”, y dado que es un valor presente, también lo podemos ver como una “prima neta única”, es decir, a el valor presente de un seguro, se puede ver como una prima que se pagara en una sola exhibición para cubrir el siniestro (fallecimiento), pero que pasa si el asegurado no quiere pagar en una sola exhibición el seguro. Entonces se desprende la siguiente formula general para calcular una Prima Neta Nivelada:

PRIMA NETA NIVELADA

En este caso el asegurado pagara una prima “P” de manera anual y siempre de la misma cantidad durante la vigencia del seguro, de tal manera que se tiene que cumplir:

Es decir, que la prima P (Serie de pagos periódicos iguales) traída a valor presente debe de ser igual a la prima que se pagaría en una sola exhibición y finalmente la formula general quedaría:

Prima Neta Nivelada para un seguro Ordinario de Vida: Usando la formula general tenemos que:

Prima Neta Nivelada para un seguro Temporal n años: Usando la formula general tenemos que:

(TAREA 5: Calcular la formula para calcular la prima neta nivelada para un Seguro Dotal Mixto-a mano)

1-F.- Reservas:

Sean: = Valor Presente de las obligaciones de la compañía en el año t. = Valor Presente de las obligaciones del asegurado en el año t.

Entonces la formula general para calcular una reserva en el año t sería:

Por ejemplo:

Reserva al año t de un seguro Ordinario de Vida contratado a edad x: Usando la formula general antes vista tenemos que:

Reserva al año t de un seguro temporal n años contratado a edad x: Nuevamente usando la formula general antes vista tenemos que:

(TAREA 6.- Calcular la fórmula para calcular la reserva al año t de un seguro Dotal Mixto contratado a edad x)

(TRABAJO 2: Calcular trabajo de ejercicios referente a anualidades, seguros, primas y reservas)

Para aplicar en la práctica lo visto en este repaso el siguiente tema es:

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1-G.- ASSET SHARE:

Se pueden encontrar muchas definiciones de Asset Share e incluso la traducción al castellano es algo ambigua pero, para efectos de este curso lo definiremos como: la simulación de la rentabilidad que se espera tener por la venta de un seguro .En este caso, un seguro de vida, para simular dicha rentabilidad nos apoyaremos de la teoría actuarial que ya vimos y en una hoja de cálculo de Excel, de tal manera que la finalidad de este ejercicio nos ayudara a dominar esta herramienta tan usada en el mercado laboral y nos dará un ejemplo práctico de cómo usar los conocimientos adquiridos en nuestra carrera.

Para simular dicha rentabilidad es necesario partir de ciertas hipótesis como por ejemplo el número de asegurados que tendrá, tasas de inversión, gastos de administración y operación. En base a esto la Aseguradora pronosticará las ganancias en dinero que tendría por la venta de algún seguro en específico.

FACTORES DE CANCELACIÓN:Estos son factores de ajustes y como su nombre lo dice, corresponden a la frecuencia con la cual los asegurados "cancelan" el seguro, este factor lo calcula la CIA aseguradora en base a su experiencia i.e. analiza el número de asegurados que cancelan su seguro al pasar la vigencia de la póliza, en base a eso se calculan los factores de cancelación. Por ejemplo, supongamos que el factor de cancelación en el año 3 de la vigencia de la póliza es del 0.38, podemos decir entonces que en el tercer año el 38% de los asegurados cancelan su póliza.

FACTOR DE RESCATE:Análogamente como la CIA aseguradora calcula los factores de cancelación en base a su experiencia, los factores de rescate se calculan tomando en cuenta el numero de asegurados que hacen uso de los valores de rescate (Seguro Saldado, Seguro Prorrogado, etc), i.e. analiza cuantos asegurados usan el valor de rescate y en base a eso calcula el factor de rescate.

TASAS DEL FONDO DE INVERSIÓN. No es más que la tasa a la que la CIA aseguradora cree invertirá todo el dinero que le entra ya sea de reserva ó de prima. Que generalmente son mayores al interés técnico.

SEGURO A PRIMA UNICA.Consiste en calcular un seguro a prima única dependiendo del tipo del seguro que se va a vender, por ejemplo si queremos calcular un seguro temporal a "n" años a prima única, con una Suma Asegurada (SA) se calcularía de la siguiente manera:

ANUALIDAD ANTICIPADA.No es mas que calcular la anualidad anticipada de un seguro, como ejemplo si tenemos un seguro temporal a "n" años con una Suma Asegurada (SA) se calcularía de la siguiente manera:

PRIMA NETA NIVELADA. Es la prima que siempre pagara el asegurado en todas sus anualidades, por ejemplo para un seguro temporal a "n" años.

PRIMA DE TARIFA.Esta es la prima que sale al mercado, o prima comercial, en esta prima ya se recargan gastos de gestión externa (GGE) y los gastos de gestión interna (GGI). Se calcula de la siguiente manera:

TABLA SELECTA (Qt). Esta tabla se calcula a partir de la proporción que existe entre las tasas de mortalidad de la aseguradora y las tasas de la tabla de mortalidad utilizada, es decir, son probabilidades de muerte ajustadas por la Aseguradora en base a su propia experiencia. Generalmente las tasas de mortalidad de la tabla selecta son más grandes que las de una tabla de mortalidad.

CALCULO DE LAS FUNCIONES DEL ASSET SHARE:

#Aseg: en esta función se calculan los números estimados de asegurados tendrá la aseguradora, para calcular esta columna se osan los factores de cancelación para estimar cuantos asegurados al paso del tiempo van ir cancelando su seguro, se calcula de la siguiente manera:

PRIMA.En esta colma se calcula, cuanto dinero le entra a la aseguradora en primas i.e.

PrimaG.G.E.

1

Estos Son los gastos de gestión externa, en esta columna la aseguradora calcula cuanto dinero desembolsará por gastos como pago de Agentes de Seguros,

PrimaG.G.I. Estos Son los gastos de gestión interna, en esta columna la aseguradora calcula cuanto dinero desembolsará por Gastos de Administración (Ej. Pago de Nomina de empleados):

Prima

MORTALIDAD.En esta columna se calcula el dinero el cual espera pagar la aseguradora en sumas aseguradas, para ello se tiene que calcular el número esperado de muertos que tendrá.

En general este producto no da un número entero, de tal forma que se tiene que redondear al entero más próximo. Entonces el dinero que espera pagar la Aseguradora esta dado de la siguiente manera:

RESERVA T.En esta columna se calcula la reserva terminal por asegurado, consiste en calcular la reserva al tiempo "t" por asegurado, para este efecto se usara el método prospectivo. i.e.

La reserva terminal por asegurado de un seguro temporal a "n" años al año "t" ó en el año "t" es:

La reserva terminal por asegurado de un seguro ordinario de vida (vida entera) al año "t" ó en el año "t" es:

La reserva terminal por asegurado de un seguro dotal al año "t" ó en el año "t" es:

VALOR DE RESCATE.

En esta columna se calcula el dinero esperado que piensa pagar la aseguradora por el concepto de Valor de Rescate, dicho en otras palabras, la Aseguradora hace un estimado de cuanto dinero piensa desembolsar por que un asegurado decida cancelar su póliza, la forma de calcular es la siguiente; suponiendo que le devolverá el 95% de su reserva matemática una ves aplicándole el factor de rescate que le corresponde:

RESERVA TERMINAL.En esta columna la aseguradora calcula cuanto dinero tendrá en reserva por todos sus asegurados. i.e.

DIVIDENDOS.Una ves que la aseguradora crea reservas ese dinero lo invierte a una tasa i(t) mayor a la del Interés Técnico, formando así los llamados "dividendos", la forma de calcularlos es:

Suponiendo que dará el 90% de dividendos.

FONDO.Esta es una de las funciones más importantes de un Asset Share pues hace uso de la mayoría de las columnas del Asset Share ya que a todas las entradas de dinero a la aseguradora le resta todas las salidas obteniendo así las ganancias. Se calcula de la siguiente manera:

Nótese que los GGI y Mortalidad fueron llevados a valor futuro o invertidos medio periodo eso suponiendo que el dinero que gasto la compañía en nomina de empleados y muertes ocurridas fueron entregados a mitad de año.

VP PRIMAS.En esta columna se llevan a valor presente el dinero en primas que le entraron a la aseguradora, se calcula de la siguiente manera:

CONSTRUCCIÓN DE LA TABLA DE VALORES GARANTIZADOS PARA EL ASEGURADO

1

Las siguientes columnas si bien no forman parte del Asset Share si son muy importantes verlas de manera didáctica y se calculan para mostrar un especie de catalogo al asegurado, en donde se le explique qué puede hacer con su dinero en reserva si decide cancelar su seguro.

VALOR DE RESCATE.Forma parte de los "valores garantizados", cuando el asegurado decide no continuar con el seguro entonces la Aseguradora le devuelve "parte" de la Reserva Matemática, cabe aclarar que este como todos los valores garantizados solo se tomaran en cuenta cuando el asegurado ya haya permanecido al menos dos años con la aseguradora. Se calcula de la siguiente manera:

El 0.95 corresponde al porcentaje que la aseguradora dará de la reserva que a creado el asegurado una ves aplicado el factor de rescate que le corresponde.

SEGURO SALDADOSi el asegurado decide no seguir pagando la prima y desea continuar protegido, el valor de rescate puede ser utilizados para pagar el plazo que falte de transcurrir de la vigencia del Contrato.

De esta forma, el asegurado utiliza el Valor de Rescate para pagar una cobertura a prima única, por le mismo plazo que contrató originalmente, pero con menor suma asegurada. Supongamos un Seguro Temporal n años, entonces la formula se deduce de la siguiente manera:

(Tarea 5, Construir la formula para calcular el Seguro Saldado en el tiempo t para un seguro Ordinario de Vida)

SEGURO PRORROGADO

Si el asegurado decide no seguir pagando la prima y desea continuar protegido con la misma Suma Asegurada, el valor de rescate podrá ser utilizado para este fin.

De esta forma, el asegurado utiliza el Valor de Rescate para pagar una cobertura a prima única, por la misma suma asegurada que contrató originalmente, pero por un plazo menor (plazo prorrogado).

La deducción de la formula es la siguiente:

Entonces:

CUADRO DE RENTABILIDAD.Finalmente es hora de saber que rentabilidad (que tan rentable fue el seguro que vendió la aseguradora) tubo la aseguradora con el seguro que vendió. Para ello necesitamos calcular el Valor Presente del Fondo VPF (cuanto dinero obtuvo al invertir la aseguradora) y el valor presente de las primas VPP (cuanto dinero en primas entro a la aseguradora traído a valor presente.)

1

PORCENTAJE DE UTILIDAD.

%

(Tarea 7, Calcular un Asset Share para un seguro temporal 10 años-EXCEL)

(Tarea 8, Calcular un Asset Share para un seguro temporal 20 años EXCEL)

(Tarea 9, Calcular un Asset Share para un Seguro Ordinario de Vida EXCEL)

2.- Matemáticas Actuariales Método Moderno

2. Distribuciones de Sobrevivencia y Tablas de Mortalidad2.1. Introducción

Dado como se ha desarrollado el curso de Matemáticas Actuariales del Seguro de Personas I bajo el enfoque conocido como “tradicional” o caso discreto. El Enfoque continúo o método “moderno” puede llegar a confundir al alumno de actuaria ya que algunas definiciones y conceptos pueden llegar a tomar otro significado. En contraste a lo anterior, este enfoque puede llegar a gustar más al estudiante debido al enfoque probabilístico y estadístico que se da y en éste sentido le será más fácil interpretar los resultados.

Es importante mencionar que ambos enfoques “tradicional” y “moderno” como en las Matemáticas convergen al mismo resultado y aunque es conveniente que para poder comprender esta metodología mejor para abordar el tema en algunos casos será necesario que olvidemos los conceptos que vimos bajo el caso tradicional, pero también en algunos casos los retomaremos para validar que llegamos al mismo resultado.

Por ejemplo en esta ocasión definiremos la variable aleatoria: “Tiempo transcurrido hasta el fallecimiento” como T(x) (recordemos que bajo el enfoque tradicional ésta función no era una variable aleatoria y nos daba los años-persona vividos), y será la pieza fundamental de éste enfoque, dicha variable aleatoria denotada como X corresponderá a la edad en que la persona fallece. Como es de observarse esta variable aleatoria es “continua” pues la edad de fallecimiento de una persona puede ocurrir en cualquier momento del tiempo después de haber nacido y por tanto nos permitirá resumir los resultados en una Tabla de Mortalidad.

2.2. Probabilidad para la edad al fallecimiento

Como ya mencionamos en la introducción, la idea es evidenciar que existe una incertidumbre al querer saber la edad de fallecimiento de una persona y dicha incertidumbre traducirla en términos de probabilidad (Tarea cotidiana del Actuario)

2.2.1. La Función de Sobrevivencia

Consideremos a un niño recién nacido. Como ya mencionamos en la introducción, definimos como X una variable aleatoria continua que representa la edad en la que dicho niño fallece. Consideremos también que F(x) representa la función de distribución (De ahora en adelante denotada como f.d.) de X:

Esto nos permite definir la función de Sobrevivencia:

Siempre suponiendo que: y por lo tanto

Esto quiere decir que para toda x 0:

Probabilidad de que un recién nacido alcance la edad x.

Por lo tanto la distribución de X puede describirse definiendo s(x) ó F(x).

Con esto podemos utilizar las leyes de probabilidad para hacer planteamientos de probabilidad acerca de la edad al fallecimiento en términos ya sea de s(x) ó F(x).

Ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de que un recién nacido muera entre las edades x y z con x < z :

1

Tarea: Demostrar que la probabilidad de que un recién nacido muera entre las edades x y z con x < z puede expresarse en términos de la función de Sobrevivencia:

Hint:

2.2.2. Tiempo Transcurrido hasta el fallecimiento para una persona de edad x

Comencemos con el siguiente raciocinio: La probabilidad condicional de que un recién nacido muera entre las edades x y z dado que ya alcanzó la edad x puede expresarse como:

Para calcularla, recordemos:

Definamos:

Entonces:

Entonces:

Si nosotros recordamos del enfoque tradicional, la probabilidad de que una persona de edad x muera entre las edades x y z:

Y se evidencia la relación entre el enfoque tradicional y el enfoque mo-derno.

Tiempo futuro de vida

Como ya vimos el tiempo futuro de vida se refiere al número de años que van a transcurrir desde que una persona tiene edad x hasta su Fallecimien-to X (que ya vimos es una variable aleatoria), en este caso:

Es decir, el tiempo que le queda para vivir a una persona que actualmente tiene edad x.

Con esta definición podemos encontrar:

La probabilidad de que una persona de edad x muera dentro de los próxi-mos t años:

Por lo tanto: La probabilidad de que una persona de edad x sobreviva t años:

Finalmente podemos decir que:

es la f.d. de y

es la f.d. de S(x)

Por lo tanto: y Si t= 1:

Generalizando este resultado podemos encontrar:

La probabilidad de que una persona de edad x muera entre las edades x+t y x+t+u. O dicho de otra manera: la probabilidad de que (x) sobreviva t años y muera

1

dentro de los siguientes u años; es decir que (x) muera entre las edades (x+t) y (x+t+u) años, esta probabilidad la podemos calcular como:

2.2.3. Tiempo de vida futuro truncado

Si nosotros consideramos una variable aleatoria discreta asociada con el tiempo de vida futuro, estaríamos hablando del número de años futuros completados por una persona de edad x antes de su muerte o el tiempo de vida futro truncado de una persona de edad x. Esta Variable aleatoria K(x), tiene la f.d.:

2.2.4. Fuerza de Mortalidad

Recordemos que la probabilidad condicional de que un recién nacido muera entre las edades x y z dado que sobrevivió a la edad x:

Supongamos que

2.3. Tablas de Mortalidad2.3.1. En construcción…..

1