curso de lógica matemática, matemáticas discretas o matemáticas computacionales por hugo...

MATERIAL DE APOYO PARA ELPRIMER CURSO DE MATEMÁTICAS

COMPUTACIONALES.

Ing. HUGO HUMBERTO MORALES PEÑA

MAESTRÍA EN ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICASLínea de Matemáticas Computacionales

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRAFACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICASPereira, Risaralda28 de Julio de 2010

Índice general

1. Introducción a la lógica matemática 71.1. Cálculo proposicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.1. Conectivos proposicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.2. Fórmulas bien formadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1.3. Fórmulas lógicamente equivalentes (FLE) . . . . . . . . . . . . . 111.1.4. Tautología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1.5. Leyes de la lógica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.1.6. Utilizando las leyes de la lógica proposicional . . . . . . . . . . . 141.1.7. Conectivo X-OR (

⊗) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.1.8. Conectivo NOR (↓) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.1.9. Conectivo NAND (↑) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.1.10. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.2. Reglas de inferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.2.1. Tabla de reglas de inferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.2.2. Utilización de las reglas de inferencia para demostrar la validez

de razonamientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.2.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.3. Lógica de predicados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.3.1. Cuantificador universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.3.2. Cuantificador existencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.3.3. Variables ligadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421.3.4. Alcance de un cuantificador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421.3.5. Negaciones y cuantificadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431.3.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2. Sucesiones y sumatorias 492.1. Funciones piso y techo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.1.1. Propiedades de las funciones piso y techo . . . . . . . . . . . . . 492.2. Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.3. Sucesiones especiales de números . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.4. Sumatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.4.1. Fórmulas de sumatorias útiles: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3

4 ÍNDICE GENERAL

3. Técnicas de demostración 653.1. Técnica de demostración directa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.2. Técnica de demostración indirecta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.2.1. Técnica de demostración por contra-recíproca . . . . . . . . . . 673.2.2. Técnica de demostración por contradicción. . . . . . . . . . . . 69

3.3. Técnica de demostración por disyunción de casos . . . . . . . . . . . . 723.4. Técnica de demostración por contraejemplo . . . . . . . . . . . . . . . 783.5. Técnica de demostración por inducción matemática . . . . . . . . . . . 823.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4. Relaciones de recurrencia 974.1. Método de Iteración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5. Conjuntos 1155.1. El conjunto potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1185.2. Producto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1185.3. Operaciones de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1205.4. Identidades en conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1235.5. Uniones e intersecciones generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1255.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

6. Funciones 1296.1. Conceptos fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1296.2. Funciones inyectivas (o funciones uno a uno) . . . . . . . . . . . . . . . 1316.3. Funciones sobreyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1316.4. Funciones biyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1326.5. Funciones inversas y composición de funciones . . . . . . . . . . . . . . 1326.6. Gráfica de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1356.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

7. Relaciones 1397.1. Relación binaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1397.2. Funciones como relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1407.3. Relaciones en un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1407.4. Propiedades de las relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

7.4.1. Propiedad de reflexividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1427.4.2. Propiedad de simetría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1437.4.3. Propiedad de antisimetría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1437.4.4. Propiedad de transitividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

7.5. Combinación de relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1457.6. Composición y potencia de relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1457.7. Representación de relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

7.7.1. Representación de relaciones utilizando matrices . . . . . . . . . 1467.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

ÍNDICE GENERAL 5

8. Relaciones de equivalencia 1538.1. Clases de equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1558.2. Clases de equivalencia y particiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1558.3. Conjuntos parcialmente ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1578.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

9. Introducción a la teoría de números 1639.1. Los números enteros y la división . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

9.1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1639.1.2. División entre números enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1639.1.3. El algoritmo de la división entre números enteros . . . . . . . . 1659.1.4. Los números primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1659.1.5. Teorema fundamental de la aritmética . . . . . . . . . . . . . . 1669.1.6. Procedimiento para generar la factorización prima de un número

entero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1709.1.7. El máximo común divisor (MCD) . . . . . . . . . . . . . . . . . 1749.1.8. El mínimo común múltiplo(MCM) . . . . . . . . . . . . . . . . . 1759.1.9. El algoritmo de Euclides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

9.2. Aritmética modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1779.2.1. Aplicaciones de la aritmética modular . . . . . . . . . . . . . . . 1789.2.2. Asignación de localizaciones de memoria en el computador . . . 1789.2.3. Generación de números pseudoaleatorios . . . . . . . . . . . . . 1799.2.4. Criptosistemas basados en aritmética modular . . . . . . . . . . 180

9.3. Representación de los enteros en el computador . . . . . . . . . . . . . 1819.3.1. Representación de números enteros en base hexadecimal . . . . 1839.3.2. Cambio de base de un número entero escrito en base 10 . . . . . 1839.3.3. Algoritmo para construir la expansión de n en base b . . . . . . 1849.3.4. Algoritmos para operaciones de números enteros en base 2 . . . 186

9.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

6 ÍNDICE GENERAL

Capítulo 1

Introducción a la lógica matemática

1.1. Cálculo proposicionalDefinición de proposición:

Una proposición es un enunciado declarativo que puede ser calificado sin ambigüedadcomo verdadero o falso. En este análisis no se tendrán en cuenta proposiciones querequieran una opinión individual y que por lo tanto, no pueden ser verdaderas o falsas.

Las siguientes declaraciones son ejemplos de proposiciones:

Matemáticas Discretas es una materia que se evalúa en el Examen de Calidadde la Educación Superior (ECAES) en el programa académico de Ingeniería deSistemas

El promedio a nivel nacional en el ECAES de Ingeniería de Sistemas fue de 110.3puntos en el año 2007

El cuadernillo de inglés tenia 40 preguntas en el ECAES de Ingeniería de Sistemasdel año 2008

Las siguientes declaraciones son ejemplos de lo que no es una proposición:

Atlético Nacional es el mejor equipo del fútbol colombiano

Álvaro Uribe ha sido el mejor presidente de los colombianos

Los próximos juegos deportivos nacionales serán ganados por el departamento delValle

Las proposiciones pueden considerarse como primitivas, ya que en realidad no sepueden descomponer en partes más simples.

Las proposiciones primitivas se utilizan con conectivos lógicos para formar proposi-ciones compuestas.

7

8 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA MATEMÁTICA

Los símbolos p, q, r, s, . . . se utilizarán para denotar proposiciones, los cuales sellamarán variables proposicionales.

1.1.1. Conectivos proposicionales

Los conectivos proposicionales son también conocidos con el nombre de conectivoslógicos.

Los conectivos principales son:

la negación, representada por el símbolo ∼

la disyunción, representada por el símbolo ∨

la conjunción, representada por el símbolo ∧

el condicional (o implicación), representada por el símbolo →

el bicondicional (o doble implicación), representada por el símbolo ↔

Las tablas de verdad para estos conectivos son:

Tabla de verdad de la negación:

p ∼ p

V FF V

Tabla de verdad de la disyunción:

p q p ∨ q

V V VV F VF V VF F F

Tabla de verdad de la conjunción:

p q p ∧ q

V V VV F FF V FF F F

1.1. CÁLCULO PROPOSICIONAL 9

Tabla de verdad del condicional:

p q p → q

V V VV F FF V VF F V

Tabla de verdad del bicondicional:

p q p ↔ q

V V VV F FF V FF F V

Dos proposiciones p y q son equivalentes cuando el bicondicional p ↔ q es unaproposición verdadera.

Ejemplo 1:

Se tienen las siguientes dos proposiciones:

p :√2 es un número irracional

q : un año bisiesto tiene 366 días

las dos proposiciones p y q son verdaderas, como V ↔ V es verdadero, entonces lasproposiciones p y q son equivalentes.

Ejemplo 2:

Se tienen las siguientes dos proposiciones:

p : 2+3=7

q : 4 es un número impar

las dos proposiciones p y q son falsas, como F ↔ F es verdadero, entonces las proposi-ciones p y q son equivalentes.

1.1.2. Fórmulas bien formadas

Una fórmula es una sucesión finita de variables proposicionales, conectivos lógicosy paréntesis.

Una Fórmula Bien Formada (FBF), es, intuitivamente una fórmula coherente, consentido gramatical.

Las FBF serán denotadas por los símbolos: A, B, C, A1, B1, C1, . . .


Definición:

Una FBF del cálculo proposicional es aquella fórmula que se ajusta a cualquiera deestos casos:

1. Toda variable proposicional aislada es una FBF

2. Si A es una FBF, entonces ∼ (A) es una FBF

3. Si A y B son FBF, entonces también lo son:

(A) ∧ (B),

(A) ∨ (B),

(A) → (B), y

(A) ↔ (B).

4. Una fórmula es bien formada si lo es como resultado de aplicar los casos 1, 2 y 3un número finito de veces.

Ejemplo 3:

¿La fórmula ((p) ∧ (∼ (q))) → ((∼ (∼ (p))) ↔ (q)) es una fórmula bien formada?

Para determinar si la fórmula es bien formada, sea A0 la fórmula que representea ésta, si A0 se puede obtener al aplicar un número finito de pasos los casos 1, 2 y 3entonces la fórmula es bien formada, para esto se tiene:

A0 = ((p) ∧ (∼ (q))) → ((∼ (∼ (p))) ↔ (q)), como el conectivo principal de lafórmula es la implicación, entonces A0 se puede representar como A0 = (A1) → (B1)donde A1 = (p) ∧ (∼ (q)) y B1 = (∼ (∼ (p))) ↔ (q). En el análisis de las fórmulasA1 y B1 se tiene:

A1 = (p)∧ (∼ (q)), A1 puede ser reescrita como A1 = (A2)∧ (B2), con A2 = py B2 = ∼ (q), con B2 = ∼ (B3) y B3 = q. Como A2 y B3 son variablesproposicionales aisladas entonces éstas son FBF; como B2 es la negación de unaFBF entonces ésta también es una FBF; como la fórmula A1 es la conjunción delas FBF A2 y B2 entonces A1 es también una FBF.

B1 = (∼ (∼ (p))) ↔ (q), B1 puede ser reescrita como B1 = (A4) ↔ (B4), conA4 = ∼ (∼ (p)) y B4 = q, como B4 es una variable proposicional aisladaentonces es una FBF. La fórmula A4 puede ser reescrita como A4 = ∼ (A5)donde A5 = ∼ (p) que puede ser reescrita como A5 = ∼ (A6) y A6 = p, comoA6 es una variable proposicional aislada entonces es una FBF; A5 es la negaciónde una FBF entonces ésta también es una FBF; A4 es la negación de A5 quees una FBF entonces A4 también es una FBF. Como la fórmula B1 es la dobleimplicación entre las FBF A4 y B4 entonces B1 es también una FBF.


en el análisis anterior ya se obtuvo que A1 y B1 son FBF y como A0 = (A1) → (B1)entonces A0 es también una FBF.

1.1.3. Fórmulas lógicamente equivalentes (FLE)

Dos fórmulas A y B son lógicamente equivalentes, lo cual se indica en este trabajocomo A ⇔ B, cuando tienen la misma tabla de verdad.

Ejemplo 4:

Se tienen las siguientes fórmulas A = ∼ (p ∧ ∼ q) y B = ∼ p ∨ q, ¿son las fórmulasA y B lógicamente equivalentes?

Para dar respuesta a ésta pregunta se hará uso de las tablas de verdad, para lo cual setiene:

p q ∼ p ∼ q p ∧ ∼ q ∼ (p ∧ ∼ q) ∼ p ∨ q

V V F F F V VV F F V V F FF V V F F V VF F V V F V V

como las columnas de la tabla que indican los valores para las fórmulas ∼ (p ∧ ∼ q)y ∼ p ∨ q son iguales entonces éstas fórmulas son lógicamente equivalentes.

1.1.4. Tautología

Cuando dos fórmulas A y B son lógicamente equivalentes, el bicondicional A ↔ B essiempre verdadero. Cuando dos fórmulas A y B son lógicamente equivalentes entoncesA ↔ B es una tautología, según la definición siguiente:

Definición:

Si una FBF tiene siempre el valor verdadero independientemente de cada asignaciónparticular de valores a sus variables, entonces esta fórmula es una tautología y se denotacon V ; si tal valor es siempre falso, entonces esta fórmula es una contradicción y sedenota con F .

Ejemplo 5:

¿La fórmula ((p → q)∧ ∼ p) → (∼ q) es una tautología?

Para dar respuesta a esta pregunta se hará uso de las tablas de verdad, para lo cual setiene:


p q ∼ p ∼ q p → q (p → q)∧ ∼ p) ((p → q)∧ ∼ p) → (∼ q)

V V F F V F VV F F V F F VF V V F V V FF F V V V V V

la fórmula no es una tautología porque existe una combinación de asignación de valoresde las variables proposicionales que hacen que la fórmula genere el valor falso, dichaasignación de valores es p = F y q = V , lo cual se evidencia en la tercer fila de la tablade verdad.

Una alternativa es indagar de forma indirecta la posibilidad de que alguna combi-nación de valores dé un valor F en la fórmula.

Manera alternativa:

El conectivo principal de la fórmula es una implicación (→), la única posibilidad paraque una implicación tome valor falso es cuando el antecedente es verdadero y el conse-cuente es falso

(( p → q ) ∧ (∼ p ))︸︷︷︸V

→ (∼ q )︸︷︷︸F︸︷︷︸

F

la única posibilidad para que el consecuente sea falso es cuando la variable proposicionalq toma valor verdadero; tener en cuenta que la asignación de valor para la variableproposicional q aplica para toda la expresión

(( p → q︸︷︷︸V

) ∧ (∼ p ))

︸︷︷︸V

→ (∼ q︸︷︷︸V

)

︸︷︷︸F︸︷︷︸

F

la única posibilidad para que el antecedente sea verdadero es cuando la variable proposi-cional p toma valor falso; tener en cuenta que la asignación de valor para la variableproposicional p aplica para todas las ocurrencias de dicha variable en la expresión

(( p︸︷︷︸F

→ q︸︷︷︸V

)

︸︷︷︸V

∧ (∼ p︸︷︷︸F︸︷︷︸

V

))

︸︷︷︸V

→ (∼ q︸︷︷︸V

)

︸︷︷︸F︸︷︷︸

F

en este ejemplo utilizando la manera alternativa se concluye igualmente que la fórmulano es una tautología porque se logró determinar una asignación de valores para lasvariables proposicionales que hace que la fórmula tome el valor falso.


1.1.5. Leyes de la lógica

La siguiente tabla contiene las principales leyes de la lógica en el cálculo proposi-cional, donde A, B y C son fórmulas bien formadas. Para una mayor claridad con respec-to al alcance de una negación en un fórmula bien formada en el cálculo proposicional,entonces se usará en la tabla y en el resto de ejercicios de la sección, la representaciónA en vez de ∼ A, donde A es una fórmula bien formada.

Número Equivalencia Lógica Nombre Ley

1. A ⇔ A Ley de doble negación

2. A ∨B ⇔ A ∧B Ley de De Morgan

2’. A ∧B ⇔ A ∨B Ley de De Morgan

3. A ∨B ⇔ B ∨ A Ley conmutativa

3’. A ∧B ⇔ B ∧ A Ley conmutativa

4. A ∨ (B ∨ C) ⇔ (A ∨B) ∨ C Ley asociativa

4’. A ∧ (B ∧ C) ⇔ (A ∧B) ∧ C Ley asociativa

5. A ∨ (B ∧ C) ⇔ (A ∨B) ∧ (A ∨ C) Ley distributiva

5’. A ∧ (B ∨ C) ⇔ (A ∧B) ∨ (A ∧ C) Ley distributiva

6. A ∨ A ⇔ A Ley de idempotencia

6’. A ∧ A ⇔ A Ley de idempotencia

7. A ∨ F ⇔ A Ley de identidad

7’. A ∧ V ⇔ A Ley de identidad

8. A ∨ A ⇔ V Ley inversa

8’. A ∧ A ⇔ F Ley inversa

9. A ∨ V ⇔ V Ley de dominación

9’. A ∧ F ⇔ F Ley de dominación

10. A ∨ (A ∧B) ⇔ A Ley de absorción

10’. A ∧ (A ∨B) ⇔ A Ley de absorción

11. (A → B) ⇔ (B → A) Ley de transposición


1.1.6. Utilizando las leyes de la lógica proposicional

Ejemplo 6:

Simplificar la siguiente proposición compuesta [(x ∧ y) ∨ (x ∧ y)] → x utilizando lasleyes de la lógica proposicional. En cada paso especificar la regla que se utilizó.

Utilizando las leyes de la lógica proposicional la simplificación es la siguiente:

[(x ∧ y) ∨ (x ∧ y)] → x

⇐⇒ [(x ∧ y) ∨ (x ∧ y)] ∨ x, equivalencia lógica de la implicación.

⇐⇒ [(x ∧ y) ∧ (x ∧ y)] ∨ x, ley de De Morgan.

⇐⇒ [(x ∨ y) ∧ (x ∨ y)] ∨ x, ley de De Morgan y ley de doble negación.

⇐⇒ [((x ∨ y) ∧ x) ∨ ((x ∨ y) ∧ y)] ∨ x, ley distributiva.

⇐⇒ [((x ∧ x) ∨ (x ∧ y)) ∨ ((x ∧ y) ∨ (y ∧ y))] ∨ x, ley distributiva.

⇐⇒ [(F ∨ (x ∧ y)) ∨ ((x ∧ y) ∨ F )] ∨ x, ley inversa.

⇐⇒ [(x ∧ y) ∨ (x ∧ y)] ∨ x, ley de identidad.

⇐⇒ (x ∧ y) ∨ ((x ∧ y) ∨ x), ley asociativa.

⇐⇒ (x ∧ y) ∨ x ley de Absorción

⇐⇒ (x ∨ x) ∧ (y ∨ x), ley distributiva.

⇐⇒ V ∧ (y ∨ x), ley inversa

⇐⇒ (y ∨ x), ley de identidad.

⇐⇒ y → x, equivalencia lógica de la implicación.

Se puede utilizar tablas de verdad, como mecanismo adicional, para verificar si el re-sultado obtenido en la simplificación es correcto. Es importante tener en cuenta que lavalidez del resultado de la simplificación, depende única y exclusivamente, del correctouso de las leyes de la lógica proposicional, donde, en cada paso de la simplificación segarantizar que se tiene una proposición compuesta lógicamente equivalente a la proposi-ción compuesta original.

x y (x ∧ y) ∨ (x ∧ y) [(x ∧ y) ∨ (x ∧ y)] → x y → xV V F V VV F V V VF V V F FF F F V V

Como se obtuvieron exactamente los mismos valores en las columnas de la tabla de


verdad correspondientes a [(x ∧ y) ∨ (x ∧ y)] → x y a y → x entonces las dosproposiciones compuestas son lógicamente equivalentes y la simplificación es correcta.

Ejemplo 7:

Utilizando las leyes de la lógica proposicional simplificar la siguiente proposición com-puesta [(p ∨ q) ∧ (p → q)] ∨ [(p ∨ q) ∧ (p → q)].

Los pasos de la simplificación son los siguientes:

[(p ∨ q) ∧ (p → q)] ∨ [(p ∨ q) ∧ (p → q)]

⇐⇒ [(p ∨ q) ∧ (p ∨ q)] ∨ [(p ∨ q) ∧ (p ∨ q)], equivalencia lógica implicación.

⇐⇒ [(p ∨ q) ∧ (p ∨ q)] ∨ [(p ∧ q) ∧ (p ∧ q)], ley de De Morgan.

⇐⇒ [(p ∧ p) ∨ q] ∨ [(p ∧ q) ∧ (p ∧ q)], ley distributiva .

⇐⇒ [F ∨ q] ∨ [(p ∧ q) ∧ (p ∧ q)], ley inversa.

⇐⇒ [q] ∨ [(p ∧ q) ∧ (p ∧ q)], ley de identidad.

⇐⇒ q ∨ [ p ∧ (q ∧ p) ∧ q ], ley asociativa.

⇐⇒ q ∨ [ p ∧ (p ∧ q) ∧ q ], ley conmutativa.

⇐⇒ q ∨ [( p ∧ p) ∧ (q ∧ q )], ley asociativa.

⇐⇒ q ∨ [F ∧ (q ∧ q )], ley inversa.

⇐⇒ q ∨ F , ley de dominación.

⇐⇒ q, ley de identidad.

1.1.7. Conectivo X-OR (⊗

)

El conectivo ⊗ de la lógica proposicional es llamado O Exclusivo o X-OR. Su tablade verdad es:

p q p⊗ q

V V FV F VF V VF F F

La siguiente equivalencia lógica representa al X-OR: p⊗ q ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ q).

Ejemplo 8:

Determinar sin utilizar tablas de verdad si la proposición compuesta (x⊗ y) → (x∨ y)es una tautología.


Haciendo uso de las leyes de la lógica proposicional, el análisis es el siguiente:

(x⊗ y) → (x ∨ y) ⇐⇒ (x⊗ y) ∨ (x ∨ y), equivalencia lógica de la implicación

⇐⇒ (x⊗ y) ∨ (x ∨ y), ley de doble negación

⇐⇒ ((x ∧ y) ∨ (x ∧ y)) ∨ (x ∨ y), equivalencia lógica del X-OR

⇐⇒ (x ∧ y) ∨ ((x ∧ y) ∨ (x ∨ y)), ley asociativa

⇐⇒ (x ∧ y) ∨ (((x ∧ y) ∨ x) ∨ y), ley asociativa

⇐⇒ (x ∧ y) ∨ ((x) ∨ y), ley de absorción

⇐⇒ (x ∧ y) ∨ (x ∨ y), ley de doble negación

⇐⇒ (x ∧ y) ∨ (x ∧ y), ley de De Morgan

⇐⇒ (x ∧ y) ∨ (x ∧ y), ley de doble negación

⇐⇒ V , ley inversa

Queda demostrado que la proposición compuesta original es una tautología porque elvalor obtenido como resultado de la simplificación es el V .

Ejemplo 9:

Demostrar utilizando las leyes de la lógica proposicional, que la proposición compuesta(p ∧ q) ∨ (p⊗ q) es lógicamente a la proposición compuesta p ∧ q.

La demostración se justifica con cada uno de los siguientes pasos:

(p ∧ q) ∨ (p⊗ q) ⇐⇒ (p ∧ q) ∧ (p⊗ q), ley de De Morgan

⇐⇒ (p ∧ q) ∧ (p⊗ q), ley de doble negación

⇐⇒ (p ∧ q) ∧ ((p ∧ q) ∨ (p ∧ q)), equivalencia lógica del X-OR

⇐⇒ (p ∧ q) ∧ ((p ∧ q) ∧ (p ∧ q)), ley de De Morgan

⇐⇒ (p ∧ q) ∧ ((p ∨ q) ∧ (p ∨ q)), ley de De Morgan

⇐⇒ [(p ∧ q) ∧ (p ∨ q)] ∧ (p ∨ q), ley asociativa

⇐⇒ [((p ∧ q) ∧ p) ∨ ((p ∧ q) ∧ q)] ∧ (p ∨ q), ley distributiva

⇐⇒ [((q ∧ p) ∧ p) ∨ ((p ∧ q) ∧ q)] ∧ (p ∨ q), ley conmutativa

⇐⇒ [(q ∧ (p ∧ p)) ∨ (p ∧ (q ∧ q))] ∧ (p ∨ q), ley asociativa

⇐⇒ [(q ∧ F ) ∨ (p ∧ q)] ∧ (p ∨ q), Leyes inversa y de idempotencia

⇐⇒ [F ∨ (p ∧ q)] ∧ (p ∨ q), ley de dominación


⇐⇒ (p ∧ q) ∧ (p ∨ q), ley de identidad

⇐⇒ ((p ∧ q) ∧ p) ∨ ((p ∧ q) ∧ q), ley distributiva

⇐⇒ (p ∧ (p ∧ q)) ∨ ((p ∧ q) ∧ q), ley conmutativa

⇐⇒ ((p ∧ p) ∧ q) ∨ (p ∧ (q ∧ q)), ley asociativa

⇐⇒ (p ∧ q) ∨ (p ∧ F ), leyes idempotente e inversa

⇐⇒ (p ∧ q) ∨ F , ley de dominación

⇐⇒ p ∧ q, ley de identidad

1.1.8. Conectivo NOR (↓)El conectivo NOR es un conectivo completo, en el sentido que, cualquier fórmula

del cálculo proposicional puede ser escrita utilizando únicamente éste conectivo.

Mnemotecnicamente:

NOR ≈ Not or ≈ No o ≈ ∼ (p ∨ q) ≈ (p ∨ q) ≈ p ∨q ≈ p ↓ q

Ejemplo 10:

Demostrar que el conectivo NOR es un conectivo completo.

Sugerencia: Para que el conectivo NOR sea un conectivo completo se debe presentarel equivalente de los siguientes conectivos principales utilizando únicamente elconectivo NOR:

∼∨∧→↔

Representación de la negación utilizando únicamente el NOR:

p ⇐⇒ p ∨ p, ley de idempotencia.

⇐⇒ p ↓ p, equivalencia lógica NOR.

Representación de la disyunción utilizando únicamente el NOR:

p ∨ q ⇐⇒ (p ∨ q) ∧ (p ∨ q), ley de idempotencia.

⇐⇒ (p ∨ q) ∧ (p ∨ q), ley de la doble negación.


⇐⇒ (p ∨ q) ∨ (p ∨ q), ley de De Morgan.

⇐⇒ (p ↓ q) ↓ (p ↓ q), equivalencia lógica NOR.

Representación de la conjunción utilizando únicamente el NOR:

p ∧ q ⇐⇒ (p ∧ q), ley de doble negación.

⇐⇒ p ∨ q, ley de De Morgan.

⇐⇒ (p ∨ p) ∨ (q ∨ q), ley de idempotencia.

⇐⇒ (p ↓ p) ↓ (q ↓ q), equivalencia lógica NOR.

Representación de la implicación utilizando únicamente el NOR:

p → q ⇐⇒ p ∨ q, equivalencia lógica de la implicación.

⇐⇒ (p ↓ q) ↓ (p ↓ q), representación de la disyunción con el NOR.

⇐⇒ ((p ↓ p) ↓ q) ↓ ((p ↓ p) ↓ q), representación de la negación con el NOR.

Representación de la doble implicación utilizando únicamente el NOR:

p ↔ q ⇐⇒ (p → q) ∧ (q → p), equivalencia lógica de la doble implicación.

⇐⇒ (p ∨ q) ∧ (q ∨ p), equivalencia lógica de la implicación.

⇐⇒ (p ∨ q) ∧ (q ∨ p), ley de la doble negación.

⇐⇒ (p ∨ q) ∨ (q ∨ p), ley de De Morgan.

⇐⇒ (p ↓ q) ↓ (q ↓ p), equivalencia lógica NOR.

⇐⇒ ((p ∨ p) ↓ q) ↓ ((q ∨ q) ↓ p), ley de idempotencia.

⇐⇒ ((p ↓ p) ↓ q) ↓ ((q ↓ q) ↓ p), equivalencia lógica NOR.

Ejemplo 11:

Representar la proposición (p ∧ q) → (q ∨ r) sólo con el conectivo NOR (↓)

Para resolver este ejercicio más fácilmente, primero se simplificará la proposición com-puesta y luego sobre dicha simplificación se buscará la representación utilizando única-mente el conectivo NOR, para esto se tiene:

(p ∧ q) → (q ∨ r) ⇐⇒ (p ∧ q) ∨ (q ∨ r), equivalencia lógica de la implicación.


⇐⇒ (p ∨ q) ∨ (q ∨ r), ley de De Morgan.

⇐⇒ p ∨ ((q ∨ q) ∨ r), ley asociativa.

⇐⇒ p ∨ (V ∨ r), ley inversa.

⇐⇒ p ∨ V , ley de dominación.

⇐⇒ V , ley de dominación.

Ahora se transformará el resultado de la simplificación utilizando únicamente el conec-tivo NOR

V ⇐⇒ (p ∨ p), ley inversa.

⇐⇒ (p ∨ p) ∧ (p ∨ p), ley de idempotencia.

⇐⇒ (p ∨ p) ∧ (p ∨ p), ley de doble negación.

⇐⇒ (p ∨ p) ∨ (p ∨ p), ley de De Morgan.

⇐⇒ (p ↓ p) ↓ (p ↓ p), equivalencia lógica NOR.

⇐⇒ ((p ∨ p) ↓ p) ↓ ((p ∨ p) ↓ p), ley de idempotencia.

⇐⇒ (((p ↓ p) ↓ p) ↓ ((p ↓ p) ↓ p)), equivalencia lógica NOR.

Ejemplo 12:

Demostrar utilizando las leyes de la lógica proposicional que las proposiciones compues-tas (p ∧ q) ∨ (p ↔ q) y ((p ↓ p) ↓ q) ↓ ((p ↓ p) ↓ q) son lógicamente equivalentes.

Los pasos que justifican la demostración son los siguientes:

(p ∧ q) ∨ (p ↔ q)

⇐⇒ (p ∨ q) ∨ (p ↔ q), ley de De Morgan.

⇐⇒ (p ∨ q) ∨ ((p → q) ∧ (q → p)) , equivalencia lógica doble implicación.

⇐⇒ (p ∨ q) ∨ ((p ∨ q) ∧ (q ∨ p)), equivalencia lógica de la implicación.

⇐⇒ p ∨ q, ley de absorción.

⇐⇒ (p ∨ q) ∧ (p ∨ q), ley de la idempotencia.

⇐⇒ (p ∨ q) ∧ (p ∨ q), ley de la doble negación.

⇐⇒ (p ∨ q) ∨ (p ∨ q), ley de De Morgan.

⇐⇒ (p ↓ q) ↓ (p ↓ q), equivalencia lógica del NOR.


⇐⇒ ((p ∨ p) ↓ q) ↓ ((p ∨ p) ↓ q), ley de idempotencia.

⇐⇒ ((p ↓ p) ↓ q) ↓ ((p ↓ p) ↓ q), equivalencia lógica del NOR.

1.1.9. Conectivo NAND (↑)El conectivo NAND es también un conectivo completo, en el sentido que, cualquier

fórmula del cálculo proposicional puede ser escrita utilizando únicamente éste conectivo.

Mnemotecnicamente:

NAND ≈ Not AND ≈ NO y ≈ ∼ (p ∧ q) ≈ (p ∧ q) ≈ p ∧q ≈ p ↑ q

Ejemplo 13:

Demostrar que el conectivo NAND es un conectivo completo.

De forma similar como se demostró que el conectivo NOR es un conectivo completo,también se demuestra que el conectivo NAND es un conectivo completo, de esta formase debe representar los conectivos ∼, ∨, ∧, → y ↔, utilizando únicamente elconectivo NAND.

Representación de la negación utilizando únicamente el NAND:

p ⇐⇒ p ∧ p, ley de idempotencia

⇐⇒ p ↑ p, equivalencia lógica de la NAND.

Representación de la disyunción utilizando únicamente el NAND:

p ∨ q ⇐⇒ p ∨ q, ley de la doble negación.

⇐⇒ p ∧ q, ley de De Morgan.

⇐⇒ (p ∧ p) ∧ (q ∧ q), ley de idempotencia.

⇐⇒ (p ↑ p) ↑ (q ↑ q), equivalencia lógica NAND.

Representación de la conjunción utilizando únicamente el NAND:

p ∧ q ⇐⇒ (p ∧ q) ∨ (p ∧ q), ley de idempotencia.


⇐⇒ (p ∧ q) ∨ (p ∧ q), ley de doble negación.

⇐⇒ (p ∧ q) ∧ (p ∧ q), ley de De Morgan.

⇐⇒ (p ↑ q) ↑ (p ↑ q), equivalencia lógica NAND.

Representación de la implicación utilizando únicamente el NAND:

p → q ⇐⇒ p ∨ q, equivalencia lógica de la implicación.

⇐⇒ (p ∨ q), ley de la doble negación.

⇐⇒ (p ∧ q), ley de De Morgan.

⇐⇒ (p ∧ (q ∧ q)), ley de idempotencia.

⇐⇒ (p ↑ (q ↑ q)), equivalencia lógica NAND.

Representación de la doble implicación utilizando únicamente el NAND:

p ↔ q ⇐⇒ (p → q) ∧ (q → p), equivalencia lógica de la doble implicación.

⇐⇒ (p ∨ q) ∧ (q ∨ p), equivalencia lógica de la implicación.

⇐⇒ ((p ∨ q) ∧ q) ∨ ((p ∨ q) ∧ p), ley distributiva.

⇐⇒ ((p ∧ q) ∨ (q ∧ q)) ∨ ((p ∧ p) ∨ (q ∧ p)), ley distributiva.

⇐⇒ ((p ∧ q) ∨ F ) ∨ (F ∨ (q ∧ p)), ley inversa.

⇐⇒ ((p ∧ q)) ∨ ((q ∧ p)), ley de identidad.

⇐⇒ (p ∧ q) ∨ (q ∧ p), ley de doble negación.

⇐⇒ (p ∧ q) ∧ (q ∧ p), ley de De Morgan.

⇐⇒ ((p ∧ p) ∧ (q ∧ q)) ∧ (q ∧ p), ley de idempotencia.

⇐⇒ ((p ↑ p) ↑ (q ↑ q)) ↑ (q ↑ p), equivalencia lógica NAND.

Ejemplo 14:

Representar la proposición (p ∨ q)⊗ q utilizando sólo con el conectivo NAND (↑), ydonde se utilice la mínima cantidad de estos.

Para utilizar la mínima cantidad de conectivos NAND, en necesario simplificar primerola proposición compuesta, para luego, sobre la simplificación buscar el equivalente uti-


lizando únicamente el conectivo NAND. De esta forma se tiene:

(p ∨ q)⊗ q ⇐⇒ (((p ∨ q) ∧ q) ∨ ((p ∨ q) ∧ q)), equivalencia lógica del X-OR

⇐⇒ (((p ∨ q) ∧ q) ∨ ((p ∨ q) ∧ q)), ley de doble negación

⇐⇒ ((p ∨ q) ∧ q) ∧ ((p ∨ q) ∧ q), ley de De Morgan

⇐⇒ ((p ∨ q) ∧ q) ∧ (q), ley de absorción

⇐⇒ ((p ∨ q) ∨ q ) ∧ (q), ley de De Morgan

⇐⇒ ((p ∨ q) ∨ q) ∧ q, ley de doble negación

⇐⇒ (p ∨ (q ∨ q)) ∧ q, ley asociativa

⇐⇒ (p ∨ q) ∧ q, ley de idempotencia

⇐⇒ (q ∧ q) ∨ (p ∧ q), ley distributiva

⇐⇒ F ∨ (p ∧ q), ley inversa

⇐⇒ p ∧ q, ley de identidad

⇐⇒ (p ∧ q) ∨ (p ∧ q), ley de idempotencia

⇐⇒ (p ∧ q) ∨ (p ∧ q), ley de doble negación

⇐⇒ (p ∧ q) ∧ (p ∧ q), ley de De Morgan

⇐⇒ (p ↑ q) ↑ (p ↑ q), equivalencia lógica del NAND

⇐⇒ (p ↑ (q ∧ q)) ↑ (p ↑ (q ∧ q)), ley de idempotencia

⇐⇒ (p ↑ (q ↑ q)) ↑ (p ↑ (q ↑ q)), equivalencia lógica del NAND

1.1.10. Ejercicios

1. Determinar cuáles de las siguientes asignaciones de verdad a las proposicionesprimitivas p, q, r y s hacen que la proposición compuesta (p ∧ (q ∨ r)) → (r ∧ s)tome el valor falso.

a) p=V, q=V, r=F, s=V

b) p=V, q=V, r=F, s=F

c) p=F, q=F, r=V, s=F

d) p=V, q=F, r=V, s=V

e) p=V, q=F, r=V, s=F

f ) p=F, q=F, r=F, s=F

g) p=V, q=V, r=V, s=V


2. Identificar cuáles de las siguientes proposiciones compuestas son tautologías.

a) p → ((¬(r ∧ s) ∨ (t ↔ (v → (¬w ∨ q))) ∨ (r ∨ w)) → p)

b) (p → q) → p

c) (p → q) ↔ (¬p ↔ ¬q)d) ¬(¬(¬(¬p ∨ p) ∨ p) ∨ p) ∨ p

e) (p → (q ∨ r)) → ((p → q) ∨ (p → r))

3. Simplificar las siguientes proposiciones compuestas utilizando las leyes de la lógicaproposicional. En cada paso de la simplificación registrar la regla que se utilizó.

a) p → (p → (p → (p → (r ∨ s))))

Respuesta: V

b) (p ∨ q) ∧ [(p ∧ q) ∨ (p ∧ q)] ∧ (p ∨ q)

Respuesta: F

c) (p ∧ q) ∨ (p ∧ q) ∨ [(p ∨ q) ∧ (p ∨ q)]

Respuesta: V

d) (p ∧ q ∧ r) ∨ (p ∧ t ∧ q) ∨ (p ∧ t ∧ r)

Respuesta: p ∧ ((q ∨ t) ∧ (r ∨ (t ∧ q)))

e) (p ∧ q ∧ r) ∨ (p ∧ t ∧ q) ∨ (p ∧ t ∧ r)

f ) (x⊗ y)⊗ x

Respuesta: y

g) (x⊗ y) → y

Respuesta: x ∧ y

h) (p ↓ q)⊗ (p ↑ q)

i) (p ↓ q) ↓ (p⊗ q)

j ) (p ↓ q) ↑ (p⊗ q)

k) (p ↓ q) ↔ (p ↑ q)

l) ((p ↑ q) ↑ p) ↑ (q ↑ q)

m) ((p ↑ q) ↓ p) ↑ (q ↓ q)

n) (((p ↑ q) ↑ p) ↑ q) ↑ q

ñ) (((p ↓ q) ↑ p) ↓ q) ↑ q

o) ((p ↓ q) ↓ p) ↓ (q ↓ q)

p) ((p ↑ q) ↓ p) ↓ (q ↑ q)

q) (((p ↓ q) ↓ p) ↓ q) ↓ q

r) (((p ↑ q) ↑ p) ↓ q) ↓ q


4. Representar las siguientes proposiciones compuestas utilizando únicamente el conec-tivo NOR (↓)

a) (p ∨ q) ∧ (p ∨ q)

b) (p ∧ q) ∨ (p ↔ q)

Respuesta: p ↔ q ⇔ ((p ↓ p) ↓ q) ↓ ((q ↓ q) ↓ p)

c) (p ∧ q) ∨ (p ↔ q)

Respuesta: q → p ⇔ ((q ↓ q) ↓ p) ↓ ((q ↓ q) ↓ p)

d) (p ∧ q) ∧ (p ↔ q)

e) (p ∧ q) ∧ (p ↔ q)

f ) (p ∧ q) → (q ∨ r)

Respuesta: ((p ↓ p) ↓ p) ↓ ((p ↓ p) ↓ p)

g) p ⇔ q

h) p⊗ q

i) (p⊗ q) ∨ (p ↔ q)

Respuesta: (p ↓ (p ↓ p)) ↓ (p ↓ (p ↓ p))

5. Representar las siguientes proposiciones compuestas utilizando únicamente el conec-tivo NAND (↑)

a) (p ∧ q) ∨ (p ∨ q)

Respuesta: (p ↑ p) ↑ p

b) (p ∧ q) ∨ (p ↔ q)

c) (p ∧ q) ∨ (p ↔ q)

Respuesta: (p ↑ (q ↑ q)) ↑ ((p ↑ p) ↑ (q ↑ q)) ↑ (p ↑ q)

d) (p ∧ q) ∧ (p ↔ q)

e) (p ∧ q) ∧ (p ↔ q)

f ) p ⇔ q

g) (p ∧ q) ∨ (p⊗ q)

Respuesta: p ↑ (p ↑ p)

h) p⊗ q

Respuesta: (p ↑ (q ↑ q)) ↑ ((p ↑ p) ↑ q)

i) (p ↑ q) ∧ (p⊗ q)

j ) (p ↑ q) ∨ (p⊗ q)

1.2. REGLAS DE INFERENCIA 25

1.2. Reglas de inferencia

Las reglas de inferencia son utilizadas en la lógica proposicional, para demostrar queuna conclusión se sigue lógicamente de un conjunto de hipótesis, al utilizar una seriede pasos que involucran reglas de inferencia y/o leyes de la lógica proposicional.

1.2.1. Tabla de reglas de inferencia

Regla de inferencia Tautología Nombre

p

∴ p ∨ qp → (p ∨ q) Adicion

p ∧ q

∴ p(p ∧ q) → p Simplifación

pq

∴ p ∧ q[(p) ∧ (q)] → (p ∧ q) Conjunción

pp → q

∴ q[p ∧ (p → q)] → q Modus Ponens

¬qp → q

∴ ¬p[¬q ∧ (p → q)] → ¬p Modus Tollens

p → qq → r

∴ p → r[(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r) Silogismo Hipotético

p ∨ q¬p∴ q

[(p ∨ q) ∧ ¬p] → q Silogismo Disyuntivo

p ∨ q¬p ∨ r

∴ q ∨ r[(p ∨ q) ∧ (¬p ∨ r)] → (q ∨ r) Resolucion


Ejemplo 15:

El siguiente razonamiento es un ejemplo de la regla de inferencia de adición:

“Antonio es una persona joven. Por lo tanto, Antonio es una persona joven o Antonioes una persona saludable”.

A partir del enunciado del razonamiento se obtienen las proposiciones:

p : Antonio es una persona jovenq : Antonio es una persona saludable

El razonamiento puede ser reescrito ahora como la regla de inferencia de adición:

p

∴ p ∨ q

Ejemplo 16:

El siguiente razonamiento es un ejemplo de la regla de inferencia de simplificación:

“Antonio es una persona joven y Antonio es una persona saludable. Por lo tanto, An-tonio es una persona joven”.


p : Antonio es una persona jovenq : Antonio es una persona saludable

El razonamiento puede ser reescrito ahora como la regla de inferencia de simplificación:

p ∧ q

∴ p

Ejemplo 17:

El siguiente razonamiento es un ejemplo de la regla de inferencia de conjunción:

“Rosa es elegida presidenta de la junta de acción comunal. Elena ingresa a la junta deacción comunal. Por lo tanto, Rosa es elegida presidenta de la junta de acción comunaly Elena ingresa a la junta de acción comunal”.


p : Rosa es elegida presidenta de la junta de acción comunalq : Elena ingresa a la junta de acción comunal


El razonamiento puede ser reescrito ahora como la regla de inferencia de conjunción:

pq

∴ p ∧ q

Ejemplo 18:

El siguiente razonamiento es un ejemplo de la regla de inferencia de Modus Ponens:

“Si Lina gana 100 millones de pesos en la lotería, entonces, José renunciará a su tra-bajo. Lina ganó 100 millones de pesos en la lotería. Por lo tanto, José renunciará a sutrabajo”.


p : Lina gana 100 millones de pesos en la loteríaq : José renuncia a su trabajo

El razonamiento puede ser reescrito ahora como la regla de inferencia de Modus Ponens:

p → qp

∴ q

Ejemplo 19:

El siguiente razonamiento es un ejemplo de la regla de inferencia de Modus Tollens:

“Si Lina gana 100 millones de pesos en la lotería, entonces, José renunciará a su trabajo.Se sabe que José no renunció a su trabajo. Por lo tanto, Lina no ganó 100 millones depesos en la lotería”.


p : Lina gana 100 millones de pesos en la loteríaq : José renuncia a su trabajo

El razonamiento puede ser reescrito ahora como la regla de inferencia de Modus Tollens:

p → q¬q

∴ ¬p


Ejemplo 20:

El siguiente razonamiento es un ejemplo de la regla de inferencia de silogismo hipotético:

“Si hoy es un día lluvioso, entonces no debemos tener un asado hoy. Si no debemos tenerun asado hoy, entonces debemos tener un asado mañana, Por lo tanto, si hoy es un díalluvioso, entonces debemos tener un asado mañana”.


p : Hoy es un día lluviosoq : No debemos tener un asado hoyr : Debemos tener el asado mañana

El razonamiento puede ser reescrito ahora como la regla de inferencia de silogismohipotético:

p → qq → r

∴ p → r

Ejemplo 21:

El siguiente razonamiento es un ejemplo de la regla de inferencia de silogismo disyun-tivo:

“La billetera de Carlos está en su bolsillo o la billetera de Carlos está en la mesa. Sesabe que la billetera de Carlos no está en su bolsillo. Por lo tanto, la billetera de Carlosestá en la mesa”.


p : La billetera de Carlos está en su bolsilloq : La billetera de Carlos está en la mesa

El razonamiento puede ser reescrito ahora como la regla de inferencia de silogismodisyuntivo:

p ∨ q¬p

∴ q


1.2.2. Utilización de las reglas de inferencia para demostrar lavalidez de razonamientos

Ejemplo 22:

Determinar si el siguiente razonamiento es válido:

gg → ee → kk → ll → mm → b

∴ b

En la solución de todos los ejemplos de esta sección, se numeran cada una de las hipóte-sis, para después poder referenciar a cada una de las éstas en las razones que justificancada uno de los resultados en los pasos. Por ejemplo, para referenciar a la hipótesis 4se utiliza H4. De forma similar, para referenciar el resultado del paso i del análisis, seutilizará Pi.

La numeración de las hipótesis es la siguiente:

1. g2. g → e3. e → k4. k → l5. l → m6. m → b

∴ b

Los pasos, resultados y razones que se necesitan para demostrar la validez del razona-miento son los siguientes:

Pasos Resultados Razones

1. e Regla Modus Ponens entre H1 e H2

2. k Regla Modus Ponens entre P1 e H3

3. l Regla Modus Ponens entre P2 e H4

4. m Regla Modus Ponens entre P3 e H5

5. b Regla Modus Ponens entre P4 e H6

Como la conclusión se obtiene a partir de las hipótesis y de la utilización de las reglas


de inferencia, entonces se concluye que el razonamiento es válido.

Ejemplo 23:

Mostrar o refutar que las hipótesis p → (q → r), q → p y p implican la conclusión r.

El razonamiento se puede reescribir como:

1. p → (q → r)2. q → p3. p

∴ r

Los pasos y razones necesarios para obtener la conclusión a partir de las hipótesis, son:


1. q Regla Modus Tollens entre H2 e H3

2. q → r Regla Modus Ponens entre H1 e H3

3. r Regla Modus Ponens entre P1 y P2

El razonamiento es válido porque la conclusión se obtiene a partir las hipótesis y deluso de algunas de las reglas de inferencia.

Ejemplo 24:

En el siguiente razonamiento ya se han enumerado las hipótesis, determinar su validez.

1. p → r2. p → q

∴ p → (r ∧ q)

La justificación de la validez del razonamiento se apoya en los siguientes pasos, resul-tados y razones:


1. p ∨ r Equivalencia lógica de la implicación en H1

2. p ∨ q Equivalencia lógica de la implicación en H2

3. (p ∨ r) ∧ (p ∨ q) Regla de Conjunción entre P1 y P2

4. p ∨ (r ∧ q) Ley distributiva en P3

5. p → (r ∧ q) Equivalencia lógica de la implicación en P4


Utilizando las leyes de la lógica, las reglas de inferencia y las hipótesis originales, seobtiene la conclusión del razonamiento, por lo tanto el razonamiento es válido.

Ejemplo 25:

Determinar si el siguiente razonamiento es válido. En el razonamiento las hipótesis yaestán numeradas.

1. p → q2. q → s3. r → s4. p⊗ r

∴ r

Los pasos, resultados y razones necesarios para deducir la conclusión a partir de lashipótesis, el uso de las leyes de la lógica proposicional y del uso de las reglas de infe-rencia, son:


1. (p ∧ r) ∨ (p ∧ r) Equivalencia lógica del X-OR en H4

2. p → s Regla de Silogismo hipotético entre H1 e H2

3. r ∨ s Equivalencia lógica de la implicación en H3

4. s ∨ r Ley conmutativa en P3

5. s → r Equivalencia lógica de la implicación en P4

6. p → r Regla de Silogismo Hipotético entre P2 y P5

7. p ∨ r Equivalencia lógica de la implicación en P6

8. (p ∧ r) Ley de De Morgan en P7

9. p ∧ r Regla de Silogismo Disyuntivo entre P1 y P8

10. r Regla de simplificación en P9

Se obtiene la conclusión, por lo tanto el razonamiento es válido.

Ejemplo 26:


(p ∧ q) ∨ rr → s(p ∨ s) → t(q ∨ s) → u

∴ u → t


La numeración de las hipótesis en el razonamiento es el siguiente:

1. (p ∧ q) ∨ r2. r → s3. (p ∨ s) → t4. (q ∨ s) → u

∴ u → t

La validez del razonamiento se obtiene con los siguientes pasos, resultados y razones:


1. (p ∨ r) ∧ (q ∨ r) Ley distributiva en H1

2. p ∨ r Regla de Simplificación del P1

3. p → r Equivalencia lógica de la implicación del P2

4. p → s Regla de Silogismo Hipotético entre P3 e H2

5. p ∨ s Equivalencia lógica de la implicación del P4

6. t Regla Modus Ponens entre P5 e H3

7. q ∨ r Regla de Simplificación del P1

8. q → r Equivalencia lógica de la implicación del P7

9. q → s Regla de Silogismo Hipotético entre P8 e H2

10. q ∨ s Equivalencia lógica de la implicación del P9

11. u Regla Modus Ponens entre P10 e H4

12. u ∨ t Regla de Adición entre P11 y P6

13. u → t Equivalencia lógica de la implicación del P12

Se obtiene la conclusión a partir de las hipótesis, de la aplicación de las leyes de lalógica proposicional y de reglas de inferencia. De esta forma la validez del razonamientoqueda demostrada, pero, el resultado del paso número 12 a pesar de que es correcto nose ve muy “natural”. Por este motivo la validez de este razonamiento se demostrará denuevo en el capítulo 3 de Técnicas de Demostración en la subsección 3.2.2 de Técnicade Demostración por Contradicción, donde se obtiene una demostración más natural yaceptable para este razonamiento.

Ejemplo 27:

Mostrar o refutar que las hipótesis q ∨ p, p ∨ r, r → s y (q ∧ s) → (t ∧ s) implican laconclusión t.

El razonamiento se puede reescribir numerando las hipótesis de la siguiente forma:


1. q ∨ p2. p ∨ r3. r → s4. (q ∧ s) → (t ∧ s)

∴ t

Una forma correcta para establecer la validez del razonamiento es la siguiente:


1. p ∧ r Ley de De Morgan en H2

2. p Regla de Simplificación del P1

3. r Regla de Simplificación del P1

4. s Regla Modus Ponens entre P3 e H3

5. q Regla de Silogismo disyuntivo entre P2 e H1

6. q ∧ s Regla de Conjunción entre P5 y P4

7. t ∧ s Regla Modus Ponens entre P6 e H4

8. t Regla de Simplificación del P7

Se obtiene la conclusión del razonamiento a partir del conjunto de hipótesis, y del ade-cuado uso tanto, de las leyes de la lógica proposicional, como de las reglas de inferencia.Por lo tanto el razonamiento es correcto.

Ejemplo 28:


1. u → r2. (r ∧ s) → (p ∨ t)3. q → (u ∧ s)4. t

∴ q → p

Los pasos y razones que se necesitan para demostrar la validez del razonamiento sonlos siguientes:



1. (r ∧ s) ∨ (p ∨ t) Equivalenca lógica de la implicación en H2

2. ((r ∧ s) ∨ p) ∨ t Ley asociativa en P1

3. ((r ∧ s) ∨ p) Regla de Silogismo Disyuntivo entre P2 e H4

4. (r ∨ s) ∨ p Ley de De Morgan en P3

5. r ∨ (s ∨ p) Ley asociativa en P4

6. r → (s ∨ p) Equivalenca lógica de la implicación en P5

7. u → (s ∨ p) Regla de Silogismo Hipotético entre H1 y P6

8. u ∨ (s ∨ p) Equivalenca lógica de la implicación en P7

9. (u ∨ s) ∨ p Ley asociativa en P8

10. (u ∨ s) → p Equivalenca lógica de la implicación en P9

11. (u ∧ s) → p Ley de De Morgan en P10

12. q → p Regla de Silogismo Hipotético entre H3 y P11

Se obtiene la conclusión a partir de las hipótesis, de la aplicación de las leyes de lalógica proposicional y de las reglas de inferencia, de esta forma queda demostrada lavalidez del razonamiento. Este ejemplo, también se demostrará de nuevo en el capítulo3 de Técnicas de Demostración, utilizando una método diferente.

1.2.3. Ejercicios

1. Escribir cada uno de los siguientes argumentos en forma simbólica, después de-termine por reglas de inferencia si cada uno de éstos es válido:

a) Si Carlos va a la carrera de autos, entonces Elena se enojará. Si Rafael juegacartas toda la noche, entonces Carmen se enojará. Si Elena o Carmen seenojan, le avisarán a Verónica (su abogado). Verónica no ha tenido noticiasde estas dos clientes. En consecuencia, ni Carlos fue a la carrera ni Rafaeljugó cartas toda la noche.

b) Si Rosa María obtiene el puesto de supervisor y trabaja mucho, entoncesobtendrá un aumento. Si obtiene el aumento, entonces comprará un autonuevo. Ella no ha adquirido un auto nuevo. Por lo tanto, Rosa María no haobtenido el puesto de supervisor o no ha trabajado mucho.

c) Si la banda no pudiera tocar rock o las bebidas no llegasen a tiempo, entoncesla fiesta de Año Nuevo tendría que cancelarse y Alicia se enojaría. Si la fiestase cancelara, habría que devolver el dinero. No se devolvió el dinero. Por lotanto, la banda pudo tocar rock.

d) Si Tomás tiene 17 años, entonces es de la misma edad de Juana. Si José notiene la misma edad de Tomás, entonces José tiene distinta edad que Juana.Tomás tiene 17 años y José tiene la misma edad que Juana. Por lo tanto, Josétiene la misma edad que Tomás y Tomás tiene la misma edad que Juana.


e) Si es verdad que si llueve entonces los estudiantes se acuestan, entonceslos estudiantes no estudian. Si los estudiantes aprueban el examen entonceso los estudiantes estudian o el examen es trivial. Si el examen es trivial,entonces los estudiantes son flojos. Es un hecho que los estudiantes apruebanel examen y no son flojos. Por lo tanto, llueve y los estudiantes no se acuestan.

f ) Si el contrato es legal y Pérez entró en el contrato, entonces García ganaráel pleito. O García no ganará el pleito o Pérez será responsable. Pérez noserá responsable. Por lo tanto, o el contrato no es legal o Pérez no entró enel contrato.

2. Determinar si cada uno de los siguientes razonamientos es válido. Para cada unode los pasos del análisis, indicar, que regla de inferencia o ley de la lógica proposi-cional se utilizó y sobre que hipótesis o resultados intermedios se aplicó.

a) (q → p)(q → r)(p ∧ r)

∴ r

b) ((p ∧ q) ∧ r)(r ∨ s)((p ∨ s) → t)((q ∨ s) → u)

∴ (t → u)

c) r ∧ tq ∨ rq → ppq ∨ u ∨ t

∴ u

d) pp → qr → qs ∨ r

∴ s ∨ t


e) ((p ∧ q) ∨ r)(r → s)

∴ (p ∨ s)

f ) p ↔ qq → rr

∴ p

g) t → (p ∧ s)q → pr → sr ∨ q

∴ t

h) (x = 5) ∨ (x < y)

((x > 3) ∨ (z < 2)) → ((z < x) ∨ (y = 1))

(x < y) → (z < 2)

(x = 5) → (x > 3)

(z < x) → (x = 4)

(y = 1) → ((x > 3) ∨ (z < 2))

∴ (x = 4)

i) (x > y) ∨ (x < 6)

(x > y) → (x > 4)

(x > 4) → ((x = 5) ∧ (x < 7))

(x < 6) → ((x = 5) ∧ (x < 7))

((x < 7) ∧ (x = 5)) → ((z > x) ∨ (y < z))

(x > y) → ((y < z) ∨ (z > x))

∴ (x < 6)

1.3. LÓGICA DE PREDICADOS 37

1.3. Lógica de predicados

El cálculo de predicados aparece gracias a la limitante de la lógica proposicionalpara representar situaciones como:

Todo Hombre es mortal.

Ningún número par divide a todos los números mayores o iguales a el.

Juan ama a todas las mujeres hermosas.

Existen personas menores de 30 años que sufren de hipertensión arterial.

Es necesario enriquecer a la lógica proposicional con elementos tales como:

Funciones proposicionales (o predicados). Al ser funciones es necesario definir lasvariables de las funciones proposicionales y los dominios de dichas variables, queson conocidos con el nombre de universo del discurso.

Cuantificadores universales y existenciales y el alcance de estos.

Esta lógica proposicional enriquecida es lo que se conoce como cálculo de predicados ológica de predicados.

Es normal encontrar expresiones que involucran variables tales como:

x > 3

x = y + 3

x = y + z

las cuales son frecuentemente encontradas en declaraciones matemáticas y en progra-mas de computador.

Cuando los valores de las variables no son especificados, estas expresiones no son niverdaderas ni falsas.

Ejemplo 29:

La expresión x > 3 se puede representar como P (x) : x > 3, donde la variable x es elsujeto de la expresión y “Es mayor que 3” es el predicado o propiedad que el sujeto dela expresión puede tener y que es representado por P (x). La expresión P (x) tomará elvalor de verdad de la función proposicional P evaluada en x.

Una vez que le es asignado un valor a la variable x, la expresión P (x) se convierteen una proposición y tiene un valor de verdad determinado.


Ejemplo 30:

Sea el predicado P (x) : x > 3, donde el universo del discurso (dominio de las x’s ) es elconjunto de los números naturales. ¿Cuáles son los valores de verdad de P (2) y P (6)?

P (2) : 2 > 3, como es falso que 2 sea mayor que 3 entonces P (2) es Falso.

P (6) : 6 > 3, como es verdadero que 6 sea mayor que 3 entonces P (6) es Verdadero.

En general una expresión que involucra las n variables x1, x2, x3, . . . , xn puedeser denotada por P (x1, x2, x3, . . . , xn), de esta forma se deja en evidencia que unpredicado puede estar definido en términos de más de una variable.

1.3.1. Cuantificador universal

La cuantificación universal de P (x) es la proposición “para todo x del universo deldiscurso, P (x)”, la cual es representada con la notación ∀xP (x). Aquí ∀ es llamadocuantificador universal.

Ejemplo 31:

Sea el predicado V (x) : x es una vocal, donde el universo del discurso es el conjunto deletras del alfabeto español. ¿Cuál es la interpretación en palabras y el valor de verdadde la expresión ∀xV (x)?

Para la expresión ∀xV (x) la interpretación en palabras es: “Toda letra del alfabetoespañol es una vocal”, cuyo valor de verdad es falso, porque las letras consonantes noson vocales.

Ejemplo 32:

Representar la siguiente expresión en el cálculo de predicados: “Todo lo que brilla esoro”.

Sean los predicados B(x) : x brilla, O(x) : x es oro, donde el universo del discurso esel conjunto de metales; de esta forma la expresión “Todo lo que brilla es oro” se puederepresentar por: ∀x(B(x) → O(x)).

Ejemplo 33:

Representar por medio del cálculo de predicados la expresión: “Todo estudiante univer-sitario en Colombia ha estudiado trigonometría”.


Sea el predicado P (x) : x ha estudiado trigonometría, donde el universo del discursoes el conjunto de los estudiantes universitarios colombianos. Entonces apoyados en elpredicado anterior y en el cuantificador universal se tiene que la expresión: “Todo estu-diante universitario en Colombia ha estudiado trigonometría” se representa con ∀xP (x).

La expresión anterior también se puede representar en cálculo de predicados de lasiguiente forma: ∀x(U(x) → T (x)), donde el universo del discurso es el conjunto detodos los estudiantes colombianos, y se tienen los siguientes predicados:

U(x) : x es un estudiante universitario.

T (x) : x ha estudiado trigonometría.

Ejemplo 34:

Sea el predicado Q(x) : x < 2, donde el universo del discurso es el conjunto de losnúmeros reales. ¿Cuál es el valor de verdad de ∀xQ(x)?

Q(x) no es verdadera para todos los números reales x, por ejemplo Q(4) es falsa, porlo tanto ∀xQ(x) es falsa.

Cuando todos los elementos del universo del discurso pueden ser listados, por ejem-plo, x1, x2, x3, . . . , xn se tiene que el valor de verdad de ∀xP (x) es el mismo que elque se obtiene por la conjunción P (x1) ∧ P (x2) ∧ P (x3) ∧ · · · ∧ P (xn), de este modo∀xP (x) solo es verdadero si todo P (xi) es verdadero, donde 1 ≤ i ≤ n.

Ejemplo 35:

¿Cuál es el valor de verdad de ∀xP (x), donde se tiene el predicado P (x) : x2 < 10 yel universo del discurso consiste del conjunto de los números entero positivos que nosobrepasen al 4?

La expresión ∀xP (x) toma el mismo valor de verdad que la conjunción de las proposi-ciones:

P (1) ∧ P (2) ∧ P (3) ∧ P (4) ⇐⇒ (12 < 10) ∧ (22 < 10) ∧ (32 < 10) ∧ (42 < 10)

⇐⇒ (1 < 10) ∧ (4 < 10) ∧ (9 < 10) ∧ (16 < 10)

⇐⇒ (Vo) ∧ (Vo) ∧ (Vo) ∧ (Fo)

⇐⇒ Fo

Entonces se tiene que ∀xP (x) es falsa en éste universo del discurso.


1.3.2. Cuantificador existencial

La cuantificación existencial de P (x) es la proposición “Existe un x del universodel discurso tal que P (x)”. La notación ∃xP (x) denota la cuantificación existencial deP (x). Aquí ∃ es llamado el cuantificador existencial. La expresión ∃xP (x) es tambiénexpresada como: “Hay un x tal que P (x)”, “hay al menos un x tal que P (x)” o “Paraalgún x, P (x)”.

Ejemplo 36:

Sea el predicado V (x) : x es una vocal, donde el universo del discurso es el conjunto deletras del alfabeto español. ¿Cuál es la interpretación en palabras y el valor de verdadde la expresión ∃xV (x)?

Para la expresión ∃xV (x) la interpretación en palabras es: “Algunas letras del alfabetoespañol son vocales”, cuyo valor de verdad es cierto.

Ejemplo 37:

Sea el predicado Q(x) : x = x + 1, ¿Cuál es el valor de verdad de ∃xQ(x) donde eluniverso del discurso es el conjunto de los números reales?

Como Q(x) es falsa para todo número real x entonces ∃xQ(x) es falsa.

Cuando todos los elementos del universo del discurso pueden ser listados, por ejem-plo x1, x2, x3, . . . , xn, se tiene que el valor de verdad de ∃xP (x) es el mismo que elque se obtiene por la disyunción P (x1) ∨ P (x2) ∨ P (x3) ∨ · · · ∨ P (xn); de este modo∃xP (x) es verdadero cuando al menos un solo P (xi) es verdadero, donde 1 ≤ i ≤ n.

Ejemplo 38:

¿Cuál es el valor de verdad de ∃xP (x), donde se tiene el predicado P (x) : x2 > 10 yel universo del discurso consiste del conjunto de los números entero positivos que nosobrepasen al 4?

La expresión ∃xP (x) toma el mismo valor de verdad que la disyunción de las proposi-ciones:

P (1) ∨ P (2) ∨ P (3) ∨ P (4) ⇐⇒ (12 > 10) ∨ (22 > 10) ∨ (32 > 10) ∨ (42 > 10)

⇐⇒ (1 > 10) ∨ (4 > 10) ∨ (9 > 10) ∨ (16 > 10)

⇐⇒ (Fo) ∨ (Fo) ∨ (Fo) ∨ (Vo)

⇐⇒ Vo

Entonces se tiene que ∃xP (x) es verdadera en éste universo del discurso.


Ejemplo 39:

Se tienen los siguientes predicados C(x) : x tiene un computador, A(x, y) : xy y son amigos. El universo del discurso para las variables de los predicados es elconjunto de estudiantes de la institución. El significado en palabras de la expresión:∀x(C(x)∨∃y(C(y)∧A(x, y))), es: “Todo estudiante de la institución tiene computadoro es amigo de algún estudiante de la institución que tiene computador”.

Ejemplo 40:

Se tiene el siguiente predicado S(x, y) : x+y = 0, donde el universo del discurso de lasvariables del predicado es el conjunto de los números reales. El significado en palabrasde la expresión: ∀x∃yS(x, y), es: “Para cada número real x existe un número real y talque la suma de x y y es igual a cero”.

Ejemplo 41:

Sea el predicado T (x, y): x ≥ y, donde el universo del discurso es x, y ∈ {1, 2, 3, 4, 5}.

A continuación se presentan las interpretaciones en palabras y los valores de verdad dealgunas de las formas como se puede cuantificar el predicado T (x, y)

Para la expresión ∀x∀yT (x, y) la interpretación en palabras es: “Todo númeroentre 1 y 5 es mayor o igual a todo número entre 1 y 5”, cuyo valor de verdad esfalso.

Para la expresión ∀x∃yT (x, y) la interpretación en palabras es: “ Todo númeroentre 1 y 5 es mayor o igual a algún número entre 1 y 5”, cuyo valor de verdad escierto.

Para la expresión ∃x∀yT (x, y) la interpretación en palabras es: “Existe un númeroentre 1 y 5 que es mayor o igual a todos los números entre 1 y 5”, cuyo valor deverdad es cierto.

Para la expresión ∃x∃yT (x, y) la interpretación en palabras es: “Existe un númeroentre 1 y 5 que es mayor o igual a algún número entre 1 y 5”, cuyo valor de verdades cierto.

Para la expresión ∀y∃xT (x, y) la interpretación en palabras es: “Todo númeroentre 1 y 5 es menor o igual a algún número entre 1 y 5”, cuyo valor de verdad escierto.

Para la expresión ∃x∀yT (y, x) la interpretación en palabras es: “Existe un númeroentre 1 y 5 que es menor o igual a todo número entre 1 y 5”, cuyo valor de verdades cierto.


1.3.3. Variables ligadas

Cuando un cuantificador es usado sobre la variable x, o cuando le es asignado unvalor a dicha variable, se dice que la ocurrencia de la variable está ligada. Una ocurren-cia de una variable que no está ligada por un cuantificador o no le ha sido asignada unvalor particular se dice que es libre.

Todas las variables que aparecen en una función proposicional deben estar ligadaspara que dicha función proposicional sea transformada en una proposición. Esto sepuede realizar usando una combinación de cuantificadores universales, cuantificadoresexistenciales y la asignación de valores a las variables.

1.3.4. Alcance de un cuantificador

La parte de una expresión lógica para la cual un cuantificador es aplicado es llamadoel alcance del cuantificador, adicionalmente, una variable también es libre si está fueradel alcance de todos los cuantificadores en la fórmula donde aparece dicha variable.

Ejemplo 42:

Se tiene el siguiente predicado M(x, y) : x > y, donde el universo del discurso es elconjunto de los números naturales. En la expresión ∃xM(x, y) la variable x está ligadapor el cuantificador existencial, mientras que la variable y está libre porque no estáligada por un cuantificador y no le ha sido asignado ningún valor.

Ejemplo 43:

Sea la siguiente expresión del cálculo de predicados: ∀x[∃y(P (x, y) ∧Q(x, y)) → R(x)],los diferentes alcances de los cuantificadores son presentados en la siguiente expresión:

∀x [∃y (P (x, y) ∧Q(x, y))︸︷︷︸Alcance de ∃y

→ R(x)]

︸︷︷︸Alcance de ∀x

en la expresión no hay ninguna variable libre, todas están ligadas.

Ejemplo 44:

Sean los predicados M(x, y) : x ≤ y, I(x, y) : x+ y = 10, el universo del discurso delas variables de los predicados es el conjunto de los números enteros. ¿En la siguienteexpresión del cálculo de predicados ∀x(∃yM(x, y) ∧ I(x, y)) todas las ocurrencias dela variable y están ligadas?

Según la expresión, la variable y en el predicado I(x, y) no está ligada porque el alcancedel cuantificador existencial es únicamente el predicado M(x, y).


Ejemplo 45:

Sea el siguiente predicado M(x, y) : x < y, donde el universo del discurso es el con-junto de los números enteros (Z). ¿Cuál es la interpretación en palabras y el valor deverdad de ∀x∃xM(x, x)?.

La interpretación en palabras de ∀x∃xM(x, x) es: “Para todo número entero dichonúmero es estrictamente menor que el mismo”, el valor de verdad de esta interpretaciónes falso.

El ejemplo anterior deja en evidencia un serio problema que se puede presentar enel cálculo de predicados, donde la misma variable x es cuantificada de forma diferentebajo el alcance de la misma variable para otro cuantificador, esto siempre se debe evitar.

Ejemplo 46:

Para el predicado y el universo del discurso del ejemplo anterior, ¿Cuál es la inter-pretación en palabras y el valor de verdad de ∃y∀xP (x, y)?

La interpretación en palabras de ∃y∀xP (x, y) es: “Existe un número entero que esmayor que todos los números enteros”, cuyo valor de verdad es falso porque los númerosenteros no están acotados superiormente.

Ejemplo 47:

Sea el predicado N(x, y) : x ≤ y, donde el universo del discurso es el conjunto de losnúmeros naturales (N). ¿Cuál es la interpretación en palabras y el valor de verdad de∃x∀yN(x, y)?

La interpretación en palabras de ∃x∀yN(x, y) es: “Existe un número natural que esmenor o igual a todos los números naturales”, cuyo valor de verdad es cierto porque losnúmeros naturales están acotados inferiormente, dicho número es el cero.

1.3.5. Negaciones y cuantificadores

Es normal tener la negación de una expresión cuantificada, por ejemplo la ne-gación de la siguiente expresión: “Todo estudiante universitario colombiano ha estu-diado trigonometría” sería : “No es el caso que cada estudiante universitario colombianoha estudiado trigonometría”, o “Hay algún estudiante universitario en Colombia que noha estudiado trigonometría”.

Si se tiene el predicado P (x) : x ha estudiado trigonometría, donde el univer-so del discurso son los estudiantes universitarios colombianos, entonces ¬∀x(P (x)) =∃x(¬P (x)).


Ejemplo 48:

¿Cuál es la negación de la siguiente expresión: “Hay un político honesto”?

Sea el predicado H(x) : x es honesto, donde el universo del discurso es el conjunto de lospolíticos, la expresión: “Hay un político honesto” puede ser representada por ∃xH(x),luego la negación es ¬∃xH(x) que significa: “Ningún político es honesto”, o que puedetambién ser visto como: ∀x¬H(x) que significa: “Todo político es deshonesto”.

Ejemplo 49:

¿Cuál es la negación de la siguiente expresión ∀x(x2 ≥ x)?, donde el universo del discurso

es el conjunto de los números enteros.

Primero que todo el significado en palabras de la expresión ∀x(x2 ≥ x) es: “el cuadrado

de cualquier número entero x es mayor o igual al número entero x”, ahora la negaciónde la expresión es: ¬∀x(x

2 ≥ x) = ∃x¬(x2 ≥ x) = ∃x(x2 < x), donde el significado

en palabras de la expresión ¬∀x(x2 ≥ x) es: “no es cierto que el cuadrado de cualquier

número entero x es mayor o igual a número entero x”. El significado en palabras de laexpresión ∃x¬(x2 ≥ x) es: “existe algún número entero x para el cual no se cumple queel cuadrado del número entero x sea mayor o igual al número entero x”. Por último,el significado en palabras de la expresión ∃x(x

2 < x) es: “existe algún número entero xpara el cual se cumple que el cuadrado del número entero x es menor al número enterox”.

1.3.6. Ejercicios

1. Se definen los siguientes predicados con sus símbolos. Escriba cada enunciadosimbólicamente. Hacer uso de los cuantificadores adecuados.D(x): “x es un día”, S(x): “x es soleado”, L(x): “x es lluvioso”

a) Todos los días son soleados

b) Algunos días son lluviosos

c) Todo día que es soleado no es lluvioso

d) Algunos días son soleados y lluviosos

e) Ningún día es soleado y lluvioso a la vez

f ) Solo es día soleado el día lluvioso

2. Si A(x): “x es un automóvil”, R(x): “x es rápido”, L(x): “x es lento”. Escriba cadaenunciado simbólicamente. Atención a los cuantificadores.

a) Algunos automóviles son rápidos y lentos.

b) Algunos automóviles son rápidos.

c) Ningún automóvil es lento y rápido a la vez.


d) Todos los automóviles son lentos.

e) Solo es automóvil rápido el automóvil lento.

f ) Todo automóvil que es rápido no es lento.

3. Escriba cada enunciado simbólicamente en la lógica de predicados.

a) Todos los pájaros cantores vuelan.

b) Algún pájaro cantor no vuela.

c) No hay pájaros grandes que se alimenten de néctar.

d) Perro no come perro.

e) Hijo de tigre sale pintado.

f ) Algunos leones no toman café.

g) Todos los peces, excepto los tiburones, son amables con los niños.

h) Cualquier caballo que es manso está bien entrenado.

i) Las serpientes son reptiles.

j ) Ningún automóvil que tenga más de diez años será reparado si está seria-mente dañado.

k) Ningún abrigo es impermeable a menos que haya sido especialmente tratado.

l) Nadie sino los valientes merecen a la bella.

m) Algunos senadores son o desleales o mal aconsejados.

n) Sólo los ejecutivos tienen secretaria.

ñ) Existe un entero que es mayor que 100 que es una potencia de 2.

o) El sucesor de un número es un número.

p) Para todo número natural, existe un número que es su inmediato sucesor.

q) Para todo número natural diferente de cero, existe un número natural quees su inmediato predecesor.

r) Todo número racional es un número real.

s) Existe un número que es un primo.

t) Para todo número x, existe un número y tal que x <y.

u) Algunos números naturales son pares.

v) Todo elemento n = 1 de N es el siguiente de algún otro elemento de N.

w) Si n, m ∈ N y m > n para todo p ∈ N entonces m · p > n · p

4. Sea T (x, y): “x es mas alto que y”. El dominio consta de 5 estudiantes: Lina, quemide 1.55 cm, Federnam, que mide 1.70 cm, Francisco que mide 1.64 cm, Isabel,que mide 1.60 cm y Alexander, quien mide 1.68 cm. Escriba cada proposición conpalabras e indique si es verdadera o falsa.


a) ∀x∀yT (x, y).

b) ∀x∃yT (x, y).

c) ∃x∀yT (x, y).

d) ∃x∃yT (x, y).

e) ∀y∃xT (x, y).

f ) ∃x∀yT (y, x).

5. Si L(x, y): “x ama a y”, H(x): “x es joven”, M(x): “x es un hombre”, W(x): es unamujer, P(x): “x es hermosa”, j: “Juan”, k: “Katherine”, Escriba el equivalente enespañol de los siguientes enunciados simbólicos:

a) (∀x)(M(x) → H(x))

b) (∀x)[W (x) → (∀y)(L(x, y) → M(y) ∧H(y))]

c) (∃x)(M(x) ∧H(x) ∧ L(x, k))

d) (∀x)(W (x) ∧ P (x) → L(j, x))

6. Sea P(x, y): “x es el padre de y”, donde el dominio de x y y son los seres humanosdel mundo.

a) Representar el predicado A(x, z): “x es el abuelo de z”, utilizando el predicadoP y los cuantificadores si son necesarios.

b) Representar el predicado H(y, z): “y es hermano de z”, utilizando el predicadoP y los cuantificadores si son necesarios.

c) Representar el predicado T(z, y): “z es el tío de y”, utilizando los predicadosP y H (solución del item anterior) y los cuantificadores si son necesarios.

7. Sea el siguiente dominio D = {a, b} para el predicado P que toma los siguientesvalores de verdad para la combinación de valores del dominio:

P(a,a) P(a,b) P(b,a) P(b,b)V F F V

Determine los valores de verdad para:

a) (∀x)(∃y)P (x, y)

b) (∀x)(∀y)P (x, y)

c) (∃x)(∀y)P (x, y)

d) (∃y) ∼ P (x, y)

e) (∀x)P (x, x)

8. Sean los siguientes predicados:


P (x) : x es primate

A(x) : x es arbóreo

R(x) : x es roedor

Escribir en palabras el significado de la siguiente expresión:

a) ∃x(P (x) ∧ A(x)) ∧ ∃x(R(x) ∧ A(x))

b) ∃x(P (x) ∧ A(x)) ∧ ∃x((∼ R(x)) ∧ A(x))

c) ∀x((P (x) ∧ A(x)) → R(x))

d) ∀x(R(x) → (P (x) ∨ A(x)))

9. Sean los siguientes predicados:

O(x) : x es un organismo

M(x) : x es molusco

D(x) : x es doméstico

Escribir en palabras el significado de la siguiente expresión:

a) (∃x(O(x) ∧D(x))) ∧ (∃x(O(x) ∧M(x))) ∧ (∼ ∃x(O(x) ∧D(x) ∧M(x)))

b) ∀x(M(x) → O(x))

c) ∀x(D(x) → O(x))

d) ∼ ∃x((O(x) ∧M(x)) → D(x))

Capítulo 2

Sucesiones y sumatorias

2.1. Funciones piso y techoDefinición: La función piso asigna al número real x el entero más grande que sea menoro igual a x. La función piso de x se denota por ⌊x⌋.

Ejemplo 1:

⌊12

⌋= 0⌊

− 12

⌋= −1

⌊3,00000001⌋ = 3

⌊4,99999999⌋ = 4

⌊−3,78⌋ = −4

⌊3,78⌋ = 3

Definición: La función techo asigna al número real x el entero más pequeño que seamayor o igual a x. La función techo de x se denota por ⌈x⌉.

Ejemplo 2:

⌈12

⌉= 1⌈

− 12

⌉= 0

⌈3,00000001⌉ = 4

⌈4,99999999⌉ = 5

⌈−3,78⌉ = −3

⌈3,78⌉ = 4

2.1.1. Propiedades de las funciones piso y techo

En las siguientes propiedades n ∈ Z y x ∈ R.

1. a) ⌊x⌋ = n si y solo si n ≤ x < n+ 1

b) ⌈x⌉ = n si y solo si n− 1 < x ≤ n

c) ⌊x⌋ = n si y solo si x− 1 < n ≤ x

49

50 CAPÍTULO 2. SUCESIONES Y SUMATORIAS

d) ⌈x⌉ = n si y solo si x ≤ n < x+ 1

2. x− 1 < ⌊x⌋ ≤ x ≤ ⌈x⌈< x+ 1

3. a) ⌊−x⌋ = −⌈x⌉b) ⌈−x⌉ = −⌊x⌋

4. a) ⌊x+ n⌋ = ⌊x⌋+ n

b) ⌈x+ n⌉ = ⌈x⌉+ n

Ejemplo 3:

Probar que si x es un número real, entonces ⌊2x⌋ = ⌊x⌋+⌊x+ 1

2

⌋.

Sea x = n+ ϵ, donde n representa la parte entera del número x y ϵ representa la partedecimal.

Se presentan dos casos, cuando ϵ < 12

y cuando ϵ ≥ 12. En análisis de cada uno de los

casos es el siguiente:

Caso donde ϵ < 12:

⌊2(n+ ϵ)⌋ = ⌊2n+ 2ϵ⌋, como 2ϵ < 1, entonces ⌊2n+ 2ϵ⌋ = 2n

⌊n+ ϵ⌋+⌊n+ ϵ+

1

2︸︷︷︸menor que 1

⌋= n+ n = 2n

Por lo tanto ⌊2x⌋ = ⌊x⌋+⌊x+ 1

2

⌋= 2n

Caso donde ϵ ≥ 12:

⌊2(n+ ϵ)⌋ = ⌊2n+ 2ϵ︸︷︷︸mayor o igual que 1

⌋ = 2n+ 1

⌊n+ ϵ⌋+⌊n+ ϵ+

1

2︸︷︷︸mayor o igual que 1

⌋= n+ n+ 1 = 2n+ 1

Por lo tanto ⌊2x⌋ = ⌊x⌋+⌊x+ 1

2

⌋= 2n+ 1

Como se cumplen los dos casos, entonces queda demostrado que ⌊2x⌋ = ⌊x⌋+⌊x+ 1

2

⌋.

2.2. Sucesiones

Las sucesiones son usadas para representar listas ordenadas de elementos.

2.2. SUCESIONES 51

Definición: Una sucesión es una función del conjunto de los números naturales o delconjunto de los números enteros positivos a un conjunto S. Se usa la notación Sn paradenotar la imagen del número n en el conjunto S, de esta misma forma, Sn representa altérmino ubicado en la posición n de la sucesión. Se usa la notación {Sn} para denotartodo el rango de la función. Las sucesiones son descritas listando los términos de lasucesión en el orden como se va incrementando el subíndice.

Ejemplo 4:

Considerar la sucesión {Sn}, donde Sn =n

2n.

Los elementos de la sucesión, comenzando en S1, son:

S1 =1

21

S2 =2

22

S3 =3

23

S4 =4

24

S5 =5

25

...Sn =

n

2n

de esta forma se tiene que la lista de términos de la sucesión es:

1

21,2

22,

3

23,

4

24,

5

25, . . . ,

n

2n

Definición: Una progresión aritmética es una sucesión de la forma:

a, a+ d, a+ 2 · d, a+ 3 · d, . . . , a+ n · d

donde el término inicial a y la diferencia común d son números reales.

Ejemplo 5:

La sucesión {Sn} con Sn = 1+2 ·n es una progresión aritmética con término iniciala = 1 y diferencia común d = 2.

Los elementos de la sucesión, comenzando en n = 0, son:

S0 = 1 + 2 · 0 = 1 + 0 = 1


S1 = 1 + 2 · 1 = 1 + 2 = 3S2 = 1 + 2 · 2 = 1 + 4 = 5S3 = 1 + 2 · 3 = 1 + 6 = 7S4 = 1 + 2 · 4 = 1 + 8 = 9

...Sn = 1 + 2 · n

de esta forma se tiene que la lista de términos de la sucesión es la lista de los númerosenteros positivos impares: 1, 3, 5, 7, 9, . . . , 1 + 2 · n.

Ejemplo 6:

Encontrar una fórmula para generar el n-ésimo término de la sucesión que tiene losprimeros seis términos siguientes: 1, 5, 9, 13, 17 y 21.

Entre un par de términos consecutivos de la sucesión hay una diferencia constante de4, se tiene como primer término de la sucesión al número 1, por este motivo la sucesión1, 5, 9, 13, 17, 21, . . ., es una progresión aritmética con primer término a = 1 ydiferencia constante d = 4.

La forma como se generan los primeros seis términos de la sucesión por medio de laprogresión aritmética es:

a+ 0 · d, a+ 1 · d, a+ 2 · d, a+ 3 · d, a+ 4 · d, a+ 5 · d1 + 0 · 4, 1 + 1 · 4, 1 + 2 · 4, 1 + 3 · 4, 1 + 4 · 4, 1 + 5 · 41 + 0, 1 + 4, 1 + 8, 1 + 12, 1 + 16, 1 + 201, 5, 9, 13, 17, 21

Definición: Una progresión geométrica es una sucesión de la forma:

a, a · r, a · r2, a · r3, . . . , a · rn

donde el término inicial a y la razón constante r son números reales.

Ejemplo 7:

La sucesión {Sn} con Sn = 2n es una progresión geométrica con término iniciala = 1 y razón constante r = 2.


S0 = 20 = 1S1 = 21 = 2S2 = 22 = 4S3 = 23 = 8S4 = 24 = 16

2.3. SUCESIONES ESPECIALES DE NÚMEROS 53

...Sn = 2n


1, 2, 4, 8, 16, . . . , 2n

Ejemplo 8:

La sucesión {Sn} con Sn = 2 · 3n es una progresión geométrica con término iniciala = 2 y razón constante r = 3.


S0 = 2 · 30 = 2 · 1 = 2S1 = 2 · 31 = 2 · 3 = 6S2 = 2 · 32 = 2 · 9 = 18S3 = 2 · 33 = 2 · 27 = 54S4 = 2 · 34 = 2 · 81 = 162

...Sn = 2 · 3n


2, 6, 18, 54, 162, . . . , 2 · 3n

2.3. Sucesiones especiales de números

Cuando es difícil deducir una posible fórmula para generar el n-ésimo términosde una sucesión, entonces, las siguientes son algunas de las preguntas que se debenformular:

¿La sucesión tiene siempre el mismo término?

¿Los términos son obtenidos de términos previos y la suma de alguna cantidado los términos son obtenidos de una cantidad que depende de la posición en lasucesión?

¿Los términos son obtenidos de términos previos y la multiplicación de algunacantidad o los términos son obtenidos de una cantidad que depende de la posiciónen la sucesión?

¿Los términos son obtenidos por la combinación de términos en una cierta forma?

¿Hay ciclos entre los términos de la sucesión?


Ejemplo 9:

Encontrar una fórmula para generar el n-ésimo término de la sucesión que tiene losprimeros 10 términos siguientes: 3, 9, 15, 21, 27, 33, 39, 45, 51 y 57.

Para la sucesión de este ejemplo aplica la pregunta: “¿Los términos son obtenidos detérminos previos y la suma de alguna cantidad o los términos son obtenidos de unacantidad que depende de la posición en la sucesión?”.

Con respecto a la primera opción de la pregunta la siguiente fórmula recursiva permitegenerar el n-ésimo término de la sucesión:

S1 = 3Sn = Sn−1 + 6, para n ≥ 2.

Con respecto a la segunda opción de la pregunta se puede determinar que el n-ésimotérmino de la sucesión únicamente depende de su posición, ya que la sucesión es unaprogresión aritmética, donde el primer término es a = 3 y la diferencia común entredos términos consecutivos de la sucesión es d = 6, por lo tanto la fórmula que generael n-ésimo término de la sucesión es:

Sn = 3 + n · 6, para n ≥ 0.

Ejemplo 10:

Encontrar una fórmula para generar el n-ésimo término de la sucesión que tiene losprimeros cinco términos siguientes: 1, 2

3, 4

9, 8

27y 16

81

Para la sucesión de este ejemplo aplica la pregunta: “¿Los términos son obtenidos detérminos previos y la multiplicación de alguna cantidad o los términos son obtenidosde una cantidad que depende de la posición en la sucesión?”.


S1 = 1Sn = 2

3· Sn−1, para n ≥ 2.

Con respecto a la segunda opción de la pregunta se puede determinar que el n-ésimotérmino de la sucesión únicamente depende de su posición, ya que la sucesión es unaprogresión geométrica, donde el primer término es a = 1 y la razón constante entre dostérminos consecutivos de la sucesión es r = 2

3, por lo tanto la fórmula que genera el

n-ésimo término de la sucesión es:

Sn = 1 ·(23

)n=(23

)n, para n ≥ 0.

2.3. SUCESIONES ESPECIALES DE NÚMEROS 55

Ejemplo 11:

Encontrar una fórmula para generar el n-ésimo término de la sucesión que tiene losprimeros seis términos siguientes: 1, 3, 6, 10, 15, 21, . . .

Para la sucesión de este ejemplo aplica la pregunta: “¿Los términos son obtenidos detérminos previos y la suma de alguna cantidad o los términos son obtenidos de unacantidad que depende de la posición en la sucesión?”.


S1 = 1Sn = Sn−1 + n, para n ≥ 2.

Con respecto a la segunda opción de la pregunta se puede determinar que el n-ésimotérmino de la sucesión únicamente depende de su posición de la siguiente forma:

Sn = n(n+1)2

, para n ≥ 1.

Ejemplo 12:

Encontrar una fórmula para generar el n-ésimo término de la sucesión que tiene losprimeros seis términos siguientes: 1, 1, 2, 6, 24, 120, . . .

Para la sucesión de este ejemplo aplica la pregunta: “¿Los términos son obtenidos detérminos previos y la multiplicación de alguna cantidad o los términos son obtenidosde una cantidad que depende de la posición en la sucesión?”.


S0 = 1Sn = n · Sn−1, para n ≥ 1.

Con respecto a la segunda opción de la pregunta se puede determinar que el n-ésimotérmino de la sucesión únicamente depende de su posición de la siguiente forma:

Sn = n!, donde n ≥ 0

Ejemplo 13:

Encontrar una fórmula para generar el n-ésimo término de la sucesión que tiene losprimeros 16 términos siguientes: 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4 y 4.

Para la sucesión de este ejemplo aplica la segunda opción de la pregunta: “¿Los tér-minos son obtenidos de términos previos y la suma de alguna cantidad o los términosson obtenidos de una cantidad que depende de la posición en la sucesión?”. Se puede


determinar que el n-ésimo término de la sucesión únicamente depende de su posiciónde la siguiente forma:

Sn =⌈ √

n⌉, para n ≥ 1.

Ejemplo 14:

Encontrar una fórmula para generar el n-ésimo término de la sucesión que tiene losprimeros 15 términos siguientes: 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3 y 3.

Para la sucesión de este ejemplo aplica la segunda opción de la pregunta: “¿Los tér-minos son obtenidos de términos previos y la suma de alguna cantidad o los términosson obtenidos de una cantidad que depende de la posición en la sucesión?”. Se puededeterminar que el n-ésimo término de la sucesión únicamente depende de su posiciónde la siguiente forma:

Sn =⌊ √

n⌋, para n ≥ 1.

Ejemplo 15:

Encontrar una fórmula para generar el n-ésimo término de la sucesión que tiene losprimeros 10 términos siguientes: 2, 7, 24, 77, 238, 723, 2180, 6553, 19674 y 59039.

Para la sucesión de este ejemplo aplica la pregunta: “¿Los términos son obtenidos porla combinación de términos en una cierta forma?”.

El n-ésimo término de la sucesión depende del resultado de una potencia de 3 menosuna cantidad especifica con respecto a la posición del término en la sucesión. La fórmulaes la siguiente:

Sn = 3n − n, para n ≥ 1.

Ejemplo 16:

Encontrar una fórmula para generar el n-ésimo término de la sucesión que tiene losprimeros nueve términos siguientes: 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, . . .

Para la sucesión de este ejemplo aplica la pregunta: “¿Hay ciclos entre los términos dela sucesión?”.

De forma cíclica los elementos 0, 1 y 1 se siguen presentado en la sucesión. Unafórmula que garantiza la generación cíclica de los términos es la siguiente:

S0 = 0S1 = 1S2 = 1Sn = S(n mod 3), para n ≥ 3.

2.4. SUMATORIAS 57

Se debe tener en cuenta que n mod 3 es el residuo de la división entera entre n y 3,donde los únicos posibles residuos que se pueden obtener al dividir el número enteropositivo n por 3 son: 0, 1 y 2.

2.4. Sumatorias

La notación de sumatoria es usada para representar la suma de los términos Sm,Sm+1, Sm+2, . . ., Sn de la sucesión {Sn}.

Se usa la notaciónn∑

i=m

Si para representar Sm + Sm+1 + Sm+2 + · · ·+ Sn.

Ejemplo 17:

La suma de los primeros 50 términos de la sucesión {Sn} donde el n-ésimo término dela sucesión está definido por Sn = n

2npuede ser representada por medio de sumatorias

como:50∑i=1

i

2i=

1

21+

2

22+

3

23+

4

24+ · · ·+ 50

250

Ejemplo 18:

¿Cuál es el resultado que se obtiene de8∑

i=1

i ?

El resultado es el siguiente:8∑

i=1

i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36.

Teorema:n∑

i=1

i = 1 + 2 + 3 + · · ·+ n =n(n+ 1)

2, para n ∈ Z+.

Demostración:

Sea S = 1 + 2 + 3 + · · · + n, como el orden de los sumandos no altera el resultadoentonces S = n+ (n− 1) + (n− 2) + · · ·+ 1

S = 1 + 2 + 3 + · · · + nS = n + (n− 1) + (n− 2) + · · · + 1

2S = (n+ 1) + (n+ 1) + (n+ 1) + · · · + (n+ 1)︸︷︷︸n veces


2S = n(n+ 1)

S =n(n+ 1)

2

Como S es igual a 1+2+3+ · · ·+n entonces 1+2+3+ · · ·+n = n(n+1)2

, para n ∈ Z+.

Ejemplo 19:

Obtener una fórmula que sea la solución de la siguiente suma de términos:

2 + 4 + 6 + 8 + · · ·+ 2 · n, para n ∈ Z+.

2 + 4 + 6 + 8 + · · · + 2 · n = 2 · 1 + 2 · 2 + 2 · 3 + 2 · 4 + · · · + 2 · n

= 2 · (1 + 2 + 3 + 4 + · · · + n)

= 2 ·(

n∑i=1

i

)= 2 ·

(n(n+ 1)

2

)= n(n+ 1)

Por lo tanton∑

i=1

2 · i = 2 + 4 + 6 + 8 + · · ·+ 2 · n = n(n+ 1)

Ejemplo 20:

Obtener una fórmula que sea la solución de la siguiente suma de términos:

1 + 3 + 5 + 7 + · · ·+ 2n− 1, para n ∈ Z+.

1 + 3 + 5 + · · ·+ 2 · n− 1 = 2 · 1− 1 + 2 · 2− 1 + 2 · 3− 1 + · · · + 2 · n− 1

= (2 · 1 + 2 · 2 + 2 · 3 + · · ·+ 2 ·n)− (1 + 1 + 1 + · · ·+ 1︸︷︷︸n veces

)

= 2 · (1 + 2 + 3 + 4 + · · ·+ n) − n

= 2 ·(

n∑i=1

i

)− n

= 2 ·(n(n+ 1)

2

)− n

= n(n+ 1) − n

= n2 + n − n

2.4. SUMATORIAS 59

= n2

Por lo tanton∑

i=1

(2 · i − 1) = 1 + 3 + 5 + · · ·+ 2 · n− 1 = n2.

A continuación se presenta otra forma alternativa de obtener la solución de la sumade términos.

Sea S = 1+ 3+ 5+ · · ·+ 2n− 1, como el orden de los sumandos no altera el resultadoentonces S = (2n− 1) + (2n− 3) + (2n− 5) + · · ·+ 1

S = 1 + 3 + 5 + · · ·+ 2n− 1S = (2n− 1) + (2n− 3) + (2n− 5) + · · ·+ 1

2S = (2n) + (2n) + (2n) + · · ·+ (2n)︸︷︷︸n veces

2S = n(2n)

S = n2

Como S es igual a 1 + 3+ 5+ · · ·+ 2n− 1 entonces 1 + 3+ 5+ · · ·+ 2n− 1 = n2, paran ∈ Z+.

Teorema:

Si a y r son números reales con r = 0, entonces:

n∑i=0

a · ri =

a · (n+ 1) si r = 1

a · rn+1 − a

r − 1si r = 1

Demostración:

Se debe demostrar cada uno de los dos casos del teorema de forma independiente, si losdos casos se cumplen entonces queda demostrada la validez del teorema

Caso donde r = 1

n∑i=0

a · 1i =n∑

i=0

a · 1 =n∑

i=0

a = a+ a+ a+ a+ · · ·+ a︸︷︷︸n+1 veces

= a · (n+ 1).

Queda demostrado el caso.


Caso donde r = 1

Sea S = a + a · r + a · r2 + a · r3 + · · · + a · rn, al multiplicar a amboslados de la igualdad por −r se sigue conservando la igualdad, donde se obtiene:−S · r = −a · r − a · r2 − a · r3 − a · r4 − · · · − a · rn+1, al sumar ambasigualdades se tiene:

S = a + a · r + a · r2 + a · r3 + · · · + a · rn− S · r = − a · r − a · r2 − a · r3 − · · · − a · rn − a · rn+1

S − S · r = a − a · rn+1

S · (1− r) = a − a · rn+1

S =a − a · rn+1

1− r

S =−1

−1· a − a · rn+1

1− r

S =−a + a · rn+1

−1 + r

S =a · rn+1 − a

r − 1

Como S es igual a a + a · r + a · r2 + a · r3 + · · · + a · rn entonces

a + a · r + a · r2 + a · r3 + · · · + a · rn =a · rn+1 − a

r − 1, para n ∈ Z+.

Queda demostrado el caso.

Como se cumplen todos los casos del teorema entonces queda demostrada la validez delteorema de la suma de términos de la serie o progresión geométrica.

Ejemplo 21:

Obtener una fórmula que sea la solución de la siguiente suma de términos:n∑

i=1

i · 2i = 1 · 21 + 2 · 22 + 3 · 23 + 4 · 24 + · · ·+ n · 2n, para n ∈ Z+.

Los términos que se están sumando no pertenecen originalmente a una serie geométrica,pero se puede hacer un manejo de los términos para que la solución de la sumatoria detérminos de la serie geométrica pueda ser utilizada. El manejo es el siguiente:

n∑i=1

i · 2i = 1 · 21 + 2 · 22 + 3 · 23 + 4 · 24 + · · ·+ n · 2n

2.4. SUMATORIAS 61

= (21) + (22 + 22) + (23 + 23 + 23) + · · ·+ (2n + 2n + 2n + · · ·+ 2n︸︷︷︸n veces

)

= (21 + 22 + 23 + · · ·+ 2n) + (22 + 23 + · · ·+ 2n) + · · ·+ (2n)

=n∑

i=1

2i +n∑

i=2

2i +n∑

i=3

2i + · · ·+n∑

i=n

2i

=

(n∑

i=0

2i −0∑

i=0

2i)

+

(n∑

i=0

2i −1∑

i=0

2i)

+ · · ·+(

n∑i=0

2i −n−1∑i=0

2i)

= nn∑

i=0

2i −(

0∑i=0

2i +1∑

i=0

2i + · · ·+n−1∑i=0

2i)

= n · (2n+1 − 1) −((21 − 1) + (22 − 1) + (23 − 1) + · · ·+ (2n − 1)

)= n · (2n+1 − 1) −

((21 + 22 + 23 + · · ·+ 2n) − n

)= n · (2n+1 − 1) −

(− n + (21 + 22 + 23 + · · ·+ 2n)

)= n · (2n+1 − 1) −

(− n +

(n∑

i=1

2i))

= n · (2n+1 − 1) −(− n +

(n∑

i=0

2i −0∑

i=0

2i))

= n · (2n+1 − 1) −(− n +

((2n+1 − 1) − 1

))= n · (2n+1 − 1) − (−n + 2n+1 − 2)

= n · 2n+1 − n + n − 2n+1 + 2

= n · 2n+1 − 2n+1 + 2

= (n− 1) · 2n+1 + 2

Por lo tanton∑

i=1

i · 2i = (n− 1) · 2n+1 + 2.

2.4.1. Fórmulas de sumatorias útiles:

Las siguientes son algunas de las sumatorias más importantes (o más utilizadas) enMatemáticas Computacionales junto con su solución. Esta información será de granimportancia en el Capítulo 4 de Relaciones de Recurrencia, cuando se trabaje en lasección 4.1 el Método de Iteración

n∑i=1

i =n

2(n+ 1), para n ∈ Z+.

n∑i=1

i2 =n(n+ 1)(2n+ 1)

6, para n ∈ Z+.


n∑i=1

i3 =n2(n+ 1)2

4, para n ∈ Z+.

n∑i=1

i4 =n(n+ 1)(2n+ 1)(3n2 + 3n− 1)

30, para n ∈ Z+.

n∑i=0

a · ri = arn+1 − a

r − 1, donde r = 0, r = 1 y n ∈ N.

Si | r| < 1 y r = 0, entonces∞∑i=0

a · ri = a

1− r, para i ∈ N.

n∑i=1

i · 2i = (n− 1)2n+1 + 2, para n ∈ Z+.

n∑i=1

i2i= 2− n+ 2

2n, para n ∈ Z+.

2.5. Ejercicios1. Determinar el valor generado por la expresión:1,3 ∗

√√√√√2,7 ∗

(⌊√⌊√39652

⌋⌋)3

2. Probar o refutar que ⌊x⌋+ ⌊y⌋+ ⌊x+ y⌋ ≤ ⌊2x⌋+ ⌊2y⌋, x, y ∈ R

3. Producir los 17 primeros términos que se generan con las fórmulas de los siguientesitems, donde Min es una función que devuelve el mínimo de dos valores, y modes la función modulo que es equivalente al residuo de la división entera entre dosnúmeros enteros.

Explicar en palabras la forma que toma la sucesión que se genera.

a) S(0) = 1S(n) = S(n− 1) + (Min(2n mod 3, 2(n−1) mod 3)) mod 2, para n ∈ Z+.

b) S(0) = 1S(n) = S(n− 1) + (Min(2n mod 4, 2(n−1) mod 4)) mod 2, para n ∈ Z+.

c) S(0) = 1S(n) = S(n− 1) + (Min(2n mod 5, 2(n−1) mod 5)) mod 2, para n ∈ Z+.

d) S(0) = 1S(n) = S(n− 1) + (Min(3n mod 5, 3(n−1) mod 5)) mod 3, para n ∈ Z+.

4. Encontrar una fórmula para generar el n-ésimo término de cada una de las sucesiónque tienen los primeros términos:

2.5. EJERCICIOS 63

a) 2, 4, 6, 10, 16, 26, 42, . . .

b) 0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, . . .

c) 1, 2, 3, 10, 20, 30, 100, 200, 300, . . .

d) 21, 31, 22, 32, 24, 34, 28, 38, 216, 316, . . .

5. Para cada uno de los siguientes items, ¿Cuál es la fórmula que representa elresultado de la suma de términos?

a) 1 · 14+ 4 · 5

4+ 9 · 9

4+ . . .+ n2 · (n− 3

4), donde n ∈ Z+.

b) 1 · 12+ 2 · 3

2+ . . .+ n · (n− 1

2), donde n ∈ Z+.

c) 1 · 15+ 2 · 16

5+ 3 · 41

5+ . . .+ n · (n2 − 4

5), donde n ∈ Z+.

d) 32+ 14

4+ 45

8+ 124

16+ . . .+ (2n− n

2n), donde n ∈ Z+.

e) 1 + 4 + 7 + 10 + 13 + . . .+ (3n− 2), donde n ∈ Z+.

f ) 1 + 5 + 9 + 13 + 17 + . . .+ (4n− 3), donde n ∈ Z+.

g) 1(2) + 2(3) + 3(4) + 4(5) + . . .+ n(n+ 1), donde n ∈ Z+.

h) 1 · 23+ 2 · 5

3+ . . .+ n · (n− 1

3), donde n ∈ Z+.

i) 0 + 3 + 8 + . . .+ (n2 − 1), donde n ∈ Z+.

j ) 0 + 7 + 26 + . . .+ (n3 − 1), donde n ∈ Z+.

k) 12 + 32 + 52 + . . .+ (2n− 1)2, donde n ∈ Z+.

l) 32 + 42 + 52 + 62 + . . .+ (n+ 2)2?, donde n ∈ Z+.

m) 12 + 42 + 72 + 102 + . . .+ (3n− 2)2?, donde n ∈ Z+.

n) 42 + 72 + 102 + 132 + . . .+ (3n+ 1)2?, donde n ∈ Z+.

ñ) 52 + 82 + 112 + 142 + . . .+ (3n+ 2)2?, donde n ∈ Z+.

o) 53 + 83 + 113 + 143 + . . .+ (3n+ 2)3?, donde n ∈ Z+.

p) 33 + 43 + 53 + 63 + . . .+ (n+ 2)3?, donde n ∈ Z+.

q) 13 + 43 + 73 + 103 + . . .+ (3n− 2)3?, donde n ∈ Z+.

r) 43 + 73 + 103 + 133 + . . .+ (3n+ 1)3?, donde n ∈ Z+.

Capítulo 3

Técnicas de demostración

3.1. Técnica de demostración directa.

La técnica de demostración directa es tradicionalmente la más utilizada en matemáti-cas, en ésta técnica se parte de la hipótesis (H) para llegar a la conclusión (C), H → C.

Definición: El número entero n es par si existe un número entero k tal que n = 2k yn es un número entero impar si existe un número entero k tal que n = 2k + 1.

Ejemplo 1:

Utilizando la técnica de demostración directa, demostrar que si n es un número enteroimpar, entonces n2 es un número entero impar.

En la técnica de demostración directa para este ejemplo se tiene que la hipótesis es: “nes un número entero impar” y que la conclusión es: “n2 es un número entero impar”.

Para demostrar que Hipotesis → Conclusion, entonces se considera que la hipótesis esverdadera y se termina demostrando que la conclusión también es verdadera.

Si n es un número entero impar entonces, n = 2k + 1 , donde k ∈ Z. Por lo tanto setiene que:

n2 = (2k + 1)2

= 4k2 + 4k + 1

= 2(2k2 + 2k) + 1

= 2t+ 1, donde t = 2k2 + 2k y t ∈ Z

Por tanto como n2 es de la forma 2t+1 la cual es la representación de un número enteroimpar, por lo tanto, se ha demostrado de forma directa que: “si n es un número entero

65

66 CAPÍTULO 3. TÉCNICAS DE DEMOSTRACIÓN

impar, entonces n2 es un número entero impar” porque se partió de la hipótesis y sealcanzó la conclusión.

Ejemplo 2:

Demostrar que la suma de n enteros positivos consecutivos cualesquiera es divisible porn solo cuando n es un número entero impar positivo.

Sea m un número entero positivo (m ∈ Z+), m es el primer número de la secuencia den números enteros consecutivos que se van a tomar, de esta forma se tiene:

m+ (m+ 1) + (m+ 2) + · · ·+ (m+ (n− 1))︸︷︷︸n enteros positivos consecutivos

= (m+m+m+ · · ·+m)︸︷︷︸n veces

+ (0 + 1 + 2 + · · ·+ (n− 1))

= n(m) + (1 + 2 + · · ·+ (n− 1))

= n(m) +(n− 1)(n)

2

= n

[m+

n− 1

2

]= n · x, donde x = m+

n− 1

2

Ahora para que n · x sea divisible por n se necesita que x sea un número entero, estose logra siempre y cuando el número n sea un entero impar porque al restarle el unose obtiene un número par que al dividirlo por dos genera un número entero, la sumadel entero m con el entero que es el resultado de la fracción genera como resultado unnúmero entero. De esta forma queda demostrado que la suma de n enteros positivosconsecutivos cualesquiera es divisible por n solo cuando n es un número entero imparpositivo.

Definición: El número real r es número racional si existe un número entero1 p y unnúmero entero positivo2 q, tales que r =

p

q. Un número real r que no es racional es

entonces un número irracional.

Ejemplo 3:

Demostrar utilizando la técnica de demostración directa que la suma de dos númerosracionales es un número racional.

1Recordar que el conjunto de los números enteros es Z = { . . . , − 3, − 2, − 1, 0, 1, 2, 3, . . . }.2Recordar que el conjunto de los números enteros positivos es Z+ = { 1, 2, 3, 4, 5, . . . }.

3.2. TÉCNICA DE DEMOSTRACIÓN INDIRECTA 67

El enunciado: “la suma de dos números racionales es un número racional”, puede serreescrito como: “Si r y s son números racionales, entonces, la suma de r y s da comoresultado un número racional”.

En la técnica de demostración directa para este ejemplo se tiene que la hipótesis es: “r y s son números racionales”, la conclusión es: “la suma de r y s da como resultado unnúmero racional”.

Para demostrar que Hipotesis → Conclusion, entonces se considera que la hipótesis esverdadera y se termina demostrando que la conclusión también es verdadera.

Si r y s son números reales racionales entonces, r =p

qy s =

t

u, donde p, t ∈ Z y

q, u ∈ Z+. Por lo tanto se tiene que:

r + s =p

q+

t

u=

p · u + q · tq · u

=m

n

donde m = p · u + q · t, como los números enteros positivos están contenidos en losnúmeros enteros, entonces, la multiplicación de números enteros positivos y númerosenteros da como resultado un número entero, también sucede lo mismo con la suma denúmeros enteros y números enteros positivos, por este motivo m ∈ Z.

Adicionalmente, n = q ·u, como la multiplicación de números enteros positivos da comoresultado un número entero positivo, entonces n ∈ Z+.

Por tanto como r + s es de la forma m/n la cual es la representación de un númeroracional, por lo tanto, se ha logrado demostrar de forma directa que: “Si r y s sonnúmeros racionales, entonces, la suma de r y s da como resultado un número racional”,porque se a partir de la hipótesis se dedujo la conclusión.

3.2. Técnica de demostración indirectaMuchas veces al intentar una demostración directa del resultado H → C (hipótesis

entonces conclusión) se presentan dificultades o carencias de información tales, que seopta por establecer la validez del mismo demostrando la validez de una fórmula lógica-mente equivalente con H → C. En este caso se habla de una demostración indirecta.También se intenta a veces una demostración indirecta bien porque se presienten menosdificultades o bien porque las hipótesis que para el efecto se adoptan proporcionan másinformación que las que se utilizan en una demostración directa.

3.2.1. Técnica de demostración por contra-recíproca

La primer técnica de demostración indirecta es conocida con el nombre de técnicade demostración por contra-recíproca o también es conocida con el nombre de técnica


de demostración por contra-posición. Utiliza la equivalencia lógica:

(H → C) ⇐⇒ (¬C → ¬H)

y consiste en demostrar la validez de la implicación ¬C → ¬H con lo cual queda de-mostrado la validez de la implicación original H → C gracias a la equivalencia lógica.

Se explicará mucho mejor la técnica de demostración con el siguiente ejemplo:

Ejemplo 4:

Demostrar utilizando la técnica de demostración por contra-recíproca que si el productode dos números enteros es par entonces uno por lo menos de los dos números enteroses par.

La representación del resultado en la forma H → C es la siguiente:

“Si m · n es par, entonces m es par o n es par”.

La representación del resultado en la forma ¬C → ¬H es la siguiente:

“Si m es impar y n es impar, entonces m · n es impar”.

Como m y n son números enteros impares entonces tienen la representación m = 2t+1y n = 2s+ 1 para números enteros t y s, por lo tanto:

m · n = (2t+ 1) · (2s+ 1)= 4ts+ 2t+ 2s+ 1= 2(2ts+ t+ s) + 1= 2r + 1, donde r = 2ts+ t+ s

de esta forma queda demostrado que m ·n es un número entero impar. Al demostrar lavalidez de ¬C → ¬H también queda demostrada la validez de H → C, por lo tanto escierto que “si el producto de dos números enteros es par entonces uno por lo menos delos dos números enteros es par.”

Ejemplo 5:

Demostrar utilizando la técnica de demostración por contra-recíproca que si 3n + 2 esun número entero impar, entonces n es un número entero impar.


“Si 3n+ 2 es un número entero impar, entonces n es un número entero impar”.

La representación del resultado en la forma ¬C → ¬H es la siguiente:

“Si n es un número entero par, entonces 3n+ 2 es un número entero par”.


Como n es un número entero par entonces tienen la representación n = 2t para algúnnúmero entero t, por lo tanto:

3n+ 2 = 3(2t) + 2= 2(3t) + 2= 2(3t+ 1)= 2r, donde r = 3t+ 1

de esta forma queda demostrado que 3n+ 2 es un número entero par. Al demostrar lavalidez de ¬C → ¬H también queda demostrada la validez de H → C, por lo tantoes cierto que “Si 3n + 2 es un número entero impar, entonces n es un número enteroimpar”.

3.2.2. Técnica de demostración por contradicción.

La segunda técnica de demostración indirecta es conocida con el nombre de técnicade demostración por contradicción o también conocida con el nombre de técnica dedemostración por reducción al absurdo.

La técnica de demostración por contradicción sirve para ayudar a definir si unrazonamiento es válido o no (si una conclusión se obtiene a partir de un conjuntode hipótesis).

Si un razonamiento es valido es porque siempre que las hipótesis sean verdaderas laconclusión también es verdadera, de esta forma la implicación H → C nunca tomaráun valor falso y se presentará la equivalencia lógica: (H → C) ⇐⇒ Vo, donde sesigue teniendo una equivalencia lógica si se niegan ambos lados de la equivalencia,de esta forma se tiene el siguiente análisis que justifica la utilización de la técnica dedemostración:

(H → C) ⇐⇒ Vo

(H ∨ C) ⇐⇒ Fo

(H ∧ C) ⇐⇒ Fo

a partir de la equivalencia anterior está establecida la validez de la técnica de de-mostración, donde se supone la negación de la conclusión como otra hipótesis más delrazonamiento y el objetivo es llegar a una contradicción (valor Fo) como conclusión apartir del nuevo conjunto de hipótesis.

Ejemplo 6:

Demostrar utilizando la técnica de demostración por contradicción que si 3n+ 2 es unnúmero entero impar, entonces n es un número entero impar.


“Si 3n+ 2 es un número entero impar, entonces n es un número entero impar”.


La representación del resultado en la forma H ∧ ¬C es la siguiente:

“3n+ 2 es un número entero impar y n es un número entero par”.

La representación del resultado en la forma ¬C ∧H es la siguiente:

“n es un número entero par y 3n+ 2 es un número entero impar”.

Como n es un número entero par entonces tienen la representación n = 2t para algúnnúmero entero t, por lo tanto:

3n+ 2 = 3(2t) + 2= 2(3t) + 2= 2(3t+ 1)= 2r, donde r = 3t+ 1

se deduce que “3n+2 es un número entero par” lo cual se contradice con la hipótesis queafirma que “3n+ 2 es un número entero impar”, de esta forma se obtiene el valor falso(Fo). Al llegar a una contradicción con el método de demostración por contradicciónentonces queda demostrada la validez de H → C, por lo tanto es cierto que “Si 3n+ 2es un número entero impar, entonces n es un número entero impar”.

Ejemplo 7:

Determinar si el siguiente razonamiento es valido:

1. (p ∧ q) ∨ r2. r → s3. (p ∨ s) → t4. (q ∨ s) → u

∴ u → t

Ya se demostró la validez de éste razonamiento en el Capítulo 1 de Introducción a laLógica Matemática, sección 1.2 de Reglas de Inferencia, ahora se va a utilizar la técnicade demostración por contradicción para demostrar de nuevo la validez de dicho razo-namiento, para esto se tiene el nuevo conjunto de hipótesis y la nueva conclusión:

1. (p ∧ q) ∨ r

2. r → s

3. (p ∨ s) → t

4. (q ∨ s) → u

5. u → t

∴ Fo


Pasos Razones

1. (p ∨ r) ∧ (q ∨ r) Equivalencia Lógica H1

2. p ∨ r Ley de simplificación del P1

3. u ∨ t Equivalencia Lógica H5

4. u ∧ t Equivalencia Lógica P3

5. t Ley de simplificación del P4

6. r ∨ s Equivalencia Lógica H2

7. p ∨ s Ley de resolución entre P2 y P6

8. t Ley Modus Ponens entre P7 e H3

9. t ∧ t Ley de conjunción entre P5 y P8

10. Fo Equivalencia Lógica P9

Como se obtiene una contradicción (Fo) entonces queda demostrada la validez del ra-zonamiento original por medio del uso de la técnica de demostración por contradicción.

Ejemplo 8:

Determinar si el siguiente razonamiento es valido:

1. u → r2. (r ∧ s) → (p ∨ t)3. q → (u ∧ s)4. t

∴ q → p

Ya se demostró la validez de éste razonamiento en el Capítulo 1 de Introducción a laLógica Matemática, sección 1.2 de Reglas de Inferencia, ahora se va a utilizar la técnicade demostración por contradicción para demostrar de nuevo la validez de dicho razo-namiento, para esto se tiene el nuevo conjunto de hipótesis y la nueva conclusión:

1. u → r2. (r ∧ s) → (p ∨ t)3. q → (u ∧ s)4. t5. q → p

∴ Fo


Pasos Razones

1. q ∨ p Equivalenca Lógica H5

2. q ∧ p Equivalenca Lógica P1

3. q Ley de Simplificación P2

4. p Ley de Simplificación P2

5. p ∧ t Ley de Conjunción entre P4 e H4

6. p ∨ t Equivalenca Lógica P5

7. u ∧ s Ley Modus Ponens entre P3 e H3

8. r ∧ s Ley Modus Tollens entre P6 e H2

9. r ∨ s Equivalenca Lógica P8

10. u ∨ r Equivalenca Lógica H1

11. u ∨ s Ley de Resolución entre P10 y P9

12. u ∧ s Equivalenca Lógica P11

13. (u ∧ s) ∧ (u ∧ s) Ley de Conjunción entre P7 y P12

14. Fo Equivalenca Lógica P13

Como se obtiene una contradicción (Fo) entonces queda demostrada la validez del ra-zonamiento original por medio del uso de la técnica de demostración por contradicción.

3.3. Técnica de demostración por disyunción de casos

Para probar una implicación de la forma (p1 ∨ p2 ∨ p3 ∨ · · · ∨ pn) → q se utiliza lasiguiente equivalencia lógica (p1 → q)∧ (p2 → q)∧ (p3 → q)∧ · · · ∧ (pn → q), la cual seobtiene de la siguiente forma:

(p1 ∨ p2 ∨ p3 ∨ · · · ∨ pn) → q

⇐⇒ (p1 ∨ p2 ∨ p3 ∨ · · · ∨ pn) ∨ q, Equivalencia Lógica de la implicación.

⇐⇒ (p1 ∧ p2 ∧ p3 ∧ · · · ∧ pn) ∨ q, Ley de De Morgan.

⇐⇒ (p1 ∨ q) ∧ (p2 ∨ q) ∧ (p3 ∨ q) ∧ · · · ∧ (pn ∨ q), Ley Distributiva.

⇐⇒ (p1 → q) ∧ (p2 → q) ∧ (p3 → q) ∧ · · · ∧ (pn → q), Eq. Lógica de la implicación.

La equivalencia lógica evidencia que la implicación original con una hipótesis quese forma de la disyunción de las proposiciones p1, p2, p3, . . ., pn puede ser probado aldemostrar individualmente cada una de las n implicaciones pi → q, para 1 ≤ i ≤ n.La única forma para que se cumpla la implicación original es cuando se cumplen abso-lutamente todas las implicaciones p1 → q, p2 → q, p3 → q, · · · , pn → q.

3.3. TÉCNICA DE DEMOSTRACIÓN POR DISYUNCIÓN DE CASOS 73

Ejemplo 9:

Probar o refutar utilizando el método de demostración por disyunción de casos quen(n2 + 5) es divisible por 6, para n ∈ N.

Cualquier número natural n está en alguno de los siguientes seis casos, donde k ∈ N:

caso 1: n = 6k, el número n es un múltiplo de seis.

caso 2: n = 6k + 1, el número n es un múltiplo de seis más uno.

caso 3: n = 6k + 2, el número n es un múltiplo de seis más dos.

caso 4: n = 6k + 3, el número n es un múltiplo de seis más tres.

caso 5: n = 6k + 4, el número n es un múltiplo de seis más cuatro.

caso 6: n = 6k + 5, el número n es un múltiplo de seis más cinco.

Ahora se tienen que demostrar cada uno de los seis casos, para lo cual se tiene:

caso 1: n = 6k:

n(n2 + 5) = 6k((6k)2 + 5)

= 6k(36k2 + 5)

= 6(36k3 + 5k)

= 6z, donde z = 36k3 + 5k y z ∈ N.

Se cumple el caso 1, porque cualquier número que es múltiplo de 6 también esdivisible por 6.

caso 2: n = 6k + 1 :

n(n2 + 5) = (6k + 1)((6k + 1)2 + 5)

= (6k + 1)(36k2 + 12k + 1 + 5)

= (6k + 1)(36k2 + 12k + 6)

= (6k + 1) · 6 · (6k2 + 2k + 1)

= 6 · (6k + 1)(6k2 + 2k + 1)

= 6z donde z = (6k + 1)(6k2 + 2k + 1) y z ∈ N.



caso 3: n = 6k + 2:

n(n2 + 5) = (6k + 2)((6k + 2)2 + 5)

= (6k + 2)(36k2 + 24k + 4 + 5)

= (6k + 2)(36k2 + 24k + 9)

= 2 · (3k + 1) · 3 · (12k2 + 8k + 3)

= 2 · 3 · (3k + 1)(12k2 + 8k + 3)

= 6 · (3k + 1)(12k2 + 8k + 3)

= 6z, donde z = (3k + 1)(12k2 + 8k + 3) y z ∈ N.


caso 4: n = 6k + 3 :

n(n2 + 5) = (6k + 3)((6k + 3)2 + 5)

= (6k + 3)(36k2 + 36k + 9 + 5)

= (6k + 3)(36k2 + 36k + 14)

= 3 · (2k + 1) · 2 · (18k2 + 18k + 7)

= 3 · 2 · (2k + 1)(18k2 + 18k + 7)

= 6 · (2k + 1)(18k2 + 18k + 7)

= 6z, donde z = (2k + 1)(18k2 + 18k + 7) y z ∈ N.


caso 5: n = 6k + 4

n(n2 + 5) = (6k + 4)((6k + 4)2 + 5)

= (6k + 4)(36k2 + 48k + 16 + 5)

= (6k + 4)(36k2 + 48k + 21)

= 2 · (3k + 2) · 3 · (12k2 + 16k + 7)

= 2 · 3 · (3k + 2)(12k2 + 16k + 7)

= 6 · (3k + 2)(12k2 + 16k + 7)

= 6z, donde z = (3k + 2)(12k2 + 16k + 7) y z ∈ N.

Se cumple el caso 5, porque cualquier número que es múltiplo de 6 también es


divisible por 6.

caso 6: n = 6k + 5:

n(n2 + 5) = (6k + 5)((6k + 5)2 + 5)

= (6k + 5)(36k2 + 60k + 25 + 5)

= (6k + 5)(36k2 + 60k + 30)

= (6k + 5) · 6 · (6k2 + 10k + 5)

= 6 · (6k + 5)(6k2 + 10k + 5)

= 6z, donde z = (6k + 5)(6k2 + 10k + 5) y z ∈ N.


Como se cumplen todos los seis casos entonces queda demostrado utilizando la técnicade demostración por disyunción de casos que n(n2 + 5) es divisible por 6, para n ∈ N.

Ejemplo 10:

Probar o refutar que el cuadrado de todo número natural, es un múltiplo de 5, ó difierede un múltiplo de 5 en 1.

Cualquier número natural n está en alguno de los siguientes cinco casos, donde m ∈ N:

caso 1: n = 5m, el número n es un múltiplo de cinco.

caso 2: n = 5m+ 1, el número n es un múltiplo de cinco más uno.

caso 3: n = 5m+ 2, el número n es un múltiplo de cinco más dos.

caso 4: n = 5m+ 3, el número n es un múltiplo de cinco más tres.

caso 5: n = 5m+ 4, el número n es un múltiplo de cinco más cuatro.

Ahora se tienen que demostrar cada uno de los cinco casos, para lo cual se tiene:

caso 1: n = 5m:

n2 = (5m)2

= 52m2

= 5(5m2)

= 5 · z, donde z = 5m2 y z ∈ N.

Se cumple el caso 1, porque el número que se obtiene es un múltiplo de cinco.


caso 2: n = 5m+ 1:

n2 = (5m+ 1)2

= 52m2 + 2 · 5m+ 1

= 5(5m2 + 2m) + 1

= 5 · z + 1, donde z = 5m2 + 2m y z ∈ N.

Se cumple el caso 2, porque el número que se obtiene es un múltiplo de cinco másuno.

caso 3: n = 5m+ 2:

n2 = (5m+ 2)2

= 52m2 + 2 · 5 · 2m+ 4

= 52m2 + 5 · 4m+ 5− 1

= 5(5m2 + 4m+ 1)− 1

= 5z − 1, donde z = 5m2 + 4m+ 1 y z ∈ N.

Se cumple el caso 3, porque el número que se obtiene es un múltiplo de cincomenos uno.

caso 4: n = 5m+ 3:

n2 = (5m+ 3)2

= 52m2 + 2 · 5 · 3m+ 9

= 52m2 + 5 · 2 · 3m+ 10− 1

= 5(5m2 + 6m+ 2)− 1

= 5z − 1, donde z = 5m2 + 6m+ 2 y z ∈ N.

Se cumple el caso 4, porque el número que se obtiene es un múltiplo de cincomenos uno.

caso 5: n = 5m+ 4:

n2 = (5m+ 4)2

= 52m2 + 2 · 5 · 4m+ 16

= 52m2 + 5 · 2 · 4m+ 15 + 1

= 5(5m2 + 8m+ 3) + 1


= 5z + 1, donde z = 5m2 + 8m+ 3 y z ∈ N.

Se cumple el caso 5, porque el número que se obtiene es un múltiplo de cinco másuno.

Como se cumplen todos los cinco casos entonces queda demostrado utilizando la técnicade demostración por disyunción de casos que el cuadrado de todo número natural, esun múltiplo de 5, ó difiere de un múltiplo de 5 en 1.

Ejemplo 11:

Probar o refutar que n2 − 1 es divisible por 8 para los números enteros impares.

Cualquier número entero n está en alguno de los siguientes ocho casos, donde k ∈ Z:

caso 1: n = 8k, el número n es un múltiplo de ocho.

caso 2: n = 8k + 1, el número n es un múltiplo de ocho más uno.

caso 3: n = 8k + 2, el número n es un múltiplo de ocho más dos.

caso 4: n = 8k + 3, el número n es un múltiplo de ocho más tres.

caso 5: n = 8k + 4, el número n es un múltiplo de ocho más cuatro.

caso 6: n = 8k + 5, el número n es un múltiplo de ocho más cinco.

caso 7: n = 8k + 6, el número n es un múltiplo de ocho más seis.

caso 8: n = 8k + 7, el número n es un múltiplo de ocho más siete.

En el análisis sólo se consideraran los casos 2, 4, 6 y 8 porque estos son los que rep-resentan a los números enteros impares. Para la demostración de estos cuatro casos setiene:

caso 2: n = 8k + 1:

n2 − 1 = (8k + 1)2 − 1

= 64k2 + 16k + 1− 1

= 8(8k2 + 2k)

= 8z, donde z = 8k2 + 2k y z ∈ N



caso 4: n = 8k + 3:

n2 − 1 = (8k + 3)2 − 1

= 64k2 + 48k + 9− 1

= 64k2 + 48k + 8

= 8(8k2 + 6k + 1)

= 8z, donde z = 8k2 + 6k + 1 y z ∈ N


caso 6: n = 8k + 5:

n2 − 1 = (8k + 5)2 − 1

= 64k2 + 80k + 25− 1

= 64k2 + 80k + 24

= 8(8k2 + 10k + 3)

= 8z, donde z = 8k2 + 10k + 3 y z ∈ N


caso 8: n = 8k + 7:

n2 − 1 = (8k + 7)2 − 1

= 64k2 + 8(14)k + 49− 1

= 64k2 + 8(14)k + 48

= 8(8k2 + 14k + 6)

= 8z, donde z = 8k2 + 14k + 6 y z ∈ N


Como se cumplen todos los cuatro casos que representan números enteros impares,entonces queda demostrado utilizando la técnica de demostración por disyunción decasos que n2 − 1 es divisible por 8 para todo n que es un número entero impar.

3.4. Técnica de demostración por contraejemplo

La técnica de demostración por contraejemplo es utilizada para demostrar que unargumento que se intuye que no es válido realmente no es válido. La técnica de de-mostración por contraejemplo no sirve para demostrar validez, únicamente sirve para

3.4. TÉCNICA DE DEMOSTRACIÓN POR CONTRAEJEMPLO 79

demostrar falsedad, por este motivo el hecho de no encontrar un contraejemplo nogarantiza la validez del argumento, en dicho caso se debe utilizar alguna de las técnicasde demostración de éste capítulo que sirva para demostrar validez.

Ejemplo 12:

Demostrar o refutar si el siguiente razonamiento es valido:

1. p → (q → r)2. q → (p → r)

∴ (p ∨ q) → r

Para este ejemplo primero que todo se va a tratar de determinar la validez del ra-zonamiento por medio de la técnica de demostración directa al hacer uso de las doshipótesis, de equivalencias lógicas y de reglas de inferencia para llegar a la conclusión,de esta forma se tiene:

Pasos Razones

1. p ∨ (q ∨ r) Equivalencia Lógica de H1

2. q ∨ (p ∨ r) Equivalencia Lógica del P1

3. q → (p → r) Equivalencia Lógica del P2

4. (q → (p → r)) ∧ (q → (p → r)) Ley de conjunción entre P3 e H2

5. q → (p → r) Equivalencia Lógica del P4

No se llego a la conclusión, esto indica que “posiblemente” el razonamiento no es correc-to, como se intuye que el razonamiento no es válido entonces se va a buscar una asig-nación de valores de verdad para las variables proposicionales que hagan que todas lashipótesis sean verdaderas y la conclusión sea falsa, para esto se debe tener en cuentaque el razonamiento puede ser representado de forma equivalente por la expresión:

[(p → (q → r)) ∧ (q → (p → r))] → [(p ∨ q) → r]

donde si todas las hipótesis son verdaderas entonces el antecedente de la implicaciónsería verdadero y si la conclusión es falsa entonces el consecuente de la implicación seríafalso los que llevaría a que la implicación fuera falsa, o dicho de forma equivalente, loque haría que el razonamiento sea falso. En la exploración de la posible asignación devalores de verdad para las variables proposicionales que hagan que el razonamiento seafalso se tiene:


en consecuencia, la asignación de los valores p : Vo, q : Fo, r : Fo, hacen que el razona-miento sea falso, por lo tanto dicha asignación de valores son un contraejemplo de lavalidez del razonamiento.

Ejemplo 13:

¿Es posible probar que(2n

n

)= 2

(n

2

)+ n2, para n ∈ Z+ donde n ≥ 2?.

Como dato anecdótico al autor, en un examen de Matemáticas Discretas en la Maestría,se le pidió que demostrara dicho ejercicio, cuando se pide que se demuestre se sobreentiende que es cierta la fórmula, por éste motivo durante aproximadamente tres horastrato de multiples formas de demostrar la validez de dicha fórmula, pero no lo logro.Existía la posibilidad de que le hubieran pedido que demostrara algo que no se podíademostrar, por este motivo utilizó la técnica de demostración por contraejemplo parademostrar que la fórmula era falsa, lo que se hizo fue evaluar la fórmula a partir denúmeros enteros positivos mayores o iguales a dos para ver si se cumple o no, para estose tiene:

Evaluación de la fórmula en n = 2:(2(2)

2

)= 2

(2

2

)+ 22(

4

2

)= 2

(2

2

)+ 22

4!

(4− 2)! · 2!= 2

[2!

(2− 2)! · 2!

]+ 4

3.4. TÉCNICA DE DEMOSTRACIÓN POR CONTRAEJEMPLO 81

4!

2! · 2!= 2

[2!

0! · 2!

]+ 4

4 · 3 · 2!2! · 2!

= 2

[2!

0! · 2!

]+ 4

4 · 32!

= 2

[1

0!

]+ 4

4 · 32

= 2

[1

1

]+ 4

6 = 2 + 4

6 = 6

La fórmula se cumple para n = 2

Evaluación de la fórmula en n = 3:(2(3)

3

)= 2

(3

2

)+ 32(

6

3

)= 2

(3

2

)+ 32

6!

(6− 3)! · 3!= 2

[3!

(3− 2)! · 2!

]+ 9

6!

3! · 3!= 2

[3!

1! · 2!

]+ 9

6 · 5 · 4 · 3!3! · 3!

= 2

[3 · 2!1! · 2!

]+ 9

6 · 5 · 43!

= 2

[3

1!

]+ 9

6 · 5 · 46

= 2

[3

1

]+ 9

5 · 41

= 2[3]+ 9

20 = 6 + 9

20 = 15

La fórmula no se cumple para n = 3.

Como se encontrón un valor de n para el cual no se cumple la fórmula, entonces quedademostrado por contra ejemplo que la fórmula es falsa.


3.5. Técnica de demostración por inducción matemáti-ca

La técnica de demostración por inducción matemática es utilizada para probarproposiciones de la forma ∀np(n), donde el universo del discurso es el conjunto delos números naturales (N).

Una demostración por la técnica de inducción matemática consiste de tres pasos:

Paso base:

se demuestra la validez de la proposición p evaluada en el caso base, donde dichocaso base puede ser un cero o un uno dependiendo del punto de partida o condicióninicial del problema que se está demostrando.

Paso inductivo (o hipótesis de inducción):

se asume que es verdadera la proposición p evaluada en un número natural k.

Paso post-inductivo:

apoyados en la suposición de validez de la proposición p(k) se demuestra la validezde la proposición p(k + 1), es decir, p(k) → p(k + 1).

Cuando se cumplen los tres casos de la técnica por inducción matemática, entonces seha demostrado que la proposición p(n) es verdadero para todo número natural n, esdecir, se ha demostrado que ∀np(n) es verdadero.

Ejemplo 14:

Probar o refutar utilizando la técnica de demostración por inducción matemática que:

n∑i=1

i = 1 + 2 + 3 + . . .+ n =n(n+ 1)

2, para n ∈ Z+

Para el desarrollo de la demostración considere que se tiene la proposición

p(n) =n∑

i=1

i = 1 + 2 + 3 + . . .+ n =n(n+ 1)

2, donde n ∈ Z+

Recordar que una proposición sólo puede tomar de forma precisa el valor verdadero(Vo) o el valor falso (Fo), nada más. Ahora se consideran los tres pasos de la técnicapor inducción matemática:

3.5. TÉCNICA DE DEMOSTRACIÓN POR INDUCCIÓN MATEMÁTICA 83

Paso base n = 1:

p(1) =1∑

i=1

i = 1︸︷︷︸resultado a partir de la sumatoria de terminos

=1(1 + 1)

2= 1︸︷︷︸

resultado a partir de la formula

como se obtiene el mismo resultado en la sumatoria de términos y en la fórmulaque es la solución de la sumatoria entonces la proposición p(1) es verdadera y lademostración continua en el paso inductivo.

Paso inductivo n = k:

p(k) =k∑

i=1

i = 1 + 2 + 3 + . . . + k =k(k + 1)

2, se asume que la proposición p(k)

es verdadera, esto quiere decir, que se asume que se cumple la siguiente igualdad

1 + 2 + 3 + . . .+ k =k(k + 1)

2.

Paso post-inductivo n = k+ 1:

p(k + 1) =k+1∑i=1

i = 1 + 2 + 3 + . . .+ k︸︷︷︸+(k + 1) =(k + 1)(k + 2)

2Se reemplaza por su equivalente

en el paso inductivo

k(k + 1)

2+ (k + 1) =

(k + 1)(k + 2)

2

(k + 1)[k2+ 1]=

(k + 1)(k + 2)

2

(k + 1)[k + 2

2

]=

(k + 1)(k + 2)

2

(k + 1)(k + 2)

2=

(k + 1)(k + 2)

2

Se cumple la igualdad, por lo tanto la proposición p(k + 1) es verdadera, comose cumplen los tres pasos de técnica de demostración por inducción matemáticaentonces queda demostrada la validez de la solución de la sumatoria originalmenteplanteada.

Ejemplo 15:

Probar o refutar utilizando la técnica de demostración por inducción matemática que:

n∑i=1

i2 = 12 + 22 + 32 + . . .+ n2 =n(n+ 1)(2n+ 1)

6, para n ∈ Z+


Para el desarrollo de la demostración considerar que se tiene la proposición

p(n) =n∑

i=1

i2 = 12 + 22 + 32 + . . .+ n2 =n(n+ 1)(2n+ 1)

6, donde n ∈ Z+

La proposición p(n) tomará el valor verdadero (Vo) o falso (Fo) dependiendo de si se

cumple o no la igualdadn∑

i=1

i2 =n(n+ 1)(2n+ 1)

6. Ahora se consideran los tres pasos

de la técnica por inducción matemática:

Paso base n = 1:

p(1) =1∑

i=1

i2 = 12 = 1︸︷︷︸resultado a partir de la sumatoria de terminos

=1(1 + 1)(2(1) + 1)

6=

1(2)(3)

6= 1︸︷︷︸




p(k) =k∑

i=1

i2 = 12+22+32+ . . .+k2 =k(k + 1)(2k + 1)

6, se asume que la proposi-

ción p(k) es verdadera, esto quiere decir, que se asume que se cumple la siguiente

igualdad 12 + 22 + 32 + . . .+ k2 =k(k + 1)(2k + 1)

6.


p(k+1) =k+1∑i=1

i2 = 12 + 22 + 32 + . . .+ k2︸︷︷︸+(k+1)2 =(k + 1)(k + 1 + 1)(2(k + 1) + 1)

6Se reemplaza por su equivalente


k(k + 1)(2k + 1)

6+(k+1)2 =

(k + 1)(k + 2)(2k + 2 + 1)

6

(k + 1)

[k(2k + 1)

6+ (k + 1)

]=

(k + 1)(k + 2)(2k + 3)

6

(k + 1)

[k(2k + 1) + 6(k + 1)

6

]=

(k + 1)(k + 2)(2k + 3)

6

(k + 1)

[2k2 + k + 6k + 6

6

]=

(k + 1)(k + 2)(2k + 3)

6

(k + 1)

[2k2 + 7k + 6

6

]=

(k + 1)(k + 2)(2k + 3)

6


hace falta averiguar a que es igual la ecuación cuadrática 2k2 + 7k + 6 = 0, paraesto se debe recordar primero la fórmula general para este fin, la cual es:

k =−b ±

√b2 − 4ac

2a

en la ecuación cuadrática que estamos trabajando se tiene que a = 2, b = 7 yc = 6, al reemplazar en la fórmula se tiene:

k =−7 ±

√72 − (4)(2)(6)

2 · 2=

−7 ±√49 − 48

4=

−7 ±√1

4=

−7 ± 1

4

de donde se obtienen las raíces reales distintas

k =−7 − 1

4= − 8

4= −2, k = −2, k + 2 = 0

k =−7 + 1

4= − 6

4= − 3

2, k = − 3

2, 2k + 3 = 0

a partir de las soluciones de la ecuación cuadrática se tiene que

2k2 + 7k + 6 = (k + 2)(2k + 3)

ahora continuando con la demostración del paso post-inductivo se tiene:

(k + 1)

[(k + 2)(2k + 3)

6

]=

(k + 1)(k + 2)(2k + 3)

6

(k + 1)(k + 2)(2k + 3)

6=

(k + 1)(k + 2)(2k + 3)

6


Ejemplo 16:

Demostrar utilizando la técnica de inducción matemática que:

n∑i=1

i3 = 13 + 23 + 33 + . . .+ n3 =

(n(n+ 1)

2

)2

, para n ∈ Z+


p(n) =n∑

i=1

i3 = 13 + 23 + 33 + . . .+ n3 =

(n(n+ 1)

2

)2

, para n ∈ Z+


la proposición p(n) tomará el valor verdadero (Vo) o falso (Fo) dependiendo de si se


i=1

i3 =

(n(n+ 1)

2

)2

. Ahora se consideran los tres pasos de la

técnica por inducción matemática:

Paso base n = 1:

p(1) =1∑

i=1

i3 = 13 = 1︸︷︷︸resultado a partir de la sumatoria de terminos

=

(1(1 + 1)

2

)2

=

(1(2)

2

)2

= 12 = 1︸︷︷︸resultado a partir de la formula



p(k) =k∑

i=1

i3 = 13 + 23 + 33 + . . . + k3 =

(k(k + 1)

2

)2

, se asume que la proposi-

ción p(k) es verdadera, esto quiere decir, que se asume que se cumple la siguiente

igualdad 13 + 23 + 33 + . . .+ k3 =

(k(k + 1)

2

)2

.


p(k + 1) =k+1∑i=1

i3 = 13 + 23 + 33 + . . .+ k3︸︷︷︸+(k + 1)3 =

((k + 1)(k + 1 + 1)

2

)2

Se reemplaza por su equivalente

en el paso inductivo(k(k + 1)

2

)2

+ (k + 1)3 =

((k + 1)(k + 2)

2

)2

k2(k + 1)2

4+ (k + 1)3 =

((k + 1)(k + 2)

2

)2

(k + 1)2[k2

4+

4(k + 1)

4

]=

((k + 1)(k + 2)

2

)2

(k + 1)2[k2 + 4k + 4

4

]=

((k + 1)(k + 2)

2

)2

(k + 1)2[(k + 2)2

22

]=

((k + 1)(k + 2)

2

)2

(k + 1)2(k + 2)2

22=

((k + 1)(k + 2)

2

)2

3.5. TÉCNICA DE DEMOSTRACIÓN POR INDUCCIÓN MATEMÁTICA 87((k + 1)(k + 2)

2

)2

=

((k + 1)(k + 2)

2

)2


Ejemplo 17:

Demostrar utilizando la técnica de inducción matemática que:

n∑i=1

i

2i=

1

21+

2

22+

3

23+ . . .+

n

2n= 2− n+ 2

2n, para n ∈ Z+


p(n) =n∑

i=1

i

2i=

1

21+

2

22+

3

23+ . . .+

n

2n= 2− n+ 2

2n, para n ∈ Z+



i=1

i2i

= 2 − n+22n



Paso base n = 1:

p(1) =1∑

i=1

i

2i=

1

21=

1

2︸︷︷︸resultado a partir de la sumatoria de terminos

= 2− 1 + 2

21= 2− 3

2=

4 − 3

2=

1

2︸︷︷︸resultado a partir de la formula



p(k) =k∑

i=1

i2i= 1

21+ 2

22+ 3

23+ . . .+ k

2k= 2− k+2

2k, se asume que la proposición p(k)

es verdadera, esto quiere decir, que se supone que se cumple la siguiente igualdad121

+ 222

+ 323

+ . . .+ k2k

= 2− k+22k

.



p(k + 1) =k+1∑i=1

i

2i=

1

2+

2

22+

3

23+ . . .+

k

2k︸︷︷︸ +k + 1

2k+1= 2− k + 1 + 2

2k+1



2− k + 2

2k+

k + 1

2k+1= 2− k + 3

2k+1

2−(k + 2

2k· 22

)+

k + 1

2k+1= 2− k + 3

2k+1

2− 2k + 4

2k+1+

k + 1

2k+1= 2− k + 3

2k+1

2−[2k + 4

2k+1− k + 1

2k+1

]= 2− k + 3

2k+1

2−[2k + 4 − (k + 1)

2k+1

]= 2− k + 3

2k+1

2−[2k + 4 − k − 1)

2k+1

]= 2− k + 3

2k+1

2−[k + 3

2k+1

]= 2− k + 3

2k+1

2− k + 3

2k+1= 2− k + 3

2k+1


Ejemplo 18:

Demostrar por la técnica de inducción matemática que:

n∑i=1

2

i(i+ 1)=

2

1(2)+

2

2(3)+

2

3(4)+ . . . +

2

n(n+ 1)= 2− 2

n+ 1, para n ∈ Z+


p(n) =n∑

i=1

2

i(i+ 1)=

2

1(2)+

2

2(3)+

2

3(4)+ . . .+

2

n(n+ 1)= 2− 2

n+ 1




i=1

2i(i+1)

= 2 − 2n+1



Paso base n = 1:

p(1) =1∑

i=1

2

i(i+ 1)=

2

1(2)= 1︸︷︷︸

resultado a partir de la sumatoria de terminos

= 2− 2

1 + 1= 2− 2

2= 2− 1 = 1︸︷︷︸




p(k) =k∑

i=1

2i(i+1)

= 21(2)

+ 22(3)

+ 23(4)

+ . . . + 2k(k+1)

= 2 − 2k+1

, se asume que la

proposición p(k) es verdadera, esto quiere decir, que se supone que se cumple lasiguiente igualdad 2

1(2)+ 2

2(3)+ 2

3(4)+ . . .+ 2

k(k+1)= 2− 2

k+1.


p(k+1) =k+1∑i=1

2

i(i+ 1)=

2

1(2)+ . . . +

2

k(k + 1)︸︷︷︸+2

(k + 1)(k + 2)= 2− 2

k + 1 + 1



2 − 2

k + 1+

2

(k + 1)(k + 2)= 2− 2

k + 2

2 − 2

k + 1

(1− 1

k + 2

)= 2− 2

k + 2

2 − 2

k + 1

(k + 2− 1

k + 2

)= 2− 2

k + 2

2 − 2

k + 1

(k + 1

k + 2

)= 2− 2

k + 2

2− 2

k + 2= 2− 2

k + 2



Ejemplo 19:

Demostrar por la técnica de inducción matemática que 7n − 2n es múltiplo de 5, paran ∈ N.

Para el desarrollo de la demostración considerar que se tiene la proposición p(n) =7n − 2n = 5 · p, para p ∈ N. La proposición p(n) tomará el valor verdadero (Vo) o falso(Fo) dependiendo de si se cumple o no que 7n−2n es múltiplo de 5. Ahora se consideranlos tres pasos de la técnica por inducción matemática:

Paso base n = 0:

p(0) = 70 − 20 = 1− 1 = 0 = 5(0)

la proposición p(0) es verdadera porque al evaluar 70 − 20 se obtiene como resul-tado el número 0 el cual es múltiplo de 5.


p(k) = 7k − 2k = 5 · m, para m ∈ Z+. Se asume que la proposición p(k) esverdadera, esto quiere decir, que 7k − 2k da como resultado un número enteromúltiplo de 5.


p(k + 1) = 7k+1 − 2k+1 = 5 · r

7 · 7k − 2 · 2k = 5 · r

(5 + 2) · 7k − 2 · 2k = 5 · r

5 · 7k + 2 · 7k − 2 · 2k = 5 · r

5 · 7k + 2 · (7k − 2k)︸︷︷︸ = 5 · r

Se reemplaza por

su equivalente en

el paso inductivo

5 · 7k + 2 · (5m) = 5 · r

5 · (7k + 2m) = 5 · r

5 · r = 5 · r, donde r = 7k + 2m

Se cumple la igualdad, por lo tanto la proposición p(k+1) es verdadera, como secumplen los tres pasos de la técnica de demostración por inducción matemáticaentonces queda demostrada la validez de que cuando se evalúa la expresión 7n−2n

para n ∈ N se obtiene como resultado un número natural que es múltiplo de 5.


Ejemplo 20:

Demostrar utilizando la técnica de inducción matemática que:(n

0

)+

(n

1

)+

(n

2

)+ · · ·+

(n

n− 1

)+

(n

n

)= 2n, donde n ∈ N

Esta demostración es importante hacerla porque será utilizada en el Capítulo de Con-juntos, cuando se trabaje la cardinalidad del conjunto potencia de un conjunto A.

Para la demostración primero se debe recordar el Triángulo de Pascal, el cual es:

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1...

......

En el Triángulo de Pascal se evidencian las siguientes reglas de generación:

Únicamente el número uno está en la cúspide y en los lados del triángulo.

Los números internos del triángulo se obtienen al sumar los dos números máscercanos a este en el nivel inmediatamente superior.

El Triángulo de Pascal también se puede generar utilizando el combinatorio de lasiguiente forma: (

00

)(10

) (11

)(20

) (21

) (22

)(30

) (31

) (32

) (33

)(40

) (41

) (42

) (43

) (44

)(50

) (51

) (52

) (53

) (54

) (55

)(60

) (61

) (62

) (63

) (64

) (65

) (66

)...

......


Al “cruzar” las dos formas de generar el Triángulo de Pascal se obtiene la siguientedefinición recursiva que sirve para calcular n combinado r, donde n, r ∈ N:

(n

r

)=

1 si r = 0

1 si n = r(n− 1

r − 1

)+

(n− 1

r

)si n > r ≥ 1


p(n) =n∑

i=0

(n

i

)=

(n

0

)+

(n

1

)+

(n

2

)+ · · ·+

(n

n− 1

)+

(n

n

)= 2n, para n ∈ N



i=0

(n

i

)= 2n. Ahora se consideran los tres pasos de la técnica

por inducción matemática:

Paso base n = 0:

p(0) =0∑

i=0

(0

i

)=

(0

0

)=

0!

0! · 0!=

1

1 · 1= 1︸︷︷︸

resultado a partir de la sumatoria de terminos

= 20 = 1︸︷︷︸resultado a partir de la formula



p(k) =k∑

i=0

(k

i

)=

(k

0

)+

(k

1

)+

(k

2

)+ · · ·+

(k

k − 1

)+

(k

k

)= 2k,

se asume que la proposición p(k) es verdadera, esto quiere decir, que se suponeque se cumple la siguiente igualdad:(k

0

)+

(k

1

)+

(k

2

)+ · · ·+

(k

k − 1

)+

(k

k

)= 2k.


p(k+1) =k+1∑i=0

(k + 1

i

)=

(k + 1

0

)+

(k + 1

1

)+ · · ·+

(k + 1

k

)+

(k + 1

k + 1

)= 2k+1


Apoyados en la definición recursiva se tiene que:(k + 1

0

)=

(k

0

)= 1(

k + 1

1

)=

(k

0

)+

(k

1

)(k + 1

2

)=

(k

1

)+

(k

2

)(k + 1

3

)=

(k

2

)+

(k

3

)...(

k + 1

k

)=

(k

k − 1

)+

(k

k

)(k + 1

k + 1

)=

(k

k

)= 1

de esta forma se tiene que:

(k

0

)︸︷︷︸(k+1

0 )

+

[(k

0

)+

(k

1

)︸︷︷︸

(k+11 )

]+

[(k

1

)+

(k

2

)︸︷︷︸

(k+12 )

]+· · ·+

[(k

k − 1

)+

(k

k

)︸︷︷︸

(k+1k )

]+

(k

k

)︸︷︷︸(k+1k+1)

= 2k+1

[(k

0

)+

(k

0

)]+

[(k

1

)+

(k

1

)]+

[(k

2

)+

(k

2

)]+ · · ·+

[(k

k

)+

(k

k

)]= 2k+1

2

(k

0

)+ 2

(k

1

)+ 2

(k

2

)+ · · ·+ 2

(k

k

)= 2k+1

2

[(k

0

)+

(k

1

)+

(k

2

)+ · · ·+

(k

k

)︸︷︷︸

]= 2k+1



2[2k]= 2k+1

2k+1 = 2k+1



3.6. Ejercicios1. Probar o refutar cada uno de los siguientes ítems utilizando alguno de los métodos

de demostración:

a) La suma de dos números enteros pares es un entero par.

b) La suma de dos números enteros impares es un entero par.

c) La suma de un número entero impar con un número entero par es un númeroentero impar.

d) Si el producto de dos números enteros es par, entonces alguno de los dosnúmeros que se esta multiplicando es par.

e) Si el producto de dos números enteros es impar, entonces los dos númerosque se esta multiplicando son impares.

f ) El cuadrado de todo número entero es un número entero no negativo.

g) Si el cuadrado de n no es divisible por 2 entonces n no es divisible por 2.

h) Si un número entero es divisible por 4 entonces es divisible por 2.

i) Si n es un entero positivo, entonces n es par si y únicamente si 7n+4 es par.

j ) La suma de cualquier número entero n con n2 es par.

k) Si n es un número entero y n3 + 1 es impar, entonces n es par.

l) Si n es un número entero y n3 + 5 es par, entonces n es impar.

m) Si n es un número entero y 3n+ 2 es par, entonces n es par.

n)(n

r

)+ 2

(n

r − 1

)+

(n

r − 2

)=

(n+ 2

r

), para n ≥ r ≥ 2

ñ)(n

0

)+

(n+ 1

1

)+

(n+ 2

2

)+ · · ·+

(n+ r − 1

r − 1

)+

(n+ r

r

)=

(n+ r + 1

r

)donde n, r son números enteros positivos.

o) pp ∨ qq → (r → s) t → r

∴ ¬s → ¬tp) p → q

q → sr → ¬s¬p⊗ r

∴ ¬pq) La suma de 4 enteros positivos consecutivos cualquiera es divisible por 4.

r) La suma de 5 enteros positivos consecutivos cualquiera es divisible por 9.

3.6. EJERCICIOS 95

2. Probar o refutar cada uno de los siguientes ítems utilizando el método de de-mostración por casos:

a) El producto de cualesquiera 3 enteros positivos consecutivos es divisible por6.

b) El producto de cualesquiera 4 enteros positivos consecutivos es divisible por12.

c) La diferencia entre los cuadrados de dos números enteros impares es divisiblepor 8. La demostración se tiene que cumplir para cualquier pareja de númerosenteros impares.

d) n(n2 + 5) es divisible por 3, para n ∈ Z+, n ≥ 1

e) El cuadrado de cualquier número entero positivo finaliza con un 0, 1, 4, 5, 6o 9. (Ayuda: Sea n = 10k + j donde j = 0, 1, ..., 9). Probar si es necesariocada uno de los diez casos y concluir.

f ) El cubo de cualquier número entero positivo finaliza con un 0, 1, 2, 4, 5, 6, 7u 8. (Ayuda: Sea n = 10k + j donde j = 0, 1, ..., 9). Probar si es necesariocada uno de los diez casos y concluir.

g) El cuadrado de todo número entero, es un múltiplo de 3, ó difiere de unmúltiplo de 3 en 1.

h) El cuadrado de todo número entero, es un múltiplo de 4, ó difiere de unmúltiplo de 4 en 1.

3. Probar o refutar cada uno de los siguientes ítems utilizando el método de de-mostración por Inducción Matemática:

a) 1(2) + 2(3) + 3(4) + 4(5) + . . .+ n(n+ 1) = n(n+1)(n+2)3

, para n ∈ Z+, n ≥ 1.

b) 0 + 3 + 8 + . . .+ (n2 − 1) = n(2n+5)(n−1)6

, para n ∈ Z+, n ≥ 1.

c) 0 + 7 + 26 + . . .+ (n3 − 1) = n(n(n+1)2− 4)4

, para n ∈ Z+, n ≥ 1.

d) 1 · 23+ 2 · 5

3+ . . .+ n · (n− 1

3) = n2(n+1)

3, para n ∈ Z+, n ≥ 1.

e) 3 + 6 + 20 + . . .+ (n(n!) + 2) = (n+ 1)! + 2n− 1, para n ∈ Z+, n ≥ 1.

f ) 12 + 32 + 52 + . . .+ (2n− 1)2 = n(2n−1)(2n+1)3

, para n ∈ Z+, n ≥ 1.

g) 1 · 21 + 2 · 22 + 3 · 23 + 4 · 24 + . . . + n · 2n = 2n+1(n − 1) + 2, paran ∈ Z+, n ≥ 1.

h) 31(3)

+ 33(5)

+ 35(7)

+ 37(9)

+ . . .+ 3(2n−1)(2n+1)

= 3n2n+1

, para n ∈ Z+, n ≥ 1.

i) 11(2)

+ 12(3)

+ 13(4)

+ 14(5)

+ . . .+ 1n(n+1)

= nn+1

, para n ∈ Z+, n ≥ 1.

j ) 14 + 24 + 34 + 44 + . . .+ n4 = n(n+1)(2n+1)(3n2+3n−1)30

, para n ∈ Z+, n ≥ 1.


k) 1 + 12+ 1

4+ . . .+ 1

2n< 2, para n ≥ 0.

Ayuda:Probar que 1 + 1

2+ 1

4+ . . . + 1

2n= 2 − 1

2n, para n ≥ 0, con lo cual se sigue

que: 1 + 12+ 1

4+ . . .+ 1

2n< 2, para n ≥ 0.

l) 11n − 6 es divisible por 5, para n ∈ Z+, n ≥ 1.

m) 32n + 7 es divisible por 8, para n ∈ Z+, n ≥ 1.

n) n3 − n es divisible por 3, para n ∈ Z+, n ≥ 1.

Capítulo 4

Relaciones de recurrencia

A menudo es posible encontrar relaciones entre los elementos de una sucesión. Estasrelaciones se llaman relaciones de recurrencia.

Una relación de recurrencia para una sucesión ao, a1, a2, . . ., an es una ecuación querelaciona an con alguno (o algunos) de sus antecesores ao, a1, a2, . . ., an−1 y la suma omultiplicación de alguna cantidad.

Ejemplo 1:

En el ejemplo 9 del Capítulo 2 de Sucesiones y Sumatorias se pide que se genere unafórmula para calcular el n-ésimo término de la sucesión que tiene los primeros 10 tér-minos siguientes: 3, 9, 15, 21, 27, 33, 39, 45, 51 y 57. La fórmula que se obtuvoen este ejemplo es:

S1 = 3Sn = Sn−1 + 6, para n ≥ 2, n ∈ Z+

esta fórmula es una relación de recurrencia, con la cual se indica que el término ubicadoen la posición n de la sucesión se obtiene al relacionar el término que se encuentra enla sucesión en la posición n− 1 con la suma del número 6.

¿Cuántos llamados recursivos son necesarios en la fórmula anterior para calcular elelemento que se encuentra en la posición un millón de la sucesión?

Son necesarios un millón de llamados recursivos, y en cada llamado recursivo a excep-ción del caso base, es realizada una suma. La fórmula recursiva o relación de recurrenciaanterior, es correcta para calcular el n-ésimo término de la sucesión, pero, tiene un cos-to computacional muy alto; por este motivo es fundamental determinar fórmulas sinrecursividad para generar el n-ésimo término de la sucesión. La solución de relacionesde recurrencia permite generar a partir de la relación de recurrencia una fórmula sinrecursividad, que permite generar el mismo valor n-ésimo de la sucesión.

97

98 CAPÍTULO 4. RELACIONES DE RECURRENCIA

La fórmula Sn = 3 + 6 ∗ (n − 1), para n ∈ Z+, es la solución de la relación derecurrencia, y para calcular el elemento ubicado en la posición n de la sucesión, sólonecesita realizar tres operaciones (una resta, una multiplicación y una suma) indepen-dientemente del valor de n.

En los ejercicios de la siguiente sección se presentan las relaciones de recurrenciaque permiten generar de forma recursiva el n-ésimo término de una sucesión y se pideque utilizando el método de iteración se obtenga una fórmula que permita generar elmismo n-ésimo término de la sucesión sin necesidad de consultar términos previos enla sucesión, para de ésta forma evitar el costo computacional de la recursividad.

4.1. Método de Iteración

En la serie de ejercicios de esta sección se utilizará el Método de Iteración para re-solver las relaciones de recurrencia de primer orden no homogéneas, el método consisteen comenzar en el caso base de la relación de recurrencia y utilizarlo para definir sinrecursividad el caso que sigue después del caso base, y así sucesivamente se itera tantasveces como sea necesario, hasta lograr determinar cuál es la sumatoria o sumatorias“ocultas” que sirven para solucionar la relación de recurrencia sin utilizar recursividad.

Después de tener la sumatoria o sumatorias para la relación de recurrencia evaluadaen un valor n, estas (o esta) son resueltas y de esta forma se obtiene la solución de larelación de recurrencia.

Por último el método de demostración por inducción matemática puede ser utilizadopara ratificar o refutar que la solución de la relación de recurrencia es correcta.

Ejemplo 2:

Resolver la siguiente relación de recurrencia:

P (1) = 1

P (n) = P (n− 1) + n, para n > 1

Utilizando el método de iteración se tiene:

P (1) = 1

P (2) = P (1) + 2 = 1 + 2no dar el resultado de 1 + 2 sino dejar indicada la suma de términos para no desa-parecer la sumatoria.

4.1. MÉTODO DE ITERACIÓN 99

P (3) = P (2) + 3 = 1 + 2 + 3

P (4) = P (3) + 4 = 1 + 2 + 3 + 4

P (5) = P (4) + 5 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5

Se itera tantas como se considere necesario hasta que se identifique cual es la suma-toria oculta. En estos momentos debe ser evidente que:

P (n) = 1 + 2 + 3 + 4 + . . .+ n

de esta forma se detecta que la sumatoria oculta que resuelve la relación de recurrenciasin recursividad es

∑ni=1 i = 1 + 2 + . . .+ n

la cual tiene solución n(n + 1)2

. Por lo tanto P (n) =∑n

i=1 i =n(n + 1)

2. De esta forma la

solución de la relación de recurrencia es P (n) = n(n+1)2

para n ≥ 1

Ahora se va a utilizar el método de demostración por inducción matemática pararatificar que la solución obtenida de la relación de recurrencia es correcta.

Caso base n = 1

n toma el valor de 1 porque este es el valor con el cuál termina la recursividad enla relación de recurrencia, o dicho en otras palabras, para n=1, esta definido elcaso base de la relación de recurrencia.

P (1) = 1︸︷︷︸Caso base de la R.R.

=1(2)

2= 1︸︷︷︸

Solucion de la relacion de recurrencia evaluada en 1

Como se cumple la igualdad entre el caso base de la relación de recurrencia y lasolución de la relación de recurrencia evaluada en n = 1, entonces la demostracióncontinua en el caso inductivo.

Caso inductivo n=k:

Se asume como cierta la solución de la relación de recurrencia evaluada en k,donde k ∈ Z+ para k > 1

P (k) =k(k + 1)

2

Caso post-inductivo n = k + 1:

en este caso se recuerda el paso recursivo de la relación de recurrencia donde


P (n) = P (n− 1) + n, reemplazando n por k + 1 se tiene:

P (k + 1) = P (k + 1− 1) + k + 1

P (k + 1) = P (k) + (k + 1)

donde P (k + 1) y P (k) se reemplazan por su equivalente en el caso inductivoevaluado en k + 1 y k respectivamente

(k + 1)(k + 1 + 1)

2=

k(k + 1)

2+ (k + 1)

(k + 1)(k + 2)

2= (k + 1)

[k

2+ 1

]= (k + 1)

[k

2+

2

2

]= (k + 1)

[k + 2

2

]=

(k + 1)(k + 2)

2

Como efectivamente se llegó a la igualdad, entonces, se ratifica que la solución dela relación de recurrencia obtenida por el método de iteración es correcta.

Ejemplo 3:


P (1) = 2

P (n) = P (n− 1) + n · 2n, para n > 1


P (1) = 2

P (2) = P (1) + 2 · 22 = 2 + 2 · 22 = 1 · 21 + 2 · 22recordar que no se calculan las potencias ni se hacen las multiplicaciones, ni se hacenlas sumas porque se desaparecería la sumatoria “oculta” que está debajo de la relaciónde recurrencia. Retomando el método iterativo se tiene:

P (3) = P (2) + 3 · 23 = 1 · 21 + 2 · 22 + 3 · 23

P (4) = P (3) + 4 · 24 = 1 · 21 + 2 · 22 + 3 · 23 + 4 · 24

...

P (n) = 1 · 21 + 2 · 22 + 3 · 23 + . . .+ n · 2nlo que se hizo en el paso anterior fue dejar de iterar porque ya se identificó la sumatoriay generalizar esta cuando la relación de recurrencia P es evaluada en “n”.


Como P (n) =∑n

i=1 i · 2i entonces la solución de la relación de recurrencia es lasolución de la sumatoria. Tomando la solución de dicha sumatoria de la sección de“Sumatorias Especiales” se tiene que P (n) =

∑ni=1 i · 2i = (n − 1) · 2n+1 + 2, por lo

tanto la solución de la relación de recurrencia es P (n) = (n−1) ·2n+1 + 2, para n ≥ 1.

Ahora se utilizará el método de demostración por inducción matemática para rati-ficar la validez de la solución de la relación de recurrencia, por lo tanto se tiene:

Caso base n = 1:

P (1) = 2︸︷︷︸caso base de la R.R.

= (1− 1) · 21+1 + 2 = 0 · 22 + 2 = 0 + 2 = 2︸︷︷︸Solucion de la relacion de recurrencia evaluada en 1

Como se cumple la igualdad, entonces sigue la demostración con el caso inductivo.

Caso inductivo n=k:

Se asume como cierta la solución de la relación de recurrencia evaluada en k,donde k ∈ Z+ para k > 1

P (k) = (k − 1) · 2k+1 + 2

Caso post-inductivo n = k + 1:

Recordar el paso recursivo de la relación de recurrencia:

P (n) = P (n− 1) + n · 2n, reemplazando n por k + 1 se tiene:

P (k + 1) = P (k + 1− 1) + (k + 1) · 2k+1

P (k + 1) = P (k) + (k + 1) · 2k+1

donde P (k + 1) y P (k) se reemplazan por su equivalente en el caso inductivoevaluado en k + 1 y k respectivamente.

(k + 1− 1) · 2k+1+1 + 2︸︷︷︸P (k+1)

= (k − 1) · 2k+1 + 2︸︷︷︸P (k)

+ (k + 1) · 2k+1

k · 2k+2 + 2 = (k − 1 + k + 1) · 2k+1 + 2

= (2k) · 2k+1 + 2

= k · 2k+2 + 2

Como se llegó a una igualdad, entonces, se ratifica que la solución de la relaciónde recurrencia obtenida por el método de iteración es correcta.


Ejemplo 4:


P (1) = 1

P (n) = 2P (n− 1) + 1, para n > 1

Por el método de iteración se tiene:

P (1) = 1

P (2) = 2P (1) + 1 = 2(1) + 1 = 21 + 20

P (3) = 2P (2) + 1 = 2(21 + 20) + 1 = 22 + 21 + 20

P (4) = 2P (3) + 1 = 2(22 + 21 + 20) + 1 = 23 + 22 + 21 + 20

...

P (n) = 2n−1 + 2n−2 + . . .+ 21 + 20

P (n) = 20 + 21 + . . .+ 2n−1

Como P (n) =∑n−1

i=0 2i entonces la solución de la relación de recurrencia es la solu-ción de la suma de términos de la serie geométrica con primer término a = 20 = 1,razón constante r = 2 y potencia más grande igual a n − 1 tomando la solución dedicha sumatoria de la sección de “Sumatorias Especiales” se tiene que

P (n) =n−1∑i=0

2i =a · r(potencia mas grande)+1 − a

r − 1=

1 · 2(n−1)+1 − 1

2 − 1= 2n − 1

por lo tanto la solución de la relación de recurrencia es P (n) = 2n − 1, para n ≥ 1.

Si se quiere ratificar o refutar la solución obtenida para la relación de recurrencia,entonces se puede utilizar el método de demostración por inducción matemática.

Ejemplo 5:


P (1) = 2

P (n) = 2P (n− 1) + 3n − 1, para n ≥ 2

La diferencia de este ejemplo con los anteriores, radica en la cantidad de términosindependientes que se encuentran en el caso recursivo, donde se tiene que al llamado


recursivo se le suma 3n − 1. Cada uno de los términos independientes genera su propiasuma de términos.


P (1) = 2

P (2) = 2P (1) + 32 − 1 = 2(2) + 32 − 1 = 22 + 32 − 1

P (3) = 2P (2) + 33 − 1 = 2(22 + 32 − 1

)+ 33 − 1

=(23 + 2 · 32 − 2

)+ 33 − 1

=(23 + 21 · 32 − 21

)+ 20 · 33 − 20

=(23)

+(21 · 32 + 20 · 33

)−(21 + 20

)P (4) = 2P (3) + 34 − 1 = 2

((23)+(21 · 32 + 20 · 33

)−(21 + 20

))+ 34 − 1

=

((24)

+(22 · 32 + 21 · 33

)−(22 + 21

))+ 20 · 34 − 20

=(24)

+(22 · 32 + 21 · 33 + 20 · 34

)−(22 + 21 + 20

)...

P (n) =(2n)+(2n−2 · 32 + 2n−3 · 33 + . . .+ 20 · 3n

)−(2n−2 + 2n−3 + . . .+ 20

)=(2n)+ 32

(2n−2 · 30 + 2n−3 · 31 + . . .+ 20 · 3n−2

)−(20 + 21 + . . .+ 2n−2

)P (n) =

(2n)︸︷︷︸

termino generado por el caso base de la relacion de recurrencia

+ 32(2n−2 · 30 + 2n−3 · 31 + . . .+ 20 · 3n−2︸︷︷︸

Sumatoria A

)−(20 + 21 + . . .+ 2n−2︸︷︷︸

Sumatoria B

)Sumatoria A:

La sumatoria A es una serie geométrica con primer término a = 2n−2, razón cons-tante r = 3

2y potencia más grande igual a n− 2, reemplazando en la formula se tiene:

a · r(potencia mas grande)+1 − a

r − 1=

2n−2 ·(3

2

)(n−2)+1

− 2n−2

3

2− 1


=

2n−2 ·(3

2

)n−1

− 2n−2

3

2− 2

2

=2n−2 · 3n−1

2n−1− 2n−2

3− 2

2

=2n−2 · 3n−1

2 · 2n−2− 2n−2

1

2

=

3n−1

2− 2

2· 2n−2

1

2

=

3n−1 − 2n−1

21

2

= 3n−1 − 2n−1

Sumatoria B:

La sumatoria B es una serie geométrica con primer término a = 20 = 1, razónconstante r = 2 y potencia más grande igual a n − 2, reemplazando en la formula setiene:


r − 1=

1 · 2(n−2)+1 − 1

2 − 1

=1 · 2n−1 − 1

1

= 2n−1 − 1

Solución Relación de recurrencia:

P (n) = (termino generado por el caso base de la relacion de recurrencia)+ 32 · (Solucion Sumatoria A) − (Solucion Sumatoria B)

P (n) =(2n)

+ 32(3n−1 − 2n−1

)−(2n−1 − 1

)= 2 · 2n−1 + 32 · 3n−1 − 32 · 2n−1 − 2n−1 + 1

= 3n−1+2 + 2 · 2n−1 − 9 · 2n−1 − 2n−1 + 1


= 3n+1 +(2 − 9 − 1

)· 2n−1 + 1

= 3n+1 − 8 · 2n−1 + 1

= 3n+1 − 23 · 2n−1 + 1

= 3n+1 − 2n−1+3 + 1

= 3n+1 − 2n+2 + 1

Ejemplo 6:


P (1) = 1P (n) = 2P (n

2) + n, para n = 2m, m ∈ Z+.

El objetivo principal de este ejemplo es poner en evidencia que el llamado recursivode la relación de recurrencia no siempre tiene que ser en términos de n − 1. Perfecta-mente el valor de n puede decrecer al dividir éste de forma constante por un mismovalor, en este ejemplo dicho valor es 2.

Para poder utilizar el método de iteración sobre esta relación de recurrencia esnecesario primero hacer un cambio de variables.

Cambio de variables:

Como n = 2m, entonces la relación de recurrencia original puede ser reescritacomo:

P (20) = 20

P (2m) = 2P (2m

2) + 2m, m ≥ 1

P (2m) = 2P (2m · 2−1) + 2m, m ≥ 1

P (2m) = 2P (2m−1) + 2m, m ≥ 1

Método iterativo

P (20) = 20

P (21) = 2P (20) + 21 = 21 · 20 + 21 = 21 + 21

P (22) = 2P (21) + 22 = 2[21 + 21] + 22 = 22 + 22 + 22

P (23) = 2P (22) + 23 = 2[22 + 22 + 22] + 23 = 23 + 23 + 23 + 23

...


P (2m) = 2m + 2m + 2m + . . .+ 2m︸︷︷︸m+1 veces

= (m+ 1)2m

De esta forma se halla la solución a la relación de recurrencia.

Ahora, después de obtener la solución de la relación de recurrencia es necesarioutilizar algún mecanismo para ratificar o refutar la validez de la solución, poreste motivo es normal que se utilice la técnica de demostración por inducciónmatemática para éste fin.

Prueba por inducción matemática:

Caso base m = 0:

P (20) = 1 = (0 + 1)20

= (1)1

= 1

Como se cumple la igualdad entre el caso base de la relación de recurrenciay la solución de la relación de recurrencia evaluada en m = 0, entonces lademostración continua en el caso inductivo.

Caso inductivo m = k :

Se asume como cierto que: P (2k) = (k + 1)2k

Caso post-inductivo m = k + 1:

Recordar el caso recursivo de la relación de recurrencia:

P (2m) = 2P (2m−1) + 2m

Al reemplazar m por k + 1 se tiene:

P (2k+1) = 2P (2k) + 2k+1

Se reemplaza a P (2k+1) y P (2k) por su equivalente en el caso inductivo.

((k + 1) + 1)2k+1︸︷︷︸P (2k+1)

= 2[(k + 1)2k

]︸︷︷︸P (2k)

+ 2k+1

(k + 2)2k+1 = (k + 1)2k+1 + 2k+1

= ((k + 1) + 1)2k+1

= (k + 2)2k+1


Se cumple la igualdad por lo tanto es correcta la solución de la relación derecurrencia.

Con respecto al cambio de variables se resolvió la relación de recurrencia y sedemostró por inducción matemática que dicha solución es correcta, ahora lo que seva a hacer es presentar la solución de la relación de recurrencia con respecto a lavariable original, para esto se debe recordar que n = 2m, entonces lg2 n = lg2 2

m,lg2 n = m, m = lg2 n, reemplazando n y m en la solución de la relación de re-currencia P (2m) = (m + 1)2m, se tiene P (n) = ((lg2 n) + 1)n, P (n) = n(1 + lg2 n),P (n) = n+ n lg2 n.

Ejemplo 7:


P (1) = 1P (n) = 3P (n

5) + n, para n = 5m, m ∈ Z+.

En este ejemplo es necesario hacer primero el cambio de variables y reescribir larelación de recurrencia.


Como n = 5m, entonces la relación de recurrencia original puede ser reescrita dela siguiente forma:

P (50) = 50

P (5m) = 3P (5m

5) + 5m, m ≥ 1

P (5m) = 3P (5m · 5−1) + 5m, m ≥ 1

P (5m) = 3P (5m−1) + 5m, m ≥ 1

Método iterativo

P (50) = 50

P (51) = 3P (50) + 51 = 31 · 50 + 30 · 51

P (52) = 3P (51) + 52 = 3[31 · 50 + 30 · 51] + 52

= 32 · 50 + 31 · 51 + 30 · 52

P (53) = 3P (52) + 53 = 3[32 · 50 + 31 · 51 + 30 · 52] + 53

= 33 · 50 + 32 · 51 + 31 · 52 + 30 · 53

P (54) = 3P (53) + 54 = 3[33 · 50 + 32 · 51 + 31 · 52 + 30 · 53] + 54

= 34 · 50 + 33 · 51 + 32 · 52 + 31 · 53 + 30 · 54


...

P (5m) = 3m · 50 + 3m−1 · 51 + 3m−2 · 52 + . . .+ 31 · 5m−1 + 30 · 5m

=m∑i=0

3m ·(53

)iLa Sumatoria que describe a P (5m) es una serie geométrica con primer términoa = 3m, razón constante r = 5

3y potencia más grande igual a m, reemplazando

en la fórmula de la serie geométrica se tiene:

P (5m) =

[3m ·

(53

)m+1 − 3m

53

− 1

]

= 3m ·[ 5m+1

3m+1 − 123

]= 3m ·

[ 5m+1 − 3m+1

3m+1

23

]= 3m+1 ·

[5m+1 − 3m+1

2 · 3m+1

]=

5m+1 − 3m+1

2

De esta forma se halla la solución a la relación de recurrencia.

Para ratificar que es correcta la solución de la relación de recurrencia, entonces acontinuación se utilizará la técnica de demostración por inducción matemática para éstefin.

Prueba por inducción matemática:

Caso base m = 0:

P (50) = 1 =50+1 − 30+1

2

=51 − 31

2

=5 − 3

2=

2

2= 1

Como se cumple la igualdad entre el caso base de la relación de recurrenciay la solución de la relación de recurrencia evaluada en m = 0, entonces lademostración continua en el caso inductivo.

Caso inductivo m = k :

Se asume como cierto que: P (5k) =5k+1 − 3k+1

2


Caso post-inductivo m = k + 1:

Recordar el caso recursivo de la relación de recurrencia:

P (5m) = 3P (5m−1) + 5m

Al reemplazar m por k + 1 se tiene:

P (5k+1) = 3P (5k) + 5k+1

Se reemplaza a P (5k+1) y P (5k) por su equivalente en el caso inductivo.

5k+2 − 3k+2

2︸︷︷︸P (5k+1)

= 3

[5k+1 − 3k+1

2

]︸︷︷︸

P (5k)

+ 5k+1

=3 · 5k+1 − 3 · 3k+1

2+

2

2· 5k+1

=3 · 5k+1 − 3k+2 + 2 · 5k+1

2

=3 · 5k+1 + 2 · 5k+1 − 3k+2

2

=5k+1(3 + 2) − 3k+2

2

=5k+1(5) − 3k+2

2

=5k+2 − 3k+2

2

Se cumple la igualdad por lo tanto es correcta la solución de la relación derecurrencia.

Ejemplo 8:

Sea la siguiente relación de recurrencia:

P (1) = 4P (n) = 4P (n

4) + n2 + 2, para n = 4m, m ∈ Z+.

El aporte fundamental de este ejemplo es que el caso base de la relación de re-currencia no siempre tiene que comenzar en uno, en este ejemplo comienza en cuatro(pudiéndose utilizar cualquier otro valor), y no se afecta en nada la utilización del méto-do de iteración.

Ahora, primero se debe hacer el cambio de variables y reescribir la relación derecurrencia.



Como n = 4m, entonces la relación de recurrencia original puede ser reescrita dela siguiente forma:

P (40) = 4

P (4m) = 4P (4m

4) + (4m)2 + 2, m ≥ 1

P (4m) = 4P (4m · 4−1) + (42)m + 2, m ≥ 1

P (4m) = 4P (4m−1) + 16m + 2, m ≥ 1

La cantidad de términos independientes en el caso recursivo de la relación derecurrencia indica cuantas sumatorias diferentes se presentan para solucionar larelación de recurrencia, en este ejemplo se generarán dos sumatorias, una en tér-minos de 16m y la otra en términos de 2, adicionalmente es normal que el términoque se genera gracias al caso base de la relación de recurrencia no encaje en ningu-na de las sumatorias, por este motivo se deja por aparte como si fuera una nuevasumatoria, pero de un solo término.

Método iterativo:

P (40) = 4P (41) = 4P (40) + 161 + 2

= 4(4) + 161 + 2= 42 + 161 + 2

P (42) = 4P (41) + 162 + 2= 4(42 + 161 + 2) + 162 + 2= 43 + 41 · 161 + 4 · 2 + 162 + 2= 43 + 41 · 161 + 4 · 2 + 162 + 2

P (43) = 4P (42) + 163 + 2 = 4(43 + 41 · 161 + 4 · 2 + 162 + 2) + 163 + 2= 44 + 42 · 161 + 2 · 42 + 4 · 162 + 2 · 4 + 163 + 2= 44 + 42 · 161 + 4 · 162 + 163 + 2 · 42 + 2 · 4 + 2= 44 + (42 · 161 + 4 · 162 + 163) + 2(42 + 41 + 40)

P (44) = 4P (43) + 164 + 2= 4[44 + (42 · 161 + 41 · 162 + 163) + 2(42 + 41 + 40)] + 164 + 2= 45 + (43 ·161 + 42 ·162 + 41 ·163) + 2(43 + 42 + 41) + 40 ·164 + 2 ·40= 45 + (43 · 161 + 42 · 162 + 41 · 163 + 40 · 164) + 2(43 + 42 + 41 + 40)= 45 + 16(43 ·160 + 42 ·161 + 4 ·162 + 40 ·163) + 2(40 + 41 + 42 + 43)

...


P (4m) =

termino generado por el caso base de la relacion de recurrencia︷︸︸︷4m+1

+ 16

Sumatoria A︷︸︸︷(4m−1 · 160 + 4m−2 · 161 + . . .+ 41 · 16m−2 + 40 · 16m−1)

+ 2 (40 + 41 + . . . + 4m−1)︸︷︷︸Sumatoria B

Sumatoria A:

La Sumatoria A es una serie geométrica con primer término a = 4m−1, razónconstante r = 16

4= 4 y potencia más grande igual a m − 1, reemplazando en la

formula se tiene:


r − 1=

4m−1(4(m−1)+1) − 4m−1

4 − 1

=4m−1(4m) − 4m−1

3

= 4m−1

(4m − 1

3

)

Sumatoria B:

La Sumatoria B es una serie geométrica con primer término a = 40 = 1, razónconstante r = 4 y potencia más grande igual a m−1, reemplazando en la formulase tiene:


r − 1=

1 · (4(m−1)+1) − 1

4 − 1

=4m − 1

3

Solución Relación de recurrencia:

P (4m) = (termino generado por el caso base de la relacion de recurrencia)+ 16 · (Sumatoria A) + 2 · (Sumatoria B)


P (4m) = 4m+1 + 16

[4m−1

(4m − 1

3

)]+ 2

[4m − 1

3

]

= 4m+1 + 42 · 4m−1

(4m − 1

3

)+ 2

(4m − 1

3

)

= 4m+1 + 4m+1

(4m − 1

3

)+ 2

(4m − 1

3

)

= 4m+1 +

(4m+1 + 2

)(4m − 1

3

)

Se puede utilizar la técnica de demostración por inducción matemática para ratificaro refutar la validez de la solución de la relación de recurrencia.

Ejercicios

1. Resolver las siguientes relaciones de recurrencia utilizando el Método de Iteración:

a) P (1) = 14

P (n) = P (n− 1) + n3 − 34n2 , para n ∈ Z+ y n ≥ 2.

b) P (1) = 12

P (n) = P (n− 1) + n2 − 12n , para n ∈ Z+ y n ≥ 2.

c) P (1) = 15

P (n) = P (n− 1) + n3 − 45n , para n ∈ Z+ y n ≥ 2.

d) P (1) = 32

P (n) = P (n− 1) + 2n− n2n

, para n ∈ Z+ y n ≥ 2.

e) P (1) = 1

P (n) = 3P (n2) + n, para n = 2m, m ∈ Z+.

f ) P (1) = 1

P (n) = 3P (n4) + n, para n = 4m, m ∈ Z+.


g) P (1) = 1

P (n) = 2P (n3) + n, para n = 3m, m ∈ Z+.

h) P (1) = 1

P (n) = 4P (n3) + n, para n = 3m, m ∈ Z+.

i) P (1) = 1

P (n) = 9P (n3) + n, para n = 3m, m ∈ Z+.

2. Demostrar o refutar por inducción matemática que las relaciones de recurrenciasiguientes tienen la solución que se plantea para cada una de ellas :

a) P (1) = 1

P (n) = P (n− 1) + 4n− 3, para n ≥ 2, n ∈ Z+.

Solución:P (n) = 2n2 − n, para n ≥ 1

b) P (1) = 2

P (n) = P (n− 1) + n2 + n, para n ≥ 2, n ∈ Z+.

Solución:P (n) = n(n+1)(n+2)

3, para n ≥ 1

c) P (1) = 23

P (n) = P (n− 1) + n2 − 13n, para n ≥ 2, n ∈ Z+.

Solución:P (n) = n2(n+1)

3, para n ≥ 1

d) P (1) = 0

P (n) = P (n− 1) + n2 − 1, para n ≥ 2, n ∈ Z+.

Solución:P (n) = n(2n+5)(n−1)

6, para n ≥ 1

e) P (1) = 1

P (n) = 3P (n− 1) + 2n − 1, para n ≥ 2, n ∈ Z+.

Solución:P (n) = 3n+1+1

2− 2n+1, para n ≥ 1

Capítulo 5

Conjuntos

Definición:

Un conjunto es una colección de objetos en la que no importa el orden en que estosaparecen.

Hay varias formas para describir un conjunto. Una forma es describir todos loselementos del conjunto, cuando esto es posible, entre llaves separados por comas.

Ejemplo 1:

El conjunto de todas las vocales del alfabeto es: V = {a, e, i, o, u}.

el conjunto de todos los enteros impares positivos menores que 10 esI = {1, 3, 5, 7, 9}.

Otra forma para describir un conjunto sin listar todos los elementos del conjunto es,listar algunos elementos del conjunto y colocar puntos suspensivos cuando el patróngeneral de los elementos es obvio.

Ejemplo 2:

El conjunto de los enteros positivos estrictamente menores que 100 esE = {1, 2, 3, ..., 99}

Algunos de los conjuntos más importantes en matemáticas discretas son:

N = {0, 1, 2, 3, ... } El conjunto de los números naturales

Z = { ..., − 3, − 2, − 1, 0, 1, 2, 3, ... } El conjunto de los números enteros

Z+ = {1, 2, 3, 4, ... } El conjunto de los números enteros positivos

Q = { p

q| p ∈ Z, q ∈ Z+, q = 0 } El conjunto de los números racionales

R; es el conjunto de los números reales.

115

116 CAPÍTULO 5. CONJUNTOS

Definición:

Dos conjuntos son iguales si y únicamente si tienen los mismos elementos.

Ejemplo 3:

Los conjuntos A = {1, 3, 5} y B = {3, 5, 1} son iguales porque contienen los mismoselementos.

Se debe tener en cuenta que el orden en que son presentados los elementos de unconjunto no tiene importancia, tampoco tiene importancia listar varias veces el mismoelemento de un conjunto, de todas maneras sigue siendo el mismo conjunto, por ejemploel conjuntos A = {3, 3, 5, 3, 1, 3, 5} es igual al conjunto B = {1, 3, 5}.

Otra forma para construir conjuntos es usando una “notación para construir con-juntos”. Todos los elementos del conjunto se caracterizan porque cumplen la propiedadde pertenencia al conjunto.

Ejemplo 4:

I = {x | x es un numero entero positivo impar menor que 100}

Los conjuntos pueden ser representados gráficamente utilizando diagramas de Venn.En los diagramas de Venn el conjunto universal U , el cual contiene todos los objetosbajo consideración, es representado por un rectángulo. Internamente en el rectángulo,los círculos u otra figura geométrica son utilizados para representar conjuntos.

Ejemplo 5:

Dibujar un diagrama de Venn para representar el conjunto de las vocales del alfabetoespañol.

Diagrama de Venn para el conjunto de las vocales.

La pertenencia de un elemento a un conjunto se representa por a ∈ A. La notacióna ∈ A indica que el elemento a no pertenece al conjunto A.

117

Tener en cuenta que las letras mayúsculas se utilizan para representar conjuntos y quelas letras minúsculas se utilizan para representar elementos.

El conjunto vacío o nulo es aquel que no tiene elementos y se representa por A = { }o A = ∅.

Definición:

El conjunto A es subconjunto de B si y únicamente si cada elemento de A es tambiénun elemento de B. La notación A ⊆ B indica que A es un subconjunto del conjunto B.

Se puede decir que A ⊆ B si y únicamente si ∀x(x ∈ A → x ∈ B).

Ejemplo 6:

Sean los conjuntos: B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} A = {1, 2, 5, 7}, entoncesA ⊆ B.

Teorema:

Para cualquier conjunto S, ∅ ⊆ S y S ⊆ S.

Cuando el conjunto A es un subconjunto de B pero A = B, entonces se escribeA ⊂ B y se dice que A es un subconjunto propio de B.

Gráficamente un subconjunto propio se representa de la siguiente manera:

Diagrama de Venn para mostrar que A es un subconjunto propio de B.

Definición:

Sea S un conjunto. Si hay exactamente n elementos distintos en S donde n es un en-tero positivo, se dice que S es un conjunto finito y que n es la cardinalidad de S. Lacardinalidad de S es denotada por |S|.


Ejemplo 7:

Sea el conjunto A = {1, 3, 5, 7, 3, 5, 1, 7} |A| = 4.

Ejemplo 8:

|∅| = 0, porque el conjunto vacío no tiene elementos.

5.1. El conjunto potenciaDefinición:

Dado un conjunto S, el conjunto potencia de S es el conjunto de todos los subconjuntosde S. El conjunto potencia de S es denotado por P(S).

Ejemplo 9:

¿Cuál es el conjunto potencia del conjunto A = { 0, 1, 2}?

P(A) = {{ }, {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}, {0, 1, 2}}

Si un conjunto A tiene cardinalidad n (|A| = n), entonces el conjunto potencia deA tiene 2n elementos.

Ejemplo 10:

¿Cuántos elementos tiene P(A) si |A| = 3?

|P(A)| = 2|A| = 23 = 8

5.2. Producto cartesianoDefinición:

La n-tupla ordenada (a1, a2, a3, . . . , an) es la colección ordenada que tiene a1 co-mo el primer elemento, a2 como el segundo elemento, . . ., y an como el n-ésimo elemento.

Dos n-tuplas son iguales si y únicamente si cada par de sus elementos es igual. Enotras palabras, (a1, a2, a3, . . . , an) = (b1, b2, b3, . . . , bn) si y únicamente si ai = bi,para i = 1, 2, . . . , n. En particular, una 2-tupla es llamada par ordenado.

Los pares ordenados (a, b) y (c, d) son iguales si y únicamente si a = c y b = d.(a, b) y (b, a) no son iguales, a no ser que a = b.

5.2. PRODUCTO CARTESIANO 119

Definición:

Sea A y B conjuntos. El producto cartesiano de A y B, denotado por A × B, es elconjunto de todos los pares ordenados (a, b) donde a ∈ A y b ∈ B. Donde A × B ={(a, b) | a ∈ A ∧ b ∈ B}.

Ejemplo 11:

Sean los conjuntos A = {1, 2, 3, 4} y B = {a, b, c}

¿Cuál es el conjunto A×B?

¿Cuál es el conjunto B × A?

¿Cuál es el conjunto B ×B?

A×B = {(1, a), (1, b), (1, c),(2, a), (2, b), (2, c),(3, a), (3, b), (3, c),(4, a), (4, b), (4, c)}

B × A = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4),(b, 1), (b, 2), (b, 3), (b, 4),(c, 1), (c, 2), (c, 3), (c, 4)}

B ×B = {(a, a), (a, b), (a, c),(b, a), (b, b), (b, c),(c, a), (c, b), (c, c)}

Un subconjunto R del producto cartesiano A×B es llamado una relación del conjun-to A al conjunto B. Los elementos de R son pares ordenados donde el primer elementopertenece a A y el segundo pertenece a B.

Ejemplo 12:

Sea A = {1, 2, 3, 4} y B = {1, 4, 9, 16}A×B = {(1, 1), (1, 4), (1, 9), (1, 16),

(2, 1), (2, 4), (2, 9), (2, 16),(3, 1), (3, 4), (3, 9), (3, 16),(4, 1), (4, 4), (4, 9), (4, 16)}

y sea R = {(1, 1), (2, 4), (3, 9), (4, 16)} donde la segunda componente de cadapareja es el cuadrado de la primera.


Definición:

El producto cartesiano de los conjuntos A1, A2, . . . , An denotado por A1 × A2 ×· · · × An, es el conjunto ordenado de n-tuplas (a1, a2, . . . , an) donde ai ∈ Ai parai = 1, 2, . . . , n.

En otras palabras, A1 × A2 × · · · × An = {(a1, a2, . . . , an) | ai ∈ Ai para i =1, 2, . . . , n}.

Ejemplo 13:

Sea A = {1, 2}, B = {a, e} y C = {x, y}, ¿cuál es el resultado de A×B × C?

A×B × C = {(1, a, x), (1, a, y), (1, e, x), (1, e, y),(2, a, x), (2, a, y), (2, e, x), (2, e, y)}

5.3. Operaciones de conjuntos

Definición de la operación de unión:

Sean A y B conjuntos. La unión de los conjuntos A y B denotada por A ∪ B es elconjunto que contiene elementos que son de A o B, o de ambos.

Un elemento x pertenece a la unión de A y B si y únicamente si x pertenece a A ox pertenece a B. Formalmente se tiene: A ∪B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}.

Gráficamente se tiene:

La parte sombreada es A ∪B.

Ejemplo 14:

La unión de los conjuntos A = {1, 3, 5} y B = {1, 2, 3} es A ∪B = {1, 2, 3, 5}.

5.3. OPERACIONES DE CONJUNTOS 121

Definición de la operación de intersección:

Sean A y B conjuntos. La intersección de los conjuntos A y B denotada por A ∩ B esel conjunto que contiene los elementos que están al mismo tiempo en A y B.

Un elemento x pertenece a la intersección de los conjuntos A y B si y únicamente si xpertenece a A y x pertenece a B. Formalmente se tiene: A∩B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}.


La parte sombreada es A ∩B.

Ejemplo 15:

La intersección de los conjuntos A = {1, 3, 5} y B = {1, 2, 3} es A ∩B = {1, 3}.

Definición de conjuntos disyuntos:

Dos conjuntos A y B son disyuntos si su intersección (A ∩B) es vacía.

Ejemplo 16:

Sea A = {1, 3, 5, 7, 9} y B = {2, 4, 6, 8, 10}. A ∩B = { }, por lo tanto A y B sondisyuntos.

La cardinalidad de la unión de los conjuntos A y B es:|A ∪B| = |A|+ |B| − |A ∩B|.

La generalización de la cardinalidad para la unión de un número arbitrario de con-juntos es llamado el principio de inclusión-exclusión.

Definición de la operación de diferencia:

Sean A y B conjuntos. La diferencia de los conjuntos A y B denotada por A−B, es elconjunto que contiene los elementos que están en A pero no en B. La diferencia de A


y B es también llamada el complemento de B con respecto a A.

Un elemento x pertenece a la diferencia de A y B si y únicamente si x ∈ A y x ∈ B.Formalmente se tiene: A−B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}.


La parte sombreada es A−B.

Ejemplo 17:

La diferencia de los conjuntos A = {1, 3, 5} y B = {1, 2, 3} es A − B = {5},B − A = {2}.

Definición de la operación de complemento:

Sea U el conjunto universo, el complemento del conjunto A, denotado por A, es elcomplemento del conjunto A con respecto a U . En otras palabras, el complemento delconjunto A es U − A.

Un elemento x pertenece a A si y únicamente si x ∈ A. Formalmente se tiene:A = {x | x ∈ A}.


La parte sombreada es A.

5.4. IDENTIDADES EN CONJUNTOS 123

Ejemplo 18:

Sea A = {a, e, i, o, u} y el universo son todas las letras del alfabeto español. EntoncesA = {b, c, d, f, g, h, j, k, l, m, n, n, p, q, r, s, t, v, w, x, y, z}.

5.4. Identidades en conjuntosEn la siguiente tabla las letras mayúsculas A, B y C representan conjuntos, el con-

junto universal es representado con el símbolo U y el conjunto vacío es representadocon el símbolo ∅.

Identidad Nombre

A ∪ ∅ = A Ley de Identidad

A ∩ U = A Ley de Identidad

A ∪ U = U Ley de Dominación

A ∩ ∅ = ∅ Ley de Dominación

A ∪ A = A Ley de Idempotencia

A ∩ A = A Ley de Idempotencia

A = A Ley de Doble Complemento

A ∪B = B ∪ A Ley Conmutativa

A ∩B = B ∩ A Ley Conmutativa

A ∪ (B ∪ C) = (A ∪B) ∪ C Ley Asociativa

A ∩ (B ∩ C) = (A ∩B) ∩ C Ley Asociativa

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C) Ley Distributiva

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C) Ley Distributiva

A ∪B = A ∩B Ley de De Morgan

A ∩B = A ∪B Ley de De Morgan

A ∪ (A ∩B) = A Ley de Absorción

A ∩ (A ∪B) = A Ley de Absorción

A ∪ A = U Ley de Complemento

A ∩ A = ∅ Ley de Complemento


Ejemplo 19:

Probar que A ∩B = A ∪B.

Estrategia: Se debe probar que los dos conjuntos son iguales al mostrar que cada unoes subconjunto del otro.

A ∩B ⊆ A ∪B ?.

x ∈ A ∩B, x ∈ (A ∩B), ¬(x ∈ A ∧ x ∈ B), por la ley de Morgan¬(x ∈ A) ∨ ¬(x ∈ B), x ∈ A ∨ x ∈ B, x ∈ A ∨ x ∈ B por ladefinición de complemento, x ∈ (A ∪ B) por la definición de la unión, por lotanto A ∩B ⊆ A ∪B.

A ∪B ⊆ A ∩B ?.

x ∈ (A ∪B),x ∈ A ∨ x ∈ B definición de la unión,x ∈ A ∨ x ∈ B definición de complemento,¬(x ∈ A) ∨ ¬(x ∈ B) equivalencia lógica,¬((x ∈ A) ∧ (x ∈ B)) ley de Morgan,¬(x ∈ (A ∩B)) definición de la intersección,x ∈ (A ∩B), x ∈ (A ∩B) definición de complemento,por lo tanto A ∪B ⊆ A ∩B.

Como cada lado es subconjunto del otro entonces queda demostrado queA ∩B = A ∪B.

Ejemplo 20:

Usar notación y equivalencia lógica para probar que A ∩B = A ∪B.

Estrategia: Utilizar una cadena de equivalencias para proveer una demostración deesta identidad.

A ∩B = {x | x ∈ (A ∩B)}= {x | ¬(x ∈ (A ∩B))}= {x | ¬(x ∈ A ∧ x ∈ B)}= {x | ¬(x ∈ A) ∨ ¬(x ∈ B)}= {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}= {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}= {x | x ∈ (A ∪B)}= A ∪B

5.5. UNIONES E INTERSECCIONES GENERALIZADAS 125

5.5. Uniones e intersecciones generalizadasDefinición de unión generalizada:

La unión de una colección de conjuntos es el conjunto que contiene todos los elementosque son miembros de al menos un conjunto de la colección. Se usa la notación:

A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ ... ∪ An =n∪

i=1

Ai

Definición de intersección generalizada:

La intersección de una colección de conjuntos es el conjunto que contiene los elementosque son miembros de todos los conjuntos de la colección. Se usa la notación:

A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ ... ∩ An =n∩

i=1

Ai

Ejemplo 21:

Sea Ai = {i, i+ 1, i+ 2, ... } donde

n∪i=1

Ai =n∪

i=1

{i, i+ 1, i+ 2, ... } = {1, 2, 3, ... }

yn∩

i=1

Ai =n∩

i=1

{i, i+ 1, i+ 2, ... } = {n, n+ 1, n+ 2, ... }

5.6. Ejercicios1. Suponer que A es el conjunto de estudiantes de segundo semestre de Ingeniería de

Sistemas de Jornada Especial de la Universidad Tecnológica y B el conjunto deestudiantes de Ingeniería de Sistemas de Jornada Especial que tienen matriculadoel curso de Matemáticas II. Expresar estos conjuntos en términos de A y B.

a) El conjunto de estudiantes de segundo semestre de Ingeniería de Sistemasde Jornada Especial de la Universidad Tecnológica que tienen matriculadoel curso de Matemáticas II.

b) El conjunto de estudiantes de segundo semestre de Ingeniería de Sistemas deJornada Especial de la Universidad Tecnológica que no tienen matriculadoel curso de Matemáticas II.

c) El conjunto de estudiantes o bien que son segundo semestre de Ingenieríade Sistemas de Jornada Especial de la Universidad Tecnológica o bien queestán matriculados en el curso de Matemáticas II.


d) El conjunto de estudiantes o bien que no son de segundo semestre de Inge-niería de Sistemas de Jornada Especial de la Universidad Tecnológica o bienque no están matriculados en el curso de Matemáticas II.

2. Un profesor tiene 24 libros de texto introductorios de Ciencias de la Computación,y le interesa saber en qué medida tratan los temas: (A) análisis de algoritmos,(B) estructuras de datos y (C) compiladores. Los siguientes datos presentan elnúmero de libros que contienen material sobre estos temas:

|A| = 8

|B| = 13

|C| = 13

|A ∩B| = 5

|A ∩ C| = 3

|B ∩ C| = 6

|A ∩B ∩ C| = 2

a) ¿Cuántos textos incluyen material de exactamente uno de los temas?

b) ¿Cuántos textos incluyen material de exactamente dos de los temas?

c) ¿Cuántos textos tratan al menos alguno de los temas?

d) ¿Cuántos textos no tratan ninguno de los temas?

e) ¿Cuántos textos no tratan el tema de compiladores?

f ) ¿Cuántos textos no tratan ni el tema de compiladores ni el tema de estruc-turas de datos?

3. Sean A y B conjuntos. Mostrar gráficamente utilizando diagramas de Venn quese cumplen cada una de las siguientes igualdades:

a) (A ∩B) ∪ (A ∩B) = A.

b) A−B = A ∩B.

c) A ∩ (A ∪B) = A.

d) A ∪ (A ∩B) = A.

4. Sean A y B conjuntos. Representar gráficamente utilizando diagramas de Vennel conjunto resultado de ((A ∩B) ∪ (A ∩B)) ∩B.

5. Sean A y B conjuntos. Utilizando las identidades de conjuntos demostrar lasigualdades de cada uno de los siguientes puntos:

a) A ∪ (A ∩B) = A.

b) A ∩ (A ∪B) = A.

5.6. EJERCICIOS 127

c) A−B = A ∩B.

d) (A ∩B) ∪ (A ∩B) = A.

6. Sean A y B conjuntos. Simplificar las siguientes expresiones en la teoría de con-juntos ((A ∩B) ∪ (A ∩B)) ∩B, en cada paso indicar la ley utilizada.

7. Sean A y B conjuntos. Simplificar las siguientes expresiones en la teoría de conjun-tos, en cada paso indicar la ley utilizada. Validar el resultado obtenido utilizandodiagramas de Venn. ¿El gráfico de la simplificación es igual al gráfico de la expre-sión original?.

a) A ∪ (A ∩B) ∪B.

b) A ∩ (A ∪B) ∩B.

c) ((A ∩B) ∪ (A ∩B)) ∩ A.

d) ((A ∩B) ∪ (A ∩B)) ∩ A.

8. Sean los conjuntos A = {1, 2, 3, 4}, B = {a, b, c} y C = {a, 1, b, 2, c, 4}.¿Cuál es el resultado de (C × C)− (B × A)?

9. Sean los conjuntos A = {1, 2, 3}, B = {a, b, c} y C = {a, 1, b, 2}. ¿Cuál es elresultado de (C × C)− (B × A)?

10. Sean los conjuntos A = {1, 2, 3}, B = {a, b, c} y C = {a, 1, b, 2}. ¿Cuál es elresultado de (C × C)− (A×B)?

11. Sean los conjuntos A = {1, 2, 3}, B = {a, b, c} y C = {a, 1, b, 2, c}. ¿Cuál esel resultado de (C × C)− (B × A)?

12. Sean los conjuntos A = {1, 2, 3}, B = {a, b, c} y C = {a, 1, b, 2, c}. ¿Cuál esel resultado de (A×B)− (C × C)?

13. Sea Ai = {ii, i2i, i3i, . . . , ii∗i}. ¿Cuántos elementos tiene el conjunto resultadode ∪n

i=1(Ai)?

14. Sea Ai = {2i, 2i+1, 2i+2, . . . , 22i}. ¿Cuál es el conjunto resultado de ∪ni=0 Ai?

15. Sea Ai = {2i, 2i+1, 2i+2, . . . , 22i}. ¿Cuál es el conjunto resultado de ∩ni=2 Ai?

Capítulo 6

Funciones

6.1. Conceptos fundamentales

Definición de función:

Sean A y B conjuntos. Una función f de A a B es una asignación de exactamente unelemento de B a cada elemento de A. Se escribe f(a) = b si b es el único elemento de Basignado por la función f al elemento a de A. Si f es una función de A a B, se escribef : A → B.

La función f mapea A en B.

Definición de dominio de una función:

Si f es una función de A a B, se dice que A es el dominio de f y B es el codominio def . Si f(a) = b, se dice que b es la imagen de a y a es la pre-imagen de b. El rango de fes el conjunto de todas las imágenes de A. Así mismo, si f es una función de A a B, sedice que f mapea A en B.

Ejemplo 1:

Sea el conjunto A todas las cadenas de bits de longitud 2 y sea B el conjunto de losnúmeros 0, 1 y 2. La función f cuenta la cantidad de ceros que hay en la cadena de bitsde longitud 2.

129

130 CAPÍTULO 6. FUNCIONES

El dominio de la función f es Domf = {00, 01, 10, 11}, Codomf = {0, 1, 2},f(00) = 2, 2 es la imagen de 00 y 00 es la pre-imagen de 2.

Ejemplo 2:

Sea f : Z → N la función que calcula el cuadrado de un número entero. Donde:f(x) = x2

Domf = ZCodomf = NRangof = {0, 1, 4, 9, 16, 25, ..., n2}

Ejemplo 3:

Cuando se programan funciones en lenguaje C o JAVA se definen el dominio y codominiode la función. Por ejemplo al programar la función piso:

int piso(float numero){---

}

El dominio de la función son los reales de precisión sencilla (float) y codominio son losnúmeros enteros (int).

Definición de suma y multiplicación de funciones:

Sean f1 y f2 funciones de A a R. Entonces f1 + f2 y f1 · f2 son también funciones deA a R definidas por:(f1 + f2)(x) = f1(x) + f2(x)(f1 · f2)(x) = f1(x) · f2(x)

Ejemplo 4:

f1 y f2 son funciones de R a R tales que f1(x) = x2 y f2(x) = x− x2.¿Cuáles son las funciones f1 + f2 y f1 · f2?(f1 + f2)(x) = f1(x) + f2(x) = x2 + x− x2 = x(f1 · f2)(x) = f1(x) · f2(x) = x2 · (x− x2) = x3 − x4.

Definición:

Sea f una función del conjunto A al conjunto B y sea S un subconjunto de A. Laimagen de S es un subconjunto de B que consiste de las imágenes de los elementos deS. Se define la imagen de S por f(S), tal que f(S) = {f(s) | s ∈ S}.

6.2. FUNCIONES INYECTIVAS (O FUNCIONES UNO A UNO) 131

Ejemplo 5:

Sea A = {a, b, c, d, e} y B = {1, 2, 3, 4} con f(a) = 2, f(b) = 1, f(c) = 4, f(d) = 1y f(e) = 1.La imagen del subconjunto S = {b, c, d} es el conjunto f(S) = {1, 4}.

6.2. Funciones inyectivas (o funciones uno a uno)Una función es inyectiva o uno a uno si y únicamente si f(x) = f(y) implica que

x = y para toda x y y en el dominio de f .

Ejemplo 6:

Determinar si la función f de {a, b, c, d} a {1, 2, 3, 4, 5} con f(a) = 4, f(b) = 5,f(c) = 1 y f(d) = 3 es inyectiva (uno a uno).

Función inyectiva.

La función f si es inyectiva (uno a uno).

Ejemplo 7:

Determinar si la función f : Z → Z, f(x) = x2 es uno a uno (inyectiva).

La función f no es uno a uno porque f(−1) = f(1) = 1, donde −1 = 1. Pero, si lafunción es f : Z+ → Z+ entonces sí es uno a uno.

6.3. Funciones sobreyectivasUna función f de A a B es llamada sobreyectiva si y únicamente si para cada

elemento b ∈ B hay como mínimo un elemento a ∈ A con f(a) = b.

Ejemplo 8:

Sea f la función de {a, b, c, d} a {1, 2, 3} definida por f(a) = 3, f(b) = 2, f(c) = 1y f(d) = 3. ¿Es f una función sobreyectiva?.


Función sobreyectiva.

La función f si es sobreyectiva.

Ejemplo 9:

¿Es la función f : Z → Z, f(x) = x2 sobreyectiva?

No, porque −1 no es un resultado de f y éste pertenece al conjunto de posiblesrespuestas (−1 ∈ Z).

6.4. Funciones biyectivasLa función f tiene la propiedad de biyectividad (o también llamada correspondencia

uno a uno) si ésta tiene al mismo tiempo las propiedades de inyectividad y sobreyec-tividad.

Ejemplo 10:

f es una función biyectiva de {a, b, c, d} a {1, 2, 3, 4} con f(a) = 4, f(b) = 1,f(c) = 3 y f(d) = 2.

Función biyectiva.

6.5. Funciones inversas y composición de funcionesDefinición de función inversa:

Sea f una función biyectiva del conjunto A al conjunto B. La función inversa de f esla función que asigna a un elemento b que pertenece al conjunto B el único elemento a

6.5. FUNCIONES INVERSAS Y COMPOSICIÓN DE FUNCIONES 133

en el conjunto A tal que f(a) = b. La función inversa de f es denotada por f−1, donde,f−1(b) = a si y solo si f(a) = b.

Gráficamente:

La función f−1 es la inversa de la función f .

Si una función f no es biyectiva, entonces no se puede definir una función inversade f .

Una función biyectiva es también llamada función invertible.

Ejemplo 11:

Sea f la función de {a, b, c, d} a {1, 2, 3, 4} tal que f(a) = 4, f(b) = 1, f(c) = 3 yf(d) = 2. ¿Es f una función invertible, y si es así, cuál es su inversa?

Función invertible.

Al analizar el gráfico se evidencia que f es una función que tiene las propiedades deinyectividad y de sobre-inyectividad, por lo tanto f es una función con la propiedad debiyectividad. Como f es una función biyectiva entonces se obtiene la siguiente funcióninversa: f−1(1) = b, f−1(2) = d, f−1(3) = c y f−1(4) = a.


Ejemplo 12:

Sea la función f : Z → Z, donde f(x) = x+ 1. ¿Es f una función invertible?, si es así,¿cuál es la función inversa?

f es una función inyectiva y sobreyectiva, por lo tanto es una función biyectiva y esen consecuencia, una función que tiene inversa.

Tenemos que f(x) = x + 1, y = x + 1, x = y − 1. Entonces la función inversa de fes f−1(y) = y − 1.

Ejemplo 13:

Sea la función f : Z → Z, donde f(x) = x2. ¿Es f una función invertible?, si es así,¿cuál es la función inversa?

Se tiene que f(−1) = (−1)2 = 1 y que f(1) = (1)2 = 1, como dos valores diferentesdel dominio son mapeados por la función f al mismo valor del codominio, entonces lafunción f no es una función inyectiva, por lo tanto la función f no es biyectiva y al noser f una función biyectiva, entonces la función f no tiene inversa.

Definición de composición de funciones:

Sea g una función del conjunto A al conjunto B y sea f una función del conjunto Bal conjunto C. La composición de las funciones f y g denotado por f ◦ g, es la funcióndefinida por (f ◦ g)(a) = f(g(a)), para cada a ∈ A.

Composición de las funciones f y g.

Ejemplo 14:

Sea g la función del conjunto {a, b, c} a sí mismo tal que g(a) = b, g(b) = c y g(c) = a.

6.6. GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN 135

Sea f la función del conjunto {a, b, c} al conjunto {1, 2, 3} tal que f(a) = 3,f(b) = 2 y f(c) = 1. ¿Cuál es la composición de f y g?, ¿Cuál es la composición de gy f?

Se da respuesta a la primer pregunta, f compuesto g:(f ◦ g)(a) = f(g(a)) = f(b) = 2.(f ◦ g)(b) = f(g(b)) = f(c) = 1.(f ◦ g)(c) = f(g(c)) = f(a) = 3.

Para la segunda pregunta, g compuesto f no esta definido porque el codominio dela función f no es un subconjunto del dominio de la función g, es decir, {1, 2, 3} ⊆{a, b, c}

Ejemplo 15:

Sean f y g la funciones del conjunto de los números enteros al conjunto de los númerosenteros definidas por f(x) = 2x + 3 y g(x) = 3x + 2. ¿Cuál es la composición de f yg?, ¿cuál es la composición de g y f?

Primero se da respuesta a la pregunta de f compuesto g,(f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f(3x+ 2) = 2(3x+ 2) + 3 = 6x+ 4 + 3 = 6x+ 7.

Ahora se da respuesta a la segunda pregunta con respecto a g compuesto f ,(g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(2x+ 3) = 3(2x+ 3) + 2 = 6x+ 9 + 2 = 6x+ 11.

Con respecto a los resultados anteriores se tiene que (f ◦ g)(x) = (g ◦ f)(x), por lotanto se evidencia que la propiedad conmutativa no se presenta en la composición defunciones.

Cuando se hace la composición de una función y su inversa, en algún orden, unaidentidad de la función es obtenida. Primero se debe suponer que f es una funciónbiyectiva del conjunto A al conjunto B. Entonces la función inversa f−1 existe y es unafunción biyectiva del conjunto B al conjunto A. La inversa de la función inversa es lafunción original, tal que f−1(b) = a donde f(a) = b y f(a) = b donde f−1(b) = a. Porlo tanto, (f−1 ◦ f)(a) = f−1(f(a)) = f−1(b) = a, (f ◦ f−1)(b) = f(f−1(b)) = f(a) = b y(f−1)−1 = f .

6.6. Gráfica de una función

El gráfico de una función ayuda a que ésta sea más fácilmente comprendida, dis-cutiendo si esta es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva.


Ejemplo 16:

La siguiente es la gráfica de la función f(n) = 2n + 1, donde f : Z → Z, es decir, lafunción f va del conjunto de los números enteros al conjunto de los números enteros

Gráfico de la función f(n) = 2n+ 1 de f : Z → Z.

En la gráfica fácilmente se puede observar que la función f es inyectiva porque cadanúmero entero en el dominio referencia a un número entero en el codominio que noes referenciado por ningún otro número entero en el dominio. En la gráfica tambiénse puede apreciar que la función f no es sobreyectiva porque hay números enteros delcodominio que no son la imagen de algún número entero, tal es el caso de cualquiernúmero entero par el cual no es referenciado por ningún número entero. Por lo tanto lafunción f no es biyectiva.

6.7. Ejercicios

1. Sean los conjuntos A = {2, 3, 4, 5} y B = {6, 7, 8, 9, 10}, con |A| = 4 y|B| = 5, determinar

a) ¿Cuántas funciones hay de A a B?

b) ¿Cuántas funciones f : A → B cumplen f(2) = 6?

c) ¿Cuántas funciones hay de B a A?

d) ¿Cuántas funciones g : B → A cumplen g(10) = 5 y g(8) = 3?

e) ¿se obtiene el mismo valor en las dos preguntas anteriores?

f ) ¿Cuántas funciones inyectivas hay de A a B?

g) ¿Cuántas funciones sobreyectivas hay de A a B?

h) ¿Cuántas funciones biyectivas hay de A a B?

i) ¿Cuántas funciones inyectivas hay de B a A?

6.7. EJERCICIOS 137

j ) ¿Cuántas funciones sobreyectivas hay de B a A1?k) ¿Cuántas funciones biyectivas hay de B a A?

2. Si hay 2187 funciones f : A → B y |B| = 3, ¿cuál es el valor de |A|?

3. Si A = {1, 2, 3, 4, 5} y hay 6720 funciones inyectivas f : A → B, ¿cuál es elvalor de |B|?

4. Encontrar el rango y el dominio de la función que asigna a cada entero positivosu último dígito.

5. Encontrar el rango y el dominio de la función que asigna a cada entero positivola multiplicación de sus dígitos.

6. Encontrar el rango y el dominio de la función f que asigna a cada entero positivola suma de sus dígitos. Por ejemplo f(1) = 1, f(11) = 1 + 1 = 2 y f(532) =5 + 3 + 2 = 10.

7. Encontrar el rango y el dominio de la función que asigna a cada entero positivoel entero que le sigue (es decir, su sucesor.)

8. Encontrar el rango y el dominio de la función que asigna a una cadena de bits lacantidad de unos que esta contiene.

9. Sean las siguientes funciones Fi : Z× Z → Z

F1(m, n) = |4m| − |2n|F2(m, n) = m3 − n3

F3(m, n) = 3m− nF4(m, n) = m2 − nF5(m, n) = 2m− nF6(m, n) = m2 − n2

F7(m, n) = |m| − |n|

¿Cuáles de las funciones anteriores son uno a uno?, ¿cuáles son sobreyectivas? y¿cuáles son biyectivas?

10. Sea la función F (m, n) = |m| · |n| donde F : Z× Z → Z, ¿La función es uno auno?, ¿la función es sobreyectiva?, y ¿la función es biyectiva?

11. Sea la función F (m, n) = 3m− |n| donde F : Z×Z → Z, ¿La función es uno auno?, ¿la función es sobreyectiva?, y ¿la función es biyectiva?

12. Sea la función F (m, n) = n donde F : Z× Z → Z, ¿La función es uno a uno?,¿la función es sobreyectiva?, y ¿la función es biyectiva?

1Ayuda: Leer la sección: “Funciones Suprayectivas: Números de Stirling de Segundo Tipo” dellibro: “Matemáticas Discreta y Combinatoria” de Ralph P. Grimaldi, en donde se presenta una buenaexplicación del conteo de funciones sobreyectivas (o suprainyectivas.)


13. Sea la función F (m, n) = m · n donde F : Z × Z → Z, ¿La función es uno auno?, ¿la función es sobreyectiva?, y ¿la función es biyectiva?

14. ¿Cuántas funciones biyectivas hay del conjunto A al conjunto B si |A| = |B|?

15. Sea la función f : N → N× N,

f(0) = (x0, y0) = (0, 0)

f(n+ 1) = (xn+1, yn+1) =

(xn − 1, yn + 1) si xn ≥ 1

(yn + 1, 0) si xn = 0

Determinar:

a) ¿Qué es f(8)?

b) ¿Es f una función inyectiva?

c) ¿Es f una función sobreyectiva?

d) ¿Es f una función biyectiva?, si esto es así, ¿entonces el conjunto N tiene lamisma cardinalidad que el conjunto N× N?

e) ¿Es f una función invertible?, si es así, ¿cuál es la inversa de f?

16. Sea C = {0, 1, 00, 01, 10, 11, 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111, ...},donde C es el conjunto de todas las cadenas que se pueden formar con ceros yunos. Sea la función f : C ×C → C donde f(s, r) = s00r, lo que hace la funciónf es concatenar dos cadenas s y r colocando en medio de ellas la cadena 00.

Determinar:

a) ¿Qué es f(001, 110)?

b) ¿Es f una función inyectiva?

c) ¿Es f una función sobreyectiva?

d) ¿Es f una función biyectiva?

e) ¿Es f una función invertible?, si es así, ¿cuál es la inversa de f?

Capítulo 7

Relaciones

7.1. Relación binariaSean A y B conjuntos. Una relación binaria de A a B es un subconjunto de A×B.

En otras palabras, una relación binaria de A a B es un conjunto R de pares ordenadosdonde el primer elemento de cada par ordenado pertenece a A y el segundo pertenecea B. Se utiliza la notación aRb para denotar que (a, b) ∈ R y a Rb para denotar que(a, b) ∈ R.

Ejemplo 1:

Sea A el conjunto de estudiantes de Ingeniería de Sistemas de la Institución, y sea B elconjunto de materias de Ingeniería de Sistemas de la institución. Sea R la relación queconsiste de todos los pares ordenados (a, b) donde a es un estudiante que tiene matricu-lada la materia b. Si los estudiantes “Jaime” y “Claudia” están matriculados en la materia“Matemáticas Discretas” entonces los pares ordenados (Jaime, Matematicas Discretas)y (Claudia, Matematicas Discretas) pertenecen a la relación R, adicionalmente “Clau-dia” también tiene matriculado el curso de “Bases de Datos”, lo cual se representa conel par ordenado (Claudia, Bases de Datos), que también pertenece a la relación R.

Ejemplo 2:

Sea A = {a, b, c} y B = {1, 2, 3, 4}. Entonces {(a, 2), (a, 4), (b, 1), (c, 3)} es unarelación de A a B, la cual también se puede representar como aR2, aR4, bR1 y cR3. Estarelación puede ser fácilmente representada de forma gráfica y tabular de la siguienteforma:

139

140 CAPÍTULO 7. RELACIONES

Gráficamente:

Tabularmente:R 1 2 3 4

a X Xb Xc X

7.2. Funciones como relaciones

Si R es una relación del conjunto A al conjunto B tal que cada elemento de A esla primera componente de exactamente un par ordenado de R, entonces una funciónpuede ser definida con la relación R. De esta forma se evidencia que las relaciones sonuna generalización de las funciones y sirven para representar una clase más amplia derelaciones entre conjuntos.

7.3. Relaciones en un conjunto

Las relaciones de un conjunto A consigo mismo son de gran interés.

Definición de relación:

Una relación en el conjunto A es una relación del conjunto A al conjunto A, es decir,una relación en un conjunto A es un subconjunto de A× A.

Ejemplo 3:

Sea A = {1, 2, 3, 4} y la relación R = {(a, b) | a divide b} definida sobre el conjuntoA. ¿Cuáles pares ordenados pertenecen a la relación R?.

El producto cruz del conjunto A es el siguiente:

7.3. RELACIONES EN UN CONJUNTO 141

A× A = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4),(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4),(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4),(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4)}

y los pares ordenados de este producto cruz donde la primera componente divide ala segunda son: (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 3), y (4, 4), los cualesconforman la relación R

R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 3), (4, 4)}.

Observe que R ⊆ A× A.

Ejemplo 4:

Considerar las siguientes relaciones definidas en el conjunto de los números enteros:

R1 = {(a, b) | a ≤ b}R2 = {(a, b) | a > b}R3 = {(a, b) | a = b ∨ a = −b}R4 = {(a, b) | a = b}R5 = {(a, b) | a = b+ 1}R6 = {(a, b) | a+ b ≤ 3}

¿Cada uno de los siguientes pares ordenados (1, 1), (1, 2), (2, 1), (1, − 1) y (2, 2)pertenecen a cuáles relaciones?

El par ordenado (1, 1) se encuentra presente en las relaciones R1, R3, R4 y R6, elpar ordenado (1, 2) se encuentra presente en las relaciones R1 y R6, el par ordenado(2, 1) se encuentra presente en las relaciones R2, R5 y R6, el par ordenado (1, − 1) seencuentra presente en las relaciones R2, R3 y R6 y el par ordenado (2, 2) se encuentrapresente en las relaciones R1, R3 y R4.

Ejemplo 5:

¿Cuántas relaciones hay en un conjunto de n elementos?

Una relación en un conjunto A es un subconjunto de A× A, donde A× A tiene n2

pares ordenados cuando |A| = n. Recordar que un conjunto con m elementos tiene 2m

subconjuntos, entonces 2|A×A| = 2n2 es el número total de relaciones del conjunto A al

conjunto A.Por ejemplo si A = {a, b, c} entonces hay 2|A|2 = 23

2= 29 = 512 relaciones en el

conjunto A.


Ejemplo 6:

¿Cuántas y cuáles relaciones hay en el conjunto A = {1, 2}?

Primero se debe calcular el producto cruz del conjunto A con el mismo:

A× A = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}

Luego, como una relación es cualquier subconjunto que se puede sacar del productocruz del conjunto que se esta trabajando, entonces se debe comenzar con los subconjun-tos de tamaño cero, tamaño uno, tamaño dos y así sucesivamente hasta el subconjuntoque tiene la misma cardinalidad de A× A.

R1 = {}R2 = {(1, 1)}R3 = {(1, 2)}R4 = {(2, 1)}R5 = {(2, 2)}R6 = {(1, 1), (1, 2)}R7 = {(1, 1), (2, 1)}R8 = {(1, 1), (2, 2)}R9 = {(1, 2), (2, 1)}R10 = {(1, 2), (2, 2)}R11 = {(2, 1), (2, 2)}R12 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1)}R13 = {(1, 1), (1, 2), (2, 2)}R14 = {(1, 1), (2, 1), (2, 2)}R15 = {(1, 2), (2, 1), (2, 2)}R16 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}

Son 16 relaciones las cuales coinciden con el resultado que se obtiene al utilizar lafórmula que se trabajo en el ejemplo anterior, 2|A|2 = 22

2= 24 = 16.

7.4. Propiedades de las relaciones

7.4.1. Propiedad de reflexividad

Una relación R en un conjunto A tiene la propiedad de reflexividad si (a, a) ∈ Rpara cada elemento a ∈ A.

Ejemplo 7:

Considerar las siguientes relaciones en el conjunto A = {1, 2, 3, 4}

7.4. PROPIEDADES DE LAS RELACIONES 143

R1 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 4), (4, 1), (4, 4)}R2 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1)}R3 = {(1, 1), (1, 2), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (4, 4)}R4 = {(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3)}R5 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 4)}R6 = {(3, 4)}

¿Cuáles de estas relaciones tienen la propiedad de reflexividad?

Se tiene que entrar a analizar que se encuentren presentes todos los siguientes paresordenados: (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4). Estos pares ordenados se encuentran todospresentes únicamente en las relaciones R3 y R5, las cuales son relaciones que tienen lapropiedad de reflexividad.

7.4.2. Propiedad de simetría

Una relación R en un conjunto A tiene la propiedad de simetría si cuando (a, b) ∈ Rentonces también (b, a) ∈ R, para a, b ∈ A.

Ejemplo 8:

¿Cuáles de las relaciones del ejemplo 7 anterior tienen la propiedad de simetría?

Las únicas relaciones que tienen la propiedad de simetría son R2 y R3.

7.4.3. Propiedad de antisimetría

Una relación R en un conjunto A tiene la propiedad de antisimetría si (a, b) ∈ R ya = b entonces (b, a) ∈ R, para a, b ∈ A.

Ejemplo 9:

¿Cuáles de las relaciones del ejemplo 7 tienen la propiedad de antisimetría?

Las únicas relaciones que tienen la propiedad de antisimetría son R4, R5 y R6.

7.4.4. Propiedad de transitividad

Una relación R en un conjunto A tiene la propiedad de transitividad si cuando sepresentan (a, b) ∈ R y (b, c) ∈ R también se presenta (a, c) ∈ R, para a, b, c ∈ A.

Ejemplo 10:

¿Cuáles de las relaciones del ejemplo 7 tienen la propiedad de transitividad?

Las únicas relaciones que tienen la propiedad de transitividad son R3, R4, R5 y R6.


Ejemplo 11:

Considerar la siguiente relación definida en el conjunto de los números enteros:

R = {(a, b) | a ≥ b}

¿La relación R cumple la propiedad de reflexividad?, ¿cumple la propiedad desimetría?, ¿cumple la propiedad de antisimetría?, y, ¿cumple la propiedad de transi-tividad?

R cumple la propiedad de reflexividad porque cualquier número entero es mayor oigual a el mismo. R no cumple la propiedad de simetría porque hay pares ordenamosque pertenecen a la relación para los cuales el par ordenado simétrico no pertenece a larelación, tal es el caso del par ordenado (2, 1) ∈ R porque 2 ≥ 1 pero (1, 2) ∈ R porque1 � 2. La relación R cumple la propiedad de antisimetría porque la única posibilidadde que a ≥ b y b ≥ a es que a = b, de esta forma (a, b) ∈ R y (b, a) ∈ R si ysolo si a = b. La relación R también cumple la propiedad de transitividad ya que paracualquier conjunto de tres números enteros a, b y c, si a ≥ b y b ≥ c entonces se cumpleque a ≥ c, con lo cual se tiene que si (a, b) ∈ R y (b, c) ∈ R entonces (a, c) ∈ R.

Ejemplo 12:

Considerar la siguiente relación definida en el conjunto de los números enteros:

R = {(a, b) | a = b}

¿La relación R cumple la propiedad de reflexividad?, ¿cumple la propiedad desimetría?, ¿cumple la propiedad de antisimetría?, ¿cumple la propiedad de transitivi-dad?, y, ¿es posible que al mismo tiempo una relación tenga las propiedades de simetríay antisimetría?

La relación R cumple la propiedad de reflexividad porque cualquier número entero esigual a el mismo. R cumple la propiedad de simetría porque todos los pares ordenadosque pertenecen a la relación R son de la forma (a, a) para a ∈ Z con lo cual todopar ordenado es simétrico con el mismo. R cumple la propiedad de antisimetría porquetodos los pares ordenados que pertenecen a la relación R son de la forma (a, a) paraa ∈ Z con lo cual se garantiza la definición de antisimetría donde a = a. La relación Rtambién cumple la propiedad de transitividad ya que para cualquier conjunto de tresnúmeros enteros a, b y c, si (a, b) ∈ R y (b, c) ∈ R es porque a = b y b = c, de dondese obtiene que a = c y que por lo tanto (a, c) ∈ R, con lo cual se cumple la definiciónde la propiedad de transitividad.Con respecto a la última pregunta, ¿es posible que al mismo tiempo una relación tengalas propiedades de simetría y antisimetría?, la respuesta es que si y este ejemplo es unode esos casos, es de vital importancia recalcar que dichas propiedades no son excluyentesen una relación, donde las dos pueden estar presentes o las dos pueden estar ausentes

7.5. COMBINACIÓN DE RELACIONES 145

al mismo tiempo.

7.5. Combinación de relaciones

Como las relaciones de A a B son subconjuntos del conjunto de pares ordenadosA × B, entonces dos relaciones de A a B pueden ser combinadas (u operadas) de laforma en que se combinan dos conjuntos.

Ejemplo 13:

Sean los conjuntos A = {1, 2, 3} y B = {1, 2, 3, 4}. Las siguientes relaciones R1 yR2 están definidas del conjunto A al conjunto B, donde R1 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}y R2 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4)}, estas relaciones pueden ser combinadas obte-niendo:

R1 ∪R2 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (3, 3)}R1 ∩R2 = {(1, 1)}R1 −R2 = {(2, 2), (3, 3)}R2 −R1 = {(1, 2), (1, 3), (1, 4)}

Ejemplo 14:

Sean las siguientes relaciones R1 y R2 que están definidas en el conjunto de los númerosenteros, donde R1 = {(x, y) | x < y} y R2 = {(x, y) | x > y}.

¿Qué es R1 ∪R2, R1 ∩R2, R1 −R2 y R2 −R1?

R1 ∪R2 = {(x, y) | x = y}R1 ∩R2 = {}R1 −R2 = R1

R2 −R1 = R2

7.6. Composición y potencia de relaciones

Definición de composición de relaciones:

Sea R una relación del conjunto A al conjunto B y sea S una relación del conjunto Bal conjunto C. La composición de las relaciones R y S es la relación consistente de lospares ordenados (a, c), donde a ∈ A y c ∈ C y para los cuales existe un elemento b ∈ Btales que (a, b) ∈ R y (b, c) ∈ S. Se denota la composición de R y S por S ◦R.


Ejemplo 15:

Sean los conjuntos A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3, 4}, C = {0, 1, 2} y las rela-ciones R = {(1, 1), (1, 4), (2, 3), (3, 1), (3, 4)} del conjunto A al conjunto B yS = {(1, 0), (2, 0), (3, 1), (3, 2), (4, 1)} del conjunto B al conjunto C. ¿Qué esS ◦R?

S ◦R = {(1, 0), (1, 1), (2, 1), (2, 2), (3, 0), (3, 1)}

Ejemplo 16:

Sea R la relación en el conjuntos de las personas del mundo tal que (a, b) ∈ R si a esel padre de b. ¿Qué da como resultado R ◦R?

R ◦ R da como resultado una relación que es el conjunto de pares ordenados depersonas donde la primer componente es el abuelo paterno de la segunda componente.

Definición de potencia de una relación:

Sea R una relación en el conjunto A. La potencia Rn, donde n ∈ Z+, es definida recur-sivamente por

Rn =

{R si n = 1

Rn−1 ◦R si n > 1

Ejemplo 17:

Sea la relación R = {(1, 1), (2, 1), (3, 2), (4, 3)}. ¿Cuál es la potencia Rn para n ≥ 1?

R1 = R = {(1, 1), (2, 1), (3, 2), (4, 3)}R2 = R1 ◦R = {(1, 1), (2, 1), (3, 2), (4, 3)} ◦ {(1, 1), (2, 1), (3, 2), (4, 3)}

= {(1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 2)}R3 = R2 ◦R = {(1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 2)} ◦ {(1, 1), (2, 1), (3, 2), (4, 3)}

= {(1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1)}R4 = R3 ◦R = {(1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1)} ◦ {(1, 1), (2, 1), (3, 2), (4, 3)}

= {(1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1)}

Como R4 = R3 entonces Rn = R3 para n > 3.

7.7. Representación de relaciones

7.7.1. Representación de relaciones utilizando matrices

Una relación entre conjuntos finitos puede ser representada usando matrices de cerosy unos. Suponer que R es una relación del conjunto A = {a1, a2, a3, . . . , am} al con-

7.7. REPRESENTACIÓN DE RELACIONES 147

junto B = {b1, b2, b3, . . . , bn}. La relación R puede ser representada por la matrizMR = [mij], donde

mij =

{1 si (ai, bj) ∈ R

0 si (ai, bj) ∈ R

Ejemplo 18:

Sean los conjuntos A = {1, 2, 3} y B = {1, 2}, sea la relación R = {(a, b) | a > b}= {(2, 1), (3, 1), (3, 2)} definida del conjunto A al conjunto B. La representación dela relación R por medio de matrices es la siguiente:

MR =

0 01 01 1

Ejemplo 19:

Sea la relación R en el conjunto A = {1, 2, 3, 4}. ¿Cuáles pares ordenados están en larelación R representados por la matriz

MR =

0 1 0 01 0 1 10 1 1 00 1 0 1

?

La relación contiene los siguientes pares ordenados:

R = {(1, 2), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (4, 2), (4, 4)}.

Las matrices cuadradas son utilizadas para determinar si las relaciones tienen cier-tas propiedades. Ellas son:

La propiedad de reflexividad: si la diagonal principal esta compuesta de unos.

1

1. . .

11

Recordar que R es reflexivasi únicamente si (ai, ai) ∈ Rpara i = 1, 2, 3, . . . , n


La propiedad de Simetría.

1

↗1

. . . 0↗

0

Recordar que R es simétricasi y únicamente si (a, b) ∈R si Mr = (Mr)

t entonces Res simétrica

La propiedad de Antisimetría.

1

↗ 00 ↗ 0

0 ↗1

Recordar que R es antisimétricasi y únicamente si (a, b) ∈ R y(b, a) ∈ R implica que a = b

Ejemplo 20:

Suponer que la relación R en un conjunto es representada por la matriz:

Mr =

1 1 01 1 10 1 1

La relación R es reflexiva.

La relación R es simétrica.

La relación R no es antisimétrica.

Las operaciones de unión e intersección de relaciones se pueden realizar con la repre-sentación en matricesMR1∪R2 = MR1 ∨MR2

MR1∩R2 = MR1 ∧MR2

Ejemplo 21:

Las relaciones R1 y R2 en un conjunto A son representados por las matrices

MR1 =

1 0 11 0 00 1 0

y MR2 =

1 0 10 1 11 0 0

7.7. REPRESENTACIÓN DE RELACIONES 149

MR1∪R2 = MR1∨MR2 =

1 0 11 1 11 1 0

MR1∩R2 = MR1∧MR2 =

1 0 10 0 00 0 0

La composición de relaciones que son representadas por medio de matrices es

MS◦R = Mr ⊙Ms, donde ⊙ es la multiplicación de matrices binarias.

Ejemplo 22:

Encontrar la matriz que represente la relación S ◦R donde las matrices que representaR y S son:

MR =

1 0 11 1 00 0 0

y MS =

0 1 00 0 11 0 1

MS◦R = MR⊙MS =

1 1 10 1 10 0 0

La matriz que representa la composición de dos relaciones puede ser usada para

encontrar la matriz de MRn . En particular MRn = MnR

Ejemplo 23:

Encontrar la matriz que representa la relación R2, donde la matriz que representa larelación R es:

MR =

0 1 00 1 11 0 0

El resultado es el siguiente:

MR2 = M2R = MR⊙MR =

0 1 11 1 10 1 0


7.8. Ejercicios1. Sean los conjuntos A = {2, 3, 4, 5, 6} y B = {15, 16, 17, 18, 19, 20}, listar los

elementos de la relación R ⊆ A×B donde aRb si a divide (exactamente) a b.

2. Sea el conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} sobre el cual está definida la relaciónR = {(a, b) | a− b es multiplo de 3}. Para la relación R contestar las siguientespreguntas

a) ¿Cuáles son los pares ordenados de |A×A| que pertenecen a la relación R?

b) ¿La relación R tiene la propiedad de reflexividad?

c) ¿La relación R tiene la propiedad de simetría?

d) ¿La relación R tiene la propiedad de antisimetría?

e) ¿La relación R tiene la propiedad de transitividad?

3. Sean A y B conjuntos con |B| = 3. Si hay 4096 relaciones de A a B, ¿cuál es elvalor de |A|?

4. Sean los conjuntos A = {1, 3, 5} y B = {2, 4, 6, 8}, determinar

a) A×B

b) |A×B|c) El número de relaciones de A a B

d) El número de relaciones binarias en A

e) El número de relaciones de A a B que contenga (1, 2) y (3, 4)

f ) El número de relaciones de A a B que contenga exactamente cuatro paresordenados

g) El número de relaciones binarias en A que contenga como mínimo cinco paresordenados

5. Sean las siguientes relaciones definidas en el conjunto A = {1, 2}

R1 = {}R2 = {(1, 1)}R3 = {(1, 2)}R4 = {(2, 1)}R5 = {(2, 2)}R6 = {(1, 1), (1, 2)}R7 = {(1, 1), (2, 1)}R8 = {(1, 1), (2, 2)}R9 = {(1, 2), (2, 1)}R10 = {(1, 2), (2, 2)}R11 = {(2, 1), (2, 2)}

7.8. EJERCICIOS 151

R12 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1)}R13 = {(1, 1), (1, 2), (2, 2)}R14 = {(1, 1), (2, 1), (2, 2)}R15 = {(1, 2), (2, 1), (2, 2)}R16 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}

a) ¿Cuáles de las relaciones cumplen la propiedad de reflexividad?b) ¿Cuáles de las relaciones cumplen la propiedad de simetría?c) ¿Cuáles de las relaciones cumplen la propiedad de antisimetría?d) ¿Cuáles de las relaciones cumplen la propiedad de transitividad?

6. Sea el conjunto A = {1, 2, 3}.

a) ¿Cuántas relaciones hay en el conjunto A?b) ¿Cuántas relaciones hay en el conjunto A que sean reflexivas?c) ¿Cuántas relaciones hay en el conjunto A que sean simétricas?d) ¿Cuántas relaciones hay en el conjunto A que sean antisimétricas?e) ¿Cuántas relaciones hay en el conjunto A que sean transitivas?

7. Sea R una relación del conjunto A al conjunto B. La relación inversa de B a A,denotada por R−1, es el conjunto de los pares ordenados {(b, a) | (a, b) ∈ R}.La relación complemento R es el conjunto de pares ordenados {(a, b) | (a, b) nopertenece a R}. Calcular R−1 y R para:

a) R = {(a, b) | a < b} en el conjunto de los números enteros.b) R = {(a, b) | a divide a b} en el conjunto de los números enteros.c) R la relación en el conjunto de todos los departamentos de Colombia, la

relación R consiste de todos los pares ordenados (a, b) donde el departamentoa limita con el departamento b.

d) R = {(a, b) | a+ b ≤ 3} en el conjunto de los números enteros.e) R = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 5)},

en el conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5}.f ) R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (4, 5), (5, 4), (5, 5), (6, 6)},

en el conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

8. Sea R la relación en el conjunto {1, 2, 3, 4, 5} que contiene los pares ordenados(1, 2), (1, 3), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 4), (3, 5), (4, 2), (4, 5), (5, 1), (5, 2) y(5, 4). Calcular:

a) R2

b) R3

c) R4

d) R5

Capítulo 8

Relaciones de equivalencia

Definición (Relación de Equivalencia):

Una relación en un conjunto A es llamada una relación de equivalencia si ésta es refle-xiva, simétrica y transitiva.

Dos elementos que son relacionados por una relación de equivalencia son llamadosequivalentes.

Ejemplo 1:

Supóngase que R es una relación en el conjunto de las cadenas escritas con el alfabetoespañol tales que aRb si y únicamente si l(a) = l(b) donde l(x) es la longitud de lacadena x. ¿Es R una relación de equivalencia?.

Para que R sea una relación de equivalencia ésta tiene que ser reflexiva, simétrica ytransitiva.

Reflexiva: l(a) = l(a), de ésta forma aRa, por lo tanto R es reflexiva.

Simétrica: aRb lo que indica que l(a) = l(b) como l(b) = l(a) esto indica que bRa porlo tanto R es simétrica.

Transitiva: suponer que aRb y bRc, entonces l(a) = l(b) y l(b) = l(c), donde se obtieneque l(a) = l(c), por lo tanto R es transitiva.

Como la relación R es reflexiva, simétrica y transitiva, entonces es una relación deequivalencia.

Ejemplo 2:

Sea R la relación en el conjunto de los números reales tales que aRb si y solo si, a− bes un entero. ¿Es R una relación de equivalencia?

Para que R sea una relación de equivalencia ésta tiene que ser reflexiva, simétrica ytransitiva.

153

154 CAPÍTULO 8. RELACIONES DE EQUIVALENCIA

Reflexiva: a − a = 0 que es un número entero para todos los números reales a. AsíaRa. La relación R si es reflexiva.

Simétrica: Suponer que aRb, entonces a − b es un número entero, también se tieneque b−a es un número entero y se obtiene entonces bRa, de ésta forma se obtienela propiedad de simetría en la relación R.

Transitiva : si aRb y bRc, entonces a−b y b−c son enteros, además a−c = (a−b)+(b−c)que es también un entero, lo que conduce a tener aRc. Por lo tanto R es transitiva.

Como la relación R es reflexiva, simétrica y transitiva, entonces R es una relación deequivalencia.

Ejemplo 3: (Congruencia módulo m)

Sea m un entero positivo con m > 1, mostrar que la relaciónR = {(a, b) | a ≡ b (mod m)} es una relación de equivalencia en el conjunto de losnúmeros enteros.

Recordar que a ≡ b (mod m) si y solo si m divide exactamente a a− b.

Reflexiva: aRa, a ≡ a (mod m), a− a = 0, cero es divisible exactamente por m porlo tanto la relación R es reflexiva.

Simétrica: Ahora suponer que aRb, a ≡ b (mod m), a− b = k ·m, de este modo a− bes divisible por m. entonces b− a = (−k) ·m, por lo tanto bRa (b ≡ a (mod m)).De ésta forma la relación de congruencia módulo m es simétrica.

Transitividad: Si aRb y bRc es porque a ≡ b (mod m) y b ≡ c (mod m), por lo tantoel número entero m divide exactamente a a− b y a b− c, de esta forma:a− b = k ·m y b− c = l ·m, donde k, l ∈ Za− c = a− c− b+ b

= (a− b) + (b− c)= k ·m + l ·m= (k + l) ·m= j ·m, donde j = k + l, j ∈ Z.

como a − c = j · m entonces se cumple que a ≡ c (mod m), de ésta forma secumple que la relación R tiene la propiedad de transitividad.

Como la relación R es reflexiva, simétrica y transitiva entonces R es una relación deequivalencia.

8.1. CLASES DE EQUIVALENCIA 155

8.1. Clases de equivalencia

Definición (Clase de equivalencia):

Sea R una relación de equivalencia en un conjunto A. El conjunto de todos los elementosque están relacionados con el elemento a (para a ∈ A) es llamada la clase de equivalen-cia de a. La clase de equivalencia de a con respecto a la relación de equivalencia R esdenotada con [a]R .

En otras palabras, si R es una relación de equivalencia en un conjunto A, la clase deequivalencia del elemento a es:

[a]R = {s | (a, s) ∈ R}

Si b ∈ [a]R, entonces b es llamado representante de ésta clase de equivalencia. Cualquierelemento de una clase de equivalencia puede representarla.

Ejemplo 4:

¿Cuál es la clase de equivalencia para el número 0 en la relación a ≡ b (mod 4)?

La clase de equivalencia del 0 contiene todos los números enteros a tales quea ≡ 0 (mod 4), es decir, contiene todos los números enteros a que son divisibles deforma exacta por 4.

[0] = {. . . , − 8, − 4, 0, 4, 8, . . .}

8.2. Clases de equivalencia y particiones

Teorema:

Sea R una relación de equivalencia en un conjunto A. Los siguientes tres ítems sonequivalentes:

1. aRb

2. [a]R = [b]R

3. [a]R ∩ [b]R = ∅

Sea R una relación de equivalencia en un conjunto A. La unión de todas las clases deequivalencia de R da como resultado el conjunto A∪

a∈A

[a]R = A

Si [a]R ∩ [b]R = ∅ entonces [a]R = [b]R.


Las observaciones anteriores muestran que las clases de equivalencia forman unapartición del conjunto A, donde ellas fraccionan al conjunto A en subconjuntos disyun-tos. Más precisamente, una partición de un conjunto S es una colección de subconjuntosno vacíos disyuntos de S que tienen a S como su unión. En otras palabras, la colecciónde subconjuntos Ai, i ∈ I (donde I es el conjunto de índices) forma una partición deconjunto S si y solo si Ai = ∅ para i ∈ I, Ai ∩ Aj = ∅ cuando i = j, y

∪i∈I

Ai = S

Ejemplo 5:

Sea el conjunto S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. La colección de conjuntos A1 = {1, 2, 3},A2 = {4, 5} y A3 = {6} forman una partición del conjunto S, donde estos conjuntosson disyuntos y su unión es el conjunto S.

Los subconjuntos en una partición son clases de equivalencia.Dos elementos son equivalentes con respecto a la relación si y únicamente si ellos estánen el mismo subconjunto de la partición.

Teorema:

Sea R una relación de equivalencia en un conjunto S. Entonces las clases de equivalenciade R forman una partición de S. Así mismo, dada una partición {Ai | i ∈ I} del conjuntoS, hay una relación de equivalencia R que tiene el conjunto Ai, i ∈ I, como clase deequivalencia.

Ejemplo 6:

Listar los pares ordenados en la relación de equivalencia R producidos por la particiónA1 = {1, 2, 3}, A2 = {4, 5} y A3 = {6} del conjunto S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Los subconjuntos en la partición son clases de equivalencia de R, donde el par ordenado(a, b) ∈ R si y solo si a y b están en el mismo subconjunto de la partición.

8.3. CONJUNTOS PARCIALMENTE ORDENADOS 157

Pares ordenados que aparecen en la relación de equivalencia R gracias a los ele-mentos de la partición (o clase de equivalencia) A1: (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1),(2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2) y (3, 3).

Pares ordenados que aparecen en la relación de equivalencia R gracias a los ele-mentos de la partición (o clase de equivalencia) A2: (4, 4), (4, 5), (5, 4) y (5, 5)

Pares ordenados que aparecen en la relación de equivalencia R gracias a los ele-mentos de la partición (o clase de equivalencia) A3: (6, 6)

De esta forma la relación de equivalencia R contiene únicamente los siguientes paresordenados:

R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (4, 4),(4, 5), (5, 4), (5, 5), (6, 6)}

Hay m diferentes clases de congruencia módulo m, correspondientes a los m dife-rentes residuos posibles cuando un entero es dividido por m. Estas m clases de con-gruencia son denotadas por [0]m, [1]m, . . . , [m − 1]m. Ellos forman una partición delconjunto de los enteros.

Ejemplo 7:

¿Cuales son los conjuntos en la partición de los números enteros para la relacióna ≡ b (mod 4)4?

Hay cuatro clases de congruencia correspondientes a [0] ≡ (mod 4), [1] ≡ (mod 4), [2] ≡ (mod 4)

y [3] ≡ (mod 4), ellas son los conjuntos:

[0] ≡ (mod 4) = {. . . , − 8, − 4, 0, 4, 8, . . .}

[1] ≡ (mod 4) = {. . . , − 7, − 3, 1, 5, 9, . . .}

[2] ≡ (mod 4) = {. . . , − 6, − 2, 2, 6, 10, . . .}

[3] ≡ (mod 4) = {. . . , − 5, − 1, 3, 7, 11, . . .}

Las clases de congruencia son disyuntas, y cada número entero está exactamente unasola de ellas.

8.3. Conjuntos parcialmente ordenados

Una relación R ⊆ S × S genera un ordenamiento parcial en el conjunto S si éstacumple las propiedades de reflexividad, antisimetría y transitividad. Un conjunto S quees parcialmente ordenado con respecto a la relación R es denotado por (S, R).


Ejemplo 8:

¿La relación “mayor o igual que” (≥) genera un ordenamiento parcial en el conjunto delos números enteros?

Para dar respuesta a este interrogante primero se deben analizar las propiedades dereflexividad, antisimetría y transitividad de la relación, para esto se tiene:

Reflexiva: Sea a ∈ Z, como cualquier número entero es mayor o igual a él mismo(a ≥ a) entonces aRa, de donde se concluye que la relación R tiene la propiedadde reflexividad.

Antisimétrica: Sea a, b ∈ Z, si aRb es porque (a ≥ b) y si bRa es porque (b ≥ a), laúnica forma de que se presente al mismo tiempo aRb y bRa es cuando a = b, conlo cual se cumple la propiedad de antisimetría en la relación R.

Transitiva: Sea a, b, c ∈ Z, si aRb y bRc es porque (a ≥ b) y (b ≥ c) de donde seobtiene que (a ≥ c) con lo cual se cumple que aRc, con lo cual se concluye que larelación R cumple la propiedad de transitividad.

Como la relación “mayor o igual que” cumple las propiedades reflexiva, antisimétricay transitiva entonces la relación genera un ordenamiento parcial en el conjunto de losnúmeros enteros, o expresado de una forma equivalente (Z,≥) es un conjunto parcial-mente ordenado.

Ejemplo 9:

¿La relación divisibilidad ( | ) genera un ordenamiento parcial en el conjunto de losnúmeros enteros positivos?

Sea R la relación de divisibilidad, R = {(a, b) | a, b, m ∈ Z+ ∧ b = m · a}, enpalabras, aRb o (a, b) ∈ R si a divide de forma exacta a b. La relación de divisibilidadR genera un ordenamiento parcial en el conjunto de los números enteros positivos sicumple las propiedades de reflexividad, antisimetría y transitividad. En el análisis deestas propiedades se tiene:

Reflexiva: Sea el número a ∈ Z+, a divide de forma exacta a a y se obtiene comoresultado el número entero 1, sea cual sea el número entero positivo a, aRa, porlo tanto la relación de divisibilidad cumple la propiedad de reflexividad.

Antisimétrica: Sean los números a, b ∈ Z+, si aRb es porque a divide de forma exactaa b y si bRa es porque b divide de forma exacta a a, la única forma de que sepresente al mismo tiempo aRb y bRa es cuando a = b, con lo cual se cumple lapropiedad de antisimetría en la relación de divisibilidad.

8.3. CONJUNTOS PARCIALMENTE ORDENADOS 159

Transitiva: Sean los números a, b, c ∈ Z+, si aRb es porque b = m · a para m ∈ Z+ ysi bRc es porque c = n · b para n ∈ Z+, como b = m · a entonces c = n · (m · a) =(n ·m) ·a = p ·a para p = n ·m donde p ∈ Z+, como c = p ·a entonces a divide deforma exacta a c, es decir aRc, de esta forma la relación de divisibilidad cumplela propiedad de transitividad.

Como la relación de “divisibilidad” cumple las propiedades reflexiva, antisimétrica ytransitiva entonces la relación genera un ordenamiento parcial en el conjunto de losnúmeros enteros positivos, o expresado de una forma equivalente (Z+, | ) es un conjuntoparcialmente ordenado.

Ejemplo 10:

Mostrar que la relación de inclusión (⊆) genera un ordenamiento parcial en el conjuntopotencia de un conjunto S.

Recordar que el conjunto potencia de un conjunto S, es el conjunto que contiene todoslos subconjuntos que se encuentran presentes en el conjunto S, la notación que se utilizapara representar dicho conjunto es P(S).

Sea R = {(A, B) | A, B ∈ P(S) ∧ A ⊆ B} para S que es un conjunto, la relación R esde orden parcial si cumple las propiedades de reflexividad, antisimetría y transitividad.En el análisis de las propiedades se tiene:

Reflexiva: Sea el conjunto A ∈ P(S), A ⊆ A, el conjunto A esta contenido en elconjunto A, por lo tanto se cumple la propiedad de reflexividad donde (A, A) ∈ R.

Antisimétrica: Sean los conjuntos A, B ∈ P(S), si (A, B) ∈ R es porque A ⊆ B y si(B, A) ∈ R es porque B ⊆ A, la única posibilidad de que se presente al mismotiempo (A, B) ∈ R y (B, A) ∈ R es cuando A = B, con lo cual la relación Rcumple la propiedad de antisimetría.

Transitiva: Sean los conjuntos A, B, C ∈ P(S), si (A, B) ∈ R y (B, C) ∈ R esporque A ⊆ B y B ⊆ C de donde se deduce que A ⊆ C lo que garantiza que(A, C) ∈ R, con lo cual la relación R cumple la propiedad de transitividad.

Como la relación de inclusión cumple las propiedades de reflexividad, antisimetría ytransitividad, entonces el conjunto potencia es un conjunto parcialmente ordenado conrespecto a la relación de inclusión, o expresado de una forma equivalente (P(S), ⊆)es un conjunto parcialmente ordenado.

Definición:

Sea una relación R ⊆ S×S, si la relación R genera un orden parcial sobre el conjunto S,para a, b ∈ S se dice que los elementos a y b son comparables si (a, b) ∈ R o (b, a) ∈ R.Cuando (a, b) ∈ R y (b, a) ∈ R se dice que los elementos a y b son incomparables.


Ejemplo 11:

En un ejemplo anterior ya se demostró que la relación de divisibilidad genera un ordenparcial sobre el conjunto de los números enteros positivos, lo que es representado como(Z+, | ). ¿Son los números 2 y 4 comparables en (Z+, | )?, ¿son los números 5 y 2comparables en (Z+, | )?

Para dar respuesta a las preguntas se tiene:

Se cumple que 2, 4 ∈ Z+ y que (2, 4) ∈ R porque el número 2 divide de formaexacta al número 4, por este motivo los números 2 y 4 son comparables sobre(Z+, | ).

Se cumple que 5, 2 ∈ Z+, pero, (5, 2) ∈ R porque el número 5 no divide deforma exacta al número 2 y (2, 5) ∈ R porque el número 2 no divide de formaexacta al número 5, como (5, 2) ∈ R y (2, 5) ∈ R entonces los números 2 y 5 sonincomparables sobre (Z+, | ).

Definición:

Sea una relación R ⊆ S × S. La relación R genera un orden total en un conjuntoS cuando ésta cumple las propiedades de reflexividad, antisimetría y transitividad,y adicionalmente, para cualquier par de elementos a, b ∈ S, a y b tienen que sercomparables.

En esta definición se exige que para que una relación R genere un orden total sobre unconjunto S, primero, la relación tiene que generar un orden parcial sobre el conjunto S,y luego se tiene que cumplir que cualquier par de elementos a y b del conjunto S seancomparables.

Ejemplo 12:

¿La relación de divisibilidad genera un orden total en el conjunto de los números enterospositivos?

En un ejemplo anterior ya se demostró que la relación de divisibilidad genera un or-den parcial sobre Z+, pero, no genera un orden total sobre Z+ porque existen paresordenados de Z+ × Z+ que son incomparables, por ejemplo los números 3 y 10 sonincomparables.

Ejemplo 13:

¿La relación “mayor o igual que” genera un orden total en el conjunto de los númerosenteros?

8.4. EJERCICIOS 161

En un ejemplo anterior ya se demostró que la relación “mayor o igual que” genera unorden parcial sobre Z, ahora lo que hace falta es analizar si para cualquier par denúmeros a, b ∈ Z, a y b son comparables, para esto obligatoriamente se tiene quecumplir que a ≥ b o b ≥ a, donde aRb o bRa con lo cual se cumple que cualquier parde números enteros a y b son comparables, por lo tanto la relación “mayor o igual que”genera un orden total sobre el conjunto de los números enteros.

8.4. Ejercicios

1. Demostrar o refutar que la relación R = {(a, b) | a − b es par} es una relaciónde equivalencia en el conjunto de los números enteros.

2. Demostrar o refutar que la relación R = {(a, b) | a = b} es una relación deequivalencia en el conjunto de los números enteros.

3. Sea R una relación de equivalencia, ¿Qué se obtiene como resultado de R ◦R?.

4. Sea la siguiente relación en el conjunto de todas las personas del mundo,R = {(a, b) | a y b tienen el mismo año de nacimiento}, ¿es R una relaciónde equivalencia?, si R es una relación de equivalencia, ¿Cuáles y cuántas son lasclases de equivalencia?

5. Sea la siguiente relación en el conjunto de todas las personas del mundo,R = {(a, b) | a y b tienen la misma fecha de cumpleaños }, ¿es R una relaciónde equivalencia?, si R es una relación de equivalencia, ¿Cuáles y cuántas son lasclases de equivalencia?

Nota: El hecho de que dos personas tengan la misma fecha de cumpleaños noindica que las dos personas tengan la misma fecha de nacimiento, por ejemploCarlos y Manuel cumplen años el 22 de Julio, pero la fecha de nacimiento deCarlos es el 22 de Julio de 1968 mientras la fecha de nacimiento de Manuel es el22 de Julio de 1975.

6. Sea la siguiente relación en el conjunto de todas las personas del mundo,R = {(a, b) | a y b tienen al menos un mismo padre en común}, ¿es R unarelación de equivalencia?, si R es una relación de equivalencia, ¿Cuáles y cuántasson las clases de equivalencia?

7. Sea la siguiente relación en el conjunto de todas las personas del mundo,R = {(a, b) | a y b hablan un lenguaje en común}, ¿es R una relación deequivalencia?, si R es una relación de equivalencia, ¿Cuáles y cuántas son lasclases de equivalencia?

8. Demostrar o refutar que la relación R en Z+ es un relación de equivalencia, dondeR es definida por a R b si y únicamente si τ(a) = τ(b), donde τ(a) es igual alnúmero de divisores positivos de a. Por ejemplo 2R3 y 4R25.


9. Demostrar o refutar que la relación R en N es un relación de equivalencia, dondeR es definida por a R b si y únicamente si τ(a) = τ(b), donde τ(a) es igual alnúmero de cifras del número a. Por ejemplo 2R3 y 52R25.

10. Demostrar o refutar que la relación R en Z+ es un relación de equivalencia, dondeR es definida por a R b si y únicamente si τ(a) = τ(b), donde τ(a) es igual alnúmero de dígitos diferentes que conforman al número a. Por ejemplo τ(100) = 2,τ(123) = 3, τ(1020) = 3 y τ(10000) = 2, por lo tanto 123R1020 y 100R10000.

11. Demostrar o refutar que la relación R en N es un relación de equivalencia, dondeR es definida por a R b si y únicamente si τ(a) = τ(b), donde τ(a) devuelve eldígito menos significativo del número a. Por ejemplo τ(522) = 2, τ(43) = 3 yτ(7) = 7, de esta forma, 52R112 y 1000R30.

12. Demostrar o refutar que la relación R en N es un relación de equivalencia, dondeR es definida por a R b si y únicamente si τ(a) = τ(b), donde τ(a) devuelve lasuma de las cifras que componen al número a. Por ejemplo τ(522) = 9, τ(43) = 7y τ(7) = 7, de esta forma, 52R142 y 1000R1.

13. Sea R la relación en el conjunto de pares ordenados de enteros positivos talesque ((a, b), (c, d)) ∈ R si y únicamente si ad = bc. ¿Es R una relación deequivalencia?, si es así, ¿cuál es la clase de equivalencia de (1, 2)?

14. Sea R la relación en el conjunto de pares ordenados de enteros positivos tales que((a, b), (c, d)) ∈ R si y únicamente si a + d = b + c. ¿Es R una relación deequivalencia?, si es así, ¿cuál es la clase de equivalencia de (1, 2)?

15. Sea R la relación en el conjunto de pares ordenados de enteros positivos tales que((a, b), (c, d)) ∈ R si y únicamente si a − d = b − c. ¿Es R una relación deequivalencia?, si es así, ¿cuál es la clase de equivalencia de (1, 2)?

16. Sea R la relación en el conjunto de pares ordenados de enteros positivos tales que((a, b), (c, d)) ∈ R si y únicamente si a

d= c

b. ¿Es R una relación de equivalencia?,

si es así, ¿cuál es la clase de equivalencia de (2, 5)?

17. Sea R la relación en el conjunto de pares ordenados de enteros positivos tales que((a, b), (c, d)) ∈ R si y únicamente si a = c. ¿Es R una relación de equivalencia?,si es así, ¿cuál es la clase de equivalencia de (1, 4)?, y, ¿cómo se representadadicha clase de equivalencia en el plano cartesiano?

18. Demostrar o refutar que la relación R = {(a, b) | a > b} genera un ordenamientoparcial en el conjunto de los números enteros.

19. Demostrar o refutar que la relación R = {(a, b) | a < b} genera un ordenamientoparcial en el conjunto de los números enteros.

20. Demostrar o refutar que la relación R = {(a, b) | a ≤ b} genera un ordenamientoparcial en el conjunto de los números enteros.

Capítulo 9

Introducción a la teoría de números

9.1. Los números enteros y la división

9.1.1. Introducción

Las matemáticas discretas involucran a los números enteros y sus propiedades dentrode un campo que se llama Teoría de Números.

9.1.2. División entre números enteros

Cuando un número entero es dividido por un segundo número entero (diferente decero), el resultado puede ser o no ser un entero. Por ejemplo 12

3= 4 es un número

entero, mientras que 114= 2,75 no lo es. Esto conduce a la siguiente definición.

Definición: Si a y b son números enteros con a = 0, se dice que a divide a b si hayun número entero c tal que b = ac. Cuando a divide a b se dice que a es un factor deb y que b es un múltiplo de a. La notación a|b denota que a divide b. Se escribe a | bcuando a no divide b.

Ejemplo 1:

Determinar si 4|9 y si 4|20.

Se tiene que 4 | 9 porque 94= 2,25, y 2.25 no es un número entero.

Es cierto que 4|20 porque existe el numero c = 5 el cual hace que 20 = 4 · 5.

Ejemplo 2:

Sean n y d enteros positivos. ¿Cuántos enteros positivos no exceden a n y son divisiblespor d?

163

164 CAPÍTULO 9. INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE NÚMEROS

Los números enteros positivos divisibles por d son todos los enteros de la forma d · k,donde k es un entero positivo. Por lo tanto, el número de enteros positivos divisiblespor d que no exceden a n es igual al número de enteros k con 0 < d · k ≤ n, o con0 < k ≤ n

d, por lo tanto, hay un total de ⌊n

d⌋ números enteros positivos que no exceden

a n y que son divisibles por d.

Algunas de las propiedades básicas de divisibilidad de los números enteros son pre-sentadas en el siguiente teorema.

Teorema:

Sean a, b y c números enteros. Entonces:

1. Si a| b y a|c entonces a|(b+ c)

2. Si a| b entonces a|bc para todo entero c

3. Si a| b y b|c entonces a|c

4. Si a| b y a|c entonces a|(mb+ nc) donde m y n son enteros.

Para demostrar cada uno de los ítems del teorema se hará uso de la técnica de de-mostración directa y de la definición de división entre números enteros, donde se tiene:

1. Si a| b y a|c entonces a|(b+ c).

Si a| b es porque existe un número entero p tal que b = a ·p, si a|c es porque existeun número q tal que c = a · q, se tiene que b+ c = a · p+ a · q, b+ c = a · (p+ q),por lo tanto a partir de la definición de división entre números enteros se tieneque a|(b+ c) porque b+ c = a · (p+ q).

2. Si a| b entonces a|bc para todo entero c.

Tenemos que si a| b es porque existe un número entero p tal que b = a · p, de estemodo se tiene que a|bc puede transformarse en a|a ·p · c con lo cual se obtiene queb · c es múltiplo de a por lo tanto b · c puede dividirse por a.

3. Si a| b y b|c entonces a|c.

Si b| c es porque existe un número entero p tal que c = b · p, como se tiene que a|bentonces existe un número entero q tal que b = a · q, reemplazando el valor de ben c = b · p se tiene que c = a · q · p donde c es un múltiplo de a, por lo tanto a|c.

4. Si a| b y a|c entonces a|(mb+ nc) donde m y n son enteros.

Si a| b es porque existe un número entero p tal que b = a ·p, si a|c es porque existeun número q tal que c = a·q, entonces m·b+n·c = m·a·p+n·a·q = a·(m·p+n·q)de donde se obtiene que m · b+ n · c es múltiplo de a por lo tanto a|(mb+ nc).

9.1. LOS NÚMEROS ENTEROS Y LA DIVISIÓN 165

9.1.3. El algoritmo de la división entre números enteros

Cuando un número entero es dividido por un número entero positivo, hay un cocientey un residuo. En el Algoritmo de la División sea a un número entero y d un númeroentero positivo, entonces hay unos únicos enteros q y r, con 0 ≤ r < d, tal que a = d·q+r.En la igualdad, d es llamado el divisor, a es llamado el dividendo, q es llamado el cocientey r es llamado el residuo.

La notación utilizada es:

q = a div d, el operador div sirve para calcular la parte entera de la división entrenúmeros enteros.

r = a mod d, el operador mod sirve para calcular el residuo de la división entrenúmeros enteros.

Ejemplo 3:

¿Cuál es el cociente y el residuo cuando 233 es dividido por 20?

El número 233 puede obtenerse de la siguiente forma con respecto al divisor 20,233 = 20 · 11 + 13

233 div 20 = 11, la cantidad de veces que se encuentra presente el 20 en el 233 es 11,el cual es el cociente, de donde se obtiene que 20 · 11 = 220.

233 mod 20 = 13, el residuo de la división entera es igual a 13, el cual también seobtiene de la siguiente manera 233− 220 = 13.

9.1.4. Los números primos

Cada número entero positivo mayor que 1 es divisible por al menos dos númerosenteros. Cuando un número entero mayor que 1 es divisible únicamente por uno (1) ypor él mismo entonces este número es llamado número primo.

Definición (número primo): Un número entero positivo p más grande que uno esllamado número primo si únicamente los factores de p son 1 y p. Un número entero pos-itivo que es más grande que 1 y no es un número primo es llamado número compuesto.

Nota: El número entero n es compuesto si y únicamente si existe un número entero atal que a|n y 1 < a < n.

Ejemplo 4:

¿Los números 8 y 11 son números primos?

Los factores del 8 son 1, 2, 4 y 8, como se obtienen más de dos factores entonces el


número 8 no es un número primo, pero 8 si es un número compuesto.

Los únicos factores del 11 son el 1 y el 11, por lo tanto el 11 es un número primo.

9.1.5. Teorema fundamental de la aritmética

Cada número entero positivo mayor que 1 puede ser escrito únicamente con unnúmero primo o con el producto de dos o más números primos donde los factores pri-mos son escritos en orden creciente con respecto a su tamaño.

Ejemplos 5:

Utilizando el Teorema Fundamental de la Aritmética la representación prima de losnúmeros 100, 845, 999 y 1024 es la siguiente:

100 = 2 · 2 · 5 · 5 = 22 · 52

845 = 5 · 13 · 13 = 51 · 132

999 = 3 · 3 · 3 · 37 = 33 · 37

1024 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 210

Teorema:

Si n es un número entero compuesto, entonces n tiene un divisor primo menor o iguala√n.

Se utilizará la técnica de demostración directa para demostrar la validez del teorema.

Si n es un número compuesto, éste tiene un factor a con 1 < a < n, por lo tanto,n = a · b, donde a y b son números enteros positivos más grandes que 1. Se tiene quea ≤

√n o b ≤

√n, si no fuera así entonces a · b >

√n ·

√n = n. Por lo tanto, n tiene

un divisor positivo que no excede a√n. Este divisor o es un número primo, o, es un

número compuesto, donde por el Teorema Fundamental de la Aritmética dicho divisortiene un divisor primo. En cualquiera de los dos casos, n tiene un divisor primo que esmenor o igual a

√n.

Del teorema anterior se tiene que un número entero n es primo si este no es divisiblepor algún primo menor o igual a la raíz cuadrada de n.


Ejemplo 6:

¿El número entero 169 es un número primo?.

Utilizando el teorema anterior se tiene que si 169 es un número compuesto entoncestendrá un factor primo menor o igual a

√169, como

√169 = 13 entonces dicho factor

primo es el número 13, porque 13 ∗ 13 = 132 = 169. Por lo tanto el número 169 es unnúmero compuesto lo que le impide ser un número primo.

Ejemplo 7:


Utilizando de nuevo el teorema anterior se tiene que si 641 es un número compuestoentonces tendrá un factor primo menor o igual a

√641 ∼= 25,318 . Los únicos factores

primos que son menores o iguales a 25.318 son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 y 23, pero, elnúmero 641 no es divisible por ninguno de estos factores primos, por lo tanto, el número641 no es un número compuesto, pero, 641 si es un número primo.

El siguiente algoritmo está “inspirado ” en el teorema anterior para determinar siun número es primo.

Booleano EsNumeroPrimo(n : Entero Positivo)1. d = 12. p = 33. Si (n = 2 o n = 3) Entonces4. Retornar Cierto5. Fin Si6. Si (n > 3) Entonces7. Si (n mod 2 = 0) Entonces8. d = d+ 19. Fin Si10. Hacer Mientras (p ≤ ⌊

√n⌋ y d = 1)

11. Si (n mod p = 0) Entonces12. d = d+ 113. Fin Si14. p = p+ 215. Fin Hacer Mientras16. Si (d = 1) Entonces17. Retornar Cierto18. Fin Si19. De Otro Modo20. Retornar Falso21. Fin Si


Ejemplo 8:

Utilizar el algoritmo “EsNumeroPrimo” para determinar si el número entero 169 es unnúmero primo?.

Al realizar el paso a paso del algoritmo se inicializan los valores de las variables d, p yn en:d = 1

p = 3

n = 169

como 169 es mayor que 3 entonces el algoritmo sigue en la línea 7, donde el residuo dedividir 169 en 2 no es cero, por lo tanto el algoritmo sigue al ciclo de repetición “hacermientras” de la línea 10, durante el cual siempre se tiene el siguiente valor:⌊√n⌋ = ⌊

√169⌋ = ⌊13⌋ = 13

Iteración 1:Se cumple la condición del ciclo de repetición hacer mientras porque el 3 ≤ 13 y d = 1.El residuo de dividir 169 en 3 no es cero, por lo tanto no se incrementa el valor de lavariable d.p = p+ 2 = 3 + 2 = 5




Iteración 5:Se cumple la condición del ciclo de repetición hacer mientras porque el 11 ≤ 13 y d = 1.


El residuo de dividir 169 en 11 no es cero, por lo tanto no se incrementa el valor de lavariable d.p = p+ 2 = 11 + 2 = 13

Iteración 6:Se cumple la condición del ciclo de repetición hacer mientras porque el 13 ≤ 13 y d = 1.El residuo de dividir 169 en 13 es cero, por lo tantod = d+ 1 = 1 + 1 = 2

p = p+ 2 = 13 + 2 = 15

Iteración 7:No se cumple la condición del ciclo de repetición hacer mientras ya sea porque 15 � 13o porque d = 1. El algoritmo continua en el condicional de la línea 16.

Por último:Como d = 1 entonces no se cumple dicho condicional y la función termina retornandoel “falso” de la línea 20, lo que indica que el número 169 no es un número primo.

Ejemplo 9:


Al realizar el paso a paso del algoritmo se inicializan los valores de las variables d, p yn en:d = 1

p = 3

n = 61

como 61 es mayor que 3 entonces el algoritmo sigue en la línea 7, donde el residuo dedividir 61 en 2 no es cero, por lo tanto el algoritmo sigue al ciclo de repetición “hacermientras” de la línea 10, durante el cual siempre se tiene el siguiente valor:⌊√n⌋ = ⌊

√61⌋ = ⌊7,810249676⌋ = 7





Iteración 4:No se cumple la condición del ciclo de repetición hacer mientras porque 9 � 7. Elalgoritmo continua en el condicional de la línea 16.

Por último:Como d = 1 entonces se cumple dicho condicional y la función termina retornando“cierto”, lo que indica que el número 61 si es un número primo.

9.1.6. Procedimiento para generar la factorización prima de unnúmero entero

Gracias al Teorema Fundamental de la Aritmética se garantiza que todo númeroentero n tiene una única factorización prima, dicha factorización prima se puede deter-minar con el siguiente algoritmo:

Procedimiento FactorizacionPrima(n : Entero Positivo)1. i = 02. p = 23. Si (n > 1) Entonces4. Hacer Mientras (p ≤ ⌊

√n⌋)

5. Si (n mod p = 0) Entonces6. ai = p7. n = n div p8. i = i+ 19. Fin Si10. De Otro Modo11. p = GenerarSiguientePrimo(p)12. Fin Hacer Mientras13. ai = n14. Fin Si

La factorización prima del número n es a0 · a1 · a2 · . . . · ak, donde se obtienen k factoresprimos no necesariamente diferentes, donde a0 ≤ a1 ≤ a2 ≤ . . . ≤ ak.

El procedimiento hace uso de la función “GenerarSiguientePrimo”, la cual se definea continuación, dicha función lo que hace es generar el siguiente número que se obtienea partir de un número primo p.


Entero Positivo GenerarSiguientePrimo(p : Entero Positivo)1. Si (p = 2) Entonces2. Retornar 33. Fin Si4. De Otro Modo Si (p > 2) Entonces5. m = p+ 26. Hacer Mientras (EsNumeroPrimo(m) = Cierto)7. m = m+ 28. Fin Hacer Mientras9. Retornar m10. Fin De Otro Modo

Ejemplo 10:

Utilizar el algoritmo para generar la factorización prima del número entero 100.

Al realizar el paso a paso del algoritmo (o prueba de escritorio) se inicializan los valoresde las variables i, p y n en:i = 0

p = 2

n = 100

como 100 es mayor que 1 entonces el algoritmo sigue en el ciclo de repetición.

Iteración 1:⌊√n⌋ = ⌊

√100⌋ = ⌊10⌋ = 10

Se cumple la condición del ciclo de repetición hacer mientras porque el 2 ≤ 10.El residuo de dividir 100 en 2 es cero, por lo tanto:ai = a0 = 2

n = 1002

= 50

i = i+ 1 = 0 + 1 = 1


√50⌋ = ⌊7,071067812⌋ = 7


n = 502= 25

i = i+ 1 = 1 + 1 = 2


√25⌋ = ⌊5⌋ = 5


Se cumple la condición del ciclo de repetición hacer mientras porque el 2 ≤ 5.El residuo de dividir 25 en 2 no es cero, por lo tanto:p = GenerarSiguientePrimo(2) = 3


√25⌋ = ⌊5⌋ = 5



√25⌋ = ⌊5⌋ = 5


n = 255= 5

i = i+ 1 = 2 + 1 = 3


√5⌋ = ⌊2,236067978⌋ = 2

No se cumple la condición del ciclo de repetición y se sale de él porque el 5 � 2.

Por último:ai = a3 = 5

La factorización prima del número cien, es 100 = a0 · a1 · a2 · a3 = 2 · 2 · 5 · 5 = 22 · 52.

Ejemplo 11:

Utilizar el algoritmo para generar la factorización prima del número entero 641.

Al realizar el paso a paso del algoritmo se inicializan los valores de las variables i, p yn en:i = 0

p = 2

n = 641

como 641 es mayor que 1 entonces el algoritmo sigue en el ciclo de repetición.


√641⌋ = ⌊25,3179778⌋ = 25

Se cumple la condición del ciclo de repetición hacer mientras porque el 2 ≤ 25.El residuo de dividir 641 en 2 no es cero, por lo tanto:


p = GenerarSiguientePrimo(2) = 3


√641⌋ = ⌊25,3179778⌋ = 25



√641⌋ = ⌊25,3179778⌋ = 25



√641⌋ = ⌊25,3179778⌋ = 25



√641⌋ = ⌊25,3179778⌋ = 25



√641⌋ = ⌊25,3179778⌋ = 25



√641⌋ = ⌊25,3179778⌋ = 25



√641⌋ = ⌊25,3179778⌋ = 25

Se cumple la condición del ciclo de repetición hacer mientras porque el 19 ≤ 25.


El residuo de dividir 641 en 19 no es cero, por lo tanto:p = GenerarSiguientePrimo(19) = 23


√641⌋ = ⌊25,3179778⌋ = 25



√641⌋ = ⌊25,3179778⌋ = 25

No se cumple la condición del ciclo de repetición hacer mientras porque el 29 � 25.

Por último:ai = a0 = n = 641

La factorización prima es 641 = a0 = 641 = 6411.

Teorema:

Los números primos son infinitos.

Se probará este teorema utilizando la técnica de demostración por contradicción. Seasume que existe una cantidad finita de números primos, los cuales son: p1, p2, p3, . . .,pn. Sea Q = p1 · p2 · p3 · . . . · pn + 1. Por el Teorema Fundamental de la Aritmética,Q es un número primo o de otro modo puede ser escrito como el producto de dos omás números primos. Sin embargo, ninguno de los primos pj divide a Q, por lo tantoQ es un número primo y se llega a una contradicción con respecto a que el conjuntode los números primos sea un conjunto finito. De esta forma queda demostrado que elconjunto de los números primos es infinito.

9.1.7. El máximo común divisor (MCD)

Sean a y b números enteros diferentes de cero. El entero más grande d tal que d|a yd|b es llamado el Máximo Común Divisor (MCD) de a y b. El máximo común divisorde a y b se denota por MCD(a, b).

Ejemplo 12:

¿Cuál es el MCD(24, 36)?

Los divisores comunes de ambos números son: 1, 2, 3, 4, 6 y 12, donde

MCD(24, 36) = MAX({1, 2, 3, 4, 6, 12}) = 12.


Ejemplo 13:

¿Cuál es el MCD(17, 22)?

MCD(17, 22) = 1.

Definición (primos relativos): Los números enteros a y b son primos relativos si elMCD es igual a 1.

Ejemplo 14:

17 y 22 son primos relativos porque MCD(17, 22) = 1.

Otra forma de encontrar el MCD de dos números enteros es usando la factorizaciónprima de los dos números a y b, donde:

a = pa11 pa22 . . . pann , b = pb11 pb22 . . . pbnn

se debe tener en cuenta que los exponentes son números naturales.

El Máximo Común Divisor de los números enteros a y b se obtiene de la siguiente forma:

MCD(a, b) = pmin(a1, b1)1 p

min(a2, b2)2 . . . pmin(an, bn)

n .

Ejemplo 15:

La factorización prima de 120 y 500 es: 120 = 23 · 31 · 51, 500 = 22 · 30 · 53

MCD(120, 500) = 2min(3, 2) · 3min(1, 0) · 5min(1, 3) = 22 · 30 · 51 = 20

9.1.8. El mínimo común múltiplo(MCM)

El Mínimo Común Múltiplo de los números enteros positivos a y b es el número en-tero positivo más pequeño que es divisible por ambos números enteros a y b. El mínimocomún múltiplo entre a y b es denotado por MCM(a, b).

La forma más fácil de calcular el MCM entre dos números enteros es utilizando lafactorización prima de dichos números, donde:

a = pa11 pa22 . . . pann , b = pb11 pb22 . . . pbnn

se debe tener en cuenta que los exponentes son números naturales.

El Mínimo Común Múltiplo de los números enteros a y b se obtiene de la siguienteforma:

MCM(a, b) = pmax(a1, b1)1 p

max(a2, b2)2 . . . pmax(an, bn)

n .


Ejemplo 16:

¿Cuál es el MCM(95256, 432)?

La factorización prima de 95256 y 432 es: 95256 = 23 · 35 · 72, 432 = 24 · 33

MCM(95256, 432) = 2max(3, 4) ·3max(5, 3) ·7max(2, 0) = 24 ·35 ·72 = 16 ·243 ·49 = 190512

Ejemplo 17:

Sean los números enteros 50 y 25, MCD(50, 25) = 25 y MCM(50, 25) = 50, 50 · 25 =MCD(50, 25) ·MCM(50, 25) = 25 · 50

9.1.9. El algoritmo de Euclides

La siguiente es una versión iterativa del algoritmo de Euclides para calcular el má-ximo común divisor de dos números enteros positivos:

Procedimiento MCD(a, b : Enteros Positivos)1. x = a2. y = b3. Hacer Mientras (y = 0)4. r = x mod y5. x = y6. y = r7. Fin Hacer Mientras

en el algoritmo x mod y es el residuo de la división entera de x por y.

Al finalizar el algoritmo el máximo común divisor de los números enteros x y y se en-cuentra almacenado en la variable x.

La siguiente es una versión recursiva del algoritmo de Euclides para calcular el má-ximo común divisor de dos números enteros positivos:

Euclides(x, y) =

y si y ≤ x y (x mod y) = 0

Euclides(y, x) si x < y

Euclides(y, (x mod y)) de otro modo

Lema (en el que se apoya el algoritmo de Euclides): Sea a = bq + r, donde a, b,q y r son enteros. Entonces MCD(a, b) = MCD(b, r).

9.2. ARITMÉTICA MODULAR 177

Ejemplo 18:

Encontrar el MCD(662, 414) usando el algoritmo de Euclides.

Euclides(662, 414) = Euclides(414, (662 mod 414)) = Euclides(414, 248) =Euclides(248, (414 mod 248)) = Euclides(248, 166) =Euclides(166, (248 mod 166)) = Euclides(166, 82) =Euclides(82, (166 mod 82)) = Euclides(82, 2) = 2

9.2. Aritmética modular

En ocasiones lo único que interesa es el residuo de un número al ser dividido por otro.Por ejemplo, ¿qué hora será dentro de 50 horas a partir de este momento?, sabemos quedentro de 24 horas será exactamente la misma hora actual, lo mismo sucede dentro de48 horas donde tendremos exactamente la misma hora actual, como simplemente faltan2 horas para completar las 50 horas, entonces dentro de 50 horas tendremos exacta-mente la misma hora actual más dos horas.

Definición (congruencia): Si a y b son números enteros y m es un número enteropositivo, entonces a es congruente a b modulo m si m divide a (a − b). Se usa la no-tación a ≡ b(mod m) para indicar que a es congruente a b modulo m. Si a y b no soncongruentes modulo m, se escribe a ≡ b(mod m).

Teorema (congruencia):Sea a y b números enteros y m un entero positivo. Entonces a ≡ b(mod m) si y única-mente si a mod m = b mod m.

Ejemplo 19:

Determinar si 17 es congruente a 5 modulo 6, es decir, ¿17 ≡ 5(mod 6)?

Utilizando la definición de congruencia se tiene que el 6 divide a 17− 5 = 12, es decir6|(17 − 5) = 6|(12) = 6|(6 · 2) = 2, de donde se concluye que 17 es congruente a 5modulo 6.

Utilizando el teorema de congruencia se tiene 17 mod 6 = 5 mod 6, 5 = 5, como sepresenta la igualdad entonces es cierto que 17 es congruente a 5 modulo 6.

Ejemplo 20:

Determinar si 24 es congruente a 14 modulo 6, es decir, ¿24 ≡ 14(mod 6)?


Utilizando la definición de congruencia se tiene que el 6 no divide a 24 − 14 = 10, esdecir 6 |(24−14) = 6 |(10), de donde se concluye que 24 no es congruente a 14 modulo6, 24 ≡ 14(mod 6).

Utilizando el teorema de congruencia se tiene 24 mod 6 = 14 mod 6, 0 = 2, como no sepresenta la igualdad entonces 24 no es congruente a 14 modulo 6.

Teorema:

Sea m un número entero positivo. Los números enteros a y b son congruentes modulom si y únicamente si hay un entero k tal que a = b+ k ·m.

Teorema:

Sea m un número entero positivo. Si a ≡ b(mod m) y c ≡ d(mod m) entoncesa+ c ≡ b+ d(mod m) y a · c ≡ b · d(mod m)

Ejemplo 21:

Se tiene que 7 ≡ 2(mod 5) y que 11 ≡ 1(mod 5) entonces con respecto al teoremaanterior se tiene que 7 + 11 ≡ 2 + 1(mod 5), 18 ≡ 3(mod 5) que efectivamente es ciertoy que 7 · 11 ≡ 2 · 1(mod 5), 77 ≡ 2(mod 5) lo cual también es cierto.

9.2.1. Aplicaciones de la aritmética modular

La Aritmética Modular tiene muchas aplicaciones en matemáticas discretas y cien-cias de la computación. Algunas de la aplicaciones más importantes son las siguientes:

Asignación de localizaciones de memoria en el computador.

Generación de números pseudoaleatorios.

Criptosistemas basados en aritmética modular.

9.2.2. Asignación de localizaciones de memoria en el computa-dor

Para la asignación de localizaciones de memoria en el computador comúnmente sonutilizadas las Funciones Hash (que al buscar en el español una traducción adecuadaserían las “funciones resumen”). Las funciones hash son utilizadas cuando el dominio delos elementos que se van a almacenar en el computador es muy grande y la cantidadde elementos a guardar es muy poca o es muy pequeña con respecto al dominio de loselementos, tal es el caso de las nuevas cédulas de ciudadanía en Colombia que utilizannúmeros mayores a mil millones y donde los colombianos no somos más que cuarentamillones de habitantes.

9.2. ARITMÉTICA MODULAR 179

Sea h(k) la función hash definida como h(k) = k mod m, donde k es la llave querepresenta al registro (en nuestro ejemplo k es el número de cédula de una persona ydonde la cédula se considera como llave principal porque permite diferenciar de formaúnica a cualquier colombiano con respecto a todos los colombianos) y m es la cantidadde posiciones en memoria que se tienen para almacenar los registros, perfectamente enel contexto universitario un valor adecuado de m podría ser 100000, para considerarque se puede guardar como máximo la información de 100000 estudiantes.

Ejemplo 22:

¿En que posición de memoria debería de quedar almacenada la información del estu-diante de cédula 1456452525 si se considera un valor de m = 100000?

La información deberá quedar almacenada en el registro ubicado en la posición52.525, el cual es el resultado que se obtiene con la función hash

h(1456452525) = 1456452525 mod 100000 = 52525

La función h no es inyectiva porque dos llaves (cédulas) pueden hacer referencia al mismoregistro para almacenar su información allí, tal es el caso de las cédulas 1456452525 y4987152525 que hacen referencia al registro ubicado en la posición 52525, éste tipo deproblemas es solucionado utilizando manejo de colisiones, las cuales están fuera delalcance de este libro.

9.2.3. Generación de números pseudoaleatorios

El procedimiento más comúnmente utilizado en los computadores para generarnúmeros pseudoaleatorios es el de Congruencia Lineal.El procedimiento de Congruencia Lineal utiliza cuatro números enteros: el modulo m,el multiplicador a, el incremento c y la semilla x0, con 2 ≤ a < m, 0 ≤ c < my 0 ≤ x0 < m. Se genera una secuencia de números pseudoaleatorios {xn}, con0 ≤ xn < m para toda n, al usar sucesivamente la congruencia:

xn+1 = (a · xn + c) mod m

Ejemplo 23:

¿Cuál es la secuencia de números que se generan al elegir el modulo m = 9, el multipli-cador a = 7, el incremento c = 4 y la semilla x0 = 3?

x0 = 3x1 = (7 · x0 + 4) mod 9 = (7 · 3 + 4) mod 9 = 25 mod 9 = 7x2 = (7 · x1 + 4) mod 9 = (7 · 7 + 4) mod 9 = 53 mod 9 = 8x3 = (7 · x2 + 4) mod 9 = (7 · 8 + 4) mod 9 = 60 mod 9 = 6


x4 = (7 · x3 + 4) mod 9 = (7 · 6 + 4) mod 9 = 46 mod 9 = 1x5 = (7 · x4 + 4) mod 9 = (7 · 1 + 4) mod 9 = 11 mod 9 = 2x6 = (7 · x5 + 4) mod 9 = (7 · 2 + 4) mod 9 = 18 mod 9 = 0x7 = (7 · x6 + 4) mod 9 = (7 · 0 + 4) mod 9 = 4 mod 9 = 4x8 = (7 · x7 + 4) mod 9 = (7 · 4 + 4) mod 9 = 32 mod 9 = 5x9 = (7 · x8 + 4) mod 9 = (7 · 5 + 4) mod 9 = 39 mod 9 = 3

Donde x9 = x0 = 3 y cada término en la secuencia depende únicamente del términoprevio, de esta forma la secuencia generada es: 3, 7, 8, 6, 1, 2, 0, 4, 5, 3, 7, 8, 6, 1, 2, 0,4, 5, 3, ...

9.2.4. Criptosistemas basados en aritmética modular

Una de las aplicaciones más importantes de la aritmética modular es la criptografía.Para ilustrar este tema se presentará el método como se encriptaban los mensajes en laépoca del Emperador Julio Cesar.

El Método de Encriptación del Emperador Julio Cesar consiste en seleccionar un al-fabeto sobre el cual se va a escribir un mensaje, cada letra que conforma el mensajeoriginal es reemplazada por la letra que se encuentra m posiciones a la derecha en elalfabeto. Se considera que el alfabeto es cíclico, es decir que después de la última letradel alfabeto sigue la primer letra del alfabeto, de esta forma siempre se puede desplazarm posiciones a la derecha del alfabeto sin importar la posición que ocupa ésta sobredicho alfabeto.

Ejemplo 24:

Considerar que se tiene el siguiente alfabeto: {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m},y que en el encriptamiento una letra se reemplaza por la que esté tres posiciones a laderecha de ésta, en los casos en que se necesita seguir contando letras y éstas se acabenentonces se sigue contando desde la primer letra del alfabeto, es decir se debe considerarque el alfabeto es cíclico. ¿Cómo se debe escribir la palabra magia encriptada de estaforma?

Según el alfabeto las letras de la palabra “magia” son reemplazadas por: m → c, a → d,g → j, i → l y a → d. Encriptar(‘magia’)=‘cdjld’.

Formalmente el proceso consiste en:

Si se están utilizando todas las letras del alfabeto español entonces reemplazarcada letra por un entero entre 0 y 26, donde a → 0, b → 1, . . ., z → 26.

Para cada una de las posiciones de las letras calcular la nueva posición apoyadoen la siguiente formula f(p) = (p + desplazamiento) mod 27

Para cada una de las nuevas posiciones, reemplazar dichas posiciones por la letraque corresponde en el alfabeto para dicha ubicación.

9.3. REPRESENTACIÓN DE LOS ENTEROS EN EL COMPUTADOR 181

Ejemplo 25:

¿Cuál es el mensaje secreto producido por la palabra “universidad” teniendo un des-plazamiento de 8 en el método de Julio Cesar y considerando todo el alfabeto español?

Equivalencia de las letras a sus posiciones comenzando desde la posición cero:a → 0, b → 1, c → 2, d → 3, e → 4, f → 5, g → 6, h → 7,i → 8, j → 9, k → 10, l → 11, m → 12, n → 13, n → 14, o → 15,p → 16, q → 17, r → 18, s → 19, t → 20, u → 21, v → 22, w → 23,x → 24, y → 25, z → 26.

ReemplazarLetrasPosiciones(′universidad′) = ′21 13 8 22 4 18 19 8 3 0 3′

Los desplazamientos para cada una de las posiciones de las letras son:

f(21) = (21 + 8) mod 27 = 29 mod 27 = 2f(13) = (13 + 8) mod 27 = 21 mod 27 = 21f(8) = (8 + 8) mod 27 = 16 mod 27 = 16f(22) = (22 + 8) mod 27 = 30 mod 27 = 3f(4) = (4 + 8) mod 27 = 12 mod 27 = 12f(18) = (18 + 8) mod 27 = 26 mod 27 = 26f(19) = (19 + 8) mod 27 = 27 mod 27 = 0f(8) = (8 + 8) mod 27 = 16 mod 27 = 16f(3) = (3 + 8) mod 27 = 11 mod 27 = 11f(0) = (0 + 8) mod 27 = 8 mod 27 = 8f(3) = (3 + 8) mod 27 = 11 mod 27 = 11

PosicionesDesplazadas(′21 13 8 22 4 18 19 8 3 0 3′) =′2 21 16 3 12 26 0 16 11 8 11′

PosicionesPorLetras(′2 21 16 3 12 26 0 16 11 8 11′) = ′cupdmzaplil′

De esta forma Encriptar(′universidad′) = ′cupdmzaplil′.

9.3. Representación de los enteros en el computador

La notación que típicamente utilizamos día a día es la de base 10, donde 913 esrealmente 9 × 102 + 1 × 101 + 3 × 100. La notación que utilizan los computadores esbase 2.

Teorema:

Sea b un entero positivo más grande que 1. Entonces si n es un número entero positivo


este puede ser representado de forma única como:

n = akbk + ak−1b

k−1 + · · ·+ a1b+ a0

donde k es un número entero no negativo, a0, a1, . . . , ak son números enteros posi-tivos menores que b y ak = 0. La representación del número entero n en base b es(akak−1ak−2 · · · a1a0)b.

Ejemplo 26:

¿Cuál es la representación decimal del número entero que tiene como representaciónbinaria a (10111100)2?

(10111100)2 = 1 · 27 + 0 · 26 + 1 · 25 + 1 · 24 + 1 · 23 + 1 · 22 + 0 · 21 + 0 · 20

= 27 + 25 + 24 + 23 + 22

= 128 + 32 + 16 + 8 + 4

= 188

Ejemplo 27:

¿Cuál es la representación decimal del número entero que tiene como representaciónternaria a (210112)3?

(210112)3 = 2 · 35 + 1 · 34 + 0 · 33 + 1 · 32 + 1 · 31 + 2 · 30

= 2 · 243 + 1 · 81 + 1 · 9 + 1 · 3 + 2 · 1

= 486 + 81 + 9 + 3 + 2

= 581

Ejemplo 28:

¿Cuál es la representación decimal del número entero que tiene como representación enbase 6 a (310541)6?

(310541)6 = 3 · 65 + 1 · 64 + 0 · 63 + 5 · 62 + 4 · 61 + 1 · 60

= 3 · 7776 + 1 · 1296 + 5 · 36 + 4 · 6 + 1 · 1

= 23328 + 1296 + 180 + 24 + 1

= 24829


9.3.1. Representación de números enteros en base hexadecimal

La representación de números enteros en base hexadecimal o base 16 es utilizadacomúnmente en ciencias de la computación. En esta base 16 símbolos son requeridos,éstos son: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F , donde las letras de la A a la Erepresentan respectivamente los números decimales del 10 al 15.

Ejemplo 29:

¿Cuál es la representación decimal del número entero que tiene como representación enbase hexadecimal a (BC024)16?

(BC024)16 = B · 164 + C · 163 + 0 · 162 + 2 · 161 + 4 · 160(BC024)16 = 11 · 164 + 12 · 163 + 0 · 162 + 2 · 161 + 4 · 160(BC024)16 = 11 · 65536 + 12 · 4096 + 2 · 16 + 4 · 1(BC024)16 = 720896 + 49152 + 32 + 4 = (770084)10

9.3.2. Cambio de base de un número entero escrito en base 10

Ahora se describe un algoritmo para obtener la representación en base b de unnúmero entero n escrito en base 10.

Utilizando el algoritmo de la división se tiene que: n = b · q0 + a0, donde 0 ≤ a0 < b,a0 es el residuo de dividir n por b, q0 es el cociente de dividir n por b, a0 es el dígitosituado más a la derecha en la representación del número entero n. Luego se repite denuevo el proceso para q0, de esta forma se tiene: q0 = b · q1 + a1, donde 0 ≤ a1 < b,a1 es el segundo dígito por la derecha de la representación del número entero n enbase b. El proceso continúa dividiendo el cociente sucesivamente por b, obteniendocomo residuos los dígitos de la representación en base b. El proceso termina cuando seobtiene un cociente igual a cero. La representación del número entero n en base b es(akak−1ak−2 · · · a1a0)b.

Ejemplo 30:

¿Cuál es la representación binaria (o representación en base 2) del número entero 188(el cual se sobre entiende que está en base 10 ó base decimal)?

188 = 2 · 94 + 0, q0 = 94, a0 = 0

94 = 2 · 47 + 0, q1 = 47, a1 = 0

47 = 2 · 23 + 1, q2 = 23, a2 = 1

23 = 2 · 11 + 1, q3 = 11, a3 = 1

11 = 2 · 5 + 1, q4 = 5, a4 = 1

5 = 2 · 2 + 1, q5 = 2, a5 = 1

2 = 2 · 1 + 0, q6 = 1, a6 = 0

1 = 2 · 0 + 1, q7 = 0, a7 = 1


como la presentación en la base b es (a7a6 . . . a1a0)b entonces el número entero 188 tienela representación binaria (10111100)2.

Ejemplo 31:

¿Cuál es la representación en base 3 (o base ternaria) del número entero 581?

581 = 3 · 193 + 2, q0 = 193, a0 = 2

193 = 3 · 64 + 1, q1 = 64, a1 = 1

64 = 3 · 21 + 1, q2 = 21, a2 = 1

21 = 3 · 7 + 0, q3 = 7, a3 = 0

7 = 3 · 2 + 1, q4 = 2, a4 = 1

2 = 3 · 0 + 2, q5 = 0, a5 = 2

como la presentación en la base b es (a5a4a3a2a1a0)b entonces el número entero 581 tienela siguiente representación en base 3: (210112)3.

Ejemplo 32:

¿Cuál es la representación en base 6 del número entero 24829?

24829 = 6 · 4138 + 1, q0 = 4138, a0 = 1

4138 = 6 · 689 + 4, q1 = 689 , a1 = 4

689 = 6 · 114 + 5, q2 = 114 , a2 = 5

114 = 6 · 19 + 0 , q3 = 19 , a3 = 0

19 = 6 · 3 + 1 , q4 = 3 , a4 = 1

3 = 6 · 0 + 3 , q5 = 0 , a5 = 3

como la presentación en la base b es (a5a4a3a2a1a0)b entonces el número entero 24829tiene la siguiente representación en base 6: (310541)6.

9.3.3. Algoritmo para construir la expansión de n en base b

Procedimiento RepresentacionEnBaseB(n, b : Enteros Positivos)1. Si (b ≥ 2) Entonces2. q = n3. k = 04. Hacer Mientras (q = 0)5. ak = q mod b6. q = q div b7. k = k + 18. Fin Hacer Mientras9. Fin Si

La representación del número entero n en base b es (ak−1ak−2ak−3 · · · a1a0)b.


Ejemplo 33:

Utilizar el algoritmo “RepresentacionEnBaseB” para generar la representación en base4 del número 531.

Al realizar el paso a paso del algoritmo se inicializan los valores de las variables n y ben:n = 531

b = 4

como b es mayor o igual a 2 entonces el algoritmo sigue en la línea 2, donde se le asignanlos siguientes valores a las variables q y k:q = n = 531

k = 0

como la variable q tiene un valor diferente de cero, entonces el algoritmo entra al ciclode repetición “hacer mientras” de la línea 4, las siguientes son las iteraciones que realizael ciclo de repetición:

Iteración 1:Se cumple la condición del ciclo de repetición hacer mientras porque q = 531 = 0, eltrabajo que se realiza dentro del ciclo es el siguiente:

ak = q mod b, a0 = 531 mod 4, a0 = 3

q = q div b, q = 531 div 4, q = 132

k = k + 1, k = 0 + 1, k = 1


ak = q mod b, a1 = 132 mod 4, a1 = 0

q = q div b, q = 132 div 4, q = 33

k = k + 1, k = 1 + 1, k = 2


ak = q mod b, a2 = 33 mod 4, a2 = 1

q = q div b, q = 33 div 4, q = 8

k = k + 1, k = 2 + 1, k = 3



ak = q mod b, a3 = 8 mod 4, a3 = 0

q = q div b, q = 8 div 4, q = 2

k = k + 1, k = 3 + 1, k = 4


ak = q mod b, a4 = 2 mod 4, a4 = 2

q = q div b, q = 2 div 4, q = 0

k = k + 1, k = 4 + 1, k = 5

Iteración 6:Ya no se cumple la condición del ciclo de repetición porque la variable q es igual a cero,por lo tanto el algoritmo termina.

Por último:Como la representación del número entero 531 en base 4 es (a4a3a2a1a0)4 entonces dicharepresentación es (20103)4 .

9.3.4. Algoritmos para operaciones de números enteros en base2

Algoritmo para la suma de números enteros en base 2

Para el siguiente algoritmo las representaciones binarias de a y b son (an−1an−2 . . . a1a0)2y (bn−1bn−2 . . . b1b0)2, respectivamente.

Procedimiento SumaDeNumerosEnterosEnBaseBinaria(a, b : Enteros Positivos)1. c = 02. n = MAX(CantidadBits(a), CantidadBits(b))3. Para j = 0 Hasta n− 14. d = ⌊(aj + bj + c)/2⌋5. Sj = aj + bj + c− 2d6. c = d7. Fin Para8. Sn = c

La representación binaria de la suma es (SnSn−1 . . . S1S0)2

Ejemplo 34:

Utilizar el algoritmo “SumaDeNumerosEnterosEnBaseBinaria” para sumar los númerosenteros positivos a y b que tienen respectivamente las siguientes representaciones bina-rias (1101010)2 y (111100)2.


Al realizar el paso a paso del algoritmo se inicializan los valores de las variables c, j yn en:c = 0

n = 7, donde n es la cantidad de bits del número más largo de los dos que se van asumar, en el caso del número que tenga menos bits entonces éste se lleva a la mismalongitud del otro número rellenando de tantos ceros como sean necesarios en la parteizquierda del número hasta alcanzar la longitud del número más largo, por este motivoel número b queda representado así: (0111100)2.El algoritmo entra al ciclo de repetición “Para” de la línea 3, las siguientes son lasiteraciones que realiza el ciclo de repetición:

Iteración 1:El ciclo de repetición para comienza incializando su contador de ciclo j en cero, eltrabajo que se realiza dentro del ciclo es el siguiente:

d =⌊a0 + b0 + c

2

⌋, d =

⌊0 + 0 + 0

2

⌋, d = 0

s0 = a0 + b0 + c− 2d, s0 = 0 + 0 + 0− 2 · 0, s0 = 0

c = d, c = 0

j = 1

Iteración 2:Se cumple la condición del ciclo de repetición para porque j = 1 ≤ 6, el trabajo que serealiza dentro del ciclo es el siguiente:

d =⌊a1 + b1 + c

2

⌋, d =

⌊1 + 0 + 0

2

⌋, d = 0

s1 = a1 + b1 + c− 2d, s1 = 1 + 0 + 0− 2 · 0, s1 = 1

c = d, c = 0

j = 2


d =⌊a2 + b2 + c

2

⌋, d =

⌊0 + 1 + 0

2

⌋, d = 0

s2 = a2 + b2 + c− 2d, s2 = 0 + 1 + 0− 2 · 0, s2 = 1

c = d, c = 0

j = 3


d =⌊a3 + b3 + c

2

⌋, d =

⌊1 + 1 + 0

2

⌋, d = 1

s3 = a3 + b3 + c− 2d, s3 = 1 + 1 + 0− 2 · 1, s3 = 0

c = d, c = 1

j = 4



d =⌊a4 + b4 + c

2

⌋, d =

⌊0 + 1 + 1

2

⌋, d = 1

s4 = a4 + b4 + c− 2d, s4 = 0 + 1 + 1− 2 · 1, s4 = 0

c = d, c = 1

j = 5


d =⌊a5 + b5 + c

2

⌋, d =

⌊1 + 1 + 1

2

⌋, d = 1

s5 = a5 + b5 + c− 2d, s5 = 1 + 1 + 1− 2 · 1, s5 = 1

c = d, c = 1

j = 6


d =⌊a6 + b6 + c

2

⌋, d =

⌊1 + 0 + 1

2

⌋, d = 1

s6 = a6 + b6 + c− 2d, s6 = 1 + 0 + 1− 2 · 1, s6 = 0

c = d, c = 1

j = 7

Iteración 8:Ya no se cumple la condición del ciclo de repetición para porque j = 7 6, por lo tantoel ciclo de repetición termina y el algoritmo continua en la línea 8.

Por último:s7 = 1. El resultado de sumar los números a y b en representación binaria es(s7s6s5s4s3s2s1s0)2, con respecto a los valores obtenidos en el paso a paso del algoritmoel resultado es: (10100110)2.

Las representaciones en base diez de los números a, b y el resultado s es:a = (1101010)2 = 1 · 26 + 1 · 25 + 0 · 24 + 1 · 23 + 0 · 22 + 1 · 21 + 0 · 20

= 1 · 64 + 1 · 32 + 1 · 8 + 1 · 2= 64 + 32 + 8 + 2

= 106

b = (0111100)2 = 0 · 26 + 1 · 25 + 1 · 24 + 1 · 23 + 1 · 22 + 0 · 21 + 0 · 20

= 1 · 32 + 1 · 16 + 1 · 8 + 1 · 4


= 32 + 16 + 8 + 4

= 60

s = (10100110)2 = 1 · 27 + 0 · 26 + 1 · 25 + 0 · 24 + 0 · 23 + 1 · 22 + 1 · 21 + 0 · 20

= 1 · 27 + 1 · 25 + 1 · 22 + 1 · 21

= 1 · 128 + 1 · 32 + 1 · 4 + 1 · 2= 128 + 32 + 4 + 2

= 166

y efectivamente 106 + 60 = 166.

Algoritmo para la multiplicación de números enteros en base 2

Para el siguiente algoritmo las representaciones binarias de a y b son (an−1an−2 . . . a1a0)2y (bn−1bn−2 . . . b1b0)2, respectivamente. Adicionalmente, c0, c1, . . ., cn−1 son los produc-tos parciales.

Procedimiento MultiplicacionDeNumerosEnterosEnBaseBinaria(a, b : EnterosPositivos)

1. n = CantidadBits(b)2. Para j = 0 Hasta n− 13. Si (bj = 1) Entonces4. cj = (desplazar el número a j lugares a la izquierda)5. De Otro Modo6. cj = 07. Fin Para8. p = 09. Para j = 0 to n− 110. p = p+ cj11. Fin Para

Al terminar el algoritmo en la variable p queda almacenado el resultado de multiplicarlos números enteros a y b.

Ejemplo 35:

Utilizar el algoritmo “MultiplicacionDeNumerosEnterosEnBaseBinaria” para multiplicarlos números enteros positivos a y b que tienen respectivamente las siguientes representa-ciones binarias (1001)2 y (1101)2.

Al realizar el paso a paso del algoritmo se inicia el valor de la variable n con el númeroentero positivo 4, porque el número b en su representación binaria tiene cuatro bits.

El algoritmo continúa en la línea 2 donde ingresa al ciclo de repetición “Para” donde serealizan las siguientes iteraciones:


Iteración 1, ciclo “para” que comienza en la línea 2:El ciclo de repetición “para” comienza inicializando su contador de ciclo j en cero, eltrabajo que se realiza dentro del ciclo es el siguiente:como b0 = 1 entonces a c0 se le asigna el número a desplazado j = 0 posiciones a laizquierda, de esta forma se tiene que:c0 = (1001)2 = 1 · 23 + 0 · 22 + 0 · 21 + 1 · 20 = 8 + 1 = 9

j = j + 1 = 0 + 1 = 1, se incrementa el contador del ciclo.

Iteración 2, ciclo “para” que comienza en la línea 2:Se cumple la condición del ciclo de repetición “para” porque j = 1 ≤ 3, el trabajo quese realiza dentro del ciclo es el siguiente:como b1 = 0 entonces a c1 se le asigna el número 0 (línea 6 del algoritmo), de esta formase tiene que c1 = 0 y se incrementa el contador del ciclo, donde j = j + 1 = 1 + 1 = 2.

Iteración 3, ciclo “para” que comienza en la línea 2:Se cumple la condición del ciclo de repetición “para” porque j = 2 ≤ 3, el trabajo quese realiza dentro del ciclo es el siguiente:como b2 = 1 entonces a c2 se le asigna el número a desplazado j = 2 posiciones a laizquierda, de esta forma se tiene que:c2 = (100100)2 = 1 · 25 + 0 · 24 + 0 · 23 + 1 · 22 + 0 · 21 + 0 · 20 = 32 + 4 = 36


Iteración 4, ciclo “para” que comienza en la línea 2:Se cumple la condición del ciclo de repetición “para” porque j = 3 ≤ 3, el trabajo quese realiza dentro del ciclo es el siguiente:como b3 = 1 entonces a c3 se le asigna el número a desplazado j = 3 posiciones a laizquierda, de esta forma se tiene que:c3 = (1001000)2 = 1 · 26 + 0 · 25 + 0 · 24 + 1 · 23 + 0 · 22 + 0 · 21 + 0 · 20 = 64 + 8 = 72


Iteración 5, ciclo “para” que comienza en la línea 2:Ya no se cumple la condición del ciclo de repetición “para” porque j = 4 3, porlo tanto el ciclo de repetición termina y el algoritmo continua en la línea 8 donde seinicializa la variable p con el valor cero.

El algoritmo continúa en la línea 9 donde ingresa al ciclo de repetición “Para” donde serealizan las siguientes iteraciones:

Iteración 1, ciclo “para” que comienza en la línea 9:El ciclo de repetición “para” comienza inicializando su contador de ciclo j en cero, eltrabajo que se realiza dentro del ciclo es el siguiente:

p = p+ c0, p = 0 + 9, p = 9

j = j + 1, j = 0 + 1 = 1, j = 1

9.4. EJERCICIOS 191

Iteración 2, ciclo “para” que comienza en la línea 9:Se cumple la condición del ciclo de repetición “para” porque j = 1 ≤ 3, el trabajo quese realiza dentro del ciclo es el siguiente:

p = p+ c1, p = 9 + 0, p = 9

j = j + 1, j = 1 + 1 = 1, j = 2


p = p+ c2, p = 9 + 36, p = 45

j = j + 1, j = 2 + 1 = 1, j = 3


p = p+ c3, p = 45 + 72, p = 117

j = j + 1, j = 3 + 1 = 1, j = 4

Iteración 5, ciclo “para” que comienza en la línea 9:Ya no se cumple la condición del ciclo de repetición “para” porque j = 4 3, por lotanto el ciclo de repetición termina y el algoritmo también termina obteniéndose comoresultado de la multiplicación el número almacenado en la variable p, cuyo valor es 117.

Las representaciones en base diez de los números a y b es:a = (1001)2 = 1 · 23 + 0 · 22 + 0 · 21 + 1 · 20

= 1 · 8 + 1 · 1= 8 + 1

= 9

b = (1101)2 = 1 · 23 + 1 · 22 + 0 · 21 + 1 · 20

= 1 · 8 + 1 · 4 + 1 · 1= 8 + 4 + 1

= 13

y efectivamente 9 + 13 = 117.

9.4. Ejercicios

1. ¿El número entero positivo 1327 es un número primo?, demostrar o refutar uti-lizando las propiedades de los números primos.





5. Escribir los siguientes números como un producto de factores primos, teniendo encuenta que

pn11 · pn2

2 · . . . · pnkk , 0 < ni, 1 ≤ i ≤ k, p1 < p2 < . . . < pk

a) 407125

b) 184600

c) 842570

d) 945677

6. ¿Cuántos divisores tiene el número 407125?




10. Apoyados en el Teorema Fundamental de la Aritmética y utilizando la factori-zación prima de los números enteros, determinar el Máximo Común Divisor (MCD)y el Mínimo Común Múltiplo (MCM) de las siguientes parejas de números enteros:

a) 225 y 350

b) 254 y 896

c) 425 y 789

d) 486 y 964

e) 487 y 765

f ) 504 y 540

g) 1576, 8748 y 99500

h) 1976, 4258 y 80275

i) 6175, 8632 y 73853

j ) 9846, 5700 y 94567

11. Para cada n ∈ Z+, ¿cuál es el MCD(n, n+ 1) y MCM(n, n+ 1)?

9.4. EJERCICIOS 193

12. Para a, b, d ∈ Z+ y d = MCD(a, b), demostrar que MCD(ad, b

d) = 1

13. Para a, b, n ∈ Z+, demostrar que MCD(n · a, n · b) = n ·MCD(a, b)

14. Sea la relación R en Z+, donde (a, b) ∈ R si MCD(a, b) = 1. ¿Es la relación Rreflexiva?, ¿es la relación R simétrica?, ¿es la relación R antisimétrica?, y ¿es larelación R transitiva?

15. Apoyados en el algoritmo de Euclides determinar el Máximo Común Divisor(MCD) de las siguientes parejas de números enteros:

a) 225 y 350b) 254 y 896c) 425 y 789d) 486 y 964e) 487 y 765f ) 504 y 540g) 576 y 748h) 1976 y 80275i) 6175 y 73853

16. Sea m ∈ {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}. Para los valores de m presentadosanteriormente, ¿cuáles serían todos los valores que servirían para que 30 y 35 seancongruentes?




20. Cuál es el mensaje original después de desencriptar “htwwjhyt” utilizando en elencriptamiento de Julio Cesar1 un desplazamiento de cinco?

21. Cuál es el mensaje original después de desencriptar “htwwjhyt” utilizando en elencriptamiento de Julio Cesar2 un desplazamiento de cinco?

1En este caso trabajar con el alfabeto inglés, el cual es:{A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S, T, U, V, W, X, Y, Z}

2Utilizando el mismo alfabeto que en el ejercicio anterior.


22. ¿Cómo se representa el número (3213310)4 en base 6?




26. ¿Cuál es el resultado de multiplicar los números en base dos 10101111 y 10011011?,justificar la respuesta al desarrollar la prueba de escritorio del algoritmo.




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