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UNIVERSIDAD PERUANA UNION-JULIACA

Facultad de Ingeniería y Arquitectura

E.A.P de Ingeniería Civil

CURSO DE: HIDROLOGIA GENERAL

VI CICLO

2014 - II

Docente: Ing. Ecler Mamani Chambi

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CAPITULO I

1.1 LA HIDROLOGIA, es la ciencia natural que estudia el agua, su ocurrencia,

circulación y distribución en la superficie terrestre, sus propiedades químicas y

físicas y su relación con el medio ambiente.

1.1.1 Hidrología Aplicada.

Incluye las aéreas de la hidrología relacionadas al diseño y operación de

proyectos de Ingeniería para la gestión, uso y conservación del recurso hídrico.

1.1.2 IMPORTANCIA

El estudio de la Hidrología es importante por lo siguiente:

- Abastecimiento de agua potable a una población

- Abastecimiento de agua a una industria

- Satisfacer la demanda de un proyecto de riego

- Satisfacer la demanda de un proyecto de generación de energía eléctrica

- Permitir la capacidad de diseño de obras como:

Alcantarillas

Puentes

Estructuras para el control de avenidas

Presas

Vertederos

Sistemas de drenaje :

. Agrícola

. Población

. Carreteras

. Aeropuertos

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1.2 CICLO HIDROLOGICO

El ciclo hidrológico o Ciclo del agua, es el proceso de circulación del agua o sea

es el conjunto de cambios que experimenta el agua en la naturaleza tanto en su

estado (solido, líquido y gaseoso) como en su forma (agua superficial, agua

subterránea)

El agua que llega al suelo, pasa a una de las tres zonas:

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a) Se queda en la superficie, bien en las depresiones superficiales

(almacenamiento superficial) y posteriormente se evapora o bien circula por

la superficie hasta formar parte del caudal de los ríos (escorrentía superficial)

b) Se infiltra a la zona no saturada donde además de adherirse al terreno por

capilaridad ocupa parcialmente los poros existentes en el suelo, es absorbida

por las raíces de la vegetación y por el fenómeno de la transpiración vuelve a

la atmosfera, el proceso conjunto de evaporación y transpiración se conoce

con el nombre de evapotranspiración.

c) Se infiltra a la zona saturada del suelo pasando a formar parte de la

escorrentía subterránea, lo que constituye las reservas de agua del subsuelo.

1.3 BALANCE HIDROLOGICO

Se denomina balance hidrológico al análisis cuantitativo de las entradas y salidas

de agua en una zona determinada en un tiempo determinado.

La ecuación de balance hidrológico es una expresión muy simple, aunque la

cuantificación de sus términos es complicada por la falta de medidas directas y

por la variación espacial de la evapotranspiración, de las perdidas profundas (en

acuíferos) y de las variaciones del agua almacenada en la cuenca.

En general podemos afirmar que del agua que cae en un determinado sitio

(precipitación (P)), una parte vuelve a la atmosfera ya sea por evaporación

directa o por transpiración de la vegetación (Evapotranspiración (ETR)), otra

parte escurre por la superficie (escorrentía Superficial (Es)), confluyendo a través

de la red de drenaje hasta alcanzar los cauces principales y finalmente el mar, y

el resto se infiltra en el terreno y se incorpora al sistema de aguas subterráneas o

acuífero (Infiltración (I)).

Estas magnitudes deben cumplir con la siguiente ecuación, que se conoce con el

nombre de balance hidrológico.

P=ETR+ES+ I (1.1)

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CAPITULO 2

2.1 LA CUENCA HIDROLOGICA

Es la cuenca de drenaje de una corriente, es el área de terreno donde todas las

aguas caídas por precipitación se unen para formar un solo curso de agua

En el Perú existen 106 cuencas Hidrográficas. La disponibilidad del Recurso

hídrico superficial en promedio a nivel nacional es de: 2’043,548 mmc, del cual

corresponde el 1.8% a al vertiente del Pacifico, el 97.7% a al vertiente del

Atlántico, y el 0.5% a la vertiente del Titicaca.

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2.1.1 Partes de una Cuenca.

Una cuenca tiene tres partes:

Cuenca alta, que corresponde a la zona donde nace el rio, el cual se

desplaza por una gran pendiente.

Cuenca media, la parte de la cuenca en la cual hay un equilibrio entre el

material solido que llega traído por la corriente y el material que sale;

visiblemente no hay erosión.

Cuenca baja, parte de la cuenca en la cual el material extraído de la parte

alta se deposita en lo que se llama cono de deyección.

2.1.2 Tipos de Cuencas

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Existen tres tipos de cuencas:

Exorreicas, drenan sus aguas al mar o al océano

Endorreicas, son cuencas cerradas, desembocan en lagos , lagunas

Arreicas, las aguas se evaporan o se filtran en el terreno antes de llegar

a una red de drenaje

2.1.3 DELIMITACION DE UNA CUENCA

Para delimitar una cuenca se requiere de lo siguiente:

a) Hoja u hojas de la Carta Nacional que contengan la cuenca

b) Conocimientos de topografía

El procedimiento consiste en tomar las hojas de la Carta Nacional y

formar con ellas un mosaico para después ejecutar los siguientes

pasos:

Colocar una lamina de papel transparente sobre el mosaico que

contiene a la cuenca

Trazar sobre el papel transparente la línea divisoria de las aguas

uniendo las proyecciones de los puntos de máximas alturas.

2.1.4 DIVISORIA DE LAS CUENCAS

Cada cuenca esta separada de las vecinas por su divisoria, parte aguas o

divortium aquarum, que es una línea imaginaria que delimita la cuenca

hidrográfica. Los terrenos de una cuenca son delimitados por dos tipos

de divisorias; divisoria topográfica o superficial y divisoria freática o

subterránea. Esta ultima establece los limites de los embalses de agua

subterránea de donde se deriva el caudal base de la hoya. Las dos

divisorias difícilmente coinciden.

2.2 CARACTERISTICAS FISICAS

2.2.1 AREA

Es la proyección horizontal de la superficie encerrada por la divisoria de

la cuenca vertiente en el punto considerado.

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Debido a que la forma de la cuenca es muy irregular, el cálculo del área

de la cuenca no se puede realizar por formulas geométricas, sin embargo

existe los siguientes métodos:

Uso de la balanza analítica

Uso del planímetro

Uso del Sistema de Información Geográfica (SIG)

Uso de la balanza analítica. Este método consiste en lo

siguiente:

o Dibujar la cuenca sobre una cartulina que tenga una

densidad uniforme, cuya área a calcular es Ac.

o Dibujar con la misma escala una figura geométrica

conocida (cuadrado, rectángulo, etc) cuya área que se

puede calcular geométricamente es Af.

o Recortar y pesar por separado las figuras obteniendo el

peso Wc de la cuenca y Wf peso de la figura.

o Aplicar la regla de tres:

Af Wf

Ac Wc

De donde se tiene:

Ac= Af∗WcWf

Donde:

Ac = área de la cuenca a calcular

Af = área de la figura calculada geométricamente

Wc = peso de la cuenca

Wf = peso de la figura

2.2.2 CURVAS CARACTERISTICAS DE UN A CUENCA

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a) Curva Hipsométrica, es la curva que puesta en

coordenadas rectangulares representa la relación entre la

altitud y la superficie de la cuenca que queda sobre esa

altitud.

Para construir la curva hipsométrica se utiliza un mapa con

curvas de nivel.

REPARTICION DEL AREA DE LA CUENCA DEL RIO AUCARA DE ACUERDO ALA ALTITUD EN km2ALTITUD AREAS AREAS AREAS QUE QUEDA % DELm.s.n.m PARCIALES ACUMULADAS SOBRE LA ALTITUD TOTALpunto mas bajo

1200 - - 193.601500 4.00 4.00 189.60 2.102000 15.00 19.00 174.60 7.702500 34.80 53.80 139.80 18.003000 37.20 91.00 102.60 19.203500 58.50 149.50 44.10 30.204000 30.90 180.40 13.20 15.904500 9.40 189.80 3.80 4.904600 3.80 193.60 - 2.00

Total 193.30100.0

0

0 50 100 150 200 2500

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

5000

CURVA HIPSOMETRICA

AREA Km2

ALT

ITU

D (

m.s

.n.m

)

INDICES DE FORMA

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a) Índice de Gravelius, o índice de compacidad expresa la relación entre

el perímetro de la cuenca y el perímetro equivalente de una

circunferencia que tiene la misma área de la cuenca.

K= PerimetrodelacuencaPerimetrodecircunferenciadeigualarea

K= P2πr

(2.1)

A=r2 π r=√ A

π

(2.2)

Sustituyendo r en la primera formula se tiene:

K=0.28( P

A1/2)

(2.3)

b) Factor de Forma (Kf), es la relación entre el ancho medio y la longitud

axial de la cuenca

Kf=BL

(2.4)

B= AL

(2.5)

Kf= A

L2

(2.6)

Donde:

B: ancho medio, en Km

L: Longitud axial de la cuenca, en Km, es la distancia que se mide

cuando se sigue el curso de agua más largo desde la desembocadura

hasta la cabecera más distante

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A: área de drenaje, en Km2

2.2.3 Rectángulo equivalente

Se entiende por rectángulo equivalente de una cuenca, aquel que tiene

la misma superficie y el mismo perímetro que dicha cuenca, las curvas

de nivel se convierten en rectas paralelas a los lados menores, siendo

estos la primera y ultima curva de nivel. Los lados mayor y menor de

este rectángulo, L y l vienen definidos por las siguientes expresiones

Área: A = l x L (2.7)

Perímetro: P= 2(l+L) (2.8)

Del índice de gravelious es:

K=0.28 P

√A (2.9)

Sustituyendo (2.8) en (2.9) se tiene:

K=0.28∗2(l+L )√A

K=0.56( l+L )√A

(2.10)

De (2.7) se tiene

l= AL

(2.11)

Sustituyendo (2.11) en (2.10)

L2= KA0 .56

L+A=0

K √A0 .56

=l+L

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Ejecutando y despejando valores de la ecuación de segundo grado se

tiene:

L= K √A1.12 (1+√1−( 1.12K )

2) (2.12)

l= K √A1.12 (1−√1−( 1 .12K )

2) (2.13)

Donde:

L = longitud del lado mayor del rectángulo

L= longitud del lado menor del rectángulo

K = Índice de gravelious

A=área de la cuenca

2.2.4 Pendiente de la Cuenca, este parámetro tiene una relación importante

y compleja , con la infiltración, escorrentía superficial, humedad del

suelo, y la contribución del agua subterránea a la escorrentía, es uno de

lo factores que controla el tiempo de escurrimiento y concentración de

la lluvia en los canales de drenaje y tiene una importancia directa en

relación a la magnitud de las crecidas, Existen diversos criterios para

evaluar la pendiente de una cuenca:

Criterio de Alvord

Criterio de Horton

Criterio de Nash

Criterio del rectángulo equivalente

CRITERIO DEL RECTANGULO EQUIVALENTE, Con este criterio, para

hallar la pendiente de la cuenca, se toma la pendiente media del

rectángulo equivalente, es decir:

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S=HL (2.14)

Donde:

S = pendiente de la cuenca

H = desnivel total (cota en la parte mas alta – cota en la estación de

aforo) en Km

L = lado mayor del rectángulo equivalente, en Km

2.2.5 PERFIL LONGITUDINAL DEL RIO

Es la línea que relaciona la proyección horizontal de la longitud de un

rio, versus su altitud, dándonos una idea de sus características

hidrodinámicas.

La importancia de conocer el perfil longitudinal del curso principal radica

en que nos proporciona una idea de las pendientes que tiene el cause,

en diferentes tramos de su recorrido y que es un factor de importancia

para ciertos trabajos como control de las aguas, punto de captación y

ubicación de posibles centrales hidroeléctricas.

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2.2.6 Pendiente media de cause principal, es el cociente entre la diferencia

de altura total del cause y su longitud

S1=h1−ho

L

(2.15)

2.3 RED DE DRENAJE

La red de drenaje de una cuenca se refiere a la trayectoria o al

arreglo que guardan entre si, los causes de las corrientes naturales

dentro de ella.

Las características de una red de drenaje, pueden describirse

principalmente de acuerdo con:

El orden de las corrientes

Longitud de los tributarios

Densidad de corriente

Densidad de drenaje

ORDEN DE LAS CORRIENTES

Todas las corrientes pueden dividirse en tres clases:

Corriente efímera, es aquella que solo lleva agua cuando

llueve

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Corriente intermitente, lleva agua la mayor parte del tiempo,

pero principalmente en épocas de lluvias; su aporte cesa

cuando el nivel freático desciende por debajo del fondo del

cause.

Corriente perenne, contiene agua todo el tiempo, ya que aun

en época de sequia es abastecida continuamente, pues el

nivel freático siempre permanece por arriba del fondo del

cause.

El orden de las corrientes, es una clasificación que proporciona el

grado de bifurcación dentro de la cuenca. El procedimiento mas

común para esta clasificación es considerar como corrientes de

orden uno aquellas que no tienen ningún tributario; de orden dos

a aquellas que solo tienen tributarios de orden uno; de orden tres

aquellas corrientes con dos o mas tributarios de orden dos

Densidad de drenaje

Se expresa como la longitud de las corrientes, por unidad de área, así :

Dd=LA (2.16)

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Donde:

Dd = densidad de drenaje

L =Longitud total de las corrientes perennes o intermitentes en Km

A = área total de la cuenca, en Km2

Ejercicios:

1) Se ha obtenido la siguiente información para una cuenca hidrográfica

Cotamsnm

Área parcial Km2

120015002000250030003500400045005000

05.616.331.240.260.432.210.52.8

a) Determinar la curva hipsométrica y el polígono de frecuencias

b) El área a ser inundada como consecuencia de la construcción de una represa

en la cota de 3200 m.s.n.m, cuando el espejo de agua se eleve a su máxima

altura de 200m

c) Calcule los datos del rectángulo equivalente si su perímetro es 105 km

Solución

a) Completar la tabla para graficar la curva hipsométrica

Cotam.s.n.m

Área parcial Área acumulada por debajo

Área acumulada por encima

Km2 % Km2 % Km2 %1200150020002500300035004000

05.616.331.240.260.432.2

02.818.1815.6620.1830.3216.16

5.621.953.193.3153.7185.9

199.2193.6171.3146.1105.945.513.3

10097.1989.0173.3453.1622.846.68

16

45005000

10.52.8

5.271.41

196.4199.2 100

2.8……

1.41…….

Total 199.2 100

0 20 40 60 80 100 1200

1000

2000

3000

4000

5000

6000

Curva Hipsometrica

Area Km2 (%)

Alti

tud

m.s

.n.m

b) Para calcular el área que nos piden en el ejercicio, primero debemos dibujar la

represa y su embalse máximo en la curva hipsométrica y hallar los valores en

el eje de las abscisas, la siguiente figura nos muestra los datos:

0 20 40 60 80 100 1200

1000

2000

3000

4000

5000

6000

Curva Hipsometrica

Area Km2 (%)

Altit

ud m

.s.n.

m

Las líneas en azul nos indican presencia de presa y su altura máxima de 200 m,

para hallar el área que abarca la represa basta con calcular el % de área

acumulada por encima de la cota 3200 hasta 3400 msnm y multiplicarlo por el

área total así:

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A3200 – A3400 = (41.15% - 29.02%) *199.2 = 24.2 Km2

c) Para hallar el rectángulo equivalente , primero debe hallarse el coeficiente de

compacidad de acuerdo a la formula:

Kc=0 .282 P

√ASabiendo que el área A= 199.2 Km2 y el perímetro P = 105 Km, se remplaza

en la ecuación anterior y tenemos:

Kc = 2.098

Luego aplicamos las formulas para hallar el lado mayor y menor del

rectángulo equivalente:

L=2 .098∗√199 .21.128 [1+√1+( 1.1282.098 )

2] = 48.384 Km

l=2 .098∗√199 .21.128 [1−√1−(1 .1282 .098 )

2 ]= 4.117 Km

d) Para la ubicación dentro del rectángulo equivalente de las curvas de nivel,

utilizadas para definir las aéreas parciales , se ha preparado el siguiente

cuadro:

Cotamsnm

Área parcialKm2 Código

AnchoKm

120015002000250030003500400045005000

05.616.331.240.260.432.210.52.8

A1A2A3A4A5A6A7A8

0.001.363.9597.5789.76414.6717.8212.550.68

Total 199.2 48.383

4.117 km

18

48.384 km

CAPITULO 3

PRECIPITACION

3.1 DEFINICION. Es toda forma de humedad que originándose en las nubes, llega

hasta la superficie del suelo.

Las precipitaciones pueden ser de forma de: llovizna, escarcha, nieve, granizo

3.2 ORIGEN DE LA PRECIPITACION

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Una nube esta constituida por pequeñísimas gotas de agua, con un diámetro

medio de 0.02 mm.

Para que exista precipitación las gotas de lluvia tienen que aumentar de volumen

en alrededor de 106 veces

El proceso de formación de las precipitaciones es el siguiente:

a) El aire húmedo de los estratos bajos de la atmosfera asciende bien por su

calentamiento, bien por sus razones topográficas o por encontrarse con aire

mas frio

b) El aire húmedo al ascender se expande y enfría a razón de 1ºc por cada 100 m

de altura , hasta una condición de saturación, para alcanzar su nivel de

condensación

c) A partir de este nivel, el vapor de agua se condensa formando minúsculas

gotas que se mantienen en suspensión, formando las nubes, hasta que por

proceso de crecimiento alcanza el tamaño suficiente para precipitar.

3.3 CLASIFICACION DE LAS PRECIPITACIONES

Estas se clasifican en:

a) Precipitaciones Convectivas, En tiempo caluroso se produce una abundante

evaporación a partir de la superficie del agua, formando masa de vapor,

elevándose hasta grandes alturas donde se condensan y se produce la

precipitación. Generalmente vienen acompañados de rayos y truenos. Son

precipitaciones propias de las regiones tropicales, donde hay una

predominancia de vientos verticales.

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b) Precipitación Orográfica. Se produce cuando el vapor de agua que se forma

sobre la superficie del agua, es empujada por el viento hacia las montañas y

asciende a grandes alturas hasta encontrar condiciones para la condensación y

la consiguiente precipitación.

c) Precipitación Ciclónica o de Frente, se producen cuando hay un encuentro de

dos masa de aire con diferente temperatura y humedad, las nubes mas

calientes son violentamente impulsadas a las partes mas altas donde se

produce la condensación y luego la precipitación.

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3.4 MEDICION DE LA PRECIPITACION

La precipitación se mide en términos de la altura de lámina de agua y se expresa

comúnmente en mm.

Existen diferentes tipos de aparatos para la medida de las alturas de precipitación:

o Pluviómetros no registradores

o Pluviómetros totalizadores

o Pluviómetros registradores o fluviógrafos

o Nivometros

o Estaciones automatizadas

o Radar

o Imagen de satélite

3.4.1 Pluviometros no registrafdores

En principio cualquier recipiente puede servir de pluviómetro, puesto que,

lo que interesa es retener el agua caída por precipitación, para luego

medirla.

El pluviómetro consiste en un recipiente cilíndrico de lamina, con un area

de captación de 200 cm2 y un alto de 60 cm, la tapa del cilindro es un

embudo receptor el cual se comunica a un vaso medidor instalado dentro

del deposito mayor.

Para efectuar la lectura se vacía el contenido en una probeta graduada y se

divide el volumen colectado entre el área receptora del pluviómetro, de

esa forma se obtiene la lamina precipitada.

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3.4.2 Pluviómetros totalizadores, se utilizan en zonas de difícil acceso. Las

lecturas se hacen especialmente (hasta un año) y por ello, deben de ser de

mayor capacidad que los normales.

3.4.3 Pluviómetros registradores o fluviógrafos, es un instrumento que registra

la altura de lluvia en función del tiempo, lo cual permite determinar la

intensidad de la precipitación, esto se realiza mediante un sistema de

relojería que grafica sobre un papel y el grafico resultante recibe el nombre

de pluviograma.

3.4.4 Nivometros. Estos aparatos miden la altura de nieve sobre una superficie

plana horizontal

3.4.5 Radar Meteorológico. Es un radar utilizado para detectar la presencia de

agua en estado líquido o solido en la atmosfera.

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Este radar se emplea para la medición y seguimiento de fenómenos

atmosféricos constituidos por agua, en forma de lluvia, granizo y nieve

principalmente. La ventaja de un radar meteorológico es equivalente al

empleo de cientos de pluviómetros distribuidos a lo largo de la zona de

cobertura del radar que trasmite la información en tiempo real.

3.4.6 Imágenes de Satélite. Las imágenes se utilizan para detectar, identificar y

dar seguimiento a los fenómenos meteorológicos severos como tormentas,

frentes fríos o huracanes. Por medio de las imágenes también se puede

estimar la intensidad de la precipitación

3.5 CONDICIONANTES DE LAS MEDICIONES

3.5.1 DENSIDAD DE LA RED DE MEDICION

La densidad óptima de la red de pluviómetros dependerá de la meta que se

persiga y de la heterogeneidad espacial de las lluvias en la región.

Sin embargo la Organización Meteorológica Mundial proporciona la

siguiente información:

o En regiones llanas, se debe ubicar una estación para 600 a 900 km2

o Montañas, una estación para 100 a 250 km2

o Zonas áridas y polares , una estación para cada 1500 a 10000 km2

3.5.2 LEYES DE LA PLUVIOSIDAD MEDIA

a) Influencia de la Altitud

Las precipitaciones aumentan con la altitud hasta una determinada

altura denominada óptima pluvial, a partir de la cual empiezan a

decrecer.

Se puede efectuar correlaciones entre la altitud y la precipitación

utilizando la ecuación de regresión lineal:

Y = b + mX

b) Influencia del alejamiento del mar

Los frentes nubosos, que tienen su origen en los océanos, van

perdiendo su actividad a medida que penetran en el continente

3.6 ANALISIS DE LOS DATOS

24

Si la estación pluviométrica consta de un pluviómetro o fluviógrafo podemos

obtener como datos más importantes, las precipitaciones totales diarias,

mensuales y anuales.

3.6.1 Modulo Pluviométrico anual, el modulo pluviométrico anual medio en una

serie de años, es la media aritmética de las precipitaciones anuales de ese

periodo.

Este parámetro depende de la longitud del periodo de observación.

En la mayor parte de las aplicaciones ingenieriles, tienen mayor interés los

valores extremos que el medio.

Cuando se dispone de una serie larga de observaciones, es interesante

ajustarla mediante leyes teóricas de distribución de frecuencias

3.6.2 Precipitación media mensual, es el promedio aritmético de las alturas de

precipitación mensual correspondiente a un cierto número de meses.

3.6.3 Precipitaciones diarias, el análisis de precipitaciones diarias e incluso de

periodos más cortos, tiene un gran interés para cierto tipo de obras, como

pueden ser: alcantarillas redes de drenaje, inundaciones, etc. Cuyo

dimensionamiento depende del aguacero para el que lo calculemos y que

esta relacionado con la máxima precipitación diaria(P24)

Para calcular la precipitación media de una tormenta o la precipitación

media anual existen tres métodos:

a) Promedio aritmético

Consiste en obtener el promedio aritmético, de las alturas de alturas de

precipitaciones registradas de las estaciones localizadas dentro de la

zona:

P=1n∑i=1

n

Pi

Donde:

P = precipitación media de la zona o cuenca

Pi = Precipitación de la estación i

n = numero de estaciones dentro de la cuenca

b) Polígono de Thiessen, para este método se requiere delimitar la zona

de influencia de cada estación, el método consiste en:

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1. Ubicar las estaciones dentro y fuera de la cuenca

2. Unir las estaciones formando triángulos , procurando en lo posible

que los ángulos sean menores de 90º

3. Trazar las mediatrices de los lados de los rectángulos formando

polígonos

4. Definir el área de influencia de cada estación

5. Calcular el área de cada estación

6. Calcular la precipitación media, como el promedio pesado de las

precipitaciones de cada estación, usando como peso el área de

influencia correspondiente, es decir:

Pmed=A1P1+A2P2+.. .+SnPn

AT

Pmed=1AT

∑i=1

n

AiPi

Donde:

Pmed= Precipitación media

AT = Área total de la cuenca

Ai = Área de influencia parcial del polígono de Thissen

correspondiente a la estación i

Pi= Precipitación de la estación i

n = numero de estaciones tomadas en cuenta

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c) Isoyetas

Las isoyetas son curvas que unen puntos de igual precipitación, este

método es el más exacto.

El método consiste en:

1. Ubicar las estaciones dentro y fuera de la cuenca

2. Trazar las isoyetas interpolando las alturas de precipitación entre las

diversas estaciones.

3. Hallar las aéreas S1, S2, …Sn, entre cada isoyeta seguidas

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4. Si Po, P1,…Pn, son las precipitaciones representadas por las isoyetas

respectivas calcular la precipitación media utilizando:

Pmed=S1P1+S2

P1+P22

+S3P2+P2

+. ..+SnPn

S total

Donde:

Pmed. = precipitación media

St = Superficie total de la cuenca

Pi = altura de precipitación de las isoyetas i

Si = Superficie parcial comprendida entre las isoyetas Pi-1 y Pi

n = numero de ares parciales

3.7 ESTUDIO DE UNA TORMENTA

28

Este fenómeno se produce por coexistencia próxima de dos masas de aire de

diferente temperatura, tiene como característica la presencia de lluvias , vientos

, relámpagos , truenos y ocasionalmente granizos, entre otros fenómenos.

Entonces se entiende por tormenta o borrasca, al conjunto de lluvias que

pertenecen a una misma perturbación meteorológica, una tormenta puede

durar desde unos pocos minutos hasta varias horas y aun días

3.7.1 Importancia del análisis de las tormentas, es aplicable en :

Estudio de drenaje

Determinación de caudales máximos que deben pasar por el aliviadero

de una represa, o que deben encausarse para impedir las inundaciones

Determinar la luz de un puente

Conservación de suelos

Calculo del diámetro de alcantarillas

3.7.2 Elementos fundamentales del análisis de las Tormentas

Durante el análisis de las tormentas hay que considerar:

a) Intensidad, es la cantidad de agua caída por unidad de tiempo, lo que

interesa de cada tormenta es la intensidad máxima que se haya

presentado, ella es la altura máxima de agua caída por unidad de

tiempo:

imax=Pt

Donde:

imax = intensidad máxima, en mm/hora

P = Precipitación en altura de agua, en mm

t = tiempo en horas

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b) Duración, corresponde al tiempo que transcurre entre el comienzo y el

fin de la tormenta

c) Frecuencia o Probabilidad de ocurrencia (P), es el numero de veces que

se repite una tormenta de características de intensidad y duración

definidas en un periodo de tiempo mas o menos largo, tomado

generalmente en años, se puede representar con cualquier expresión

empírica o experimental.

P= 1T

= mN+1

∗100

La probabilidad de no excedencia (p), se representa por:

p=1−P

d) Periodo de Retorno, intervalo de tiempo promedio dentro del cual un

evento de magnitud X, puede ser igualado o excedido, por lo menos una

vez en promedio, representa el inverso de la frecuencia o probabilidad,

es decir:

T= 1P

Formulas mas usadas para determinar la probabilidad empírica o

experimental

P=mn

Método de California

P=m−0 .5n

Método de Hazen

P= mn+1

Método de Weibull

P=3m−13n+1

Método de Tunquey

30

Ejemplo:

Si se dispone de un registro de precipitaciones anuales de 16 años

promedio.

Año PP Año PP

196219631964196519661967196819691970197119721973197419751976

557.21705.5863.01432.81372.11040.6684.71143.1889.9859.11361.7808.0860.91184.7760.9

19771978197919801981198219831984198519861987198819891990

1199.91181.41180.01559.91278.81332.5776.81410.2981.21394.31224.9904.4918.8870.1

Con los datos históricos obtenidos determinemos la probabilidad de

ocurrencia y el tiempo de retorno del evento, ordenando la información

disponible de mayor a menor.

Nº deOrden(m)

Año PP(mm)

T(Años)

P (Weibull) (%)

123456

198019651984196319861966

1559.91432.81410.2

3015107.565

3.336.661013.3316.6620.0

31

7891011121314151617181920212223242526272829

19721982198119871977197819791975197919671985197119891988197019901964197419731983197619681962

1405.51394.31372.11361.71332.51278.81224.91199.91181.41180.01148.71143.11040.6981.2959.1918.8904.4889.9870.1863.0860.9808.0767.8760.9684.7657.2

4.283.753.332.722.52.32.1421.871.761.661.581.501.421.361.301.251.201.151.111.071.03

23.3326.6630.0033.3336.6640.0043.3346.6650.0053.3356.6660.0063.3366.6670.0073.3376.6680.0083.3386.6690.0093.3396.66

3.7.3 Hietograma y la curva masa de Precipitación

Hietograma, es un grafico de forma escalonada como un histograma, que

representa la variación de la intensidad expresada en mm/hora de la

tormenta,

32

i=dPdt

Donde:

i = intensidad

P = Precipitación

t = tiempo

Curva masa de Precipitación. Es la representación de la precipitación

acumulada vs el tiempo, se extrae directamente del pluviograma.

3.7.4 Proceso para el análisis de una tormenta

El proceso es el siguiente:

1. Conseguir el registro de un pluviograma

2. Realizar una tabulación con la información obtenida del pluviograma,

como se aprecia en la siguiente tabla:

Hora(1)

IntervaloTiempo(min)(2)

Tiempoacumulado(min)(3)

LluviaParcial(mm)(4)

LluviaAcumulada(mm)(5)

Intensidad(mm/hra)(6)(4)x60/(2)

1160 60 0.5 0.5 0.5

1250 110 8.5 9 10.2

12.5070 180 10.0 19 8.6

14.00140 320 4.5 23.5 1.9

16.20

33

3. Dibujar el hietograma, esto se consigue ploteando las columnas (3) Vs

(6)

60 110 180 3200

2

4

6

8

10

12

HIETOGRAMA

TIEMPO AUMULADO

INTENSIDAD

4. Dibujar la curva masa de precipitaciones, esto se consigue ploteando las

Columnas (3) vs (5)

0 50 100 150 200 250 300 3500

5

10

15

20

25

CURVA MASA DE PRECIPITACION

TIEMPO ACUMULADO

LLU

VIA

ACU

MU

LAD

A

5. Calcular la intensidad máxima para diferentes periodos de duración, los

periodos mas utilizados son: 10 min, 30 min, 60 min, 90 min, 120 min, y

240 min

a) Tomemos la intensidad máxima: 10.2 mm/h durante 50 min. Luego

la intensidad máxima para periodos de duración de 10 min. Y 30 min

es 10.2 mm/h

b) Para 60 min. Faltan 10 min. hay que buscar antes o después de los

50 min la intensidad máxima inmediata inferior: 8.6 mm/h durante

70 min. Luego la intensidad máxima para 60 min. Será:

5060

∗10 .2+1060

∗8.6=9 .9mm/h

34

c) Análogamente para 120 min:

50120

∗10 .2+70120

∗8 .6=9 .3 mm/h

d) Para 240 min.

50240

∗10 .2+70240

∗8.6+120240

∗1 .9=5 .6 mm/h.

Después del paso 4 se tiene la siguiente tabla:

Periodo de duración

( min.)

10 30 60 120 240

Intensidad máxima (mm/h) 10.2 10.

2

9.9 9.3 5.6

3.7.5 Análisis de Frecuencia de las Tormentas

Para el análisis de frecuencia de las tormentas hacer lo siguiente:

1. A analizar todas las tormentas caídas en el lugar

2. Tabular los resultados en orden cronológico, tomando la intensidad

mayor de cada año para cada periodo de duración, luego tabular:

Tabla 3.3, Intensidad máxima para periodos de duración

Año Periodo de duración (min)

10 30 60 120 240

195

0

195

1

195

2

195

3

195

4

102

83

76

102

61

.

.

.

81

70

61

72

58

.

.

.

64

56

42

45

36

.

.

.

42

33

29

32

28

.

.

.

18

16

19

11

14

.

.

.

35

.

.

.

3. Ordenar en forma decreciente e independiente del tiempo, los valores

de las intensidades máximas correspondientes a cada uno de los

periodos de duración, para cada valor calcular su periodo de retorno

utilizando la formula de Weibull:

T=n+1m

Donde:

T = Periodo de retorno

m = numero de orden

n = numero total de observaciones

Tabla 3.4 Relación entre periodo de retorno, duración e intensidades

Nº deOrdenm

FrecuenciaP =m/n

Tiempo deRetornoT=1/p

Periodo de duración (min)10 30 60 120 240

123...n=30

1/302/303/30

301510

1058977

837261

655646

443728

231912

4. Construir las curvas intensidad – duración – frecuencia

Para la elaboración de estas curvas hacerlo siguiente:

o Trazar los ejes coordenados; en el eje X, colocar las duraciones en

minutos, mientras que en el eje Y, colocar los valores de las

intensidades (mm/h)

o Para un periodo de retorno T (en años) ubicar los pares (duración ,

intensidad), para ese periodo de retorno T

36

o Trazar una curva que una los puntos (duración ,intensidad)

o Repetir los dos últimos pasos para otros valores de T.

Las curvas intensidad, Duración, periodo de Retorno son sumamente

útiles para la obtención de la intensidad máxima, para una duración y

un periodo de retorno dado.

3.8 FORMULAS QUE EXPRESAN LA INTENSIDAD MAXIMA, EN FUNCION DE LA

DURACION Y DEL PERIODO DE RETORNO

Formula de Talbot

Es una formula empírica que relaciona la intensidad máxima y la duración, para

un periodo de retorno dado, se expresa por:

imax=a

b+D

Donde:

imax = intensidad máxima en mm/hra

a y b= parámetros que dependen de la localidad y del periodo de retorno

D = duración de la precipitación

Los parámetros a y b se determinan a partir de datos calculados, para esto

hacer lo siguiente:

1. La ecuación anterior, transformarlo a ecuación lineal, y = a1 + b1x

2. Con los datos de la tabla 3.3 para un periodo de retorno dado obtener los

pares

37

3. Aplicar el método de los mínimos cuadrados y obtener a1 y b1 a partir de las

ecuaciones

4. Calcular ay b:

Formula usada en USA

La formula empírica utilizada en USA, que relaciona la intensidad máxima,

con la duración y el periodo de retorno es:

imax=KTa

Db

Donde:

imax = mm/hra

A, b y k = parámetros

T = periodo de retorno

D = duración en min = tc

Los parámetros a, b y k se obtienen a partir de datos medidos y luego

aplicando una correlación potencial múltiple a una ecuación del tipo:

imax=KT aD−b

log i = logK +mlogT – b logD

o bien

y=a0+a1 x1+a2 x2

Donde:

y = logi

a0 = log k

a1= m

x1 = logT

38

a2 = -b

x2 = log D

Al hacer un ajuste de correlación lineal múltiple de una serie de tres tipos de

datos, se obtiene un sistema de ecuaciones como el siguiente:

∑ y=Na0+a1∑ x1+a2∑ x2

∑ ( x1 y )=a0∑ x1+a1∑ (x12)+a2∑ (x1 x2)

∑ ( x2 y )=a0∑ x2+a1∑ (x1 x2)+a2∑ (x2 )2

Donde:

N = numero de datos

Ejemplo

En una estación pluviométrica se han registrado las alturas de precipitación

máxima en mm para diferentes duraciones mostradas en la tabla adjunta.

Determinar las curvas intensidad - duración – periodo de retorno.

Tabla. Altura de precipitación en milímetros

Fecha Duración, minutos

Año Mes día 5 10 20 45 80 120

1954 Oct.

Oct.

5

8

-

8.0

-

9.0

-

9.3

10.5

-

12.8

-

14.2

-

1955 Jul.

Nov.

8

2

8.0 8.0

8.0

-

14.5

-

20.5

-

34.0

-

48.0

1956 Mayo 15 12.5 15.5 20.0 24.8 25.5 25.6

1957 Sep. 21 7.5 11.0 14.3 19.0 25.7 29.0

1958

1959 Jun. 14 5.7 9.2 10.0 15.2 15.6

39

Ago. 13 6.8 - - - -

1960 Ago. 11 9.8 11.7 18.0 20.6 21.1 22.6

1961 Jul. 10 7.1 7.1 7.1 7.1 7.1 7.1

1962 Sep. 10 13.5 18.5 20.7 38.5 60.0 80.0

1963 May.

Jun.

17

16

8

-

10.0

-

11.5

-

-

20.3

-

23.1

-

30

1964 May 31 10.0 17.5 17.7 18.7 18.7 19.8

Procesamos la información histórica, para lo cual encontramos la intensidad

máxima, para cada año y para el tiempo de duración, haciendo lo siguiente:

Por ejemplo para el año 1954, la máxima precipitación se presento en dos

días ( oct. 5y 8), los minutos lo convertimos a horas, porque la intensidad se

da en mm/hora, de la forma siguiente:

i=8∗605

=96 mm/hora

En algunos casilleros del mismo año, para el día 5 no se tiene datos para las

duraciones 5, 10 y 20 minutos; se coloca los datos del día 8, otros ejemplos:

i=10 .5∗6045

=14mm/hora

i=9 .3∗6020

=27 .9≈28mm/hora

De la misma manera se completa la siguiente tabla:

Tabla. Intensidades máximas mm/hora

AÑO Duración (minutos)

5 20 45 80

40

120

1954

1955

1956

1957

1959

1960

1961

1962

1963

1964

96 28 14 10 7

96 44 27 26 24

150 60 33 19 13

90 43 25 19 15

68 28 13 11 8

118 54 27 16 11

85 21 9 5 4

162 62 51 45 40

96 35 27 17 15

120 53 25 14 10

Determino la probabilidad y el periodo de retorno, para lo cual ordeno los

eventos de cada duración de mayor a menor

Las intensidades se ordena de mayor a menor y se determina la

probabilidad y el tiempo de ocurrencia, como se aprecia en la siguiente

tabla:

Numero de

orden

M

T

Años

Duración (minutos)

5 10 20 4

5

80 120

1

2

3

4

5

6

7

11.00

5.50

3.67

2.75

2.20

1.83

1.57

162

150

120

118

96

96

96

11

1

10

5

93

70

66

62

60

54

53

44

43

35

5

1

3

3

2

7

2

45

26

19

19

17

16

14

40

24

15

15

13

11

10

41

8

9

10

1.38

1.22

1.10

90

85

68

60

54

48

43

41

28

28

21

7

2

7

2

5

2

5

1

4

1

3

9

11

10

5

8

7

4

Para obtener los parámetros de la ecuación…… x2, x1, y, así como sus

productos y cuadrados, y las sumas indicadas

Tabla……log (Duración) log T log i X1Y X2Y X1^2 X2^2 X1X2X2 X1 y

0.699 1.041 2.210 2.301 1.545 1.084 0.489 0.7280.699 0.740 2.176 1.610 1.521 0.548 0.489 0.5170.699 0.565 2.079 1.175 1.453 0.319 0.489 0.3950.699 0.439 2.072 0.910 1.448 0.193 0.489 0.3070.699 0.342 1.982 0.678 1.385 0.117 0.489 0.2390.699 0.238 1.982 0.472 1.385 0.057 0.489 0.1660.699 0.196 1.982 0.388 1.385 0.038 0.489 0.1370.699 0.140 1.954 0.274 1.366 0.020 0.489 0.0980.699 0.086 1.929 0.166 1.348 0.007 0.489 0.0600.699 0.041 1.833 0.075 1.281 0.002 0.489 0.0291.000 1.041 2.045 2.129 2.045 1.084 1.000 1.0411.000 0.740 2.021 1.496 2.021 0.548 1.000 0.7401.000 0.565 1.969 1.112 1.969 0.319 1.000 0.5651.000 0.439 1.845 0.810 1.845 0.193 1.000 0.4391.000 0.342 1.820 0.622 1.820 0.117 1.000 0.3421.000 0.238 1.778 0.423 1.778 0.057 1.000 0.2381.000 0.196 1.732 0.339 1.732 0.038 1.000 0.1961.000 0.140 1.681 0.235 1.681 0.020 1.000 0.140

42

1.000 0.086 1.633 0.140 1.633 0.007 1.000 0.0861.000 0.041 1.613 0.066 1.613 0.002 1.000 0.0411.301 1.041 1.792 1.865 2.331 1.084 1.693 1.3541.301 0.740 1.778 1.316 2.313 0.548 1.693 0.9631.301 0.565 1.732 0.979 2.253 0.319 1.693 0.7351.301 0.439 1.724 0.757 2.243 0.193 1.693 0.5711.301 0.342 1.643 0.562 2.138 0.117 1.693 0.4451.301 0.238 1.633 0.389 2.125 0.057 1.693 0.3101.301 0.196 1.544 0.303 2.009 0.038 1.693 0.2551.301 0.140 1.447 0.203 1.883 0.020 1.693 0.1821.301 0.086 1.447 0.124 1.883 0.007 1.693 0.1121.301 0.041 1.301 0.053 1.693 0.002 1.693 0.0531.653 1.041 1.708 1.778 2.823 1.084 2.732 1.7211.653 0.740 1.519 1.124 2.511 0.548 2.732 1.2231.653 0.565 1.431 0.809 2.365 0.319 2.732 0.9341.653 0.439 1.431 0.628 2.365 0.193 2.732 0.7261.653 0.342 1.431 0.489 2.365 0.117 2.732 0.5651.653 0.238 1.398 0.333 2.311 0.057 2.732 0.3931.653 0.196 1.398 0.274 2.311 0.038 2.732 0.3241.653 0.140 1.146 0.160 1.894 0.020 2.732 0.2311.653 0.086 1.114 0.096 1.841 0.007 2.732 0.1421.653 0.041 0.954 0.039 1.577 0.002 2.732 0.0681.903 1.041 1.653 1.721 3.146 1.084 3.621 1.9811.903 0.740 1.415 1.047 2.693 0.548 3.621 1.4081.903 0.565 1.279 0.723 2.434 0.319 3.621 1.0751.903 0.439 1.279 0.561 2.434 0.193 3.621 0.8351.903 0.342 1.230 0.421 2.341 0.117 3.621 0.6511.903 0.238 1.204 0.287 2.291 0.057 3.621 0.4531.903 0.196 1.146 0.225 2.181 0.038 3.621 0.3731.903 0.140 1.041 0.146 1.981 0.020 3.621 0.2661.903 0.086 1.000 0.086 1.903 0.007 3.621 0.1641.903 0.041 0.699 0.029 1.330 0.002 3.621 0.0782.079 1.041 1.602 1.668 3.331 1.084 4.322 2.1642.079 0.740 1.380 1.021 2.869 0.548 4.322 1.5382.079 0.565 1.176 0.664 2.445 0.319 4.322 1.1752.079 0.439 1.176 0.516 2.445 0.193 4.322 0.9132.079 0.342 1.114 0.381 2.316 0.117 4.322 0.7112.079 0.238 1.041 0.248 2.164 0.057 4.322 0.4952.079 0.196 1.000 0.196 2.079 0.038 4.322 0.4072.079 0.140 0.903 0.126 1.877 0.020 4.322 0.2912.079 0.086 0.845 0.073 1.757 0.007 4.322 0.1792.079 0.041 0.602 0.025 1.252 0.002 4.322 0.085

∑ 86.350 22.968 90.692 37.864 120.758 14.304 138.573 33.055

Con los datos de esta última tabla tenemos las siguientes ecuaciones:

43

60 a0 + 22.968 a1 +86.350 a2 = 90.698

22.968 a0 +14.304 a1 + 33.055 a2 = 37.864

86.350 a0 + 33.055 a1 + 138.570 a2 = 120.758

Resolviendo el sistema de ecuaciones se tiene:

a0 = 2.277; a1 = 0.571 ; a2 = -0.68

Los valores de los parámetros de la ecuación…….. son:

K = 102.277 = 189.23

m = 0.571

n = 0.68

Por lo que la ecuación de las curvas i – d – t es

i=189 .23T0 .57

D0 .68

Para el caso de duraciones de tormentas menores a 1 hora, o no se

cuenta con registros pluviograficos que permitan obtener las

intensidades máximas, estas pueden ser calculadas mediante la

metodología de Dick Peschke que relaciona la duración de la tormenta

con la precipitación máxima en 24 horas. La expresión es la siguiente:

P=P24h( d1440 )

0.25

Donde

P = precipitación total (mm)

d = duración en minutos

P24h = precipitación máxima en 24 horas (mm) , este valor se

obtiene aplicando Gumbel.

La intensidad se halla dividiendo la precipitación P entre la duración

Ejemplo, Se tiene las precipitaciones máximas de 24 horas, como se

aprecia en la siguiente tabla:

44

Año PrecipMáxima24 horas

Año PrecipMáxima24 horas

Año PrecipMáxima24 horas

12345678910111213141516

48.0035.0049.0054.2035.4031.2047.5044.0035.0039.5039.0036.0024.7034.1045.2036.80

17181920212223242526272829303132

32.4042.2038.2021.2046.6042.2039.4058.0052.4035.0023.8058.0048.5032.0068.7035.00

333435363738394041424344454647

51.6035.6054.5045.0028.4029.7032.0039.2035.9026.4031.6034.6043.9025.3020.60

Se requiere encontrar la intensidad de precipitación para valores

menores a 60 minutos:

Solución:

Aplicando formula de DYCK Y PESCHKE

PD=P24 h[ D1440 ]

0.25

PD=37 .79∗[ 51440 ]

0 .25

= 9.173 mm

De la misma forma se llena el cuadro adjunto, para encontrar la

precipitación total; pero para determinar la intensidad de precipitación, a

la precipitación encontrada se divide entre el tiempo de duración y se

multiplica por 60

i=( 9.1735 )∗60= 110.08 mm/hora

De la misma forma se rellena el segundo cuadro

T. Retorno Probabilidad PP 24 DURACION DE PRECIPITACION EN MINUTOSAños % Hr 5 20 30 50 60

2 50 37.79 9.173 12.973 14.357 16.313 17.074

45

5 80 46.64 11.322 16.011 17.719 20.133 21.07210 90 52.5 12.744 18.023 19.946 22.663 23.72025 96 59.91 14.543 20.567 22.761 25.861 27.06750 98 64.41 15.635 22.112 24.471 27.804 29.101

100 99 70.86 17.201 24.326 26.921 30.588 32.015

T. Retorno Probabilidad DURACION DE PRECIPITACION EN MINUTOSAños % 5 20 30 50 60

2 50 110.080 38.919 28.714 19.575 17.0745 80 135.860 48.034 35.439 24.160 21.072

10 90 152.930 54.069 39.891 27.195 23.72025 96 174.515 61.700 45.522 31.034 27.06750 98 187.623 66.335 48.941 33.365 29.101

100 99 206.412 72.978 53.842 36.706 32.015

FFIGURA N º CURVA IDF, EST. HUANCANE, DURACION < 60'DURACION (Min) T.R 2 T.R 5 T.R 10 T.R 25 T.R 50 T.R 100

5 110.08 135.86 152.93 174.51 187.62 206.4110 65.45 80.78 90.93 103.77 111.56 122.7315 48.29 59.6 67.09 76.56 82.31 90.5520 38.92 48.03 54.07 61.7 66.33 72.9830 28.71 35.44 39.89 45.52 48.94 53.8440 23.14 28.56 32.15 36.69 39.44 43.3950 19.58 24.16 27.2 31.03 33.36 36.7160 17.07 21.07 23.72 27.07 29.1 32.01

0 10 20 30 40 50 60 700

50

100

150

200

250

CURVAS IDF PARA D<60' EST. HUANCANE

TR 2 TR 5 TR 10 TR 25 TR 50 TR 100

Duracion (min)

Inte

nsid

ad (m

m/h

ora)

46

Si queremos tener un modelo para diferentes duraciones e intensidades se aplica la

formula:

imax=KTa

Db

De la cual se encuentra sus parámetros: K, a, b, se puede encontrar haciendo

analíticamente aplicando regresión múltiple o también utilizando el software

Hidroesta, siendo la forma de introducir los datos de la siguiente forma:

Nº Datos T

X1

D

X2

Y

I(mm/hora)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

2

2

2

2

2

5

5

5

5

5

10

10

5

20

30

50

60

5

20

30

50

60

5

20

9.173

12.973

14.357

16.313

17.074

11.322

16.011

17.719

20.133

21.072

12.744

18.023

47

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

10

10

10

25

25

25

25

25

50

50

50

50

50

10

0

10

0

10

0

10

0

10

0

30

50

60

5

20

30

50

60

5

20

30

50

60

5

20

30

50

60

19.946

22.663

23.72

14.543

20.567

22.761

25.861

27.067

15.635

22.112

24.471

27.804

29.101

17.201

24.326

26.921

30.588

32.015

48

Análisis de Precipitaciones Máximas ajustadas a Distribuciones

teóricas

Para este análisis existen dos métodos: método grafico y método analítico

Método Analítico. Este método consiste en ajustar los valores originales de

precipitación a una distribución teórica; que en este caso puede ser la

distribución Gumbel tipo I.

P (X<Xm=e−e−α ( y−β ))Donde:

P(X<Xm) = probabilidad de que ocurra un evento menor a Xm

e = base de los logaritmos neperianos.

Y = dato de precipitación, en mm o en mm/hora

Los valores de α y β se determinan a través de las siguientes ecuaciones:

α=1.281Sy

β=Ym−0 .4506∗Sy

Donde:

Sy = desviación estándar de la muestra de datos de y

Ym = valor medio de Y

La desviación estándar de la muestra de datos Sy:

Sy=[( 1n ) (∑Y 2−n∗Ym2 )]0 .5

El procedimiento es el siguiente:

1. Se ordenan los datos en forma decreciente

2. Se determina la probabilidad de que ocurra un evento menor, para cada

dato de precipitación, a través de la distribución empírica, determinada

por la siguiente ecuación

P=1− mn+1

3. Se determina la probabilidad de que ocurra un evento menor, a través

de la distribución teórica Gumbel tipo I

49

4. Se busca la máxima diferencia entre la distribución empírica y teórica lo

que define la variación máxima (Δ max)

5. Para que se acepte el ajuste, se debe cumplir que Δmax < Δc el Δc se

obtiene de la tabla 3.5

6. Obtenida la ecuación de ajuste se determina la precipitación máxima

para un determinado periodo de retorno, despejando la variable Y de la

siguiente ecuación:

y=β−Ln(−Ln(1− 1T ))

α

Tabla 3.5 valor critico Δc para la prueba kolmogrov de bondad de ajuste

N Α

0.20 0.10 0.05 0.01

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0.45

0.32

0.27

0.23

0.21

0.19

0.18

0.17

0.16

0.15

0.51

0.37

0.30

0.26

0.24

0.22

0.20

0.19

0.18

0.17

0.56

0.41

0.34

0.29

0.27

0.24

0.23

0.21

0.20

0.19

0.67

0.49

0.40

0.36

0.32

0.29

0.27

0.25

0.24

0.23

N > 50 1.07

√n1.22

√n1.36

√n1.63

√nEjemplo

Elaborar las curvas profundidad – duración – frecuencia,

correspondiente a un periodo de retorno de 10 años a través del

método analítico, utilizando los datos de precipitación máxima de la

siguiente tabla.

Cuadro 3.6, Precipitaciones máximas en mm

50

Año 1hora

3hora

6hora

9hora

12Hora

19641965196619671968196919701971197219731974197519761977

1531171015241532192023161514

2931251820323648262533212523

3031282123454750423141312942

3031282325485150503544384557

3032282536485150523546384657

El método analítico consiste en determinar la ecuación de ajuste para

cada una de las duraciones. Desarrollamos el ejemplo buscando la

ecuación de ajuste para 1 hora de duración, en orden decreciente.

Determinamos el valor promedio (Ym) y la desviación estándar (Sy), con

los que podemos calcular los valores de los parámetros α y β

α=1.281Sy

=1 .2816 .433 = 0.199

β= Ym-0.4506*Sy = 19.000-0.4506*6.433 =16.1013

La ecuación de ajuste para 1 hora de duración nos queda como:

P (X<Xm )=e−e−0 .199( y−16 .1013 )

¿=0 .5887 ¿En la siguiente tabla se presenta el procedimiento para la prueba de

bondad de ajuste a los datos de 1 hora de duración.

Tabla 3.7, Calculo del Δmax a partir de la distribución teórica y empírica

M Precipitación mm

DistribuciónEmpírica (P)

DistribuciónTeórica (P)

Diferencia Δ

12345

3231242320

0.93330.86670.80000.73330.6667

0.95870.94980.81270.77630.6312

0.0250.08320.01270.04300.0354

51

67891011121314

191716151515151410

0.60000.53330.46670.40000.33330.26670.20000.13330.0667

0.57040.43340.36050.28790.28790.28790.28790.21880.0344

0.02960.10000.10620.1121 Δmax0.04540.02120.08790.08550.0323

Promedio Ym =19.00

DESV. S SY = 6.433

Por ejemplo para m=1

- Distribución empírica

P=1− mn+1

=1− 114+1 = 0.9333

- Distribución teórica:

P=e−e−0 .199 (32−16 .1013)

=0 .9587Diferencia entre ambas distribuciones Δ = 0.9587 – 0.0254

Como podemos observar Δmax = 0.1121, por otra parte el Δc obtenido

por interpolación corresponde a n=14 y α= 0.05 es Δc =0.35 por lo tanto

se cumple que Δmax< Δc y se acepta el ajuste.

Realizando la prueba de bondad de ajuste podemos entonces estimar la

precipitación esperada para un periodo de retorno de 10 años a través de

la siguiente ecuación:

y=β−Ln(−Ln(1− 1T ))

α

y=16 .1013−Ln(−Ln (1− 1

10 ))0 .199

=27 .40mm

En la siguiente tabla se presenta el resumen de losa calculosa para las

duraciones de 1, 6, 9 y 12 horas

52

Tabla 3.8, Calculo de la precipitación máxima, en mm, para un T = 10

años

Duración(horas)

Ym Sy α β Δmax PrecipitaciónT = 10 años

136912

19.0028.0035.07139.64341.00

6.4337.7669.20311.02910.206

0.1990.1650.1390.1160.126

16.10124.50130.92534.67336.401

0.11210.07530.18190.17950.2077

27.438.147.154.154.3

Finalmente se grafican los valores de precipitación y duración y se tiene la

curva P-D-F para un periodo de retorno de 10 años.

0 2 4 6 8 10 12 140

10

20

30

40

50

60

Series2

Duracion (horas)

Prec

ipit

acio

n(m

m)

3.9 ANALISI DE LOS DATOS PLUVIOMETRICOS

Para el análisis se recurre a la estadística, escogiendo un modelo matemático

que represente el comportamiento de la lluvia en el lugar en estudio. El manejo

estadístico de la información pluviométrica solo es posible realizarlo cuando la

información reúne tres requisitos: es completa, consistente, y de extensión

suficiente.

3.9.1 Estimación de Datos Faltantes

Frecuentemente al iniciar el trabajo nos encontramos con que faltan datos

en los registros de lluvias, y es necesario completarlo, acudiendo a algunas

técnicas estadísticas o a la utilización de algún software: HEC4

53

Se llama correlación a la operación o procedimiento por medio del cual se

completan los datos faltantes. Para ello se utilizan los datos de estaciones

índices que si tienen los datos completos y que se seleccionan de modo que

estén lo mas cerca posible y sean de altitud parecida a la estación en

estudio, al respecto existe los siguientes métodos:

a) Método del Weather Bureau, si los datos faltantes son lluvias diarias se

escogen tres estaciones índices A, B, C.

Si la precipitación anual media en cada estación índice esta

dentro de un 10% de la correspondiente a la estación

incompleta, un promedio aritmético simple de las

precipitaciones en las estaciones índices da una estimación

adecuada.

Ejemplo.

Estación

x Δ % día j

ABCx

680710701670

104031

1.56.04.6

152025

X=15+20+25

3=20

mm

Si la precipitación anual media en cualquiera de las estaciones índice, difiere de

aquella de la estación problema en más del 10% se utiliza la formula:

Px=13 ( x

xaPa+ x

xbPb+ x

xcPc )

Si los datos faltantes son precipitaciones anuales, se puede aplicar el método

de los promedios o el método de la recta de regresión:

54

b) Método de los Promedios, se escoge una estación índice (A) cuya

precipitación anual media es Xmed, si la estación problema es la

estación X, se halla su correspondiente precipitación anual media Xmed.

Y se establece la proporción:

XXa

= Xmed .Xmed .a

Donde se despeja X que es el dato faltante

Ejemplo.

Año Xa X

198

4

198

5

198

6

198

7

198

8

754

766

166

410

576

731

690

306

610

x =

731+690+306+6104

=584 .3

x A=754+766+410+576

4=626 .5

x= xxa

xA=584 .3626

∗166=154 .8mm

Si hay dos o tres estaciones índices se proceden igual con cada una de

ellas, obteniéndose 2 o 3 valores de x. El valor final de x será el

promedio de esos valores.

55

Método de la Recta de Regresión, por razones de comodidad se va a

designar con Y a la estación con datos incompletos y con X a la estación

índice. Básicamente el método consiste en:

Dibujar el diagrama de dispersión

Ajustar una recta a ese diagrama

Esta recta, llamada línea de regresión, se usa para completar la

información faltante en Y

Esto mismo puede analizarse analíticamente.

Cuando hay varias estaciones índices surge la interrogante de cual de ellas

utilizar. La respuesta lo encontramos en la estadística:

De varias estaciones índices la mejor correlacionada con la estación

incompleta es la de mejor coeficiente de correlación (r)

ANÁLISIS DE CONSISTENCIA

Inconsistencia es sinónimo de error sistemático y se presenta como

saltos y tendencias, y no homogeneidad es definido como los cambios

de datos vírgenes con el tiempo.

La no homogeneidad en una serie de tiempo se debe a factores

humanos (tala indiscriminada de una cuenca, construcción de

estructuras hidráulicas, etc.) o factores naturales.

La inconsistencia de una serie de tiempo esta dada por la producción de

errores sistemáticos (déficit en la toma de datos, cambio en la estación

de registro, etc.)

Antes de utilizar la serie histórica para el modelamiento, es necesario

efectuar el análisis de consistencia respectivo a fin de obtener una serie

confiable, es decir homogénea y consistente.

El análisis de consistencia de la información hidrológica se realiza

mediante los siguientes procesos:

o Análisis visual grafico

56

1965 1970 1975 1980 1985 1990 19950

10

20

30

40

50

60

70

80

Q(m3/s)

Años

Q(m

3/s)

o Análisis de doble masa

Análisis Estadístico

Análisis de Saltos

57

Los saltos se presentan en la media y desviación estándar y otros

parámetros, pero desde un punto de vista practico el análisis mas

importante es en los dos primeros, en la figura anterior se presenta el

caso típico de un salto

La evaluación y cuantificación de los errores detectados en la forma de

saltos, se realiza mediante un análisis estadístico, que puede ser

mediante la media y desviación estándar.

Consistencia de la media. El análisis estadístico consiste en

probar, mediante la prueba t, si los valores medios (x1, x2) de las sub

muestras son estadísticamente iguales o diferentes con una

58

probabilidad del 95% o con 5% de nivel de significación de la siguiente

manera:

X=∑i=1

n

X i

n

Donde:

X = media muestral

Xi= valor i-ésimo de la muestra

n = número de datos dela muestra

Consistencia de la Desviación Estándar

El análisis estadístico consiste en probar, mediante la prueba F, si los

valores de la desviación Estándar de las sub muestras son

estadísticamente iguales o diferentes, con un 95% de probabilidad o con

un 5% de nivel de significación de la siguiente forma:

√ (∑i=1

n

(x i−x )2)

n−1

ANALISIS DE TENDENCIAS

Antes de realizar el análisis de tendencias, se realiza el análisis de saltos,

luego se procede a analizar la tendencia en la Media y en la desviación

estándar

1. Tendencia en la Media

2. Tendencia en la Desviación Estándar

59